四川省雅安中学1617学年度高二下学期半期考试——数学理数学理
四川省雅安中学2016-2017学年高二3月月考数学(理)试题
雅安中学2016-2017学年度高二（下）3月月考(理科)数学试卷命题人：倪虎 审题人：王春彦一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知命题:,25x p x R ∀∈=，则p ⌝为( )A 、,25x x R ∀∉=B 、,25x x R ∀∈≠C 、00,25x x R ∃∈=D 、00,25x x R ∃∈≠2．若P 是平面α外一点，A 为平面α内一点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离是A ．PA n ⋅B ．PA nPA ⋅ C n nPA ⋅ D nPA nPA ⋅3．抛物线2y x =在点)41,21(M 处的切线的倾斜角是 ( )A.30B.45C.60D.904．已知向量(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B ．15C ．35D ．755．“46k <<”是“方程22164x y k k +=--表示椭圆”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．下列命题正确的是（ ）A. “1<x ”是“0232>+-x x ”的必要不充分条件B. 对于命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，则p ⌝：,R x ∈∀均有012≥-+x xC. 若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题D. 命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若,0232=+-x x 则2≠x7．如图，空间四边形C OAB 中，a OA =，b OB =，C c O =，点M 在OA 上，且23OM =OA ，点N 为C B 中点，则MN 等于（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c +-8．设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是( )A.βαβα⊥⊥,//,b aB.βαβα//,,⊥⊥b aC.βαβα//,,⊥⊂b aD.βαβα⊥⊂,//,b a9．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F 且EF ＝22，则下列结论中错误的是( )．A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值10在空间直角坐标系中，()()()4,1,9,10,1,6,2,4,3A B C -，则ABC ∆为 （ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形 C. 钝角三角形 D ．锐角三角形 11．设()f x 是可导函数，且000(2)()lim2x f x x f x x∆→-∆-=∆，则0()f x '=（ ）A ．21B ．1-C ．0D ．2-12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数⎩⎨⎧∈∈=QC x Qx x f R ,0,1)(被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集,Q 为有理数集，则关于函数()f x 有如下四个命题：①0))((=x f f ； ②函数)(x f 是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ,)()(x f T x f =+对任意的R x ∈恒成立； ④存在三个点()()()112233,(),,(),,()A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知1,0),(,0,1),, 60,k k =-==的夹角为则a b a b .14．若命题“02,2≤--∈∀ax ax R x ”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 15．已知函数()y f x =的图象在点()()2,2M f 处的切线方程是4y x =+，则()()22f f '+=____________．16．下列四个命题：①“若022=+b a ，则b a ,全为0”的逆否命题是“若b a ,全不为0”，则022≠+b a ”；②已知曲线C 的方程是)(,1)4(22R k y k kx ∈=-+，曲线C 是椭圆的充要条件是40<<k ；③“21=m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直”的充分不必要条件；④已知双曲线)0,0(,12222>>=-b a by a x 的一条渐近线经过点)2,1(，则该双曲线的离心率的值为5.上述命题中真命题的序号为__________． 三、解答题（17题10分，其余各题均为12分）17．某一运动物体，在x(s)时离出发点的距离(单位：m)是x x x x f 232)(23++=. (1)求在第1s 内的平均速度； (2)求在1s 末的瞬时速度；(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14m/s?18．已知命题:p “存在021)1(2,2≤+-+∈x m x R x ”，命题q ：“曲线182:2221=++m y m x C 表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题:s “曲线11:222=--+-t m y t m x C 表示双曲线” （1）若“p 且q ”是真命题，求m 的取值范围； （2）若q 是s 的必要不充分条件，求t 的取值范围。
四川省雅安市数学高二下学期理数期中考试试卷
四川省雅安市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，若为实数，则 a= （）A . 2B . -2C .D .2. （2分）用反证法证明某命题时，对结论“a、b、c、d中至少有三个是正数”正确的反设是（）A . a、b、c、d中至多有三个是正数B . a、b、c、d中至多有两个是正数C . a、b、c、d都是正数D . a、b、c、d都是负数3. （2分）若曲线在点处的切线方程为，则（）A .B .C .D . 不存在4. （2分）定义域为的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）由曲线y＝x2－1．直线x＝0．x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是（）A . (x2－1)dxB . |(x2－1)dx|C . |x2－1|dxD . (x2－1)dx＋(x2－1)dx6. （2分） (2017高二下·陕西期末) 若函数exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（）A . f（x）=2﹣xB . f（x）=x2C . f（x）=3﹣xD . f（x）=cosx7. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如4266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二下·黑龙江开学考) 若函数f（x）=﹣ x2+bln（x+2）在区间[﹣1，2]不单调，则b的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1]B . [8，+∞）C . （﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）D . （﹣1，8）9. （2分）函数有（）A . 极大值5，极小值-27B . 极大值5，极小值-11C . 极大值5，无极小值D . 极小值-27，无极大值10. （2分） (2016高二上·长春期中) 设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=ax 的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（）A . （1，3]B . [2，3]C . （1，2]D . [3，+∞]11. （2分）设分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时, ，且，则不等式的解集是（）A . (－3,0)∪(3,+∞)B . (－3,0)∪(0, 3)C . (－∞,－3)∪(3,+∞)D . (－∞,－3)∪(0, 3)12. （2分）设的两个极值点分别是若（－1,0），则2a＋b 的取值范围是（）A . （1,7）B . （2,7）C . （1,5）D . （2,5）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设f（x）=， x=f（x）有唯一解，f（x0）=， f（xn﹣1）=xn ， n=1，2，3，…，则x2015=________14. （1分） (2018高二下·甘肃期末) 若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为________.15. （1分） (2016高二上·徐州期中) 已知圆柱M的底面半径为2，高为6；圆锥N的底面直径和母线长相等．若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为________．16. （1分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高一下·宜昌期末) 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1 ，a14=b4 ．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设cn=an+bn ，求数列{cn}的前n项和Sn ．18. （10分） (2019高三上·朝阳月考) 设函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）讨论的极值点的个数；（Ⅲ）若在y轴右侧的图象都不在x轴下方，求实数a的取值范围．19. （10分） (2019高三上·瓦房店月考) 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，（1）求证：平面平面PAD；（2）若，求二面角的大小．20. （10分）(2016·四川理) 已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（1）求椭圆E的方程及点T的坐标；（2）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．21. （10分） (2018高二下·长春开学考) 已知函数， .（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明．22. （10分）(2019·菏泽模拟) 已知函数 .（1）求的解集；（2）若，恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
四川省雅安中学20172018学年高二数学下学期期中试题理
雅安中学2017—2018学年下期期中考试高二年级数学试题（理科）（本试卷满分150分，答题时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上,并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合},1{2a A =，}4,2{=B ，则“2=a ”是“A B ⋂=}4{”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 复数=-+ii11 A ．i -B ．iC ．1D ．1-3. 已知向量），（01,1=a ，)2,0,1(-=b ，且k ＋与-2互相垂直，则k 值是 A ．1B ．51C ．53 D ．57 4.在等比数列{}n a 中， 37,a a 是函数()3214913f x x x x =++-的极值点，则5a = A ．3± B ． -3C ．3D ．45.正方体1111ABCD A B C D 中,1DA 与平面11C CA 所成角的正弦值为A ．12B 2 3D 36.若函数x kx x f ln )(-=在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是 A ．]2,(--∞B ．)1,(--∞C ．),1(+∞D ．[)1,+∞7.若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值,则a =A ．1B ．2C ．3D ．-38. 棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AA 1中点，则点B 1到平面BCE 的距离是9.已知函数)()(23R x c x ax x x f ∈+-+=，下列结论错误的是 A.函数)(x f 一定存在极大值和极小值B.若函数)(x f 在),(),,(21+∞-∞x x 上是增函数，则33212≥-x xC.函数)(x f 的值域是RD.函数)(x f 一定存在三个零点 10. 如图， AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在平面， C 是圆周上不同于,A B 两点的一点，且2AB =， 3PA BC ==，则二面角A BC P --的大小为11. 直线l 的方程为Ax ＋By ＝0，若从1,2,3,6,7,8这六个数字中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则表示不同直线l 的条数是 12. 定义在R 上的函数()f x 与其导函数()f x '满足()()1xf x f x e ->'+，则下列不等式一定成立的是A ． 552 B ．45 C ．22 D ． 1A ．30︒ C ．60︒B ．45︒ D ．90︒A ．36条B ．30条C ．26条D ．15条A ．()()01f e ef +< B.()()01f e ef +> C ．()()01f e f +< D ．()()01f e f +>二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.长方体1111ABCD A B C D -中， 12AA AB ==， 1AD =，点E 、F 、 G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角为 .14.用红、黄、蓝三种不同的颜色涂33⨯方格，使得每行没有相同颜色且每列也没有相同颜色的涂法种数是_______（用数字作答）. 15.函数xex x f 1ln )(+=的单调递增区间是_________. 16.若函数1ln 21)(2+-=x x x f 在其定义域内的一个区间)1,1(+-k k 上不是单调函数，则实数k 的取值范围是__________．三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(10分)若复数z 满足)2(z i z -=， （1）求复数z ;（2）求|2|i z +-18．(12分) 已知函数3()f x ax bx c =++的图像关于原点对称,且过点(1,1),(2,26). (1)求()f x 的解析式; (2)函数()f x 的单调区间;(3)求函数()f x 在]1,1[-上的最小值.19．(12分) 已知矩形ABCD ，22AD AB ==，点E 是AD 的中点，将DEC ∆沿CE 折起到D EC '∆的位置，使二面角D EC B '--是直二面角.（1）证明：BE CD '⊥；（2）求二面角D BC E '--的余弦值.20．(12分).在四棱锥ABCD P -中，ABP ∆是等边三角形，底面ABCD 是直角梯形，BC AD AD AB //,⊥，E 是线段AB 的中点，⊥PE 底面ABCD ，已知22===BC AB DA .（1）求AP 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）试在平面PCD 上找一点M ，使得⊥EM 平面PCD .21．(12分)已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行． （1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()22f x m x x +=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围.22．（12分）设函数()1e x f x -=-． （1）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求实数a 的取值范围雅安中学2017—2018学年下期期中考试高二年级数学试题参考答案（理科）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDBADCADCCA二、填空题13、90； 14、12； 15、),1(+∞； 16、)23,1[. 三、解答题17、（1）i +1； （2）5. 18、（1）x x x f 34)(3-=；（2）在),21(),21,(+∞--∞上递增，在)21,21(-上递减； （3）最小值1)21()1()(-==-=f f x f . 19、（1）∵22AD AB ==，E 是AD 的中点，∴BAE ∆，CDE ∆是等腰直角三角形， ∴90BEC ∠=，即BE EC ⊥， 又∵平面D EC '⊥平面BEC ，平面D EC '平面BEC EC =，∴BE ⊥平面D EC '，∴BE CD '⊥；（2）如图，以EB ，EC 为x 轴、y 轴，过点E 且垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，22(0,,)22D '， 易知平面BEC 的一个法向量为1(0,0,1)n =； 设平面D BC '的一个法向量为2222(,,)n x y z =， 由(2,2,0)BC =-，22(0,,)22D C '=-，求得2(1,1,1)n =，∴1212123cos ,3||||n n n n n n ⋅<>==，∴二面角D BC E '--的余弦值为33. 20、（1）因为⊥PE 底面ABCD ，过E 作BC ES //，则AB ES ⊥，以EB 、EP ES 、分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则)0,0,0(E ，)0,0,1(B ，)0,1,1(C ，)0,0,1(-A ，)0,2,1(-D ，)3,0,0(P ，),3,1,1(),0,1,2(-=-=∴PC CD求得平面PCD 的法向量为)3,2,1(=m ，而)3,0,1(=∴AP ，22|48301||,cos |=⋅++=><∴m AP ∴AP 与平面PCD 所成角的正弦值为22（2）设M （x ，y ，z ），由⊥EM 平面PCD 知m EM //，)3,2,(λλλλ==∴m EM ，)3,2,(λλλM ∴,)3,12,1(λλλ--=∴CM ,又),3,1,1(),0,1,2(--=-=CP CD CM CP CD 、、共面， ∴存在唯一实数b a 、使得CP b CD a CM +=，而)3,,2(b b a b a CP b CD a ---=+，⎪⎩⎪⎨⎧=-=---=-∴bb a ba 331221λλλ，解得83=λ，)833,86,83(M ∴符合题意.21、（1）()1'f x a x=- ∵函数在2x =处的切线与直线230x y +-=平行 ∴1122k a =-=-，解得： 1a =；（2）由（1）得()lnf x x x=-，∴()22f x m x x+=-，即23ln0x x x m-++=设()23ln(0)h x x x x m x=-++>，则()()()22111231'23x xx xh x xx x x---+=-+==列表得：∴当时，()h x的极小值为()12h m=-，又()15ln2,22ln224h m h m⎛⎫=--=-+⎪⎝⎭∵方程()22f x m x x+=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≥)2()1()21(hhh,解得：5ln224m+≤<；22、（1）证明：注意到1x>-时，10x+>，于是有()1xf xx≥+，即11e1e e e1111x x x xx xxx x x----≥⇔-≥⇔≥⇔≥++++. 令()()e1xg x x=-+，()1x∈-+∞，．()e1xg x'=-，令()0g x'=，得0x=．当x变化时，()()g x g x'，的变化情况如下表：x()1 0-，0()0+∞，()g x'-0+()g x可见()g x 在(]10-，上单调递减，在[)0 +∞，上单调递增，所以当1x >-时， ()()0min 0e 100g g ==-+=，故当1x >-时，()()00g x g ≥=，即e 1x x ≥+，从而()1xf x x ≥+，且当且仅当0x =时等号成立． （2）解：由0x ≥时，011x xe ax -≥-≤+恒成立，故0a ≥. 设()+e 11x xh x ax -=-+，[)0 x ∈+∞，， 则()()()2211ee11xxax axh x ax ax --+-'=-=-++()()22e e 11xx ax ax -⎡⎤=-+⎣⎦+． 设()()2e 1x k x ax =-+，[)0 x ∈+∞，， 则()()2e 21e 22x x k x a ax a x a '=-+=--.()012k a '=- 当120a -≥，即102a ≤≤时，()22x k x e a ''=-，0x ≥时，1x e ≥，2122a ≤，故()0k x ''≥.所以()k x '单调递增，()()00k x k ''≥=，故()k x 单调递增，()()00k x k ≥=恒成立，符合题意.当120a -<，即12a >时，存在0δ>，()0,x δ∈时，()0k x '<，()k x 单调递减， ()()00k x k <=，与()0k x ≥恒成立矛盾.综合上述得实数a 的取值范围是10 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。
四川省雅安市高二下学期期中数学试卷 (理科)
四川省雅安市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分），则（）A . M={实数}B . M={虚数}C . {实数}{复数}D .2. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 用反证法证明命题：“若，，能被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，假设应为（）．A . ，都不能被整除B . ，都能被整除C . ，不都能被整除D . 不能被整除3. （2分）已知n为正偶数，用数学归纳法证明（）时，若已假设n=k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）A . n=k+1时等式成立B . n=k+2时等式成立C . n=2k+2时等式成立D . n=2(k+2)时等式成立4. （2分）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（）A . 64B . 32C . 16D . 85. （2分）已知函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1＜x2 ，则下列说法错误的是（）A . a＞eB . x1+x2＞2C . x1x2＞1D . 有极小值点x0，且x1+x2＜2x06. （2分）已知空间4个球，它们的半径分别为2, 2, 3, 3，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（）A .B .C .D .7. （2分）已知方程在有两个不同的解（），则下面结论正确的是（）A .B .C .D .8. （2分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，B∈β，A、B到棱l的距离相等，直线AB与平面β所成的角为30°，则AB与棱l所成的角的余弦是（）A .B .C .D .9. （2分）定义运算为：如，则函数的值域为（）A . RB . （0，+∞）C . （0，1]D . [1，+∞）10. （2分） (2018高一下·长阳期末) 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .11. （2分）(2019·黑龙江模拟) 设函数则不等式的解集为（）A .B .C .D .12. （2分）某宾馆有n（n∈N*）间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表：每间客房的定价220元200元180元160元每天的住房率50%60%70%75%对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为（）A . 220元B . 200元C . 180元D . 160元二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·赣榆期中) 设n∈N* ， f（n）=5n+2×3n﹣1+1，通过计算n=1，2，3，4时，f （n）的值，可以猜想f（n）能被最大整数________整除．14. （1分）已知复数z满足（1﹣i）z=4i，则|z|=________．15. （1分）已知对任意的恒成立，则实数的最大值为________．16. （1分） (2016高一下·安徽期末) 给出下列五个结论：①在△ABC中，若sinA＞sinB，则必有cosA＜cosB；②在△ABC中，若a，b，c成等比数列，则角B的取值范围为；③等比数列{an}中，若a3=2，a7=8，则a5=±4；④等差数列{an}的前n项和为Sn ， S10＜0且S11=0，满足Sn≥Sk对n∈N*恒成立，则正整数k构成集合为{5，6}⑤若关于x的不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为R，则a的取值范围为．其中正确结论的序号是________．（填上所有正确结论的序号）．三、解答题 (共8题；共75分)17. （10分）(2017·洛阳模拟) 已知函数f（x）=ex﹣asinx﹣1，a∈R．（1）若a=1，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）≥0在区间[0，1）恒成立，求a的取值范围．18. （10分）在四棱锥P﹣ABCE中，PA⊥底面ABCE，CD⊥AE，AC平分∠BAD，G为PC的中点，PA=AD=2，BC=DE，AB=3，CD=2 ，F，M分别为BC，EG上一点，且AF∥CD．（1）求的值，使得CM∥平面AFG；（2）求直线CE与平面AFG所成角的正弦值．19. （10分） (2017高二下·运城期末) 已知函数．（1）若曲线y=f（x）在P（1，f（1））处的切线平行于直线y=﹣x+1，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若a＞0，且对任意x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．20. （10分）(2020·泉州模拟) 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.21. （15分）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥x的解集；（2）若对任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的范围；（3）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．22. （5分）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，⊙O与边BC的交点D恰为BC边的中点，过点D作DE⊥AC 于点E．（I）求证：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若∠B=30°，求的值．23. （5分）(2017·天河模拟) 已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，且直线l与曲线C′交于A，B两点，求|MA|+|MB|．24. （10分）(2016·桂林模拟) 已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、24-1、24-2、。
雅安中学-高二数学下学期期末模拟试题理科有答案
雅安中学2014-2015高二数学下学期期末模拟试题（理科有答案）雅安中学2014-2015高二数学下期期末模拟试题（理科有答案）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1.设集合则“”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是()ABCD3．复数的共轭复数是()ABCD4.若则＞0的解集为()ABCD5.已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，-1，4）为三角形的三个顶点，则ΔABC为()A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D等腰三角形6．某中学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A4种B10种C18种D20种7．下列说法错误的是()A命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B“x1”是“|x|0”的充分不必要条件C若p且q为假命题，则p、q均为假命题D命题p：“∃x0∈R使得x20＋x0＋10”，则p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”8．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()A1B2C22D39.已知抛物线C:的焦点为F，直线与C交于A,B两点，则COS∠AFB=()ABC—D—10．在ΔABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC，BC边上的高分别为BD，AE，则以A，B为焦点，且过D，E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为()AB1C2D2第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题本大题共5个小题，每小题5分，共25分11．设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_________12．在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，那么的方程为.13．某中学教学楼二楼到三楼有一段楼梯共13阶，某同学在上楼时一步可上1阶或2阶，若该同学想用10步走完这一段楼梯，那么这位同学共有_________种不同的走法.（请用数字作答）14.在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．15．下列命题：①若f(x)存在导函数，则f′(2x)＝[f(2x)]′；②若函数h(x)＝cos4x－sin4x，则h′π12＝0；③若函数g(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)…(x－2010)(x－2011)，则g′(2011)＝2010！；④若三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则“a＋b＋c＝0”是“f(x)有极值点”的充要条件．其中假命题为________．三、解答题本大题共6小题，共75分16．（12分）如图，命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则”.（1）写出上述命题的逆否命题并判断其真假；（2）写出上述命题的逆命题，判断其真假并证明. 17．（12分）赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，有多少种不同的选法？18．（12分）已知，讨论函数的单调性.19．（12分）图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．20（13分）设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值.21（14分）已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.（1）若对一切x∈R，f(x)1恒成立，求a的取值集合；（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1,f(x1)）,B(x2,f(x2))(x1x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.雅安中学2014-2015学年高二下期期末模拟数学参考答安（理科）一选择题（1-10*5=50分）ABCDABCBDA8．提示：曲线上的点P到直线的最短距离，就是与直线y＝x－2平行且与y＝x2－lnx相切的直线上的切点到直线y＝x－2的距离．过点P作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x2－lnx相切，设P(x0，x20－lnx0)，则k＝2x0－1x0，∴2x0－1x0＝1，∴x0＝1或x0＝－12(舍去)．∴P(1,1)，∴d＝|1－1－2|1＋1＝2二填空题（11-15*5=25分）11．112.13.12014.2315.①②④[f(2x)]′＝f′(2x)(2x)′＝2f′(2x)，①错误；h′(x)＝4cos3x(－sinx)－4sin3xcosx＝－4sinxcosx＝－2sin2x，则h′π12＝－1，②错；f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，只需b2－3ac0即可，a＋b＋c＝0是b2－3ac0的充分不必要条件，④错．三．解答题（75分）16．解答略17．解分三类：第一类2人只划左舷的人全不选，有C35C35＝100(种)；第二类2人只划左舷的人中只选1人，有C12C25C36＝400(种)；第三类2人只划左舷的人全选，有C22C15C37＝175(种)．所以共有C35C35＋C12C25C36＋C22C15C37＝675种18．解：=，设，令，得，.①当时，，，与的变化情况如下：（，-1）-1（-1，）-0+0-↘极小值↗极大值↘∴在区间，上是减函数，在区间上是增函数.②当=3时，=，在区间，上，，即0，∴在区间上是减函数.③当时，，，与的变化情况如下：-1（-1，）（，）-0+0-↘极小值↗极大值↘∴在区间，（，）上是减函数，在区间（-1，）上是增函数.19．(1)证明连接BD，设AC交BD于点O，由题意知SO⊥平面ABCD，以O点为坐标原点.ＯＢ、ＯＣ、ＯＳ分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示．设底面边长为a，则高SO＝62a.于是S(0,0，62a)，D－22a，0，0，C0，22a，0，B22a，0，0，∴＝0，22a，0，＝－22a，0，－62a，∴＝0.故OC⊥SD，因此AC⊥SD. (2)解由题意知，平面PAC的一个法向量＝22a，0，62a，平面DAC的一个法向量＝0，0，62a，设所求二面角为θ，则cosθ＝＝32，故所求二面角P—AC—D的大小为30°.(3)解在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.由(2)知是平面PAC的一个法向量，且＝22a，0，62a，而＝0，－22a，62a，＝－22a，22a，0，设＝t，则＝＋＝＋t＝－22a，22a(1－t)，62at.由＝0，得t＝13，即当SE∶EC＝2∶1时，ＢＥ⊥ＤＳ.而BE不在平面PAC 内，故BE∥平面由对称性知：是等腰直角，斜边点到准线的距离圆的方程为（2）由对称性设，则点关于点对称得：得：，直线切点直线坐标原点到距离的比值为.21．解：令.当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当.①令则当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.综上所述，的取值集合为.（Ⅱ）由题意知，令则令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.。
四川省雅安市高二数学下学期期中试题 理
雅安中学2014—2015学年高二年级下期期中数学试题（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将答题卡和机读卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在机读卡上。
） 1、i 是虚数单位，计算23i i i ++=（ ）A.i -B.i C ．－1 D. 12、若32A 12n n C =，则n =（ ）A.8B.7C.6D.4 3、6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有( ) A ．30种 B ．144种 C ．5种 D ．4种 4、化简()()()()43244464441x x x x -+-+-+-+得( ) A.4xB.()44x -C.()41x +D.5x5、从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（ ） A.120 B.60 C.240 D.1806、设()f x '是函数f(x)的导函数，将y ＝f(x)和)(x f y '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )7、在以下命题中，不正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若22OP OA OB OC →→→→=--，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一组基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个()00,0x R f x ∃∈=使8、已知函数()32f x x ax bx c =+++,那么下列结论中错误的是（ ） A.B.函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =9、已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB →→⋅取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.131243⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B. 448333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，C.133224⎛⎫ ⎪⎝⎭，，D.447333⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 10、若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（ ）211124x x<-+ B. 21ln(1)8x x x +-… C. 21xe x x ++… D. 21cos 12x x -…第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡上。
2016-2017学年四川省雅安中学高二(下)开学数学试卷
2016-2017学年四川省雅安中学高二（下）开学数学试卷一、选择题1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．﹣B．C．D．2．（5分）已知直线l1：（a+2）x+3y=5与直线l2：（a﹣1）x+2y=6平行，则直线l1在x轴上的截距为（）A．﹣1 B．C．1 D．23．（5分）按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（）A．6 B．21 C．156 D．2314．（5分）要完成下列3项抽样调查：①从15瓶饮料中抽取5瓶进行食品卫生检查．②某校报告厅有25排，每排有38个座位，有一次报告会恰好坐满了学生，报告会结束后，为了听取意见，需要抽取25名学生进行座谈．③某中学共有240名教职工，其中一般教师180名，行政人员24名，后勤人员36名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样5．（5分）已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A、B的坐标分别是（﹣4，2），（3，1），则点C的坐标为（）A．（﹣2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（2，4） D．（2，﹣4）6．（5分）已知直线x+2y=2与x轴，y轴分别交于A，B两点，若动点P（a，b）在线段AB上，则ab的最大值为（）A．B．2 C．3 D．7．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．2 D．29．（5分）抛物线y2=4x，直线l过焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1+x2=3，则AB中点到y轴的距离为（）A．3 B．C．D．410．（5分）直线y=m（m＞0）与y=|log a x|（a＞0且a≠1）的图象交于A，B两点．分别过点A，B作垂直于x轴的直线交y=（k＞0）的图象于C，D两点，则直线CD的斜率（）A．与m有关B．与a有关C．与k有关D．等于﹣111．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，当x∈[0，π]时，f（x）≥1的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题13．（5分）甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为．14．（5分）若两圆x2+y2=1和（x+4）2+（y﹣a）2=25有三条公切线，则常数a=．15．（5分）已知椭圆，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为6，则b的值是．16．（5分）把离心率e=的双曲线称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线x2﹣=1是黄金双曲线；②若双曲线上一点P（x，y）到两条渐近线的距离积等于，则该双曲线是黄金双曲线；③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，﹣b）且∠F1B1A2=900，则该双曲线是黄金双曲线；④．若直线l经过右焦点F2交双曲线于M，N两点，且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线；其中正确命题的序号为．三、解答题17．（10分）已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．18．（12分）已知方程（m2﹣2m﹣3）x+（2m2+m﹣1）y+6﹣2m=0（m∈R）．（1）求该方程表示一条直线的条件；（2）当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；（3）已知方程表示的直线l在x轴上的截距为﹣3，求实数m的值；（4）若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值．19．（12分）某校举行“青少年禁毒”知识竞赛网上答题，高二年级共有500名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计．请你解答下列问题：（1）根据下面的频率分布表和频率分布直方图，求出a +d 和b +c 的值；（2）若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人？20．（12分）为贯彻落实教育部6部门《关于加快发展青少年校园足球的实施意见》，全面提高我市中学生的体质健康水平，培养拼搏意识和团队精神，普及足球知识和技能，市教体局决定举行春季校园足球联赛．为迎接此次联赛，甲中学选拔了20名学生组成集训队，现统计了这20名学生的身高，记录入如表：（设ξ为随机变量）（1）请计算这20名学生的身高的中位数、众数，并补充完成下面的茎叶图；（2）身高为185cm 和188cm 的四名学生分别记为A ，B ，C ，D ，现从这四名学生选2名担任正副门将，请利用列举法列出所有可能情况，并求学生A 入选门将的概率．21．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O是坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．22．（12分）已知椭圆C中心在原点，离心率，其右焦点是圆E：（x﹣1）2+y2=1的圆心．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C上且位于y轴左侧的一点P作圆E的两条切线，分别交y 轴于点M、N．试推断是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年四川省雅安中学高二（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2014•红河县校级学业考试）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵直线方程为x+y+1=0，∴化简得y=﹣x﹣1，直线的斜率为k=﹣1，设直线的倾斜角为α，则tanα=﹣1，∵α∈（0，π），∴，即直线x+y+1=0的倾斜角是．故选：D2．（5分）（2017春•雨城区校级月考）已知直线l1：（a+2）x+3y=5与直线l2：（a ﹣1）x+2y=6平行，则直线l1在x轴上的截距为（）A．﹣1 B．C．1 D．2【解答】解：∵直线l1：（a+2）x+3y=5与直线l2：（a﹣1）x+2y=6平行，∴=﹣，解得a=7，经过验证满足条件．∴直线l1的方程为：9x+3y=5，令y=0，解得x=．∴直线l1在x轴上的截距为．故选：B．3．（5分）（2016春•葫芦岛期末）按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（）A．6 B．21 C．156 D．231【解答】解：∵x=3，∴=6，∵6＜100，∴当x=6时，=21＜100，∴当x=21时，=231＞100，停止循环则最后输出的结果是231，故选D．4．（5分）（2016春•福建校级期中）要完成下列3项抽样调查：①从15瓶饮料中抽取5瓶进行食品卫生检查．②某校报告厅有25排，每排有38个座位，有一次报告会恰好坐满了学生，报告会结束后，为了听取意见，需要抽取25名学生进行座谈．③某中学共有240名教职工，其中一般教师180名，行政人员24名，后勤人员36名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样【解答】解；观察所给的3组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，故选A．5．（5分）（2017春•雨城区校级月考）已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A、B的坐标分别是（﹣4，2），（3，1），则点C的坐标为（）A．（﹣2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（2，4） D．（2，﹣4）【解答】解：设A（﹣4，2）关于直线y=2x的对称点为（x，y），则，解得，即（4，﹣2）．∴直线BC所在方程为：y﹣1=（x﹣3），化为：3x+y﹣10=0．同理可得：点B（3，1）关于直线y=2x的对称点为（﹣1，3），直线AC所在方程为：y﹣2=（x+4），化为：x﹣3y+10=0．联立，解得，可得C（2，4）．故选：C．6．（5分）（2014•福建模拟）已知直线x+2y=2与x轴，y轴分别交于A，B两点，若动点P（a，b）在线段AB上，则ab的最大值为（）A．B．2 C．3 D．【解答】解：令x=0得B（0，1）；令y=0得A（2，0）∵动点P（a，b）在线段AB上∴a+2b=2∵∴当且仅当a=2b=1即a=1，b=取等号故选A7．（5分）（2013•潼南县校级模拟）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4的圆心为（2，3），半径等于2，圆心到直线y=kx+3的距离等于d=由弦长公式得MN=2 ≥2 ，∴≤1，解得，故选B．8．（5分）（2017•钦州二模）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．2 D．2【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，∴x0=﹣，四边形OFMN的面积为cb，∴丨y0丨c=cb，即丨y0丨=b，∴M（﹣，b），代入双曲线可得：﹣=1，整理得：，由e=，∴e2=12，由e＞1，解得：e=2，故选D．9．（5分）（2016秋•渭滨区校级期中）抛物线y2=4x，直线l过焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1+x2=3，则AB中点到y轴的距离为（）A．3 B．C．D．4【解答】解：直线l过抛物线的焦点且与抛物线y2=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1+x2=3，AB中点的横坐标为：，则AB中点到y轴的距离为：．故选：B．10．（5分）（2017春•雨城区校级月考）直线y=m（m＞0）与y=|log a x|（a＞0且a≠1）的图象交于A，B两点．分别过点A，B作垂直于x轴的直线交y=（k ＞0）的图象于C，D两点，则直线CD的斜率（）A．与m有关B．与a有关C．与k有关D．等于﹣1【解答】解：由题意，m=|log a x|，∴x C=a m，或x D=a﹣m，∵过点A，B作垂直于x轴的直线交y=（k＞0）的图象于C，D两点，∴y C=ka﹣m，或y D=ka m，∴直线CD的斜率==﹣k．故选：C．11．（5分）（2016•新乡模拟）已知函数f（x）=sinx+cosx，当x∈[0，π]时，f（x）≥1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinx+cosx=2sin（x+）≥1，∴sin（x+）≥，∵x∈[0，π]，x+∈[，]，∴≤x+≤，∴0≤x≤，∴发生的概率为P==，故选：D．12．（5分）（2008•宁波模拟）过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵，∴，∴，∴，故选C．二、填空题13．（5分）（2017春•雨城区校级月考）甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为．【解答】解：∵甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，至少有一个红球的对立事件为取到两个白球，∴至少有一个红球的概率为：p=1﹣=．故答案为：．14．（5分）（2015秋•绍兴校级期中）若两圆x2+y2=1和（x+4）2+（y﹣a）2=25有三条公切线，则常数a=±2．【解答】解：由已知得到两圆相外切，∴圆心距，解得．故答案为：±2．15．（5分）（2017春•雨城区校级月考）已知椭圆，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为6，则b的值是．【解答】解：由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8∴|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|=b2，∴6=8﹣b2，解得b=，故答案为：．16．（5分）（2017春•雨城区校级月考）把离心率e=的双曲线称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线x2﹣=1是黄金双曲线；②若双曲线上一点P（x，y）到两条渐近线的距离积等于，则该双曲线是黄金双曲线；③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，﹣b）且∠F1B1A2=900，则该双曲线是黄金双曲线；④．若直线l经过右焦点F2交双曲线于M，N两点，且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线；其中正确命题的序号为②③④．【解答】解：对于①，双曲线x2﹣=1中，c2=1+=，∴c=，∴离心率e=≠，∴该曲线不是黄金双曲线，①错误；对于②，双曲线﹣=1上一点P（x0，y0）到两条渐近线y=±x的距离积；∴•==，∴=，即b2=ac，∴c2﹣a2﹣ac=0，化为e2﹣e﹣1=0，又e＞1，解得e=，∴该双曲线是黄金双曲线，②正确；对于③，∵∠F1B1A2=90°，∴+=，∴b2+c2+b2+a2=（a+c）2，化为c2﹣ac﹣a2=0，由②知该双曲线是黄金双曲线，③正确；对于④，如图所示，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，∴NF2=OF2，∴=c，∴b2=ac，由②知该双曲线是黄金双曲线，④正确；综上，正确命题序号是②③④．故答案为：②③④．三、解答题17．（10分）（2009•天心区校级模拟）已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．【解答】解：设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，则圆心到直线y=x的距离d==|t|，由勾股定理及垂径定理得：（）2=r2﹣d2，即9t2﹣2t2=7，解得：t=±1，∴圆心坐标为（3，1），半径为3；圆心坐标为（﹣3，﹣1），半径为3，则（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．18．（12分）（2017春•雨城区校级月考）已知方程（m2﹣2m﹣3）x+（2m2+m﹣1）y+6﹣2m=0（m∈R）．（1）求该方程表示一条直线的条件；（2）当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；（3）已知方程表示的直线l在x轴上的截距为﹣3，求实数m的值；（4）若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值．【解答】解：（1）当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2﹣2m﹣3=0，解得m=﹣1，m=3；令2m2+m﹣1=0，解得m=﹣1，m=．∴方程表示一条直线的条件是：m∈R，且m≠﹣1．（2）由（1）易知，当m=时，方程表示的直线的斜率不存在，此时的方程为：x=，它表示一条垂直于x轴的直线．（3）依题意，有=﹣3，∴3m2﹣4m﹣15=0，∴m=3或m=﹣，由（1）易知，所求m=﹣；（4）∵直线l的倾斜角是45°，∴其斜率为1，∴﹣=1，解得m=或m=﹣1（舍去）．∴直线l的倾斜角是45°时，m=．19．（12分）（2016秋•沭阳县期中）某校举行“青少年禁毒”知识竞赛网上答题，高二年级共有500名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计．请你解答下列问题：（1）根据下面的频率分布表和频率分布直方图，求出a+d和b+c的值；（2）若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人？【解答】解：（1）由题意，a=38，d=1，a+d=39，c=0.3，b=0.03，b+c=0.33（每个值（4分），共8分）（2）由（1）知学生成绩在[90，100]之间的频率为0.3，故可估计所有参赛学生中能获奖的人数约为500×0.3=150人…（14分）20．（12分）（2016•安庆模拟）为贯彻落实教育部6部门《关于加快发展青少年校园足球的实施意见》，全面提高我市中学生的体质健康水平，培养拼搏意识和团队精神，普及足球知识和技能，市教体局决定举行春季校园足球联赛．为迎接此次联赛，甲中学选拔了20名学生组成集训队，现统计了这20名学生的身高，记录入如表：（设ξ为随机变量）（1）请计算这20名学生的身高的中位数、众数，并补充完成下面的茎叶图；（2）身高为185cm和188cm的四名学生分别记为A，B，C，D，现从这四名学生选2名担任正副门将，请利用列举法列出所有可能情况，并求学生A入选门将的概率．【解答】解：（1）由20名学生的身高统计表，得到这20名学生的身高的中位数为177cm，众数为178cm，茎叶图为：（2）正副门将的所有可能情况为：（A，B），（B，A），（A，C），（C，A），（A，D），（D，A），（B，C），（C，B），（B，D），（D，B），（C，D），（D，C），共12种，其中，学生A入选正门奖的（A，B），（A，C），（A，D）3种可能，∴学生A入选正门将的概率为．21．（12分）（2016秋•南郑县校级期末）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O是坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．【解答】解：（1）设F（c，0），由条件知，得，又，∴a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程为：；（2）当l⊥x轴时，不合题意，故设l：y=kx﹣2，p（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，，．从而．又点O到直线PQ的距离．∴△OPQ的面积为，设，则，当且仅当，即t=2时取“=”．∴，即时等号成立，且满足△＞0，∴当△OPQ的面积最大时，l的方程为或．22．（12分）（2017春•雨城区校级月考）已知椭圆C中心在原点，离心率，其右焦点是圆E：（x﹣1）2+y2=1的圆心．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C上且位于y轴左侧的一点P作圆E的两条切线，分别交y 轴于点M、N．试推断是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设椭圆方程=1（a＞b＞0），半焦距为c，因为椭圆的右焦点是圆E的圆心，则c=1，因为椭圆的离心率为，则，即a=，从而b2=a2﹣c2=1，故椭圆C的方程为．（2）设点P（x0，y0）（x0＜0），M（0，m），N（0，n），则直线PM的方程为y=，即（y0﹣m）x﹣x0y+mx0=0，因为圆心E（1，0）到直线PM的距离为1，即=1，即（y0﹣m）2+=（y0﹣m）2+2x0m（y0﹣m）+，即（x0﹣2）m2+2y0m ﹣x0=0，同理（x0﹣2）n2+2y0n﹣x0=0．由此可知，m，n为方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0=0的两个实根，所以m+n=﹣，mn=﹣，|MN|=|m﹣n|===．因为点P（x0，y0）在椭圆C上，则，即，则|MN|===，令=，则（x0﹣2）2=9，因为x0＜0，则x0=﹣1，=1﹣=，即，故存在点P（﹣1，）满足题设条件．参与本试卷答题和审题的老师有：ywg2058；沂蒙松；minqi5；whgcn；wdnah；刘长柏；铭灏2016；qiss；lcb001；wubh2011；zlzhan；陈远才；742048；sllwyn；wfy814；sxs123（排名不分先后）huwen2017年4月12日。
四川省雅安中学高二数学下学期期中考试 理
数 学 试 题（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第2至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一 选择题（每小题5分，共60分）1．已知命题P ：∃n ∈N ，2n＞1000，则⌝p 为（ ）（A ）∀n ∈N ，2n ≤1000 （B ）∀n ∈N ，2n＞1000 （C ）∃n ∈N ，2n≤1000 （D ）∃n ∈N ，2n＜1000 2.若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3.设0a b <<，则下列不等式中正确的是 （ ）（A ） 2a b a b ab +<<<（B ）2a ba ab b +<<< （c ）2a b a ab b +<<<2a bab a b +<<<4.不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（ ） （A ）[-5,7] （B ）[-4,6]（C ）(-∞,-5]∪[7，+∞) （D ）(-∞，-4]∪[6,+∞) ５.执行右面的程序框图，如果输入的N 是6， 那么输出的p 是（ ） （A ）120 （B ）360 （C ）720（D ）50405题图６.若函数y=f(x)的定义域是[0，1]，则f(x+a)+f(2x+a)(0＜a ＜1)的定义域是（ ）A . [-a,1-a] B. [-a,21a - ] C . ]1,2[a a -- D ]21,2[aa -- ７．下列各式中，最小值等于2的是（ ）A ．x y y x +B ．4522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+８．若,x y R ∈且满足32x y +=，则3271xy++的最小值是（ ）A ．339B ．122+C ．6D ．79．阅读右边的程序框图，若输出s 的值为-7，则判断框内可填写 ( )(A)i ＜3? （B ）i ＜4? （C ）i ＜5? （D ）i ＜6?10．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是（ ） （A ）所有不能被2整除的整数都是偶数 （B ）所有能被2整除的整数都不是偶数 （C ）存在一个不能被2整除的整数是偶数（D ）存在一个不能被2整除的整数不是偶数 9题图11．设,a b c n N >>∈，且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．612.已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．92 D ．112第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题４分） 13．设1010101111112212221A =++++++-，则A 与1的大小关系是__A ＜1__________。
四川省雅安中学1617学年度高二下学期半期考试——数学
四川省雅安中学2016—2017学年度下学期半期考高二数学文试题一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知质点运动的方程为s=4+10t+5t2，则该质点在t=4时的瞬时速度为（）A．60 B．120 C．80 D．502．已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪（∁R Q）=（）A．B．（﹣2，3] C．∪，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪{1} B．（﹣∞，﹣2]∪C．8．若|z﹣1|=|z+1|，则复数z对应的点在（）A．实轴上B．虚轴上C．第一象限D．第二象限9．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能（）A． BC．D．10．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）A．若k2的观测值为k=6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D．以上三种说法都不正确11．已知函数，则f（2+log23）的值为（）A．B．C．D．12．已知y=f （x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f （x）=ln x﹣ax （a＞），当x∈（﹣2，0）时，f （x）的最小值为1，则a的值等于（）A．B．C．D．1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定是：．14．函数f（x）=log2（3x+1）的值域为．15. 已知f（lgx）的定义域是，则的定义域是＿＿＿＿。
16．下列5个判断：①若f（x）=x2﹣2ax在时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围..21．（12分）已知定义在上的单调函数f（x）满足，且对于任意的x∈都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证：f（x）为奇函数；（2）试求使f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0成立的m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．参考答案：一．DBBAAC ABDCAD二．13∀x∈R，x2+x+1≠0．14．（0，+∞）15．16。
四川省雅安中学高二数学下学期期中试题 理
雅安中学2017—2018学年下期期中考试高二年级数学试题（理科）（本试卷满分150分，答题时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上,并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合},1{2a A =，}4,2{=B ，则“2=a ”是“A B ⋂=}4{”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 复数=-+ii11 A ．i -B ．iC ．1D ．1-3. 已知向量），（01,1=，)2,0,1(-=，且k ＋与-2互相垂直，则k 值是 A ．1B ．51C ．53 D ．57 4.在等比数列{}n a 中， 37,a a 是函数()3214913f x x x x =++-的极值点，则5a = A ．3±B ． -3C ．3D ．45.正方体1111A B CD ABC D -中,1DA 与平面11C CA 所成角的正弦值为A ．12B D 6.若函数x kx x f ln )(-=在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是 A ．]2,(--∞B ．)1,(--∞C ．),1(+∞D ．[)1,+∞7.若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值,则a =A ．1B ．2C ．3D ．-38. 棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AA 1中点，则点B 1到平面BCE 的距离是9.已知函数)()(23R x c x ax x x f ∈+-+=，下列结论错误的是 A.函数)(x f 一定存在极大值和极小值B.若函数)(x f 在),(),,(21+∞-∞x x 上是增函数，则33212≥-x xC.函数)(x f 的值域是RD.函数)(x f 一定存在三个零点 10. 如图， AB 是O 的直径， PA 垂直于O 所在平面， C 是圆周上不同于,A B两点的一点，且2AB =，PA BC ==A BC P --的大小为11. 直线l 的方程为Ax ＋By ＝0，若从1,2,3,6,7,8这六个数字中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则表示不同直线l 的条数是 12. 定义在R 上的函数()f x 与其导函数()f x '满足()()1xf x f x e ->'+，则下列不等式一定成立的是A ． 552 B ．45 C ．22 D ． 1A ．30︒ C ．60︒B ．45︒ D ．90︒A ．36条B ．30条C ．26条D ．15条A ．()()01f e ef +< B.()()01f e ef +> C ．()()01f e f +< D ．()()01f e f +>二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.长方体1111ABCD A B C D -中， 12AA AB ==， 1AD =，点E 、F 、 G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角为 .14.用红、黄、蓝三种不同的颜色涂33⨯方格，使得每行没有相同颜色且每列也没有相同颜色的涂法种数是_______（用数字作答）. 15.函数xex x f 1ln )(+=的单调递增区间是_________. 16.若函数1ln 21)(2+-=x x x f 在其定义域内的一个区间)1,1(+-k k 上不是单调函数，则实数k 的取值范围是__________．三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(10分)若复数z 满足)2(z i z -=， （1）求复数z ;（2）求|2|i z +-18．(12分) 已知函数3()f x ax bx c =++的图像关于原点对称,且过点(1,1),(2,26). (1)求()f x 的解析式; (2)函数()f x 的单调区间;(3)求函数()f x 在]1,1[-上的最小值.19．(12分) 已知矩形ABCD ，22AD AB ==，点E 是AD的中点，将DEC ∆沿CE 折起到D EC '∆的位置，使二面角D EC B '--是直二面角.（1）证明：BE CD '⊥；（2）求二面角D BC E '--的余弦值.20．(12分).在四棱锥ABCD P -中，ABP ∆是等边三角形，底面ABCD 是直角梯形，BC AD AD AB //,⊥，E 是线段AB 的中点，⊥PE 底面ABCD ，已知22===BC AB DA .（1）求AP 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）试在平面PCD 上找一点M ，使得⊥EM 平面PCD .21．(12分)已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行． （1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()22f x m x x +=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围.22．（12分）设函数()1e x f x -=-． （1）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求实数a 的取值范围雅安中学2017—2018学年下期期中考试高二年级数学试题参考答案（理科）一、选择题二、填空题13、90； 14、12； 15、),1(+∞； 16、)23,1[. 三、解答题17、（1）i +1； （2）5. 18、（1）x x x f 34)(3-=；（2）在),21(),21,(+∞--∞上递增，在)21,21(-上递减； （3）最小值1)21()1()(-==-=f f x f . 19、（1）∵22AD AB ==，E 是AD 的中点，∴BAE ∆，CDE ∆是等腰直角三角形， ∴90BEC ∠=，即BE EC ⊥， 又∵平面D EC '⊥平面BEC ，平面D EC '平面BEC EC =，∴BE ⊥平面D EC '，∴BE CD '⊥；（2）如图，以EB ，EC 为x 轴、y 轴，过点E 且垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B ，C ，(0,22D '， 易知平面BEC 的一个法向量为1(0,0,1)n =； 设平面D BC '的一个法向量为2222(,,)n x y z =，由(BC =，(0,22D C '=-，求得2(1,1,1)n =，∴1212123cos ,3||||n n n n nn ⋅<>==，∴二面角D BC E '--. 20、（1）因为⊥PE 底面ABCD ，过E 作BC ES //，则AB ES ⊥，以EB 、EP ES 、分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则)0,0,0(E ，)0,0,1(B ，)0,1,1(C ，)0,0,1(-A ，)0,2,1(-D ，)3,0,0(P ，),3,1,1(),0,1,2(-=-=∴求得平面PCD 的法向量为)3,2,1(=，而)3,0,1(=∴，22|48301||,cos |=⋅++=><∴ ∴AP 与平面PCD 所成角的正弦值为22（2）设M （x ，y ，z ），由⊥EM 平面PCD 知m EM //，)3,2,(λλλλ==∴，)3,2,(λλλM ∴,)3,12,1(λλλ--=∴,又),3,1,1(),0,1,2(--=-=CM CP CD 、、共面， ∴存在唯一实数b a 、使得b a +=，而)3,,2(b b a b a b a ---=+，⎪⎩⎪⎨⎧=-=---=-∴bb a ba 331221λλλ，解得83=λ，)833,86,83(M ∴符合题意.21、（1）()1'f x a x=- ∵函数在2x =处的切线与直线230xy +-=平行 ∴1122k a =-=-，解得： 1a =；（2）由（1）得()ln f x x x =-，∴()22f x m x x +=-，即23ln 0x x x m -++=设()23ln (0)h x x x x m x =-++>，则()()()22111231'23x x x x h x x x x x---+=-+== 列表得：∴当时， ()h x 的极小值为()12h m =-，又()15ln2,22ln224h m h m ⎛⎫=--=-+⎪⎝⎭∵方程()22f x m x x +=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≥0)2(0)1(0)21(h h h ,解得： 5ln224m +≤<；22、（1）证明：注意到1x >-时，10x +>， 于是有()1x f x x ≥+，即11e 1e e e 1111x x x x x x x x x x ----≥⇔-≥⇔≥⇔≥++++. 令()()e 1x g x x =-+，()1x ∈-+∞，．()e 1x g x '=-，令()0g x '=，得0x =． 当x 变化时，()()g x g x '，的变化情况如下表：可见()g x 在(]10-，上单调递减，在[)0 +∞，上单调递增，所以当1x >-时， ()()0min 0e 100g g ==-+=，故当1x >-时，()()00g x g ≥=，即e 1x x ≥+，从而()1xf x x ≥+，且当且仅当0x =时等号成立． （2）解：由0x ≥时，011x xe ax -≥-≤+恒成立，故0a ≥. 设()+e 11x xh x ax -=-+，[)0 x ∈+∞，， 则()()()2211ee11xxax axh x ax ax --+-'=-=-++()()22e e 11xx ax ax -⎡⎤=-+⎣⎦+． 设()()2e 1x k x ax =-+，[)0 x ∈+∞，， 则()()2e 21e 22x x k x a ax a x a '=-+=--.()012k a '=- 当120a -≥，即102a ≤≤时，()22x k x e a ''=-，0x ≥时，1x e ≥，2122a ≤，故()0k x ''≥.所以()k x '单调递增，()()00k x k ''≥=，故()k x 单调递增，()()00k x k ≥=恒成立，符合题意.当120a -<，即12a >时，存在0δ>，()0,x δ∈时，()0k x '<，()k x 单调递减， ()()00k x k <=，与()0k x ≥恒成立矛盾.综合上述得实数a 的取值范围是10 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。
四川省雅安中学高二4月月考数学(理)试题
雅安中学2015—2016学年高二下期4月月考数学试题（理科）（命题人： 审题人：）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题：60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
）1．若0()3f x '=-，则000()()lim h f x h f x h h→+--=（ ）A ．12-B ．9-C ．6-D ．3-2．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则a =（ ）A ．1-B ．21-C ．21D ．13．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )． A.1010 B. 21510 C.3010 D. 310104．由直线x y e x y 2,,0===及曲线xy 2=所围成的封闭的图形的面积为( ) A ．3 B ．2ln 23+ C ．322-e D ．e5．已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式()()2230xx f x '-->的解集为（ ）A ．()(),21,-∞-+∞错误！未找到引用源。
B ． ()(),21,2-∞-错误！未找到引用源。
C ．()()(),11,02,-∞--+∞错误！未找到引用源。
D ．()()(),11,13,-∞--+∞6．设点P 是曲线5333+-=x x y 上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0π B.⎥⎦⎤⎝⎛32,2ππC. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,322,0 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,3ππ7．已知函数32()23f x x ax x =-+--在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A．3(,[,)-∞+∞B ．[,22-C ．3(,(,)-∞+∞D ．(8．已知函数32()247f x x x x =---，其导函数为)(x f '，判断下列选项正确的是（ ）A.)(x f 的单调减区间是2,23⎛⎫⎪⎝⎭B.)(x f 的极小值是15-；C.当2>a 时，对任意的2>x 且a x ≠，恒有()()()()f x f a f a x a '<+-D.函数)(x f 有且只有两个零点．9．定积分4)4x dx π+⎰的值为（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．2错误！未找到引用源。
2016-2017学年四川省雅安市高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2016-2017学年四川省雅安市高二下学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．若i 是虚数单位，则复数11ii+=-（ ） A. -1 B. 1 C. i - D. i【答案】D【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+， 本题选择D 选项.2．数列{}n a 共有9项，若9项中有三项值为3，其余六项值为6，则这样的数列共有（ ）A. 35个B. 56个C. 84个D. 504个 【答案】C【解析】根据题意,在数列{a n }的9项中,任选3项,安排3个3,有3984C =种情况，剩余的六项安排6个6，有1种情况， 则这样的数列共有84×1=84个； 本题选择C 选项.3．已知命题:p x R ∃∈， 220x ax a ++≤，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1B. (]0,1C. ()(),01,-∞⋃+∞D. ][(),01,-∞⋃+∞ 【答案】A【解析】P 为假,知“不存在x ∈R ,使x 2+2ax +a ⩽0”为真， 即“∀x ∈R ,x 2+2ax +a >0”为真， ∴△=4a 2−4a <0⇒0<a <1. 本题选择A 选项.4．若函数()3236f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】D【解析】对函数()3236f x x ax x =++-求导可得， ()2323f x x ax =++'，∵()3236f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，所以()30 5.f a -=∴='本题选择D 选项.5．函数()31443f x x x =-+-在[]0,3上的最大值为（ ） A. -4 B. -4 C. 43D. 2【答案】C【解析】函数()31443f x x x =-+-的导数为f ′(x )=−x 2+4， 由f ′(x )=0,可得x =2(−2舍去)，由()()()8424,04,3133f f f =-==-=-， 可得f (x )在[0,3]上的最大值为43.本题选择C 选项.点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 6．函数22ln y x x =-的单调增区间为（ ）A. ()(),10,1-∞-⋃B. ()1,+∞C. ()()1,01,-⋃+∞D. ()0,1 【答案】B【解析】函数y =x 2−2lnx 的定义域为(0,+∞)， 求函数y =x 2−2lnx 的导数,得, 2'2y x x=-,令y ′>0,解得x <−1(舍)或x >1， ∴函数y =x 2−2lnx 的单调增区间为(1,+∞) 本题选择B 选项.7．221x dx -=⎰（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】223211111|813333x dx x --==⨯+⨯=⎰， 本题选择C 选项.点睛：定积分的计算：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()aaf x -⎰＝0.8．如果3nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（ ） A. 21 B. 14 C. -14 D. -21 【答案】A【解析】令x =1得展开式的各项系数之和2n ， ∴2n =128，解得n =7. ∴展开式的通项为()5773713r rrr C x---⋅令5733r --=- ，解得r =6. 所以展开式中31x的系数是67321C =. 本题选择A 选项.9．学校要安排6名实习老师到3个不同班级实习，每班需要2名实习老师，则甲，乙两名老师在同一个班且丙、丁两名老师不在同一个班的概率为（ ） A.245 B. 115 C. 215 D. 45【答案】C【解析】学校要安排6名实习老师到3个不同班级实习，每班需要2名实习老师，基本事件总数222364233390C C C n A A =⋅=， 甲、乙两名老师在同一个班且丙、丁两名老师不在同一个班包含的基本事件个数21123222232212C C C C m A A =⋅=， ∴甲、乙两名老师在同一个班且丙、丁两名老师不在同一个班的概率1229015m p n ===. 本题选择C 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.10．通过随机询问72名不同性别的学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++则根据以上数据：A. 能够以99.5%的把握认为性别与读营养说明之间无关系；B. 能够以99.9%的把握认为性别与读营养说明之间无关系；C. 能够以99.5%的把握认为性别与读营养说明之间有关系；D. 能够以99.9%的把握认为性别与读营养说明之间有关系； 【答案】C 【解析】()22721682028=8.427.87944283636K ⨯⨯-⨯≈⨯⨯⨯＞∴性别和读营养说明之间有99.5%的可能性. 本题选择C 选项.11．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中， ,E F 分别是1CC 、11A D 中点， ,M N 分别为线段,CD AD 上的动点，若EN FM ⊥，则线段MN 长度的最小值是（ ）A.5 B. 2C. D. 1【答案】A【解析】以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则E (0,2,1),F (1,0,2)，设M (0,y ,0),N (x ,0,0),x ∈[0,2),y ∈[0,2]，则EN =(x ,−2,−1), FM=(−1,y ,−2)， MN=(x ,−y ,0)，∵EN ⊥FM ,∴EN FM ⋅=−x −2y +2=0，∴x =2−2y ，∴MN ==∴当45y =时，线段MN 5=. 本题选择A 选项.12．若存在两个正实数,m n ，使得等式()()ln ln 423a n m em n m --=成立（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ） A. (),0-∞ B. 30,2e ⎛⎤⎥⎝⎦ C. 3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. ()3,0,2e⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由3m +a (2n −4em )(lnn −lnm )=0，得()3220nm a n e ml n m+-=，即()3220na n m e l n m+-=，即设n t m =，则t >0，则条件等价为3+2a (t −2e )lnt =0，即()322t e lnt a-=-有解，设g (t )=(t −2e )lnt ，g ′(t )=lnt +1−2et 为增函数，∵g ′(e )=lne +1−2ee =1+1−2=0，∴当t >e 时,g ′(t )>0，当0<t <e 时,g ′(t )<0，即当t =e 时,函数g (t )取得极小值为：g (e )=(e −2e )lne =−e ，即g (t )⩾g (e )=−e ， 若()322t e lnt a -=-有解，则32e a --…,即32e a…， 则a <0或a ⩾32e ，故实数a 的取值范围是(−∞,0)∪[32e,+∞). 本题选择D 选项.二、填空题13．((6611+的展开式中x 的系数为__________．【答案】-6;【解析】((()666111x =- ,故展开式中x 的系数展开式中x 的系数为()1616C ⋅-=-.14．曲线()2ln 1y x x =+在点()1,1处的切线方程是__________． 【答案】320x y --= ;【解析】求导函数，可得y ′=2lnx +3 当x =1时，y ′=3∴曲线y =x (2lnx +1)在点(1,1)处的切线方程为y −1=3(x −1)，即y =3x −2,即3x −y −2=0.点睛：(1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P 的切线与在点P 处的切线的差异．(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算．15．在正方体1111ABCD A BC D -中，O 为上底面1111A B C D 的中心，则AO 与1B C 所成角的余弦值为：__________．【解析】以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2， 则A (2,0,0),O (1,1,2),B 1(2,2,2),C (0,2,0)，()()11,1,2,2,0,2AO B C =-=--，设AO 与B 1C 所成角为θ，则116AO B C cos AO B Cθ⋅===⋅ . ∴AO 与B 1C三、解答题16．下列4个命题：①“若,,a G b 成等比数列，则2G ab =”的逆命题；②“如果260x x +-≥，则2x >”的否命题；③在ABC ∆中，“若A B >”则“sin sin A B >”的逆否命题；④当0απ≤≤时，若()288sin cos20x x αα-+≥对x R ∀∈恒成立，则α的取值范围是06πα≤≤.其中真命题的序号是__________． 【答案】②，③【解析】①“若a 、G 、b 成等比数列,则G 2=ab ”的逆命题为“若G 2=ab ，则a 、G 、b 成等比数列”，不正确，比如a =G =b =0，则a 、G 、b 不成等比数列，故①错；②“如果x 2+x −6⩾0,则x >2”的否命题为“②“如果x 2+x −6<0，则x ⩽2”的否命题”， 由x 2+x −6<0，可得−3<x <2，推得x ⩽2，故②对；③在△ABC 中,“若A >B ”⇔“a >b ”⇔“2RsinA >2RsinB ”⇔“sinA >sinB ”(R 为外接圆的半径)则其逆否命题正确，故③对；④当0⩽α⩽π时,若8x 2−(8sinα)x +cos 2α⩾0对∀x ∈R 恒成立,即有△=64sin 2α−32cos 2α⩽0， 即有1−2cos 2α⩽0,即为cos 2α⩾12,可得5022233ππααπ或剟剟， 解得5066ππααπ或剟剟，故④错。
2016-2017年四川省雅安中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年四川省雅安中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若a∈R，i为虚数单位，则“a＝1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）A．充要条件B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．既非充分又非必要条件2．（5分）设复数z满足•z＝1，则|z|＝（）A．1B．5C．D．23．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（）A．a＜0或a＞1B．a≤0或a≥1C．0≤a≤1D．0＜a＜1 4．（5分）若4个人报名参加3项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（）A．A B．C C．34D．435．（5分），都为向量，则下列式子正确的是（）A．•||＝2B．（•）2＝2•2C．（•）＝（•）D．|•|≤||||6．（5分）已知，，，分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系式（）A．平行B．垂直C．所成的二面角为锐角D．所成的二面角为钝角7．（5分）已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）A．B．C．D．8．（5分）设O﹣ABC是正三棱锥，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若，则＝x+y+z，则（x，y，z）为（）A．（，，）B．（，，）C．（，，）D．（，，）9．（5分）若函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b），若f′（x0）＝4，则的值为（）A．2B．4C．8D．1210．（5分）已知函数f（x）在R上可导，且f（x）＝x2+2xf′（2），则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝x2+8x B．f（x）＝x2﹣8x C．f（x）＝x2+2x D．f（x）＝x2﹣2x 11．（5分）已知函数f（x）＝sin x﹣x，x∈R，则f（）、f（1）、f（）的大小关系（）A．f（）＞f（1）＞f（）B．f（）＞f（1）＞f（）C．f（1）＞f（）＞f（）D．f（）＞f（）＞f（1）12．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx＝0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）＝sin x，g（x）＝cos x；②f（x）＝x+1，g（x）＝x﹣1；③f（x）＝x，g（x）＝x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若复数z＝，则等于．14．（5分）如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有种．（填数字）15．（5分）已知函数f（x）＝ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a＝．16．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示．下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y＝f（x）﹣a有4个零点．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，除第17题10分外，其余各题均为12分，共70分）17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，命题q：实数x满足，（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必须在排头；（2）甲、乙相邻；（3）甲不在排头，并且乙不在排尾；（4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是长方形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝AD＝1，DC＝2，过D作DF⊥PB于F，过F作FE⊥PB交PC于E．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面DEF与平面ABCD所成二面角的余弦值．20．（12分）已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，△DAE为等腰等腰三角形，DA⊥AE，四边形AEFB为梯形，且AE∥BF，∠ABF＝90°，AB＝BF＝2AE＝2．（1）若G为线段DF的中点，求证：EG∥平面ABCD；（2）线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于？若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝ax3+x2（a∈R）在x＝处取得极值．（Ⅰ）确定a的值；（Ⅱ）若g（x）＝f（x）e x，讨论g（x）的单调性．22．（12分）设函数f（x）＝lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）当a＝时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）＝x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．2016-2017学年四川省雅安中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若a∈R，i为虚数单位，则“a＝1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）A．充要条件B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：若复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数，则，得a＝1或a＝﹣2，即“a＝1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的充分不必要条件，故选：C．2．（5分）设复数z满足•z＝1，则|z|＝（）A．1B．5C．D．2【解答】解：由题意，得，则；故选：C．3．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（）A．a＜0或a＞1B．a≤0或a≥1C．0≤a≤1D．0＜a＜1【解答】解：命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0的否定为：命题￢p：∀x∈R，x2+2ax+a＞0，∵命题p为假命题，∴命题￢p为真命题，即x2+2ax+a＞0恒成立，∴△＝4a2﹣4a＜0，解得0＜a＜1，故选：D．4．（5分）若4个人报名参加3项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（）A．A B．C C．34D．43【解答】解：根据题意，4个人报名参加3项体育比赛，每个人限报一项，则每人都有3项体育比赛可选，即每人都有3种情况，则不同的报名方法的种数有3×3×3×3＝34种；故选：C．5．（5分），都为向量，则下列式子正确的是（）A．•||＝2B．（•）2＝2•2C．（•）＝（•）D．|•|≤||||【解答】解：A.•||是向量，2是常数，方程不成立，B．（•）2＝2•2．cos2＜，＞，则当两个向量不共线时，方程不成立，C．（•）与共线，（•）与共线，则方程不成立，D．|•|＝||•|||cos＜，＞|≤||||，故D正确故选：D．6．（5分）已知，，，分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系式（）A．平行B．垂直C．所成的二面角为锐角D．所成的二面角为钝角【解答】解：∵，，∴•＝﹣12﹣8+20＝0∵，分别是平面α，β的法向量，∴平面α与β的法向量垂直，∴可得平面α与β互相垂直．故选：B．7．（5分）已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2）∴与不平行，又∵、、三向量共面，则存在实数X，Y使＝X+Y即解得λ＝故选：D．8．（5分）设O﹣ABC是正三棱锥，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若，则＝x+y+z，则（x，y，z）为（）A．（，，）B．（，，）C．（，，）D．（，，）【解答】解：由G是OG1上一点，且OG＝3GG1，可得又因为G1是△ABC的重心，所以∴＝而，所以，所以，故选：A．9．（5分）若函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b），若f′（x0）＝4，则的值为（））＝8，【解答】解：＝2＝2f′（x故选：C．10．（5分）已知函数f（x）在R上可导，且f（x）＝x2+2xf′（2），则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝x2+8x B．f（x）＝x2﹣8x C．f（x）＝x2+2x D．f（x）＝x2﹣2x 【解答】解：∵f（x）＝x2+2xf′（2），∴f′（x）＝2x+2f′（2）∴f′（2）＝2×2+2f′（2），解得：f′（2）＝﹣4∴f（x）＝x2﹣8x，故选：B．11．（5分）已知函数f（x）＝sin x﹣x，x∈R，则f（）、f（1）、f（）的大小关系（）A．f（）＞f（1）＞f（）B．f（）＞f（1）＞f（）C．f（1）＞f（）＞f（）D．f（）＞f（）＞f（1）【解答】解：∵f（x）＝sin x﹣x∴f′（x）＝cos x﹣1≤0，故函数f（x）在R是单调减函数，又﹣＜1＜，∴f（）＞f（1）＞f（）故选：A．12．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx＝0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）＝sin x，g（x）＝cos x；②f（x）＝x+1，g（x）＝x﹣1；③f（x）＝x，g（x）＝x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）【解答】解：对于①：[sin x•cos x]dx＝（sin x）dx＝﹣cos x＝0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx＝（x2﹣1）dx＝（）≠0，∴f （x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx＝（）＝0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若复数z＝，则等于i．【解答】解：∵z＝＝，∴．故答案为：i．14．（5分）如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有320种．（填数字）【解答】解：对涂色区域编号，如图：分别用2色、就是1一色，2、3、4同色，涂色方法为：C52A22＝20；涂3色时，2、3同色，2、4同色，3、4同色，涂色方法是3C53A33＝180；涂4色时涂色方法是A54＝120，所以涂色方案有：20+180+120＝320；故答案为：320．15．（5分）已知函数f（x）＝ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a＝1．【解答】解：函数f（x）＝ax3+x+1的导数为：f′（x）＝3ax2+1，f′（1）＝3a+1，而f（1）＝a+2，切线方程为：y﹣a﹣2＝（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2＝（3a+1）（2﹣1），解得a＝1．故答案为：1．16．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示．下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y＝f（x）﹣a有4个零点．其中正确命题的序号是①②．【解答】由导函数的图象可知：当x∈（﹣1，0），（2，4）时，f′（x）＞0，函数f（x）增区间为（﹣1，0），（2，4）；当x∈（0，2），（4，5）时，f′（x）＜0，函数f（x）减区间为（0，2），（4，5）．由此可知函数f（x）的极大值点为0，4，命题①正确；∵函数在x＝0，2处有意义，∴函数f（x）在[0，2]上是减函数，命题②正确；当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5，命题③不正确；2是函数的极小值点，若f（2）＞1，则函数y＝f（x）﹣a不一定有4个零点，命题④不正确．∴正确命题的序号是①②．故答案为：①②．三、解答题（本大题共6小题，除第17题10分外，其余各题均为12分，共70分）17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，命题q：实数x满足，（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，当a＝1时，解得1＜x＜3，即p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜3，…（1分）由，得2＜x≤3，即q为真时，实数x的取值范围是2＜x≤3，…（3分）若p∧q为真，则p真且q真，…（4分）∴实数x的取值范围是（2，3）．…（5分）（2）p是q的必要不充分条件，即q⇒p，且p推不出q，设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则A⊉B，…（7分）又B＝（2，3]，当a＞0时，A＝（a，3a）；a＜0时，A＝（3a，a），∴当a＞0时，有，解得1＜a≤2；…（9分）当a＜0时，A∩B＝∅，不合题意；∴实数a的取值范围是（1，2]．…（10分）18．（12分）五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必须在排头；（2）甲、乙相邻；（3）甲不在排头，并且乙不在排尾；（4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻．【解答】解：（1）特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排“排头”不动，再排其它4个位置，所以共有：＝24种，（2）把甲、乙看成一个人来排有＝2种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法种数为＝48种；（3）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：﹣2+＝78种；（4）先将其余3个全排列＝6种，再将甲、乙插入4个空位＝6种，所以，一共有6×6＝36种不同排法．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是长方形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝AD＝1，DC＝2，过D作DF⊥PB于F，过F作FE⊥PB交PC于E．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面DEF与平面ABCD所成二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE．…（2分）又因为DF⊥PB，FE⊥PB所以PB⊥平面DEF．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．…（4分）又BC⊥DE，PB∩BC＝B，所以DE⊥平面PBC．…（6分）（Ⅱ）如图2，以点D原点，分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），P（0，0，1）由DF⊥PB，FE⊥PB得PB⊥面DEF，∴是面DEF的法向量，又因为面ABCD的法向量为，利用向量的夹角公式可得cos＝﹣，∴平面DEF与平面ABCD所成二面角的余弦值20．（12分）已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，△DAE为等腰等腰三角形，DA⊥AE，四边形AEFB为梯形，且AE∥BF，∠ABF＝90°，AB＝BF＝2AE＝2．（1）若G为线段DF的中点，求证：EG∥平面ABCD；（2）线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于？若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：因为DA⊥AE，DA⊥AB，AB∩AE＝A，故DA⊥平面ABFE，故CB⊥平面ABFE，以B为原点，BA，BF，BC分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则F（0，2，0），D（2，0，1），，E（2，1，0），C（0，0，1），所以，易知平面ABCD的一个法向量，所以，所以，又EG⊄平面ABCD，所以EG∥平面ABCD．（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：直线BN与平面FCD所成角的余弦值为，即直线BN与平面FCD所成角的正弦值为，因为，设平面FCD的法向量为，由，得，取y1＝1得平面FCD的一个法向量假设线段FD上存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于，设，则，，所以，所以9λ2﹣8λ﹣1＝0，解得λ＝1或（舍去）因此，线段DF上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值为．21．（12分）已知函数f（x）＝ax3+x2（a∈R）在x＝处取得极值．（Ⅰ）确定a的值；（Ⅱ）若g（x）＝f（x）e x，讨论g（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）对f（x）求导得f′（x）＝3ax2+2x．∵f（x）＝ax3+x2（a∈R）在x＝处取得极值，∴f′（﹣）＝0，∴3a•+2•（﹣）＝0，∴a＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）＝（x3+x2）e x，∴g′（x）＝（x2+2x）e x+（x3+x2）e x＝x（x+1）（x+4）e x，令g′（x）＝0，解得x＝0，x＝﹣1或x＝﹣4，当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数．22．（12分）设函数f（x）＝lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）当a＝时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）＝x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（2分）（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x﹣1，∴f（1）＝﹣2，，∴f′（1）＝0，∴f（x）在x＝1处的切线方程为y＝﹣2（5分）（Ⅱ）＝（6分）令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2故当时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）．（8分）（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）＝（9分）若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值（*）（10分）又，x∈[0，1]①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，与（*）矛盾②当0≤b≤1时，，由及0≤b≤1得，③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，，此时b＞1（11分）综上，b的取值范围是（12分）。
四川省雅安中学高二下学期期中考试数学(理)试题
雅安中学2015--2016学年高二下期半期考试数学（理工类）（命题人：郑万勇 审题人：杨云）第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．函数f (x )在定义域⎪⎭⎫⎝⎛-3,23内的图象如图所示，记f (x )的导函数为f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( ) A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23∪2,3) D.⎥⎦⎤ ⎝⎛--31,23∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡3421，∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡334，2. 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0 3．复数z=31ii+-(其中i 为虚数单位）的虚部为( ) A. 1- B.i - C. 2i D .2 4.已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于（ )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 25. 函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)6. 已知函数f (x )＝a sin 2x －13sin 3x (a 为常数)在x ＝π3处取得极值，则a 的值为 ( )A ．1B ．0 C.12 D ．－127．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有( )A 6种B 18种C 24种D 36种 8．若函数f (x )，g (x )满足⎰=11-0)()(dx x g x f ，则称)(),(x g x f 为区间上的一组正交函数，给出三组函数：①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==.其中为区间上的正交函数的组数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．39．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是 （ ）A B C D10．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 ( )A ．2B. 3C. 2 D ．111．已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为（ ）A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称函数f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称函数f (x )在D 上为凸函数，以下四个函数在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上不是凸函数的是 ( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝－x e－x第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．32(1)(1)i i +-=______________. 14.函数y ＝x 2(x >0)的图象在点）（2,k k a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1+k a ，其中k ∈N *若1a ＝16，则531a a a ++的值是________．15.设函数()f x 是定义在(2,0)-上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有22()'()f x xf x x +>，则不等式2(2014)(2014)(1)0x f x f ++-->的解集为 16.下列命题：①若)(x f 存在导函数，则[]'=')2()2(x f x f ； ②若函数x x x h 44sin cos )(-=，则0)12(='πh ；③若函数)2016)(2015()3)(2)(1()(-----=x x x x x x g ，则2015)2016(='g !； ④若三次函数d cx bx ax x f +++=23)(，则“0=++c b a ”是“)(x f 有极值点”的充要条件．其中假命题为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分，每小题5分） （1）求函数2cos 1xxy +=的导数； （2）计算：310363534C C C C ++++18.（本小题满分12分） 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB ＝ 90°，且AC =1，AB =2，E 为BB 1的中点，M 为AC 上一点，AC AM 32=． （1）证明：CB 1∥平面A 1EM ； （2）若二面角C 1一A 1E-M 的余弦值为5，求AA 1的长度．20．（本小题满分12分）已知函数)(21)()(2R b x b bx x x f ∈-++=.(1) 当4=b 时，求)(x f 的极值；(2) 若)(x f 在区间），（310上单调递增，求b 的取值范围.21.（本小题满分12分）某地拟建一座长为640米的大桥AB ，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A 、B 造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x 米时（其中10064<<x ），中间每个桥墩的平均造价为x 380万元，桥面每1米长的平均造价为（6402xx +）万元. （1）试将桥的总造价表示为x 的函数)(x f ；（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间（两端桥墩A 、B 除外）应建多少个桥墩？22.（本小题满分12分）已知函数b a xabx x x f ,(ln )(--=常数）在1=x 处的切线垂直于y 轴． （1）求实数,a b 的关系式；（2）当1a =-时，函数)(x f y =与函数m x x g +-=2)(的图象有两个不同的公共点，求实数m 的取值范围；（3）数列{}n a 满足1111n n a a -=-+ （*n N ∈且2n ≥），112a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12n n S a nn a e +-⋅≥（*n N ∈,e 是自然对数的底）．雅安中学高2014级高二下期半期检测 数学（理工类）参考答案及评分标准一、选择题：CBDBA ABCCD BD二、填空题： 13. 1i --； 14. 21 ； 15. (2016,2015)-- ； 16. ①②④′＝f ′(2x )(2x )′＝2f ′(2x )，①错误；h ′(x )＝4cos 3x (－sin x )－4sin 3x cos x ＝－4sin x cos x ＝－2sin2x ，则h ′）（12π＝－1，②错；f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，Δ＝4b 2－12ac ＝4(b 2－3ac )，只需b 2－3ac >0即可，a ＋b ＋c ＝0是b 2－3ac >0的充分不必要条件，④错． 三、解答题17 .（1）解:32cos 2sin x x x x y ++-=' ……………5分（2）解：44310353444310363534C C C C C C C C C -++++=++++ =44310363545C C C C C -++++ =…=1411-C =329 ……………10分18 . 解 (1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22＝144(种)． ……………4分(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．……………8分(3)确定2个空盒有C 24种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法．故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84(种)．…………12分20 . 解（1）当b =2时，()()=x+2-x f x 2121-2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，()(())2'5222122221212x x f x x x x x x-+=+-+-=--…………2分 令()'0fx =，解得12x 2,0x =-=当1x 2x<2<-和0<时，()'0f x <，所以()f x 在()1,2,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,0上单调递减； 当12x<2-<时，()'0f x >，所以()f x 在12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；……………4分 所以，当x 2=-时，()f x 取得极小值(2)0f -=；当1x 2=时，()f x 取得极大值(0)4f =.……………6分（2）()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增⇔()'0,fx ≥且不恒等于0对x 10,3⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立 ()(()2'2212221212fx x b x x bx b x x=+-++-=--25320x bx x ∴--+≥……………………………………8分min253x b -⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭……………………………………10分1252513339x -⨯->=……………………………………11分 19b ∴≤……………………………………12分21. 解：（1）由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x 米，知中间共有（1640-x）个桥墩，于是桥的总造价10016403806402640)(+⎪⎭⎫⎝⎛-++=x x x x x f ）（，……………4分 即)(x f =1380380351200212123+-+-x x x （10064<<x ）.……………6分 （2）由（1）可知 21232134034064023)(---⨯-='x x x x f ， 整理得)80640809(61)(223⨯--='-x x x x f由0)(='x f ，解得9640,8021-==x x （舍），……………8分 又当)80,64(∈x 时，0)(<'x f ；当 )100,80(∈x 时，0)(>'x f ， 所以当=x 80，桥的总造价最低，此时桥墩数为180640-=7个.……………12分 22.解：（1）2'1)(xab x x f +-=，由0)1('=f ，得1+=a b .…………………2分 （2）当1-=a 时，0=b ，x x x f 1ln )(+=.令)()()(x g x f x F -=，即m x xx x F -++=21ln )(，于是函数)(x f y =与函数m x x g +-=2)(的图象有两个不同的公共点， 等价于m x xx =++21ln 有两个不同的根.…………………3分 令x x x x h 21ln )(++=，)0(12211)(222'>-+=+-=x xx x x x x h ， …………………4分 ∴)(x h 在1(0,]2 上单调递减，在1[,)2 +∞上单调递增，且2ln 3)21(-=h …………………5分 当0x → 时，+∞→)(x h ， 当x →+∞ 时，+∞→)(x h ，∴当3ln 2m >- 时 ，函数)(x f y =与函数m x x g +-=2)(的图象有两个不同的公共点 . …………… 7分 （3）1111n n a a -=-+，∴ 111n n n a a a --=+，∴ 1111n n a a -=+，∴ 11n n a =+∴ 11n a n =+ ……………8分 由（2）知2ln 321ln ->++x x x ，令1n x n =+ 得 12ln 3ln 211n n n n n n +++≥-++ 即21lnln 211n n n n +≥-++…………10分 ∴ 121ln ln 2221+≥-221ln ln 2332+≥- ⋅⋅⋅⋅⋅⋅21lnln 211n n n n+≥-++ 累加得11111ln ln 21112311n n n S a n n n +≥++⋅⋅⋅++-=+-+++ …………11分即 ln ln 21n n n n a S a +≥+- ∴ 12n n S a n n a e +-⋅≥ 得证 ……………12分。
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四川省雅安中学2016—2017学年度下学期半期考高二数学理试题考试时间：120分钟；命题人：陆俊霞；审题人：王春燕注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将大题卡交回。
第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若，为虚数单位，则“”是“复数()()()123a a a i -+++为纯虚数”的（ ）A. 充要条件B. 必要非充分条件C. 充分非必要条件D. 既非充分又非必要条件 2．设复数满足，则（ ）A. B. C. D.3．已知命题，．若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A ． B. C. D.4．若个人报名参加项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（ ） A ． B ． C ． D ． 5.a ,b 都为向量，则下列式子正确的是（ ）6．已知()()νμνμ,,4,4,6,5,2,2-=-=分别是平面，的法向量，则平面，的位置关系式（ ） A ．平行 B ．垂直C ．所成的二面角为锐角D ．所成的二面角为钝角7．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于( )A. B. C. D.8．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若y x z ++=，则为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若函数在区间内可导，且，若，则000()(2)lim→--h f x f x h h的值为（ ）A ．2B ．C ．8D ．1210．已知函数在上可导，且，则函数的解析式为（ ） A ． B ． C ． D ．11．已知函数，则、、的大小关系（ ） A ． >> B ． >> C ． >> D ． >>12.若函数f(x)，g(x)满足⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间上的一组正交函数.给出三组函数：①f(x)＝sin 12x，g(x)＝cos12x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.3第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若复数，则等于．14. 如下图1，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有______种．（填数字）（图1）15. 已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________.16．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示.下列关于的命题：①函数的极大值点为，；②函数在上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有个零点。
其中为真命题的是.（填序号）三、解答题（本大题共6小题，除第17题10分外，其余各题均为12分，共70分）17．设p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0，其中a≠0，命题q：实数x满足,(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围。
18．五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必须在排头；（2）甲、乙相邻；（3）甲不在排头，并且乙不在排尾；（4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻．19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是长方形，侧棱底面ABCD，且PD=AD=1,DC=2，过D 作于F ，过F 作交 PC 于E . （Ⅰ）证明：平面PBC ；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值.20．已知多面体如图所示.其中为矩形，为等腰直角三角形，，四边形为梯形，且AE ∥BF ，，.（1）若为线段的中点，求证： EG ∥平面.（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值等于？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由.21.已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性.22．设函数1()ln 1af x x ax x-=-+-． (Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程； (Ⅱ)当时，求函数的单调区间；(Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，设函数，若对于，，使成立，求实数的取值范围.2016-2017学年度雅安中学半期测试卷参考答案数学（理数）第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．C【解析】当时,复数()()()1234a a a i i -+++= 为纯虚数,当复数()()()123a a a i -+++为纯虚数时, 或,所以选C. 2．C【解析】由题意，得，则；故选C. 3．C 【解析】试题分析：有，则有，故A 错；，或，故B 错；C 显然正确；D 方程有唯一解的充要条件是或，故D 错考点：命题的否定、充分条件、必要条件 4．D 【解析】【错解分析】此题容易错选为B ，错误的原因是没有很好的利用原命题与其否命题的关系。
【正解】命题是假命题┓是真命题对任意，恒成立244001a a a ⇔∆=-<⇔<<，故选D 。
5．C【解析】四名同学报名参加3项体育比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法；根据分步计数原理，可得共有3×3×3×3=种不同的报名方法，故选C 6．C 【解析】试题分析：由函数在某一点处的定义可知，0000000()(2)()(2)lim2lim 2()82→→----'===h h f x f x h f x f x h f x h h考点：函数在某一点处导数的定义．【改编简介】本题源自2014-2015学年福建省三明市一中高二上学期第二次月考理科选择题，改编时把设问中所求的极限做了改动，强化学生对导数定义的理解． 7．B【解析】试题分析：由得，当时，有，进而得，所以，故选择B. 考点：导数的应用. 8．B【解析】试题分析：因为函数的导数为.所以函数f(x)在定义域内单调递减.又因为.所以>>.故选B.本题考查函数的的单调性，涉及三角函数的求导，这是易错点. 考点：1.函数的求导.2.三角函数的求导. 9．B【解析】试题分析：由，，可得262(4)540u v ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以，而，分别是平面，的法向量，所以，选B.考点：空间向量在解决空间垂直中的应用.10．C【解析】试题分析：因为、、,所以可知角A 为钝角，故△ABC 的形状是锐角三角形． 考点：1．空间向量在立体几何中的应用；2．空间平面向量数量积的运算． 11．D【解析】由于a ，b ，c 三个向量共面，所以存在实数m ，n ，使得c ＝ma ＋nb ，即有725432m n m n m nλ=-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩解得m ＝，n ＝，λ＝. 12．A【解析】试题分析：由是上一点，且，可得1113333()4444OG OG OA AG OA AG ==+=+又因为是的重心，所以121[()]32AG AB AC =+3321[()]4432OG OA AB AC ∴=+⋅+31111[()()]44444OA OB OA OC OA OA OB OC =+-+-=++ 而OG xOA yOB zOC =++，所以，所以，选A.考点：1.空间向量的加减法；2.空间向量的基本定理.第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．【解析】试题分析：()()()()i ii i i i i i z -=-=-+--=+-=22111111,. 考点：1.复数的代数运算；2.共轭复数.14．【解析】22211233()(2)x x dx x dx x x --=--⎰⎰2211(23ln )|2x x x =--3123ln 23ln 222=--+=--.15．320【解析】分类：两色：，三色：，四色：，，故选B ． 16．①②.【解析】试题分析： ①由函数的导函数的图像知，函数的极大值点为，，所以①正确； ②因为在上的导函数为负，所以函数在上是减函数，所以②正确；③由表中数据可得当或时，函数取最大值2，若时，函数的最大值是2，那么，故的最大值为5，即③错误；④由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有几个零点，故④不正确. 综上所述，真命题为①②.考点：利用导数研究函数的极值；命题的真假判断与应用.三、解答题（本大题共6小题，除第17题10分外，其余各题均为12分，共70分） 17．(1) (2,3) (2) (1,2]【解析】解：(1)由得，当a=1时，解得1＜x ＜3，即p 为真时，实数x 的取值范围是1＜x ＜3； ……………………………………… 1分由，得2＜x≤3，即q 为真时，实数x 的取值范围是2＜x≤3；………… 3分若p ∧q 为真，则p 真且q 真，……………… 4分 所以实数x 的取值范围是（2，3）；…………5分 (2) p 是q 的必要不充分条件，即， 设A=，B=，则AB ，………………7分 又，当a ＞0时，A=（a ，3a ）；a ＜0时，A=（3a ，a ）， 所以当a ＞0时，有，解得1＜a≤2；……………9分 当a ＜0时，显然，不合题意；所以实数a 的取值范围是1＜a≤2。
……………10分 考点：解不等式及复合命题，集合包含关系点评：复合命题p ∧q 的真假由命题p ，q 共同决定，当两命题中有一个是真命题时复合后为真命题， 由若p 是q 的必要不充分条件可得集合p 是集合q 的真子集 18．(1)24;(2)48;(3)78;(4)36 【解析】（1）特殊元素(位置)法:首先排“排头”不动,再排其它4个位置有种共有24种; …3分(2)捆绑法:把甲、乙看成一个人来排有种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为种; …………6分(3)法1：特殊位置优先排：分两类，第一类：乙在排头有=24种； 第二类：乙不在排头：种所以，一共有78种……………………9分 法2：对立法:甲在排头和乙在排尾的各种,其中甲在排头且乙在排尾的有种,五个人站成一排的不同排法数是种,所以甲不在排头，并且乙不在排尾的有种; ………………………………………9分(4)插空法:先将其余3个全排列种，再将甲、乙插入4个空位种， 所以，一共有种不同排法. ………………………………………12分 考点：排列组合19．(Ⅰ) (Ⅱ) 函数的单调递增区间为；单调递减区间为(Ⅲ) 【解析】 (Ⅰ)当时，，所以…………2分 ………………………………4分∴在处的切线方程为………………6分 (Ⅱ) 函数的定义域为， 当时=…………8分 所以当，或时，，当时，…………………………10分故当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为极小值……………………12分20．（1）3254575675y x x x ∴=-+-+；（2）当即商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大. 【解析】试题分析：（1）先写出多卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意：“商品单价降低1元时，一星期多卖出5件”求出比例系数，即可得一个星期的商品销售利润表示成的函数；（2）根据（1）中得到的函数，利用导数研究其极值，也就是求出函数的极大值，从而得出定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大. 试题解析：（1）依题意，设，由已知有，从而 2分)575)(514(2x x y +--=∴6757545523+-+-=x x x 6分（2）)5)(1(157590152---=-+-='x x x x y 8分由得，由得或可知函数在上递减，在递增，在上递减 从而函数取得最大值的可能位置为或是 ，当时， 11分答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大 12分考点：1.函数模型及其应用；2.导数的实际应用. 21．（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）. 【解析】【试题分析】（Ⅰ）依据题设运用直线与平面垂直的判定定理推证;（Ⅱ）依据题设条件运用二面角的平面角的定义求解或运用向量的数量积公式求解：. 解法一：（Ⅰ）因为底面，所以， 由底面为长方形，有，而，所以. 而，所以. ………………………2分 又因为，所以平面. 而，所以. ………………………4分 又，，所以平面. ………………………6分（Ⅱ）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面 的交线. 由（Ⅰ）知，，所以. ………………………8分 又因为底面，所以. 而，所以.故是面与面所成二面角的平面角， ………………………10分在Rt △PDB 中, 由 ,故面与面所成二面角的余弦为. ………………………12分解法二：如图2, 由，所以是平面的一个法向量； ……………………………………8分由（Ⅰ）知，，所以是平面的一个法向量 ……………………………………10分设平面与平面所成二面角为则，故面与面所成二面角的余弦为. ……………………………………12分 22．（1）见解析;（2）. 【解析】试题分析：（1）因为，，得平面，得平面，以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系求得平面的一个法向量，进而证得平面.（2）由()()2,2,1,2,0,0FD CD =-=，求得平面的法向量，假设线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于，设，则()()2,2,12,2,FN λλλλ=-=-，()2,22,BN BF FN λλλ=+=-，利用向量的运算可解得，即可得到结论。