2020届山西省临汾市高三下学期模拟考试(1)数学(理)试题(学生版)

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2020-2021学年度山西省高考第一次模拟考试数学(理)试题及答案

理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知单元素集合(){}2|210A x x a x =-++=，则a =（） A ． 0 B ． -4 C ． -4或1 D ．-4或02. 某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（）A ．6种B ． 12种C ．18种D ．24种3. 已知函数()sin f x x x =+，若()()()23,2,log 6a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a <<4.在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设,AB a AD b ==u u u r u u u r ，则向量BF =u u u r（） A ．1233a b+B ．1233a b -- C. 1233a b -+ D ．1233a b - 5.已知抛物线2:C y x =，过点(),0P a 的直线与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB <u u u r u u u rg，则a 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．()0,1 C. ()1,+∞ D ．{}16.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，15,3,4AA AC AB BC ====，则阳马111C ABB A -的外接球的表面积是（）A ．25πB ． 50π C. 100π D ．200π7. 若,x y 满足约束条件44030y x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则1x y +的取值范围是（）A ．5,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 3,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．15,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的n 是10，则与输出结果S 的值最接近的是（）A ． 28eB ． 36e C. 45e D ．55e9.在ABC ∆中，点D 为边AB 上一点，若3,32,3,sin 3BC CD AC AD ABC ⊥==∠=，则ABC ∆的面积是（） A ．922 B ．1522C. 62 D ．122 10.某市1路公交车每日清晨6：30于始发站A 站发出首班车，随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙二人某日早晨均需从A 站搭乘该公交车上班，甲在6：35-6：55内随机到达A 站候车，乙在6：50-7：05内随机到达A 站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是（） A ．16 B ． 14 C. 13 D ．51211.如图，Rt ABC ∆中，,6,2AB BC AB BC ⊥==，若其顶点A 在x 轴上运动，顶点B 在y 轴的非负半轴上运动.设顶点C 的横坐标非负，纵坐标为y ，且直线AB 的倾斜角为θ，则函数()y f θ=的图象大致是（）A ．B ．C. D ．12. 定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（） A ． -1 B ．12-C. 13- D ．13二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.在复平面内，复数()228z m m m i =+--对应的点位于第三象限，则实数m 的取值范围是． 14.已知tan 24πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则1sin 2cos 2αα-=．15.过双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点，且斜率为2的直线与E 的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是．16.一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长为1，则该正方体的体积是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知等比数列{}n a 中，*11211120,,,64n n n n a a n N a a a ++>=-=∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()221log nn n b a =-g ，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：包裹重量（单位：kg ）1234 5包裹件数43 30 15 8 4包裹件数范围 0100: 101200: 201300: 301400: 401500:包裹件数（近似处理）50 150 250 350 450 天数6630126（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101400:之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，//,AF DE AF AD ⊥，且平面BED ⊥平面ABCD .（1）求证：AF CD ⊥；（2）若0160,2BAD AF AD ED ∠===，求二面角A FB E --的余弦值.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，且两个焦点的坐标分别为()()1,0,1,0-. （1）求E 的方程；（2）若,,A B P 为E 上的三个不同的点，O 为坐标原点，且OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求证：四边形OAPB 的面积为定值.21. 已知函数()()()221ln f x x m x x m R =-++∈. （1）当12m =-时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有一个零点，求a 的取值范围；（2）当1x >时，()()21f x m x <-恒成立，求m 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C 经过伸缩变换：x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与12,C C 相交于,A B两点，且1AB ，求α的值.23. 【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()1f x x a a R =--∈.（1）若()f x 的最小值不小于3，求a 的最大值；（2）若()()2g x f x x a a =+++的最小值为3，求a 的值.试卷答案一、选择题1-5: DBDCB 6-10: BABCA 11、12：AC 二、填空题13. ()2,0- 14. 12-15. (16.三、解答题17.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为12112n n n a a a ++-=，所以11111112n n n a q a q a q -+-=，因为0q >，解得2q =，所以17*122,64n n n a n N --=⨯=∈；（2）()()()()()()2227221log 1log 217nnnn n n b a n -=-=-=--g g g ，设7n c n =-，则()()21nn n b c =-g ，()()()()()()222222212342121234212n n n n n T b b b b b b c c c c c c --⎡⎤⎡⎤=++++++=-++-+++-+⎣⎦⎣⎦L L()()()()()()12123434212212n n n n c c c c c c c c c c c c --=-+++-++++-++L ()()2123421226272132132n n n n c c c c c c n n n n --+-⎡⎤⎣⎦=++++++==-=-L .18.解：（1）样本中包裹件数在101400:之间的天数为48，频率484605f ==，故可估计概率为45，显然未来3天中，包裹件数在101400:之间的天数X 服从二项分布，即43,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，故所求概率为223414855125C ⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭；（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为1530201525830415100+⨯+⨯+⨯+⨯=（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元），将题目中的天数转化为频率，得若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：EY500.11500.12500.53000.23000.1235⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.19.（1）证明：连接AC，由四边形ABCD为菱形可知AC BD⊥，∵平面BED⊥平面ABCD，且交线为BD，∴AC⊥平面BED，∴AC ED⊥，又//AF DE，∴AF AC⊥，∵,AC AD AAF AD⊥=I，∴AF⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴AF CD⊥；（2）解：设AC BD O=I，过点O作DE的平行线OG，由（1）可知,,OA OB OG两两互相垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，设()1202AF AD ED a a===>，则)()()()3,0,0,0,,0,3,0,2,0,,4A aB a F a a E a a-，所以()()()()3,,0,0,0,2,0,2,4,3,,2 AB a a AF a BE a a BF a a a=-==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，设平面ABF的法向量为(),,m x y z=u r，则m ABm AF⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u rgu r u u u rg，即3020x yz⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取3y=()3,0m=u r为平面ABF的一个法向量，同理可得()0,2,1n=r为平面FBE的一个法向量.则2315cos,525m n==⨯，又二面角A FB E--的平面角为钝角，则其余弦值为1520.解：（1）由已知得1,2c a ===∴1a b ==，则E 的方程为2212x y +=；（2）当直线AB 的斜率不为零时，可设:AB x my t =+代入2212x y +=得： ()2222220my mty t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212122222,22mt t y y y y m m -+=-=++，()2282m t ∆=+-，设(),P x y ，由OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，得()121212122224,222mt ty y y x x x my t my t m y y t m m =+=-=+=+++=++=++， ∵点P 在椭圆E 上，∴()()22222221641222t m t m m+=++，即()()22224212t m m+=+，∴2242t m =+，AB ===原点到直线x my t =+的距离为d =∴四边形OAPB的面积：22122242OABS S AB d t ∆==⨯⨯===. 当AB的斜率为零时，四边形OAPB的面积112222S =⨯⨯=，∴四边形OAPB 21.解：（1）函数()g x 的定义域为()0,+∞，当12m =-时，()2ln g x a x x =+，所以()222a x a g x x x x +'=+=，①当0a =时，()2,0g x x x =>时无零点，②当0a >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，取10ax e-=，则21110aa g e e --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()11g =，所以()()010g x g <g ，此时函数()g x 恰有一个零点，③当0a <时，令()0g x '=，解得x =当0x <<()0g x '<，所以()g x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0g x '>，所以()g x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.要使函数()f x 有一个零点，则ln 02ag a ==即2a e =-，综上所述，若函数()g x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >；（2）令()()()()22121ln h x f x m x mx m x x =--=-++，根据题意，当()1,x ∈+∞时，()0h x <恒成立，又()()()()1211221x mx h x mx m x x--'=-++=， ①若102m <<，则1,2x m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>恒成立，所以()h x 在1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，且()1,2h x h m ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不符题意. ②若12m ≥，则()1,x ∈+∞时，()0h x '>恒成立，所以()h x 在()1,+∞上是增函数，且()()()1,h x h ∈+∞，所以不符题意.③若0m ≤，则()1,x ∈+∞时，恒有()0h x '<，故()h x 在()1,+∞上是减函数，于是“()0h x <对任意()1,x ∈+∞，都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210m m -+≤，解得1m ≥-，故10m -≤≤.综上，m 的取值范围是[]1,0-.22.解：（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，把,3x x y y ''==代入上述方程得，()22103y x y '''+=≥， ∴2C 的方程为()22103y x y +=≥，令cos ,sin x y ρθρθ==，所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,3cos sin 2cos 1ρθπθθθ==∈++；（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，由1ρθα=⎧⎨=⎩，得1A ρ=，由2232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得B ρ=，11=，∴1cos 2α=±，而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. 23.解：（1）因为()()min 1f x f a ==-，所以3a -≥，解得3a ≤-，即max 3a =-；（2）()()212g x f x x a a x x a =+++=-++，当1a =-时，()310,03g x x =-≥≠，所以1a =-不符合题意，当1a <-时，()()()()()()()12,12,112,1x x a x a g x x x a x a x x a x -++≥-⎧⎪=--+≤<-⎨⎪---+<⎩，即()312,12,1312,1x a x a g x x a x a x a x -+≥-⎧⎪=---≤<-⎨⎪-+-<⎩，所以()()min 13g x g a a =-=--=，解得4a =-，当1a >-时，同法可知()()min 13g x g a a =-=+=，解得2a =，综上，2a =或-4.。

山西省临汾市克城中学2020年高三数学理模拟试题含解析

山西省临汾市克城中学2020年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 参考答案：C2. 某几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的体积为（）A．288πB．72πC．36πD．18π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以直角三角形为底面的直三棱柱，可以采用“补形还原法”，该几何体是长方体沿大的平面切去一半而得到，根据长方体的外接球的直径是它的对角线，即可求出球的半径．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以直角三角形为底面的直三棱柱，补形还原该几何体是长方体沿大的平面切去一半而得到．根据长方体的外接球的直径是它的对角线，即2R=∴2R=解得：，那么．故选C．【点评】本题考查的知识点是三视图的认识和球的结合，解决本题的关键是知道该几何体的形状，直棱柱类型，可以采用“补形还原法”补形成我们熟悉的图形来求解．属于基础题．3. 已知复数的实部为﹣1，则复数z﹣b在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由题意求得b，进一步求得复数z﹣b在复平面上对应的点的坐标得答案．【解答】解：由的实部为﹣1，得，得b=6．∴z=﹣1+5i，则z﹣b=﹣7+5i，在复平面上对应的点的坐标为（﹣7，5），在第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4. 已知函数若方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：B略5. 如果x=[x]+{x}，[x]∈Z，0≤{x}＜1，就称[x]表示x的整数部分，{x}表示x的小数部分．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=[a n]+，则a2017﹣a2016等于（）A．2017+B．2016﹣ C．6﹣D．6+参考答案：C【考点】数列递推式．【分析】通过写出前几项，归纳可以得出结论．【解答】解：∵a1=，a n+1=[a n]+，∴a2=2+=6+2，a3=10+=12+，a4=14+=18+2，a5=24+，由此可得，a2017﹣a2016=6﹣，故选C．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 设是上的任意函数，下列叙述正确的是（）A、是奇函数；B、是奇函数；C、是偶函数；D、是偶函数参考答案：C7. 已知集合，则（）B.参考答案：A略8. 设，，,则（）A．B．C．D．参考答案：A略9. 若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线 (t为参数)上，则|PF|等于( )．A．2 B．3 C．4D．5参考答案：C略10. 已知两曲线都经过点P（1，2），且在点P处有公切线，则=（）A．0 B．2 C．3 D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等于参考答案：略12. 平面向量满足，，，，则的最小值为 .参考答案：13. 已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，则的取值范围为．参考答案：14. 若，则的最小值是.参考答案：15. 设函数，若，则的值为．参考答案：316. 在△ABC中，B(10，0)，直线BC与圆Γ：x2＋(y－5)2＝25相切，切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为．参考答案：【答案解析】(0，15) 或 (－8，－1)解析：由已知得过点B与圆相切的切线长为10，则以B为圆心，切线长为半径的圆的方程为与已知圆的方程联立解得切点坐标为（0,0）或（4,8），所以C点坐标为（－10,0）或（－2,16），又已知圆心坐标为（0,5）设A点坐标为(x,y)，利用三角形重心坐标公式得A点坐标为(0，15) 或 (－8，－1).【思路点拨】本题的关键是先求切点坐标，可转化为两圆的交点问题，联立方程求切点坐标.17. 已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．参考答案：如图，过点做平面的垂线段，垂足为，则的长度即为所求，再做，由线面的垂直判定及性质定理可得出，在中，由，可得出，同理在中可得出，结合，可得出，，三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020届山西省临汾市高三下学期模拟考试(一)数学(理)试题(解析版)

2020届山西省临汾市高三下学期模拟考试（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2540A x x x =-+<,{}24xB x =<，则()RA B =（）A ．(]1,2B ．[)2,4C ．[)1,+∞ D ．()1,+∞【答案】D【解析】分别求出集合A 、B 的值，由补集和并集的概念可得RB 的值，可得答案.【详解】解：依题意，{}{}254014A x x x x x =-+<=<<,{}{}242xB x x x =<=<，故{}R2B x x =≥，故()()1,A B =+∞R，故选：D. 【点睛】本题主要考查集合交并补运算，属于基础题型，注意运算准确. 2．已知复数423iz i+=-（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】先对复数进行化简，然后判定所在象限. 【详解】依题意，()()()()42i 3i 42i 1010i1i 3i 3i 3i 10z ++++====+--+，则在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本题主要考查复数的运算，明确复数的运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3．随着二胎政策的开放，越来越多中年女性选择放下手中的工作，为二胎做准备.某公司为了使广大中年女性安心备孕，且不影响公司的正常效益，对公司所有中年女性进行生育倾向调查.已知该公司共有6名中年女性，若每名中年女性倾向于生二胎的概率为13，且各名中年女性之间不相互影响，则恰有4位中年女性倾向生二胎的概率为（）A ．2081 B ．8081C ．20243D ．80243【答案】C【解析】由于概率相同，可以利用独立重复试验的公式求解. 【详解】依题意，所求概率42461214201533819243p C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题主要考查独立重复试验，熟练运用公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4．在进行123100++++的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列24034n na m =+，则122016...m a a a ++++=（）A ．5042m+ B ．5044m+C ．504m +D ．2504m +【答案】B【解析】记122016...m S a a a +=+++，可得1220152016 (24034240342403424034)m m S m m m m ++=++++++++且2016201521 (24034240342403424034)m m S m m m m ++=++++++++，两式相加可得S 的值，可得答案.【详解】解：依题意，记122016...m S a a a +=+++，则1220152016 (24034240342403424034)m m S m m m m ++=++++++++，又2016201521 (24034240342403424034)m m S m m m m ++=++++++++，两式相加可得201720172017201720162 (240342403424034240342)m m m m m S m m m m +++++=++++=++++，则201650444m mS +==+，故选：B.【点睛】本题主要考查数列的性质及合理推理的应用，属于基础题型. 5．已知312sin 413πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．1213B ．1213-C ．513D ．513-【答案】A【解析】由题意可得333442πππαα⎛⎫⎛⎫+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得333442πππαα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用诱导公式可得3cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】解：依题意，333442πππαα⎛⎫⎛⎫+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故333442πππαα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故333312cos cos sin 442413ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：A. 【点睛】本题主要考查诱导公式的实际应用，属于基础题型，注意运算准确. 6．如图，D 为等边ABC 的重心，E 为BC 边上靠近C 的四等分点，若DE AB AC λμ=-，则λμ+=（）A ．14B ．14-C ．12D ．12-【答案】D【解析】由题意可得DE DA AC CE =++，其中DA 、AC 、CE 分别用AB 与AC 表示，代入可得答案. 【详解】解：依题意，DE DA AC CE =++()()1134AB AC AC AB AC =-+++- 151212AB AC =-+，故15,1212λμ=-=-，则12λμ+=-，故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及向量的加法运算，属于基础题型.7．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为440，则判断框中可以填（）A ．3?i ＜B ．4?i ＜C ．i 5?＜D ．6?i ＜【答案】C【解析】按照程序框图运行该程序，可得当第五次，440S =，退出循环，此时输出S 的值为440，可得i 5?＜，可得答案. 【详解】解：若判断框中填写“i 5?＜”，运行该程序，第一次，1,2,2S S i ===；第二次，4,6,3S S i ===；第三次，18,21,4S S i ===；第四次，84,88,5S S i ===，第五次，440S =，退出循环，此时输出S 的值为440，故选：C. 【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识，属于基础题型.8．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A ．151121)3π+- B ．171121)3π+-C ．1121)π+D ．1121)π+【答案】D【解析】由题意，可得该几何体为长方体里面挖掉了一个圆锥，可得该几何体的表面积. 【详解】解：依题意，该几何体为长方体里面挖掉了一个圆锥，故所求表面积)2454442111121S πππ=⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯+，故选：D. 【点睛】本题主要考查由三视图还原为几何体及空间几何体的表面积的计算，属于基础题型.9．已知点P 是焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>上的一点，且10PF =，点Q 是直线1:230l x y -+=与2:260l x y +-=的交点，若PQ QF ⊥，则抛物线的方程为（） A ．24y x = B ．24y x =或236y x = C ．212y x = D ．212y x =或228y x =【答案】B【解析】依题意，(,0)2pF ；设200(,)2y P y p ，求出Q 点坐标，由PQ QF ⊥列出关于p 与0y 的方程可得0y 的值，由10PF =可得p 的值，可得答案.【详解】解：依题意，(,0)2pF ；设200(,)2y P y p ，联立230260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得0,3x y ==，故()0,3Q ，20(,3),(,3)22p y QF QP y p=-=-；因为PQ QF ⊥，故220000(,3)(,3)=3(3)0224p y y QF QP y y p ⋅=-⋅---=，解得06y =，且18(,6)P p；又由10PF =10，解得2p =或18p =，故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程及基本性质，需灵活运用已知条件解题，属于中档题.10．三棱锥P ABC -中，底面ABC 为非钝角三角形，其中6AB BC ==，sin ,4ACB PA ∠===P ABC -的外接球体积为（） A ．643πB ．72πC ．2563πD ．288π【答案】C【解析】由已知条件可求出AC 的值，可得出ABC ∆为直角三角形，且90APC ∠=︒，可得球心及球的半径，可得三棱锥P ABC -的外接球体积. 【详解】解：因为sin ACB ∠ABC ∆为非钝角三角形，故3cos 4ACB ∠=，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠，解得8AC =，可得222AC AB BC =+ 故ABC ∆为直角三角形，其中90ABC ∠=︒；故222PA PC AC +=，故90APC ∠=︒，此时，注意到球心即为线段AC 的中点O （此时点O 到,,,A B C P 的距离均为4），故所求球体的体积3425633V R ππ==，故选：C. 【点睛】本题主要考查球与几何体的切、接问题，属于基础题，求出ABC ∆为直角三角形，且90APC ∠=︒后求出球心位置与半径是解题的关键.11．已知双曲线C 1：22164x y -=1，双曲线C 2：2222x y a b -=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2 一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，若△OMF 2的面积为 16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长为（） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】C【解析】双曲线221:1164x y C -=的离心率为''c e a ====，设()2,0F c ，双曲线2C 一条渐近线方程为by x a=，可得2bcF M b c===，即有OM a ==，由2OMF ∆的面积为16，可得1162ab =，即32ab =，又222+=a b c，且c a，解得8,4,a b c ===16 ，故选C.12．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()22f x f x '->，若()1585log 910()81log 3f -=-()21xf x e+>的解集为（） A ．()0,∞+ B ．()1,-+∞C ．(),0-∞D ．(),1-∞-【答案】A【解析】先化简()1585log 910()81log 3f -=-可求. 【详解】依题意，()18551log 9021181log 3f -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()()22f x f x '->，即()()240f x f x '-->；要求()221exf x +>的解集，即求()2e 20xf x -+>的解集；即求()22e12e 0xx f x ---+>的解集；令()()22e2e 1xx g x f x --=+-，故()()()2222'4x x x g x e f x e f x e ---'=-+-()()2240x e f x f x -'=⎡--⎤>⎣⎦，故()g x 在R 上单调递增，注意到()()00210g f =+-=，故当0x >时，()0g x >，即()22210xx e f x e --+->，即()221exf x +>的解集为()0,∞+，故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数求解抽象不等式，合理构造函数，结合单调性求解是关键，侧重考查数学抽象的核心素养.二、填空题13．261(23)(1)x x--的展开式中，含2x -项的系数为___________. 【答案】435【解析】先展开2(23)x -，再结合二项展开式的通项公式求解.【详解】依题意，()()66221123141291x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 61(1)x -的展开式的通项公式为161()r r r T C x+=-；故含2x -项的系数为()()()432432666411121191160240135435C C C ⨯-⨯-⨯-⨯+⨯-⨯=++=.【点睛】本题主要考查二项式定理，明确特定项是怎么得出的是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.14．已知实数,x y 满足2363132x y x y y x ⎧⎪-≤⎪+≥⎨⎪⎪≥--⎩，则4yx -的取值范围为_____.【答案】33,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】作出不等式组所表示的平面区域，结合4y x -的几何意义，可得其取值范围.【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，，观察可知，4AM CM y k k x -≤≤，即3344y x --≤≤，故4y x -的取值范围为33,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为：33,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，考查了数形结合的解题思想，属于中档题.15．已知正项数列{}n a 满足122n n n a a a ++=+，且221n n S a -=，其中n S 为数列n a 的前n项和，若实数λ使得不等式()8n n a nλ+≥恒成立，则实数λ的最大值是________.【答案】9【解析】由题意可得数列{}n a 为等差数列，由221n n S a -=可得n a 的表达式，由()8n n a nλ+≥分离参数可得8215n n λ-+≤，设()8215f n n n=-+利用其单调性可得λ的最大值. 【详解】解：依题意，数列{}n a 为等差数列，因为221n n S a -=，即2121(21)()2n n n a a a --+=，即21na n =-，因为()8nn a n λ+≥，即(8)(21)8215n n n n nλλ+-⇒-+≤≤，因为()8215f n n n =-+在1n ≥时单调递增，其最小值为9，所以9λ≤，故实数λ的最大值为9. 【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质与基本量的求解、等差数列与不等式的综合问题，综合性大，属于难题.16．已知函数()cos f x x x =+，若方程()()230f x af x -+=有四个不等实根，则实数a的取值范围为__________.【答案】()【解析】先判断()f x 的性质，结合方程()()230f x af x -+=有四个不等实根，可求实数a的取值范围. 【详解】因为()cos ()f x x x f x -=+=，所以()f x 为偶函数；当0x ≥时，()1sin 0f x x '=-≥，()f x 为增函数，所以()(0)1f x f ≥=；()()230f x af x -+=有四个不等实根，即()11f x >，()21f x >，且()()12f x f x ≠，则013012a a ⎧⎪∆>⎪-+>⎨⎪⎪>⎩，解得4a <，即实数a的取值范围为().【点睛】本题主要考查函数的性质及根的分布问题，根的分布结合根的情况列出限定条件是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.三、解答题17．如图，ABC 中，角,,A B C 成等差数列，BAC DCA ∠=∠，1BD =，E 为AC的中点.（1）若3BCDSCD ；（2）若3AC =A θ=，且122θππ<<，求sin θ的值．【答案】（1）13CD =2）1sin 2θ=【解析】（1）由角,,A B C 成等差数列，可得3B π=，由=3BCD S ∆BC 的值，在BCD ∆中，由余弦定理可得CD 的值；（2）依题意，DE AC ⊥，且3EA EC =，在Rt CDE △中，3cos CE CD DCA =∠ 在BCD ∆中有sin sin CD BDB BCD=∠，代入化简可得sin θ的值. 【详解】解：（1）因为角,,A B C 成等差数列，所以3B π=；由=3BCD S ∆1sin 32BC BD B ⋅⋅= 又因为3B π=，1BD =，所以4BC =；在BCD ∆中，由余弦定理得，2222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅，即21161241132CD =+-⨯⨯⨯=，解得13CD =（2）依题意，DE AC ⊥；因为3AC =3EA EC = 在Rt CDE △中，3cos CE CD DCA =∠BCD ∆中，22,23BDC BCD πθθ∠=∠=-，由正弦定理得，sin sin CD BD B BCD=∠，即312cos 2sin sin(2)33θππθ=-，化简得2cos sin(2)3πθθ=-，于是2sin()sin(2)23θθππ-=-．因为122θππ<<，所以20,2212332θθπ5ππππ<-<-<-<，所以2223θθππ-=-，解得=6πθ，故1sin 2θ=．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题形，注意运算准确. 18．随着医院对看病挂号的改革，网上预约成为了当前最热门的就诊方式，这解决了看病期间病人插队以及医生先治疗熟悉病人等诸多问题；某医院研究人员对其所在地区年龄在10~60岁间的n 位市民对网上预约挂号的了解情况作出调查，并将被调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图，如下所示.（1）若被调查的人员年龄在20~30岁间的市民有300人，求被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；（2）若按分层抽样的方法从年龄在[)20,30以及[)40,50内的市民中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行调研，记随机抽取的3人中，年龄在[)40,50内的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望. 【答案】（1）250；（2）详见解析.【解析】（1）先求出年龄在40岁以上（含40岁）的市民的频率，然后根据比例关系可得人数；（2）先确定X 的可能取值，然后分别求解概率，可得分布列和期望. 【详解】（1）依题意，所求人数为()3000.020.005102500.0310⨯+⨯=⨯.（2）依题意，年龄在[)20,30以内及[)40,50以内的人中分别抽取6人和4人；故X 的可能取值为0,1,2,3；()36310106C P X C ===，()2164310112C C P X C ===，()12643103210C C P X C ===，()343101330C P X C ===；故X 的分布列为：X0 1 2 3P16 12 310 130故()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望，明确随机变量的可能取值及概率是求解的关键，侧重考查数据处理的核心素养.19．已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，120DAB ∠=︒,133AA AB AF ===,()1101A E A D λλ=<<.（1）若//CE 面BDF ，求λ的值.（2）求直线CF 与平面BDF 所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）3130130. 【解析】（1）建立坐标系，求出平面的法向量，把线面平行问题转化为向量垂直问题求解.（2）利用空间向量线面角的求解公式可得. 【详解】（1）如图所示，取BC 中点G ，连接AG ；120DAB ∠=︒，∴AG AD ⊥，又1A A ⊥面ABCD ，∴11,AA AD AA AG ⊥⊥,∴分别以1,,AG AD AA 为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -如图所示.133(0,3,0),,0),,0),(0,0,1),(0,0,3)22D B C F A -， 339(0,3,1),(,0)2DF DB ∴=-=-，1(0,3,3)A D =-,13(,3)2CA =-; 设平面BDF 的法向量(,,)n x y z =，则由00n DF nDB ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30902y z x y -+=⎧-=，不妨令3z =，则解得1x y ==，∴(3,1,3)n =为平面BDF 的一个法向量；11(0,3,3)A E A D λλλ==-，则11333(3,33)2CE CA A E λλ=+=-+-， //CE 面BDF ，∴0n CE ⋅=，即93399022λλ--++-=，解得12λ=.（2）因为3(,1)22CF =--，(3,1,3)n =，设直线CF 与平面BDF 所成角为θ，故所求线面角的正弦值为sin 10CF n CF nθ⋅===【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定和线面角的求解，线面角求解的关键是确定平面的法向量，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.20．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点,1,33⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭.椭圆C 的右顶点为D ，,M N 为椭圆C 上关于原点对称的两点，且,M N 不与椭圆的顶点重合.（1）求椭圆的标准方程；（2）连接,DM DN 分别交y 轴于,S T 两点，若(),0P t ，满足PS PT ⊥，求t 的值.【答案】（1）2213x y +=；（2）1t =或1t =-.. 【解析】（1）把两点坐标代入方程，解方程组可求；（2）联立方程，求解,PS PT 的斜率，结合垂直可得. 【详解】（1）依题意222221131213a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得223,1a b ==，故椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）依题意，D ，显然直线MN 的斜率存在且不为零，设直线MN 的方程为y kx =，联立方程组2213x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得M，(N ；设(0,),(0,)S m T n ，又直线DM的斜率1k =，直线DS的斜率2k =，因为,,D M S 三点共线，所以12k k =，解得m =n =，依题意，直线PS 的斜率3m k t =-，直线PT 的斜率4n k t=-，所以341k k =-，故有2t mn =-，即2t =，整理，得21t =，解得1t =或1t =-. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解和利用垂直求解参数，垂直关系一般转化为向量问题或者斜率问题求解，侧重考查数学运算的核心素养. 21．已知函数()321f x x x ax =+-+.（1）若1a =，证明：曲线()y f x =在()()2,2f --处的切线与直线7140x y ++=垂直；（2）若10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当01x a ≤≤+时，证明：()31e x xf x x >-.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）先求导数，可得切线的斜率，根据斜率关系可得垂直；（2）把不等式转化为2e 1xx x ax >-+，然后构造函数确定最值进行求解.【详解】（1）依题意，()321f x x x x =+-+，故()2321f x x x '=+-；则()27f '-=，而直线7140x y ++=的斜率为17-，故两条直线的斜率之积为1-；即曲线()y f x =在()()2,2f --处的切线与直线7140x y ++=垂直. （2）要证()31e x xf x x >-，即证()3e x x f x x >-，即证2e 1xx x ax >-+；当102a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，令()()32e e 1x x x f x x x ax ϕ==--+，求导可知()x ϕ在(0,1)上单调递增，在(1,1)a +上单调递减，令()g x x =；①当[0,1]x ∈时，()max min (0)1,()1x g x ϕϕ===，所以()()x g x ϕ>；②当[]1,1x a ∈+时，函数()x ϕ单调递减，所以其最小值为1e (1)2a a a ϕ++=+， ()g x 最大值为1a +，所以下面判断(1)a ϕ+与1a +的大小，即判断x e 与(1)x x +的大小，其中311,2x a ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，令()(1)xm x e x x =-+，()21xm x e x -'=-，令()()h x m x '=，则()2xh x e '=-；因为311,2x a ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，所以()20xh x e -'=>，()m x '单调递增；因为(1)e 30m '=-<，323()402m e -'=>，故存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得000()210xm x e x '=--=，所以()m x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以022200000000()()211xm x m x e x x x x x x x ≥=--=+--=-++，所以031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10m x x x =-++>；即e (1)x x x >+，也即(1)1f a a +>+，综上所述，()31e x xf x x >-. 【点睛】本题主要考查利用导数的意义证明切线问题及利用导数证明不等式，不等关系的证明一般通过构造函数，结合函数单调性或者最值来证明.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()0,2M ，且倾斜角为4π；曲线C ：2219x y +=，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线C 的参数方程，以及直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，求MP MQ +的值.【答案】（1）3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2【解析】（1）由曲线C 的直角坐标方程可求出曲线C 的参数方程，由直线l 的直角坐标方程可求出其坐标方程为；（2）将直线l 的参数方程代入2219x y +=并化简，设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t ，则1212270,05t t t t +==>，所以120,0t t <<，可得MP MQ +的值.【详解】解：（1）依题意，由曲线C ：2219x y +=，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线:2l y x =+，故极坐标方程为sin cos 2ρθρθ-=，即sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （2）依题意，可设直线l的参数方程为222x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入2219x y +=并化简，得25270t ++=，(245271080∆=-⨯⨯=>；设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t，则1212270,05t t t t +==>，所以120,0t t <<，所以()1212t t MP t t MQ =+=-+=+ 【点睛】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化及直线参数方程的应用，属于中档题，注意运算准确.23．设函数()2f x x a =+（其中0a <）. （1）解不等式：()3f x ≥；（2）若1a =-，解不等式()12f x x a+-<. 【答案】（1）33(,][,)22a a+--∞-+∞（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）依题意，23x a +≥，可得23x a +≥或23x a +-≤，可得不等式的解集；（2）将1a =-代入不等式，分1x <-，112x ≤≤-，12x >进行讨论，可得不等式的解集. 【详解】解：（1）依题意，23x a +≥，故23x a +≥或23x a +-≤，即32a x -≥或32a x --≤，所以原不等式的解集为33(,][,)22a a+--∞-+∞. （2）依题意，2112x x -++<，当1x <-时，1212x x ---<，解得23x >-，无解；当112x ≤≤-时，1212x x -++<，解得0x >，故102x <≤；当12x >时，2112x x -++<，解得23x <，即1223x <<；综上所述，当1a =-时，不等式()12f x x a +-<的解集为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题型，注意分类讨论思想的运用.。

山西省临汾市2020届高三数学下学期线上模拟考试试题2理202003230164

山西省临汾市2020届高三数学下学期线上模拟考试试题（2）理共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知i 是虚数单位，20172i3i 1iz =-+，且z 的共轭复数为z ，则z z ⋅=（） A ．3B ．5C ．5D ．32．已知全集为R ，集合2{|2}A x x x =<,{|lg(+4)1}B x x =<，则()A B =R（）A ．[3,2]-B ．[3,6)-C ．[3,0][2,+)-∞D ．[3,0][2,6)-3．已知函数1,0()2 , 0x x x f x x ⎧+>⎪=⎨⎪⎩≤，若()2f a <，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3)-∞B ．(,2)-∞C ．(1,2)D ．(0,3)4．已知夹角为θ的向量,a b 满足()2⋅+=a a b ，且||2||2==a b ，则向量,a b 的关系是( ) A ．互相垂直B ．方向相同C ．方向相反D ．成120︒角5．公差不为零的等差数列{}n a 中，367,,a a a 成等比数列，则46a a =（） A ．72-B ．73C ．213-D ．1376．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．9182π+ B ．9362π+ C ．1818π+ D ．1836π+7．已知α满足2sin()4πα+，则2tan 12tan αα+=（）A ．98 B ．98-C ．3D ．3-8．运行如图所示的程序算法，若输入m 的值为20，则输出的结果为（）A ．20B ．10C ．0D ．10-9．随着新政策的实施，海淘免税时代于2016年4月8日正式结束，新政策实施后，海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响，某记者调查了身边喜欢海淘的10位朋友，其态度共有两类：第一类是会降低海淘数量，共有4人，第二类是不会降低海淘数量,共有6人.若该记者计划从这10人中随机选取5人按顺序进行采访，则“第一类”的人数多于“第二类”，且采访中“第二类”不连续进行的不同采访顺序有（） A ．3840B ．5040C ．6020D ．720010．若不等式组20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥(0)k <所表示的平面区域的面积为4，则21x y z x +=-的取值范围是（）A ．2[2,]5-B ．12[2,]5-C ．12(,0][,)5-∞+∞ D ．12(,2][,)5-∞-+∞ 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=, 260ONF ∠=︒,12F MF △的面积为3 （）A ．22142x y -=B ．22144x y -=C ．22182x y -=D ．22184x y -=12．已知函数3|2|1,0()3+1,0x x f x x x x --⎧=⎨-+<⎩≥，函数ln (1)+,1()2,1x m x g x x x -+>-⎧=⎨+-⎩≤，若方程()()f x g x =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．3(ln2,)2B ．(ln2,4)C ．(ln3,2)D ．(ln31,1)-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如22222222222222251213,6810,72425,81517,2896100+=+=+=+=+=，等等.其中最大的数称为“弦数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若勾股数组中的某一个数m 是确定的奇数(大于1)，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，称之为“由m 生成的一组勾股数”.则“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为 .14．已知抛物线22(0)x py p =->的焦点坐标为(0,3)F -，则直线y x =与抛物线围成的封闭图形的面积为 .15．已知()sin cos f x a x b x =+的最大值为ab ，则4422191a b a b +++的最小值为 .16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对于任意正整数n ，都有+3n n a S n +=，若存在正整数0n ，使得020(6)(1)4n m n a --≥，则实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角．（1）求cos A 的值；（2）当223a b bc+取得最小值时，求cos B 的值．18．(12分)如图，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD ， CE AB =,PD CE λ=(13)λ<<．（1）求证:PE AD ⊥；（2）若二面角P BE D --的余弦值为13，求λ的值．19．(12分)2016年5月20日以来，广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地20日~28日9天内记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下：若根据往年防汛经验，每小时降雨量在[75,90)时，要保持二级警戒，每小时降雨量在[90,100)时，要保持一级警戒.（1）若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内每小时的平均降雨量；（2）若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.再从这10小时中随机抽取3小时，求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望.20．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为22，且P 在椭圆C 上运动，当点P 恰好在直线l :2y x =上时， 12PF F △22. （1）求椭圆C 的方程；（2）作与l 平行的直线1l ，与椭圆交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若12,MF MF 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围.21．（12分）已知函数()ln(21)(21)1f x x m x =---+.（1）若()y f x =在2x =处的切线与直线320170x y -+=垂直，求()y f x =的极值；（2）若函数()y f x =的图象恒在直线1y =的下方. ①求实数m 的取值范围； ②求证:对任意正整数1n >，都有4(1)ln[(2)!]5n n n +<.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为12x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数），以原点为极点，以x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin m ρθ=（m 为常数，且0m ＞），直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）若2AB =，求实数m 的值；（2）若点P 的直角坐标为(1,2)-，且4PA PB ⋅＞，求实数m 的取值范围.23．（10分）选修4—5不等式选讲已知函数()||f x x m =-(其中m 为常数).（1）若(0)(2)3f f +≤，求实数m 的取值范围；（2）求证：22223614()()(1)(3)a b f f a b++-+≤对任意实数,,a b m 恒成立.理科数学答案与解析1．【答案】C 【解析】20172i 3i 1iz =-+2i(1i)3i i 13i 12i (1i)(1i)-=-=+-=-+-，则12i z =+，故5z z ⋅=.2．【答案】D 【解析】由条件可得(0,2)A =，则(,0][2,)A =-∞+∞R ，而[3,6)B =-,故()A B =R [3,0][2,6)-. 3．【答案】A 【解析】当0a ≤时，212a <≤成立；当0a >时，由12a +<，故03a <<，综上可知，实数a 的取值范围是(,3)-∞. 4．【答案】C 【解析】由()2⋅+=a a b 可得22+⋅=a a b ，即2||||||cos 2θ+⋅⋅=a a b ，即42cos 2θ+=，所以cos 1θ=-，即θπ=，所以,a b 方向相反.5．【答案】B 【解析】设{}n a 的公差为(0)d d ≠，由367,,a a a 成等比数列可得2637a a a =，即2111(5)(2)(6)a d a d a d +=++，即1213a d =-，故4613+6713103a d d a d d -==-+. 6．【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，其中半圆柱的底面半径为3，高为1，故其体积为：219(31166)1822V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 7．【答案】B 【解析】由2sin()46πα+=可得22(sin cos )26αα+=，即1sin cos 3αα+=，平方可得112sin cos 9αα+=，即8sin 29α=-，故222sin 1tan 1119cos 2sin 2tan 2sin cos sin 28cos ααααααααα++====-. 8．【答案】B 【解析】该框图的运行结果是：20(2019)(1817)(21)010S =+-++-+++-+-=.9．【答案】B 【解析】“第一类”抽取3人的采访顺序有32324634C C A A 种；“第一类”抽取4人的采访顺序有415465C C A 种，故不同的采访顺序有32324154634465+5040C C A A C C A =.10．【答案】D 【解析】画出不等式组对应的平面区域如图所示. 图中点2(2,0),(,0),(0,2)A B C k-，故阴影部分的面积为12(2)242k⨯--⨯=，解之得13k =-,21x y z x +=-221y x +=+-，设点(,)P x y ,21y m x +=-，则m 的几何意义是点P 与点(1,2)D -连线的斜率.而25DB k =,4DC k =-，由图可知，4m -≤或25m ≥，故z 的取值范围是12(,2][,)5-∞-+∞.11．【答案】C 【解析】由N 为2MF 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故1260FMF ∠=︒， 2121||||(||||)2ON NF MF MF a -=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，在12MF F △中，由余弦定理可得22212124||||2||||cos60c MF MF MF MF =+-⋅︒21212(||||)||||MF MF MF MF =-+⋅2124||||a MF MF =+⋅,22212||||444MF MF c a b ∴⋅=-=， 12F MF ∴△的面积为2121||||sin 603232MF MF b ⋅⋅︒==，2222,48b a b ∴===，双曲线的方程为22182x y -=. 12．【答案】D 【解析】当<0x 时，3()3+1f x x x =-+，则2'()33f x x =-+，由'()0f x =可得1x =-或1x =（舍去）.当<1x -时，'()<0f x ，当10x -<<时， '()>0f x ，故()f x 在(1,0)-上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减.因此，在同一坐标系中画出函数()y f x = 与曲线()y g x =的图象如图所示.由图可知，若函数()y f x =与()y g x =恰好有4个公共点，则(0)<1(2)>1g g ⎧⎨-⎩，即<1ln3>1m m ⎧⎨-+-⎩，解之得ln31<<1m -.13．【答案】145【解析】由217289=，而289144145=+，则这组勾股数中的“弦数”为145. 14．【答案】24【解析】由抛物线的焦点坐标可得6p =，故抛物线方程为212x y =-，把y x =代入抛物线方程可得00x y =⎧⎨=⎩或1212x y =-⎧⎨=-⎩，故直线与抛物线围成的封闭图形的面积为23201212()d ()|2412362x x x x x ----=--=⎰. 15．【答案】17【解析】()sin cos f x a x b x =+22sin()a b x ϕ=++(tan )baϕ=，最大值为22a b +，故22a b ab +=，整理可得22111a b+=，则 4422191a b a b +++22222222222211119(9)(9)()111291117b a a b a b a b a b a b =+++=+++=+++=≥, 当且仅当2234a b ==时，取得等号，故4422141a b a b+++的最小值为17.16．【答案】11[,]44-【解析】由+3n n a S n += ① 可得+1+1+4n n a S n += ②由②－①可得111n n n a a a ++-+=，即111(1)2n n a a +-=-，由114a S +=可得12a =,111a ∴-=，所以,{1}n a -是首项为1，公比为12的等比数列，所以，1112n n a --=，即1112n n a -=+，所以，1166(6)(1)22n n n n n n a ------=-=，设16()2n n f n --=，则1567(1)()222n n n n n nf n f n ----+-=-=，当70n ->，即07n <<时，()f n 递增，当7<0n -，即>7n 时，()f n 递减，故()f n 的最大值为1(7)(8)64f f ==.故21464m ≤，故实数m 的取值范围是11[,]44-.17．【解析】（1）由3cos 3cos 5sin b C c B a A +=及正弦定理可得23sin cos 3sin cos 5sin B C C B A +=，即23sin()5sin B C A +=，由sin()sin 0B C A +=>可得3sin 5A =，而A 是锐角，所以4cos 5A =.（5分）（2）由余弦定理可得2222282cos 5a b c bc A b c bc =+-=+-，则2222228434855b c bca b b c bc bc bc +-++==-481255bc bc -=≥，当且仅当2c b =时，2a bc取得最小值125.（9分）此时22222894255b a b b b =+-⨯=，所以355ba =，∴2222229+4255cos 2535225b b b ac b B ac bb-+-===⨯⨯.（12分） 18．【解析】（1）ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥,PD ⊥平面ABCD ,AD PD ∴⊥，而,,PD CD D PD CD =⊂平面PDCE ,AD ∴⊥平面PDCE ，又PE ⊂平面PDCE ,PE AD ∴⊥.（6分）（2）如图，以D 为原点，以,,DA DC DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设1AB =，则1CE =,PD λ=.则(0,0,0),(0,0,),(1,1,0),(0,1,1)D P B E λ， (1,0,1)BE =-,(1,1,0)DB =,(1,1,)BP λ=--.设平面PBE 和平面DBE 的法向量分别为11112222(,,),(,,)x y z x y z ==n n . 由条件可得1100BE BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111110x z x y z λ-+=⎧⎨--+=⎩，令11x =，故1(1,1,1)λ=-n .同理可得2(1,1,1)=-n .由条件可得1212212||1|cos ,|||||31(1)13λ⋅<>=⋅+-+⋅n n n n n n ，即28+12=0λλ-，解之得=2λ或=6λ(舍去)..（12分）19．【解析】（1）这五组数据对应的频率分别为：0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.故这100小时的平均降雨量为：0.05×77.5+0.35×82.5+0.3×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87.25(mm).（3分）（2）由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为：(0.04+0.02)×5=0.3, 则属于二级警戒的频率为1－0.3=0.7.所以，抽取的这10个小时中，属于一级警戒的有3小时，属于二级警戒的有7小时.（6分）从这10小时中抽取3小时，用ξ表示一级警戒的小时数，ξ的取值可能为0,1,2,3.则373107(0)24C P C ξ===,123731021(1)40C C P C ξ===,21373107(2)40C C P C ξ===,333101(3)120C P C ξ===.所以，ξξ 0 1 2 3P7242140 7401120则ξ的期望值为：01230.9244040120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）.（12分） 20．【解析】（1）由222212x y a b y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩可得222224a b x a b =+,2222244a b y a b=+.根据对称性，不妨设点P 在第一象限，则点P 的坐标为2222(,44a b a b ++，设椭圆的焦距为2c ，由条件可得22122224c a b ⨯=+，即22234abc a b =+，由椭圆的离心率可得2c a ，所以，2212c a =,22212a b a -=，所以，2a b ,c b =，∴，解之得1b =，故a 故椭圆C 的方程为2212x y +=.（6分）（2）设直线1l 的方程为2y x m =+(0)m ≠.由22122x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得2298220x mx m ++-=，由条件可得226436(22)0m m ∆=-->，即33m -<<，所以，30m -<<，或03m <<.设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，则21212822,99m m x x x x -+=-=.则120429x x m x +==-,0029m y x m =+=.则001200,11y yk k x x ==+-，∴00120011y y k k x x +=++-002021x y x =-2429916181m m m -⨯⨯=-2288116m m =-.当0m ≠时，12288116k k m +=-，且12k k +在(3,0)m ∈-和(0,3)m ∈上的取值范围相同，故只需求12k k +在(0,3)m ∈上的取值范围.而12k k +在9(0,)4m ∈和9(,3)4m ∈上随m 的增大而增大.∴12k k +的取值范围是8(,)(0,)7-∞-+∞.（12分）21．【解析】（1）由()ln(21)(21)1f x x m x =---+可得2'()221f x m x =--，由条件可得21'(2)233f m =-=-，即12m =.则3()ln (21)2f x x x =--+,2(23)'()1=2121x f x x x --=---1()2x >，令'()0f x =可得32x =，当32x >时，'()<0f x ，当1322x <<时，'()>0f x .∴()f x 在3(,+)2∞上单调递减，在13(,)22上单调递增，∴()f x 的极大值为333()ln 2ln 2222f =-+=，无极小值.（4分）（2）①由条件可知：只需()1f x <，即ln(21)(21)0x m x ---<在1(,+)2∞上恒成立.即(21)ln(21)m x x ->-，而12x >,∴210x ->,∴ln(21)21x m x ->-恒成立.令ln(21)()21x g x x -=-，则222ln(21)'()(21)x g x x --=-，令'()0g x =可得12e x +=. 当1122e x +<<时'()0g x >，当12e x +>时，'()0g x <，∴()g x 在11(,)22e +上单调递增，在1(,)2e ++∞上单调递减，故()g x 的最大值为11()2e g e+=,∴1m e >，即实数m 的取值范围是1(,)e +∞.（8分） ②由①可知,25m =时，ln(21)2<215x x --，即2(21)ln(21)5x x --<对任意的12x >恒成立.令21(m )m x *=-∈N ，则2ln 5mm <.2ln1ln 2ln3ln(2)12325n n ++++<++++（），即212ln1ln 2ln3ln(2)5n n n +++++<（）,∴2(21)4(1)ln[(2)!]55n n n n n ++<<.（12分） 22．【解析】（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin m ρρθ=，化为直角坐标系下的普通方程为：222x y my +=，即222()x y m m +-=. 直线l 的普通方程为：10x y +-=，而点(0,)m 到直线l的距离为d ，由条件可得||2AB =，即2230m m +-=，结合0m >可得1m =.（5分）（2）显然点P 在直线l 上,把12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入222x y my +=并整理可得2(3450t m m +--+=，设点,A B . 则22(3)4(45)0m m ∆=---+>，解之得1m <-1m .则12|||||||45|4PA PB t t m ⋅==-+>，解之得94m >或14m <.而0m >,∴实数m 的取值范围是9(,)4+∞.（10分）23．【解析】（1）由条件可知(0)(2)|||2|3f f m m +=+-≤，①当0m <时，23m m -+-≤，解之得12m -≥，所以，102m -<≤；②当02m ≤≤时，23m m +-≤，恒成立，所以，02m ≤≤； ③当2m >时，23m m +-≤，解之得52m ≤，所以，522m <≤.综上可知，实数m 的取值范围是15[,]22-．（5分）（2）(1)(3)f f -+|1||3||(1)(3)|4m m m m =++-+--=≥,∴363609(1)(3)4f f <=-+≤，而222214()()a b a b ++22224559b a a b =+++≥，∴22223614()()(1)(3)a b f f a b++-+≤对任意实数,,a b m 恒成立.（10分）附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2020年山西省高考数学(理科)模拟试卷(1)

2020年山西省高考数学（理科）模拟试卷（1）•选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）(5 分)已知集合 A = {0 , 1, 2, 3}，集合 B = {x|X S 2}，贝U A n B =(OAB 内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（A .充分不必要条件B .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件2. 3. A . {0 , 3} （5分）若复数骨（5分）如图, 中点，在M , B • {0 , 1, 2} C . {1 , 2}{0 , 1 , 2, 3}z 满足z （1 - i ） 2= i （i 是虚数单位），则|z|为 B .寺在圆心角为直角半径为 2的扇形OAB 区域中, M , N 分别为OA , OB 的N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA , OB 为直径4. 兀B .--1 22（5分）“三个实数a , b , c 成等差数列”是“ 2b = a+c “的（ 5. (5 分)函数 f(x) =—|31的图象大致为（1.的圆，在扇形 C .充要条件6. （ 5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等•如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a , b 分别为5, 2,则输出的n =（& （ 5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）D. 7.8展开式中x 3的系数为（C . 3A . - 122B . 28C . 56D . 112?x €值范围是（A . 36+12 nB .36+167tC . 40+12 nD . 40+16 n9. （5分）已知点 M 的坐标（x , y ）满足不等式组 2x+y-4^0r-y-2^0y-3<0,N 为直线y =- 2x+2上任一点，则|MN|的最小值是（B.' C . 1D.'5521 （a > b >0）的左顶点、上顶点和左焦点分别为A ,B , F ,中心为O ,其离心率为，贝V ABF : BFO =(A . 1: 1B . 1: 2C .D .一11. (5 分)已知向量：'=(x 2, 1 - 2ax ), ,]=( a , 1）,函数g （x ）=p 蔦在区间［2 , 3］上有最大值为4,f (x )= ，不等式 f （2x -k?2x > 0在x€［2 , 3］上恒成立，则 k 的取A . (-a,0]B . (-a，亍］C . (-a, 1]D . (-a,g1612. （ 5分）设奇函数f （x ）的定义域为（- 一〒，—），且f （X ）的图象是连续不间断,2）A .10. （ 5分）已知椭圆（-今，0），有f'( x) cosx+f (x) sinx> 0, 茎 f (m)v f ( ) cos (- m),的取值范围是（?x€MN 折起得到四棱锥 A - MNCB •点P 为四棱锥A - MNCB 的外接球球面上任意一点，当四棱锥A - MNCB 的体积最大时，F 到平面MNCB 距离的最大值为16. （5分）《聊斋志异》中有这样一首诗： "挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无兀兀、f / c 兀、—,-一）B.（o )C.(-(共4小题，满分 20分，每小题 5分）A，_)D J —,一13. (5 分) 1（a >0,点，P 是双曲线上一点, |PO|= c , △ FOF 的面积为,则该双曲线的离心率为 14. (5 分)若函数 f (x )= 2sin ( w x+ $)(5 >Q,| Q | V —)的部分图象如图所示，则 ,M ，N 分别为AB , AC 的中点，将△ AMN 沿三.解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17. （12分）已知△ ABC 中，内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 满足:二二---- "I:二in . （1 ）若b 2= ac ,试判断△ ABC 的形状，并说明理由; （2）若衬』，求厶ABC 周长I 的取值范围.18. （12分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是梯形,=—BC = 2, PB 丄AC .2AD // BC , AB = AD = DC（1）证明：平面 FAB 丄平面ABCD ; （2）若已知双曲线A .(- 二.填空题，则按照以上规律，若 41具有穿墙术，则n =所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”19. (12分)对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到•已知学校要求每天早晨7：15之前到校，7：15之后到校记为迟到•小明每天6: 15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6: 45小明就可以出门去上学•从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量X (分钟)表示步行到校的时间，可以认为X〜N (22 , 4).若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量Y (分钟)描述骑车到校的时间，可以认为丫〜N (16, 16).若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量Z (分钟)描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为Z〜N (10, 64).(1)若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6: 40 了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6: 50.请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？(2)已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量E表示这五天小明上学骑车的费用，求E的期望与方差(此小题结果均保留三位有效数字)已知若随机变量n 〜N( 0, 1)，贝y P (- 1< n< 1) = 68.26%, P (- 2 < n< 2)= 95.44%,P (- 3< n< 3 )= 99.74%.20. (12分)已知椭圆一+一 .. = 1 (a > b>0)的右焦点F的坐标为(1, 0),离心率e=(I)求椭圆的方程；(n)设点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF丄QF , C为PQ的中点,线段PQ的垂直平分线分别交x轴、y轴于A、B两点.(i)求证：A为BC的中点；2 x21. (12 分)已知函数f (x)= x2-ae x- 1.(1 )若f (x)有两个不同的极值点x i, x2,求实数a的取值范围;(2 )在(1 )的条件下，求证：』1 +』匸＞_.SL四•解答题(共1小题，满分10分，每小题10分)22. (10分)直角坐标系xOy中直线I: y=- x,圆C的参数方程为参数).(1)求C的普通方程，写出I的极坐标方程；(H)直线I与圆C交于A, B, O为坐标原点，求I；-,.五•解答题(共1小题)x x+123. 已知函数f (x)= 4 - a?2 +a+1(1 )若a = 2,求不等式f (x)v 0的解集；(2)求函数f (x)在区间［1 , 2］上的最小值h (a).es ：（。

山西省临汾第一中学2020届高三数学全真模拟试题理(含解析)

临汾一中2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 已知复数，则A. B. 2 C. D.【答案】B【解析】,选B.2. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非法半轴重合，终边经过点，则A. B. C. D.【答案】D【解析】角的终边与单位圆的交点为，所以，，于是．选D.3. 已知函数，则A. B. C. D.【答案】D【解析】选D.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.4. 若实数满足约束条件，则的最大值是A. 40B. 18C. 4D. 3【答案】B【解析】由图可知，当直线过点时，取到最大值18.选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5. 现有4张卡片，正面分别标有1,2,3,4，背面完全相同.将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽，若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】甲获胜有两种情况，第一种情况，甲第一次就抽到标有偶数的卡片，对应概率为，第二种情况，甲乙抽到的第一张卡片均标有奇数，此时所剩两张卡片均标有偶数，甲必然可以获胜，对应概率为，故所求概率为．选A.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.6. 定义，如，那么A. 6B. 3C.D. 0【答案】D【解析】＝2－3＝0．选D.7. 在的展开式中，的系数是A. 220B. 165C. 66D. 55【答案】A【解析】根据等比数列求和公式，，故仅需求出分子中含的系数即可，在中，含项的系数为,选A.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.8. 若向量，且，则的最大值是A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】根据题意，，不妨设，，设，且，易知则．选B.9. 已知抛物线的焦点为F,点，射线与交于点，与C的准线交于点，且，则点E到轴的距离是A. 1B.C.D.【答案】C【解析】由抛物线的定义可知直线PF的倾斜角为，∴直线PF的方程为y=(x),把Q(0,)代入方程得p=2．由三角形相似可得点E到准线的距离为，∴点E到y轴的距离为．选C.10. 已知A,B是半径为的球面上的两点，过AB作相互垂直的两个平面，若截该球所得的两个截面的面积之和为，则线段的长度是A. 4B.C. 2D.【答案】A【解析】设球心为，两个截面圆的圆心分别为，线段的中点为，则四边形为矩形．设圆的半径分别为，，则．由可得，，则．选A.11. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述错误的是A.B. 当时，点P到轴的距离的最大值为6C. 当时，函数单调递减D. 当时，【答案】C【解析】由点可得，由旋转一周用时60秒，可得，由，可得，所以选项A正确．则可得．由可得，则当，即时，取到最大值为6，所以选项B正确．由可得，函数先增后减，所以选项C错误．时，点，可得，所以选项D正确．因此选C.12. 若关于的不等式的解集为，且，则整数的最大值是A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】原题等价于对于任意的恒成立．设．先考虑两曲线相切的情况．设切点为，则有，所以．化简得，设，易知在上单调递增，则，所以切线的斜率为的取值范围为（4,5），故整数k的最大值为4．选C.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知集合，则____________.【答案】【解析】，，所以=．14. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与C的渐近线相交于A,B两点，若（O为坐标原点）为正三角形，则C的离心率为________________.【答案】【解析】由题意得点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.15. 现有若干（大于20）件某种自然生长的中药材，从中随机抽取20件，其重量都精确到克，规定每件中药材重量不小于15克为优质品，如图所示的程序框图表示统计20个样本中的优质品数，其中表示每件药材的重量，则图中①，②两处依次应该填写的整数分别是________________.【答案】14,19【解析】因为上述程序框图的功能是将20件药材中的优质品的个数统计出来．按照规定每件中药材重量不小于15克为优质品，因此m＞14．样本容量是20，因此n＞19．因此应该填写的数字依次是：14，19．16. 如图，已知正方体的棱长为2，点E为线段的中点，点F,G分别为线段与上的动点，当三棱锥的俯视图的面积最大值，该三棱锥的正视图的面积为________________.【答案】2【解析】当点分别位于点的时候，三棱锥的俯视图的面积最大，此时正视图为△，则其面积为2．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17. 已知数列和满足，（1）求与；（2）记数列的前项和为，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；（2）根据（1）问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.试题解析：（1）由，得.当时，，故.当时，，整理得，所以.（2）由（1）知，所以所以所以.考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.18. 某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y（单位：元）与印刷册数x（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到了两个回归方程，甲：为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：（1）（ⅰ）完成下表（计算结果精确到0.1）：（ⅱ）分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较,的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）该书上市后，受到广大读者的热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷，根据市场调查，新需求量为8千册（概率为0.8）或10千册（概率为0.2），若印刷厂以没测5元的价格将书籍出售给订货商，问印刷厂二次印刷8千册还是10千册恒获得更多的利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）【答案】（1）(ⅰ)见解析(ⅱ)模型乙的拟合效果更好．（2）印刷8千册对印刷厂更有利．【解析】试题分析：（1）(ⅰ)根据公式计算，填入对应表格(ⅱ) 比较残差平方和大小，越小越好，故模型乙的拟合效果更好．（2）分别计算印刷8千册与10千册的利润：二次印刷8千册，则印刷厂获利为(元)，如二次印刷10千册，则每册成本为，需求期望值为．因而获利为，少于印刷8千册获的利润.试题解析：解：(Ⅰ) (ⅰ) 经计算，可得下表．印刷册数 (单位：千册) 2 3 4 5 8单册成本 (单位：元) 3.2 2.4 2 1.9 1.7估计值 3.1 2.4 2.1 1.9 1.6模型甲残差0.1 0 -0.1 0 0.1估计值 3.2 2.3 2 1.9 1.7模型乙残差0 0.1 0 0 0(ⅱ) ，，，故模型乙的拟合效果更好．(Ⅱ) 若二次印刷8千册，则印刷厂获利为(元) ．若二次印刷10千册，由(Ⅰ)可知，单册书印刷成本为(元)，故印刷总成本为(元) ．设新需求量为(千册)，印刷厂利润为(元)，则8 100.8 0.2．故．故印刷8千册对印刷厂更有利．19. 如图（1）五边形中，,将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面.（1）求证：平面平面；（2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析: （1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得成立; （2）通过已知条件求出各边长度,建系如图所示,求出平面的法向量,根据线面角公式代入坐标求得结果.试题解析:（1）证明：取的中点，连接，则，又，所以，则四边形为平行四边形，所以，又平面，∴平面，∴.由即及为的中点，可得为等边三角形，∴，又，∴，∴，∴平面平面，∴平面平面.（2）解：，∴为直线与所成的角，由（1）可得，∴，∴，设，则，取的中点，连接，过作的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系，则，∴，所以，设为平面的法向量，则，即，取，则为平面的一个法向量，∵，则直线与平面所成角的正弦值为.点睛: 判定直线和平面垂直的方法:①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．平面与平面垂直的判定方法:①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．20. 已知椭圆的离心率为，且过点（1）求E的方程；（2）若直线与E相交于两点，且与（为坐标原点）的斜率之和为2，求点到直线的距离的取值范围.【答案】（1）（2）[0，1)．【解析】试题分析: （1）由离心率为，且过点,可求得椭圆方程; （2）联立直线l与椭圆方程,写出韦达定理,由已知转化为坐标形式,转化为m与k的等式,再根据点线距公式以及参数的范围求出到直线距离的取值范围．试题解析:解：（1）由已知得，解得，∴椭圆的方程为；（2）把代入的方程得：，其判别式，①设，则，②由已知得，∴，③把②代入③得，即，④把④代入①及知，又，∴，点到直线的距离为，当时，；当时，，令，则，设，则，∴在单调递减，∴当时，，综上，点到直线的距离的取值范围为.21. 已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析: （1）对函数求导,按和分别判断导函数的正负,写出函数的单调性; （2）要证，只需证，由（1）可知当时，，即，当时，上式两边取以为底的对数，可得，用代替可得，又可得，所以,将原不等式放缩,即可证得.试题解析:（1）解：，①若时，在上单调递减；②若时，当时，单调递减；当时，单调递增；综上，若时，在上单调递减；若时，在上单调递减；在上单调递增；（2）证明：要证，只需证，由（1）可知当时，，即，当时，上式两边取以为底的对数，可得，用代替可得，又可得，所以，，即原不等式成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

山西省临汾市数学高三下学期理数第一次摸拟试试卷

山西省临汾市数学高三下学期理数第一次摸拟试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·江西模拟) 已知集合，，则的子集个数为（）A .B .C .D .2. （2分）已知复数，则复数z在复平面内对应的点在（）.A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）(2017·郎溪模拟) 已知等比数列{an}的公比为正数，且a5•a7=4a42 ， a2=1，则a1=（）A .B .C .D . 24. （2分）已知，则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）(2018·遵义模拟) 对于任意的正实数x ，y都有（2x )ln 成立，则实数m 的取值范围为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二下·洞口期末) 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A . 3+B . 2+C . 2+D . 3+7. （2分）(2018·广东模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的的值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·临淄期末) 若（3x﹣）n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为（）A . ﹣5B . 5C . ﹣405D . 4059. （2分）取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是（）A .B .C .D . 不确定10. （2分）如图所示，平面四边形中，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列说法中不正确的是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·湘潭模拟) 双曲线 =1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A .B .C . 2D .12. （2分）(2018·长安模拟) 已知函数，若方程有4个不同的根且，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·天水开学考) 已知tanα=﹣2，则sin2α+ cos2α=________．14. （1分）如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，M、N分别为PC，PD上的点，且PM：MC=2：1，N为PD的中点，则满足 =x +y +z 的实x=________，y=________，z=________．15. （1分）已知P是抛物线上的动点，点Q在圆上，点R是点P在y轴上的射影，则的最小值是________.16. （1分）(2018高二下·双鸭山月考) 观察下列等式：，，，……，根据上述规律，第五个等式为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）若，求sin2α的值．18. （5分）(2017·石嘴山模拟) 某网络营销部门为了统计某市网友2015年11月11日在某网店的网购情况，随机抽查了该市100名网友的网购金额情况，得到如图频率分布直方图．（1）估计直方图中网购金额的中位数；（2）若规定网购金额超过15千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过15千元的顾客定义为“非网购达人”；若以该网店的频率估计全市“非网购达人”和“网购达人”的概率，从全市任意选取3人，则3人中“非网购达人”与“网购达人”的人数之差的绝对值为X，求X的分布列与数学期望．19. （10分） (2016高三上·思南期中) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC，PC于D，E两点，PB=BC，PA=AB=1．（1）求证：PC⊥平面BDE；（2）求直线BE与平面PAC所成角的余弦值．20. （10分） (2018高二上·无锡期末) 设动点是圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，若点在线段上，且满足．（1）求点的轨迹的方程；（2）设直线与交于，两点，点坐标为，若直线，的斜率之和为定值3，求证：直线必经过定点，并求出该定点的坐标．21. （10分） (2018高二下·辽宁期末) 已知函数 .（1）时，证明：；（2）当时，直线和曲线切于点，求实数的值；（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.22. （10分） (2018高二下·抚顺期末) 【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若直线过曲线C1的右顶点，求常数a的值。

山西省临汾市光华中学2020年高三数学理模拟试卷含解析

山西省临汾市光华中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的减区间是（）A．(－1,1] B．[1,3) C．(－∞,1] D．[1,+∞)参考答案：B2. 若集合A={0，4}，B={2，a2}，则“a=2”是“A∩B={4}”的（）A3. 已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为( )A．（，）B．（，11）C．（，12）D．（6，l2）参考答案：B【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】画出函数f（x）=的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，结合图象求出a+b+c的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，a∈（，1）b∈（1，3），c∈（3，9），由图象可知，当a变大时，b变小，c也变大，a+b+c=1+1+9=11当a变小时，b变大，c也变小，=故a+b+c的取值范围为（，11）故选：B．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．解答的关键是图象法的应用，即利用函数的图象交点研究方程的根的问题．4. 已知函数f（x）=下列命题正确的是（）D解答：解：对A，若f 1（x ）=x ；f 2（x ）=，满足若f 1（x）是增函数，f2（x）是减函数，而f（x）不存在最大值，故A错误；对B，若f1（x）=0；f2（x）=sinx，满足f（x）存在最大值，而f1（x）不是增函数，f2（x）也不是减函数，∴B错误；对C，若f1（x）=﹣x；f2（x）=，满足f1（x），f2（x）均为减函数，而f（x）在其定义域内不是减函数，∴C错误；对D，根据减函数的定义，D正确．故选D点评：本题借助考查命题的真假判断，考查分段函数的单调性．5. 直线与曲线相切，则实数的值为( )A.B.eC. D．参考答案：D略6. （5分）若一个几何体的三视图，其正视图和侧视图均为矩形、俯视图为正三角形，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D． 2参考答案：D【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：由三视图想象出该几何体为三棱柱，从而得到其体积．解：由三视图可知，该几何体为三棱柱，其底面为高为的正三角形，则底面面积S=×2×=，体高h=2，则体积为×2=2．故选D．【点评】：本题考查了三视图的识图与计算能力，属于基础题．7. “”是“”的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件参考答案：答案：A8. 若在直线上存在不同的三个点，使得关于实数x的方程有解（点不在上），则此方程的解集为 ( )A．B． C．D．参考答案：D9. .函数的图象大致是( )A. B.C. D.参考答案：B【分析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设，，则的定义域为.，当，，单增，当，，单减，则.则在上单增，上单减，.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.10. 各项均为正数的等比数列中，且，则等于（）A．16 B．27 C．36 D．－27参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某算法流程图如图一所示，则输出的结果是．参考答案：2略12. 已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围是_________．参考答案：略13. 如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的点，．，则________.参考答案：略14. 若在区间上是增函数，则实数的取值范围是参考答案：a<3 15. 关于函数，给出下列命题：①的最小正周期为；②在区间上为增函数；③直线是函数图象的一条对称轴；④函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到；⑤对任意，恒有．其中正确命题的序号是 ____________．参考答案：②③⑤命题意图：本题综合考察三角恒等变换、三角函数的性质，较难题．16. 现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有种（请用数字作答）．参考答案：5217. 已知向量、，若，则_____；参考答案：由于，故，故.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

山西省临汾市2020年高考数学三模试卷(理科)(I)卷

山西省临汾市2020年高考数学三模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·广州期末) 已知集合，则中元素的个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 52. （2分）(2018·朝阳模拟) 已知复数满足（为虚数单位），则为（）A . 2B .C .D . 13. （2分）数列{an}满足a1=2,an=2an-1，则数列{log2an}的前10项和S10=（）A . 55B . 50C . 45D . 404. （2分）(2020·银川模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二下·蒙山期末) 已知随机变量服从正态分布，且，则（）A .B .C .D .6. （2分） AB是半径为1的圆的直径，在AB上的任意一点M，过点M作垂直于AB的弦，则弦长大于的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）(2019·北京模拟) 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·临川期中) 已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A . 9B . 7C . 5D . 39. （2分） (2019高三上·吉安月考) 函数满足，，若存在，使得成立，则的取值（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二上·黄山期末) 如图，空间四边形OABC中，点M、N分别OA、BC上，OM=2MA、BN=CN，则 =（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·长安模拟) 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数f(x)=，函数，其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分） (2017高二上·如东月考) 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知，是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是________．14. （2分） (2020高二下·嘉兴期末) 设，则 ________；________.15. （1分）(2017·长宁模拟) 已知O为△ABC的外心，且，若，则α+β的最大值为________．16. （1分） (2019高一下·哈尔滨期中) 在数列中，，，则 ________三、解答题： (共7题；共65分)17. （10分） (2017高二上·新余期末) 如图，在△ABC中，∠B=45°，，，点D是AB的中点，求：（1）边AB的长；（2） cosA的值和中线CD的长．18. （10分） (2019高二上·宜昌月考) 上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率．19. （5分） (2019·郑州模拟) 已知四棱锥中，底面为菱形，，平面，、分别是、上的中点，直线与平面所成角的正弦值为，点在上移动.（Ⅰ）证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；（Ⅱ）求点恰为的中点时，二面角的余弦值.20. （5分）设三个数， 2，成等差数列，其中（x，y）对应点的曲线方程是C．（1）求C的标准方程；（2）直线l1：x﹣y+m=0与曲线C相交于不同两点M，N，且满足∠MON为钝角，其中O为直角坐标原点，求出m的取值范围．21. （15分）(2017·枣庄模拟) 已知函数f（x）=x•ex﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为x轴，求a的值：（2）在（1）的条件下，求f（x）的单调区间；（3）若∀x＞0，f（x）≥f（m）恒成立，且f（m）≥0，求证：f（m）≥2（m2﹣m3）．22. （10分） (2015高三上·廊坊期末) 在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρcos2θ=2sinθ，过点P（0，1）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与轨迹C交于M，N两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求|MN|．23. （10分） (2017高三上·烟台期中) 已知函数f（x）=|x﹣a|+ （a≠0）．（1）若a=1，解关于x的不等式f（x）≥|x﹣2|；（2）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求正数m的最大值．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题： (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题： (共7题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：。

2020届山西省临汾市高三下学期高考考前适应性训练考试(一)数学(理)试题(解析版)

2020届山西省临汾市高三下学期高考考前适应性训练考试（一）数学（理）试题一、单选题1．设复数z 满足(1)i z i +=，则z =（） A ．1i - B ．1i +C ．1122i - D ．1122i + 【答案】C【解析】先计算出复数z ，即得z . 【详解】由题得(1)111,1(1)(1)222i i i i z z i i i i -+===∴=-++-. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的计算和共轭复数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2．已知集合{|15}A x N x =∈剟，{}2|230B x x x =--≥，则A B =I （） A ．{}3,5 B ．{}1,3C ．{3,4,5}D ．{1,2,3}【答案】C【解析】先化简集合A,B ，再求A B I 得解. 【详解】由题得{1,2,3,4,5},{|3A B x x ==≥或1}x ≤-，所以{3,4,5}A B =I . 故选：C 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3．已知等比数列{}n a 中，154215,6a a a a -=-=，则3a =（） A ．4-B ．4C ．12或2 D ．4-或4【答案】D【解析】由已知结合等比数列的通项公式即可求公比q 和1a ，即得解. 【详解】5115a a -=Q ，426a a -=，则4131(1)15()6a q a q q ⎧-=⎨-=⎩， 22520q q ∴-+=，解可得，2q =或12q =．所以12,1q a ==或11,162q a ==-.所以2324a ==或231(16)()42a =-=-.故选：D ．【点睛】本题主要考查等比数列通项的基本量的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4．一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，绿灯时间为30秒，绿灯时方可通过，则小王驾车到达该路口等待时间不超过10秒的概率为（） A ．16B ．56C ．13D ．23【答案】D【解析】根据题意可知该题为几何概型,分别求出总时间长度及满足条件的时间长度,然后根据几何概型的概率公式即可求解. 【详解】本题是一个几何概型,小王驾车到达该路口的总时间长度为60秒, 到达该路口等待时间不超过10秒的时间长度为40秒, 因此小王驾车到达该路口等待时间不超过10秒的概率为402603=, 故选:D. 【点睛】本题主要考查了与长度有关的几何概型的求解,属于基础题.5．用单位立方块搭一个几何体，使其正视图和侧视图如图所示，则该几何体体积的最大值为（）A ．28B ．21C ．20D ．19【答案】D【解析】结合几何体的正视图和侧视图判断出每一层最多有多少个单位几何体即得解. 【详解】结合几何体的正视图和侧视图可知，最底层最多可以有44=⨯16个正方体，第2层、第3层、第4层只能各有1个单位正方体.故该几何体体积的最大值为19. 故选：D 【点睛】本题主要考查三视图的应用，考查学生的空间想象和观察能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．函数()[]2cos e,,xf x x x ππ=∈-，的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先确定函数()f x 为偶函数,排除B,D 选项,再取特值即可判断最终结论. 【详解】因为f (﹣x )=(﹣x )2e cos(﹣x )=x 2e cos x =f (x ), 所以函数f (x )为偶函数,排除B ､D 选项, 因为f (π)=π2e cosπ=π2e ﹣1>0,所以排除A 选项, 故选:C.【点睛】本题考查函数图象的识别,难度不大.对于判断函数图象的试题,排除法是十分常用的方法,一般通过函数的奇偶性､单调性和特殊值即可判断. 7．若()m n10,,,2nnm m m n a e e b e e c e ⋅>>=⋅=+=，则（）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】A【解析】由基本不等式得出2m nm n mn ++>>，再根据函数的单调性即可比较大小．【详解】当0m n >>时，2m nm n mn ++>>，且xy e =是定义域R 上的单调增函数，2m n m na e e e+=⋅=,所以2m n mnee+>，即a c >；又2222m n m n m n m n e e e e e e+++>⋅==，所以21()2m nm ne e e ++>，即b a >；所以b a c >>．故选：A ．【点睛】本题主要考查了根据基本不等式和函数的单调性比较大小的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．8．如图所示的程序框图，它的算法思路源于我国古代的数学专著（九章算术），执行该框图，若输入的174a =，36b =，则输出的结果为（）A ．2B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】模拟程序框图运行,即可得出结论. 【详解】模拟程序框图运行,输入a =174,b =36, 满足a >b ,则a =174﹣36=138, 满足a >b ,则a =138﹣36=102, 满足a >b ,则a =102﹣36=66, 满足a >b ,则a =66﹣36=30, 不满足a >b ,则b =36﹣30=6, 满足a >b ,则a =30﹣6=24, 满足a >b ,则a =24﹣6=18, 满足a >b ,则a =18﹣6=12, 满足a >b ,则a =12﹣6=6,此时a =b =6,则退出循环,输出a =6, 故选:B. 【点睛】本题考查了算法和程序框图,主要是对循环结构的理解和运用,以及赋值语句的运用问题,属于基础题.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45°的直线与C 的右支有且仅有一个交点，则C 的离心率的取值范围为（）A ．)+∞B ．[2,)+∞C ．D ．(1,2]【答案】A【解析】若过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【详解】双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点．则该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率ba，所以1b a≥ e 2222222c a b a a+==≥∴e ≥故选：A ．【点睛】本题主要考查双曲线的性质及应用，考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，11AC BC AA ===，E 为1AB 上任意一点，1BC CE ⊥，则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为（）A ．B ．3πC ．D ．2π【答案】B【解析】由已知可得直三棱柱的底面为等腰直角三角形,把直三棱柱补形为正方体,求出三棱柱外接球的半径,再由球的表面积公式得答案. 【详解】∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱,∴CC 1⊥AC , ∵E 为AB 1上任意一点,BC 1⊥CE , ∴BC 1⊥AC , ∵111CC BC C =I , ∴AC ⊥平面BB 1C 1C , ∵1AC BC ==,则直三棱柱的底面为等腰直角三角形, 把直三棱柱补形为正方体,则三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1外接球的半径R ==∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1外接球的表面积为243ππ⨯=. 故选:B. 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法,需要学生具备一定的空间想象能力与思维能力.11．已知函数()sin cos f x a x a x ωω=+的最大值为()f x 的定义域为[1,2]时，()f x 的值域为[-，则正整数ω的最小值为（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】函数f （x ）＝a sinωx +a cosωx =sin （ωx 4π+），由于函数f （x ）的最大值为a ＝，解得a ＝±2．当f （x ）的定义域为[1，2]时，f （x ）的值域为[﹣，]，包括最大值与最小值．若2﹣12πω≥，即ω≥2π，必定满足题意．若2πω＞2﹣1122πω≥⨯，即π≤ω＜2π，ω＝4，5，6．通过验证即可得出．【详解】函数f （x ）＝a sinωx +a cosωx =sin （ωx 4π+），由于函数f （x ）的最大值为∴a ＝，解得a ＝±2．当f （x ）的定义域为[1，2]时，f （x ）的值域为[﹣，]，包括最大值与最小值．若2﹣12πω≥，即ω≥2π，必定满足题意．若2πω＞2﹣1122πω≥⨯，即π≤ω＜2π，ω＝4，5，6．①取ω＝6，f （x ）＝±sin （6x 4π+），64π+≤6x 4π+≤124π+． 6x 4π+=2π2π+（＞64π+）时取最大值，6x 4π+=2π32π+（＜124π+）时取最小值．②取ω＝5，f （x ）＝±sin （5x 4π+），54π+≤5x 4π+≤104π+．5x 4π+=2π2π+（＞54π+）时取最大值，而5x 4π+=2π32π+＞104π+，因此不能取得最小值；同理可得ω＝4也不合题意，因此正整数ω的最小值为6．故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，满足(1)1f =，2()()xf x f x x '-<，则不等式①(2)2f <，②(2)4f <，③1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，④1124f ⎛⎫< ⎪⎝⎭中一定成立的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】根据题意构造函数()()f x g x x=-x ，并判断其在（0，+∞）上单调递减，然后分别算出g （1）、g （2）和g （12），并利用单调性比较大小，即可判断每个选项．【详解】令()()f x g x x=-x ，则()()()2''xf x f x g x x-=-1()()22'xf x f x x x--=，∵xf '（x ）﹣f （x ）＜x 2，∴g '（x ）＜0在（0，+∞）上恒成立，即g （x ）在（0，+∞）上单调递减，∵f （1）＝1，∴()()1111101f g =-=-=，对于()()()222102f g g =-=＜，即f （2）＜4，∴①错误，②正确；对于()1112101222f g g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎝⎭＞，即1124f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＞，∴③和④均错误；因此一定成立的只有②，故选：A ．【点睛】本题主要考查导数的综合应用，构造新函数是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、填空题13．已知向量12(1,1),(0,1)e e ==u r u r ，若12a e e λ=+r u r u u r 与()1223b e e =--ru r u u r 垂直，则实数λ=________.【答案】1【解析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．【详解】向量()111e =u r ，，()201e =u u r，，则12a e e λ=+=ur u u r r （1，1+λ），()1223b e e =--=u r u u r r（﹣2，1），因为12a e e λ=+r u r u u r 与()1223b e e =--ru r u u r 垂直，所以210,1λλ-++=∴= 故答案为：1．【点睛】本题主要考查了平面向量的垂直和坐标运算问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．14．已知,x y 满足约束条件13,12 2.x y x y +⎧⎨--⎩剟剟则22x y +的最大值为___________.【答案】539【解析】作出可行域，z ＝x 2+y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得．【详解】作出x ，y 满足约束条件13122x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，．所对应的可行域，而z ＝x 2+y 2表示可行域内的点P 到原点距离的平方，由：321x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得A （23，73）数形结合可得最大值为：（23）2+（73）2539=，故答案为：539．【点睛】本题主要考查简单线性规划求最值，准确作图是解决问题的关键，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．15．已知tan()1αβ+=，tan()2αβ-=，则sin 2cos 2αβ的值为________．【答案】1【解析】sin 2sin[()()]cos 2cos[()()]ααβαββαβαβ++-=+-- sin()cos()cos()sin()tan()tan()121cos()cos()sin()sin()tan()tan()121αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-++-++-+====+-++-+-++16．已知数列{}n a 中，2a λ=，其前n 项和n S 满足1(1)(1)0n n n S n S ---+=，则n a =_______.【答案】a n ()()3λ126λ211n n n n n ⎧-=⎪⎪=⎨⎪≥-+⎪⎩，，．【解析】由（n ﹣1）S n ﹣1﹣（n +1）S n ＝0⇒111n n S n S n --=+（n ≥2），再利用累乘法求得3(1)n S n n λ-=+，从而可求得答案．【详解】由（2﹣1）a 1﹣3（a 1+λ）=0，解得a 132=-λ；由（n ﹣1）S n ﹣1﹣（n +1）S n ＝0得：111n n S n S n --=+（n ≥2）， ∴S n 112n n n n S S S S ---=⋅…⋅21S S ⋅S 112311n n n n n n ---=+-⋅…⋅2143⋅32⎛⎫- ⎪⎝⎭λ3(1)n n λ-=+（n ≥2），适合n =1.所以3(1)n S n n λ-=+.当n =1时，a 132=-λ 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=336(1)(1)(1)(1)n n n n n n n λλλ-+=+--+，不适合n =1.a n ()()3λ126λ211n n n n n ⎧-=⎪⎪=⎨⎪≥-+⎪⎩，，．故答案为： a n ()()3λ126λ211n n n n n ⎧-=⎪⎪=⎨⎪≥-+⎪⎩，，．三、解答题17．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知向量1sin ,2m B ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r与(3,sin )n B B =r共线.（1）求B ；（2）若2b =，求ABC V 面积的最大值. 【答案】（1）3B π=（2【解析】（1）先由向量平行的坐标表示转化三角关系，然后结合二倍角及辅助角公式进行化简即可求解；（2）结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）因为//m n r r，所以3sin (sin )2B B B =，所以1cos23222B B -+=，12cos 212B B -=，即sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为(0,)B π∈，所以112,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故262B ππ-=，即3B π=.（2）由余弦定理，得224a c ac =+-，又1sin 24ABC S ac B ac ==V ，而222a c ac +≥，则42ac ac +≥，即4ac ≤（当且仅当a c =时等号成立），所以13sin 32ABC S ac B ac ==≤V （当且仅当a c =时等号成立），所以ABC V 面积的最大值为3. 【点睛】本题主要考查了和差角公式、二倍角公式及辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了余弦定理及三角形的面积公式的应用．18．如图，四棱锥P ABCD -中，PAD △为等边三角形，//,AB CD AD CD ⊥，且24CP CA AB CD ====.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B CP D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）217-【解析】（1）根据边角关系，求出CD ⊥AD ，由AD ⊥CD ，判断出CD ⊥平面P AD ，再证明出结论；（2）取AD 中点O ，则PO ⊥AD ，由（1）知，PO ⊥平面ABCD ，如图，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面BCP 和平面CDP 的法向量，利用夹角公式求出即可．【详解】（1）证明：因为,2,4AD CD CD CA ⊥==，所以22212AD AC CD =-=，即23AD =因为PAD △为等边三角形，所以23PD AD ==因为4,2PC CD ==，所以222CD PD PC +=，即CD PD ⊥.又因为,PD AD D CD AD ⋂=⊥，所以CD ⊥平面PAD ，又因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .（2）解：取AD 中点O ，则PO AD ⊥，由（1）知，PO ⊥平面ABCD . 如图，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，则(0,0,3),(3,0,0),(3,2,0),(3,4,0)P D C B -，(3,2,3),(23,2,0),(0,2,0)PC BC DC =-=-=u u u r u u u r u u u r.设平面BCP 的法向量为m r ，平面CPD 法向量为n r，则0,0,m PC m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r可取3,3)m =r. 0,0,n PC n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r 可取3,0,1)n =r. 3321cos ,||||774m n m n m n ⋅+<>===⋅⋅r rr r r r所以二面角B CP D --的余值为217-. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，考查了向量法求二面角的余弦值，考查运算能力和逻辑推理能力．19．某控制器中有一个易损部件，该部件由两个电子元件按图1方式连接而成.已知这两个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布()2720,40N ，且各个元件能否正常工作相互独立.（一个月按30天算）（1）求该部件的使用寿命达到一个月及以上的概率；（2）为了保证该控制器能稳定工作，将若干个同样的部件按图2连接在一起组成集成块.每一个部件是否能正常工作相互独立.某开发商准备大批量生产该集成块，在投入生产前，进行了市场调查，结果如下表：集成块类型 P 成本C 销售金额SⅠ(0,0,6]5C n =+22S n = Ⅱ(0.6,0.85] 30C n =+ 2888S n n =-+Ⅲ (0.85,1)100C n =+ 21660S n n =-++其中P 是集成块使用寿命达到一个月及以上的概率，n 为集成块使用的部件个数.报据市场调查，试分析集成块使用的部件个数为多少时，开发商所得利润最大？并说明理由. 【答案】（1）14（2）当6n =时，利润取最大值；详见解析【解析】（1）设元件1的使用寿命达到一个月及以上为A 事件，元件2的使用寿命达到一个月及以上为B 事件．由题意知，()()12P A P B ==，且A 事件与B 事件相互独立，由此能求出该部件的使用寿命达到一个月及以上的概率；（2）求出n ＝1,2,3,4,5,6,7时.P 的值由此能求出当n ＝6时，W 取最大值40．【详解】（1）设元件1的使用寿命达到一个月及以上为A 事件，元件2的使用寿命达到一个月及以上为B 事件.由题意知，1()()2P A P B ==，且A 事件与B 事件相互独立，所以，1()()()4P AB P A P B =⋅=. （2）当1n =时，1(0,0.6]4P =∈；当2n =时，231(0,0.6]4P ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；当3n =时，331(0,0.6]4P ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；当4n =时，431(0.6,0.85]4P ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；当5n =时，531(0.6,0.85]4P ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；当6n =时，631(0.6,0.85]4P ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；当7n =时，731(0.85,1)4P ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. 设所得利润为W ，则有：(){}{}22225? 123958?4561540? 7n n n W n n n n n n n n N ⎧--∈⎪=-+∈⎨⎪-+-≥∈⎩，，，，，，，．当6n =时，W 取最大值40. 【点睛】本题主要考查概率、最大利润的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知圆22:(16E x y -+=，P 为E上任意一点，(F ，PF 的垂直平分线交PE 于点G ，记点G 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）已知点(20)S ,，过(2,4)Q -的直线l 交C 于,M N 两点，证明：直线SM 的斜率与直线SN 的斜率之和为定值.【答案】（1）22142x y +=（2）证明见解析【解析】（1）由PF 的中垂线可得GP ＝GF ，而GP +GE ＝PE ＝4，进而可得G 的轨迹为椭圆；且可得F ，E 为椭圆的焦点，PE 的长为长轴长，进而求出椭圆的方程；（2）设直线MN 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线SM ，SN 的斜率之和，将之和及之积代入，由由于Q 在直线上，可得参数的关系，进而可得斜率之和为定值．【详解】（1）因为点G 在PF 的垂直平分线上，所以GP GF =. 而4GP GE PE +==，所以动点G满足4GE GF +=>椭圆定义可知，G 点在以E 、F为焦点的椭圆上，且4c a ==，所以224,2a b ==，所以曲线C 的方程为22142x y +=.（2）由题意知直线l 斜率存在.设其方程为(0)y kx m k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组22,1,42y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩代入消元并整理得：()222214240kx kmx m +++-=，则122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k . 121222SM SN y yk k x x +=+--，将直线方程代入，整理得： ()()()()()()1221122222SM SN kx m x kx m x k k x x +-++-+=--()()121212122(2)424kx x m k x x mx x x x +-+-=-+-，韦达定理代入化简得：24(2)2(2)SM SN k m k k k m -++=+.因为直线l 过点(2,4)Q -，所以24k m +=-，代入24(2)2(2)SM SN k m k k k m -++=+，得12SM SNk k +=.【点睛】本题主要考查求轨迹方程的方法及直线与椭圆的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题． 21．已知函数()()22()ln 2f x a x x ax =---.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若存在实数12,x x ，使()()120f x f x ⋅<，求实数a 的范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）(,2)(0,1)-∞-U【解析】（1）求导，分类讨论即可求得单调性情况；（2）分a ＝0，a ＜0及a ＞0三种情况讨论即可求得实数a 的取值范围．【详解】（1）函数()f x 的导函数为1()(1)(2)f x ax x a x'=--+，当0a =时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，函数()f x 在0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）当0a =时，(0,)x ∈+∞，有()20f x x =>，不符合题意；当0a >时，由（1）知max 211()ln 1f x f a a a ⎛⎫⎛⎫==--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由21()ln 1g a a a=-+在(0,)+∞单调递增，且(1)0g =知， ①当1a ≥时，由（1）知max ()0f x ≤，此时()0f x ≤恒成立，不符合题意； ②当01a <<时，max 1()0f x f a ⎛⎫=>⎪⎝⎭，（预备：很容易证明ln x x <，而(1)x a x <+，所以，ln (1)x a x <+，即ln x ax x -<，所以，2ln a x a x ax -<.）由222()ln 22(2)0f x a x ax a x x ax ax x x ax a =--+<-+=---=，有21x a =+，即210f a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭. 所以存在1212,1x x a a==+，使得()()120f x f x <满足题意. 当0a <时，由（1）知2min()ln 1224a a a f x f a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由2()ln 124a ah a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在(,0)-∞上单调递减，且(2)0h -=知，当20a -≤<时，()0f x ≥恒成立，不满足题意；当2a <-时，min ()02a f x f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，（预备：很容易证明ln x x <，而21x x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，所以，2ln 1x x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，即ln (2)a x a x >-，所以，ln 2a x x ax +>.）由2222()ln 2(1)0f x a x ax a x x ax ax a x ax x a =--+>--=-+-=，有1x a =-，即(1)0f a ->，所以存在12,12ax x a =-=-，使得()()120f x f x <满足题意. 综上所述，a 的取值范围为(,2)(0,1)-∞-U . 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想以及逻辑推理能力，属于难题．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【答案】（10y -+=，22430x y x +-+=；（2）1⎤-⎥⎣⎦【解析】(1)直接利用转换关系式,转化参数方程与极坐标方程即可;(2)先求出圆C 的圆心到直线l 的距离,进而可得出曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围. 【详解】(1)直线l的参数方程为322t x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数),消去参数t 可得l0y -+=; 曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=, 可得C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.(2)C 的标准方程为()2221x y -+=,圆心为()2,0C ,半径为1,所以,圆心C 到l的距离为d ==,所以,点P 到l的距离的取值范围是1⎤-⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,考查点到直线的距离公式的应用,难度不大.23．已知函数()()2log 15f x x x a =-+-- （1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；（2）当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1；（2）(),4-∞ 【解析】【详解】（1）当2a =时，函数的定义域满足：|150x x a -+--，即152x x a -+->=．设()15g x x x =-+-，则()26,515{4,1562,1x x g x x x x x x -≥=-+-=<<-≤，()()()2min min 42,log 421g x a f x =>==-=．（2）因为函数的定义域为，所以不等式恒成立，只要即可；又（当且仅当时取等号），所以，即的取值范围是．【考点】1．函数的定义域；2．绝对值不等式；3．恒成立问题．【方法点睛】处理绝对值不等式问题，主要从去掉绝对值符号入手，往往讨论变量的范围去掉绝对值符号，变成分段函数求解问题；证明问题还往往涉及的应用．。

2020年山西省临汾市马头中学高三数学理模拟试题含解析

2020年山西省临汾市马头中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对于函数，下列说法正确的是（）A. 函数图像关于点对称B函数图像关于直线对称.C将他的图像向左平移个单位，得到的图像.D.将他的图像上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图像参考答案：B【知识点】三角函数图像变换三角函数的图像与性质【试题解析】对A：故A错；对B：图像关于直线对称，故B正确；对C：将他的图像向左平移个单位，得到的图像，故C错；对D：将他的图像上各点的横坐标缩小为原来的倍，的图像，故D错。

故答案为：B2. 在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边平面，且，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．25π B．20π C. 16π D．13π参考答案：A3. 已知S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=3，数列{a n a n+1}是公比为2的等比数列，则S10=（）A．1364 B．C．118 D．124参考答案：D【考点】数列的求和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用数列的首项以及数列{a n a n+1}是公比为2的等比数列，求出数列的各项，然后求解S10即可．【解答】解：S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=3，数列{a n a n+1}是公比为2的等比数列，可得=2，解得a3=2，，a4=6，同理a5=4，a6=12，a7=8，a8=24，a9=16，a10=48，则S10=1+3+2+6+4+12+8+24+16+48=124．故选：D．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．4. 如图，在三棱锥S—ABC中，SA丄平面ABC,SA = 3，AC=2，AB丄BC，点P是SC的中点，则异面直线SA与PB所成角的正弦值为(A) (B) (C) (D)参考答案：D5. 已知两个单位向量，的夹角为60°，=（1﹣t）+t，若?=﹣，则实数t的取值是( )A．2 B．﹣2 C．D．﹣参考答案：B考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义可得?=，再由向量的平方即为模的平方，解方程即可得到t．解答：解：两个单位向量，的夹角为60°，则有?=1×1×cos60°=，由=（1﹣t）+t，且?=﹣，即有（1﹣t）?+t=﹣，即（1﹣t）+t=﹣，解得t=﹣2．故选：B．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．6. 设F1、F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，c=2,，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由已知条件求出a、b的值，可得渐近线的方程，可得两条渐近线的夹角. 【详解】解：由题意可得，可得，可得，可得a=1，，可得渐近线方程为：，可得双曲线的渐近线的夹角为，故选D.【点睛】本题主要考察双曲线的性质及渐近线的方程，熟练掌握其性质是解题的关键.7. 在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步，程序和在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( )A．种 B．种C．种D．种参考答案：C8. 在三角形ABC中，若，则的值是B. C. D.参考答案：B略9. 已知若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积为A． B．2 C．2 D．4参考答案：D略10. 已知将函数向右平移个单位长度后,所得图象关于y轴对称，且,则当取最小值时，函数f(x)的解析式为( )A ． B.C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若将函数的图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为_________.参考答案：略12. 以点M （2，0）、N （0，4）为直径的圆的标准方程为．参考答案：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=5 【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，设要求圆的圆心即点M 、N 的中点为C （x ，y ），半径为r ，由点M 、N 的坐标结合中点坐标公式可得C 的坐标，又由2r=|MN|，结合两点间距离公式可得r 的值，由圆的标准方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心即点M 、N 的中点为C （x ，y ），半径为r ，又由点M （2，0）、N （0，4）；则有，解可得，又有2r=|MN|==，则r 2=5；故要求圆的方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=5；故答案为：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=5．13. 如图，已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，若圆心O 到AC 的距离为，AB=3，则切线AD的长为.参考答案：略14. 是虚数单位，计算=________.参考答案： -115. “0＜a ＜b”是“（）a ＞（）b ”的条件．（填充分而不必要条件、必要而不充分件、充分条件、既不充分也不必要条件中一个）参考答案：充分不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据指数函数的性质先求出a ＜b ，再根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由（）a＞（）b得：a ＜b ，故0＜a ＜b 是a ＜b 的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件，考查指数函数的性质，是一道基础题．16. 已知向量、的夹角为，且，，则向量与向量的夹角等于．参考答案：（或）17. 设＝，＝，且∥，则锐角的大小为；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019-2020学年山西临汾高三下数学高考模拟 (1)

2019-2020学年山西临汾高三下数学高考模拟一、选择题1. 在复平面内，复数i 1+i对应的点位于( )A.第三象限B.第一象限C.第四象限D.第二象限2. 已知集合A ={1, 3}，B ={x|x 2−mx +n =0}，若A ∩B =A ，则n =( ) A.3 B. 4C.−3D. −43. $``\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}"$是$``\cos 2\alpha = \frac{1}{2}"$的（） A.充分必要条件B.充分不必要条件C.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件4. 已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示．为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中生需抽取20名学生，则抽取的学生总人数为（）A.120B.40C.360D.605. 在△ABC 中，AB →=c,AC →=b ，若点D 满足BD →=12DC →，则AD →=（）A.43b −13cB.13b +23cC.12b +12cD.23b +13c6. 圆x 2+y 2=6x +6y 上到直线x +y −2=0的距离为1的点的个数为( ) A.3 B.1C.4D.27.已知方程sin x +cos x =a 在区间[0,2π]上恰有三个解，则a =( ) A. √2 B. √22C. 2√2D.18. 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间(0,+∞)上单调递增，且f (−1)=0，则(2x −1)⋅f(x)>0的解集为（） A.(−∞,−1)∪(0,1) B.(−∞,−1)∪(1,+∞) C.(−1,0)∪(1,+∞) D.(−1,0)∪(0,1)9.某兴趣小组有3名男生和2名女生，现从中选2人参加公益活动，则至少选中一名女生的概率为( ) A. 710B.110C. 910D.31010. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（）A.12B.16C.56D.1311. 在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C:y 2=4x 的焦点，M 在C 上，直线MN 与x 轴平行且交y 轴于点N ．若∠ONM 的角平分线恰好过MF 的中点，则|MF|=（） A.2 B.1 C.4 D.√212.已知三次函数f (x )=x 33+ax 2−3a 2x (a >0)的导函数为f ′(x )，若方程f ′[f (x )]=0有四个实数根，则实数a的范围为( ) A. (0,13)∪(3√55,+∞) B.(13,3√55) C.(0,19)∪(95,+∞) D.(19,95)二、填空题若x，y满足约束条件{x−2y−2≤0,x−y+1≥0,y≤0,则z=3x+2y的最小值为________．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，则异面直线D1E与A1B所成角的正弦值为________.现有三张卡片，每张卡片上分别写着北京、上海、广州三个城市中的两个，且卡片不重复，甲、乙、丙各选一张去对应的两个城市参观．甲看了乙的卡片后说：“我和乙都去广州”．乙看了丙的卡片后说：“我和丙不都去上海”．则甲、丙同去的城市为________.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠ABC=120∘，D是AC边上一点，CD=2AD，且BD⊥BC，BD=√3，则△ABC的面积为________.三、解答题已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，且a1=2,S3=12.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=2a n+1，求数列{b n}的前n项和T n.如图所示，已知多面体EF−ABCD中，四边形ABCD为菱形，ACDE为正四面体，且BF//DE.(1)求证：CE//平面ABF；(2)若DE=1，求三棱锥F−CDE的体积．科学家为研究对某病毒有效的疫苗，通过小鼠进行毒性和药效预实验．为了比较注射A，B两种疫苗后产生的抗体情况，选200只小鼠做实验，将这200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中一组注射疫苗A，另一组注射疫苗B．下表1和表2分别是注射疫苗A和疫苗B后的实验结果．表1：注射疫苗A后产生抗体参数的频率分布表表2：注射疫苗B后产生抗体参数的频率分布表(1)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种疫苗后抗体参数的中位数大小；(2)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射疫苗A后的抗体参数与注射疫苗B后的抗体参数有差异”表3：附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).已知椭圆方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，左，右焦点分别为F 1,F 2，上顶点为A ，△AF 1F 2是面积为4的直角三角形．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 1作直线与椭圆交于P ，Q 两点，求△PQF 2面积的最大值．设曲线f (x )=e 2x −ax 2−bx −1在（−1,f(−1)）处的切线方程为2x −e 2y +3=0. (1)求a ，b 的值；(2)求证：f(x)有唯一极大值点x 0，且4−e4e <f (x 0)<14.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ−2p sin θ+1=0.曲线C 的参数方程为{x =2cos α,y =√3sin α,（α为参数）．(1)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，已知点M (1,1)，求|MA|⋅|MB|的值．已知函数f(x)=|x +1|+2|x −1|． (1)求不等式f(x)≤3的解集；(2)若函数y =f(x)的图象的最低点为(m, n)，正数a ，b 满足ma +nb =2，求2a +1b 的最小值．参考答案与试题解析2019-2020学年山西临汾高三下数学高考模拟一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】复验热数术式工乘除运算复数射代开表波法及酸几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】集合体系拉的参污取油问题交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】分层使求方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】向量因滤性线算性吨及几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系点到直使的距离之式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】两角和与表擦正弦公式根的验河性及洗的个会判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函数单验家的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】古典因顿二其比率计算公式此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】柱体三锥州、台到的体建计算简单空间较形脱三视图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】抛物使之性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性根的验河性及洗的个会判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案异面直线表烧所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】进行简根的合情亮理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】三角形射面积公放解都还形余于视理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】等三中弧数使的种和等差数常的占n项和等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与平三平行定判定柱体三锥州、台到的体建计算【解析】此题暂无解析此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】众数、中正数、平均测频率都着直方图独根性冬验【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线常椭圆至合业侧值问题椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程利来恰切研费函数的极值利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】参数较严与普码方脂的互化直线的三坐标方实与直沉造标方程的互化点到直使的距离之式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案绝对常不等至的保法与目明基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

山西省临汾市2020届高三下学期模拟考试试题数学(理) 含答案

山西省临汾市2020届高三下学期模拟考试试题数学（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知i 是虚数单位，20172i3i 1iz =-+，且z的共轭复数为z ，则z z ⋅=（） A ．3B ．5C ．5D ．32．已知全集为R ，集合2{|2}A x x x =<,{|lg(+4)1}B x x =<，则()A B =R（）A ．[3,2]-B ．[3,6)-C ．[3,0][2,+)-∞D ．[3,0][2,6)-3．已知函数1,0()2 , 0xx x f x x ⎧+>⎪=⎨⎪⎩≤，若()2f a <，则实数a 的取值范围是（） A ．(,3)-∞B ．(,2)-∞C ．(1,2)D ．(0,3)4．已知夹角为θ的向量,a b 满足()2⋅+=a a b ，且||2||2==a b ，则向量,a b 的关系是( ) A ．互相垂直B ．方向相同C ．方向相反D ．成120︒角5．公差不为零的等差数列{}n a 中，367,,a a a 成等比数列，则46a a =（） A ．72-B ．73C ．213-D ．1376．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．9182π+ B ．9362π+ C ．1818π+ D ．1836π+7．已知α满足2sin()4πα+，则2tan 12tan αα+=（）A ．98 B ．98-C ．3D ．3-8．运行如图所示的程序算法，若输入m 的值为20，则输出的结果为（）A ．20B ．10C ．0D ．10-9．随着新政策的实施，海淘免税时代于2016年4月8日正式结束，新政策实施后，海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响，某记者调查了身边喜欢海淘的10位朋友，其态度共有两类：第一类是会降低海淘数量，共有4人，第二类是不会降低海淘数量,共有6人.若该记者计划从这10人中随机选取5人按顺序进行采访，则“第一类”的人数多于“第二类”，且采访中“第二类”不连续进行的不同采访顺序有（） A ．3840B ．5040C ．6020D ．720010．若不等式组20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥(0)k <所表示的平面区域的面积为4，则21x y z x +=-的取值范围是（）A ．2[2,]5-B ．12[2,]5-C ．12(,0][,)5-∞+∞ D ．12(,2][,)5-∞-+∞ 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=,260ONF ∠=︒,12F MF △的面积为3，则该双曲线的方程为（）A ．22142x y -= B ．22144x y -= C ．22182x y -=D ．22184x y -=12．已知函数3|2|1,0()3+1,0x x f x x x x --⎧=⎨-+<⎩≥，函数ln (1)+,1()2,1x m x g x x x -+>-⎧=⎨+-⎩≤，若方程()()f x g x =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．3(ln2,)2B ．(ln2,4)C ．(ln3,2)D ．(ln31,1)-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如22222222222222251213,6810,72425,81517,2896100+=+=+=+=+=，等等.其中最大的数称为“弦数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若勾股数组中的某一个数m 是确定的奇数(大于1)，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，称之为“由m 生成的一组勾股数”.则“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为 .14．已知抛物线22(0)x py p =->的焦点坐标为(0,3)F -，则直线y x =与抛物线围成的封闭图形的面积为 .15．已知()sin cos f x a x b x =+的最大值为ab ，则4422191a b a b +++的最小值为 .16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对于任意正整数n ，都有+3n n a S n +=，若存在正整数0n ，使得020(6)(1)4n m n a --≥，则实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角．（1）求cos A 的值；（2）当223a b bc+取得最小值时，求cos B 的值．18．(12分)如图，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD ，CE AB =,PD CE λ=(13)λ<<．（1）求证:PE AD ⊥；（2）若二面角P BE D --的余弦值为13，求λ的值．19．(12分)2016年5月20日以来，广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地20日~28日9天内记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下：若根据往年防汛经验，每小时降雨量在[75,90)时，要保持二级警戒，每小时降雨量在[90,100)时，要保持一级警戒.（1）若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内每小时的平均降雨量；（2）若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.再从这10小时中随机抽取3小时，求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望.20．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F 2P 在椭圆C上运动，当点P 恰好在直线l :2y x =上时，12PF F △22. （1）求椭圆C 的方程；（2）作与l 平行的直线1l ，与椭圆交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若12,MF MF 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围.21．（12分）已知函数()ln(21)(21)1f x x m x =---+.（1）若()y f x =在2x =处的切线与直线320170x y -+=垂直，求()y f x =的极值；（2）若函数()y f x =的图象恒在直线1y =的下方. ①求实数m 的取值范围；②求证:对任意正整数1n >，都有4(1)ln[(2)!]5n n n +<.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为2122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数），以原点为极点，以x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin m ρθ=（m 为常数，且0m ＞），直线l 与曲线C 交于,A B 两点. （1）若2AB =，求实数m 的值；（2）若点P 的直角坐标为(1,2)-，且4PA PB ⋅＞，求实数m 的取值范围.23．（10分）选修4—5不等式选讲已知函数()||f x x m =-(其中m 为常数). （1）若(0)(2)3f f +≤，求实数m 的取值范围；（2）求证：22223614()()(1)(3)a b f f a b++-+≤对任意实数,,a b m 恒成立.1．【答案】C 【解析】20172i 3i 1iz =-+2i(1i)3i i 13i 12i (1i)(1i)-=-=+-=-+-，则12i z =+，故5z z ⋅=.2．【答案】D 【解析】由条件可得(0,2)A =，则(,0][2,)A =-∞+∞R ，而[3,6)B =-, 故()A B =R [3,0][2,6)-.3．【答案】A 【解析】当0a ≤时，212a <≤成立；当0a >时，由12a +<，故03a <<，综上可知，实数a 的取值范围是(,3)-∞.4．【答案】C 【解析】由()2⋅+=a a b 可得22+⋅=a a b ，即2||||||cos 2θ+⋅⋅=a a b ，即42cos 2θ+=，所以cos 1θ=-，即θπ=，所以,a b 方向相反.5．【答案】B 【解析】设{}n a 的公差为(0)d d ≠，由367,,a a a 成等比数列可得2637a a a =，即2111(5)(2)(6)a d a d a d +=++，即1213a d =-，故4613+6713103a d d a d d -==-+. 6．【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，其中半圆柱的底面半径为3，高为1，故其体积为：219(31166)1822V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 7．【答案】B 【解析】由2sin()4πα+=可得22(sin cos )αα+=，即1sin cos 3αα+=，平方可得112sin cos 9αα+=，即8sin 29α=-，故222sin 1tan 1119cos 2sin 2tan 2sin cos sin 28cos ααααααααα++====-. 8．【答案】B 【解析】该框图的运行结果是：20(2019)(1817)(21)010S =+-++-+++-+-=.9．【答案】B 【解析】“第一类”抽取3人的采访顺序有32324634C C A A 种；“第一类”抽取4人的采访顺序有415465C C A 种，故不同的采访顺序有32324154634465+5040C C A A C C A =.10．【答案】D 【解析】画出不等式组对应的平面区域如图所示. 图中点2(2,0),(,0),(0,2)A B C k-，故阴影部分的面积为12(2)242k⨯--⨯=，解之得13k =-,21x y z x +=-221y x +=+-，设点(,)P x y ,21y m x +=-，则m 的几何意义是点P 与点故z 的取值范围是12(,2][,)5-∞-+∞.11．【答案】C 【解析】由N 为2MF 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故1260FMF ∠=︒，2121||||(||||)2ON NF MF MF a -=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，在12MF F △中，由余弦定理可得22212124||||2||||cos60c MF MF MF MF =+-⋅︒21212(||||)||||MF MF MF MF =-+⋅2124||||a MF MF =+⋅,22212||||444MF MF c a b ∴⋅=-=， 12F MF ∴△的面积为2121||||sin 603232MF MF b ⋅⋅︒==，2222,48b a b ∴===，双曲线的方程为22182x y -=. 12．【答案】D 【解析】当<0x 时，3()3+1f x x x =-+，则2'()33f x x =-+，由'()0f x =可得1x =-或1x = （舍去）.当<1x -时，'()<0f x ，当10x -<<时，'()>0f x ，故()f x 在(1,0)-上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减.因此，在同一坐标系中画出函数()y f x = 与曲线()y g x =的图象如图所示.由图可知，若函数()y f x =与()y g x =恰好有4个公共点，则(0)<1(2)>1g g ⎧⎨-⎩，即<1ln3>1m m ⎧⎨-+-⎩，解之得ln31<<1m -.13．【答案】145【解析】由217289=，而289144145=+，则这组勾股数中的“弦数”为145.14．【答案】24【解析】由抛物线的焦点坐标可得6p =，故抛物线方程为212x y =-，把y x =代入抛物线方程可得00x y =⎧⎨=⎩或1212x y =-⎧⎨=-⎩，故直线与抛物线围成的封闭图形的面积为232001212()d ()|2412362x x x x x ----=--=⎰.15．【答案】17【解析】()sin cos f x a x b x =+22)a b x ϕ++(tan )b aϕ=22a b +22a b ab +，整理可得22111a b +=，则 4422191a b a b +++22222222222211119(9)(9)()111291117b a a b a b a b a b a b=+++=+++=++=≥, 当且仅当2234a b ==时，取得等号，故4422141a b a b +++的最小值为17. 16．【答案】11[,]-【解析】由+3n n a S n += ① 可得+1+1+4n n a S n += ②由②－①可得111n n n a a a ++-+=，即111(1)2n n a a +-=-，由114a S +=可得12a =,111a ∴-=，所以,{1}n a -是首项为1，公比为12的等比数列，所以，1112n n a --=，即1112n n a -=+，所以，1166(6)(1)22n n n n n n a ------=-=，设16()2n n f n --=，则1567(1)()222n n n n n nf n f n ----+-=-=，当70n ->，即07n <<时，()f n 递增，当7<0n -，即>7n 时，()f n 递减，故()f n 的最大值为1(7)(8)64f f ==. 故21464m ≤，故实数m 的取值范围是11[,]44-.17．【解析】（1）由3cos 3cos 5sin b C c B a A +=及正弦定理可得23sin cos 3sin cos 5sin B C C B A +=，即23sin()5sin B C A +=，由sin()sin 0B C A +=>可得3sin 5A =，而A 是锐角，所以4cos 5A =.（5分）（2）由余弦定理可得2222282cos 5a b c bc A b c bc =+-=+-，则2222228434855b c bca b b c bc bc bc +-++==-481255bc bc -=≥，当且仅当2c b =时，2a bc取得最小值125.（9分）此时22222894255b a b b b =+-⨯=，所以35b a =，∴2222229+4255cos 23522b b b a c b B ac bb-+-===⨯⨯.（12分） 18．【解析】（1）ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥,PD ⊥平面ABCD ,AD PD ∴⊥，而,,PD CD D PD CD =⊂平面PDCE ,AD ∴⊥平面PDCE ，又PE ⊂平面PDCE ,PE AD ∴⊥.（6分）（2）如图，以D 为原点，以,,DA DC DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.(1,0,1)BE =-,(1,1,0)DB =,(1,1,)BP λ=--.设平面PBE 和平面DBE 的法向量分别为11112222(,,),(,,)x y z x y z ==n n . 由条件可得1100BE BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即1111100x z x y z λ-+=⎧⎨--+=⎩，令11x =，故1(1,1,1)λ=-n .同理可得2(1,1,1)=-n .由条件可得1212212||1|cos ,|||||31(1)13λ⋅<>==⋅+-+⋅n n n n n n ，即28+12=0λλ-，解之得=2λ或=6λ(舍去).∴=2λ.（12分） 19．【解析】（1）这五组数据对应的频率分别为：0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.故这100小时的平均降雨量为： 0.05×77.5+0.35×82.5+0.3×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87.25(mm).（3分）（2）由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为：(0.04+0.02)×5=0.3, 则属于二级警戒的频率为1－0.3=0.7.所以，抽取的这10个小时中，属于一级警戒的有3小时，属于二级警戒的有7小时.（6分）从这10小时中抽取3小时，用ξ表示一级警戒的小时数，ξ的取值可能为0,1,2,3. 则373107(0)24C P C ξ===,123731021(1)40C C P C ξ===,21373107(2)40C C P C ξ===,333101(3)120C P C ξ===. 所以，ξ的分布列为：ξ 0123P72421407401120则ξ的期望值为：701230.9244040120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）.（12分） 20．【解析】（1）由222212x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可得222224a b x a b =+,2222244a b y a b =+.根据对称性，不妨设点P 在第一象限，则点P 的坐标为2222(44a b a b ++，设椭圆的焦距为2c ，由条件可得22122224c a b ⨯+2224a b +，由椭圆的离心率可得2c a ，所以，2212c a =,22212a b a -=，所以，2a b ,c b =，∴3222242b b b ⨯+，解之得1b =，故2a 故椭圆C 的方程为2212x y +=.（6分）（2）设直线1l 的方程为2y x m =+(0)m ≠.由22122x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得2298220x mx m ++-=，由条件可得226436(22)0m m ∆=-->，即33m -<<，所以，30m -<<，或03m <<.设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，则21212822,99m m x x x x -+=-=.则120429x x m x +==-,0029m y x m =+=.则001200,11y yk k x x ==+-， ∴00120011y y k k x x +=++-002021x y x =-2429916181m mm -⨯⨯=-2288116m m =-. 当0m ≠时，12288116k k m +=-，且12k k +在(3,0)m ∈-和(0,3)m ∈上的取值范围相同，故只需求12k k +在(0,3)m ∈上的取值范围.而12k k +在9(0,)4m ∈和9(,3)4m ∈上随m 的增大而增大.∴12k k +的取值范围是8(,)(0,)7-∞-+∞.（12分）21．【解析】（1）由()ln(21)(21)1f x x m x =---+可得2'()221f x m x =--，由条件可得21'(2)233f m =-=-，即12m =. 则3()ln (21)2f x x x =--+,2(23)'()1=2121x f x x x --=---1()2x >，令'()0f x =可得32x =，当32x >时，'()<0f x ，当1322x <<时，'()>0f x .∴()f x 在3(,+)2∞上单调递减，在13(,)22上单调递增，∴()f x 的极大值为333()ln 2ln 2222f =-+=，无极小值.（4分）（2）①由条件可知：只需()1f x <，即ln(21)(21)0x m x ---<在1(,+)2∞上恒成立. 即(21)ln(21)m x x ->-，而12x >,∴210x ->,∴ln(21)21x m x ->-恒成立. 令ln(21)()21x g x x -=-，则222ln(21)'()(21)x g x x --=-，令'()0g x =可得12e x +=. 当1122e x +<<时'()0g x >，当12e x +>时，'()0g x <，∴()g x 在11(,)22e +上单调递增，在1(,)2e ++∞上单调递减，故()g x 的最大值为11()2e g e+=,∴1m e >，即实数m 的取值范围是1(,)e +∞.（8分）②由①可知,25m =时，ln(21)2<215x x --，即2(21)ln(21)5x x --<对任意的12x >恒成立.令21(m )m x *=-∈N ，则2ln 5mm <.2ln1ln 2ln3ln(2)12325n n ++++<++++（），即212ln1ln 2ln3ln(2)5n n n +++++<（）,∴2(21)4(1)ln[(2)!]55n n n n n ++<<.（12分） 22．【解析】（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin m ρρθ=，化为直角坐标系下的普通方程为：222x y my +=，即222()x y m m +-=. 直线l 的普通方程为：10x y +-=，而点(0,)m 到直线l 的距离为2d ，由条件可得221||2()22m AB m -=-，即2230m m +-=，结合0m >可得1m =.（5分）（2）显然点P 在直线l 上,把2122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入222x y my +=并整理可得2(3)2450t m t m +--+=，设点,A B 对应的参数分别为12,t t .则22(3)4(45)0m m ∆=---+>，解之得12m <-21m . 则12|||||||45|4PA PB t t m ⋅==-+>，解之得94m >或14m <. 而0m >,∴实数m 的取值范围是9(,)4+∞.（10分） 23．【解析】（1）由条件可知(0)(2)|||2|3f f m m +=+-≤，①当0m <时，23m m -+-≤，解之得12m -≥，所以，102m -<≤； ②当02m ≤≤时，23m m +-≤，恒成立，所以，02m ≤≤； ③当2m >时，23m m +-≤，解之得52m ≤，所以，522m <≤. 综上可知，实数m 的取值范围是15[,]22-．（5分）（2）(1)(3)f f -+|1||3||(1)(3)|4m m m m =++-+--=≥,∴363609(1)(3)4f f <=-+≤，而222214()()a b a b ++2222455249b a a b =+++≥， ∴22223614()()(1)(3)a b f f a b++-+≤对任意实数,,a b m 恒成立.（10分）。

山西省临汾市第一中学2020年高三数学理月考试卷含解析

山西省临汾市第一中学2020年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．或C．D．或参考答案：B【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac?cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．2. 将一个长、宽分别是8，7的铁皮的四角均切去边长为的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，则当这个长方体的对角线最短时，则的值为（）A．1 B．2 C．D．参考答案：C3. 已知命题p：?x0∈R，lnx0≥x0﹣1．命题q：?θ∈R，sinθ+cosθ＜1，．则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）参考答案：D【考点】复合命题的真假．【分析】先判断命题p和命题q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，得到答案．【解答】解：?x0=1∈R，使lnx0=x0﹣1=0．故命题p：?x0∈R，lnx0≥x0﹣1为真命题，当θ=时，sinθ+cosθ=＞1，故命题q：?θ∈R，sinθ+cosθ＜1为假命题，故命题p∧（?q）为真命题，命题（?p）∧q，（?p）∧（?q），p∧q为假命题，故选：D．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题和特称命题等知识点，难度中档．4. 已知等比数列的前项和为，，则实数的值是A．B．C．D．参考答案：A当时，，当时，，因为是等比数列，所以有，解得，选A.5. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A. B. C. D.参考答案：A略6. 已知x，y满足约束条件，那么z=2x+3y的最小值为（）A．B．8 C．D．10参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（）．此时z的最小值为z=2×+3×1=5+3=8，故选：B．7. 函数的部分图象大致为( )A．B．C. D．参考答案：A设，由得，则函数的定义域为．∵，∴函数为奇函数，排除D．又，且，故可排除B．，且，故可排除C．选A．8. 设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．参考答案：B9. 把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（）A． B 。