矩母函数
两个随机变量相乘 矩母函数
两个随机变量相乘矩母函数随机变量的矩母函数在概率论和统计学中经常用于描述随机变量的性质和特征。
本文将介绍两个随机变量相乘时的矩母函数。
首先，我们先回顾一下随机变量的矩母函数。
设X是一个随机变量，其概率质量函数为P(X=x)，则X的矩母函数定义为M(t)=E(e^tX)，其中E(·)表示期望值运算符。
矩母函数可以用来计算各阶矩，包括均值、方差、偏度和峰度等。
同时，矩母函数的性质和变换公式也可以通过矩母函数进行推导和证明。
接下来，假设有两个随机变量X和Y，它们相互独立，并且它们的矩母函数分别为Mx(t)和My(t)。
我们想要计算这两个随机变量相乘的矩母函数。
根据随机变量相乘的定义，我们有Z=X*Y。
要求Z的矩母函数，可以利用随机变量的矩母函数的性质和变换公式。
首先，我们知道对于独立的随机变量X和Y，它们的联合概率密度函数为P(X=x, Y=y)=P(X=x)*P(Y=y)。
这样，我们可以得到Z的概率质量函数为P(Z=z)=∑P(X=x, Y=z/x)，其中∑表示对所有可能的x求和。
根据相互独立的性质，我们可以将联合概率分解为边缘概率的乘积，即P(Z=z)=∑P(X=x)*P(Y=z/x)。
然后，我们可以计算Z的矩母函数。
根据矩母函数的定义，我们有Mz(t)=E(e^tZ)=∑e^tz*P(Z=z)。
将概率质量函数的表达式代入矩母函数的定义中，我们可以得到Mz(t)=∑e^tz*∑P(X=x)*P(Y=z/x)。
接下来，我们可以利用独立性的性质将上式展开。
由于X和Y是独立的，所以P(Y=z/x)=P(Y=z)。
因此，我们可以将P(Y=z/x)提出来，得到Mz(t)=∑P(Y=z)∑e^tz*P(X=x)。
再进一步，我们可以将两个求和符号合并，得到Mz(t)=∑e^tz*∑P(X=x)*P(Y=z)。
由于内层求和是X的概率质量函数的矩母函数Mx(t)，所以我们可以将其代入，得到Mz(t)=∑e^tz*Mx(t)。
特征函数和矩母函数概要
P ( s) pk s pk s
k k k 0 k 0
n
k n 1
p s
k
k
, n n! pn
k n 1
k (k 1)(k n 1) p s
令s 0, 则P ( n ) (0) n! pn 故pn P
k 0 l 0
P{ N l} P{Y k}s
l 0 k 0
k
l k P{N l} P X j k s l 0 k 0 j 1
k P{N l} P{ X j k}s l 0 j 1 k 0
k 0 k 0
PZ ( s) ck s k
k 0
PX ( s ) PY ( s ) pk s
k 0
k
q s
l 0 l
l
k ,l 0
p qs
k l r
k l
r pk q r k s r 0 k 0
r
c r s PZ ( s )
4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
P{X=k}=pk，k=0,1, 则称
P ( s) E ( s ) pk s
X k 0
k
为X的母函数。
性质： (1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定 (k ) P (0) pk , k 0,1,2, k! (2)设P(s)是X的母函数， 若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
由矩母函数求概率密度函数
由矩母函数求概率密度函数1. 引言矩母函数是概率论和统计学中的一个重要概念，它与随机变量的矩有着密切的联系。
在一些特定的问题中，我们可以通过矩母函数来求解随机变量的概率密度函数。
本文将详细介绍由矩母函数求概率密度函数的方法及其应用。
2. 矩母函数的定义与性质2.1 矩母函数的定义随机变量的矩母函数是一个复变量函数，用来唯一确定该随机变量的所有矩。
对于随机变量X，其矩母函数定义为：M X(t)=E(e tX)其中，t是一个复数。
我们可以看出，矩母函数本质上是对随机变量的矩进行整理和分析的工具。
2.2 矩母函数的性质矩母函数具有一些重要的性质，这些性质对于后续的推导和计算非常关键。
下面是矩母函数的一些重要性质：性质1：唯一性对于一个随机变量X，它的矩母函数存在且唯一。
性质2：矩的计算通过矩母函数，我们可以计算出随机变量X的各阶矩。
具体而言，随机变量X的k阶矩可以表示为：M X(k)(0)=E(X k)其中，M X(k)(t)表示矩母函数关于t的k阶导数。
性质3：矩的唯一性如果两个随机变量具有相同的矩母函数，那么它们的所有矩都是相同的。
换言之，矩母函数可以唯一确定一个随机变量。
3. 由矩母函数求概率密度函数的方法在一些特定的问题中，我们可以通过矩母函数来求解随机变量的概率密度函数。
下面将介绍由矩母函数求概率密度函数的一般步骤：3.1 步骤1：求解矩母函数首先，我们需要求解随机变量X的矩母函数M X(t)。
3.2 步骤2：计算矩母函数的逆变换根据矩母函数的性质3，如果两个随机变量具有相同的矩母函数，那么它们的概率密度函数也是相同的。
因此，我们可以将矩母函数的逆变换得到的随机变量Y的概率密度函数作为X的概率密度函数的估计。
3.3 步骤3：验证估计的概率密度函数最后，我们需要验证我们得到的概率密度函数是否满足所有的概率论性质，例如概率密度函数的积分为1、非负性等。
如果满足这些性质，则我们得到的概率密度函数是正确的。
概率统计：矩母函数
矩母函数与特征函数在计算随机变量的数字特征和概率分 布起很大的作用,它们使许多繁难的问题得到简化和解决,是证 明概率论中的许多理论问题的有力的工具.
定义 5.1 设 X 为随机变量,I 是一个包含0的(有限或无限的)
开区间,对任意t I ,期望EetX 存在,则称函数
M X (t) E(etX )
5
矩母函数(5)
3) 设U ,V 独立，U ~ B(m, p),V ~ B(n, p),W U V .则 MU (t) ( pet q)m , MV (t) ( pet q)n,
MW (t) MU (t)MV (t) ( pet q)m ( pet q)n ( pet q)mn. 故W ~ B(m n, p).
6
例 5.2 设 X ~ ( , ),则
矩母函数(6)
1) M X (t)
etx x 1e xdx 0 ( )
x 1e( t)xdx. 0 ( )
xu /( t)
(
t) ( )
0
u
1eu
du
t
a
.
2)
M
X
(t)
t
a1,
M
X
(t
)
(
2
1)
t
a2
2
2) M X (t) tet2 / 2, M X (t) t 2et2 / 2 et2 / 2 ,
EX M X (0) 0, EX 2 M X (0) 1, DX EX 2 (EX )2 1.
9
矩母函数(9)
3) M X (t) et2 / 2
(t2 / 2)k k0 k !
MY (t) et M X (t). 证 MY (t) EetY Eet( X ) et Ee(t ) X et M X (t).
常见分布的矩母函数
常见分布的矩母函数为了更好地理解概率统计学中的常见分布，我们需要先了解矩和矩母函数的概念。
在统计学中，矩是数据分布的一个特征，它能够描述数据的中心位置和离散程度。
矩母函数是矩的生成函数，它能够表示矩的所有信息。
在本文中，我们将介绍四种常见分布的矩母函数：正态分布、泊松分布、指数分布和伽马分布。
正态分布是一种常见的连续型分布，也被称为高斯分布。
在统计学中，许多随机现象都可以用正态分布来描述，因为它服从中心极限定理。
正态分布的概率密度函数是：$$f(x)={1\over \sqrt{2\pi}\sigma}\exp \{-{1\over2}[(x-\mu )/\sigma]^{2}\},\quad-\infty <x<+\infty$$$\mu$ 是分布的均值，$\sigma$ 是方差。
正态分布的矩母函数是：我们可以通过对矩母函数求导数来得到分布的各个矩，例如：$$\mu_{1}=M'(0)=\mu$$$$\mu_{4}=M^{(4)}(0)=\mu^{4}+6\mu^{2}\sigma^{2}+3\sigma^{4}$$泊松分布是一种常见的离散型分布，它经常用于描述单位时间内事件发生的次数，比如电话呼叫、到达顾客、任务处理等等。
$$P(X=k)={e^{-\lambda}\lambda^{k}\over k!},\quad k=0,1,2,\ldots$$$\lambda$ 是单位时间内事件发生的平均次数。
泊松分布的矩母函数是：指数分布是一种常见的连续型分布，用于描述随机事件发生的等待时间。
对于一个服从指数分布的随机变量 $X$，它的概率密度函数是：$\alpha$ 和 $\beta$ 是分布的参数，$\Gamma(\cdot)$ 是欧拉伽马函数，它是阶乘函数的推广。
伽马分布的矩母函数是：$$\mu_{4}=M^{(4)}(0)={\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)\over\beta^{4}}$$总结除了常见的四种分布，还有许多其他的分布也可以通过矩母函数来描述。
矩和矩母函数
矩和矩母函数
矩和矩母函数是概率论和数学中常用的函数形式。
矩函数是一组与分布函数相关的函数，而矩母函数是一个分布函数的特定生成函数。
矩函数和矩母函数可用于描述分布的各种性质和特征，包括均值、方差、偏度、峰度等。
在统计学和概率论中，我们通常使用矩函数来描述随机变量的一些统计特征。
例如，第一阶矩为随机变量的均值，第二阶矩为方差，第三阶矩为偏度，第四阶矩为峰度。
矩函数的优点是，它们可以通过对数据的简单计算来计算出来，而不需要知道任何有关分布函数的详细信息。
矩母函数则是一种特定的生成函数，它可以用来推导出矩函数的所有信息。
给定一个矩母函数，我们可以通过对其进行微分和求导来得到与矩函数有关的所有信息。
矩和矩母函数是概率论和数学中一些最基本的函数形式之一。
它们被广泛应用于许多领域，包括工程、物理、生物学、经济学等。
无论从理论还是实际应用的角度来看，矩和矩母函数都是十分重要的工具。
- 1 -。
逆母函数和矩母函数
逆母函数和矩母函数
反母函数和矩母函数是数学函数的一种，它们主要用于研究具有指定属性的函数之间的一些关系。
反母函数和矩母函数是一种非线性变换，它们用来将原函数经过变换后转变成另一种函数。
它们主要用于求解特定函数的反函数，并可以解决无穷多次函数，平均分布和累积分布等函数的反变换问题。
反母函数是具有独特特性的函数，它能够将一种函数变换成另一种函数，其中输入的参数是原有的函数的函数值，而输出的结果是原有函数的反函数。
这种变换可用来求解函数的反函数，从而可以避免计算函数的直接反函数，这也是反母函数的主要用途。
矩母函数也是独特特性的函数，它用来变换累积分布函数，从而可以求出支付金额和累积收入之间的关系。
它可以用来将某一分布的累积分布函数变换成指数型函数或指数密度函数，从而可以求出各种分布的参数。
总的来说，反母函数和矩母函数是一种独特的数学函数，它们被广泛应用于数学和统计学领域，用来求解各种特定函数及其反函数之间的关系。
这些函数在计算累积收入和累积分布关系、计算分布及其参数等问题时也发挥着重要作用。
特征函数和矩母函数
(3)独立随机变量之和的母函数等于母函数 之积。
(4)若X1,X2,是相互独立同分布的非负整
数值随机变量，N是与X1,X2,独立的非
负整数值随机变量，则
Y
N
Xk
k 1
的母函数H(s)=G(P(s)) , EY=ENEX1 其中G(s),P(s)分别是N, X1的母函数。
证明：(1)
n
0,1，
(2)
P(s) pk sk , P(s) kpk sk1
k 0
k 1
E( X ) kpk P(1) k 1
P(s) k(k 1) pk sk1 k2
P(1) k(k 1) pk k(k 1) pk
P{X=k}=pk，k=0,1,
则称
P(s) E(s X ) pk sk
k 0
为X的母函数。
性质：
(1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定
pk
P (k) (0) ,
k!
k
0,1,2,
(2)设P(s)是X的母函数，
若EX存在，则EX=P(1)
若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
X (t) X (it)
欧拉公式：
ei cos i sin
还可写成
X (t) E[costX ] iE[sintX ]
分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散
型随机变量X，特征函数为
(t) eitxk pk k 1
概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征
特征函数和矩母函数解剖
{N
l}s
k
k0
l 0
P{Y k, N l}sk k0 l0
P{Y k}P{N l}sk k0 l0
P{N l} P{Y k}sk
l 0
k 0
l P{N l} P
X
j
k
s
k
l0
k 0
j 1
l0
P{N
l}
l j 1
k 0
P{
X
j
k}s
k
则称
P(s) E(s X ) pk sk
k 0
为X的母函数。
性质：
(1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定
pk
P (k) (0) ,
k!
k
0,1,2,
(2)设P(s)是X的母函数，
若EX存在，则EX=P(1)
若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
P(s) k(k 1) pk sk1 k2
P(1) k(k 1) pk k(k 1) pk
k2
k 1
k 2 pk kpk EX 2 EX
k 1
k 1
DX EX 2 (EX )2 P(1) EX (EX )2
P(1) P(1) [P(1)]2
(3) 设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律
例1 设随机变量X服从参数为 的泊松分布，
求X的特征函数。
解
由于
P（X
k）
k
k！e
所以
X (t) eitk k 0
k
k！e
e
k 0
(eit ) k
k！
麦克劳林公式
e eeit e (eit 1)
布朗运动的矩母函数怎么求
布朗运动的矩母函数怎么求布朗运动是一种连续时间随机过程，在很多领域都有着广泛的应用。
矩母函数是布朗运动的一个重要概念，它可以用来描述随机过程的矩信息。
关于布朗运动的矩母函数如何求解，可以从以下几个方面来进行讨论。
一、布朗运动的概念布朗运动是一种连续时间随机过程，表现为一个粒子在液体或气体的微观粒子撞击作用下的随机运动。
它具有以下几个特点：连续性、马尔可夫性、独立增量、正态增量等。
二、矩母函数的概念矩母函数是概率论中一个重要概念，指的是某一随机变量的各阶矩的生成函数。
对于布朗运动而言，其矩母函数可以用以下公式来表示：$$M(t) = \mathrm E(e^{tX_t}) = e^{t\mu+\frac{1}{2}\sigma^2t^2} $$其中，$\mathrm E$表示期望，$X_t$表示布朗运动的值，$\mu$表示布朗运动的数学期望，$\sigma^2$表示布朗运动的方差。
三、布朗运动矩母函数的求解对于布朗运动矩母函数的求解，可以考虑以下两种方法：1、使用伊藤引理伊藤引理是一种用于求解随机过程函数导数的方法，在求解布朗运动矩母函数时，可以通过伊藤引理将随机过程的增量分解为两部分，进而求解出其矩母函数。
由于伊藤引理需要涉及到高阶微积分的知识，在具体求解时可能会较为复杂。
2、使用概率特征除了使用伊藤引理，还可以通过布朗运动的概率特征来求解其矩母函数。
对于布朗运动而言，其数学期望和方差已知，因此可以直接带入矩母函数公式中进行求解。
具体而言，可以使用以下公式求解布朗运动的矩母函数：$$M(t) = e^{t\mu+\frac{1}{2}\sigma^2t^2}$$其中，$\mu$表示布朗运动的数学期望，$\sigma^2$表示布朗运动的方差。
综上所述，布朗运动的矩母函数是布朗运动的一个重要概念，可以用来描述随机过程的矩信息。
在具体求解过程中，可以通过使用伊藤引理或概率特征的方法来计算其矩母函数。
正态分布的矩母函数推导
正态分布的矩母函数推导
正态分布是一个重要的概率分布，在概率论和统计学中广泛应用。
其概率密度函数具有非常典型的钟形曲线形状，因此也被称为高斯分布。
在统计学中，正态分布被广泛用于解决各种问题，包括学生的考试成绩、人口的身高、体重等等。
在本文中，我们将讨论正态分布的矩母函数的推导过程。
什么是矩母函数？
在概率论和统计学中，矩母函数是一种函数，它可以用来描述一个概率分布的各种矩的信息。
矩母函数是概率密度函数与$x^n$的积分的对数。
由于矩母函数与矩有直接的关系，因此矩母函数是用来计算概率分布的各种矩的重要工具。
正态分布的概率密度函数是:
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
其中，$\mu$是分布的均值，$\sigma^2$是分布的方差。
该函数图像如下：
合并指数，得：
移项得：
因此：
根据高斯积分公式：
令$b=\sqrt{2}\sigma a+\mu t$，则：
结论
通过上述推导，我们得出了正态分布的矩母函数为$e^{\mu
t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2}$。
我们可以使用这个函数来计算正态分布的各种矩，从而更好地描述这个分布。
通过计算该函数的导数，我们还可以得到正态分布的各种矩的最终解析式。
正态分布的矩母函数的推导过程并不复杂，需要掌握一些基本的积分技巧，但是在使用它来解决实际问题时却非常有用。
矩母函数
Y |X Y Y |X Y |X Y|X Y 0 0
所以
Y Y |X Y |X
.
10
二、混合分布
在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定， 如 f x，| 这些参数 通常又是一个随机变量 （贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量）， 则最终的分布称为混合分布(mixture distribution)
根据定义，
Y
Y
Y|X
Y2
Y
2
Y Y|X
Y|X
Y|X Y|X2Y|X Y2Y 2YY|X
Y|X Y
I II III
2
I
Y Y|X
2
II
Y|X Y
2
Y Y|X |X Y|X
III 2 Y Y | X Y | X Y
Y
Y|X Y|X Y|X Y |X
.
9
在给定X的情况下，条件分布为 Y | X ，Y为随机变量，因此上式中 Y| X , X 为常数，因此
16
矩母函数（Moment Generating Functions）
定
X是离散型r. v
义
X是连续型r. v
矩母函数与分布间的一一对应
唯一性定理：如果，MX(θ)=MY(θ)<∞在θ的某个
区间上成立，则随机变量X与Y同分布。
.
17
.
18
矩母函数与随机变量X的各阶矩
X的矩母函数可 以变形为：
于是：
.
14
拉式变换与概率分布函数
定理：一函数L(s) (s≥0)是某一分布函数的 Laplace变换的充要条件为L(0)=1，无穷 次可导，且满足 (-1)nL(n)(s) ≥0, (s≥0, n≥0)
特征函数和矩母函数
例6：设随机变量Y~N( , 2) ，求Y的特征
函数为gY(t)。 解：X~N(0 , 1)
，X的特征函数为 g X
(t)
t2
e2
设Y= X + ，则Y~N( , 2) ，
Y的特征函数为
gY (t) eit g X ( t)
e e e it
2t2 2
it 2t2 2
三、常见随机变量的数学期望、方差、特征 函数和母函数
P(s) k(k 1) pk sk1 k2
P(1) k(k 1) pk k(k 1) pk
k2
k 1
k 2 pk kpk EX 2 EX
k 1
k 1
DX EX 2 (EX )2 P(1) EX (EX )2
P(1) P(1) [P(1)]2
(3) 设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律
解:
g(t)
1
eitx
e
x2 2
dx
2
g(t)
1
ixeitx
e
x2 2
dx
2
i
2
eitxd
x2 e 2
e e itx
x2 2
dx
tg(t),
g '(t) tg(t) 0, dg tdt, ln g(t) 1 t2 C
g
2
g (t )
ab 2
b a 2 e ibt e iat
12 i(b a)t
ebt eat (b a)t
2
e e it 12 2t 2
t
1 2
2t
2
指数分布 1
1
2
it
t
例1 设随机变量X服从参数为 的泊松分布，
矩母函数求二阶矩
矩母函数求二阶矩矩母函数是组合数学中的一个重要工具，常用于求解组合数学中的一些重要问题，如计算二项分布、泊松分布等。
矩母函数的定义如下：设随机变量X的概率生成函数为f(t)，则称M_X(t)=E(t^X)=f(t)为X的矩母函数，其中E(·)表示随机变量的数学期望。
矩母函数的性质非常有趣，我们可以通过求导和求值等操作，得到二阶矩。
具体来说，设X为一个离散型随机变量，X的概率质量函数为p(x)，则X的矩母函数为：M_X(t)=E(t^X)=∑[x∈X]t^xp(x)我们可以通过对矩母函数进行求导，来计算出X的k阶矩。
这里我们仅考虑二阶矩的计算。
二阶矩是随机变量的方差，是评估随机变量分布离散程度的一种重要指标。
对于随机变量X的二阶矩，我们有以下公式：E(X^2)=M_X''(1)其中M_X''(t)表示矩母函数M_X(t)的二阶导数。
我们以一个具体的例子来说明二阶矩的计算方法。
假设随机变量X服从一个二项分布，其概率质量函数为：p(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)其中C(n,x)表示组合数。
首先，我们需要计算矩母函数M_X(t)。
根据矩母函数的定义，我们有：M_X(t) = ∑[x=0 to n] t^x * C(n, x) * p^x * (1-p)^(n-x)对矩母函数进行计算，我们可以得到：M_X(t)=(1-p+p*t)^n接下来，我们需要计算矩母函数的二阶导数M_X''(t)。
通过直接求导，我们可以得到：M_X'(t)=n*(1-p+p*t)^(n-1)*pM_X''(t)=n*(n-1)*(1-p+p*t)^(n-2)*p^2最后，我们将t的值设为1，可以得到X的二阶矩：E(X^2)=M_X''(1)=n*(n-1)*p^2*(1-p)^(n-2)这就是二阶矩的计算公式。
总结起来，矩母函数是求解组合数学问题中的一个重要工具，可以用于计算随机变量的各阶矩。
特征函数和矩母函数.
(0) ，n 0,1， n!
(2)
P ( s ) pk s k , P ( s ) kpk s k 1
k 0 k 1
E ( X ) kpk P (1)
k 1
P ( s ) k (k 1) pk s k 1
k 2
r 0
(4) H ( s ) P{Y k}s k
k 0 k P Y k , { N l} s k 0 l 0
P{Y k , N l}s
k 0 l 0
k
P{Y k}P{ N l}s k
所以
X (t ) e
itb
1 dx ba
ita
e e it (b a)
例3：设X服从二项分布B(n, p)，求X的特 征函数g(t)及EX、EX2、DX。 k 解: X的分布律为P(X=k)= Cn p k q n k ， q=1-p，k=0,1,2,,n
g (t ) e C p q
e
2 2 t 1 t 2
指数分布
1 2
it
t
l
P{N l} P( s )
l 0 j 1
l
P{N l}[ P( s )]l G ( P( s))
l 0
dG( P ( s )) EY H (1) ds s 1 dG dP G ( P (1)) P (1) dP ds s 1 G (1) P (1) EN EX 1 (注P (1) 1)
it
e e
i t
2t 2
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通常称上式数
定理：一函数L(s) (s≥0)是某一分布函数的 Laplace变换的充要条件为L(0)=1，无穷 次可导，且满足
(-1)nL(n)(s) ≥0, (s≥0, n≥0)
现代精算风险理论
矩母函数（Moment Generating Functions）
定理：对随机变量X和Y，
V (Y )=EV (Y | X )+ VE (Y | X )
现代精算风险理论
V (Y | X ) + V 轾 E (Y | X ) 证明： V (Y ) = E 轾 臌 臌
根据定义，
2 2 轾 轾 V (Y ) = E 犏 (Y - E Y ) = E 犏 (Y - E (Y | X ) + E (Y | X )- E Y ) û 臌 ë 2 2 轾 = E轾 Y E Y | X + E E Y | X E Y + 2E 轾 Y - E (Y | X ))(E (Y | X )- E Y ) ( )) ( ) ( ( ) ( 犏 犏 犏 臌 臌 臌
E ( X ) ：数字 E ( X | Y = y)：y的函数。在知道y的值之前，不知道 E ( X | Y = y) E ( X | Y ) ：随机变量，当Y=y时，E ( X | Y = y) 的值 E (r ( X , Y ) | Y )：随机变量
现代精算风险理论
假定对 X ～Uniform(0,1) 采样，在给定x后，在对 Y | X ～Uniform( x,1) 采样 直观地，期望 E (Y | X = x) = (1 + x) / 2 事实上，对x < y < 1 ，有 fY | X ( y | x) = 1/ (1- x) 得到期望
现代精算风险理论
三、矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数的得名起因于下述公式：
E(Xk)=M(k)(0)
对于非负随机变量X来说，习惯上做一变换
s=-t,LX(s)=MX(t)
LX (s) = E[e- sX ] =
- sX e ò dF ( x)
,"s ? 0
å
n
Xi
pe + q, q = 1- p
t
i= 1
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矩母函数的性质
定理：令X、Y为随机变量，如果对在0附件的一个 d 开区间内所有的t，有M Y (t ) = M X (t )，则 X = Y 。 例：令 X1 : Binomial (n1 , p), X 2 : Binomial (n2 , p)
条件期望、矩母函数
山东财经大学保险学院 谭璐
主要内容
一、条件期望
二、混合分布
三、矩母函数
四、特征函数
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一、条件期望 ff X |Y ( x | y )
给定变量Y时，在 X上的概率分布 对Y的每个可能取值，对X都定义有一个概率 分布 也能求期望，称为条件期望
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证明：设z是标准正分布的随机变量
当 θ<1/2时，作变换
于是：
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另一方面， 度函数为
的密
其矩母函数为：
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令 X ~ Exp(1) ，对任意 t < 1 ，有
M X (t ) = E (e
tX
e )= 蝌 0
ゥ
tx - x
e dx =
0
e
(t - 1)x
( x) dxdy =
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X ～Uniform(0,1)， Y | X ～Uniform( x,1)
怎样计算E (Y ) ？ 一种方法是计算联合密度 f ( x, y)，然后计算
E (Y ) =
ò yf ( x, y)dxdy
另一种更简单的方法是分两步计算 计算 E (Y | X ) = 1 + X 2 骣 骣 (1+ X )÷ 1 + X 计算 E (Y ) =E 轾 ç ÷ ç ÷ E (Y | X ) =E ç = Eç ÷ ÷ 臌 ÷ ç ç
渐增式地定义一个复杂的模型：通过条件分 布与边缘分布 希望知道 ff ( x ) ，至少是其期望和均值（条 件期望和方差）
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混合分布举例
例：假设昆虫会产很多数量的蛋，蛋的数量为一个 随机变量，用 f Y ~ Poission (l ) 表示；另外假设每 个蛋的是否存活是独立的，存活的概率为p, 为 Bernoulli分布，用X表示存活的数量，则
1 1 1+ x E (Y | X = x ) = 蝌yf = (1- x) ydy = ( y | x )dy fY = 1/ Y || X X x 1- x x 2 因而 f ( y | x) = 1/ (1- x) E (Y | X ) = (1 + X ) / 2 1
Y|X
注意： E (Y | X ) = (1 + X ) / 2 是随机变量，当 X = x 时， 其值为 E (Y | X = x) = (1 + x) / 2 思考题：当X与Y独立时， E ( X | Y = y) 的值？
桫2 ç 桫 2 ÷ 骣 骣 1÷ 琪 ç 1+ ÷ ÷ ç ç ÷ ç ç 1+ E ( X ) 桫 桫 2÷ = = =3 4 2 2
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条件方差
定义：条件方差定义为
V (Y | X = x) =
ò (y -
m( x)) f ( y | x) dy
2
其中
m( x) = E (Y | X = x)
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矩母函数（Moment Generating Functions）
定 义
X是离散型r. v
X是连续型r. v
矩母函数与分布间的一一对应
唯一性定理：如果，MX(θ)=MY(θ)<∞在θ的某个 区间上成立，则随机变量X与Y同分布。
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矩母函数与随机变量X的各阶矩
fX | Y ~ Binomial (Y , p)
f P ( X = x) =
邋P ( X =
y= 0 ¥
ゥ
x, Y = y ) =
y= 0
P ( X = x | Y = y )P (Y = y )
轾 骣 y÷ x ç 犏 = å ç ? p (1 ÷ 犏 ç x÷ 桫 y= x 臌
p)
y- x
x - l p - l y 轾 e l p ( ) e l 犏 = 犏 y! x! 臌
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fX ~ Poission (l p)
期望： E ( X ) = l p 亦可通过条件期望计算：
E ( X ) = E (E ( X | Y )) = E ( pY ) = pl
方差： V ( X ) = l p 亦可通过条件期望计算：
V ( X ) = E (V ( X | Y )) + V (E ( X | Y )) = E (Yp (1- p )) + V (Yp ) = p (1- p) E (Y ) + p 2 V (Y ) = p (1- p )l + p 2l = l p
定义 给定Y = y时，X 的条件期望是 ì ï xf X |Y ( x | y ) 离散情况 å ï E ( X | Y = y) = ï í ï xf X |Y ( x | y ) dx 连续情况 ï ò ï î 如果r ( x, y )是x和y的函数，那么 ì ï å r ( x, y ) f X |Y ( x | y ) 离散情况 ï ï E (r ( X , Y ) | Y = y ) = í ï r ( x, y ) f X |Y ( x | y ) dx 连续情况 ï ò ï î
E轾 (Y - E (Y | X ))(E (Y | X )- E Y ) | X û= (E (Y | X )- E Y ) E ((Y - E (Y | X )) | X ) 犏 ë
= (E (Y | X )- E Y )(E (Y | X )- E (Y | X ))
= (E (Y | X )- E Y )? 0 0
= I + II + III 2 2 轾 I = E轾 Y E Y | X = E E Y E Y | X |X ( ) ( ) ( ) ( ) 犏 犏 臌 臌 2 轾 II = E 犏 E (Y | X )- E Y ) = V 轾 E (Y | X ) ( 臌 臌
{
V (Y | X ) }= E 轾 臌
所以
轾 V (Y ) = E 轾 V Y | X + V E (Y | X ) ( ) 臌 臌
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二、混合分布
在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定， f q ff ( x | q) 如 ，这些参数 通常又是一个随机变量 （贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量）， 则最终的分布称为混合分布(mixture distribution)
且 X1 , X 2 独立， Y = X1 + X 2
则M Y (t ) = M X (t ) M X (t ) = ( pe + q) 1 2
t
n1
( pe
t
+ q)
n2
为分布 Binomial (n1 + n2 , p)的MGF，即
X的矩母函数可 以变形为：
于是：
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另一方面：
于是：
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性质1： 例：
从而：
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再考虑：