矩母函数
由矩母函数求概率密度函数
由矩母函数求概率密度函数
根据矩母函数求概率密度函数的方法是一种重要的数学工具。它能够帮助我们推导出一个随机变量的概率分布函数，从而更好地理解和分析这个随机变量的性质和特点。下面我将从理论基础和具体实例两个方面来介绍这个方法的应用与意义。
一、理论基础
矩母函数是概率论和数理统计中常用的一个函数，它是指随机变量的幂次矩的生成函数。对于随机变量X，其矩母函数为：
M(t) = E(e^(tX) )
其中E( )表示期望，t为任意实数。对于任意的正整数n，矩母函数的n阶导数M(n)(0)等于X的n阶矩：
M(n)(0) = E(X^n)
利用矩母函数可以方便地推导出概率密度函数。设X的概率密度函数为f(x)，则有：
M(t) = ∫(-∞,∞)e^(tx)f(x)dx
因为矩母函数的各阶导数都可以表示为X的各阶矩，而各阶矩也可通
过概率密度函数进行计算，因此，我们可以将矩母函数展开成级数形式：
M(t) = ∑[k=0,∞]t^k/m_{k}
其中m_k为随机变量X的k阶矩，t^k/m_{k}称为X的k阶矩母函数。通过对级数展开式的分析，我们可以推导出概率密度函数，具体方法
是对级数展开式做逐项反演得到逐项求解贡献，再做一次逐项反演就
可以得到概率密度函数了。
二、具体实例
为了更好地理解和应用矩母函数求概率密度函数的方法，下面举一个
具体的实例。
假设有一组正态分布的数据，已知其均值为μ，方差为σ^2，则该组
数据的概率密度函数为：
f(x) = 1/(sqrt(2π)σ) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2) )
我们可以用矩母函数的方法求出该分布的矩母函数，具体计算如下：
正态分布的矩母函数推导
正态分布的矩母函数推导
正态分布是概率论中最重要的分布之一，它在自然界和社会生活中都有广泛的应用。正态分布的矩母函数是推导正态分布的重要工具之一。
我们需要了解什么是矩母函数。矩母函数是一个随机变量的矩生成函数，它可以用来计算该随机变量的各阶矩。对于一个随机变量X，它的矩母函数为：
M(t) = E(e^tX)
其中，E表示期望，t为任意实数。
接下来，我们来推导正态分布的矩母函数。正态分布的概率密度函数为：
f(x) = 1 / (σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))
其中，μ为均值，σ为标准差。
我们将矩母函数的公式代入上式，得到：
M(t) = E(e^tX) = ∫(-∞,∞) e^(tx) * f(x) dx
将f(x)代入上式，得到：
M(t) = ∫(-∞,∞) e^(tx) * 1 / (σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2)) dx
化简上式，得到：
M(t) = 1 / (σ√(2π)) * ∫(-∞,∞) e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2) + tx) dx
将指数函数中的二次项配方，得到：
M(t) = 1 / (σ√(2π)) * ∫(-∞,∞) e^(-(x-μ+tσ^2/2)^2 / (2σ^2)) * e^(tμ+t^2σ^2/2) dx
将指数函数中的常数项提出来，得到：
M(t) = e^(tμ+t^2σ^2/2) / (σ√(2π)) * ∫(-∞,∞) e^(-(x-μ+tσ^2/2)^2 / (2σ^2)) dx
由于正态分布的概率密度函数是关于均值对称的，所以上式中的积分可以化为：
正态分布 矩母函数
正态分布矩母函数
正态分布是一类概率函数，又称为高斯分布，是一种连续的概率分布，由卡尔·弗雷德里希·高斯在19世纪定义的，它是一种常见的概率分布，用来描述一组数据的统计分布情况，属于偏态分布，随机变量是连续服从
正态分布，则其矩母函数为N(μ，σ^2)，其中μ是均值，σ^2是方差，它满足[μ-3σ，μ+3σ]范围内99.7%的概率。
常见分布的矩母函数
常见分布的矩母函数
为了更好地理解概率统计学中的常见分布，我们需要先了解矩和矩母函数的概念。在统计学中，矩是数据分布的一个特征，它能够描述数据的中心位置和离散程度。矩母函数是矩的生成函数，它能够表示矩的所有信息。
在本文中，我们将介绍四种常见分布的矩母函数：正态分布、泊松分布、指数分布和伽马分布。
正态分布是一种常见的连续型分布，也被称为高斯分布。在统计学中，许多随机现象都可以用正态分布来描述，因为它服从中心极限定理。
正态分布的概率密度函数是：
$$f(x)={1\over \sqrt{2\pi}\sigma}\exp \{-{1\over
2}[(x-\mu )/\sigma]^{2}\},\quad-\infty <x<+\infty$$
$\mu$ 是分布的均值，$\sigma$ 是方差。正态分布的矩母函数是：
我们可以通过对矩母函数求导数来得到分布的各个矩，例如：
$$\mu_{1}=M'(0)=\mu$$
$$\mu_{4}=M^{(4)}(0)=\mu^{4}+6\mu^{2}\sigma^{2}+3\sigma^{4}$$
泊松分布是一种常见的离散型分布，它经常用于描述单位时间内事件发生的次数，比如电话呼叫、到达顾客、任务处理等等。
$$P(X=k)={e^{-\lambda}\lambda^{k}\over k!},\quad k=0,1,2,\ldots$$
$\lambda$ 是单位时间内事件发生的平均次数。泊松分布的矩母函数是：
指数分布是一种常见的连续型分布，用于描述随机事件发生的等待时间。对于一个服从指数分布的随机变量 $X$，它的概率密度函数是：
几何分布矩母函数
几何分布矩母函数
几何分布是一种在离散随机变量中经常使用的概率分布，它描述
了在进行一系列独立的实验中第一次成功所需要的实验次数。在实际
问题中，几何分布经常被用来描述统计样本中的缺陷数量或非计划停
机的时间。
几何分布矩母函数是描述随机变量的一个非常重要的工具。它定
义为随机变量的每个幂次的期望值，也就是随机变量的所有幂次的乘
积的期望值。对于几何分布来说，矩母函数的计算非常简单。
假设一个几何分布随机变量X表示成功的实验次数，概率为p。
那么，几何分布随机变量的矩母函数为：
M(t) = E(e^(tX)) = Σ(e^(tx)*p*(1-p)^(x-1))
其中，Σ表示对所有x的值进行求和。这个式子有一个特殊的含义，就是几何分布随机变量的矩母函数可以看做一个级数的形式，每
一项都是随机变量X的不同幂次下的概率乘以指数函数。
计算几何分布随机变量的矩母函数非常简单，因为几何分布只有
一个参数p，所以只需要代入公式即可。同时，矩母函数在概率统计学中有着非常广泛的应用，可以用来计算各种统计量和概率分布的特征。
总之，几何分布随机变量的矩母函数是解决实际问题中非常重要
的概率统计学工具，它可以帮助人们计算各种统计量和概率分布的特征，从而更加全面地了解问题本质。
矩母函数——精选推荐
矩母函数
累积量⽣成函数
随机变量的累积量⽣成函数κn X是定义为：对动差⽣成函数（动差母函数）取⾃然对数的函数，如果符合定义，将如下所⽰：
将累积量⽣成函数g(t)对t等于零之处微分
累积量⽣成函数与机率分布的动差值有很强的关联性。假如随机变量X存在期望值µ = E(X) 及变异数σ2 = E((X?µ)2)，则累积量⽣成函数g(t)的⼀阶
与⼆阶微分刚好是上述数值: µ = κ
1及σ2= κ
2
。第c个累积量表达的⽅式
为
使⽤累积量⽣成函数优于动差值的情况在于独⽴变量X和Y，
如此⼀来相加累积量的合可表达成累积量的相加，也就是具有加成性。
⼀个分布的累积量κn可以使⽤Edgeworth series来近似。
有些作者[1][2]偏好定义累积量⽣成函数为对特征函数取⾃然对数，或者有⼈称为第⼆特征函数，[3][4]
使⽤此函数的好处在于，即便可能随机变量X是⼀⼤变量仍被完整定义。尽管他的累积量⽣成函数或者是动差母函数是存在的，但在这种情况下，通常不允许被展开成累积量⽣成函数或者是动差母函数⽽表达成线性级数数列的模式。Cauchy distribution（也称作Lorentzian）和stable distribution（与“Lévy distribution”有关）是⽣成函数⽆法被展开的两个例⼦。
⼀些离散随机变量的累积量
退化的随机变量X = 1 的累积量⽣成函数为g (t) = 1. 第⼀累积量为κ1 = g '(0) = 1 ，其他的累积量为零，κ2 = κ3 = κ4 = ... = 0.退化的随机变量X = µ. 每⼀个累积量是退化的随机变量X = 1 的µ倍。其积量⽣成函数为g '(t) = µ. 第⼀累积量为κ
根据矩母函数求n阶矩
根据矩母函数求n阶矩
矩母函数（generating function）是概率论中常用的一种方法，
它可以帮助我们求解与概率分布有关的问题。而本文将介绍如何利用
矩母函数求解n阶矩的方法。
首先，为了更好地理解矩母函数的概念，我们需要了解什么是矩。在概率论中，矩是指某一随机变量的函数的期望值。一阶矩即均值，
二阶矩即方差。而对于n阶矩，我们可以通过矩母函数来求解。
矩母函数的定义如下：
M_X(t) = E[e^(tx)]
其中，M_X(t)表示随机变量X的矩母函数，e为自然对数的底，t
为一个参数。通过计算该函数的导数，我们可以得到随机变量的矩。
接下来，我们来探讨如何利用矩母函数求解n阶矩的具体步骤。
首先，我们需要确定随机变量的概率分布。假设X为一离散型随机变量，其概率分布为P(X = x_i) = p_i，i = 1, 2, ..., n。
我们可以通过计算矩母函数的导数来求解n阶矩。考虑矩母函数
的展开式：
M_X(t) = E[e^(tx)] = Σ(p_i * e^(t * x_i))
我们可以分别对e^(t * x_i)求导数，并将结果与p_i相乘后相加，即可得到n阶矩的表达式。具体的计算过程比较繁琐，我们可以利用
计算机来进行计算，以提高效率。
不过，在实际应用中，有时候我们并不需要一次性求解所有的n
阶矩，而只需要其中某几个阶数的矩。在这种情况下，我们可以通过
截断展开式来简化计算。截断展开式即仅保留展开式中的前几项，将
剩余项置为0，从而减少计算的复杂度。
最后，我们需要注意的是，在实际应用中，矩母函数的求解可能
特征函数和矩母函数.
t 0
npq n2 p 2
DX EX EX npq
2 2
例4：设X~N(0,1)，求X的特征函数。 x 解: 1 itx
2
g (t )
2
e e
2
dx
1 g (t ) 2
ixe e
x2 itx 2
i dx 2
e e d
（n) (0) E[ X n ]
3．和的矩母函数 定理1
r (t ) ， 2 (t ) ，…， 矩母函数分别为 1 (t ) ，
Y X 1 X 2 X r 的矩母函数为
，X r 的 设相互独立的随机变量 X 1，X 2，
则其和
Y (t ) 1 (t ) 2 (t ) … r (t )
r 0
(4) H ( s ) P{Y k}s k
k 0 k P Y k , { N l} s k 0 l 0
P{Y k , N l}s
k 0 l 0
k
P{Y k}P{ N l}s k
k 0 l 0
P{ N l} P{Y k}s
l 0 k 0
k
l k P{N l} P X j k s l 0 k 0 j 1
利用矩母函数证明n个标准正态分布的平方和
利用矩母函数证明n个标准正态分布的平方和本文将介绍如何利用矩母函数证明n个标准正态分布的平方和
服从自由度为n的卡方分布。首先，我们需要了解什么是矩母函数。
矩母函数是一个随机变量的矩生成函数，定义为 M(t) = E(e^tx)，其中E表示数学期望，x为随机变量。矩母函数在概率论和统计学中有广泛的应用，尤其是在推导概率分布和证明随机变量之间的独立性和相关性等方面。
现在，我们考虑n个标准正态分布的平方和S = X1^2 + X2^2 + ... + Xn^2，其中X1，X2，...，Xn是独立的标准正态分布。我们可以将S表示为矩母函数的形式，即
M(t) = E(e^tS) = E(e^t(X1^2 + X2^2 + ... + Xn^2))
= E(e^(tX1^2)) * E(e^(tX2^2)) * ... * E(e^(tXn^2))
= (1/(1-2t))^n/2
其中最后一步通过标准正态分布的矩母函数导出，即E(e^(tX^2)) = (1/(1-2t))^1/2。因此，我们得到了S的矩母函数。
接下来，我们需要证明S服从自由度为n的卡方分布。根据卡方分布的定义，自由度为n的卡方分布是n个独立的标准正态分布的平方和的分布。由于S是n个独立的标准正态分布的平方和，因此S的分布与自由度为n的卡方分布相同。
综上所述，我们利用矩母函数证明了n个标准正态分布的平方和服从自由度为n的卡方分布。这个结论在统计学中有很多应用，例如在假设检验和方差分析中。
特征函数与矩母函数
特征函数与矩母函数
特征函数和矩母函数都是数学中的概念，主要用于描述随机变量的性质。
特征函数（Characteristic function）是随机变量的一个描述函数，它是随机变量的概率分布的Fourier变换。特征函数的定
义是：对于任意实数t，特征函数φ(t)等于随机变量X的概率
密度函数或概率分布函数的Fourier变换。特征函数能够完全
描述一个随机变量的分布，它包含了分布的所有信息。特征函数具有一些重要性质，比如对于相互独立的随机变量，它们的特征函数的乘积等于它们特征函数的逐点相乘。
矩母函数（Moment generating function）是随机变量的另一个
描述函数，它是随机变量的概率分布的矩级数的生成函数。矩母函数的定义是：对于任意实数t，矩母函数M(t)等于随机变
量X的概率密度函数或概率分布函数的矩级数的生成函数。
矩母函数可以用来计算随机变量的各阶矩（均值、方差等），因此可以用于推导随机变量的性质。
特征函数和矩母函数都是对随机变量的描述函数，它们在概率论和统计学中有着广泛的应用，比如用于计算随机变量的分布、矩以及推导各种统计性质。
矩母函数性质
矩母函数性质
矩母函数性质是一个大部分数学家都了解的概念，它涉及到一个体现一类函数
准确值的特征函数。此外，矩母函数性质还有重要的应用价值，以解决复杂的实际问题。
首先，我们来了解矩母函数的定义和概念。矩母函数是统计平均值的一类函数，也称之为“Action Function”。它是一个微分形式的函数，通过一个赋值的方法
来精确表达一类函数，也就是矩母函数的值就是照这类函数的赋值情况来计算的。矩母函数的结果通常是一整体的概括，例如计算一个函数和它的导数在各个点上的取值情况，以及取值范围，平均值等。
此外，矩母函数性质有着重要的应用价值，它可以用来解决复杂的实际问题，
比如计算一个函数的平均质量，通过矩母函数计算出来的值，就可以准确的告诉我们一个函数的总体特性，从而提高函数解决问题的效率。
由此可以看出，矩母函数作为一类平均值函数，在数学和实际问题的求解方面，有着巨大的作用和应用价值，而且它的精确度越高，应用效果也会越好。
矩母函数
X |Y Y p1p Y p
p1p Y p 2 Y p1p p 2 p
.
13
三、矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数的得名起因于下述公式： E(Xk)=M(k)(0)
对于非负随机变量X来说，习惯上做一变换 s=-t,LX(s)=MX(t)
L X (s ) E [es X ] es X d F (x ) ,s0 通常称上式为X的laplace变换。
另一种更简单的方法是分两步计算
计算 Y| X =1 X
计算 Y =
2 Y|X =
1
X
1+ X
2
2
= 1+
1+ 1 X = 2 =3 4
2
2
.
7
条件方差
定义：条件方差定义为
2
Y |Xx y x f y|xd y
其中
x Y|X x
定理：对随机变量X和Y，
Y= Y|X Y|X
.
8
证明： Y
Y Y | X Y | X Y | XY | X Y Y Y | X | X
Y |X Y Y |X Y |X Y|X Y 0 0
所以
Y Y |X Y |X
.
10
二、混合分布
在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定， 如 f x，| 这些参数 通常又是一个随机变量 （贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量）， 则最终的分布称为混合分布(mixture distribution)
布朗运动的矩母函数怎么求
布朗运动的矩母函数怎么求
布朗运动是一种连续时间随机过程，在很多领域都有着广泛的应用。矩母函数是布朗运动的一个重要概念，它可以用来描述随机过程的矩信息。关于布朗运动的矩母函数如何求解，可以从以下几个方面来进行讨论。
一、布朗运动的概念
布朗运动是一种连续时间随机过程，表现为一个粒子在液体或气体的微观粒子撞击作用下的随机运动。它具有以下几个特点：连续性、马尔可夫性、独立增量、正态增量等。
二、矩母函数的概念
矩母函数是概率论中一个重要概念，指的是某一随机变量的各阶矩的生成函数。对于布朗运动而言，其矩母函数可以用以下公式来表示：
$$
M(t) = \mathrm E(e^{tX_t}) = e^{t\mu+\frac{1}{2}\sigma^2t^2} $$
其中，$\mathrm E$表示期望，$X_t$表示布朗运动的值，$\mu$表示布朗运动的数学期望，$\sigma^2$表示布朗运动的方差。
三、布朗运动矩母函数的求解
对于布朗运动矩母函数的求解，可以考虑以下两种方法：
1、使用伊藤引理
伊藤引理是一种用于求解随机过程函数导数的方法，在求解布朗运动矩母函数时，可以通过伊藤引理将随机过程的增量分解为两部分，进而求解出其矩母函数。由于伊藤引理需要涉及到高阶微积分的知识，在具体求解时可能会较为复杂。
2、使用概率特征
除了使用伊藤引理，还可以通过布朗运动的概率特征来求解其矩母函数。对于布朗运动而言，其数学期望和方差已知，因此可以直接带入矩母函数公式中进行求解。具体而言，可以使用以下公式求解布朗运动的矩母函数：
$$
正态分布的矩母函数推导
正态分布的矩母函数推导
正态分布是一个重要的概率分布，在概率论和统计学中广泛应用。其概率密度函数具有非常典型的钟形曲线形状，因此也被称为高斯分布。在统计学中，正态分布被广泛用于解决各种问题，包括学生的考试成绩、人口的身高、体重等等。在本文中，我们将讨论正态分布的矩母函数的推导过程。
什么是矩母函数？
在概率论和统计学中，矩母函数是一种函数，它可以用来描述一个概率分布的各种矩的信息。矩母函数是概率密度函数与$x^n$的积分的对数。由于矩母函数与矩有直接的关系，因此矩母函数是用来计算概率分布的各种矩的重要工具。
正态分布的概率密度函数是:
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
其中，$\mu$是分布的均值，$\sigma^2$是分布的方差。该函数图像如下：
合并指数，得：
移项得：
因此：
根据高斯积分公式：
令$b=\sqrt{2}\sigma a+\mu t$，则：
结论
通过上述推导，我们得出了正态分布的矩母函数为$e^{\mu
t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2}$。我们可以使用这个函数来计算正态分布的各种矩，从而更好地描述这个分布。通过计算该函数的导数，我们还可以得到正态分布的各种矩的最终解析式。正态分布的矩母函数的推导过程并不复杂，需要掌握一些基本的积分技巧，但是在使用它来解决实际问题时却非常有用。
正态分布矩母函数
正态分布矩母函数
正态分布是概率论和统计学中一种非常重要的连续概率分布。它在应
用领域中广泛应用，经常用于描述连续随机变量的分布情况，如身高、体
重等。
正态分布的概率密度函数可表示为：
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-
\mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
其中，μ是均值，σ是标准差。
正态分布的矩母函数是指以分布的参数（μ和σ）为自变量的矩函
数的生成函数。矩函数是随机变量的一种特征函数，用于描述随机变量的
统计特性。
对于正态分布的矩母函数，我们可以先计算它的算术平均值，然后用
该平均值来计算方差，依次类推。
设X是一个符合正态分布的随机变量，其概率密度函数为f(x)。那
么X的n阶原点矩可表示为：
m_n = E(X^n) = \int_{-\infty}^{\infty} x^n f(x) dx
\]
其中，E表示数学期望。
根据正态分布的概率密度函数，我们可以将其代入上述公式进行计算。
首先，计算随机变量X的一阶原点矩：
m_1 = E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
\]
将正态分布的概率密度函数代入，得到：
m_1 = \int_{-\infty}^{\infty}
x\left( \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-
\mu)^2}{2\sigma^2}} \right) dx
\]
通过变量替换将上面的积分转化为标准正态分布的积分形式，得到：m_1 = \mu
矩母函数和期望的关系
矩母函数和期望的关系
矩母函数,矩母函数和特征函数,1定义,称的数学期望,为随机变量X的矩母函数,2原点矩的求法,利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对逐次求导，并计算在点的值,1,3和的矩母函数,定理1,设相互独立的随机变量的矩母函数分别为，则其和,的矩母函数为,2,4. 母函数定义：设X是非负整数值随机变量，分布律PX=k=pk，k=0,1, 则称为X的母函数,3,性质：
（1）非负整数值随机变量的分布律pk由其母函数P(s)唯一确定
（2）设P(s)是X的母函数，若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- P(1)2,4
（3）独立随机变量之和的母函数等于母函数之积。
（4）若X1,X2,是相互独立同分布的非负整数值随机变量，N是与X1,X2,
独立的非负整数值随机变量，则的母函数H(s)=G(P(s) , EY=ENEX1 其中
G(s),P(s)分别是N, X1的母函数,5,证明：(1,6,2,7,设离散型非负整数随机变量X,Y 的分布律分别为PX=k=pk，PY=k=qk，k=0,1, ，则Z=X+Y的分布律为
PZ=k=ck,其中ck= p0 qk +p1qk-1 + + pk q0 设X,Y,Z的母函数分别为PX(s), PY(s), PZ(s)，即有,3,8,9,4,10,11,12,欧拉公式,二、特征函数,1 .特征函数,设X为随机变量，称复随机变量的数学期望,为X的特征函数，其中t是实数,还可写成,13,分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散型随机变量X，特征函数为概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征函数为,对于n维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特征函数为,14,性质：(1) 。(2) 在（-，）上一致连续。(3)若随机变量X的n阶矩EXn存在，则, k n 当k=1时，EX = ；当k=2时，DX =,15,4) 是非负定函数。(5)若X1, X2, , Xn是相互独立的随机变量，则X=X1+X2+Xn的特
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所以
轾 V (Y ) = E 轾 V Y | X + V E (Y | X ) ( ) 臌 臌
现代精算风险理论
二、混合分布
在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定， f q ff ( x | q) 如 ，这些参数 通常又是一个随机变量 （贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量）， 则最终的分布称为混合分布(mixture distribution)
现代精算风险理论
fHale Waihona Puke Baidu ~ Poission (l p)
期望： E ( X ) = l p 亦可通过条件期望计算：
E ( X ) = E (E ( X | Y )) = E ( pY ) = pl
方差： V ( X ) = l p 亦可通过条件期望计算：
V ( X ) = E (V ( X | Y )) + V (E ( X | Y )) = E (Yp (1- p )) + V (Yp ) = p (1- p) E (Y ) + p 2 V (Y ) = p (1- p )l + p 2l = l p
且 X1 , X 2 独立， Y = X1 + X 2
则M Y (t ) = M X (t ) M X (t ) = ( pe + q) 1 2
t
n1
( pe
t
+ q)
n2
为分布 Binomial (n1 + n2 , p)的MGF，即
矩母函数：用于计算矩、随机变量和的分布和定理证明 定义：X的矩母函数（MGF），或Laplace变换定义为
y X (t ) = E (etX ) = ò etx dFX ( x) 其中t在实数上变化。 若MGF是有定义的，可以证明可以交换微分操作和求期 望操作，所以有： 轾 轾 d d tX tX tX ¢ y (0) = 犏 E (e ) = E 犏 e = E轾 Xe = E [X ] 犏 臌 t = 0 犏 犏 dt dt 臌 臌 t= 0 t= 0 k 取k阶导数，可以得到 y (k ) (0) = E 轾 X 犏 臌 方便计算分布的矩
E轾 (Y - E (Y | X ))(E (Y | X )- E Y ) | X û= (E (Y | X )- E Y ) E ((Y - E (Y | X )) | X ) 犏 ë
= (E (Y | X )- E Y )(E (Y | X )- E (Y | X ))
= (E (Y | X )- E Y )? 0 0
1 1 1+ x E (Y | X = x ) = 蝌yf = (1- x) ydy = ( y | x )dy fY = 1/ Y || X X x 1- x x 2 因而 f ( y | x) = 1/ (1- x) E (Y | X ) = (1 + X ) / 2 1
Y|X
注意： E (Y | X ) = (1 + X ) / 2 是随机变量，当 X = x 时， 其值为 E (Y | X = x) = (1 + x) / 2 思考题：当X与Y独立时， E ( X | Y = y) 的值？
通常称上式为X的laplace变换。
现代精算风险理论
拉式变换与概率分布函数
定理：一函数L(s) (s≥0)是某一分布函数的 Laplace变换的充要条件为L(0)=1，无穷 次可导，且满足
(-1)nL(n)(s) ≥0, (s≥0, n≥0)
现代精算风险理论
矩母函数（Moment Generating Functions）
å
n
Xi
pe + q, q = 1- p
t
i= 1
现代精算风险理论
矩母函数的性质
定理：令X、Y为随机变量，如果对在0附件的一个 d 开区间内所有的t，有M Y (t ) = M X (t )，则 X = Y 。 例：令 X1 : Binomial (n1 , p), X 2 : Binomial (n2 , p)
渐增式地定义一个复杂的模型：通过条件分 布与边缘分布 希望知道 ff ( x ) ，至少是其期望和均值（条 件期望和方差）
现代精算风险理论
混合分布举例
例：假设昆虫会产很多数量的蛋，蛋的数量为一个 随机变量，用 f Y ~ Poission (l ) 表示；另外假设每 个蛋的是否存活是独立的，存活的概率为p, 为 Bernoulli分布，用X表示存活的数量，则
桫2 ç 桫 2 ÷ 骣 骣 1÷ 琪 ç 1+ ÷ ÷ ç ç ÷ ç ç 1+ E ( X ) 桫 桫 2÷ = = =3 4 2 2
现代精算风险理论
条件方差
定义：条件方差定义为
V (Y | X = x) =
ò (y -
m( x)) f ( y | x) dy
2
其中
m( x) = E (Y | X = x)
fX | Y ~ Binomial (Y , p)
f P ( X = x) =
邋P ( X =
y= 0 ¥
ゥ
x, Y = y ) =
y= 0
P ( X = x | Y = y )P (Y = y )
轾 骣 y÷ x ç 犏 = å ç ? p (1 ÷ 犏 ç x÷ 桫 y= x 臌
p)
y- x
x - l p - l y 轾 e l p ( ) e l 犏 = 犏 y! x! 臌
定理：对随机变量X和Y，
V (Y )=EV (Y | X )+ VE (Y | X )
现代精算风险理论
V (Y | X ) + V 轾 E (Y | X ) 证明： V (Y ) = E 轾 臌 臌
根据定义，
2 2 轾 轾 V (Y ) = E 犏 (Y - E Y ) = E 犏 (Y - E (Y | X ) + E (Y | X )- E Y ) û 臌 ë 2 2 轾 = E轾 Y E Y | X + E E Y | X E Y + 2E 轾 Y - E (Y | X ))(E (Y | X )- E Y ) ( )) ( ) ( ( ) ( 犏 犏 犏 臌 臌 臌
1 dx = 1- t
当 t ³ 1 时，上述积分是发散的。 所以
M '(0) = E ( X ) = 1, M ''(0) = E ( X
)= 2 2 2 轾 V ( X ) = E ( X )- 臌 E (X ) = 1
2
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矩母函数的性质
引理：MGF的性质 Y = aX + b ，则 M Y (t ) = ebt M X (at ) 若 X1 ,…X n 若 X1 ,…X n 独立，且 Y = å X i ，则 i
( x) dxdy =
现代精算风险理论
X ～Uniform(0,1)， Y | X ～Uniform( x,1)
怎样计算E (Y ) ？ 一种方法是计算联合密度 f ( x, y)，然后计算
E (Y ) =
ò yf ( x, y)dxdy
另一种更简单的方法是分两步计算 计算 E (Y | X ) = 1 + X 2 骣 骣 (1+ X )÷ 1 + X 计算 E (Y ) =E 轾 ç ÷ ç ÷ E (Y | X ) =E ç = Eç ÷ ÷ 臌 ÷ ç ç
定义 给定Y = y时，X 的条件期望是 ì ï xf X |Y ( x | y ) 离散情况 å ï E ( X | Y = y) = ï í ï xf X |Y ( x | y ) dx 连续情况 ï ò ï î 如果r ( x, y )是x和y的函数，那么 ì ï å r ( x, y ) f X |Y ( x | y ) 离散情况 ï ï E (r ( X , Y ) | Y = y ) = í ï r ( x, y ) f X |Y ( x | y ) dx 连续情况 ï ò ï î
条件期望、矩母函数
山东财经大学保险学院 谭璐
主要内容
一、条件期望
二、混合分布
三、矩母函数
四、特征函数
现代精算风险理论
一、条件期望 ff X |Y ( x | y )
给定变量Y时，在 X上的概率分布 对Y的每个可能取值，对X都定义有一个概率 分布 也能求期望，称为条件期望
现代精算风险理论
E ( X ) ：数字 E ( X | Y = y)：y的函数。在知道y的值之前，不知道 E ( X | Y = y) E ( X | Y ) ：随机变量，当Y=y时，E ( X | Y = y) 的值 E (r ( X , Y ) | Y )：随机变量
现代精算风险理论
假定对 X ～Uniform(0,1) 采样，在给定x后，在对 Y | X ～Uniform( x,1) 采样 直观地，期望 E (Y | X = x) = (1 + x) / 2 事实上，对x < y < 1 ，有 fY | X ( y | x) = 1/ (1- x) 得到期望
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矩母函数（Moment Generating Functions）
定 义
X是离散型r. v
X是连续型r. v
矩母函数与分布间的一一对应
唯一性定理：如果，MX(θ)=MY(θ)<∞在θ的某个 区间上成立，则随机变量X与Y同分布。
现代精算风险理论
现代精算风险理论
矩母函数与随机变量X的各阶矩
证明：利用条件期望的定义和f ( x, y) = f (x) f ( y | x)
E轾 E (Y | X ) = 蝌 E (Y | X = x) f X ( x) dx = 臌 = yf ( y | x) f 蝌
X
yf ( y | x ) dyf X ( x )dx yf ( x, y ) dxdy = E (Y )
M Y (t ) =
M X i (t ) = E (e MX
i
ÕM
i
t
Xi
(t )
例： X : Binomial (n, p) X i ~ Bernoulli ( p ), X =
) = ( p? e ) (1- p) = (t ) = Õ M (t ) = ( pe + q)
tX i t n Xi
III = 2E 轾 Y - E (Y | X ))(E (Y | X )- E Y ) = E E 轾 ( (Y - E (Y | X ))(E (Y | X )- E Y ) | X 犏 犏 臌 臌
{
}
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在给定X的情况下，条件分布为 (Y | X )
，Y为随机变量，因此上式中 E (Y | X ), E ( X ) 为常数，因此
X的矩母函数可 以变形为：
于是：
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另一方面：
于是：
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性质1： 例：
从而：
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再考虑：
于是：
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而 从而
特别
性质2：设X,Y是相互独立的随机变量，则：
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证明：
系：设X 1…Xn是独立随机变量，则： 例：设Z1 …Z2 是相互独立的标准正 态分布随机变量，则：
= I + II + III 2 2 轾 I = E轾 Y E Y | X = E E Y E Y | X |X ( ) ( ) ( ) ( ) 犏 犏 臌 臌 2 轾 II = E 犏 E (Y | X )- E Y ) = V 轾 E (Y | X ) ( 臌 臌
{
V (Y | X ) }= E 轾 臌
现代精算风险理论
定理：对随机变量X和Y，假设其期望存在，则
轾 E轾 E Y | X = E Y , E E ( X | Y ) =E ( X ) ( ) ( ) 臌 臌
与Y有关的随机变量
更一般地，对任意函数 r ( x, y)
E轾 E r X , Y ) | X ) =E (r ( X , Y )) 犏 臌( (
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证明：设z是标准正分布的随机变量
当 θ<1/2时，作变换
于是：
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另一方面， 度函数为
的密
其矩母函数为：
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令 X ~ Exp(1) ，对任意 t < 1 ，有
M X (t ) = E (e
tX
e )= 蝌 0
ゥ
tx - x
e dx =
0
e
(t - 1)x
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三、矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数的得名起因于下述公式：
E(Xk)=M(k)(0)
对于非负随机变量X来说，习惯上做一变换
s=-t,LX(s)=MX(t)
LX (s) = E[e- sX ] =
- sX e ò dF ( x)
,"s ? 0