高中数学--函数与方程
第二章 第九节 函数与方程
个c也就是方程f(x)＝0的根．
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2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点 的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
与x轴的 交点
零点个数
(x1,0) ， (x2,0) 两个
(x1,0) 一个
无交点 零返个回
3．二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零 点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点 逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法 叫做二分法．
①d<a；②a>b；③d<c；④d>c.
其中可能成立的个数为___答__案__：_．2
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一个零点 2，则方程 bx2－ax＝0 的根是
( ) 答案：C
A．0,2
B．0，12
C．列函数图象与x轴均有公共点，其中 能用二分法求零点的是________．
答案：③
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5．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存 在零点，则实数a的取值范围是________．
函数y＝f(x)的图象与 x轴 有交点 ⇔函数y＝f(x)有 零点.
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(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是
连续不断的一条曲线，并有 f(a)·f(b)<0 ，
那么函数y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零点，
即存在c∈(a，b)，使得
f(c)，＝这0
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．b<a<c
高中数学教案：函数与方程的关系及应用
高中数学教案：函数与方程的关系及应用一、函数与方程的关系介绍函数与方程是高中数学中的重要内容，它们之间有着密切的关系，并且在实际问题中具有广泛的应用。
本文将对函数与方程的关系进行详细介绍，并展示它们在实际问题中的应用。
二、函数与方程的基本概念1. 函数的定义和表示方式函数是两个集合之间的某种特定规律。
常用的表示方式包括显式表达式、隐式表达式和参数方程等。
2. 方程的定义和分类方程是含有一个未知数（或变量）并且含有一个等号的表达式。
常见类型包括一元一次方程、二元一次方程等。
三、一元一次方程与线性函数1. 一元一次方程的基本形式一元一次方程是最简单也最常见的代数方程，形如ax + b = 0，其中a和b为已知实数，x为未知数。
2. 线性函数与一元一次方程的关系线性函数是指以直线作为图像的函数，其表示形式为f(x) = kx + b，其中k和b 为常数。
可以发现，线性函数就是一个描述了因变量y和自变量x之间关系的一元一次方程。
四、二元一次方程与平面直线1. 二元一次方程的基本形式二元一次方程是含有两个未知数（或变量）并且含有一个等号的表达式，形如ax + by = c。
2. 平面直线与二元一次方程的关系通过对二元一次方程进行变形，我们可以得到它的标准形式y = mx + b，其中m和b为常数。
这就是平面直线的一般表示方式。
五、函数与方程在实际问题中的应用1. 函数模型的建立与使用通过对实际问题进行分析和抽象，可以建立相关的函数模型。
例如，在物理学中，运动学方程就是描述运动过程中速度、位移和时间之间关系的函数模型。
2. 方程求解与实际问题解释利用方程求解方法，我们可以求解出实际问题中所涉及的未知量。
例如，在经济学中，利用成本、收入等相关信息构建代表企业盈亏情况的方程，并通过求解这些方程来分析企业经营状况。
六、总结通过本文对函数与方程的关系及其应用进行了全面地介绍。
函数是一种特定规律，而方程则是含有等号和未知数（或变量）的表达式。
高中数学的归纳函数与方程的常见问题解析与解题技巧
高中数学的归纳函数与方程的常见问题解析与解题技巧数学是一门既有理论基础又有实际应用的学科，对于学生们来说，掌握数学知识和解题技巧是非常重要的。
而在高中数学中，归纳函数与方程是常见的知识点，也是学生们经常遇到的难题。
本文将针对这一知识点，对常见问题进行解析，并分享一些解题技巧供读者参考。
一、归纳函数归纳函数是指根据一个或多个已知的函数值，推导出函数的一个或多个性质，并应用到未知的函数值上。
在高中数学中，归纳函数的常见问题主要包括等差数列、等比数列和二次函数。
1. 等差数列问题：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变。
在解决等差数列问题时，我们需要确定首项、公差以及项数，并运用相应的公式。
例如，给定一个等差数列的前三项为2，5，8，求该等差数列的第n项。
解决步骤如下：首先，计算出公差d = 5 - 2 = 3；然后，利用等差数列通项公式an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n 为项数，d为公差；带入已知信息，我们可以得到an = 2 + (n-1)3。
2. 等比数列问题：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变。
在解决等比数列问题时，我们需要确定首项、公比以及项数，并运用相应的公式。
例如，给定一个等比数列的前三项为3，6，12，求该等比数列的第n项。
解决步骤如下：首先，计算出公比r = 6 / 3 = 2；然后，利用等比数列通项公式an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，n为项数，r为公比；带入已知信息，我们可以得到an = 3 * 2^(n-1)。
3. 二次函数问题：二次函数是指函数表达式为ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
在解决二次函数问题时，我们需要确定函数的相关参数，并注意判别式的正负情况。
例如，给定一个二次函数y = x^2 + 2x + 1，求函数的极值点和图像的开口方向。
解决步骤如下：首先，通过求导数，得到一次函数y' = 2x + 2；然后，使一次函数的导数等于0，解方程2x + 2 = 0，可以求得极值点；接着，通过判别式b^2 - 4ac的正负情况，可以确定图像的开口方向。
数学 必修1 函数与方程 总复习
高中数学 必修1 数学———函数与方程一．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。
既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。
2.二分法二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间a (，)b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； （4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。
注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点。
高中数学高考总复习----函数与方程知识讲解及巩固练习题(含答案解析)
高中数学高考总复习----函数与方程知识讲解及巩固练习题（含答案解析）【考纲要求】1.了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．3.理解函数与方程之间的关系，并能解决一些简单的数学问题。
【知识网络】【考点梳理】1．函数零点的理解（1）函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x 轴交点的个数．（2）变号零点与不变号零点①若函数在零点x 0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点．②若函数在零点x 0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点．③若函数在区间[a ，b]上的图象是一条连续的曲线，则是在区间（a ，b ）内有零点的充分不必要条件．要点诠释：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。
2．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根．（2）求曲线与的交点的横坐标，实际上就是求函数的零点，即求的根．要点诠释：如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。
3．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题函数与方程函数的零点二分法函数与方程的关系（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程的根，可以构造函数），函数的零点即为方程的根．【典型例题】类型一、判断函数零点的位置例1.函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析：∵f(0)＝1>0，f(－1)＝<0，∴选B.答案：B点评：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式】已知函数，当时，函数的零点,则．.解：用数形结合法作出及的图象，作出及由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故．类型二、确定函数零点的个数例2.二次函数中，，则函数的零点的个数是()A.1B.2C.0D.无法确定解法1：∴方程有两个不相等的实数根∴函数有两个零点，选B.解法2：，不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B.点评：可以利用函数图象或方程的判别式.举一反三：【变式】设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是()A．[－4，－2]B．[－2,0]C．[0,2]D．[2,4]解析：本题判断f(x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x＋1)＝x是否有解．如图：显然在[2,4]内曲线y＝4sin(2x＋1)，当x＝54π－12时，y＝4，而曲线y＝x，当x＝54π－12<4，有交点，故选A.答案：A例3.（2015安徽三模）定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）A．B．C．D．答案：D【解析】当时，，当时，，为奇函数时，画出和的图像如图所示：共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为，，，，，则，，而即即所以，故选D.举一反三：【变式1】（2015河东区一模）函数在定义域内零点的个数为（）A.0B.1C.2D.3答案：C【解析】由题意，函数的定义域为；求函数在定义域内零点的个数等价于求函数和函数的图像在上的交点个数，在同一个坐标系下画出两个函数的图像如下：由图得，两个函数图像有两个交点，故对应函数有两个零点.故选C.【变式2】已知函数，.若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围。
高中数学函数与方程知识点及例题解析
肄高高中高高中数学函数与方程知识点及例题解析膂【知识梳理】蒆1、函数零点的定义芆(1 )对于函数y =f(x)，我们把方程f(x) =0的实数根叫做函数y=f(x)的零点。
蒄(2)方程f (x) =0有实根二函数y = f (x)的图像与x轴有交点二函数y = f (x)有零点。
因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)=0是否有实数根，有几个实数根。
函数零点的求法：解方程f(x) =0，所得实数根就是f(x)的零点薀(3 )变号零点与不变号零点蕿①若函数f(x)在零点X。
左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点。
芆②若函数f(x)在零点X。
左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点。
蚁③若函数f(x)在区间a,b ］上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)c0是f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件。
莂2、函数零点的判定芈(1)零点存在性定理：如果函数y =f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的曲线，并且有 f (a) f (b) ：：：0，那么，函数y =f(x)在区间a,b内有零点，即存在& (a,b)，使得“畑=0,这个x°也就是方程f(x) =0的根。
莆(2)函数y二f(x)零点个数(或方程f(x) =0实数根的个数)确定方法肂① 代数法：函数y=f(x)的零点=f(x)=0的根；螀②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
肇(3)零点个数确定菜厶.0：= y=f(x)有2个零点二f(x)=0有两个不等实根；蒃,■：- 0^ y = f(x)有1个零点二f(x) =0有两个相等实根；蒂也<0二y = f(x)无零点二f(x)=0无实根；对于二次函数在区间hb］上的零点个数，要结合图像进行确定•1、2、肀二分法薅(1)二分法的定义：对于在区间［a,b］上连续不断且f(a).f(b)：：：o的函数y=f(x)，通过不断地把函数y = f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法；袄(2)用二分法求方程的近似解的步骤：羀① 确定区间［a,b］,验证f(a) f (b) ：：:0,给定精确度；;衿②求区间(a,b)的中点c；蚅③计算f (c)；芅(i )若f(c) =0,则c就是函数的零点;蚂(ii)若f (a) f (c) <0 ,则令b=c(此时零点沧(a,c));蚈(iii)若 f (c)(b) ：：：0,则令a = c(此时零点x0：=(c,b));螅④判断是否达到精确度S即a-b 则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步莂【经典例题】腿1 •函数f(x)=2x+x‘ - 2在区间(0,1)内的零点个数是( )袅2•函数f(x)= 2x+ 3x 的零点所在的一个区间是 ()袁3•若函数f(x)二a x-x-a (a 0且a=1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 ____________________ .蒀4.设函数 f(x)(x ：二 R)满足 f( -x )=f(x), f(x)=f(2 —X)，且当 x ：二［0,1］时,1 3则函数h (x)=g(x)-f(x)在 ［- — ,—］上的零点个数为()2 2袅 A、5 B 、6 C 、7 D 、82膃5•函数f(X)=XCOSX 在区间［0,4］上的零点个数为( )艿 A 、4 B 、5 C 、6 D 、7膈6.函数 f(x) =、j x -COSX 在［0,：：)内 ()羅A 、没有零点 B 、有且仅有一个零点 C 、有且仅有两个零点 D 、有无穷多个零点a, a — b 三122薄7•对实数a 和b ,定义运算？”： a?b =〈设函数f(x) = (x 2— 2)?(x — x 2), x € R ，若函数y =f(x)b, a — b>1.—c 的图象与X 轴恰有两个公共点，则实数 C 的取值范围是()肅8.已知函数f (x ) = log a x x -b(a> 0,且a = 1).当2 v a v 3 v b v 4时，函数f (x )的零点x ° (n, n 1), n N ,贝V n 二 ____ .羅9.求下列函数的零点：32葿(1) f(x)二x -2x -x 2 ；羀10.判断函数y = x 3— x — 1在区间［1,1.5］内有无零点，如果有，求出一个近似零点 (精确度0.1).螃 A 、(- 2, - 1) B 、( - 1,0)C 、(0,1)D 、 (1,2)3f(x)=x .又函数 g(x)= |xcos (二肁 A、(—汽一2］ U (2) f(x)二x-£.XB 、(―汽—2］ U羇C 、-1,3D 、3U膄【课堂练习】肂1、在下列区间中，函数 f(x)二e x• 4x -3的零点所在的区间为 (蝿2、若X 0是方程lg x x=2的解，贝y X o 属于区间芄A、 (0,1) B 、 (1,1.25) C 、 (1.25,1.75)蒃3、下列函数中能用二分法求零点的是袃 4、函数 f x =2x+3x 的零点所在的一个区间是莁 6、函数 f X = '. x -cosx 在［0, •：：)内肃8、下列函数零点不宜用二分法的是()蒄9、函数f(x)=log 2X+2X-1的零点必落在区间C 、 *1D 、(1,2)薈 A . ( -2,-1) (-1, 0) C 、( 0, 1)(1 , 2)莄5、设函数f X =4sin (2x+1) -x ，则在下列区间中函数f X 不存在零点的是袄 A、［-4,-2］B 、［-2,0］C 、［0,2］D 、［2,4］1 膁 A 、(— — 0)4?1B 、匕C 、(1,1) 4 2D 、D 、 (1.75,2)莇 A 、没有零点 B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点 有无穷多个零点蒄7、若函数f (x)的零点与g(x^4X2x -2的零点之差的绝对值不超过0.25, 则f (x)可以是()芅 A、 f (x) = 4x -12f(xH(x-1)f (x) = e x-11f (x)=ln(x-23莀A、 f(x)二x -8 B 、 f(x)=lnx 3C 、f(x)=x 22、、2x 22f (x) _ -x 4x11莃10、lg x 0有解的区域是( )x羁A、(0, 1] B、(1, 10] C、(10, 100]莆11、在下列区间中，函数f(x)=ex4x -3的零点所在的区间为()1 1 11 13蚅A、(-—,0)B、(0，;) C、(~ - ) D、(二，)4 4 4 2 2 4 肄12、函数f (x^ ： x log 2 x的零点所在区间为( )蚀A、[0,1]8C、1D、[?1]螀13、设f x]=3x• 3x -8 ,用二分法求方程3x• 3x -8 =0在x三i：1,2内近似解的过程中得f 1 :: 0, f 1.5 0, f 1.25 :：: 0,则方程的根落在区间( )肅A、(1,1.25) B、(1.25,1.5) C (1.5,2) D、不能确定蒂14、设函数f(x) =4sin(2x，1)-x，则在下列区间中函数 f (x)不存在零点的是( )螂A、1-4, -2\B、[-2,ol C、〔0,21 D、12,4 1x2 +2x_3 x 兰0袀15、函数f (x) ，零点个数为(l—2+l nx,x:>0C、1 蒆16、若函数f(x) =x3 x2 -2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:羀那么方程x3・X2-2X-2=0的一个近似根(精确到0.1)为 ( )羄A、1.2 B、 1.3 C、1.4 D、1.5莄17、方程2 -・x2=3的实数解的个数为 ________________ .聿18、已知函数f(x) =x2• (a2 -1)x a _2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数2聿19、判断函数f (x) =4x • x2 _^x3在区间［-1,1］上零点的个数，并说明理由。
高中数学中常见的函数与方程的应用题
高中数学中常见的函数与方程的应用题高中数学是数学学科的一个重要阶段，其中函数与方程是数学学科的基础内容。
函数与方程的应用题是高中数学的重要部分，通过解决实际问题来应用函数与方程的知识。
本文将从常见的函数与方程应用题入手，探讨高中数学中函数与方程的应用。
一、线性函数的应用线性函数是高中数学中最简单的函数形式，它具有形如y=ax+b的一般式。
线性函数主要包括直线方程和一次函数方程，是数学学科的基础内容。
在实际问题中，线性函数的应用非常广泛。
例1：甲、乙两个地方之间的距离为500公里，乙地有一辆火车以每小时80公里的速度开往甲地，同时甲地有一辆车以每小时60公里的速度开往乙地。
问两车何时会相遇？解：设相遇时间为t小时，则甲地车行驶的距离为60t公里，乙地车行驶的距离为80t公里。
根据题意可得：60t + 80t = 500化简得：140t = 500解得：t ≈ 3.57所以两车大约在3.57小时后相遇。
例2：某物体从高140米的地方自由落下，每秒钟下降4.9米。
问多少秒后物体落地？解：设物体落地所需的时间为t秒，则物体下落的高度为：140 - 4.9t根据题意可得：140 - 4.9t = 0化简得：4.9t = 140解得：t ≈ 28.57所以物体大约在28.57秒后落地。
二、二次函数的应用二次函数是高中数学中重要的一类函数，具有形如y=ax^2+bx+c的一般式。
二次函数在实际应用中经常出现，例如抛物线运动、图像的绘制等。
例3：一艘船向上游驶了2小时，再向下游驶了3小时，总共行驶了180公里。
若河水流速为4公里/小时，求船的速度和河水速度。
解：设船的速度为v公里/小时，河水速度为x公里/小时。
根据题意可得：2(v - 4) + 3(v + 4) = 180化简得：5v + 4 = 180解得：v ≈ 35.2所以船的速度约为35.2公里/小时，河水速度为4公里/小时。
例4：小明在一边长为10米的长方形花坛内栽种一种蔬菜，假设每米长方形花坛内最多可以种植20棵蔬菜，而小明一共种了450棵蔬菜。
高中数学函数与方程归纳
高中数学函数与方程归纳高中数学：函数与方程归纳导言：函数与方程是高中数学中的重要内容，它们在数学建模、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用。
本文将围绕函数与方程进行归纳总结，从基本概念、性质、图像、解法等方面进行讨论，帮助读者更好地理解和掌握这一重要知识点。
一、函数的基本概念与性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将两个集合之间的元素按照某种规律进行对应。
通常用一个字母代表函数，如f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
1.2 函数的性质函数可以分为奇函数和偶函数、增函数和减函数等。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)；增函数满足f(x1)<f(x2)，当x1<x2；减函数满足f(x1)>f(x2)，当x1<x2。
二、常见函数类型的图像与性质2.1 一次函数一次函数的图像是一条直线，形如y=ax+b。
斜率a决定了直线的倾斜程度，截距b代表直线与y轴的交点。
一次函数的图像是一条斜率为a的直线。
2.2 二次函数二次函数的图像是一条抛物线，形如y=ax²+bx+c。
二次函数的开口方向由二次项的系数a的正负性决定，开口向上为a>0，开口向下为a<0。
顶点是抛物线的最高点或最低点。
2.3 幂函数幂函数的图像是一条曲线，形如y=ax^b。
幂函数的特点是，当b>1时曲线上升得越来越快，当0<b<1时曲线上升越来越慢。
2.4 指数函数指数函数的图像是一条曲线，形如y=a^x。
指数函数的特点是，当a>1时曲线上升得越来越快，当0<a<1时曲线上升越来越慢。
指数函数的导数等于函数值与自变量的乘积。
2.5 对数函数对数函数的图像是一条曲线，形如y=logₐx。
对数函数的特点是，曲线渐近于x轴和y轴，且当x趋近于无穷大时，对数函数值无限增大。
三、方程的解法与应用3.1 一元一次方程一元一次方程是形如ax+b=0的方程。
高中数学课堂教案：函数与方程的综合应用
高中数学课堂教案：函数与方程的综合应用一、引言在高中数学课堂上，函数与方程的综合应用是一个重要的教学内容。
通过探究函数与方程在现实生活中的应用，学生不仅能够更好地理解抽象概念，还能培养他们的问题解决能力和创新思维。
本文将围绕函数与方程的综合应用，从数学模型、最优化、几何等多个角度进行探讨。
二、数学模型：了解函数与方程应用的基础数学模型是建立在函数与方程基础上的工具，帮助我们描述和解决各种实际问题。
例如，在经济领域中，股票价格变动可以使用函数来进行建模。
通过分析历史数据和市场趋势，确定适当的函数表达式，并利用这个模型来预测未来走势。
而在物理领域中，抛物线运动也是一个常见的研究对象。
通过观察抛出物体的轨迹并进行数据统计，可以得到它与时间、初速度、重力等因素之间的关系，并建立相应的方程。
三、最优化问题：找到最佳解在实际生活中，我们往往需要从各种选择中找到最佳解决方案。
函数与方程的综合应用帮助我们解决这类最优化问题。
例如，在投资领域，我们需要找到最佳的投资方案，以获得最大的收益。
通过建立代表不同投资方式的函数模型，并结合约束条件，可以利用数学方法求解最优解。
此外，最优化问题也广泛应用于工程和管理领域。
例如，某公司生产一种产品需要使用两种原材料A和B，并且每种原材料有一定的成本和限量。
通过建立成本模型和约束条件，并设置目标函数为最小化成本或最大化产量，可以运用函数与方程来求解最佳使用原材料的比例。
四、几何问题：探索空间关系函数与方程的综合应用也能帮助我们研究几何问题中的空间关系。
例如，在三角形中，我们常常需要寻找各边、角度之间的关系，以及各顶点坐标之间的联系。
通过利用函数与方程建立模型，并运用几何知识进行推导证明，可以揭示出许多隐藏在图形中的规律。
另一个常见的几何问题是研究曲线与曲面之间的关系。
例如，在计算机图像处理中，我们经常会遇到需要对曲线进行平滑处理的情况。
通过建立函数模型，并运用方程求解曲线上各点的导数和曲率，可以为平滑处理算法提供数学支持。
高三一轮复习教案-函数与方程
课题：函数与方程（高三第一轮复习课）教学内容分析：本节课选自人教版必修一第三章第一节《函数与方程》内容。
函数与方程在高中数学中占举足轻重的地位，高考对函数零点的考查有：（1）求函数零点；（2）确定函数零点的个数：（3）根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围。
题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图像和性质，主观题考查较为综合，涉及函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法等。
本节课通过对函数零点的讨论，将函数零点与方程的根、与函数图像三者有机结合起来。
它既揭示了函数与方程之间的内在联系，又对函数知识进行了总结拓展，同时将方程与函数图像联系起来，渗透了“数形结合”、“方程与函数”等重要思想。
学情分析：这是一个理科的普通班，学生基础普遍不扎实，学生具有强烈的畏难情绪，且眼高手低。
通过高一高二的知识积累，学生虽然对本节内容有简单的认识，但是时间较长，知识点大多遗忘。
所以，在本课开始前，先通过简单的知识梳理让学生把知识点贯穿起来，然后根据学生的实际情况进行适当的知识点拓展。
设计思想：教学理念：以第一轮复习为抓手，让学生把各个相关的知识点有机的结合起来。
教学原则：夯实基础，注重各个层面的学生。
教学方法：讲练结合，师生互动。
教学目标：知识与技能：让学生理清函数零点、函数图象与x轴的交点、方程的根三者之间的关系；弄清零点的存在性、零点的个数、零点的求解方法等三个问题。
过程与方法：利用已学过的函数的图像、性质去研究函数的零点。
情感态度与价值观：体会数形结合的数学思想及从特殊到一般的归纳思想，提高辩证思维以及分析问题解决问题的能力。
教学重点难点：重点：函数零点，方程的根，函数图象与x轴交点三者之间的互相联系。
难点：零点个数问题，含参数的零点问题。
教学程序框图：教学环节与设计意图：（一）、知识梳理设计意图：第一部分知识梳理要求学生在课前完成，学生回顾已学过的内容，结合相关知识整理出“函数与方程”的知识体系。
高中数学函数与方程的解法
高中数学函数与方程的解法高中数学是学生们在学习过程中最常接触到的科目之一。
其中，函数与方程的解法是数学学习中的重要内容。
本文将探讨高中数学中函数与方程的解法，包括一元一次方程、一元二次方程、指数函数和对数函数等。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是高中数学中最基础的方程类型之一。
解一元一次方程的方法有多种，其中最常用的是等式两边加减法、等式两边乘除法和消元法。
首先，等式两边加减法是最简单的解法之一。
我们可以通过将等式两边加减同一个数，使得方程的某一边消去某个项，从而求得未知数的值。
其次，等式两边乘除法也是常用的解法之一。
我们可以通过将等式两边乘以或除以同一个数，使得方程的某一边消去某个系数，从而求得未知数的值。
最后，消元法是一种更复杂但更灵活的解法。
通过将方程中的某个未知数消去，得到只含有一个未知数的方程，然后再用其他方法解这个方程，最终求得未知数的值。
二、一元二次方程的解法一元二次方程是高中数学中较为复杂的方程类型之一。
解一元二次方程的方法有多种，其中最常用的是配方法、因式分解法和求根公式法。
首先，配方法是解一元二次方程的基本方法之一。
通过将方程进行配方，将二次项拆分成两个一次项的和或差，从而将一元二次方程转化为一元一次方程或两个一元一次方程。
其次，因式分解法也是常用的解法之一。
我们可以通过将一元二次方程进行因式分解，找到方程的根，从而求得未知数的值。
最后，求根公式法是解一元二次方程的一种通用方法。
通过利用求根公式，即一元二次方程的根的公式表达式，我们可以直接求得方程的根。
三、指数函数的解法指数函数是高中数学中重要的函数类型之一。
解指数函数的方法有多种，其中最常用的是对数函数法和换底公式法。
首先，对数函数法是解指数函数的基本方法之一。
通过将指数函数转化为对数函数，我们可以利用对数函数的性质来求解指数函数的解。
其次，换底公式法也是常用的解法之一。
通过利用换底公式，即将指数函数的底换成其他底的对数函数，我们可以简化指数函数的计算，从而求得解。
高中数学中的函数与方程
高中数学中的函数与方程在高中数学学习过程中，函数与方程是重要的概念和工具。
它们在解决实际问题、建立数学模型以及推导数学知识的过程中起到关键作用。
本文将从函数与方程的定义、性质、应用以及解题方法等方面进行探讨和分析。
一、函数的定义与性质函数是数学中常见的一种关系，其定义为：对于集合A和B，如果对于集合A中的每一个元素a，存在唯一的元素b与之对应，则称b是a的函数值，记作b=f(a)，其中a称为自变量，b称为因变量。
函数可以用图像、表格或者公式来表示。
函数的性质包括可定义域、值域、单调性、奇偶性等。
可定义域指的是函数中自变量的取值范围，值域指的是函数中因变量的取值范围。
函数的单调性涉及到函数值随自变量的增减而变化的情况，包括增函数和减函数。
而函数的奇偶性则是指函数在自变量取相反数时，函数值是否相等。
二、方程的定义与性质方程是等式中含有未知数的数学陈述，它反映了两个或多个数、变量之间的关系。
方程可以是线性的，也可以是非线性的。
常见的方程包括一次方程、二次方程、三次方程等。
解方程即是寻找使得方程成立的未知数的取值。
方程的性质包括根、系数、次数等。
方程的根是使方程成立的未知数的取值，方程的根可以是一个或多个。
方程的系数则是指方程中各项的系数，不同的系数可能导致方程的性质不同。
方程的次数是指方程中最高次幂的指数，方程的次数越高，解题难度通常也会增加。
三、函数与方程的应用函数与方程在实际问题中有广泛的应用。
函数可以用来描述变化的关系，如物体的运动、人口的增长等。
方程则可以用来建立数学模型，解决实际问题。
例如，在经济学中，函数可以用来描述收入与消费之间的关系。
通过建立一个函数模型，可以根据收入来预测一个人的消费水平，从而做出合理的财务规划。
在物理学中，方程可以用来描述物体的运动。
通过建立运动方程，可以计算出物体的位移、速度和加速度等物理量，进而理解和解决与物理相关的问题。
四、函数与方程的解题方法解函数与方程的方法有多种，包括代入法、消元法、变量替换法、图像法等。
高中数学-函数与方程
函数与方程知识要点：1．方程的根与函数的零点 （1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。
既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。
2．二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ；y =a (x －x 1)(x －x 2)；y =a (x －x 0)2+n 。
（2）当a >0，f (x )在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ，令x 0=21(p +q )。
若－ab2<p ，则f (p )=m ，f (q )=M ； 若p ≤－a b 2<x 0，则f (－a b2)=m ，f (q )=M ；若x 0≤－a b 2<q ，则f (p )=M ，f (－a b2)=m ；若－ab 2≥q ，则f (p )=M ，f (q )=m 。
高中数学必考知识点函数与方程应用题解析及解题技巧总结
高中数学必考知识点函数与方程应用题解析及解题技巧总结高中数学必考知识点：函数与方程应用题解析及解题技巧总结在高中数学中，函数与方程应用题是必考的知识点之一。
通过运用函数与方程的知识，可以解决各种实际问题。
本文将解析一些常见的函数与方程应用题，并总结解题的技巧。
一、线性方程应用题1. 等速度问题在等速运动问题中，常会涉及到线性方程的应用。
假设某车以每小时50公里的速度行驶，若行驶t小时，求行驶的距离。
解题步骤：- 设行驶的距离为D，根据速度=距离/时间的关系，得到方程50 =D/t。
- 通过化简方程，可以求解出D = 50t。
2. 斜率问题斜率是线性方程中的一个重要概念，它描述了函数图像的变化趋势。
在应用题中，我们可以通过斜率来解决一些问题。
例如，在一个坡度为2/3的斜坡上，小明以每分钟1米的速度上升，求他上升2米需要多长时间。
解题步骤：- 设上升的时间为t分钟，根据速度=距离/时间的关系，得到方程1 = 2/3t。
- 通过化简方程，可以求解出t = 3/2分钟。
二、二次函数应用题1. 抛物线问题二次函数在物理学中有广泛的应用，常用于描述天体运动、抛体运动等。
在抛物线问题中，我们可以通过二次函数的性质解决一些实际问题。
例如，一个飞行器以初速度40米/秒从水平面上升，经过4秒钟后开始下降，请问其最高点的高度是多少？解题步骤：- 设最高点的高度为h，根据抛物线的性质，最高点的时间为0轴对称点的横坐标。
- 0轴对称点的横坐标为 t = 4/2 = 2秒。
- 将t = 2代入二次函数中得到高度，计算得到h = 40*2 - 9.8*2^2 = 40米。
2. 面积问题二次函数的图像可以形成一个抛物形状，通过求解该抛物线与x轴之间的面积，可以解决一些面积问题。
例如，一个花坛的形状是一个抛物线，已知顶点坐标为(2, 5)，边长为4的正方形位于抛物线与x轴之间，求正方形的面积。
解题步骤：- 设正方形的边长为a，根据抛物线的性质，正方形位于x=2附近，边长为a的正方形与抛物线有两个交点。
高中数学函数与方程
高中数学函数与方程高中数学中，函数与方程是非常重要的概念，对于学生的数学基础培养和综合应用能力的提高都有至关重要的作用。
本文将围绕函数与方程展开讨论，从基本概念到典型例题，帮助学生更好地掌握这一部分知识。
一、函数的基本概念函数是数学中的一个重要概念，通俗地讲，函数就是一种对应关系，它将自变量的取值映射到因变量的取值。
在函数的定义域内，每个自变量对应且仅对应一个因变量，这就是函数的基本特点。
在高中数学中，经常遇到线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等各种类型的函数。
线性函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b是常数，a不等于零；二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于零；指数函数和对数函数则涉及到e、ln等特殊的数学常数。
二、函数的性质及应用函数有许多重要的性质，比如奇偶性、单调性、周期性等。
学生在学习函数时，需要理解这些性质，并且灵活运用到具体问题中。
例如，对于奇函数来说，当自变量取相反数时，函数值也取相反数；而对于周期函数来说，当自变量增加一个周期时，函数值不变。
函数在现实生活中的应用也非常广泛，比如物理学中的运动学问题、化学中的反应速率问题、经济学中的成本收益问题等。
学生在学习函数的过程中，需要注重将抽象的数学概念与实际问题相结合，通过解决实际问题来加深对函数的理解。
三、方程的基本概念方程是数学中另一个重要的概念，它是含有未知数的等式。
方程的解就是能够使该等式成立的未知数的值，方程的解集合通常称为方程的解集。
在高中数学中，经常遇到一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程等各种类型的方程。
一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b为常数且a不等于零；一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数且a不等于零。
四、方程的解法及应用解方程是数学学习的一大重点，学生需要掌握各种类型方程的解法。
比如一元一次方程可以通过逆运算消去形成的常数项来解得未知数的值，一元二次方程可以通过配方法、求根公式等方法来求解。
高中数学函数与方程
突破点一
突破点二
课时达标检测
函数与方程
结束
(2)(2017·南昌十校联考)若函数 f(x)满足 f(x)＋1＝fx＋1 1，当
x∈[0,1]时，f(x)＝x.若在区间(－1,1]内，g(x)＝f(x)－mx－2m 有
两个零点，则实数 m 的取值范围是
()
A.0，13
B.0，13
C.13，1
突破点二
课时达标检测
函数与方程
结束
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 由函数零点存在情况或个数求参数的范围
[例1] (1)(2017·昆明模拟)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间
(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是
()
A.15，＋∞ C.－1，15
B．(－∞，－1)∪15，＋∞ D．(－∞，－1)
突破点一
突破点二
课时达标检测
函数与方程
结束
[解析] 当 a＝0 时，f(x)＝1，与 x 轴无交点，不合题 意，所以 a≠0.函数 f(x)＝3ax＋1－2a 在区间(－1,1)内是单 调函数，又因为 f(x)＝3ax＋1－2a 在区间(－1,1)内存在一个 零点，所以 f(－1)·f(1)<0，即(1－5a)(a＋1)<0，解得 a<－1 或 a>15，故选 B.
又 f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]的图象是连续的，
故 f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]上存在零点．
法二：令 f(x)＝0，得 x2－3x－18＝0，
∴(x－6)(x＋3)＝0，得 x＝6∈[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]上存在零点．[答案] B
高中数学高考总复习----函数与方程的思想巩固练习题(含答案解析)
练习题（含答案解析）
【巩固练习】
1.已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且以 2 为周期，则“ f (x) 为[0,1] 上的增函数”是“ f (x) 为[3,4] 上
的减函数”的（ ） （A）既不充分也不必要的条件 （C）必要而不充分的条件
（B）充分而不必要的条件 （D）充要条件
2
3.【答案】B 【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数 学能力.
【 解 析 】 解 法 1 ： 因 为 函 数 f (x) 2x x3 2 的 导 数 为 f '(x) 2x ln 2 3x2 0 ， 所 以 函 数
f (x) 2x x3 2 单调递增，又 f (0)=1+0 2= 1， f (1)=2+23 2=8，即 f (0) f (1)<0 且函数 f (x)
1 a0
x2 是原方程的解当且仅当 x2
，即 a 1．
于是满足题意的 a 1, 2 ． 综上， a 的取值范围为 1, 2 3, 4 ．
（3）当 0
x1
x2
时，
1 x1
a
1 x2
a
log2
，
1 x1
a
log2
1 x2
a
，
所以 f x 在 0, 上单调递减．
函数 f x 在区间t,t 1 上的最大值与最小值分别为 f t ， f t 1 ．
(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x
(D)y＜z＜x
5. (2016
上海高考)已知无穷等比数列{an}的公比为
q，前
n
高中数学函数与方程中的常见问题解析
高中数学函数与方程中的常见问题解析数学是一门相对来说较为抽象的学科，其中函数与方程是数学中的重要内容。
在高中数学学习过程中，我们经常会遇到一些与函数与方程相关的问题。
本文将对高中数学函数与方程中的常见问题进行解析，帮助同学们更好地理解与应用这些知识。
一、一次函数的斜率如何求解？一次函数是数学中最基本的函数形式之一，通常呈现为y=ax+b的形式，其中a代表斜率，b代表常数项。
那么如何求出一次函数的斜率呢？求解一次函数的斜率有两种方法，第一种是通过函数图像上的两个点计算，假设我们已知函数上的两个点为（x₁,y₁）和（x₂,y₂），则斜率a的计算公式为：a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)第二种方法是通过函数表达式直接得到，对于一次函数y=ax+b而言，a即为斜率。
二、如何确定函数在定义域上的递增或递减性？确定函数在定义域上的递增与递减性，可以通过函数的导数来解决。
导数可以理解为函数的变化速率，函数在某一点的导数值正数表示递增，负数表示递减，为零时表示函数取极值。
具体步骤如下：1. 求出函数的导函数（即函数的一阶导数）。
2. 解导函数的零点方程，求得所有的零点。
3. 将零点所表示的区间与定义域进行比较，得到函数的递增区间和递减区间。
根据以上步骤，可以快速判断函数的递增递减性。
三、如何求解二次函数的顶点坐标？二次函数通常表示为y=ax²+bx+c的形式，其中a不等于零。
顶点是二次函数的一个重要特征，下面是求解二次函数顶点坐标的方法。
首先，我们需要知道二次函数的标准形式，即将y=ax²+bx+c转化为y=a(x-h)²+k的形式，其中(h,k)为顶点坐标。
通过配方法将二次函数转化为标准形式，我们可以得到以下步骤：1. 利用平方差公式将二次函数展开。
2. 根据展开的结果，将函数转化为标准形式。
3. 比较标准形式与原函数的系数，可以得到顶点坐标。
根据上述步骤，我们可以准确地求解出二次函数的顶点坐标。
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函数与方程
一、函数的零点概念
教材中具体的定义：对于函数)(x f y =,我们把使
0)(=x f 的实数x 叫做函数0)(=x f 的零点。
可以这样理解：① 函数)(x f y =的零点就是 方程0)(=x f 的实数根
② 函数)(x f y =的零点就是
函数)(x f y =的图象与X 轴交点的横坐标
二、用二分法求方程的近似解
二分法
对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 举例理解：
二次函数f （x ）=x 2－2x －3的图象（如下图），函数f （x ）=x 2－2x －3在区间［－2，1］上有零点. 计算f （－2）×f （1） （＞ 还是 ＜ ） 0
在区间［2，4］的端点上，即f （2）·f （4）＜0，函数f （x ）=x 2－2x －3在（2，4）内有零点。
例1 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
例2 下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
三、零点分类：不变号零点和变号零点 不变号零点
)(x f y ==函数2)(x x f =在下列区间是否存在零点？（ ）
（A ）（-3，-1） （B ）（-1，2） （C ）（2，3） （D ）（3，4） 变号零点
函数零点的存在性定理(仅适合变号零点):
应用：仅能判断零点的存在性，或者判断零点所在的区间命题方法判断零点的个数及所在的区间
典例(1)已知函数f(x)＝6
x－log2
x，在下列区
间中，包含f(x)零点的区间是( ) A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,4)
D．(4，＋∞)(2)函数f(x)＝2x－
2
x－
a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3)
B．(1,2)
C．(0,3)
D．(0,2)
【解题法总结】函数零点问题的解题方法
(1)判断函数在某个区间上是否存在零点的方法
①解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上．
②利用零点存在性定理进行判断．
③画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
(2)判断函数零点个数的方法
①直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点．
②图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数．
③将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图象的交点个数．
④二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断．
(3)已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围．
②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决．
③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，然后数形结合求解．【精讲例题】
例题1：函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区
间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
例题2：函数x
x
y2
6
ln+
-
=的零点一定位于如下哪个区间（）
A.()2,1
B.()3,2
C.()4,3
D.()6,5例题3：若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是( ) A．a>
1
5
B．a>
1
5
或a<－1
C．－1<a<
1
5
D．a<－1
【拓展练习】
例函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．
变式训练
求x
(2-
=零点的个数。
)
x
x
f2
总结：对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解
【考法总结】函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．选择、填空题考查的主要形式有两种，一种是找零点的个数；一种是判断零点的范围，多为中等难度．解答题考查较为综合，在考查函数的零点、方程的根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．。