高中数学试题：数列单元复习题(一)

数列单元复习题（一）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．在正整数100至500之间能被11整除的个数为 （ ）
A.34
B.35
C.36
D.37
2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝a n 2－1(n ≥1)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5等于 （ ）
A.－1
B.1
C.0
D.2
3．{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9的值是 （ ）
A.24
B.27
C.30
D.33
4．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2 f (n )＋n 2
(n ∈N *)且f (1)＝2，则f (20)为 （ ） A.95 B.97 C.105 D.192
5．等差数列{a n }中，已知a 1＝－6，a n ＝0，公差d ∈N *，则n (n ≥3)的最大值为 （ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
6．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大 （ ）
A.第10项
B.第11项
C.第10项或11项
D.第12项
7．已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7＝－12，a 4＋a 6＝－4，则S 20为 （ ）
A.180
B.－180
C.90
D.－90
8．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩
余钢管的根数为 （ ）
A.9
B.10
C.19
D.29
9．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…是（ ）
A.公差为d 的等差数列
B.公差为2d 的等差数列
C.公差为3d 的等差数列
D.非等差数列
10．在等差数列{a n }中，若S 9＝18，S n ＝240，a n －4＝30，则n 的值为 （ ）
A.14
B.15
C.16
D.17
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11．已知f (n ＋1)＝f (n )－14
(n ∈N *)且f (2)＝2，则f (101)＝_______. 12．在首项为31，公差为－4的等差数列中，与零最接近的项是_______.
13．在等差数列{a n }中，已知S 100＝10，S 10＝100，则S 110＝_________.
14．在－9和3之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－21的等差数列，则n ＝_____.
15．等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项
的平均值仍为5，则抽取的是第_________项.
16．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，
则n ＝_______.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在等差数列{a n}中，a1＝－60，a17＝－12.
(1)求通项a n；(2)求此数列前30项的绝对值的和.
18．（本小题满分14分）在等差数列{a n}中，若a1＝25且S9＝S17，求数列前多少项和最大.
19．（本小题满分14分）数列通项公式为a n＝n2－5n＋4，问
（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，a n有最小值？并求出最小值.
20．（本小题满分15分）甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走
2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后，几分钟相遇；（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续
每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
21．（本小题满分15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＋2S n·S n－1＝0(n≥2)，a1
＝1
2. (1)求证：{
1
S n}是等差数列；（2）求a n表达式；
（3）若b n＝2(1－n)a n(n≥2)，求证：b22＋b32＋…＋b n2<1.
数列单元复习题（一）答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．C 7．A 8．B 9．B 10．B
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11．－914
12．－1 13．－110 14．5 15．6 16．9 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12.
(1)求通项a n ；(2)求此数列前30项的绝对值的和.
考查等差数列的通项及求和.
【解】 （1）a 17＝a 1＋16d ，即－12＝－60＋16d ，∴d ＝3
∴a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63.
(2)由a n ≤0，则3n －63≤0 n ≤21，
∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋(a 22＋a 23＋…＋a 30)
＝(3＋6＋9＋…＋60）＋（3＋6＋…＋27）＝（3＋60）2 ×20＋（3＋27）2
×9＝765. 18．（本小题满分14分）在等差数列{a n }中，若a 1＝25且S 9＝S 17，求数列前多少项和最大.
考查等差数列的前n 项和公式的应用.
【解】 ∵S 9＝S 17，a 1＝25，∴9×25＋9×（9－1）2 d ＝17×25＋17×（17－1）2
d 解得d ＝－2，∴S n ＝25n ＋n （n －1）2
(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质，故前13项和最大.
注：本题还有多种解法.这里仅再列一种.由d ＝－2，数列a n 为递减数列.
a n ＝25＋(n －1)(－2)≥0，即n ≤13.5
∴数列前13项和最大.
19．（本小题满分14分）数列通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，问
（1）数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值. 考查数列通项及二次函数性质.
【解】 （1）由a n 为负数，得n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.
∵n ∈N *，故n ＝2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项.
（2）∵a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52 )2－94 ，∴对称轴为n ＝52
＝2.5 又∵n ∈N *，故当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，最小值为22－5×2＋4＝－2.
2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后，几分钟相遇；（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 考查等差数列求和及分析解决问题的能力.
【解】 （1）设n 分钟后第1次相遇，依题意得2n ＋n （n －1）2
＋5n ＝70 整理得：n 2＋13n －140＝0，解得：n ＝7，n ＝－20(舍去）
∴第1次相遇在开始运动后7分钟.
（2）设n 分钟后第2次相遇，依题意有：2n ＋n （n －1）2
＋5n ＝3×70 整理得：n 2
＋13n －6×70＝0，解得：n ＝15或n ＝－28(舍去）
第2次相遇在开始运动后15分钟.
21．（本小题满分15分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1
＝12 . (1)求证：{1S n
}是等差数列；（2）求a n 表达式； （3）若b n ＝2(1－n )a n (n ≥2)，求证：b 22＋b 32＋…＋b n 2<1.
考查数列求和及分析解决问题的能力.
【解】 （1）∵－a n ＝2S n S n －1，∴－S n ＋S n －1＝2S n S n －1(n ≥2)
S n ≠0，∴1S n －1S n －1 ＝2，又1S 1 ＝1a 1
＝2 ∴{1S n
}是以2为首项，公差为2的等差数列. （2）由（1）1S n ＝2＋(n －1)2＝2n ，∴S n ＝12n
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n (n －1) n ＝1时，a 1＝S 1＝12 ，∴a n ＝⎩⎨⎧12 （n ＝1）－12n (n －1) （n ≥2） (3)由（2）知b n ＝2(1－n )a n ＝1n
∴b 22＋b 32＋…＋b n 2＝122 ＋132 ＋…＋1n 2 <11×2 ＋12×3 ＋…＋1(n －1) n
＝(1－12 )＋(12 －13 )＋…＋(1n －1 －1n
)＝1－1n <1.。