高中数学必修4(人教B版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习题及答案
高中英语(新人教版)选择性必修四同步习题：UNIT 2 Part 1(同步习题)【含答案及解析】
UNIT 2ICONIC ATTRACTIONSPart 1Reading and Thinking基础过关练Ⅰ.单词拼写1.New Zealand is a South Pacific country located between the (赤道) and the South Pole.2.Mr. Jones and his two sons are the (共同的) owners of the business.3.This tree looks high and strong but actually its trunk is (中空的).4.The issue is not quite as (简单的) as it seems. In fact, it is very tough.5.He finished his speech with the same (口号), which was expected by all the participants.6.His work on the cause of the disease is of (首要的) importance to the whole world.7.The (屠夫) and the tailor had a fight in the market, and went home with black eyes.8.On New Year's Eve we had a (烧烤)on the beach.9.We can see there are many beautiful (香草)in the garden, such as basil and coriander.Ⅱ.选词填空1.Farm workers only a small section of the population.2.I much of what he said at the conference, but not all.3.All the patients in the community were all this elevator. Ⅲ.单句语法填空1.(locate) at the mouth of the Mississippi River, this city is famous for its jazz.2.He laid the (found) of his success by studying and working hard.3.The government is facing another (politics) crisis, so it has to turn to other countries for help.4.It was a small shop sandwiched(把……夹在……中间) between a coffee shop and a (bake).Ⅳ.完成句子1.出名所付出的代价是不管你走到哪里,都会被人认出来。
人教A版高中数学二同步学习讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1.3~2.1.4 含答案
2。
1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3。
掌握空间中平面与平面的位置关系．知识点一直线和平面的位置关系思考如图所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？答案三种位置关系：（1）直线在平面内；(2)直线与平面相交；（3)直线与平面平行．梳理直线l与平面α的位置关系（1）直线l在平面α内(l⊂α)．（2）直线l在平面α外l⊄α错误!知识点二两个平面的位置关系思考观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面,两两之间有几种位置关系?答案两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．梳理平面α与平面β的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l无数个点(共线）类型一直线与平面的位置关系例1下列四个命题中正确命题的个数是（）①如果a，b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行;③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析如图,在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC,故命题②不正确；③中，假设b与α相交，因为a∥b,所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；④显然不正确,故答案为B。
反思与感悟空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．本题借助几何模型判断，通过特例排除错误命题．对于正确命题,根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断,要注意多种可能情形．跟踪训练1下列命题(其中a,b表示直线,α表示平面)：①若a∥b，b⊂α,则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b;③若a∥b,b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α,则a∥b.其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案A解析如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中,AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD,故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交,故②错误；AB∥A′B′,A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．类型二平面与平面之间的位置关系错误!例2α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是（) A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β答案D解析A、B都不能保证α、β无公共点,如图1所示；C中当a∥α,a∥β时，α与β可能相交，如图2所示;只有D说明α、β一定无公共点．反思与感悟判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．跟踪训练2已知两平面α、β平行，且a⊂α,下列四个命题:①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确命题的个数是(）A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确;③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．命题角度2两平面位置关系的作图例3（1）画出两平行平面；（2)画出两相交平面．解两个平行平面的画法：画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图a所示．两个相交平面的画法：第一步，先画表示平面的平行四边形的相交两边，如图b所示；第二步，再画出表示两个平面交线的线段，如图c所示;第三步，过b中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图c中表示交线的线段，如图d所示；第四步,画出表示平面的平行四边形的第四边(被遮住部分线段可画成虚线，也可不画),如图e 所示．引申探究在图中画出一个平面与两个平行平面相交．解跟踪训练3试画出相交于一点的三个平面．解如图所示（不唯一)．1．下列图形所表示的直线与平面的位置关系，分别用符号表示正确的一组是()A．a⊄α，a∩α＝A,a∥αB．a∉α，a∩α＝A，a∥αC．a⊂α，a∩α＝A，a∥αD．a∈α，a∩α＝A,a∥α答案C解析直线在平面内用“⊂”，故选C.2．如图所示，用符号语言可表示为(）A．α∩β＝l B．α∥β,l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β,l⊂α答案D3．若直线l不平行于平面α,且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案B解析由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．答案0或1解析若平面外两点所在直线与平面相交时，经过这两点与已知平面平行的平面不存在．若平面外两点所在直线与已知平面平行时，此时,经过这两点有且只有一个平面与已知平面平行．5．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B 与正方体六个面所在平面的关系．解根据图形，直线B1C⊂平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．1．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断,要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．2．长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱"之称．课时作业一、选择题1．已知直线a在平面α外，则（)A．a∥αB．直线a与平面α至少有一个公共点C．a∩α＝AD．直线a与平面α至多有一个公共点答案D解析因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相交,直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D。
高中数学第二章不等式及其性质同步课时作业含解析新人教B版必修第一册
高中数学课时分层作业：2.2.1不等式及其性质1.(多选)设,a b 为正实数，则下列命题为真命题的是()A.若221a b -=,1a b -<B.若111b a -=,则1a b -<C.1=,则1a b -<D.若1,1a b ≤≤，则1a b ab -≤-2.已知,0x y z x y z >>++=,则下列不等式中一定成立的是（）A.xy yz >B. xz yz >C.xy xz >D. x y z y > 3.若,a b 均为不等于零的实数，条件甲：对任意的10,0x ax b -<<+>恒成立；条件乙：20b a -<,则甲是乙 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定5.已知R a ∈，2(1)(3),(2)p a a q a =--=-,则 p 与q 的大小关系为（ )A.p q >B.p q ≥C.p q < D . p q ≤6.若110a b<<,则下列结论中不正确的是( ) A. 22a b < B.2ab b < C. 0a b +< D. a b a b +>+7.已知2,3b a d c <<，则下列不等式一定成立的是( )A. 23a c b d ->-B.23ac bd >C. 23a c b d +>+D. 6ad bc >8.下列结论中正确的是（ ）A.若a b >，则ac bc >B.若a b >，则11a b< C.若22ac bc >，则 a b >D.若a b >，则22ac bc >9.若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集是{|32}x x -<<，则a b += . 10.用”>”“<”或“=”填空:①已知0a b c <<<,则ac ________bc ;c a ________c b ②已知x R ∈,则22x +________2x11.给出四个条件:①0b a >>;②0a b >>;③0a b >>;④0a b >>. 其中能推出11a b<成立的是________. 12.已知三个不等式:①0ab >;②c d a b >;③bc ad >,以其中两个作条件余下一个作结论,则可组成________个真命题.13.已知a b >,则下列不等式:①22a b >; ②11a b <; ③11a b a<-; ④22a b >;⑤()0lg a b ->中,你认为正确的是________.(填序号)14.如果a b >,那么2c a -与2c b -中较大的是________15.已知()2f x ax bx c =++(1)当1,2,4a b c =-==时,求()1f x ≤的解集(2)当()()130f f ==,且当()1,3x ∈时,()1f x ≤恒成立,求实数a 的最小值答案以及解析1.答案：AD解析：对于A,由,a b 为正实数,221100a b a b a b a b a b-=⇒-=⇒->⇒>>+,故0a b a b +>->.若1a b -≥，则111a b a b≥⇒+≤+，这与0a b a b +>->矛盾，故1a b -<成立，所以A 为真命题;对于B ，取55,6a b ==,则111b a -=,但5516a b -=->,所以B 为假命题;对于C ，取4,1a b ==1=，但31a b -=<不成立，所以C 为假命题;对于 D ，22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b ---=+--=--≤，即1a b ab -≤-，所以D 为真命题.综上可知，真命题为A ，D.2.答案：C解析：因为x y z >>，0x y z ++=，所以30,30x x y z z x y z >++=<++=，所以0,0,x z ><又y z >，所以可得xy xz >.3.答案：A解析：当10x -<<时，恒有0ax b +>成立，∴当0a >时，0ax b b a +>->,当0a <时，0ax b b +>>，0,0,20,b a b b a ∴->>∴->∴甲⇒乙.当 3,02a b b =>时，1202b a b -=>，但当56x =-时,551()0644a b b b b ⋅-+=-+=-<，此时，乙⇒/甲，∴甲是乙的充分不必要条件. 4.答案：B解析：由题意得()()1212121110M N a a a a a a -=--+=-->,故M N >.5.答案：C解析：因为222(1)(3)(2)43(44)10p q a a a a a a a -=----=-+--+=-<,所以p q <,故选 C.6.答案：D 解析：222110,0,,,0,,,b a b a ab b a b A B C a b<<∴<<∴><+<∴中结论均正确，0,,b a a b a b D <<∴+=+∴中结论错误.故选D.7.答案：C解析：由2,3b a d c <<以及不等式的性质，得32b d a c +<+，故选C.8.答案：C解析：当0c ≤时,ac bc ≤,故选项A 不正确；取2,1a b ==-，11a b>，故选项B 不正确；由22ac bc >，知0c ≠,所以20c >,所以a b >,故选项C 正确；当0c =时,22ac bc =,故选项D 不正确.9.答案：0解析：解不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩,得1223a x x b +⎧<⎪⎨⎪>+⎩,由已知条件，可知122233a b +⎧=⎪⎨⎪+=-⎩，解得33a b =⎧⎨=-⎩，所以0a b +=.10.答案：>；<；>；>解析：00a b c <<<，ac bc ∴> 又1100,0a b c a b<<⇒>>< c c a b ∴<再由00a b a b <<⇒->->⇒22(22110)x x x -=-++>222x x ∴+>11.答案：①②④解析：由①0a b <<，有110,0a b <>，所以11a b <；由②0a b >>，有10ab >，故有11a b <；由③0a b >>，有110a b >>；由④0a b >>，得11a b< 12.答案：3解析：由不等式性质,得0ab bc ad c d a b >⎫⎪⇒>⎬>⎪⎭；0ab c d bc ad a b >⎫⇒>⎬>⎭；0c d ab a b bc ad ⎫>⎪⇒>⎬⎪>⎭ 13.答案：④解析：当0,1a b ==-时，经验证①，②，③，⑤均不正确．结合指数函数2x y ＝是增函数可知当a b >时，有22a b >，因此④正确14.答案：2c b -解析：,(2)(2)2()0,22a b c a c b b a c a c b >∴---=-<∴-<-15.答案：(1)当1,2,4a b c =-==时，()2241f x x x ≤＝－＋＋，即2230x x ≥－－()(310)x x ∴≥－＋1x ∴≤－或3x ≥(2)方法一 因为()()130f f ＝＝所以()()()()(131(1)3)f x a x x f x a x x ≤＝－－，＝－－在()1,3x ∈上恒成立 即1(1)(3)a x x -≤--在()1,3x ∈上恒成立而2(1)(3)0(1)(3)12x x x x -+-⎡⎤<--≤=⎢⎥⎣⎦ 当且仅当13x x －＝－，即2x ＝时取到等号 所以1a ≤－，即1a ≥－，所以a 的最小值是1－方法二 ()()(13)1f x a x x ≤＝－－在()1,3x ∈上恒成立即()130()1a x x ≤－－－在()1,3x ∈上恒成立 令()22()13143(2)1)1(g x a x x ax ax a a x a -=-=+-=-----当0a ＝时，()10g x <＝－在()1,3x ∈上恒成立，符合 当0a >时，易知()0g x <在()1,3x ∈上恒成立，符合当0a <时，则10a ≤－－，所以10a ≤<－ 综上所述，1a ≥－所以a 的最小值是1-。
高中数学必修4(人教B版)第二章平面向量2.3知识点总结含同步练习题及答案
已知平面向量 a = (2, x)， b = (2, y)， c = (3, −4)，且 a ∥ c ， b ⊥ c ，求 a 与 b 的 夹角．
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→ → 8 ．因为 b ⊥ c ，所以 6 − 4y = 0，解 3 → → 3 → 8 3 → 得 y = ．因为 a = (2, − ) ， b = (2, ) ．设 a 与 b 的夹角为 θ ，则 2 3 2 8 3 → → 2×2− × → a ⋅ b 3 2 = 0 ，所以 θ = 90∘ ，即向量 → cos θ = = a 与 b 的夹角为 90∘ ． → → → → |a |⋅| b | |a |⋅| b |
方向上的投影，可正，可负，可为零． 零向量与任一向量的数量积为 0 ． 向量数量积的运算律
→ → →→ a ⋅ b = b ⋅ a （交换律）； → → → → → → → ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c （分配律）； → → → → → → (λ a ) ⋅ b = a (λ b ) = λ( a ⋅ b ) （数乘结合律）．
已知向量 a = (1, 2)， b = (3, 4)，求| a | ， a ⋅ b ，( a − b ) ⋅ (2 a + 3 b )． 解：| a | = √1 2 + 2 2 = √5 ； 已知 OA = (3, 4) ，OB = (7, 12)，
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设向量 a ， b 满足 | a | = | b | = 1 及 |3 a − 2 b | = √7 ． 求： ① a ， b 所成的角的大小；② |3 a + b | 的值．
人教版数学七年级上册 第2章 2.1整式同步测验题(一)(含答案)
整式同步测验题（一）一．选择题1．下列整式中，单项式是（）A．3a+1B．C．3a D．x＝12．单项式﹣的系数和次数是（）A．系数是，次数是3B．系数是﹣；，次数是5C．系数是﹣，次数是3D．系数是5，次数是﹣3．若多项式3x|m|+（m﹣2）x+1是关于x的二次三项式，则m的值（）A．2或﹣2B．2C．﹣2D．﹣44．在式子，2πx2y，，y2﹣5，π+6，中，多项式的个数是（）A．1B．2C．3D．45．多项式4x2﹣xy2﹣x+1的三次项系数是（）A．4B．﹣C．D．﹣6．在代数式﹣7，m，x3y2，，2x+3y中，整式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．下列说法正确的是（）A．x不是单项式B．﹣15ab的系数是15C．单项式4a2b2的次数是2D．多项式a4﹣2a2b2+b4是四次三项式8．把多项式1﹣5ab2﹣7b3+6a2b按字母b的降幂排列正确的是（）A．1﹣7b3﹣5ab2+6a2b B．6a2b﹣5ab2﹣7b3+1C．﹣7b3﹣5ab2+1+6a2b D．﹣7b3﹣5ab2+6a2b+19．单项式﹣3ab的系数是（）A．3B．﹣3C．3a D．﹣3a10．下列说法中错误的有（）个．①绝对值相等的两数相等；②若a，b互为相反数，则＝﹣1；③如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数；④任意有理数都可以用数轴上的点来表示；⑤x2﹣2x﹣33x3+25是五次四项式；⑥一个数的相反数一定小于或等于这个数；⑦正数的任何次幂都是正数，负数的任何次幂都是负数．A．4个B．5个C．6个D．7个11．某九年级学生复习了整式有关概念后，他用一个圆代表所有代数式，画了下列图形来表示整式，多项式，单项式的关系，正确的是（）A．B．C．D．二．填空题12．﹣πx2的次数是．13．多项式x2y3﹣2x3y3+x4﹣3y3﹣1是一个次五项式．14．单项式的次数为：．15．多项式3x2y﹣7x4y2﹣xy3+28是次项式，最高次项的系数是．三．解答题16．已知多项式2x2y3+x3y2+xy﹣5x4﹣．（1）把这个多项式按x的降幂重新排列；（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．17．已知多项式2x2+x3+x﹣5x4﹣（1）把这个多项式按x的降幂重新排列；（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．18．（1）下列代数式：①2x2+bx+1；②﹣ax2+3x；③；④x2；⑤，其中是整式的有．（填序号）（2）将上面的①式与②式相加，若a，b为常数，化简所得的结果是单项式，求a，b 的值．19．已知式子M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，在数轴上有点A、B、C三个点，且点A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，如图所示已知AC＝6AB（1）a＝；b＝；c＝．（2）若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，且点Q不超过点A．在运动过程中，点E为线段AP的中点，点F为线段BQ的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，求的值．（3）点P、Q分别自A、B出发的同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动设运动时间为t（秒），3＜t＜时，数轴上的有一点N与点M的距离始终为2，且点N在点M的左侧，点T为线段MN 上一点（点T不与点M、N重合），在运动的过程中，若满足MQ﹣NT＝3PT（点T不与点P重合），求出此时线段PT的长度．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：A、3a+1是多项式，故此选项不合题意；B、是分式，故此选项不合题意；C、3a是单项式，符合题意；D、x＝1是方程，故此选项不合题意．故选：C．2．【解答】解：单项式﹣的系数和次数是：﹣，5．故选：B．3．【解答】解：因为多项式3x|m|+（m﹣2）x+1是关于x的二次三项式，所以|m|＝2，且m﹣2≠0，解得m＝±2，且m≠2，则m的值为﹣2．故选：C．4．【解答】解：在式子，2πx2y，，y2﹣5，π+6，中，多项式有：，y2﹣5，共2个．故选：B．5．【解答】解：多项式4x2﹣xy2﹣x+1的三次项是﹣xy2，三次项系数是﹣．故选：B．6．【解答】解：在代数式﹣7，m，x3y2，，2x+3y中，整式有：﹣7，m，x3y2，2x+3y共4个．故选：C．7．【解答】解：A、x是单项式，故原说法错误；B、﹣15ab的系数是﹣15，故此选项错误；C、单项式4a2b2的次数是4，故此选项错误；D、多项式a4﹣2a2b2+b4是四次三项式，正确．故选：D．8．【解答】解：1﹣5ab2﹣7b3+6a2b按字母b的降幂排列为﹣7b3﹣5ab2+6a2b+1．故选：D．9．【解答】解：单项式﹣3ab的系数是﹣3．故选：B．10．【解答】解：①如|2|＝2，|﹣2|＝2，2≠﹣2，即绝对值相等的两数不一定相等，故①错误；②若a，b互为相反数，当a和b，都不是0时，＝﹣1，故②错误；③当a＝2，b＝﹣3时，a＞b，但a的倒数大于b的倒数，故③错误；④任意有理数都可以用数轴上的点来表示，故④正确；⑤x2﹣2x﹣33x3+25是三次四项式，故⑤错误；⑥﹣3的相反数是3，3＞﹣3，故⑥错误；⑦正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，故⑦错误；即错误的有6个，故选：C．11．【解答】解：代数式包括整式和分式，整式包括多项式和单项式，故正确的是选项D，故选：D．二．填空题12．【解答】解：单项式﹣πx2的次数是：2．故答案为：2．13．【解答】解：多项式x2y3﹣2x3y3+x4﹣3y3﹣1是一个六次五项式，故答案为：六．14．【解答】解：单项式的次数为：2+2＝4．故答案为：4．15．【解答】解：多项式式3x2y﹣7x4y2﹣xy3+28是六次四项式，最高次项的系数是﹣7．故答案为六、四、﹣7三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）按x降幂排列为：﹣5x4+x3y2+2x2y3+xy﹣；（2）该多项式的次数是5，它的二次项是xy，常数项是﹣．17．【解答】解：（1）按x降幂排列为：﹣5x4+x3+2x2+x﹣；（2）该多项式的次数是4，它的二次项是2x2，常数项是﹣．18．【解答】解：（1）①是多项式，也是整式；②是多项式，也是整式；③是分式，不是整式；④是单项式，也是整式；⑤是二次根式，不是整式；故答案为：①②④；（2）（2x2+bx+1）+（﹣ax2+3x）＝2x2+bx+1﹣ax2+3x＝（2﹣a）x2+（b+3）x+1∵①式与②式相加，化简所得的结果是单项式，∴2﹣a＝0，b+3＝0，∴a＝2，b＝﹣3．19．【解答】解：（1）∵M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，二次项的系数为b∴a＝16，b＝20；∴AB＝4∵AC＝6AB∴AC＝24∴16﹣c＝24∴c＝﹣8故答案为：16，20，﹣8；（2）设点P的出发时间为t秒，由题意得：EF＝AE﹣AF＝AP﹣BQ+AB＝（24﹣2t）﹣（20﹣3t）+4＝6+∴BP﹣AQ＝（28﹣2t）﹣（16﹣3t）＝12+t，∴＝2；（3）设点P的出发时间为t秒，P点表示的数为16﹣2t，Q点表示的数为20﹣2t，M点表示的数为6t﹣8，N点表示的数为6t﹣10，T点表示的数为x，∴MQ＝28﹣8t，NT＝x﹣6t+10，PT＝|16﹣2t﹣x|。
人教版数学高一第二章点,直线,平面之间的位置关系单元测试精选(含答案)2
【答案】A
15．如图，在三棱柱 ABC－A′B′C′中，点 E、F、H、K 分别为 AC′、CB′、A′B、B′C′
的中点，G 为△ABC 的重心，从 K、H、G、B′中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有 2
条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为 ( )
A．K
B．H
C．G
D．B′
【来源】人教 A 版高中数学必修二第 2 章 章末综合测评 3
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【来源】人教 A 版高中数学必修二第二章 章末检测卷
【答案】C
19．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与α、β
试卷第 5页，总 17页
所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影长分别是 m 和 n，若 a＞b，则 ( )
【来源】2013-2014 学年福建省清流一中高一下学期第二次阶段考数学试卷（带解析) 【答案】①②
30．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M，N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点， 若 B1MN 是直角，则 C1MN ________.
试卷第 8页，总 17页
【来源】人教 A 版 2017-2018 学年必修二第 2 章 章末综合测评 1 数学试题 【答案】90°
29．如图，将边长为1的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得平面 ADC 平面 ABC ， 在折起后形成的三棱锥 D ABC 中，给出下列三个命题： ① DBC 是等边三角形； ② AC BD ； ③三棱锥 D ABC 的体积是 2 .
6
其中正确命题的序号是* * * ．（写出所有正确命题的序号）
试卷第 1页，总 17页
高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、学习任务了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义．二、知识清单平面向量的概念与表示三、知识讲解1.平面向量的概念与表示向量的基本概念我们把既有方向，又有大小的量叫做向量（vector）．带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点、为终点的有向线段记做，起点写在终点的前面．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．向量可以用有向线段来表示．向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记做 ，长度为 的向量叫做零向量(zero vector)，记做 ．零向量的方向不确定．长度等于 个单位的向量，叫做单位向量(unit vector)．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 （parallel vectors），向量 、 平行，通常记做．规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．A B AB −→−||AB −→−00 1a b ∥a b a →∥0→a →例题：相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector)．向量 与 相等，记做 ．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors)．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）∥a b =a b 下列四个命题：① 时间、速度、加速度都是向量；② 向量的模是一个正实数；③ 相等向量一定是平行向量；④ 共线向量一定在同一直线上；⑤ 若 ， 是单位向量，则 ；⑥ 若非零向量 与 是共线向量，则四点 共线．其中真命题的个数为（ ）A． B． C． D．解：B只有③正确．a →b →=a →b →AB −→−CD −→−A ,B ,C ,D 0123下列说法正确的是（ ）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为D．任意两个单位向量方向相同解：C零向量的长度为 ，方向是任意的，故 A，B 错误，C 正确，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 D 错误．00如图所示， 是正六边形 的中心．（1）与 的模相等的向量有多少个？（2）是否存在与 长度相等、方向相反的向量？（3）与 共线的向量有哪些？解：（1）因为 的模等于正六边形的边长，而在图中，模等于边长的向量有 个，所以共有 个与 的模相等的向量．（2）存在，是 ．（3）有 、、．O ABCDEF OA −→−OA −→−OA −→−OA −→−1211OA −→−F E −→−F E −→−CB −→−DO −→−高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
高中数学必修1(人教B版)第二章函数2.1知识点总结含同步练习题及答案
描述：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 函数 2.1 函数一、学习任务1. 通过同一过程中的变量关系理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；初步掌握换元法的简单应用．2. 了解映射的概念，能判断一些简单的对应是不是映射．3. 理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．4. 理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．二、知识清单函数的相关概念函数的表示方法 映射函数的定义域的概念与求法函数的值域的概念与求法 函数的解析式的概念与求法分段函数复合函数 函数的单调性函数的最大（小）值 函数的奇偶性三、知识讲解1.函数的相关概念函数的概念设 ， 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数(function)．记作：其中， 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域． 叫做因变量，与 的值相对应的 值叫做函数在 处的函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域．相同函数的概念A B f Ax B f (x )f :A →B A By =f (x ),x ∈A .x A y x y x {y | y =f (x ),x ∈A }N集合 的函数关系的有（ ）012．数轴表示为（2）{x | 2⩽x⩽8 且8]（3）函数 的图象是由 t 的映射的是（ ）N（2）函数图象如图所示：y的距离 与点y=f(x)如图为函数 的图象，试写出函数解： [1,2]2（5）（图象法）画出。
高中数学必修1(人教B版)第二章_2-3知识点总结配同步练习及答案
描述：例题：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 函数 2.3 函数的应用（I）
一、学习任务
了解一次函数、二次函数模型的意义，并能进行简单应用．
二、知识清单
函数模型的应用
三、知识讲解
1.函数模型的应用
函数模型的概念
函数模型就是用函数知识对日常生活中普遍存在的成本最低、利润最高、产量最大、收益最好、用料最省等实际问题进行归纳加工，建立相应的目标函数，确定变量的取值范围，运用函数的方法进行求解，最后用其解决实际问题．
几种函数模型的增长速度比较
在区间 上，尽管函数 ， 和 都是增函数，但它们的增长速度不同，随着 的增大，指数函数 的增长速度会越来越快，会超过并远远大于幂函数 的增长速度，而 的增长则会越来越慢，因此总会存在一个 ，当 时，就有 ．
(0,+∞)y =(a >1)a x y =x (a >1)log a y =(a >0)x a x y =(a >1)a x y =(a >0)x a y =x (a >1)log a x 0x >x 0x <<log a x a a
x
向高 为的水瓶内注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图像如图所示，那
么水瓶的形状是（ ）
解：B
取 的中点 作 轴的垂线，由图可知，当水深 达到容量高度的一半时，体积大于一
H V
h OH E h h
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答案：A ． 分钟B ． 分钟C ． 分钟D ． 分钟B
3.50 3.75
4.00
4.25。
2020-2021高中人教A版必修4《平面向量的数量积》同步练习(B)含答案
r2 r2 r r a b 2a b 3
uuur
设 AO
ar ，
uuur AB
r
b ，建立平面直角坐标系，如图所示：
则 A 1，0 ， B 0， 3
∴ ar
1，0 ，
r b
1， 3
∴
rr
r
r a
tb a tb
2
2
1t
2
3t
2
1 t
2
2
2
2
1
3
3t 2( t
0
4
4
2
1 t
8
2
3 0
8
它表示点 P t，0 与点 M 1 ， 3 、 N 1， 3 的距离之和的 2 倍
（ 1）求
r a
r b
与
r a
r b
的夹角；
（ 2）若
r a
r a
r b
，求实数
的值．
【答案】（ 1） 3 ；（2） 1．
4
【解析】
r
r
rr
（ 1）因为 a 1,2 ， b 3,4 ，所以 a b
rr
2,6 ， a b 4, 2
所以
cos
r a
r rr r a b,a b
r
（ 2）当 a
rr r b,a b
uuur CP
uuur AB
uuur PA
uuur PB
，求实数
的取值范围．
【答案】（ 1） 2 7 ；（ 2） 2 2 1 .
2
【解析】
（ I ）当
1 时，
uuur AP
1
uuur AB
，
3
3
新课标数学必修4第2章平面向量同步练习(含答案)
第1课时 平面向量的实际背景及基础概念一、选择题1.下列各量中不是向量的是（A.浮力 B .风速 C.位移 D.2.下列命题正确的是（A.向量AB 与BA 是两平行向量B.若a 、b 都是单位向量，则a=bC.若=，则A 、B 、C 、D四点构成平行四D.3. 在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则（A. 与AC 共线B. 与CB 共线C. 与相等D. 与相等 4.在下列结论中，正确的结论为（(1)|a |=|b |⇒a =b ； (2) a ∥b 且|a |=|b | ⇒ a =b ； (3) a =b ⇒a ∥b 且|a |=|b |(4) a ≠b ⇒ a 与b 方向相反 A. (3) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1)(3)(4) 二、填空题：5.物理学中的作用力和反作用力是模 且方向 的共线向量.6.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点，则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量，则终点构成的图形是 .7.已知||=1，| AC |=2，若∠BAC=60°，则|BC |= .8.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD 是 .三、解答题：9. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点. (1)作出向量、、 (1 cm 表示200 m).(2)求的模.10.如图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={、P 、Q ∈M ，且P 、Q 不重合}.第10题图A B一、选择题1.下列等式: a +0=a ， b +a =a +b ，AB +AC =BC ， AB +BC =BC 正确的个数是( ) A.2 B .3 C.4 D.52.化简++的结果等于( ) A. B . C. SPD.3.若C 是线段AB 的中点，则 AC +为A. B . C. 0D. 以上都错4．O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ，=b ，=c ，=d ，则（ ）A.a +b =c +d B .a +c =b +d C.a +d =b +c D.a +b +c +d =0 二、填空题：5.化简：（OM BO MB AB +++)= ； 6．如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:b +e = ， f +d = ，a +b +c = .7.已知向量a 、b 分别表示“向北走5km ”和“向西走5公里”，则a +b 表示 ； 8、一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 . 三、解答题：9.一架飞机向北飞行300公里，然后改变方向向东飞行400公里，求飞机飞行的路程和位移.10．如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =，并画出a +d.Dd e c A f Ca bBC一、选择题1.下列等式:①AB -= ②AB -= ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b( )A.2 B .3 C.4D.52. 在△ABC 中， =a ， =b ，则AB 等于( ) A.a +bB .-a +(-b ) C.a -bD.b -a3.在下列各题中，正确的命题个数为( )(1)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a +b 与a (2)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a -b 与a +b(3)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a (4)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a +b A.1 B.2 C.3 D.44.若a 、b 是非零向量，且|a -b |=|a |=|b ，则a 和a +b 的夹角是（ ） A.090 B . 600 C.300 D.045二、填空题5. 在正六边形ABCDEF 中， AE =m ， AD =n ，则BA = .6. 已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件. 7. 如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空: c -d = ，a +b +c -d= .8.已知=a ， =b ，若||=12，||=5，且∠AOB =90°，则|a -b |= . 三、解答题9. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.10. 已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若=a ， BC =b ，=c ，试证明:c +a -b =.Dd e c A fa b C B第4、5课时 向量的数乘运算及其几何意义一、选择题 1.设e 1、e2A.e 1、e2 B .e 1、e2C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a =e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .C.相等D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -yA.3B .-3C.0D.24. 下面向量a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1，b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2，b =-2e 1+2e2(3)a =4e 1-52e 2，b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2，b =2e 1-2e 2.(e 1、e 2不共线)A.(2)(3) B .(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4) 二、填空题5.若a 、b 不共线，且λa +μb =0(λ，μ∈R )则λ= ，μ= .6.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .7.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).8. 如图，在△ABC 中，=a， =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= 三、解答题：9. 如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，N 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量与.DABCa bB FC MA N D10.如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求OP 与.第6课时 平面向量基本定理一、选择题1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A. e 1、e 2一定平行 B. e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.2 4．已知|a |=1，|b |=2，且a -b 与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 二、填空题5．已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .6． 已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且 a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).7． 已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .8． 已知矩形ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 三、解答题9． 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M ， N 分别是DC ， AB 中点，设AD =a ， AB =b ，试以a， b 为基底表示DC ， BC ， MN .10． 化简++++.第7课时 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、选择题 1.设a =(23，sin α)，b=(ｃｏｓα，31)，且a ∥b ，则锐角α为（ ） A.30° B .60° C.45° D.75°2.设k ∈Ｒ，下列向量中，与向量a =(1，-1)一定不平行的向量是（ ）A.(k ，k ) B .(-k ，-k )C.(k ２＋１，ｋ２＋１)D.（ｋ２－１，ｋ２－１）3．已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-36 4．已知|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 二、填空题5．已知a =(3，2)，b =(2，-1)，若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，则λ＝ . 6．若a=(-1，x)与b=(-x ，2)共线且方向相同，则x= . 7．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) 则-2=8．在△ABC 中，AB =a， BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= .三、解答题9．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标.10．在中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a， b 表示AB ，BC .11.已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) 求证：四边形ABCD 是梯形.12．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， =1e +32e ，=21e -2e ， 若三点A ， B ， D 共线，求k 的值.第8课时 平面向量共线的坐标表示一、选择题1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ） A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.若a =(x １，y １)，b =(x ２，y ２)，且a ∥b ，则坐标满足的条件为（ ） A.x １x ２－ｙ１ｙ２＝0 B .ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝0 C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝0 D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝0 二、填空题5.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .6已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .7.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 8.若A (-1，-1)，B (1，3)，C (x ，5)三点共线，则x = . 三、解答题9.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时k a +b 与a -3b 平行?10.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A (1，0)，B (4，3)，C (2，4)，D (0，2)，试证明：四边形ABCD 是梯形.11.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1，0)、(3，-1)、(1，2)，AE =AC 3131=， 求证：∥.12．△ABC 顶点A(1， 1)， B(-2， 10)， C(3， 7) ，∠BAC 平分线交BC 边于D ， 求D 点坐标第9课时 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、选择题1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23材 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A.λ＞310 B .λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤310 二、填空题5.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b 的夹角为43π，则k 的值为 . 6.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 7.已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .8.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______. 三、解答题9.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.10.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.11.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.12.已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.第10课时 平面向量数量积的运算律一、选择题1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 4.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（ ） A.23 B .223 C. 323 D. 423 二、填空题5.已知a =(1,2),b (1,1),c=b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .6.已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 7.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= . 8.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 三、解答题5. 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).6. 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜=1.7. 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .12.如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒， 求点B 和向量的坐标.第11课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(--C.)54,53(-或)53,54(-D.)54,53(-或)54,53(-4.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（ ） A.13 B .513 C.565D.65 二、填空题5.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= .6.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ,-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 7.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =,b =,则a 与b 的夹角为 . 8.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a 的坐标为 .三、解答题9．已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .10.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ＡＣＢ＝９０°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.11.四边形ABCD 中=AB (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3), (1)若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.12.在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值..第12课时 平面向量的应用举例一选择题1．在四边形ABCD 中，若则,AD AB AC += ( ) A ．ABCD 是矩形 B.ABCD 是菱形C ABCD 是正方形 D.ABCD 是平行四边形 2已知:在是则中，ABC ABC ∆<∙∆,0( )A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 任意三角形二．解答题3．设M 、N 分别是四边形ABCD 的对边AB 、CD 的中点，求证：)(21MN +=4．求证:对角线相等的四边形是矩形.5.求证：圆的直径所对的圆周角为直角.6．求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7．证明:三角形的三条高交于一点.8．.AC AB CE BD CE BD ABC ==∆，求证：为中线，且，中，第13课时 向量在物理中的应用一选择题1某人以时速为a km 向东行走,此时正刮着时速为a km 的南风,则此人感到的风向及风速分别为( )A ．东北, 2akm/h B.东南, akm/hC ．西南, 2akm/h D.东南, 2akm/h2．一船以4km/h 的速度沿与水流方向成1200的方向航行，已知河水流速为2km/h ，则ABCDA E3h 后船的实际航程为( )A ．63km B.6km C ．53km D.5km二、填空题3．力F 1,F 2共同作用在某质点上,已知F 1=5N, F 2=12N,且F 1与F 2互相垂直,则质点所受合力的大小为_______________4．在200米山顶上.测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 60,30则塔高为__________米 5．某人向正东方向走x 千米后,他向右转150,然后朝新方向走3千米.结果他离开出发点恰好3千米,则 x=_________________.6.若用两根完全相同的绳子向两侧呈“V ”挂重物，每根绳子最大拉力为100N ，两根绳子间的夹角为600，则能挂重物的最大重量是 . 三、解答题7．一个质量为100g 的球从1.8m 的. 高处落到水平板上又弹回到1.25m 的高度，求在整个过程中重力对球所做的功。
人教B版数学必修4：第二章平面向量全章小结.pdf
算有机的结合在一起 . 运算和运算律是向量的灵魂 , 是连接数 与形的纽带 , 教师应 该突出这一点 . 因此 , 教师在讲授时 ,
（1）关注解题方法产生的思维过程 引导学生探究如何将把问题转化为向量问题， 揭示解题方法产生的的思维过 程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用， 从而提高学生综合 运用知识分析和解决问题的能力 . （2）强化学生的应用意识 一是培养学生利用所学数学知识、 用数学的思维与观点去观察和分析现实生 活现象的习惯和意识， 强化学生的应用意识； 二是为学生提供充足的动手操作的 机会 ，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成 ，让 学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力 . （3）引导学生探究解题规律 指导学生做好解题后的反思， 总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的 思维习惯，形成对通性通法的归纳意识 .
3
AE a , AF b , 用 a,b 表示
BC, BF , EC,CF . 例 4.( 向量的应用 ) (1) 已知 ABC 中 , 引中线 AD,BE,CF,求 证 : AD BE CF 0 ; (2) 若 O 为 ABC 的 重 心 , 求 证 : OA OB OC 0. ( 根据此问让学生思考重心坐标公式 ) (3) 用向量方法证明 : 平行四边形两条对 角线长度的平方和等于平行四边形四边 长度的平方和 . (4) 已 知 向 量 OA, OB, OC 满 足
是 A,B 的_______; 若点 A( 2, 5, ), B(1, 7) , 则 M 的坐
问题, 让 后同学进 行回答, 教师进行 指导
复习向量的加减 法 , 坐标运算和 其相关的几何表 示 都 要掌 握 , 并 且要会结合在一 起使用 .
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量单元同步测试(含解析)新人教A版必修4
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量单元同步测试（含解析）新人教A 版必修4(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列四个表达式： ①|a ＋b |＝|a |＋|b |； ②|a －b |＝±(|a |－|b |)； ③a 2>|a |2；④|a ²b |＝|a |²|b |. 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3D ．4解析 对于①仅当a 与b 同向时成立．对于②左边|a －b |≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a 2＝|a |2，∴a 2>|a |2不成立．对于④当a ⊥b 时不成立，综上知，四个式子都是错误的．答案 A2．下列命题中，正确的是( ) A ．a ＝(－2,5)与b ＝(4，－10)方向相同 B ．a ＝(4,10)与b ＝(－2，－5)方向相反 C ．a ＝(－3,1)与b ＝(－2，－5)方向相反 D ．a ＝(2,4)与b ＝(－3,1)的夹角为锐角解析 在B 中，a ＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b ， ∴a 与b 方向相反． 答案 B3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( ) A.7 B.10 C.13D ．4解析 ∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋9b 2＋6a²b ＝1＋9＋6|a ||b |cos60°＝13，∴|a ＋3b |＝13.答案 C4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋12x ，x ，b ＝(x ＋1,2)，其中x >0，若a ∥b ，则x 的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．0解析 ∵a ∥b ，∴(8＋12x )³2－x (x ＋1)＝0，即x 2＝16，又x >0，∴x ＝4.答案 B5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →²(PB →＋PC →)等于( )A.49B.43 C ．－43D ．－49解析 M 为BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →＝AP →， ∴AP →²(PB →＋PC →)＝AP →2.又∵AP →＝2PM →，∴|AP →|＝23|AM →|＝23.∴AP →2＝|AP →|2＝49.答案 A6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )²c ＝30，则x ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析 8a －b ＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c ＝(3，x )， ∴(8a －b )²c ＝(6,3)²(3，x )＝18＋3x . 又(8a －b )²c ＝30，∴18＋3x ＝30，x ＝4. 答案 C7．向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向相同，则a ²b 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)解析 依题意可设a ＋2b ＝λa (λ>0)， 则b ＝12(λ－1)a ，∴a ²b ＝12(λ－1)a 2＝12(λ－1)³2＝λ－1>－1.答案 B8．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角的余弦值为( ) A.34 B.537 C.2537D.53737解析 ∵(3e 1＋4e 2)²e 1＝3e 21＋4e 1²e 2＝3³12＋4³1³1³cos60°＝5，|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋16e 22＋24e 1²e 2＝9³12＋16³12＋24³1³1³cos60°＝37.∴|3e 1＋4e 2|＝37.设3e 1＋4e 2与e 1的夹角为θ，则 cos θ＝537³1＝537. 答案 D9．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 解析 如图所示，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE ：BE ＝DF ：BA ＝1：3. ∴DF →＝13AB →.∴AF →＝12a ＋12b ＋13(12a －12b )＝23a ＋13b .答案 B 10．已知点B 为线段AC 的中点，且A 点坐标为(－3,1)，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则C 点坐标为( )A ．(1，－3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 C ．(4,2)D ．(－2,4)解析 设C (x ，y )，则由AB →＝BC →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－－，32－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －12＝72，y －32＝12，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，∴C (4,2)．答案 C11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ²b ＝0有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵Δ＝|a |2－4a ²b ≥0，∴a ²b ≤|a |24，∴cos θ＝a ²b |a ||b |≤|a |24|a ||b |＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.答案 B12．在△ABC 所在平面内有一点P ，如果PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PAB 与△ABC 的面积之比是( )A.13 B.12 C.23D.34解析 因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－PA →，所以2PA →＋PC →＝0，PC →＝－2PA →＝2AP →，所以点P 是线段AC 的三等分点(如图所示)．所以△PAB 与△ABC 的面积之比是13.答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．已知a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(3，3)，且a 与b 共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.解析 由a ∥b ，得23cos θ＝6sin θ，∵cos θ≠0， ∴tan θ＝33，又θ∈[0,2π)，∴θ＝π6或7π6. 答案π6或76π 14．假设|a |＝25，b ＝(－1,3)，若a ⊥b ，则a ＝________. 解析 设a ＝(x ，y )，则有x 2＋y 2＝20.① 又a ⊥b ，∴a ²b ＝0，∴－x ＋3y ＝0.② 由①②解得x ＝32，y ＝2，或x ＝－32，y ＝－2，∴a ＝(32，2)，或a ＝(－32，－2)． 答案 (32，2)或(－32，－2)15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →²AC →＝BA →²BC →＝2，那么c＝__________.解析 由题知 AB →²AC →＋BA →²BC →＝2，即AB →²AC →－AB →²BC →＝AB →²(AC →＋CB →)＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2.答案 216．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若a ²b ＝a ²c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 解析当a ＝0时，①不成立；对于②，若a ∥b ，则－2k ＝6，∴k ＝－3，②成立；对于③，由于|a |＝|b |＝|a －b |，则以|a |，|b |为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD ＝60°，AC →＝a ＋b ，由菱形的性质可知，a 与a ＋b 的夹角为∠BAC ＝30°.答案 ②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b . (1)当m 为何值时，c 与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c 与d 共线？解 (1)令c ²d ＝0，则(3a ＋5b )²(m a －3b )＝0， 即3m |a |2－15|b |2＋(5m －9)a ²b ＝0， 解得m ＝2914.故当m ＝2914时，c ⊥d .(2)令c ＝λd ，则3a ＋5b ＝λ(m a －3b ) 即(3－λm )a ＋(5＋3λ)b ＝0， ∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－λm ＝0，5＋3λ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－53，m ＝－95.故当m ＝－95时，c 与d 共线．18．(12分)如图所示，在△ABC 中，∠C 为直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .证明 设此等腰直角三角形的直角边长为a ，则 AD →²CE →＝(AC →＋CD →)²(CA →＋AE →)＝AC →²CA →＋CD →²CA →＋AC →²AE →＋CD →²AE →＝－a 2＋0＋a ²223a ²22＋a 2²223a ²22＝－a 2＋23a 2＋13a 2＝0，∴AD →⊥CE →，∴AD ⊥CE .19．(12分)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)， BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →²BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)²(－6，－3)＝0. ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴|AD →|＝ －2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．20．(12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．解 设点M 的坐标为M (x ，y )． ∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|， ∴OM →⊥MB →，∴OM →²MB →＝0.又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )， ∴x (5－x )＋y (1－y )＝0.又点O ，M ，A 三点共线，∴OM →∥OA →. ∴x 4＝y－4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋y －y ＝0，x 4＝y－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)． 21．(12分)如图，在平面斜坐标系xOy 中．∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别为与x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )．(1)若点P 的斜坐标为(2，－2)，求点P 到O 的距离|OP |； (2)求以O 为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程．解 (1)因为点P 的斜坐标为(2，－2)，故OP →＝2e 1－2e 2，|OP →|2＝(2e 1－2e 2)2＝8－8e 1²e 2＝8－8cos60°＝4，∴|OP →|＝2，即|OP |＝2.(2)设圆上动点M 的坐标为(x ，y )，则OM →＝x e 1＋y e 2， 又|OM →|＝1.故(x e 1＋y e 2)2＝1.∴x 2＋y 2＋2xy e 1²e 2＝1.即x 2＋y 2＋xy ＝1. 故所求方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0.22．(12分)如图，在四边形ABCD 中，BC →＝λAD →(λ∈R )，|AB →|＝|AD →|＝2，|CB →－CD →|＝23，且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形．(1)求λ的值；(2)求CB →²BA →的值．解 (1)因为BC →＝λAD →，所以BC ∥AD ， 且|BC →|＝λ|AD →|.因为|AB →|＝|AD →|＝2，所以|BC →|＝2λ. 又|CB →－CD →|＝23，所以|BD →|＝2 3. 作AH ⊥BD 交BD 于H ， 则H 为BD 的中点． 在Rt △AHB 中，有cos ∠ABH ＝BH AB ＝32， 于是∠ABH ＝30°， 所以∠ADB ＝∠DBC ＝30°. 而∠BDC ＝90°，所以BD ＝BC ²cos30°，即23＝2λ²32， 解得λ＝2. (2)由(1)知，∠ABC ＝60°，|CB →|＝4，所以CB →与BA →的夹角为120°， 故CB →²BA →＝|CB →|²|BA →|cos120°＝－4.。
人教B版高中数学必修2同步练习题及答案全册汇编
人B版高中数学必修2同步习题目录第1章1.1.1同步练习第1章1.1.2同步练习第1章1.1.3同步练习第1章1.1.4同步练习第1章1.1.5同步练习第1章1.1.6同步练习第1章1.1.7同步练习第1章1.2.1同步练习第1章1.2.2第一课时同步练习第1章1.2.2第二课时同步练习第1章1.2.3第一课时同步练习第1章1.2.3第二课时同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1同步练习第2章2.2.2第一课时同步练习第2章2.2.2第二课时同步练习第2章2.2.3第一课时同步练习第2章2.2.3第二课时同步练习第2章2.2.4同步练习第2章2.3.1同步练习第2章2.3.2同步练习第2章2.3.3同步练习第2章2.3.4同步练习第2章2.4.1同步练习第2章2.4.2同步练习第2章章末综合检测人教B版必修2同步练习1．关于平面，下列说法正确的是()A．平行四边形是一个平面B．平面是有大小的C．平面是无限延展的D．长方体的一个面是平面答案：C2．如图所示的两个相交平面，其中画法正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B.被平面遮住的部分应画虚线，故(1)(4)正确．3．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上三点，则在正方体盒子中，∠ABC等于()A．45°B．60°C．90°D．120°答案：B4．飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩带”，用数学知识解释为________．答案：点动成线5．一个平面将空间分成________部分；两个平面将空间分成________部分．答案：23或41．下列不属于构成几何体的基本元素的是()A．点B．线段C．曲面D．多边形(不含内部的点)解析：选D.点、线、面是构成几何体的基本元素．2. 如图是一个正方体的展开图，每一个面内都标注了字母，则展开前与B相对的是()A．字母E B．字母CC．字母A D．字母D解析：选B.正方体展开图有很多种，可以通过实物观察，选一个面作为底面，通过空间想象操作完成．不妨选字母D所在的面为底面，可以得到A，F是相对的面，E与D相对；若选F做底面，则仍然得到A，F是相对的面，E与D相对，则与B相对的是字母C.3．如图，下列四个平面图形，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是()解析：选C.借助模型进行还原．4．下列命题正确的是()A．直线的平移只能形成平面B．直线绕定直线旋转肯定形成柱面C．直线绕定点旋转可以形成锥面D．曲线的平移一定形成曲面解析：选C.直线的平移，可以形成平面或曲面，命题A不正确；当两直线平行时旋转形成柱面，命题B不正确；曲线平移的方向与曲线本身所在的平面平行时，不能形成曲面，D不正确，只有C正确．故选C.5．下列几何图形中，可能不是平面图形的是()A．梯形B．菱形C．平行四边形D．四边形解析：选D.四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形．6．下面空间图形的画法中错误的是()解析：选D.被遮住的地方应该画成虚线或不画，故D图错误．7．在以下图形中，正方体ABCD－A1B1C1D1不可以由四边形________(填序号)平移而得到．①ABCD；②A1B1C1D1；③A1B1BA；④A1BCD1.解析：①ABCD，②A1B1C1D1，③A1B1BA，按某一方向平移可以得到正方体ABCD－A1B1C1D1，④A1BCD1平移不能得到正方体ABCD－A1B1C1D1.答案：④8. 把如图的平面沿虚线折叠可以折叠成的几何体是________．解析：图中由六个正方形组成，可以动手折叠试验，得到正方体．答案：正方体9．如右图小明设计了某个产品的包装盒，但是少设计了其中一部分，请你把它补上，使其成为两边均有盖的正方体盒子．你能有________种方法．答案：410. 指出下面几何体的点、线、面．解：顶点A 、B 、C 、D 、M 、N ；棱AB 、BC 、CD 、DA 、MA 、MB 、MC 、MD 、NA 、NB 、NC 、ND ；面MAD 、面MAB 、面MBC 、面MDC 、面NAB 、面NAD 、面NDC 、面NBC .11．搬家公司想把长2.5 m ，宽0.5 m ，高2 m 的长方体家具从正方形窗口穿过，正方形窗口的边长为a ，则a 至少是多少？解：如图，问题实质是求正方形的内接矩形边长为2 m,0.5 m 时正方形的边长a ＝2＋0.52＝524≈1.77(m)．所以a 至少是1.77 m 时，长方体家具可以通过．12．要将一个正方体模型展开成平面图形，需要剪断多少条棱？你能从中得出什么规律来吗？解：需要剪断7条棱．因为正方体有6个面，12条棱，两个面有一条棱相连，展开后六个面就有5条棱相连，所以剪断7条棱．规律是正方体的平面展开图只能有5条棱相连，但是，有5条棱相连的6个正方形图形不一定是正方体的平面展开图．人教B 版必修2同步练习1．在下列立体图形中，有5个面的是( ) A ．四棱锥 B ．五棱锥 C ．四棱柱 D ．五棱柱解析：选A.柱体均有两个底面，锥体只有一个底面．2．如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，水平放置，所得的几何体是( )A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥组合体D ．无法确定 答案：A3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案：D4．棱柱的侧面是________形，棱锥的侧面是________形，棱台的侧面是________形． 答案：平行四边 三角 梯5．在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，沿AE 、AF 、EF 将其折成一个多面体，则此多面体是________．答案：三棱锥1．下列命题正确的是( )A ．斜棱柱的侧棱有时垂直于底面B ．正棱柱的高可以与侧棱不相等C ．六个面都是矩形的六面体是长方体D ．底面是正多边形的棱柱为正棱柱解析：选C.四个侧面都是矩形的棱柱是直平行六面体．两个底面是矩形的直平行六面体是长方体．故正确答案为C.2．将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体为( )A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥的组合体D ．不能确定解析：选A.水面始终与固定的一边平行，且满足棱柱的定义．3. 如图所示，正四棱锥S －ABCD 的所有棱长都等于a ，过不相邻的两条棱SA ，SC 作截面SAC ，则截面的面积为( )A.32a 2 B ．a 2 C.12a 2 D.13a 2解析：选C.根据正棱锥的性质，底面ABCD 是正方形，∴AC ＝2a .在等腰三角形SAC中，SA ＝SC ＝a ，又AC ＝2a ，∴∠ASC ＝90°，即S △SAC ＝12a 2.故正确答案为C.4．若要使一个多面体是棱台，则应具备的条件是( ) A ．两底面是相似多边形 B ．侧面是梯形 C ．两底面平行D ．两底面平行，侧棱延长后交于一点解析：选D.根据棱台的定义可知，棱台必备的两个条件：底面平行，侧棱延长后相交于一点．5．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( ) A ．正三棱锥 B ．正四棱锥 C ．正五棱锥 D ．正六棱锥解析：选D.正三棱锥的底面边长和侧棱相等时叫做正四面体，因此该棱锥可以是正三棱锥，所以不选A ，另外，正四棱锥，正五棱锥也是可能的，故B 、C 也不选，根据正六边形的特点，正六边形的中心到各个顶点的距离相等，在空间中，除中心外，不可能再找到和各顶点的连线都等于底面边长的点，因此该棱锥不可能是正六棱锥．故选D.6．已知正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，则k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(22，＋∞)解析：选D.由正四棱锥的定义知如图，正四棱锥S －ABCD 中，S 在底面ABCD 内的射影O 为正方形的中心，而SA >OA ＝22AB ，∴SA AB >22，即k >22. 7．长方体表面积为11，十二条棱长度的和为24，则长方体的一条对角线长为________． 解析：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则4(a ＋b ＋c )＝24，∴a ＋b ＋c ＝6.又(ab ＋bc ＋ac )×2＝11.∴长方体的一条对角线长l ＝a 2＋b 2＋c 2＝ (a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ac )＝62－11＝5. 答案：58．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体(图形)的4个顶点，这些几何体(图形)是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：本题借助正方体的结构特征解答，4个顶点连成矩形的情形很容易作出；图(1)中四面体A 1D 1B 1A 是③中描述的情形；图(2)中四面体DA 1C 1B 是④中描述的情形；图(3)中四面体A 1D 1B 1D 是⑤中描述的情形．因此正确答案为①③④⑤.答案：①③④⑤9．正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，体对角线长为9，则棱台的斜高等于________．解析：如图，四边形BDD 1B 1是等腰梯形，B 1D 1＝52，BD ＝72，BD 1＝9，所以OO 1＝ BD 21－(BD ＋B 1D 12)2＝3. 又E 1，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，所以O 1E 1＝52，OE ＝72.所以在直角梯形OEE 1O 1中，斜高E 1E ＝OO 21＋(OE －O 1E 1)2＝10.答案：1010．已知正四棱锥V －ABCD 中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，求该棱锥的高．解：取正方形ABCD 的中心O ，连接VO 、AO ，则VO 就是正四棱锥V －ABCD 的高． 因为底面面积为16，所以AO ＝2 2. 因为一条侧棱长为211，所以VO ＝VA 2－AO 2＝44－8＝6. 所以正四棱锥V －ABCD 的高为6.11. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为它可以看成由四边形ADD 1A 1沿AB 方向平移至BCC 1B 1形成的几何体，符合棱柱的定义．(2)截面BCFE 右边的部分是三棱柱BEB 1－CFC 1，其中△BEB 1和△CFC 1是底面．截面BCFE 左边的部分是四棱柱ABEA 1－DCFD 1，其中四边形ABEA 1和四边形DCFD 1是底面．12. 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC 和NC 的长．解：(1)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，如图所示，其对角线长为92＋42＝97.(2)由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线，即侧面展开图中的线段MP ，设PC 的长为x ，则在Rt △AMP 中，AM ＝2，MP ＝29，∴AP 2＝PM 2－AM 2＝25，即(x ＋3)2＝25， ∴x ＝2，即PC ＝2. ∵NC MA ＝PC P A ＝25， 又MA ＝2，∴NC ＝45，故PC 和NC 的长分别为2，45.人教B 版必修2同步练习1．下列说法正确的是( )A ．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的B ．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的C ．圆柱不是旋转体D ．圆台可以看成是用平行于底面的平面截一个圆锥而得到的解析：选D.A 错误，这里需指明绕直角梯形与底边垂直的一腰旋转．B 错误，圆锥是直角三角形绕一条直角边旋转而成．C 错误，圆柱是旋转体．2．一条直线绕着与它相交但不垂直的直线旋转一周所得的几何图形是( ) A ．旋转体 B ．两个圆锥 C ．圆柱 D ．旋转面 答案：D3．一个等腰梯形绕着它的对称轴旋转半周所得的几何体是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．圆台 D ．以上都不对 答案：C4．一个圆柱的母线长为15 cm ，底面半径为12 cm ，则圆柱的轴截面面积是________．答案：360 cm 25．有下列说法：①球的半径是连接球心和球面上任意一点的线段； ②球的直径是连接球面上两点的线段； ③不过球心的截面截得的圆叫做小圆． 其中正确说法的序号是________．解析：利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③正确． 答案：①③1．正方形ABCD 绕对角线AC 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是( ) A ．两个圆台组合成的 B ．两个圆锥组合成的C ．一个圆锥和一个圆台组合成的D ．一个圆柱和一个圆锥组合成的解析：选B.如图△ABO 与△CBO 绕AC 旋转，分别得到一个圆锥．2．边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是( )A ．10 cmB ．5 2 cmC ．5π2＋1 cm D.52π2＋4 cm解析：选D.圆柱的侧面展开图如图所示，展开后E ′F ＝12·2π·(52)＝52π，∴E ′G ＝ 52＋(52π)2＝52π2＋4(cm)．3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S ，则它的一个底面面积是( ) A ．4S B ．4πS C ．πS D ．2πS解析：选C.由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ，则2R ·2R ＝4S ，得R 2＝S .所以底面面积为πR 2＝πS .4．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是( )A ．1∶3B ．1∶9C ．1∶(3－1) D.3∶2解析：选C.由圆锥的截面性质可知，截面仍是圆，设r 1、r 2分别表示截面与底面圆的半径．而l 1与l 2表示母线被截得的线段．则r 1r 2＝l 1l 1＋l 2＝13＝13，∴l 1∶l 2＝1∶(3－1)．5．设M 、N 是球O 半径OP 上的两点，且NP ＝MN ＝OM ，分别过N 、M 、O 作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为( )A ．3∶5∶6B ．3∶6∶8C ．5∶7∶9D ．5∶8∶9解析：选D.作出球的轴截面图如图， 设球的半径为3R ，则MM ′＝9R 2－R 2＝8R ， NN ′＝9R 2－4R 2＝5R . 所截三个圆的面积之比为：π·(5R )2∶π·(8R )2∶π·(3R )2＝5∶8∶9.故选D.6．已知一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面不可能是( )解析：选D.过球心的任何截面都不可能是圆的内接正方形． 7．一圆锥的轴截面的顶角为120°，母线长为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面的面积为________．解析：当截面顶点为90°时，截面面积最大，为12×1×1＝12.答案：128. 如图所示，在透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1中灌进一些水，将固定容器底面的一边BC 置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH 的面积不变；③A 1D 1始终与水面EFGH 平行．其中正确的 序号是________．解析：在倾斜的过程中，因为前后两面平行，侧面(上下、左右)为平行四边形，所以是棱柱．故填①③.答案：①③9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，则此圆的半径为________．解析：设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r＝l，2r·l＝Q，解得r＝Q2.答案：Q210．圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．解：将圆台还原成圆锥，如图所示．O2、O1、O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h, O2O1＝h1，O1O＝h2则⎩⎨⎧h＋h1h＝49＋121，h＋h1＋h2h＝491，所以⎩⎪⎨⎪⎧h1＝4h，h2＝2h，即h1∶h2＝2∶1.11. 如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？解：因为圆锥形铅锤的体积为13×π×(62)2×20＝60π(cm3)．设水面下降的高度为x cm，则小圆柱的体积为π(202)2x＝100πx (cm3)．所以有60π＝100πx ， 解此方程得x ＝0.6.故杯里的水下降了0.6 cm.12．用一张4 cm ×8 cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱轴截面的面积(接头忽略不计)．解：分两种情况：(1)以矩形8 cm 的边为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面(如图(1))轴截面为矩形A 1ABB 1，根据题意可知底面圆的周长为：2π·OA ＝4，则OA ＝2π，于是AB ＝4π.根据矩形的面积公式得：S 截面＝A 1A ·AB ＝8·4π＝32π(cm 2)．(2)以矩形4 cm 的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面(如图(2))，轴截面为矩形A 1ABB 1，根据题意可知底面圆的周长为：2π·OA ＝8，则OA ＝4π，于是AB ＝8π.根据矩形的面积公式得：S 截面＝A 1A ·AB ＝4·8π＝32π(cm 2)．综上所述，轴截面的面积为32πcm 2.人教B 版必修2同步练习1．直线的平行投影可能是( ) A ．点 B ．线段 C ．射线 D ．曲线 答案：A2．在灯光下，圆形窗框在与窗框平行的墙面上的影子的形状是( ) A ．平行四边形 B ．椭圆形 C ．圆形 D ．菱形解析：选C.由点光源的中心投影的性质可知影子应为圆形．3．如图所示的是水平放置的三角形的直观图，D ′是△A ′B ′C ′中B ′C ′边上的一点，且D ′离C ′比D ′离B ′近，又A ′D ′∥y ′轴，那么原△ABC 的AB 、AD 、AC 三条线段中( )A ．最长的是AB ，最短的是AC B ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AD ，最短的是AC 答案：C4．已知有一个长为5 cm ，宽为4 cm 的矩形，则其斜二测直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20(cm 2)．所以其斜二测直观图的面积为S ′＝24S ＝52(cm 2)．答案：5 2 cm 25．长度相等的两条平行线段的直观图的长度________． 答案：相等1．放晚自习后，小华走路回家，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影( ) A ．变长 B ．变短 C ．先变长后变短 D ．先变短后变长 答案：D2．下列关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A ．原图中平行于x 轴的线段，其对应线段仍平行于x ′轴，长度不变B ．原图中平行于y 轴的线段，其对应线段仍平行于y ′轴，长度不变C ．画与坐标系xOy 对应的坐标系x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′可以等于135°D ．画直观图时，由于选轴不同，所画的直观图可能不同解析：选B.平行于y 轴的线段其长度变为原来的12.3. 如图所示，梯形A ′B ′C ′D ′是平面图形ABCD 的直观图，若A ′D ′∥O ′y ′，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′＝23C ′D ′＝2，A ′D ′＝1，则四边形ABCD 的面积是( )A ．10B ．5 2C ．5D ．10 2解析：选C.还原后的四边形ABCD 为直角梯形，AD 为垂直底边的腰，AD ＝2，AB ＝2，CD ＝3，S 四边形ABCD ＝5，故正确答案为C.4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BB 1，BC 的中点，则图中阴影部分在平面ADD 1A 1上的射影为( )答案：A5．如果图形所在的平面不平行于投射线，那么下列说法正确的是( ) A ．矩形的平行投影一定是矩形 B ．梯形的平行投影一定是梯形 C ．正方形的平行投影一定是矩形 D ．正方形的平行投影一定是菱形解析：选B.因为梯形两底的平行投影仍然平行，故选B.6．如下图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )解析：选C.根据斜二测画法的规则：平行于x 轴或在x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段的长度在新坐标中变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，因此由直观图还原成原图形为选项C.7. 如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为________．解析：过C ′作y ′轴的平行线C ′D ′与x ′轴交于D ′，则C′D′＝32asin45°＝62a.又∵C′D′是原△ABC的高CD的直观图，∴CD＝6a.∴S△ABC＝12AB·CD＝12a·6a＝62a2.答案：62a28．给出下列说法：①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．写出其中正确说法的序号________．解析：对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上或与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则；对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于③，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形的水平放置的直观图可以是等边三角形．答案：④9. 水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：在直观图中，∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则斜边AB＝5，故斜边的中线长为52.答案：5210．在有太阳的某时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸到距离球与地面接触点10 m处，同一时刻一根长 3 m的木棒垂直于地面，且影子长1 m，求此球的半径．解：由题设知BO′＝10，设∠ABO′＝2α(0°<α<45°)(如图)，由题意知tan 2α＝31＝3，即2α＝60°，∴α＝30°，∴tan α＝33.在Rt△OO′B中，tan α＝RBO′，∴R＝BO′·tan α＝1033m.即此球的半径为1033m.11. 如图所示，一建筑物A 高为BC ，眼睛位于点O 处，用一把长为22 cm 的刻度尺EF 在眼前适当地运动，使眼睛刚好看不到建筑物A ，这时量得眼睛和刻度尺的距离MN 为10 cm ，眼睛与建筑物的距离MB 为20 m ，求建筑物A 的高．(假设刻度尺与建筑物平行)解：由题意可知O ，F ，C 三点共线，O ，E ，B 三点共线．因为EF ∥BC ，所以EF BC ＝OE OB ＝MNMB.把EF ＝22 cm ，MN ＝10 cm ，MB ＝2000 cm 代入上式，得22BC ＝102000，解得BC ＝4400 cm ＝44 m. 即建筑物A 高44 m.12. 某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成60°角，房屋向南的窗户AB 高1.6米，现要在窗子外面的上方安装一个水平遮阳蓬AC ，如图所示，求：(1)当遮阳蓬AC 的宽度在什么范围内时，太阳光线直接射入室内？(2)当遮阳蓬AC 的宽度在什么范围内时，太阳光线不能直接射入室内(精确到0.01米)? 解：(1)在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝1.6米，则AC ＝AB tan ∠ACB＝3AB3，∴AC ＝1.63≈0.92(米)．当0<AC ≤0.92米时，太阳光可直接射入室内． (2)当AC ＞0.92米时，太阳光不能直接射入室内．人教B版必修2同步练习1．下列说法中正确的是()A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形解析：选C.球的三视图与它的摆放位置无关，从任何方向看都是圆．2．如图所示，桌面上放着一个圆锥和一个长方体，其俯视图是()答案：D3．(2011年高考山东卷)下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是()A．3B．2C．1 D．0解析：选A.对于①，可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以．4．一件物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的________，长度与主视图一样，左视图放在主视图的______，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．答案：下面右面5．某个几何体的三视图如图，这个几何体是________．答案：圆锥1. 如图所示的是水平放置的圆柱形物体，其三视图是()解析：选A.此题主要研究从物体到三视图的转化过程，主视图是从正面观察物体的形状；左视图是从左侧面观察物体的形状；俯视图是从上往下观察物体的形状．从正面看是个矩形，从左面看是个圆，从上往下看是一个矩形，对照图中的A，B，C，D，可知A是正确的．2．图中三图顺次为一个建筑物的主视图、左视图、俯视图，则其为________的组合体．()A．圆柱和圆锥B．正方体和圆锥C．正四棱柱和圆锥D．正方形和圆解析：选C.直接画出符合条件的组合体，可以得解．3．如图所示，有且仅有两个视图相同的几何体是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(2)(4)解析：选D.在这四个几何体中，图(2)与图(4)均只有主视图和左视图相同．4．如图(1)所示是物体的实物图，在图(2)四个选项中是其俯视图的是()答案：C5．一个几何体由一些小正方体摆成，其主视图与左视图如图所示，其俯视图不可能是()解析：选C.通过分析主视图第一列有两个，而左视图第二列有两个，所以俯视图是选项C时，不符合要求．6. 把10个相同的小正方体按如图所示位置堆放，它的表面有若干个小正方形，如果将图中标了字母A的一个小正方体搬走，这时表面的小正方形个数与搬动前相比()A．不增不减B．减少1个C．减少2个D．减少3个答案：A7．欣赏下列物体的三视图，并写出它们的名称．答案：(1)主视图(2)左视图(3)俯视图(4)主视图(5)左视图(6)俯视图8．下图是某个圆锥的三视图，根据主视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为________，圆锥母线长为________．解析：由主视图的底边可知俯视图的半径为10，则面积为100π.由主视图知圆锥的高为30，又底面半径为10，则母线长为102＋302＝1010.答案：100π10109．一个几何体由几个相同的小正方体组合而成，它的主视图、左视图、俯视图如图所示，则这个组合体包含的小正方体的个数是________．解析：由三视图画出几何体如图．观察知，包含小正方体个数为5个．答案：510．如图所示是一些立体图形的视图，但是观察的方向不同，试说明下列各图可能是哪一种立体图形的视图．解：从柱、锥、台、球的三视图各方面综合考虑．图(1)可能为球、圆柱，如图(4)所示．图(2)可能为棱锥、圆锥、棱柱，如图(5)所示．图(3)可能为正四棱锥，如图(6)所示．11. 如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体，数据如图所示(单位：cm)，试画出它的三视图．解：这个几何体是由一个长方体和一个圆柱体构成的．三视图如下图所示．12．如图，BC⊥CD，且CD⊥MN，ABCD绕AD所在直线MN旋转，在旋转前，点A 可以在DM上选定．当点选在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，分别画出它的三视图并比较异同．解：(1)当点A在下图(a)中射线DM的位置时，绕MN旋转一周所得几何体为底面半径为CD的圆柱和圆锥叠加而成，其三视图如下图(a)．(2)当点A在下图(b)中射线DM的位置时，即B到MN作垂线的垂足时旋转后的几何体为圆柱，其三视图如下图(b)．(3)当点A在下图(c)中所示位置时，其旋转所得几何体为圆柱中挖去同底的圆锥，其三视图如下图(c)．(4)当点A位于点D时，如下图(d)中，旋转体为圆柱中挖去同底等高的圆锥，其三视图如下图(d)．人教B 版必修2同步练习1．一正四棱锥各棱长均为a ，则其表面积为( ) A.3a 2 B ．(1＋3)a 2 C ．22a 2 D ．(1＋2)a 2解析：选B.正四棱锥的底面积为S 底＝a 2，侧面积为S 侧＝4×12×a ×32a ＝3a 2，故表面积为S 表＝S 底＋S 侧＝(1＋3)a 2.2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案：D3．若球的大圆周长为C ，则这个球的表面积是( ) A.C 2 B.C 2 C.C 2πD ．2πC 2 答案：C4．一个圆锥的底面半径为2，高为23，则圆锥的侧面积为________．解析：S 侧＝πRl ＝π×2×22＋(23)2＝8π. 答案：8π5．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________． 答案： 31．正三棱锥的底面边长为a ，高为66a ，则此棱锥的侧面积等于( ) A.34a 2 B.32a 2 C.334a 2 D.332a 2解析：选A.斜高h ′ ＝(66a )2＋(3a 6)2＝12a ， 则S 侧＝12·3a ·12a ＝34a 2.2．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积是( ) A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2) D ．144解析：选A.S 两底＝34×42×6×2＝483，S 侧＝6×4×6＝144.∴S 全＝144＋483＝48(3＋3)．3．正四棱台两底面边长分别为3 cm 和5 cm ，那么它的中截面面积为( ) A ．2 cm 2 B ．16 cm 2 C ．25 cm 2 D ．4 cm 2。
高中数学必修3(人教A版)第二章统计2.1知识点总结含同步练习及答案
⑤确定样本：从总体中找出与号签上的号码对应的个体，组成样本．
随机数表法是随机数表由数字 0 ，1 ，2，3，⋯，9 这 10 个数字组成，并且每个数字在表中 各个位置上出现的机会都是一样的，通过随机数表，根据实际需要和方便使用的原则，将几个数
组成一组，然后通过随机数表抽取样本．随机数表的优点是简单易行，它很好的解决了当总体中
样．因为 50 名官兵是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单 随机抽样中“等可能抽样”的要求．（3）是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且
是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽取．
2013年第27届世界大学生运动会在俄罗斯举行，为了支持这次运动会，某大学从报名的 20 名大 三学生中选取 6 人组成志愿小组，请用抽签法设计抽样方案． 解：（1）将 20 名志愿者编号，编号为 1，2，3，4，⋯，20； （2）将 20 个号码分别写在 20 张形状相同的卡片上，制成号签； （3）将 20 张卡片放入一个不透明的盒子里，搅拌均匀； （4）从盒子中逐个不放回地抽取 6 个号签，并记录上面的号码；
A．2
B．3
C．6
D．7
解：C
间隔相等，所以 126 − 8 × 15 = 6．
4.分层抽样
描述： 将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在 总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样的方法叫做分层抽样．当总体由明显差 别的几部分组成时，为了使抽取样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样．
③简单随机抽样是一种不放回抽样．
④简单随机抽样是一种等可能的抽样，每个个体被抽取到的可能性均为
n N
．
常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法．
高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.2知识点总结含同步练习题及答案
|a| = |b|
⋯⋯②
由 ①② 解得 a = b = 5 或 a = −1 ，b = 1 ，所以直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0． （ii）当 a = b = 0 时，直线过原点和 P (2, 3) ，所以直线方程为 3x − 2y = 0 ． 综上可知，所求直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0 或 3x − 2y = 0 ． 已知三角形的顶点是 A(−5, 0) ，B(3, −3) ，C (0, 2) ，求 AC 边所在直线的方程，以及该边上的 中线所在直线的方程． 解：过点 A(−5, 0) ，C (0, 2) 的两点式方程为
直线的基本量与方程 直线与直线的位置关系 直线的相关计算
三、知识讲解
1.直线的基本量与方程 描述： 直线的倾斜角 当直线l 与x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直 线l 的倾斜角（angle of inclination）．直线倾斜角α 的取值范围为0 ∘ ≤ α < 180 ∘ ．
2 y − (−3) x−3 由两点式得直线 BD 的方程为 ，整理可得 8x + 11y + 9 = 0 ，这就是 = 1 − (−3) −5 − 3 2 AC 边上的中线所在直线的方程．
⎪ ⎩
2.直线与直线的位置关系 描述： 直线 l 1 ：y = k1 x + b 1 ，l 2 ：y = k2 x + b 2 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 k1 = k2 且 b 1 ≠ b 2 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 k1 = k2 且 b 1 = b 2 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 k1 ≠ k2 ，特别地，若两直线垂直，则 k1 ⋅ k2 =#43; B 1 y + C1 = 0, A 2 1 + B 1 ≠ 0 ，l 2 ：A 2 x + B 2 y + C2 = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 ≠ B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 = B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 A 1 B 2 ≠ A 2 B 1 ，特别地，若两直线垂直，则 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 ． 例题： 直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 解：两直线的斜率分别为 交． ）
高中数学选修2-3（人教B版）第二章随机变量及其分布2.2知识点总结含..
描述：例题：高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 随机变量及其分布 2.2 条件概率与事件的独立性一、学习任务1. 了解条件概率的定义及计算公式，并会利用条件概率解决一些简单的实际问题．2. 能通过实例理解相互独立事件的定义及概率乘法公式，并能综合利用互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式．3. 理解独立重复试验的概率及意义，理解事件在 次独立重复试验中恰好发生 次的概率公式，并能利用 次独立重复试验的模型模拟 次独立重复试验．二、知识清单事件的独立性与条件概率独立重复试验与二项分布三、知识讲解1.事件的独立性与条件概率条件概率的概念一般地，设 ，为两个事件，且 ，称为在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率（conditional probability）．读作 发生的条件下 发生的概率．条件概率的性质①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在 和 之间，即．②如果 和 是两个互斥事件，则相互独立事件的概念设 ，为两个事件，若 ，则称事件 与事件 相互独立（mutually independent）．相互独立事件同时发生的概率：如果事件 ，，， 相互独立，那么这 个事件同时发生的概率等于每个事件发生概率的积，即n k n n A B P (A )>0P (B |A )=P (AB )P (A )A B P (B |A )A B 0 1 0≤P (B|A)≤1 B CP (B ∪C |A )=P (B |A )+P (C |A ).A B P (AB )=P (A )P (B )A B A 1A 2⋯A n n P (⋯)=P ()P ()⋯P ().A 1A 2A n A 1A 2A n 甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别20%18%12%为 和 ，两地同时下雨的比例为 ，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设“甲地为雨天”， “ 乙地为雨天”，则根据题意有（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是20%18%12%A =B =P (A )=0.20,P (B )=0.18,P (AB )=0.12.P (A |B )==≈0.67.P (AB )P (B )0.120.18P (B |A )===0.60.P (AB )P (A )0.120.20如图，四边形 是以 为圆心，半径 的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 表示事件“豆子落在正方形 内”， 表示事件“豆子落在扇形 （阴影部分）内”，则（1）______；（2）______．解：；圆 的面积是，正方形 的面积是 ，扇形 的面积是 ，由几何概型概率公式得 ，由条件概率公式得EFGH O 1A EFGH B OHE P (A )=P (B |A )=2π14O πEF GH 2OHE π4P (A )=2πP (B |A)===.P (AB )P (A)12π2π14掷一枚正方体骰子一次，设事件 ：“出现偶数点”，事件 ：“出现 点或 点”，则事件 ， 的关系是（ ）A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥 C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥解：B事件 ，事件 ，事件 ，基本事件空间 ．所以，，，即 ，因此，事件 与 相互独立．当“出现 点”，事件 ， 同时发生，所以 ， 不是互斥事件．A B 36A B A ={2,4,6}B ={3,6}AB ={6}Ω={1,2,3,4,5,6}P (A )==3612P (B )==2613P (AB )==×161213P (AB )=P (A )P (B )A B 6A B A B 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与 ．（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球均不命中的概率．解：记“甲投一次命中”为事件 ，“乙投一次命中”为事件 ，则 ，1225A B P (A )=12213，，．（1）恰好命中一次的概率为（2）设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 ，则2P (B )=25P ()=A ¯¯¯12P ()=B ¯¯¯35P =P (A ⋅)+P (⋅B )B ¯¯¯A ¯¯¯=P (A )⋅P ()+P ()⋅P (B )B ¯¯¯A ¯¯¯=×+×12351225=.12P 1P 1=P (∩∩∩)A ¯¯¯A ¯¯¯B ¯¯¯B ¯¯¯=P ()⋅P ()⋅P ()⋅P ()A ¯¯¯A ¯¯¯B ¯¯¯B ¯¯¯=(1−(1−12)225)2=9100在一个选拔项目中，每个选手都需要进行 轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为，，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率；解：设事件 （ ，，， ）表示“该选手能正确回答第 轮问题”，由已知得，，，．（1）设事件 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则（2）设事件 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则456453413A i i =1234i P ()=A 156P ()=A 245P ()=A 334P ()=A 413B P (B )=P ()A 1A 2A ¯¯¯3=P ()P ()P ()A 1A 2A ¯¯¯3=××(1−)564534=.16C P (C )=P (++)A ¯¯¯1A 1A ¯¯¯2A 1A 2A ¯¯¯3=P ()+P ()+P ()A ¯¯¯1A 1A ¯¯¯2A 1A 2A ¯¯¯3=+×+××(1−)165615564534=.12描述：例题：2.独立重复试验与二项分布独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的 次试验，称为次独立重复试验（independent andrepeated trials）．二项分布一般地，在 次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则此时称随机变量服从二项分布（binnomial distribution），记作 ），并称为成功概率．n n n X A A p P (X =k )=(1−p ,k=0,1,2,⋯,n .C kn pk )n −k X X ∼B (n ,p ) p 下列随机变量 的分布列不属于二项分布的是（ ）A．投掷一枚均匀的骰子 次， 表示点数 出现的次数B．某射手射中目标的概率为 ，设每次射击是相互独立的， 为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C．实力相等的甲、乙两选手举行了 局乒乓球比赛， 表示甲获胜的次数D．某星期内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为 ， 表示下载 次数据后电脑被病毒感染的次数解：B选项 A，试验出现的结果只有两个：点数为 和点数不为 ，且点数为 的概率在每一次试验都为 ，每一次试验都是独立的，故随机变量 服从二项分布；选项 B，，故随机变量 不服从二项分布；选项 C，甲、乙的获胜率都相等，举行 次比赛，相当于进行了 次独立重复试验，故 服从二项分布；选项 D，由二项分布的定义可知，被感染次数 ．X 5X 6p X 5X 0.3X n 66616X P (X =1)=p ,P (X =2)=(1−p )p ,P (X =k )=(1−p p )(k −1)X 55X X ∼B (n ,0.3)口袋中有 个白色乒乓球， 个黄色乒乓球，从中选取 次，每次取 个后又放回，则 次中恰有 次取到白球的概率是（ ）A． B． C． D . 解：D任意取球 次，取得白球 次的概率是5551531235C 35C 510⋅C 350.5553P (X =3)=(1−0.5=⋅C 350.53)5−3C 350.55甲、乙两名同学进行三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为 ，乙每次投中的概率为 ，每人分别进行三次投篮．（1）设甲投中的次数为 ，求 的分布列；（2）求乙至多投中 次的概率；（3）求乙恰好比甲多投中 次的概率．1312ξξ221四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）解：（1）， 的可能取值为 ，，，． 的分布列为：（2）设“乙至多投中 次”为事件 ，则（3）设“乙比甲多投中 次”为事件 ，“乙恰投中 次且甲恰投中 次”为事件，“乙恰投中 次且甲恰投中 次”为事件 ，则 ，， 为互斥事件，则所以乙恰好比甲多投中 次的概率为．ξ∼B (3,)13ξ0123P(ξ=0)=(=,C 0323)3827P (ξ=1)=()(=,C 131323)249P (ξ=2)=(()=,C 2313)22329P (ξ=3)=(=.C 3313)3127ξξP082714922931272A P (A )=1−(=.C 3312)3782A 120B 131B 2=∪A 1B 1B 2B 1B 2P (A )=P ()+P ()=×+×=.B 1B 282738491816216答案：解析：1. 某一批花生种子，如果每 粒发芽的概率为 ，那么播下 粒种子恰有 粒发芽的概率是 A ．B ．C ．D ．B 概率为 ．14542()1662596625192625256625=C 24()452(1−)45296625答案：2. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 ，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A ．B ．C ．D ．A0.750.6()0.80.750.60.453. 某厂生产电子元件，其产品的次品率为 ，现从一批产品中任意地连续取出 件，其中次品数 的5%2ξ高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。