036动态规划算法的例子

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一章动态规划应用举例

k=5时：f5(500)=500, f5(600)=600, f5(700)=700 (x5*=1) y5E=0.3*500+0.3*600+0.4*700=610
解分成四个阶段，k=1,2,3,4；k阶段初的库存vk为状态变量，v1=0；k阶段的产品生产量xk为决策变量，
（d1=2, d2=3, d3=2, d4=4）
状态转移方程为：vk+1= vk+xk-dk k阶段的费用有两部分，生产费用为
0 当xk=0时 ck(xk)= 3+xk 当xk=1,...,6时
0
1
4
2 3
4
5
0+0.5•4+10.5=12.5*
(3+1)+0.5•4+8=14
(3+2)+0.5•4+8=15 (3+3)+0.5•4+8=16
12.5
(3+4)+0.5•4+8=17
(3+5)+0.5•4+5=15
k=1时：
v1 x1 c1(x1)+h1(v1)+f2(v2) f1(v1)
2
2 (3+2)+0.5•4+2=9
5
0 1
0+0.5•5+5.5=8* (3+1)+0.5•5+2=8.5
60
0+0.5•6+2=5*
f3(v3) 11
10.5
8
8 8 8 5
k=2时：（续）
0 1 2 33 4 5 6
0+0.5•3+11=12.5* (3+1)+0.5•3+10.5=16 (3+2)+0.5•3+8=14.5 (3+3)+0.5•3+8=15.5 12.5 (3+4)+0.5•3+8=16.5 (3+5)+0.5•3+8=17.5 (3+6)+0.5•3+5=15.5

动态规划算法

动态规划算法：引言：动态规划算法是求解最有问题的一种高效率的算法。

其使用的原则是优化原则，即整体的最优解可以通过局部的最优解获得。

问题求解的过程可以概括成两句话：自顶向下的分析，自下向上的计算。

典型例题例1、数塔问题：设有一个三角形数塔，顶点节点称为根结点，每个节点有一个数值。

从顶点出发，可以想左走也可以向右走。

搜索从顶点出发向下走至塔底的所有路径中节点和最大的路径及最大和值。

问题分析：1 选择最佳算法：贪心算法----不能求最优解；穷举算法----当塔层数很大时，计算量过大。

其它算法？2 选择最佳数据结构表示数据：g[I,j,1]:表示为置[I,j]结点本身数值；g[I,j,2]:能取得的最大值；g[I,j,3]:前进方向，0---向下；1—向右下。

源程序：program d1;const n=5;var i,j:integer;g:array[1..n,1..n,1..3] of integer;beginfor i:=1 to n dobeginfor j:=1 to i dobeginread(g[i,j,1]);g[i,j,2]:=g[i,j,1];g[i,j,3]:=0;end;readln;end;for i:=n-1 downto 1 dofor j:=1 to i doif g[i+1,j,2]>g[i+1,j+1,2] theng[i,j,2]:=g[i,j,2]+g[i+1,j,2]else begin g[i,j,2]:=g[i,j,2]+g[i+1,j+1,2];g[i,j,3]:=1end;writeln('max:=',g[1,1,2]);write(g[1,1,1]);j:=1;for i:=1 to n-1 dobeginj:=j+g[i,j,3];write('-',g[i+1,j,1]:4);end;writeln;end.例2、求城市间最短通路问题：设有n个城市分布在一条干道上，相邻城市间由若干通路，每条通路上有一个数字表示通路的距离，如下图所示。

动态规划算法及其应用案例解析

动态规划算法及其应用案例解析动态规划算法是计算机科学中一种非常重要的算法，它在许多领域都有大量的应用。

在本文中，我们将介绍动态规划算法的基本思想和特点，并通过一些常见的应用案例来深入理解这个算法。

1. 动态规划算法的基本思想动态规划算法是一种算法设计技术，用于在多阶段决策过程中寻找最优解。

它的基本思想是将一个大问题分解成较小的子问题来解决，然后将这些子问题的解组合起来得到原问题的解。

它与分治算法很类似，但是动态规划算法通常是针对问题的重复性结构进行优化的。

动态规划算法通常适用于满足以下几个条件的问题：（1）问题具有重叠子问题的特点，即一个大问题可以分解为多个子问题，且这些子问题存在相同的子结构；（2）问题具有最优子结构的特点，即一个问题的最优解包含其子问题的最优解。

通过以上两个条件，在通过子问题的最优解推导出大问题的最优解时，我们可以避免重复计算并且保证得到的结果是最优的。

2. 动态规划算法的特点动态规划算法的主要特点包括以下几个方面：（1）动态规划算法使用一个递推公式来计算问题的解，这个递推公式通常是由原问题和子问题之间的关系建立而来的。

（2）动态规划算法使用一个表格来存储子问题的解，这个表格通常称为动态规划表或者状态转移表。

（3）动态规划算法通常需要进行一些预处理操作，例如初始化表格的值，以及确定递推公式的边界条件。

（4）动态规划算法的时间复杂度通常是由子问题的个数和计算每个子问题的时间复杂度来决定的。

3. 应用案例解析下面我们将通过一些常见的应用案例来更好地理解动态规划算法。

（1）背包问题背包问题是指给定一组物品和一个容量为W的背包，选择一些物品放入背包中，使得放入背包的物品的总价值最大。

这个问题可以通过动态规划算法来解决。

我们可以定义一个二维数组f[i][j]，表示前i个物品放进容量为j的背包所得到的最大价值。

递推公式可以定义为：f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]] + v[i])，其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。

动态规划算法的详细原理及使用案例

动态规划算法的详细原理及使用案例一、引言动态规划是一种求解最优化问题的算法，它具有广泛的应用领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等。

本文将详细介绍动态规划算法的原理，并提供一些使用案例，以帮助读者理解和应用这一算法的具体过程。

二、动态规划的基本原理动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并利用已解决子问题的解来求解更大规模的问题。

其核心思想是利用存储技术来避免重复计算，从而大大提高计算效率。

具体来说，动态规划算法通常包含以下步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题具有相同的结构，但规模更小。

这种分解可以通过递归的方式进行。

2. 定义状态：确定每个子问题的独立变量，即问题的状态。

状态具有明确的定义和可计算的表达式。

3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。

这个方程可以是简单的递推关系式、递归方程或其他形式的方程。

4. 解决问题：使用递推或其他方法，根据状态转移方程求解每个子问题，直到获得最终解。

三、动态规划的使用案例1. 背包问题背包问题是动态规划算法的经典案例之一。

假设有一个背包，它能容纳一定重量的物品，每个物品有对应的价值。

目的是在不超过背包总重量的前提下，选取最有价值的物品装入背包。

这个问题可以通过动态规划算法来求解。

具体步骤如下：（1）定义问题：在不超过背包容量的限制下，选取物品使得总价值最大化。

（2）定义状态：令dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。

（3）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。

（4）解决问题：根据状态转移方程依次计算每个子问题的解，并记录最优解，直到获得最终答案。

2. 最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题，它用于确定两个字符串中最长的共同子序列。

动态规划算法原理及应用

动态规划算法原理及应用动态规划算法（Dynamic Programming，DP）是一种通过将问题分解为子问题来解决复杂问题的方法。

其核心思想就是将原问题分解为若干个子问题，先求解子问题，然后再根据子问题的解得出原问题的解。

1.定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，每个子问题都是原问题的一个子集。

2.构建状态转移方程：根据子问题的关系，建立状态转移方程来描述问题的解。

3.确定边界条件：确定问题的边界条件，即当问题规模很小的时候可以直接求解的情况。

4.自底向上求解：根据状态转移方程，自底向上地求解子问题，最终得到原问题的解。

1.背包问题：给定一个背包的容量和一系列物品的重量和价值，选择若干个物品放入背包中，使得背包的总重量不超过容量，同时总价值最大化。

2.最长公共子序列（LCS）问题：给定两个字符串，求它们的最长公共子序列，即两个字符串中都出现的最长的子序列。

3.最短路径问题：给定一个有向带权图和两个顶点，求两个顶点之间的最短路径。

4.最大连续子序列和问题：给定一个整数数组，找到一个具有最大和的连续子序列。

5.斐波那契数列：求解斐波那契数列中第n个数的值。

其中，斐波那契数列的定义为：F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)，n>11.避免了重复计算：动态规划算法使用备忘录或者数组来存储中间计算结果，避免了重复计算，提高了效率。

2.自底向上求解：动态规划算法从最小的子问题开始求解，逐步拓展到原问题，保证了每个子问题都是已经求解过的。

3.可通过状态压缩进行优化：动态规划算法中，可以根据具体问题的特点，通过状态压缩来减少空间复杂度。

然而，动态规划算法也有一些限制：1.无法应用于所有问题：动态规划算法要求问题满足最优子结构的性质，因此不是所有问题都可以使用动态规划算法来解决。

2.有时需要额外的空间和时间：动态规划算法可能需要使用额外的空间来存储中间结果，同时也需要额外的时间来计算和存储中间结果。

动态规划例题

动态规划例题动态规划是一种以最优化原理为基础的问题求解方法，通过拆分问题为若干阶段，每个阶段求解一个子问题，再逐步推导出整个问题的最优解。

例如，有一个背包能够承受一定的重量，现有一些物品，每个物品都有自己的重量和价值。

我们希望将物品放入背包中，使得背包的总价值最大。

这个问题可以用动态规划来解决。

首先，我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，容量为j的背包中所能放入的物品的最大价值。

那么，对于每一个物品，可以选择放入背包或者不放入背包。

如果选择放入背包，最大价值为dp[i-1][j-w[i]] + v[i]，其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。

如果选择不放入背包，最大价值为dp[i-1][j]。

因此，dp[i][j]的状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]] + v[i], dp[i-1][j])。

基于这个状态转移方程，可以逐步求解从第1个物品到第n个物品的最大价值。

最终，dp[n][W]即为问题的最优解，其中W 表示背包的容量。

举个简单的例子，假设背包的容量为10，有3个物品，它们的重量分别为3、4、5，价值分别为4、5、6。

此时，可以得到如下的dp矩阵：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 4 4 4 4 4 4 4 40 0 0 4 5 5 9 9 9 9 90 0 0 4 5 5 9 10 10 14 14我们可以看到，dp[3][10]的最大价值为14，表示在前3个物品中，容量为10的背包中所能放入的物品的最大价值为14。

通过动态规划，我们可以有效地求解背包问题，得到物品放入背包的最优解。

这个例子只是动态规划的一个简单应用，实际上，动态规划可以解决各种复杂的问题，如最长公共子序列、最大子数组和、最大字段和等。

因此，学习动态规划是非常有意义的。

动态规划典型案例解析及计算过程梳理

动态规划典型案例解析及计算过程梳理动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将问题分解为子问题来解决复杂问题的算法策略。

它通常用于优化问题，通过将问题的解决方案划分为相互重叠的子问题来降低计算复杂度。

下面将通过几个典型案例，详细解析动态规划的应用及其计算过程。

1. 斐波那契数列斐波那契数列是一种经典的动态规划问题。

它的定义是：F(n) =F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。

我们需要计算第n个斐波那契数。

通过动态规划的思想，可以将该问题划分为子问题，即计算第n-1和第n-2个斐波那契数。

可以使用一个数组来保存已经计算过的斐波那契数，避免重复计算。

具体的计算过程如下：1. 初始化一个长度为n+1的数组fib，将fib[0]设置为0，fib[1]设置为1。

2. 从i=2开始遍历到n，对于每个i，计算fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]。

3. 返回fib[n]作为结果。

通过上述过程，我们可以快速地得到第n个斐波那契数。

这个案例展示了动态规划的重要特性，即将问题分解为子问题进行求解，并利用已经计算过的结果来避免重复计算。

2. 背包问题背包问题是另一个常见的动态规划问题。

问题的定义是：有一组物品，每个物品有自己的重量和价值，在限定的背包容量下，如何选择物品使得背包中的总价值最大化。

通过动态规划的思想，背包问题可以被划分为子问题。

我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。

具体的计算过程如下：1. 初始化一个大小为n+1行，m+1列的二维数组dp，其中n为物品数量，m为背包容量。

将所有元素初始化为0。

2. 从i=1开始遍历到n，对于每个i，从j=1开始遍历到m，对于每个j，进行如下判断：- 若当前物品的重量大于背包容量j，则dp[i][j] = dp[i-1][j]，即不选择当前物品；- 若当前物品的重量小于等于背包容量j，则dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)，即选择当前物品或不选择当前物品所能获得的最大价值。

动态规划算法的常见实例

动态规划算法的常见实例动态规划算法是一种将复杂问题分解为简单子问题来解决的算法，它可被应用于多个领域中，如经济学、生物学、计算机科学等。

在本文中，我们将详细讨论动态规划算法的常见实例。

一、最长公共子序列问题最长公共子序列（LCS）问题是一个经典的计算机科学问题，它要求在两个字符串中找到最长的相同连续子序列。

例如，对于字符串“ABCD”和“ACDF”，最长公共子序列为“ACD”。

使用动态规划方法来解决LCS问题。

首先定义一个m行n列的二维矩阵，其中m和n分别表示两个字符串的长度。

然后，使用以下递推关系：1. 如果一个字符串的长度为0，LCS为0。

2. 如果两个字符不相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合的最大值。

3. 如果两个字符相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合所组成的子序列中的最大值加1。

最后，矩阵右下角的值就是LCS的长度。

二、背包问题背包问题（Knapsack problem）是一个经典的组合优化问题，被广泛应用于计算机科学和其他领域。

在一个决策者必须决定是否将某些物品放入背包中的场景中，背包问题就发挥了作用。

具体来说，我们要解决的问题是：对于一个固定容量的背包，有一些物品，它们的重量和价值都不同，如何在不超过背包容量的前提下，使所装载物品的总价值最大化。

一种解决方案是使用动态规划方法。

定义一个二维数组，其行表示物品，列表示背包大小。

然后，使用以下递推关系：1. 如果所考虑的物品重量大于背包容量，则不选此物品。

2. 否则，在选取该物品和不选该物品两种情况中选择最优解作为最终结果。

最后，矩阵中右下角的值就是最大的总价值。

三、矩阵链乘法矩阵链乘法是一种计算矩阵乘积的优化算法。

它使用动态规划算法来确定矩阵乘积的最小值。

对于一个长度为n的矩阵链，我们可以定义一个n×n 的矩阵M，其中第i行第j列的元素Mi，j表示第i个矩阵与第j个矩阵相乘的最小次数。

动态规划例子

动态规划例子篇一：动态规划算法举例分析动态规划算法1. 动态规划算法介绍基本思想是将待求解问题分解成若干子问题，先求解子问题，最后用这些子问题带到原问题，与分治算法的不同是，经分解得到的子问题往往是不是相互独立，若用分治则子问题太多。

2. 适用动态规划算法问题的特征（1）最优子结构设计动态规划算法的第一步骤通常是要刻画最优解的结构。

当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。

问题的最优子结构性质提供了该问题可用动态规划算法求解的重要线索。

在动态规划算法中，问题的最优子结构性质使我们能够以自底向下的方式递归地从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。

同时，它也使我们能在相对小的子问题空间中考虑问题。

（2）重叠子问题可用动态规划算法求解的问题应具备的另一基本要素是子问题的重叠性质。

在用递归算法自顶向下解此问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。

动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次需要解此子问题时，只有简单地用常数时间查看一下结果。

通常，不同的子问题个数随输入问题的大小呈多项式增长。

因此，用动态规划算法通常只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率。

（3）备忘录方法1动态规划算法的一个变形是备忘录方法。

备忘录方法也是一个表格来保存已解决的子问题的答案，在下次需要解此子问题时，只要简单地查看该子问题的解答，而不必重新计算。

与动态规划算法不同的是，备忘录方法的递归方式是自顶向下的，而动态规划算法则是自底向上递归的。

因此，备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同，区别在于备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同子问题的重复求解。

备忘录方法为每个子问题建立一个记录项，初始化时，该记录项存入一个特殊的值，表示该子问题尚未求解。

在求解过程中，对每个待求的子问题，首先查看其相应的记录项。

动态规划算法设计方法及案例解析

动态规划算法设计方法及案例解析动态规划是一种解决多阶段决策问题的常用算法，通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。

本文将介绍动态规划算法的设计方法，并通过两个实例进行解析，以帮助读者更好地理解和应用该算法。

一、动态规划算法设计方法动态规划算法的设计一般遵循以下几个步骤：1. 确定问题的状态：将原问题划分为若干个子问题，并定义每个子问题的状态。

状态的定义应该包含子问题的变量和可以从子问题中获得的信息。

2. 定义状态转移方程：通过分析子问题之间的关系，确定状态之间的转移方式。

通常使用递推关系式来描述状态之间的转移，以表达每个子问题的最优解与其他子问题解之间的关系。

3. 确定初始状态和边界条件：确定问题的初始状态和边界条件，即最简单的子问题的解，作为求解其他子问题的基础。

4. 计算最优解：根据定义的状态转移方程，利用递推的方式从初始状态开始逐步计算每个子问题的最优解，直到得到原问题的最优解。

二、案例解析1：背包问题背包问题是动态规划算法中经典的案例之一，主要解决如何在限定容量的背包中选择一些物品，使得物品的总价值最大。

以下是一个简化的例子：假设有一个容量为C的背包，以及n个物品，每个物品有重量wi 和价值vi。

要求选择一些物品放入背包中，使得放入背包中物品的总价值最大。

根据动态规划算法的设计方法，我们可以定义子问题的状态为：背包容量为c，前a个物品的最优解用F(c,a)表示。

那么，状态转移方程可以定义为：F(c,a) = max{F(c,a-1), F(c-wa, a-1) + va}其中，F(c,a-1)表示不选择第a个物品时的最优解，F(c-wa, a-1) + va 表示选择第a个物品时的最优解。

初始状态为F(0,a) = F(c,0) = 0，边界条件为c < wa时，F(c,a) =F(c,a-1)。

根据以上定义，我们可以通过递推的方式计算F(c,n)，从而得到背包问题的最优解。

动态规划应用案例

动态规划应用案例动态规划是一种解决复杂问题的优化算法。

它通过将问题拆分成多个子问题，并记录每个子问题的解，以避免重复计算，从而提高算法的效率。

在实际应用中，动态规划被广泛用于解决各种问题，包括最优化问题、路径搜索问题、序列问题等。

本文将介绍几个动态规划的应用案例，以展示其在实际问题中的强大能力。

案例一：背包问题背包问题是动态规划中经典的一个例子。

假设有一个背包，容量为V，现有n个物品，每个物品的重量为wi，价值为vi。

要求在不超过背包容量的前提下，选取一些物品放入背包，使得背包中的物品总价值最大。

这个问题可以用动态规划来解决。

首先定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品，使得它们的总重量不超过j时的最大总价值。

然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)最后，根据状态转移方程，可以循环计算出dp[n][V]的值，即背包中物品总价值的最大值，从而解决了背包问题。

案例二：最长递增子序列最长递增子序列是指在一个序列中，选取一些数字，使得这些数字按照顺序排列，且长度最长。

动态规划也可以应用于解决最长递增子序列问题。

假设有一个序列nums，长度为n。

定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示以nums[i]为结尾的最长递增子序列的长度。

然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i] = max(dp[j] + 1)，其中j < i且nums[j] < nums[i]最后，循环计算出dp数组中的最大值，即为最长递增子序列的长度。

案例三：最大子数组和最大子数组和问题是指在一个数组中，选取一段连续的子数组，使得子数组的和最大。

动态规划也可以用于解决最大子数组和问题。

假设有一个数组nums，长度为n。

定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示以nums[i]为结尾的连续子数组的最大和。

然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])最后，循环计算出dp数组中的最大值，即为最大子数组的和。

动态规划算法详解及经典例题

动态规划算法详解及经典例题动态规划什么是动态规划？动态规划的⼤致思路是把⼀个复杂的问题转化成⼀个分阶段逐步递推的过程，从简单的初始状态⼀步⼀步递推，最终得到复杂问题的最优解。

基本思想与策略编辑:由于动态规划解决的问题多数有重叠⼦问题这个特点，为减少重复计算，对每⼀个⼦问题只解⼀次，将其不同阶段的不同状态保存在⼀个⼆维数组中。

1. 拆分问题：根据问题的可能性把问题划分成通过递推或者递归⼀步⼀步实现。

关键就是这个步骤,动态规划有⼀类问题就是从后往前推到,有时候我们很容易知道 : 如果只有⼀种情况时,最佳的选择应该怎么做.然后根据这个最佳选择往前⼀步推导,得到前⼀步的最佳选择 2. 定义问题状态和状态之间的关系：⽤⼀种量化的形式表现出来,类似于⾼中学的推导公式,因为这种式⼦很容易⽤程序写出来,也可以说对程序⽐较亲和(也就是最后所说的状态转移⽅程式) 3. 动态规划算法的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若⼲个⼦问题（阶段），按顺序求解⼦阶段，前⼀⼦问题的解，为后⼀⼦问题的求解提供了有⽤的信息。

在求解任⼀⼦问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。

依次解决各⼦问题，最后⼀个⼦问题就是初始问题的解。

我的理解是：⽐如我们找到最优解,我们应该讲最优解保存下来,为了往前推导时能够使⽤前⼀步的最优解,在这个过程中难免有⼀些相⽐于最优解差的解,此时我们应该放弃,只保存最优解,这样我们每⼀次都把最优解保存了下来,⼤⼤降低了时间复杂度。

动态规划解决问题的过程分为两步：1.寻找状态转移⽅程式2.利⽤状态转移⽅程式⾃底向上求解问题动态规划原理使⽤条件：可分为多个相关⼦问题，⼦问题的解被重复使⽤使⽤条件：可分为多个相关⼦问题，⼦问题的解被重复使⽤Optimal substructure（优化⼦结构）：⼀个问题的优化解包含了⼦问题的优化解缩⼩⼦问题集合，只需那些优化问题中包含的⼦问题，降低实现复杂性我们可以⾃下⽽上的Subteties（重叠⼦问题）：在问题的求解过程中，很多⼦问题的解将被多次使⽤。

动态规划的几个实例

动态规划的⼏个实例１.算⼀个数组中的每⼀项⽬等于其它项的乘积://Don't forget to free the result.int* MutilArray(int nInput[], int nCount){int nMutilAll = 1;int *PResult = NULL;PResult = (int*)malloc(sizeof(int) * nCount);if (!PResult)return NULL;for (int i=0; i < nCount; i++){nMutilAll *= nInput[i];}for (int i=0; i< nCount; i++){PResult[i] = nMutilAll/nInput[i];}return PResult;}2.如果我们有⾯值为1元、3元和5元的硬币若⼲枚，如何⽤最少的硬币凑够11(X)元？int nConisArray[] = {1, 3, 5};bool HaveThisCoin(int nCoin){if (nCoin == 1 || nCoin == 3 || nCoin == 5){return true;}return false;}//dpint dp(int nFindMondy){int nLen = 1;if (HaveThisCoin(nFindMondy)){nLen = 1;}else{if (nFindMondy >= 5){nLen = dp(nFindMondy - 5) + 1;}else if(nFindMondy >= 3){nLen = dp(nFindMondy - 3) + 1;}else{nLen = dp(nFindMondy - 1) + 1;}}return nLen;}２.⼀个序列有N个数：A[1],A[2],…,A[N]，求出最长⾮降⼦序列的长度。

动态规划算法详解及应用实例

动态规划算法详解及应用实例动态规划算法是一种常见的解决各种最优化问题的算法。

它适用于很多复杂的问题，如图形分析、路线规划、搜索引擎等等。

本文将详细讲解动态规划算法的基本原理、特点和应用实例，供大家学习和借鉴。

一、动态规划算法基本原理动态规划，简称DP，是一种递推式算法，通过将问题分解成一系列子问题，并按照一定的顺序对子问题进行求解，最终得到问题的最优解。

其主要思想是：当我们在解题时遇到一个问题时，如果能将这个问题划分成若干个与原问题相似但规模更小的子问题，而这些子问题又可以逐一求解，最终将所有子问题的结果汇总起来得到原问题的解，那么这个问题就可以使用动态规划算法解决。

由于动态规划算法中有“最优解”的要求，所以在求解过程中需要涉及到状态转移方程的设计。

状态转移方程是一个数学公式，它描述了一个状态如何从前一个状态转移而来，以及在当前状态下所做的某些决策对下一个状态的影响。

通过不断迭代求解状态转移方程，我们可以得到最优解。

二、动态规划算法的特点1、动态规划是一种自底向上的策略，通常需要维护一个状态表格，记录下每个阶段的最优解，最后汇总起来得到问题的最终解。

2、动态规划通常具有“无后效性”的特点，即求解某个决策问题时，当前状态之后的决策不会影响之前的决策。

因此，在涉及到状态转移时，只需考虑当前状态和以前的状态即可。

3、动态规划通常包含两个要素：最优子结构和重叠子问题。

最优子结构是指一个问题的最优解由其子问题的最优解递推而来，而重叠子问题则是指在递归求解的过程中，同一问题会被反复求解多次，因此需要使用记忆化搜索等技巧，避免重复计算。

4、动态规划算法的时间复杂度通常是O(n^2)或O(n^3)，空间复杂度通常也会比较高。

三、应用实例：0-1背包问题0-1背包问题是指在背包容量固定的情况下，如何选择物品才能使得背包装载的价值最大，其中每个物品只能选择一次。

对于此类问题，可以采用动态规划算法进行求解。

首先需要确定问题的状态转移方程，具体如下：设f(i,j)表示在前i个物品中，当背包的容量为j时，能够装载的最大价值，那么状态转移方程为：f(i,j)=max{f(i-1,j), f(i-1,j-wi)+vi}其中，wi表示第i个物品的重量，vi表示第i个物品的价值。

动态规划应用举例

40+13=53
4 0 51
51+0=51
最优解为:
(s1 4) x1* 1, ( s2 s1 x1* 4 1 3) x2* 0, ( s3 s2 x2* 3 0 3) x3* 3
即项目A投资1万元，项目B投资0万元，项目C投资3万元，最大效益为60万吨。
生产库存问题
442 18s2
对应 x2 13 s2
k 1时
f1 s1 min c1x1 f2 s1 x1` d1
及 x1 9 s1
min 8s1 x1 9s1
7x1 18s1 442
379 11s1
因 s1 2 所以 f1 s1 357 并且 x1 7
与上述运算顺序反推，结合状态转移方程，可得最优策略为:
表4.6
月份（k) 购买单价Ck 销售单价 pk
1
10
12
2
9
8
3
11
13
4
15
17
解按月份划分为4个阶段， k 1, 2,3, 4
状态变量 Sk 为第 k 月初时仓库中的存货量（含上月订货）；决策变量 xk 为第 k 月卖出的货物数量；决策变量 yk 为第 k 月订购；的货物数量．
状态转移方程为 sk1 sk yk xk 第k段的指标为第k段的盈利： vk pk xk Ck yk
x1 xi
x2 x3 10 0 (i 1, 2,3)
1. 阶段k：每投资一个项目作为一个阶段(k=1,2,3)
2. 状态变量sk：投资第k个项目前的资金数；
3. 决策变量xk：第k个项目的投资额；
4. 决策允许集合：0≤xk≤sk (k=1,2), x3=s3
5. 状态转移方程：sk+1=sk-xk ( k=1,2)

动态规划基本原理例子

当K=3时，S3可取C1,C2，C3,从每一状态出发均可作两种决策到达下一阶段的状态，再从下一阶段的状态经最优路线到达终点E，故这两种决策需进从C1到终点E的最短距离为9，路线为 C1→D1→E，相应的决策为U3(C1)=D1。
即C2到E的最短距离为7，路径为 C2→D1→E，相应的决策为U3(C2)=D1
例1 最短路线问题。
一个线路网络图，从A到E要修建一条石油管道，必须在B、C、D处设立加压站。各边上的数为长度，现需要找一条路使总长度最短。
下面按动态规划的方法求解例1。即从E点开始由后向前依次求出各中间点到E点的最短路，最后求得A点到E点的最短路。
当k=5时，状态变量S5只能取E，E到E的距离为0。故当K=4时，状态变量可取两种状态D1、 D2，它们到终点E都只有一条路。故
（二）动态规划的基本方程
一般情况下，K阶段与k+1阶段的递推关系式为
（5.2a）（5.2b）满足的递推关系，称为动态规划的基本方程。（5.2b）称为边界条件。
（三）动态规划的最优化原理
最优策略具有的基本性质是：无论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所确定的某一状态而言，余下的决策序列必构成最优策略。最优策略的任何一子策略也是相应初始状态的最优策略；每个最优策略只能由最优子策略构成。
这种递推关系称为动态规划的基本方程，（5.1b）式称为边界条件。
上述最短路线的计算过程也可用图直观表示出来，如图5.2。每个结点上方的方格内的数，表示该点到终点E的最短距离。连结各点到E点的线表示最短路径。这种在图上直接计算的方法叫标号法。动态规划标号法较之穷举法既减少了计算量，而且也算出了任一点到终点E的最短距离和最短路径，这对于很多实际问题是很有意义的。