必修二2[1].1.2空间中直线与直线之间的位置关系

（2）平行直线——在同一平面内，没有公 共点 （3）异面直线——不同在任何一个平面内， 没有公共点
二、空间两直线的位置关系：
(1)从公共点的数目来看，可分为：
①有且只有一个公共点——两直线相交
记作： l 1 l 2 A

l1
A
l2
l1
两直线平行 ②没有公共点

l2
记 作 ： l1 // l 2
B1
45
C
o
D
AAA1垂直？
D1 C1
A1
B1
D
A
C
B
四、异面直线所成角的求法：
求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异
面直线所成的角。
三求：在一恰当的三角形中求出 角
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例3:在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a， E、F分别是棱A’B’，B’C’的中点，求： 平 ①异面直线 AD与 EF所成角的大小；4 5 移 ②异面直线 B’C与 EF所成角的大小； 0 法 6 ③异面直线 B’D与 EF 所成角的大小. 90
AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D B’D 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角, 即为∠AOG或其补角.
G
O
5.课堂练习
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = 2 3 , AD = 2 3 , AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解答： (1)∵GF∥BC 2 E
两直线为异面直线
(2)从平面的性质来讲，可分为：
两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内——两直线为异面直线
异面直线的画法:
b A

b

a

b
a

a
练习：如图：正方体的棱所在的直线中，
与直线A1B异面的有哪些？ D1 A1 D B1 C B C1
答案： D1C1、C1C、CD、
2 3
H
G
F
D
2 3
C B
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE
o
A
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o
6.课堂小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移，转化为相交直线所成的角
1
B F C 解题思想：把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否仍然成立呢？
B'
B
A'
A
C' C
AB // A ' B ' , AC // A ' C ' BAC B ' A ' C '
三、异面直线所成角的定义：
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O, 分别引直线a1∥a,b1∥b,把直线a1和b1所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。
b
b

a'
O

O＇
a
平 移 法
b
ab
a

a'
O

如果两条异面直线所成的角为直角， 那么就称这两条异面直线垂直。 异面直线a和b所成的角的范围： 90 0
1、熟练掌握异面直线定义； 2、理解掌握空间两直线的位置关系; 3、熟练掌握平行公理4，并会简单应用; 4、理解掌握等角定理及其推论;
5、熟练掌握异面直线所成角定义；
6、掌握求两异面直线所成角的方法。
立交桥
六角螺母 D C A B
一、异面直线:
定义1:不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线。
注：概念应理解为: “经过这两条直线无法作出一个平面” . 或 :“ 不 可 能 找 到 一 个 平 面 同 时 经 过 这 两 条 直 线”． 注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线, 它们可能是相交,也可能是平行.
想一想：在空间中两条直线 的位置关系？
（1）相交直线——有且只有一个公共点
α
β
方向相同或相反，结果如何？
β γ


α
一组边的方向相同，而另一组边的 方向相反，又如何？
β α
， 互补
三、等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补.
注意：（1）定理中的“方向相同”若改成“方 向相反”，则这两个角也相等。 （2）若改成“一边方向相同，而另一边方向相 反”，则这两个角互补。
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 , ∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何?
D1
C1 B1
答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1,
∠ADC +∠A1B1C1=180O
A1 D A
C
B
问题：在空间中，如果一个角的两边 和另一个角的两边分别平行，那么这 两个角相等吗？
o
强调:1)范围 (0,
90 ]
0
2)与0的位置无关 ；
3)为了方便点O选取应有利于解
决问题，可取特殊点(如a 或 b上)； 4)找两条异面直线所成的角，
要作平行移动(平行线)，把两条异面
直线所成的角，转化为两条相交直
线所成的角.
例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数。
D1 C1
A1
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． 空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 等角定理：
那么这两个角相等或互补．
一作(找)二证三求
异面直线的求法:
作业：
P56：4,6
立体几何
D1D、AD、B1C1
A
探究:
G
C
A A D B H G(C) D F(B)
H
E F E
AB,CD,EF,GH这四条线段所在的 直线是异面直线的有几对? 相交直线有几对? 平行直线有几对?
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条 直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是 否还成立呢? 观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？
b
a
c
d
e
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平 行． ———平行线的传递性 推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平 行．
空间四边形： 如图，顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.
A
相对顶点A与C，B与D的 连线AC、BD叫做这个空 间四边形的对角线.
B
C
D
例1：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内 的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC， CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE， 求证EFGH是一个平行四边形。
证明： 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD
2
A H E D G
同理，FG ∥BD且FG = 2 BD ∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形