2015年高中数学 1.4计数应用题导学案苏教版选修2-3

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1.4.计数应用题-苏教版选修2-3教案

1.4. 计数应用题-苏教版选修2-3教案1. 教学目标•理解计数的定义；•掌握计数的基本方法；•能够应用所学知识解决实际问题。

2. 教学重点•计数的定义和基本方法。

3. 教学难点•能够应用所学知识解决实际问题。

4. 教学方法•讲授法；•举例法；•讨论法。

5. 教学过程5.1 讲授：计数的定义和基本方法1.计数的定义：计数是人们对事物个数、数量的确定或估算。

2.计数的基本方法：–逐一计数法：将每个事物一个一个地数出来，依次计数，这是最基本的一种计数方法。

适用于数量较少、规律简单的情况。

–集合计数法：将事物分组，先分组计数，再将各组数量相加，得到总的数量。

适用于数量较多、规律比较复杂的情况。

–排列和组合：排列是指从一组不同的事物中按照一定的顺序取出若干个不同的事物的方式数；组合是指从一组不同的事物中任意取出若干个不同的事物的方式数。

排列和组合是计数的重要方法之一，适用于需要考虑顺序或排除重复的计数问题。

5.2 举例：应用计数解决实际问题1.现有4个球员，从中选出3个，有多少种不同的选法？–解：这是一个从4个不同的球员中任选3个的问题，应用组合的计数方法：C(4,3) = 4!/[(4-3)!3!] = 4种。

2.汽车比赛共有10辆车参加，比赛奖励前3名。

如果没有并列，有多少种可能的结果？–解：这是一个排列的问题，第一名、第二名、第三名共有10种选法、9种选法、8种选法，应用排列的计数方法：P(10,3) = 10!/[(10-3)!] = 720种。

5.3 讨论：课堂练习•请同学们分组，通过小组讨论的方式，解决以下计数问题：1.有5个红球、4个蓝球和3个黄球，从中任选3个球，有多少种不同的选法？2.有6个不同的数字（1-6），从中任取其中一个数字，得到该数字的概率是多少？5.4 总结：计数的应用通过本节课的学习，我们掌握了计数的定义和基本方法，能够将所学知识应用于实际问题的解决中。

在日常生活中，大量的问题需要用到计数，如购物结账、数学统计、调查报告等等，相信同学们将所学知识应用到实际生活中，会产生很好的效果。

高中数学第1章计数原理1.4计数应用题教学案苏教版选修23word格式

计数应用题[ 例 1] 3 个女生和 5 个男生排成一排．(1)假如女生必然全排在一起，有多少种不一样样的排法？(2)假如女生必然全分开，有多少种不一样样的排法？(3)假如两端都不可以排女生，有多少种不一样样的排法？(4)假如两端不可以都排女生，有多少种不一样样的排法？(5)假如甲必然排在乙的右边 ( 可以不相邻 ) ，有多少种不一样样的排法？[ 思路点拨 ]本题涉及限制条件，要优先考虑有条件限制的元素或地点，相邻问题可采纳捆绑法，不相邻问题可采纳插空法．[ 精解详析体，这样同5] (1)( 捆绑法 ) 因为个男生合在一起共有3 个女生必然排在一起，所以可先把她们看作一个整6 个元素，排成一排有A6种不一样样排法．对于此中的每一种排法， 3 个女生之间又有A3种不一样样的排法，所以共有A6·A3＝ 4 320种不一样样的排法．(2)(插空法 ) 要保证女生全分开，可先把 5 个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有 4 个空，加上两边两个男生外侧的两个地点，共有 6 个地点，再把 3 个女生插入这 6 个地点中，只要保证每个地点至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．因为 5 个男生排成一排有A5种不一样样排法，对于此中任意一种排法，从上述6 个地点中选出 3 个来让 3 个女生插入有A36种方法，所以共有A5·A36＝ 14 400 种不一样样的排法．(3)()52 个，有A25种不一样样排法，对于此中的任意一种排法，其余六位都有A6种排法，所以共有A25· A6＝ 14 400 种不一样样的排法．法二： ( 间接法 )3 个女生和 5 个男生排成一排共有A8种不一样样的排法，从中扣除女生排在首位的A13· A7种排法和女生排在末位的A13· A7种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，因为两端都是女生有A23· A6种不一样样的排法，所以共有A8－ 2A13· A7＋ A23· A6＝ 14 400种不一样样的排法．法三：( 特别元素优先法) 从中间 6 个地点中优选出 3 个让 3 个女生排入，有A36种不同的排法，对于此中的任意一种排法，其余 5 个地点又都有A5种不一样样的排法，所以共有A36· A5＝ 14 400种不一样样的排法．(4)法一：因为只要求两端不可以都排女生，所以假如首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有A15· A7种不一样样的排法；假如首位排女生，有A13种排法，这时末位就只好排男生，这样可有A13· A15· A6种不一样样的排法．所以共有A15· A7＋ A13· A15· A6＝ 36 000 种不一样样的排法．法二： 3 个女生和 5 个男生排成一排有A8种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A23· A6种，就能获得两端不都是女生的排法种数．所以共有A8－A23· A6＝ 36000 种不一样样的排法．A8(5)( 序次固定问题 ) 因为 8 人排队，此中两人序次固定，共有A2＝ 20 160种不一样样的排法．[一点通 ](1)摆列问题的限制条件一般表现为：某些元素不可以在某个地点，某个地点只好放某些元素等．要先办理特别元素或先办理特别地点，再去排其余元素．当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的摆列数算出，再从中减去所有不切合条件的摆列数，这类方法也称为“去杂法” ，但必然注意要不重复，不遗漏 ( 去尽 ) ．(2)对于某些特别问题，可采纳相对固定的特别方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，马上相邻元素看作一个整体与其余元素摆列，再进行内部摆列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其余元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．1． ( 四川高考改编) 六个人从左至右排成一行，最左端只好排甲或乙，最右端不可以排甲，则不一样样的排法共有________种．解析：当最左端排甲时，不一样样的排法共有A5种；当最左端排乙时，甲只好排在中间四个地点之一，则不一样样的排法共有C14A4种．故不一样样的排法共有A5＋C14A4＝9×24＝ 216 种．答案： 2162．用 5， 6， 7， 8，9 构成没有重复数字的五位数，此中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为________种．解析：切合题意的五位数有A2C13A3＝2×3×3× 2＝ 36.答案： 363．某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程，假如第一节不排体育，第六节不排数学，一共有多少种不一样样的排法？解：法一： ( 地点解析法 ) 依第一节课和第六节课的情况进行分类；①第一节课排数学，第六节课排体育，共有A4种排法；②第一节课排数学，第六节课不排体育，共有A14A4种排法；③第一节课不排数学，第六节课排体育，共有A14A4种排法；④第一节课不排数学，第六节课不排体育，共有A24A4种排法．由分类加法计数原理，所求的不一样样排法共有A4＋2A14A4＋ A24A4＝ 504( 种 ) ．法二： ( 除掉法 ) 不考虑受限条件下的排法有A6种，此中包含数学课在第六节的排法有 A5种，体育课在第一节的排法有A5种，但上边两种排法中同时含有数学课在第六节，体育课在第一节的情况有A4种．故所求的不一样样排法有A6－ 2A5＋ A4＝ 504( 种 ).[ 例 2] 某龙舟队有 9 名队员，此中 3 人只会划左舷， 4 左舷又会划右舷，现要选派划左舷的 3 人，划右舷的 3 人，共人只会划右舷， 2 人既会划6 人参加竞赛，则不一样样的选派方法有多少种？[ 思路点拨 ]既会划左舷又会划右舷是特别元素，可以从他们的参加情况下手分类讨[ 精解详析 ]选派的3名会划左舷的选手中，没有既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有C3C36种选派方法；选派的 3 名会划左舷的选手中，有一人是既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有 C12C23C35种选派方法；选派的 3 名会划左舷的选手中，有两人是既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有 C13C34种选派方法．故共有 C3C36＋ C12C23C35＋ C13C34＝ 20＋ 60＋ 12＝92 种选派方法．[一点通 ](1)解决简单的分配问题的一般思路是先采纳，后分配．(2)假如涉及的元素有限制条件，则一般以特别元素，特别地点为分类标准．4．将 4 名大学生分派到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇最少一名，则不一样样的分配方案有 ________种． ( 用数字作答 )C24C12C1两步完成：第一步，将 4 名大学生按2，1，1 分成三组，其分法有种； A2第二步，将分好的三组分配到 3 个乡镇，其分法有A3种，所以满足条件的分配方案有C24C12C1A2· A3＝ 36 种．答案：365．将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生构成，不一样样的安排方案共有________种．解析：先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地，再将剩下的 1 名教师和 2 名学生安排到乙地，共有C12C24＝ 12 种安排方案．答案：126．有 9 本不一样样的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在以下条件下，各有多少种分法？(1)甲得 4 本，乙得 3 本，丙得 2 本．(2)一人得 4 本，一人得 3 本，一人得 2 本．解： (1) 分 3 步完成：C49种方法；第 1 步，从 9 本不一样样的书中，任取 4 安分给甲，有第 2 步，从余下的 5 本书中，任取 3 本给乙，有 C35种方法；第3 步，把剩下的书给丙有 C2种方法．所以，共有不一样样的分法为C49· C35· C2＝ 1 260 种．(2)分 2 步完成：第 1步，按 4 本、 3 本、 2 安分成三组有C49· C35· C2种方法；第 2步，将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A3种方法．所以，共有 C49· C35· C2· A3＝7 560 种.[例 3]从1到9的9个数中取 3 个偶数和 4 个奇数，试问：(1)能构成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中 3 个偶数排在一起的有几个？(3)在 (1) 中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在 (1) 中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？[ 思路点拨 ]排数问题和站队问题是摆列、组合中的两类典型问题，其解决的思路相似，需考虑特别元素、特别地点、相邻问题、不相邻问题等的办理方法．[ 精解详析](1) 分步完成：第一步，在 4 个偶数中取 3 个，可有C34种情况；第二步，在 5 个奇数中取 4 个，可有C45种情况；第三步，3 个偶数， 4 个奇数进行摆列，可有A7种情况，所以切合题意的七位数有C34C45A7＝ 100 800(个) ．(2)上述七位数中， 3 个偶数排在一起的有C34C45A5A3＝14 400( 个 ) ．(3) 上述七位数中， 3 个偶数排在一起， 4 个奇数也排在一起的有C34C45A3A4A2＝ 5 760( 个) ．(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4 个奇数排好，再将 3 个偶数分别插入 5个空，共有C34C45A4A35＝ 28 800( 个 ) ．[ 一点通 ]解决摆列、组合综合问题要依据两个原则：(1)按事情发生的过程进行分步；(2)按元素的性质进行分类．解决时平时从三个门路考虑：①以元素为主考虑，即先满足特别元素的要求，再考虑其余元素；②以地点为主考虑，即先满足特别地点的要求，再考虑其余地点；③先不考虑附带条件，计算出摆列或组合数，再减去不合要求的摆列或组合数．7．将标号为1，2， 3， 4，5， 6 的 6 张卡片放入 3 个不一样样的信封中．若每个信封放2张，此中标号为1， 2 的卡片放入同一信封，则不一样样的方法共有________种．解析：标号1，2 的卡片放入同一封信有C13种方法；其余四封信放入两个信封，每个信封两个有C24A2·A2种方法，共有C24C13· A2· A2＝ 18 种．答案：188．某班班会准备从甲、乙等7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲乙两人最稀有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不可以相邻．那么不一样样的发言序次的种数为________．解析：若甲乙同时参加，则可以先从节余的 5 人中选出 2 人，先排此两人，再将甲乙两人插入此中即可，则共有C25A2A23种不一样样的发言序次；若甲乙两人只有一人参加，则共有 C12C35A4种不一样样的发言序次，综合可得不一样样的发言序次有C25A2A23＋ C12C35A4＝600 种．答案： 6009．某种产品有 5 件不一样样的正品， 4 件不一样样的次品，此刻一件件地进行检测，直到4件次品所有测出为止．若次品恰幸好第 6 次检测时被所有选出，则这样的检测方案有多少种？解：问题相当于从9 件产品中拿出 6 件的一个摆列，第 6 位为次品，前五位有其余3件次品 . 可分三步，先从 4 件产品中留出 1 件次品排第 6 位，有 4 种方法，再从 5 件正品中取2 件，有 C25种方法，再把另3 件次品和拿出的 2 件正品排在前 5 位有 A5种方法，所以检测方案种数为 4× C25· A5＝ 4 800.解决摆列组合问题的常用方法(1)地点解析法：以地点为主，特别( 受限) 的地点优先考虑．有两个以上的拘束条件时，常常是考虑一个条件的同时，也要兼备其余条件．考虑两个条件之间能否有影响．(2)元素解析法：以元素为主，先满足特别 ( 受限 ) 元素的要求，再办理其余元素．有两个以上的拘束条件时，常常是考虑一个元素的同时，也要兼备其余元素．(3)间接法：也叫排异法．直接考虑时情况好多，但其对峙面情况较少，相对来讲比直接解答简捷，可先考虑逆向思虑问题，在此方法中，对峙面要“不重不漏”．(4)插空法：先把无量制的元素排好，此后将不可以相邻的元素插入排好的元素的空中，要注意无量制元素的摆列数及所形成空的个数．此方法合用于含有“不相邻”的问题(5)捆绑法：把要求在一起的“小公司”看作一个整体，与其余元素进行摆列，同时不要忘掉“小公司”内也要摆列．此法比较合适“必然在一起”的问题．课下能力提高( 七 )一、填空题1．甲组有男同学 5 名，女同学 3 名，乙组有 6 名男同学， 2 名女同学，从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不一样样选法有________种．解析：第一类，选出的 1 名女生出自甲组，选法为C15C13C26＝ 225( 种 ) ；第二类， 1 名女生出自乙组，选法为C25C16C12＝ 120( 种 ) ．共有 225＋120＝ 345( 种 ) ．答案：3452．某公司招聘了8 名员工，均匀分配给手下的甲、乙两个部门，此中两名英语翻译人员不可以分在同一个部门，其余三名电脑编程人员也不可以全分在同一个部门，则不一样样的分配方案共有________种．解析：据题意可先将两名英语翻译人员分到两个部门，共有 2 种方法，第二步将 3 名电脑编程人员分成两组，一组 1 人另一组 2 人，共有C13种分法，此后再分到两部门去共有 C13A2种方法，第三步只要将其余 3 人分成两组，一组 1 人另一组个部门各 4 人，故分组后两人所去的部门就已确立，故第三步共有2 人即可，因为是每C13种方法，由分步计数原理得共有2C13A2C13＝ 36( 种 ) 分配方案．答案：363．从 10 种不一样样的作物种子中选出 6 种放入 6 个不一样样的瓶子中展出，假如甲、乙两种种子不可以放入1 号瓶内，那么不一样样的放法共有________种．解析：分步完成：第一步，从甲、乙之外的8 各样子中选 1 种放入 1 号瓶内；第二步，从剩下的9 各样子中选 5 种放入余下的 5 个瓶子内；故不一样样的放法种数为C18A59＝ 120960( 种) ．答案： 120 9604．假如在一周内( 周一至周日 ) 安排三所学校的学生观光某展览馆，每日最多只安排一所学校，要求甲学校连续观光两天，其余学校均只观光一天，那么不一样样的安排方法有________种．解析：先安排甲学校的观光时间，一周内两天连排的方法一共有 6 种：(1，2)，(2，3) ，(3，4) ，(4， 5) ，(5，6) ，(6 ，7) ，任选一种为C16，此后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地安排其余两所学校观光，安排方法有A25种，依据分步计数原理可知共有不一样样的安排方法C16A25＝ 120 种．答案：1205．甲、乙、丙 3 人站到共有7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不划分站的地点，则不一样样的站法种数是________种．解析：依据题意，每级台阶最多站 2 人，所以，分两类：第一类，有 2 人站在同一级台阶，共有C23A27种不一样样的站法；第二类，一级台阶站1 人，共有A37种不一样样的站法．依据分类计数原理，得共有C23A27＋ A37＝ 336 种不一样样的站法．答案： 336二、解答题6．有一排 8 个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有 3 个二极管点亮，但相邻的两个二极管不可以同时点亮，依据这三个点亮的二极管的不一样样地点和不一样样颜色来表示不一样样的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？解：因为相邻的两个二极管不可以同时点亮，所以需要把 3 个点亮的二极管插放在未点亮的 5 个二极管之间及两端的 6 个空上，共有C36种亮灯方法．此后分步确立每个二极管发光颜色有2×2× 2＝ 8( 种 ) 方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C36× 2× 2× 2＝ 160( 种) ．7．现有 4 个不一样样的球，4 个不一样样的盒子，把球所有放入盒内，(1)共有几种放法？(2)若恰有 1 个空盒，有几种放法？(3)若恰有 2 个盒子不放球，有几种放法？解： (1)4 4＝256( 种 ) ．(2)先从 4 个小球中取 2 个放在一起，有 C24种不一样样的取法，再把拿出的两个小球与另外 2 个小球看作三堆，并分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子里，有 A34种不一样样的放法．依据分步计数原理，共有 C24A34＝ 144 种不一样样的放法．(3) 恰有 2 个盒子不放球，也就是把 4 个不一样样的小球只放入 2 个盒子中，有两类放法：第一类， 1个盒子放 3 个小球， 1 个盒子放 1 个小球，先把小球分组，有C34种，再放到 2个小盒中有A24种放法，共有C34A24种放法；第二类， 2 个盒子中各放 2 个小球有 C24C24种放法．故恰有 2 个盒子不放球的放法共有C34A24＋C24C24＝ 84 种．8．已知抛物线y ＝2＋bx＋c的系数、、c是在会集 { －3，－ 2，－ 1， 0，1， 2，ax a b3， 4} 中采纳的3 个不一样样的元素，求坐标原点在抛物线内部的抛物线有多少条？解：由图形特色解析得知，若a>0，张口向上，坐标原点在抛物线内部? f (0)＝ c<0，若 a<0，张口向下，坐标原点在抛物线内部? f (0)＝ c>0；所以对于抛物线y＝ ax2＋bx＋ c 来讲，坐标原在其内部? af (0)＝ ac<0.确立抛物线时，可先定一正一负的 a 和c，再确立b.故满足题设的抛物线共有C13C14A2C16＝ 144 条．。

学案导学备课精选高中数学1.4计数应用题(二)同步练习(含解析)苏教版选修23

§1.4 计数应用题(二)课时目标1.利用排列、组合知识解决综合性的计数应用题.2.提高学生的应用意识和分析解决问题的能力．1．排列数公式：A m n＝________________；组合数公式：C mn ＝A m n A m m＝________________.2．解决计数应用题，可以通过对位置和元素的性质进行分类，对完成事情的步骤进行分步．一、填空题1．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，则有______种取法；从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，则有________种取法．2．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作．若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有________种．3．用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成________个没有重复数字的四位数，可以组成________个没有重复数字的四位奇数．4．假设200件产品中有3件次品，现从中任取5件，则其中至少有2件次品的抽法有__________种．(用式子表示)5．有A ，B ，C ，D ，E 共5人并排站在一起，如果A ，B 必须相邻，并在B 在A 的右边，那么不同的排法有______种．6．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________．(用式子表示)7．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．8．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种．二、解答题9．从6名运动员中选出4人参加4×100 m 的接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则共有多少种不同的参赛方法？10．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：(1)一个唱歌节目开头，另一个压台；(2)两个唱歌节目不相邻；(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．能力提升11．某晚会已定好节目单，其中小品3个，歌舞2个，相声2个．后来由于情况有变，需加上诗歌朗诵和快板两个节目，但不能改变原先节目的相对顺序，问节目演出的方式可能有多少种？1．解计数应用题，分类标准要统一，防止出现遗漏或重复．2．对同一问题可多角度考虑，深入分析，相互验证，提高解题能力．1．4 计数应用题(二)答案知识梳理1．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！作业设计1．21 35解析从7个白球中取2个，再取1个黑球有C27×1＝21(种)方法；从7个白球中取3个，有C37＝35(种)方法．2．240解析先选从事翻译工作的有C 14种方法，再从剩余5人中选3人分别从事其他工作，有A 35种方法．∴共有方案C 14×A 35＝4×5×4×3＝240种． 3．120 724．C 23C 3197＋C 33C 2197 5．24解析将B 放A 的右边且作为一个元素与C 、D 、E 全排即可，共有A 44＝24(种)排法．6．A 88A 29解析采用插空法，先排8名学生，共有A 88种方法；再在8名学生形成的9个空中排2位老师，有A 29种排法，∴共有排法：A 88×A 29种． 7．126解析分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C 23×A 33＝18(种)；若有1人从事司机工作，则方案有C 13×C 24×A 33＝108(种)，所以共有18＋108＝126(种)．8．30解析方法一可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30(种)选法．方法二总共有C 37＝35(种)选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，故有30种选法．9．解分两类：若乙跑第一棒，共有A 35＝60(种)；若乙不跑第一棒，则跑第一棒的选择有C 14种，此时跑第四棒的选择有C 14种，余下的第二、三棒则在剩下的四人中选两人跑，有A 24种，所以有C 14C 14A 24＝192(种)．所以共有192＋60＝252(种)不同的参赛方法．10．解 (1)先排唱歌节目有A 22种排法，再排其他节目有A 66种排法，所以共有A 22·A 66＝1440(种)排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A 66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A 27种插入方法，所以共有A 66·A 27＝30 240(种)排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A 44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A 35种插入法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A 22种排法，由分步计数原理，符合要求的排法有：A 44·A 35·A 22＝2 880(种)．11．解方法一若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A 99种排法；但是原先的节目已经定好顺序，需要消除，故有A 99A 77＝A 29＝72(种)排法．方法二共有9个元素，9个空，先选2个空，安排朗诵和快板，有A 29种排法；再将剩下的空安排其他元素，由于顺序已定，故只有1种方法，则共有A 29C 77＝72(种)排法．。

苏教版选修(2-3)1.4《计数应用题》word学案

1.4 计数应用题(综合)撰稿：第一组审稿：高二数学组时间：2010/4/20【学习要求】利用排列组合知识，以及两个基本原理解决较综合的计数应用题，逐步掌握解决计数问题的常用方法，提高应用意识和分析解决问题的能力【课前预习】【课堂导学】活动1：高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中选3名男生，2名女生分别担任班长，副班长，学习委员，文娱委员，文娱委员，体育委员，共有多少种不同的选法？活动2：6本不同的书全部送给5人，每人至少一本，有几种不同的送书方法？分析：变式1： 6本不同的书全部送给5人，有几种不同的送书方法？变式2： 5本不同的书全部送给6人，每人最多1本，有几种不同的送书方法？变式3： 5本相同的书全部送给6人，每人最多1本，有几种不同的送书方法？活动3：6本不同的书全部送给3人（1）甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?（2）甲、乙、丙每人两本，有多少种分法？【达标检测】1注意区别“恰好”与“至少”从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种？2特殊元素（或位置）优先安排将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种？3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种？4、混合问题，先“组”后“排”对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？5、分清排列、组合、等分的算法区别(1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?(3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法?【课后练习】书P28练习1、2、3、4、5书P29 习题1.4 1～91．补充：已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有的次品为止。

高中数学第一章计数原理1.4计数应用题学案苏教版选修23word格式

计数应用题学习目标 1. 进一步理解和掌握两个计数原理.2.进一步深入理解摆列与组合的看法.3.能综合运用摆列、组合解信心数问题．种类一两个计数原理的应用命题角度 1“类中有步”的计数问题例 1电视台在某节目中取出两个信箱，此中存放着先后两次竞料中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30 封，乙信箱中有20 封，现由主持人抽奖确立好运观众，若先确立一名好运之星，再从两信箱中各确立一名好运伙伴，有________种不一样样的结果．反思与感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情况以以下列图：详尽意义以下：从 A到 B 算作一件事的完成，完成这件事有两类方法，在第 1 类方法中有 3 步，在第 2 类方法中有 2 步，每步的方法数以以下列图．所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋ m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标记一件事的完成，“步”缺一不可以．追踪训练1现有4种不一样样颜色，要对以以下列图的四个部分进行着色，要求有公共界限的两部分不可以用同一种颜色，则不一样样的着色方法共有________种．命题角度 2“步中有类”的计数问题例 2 有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不一样样的安排方式共有________种． ( 用数字作答 )反思与感悟用流程图描述计数问题，步中有类的情况以以下列图：从计数的角度看，由A 到D算作完成一件事，可简单地记为→ .A D完成 A→ D这件事，需要经历三步，即A→ B，B→ C， C→ D.此中 B→ C这步又分为三类，这就是步中有类．此中i (＝ 1,2,3,4,5)表示相应步的方法数．m i完成 A→ D这件事的方法数为m1( m2＋ m3＋ m4) m5.以上给出了办理步中有类问题的一般方法．追踪训练2 以以下列图，使电路接通，开关不一样样的开闭方式共有________种．种类二有限制条件的摆列问题例 3 3 个女生和 5 个男生排成一排．(1)假如女生必然全排在一起，有多少种不一样样的排法？(2)假如女生必然全分开，有多少种不一样样的排法？(3)假如两端都不可以排女生，有多少种不一样样的排法？(4)假如两端不可以都排女生，有多少种不一样样的排法？(5)假如甲必然排在乙的右边 ( 可以不相邻 ) ，有多少种不一样样的排法？反思与感悟(1) 摆列问题的限制条件一般表现为：某些元素不可以在某个地点，某个地点只好放某些元素等．要先办理特别元素或先办理特别地点，再去排其余元素．当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的摆列数算出，再从中减去所有不切合条件的摆列数，这类方法也称为“去杂法”，但必然注意要不重复，不遗漏(去尽)．(2)对于某些特别问题，可采纳相对固定的特别方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，马上相邻元素看作一个整体与其余元素摆列，再进行内部摆列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其余元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．追踪训练3用0到9这10个数字，(1)可以构成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？(2)可以构成多少个只含有 2 个相同数字的三位数？种类三命题角度摆列与组合的综合应用1不一样样元素的摆列、组合问题例4有 4 张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和 4 张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行．假如取出的 4 张卡片所标的数字之和等于10，则不一样样的排法共有多少种？反思与感悟(1) 解摆列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把切合题意的元素都选出来，再对元素或地点进行摆列．(2)解摆列、组合综合问题时要注意以下几点：①元素能否有序是划分摆列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．②对于有多个限制条件的复杂问题，应仔细解析每个限制条件，此后再考虑是分类还是分步，这是办理摆列、组合综合问题的一般方法．追踪训练4从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？命题角度 2含有相同元素的摆列、组合问题例 5将 10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中，若各班名额数不小于班级序号数，则共有 ________种不一样样的分配方案．反思与感悟凡“相同小球放入不一样样盒中”的问题，即为“ n 个相同元素有序分成 m组(每组的任务不一样样 ) ”的问题，一般可用“隔板法”求解：(1) 当每组最少含一个元素时，其不一样样分组方式有＝Cmn－ 1种，马上n个元素中间的n－ 1N个空格中加入m－1个“隔板”．(2) 任意分组，可出现某些组含元素为0 个的情况，其不一样样分组方式有N＝Cmn－＋1m－1种，马上n 个相同元素与－1 个相同“隔板”进行排序，在n＋－1 个地点中选－1 个安排m m m“隔板”．追踪训练 5用 2,3,4,5,6,7六个数字，可以构成有重复数字的三位数的个数为________．1．李芳有 4 件不一样样颜色的衬衣， 3 件不一样样花式的裙子，还有两套不一样样款式的连衣裙．“五一”节需选择一套衣饰参加歌舞演出，则李芳有________种不一样样的选择方式．2．包含甲、乙在内的7 个人站成一排，此中甲在乙的左边( 可以不相邻 ) ，有 ________种站法．3．从 0,2,4中取一个数字，从 1,3,5 中取两个数字，构成无重复数字的三位数，则所有不一样样的三位数的个数是___________________________________________________ ．4．某电视台连续播放5 个广告，此中有 3 个不一样样的商业广告和 2 个不一样样的公益宣传广告，要求最后播放的必然是公益宣传广告，且 2 个公益宣传广告不可以连续播放，则不一样样的播放方式有 ________种．5．已知x i∈ { －1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5,6，则满足 x1＋x2＋ x3＋ x4＋ x5＋x6＝2的数组( x1，x ， x ， x，x ， x )的个数为________．234561．解摆列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后办理．2．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏．3．对于分配问题，解题的要点是要搞清楚事件能否与序次有关，对于均匀分组问题更要注意序次，防备计数的重复或遗漏．答案精析题型研究例 1 28800解析在甲箱或乙箱中抽取好运之星，决定了后边选好运伙伴是不一样样的，故要分两类分别计算： (1) 好运之星在甲箱中抽，先确立好运之星，再在两箱中各确立一名好运伙伴，有30×29×20＝ 17 400( 种 ) 结果；(2) 好运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果．所以共有17 400 ＋ 11 400 ＝ 28 800( 种 ) 不一样样结果．追踪训练 1 48解析以以下列图，将原图从上而下的 4 个地域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不可以同色，1与 4 可以同色，所以，要分类议论1,4 同色与不一样样色这两种情况．故不一样样的着色方法种数为 4×3× 2＋4×3×2× 1＝ 48.例 2264解析上午总测试方法有 4×3×2× 1＝ 24( 种) ．我们以、、、、E 挨次代表五个测ABCD试项目．若上午测试 E 的同学下午测试D，则上午测试 A 的同学下午只好测试B、C，确立上午测试 A 的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有 2 种；若上午测试 E 的同学下午测试、、之一，则上午测试、、中任何一个的同学下午都可以测试，安排完A B C A B C D这位同学后其余两位同学的测试方式就确立了，故共有3× 3＝ 9( 种 ) 测试方法，即下午的测试方法共有11 种，依据分步计数原理，总的测试方法共有24×11＝ 264( 种 ) ．追踪训练 221解析依据题意，设 5 个开关挨次为1、2、3、4、5，以以下列图，若电路接通，则开关1、2 与 3、 4、 5 中最稀有 1 个接通，对于开关1、2，共有 2× 2＝ 4( 种) 情况，此中所有断开的有1( 种 ) 情况，则其最稀有 1 个接通的有4－1＝3( 种) 情况，对于开关3、4、 5，共有 2×2× 2＝ 8( 种 ) 情况，此中所有断开的有1( 种 ) 情况，则其最少有 1 个接通的有 8－ 1＝ 7( 种 ) 情况，则电路接通的情况有3× 7＝ 21( 种) ．例 3解(1)( 捆绑法 ) 因为 3 个女生必然排在一起，所以可先把她们看作一个整体，这样同 5个男生合在一起共有 6 个元素，排成一排有A6种不一样样排法．对于此中的每一种排法， 3 个女生之间又有 A3种不一样样的排法，所以共有A6·A3＝ 4 320( 种 ) 不一样样的排法．(2)( 插空法 ) 要保证女生全分开，可先把 5 个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有 4 个空，加上两边两个男生外侧的两个地点，共有 6 个地点，再把 3 个女生插入这 6 个地点中，只要保证每个地点至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．因为 5 个男生排成一排有A5种不一样样的排法，对于此中任意一种排法，从上述 6 个位置中选出 3 个来让 3 个女生插入有 A36种方法，所以共有A5·A63＝ 14 400( 种) 不一样样的排法．(3) 方法一( 特别地点优先法 ) 因为两端不可以排女生，所以两端只好优选 5 个男生中的 2个，有 A25种不一样样排法，对于此中的任意一种排法，其余六位都有A6种排法，所以共有A25·A6＝14 400( 种 ) 不一样样的排法．方法二 ( 间接法 )3 个女生和 5 个男生排成一排共有 A8种不一样样的排法，从中扣除女生排在首位的 A13·A7种排法和女生排在末位的 A13·A7种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，因为两端都是女生有A23·A6种不一样样的排法，所以共有A8－ 2A13·A7＋ A23·A6＝ 14 400( 种 )不一样样的排法．方法三( 特别元素优先法) 从中间 6 个地点中优选出 3 个让 3 个女生排入，有A36种不一样样的排法，对于此中的任意一种排法，其余5个地点又都有A5种不一样样的排法，所以共有 A36·A5＝14 400( 种 ) 不一样样的排法．(4) 方法一因为只要求两端不可以都排女生，所以假如首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有只好排男生，这样可有A15·A7种不一样样的排法；假如首位排女生，有A13·A51·A6种不一样样的排法．A13种排法，这时末位就所以共有A15·A7＋ A13·A15·A6＝36 000( 种 ) 不一样样的排法．方法二 3 个女生和 5 个男生排成一排有A8种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A23·A6种，就能获得两端不都是女生的排法种数．所以共有A8－ A23·A6＝ 36 000( 种 ) 不同的排法．(5)(序次固定问题) 因为8 人排队，此中两人序次固定，共有A8A2＝ 20 160( 种 ) 不一样样的排法．追踪3解(1) 可以成9A3 ＝ 4 536个四位数．合适意的四位奇数共有A15·A81·A82＝ 2 240(个 ) ．(2)0到 910 个数字构成的三位数共有900 个，分三：第 1 ：三位数字全相同，如 111,222 ，⋯， 999，共 9 个；第 2 ：三位数字全不一样样，共有 9×9×8＝648( 个 ) ，第 3 ：由接法可求出，只含有 2 个相同数字的三位数，共有900－ 9－648＝ 243( 个 ) ．例 4解分三：第一，当取出的 4 卡片分有数字1,2,3,4 ，不一样样的排法有 C12·C21·C21·C21·A4种．第二，当取出的 4 卡片分有数字1,1,4,4 ，不一样样的排法有C2·C2·A4种．第三，当取出的 4 卡片分有数字2,2,3,3 ，不一样样的排法有C2·C2·A4种．故足意的所有不一样样的排法种数C12·C12·C21·C21·A4＋ 2C2·C2·A4＝ 432.追踪 4解(1) 五位数中不含数字0.第 1步，出 5 个数字，共有 C35C24种法．第 2步，排成偶数——先排末位数，有A12种排法，再排其余四位数字，有A4种排法．所以 N1＝C35·C24·A12·A4.(2)五位数中含有数字 0.第 1 步，出 5 个数字，共有 C35·C41种法．第 2 步，排序又可分两小：①末位排0，有 A1·A4种摆列方法；②末位不排0. 末位数有C1种法，而因零不可以排在首位，所以首位有A13种排法，其余 3 个数字有A3种排法．所以 N2＝C35·C4(A111·A4＋A13·A3)．所以切合条件的偶数个数N＝ N1＋N2＝C35C24A12A4＋C35C14(A1A4＋A13A3)＝4 560.例515解析先拿 3 个秀名分配二班 1 个，三班 2 个，原就化将7 个秀名分配到 3 个班中，每个班中最少分配到 1 个．利用“隔板法”可知，共有C26＝ 15( 种 ) 不一样样的分配方案．追踪 5 96解析用接法：六个数字能构成的三位数共6×6× 6＝ 216( 个 ) ，而无重复数字的三位数共有 A36＝6×5× 4＝ 120( 个 ) ．故所求的三位数的个数为216－ 120＝ 96.当堂训练1． 14 2.2 520。

高二数学教案 1.4 计数应用题学案苏教版_选修2-3

编写：江凤芹审核：黄爱华一、知识要点对排列组合的应用题应掌握以下基本方法与技巧：⑴特殊元素(位置)优先安排；⑵合理分类和准确分步；⑶先选后排原则；⑷相邻问题捆绑处理；⑸不相邻问题插空自理⑹固定顺序问题排除法处理；⑺分排问题直排处理；⑻构造模型；⑼正难则反；⑽等价转化.二、典型例题例1.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是多少？例2.袋中装有10只大小相同的球，其中6只白球，4只红球，逐只抽取，直至抽出所有的红球为止，若经过5次抽取出所有红球，则这样的抽取方法共有多少种？例3.一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空座位，共有几种不同的坐法？三、巩固练习1.某外商计划在4上候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有种.2.某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲，乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有种(以数字作答).3.将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第i 个数为(1,2,3,,6)i a i ，若1351,3,5,a a a ， 135a a a 则不同的排列方法有种(以数字作答).4.某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同的买法的种数是 (以数字作答).四、课堂小结五、课后反思六、课后作业1.4个不同的苹果放入编号为1，2，3，4的4个盒中，恰有1个空盒的放法种数为 .A B C，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐2.已知集合5,1,2,1,3,4标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 .3.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法(用数字作答).4.某天有政治、语文、数学、物理、美术、体育六门课.如果体育不排在上午一、二、三节，美术不排在上午一、二节，则共有种不同的排法.5.从1，3，5，7，9这五个数字中取两个数字，从0，2，4，6这四个数字中取两个数字.⑴能组成多少个没有重复数字的四位数？⑵能组成多少个没有重复数字的四位偶数？6.4个不同的红球和6个不同的白球放入袋中，现从袋中取出4个球. ⑴若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？⑵取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球的总分不低于5分，则有多少种不同的取法？7.一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？8.某城市有7条南北走向的街，5条东西走向的街，如果从城市的一端A走向另一端B(如图)，最短走法有多少种？订正栏：。

高中数学1.4计数应用题导学案苏教版选修2-3

1.4 计数应用题1 •简单计数问题的处理原则解简单计数问题，应遵循三大原则：先特殊后一般的原则；先选后排原则；先分类后分步的原则•分类计数原理和分步计数原理是解决计数应用题的两个基本原理预习交流1你对“特殊”“一般”有怎样的理解？试谈谈先特殊后一般的原则.提示：“特殊”指元素特殊或场所特殊或特殊条件限制；先特殊后一般原则是先考虑“特殊元素” “特殊位置”，再考虑一般元素或一般位置. 2. 简单的常见计数问题的解题策略剔除：对有限制条件的问题，先以总体考虑，再把不符合条件的所有情况剔除.捆绑:把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后再与其余“普通元素” 全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列.插空:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间.预习交流2剔除、捆绑、插空主要是为了解决何种计数问题？提示：易V 除主要用在有限制条件的计数问题上，或问题的正面情况较多，而反面情况较少的计数问题上；捆绑主要用在相邻问题上；插空用在不相邻问题上.一、剔除问题四面体的顶点和各棱中点共有 10个点，在其中取 4个不共面的点，不同取法有___________ 种.思路分析：在这10 个点中，不共面的不易寻求，而共面的容易找，由10 个点中取出4个点的组合数C：0减去4个点共面的个数即为所求.答案：141解析：如图，从10个点中任取4个点有do种不同的取法，其中4个点共面的情形可分三类：第一类：4个点在四面体的同一个面内，有4C4种；第二类：4 个点位于相对的棱上，即一条棱上三点与对棱的中点共面，有 6 种；第三类：从6条棱的中点中取4个点时有3种共面．综上所述可知：不同的取法共有：C o - （4C6+ 6 + 3）= 141种.从正方体的6个面中选取3个面，其中2个面不相邻的选法共有多少种？解：联想一空间模型，注意到“有两个面不相邻”即可从相对平行的平面入手正面构造，即有C1= 12种不同的选法，也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即有C- C8 = 12种不同的选法.利用剔除法要把不满足条件的情况剔除干净或把问题的全部情况考虑清楚，做到不重不漏.二、捆绑问题（相邻问题）从单词"equation ”中选取5个不同的字母排成一列，含有"qu” （其中"qu”相连且顺序不变）的不同排列共有__________________________ 种.思路分析：先将“ qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个，再进行全排列. 答案：4803解析：先将“ qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个元素，共有C3种不同的取法，然后对取出的4个元素进行全排列，有A4种方法，由于“ qu”顺序不变，根据分步计数原理共有C34= 480种不同排列.停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有多少种？解：将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行排列，共有A99=362 880种不同的停车方法.对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再对相邻元素之间进行排列．三、插空问题( 不相邻问题)7 人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是_____________________ ．思路分析：先将除甲、乙两人之外的5人排成一行，再对5个人之间的六个间隙插入甲、乙两人．答案：3 600解析：先让甲、乙之外的5人排成一行，有A!种排法，再让甲、乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入甲、乙两人，有A6种方法，故共有A T A6= 3 600种不同的排法.晚会上有8 个唱歌节目和3 个舞蹈节目，若3 个舞蹈节目在节目单中都不相邻，求不同的节目单的种数．解：先排8个唱歌节目共有A8种不同方法，然后从唱歌节目之间及两端共有9个间隙中选3个，将3个舞蹈节目插入，有A9种方法，由分步计数原理知，不同的节目单的种数为A820 321 280.解决不相邻问题常用插空法，要先把不相邻的元素抽出来，剩余的元素进行全排列，然后把抽出来的元素插入全排列时元素之间及两端形成的空隙中，注意两端也是“空隙”．解析：若丙排在10月1日，共有A5• kA= 240种不同的排法，若丁排在10月7日，共有A •kA = 240种不同的排法，若丙排在1日且丁排在7日，共有A J A2= 48种不同的排法，若不考虑丙丁的条件限制，共有A6= 1 440种不同的排法，•••符合题意的排法的种数为1 440 —240- 240+ 48 = 1 008.4•有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另外4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可开出几张？解：按英、日语都会的翻译人员的参与情况，分成三类：第1类，“英、日都会的翻译人员”不参加，有c5d种；第2类，“英、日都会的翻译人员”有一人参加，该人可参加英语，也可参加日语，因而有5C4 + C2C5G)种；第3类，“英、日都会的翻译人员”均参加，这时又分三种情况：两人都译英语，两人都译日语，一人译英、一人译日，因而有(c；W+ C5C U cEC；)种.由分类计数原理知，可开出名单共有C5C4+ dc5C!+ CW+ C5C4+ dEcU 185种.5. 7位同学站成一排合影留念，(1) 其中甲不站排头，乙不站排尾的排法有多少种？(2) 甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有多少种？(3) 甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)用剔除法：总排有A；种，不符合条件的甲在排头和乙在排尾的排法均为A：,但这两种情况均包含了甲在排头同时乙在排尾的情况共有A；种.•甲不站排头，乙不站排尾的排法有A；—2A1+ A5= 3 720种.(2) 用捆绑法：第一步，将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为A5种，第二步，“释放”大元素，即甲、乙和丙在捆绑成的大元素内的排法有A l种，•••甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有A5720种.(3) 用插空法：第一步，先排除甲、乙和丙之外的4人的全排列有A4种排法，第二步，把甲、乙和丙三人插入前4人中间及两端形成的5个空隙中，共有A3种排法.•••甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有A4•A!= 1 440种.1 ．记者要为5 名志愿者和他们帮助过的2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不在两端的排法有_________________________ 种．答案：960解析：5名志愿者先全排有A5种，2位老人作为一个元素插空，并且两位老人左右有别，故共有A TC・A2= 960种不同的排法.2．由1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字且1,3 都不与5相邻的六位偶数有_____________________ 个．答案：1083解析：插空法，先排2,4,6共有A3种方法；若1,3,5都不相邻，则有A1种方法，若1,3相邻，则有AA!种方法；•••共有A3(A1 * 3+ ALA3) = 108种不同的排法.3. _____ 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的排法有种.答案：1 008。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.4 计数应用题》

排列组合问题的几种常见处理策略一、教学目标：1.使学生进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理；2.让学生掌握解决排列组合问题的常用策略;并且能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力；3.让学生学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。

二、教材分析及教材内容的定位：计数应用题是苏教版高中数学教材选修2-3第一章计数原理中第4节内容，是排列组合问题的实际应用，更是两个计数原理的应用。

本小节具有承上启下的作用，理解排列组合和两个计数原理是前面三节内容的要求，本课时要通过实例让学生深化概念的理解，是数学知识发挥实际应用价值的体现。

本课时着重帮助学生体会实际问题划归为计数问题的方法，能总结解决简单实际问题的策略并加以利用。

三、教学重点：排列组合问题常见处理策略的总结和应用四、教学难点：不相邻问题、定序问题、环排问题五、教学方法：通过类比探究，归纳总结等方法，研究计数应用题，培养学生的自主学习能力，发展学生的问题编改能力、抽象表达能力、合情推理能力及逻辑论证能力．六、教学过程：课前预习：1.分类计数原理(加法原理)：完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．课堂探究：问题1：现有7人坐成一排，_________________，共有多少种不同的排法？请在题目中的横线，填写你认为合理的条件，然后写出解题过程，并总结此类问题的处理方法。

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-3课堂导学 1.4 计数应用题

课堂导学三点剖析一、排列数、组合数的运算【例1】已知2114611+-==m n m n m n C C C ,求mn C 1-. 解析:已知条件可化为)!(!14!)!1()!1(6!m n m n m n m n -•=+--•=)!1()!1(21!---•m n m n .又n !,(m -1)!,(n –m -1)!都是正整数,故有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+-)1(211)(141141)1(61m m n mm n ,即⎩⎨⎧=--=+-035203103m n m n . 解得n=9,m=3.所以381C C m n =-=56.要注意依据排列数与组合数公式及其变形,在计算过程中要注意阶乘的运算、组合数性质的使用和提取公因式等方法的运用.二、排列与组合的差别【例2】某天某班的课程表要排语文、数学、外语、物理、化学、体育六门课程,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,一共有多少种不同的排法? 解析:把六门课程看成六个元素,把顺序看成位置:(1)位置分析法:依第一节课的情况进行分类,有以下情况排法: ①第一节课排数学,第六节课排体育,共有44A 种排法. ②第一节课排数学,第六节课不排体育,共有4414A A 种排法. ③第一节课不排数学,第六节课排体育,共有4414A A 种排法. ④第一节课不排数学,第六节课不排体育,共有4424A A 种排法. 由分类计数原理,所求的不同排法共有44244414442A A A A A ++=504种. (2)元素分析法:依数学课的排法进行分类,有以下情况的排法: ①数学课排在第一节,体育课排在第六节,共有44A 种排法.②数学课排在第一节,体育课不排在第六节,共有4414A A 种排法. ③数学课不排在第一节,体育课排在第六节,共有4414A A 种排法. ④数学课不排在第一节,体育课不排在第六节,共有4424A A 种排法. 由分类计数原理,所求的不同排法共有44244414442A A A A A ++=504种. 温馨提示排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题,它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序.不需要考虑顺序的是组合问题,需要考虑顺序的是排列问题,排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队,因此,分析解决排列组合问题的基本思维是“先选之,再排队”.三、排列、组合的综合应用【例3】从包含甲的若干名同学中选出4名分别参加数学、物理、化学和英语竞赛,每名同学只能参加一种竞赛,且任2名同学不能参加同一种竞赛,若甲不参加物理和化学竞赛,则共有72种不同的参赛方法,问一共有多少名同学?思路分析:若设共有n 名同学,则我们可以用n 把参赛方法种数表示出来,从而得到一个关于n 的方程,解方程可求出n 的值.解:设共有n 名同学,首先从这n 名同学中选出4人,然后再分别参加竞赛,按同学甲进行分类:第一类,不选甲,则从剩下的n-1名同学中选出4人分别参加4种竞赛,有41-n A 种参赛方式;第二类,选甲,首先安排甲,有12A 种方法,再从剩下的n-1名同学中选出3人参加剩下的3种竞赛,有31-n A 种方法,共有312n A A •种参赛方式.由分类计数原理共有311241--•+n n A A A 种方法,根据题意,得311241--•+n n A A A 解得n =5 对于这类较为复杂的问题,往往会感到无从下手,如果从竞赛学科角度来思考,则需分很多情况,容易出错,而我们可以采取“先取后排”的原则,即首先取出符合条件的元素,再按要求把它们排起来,这样解答条理性强,有利于问题的解决. 各个击破类题演练 1 化简:n n nA nA A A +++++......2332211.解:由于nn n n n n nA A A =-++11 则n n nA A A A ++++ (32332211)=)...()()()(11334422331122nn n n A A A A A A A A -+-+-+-++=11++n n A -1=(n +1)!-1.变式提升 1求11223111312313...n n n n n n n C C C C ++++-+-++的值.解:由nn C 313+知n 满足3n ≤13+n ,① 由112n C 知n 满足11≤2n .② 联立①②得211≤n ≤213,而n ∈N *, 所以n =6.所以原式=1112161717181819...C C C C ++++ =112117118119...C C C C +++=19+18+17+…+12=124.类题演练 2用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数. (1)可组成多少个不同的四位数? (2)可组成多少个不同的四位偶数?解:(1)直接法:3515A A • =300;间接法:3546A A - =300.(2)由题意知四位数个位数上必须是偶数,同时暗含了首位不能是0,因此该四位数的个位和首位是“特殊位置”,应优先处理;另一方面,0既是偶数,又不能排在首位,属“特殊元素”,应重点对待.方法一:(直接法)0在个位的四位偶数有35A 个;0不在个位时,先从2,4中选一个放在个位,再从余下的四个数(不包括0)中选一个放在首位,应有241412A A A ••个.综上所述,共有24141235A A A A ••+=156个.方法二:(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法,有3513A A •个,其中第一位是0的有2412A A •个,故适合题意的数有24141235A A A A ••+=156个.变式提升 2将4个编号为1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中. (1)有多少种放法?(2)每盒至多一球,有多少种放法? (3)恰好有一个空盒,有多少种放法?解:(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个,将小球一个一个地放入盒子,共有4×4×4×4=44=256种放法. (2)为全排列问题,共有44A =24种放法. (3)先将四个小球分为三组,有24C 种, 再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子,有34A 种投放方法, 故共有3424A C =144(种).类题演练 3从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种思路分析:取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各一台,它包括两种可能:2甲1乙或1甲2乙,所以可用分类计数原理和分步计数原理解决,另外也可以采用间接法.解:从4台甲型电视机中取2台且从5台乙型电视机中取1台,有1425C C •种取法;从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有1425C C •种取法,所以取出的3台电视机中至少要有甲型与乙型各一台的取法共有25141524C C C C •+•=70(种).答案:C 变式提升 34个不同的小球,全部放入3个不同的盒子中,要求不能有空盒,则有多少种不同的放法? 解析:从4个小球中取出2个看成一个“大球”,有24C 种取法,再把这“3个球”全部放入3个盒子中,有33A 种放法,共有3324A C •=36种放法.。

高中数学第一章计数原理 1.4 计数应用题学案苏教版选修23

1.4 计数应用题1．利用两个基本计数原理、排列与组合，解决较为复杂的计数问题．(重点)2．掌握解决有限制条件的排列组合问题的思想、策略和方法．(难点)[小组合作型]9，将其中任三张并排放在一起组成三位数，共可以组成________个不同的三位数．(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法有________种．(3)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中A，B，C，所得的经过坐标原点的直线有________条(用数字表示)．【精彩点拨】(1)法一(直接法)，分有“0,1”卡和无“0,1”卡两类；法二(排除法)，去掉0在百位上的所有情形．(2)“插空法”分类求解．(3)C＝0，从{1,2,3,5,7,11}中任取两个元素给A，B便可．【自主解答】(1)法一(直接法)：依“元素”分类，满足条件的三位数有以下三类：①不要0与1的有C34A33·23个；②要1不要0的有C24A33·22个；③要0不要1的有2C24·22·A22个．故共可组成不同的三位数：C34A33·23＋C24A33·22＋2C24·22·A22＝432(个)．法二(间接法)：把百位、十位、个位看作三个位置，从5张卡片中任选3张分别放到这三个位置上有C35·A33种，再正反面交换，有23种，故总数为C35A33·23，其中0在百位上时不符合要求，有C 24A 22·22，故可得到不同的三位数C 35A 33·23－C 24A 22·22＝432(个)．(2)分两类：(1)先排歌舞类有A 33＝6种排法，再将其余的三个节目插空．如图所示，或者，此时有2A 33A 33＝72种；(2)先排歌舞类有A 33＝6种排法，其余的两个小品与相声排法如图△，或者△，有4A 33C 12＝48，所以共有72＋48＝120种不同的排法．(3)因为直线过原点，所以C ＝0，因此只需从{1,2,3,5,7,11}中任取两个元素分别作为A ，B 便可，共有A 26种不同取法，对应A 26＝30条不同直线．【答案】 (1)432 (2)120 (3)301．本例(2)在求解时，常因注意不到“同类节目不相邻”导致错解或思维不全面．2．实际问题中某些安排、选派、选举等问题，可以转化为排队问题求解，但要搞清特殊元素(或位置)选择恰当的方法计数．[再练一题]1．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是________. 【导学号：29440018】【解析】首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共A 25＝20种排法，因为31＝93，13＝39，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是20－2＝18.【答案】 18(1)将6本书分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本；(2)将6本书分给三个人，甲得一本，乙得两本，丙得三本；(3)将6本书分给三个人，一人一本，一人两本，一人三本；(4)将6本书平均分给三个人，每人两本．【精彩点拨】【自主解答】(1)不平均分组问题．先在6本书中任取一本，作为一堆，有C16种取法，再从余下的5本书中任取两本，作为一堆，有C25种取法，最后从余下的三本中取三本作为一堆，有C33种取法，故一共有C16C25C33＝60种不同的分法．(2)不平均定向分配问题．由(1)知，分成三堆的方法有C16C25C33种，而每种分组方法又仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得两本，丙得三本的方法也是C16C25C33＝60种．(3)不平均不定向分配问题．由(1)知，分为三堆的方法有C16C25C33种，但每种分组方法又有A33种分配方法，故一人一本，一人两本，一人三本的方法有C16C25C33A33＝360种．(4)平均分配问题．将6本书平均分给三个人时，三个人一个一个地来取书，甲从6本书中任取2本的方法有C26种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，乙再从余下的4本书中取2本，有C24种方法，甲、乙不论用哪种方法各取两本书后，丙从余下的2本书中取出2本书，有C22种方法，所以一共有C26C24C22＝90种方法．1．本题属于典型分配问题，(1)(2)属于逐个分配，直接应用分步计数原理．(3)采用先分组再分配的方法．2．解决此类问题要注意分组的各种类型的计算方法，对于分配问题，可以按要求逐个分配，也可先分组再分配．[再练一题]2．(1)在本例中，将6本书分给甲、乙、丙三个人，甲得四本，乙、丙两人各一本，有多少种不同的分法？(2)在本例中，若6本书完全相同，分给甲、乙、丙三位同学，每人至少有一本，有多少种不同的分法？【解】(1)甲从6本书中任取4本的方法有C46种，甲不论用哪一种方法取得4本书后，乙再从余下的2本书中取1本，有C12种方法，甲、乙不论用哪种方法取书后，丙从余下的1本书中取出1本，有C11种方法，所以一共有C46C12C11＝30种方法．(2)(隔板法)：把6本书排成一排摆好如图“○○○○○○”，因为书都相同，所以从中间的5个位置中隔上两块板，甲、乙、丙只要按从左到右的顺序依次拿取相应的书即可．所以共有C25＝10种方法．[探究共研型]探究【提示】在相邻区域涂色不相同问题中，相邻区域涂色时采用分步计数原理进行，但不相邻区域颜色可相同，因此又要用到分类计数原理．用五种不同的颜色给图141中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．(1)共有多少种不同的涂色方法？(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？【精彩点拨】(1)无限制条件的涂色问题，只要符合题意便可．(2)有限制条件的涂色问题，注意相邻区域及对称区域的颜色．【自主解答】(1)由于1至4号区域各有5种不同的涂法，故依分步计数原理知，不同的涂色方法有54＝625种．(2)第一类：1号区域与3号区域同色时，有5×4×1×4＝80种涂法．第二类：1号区域与3号区域异色时，有5×4×3×3＝180种涂法．依据分类计数原理知，不同的涂色方法有80＋180＝260种．1．涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色．因此一般以不相邻区域同色，不同色为分类依据，相邻区域可用分步涂色的办法涂色．2．涂色问题往往涉及分类、分步计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件的情况下分步涂色．[再练一题]3．如图142所示的几何体是由一个三棱锥PABC与三棱柱ABCA1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种. 【导学号：29440018】图142【解析】先涂三棱锥PABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步计数原理，共有3×2×1×2＝12(种)不同涂法．【答案】121．甲组有男同学5名，女同学3名，乙组有6名男同学，2名女同学，从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有________种．【解析】第一类，选出的1名女生出自甲组，选法为C15C13C26＝225(种)；第二类，1名女生出自乙组，选法为C25C16C12＝120(种)．共有225＋120＝345(种)．【答案】3452．某公司招聘了8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有________种．【解析】第一步，先将两名英语翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法．由分步计数原理得共有2C13A22C13＝36(种)分配方案．【答案】363．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展览，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有________种.【导学号：29440019】【解析】分步完成：第一步，从甲、乙以外的8种种子中选1种放入1号瓶内；第二步，从剩下的9种种子中选5种放入余下的5个瓶子内．故不同的放法种数为C18A59＝120 960(种)．【答案】120 9604．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有________种．【解析】先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步计数原理可知共有不同的安排方法C16A25＝120种．【答案】1205．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？【解】因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯方法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C36×2×2×2＝160(种)．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有________种．【解析】分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C25种方法；第2步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A26种．故有C25A26＝300种．【答案】3002．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有________种．【解析】先把4名教师分成2,1,1三组，再分配到3所中学，共有C24A33＝36种分配方案．【答案】363．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)【解析】分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有C23A24＝36种；另一种是三人各获得一张奖券，有A34＝24种．故共有60种获奖情况．【答案】604．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________．【解析】分两类：第一类，每个城市只能投资1个项目，共有A35种方案；第二类，有一个城市投资2个项目，共有C23·A15·A14种方案．由分类计数原理得共有A35＋C23A15A14＝120(种)方案．【答案】120种5．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数共________个. 【导学号：29440020】【解析】分两类：若1与3相邻，有A22C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻，有A33·A33＝36(个)．故共有72＋36＝108个．【答案】1086．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．【解析】由题意分类计数：若7个台阶上每一个台阶只站一人，则“3人站到7级的台阶上”有A37种不同的站法；若选用2个台阶，有一个台阶站2人，另一个站1人，则“3人站到7级的台阶上”有C13A27种不同的站法．因此不同的站法种数是A37＋C13A27＝336.【答案】3367．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有________种．【解析】(1)若甲乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案A22A14A44＝192种；(2)若甲乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有A22A14A44＝192种；(3)若甲乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，①若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有4×A22A14A33＝192种；②若丙安排在中间5天的其它3天，则丁有3种安排法，共有4×A22A13A13A33＝432种，所有共有192＋192＋192＋432＝1 008种．【答案】 1 0088．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．【解析】由题意知①②③④中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数；(1)若①正确，即a＝1，则②③④都错误，即b＝1，c≠2，d＝4.其中a＝1与b＝1矛盾，显然此种情况不存在．(2)若②正确，即b≠1，则①③④都错误，即a≠1，c≠2，d＝4，则当b＝2时，有a ＝3，c＝1；当b＝3时，有a＝2；c＝1此时有2种有序数组．(3)若③正确，即c＝2，则①②④都错误，即a≠1，b＝1，d＝4，则a＝3，即此种情况有1种有序数组．(4)若④正确，即d≠4，则①②③都错误，即a≠1，b＝1，c≠2，则当d＝2时，有a ＝3，c＝4或a＝4，c＝3，有2种有序数组；当d＝3时，有c＝4，a＝2，仅1种有序数组．综上可得共有2＋1＋2＋1＝6(种)有序数组．【答案】 6二、解答题9．3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务，(1)若每辆车上都需要人但最多安排男女各一名，有多少种安排方法？(2)若男女各包2辆车，有多少种安排方法？【解】(1)先将3名男同志安排到车上有A34种方法，在未安排男同志的那辆车安排女同志有C13种方法，还有2个女同志有A23种安排方法，故共有A34C13A23＝432种安排方法．(2)男同志分2组有C23种方法，女同志分2组有C23种方法，将4组安排到4辆车上有A44种方法，故共有C23C23A44＝216种安排方法．10．有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，则有多少种不同的选法？【解】设集合A＝{只会划左舷的3个人}，B＝{只会划右舷的4个人}，C＝{既会划左舷又会划右舷的5个人}．先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人．第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B∪C中选3人，即有C39种选法．因是分步问题，所以有C33·C39种选法．第②类，划左舷的人在A中选2人，有C23种选法，在C中选1人，有C15种选法，划右舷的人在B∪C中剩下的8个人中选3人，有C38种选法．因是分步问题，所以有C23·C15·C38种选法．类似地，第③类有C13·C25·C37种选法，第④类有C03·C35·C36种选法．故有C33·C39＋C23·C15·C38＋C13·C25·C37＋C03·C35·C36＝84＋840＋1 050＋200＝2 174种不同的选法．[能力提升]1．如果一个三位正整数a1a2a3满足a1＜a2＜a3，则称这样的三位数为“好数”(如123,367,378)，那么三位数中所有“好数”的个数是________．(用数字作答) 【解析】由题意，在1,2，…，9这九个数字中任取3个，只能组成1个“好数”(0不能选，因为若选0，则0只能排在首位，此时已不是三位数)，故有好数C39＝84个．【答案】84个2．今有2个红球，3个黄球，4个白球，若同色球不加以区分，将这9个球排成一列共有________种不同的方法(用数字作答). 【导学号：29440021】【解析】法一：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，共有C29C37C44＝1 260种方法．法二：同色球不加以区分(即属相同元素排列的消序问题)，先全排列，再消去各自的顺序即可，则将这9个球排成一列共有A99A22A33A44＝1 260种不同的方法．【答案】 1 2603．如图143，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有________种．图143【解析】如图，构造三棱锥ABCD；四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁．由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法．这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法有C36种，任取三条共面棱的不同取法有4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有C36－4＝16种．故不同的建桥方案共有16种．【答案】164．如图144所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4，则：(1)以这12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？图144(2)以这10个点(不包括A，B)中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？【解】(1)构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：①四个点从C1，C2，…，C6中取出，有C46个四边形；②三个点从C1，C2，…，C6中取出，另一个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C36C16个四边形；③二个点从C1，C2，…，C6中取出，另外二个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C26C26个四边形．故满足条件的四边形共有N＝C46＋C36C16＋C26C26＝360(个)．(2)类似于(1)可分三种情况讨论得三角形个数为C36＋C16C24＋C26C14＝116(个)．其中含点C1的有C25＋C15C14＋C24＝36(个)．。

学案导学备课精选高中数学 1.4计数应用题(一)同步练

§1.4 计数应用题(一)课时目标1.利用计数原理，解决一些简单的实际问题.2.理解解计数应用题的常用思想方法．解计数应用题，要按照元素的性质进行________，按事情发生的过程进行________；对排列组合的混和问题，一般可采用“先选后排”的思路．一、填空题1．从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子都不许放入第1号瓶内，那么不同的放法共有__________种．(用式子表示) 2．某博物馆要在20天内接待8所学校的学生参观，每天至多安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观3天，其余学校均只参观1天，则在这20天内一共有________种不同的安排方法．(用式子表示)3．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的方法．4．三个人坐在八个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法总数为________种．5．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法共有________种．6．现从8名学生干部中选2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男同学有______人，女同学有______人．7．从5名男生和3名女生中任选3男2女分别参加不同的学科兴趣小组，则有________种不同的安排．8．从数集{－1,0,1,2,3}中任取3个数组成二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________条与x轴正、负半轴都有交点的不同的抛物线．二、解答题9．A，B，C，D，E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A，B两种商品必须排在一起，而C，D两种商品不能排在一起，问：一共有多少种不同的排法？10．2名男生和3名女生共5名同学站成一排，若男生甲不站两端，3名女生中有且只有2名女生相邻，问：一共有多少种不同排法？能力提升11．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有多少个？(用数字作答)12．四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库中是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库中是安全的．现打算用编号①，②，③，④的仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同的放法有多少种？1．解计数应用题，要针对特殊的元素或位置进行分类或分步．2．几类特殊问题：相邻问题用“捆绑法”，不相邻问题用“插空法”．1．4 计数应用题(一)答案知识梳理分类分步作业设计1．C18A59解析第一步：从去掉甲、乙的8种种子选1种放入第1号瓶子内；第二步：再从剩下的9种种子中选5种放入剩余的5个瓶子中，∴共有放法C18×A59种．2．C118A717解析先安排人数较多的学校，共有C118种方法；在剩余的17天中任选七天安排其余学校，A717种，∴共有C118A717种不同的安排方法．3．1 260解析C29C37C44＝1 260(种)．4．24解析可使用插空法，余下的五个座位形成6个空，从中间的四个空中任选3个排3个人即可，有A34＝24(种)坐法．5．1206．3 5解析设男同学n名，则C2n C18－n A33＝90.∴n＝3.7．3 600解析C35×C23×A55＝3 600.8．189．解A，B两种商品捆绑在一起，看成一个商品，与E形成三个空档，将C，D插入，有A23种，C，D内部排列有A22种，A，B排列有A22种，所以共有A23A22A22＝24.10．解从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，(A共有C23A22＝6(种)不同排法)，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6A22A22＝24(种)排法；第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有6A22＝12(种)排法；第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法，此时共有6A22＝12(种)排法．由分类计数原理，知共有24＋12＋12＝48(种)．11．解个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有C23A33C14＋A33C13＝90(种)；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：C23A33C14＋C13C23A33C13＝234(种)，所以共有90＋234＝324(个)．12.解如图所示，PA只能与BC或CD所代表的化工产品放在一起，若PA与BC放在一起，则一定有PD与AB，PC与AD，PB与CD分别放在4个仓库里，则有A44＝24(种)不同的放法．同理PA与CD时，也有24种不同的放法，由分类计数原理知共有24＋24＝48(种)不同的放法．。

高中数学第1章计数原理 1.4 计数应用题教学案苏教版选修2-3

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题1.4 计数应用题[例1] 3个女生和5个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？[思路点拨] 本题涉及限制条件，要优先考虑有条件限制的元素或位置，相邻问题可采用捆绑法，不相邻问题可采用插空法．[精解详析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A66种不同排法．对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A33种不同的排法，因此共有A66·A33＝4 320种不同的排法．(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于5个男生排成一排有A55种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A36种方法，因此共有A55·A36＝14 400种不同的排法．(3)法一：(特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A 25种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A 66种排法，所以共有A 25·A 66＝14 400种不同的排法．法二：(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A 88种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A 13·A 77种排法和女生排在末位的A 13·A 77种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有A 23·A 66种不同的排法，所以共有A 88－2A 13·A 77＋A 23·A 66＝14 400种不同的排法．法三：(特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有A 36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A 55种不同的排法，所以共有A 36·A 55＝14 400种不同的排法．(4)法一：因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有A 15·A 77种不同的排法；如果首位排女生，有A 13种排法，这时末位就只能排男生，这样可有A 13·A 15·A 66种不同的排法．因此共有A 15·A 77＋A 13·A 15·A 66＝36 000种不同的排法．法二：3个女生和5个男生排成一排有A 88种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A 23·A 66种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A 88－A 23·A 66＝36 000种不同的排法．(5)(顺序固定问题)因为8人排队，其中两人顺序固定，共有A 88A 22＝20 160种不同的排法． [一点通](1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)．(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．1．(四川高考改编)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．解析：当最左端排甲时，不同的排法共有A 55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C 14A 44种．故不同的排法共有A 55＋C 14A 44＝9×24＝216种．2．用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为________种．解析：符合题意的五位数有A22C13A33＝2×3×3×2＝36.答案：363．某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，第六节不排数学，一共有多少种不同的排法？解：法一：(位置分析法)依第一节课和第六节课的情况进行分类；①第一节课排数学，第六节课排体育，共有A44种排法；②第一节课排数学，第六节课不排体育，共有A14A44种排法；③第一节课不排数学，第六节课排体育，共有A14A44种排法；④第一节课不排数学，第六节课不排体育，共有A24A44种排法．由分类加法计数原理，所求的不同排法共有A44＋2A14A44＋A24A44＝504(种)．法二：(排除法)不考虑受限条件下的排法有A66种，其中包括数学课在第六节的排法有A55种，体育课在第一节的排法有A55种，但上面两种排法中同时含有数学课在第六节，体育课在第一节的情形有A44种．故所求的不同排法有A66－2A55＋A44＝504(种).[例2] 某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷，现要选派划左舷的3人，划右舷的3人，共6人参加比赛，则不同的选派方法有多少种？[思路点拨] 既会划左舷又会划右舷是特殊元素，可以从他们的参与情况入手分类讨论．[精解详析] 选派的3名会划左舷的选手中，没有既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有C33C36种选派方法；选派的3名会划左舷的选手中，有一人是既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有C12C23C35种选派方法；选派的3名会划左舷的选手中，有两人是既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有C13C34种选派方法．故共有C33C36＋C12C23C35＋C13C34＝20＋60＋12＝92种选派方法．(1)解决简单的分配问题的一般思路是先选取，后分配．(2)如果涉及的元素有限制条件，则一般以特殊元素，特殊位置为分类标准．4．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：分两步完成：第一步，将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有C 24C 12C 11A 22种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A 33种，所以满足条件的分配方案有C 24C 12C 11A 22·A 33＝36种．答案：365．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种．解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C 12C 24＝12种安排方案．答案：126．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本．(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．解：(1)分3步完成：第1步，从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C 49种方法；第2步，从余下的5本书中，任取3本给乙，有C 35种方法；第3步，把剩下的书给丙有C 22种方法．所以，共有不同的分法为C 49·C 35·C 22＝1 260种．(2)分2步完成：第1步，按4本、3本、2本分成三组有C 49·C 35·C 22种方法；第2步，将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A 33种方法．所以，共有C 49·C 35·C 22·A 33＝7 560种.[例3] 从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？[思路点拨] 排数问题和站队问题是排列、组合中的两类典型问题，其解决的思路相似，需考虑特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等的处理方法．[精解详析] (1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有C 34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，可有C 45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，可有A 77种情况，所以符合题意的七位数有C 34C 45A 77＝100 800(个)．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C 34C 45A 55A 33＝14 400(个)．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C 34C 45A 33A 44A 22＝5 760(个)．(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空，共有C 34C 45A 44A 35＝28 800(个)．[一点通] 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：(1)按事情发生的过程进行分步；(2)按元素的性质进行分类．解决时通常从三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．7．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有________种．解析：标号1，2的卡片放入同一封信有C 13种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有C 24A 22·A 22种方法，共有C 13·C 24A 22·A 22＝18种．答案：188．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为________．解析：若甲乙同时参加，则可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲乙两人插入其中即可，则共有C25A22A23种不同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参加，则共有C12C35A44种不同的发言顺序，综合可得不同的发言顺序有C25A22A23＋C12C35A44＝600种．答案：6009．某种产品有5件不同的正品，4件不同的次品，现在一件件地进行检测，直到4件次品全部测出为止．若次品恰好在第6次检测时被全部选出，则这样的检测方案有多少种？解：问题相当于从9件产品中取出6件的一个排列，第6位为次品，前五位有其余3件次品. 可分三步，先从4件产品中留出1件次品排第6位，有4种方法，再从5件正品中取2件，有C25种方法，再把另3件次品和取出的2件正品排在前5位有A55种方法，所以检测方案种数为4×C25·A55＝4 800.解决排列组合问题的常用方法(1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑．有两个以上的约束条件时，往往是考虑一个条件的同时，也要兼顾其他条件．考虑两个条件之间是否有影响．(2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元素．有两个以上的约束条件时，往往是考虑一个元素的同时，也要兼顾其他元素．(3)间接法：也叫排异法．直接考虑时情况较多，但其对立面情况较少，相对来讲比直接解答简捷，可先考虑逆向思考问题，在此方法中，对立面要“不重不漏”．(4)插空法：先把无限制的元素排好，然后将不能相邻的元素插入排好的元素的空中，要注意无限制元素的排列数及所形成空的个数．此方法适用于含有“不相邻”的问题(5)捆绑法：把要求在一起的“小集团”看作一个整体，与其他元素进行排列，同时不要忘记“小集团”内也要排列．此法比较适合“必须在一起”的问题．课下能力提升(七)一、填空题1．甲组有男同学5名，女同学3名，乙组有6名男同学，2名女同学，从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有________种．解析：第一类，选出的1名女生出自甲组，选法为C15C13C26＝225(种)；第二类，1名女生出自乙组，选法为C25C16C12＝120(种)．共有225＋120＝345(种)．答案：3452．某公司招聘了8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有________种．解析：据题意可先将两名英语翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步计数原理得共有2C13A22C13＝36(种)分配方案．答案：363．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有________种．解析：分步完成：第一步，从甲、乙以外的8种种子中选1种放入1号瓶内；第二步，从剩下的9种种子中选5种放入余下的5个瓶子内；故不同的放法种数为C18A59＝120 960(种)．答案：120 9604．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有________种．解析：先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步计数原理可知共有不同的安排方法C16A25＝120种．答案：1205．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________种．解析：根据题意，每级台阶最多站2人，所以，分两类：第一类，有2人站在同一级台阶，共有C23A27种不同的站法；第二类，一级台阶站1人，共有A37种不同的站法．根据分类计数原理，得共有C23A27＋A37＝336种不同的站法．答案：336二、解答题6．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？解：因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯办法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C36×2×2×2＝160(种)．7．现有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内，(1)共有几种放法？(2)若恰有1个空盒，有几种放法？(3)若恰有2个盒子不放球，有几种放法？解：(1)44＝256(种)．(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的两个小球与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A34种不同的放法．根据分步计数原理，共有C24A34＝144种不同的放法．(3)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法：第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C34种，再放到2个小盒中有A24种放法，共有C34A24种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C24C24种放法．故恰有2个盒子不放球的放法共有C34A24＋C24C24＝84种．8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的系数a、b、c是在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取的3个不同的元素，求坐标原点在抛物线内部的抛物线有多少条？解：由图形特征分析得知，若a>0，开口向上，坐标原点在抛物线内部⇔f(0)＝c<0，若a<0，开口向下，坐标原点在抛物线内部⇔f(0)＝c>0；所以对于抛物线y＝ax2＋bx＋c 来讲，坐标原在其内部⇔af(0)＝ac<0.确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b.故满足题设的抛物线共有C13C14A22C16＝144条．。

1.4《计数应用题》教案(苏教版选修2-3)

学科：数学教学内容：排列与组合的综合问题【学习目标】能正确地运用分类计数原理、分步计数原理及排列、组合的方法解决一些实际问题，培养学生的抽象能力．【高考试题剖析】1．（2002年高考·全国）在正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）A．8 B．12 C．16 D．20【解析】36C－8＝12．【答案】B2．从单词＂equation＂中选取5个不同的字母排成一排，含有＂qu＂（其中＂qu＂相连且顺序不变）的不同排列共有（）A．120个B．480个C．720个D．840个【解析】排列与组合混合型的试题，难以直接套用排列数或组合数的公式求解．先将＂qu＂看成一个大元素，再从剩余的6个元素中取出3个元素，共有36C种不同取法，然后对取出的4个元素进行全排列，有44A种方法，由于＂qu＂顺序不变，根据乘法原理共有36C44A＝480种不同排列．【答案】B3．由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，百位数字最大，万位数字比千位数字小，个位数字比十位数字小，这样的五位数的个数为（）A．12 B．6 C．8 D．4【解析】有限制条件的排列、组合问题一般要先考虑特殊位置或特殊元素．百位上的数字最大，只能排5，万位数字比千位数字小，个位数字比十位数字小，可将1，2，3，4平均分成两组分法有222224ACC，再分给万位、千位、个位、十位，分法有22A种，故这样的五位数共有2224CC＝6个．【答案】B4．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种（用数字作答）．【解析】33A·27A＝252．【答案】2525．有n （n ∈N ）件不同的产品排成一排，若其中A 、B 两件产品排在一起的不同排法有48种，则n ＝_____．【解析】将A 、B 两件产品看成一个大元素与其他（n －2）个元素全排列，共11A --n n 种；然后A 、B 进行全排列22A 种；根据乘法原理可得2211A A --n n ＝48，即11A --n n ＝24＝4·3·2·1，∴n －1＝4．即n ＝5．【答案】5【典型例题精讲】［例1］从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法?【解法一】问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有44A 种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有234C （44A －33A ）种；（3）甲、乙二人均参加，有24C （44A －233A ＋22A ）种，故共有252种．【解法二】六人中取四人参加的种数为46A ，除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的有3512A C 种，因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数24A 减去了两次，故共有46A －243512A A C +＝252种．【评述】对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种．［例2］有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）有女生但人数必须少于男生．（2）某女生一定要担任语文科代表．（3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表．（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．【解】（1）先取后排，先取有13452335C C C C +种，后排有55A 种，共5513452335)A C C C (C +＝5400种．（2）除去该女生后先取后排：4447A C ＝840种．（3）先取后排，但先安排该男生：47C 14C 44A ＝3360种．（4）先从除去该男生该女生的6人中选3人有36C 种，再安排该男生有13C 种，其余3人全排有33A 种，共36C 13C 33A ＝360种．［例3］对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?【解】14C（3316CC）44A＝576，第5次必测出一次品，余下3只在前4次被测出，从4只中确定最后一次品有14C种方法，前4次中应有1正品、3次品有3316CC种，前4次测试中的顺序有44A种，由分步计数原理即得．【评述】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列．［例4］在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法?【解法一】添加的三个节目有三类办法排进去：①三个节目连排，有3317AC种方法；②三个节目互不相邻，有37A种方法；③有且仅有两个节目连排，有22161713ACCC种方法，根据分类计数原理共有：22161713373317ACCCAAC++＝504种．【解法二】从结果考虑，排好的节目表中有9个位置，先排入三个添加节目有39A种方法，余下的六个位置上按6个节目的原有顺序排入只有一种方法，故所求排法为39A＝504种．【评述】插空法是处理排列、组合问题常用的方法．［例5］在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？【解】依题意，A，B两种作物的间隔至少6垄，至多8垄．（1）间隔6垄时，有3×22 A种；（2）间隔7垄时，有2×22A种．（3）间隔8垄时，有22A种．所以共有322A＋222A＋22A＝12种种植方法．【达标训练】1．四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法种数为（）A．3413AAB．3324ACC．2234AC D．14C2234CC【解析】4个球放入3个盒子，则有一个盒子要放两个球，故3324AC．【答案】B2．（2003年高考·北京）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种值．不同的种植方法共有（）A．24种B．18种C．12种 D．6种【解析】∵黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是：23C种在三块土地的方法是33P．∴种法是23C·33P＝18【答案】B3．10名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有_____种．（用数字作答）【解析】有1人既懂英语又懂日语，按此人分类讨论：①若此人担任英语翻译，选拔方法有2325CC种；②此人担任日语翻译，选拔方法有35C13C种；③此人不担任翻译，选拔方法有2335CC种，根据分类计数原理：233513352325CCCCCC++＝90．【答案】904．书架上原有6本书，再放上3本，但要求原有书的相对顺序不变，则不同的放法有____种．【解析】分三步，每步各有7，8，9种放法，共有7×8×9＝504种，或3 96699AAA=＝504．【答案】5045．（2003年高考·新课程）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图10—3）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种．（以数字作答）图10—3【解析】先安排区域1，有14C种方法，这时其他区域均与区域1颜色不一样．①若区域4、6颜色相同，则有222213ACC种方法；②若区域4、6颜色不相同，则有33A×3种方法．∴不同的栽种方法有14C（13C232212AAC+×3）【答案】1206． 18人的旅游团要选一男一女参加生活服务工作，有二老年男人不在推选之列，共有64种不同选法，问这个团中男女各几名?【解析】设这个团中有男人x，则有女人18－x个，根据题意得：12C-x·118Cx-＝64．解得x＝10，18－x＝8【答案】这个团中有男10人，女8人．7．平面内有8个点，其中有4个点共线，其他无任何三点共线．（1）过任意两点作直线有多少条？（2）能确定多少条射线？（3）能确定多少个不同的．【解析】（1）1＋24C＋14C14C＝23；（2）6＋24A＋14C14C22A＝50；（3）14C24C＋24C14C＋34C＝52．【答案】（1）23 （2）50 （3）52【解题指导】1．解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素；或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本原理作最后处理．2．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏．3．对于选择题的答案要谨慎选择，注意等价答案的不同形式．处理这类选择题可采用分析答案形式用排除法、错误的答案，都是犯有重复或遗漏的错误．【拓展练习】【备选题】四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的盒子中．（1）四个盒子都不空的放法有_____种．（2）恰有两个空盒的放法有_____种．（3）甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有_____种．（4）甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的不同放法有_____种．【解】（1）44A＝24；（2）24C（14C＋24C＋34C）＝84；（3）12C13C14C14C＝96；（4）24C14C14C＝96【答案】（1）24 （2）84 （3）96 （4）96。

1.4 计数应用题学案(苏教版高中数学选修2-3)

1.4 计数应用题学案（苏教版高中数学选修2-3）1.4计数应用题计数应用题学习目标1.了解计数应用题中的常见问题类型.2.理解排列.组合的概念及公式应用.3.掌握解决排列组合综合应用题的方法1两个基本计数原理1分类计数原理2分步计数原理2排列.组合综合题的一般解法一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类3运用排列组合的知识，结合两个基本计数原理，能够解决很多计数问题16本不同的书分成3组，一组4本，其余组各1本，共有30种不同的分法27名同学站一排，甲身高最高，排在正中间，其他6名同学身高不等，甲的左，右两边以身高为准，由高到低排列，则不同的排法共有20种类型一两个计数原理的应用命题角度1“类中有步”的计数问题例1电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案28800解析在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算1幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有3029xx400种结果；2幸运之星在乙箱中抽，同理有xx3011400种结果因此共有174001140028800种不同结果反思与感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示具体意义如下从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示所以，完成这件事的方法数为m1m2m3m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为“类”用“”号连接，“步”用“”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可跟踪训练1一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为nn3，nN等份，种植红.黄.蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花1如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少种不同的种植方法2如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少种不同的种植方法解1如题图1，先对a1部分种植，有3种不同的种植方法，再对a2，a3种植因为a2，a3与a1不同颜色，a2，a3也不同，所以由分步计数原理得3216种2如题图2，当a1，a3不同色时，有32116种种植方法，当a1，a3同色时，有322112种种植方法，由分类计数原理，共有61218种种植方法命题角度2“步中有类”的计数问题例2有4位同学在同一天的上.下午参加“身高与体重”.“立定跳远”.“肺活量”.“握力”.“台阶”五个项目的测试，每位同学上.下午各测试一个项目，且不重复若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上.下午都各测一人，则不同的安排方式共有________种用数字作答考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案264解析上午总测试方法有432124种我们以A，B，C，D，E依次代表五个测试项目若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B，C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上.下午的测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试A，B，C之一，则上午测试A，B，C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有339种测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步计数原理，总的测试方法共有2411264种反思与感悟用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为AD.完成AD这件事，需要经历三步，即AB，BC，CD.其中BC这步又分为三类，这就是步中有类其中mii1,2,3,4,5表示相应步的方法数完成AD这件事的方法数为m1m2m3m4m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法跟踪训练2如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有________种考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案21解析根据题意，若电路接通，则开关1,2与3,4,5中至少有1个接通，对于开关1,2，共有224种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有413种情况，对于开关3,4,5，共有2228种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有817种情况，则电路接通的情况有3721种类型二有限制条件的排列问题例33个女生和5个男生排成一排1如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法2如果女生必须全分开，有多少种不同的排法3如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法4如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法5如果甲必须排在乙的右面可以不相邻，有多少种不同的排法考点题点解1捆绑法因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A66种不同排法对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A33种不同的排法，因此共有A66A334320种不同的排法2插空法要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于5个男生排成一排有A55种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A36种方法，因此共有A55A3614400种不同的排法3方法一特殊位置优先法因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A25种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A66种排法，所以共有A25A6614400种不同的排法方法二间接法3个女生和5个男生排成一排共有A88种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A13A77种排法和女生排在末位的A13A77种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有A23A66种不同的排法，所以共有A882A13A77A23A6614400种不同的排法方法三特殊元素优先法从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有A36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A55种不同的排法，所以共有A36A5514400种不同的排法4方法一因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有A15A77种不同的排法；如果首位排女生，有A13种排法，这时末位就只能排男生，这样可有A13A15A66种不同的排法因此共有A15A77A13A15A6636000种不同的排法方法二3个女生和5个男生排成一排有A88种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A23A66种，就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有A88A23A6636000种不同的排法5顺序固定问题因为8人排队，其中两人顺序固定，共有A88A2220210种不同的排法反思与感悟1排列问题的限制条件一般表现为某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏去尽2对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中跟踪训练3为迎接中共九大，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛该校高三年级准备从包括甲.乙.丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲.乙.丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为________考点排列的应用题点有限制条件的排列问题答案768解析根据题意，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，有A47840种情况，其中甲.乙.丙都没有参加，即选派其他四人参加的情况有A4424种，则甲.乙.丙这3名学生中至少有1人参加的情况有84024816种；其中当甲乙丙都参加且甲和乙相邻的情况有C14A22A3348种，则满足题意的朗诵顺序有81648768种类型三排列与组合的综合应用例4有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种考点排列组合的综合应用题点排列与组合的综合应用解分三类第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C12C12C12C12A44种第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C22C22A44种第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C22C22A44种故满足题意的所有不同的排法种数为C12C12C12C12A442C22C22A44432.反思与感悟1解排列.组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列2解排列.组合综合问题时要注意以下几点元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列.组合综合问题的一般方法跟踪训练4有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数1有女生但人数必须少于男生；2某女生一定担任语文科代表；3某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；4某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表解1先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有C35C23C45C13种，后排有A55种，所以共有不同选法C35C23C45C13A555400种2除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法C47A44840种3先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法C47C14A443360种4先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女生的6人中选3人有C36种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有C13种，其余3人全排列有A33种，所以共有不同选法C36C13A33360种.1李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有________种不同的选择方式考点排列组合的综合应用题点分组.分配问题答案14解析由题意可得，李芳不同的选择方式为43214.2包括甲.乙在内的7个人站成一排，其中甲在乙的左侧可以不相邻，有________种站法考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题答案2520解析因为甲.乙定序了，所以有A7722520种3从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是________________________________________________________考点排列组合的综合应用题点排列与组合的综合应用答案48解析第一类从2,4中任取一个数，有C12种取法，同时从1,3,5中取两个数字，有C23种取法，再把三个数全排列，有A33种排法故有C12C23A3336种取法第二类从0,2,4中取出0，有C11种取法，从1,3,5三个数字中取出两个数字，有C23种取法，然后把两个非0的数字中的一个先安排在首位，有A12种排法，剩下的两个数字全排列，有A22种排法，共有C11C23A12A2212种方法共有361248种排法4某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种考点排列组合的综合应用题点排列与组合的综合应用答案36解析先安排后2个，再安排前3个，由分步计数原理知，共有C12C13A3336种不同的播放方式5已知xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6，则满足x1x2x3x4x5x62的数组x1，x2，x3，x4，x5，x6的个数为________考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案90解析根据题意，x1x2x3x4x5x62，xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6，xi中有2个1和4个0，或3个1.1个1和2个0，或4个1和2个1，共有C26C36C23C4690个，满足x1x2x3x4x5x62的数组x1，x2，x3，x4，x5，x6的个数为90.1解排列.组合综合题一般是先选元素.后排元素，或充分利用元素的性质进行分类.分步，再利用两个基本计数原理作最后处理2对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏3对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.。

高中数学第一章计数原理 1.4 计数应用题学案苏教版选修2-3

1.4 计数应用题学习目标 1.进一步理解和掌握两个计数原理.2.进一步深化理解排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题．类型一两个计数原理的应用命题角度1 “类中有步”的计数问题例1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果．反思与感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：具体意义如下：从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示．所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可．跟踪训练1 现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．命题角度2 “步中有类”的计数问题例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有________种．(用数字作答)反思与感悟用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类．其中m i(i＝1,2,3,4,5)表示相应步的方法数．完成A→D这件事的方法数为m1(m2＋m3＋m4)m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法．跟踪训练2 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有________种．类型二有限制条件的排列问题例3 3个女生和5个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？反思与感悟(1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)．(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．跟踪训练3 用0到9这10个数字，(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？(2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数？类型三排列与组合的综合应用命题角度1 不同元素的排列、组合问题例4 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？反思与感悟(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．跟踪训练4 从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？命题角度2 含有相同元素的排列、组合问题例5 将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中，若各班名额数不小于班级序号数，则共有________种不同的分配方案．反思与感悟凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即为“n个相同元素有序分成m组(每组的任务不同)”的问题，一般可用“隔板法”求解：(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有N＝C m－1n－1种，即将n个元素中间的n－1个空格中加入m－1个“隔板”．(2)任意分组，可出现某些组含元素为0个的情况，其不同分组方式有N＝C m－1n＋m－1种，即将n个相同元素与m－1个相同“隔板”进行排序，在n＋m－1个位置中选m－1个安排“隔板”．跟踪训练5 用2,3,4,5,6,7六个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________．1．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有________种不同的选择方式．2．包括甲、乙在内的7个人站成一排，其中甲在乙的左侧(可以不相邻)，有________种站法．3．从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是___________________________________________________．4．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种．5．已知x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，则满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为________．1．解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理．2．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏．3．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．答案精析题型探究例1 28 800解析在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17 400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果．因此共有17 400＋11 400＝28 800(种)不同结果．跟踪训练1 48解析如图所示，将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况．故不同的着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1＝48.例2 264解析上午总测试方法有4×3×2×1＝24(种)．我们以A、B、C、D、E依次代表五个测试项目．若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B、C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试A、B、C之一，则上午测试A、B、C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有3×3＝9(种)测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步计数原理，总的测试方法共有24×11＝264(种)．跟踪训练2 21解析根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，如图所示，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有2×2＝4(种)情况，其中全部断开的有1(种)情况，则其至少有1个接通的有4－1＝3(种)情况，对于开关3、4、5，共有2×2×2＝8(种)情况，其中全部断开的有1(种)情况，则其至少有1个接通的有8－1＝7(种)情况，则电路接通的情况有3×7＝21(种)．例3 解 (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A 66种不同排法．对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A 33种不同的排法，因此共有A 66·A 33＝4 320(种)不同的排法．(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于5个男生排成一排有A 55种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A 36种方法，因此共有A 55·A 36＝14 400(种)不同的排法．(3)方法一 (特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A 25种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A 66种排法，所以共有A 25·A 66＝14 400(种)不同的排法．方法二 (间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A 88种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A 13·A 77种排法和女生排在末位的A 13·A 77种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有A 23·A 66种不同的排法，所以共有A 88－2A 13·A 77＋A 23·A 66＝14 400(种)不同的排法．方法三 (特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有A 36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A 55种不同的排法，所以共有A 36·A 55＝14 400(种)不同的排法．(4)方法一因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有A 15·A 77种不同的排法；如果首位排女生，有A 13种排法，这时末位就只能排男生，这样可有A 13·A 15·A 66种不同的排法．因此共有A 15·A 77＋A 13·A 15·A 66＝36 000(种)不同的排法．方法二 3个女生和5个男生排成一排有A 88种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A 23·A 66种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A 88－A 23·A 66＝36 000(种)不同的排法．(5)(顺序固定问题)因为8人排队，其中两人顺序固定，共有A 88A 22＝20 160(种)不同的排法．跟踪训练3 解 (1)可以组成9A 39＝4 536个四位数．适合题意的四位奇数共有A 15·A 18·A 28＝2 240(个)．(2)0到9这10个数字构成的三位数共有900个，分为三类：第1类：三位数字全相同，如111,222，…，999，共9个；第2类：三位数字全不同，共有9×9×8＝648(个)，第3类：由间接法可求出，只含有2个相同数字的三位数，共有900－9－648＝243(个)．例4 解分三类：第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C12·C12·C12·C12·A44种．第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C22·C22·A44种．第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C22·C22·A44种．故满足题意的所有不同的排法种数为C12·C12·C12·C12·A44＋2C22·C22·A44＝432.跟踪训练4 解(1)五位数中不含数字0.第1步，选出5个数字，共有C35C24种选法．第2步，排成偶数——先排末位数，有A12种排法，再排其他四位数字，有A44种排法．所以N1＝C35·C24·A12·A44.(2)五位数中含有数字0.第1步，选出5个数字，共有C35·C14种选法．第2步，排顺序又可分为两小类：①末位排0，有A11·A44种排列方法；②末位不排0.这时末位数有C11种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有A13种排法，其余3个数字则有A33种排法．所以N2＝C35·C14(A11·A44＋A13·A33)．所以符合条件的偶数个数为N＝N1＋N2＝C35C24A12A44＋C35C14(A11A44＋A13A33)＝4 560.例5 15解析先拿3个优秀名额分配给二班1个，三班2个，这样原问题就转化为将7个优秀名额分配到3个班级中，每个班级中至少分配到1个．利用“隔板法”可知，共有C26＝15(种)不同的分配方案．跟踪训练5 96解析用间接法：六个数字能构成的三位数共6×6×6＝216(个)，而无重复数字的三位数共有A36＝6×5×4＝120(个)．故所求的三位数的个数为216－120＝96.当堂训练1．14 2.2 520 3.48 4.36 5.90。

苏教版高中数学选修2-3§1.4 计数应用题(二).docx

§1.4计数应用题(二)课时目标1.利用排列、组合知识解决综合性的计数应用题.2.提高学生的应用意识和分析解决问题的能力．1．排列数公式：A m n＝________________；组合数公式：C m n＝A m nA m m＝________________.2．解决计数应用题，可以通过对位置和元素的性质进行分类，对完成事情的步骤进行分步．一、填空题1．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，则有______种取法；从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，则有________种取法．2．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作．若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有________种．3．用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成________个没有重复数字的四位数，可以组成________个没有重复数字的四位奇数．4．假设200件产品中有3件次品，现从中任取5件，则其中至少有2件次品的抽法有__________种．(用式子表示)5．有A，B，C，D，E共5人并排站在一起，如果A，B必须相邻，并在B在A的右边，那么不同的排法有______种．6．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________．(用式子表示)7．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．8．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种．二、解答题9．从6名运动员中选出4人参加4×100 m的接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则共有多少种不同的参赛方法？10．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：(1)一个唱歌节目开头，另一个压台；(2)两个唱歌节目不相邻；(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．能力提升11．某晚会已定好节目单，其中小品3个，歌舞2个，相声2个．后来由于情况有变，需加上诗歌朗诵和快板两个节目，但不能改变原先节目的相对顺序，问节目演出的方式可能有多少种？1．解计数应用题，分类标准要统一，防止出现遗漏或重复．2．对同一问题可多角度考虑，深入分析，相互验证，提高解题能力．1．4计数应用题(二)答案知识梳理1．n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！作业设计1．21 35解析从7个白球中取2个，再取1个黑球有C 27×1＝21(种)方法；从7个白球中取3个，有C 37＝35(种)方法．2．240解析先选从事翻译工作的有C 14种方法，再从剩余5人中选3人分别从事其他工作，有A 35种方法．∴共有方案C 14×A 35＝4×5×4×3＝240种．3．120 724．C 23C 3197＋C 33C 21975．24解析将B 放A 的右边且作为一个元素与C 、D 、E 全排即可，共有A 44＝24(种)排法．6．A 88A 29解析采用插空法，先排8名学生，共有A 88种方法；再在8名学生形成的9个空中排2位老师，有A 29种排法，∴共有排法：A 88×A 29种．7．126解析分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C 23×A 33＝18(种)；若有1人从事司机工作，则方案有C 13×C 24×A 33＝108(种)，所以共有18＋108＝126(种)．8．30解析方法一可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30(种)选法．方法二总共有C 37＝35(种)选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，故有30种选法．9．解分两类：若乙跑第一棒，共有A 35＝60(种)；若乙不跑第一棒，则跑第一棒的选择有C 14种，此时跑第四棒的选择有C 14种，余下的第二、三棒则在剩下的四人中选两人跑，有A 24种，所以有C 14C 14A 24＝192(种)．所以共有192＋60＝252(种)不同的参赛方法．10．解 (1)先排唱歌节目有A 22种排法，再排其他节目有A 66种排法，所以共有A 22·A 66＝1440(种)排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A 66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A 27种插入方法，所以共有A 66·A 27＝30 240(种)排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A 44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A 35种插入法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A 22种排法，由分步计数原理，符合要求的排法有：A 44·A 35·A 22＝2 880(种)．11．解方法一若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A 99种排法；但是原先的节目已经定好顺序，需要消除，故有A 99A 77＝A 29＝72(种)排法．方法二共有9个元素，9个空，先选2个空，安排朗诵和快板，有A 29种排法；再将剩下的空安排其他元素，由于顺序已定，故只有1种方法，则共有A 29C 77＝72(种)排法．。