固体物理第三章 课件

5、波矢 q 的取值、格波支数 的取值、
利用波恩—卡曼边界条件，波矢 的取值 利用波恩 卡曼边界条件，波矢q的取值 卡曼边界条件
2π q= m Na
波矢数 = 原胞数 N
m = 0 , ±1 , ±2 , ……
格波模式总数=原子总数 格波模式总数 原子总数 = 2 N
6、长波极限及其原子的振动
（1）长声学波 ） q 0, cos qa
内有一个M原子和一个 类原子。 内有一个 原子和一个m 类原子。 原子和一个
2n-1
2n 2n+1
2n+2
号原子,由虎克定律 第 2n号原子 由虎克定律 号原子
2n
β2
β1
β2
F2n-1
F2n
F2n1 = β2 (u2n u2n1 )
F2n+1 = β1 (u2n+1 u2n )
2n号原子的运动方程 号原子的运动方程
第三章 晶格振动
3.1 一维单原子晶格的振动 一、物理模型 的原子， 质量为 m 的原子，在平衡位置附近作简谐振 原子间近似于弹簧连接， 动，原子间近似于弹簧连接，弹簧力常数为 d 2U β（ β = ( 2 )平衡位置）。 （
dr
格波： 格波：晶体中所有原子在平衡位置附近作微小振 在晶体中形成格波。 动，在晶体中形成格波。格波在晶体中以 波的形式转播。 波的形式转播。
一、晶格简正振动 简正振动： 简正振动：每个原子以相同的频率振动的方式 简谐近似 ： 一个一维原子振动能 一个量子谐振子的能量 量子谐振子 谐振子的能量 一个一维原子振动能 一个量子谐振子能量为
≈
1 Ei = ni + ωi 2
N个原子的晶体振动总能量为 个原子的晶体振动总能量为
1 E = ∑ ni + ω i i =1 2
2π a =N < q < 内， q 点的取值数 点的取值数= a a 2π Na
点 π
2π 距离” “距离”为 Na
π
2π Na
π a
o
q πa
基矢a1、a2、a3方向的初基元胞数为N1、N2、 N3，晶体总的初基元胞数为N = N1 N2 N3， 每个元胞内有n个原子。 个原子。 a3 a1 m m m a2
2β aq = vAq ω = M+m 2β , a 线性色散关系声学波传播波速为 M+m
§3.2三维晶格振动 3.2三维晶格振动
1、关于波矢q 、关于波矢 （1）一维 ）
2π q= m Na
m q= b N
m = 0 , ±1 , ±2 ,..……
值对应一个q 波矢取分离值， 一个 m 值对应一个 点，波矢取分离值，均匀分布相邻 q
1 2
1 1 (qa)2 2
1 2
长声学 波具有线性 色散关系， 色散关系，与经典 弹性波一样。 弹性波一样。
如图， 例：一维双原子链结构 ，其色散关系为 如图
1 2 m 4M β (M + m) 2 2 sin qa ω± = 1 ± 1 2 M m ( M + m) 1 求：（）求色散关系
以上运动方程适合于体内的原子， 以上运动方程适合于体内的原子，而没 有考虑边界原子 波恩—卡曼周期性边界条件： 波恩 卡曼周期性边界条件：假设原子组 卡曼周期性边界条件 首尾相连。 成无限长的原子 链，首尾相连。
N 1 2
n+1 n
.
有
un = un+N
试探解代入上式
Ae
i (qna t )
= Ae
q=
1
N1
1
b1 +
2
N2
b2 +
3
N3
b3
m1、m2 、m3 = 0 , ±1 , ±2 , … m m 1 2
一组（ 一组（m 、m2、m3）确定一个波矢 q点， 点 分离值、均匀分布。 波矢 q 分离值、均匀分布。
qz
qqx <
π
a
,
π
a
< qy <
π
a
,
π
< qz < 内 a a
u2n = Ae
i (qna ω t ) i [q( na +b)ω t ]
unB = B′e
= Be
i (qna ω t )
关于A 把u2n、u2n+1代入以上两个运动方程 关于 、 B的两个方程 A、B非零解，系数行列式为 非零解， 的两个方程 非零解 系数行列式为0 色散关系ω(q) 色散关系
ω ωO ωA
π
2a
o
π
2a
q
(3) q → 0, sinqa → qa
1 2 m 4M β ( M + m) 2 2 (qa) ω = 1 1 2 M m ( M + m) 1 x 2 ≈ 1 ∵ x → 0, (1 x) 2 4M m 2β β ( M + m) 2 2 (qa) = 1 1 a2q2 ∴ ω = M m 2( M + m)2 M + m
d m 2 u2n = β1 (u 2n+1 u 2n ) β 2(u2n u2n1 ) dt
2
同理， 同理，2n+1号原子的运动方程为 号原子的运动方程为 F 2n
2
F2n+2
d m 2 u 2n+1= β2 (u 2n+2 u2n+1 ) β 1(u2n+1 u2n ) dt
3、试探解 、
(2) q = 0
2 声学支 ω = 0
光学支 ω =
2 +
β ( M + m)
M m
2β ( M + m) 1+ [1 0] = M m
1 2
q=±
π
2a
,
1 2 m β ( M + m) 4M 2 声学支 ω = 1 1 2 M m ( M + m) β ( M + m) M m 2β = 1 M + m = M M m 2β 2 光学支 ω+ = m
2 讨论色散关系， ； （ ）讨论色散关系，作图 3 限情况。 （ ）讨论其声学波长波极 限情况。
a M
a m
原子间力常数均为β 原子间力常数均为
a
2a 元胞 a M m
(1) β1 = β2
格常数为2a
1 2 16mM 1β2 β1 + β2 β 2 2 2 qa sin ω 由公式 = (m + M) ± (m + M) 2 2mM (β1 + β2 ) 2 1 2 2 2β 16mM β 2 2 2 sin (qa) 得： ω = (m + M) ± (m + M) 2 2mM 4β 1 2 2β (m + M) 4mM 2 2 sin (qa) ω = 1 ± 1 2 2mM (m + M)
二、运动方程
n=0 o n-1
a
n
n+1
n+2
x
t 时刻
un-1
un
un+1
选n=0原子的平衡位置为原点 o 原子的平衡位置为原点 t 时刻，第n-1、n、n+1原子离开平衡位置 时刻， 、 、 原子离开平衡位置 的位移为u 的位移为 n-1、un、un+1，由虎克定律 F = -β△u
第 n 个原子受到 第 n+1 个原子的作用力
ω =
色散关系为
ω ~ q 关系图
m 2 4β qa ω= sin m 2
ω
sin
2π a
. .
π
a
π
. .
a
2π a
3 π a
.
q
1、色散关系 为了使 ω 是q 的单值函数 < q ≤
ω ωm q
π
π
a
4β m
a
q=0 π q=±
π
a
π
a
a
ω=0 ωm =
ωm为截止频率
3、格波的速度
v =ω/q
(β + β Mω )A (β + β e )B = 0 (β + β e )A + (β + β mω )B = 0
2 iqa 1 2 1 2 iqa 2 1 2 1 2
(β
+ β2 Mω 2 1
iqa
)
(β1 + β2e iqa )
(β1 + β2e )
(β
1
+ β2 mω
2
)
=0
λβ πa v = sin π m λ
1 2
4、波矢 q 数 、
N个原子组成的一维单原子链 个原子组成的一维单原子链 在
2π Na
π
a
<q ≤
π
a
π
a
o
波矢 q 可取值数
π
a
2π 相邻 q 点距离 Na
2π a 2π Na
=
=N
原胞数） （N=原胞数） 原胞数
六、长波极限
qa qa sin → a﹤﹤λ , q ﹤﹤λ 0 2 2 4β qa 4β a ω= sin q =vq = m 2 m 2
i [q( n+ N )a t )]
e
iqNa
=1
(m = 0 , ±1, ± 2)
2π Na
2π q= m Na
2π 波矢q 的取值是分离的、均匀分布，相邻q的 距离” 波矢 的取值是分离的、均匀分布，相邻 的“距离”为 Na
o
q
五、色散关系、格波速度、波矢q 数 色散关系、格波速度、波矢q