2019年中考数学复习 第一章 数与式 第2讲 整式与因式分解精讲本
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2019年中考数学专题复习 第一单元 数与式 第02课时 整式及因式分解课件PPT
课前双基巩固
对点演练
题组一 教材题
1.[八上 P104 习题 14.1 第 1 题改编] 下面的计算,错误的
有( ) (1)b3·b3=2b3;
(2)x4·x4=x16;
(3)(a5)2=a7;
(4)(a3)2·a4=a9;
(5)(ab2)3=ab6;
(6)(-2a)2=-4a2.
A.3 个
B.4 个
课前双基巩固
运用公 式法
因式分 解的一 般步骤
a2-b2=③ (a+b)(a-b) ; a2+2ab+b2=④ (a+b)2 ; a2-2ab+b2=⑤ (a-b)2 ; x2+(p+q)x+pq=⑥ (x+p)(x+q) (1)提(提公因式); (2)套(套公式); (3)验(检验是否分解彻底)
课前双基巩固
单项式除以单项式,把系数与同底数幂分别
整式的 单项式除以单项式 相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的
除法
字母,则连同它的指数作为商的一个因式
多项式除以单项式 (am+bm)÷m=a+b
乘法 公式
平方差公式 完全平方公式
常用恒等变形
(a+b)(a-b)=⑧ a2-b2
(a±b)2=⑨ a2±2ab+b2 (1)a2+b2=⑩ (a+b)2-2ab =
(7)(a+b)2=a2+b2; ( )
(8)-2x(x-y)=-2x2-2xy; ( )
(9)(x+1)(3x-2)=3x2-x+2. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)× (7)× (8)× (9)×
2019年中考数学第一章数与式1.2整式与因式分解(讲解部分)素材
化的过程．
３．代数式的值：用具体数代替代数式中的④ 字母 ，按运算
顺序计算出的结果叫代数式的值． 求代数式的值分两步：代数；
计算．
４．代数式的分类
{ { ìï
ï有理式
⑤ 整式
单项式 ⑥ 多项式
代数式í îïï无理式
分式
考点二 整式及其运算
１．同类项：所含字母⑦ 相同 ，并且⑧ 相同 字母的指数也 相同的项叫同类项．
解析 （２ｘ－３） ２ －（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ） －ｙ２
４ ５ 年中考 ３ 年模拟
＝ ４ｘ２ －１２ｘ＋９－（ ｘ２ －ｙ２ ） －ｙ２ ＝ ３ｘ２ －１２ｘ＋９． ∵ ｘ２ －４ｘ－１ ＝ ０， ∴ ｘ２ －４ｘ ＝ １． ∴ 原式 ＝ ３（ ｘ２ －４ｘ） ＋９ ＝ ３×１＋９ ＝ １２．
变式训练 ３ 已知 ｘ－ｙ ＝ ３ ，求代数式（ ｘ＋１） ２ －２ｘ＋ｙ（ ｙ－２ｘ）
例 ２ （２０１７ 云南，９，４ 分） 下列计算正确的是
（ ）
Ａ．２ａ×３ａ ＝ ６ａ
Ｂ．（ －２ａ） ３ ＝ －６ａ３
Ｃ．６ａ÷（２ａ）＝ ３ａ
Ｄ．（ －ａ３ ） ２ ＝ ａ６
解析 ２ａ×３ａ ＝ ６ａ２ ，故 Ａ 错误；
（ －２ａ） ３ ＝ －８ａ３ ，故 Ｂ 错误；
６ａ÷（２ａ）＝ ３，故 Ｃ 错误；
§ １．２ 整式与因式分解
第一章 数与式 ３
１０
考点一 代数式
１．代数式的概念：用基本运算符号（ 加、减、乘、除、乘方、开
方等）把数与① 表示数的字母 连接而成的式子叫做代数式．
注：单独一个数或一个字母② 是 （ 填 “ 是” 或 “ 不是” ） 代
数式．
２．列代数式：找出数量关系，用表示数的③ 字母 将它数学
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对应训练
1.(2018·大庆)某商品打七折
A.a 元
10 B. 7 a
元
C.30%a 元
7 D.10a
元
2.(2018·吉林)买单价 3 元的圆珠笔 m 支，应付 3m 元.
代数式求值 1.直接代入法：若题目中给定字母的值，可直接代入求解. 2.整体代入法 (1)观察已知条件和所求代数式的关系 (2)将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，一般 会用到提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法 (3)把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值
题组训练 3.如图，从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的 小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形.根据图
形的变化过程写出的一个正确的等式是( D )
A.(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B.a(a－b)＝a2－ab C.(a－b)2＝a2－b2 D.a2－b2＝(a＋b)(a－b)
对应训练
3.(2018·贵阳)当 x＝－1 时，代数式 3x＋1 的值是( B )
A.－1 B.－2 C.4 D.－4 4.(2018·岳阳)已知 a2＋2a＝1，则 3(a2＋2a)＋2 的值
为5.
对应训练
5.单项式 2a 的系数是( A )
A.2 B.2a C.1 D.a
6.(2018·株洲)单项式 5mn2 的次数 3 .
题组训练
7.(2018·温州)分解因式：a2－5a＝ a(a－5) . 8.分解因式：x3－9x＝ x(x＋3)(x－3) . 9.分解因式：x3－4xy2＝ x(x＋2y)(x－2y) . 10.(2018·南通)分解因式：a3－2a2b＋ab2＝ a(a－b)2 .
1.(2018·荆州)下列代数式中，整式为( A )
解：原式＝a2－1－a2＋4a－4＝4a－5.
乘法公式及应用 例 3.(2018·衢州)有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因 为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了 如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋ b)2，
对于方案一，小明是这样验证的：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋ 2ab＋b2＝(a＋b)2
A.x＋1
1 B.x＋1
C. x2＋1
x＋1 D. x
2.(2018·宁波)下列计算正确的是( A )
A.a3＋a3＝2a3 C.a6÷a2＝a3
B.a3·a2＝a6 D.(a3)2＝a5
3.(2018·包头)如果 2xa＋1y 与 x2yb－1 是同类项，那么ba的值
是( C )
1
3
A.2
B.2
整式的运算
例 1.(2018·南充)下列计算正确的是( D )
A.－a4b÷a2b＝－a2b
B.(a－b)2＝a2－b2
C.a2·a3＝a6
D.－3a2＋2a2＝－a2
例 2.(a2b－2ab2－b3)÷b－(a－b)2.
解：原式＝a2－2ab－b2－a2＋2ab－b2＝－2b2.
题组训练 1.(2018·温州)化简：(m＋2)2＋4(2－m). 解：(m＋2)2＋4(2－m)＝m2＋4m＋4＋8－4m＝m2＋12. 2.(2018·江西)计算：(a＋1)(a－1)－(a－2)2.
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程. 方案二： 方案三：
解：由题意可得，方案二：a2＋ab＋(a＋b)b＝a2＋ab＋ ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2； 方案三：a2＋[a＋(a2＋b)]b＋[a＋(a2＋b)]b＝a2＋ab＋12b2＋ab ＋12b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
7.多项式 2a2b－ab2－ab 的项数及次数分别是( A )
A.3,3 B.3,2 C.2,3 D.2,2 8.单项式 9xmy3 与单项式 4x2yn 是同类项，则 m＋n 的
值是( D )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.(2018·杭州)计算：a－3a＝ -2a .
对应训练
10.计算：2(x－y)＋3y＝ 2x＋y . 11.化简：(7a－5b)－(4a－3b)＝ 3a－2b .
解：原式＝x2－2x＋1＋3x－x2＝x＋1，当 x＝－12时， 原式＝－12＋1＝12.
因式分解 例 5.(1)(2018·杭 州 ) 因 式 分 解 ： (a － b)2 － (b － a)
＝ (a－b)(a－b＋1) . (2)(2018·绍兴)因式分解：4x2－y2＝ (2x＋y)(2x－y) .
12.(2018·温州)计算 a6·a2 的结果是( C )
A.a3 B.a4 C.a8 D.a12
13.(2018·安徽)下列运算正确的是( D )
A.(a2)3＝a5
B.a4·a2＝a8
C.a6÷a3＝a2
D.(ab)3＝a3b3
14.(2018·天津)计算 2x4·x3 的结果等于 2x7 .
简，去括号合并得到最简结果，再把 a 与 b 的值代入计算即
可. 解：原式＝a2－4b2－a2＋4ab－4b2＋8b2＝4ab， 当 a＝－2，b＝12时，原式＝－4.
题组训练
5.已知 x2＋x－5＝0，则代数式(x－1)2－x(x－3)＋(x＋
2)(x－2)的值为 2
.
6.(2018·宁波)先化简，再求值：(x－1)2＋x(3－x)，其中 x ＝－12.
15.计算 2x(3x2＋1)，正确的结果是( C )
A.5x3＋2x
B.6x3＋1
C.6x3＋2x
D.6x2＋2x
16.计算(x＋1)(x＋2)的结果为( B )
A.x2＋2
B.x2＋3x＋2
C.x2＋3x＋3
D.x2＋2x＋2
17.计算：10ab3÷(－5ab)＝ －2b2 .
18.(2018·金华)化简(x－1)(x＋1)的结果是 x2－1 .
19.运用乘法公式计算(x＋3)2 的结果是( C )
A.x2＋9
B.x2－6x＋9
C.x2＋6x＋9
D.x2＋3x＋9
对应训练
20.(2018·嘉兴)分解因式：m2－3m＝ m(m－3). 21.分解因式：x2y－y＝ y(x＋1)(x－1) . 22.(2018·广东)分解因式：x2－2x＋1＝ (x－1)2 .
C.1
D.3
4.(2018·安徽)下列分解因式正确的是( C )
A.－x2＋4x＝－x(x＋4) B.x2＋xy＋x＝x(x＋y) C.x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2 D.x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)
5.下列计算正确的是( D )
A.(a＋2)(a－2)＝a2－2 B.(a＋1)(a－2)＝a2＋a－2 C.(a＋b)2＝a2＋b2 D.(a－b)2＝a2－2ab＋b2
4.如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为 3 的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形
(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是 a＋6 .
整式的化简求值
例 4.(2018·邵阳)先化简，再求值：(a－2b)(a＋2b)－(a－
2b)2＋8b2，其中 a＝－2，b＝12. 【思路方法】先利用平方差公式，以及完全平方公式化
(3)(－a2)3＝ －a6 ；
(4)(－2m3)2＝ 4m6 ； (5)(－3a2b)3＝ －27a6b3 ；
(6)(－12ab2)2＝
.
中考失分点 4：因式分解常见错误
(1)3x2－6xy＋x＝ x(3x－6y＋1) ； (2)100x2－4＝ 4(5x＋1)(5x－1) ； (3)4a2－9b2＝ (2a＋3b)(2a－3b；) (4)x4－x2＝ x2(x＋1)(x－1) .
6. 若 代 数 式 x2 ＋ kx ＋ 25 是 一 个 完 全 平 方 式 ， 则 k
＝ ±10 . 7.(2018·黄石)分解因式：x3y－xy3＝ xy(x＋y)(x－y) .
8.已知 a2＋a＝1，则代数式 3－a－a2 的值为 2 .
中考失分点 3：混淆幂的运算法则
(1)a2·(－a)3＝ －a5 ； (2)3m6÷m2＝ 3m4 ；
1.(2018·大庆)某商品打七折
A.a 元
10 B. 7 a
元
C.30%a 元
7 D.10a
元
2.(2018·吉林)买单价 3 元的圆珠笔 m 支，应付 3m 元.
代数式求值 1.直接代入法：若题目中给定字母的值，可直接代入求解. 2.整体代入法 (1)观察已知条件和所求代数式的关系 (2)将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，一般 会用到提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法 (3)把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值
题组训练 3.如图，从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的 小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形.根据图
形的变化过程写出的一个正确的等式是( D )
A.(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B.a(a－b)＝a2－ab C.(a－b)2＝a2－b2 D.a2－b2＝(a＋b)(a－b)
对应训练
3.(2018·贵阳)当 x＝－1 时，代数式 3x＋1 的值是( B )
A.－1 B.－2 C.4 D.－4 4.(2018·岳阳)已知 a2＋2a＝1，则 3(a2＋2a)＋2 的值
为5.
对应训练
5.单项式 2a 的系数是( A )
A.2 B.2a C.1 D.a
6.(2018·株洲)单项式 5mn2 的次数 3 .
题组训练
7.(2018·温州)分解因式：a2－5a＝ a(a－5) . 8.分解因式：x3－9x＝ x(x＋3)(x－3) . 9.分解因式：x3－4xy2＝ x(x＋2y)(x－2y) . 10.(2018·南通)分解因式：a3－2a2b＋ab2＝ a(a－b)2 .
1.(2018·荆州)下列代数式中，整式为( A )
解：原式＝a2－1－a2＋4a－4＝4a－5.
乘法公式及应用 例 3.(2018·衢州)有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因 为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了 如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋ b)2，
对于方案一，小明是这样验证的：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋ 2ab＋b2＝(a＋b)2
A.x＋1
1 B.x＋1
C. x2＋1
x＋1 D. x
2.(2018·宁波)下列计算正确的是( A )
A.a3＋a3＝2a3 C.a6÷a2＝a3
B.a3·a2＝a6 D.(a3)2＝a5
3.(2018·包头)如果 2xa＋1y 与 x2yb－1 是同类项，那么ba的值
是( C )
1
3
A.2
B.2
整式的运算
例 1.(2018·南充)下列计算正确的是( D )
A.－a4b÷a2b＝－a2b
B.(a－b)2＝a2－b2
C.a2·a3＝a6
D.－3a2＋2a2＝－a2
例 2.(a2b－2ab2－b3)÷b－(a－b)2.
解：原式＝a2－2ab－b2－a2＋2ab－b2＝－2b2.
题组训练 1.(2018·温州)化简：(m＋2)2＋4(2－m). 解：(m＋2)2＋4(2－m)＝m2＋4m＋4＋8－4m＝m2＋12. 2.(2018·江西)计算：(a＋1)(a－1)－(a－2)2.
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程. 方案二： 方案三：
解：由题意可得，方案二：a2＋ab＋(a＋b)b＝a2＋ab＋ ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2； 方案三：a2＋[a＋(a2＋b)]b＋[a＋(a2＋b)]b＝a2＋ab＋12b2＋ab ＋12b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
7.多项式 2a2b－ab2－ab 的项数及次数分别是( A )
A.3,3 B.3,2 C.2,3 D.2,2 8.单项式 9xmy3 与单项式 4x2yn 是同类项，则 m＋n 的
值是( D )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.(2018·杭州)计算：a－3a＝ -2a .
对应训练
10.计算：2(x－y)＋3y＝ 2x＋y . 11.化简：(7a－5b)－(4a－3b)＝ 3a－2b .
解：原式＝x2－2x＋1＋3x－x2＝x＋1，当 x＝－12时， 原式＝－12＋1＝12.
因式分解 例 5.(1)(2018·杭 州 ) 因 式 分 解 ： (a － b)2 － (b － a)
＝ (a－b)(a－b＋1) . (2)(2018·绍兴)因式分解：4x2－y2＝ (2x＋y)(2x－y) .
12.(2018·温州)计算 a6·a2 的结果是( C )
A.a3 B.a4 C.a8 D.a12
13.(2018·安徽)下列运算正确的是( D )
A.(a2)3＝a5
B.a4·a2＝a8
C.a6÷a3＝a2
D.(ab)3＝a3b3
14.(2018·天津)计算 2x4·x3 的结果等于 2x7 .
简，去括号合并得到最简结果，再把 a 与 b 的值代入计算即
可. 解：原式＝a2－4b2－a2＋4ab－4b2＋8b2＝4ab， 当 a＝－2，b＝12时，原式＝－4.
题组训练
5.已知 x2＋x－5＝0，则代数式(x－1)2－x(x－3)＋(x＋
2)(x－2)的值为 2
.
6.(2018·宁波)先化简，再求值：(x－1)2＋x(3－x)，其中 x ＝－12.
15.计算 2x(3x2＋1)，正确的结果是( C )
A.5x3＋2x
B.6x3＋1
C.6x3＋2x
D.6x2＋2x
16.计算(x＋1)(x＋2)的结果为( B )
A.x2＋2
B.x2＋3x＋2
C.x2＋3x＋3
D.x2＋2x＋2
17.计算：10ab3÷(－5ab)＝ －2b2 .
18.(2018·金华)化简(x－1)(x＋1)的结果是 x2－1 .
19.运用乘法公式计算(x＋3)2 的结果是( C )
A.x2＋9
B.x2－6x＋9
C.x2＋6x＋9
D.x2＋3x＋9
对应训练
20.(2018·嘉兴)分解因式：m2－3m＝ m(m－3). 21.分解因式：x2y－y＝ y(x＋1)(x－1) . 22.(2018·广东)分解因式：x2－2x＋1＝ (x－1)2 .
C.1
D.3
4.(2018·安徽)下列分解因式正确的是( C )
A.－x2＋4x＝－x(x＋4) B.x2＋xy＋x＝x(x＋y) C.x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2 D.x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)
5.下列计算正确的是( D )
A.(a＋2)(a－2)＝a2－2 B.(a＋1)(a－2)＝a2＋a－2 C.(a＋b)2＝a2＋b2 D.(a－b)2＝a2－2ab＋b2
4.如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为 3 的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形
(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是 a＋6 .
整式的化简求值
例 4.(2018·邵阳)先化简，再求值：(a－2b)(a＋2b)－(a－
2b)2＋8b2，其中 a＝－2，b＝12. 【思路方法】先利用平方差公式，以及完全平方公式化
(3)(－a2)3＝ －a6 ；
(4)(－2m3)2＝ 4m6 ； (5)(－3a2b)3＝ －27a6b3 ；
(6)(－12ab2)2＝
.
中考失分点 4：因式分解常见错误
(1)3x2－6xy＋x＝ x(3x－6y＋1) ； (2)100x2－4＝ 4(5x＋1)(5x－1) ； (3)4a2－9b2＝ (2a＋3b)(2a－3b；) (4)x4－x2＝ x2(x＋1)(x－1) .
6. 若 代 数 式 x2 ＋ kx ＋ 25 是 一 个 完 全 平 方 式 ， 则 k
＝ ±10 . 7.(2018·黄石)分解因式：x3y－xy3＝ xy(x＋y)(x－y) .
8.已知 a2＋a＝1，则代数式 3－a－a2 的值为 2 .
中考失分点 3：混淆幂的运算法则
(1)a2·(－a)3＝ －a5 ； (2)3m6÷m2＝ 3m4 ；