2013年高三第一轮复习理科数学 导数的计算及其几何意义
高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第13讲导数的意义及运算课件文
＝6.
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【规律方法】求函数的导数时，要准确地把函数分割为基
本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数，对于不具
备求导法则的结构形式要进行适当的恒等变形(biàn xíng).注意求函数的
导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自
变量是什么，对谁求导，如f(x)＝x2＋sinα的自变量为x，而f(α)
__________．
解析：∵f′(x)＝a(1＋lnx)，∴f′(1)＝a＝3.
答案：3
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(3) 已知函数(hánshù) f(x) 的导函数(hánshù)为 f′(x) ，且满足 f( 2x·f′(2)，则 f′(5)＝________.
解析(jiě xī)：对 f(x)＝3x2＋2xf′(2)求导，得 f′(x)＝6x＋2f′(2)． 令 x＝2，得 f′(2)＝－12.再令x＝5，得 f′(5)＝6×5＋2f′(2)
B．－2C．11 D．2 Nhomakorabea解
析
：
∵
f′(x0)
＝
lim
k 0
f[x0＋－k]－fx0 －k
＝
2(Δx
＝
－
k)
，
∴lim k 0
fx0－k2k－fx0＝－12
lim
k 0
f[x0＋－－kk]－fx0＝－12f′(x0)＝
－12×2＝－1.
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考点(kǎo 导di数ǎn)(d2ǎo shù)的计算
uvxx′＝u′xv[xv－xu]2xv′x[v(x)≠0].
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1．已知函数(hánshù) f(x)＝4π2x2，则 f′(x)＝(C )
高考数学一轮复习05 高三第5讲 复习 导数的计算及其几何意义
第5讲导数的计算及其几何意义考点1：导数基本知识导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx=x1−x0，Δy=y1−y0=f(x1)−f(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)，则当Δx≠0时，商f(x0+Δx)−f(x0)Δx =ΔyΔx称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+Δx]（或[x0+Δx，x0]）的平均变化率．2. 函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数y=f(x)在x0附近有定义，当自变量在x=x0附近改变量为Δx时，函数值相应的改变Δy=f(x0+Δx)−f(x0)．如果当Δx趋近于0时，平均变化率ΔyΔx =f(x0+Δx)−f(x0)Δx趋近于一个常数l（也就是说平均变化率与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．“当Δx趋近于零时，f(x0+Δx)−f(x0)Δx趋近于常数l”可以用符号“→”记作：“当Δx→0时，f(x0+Δx)−f(x0)Δx →l”，或记作“limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=l”，符号“→”读作“趋近于”．函数在x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在x=x0处的导数，并记作f′(x0)．这时又称f(x)在x=x0处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当Δx→0时，f(x0+Δx)−f(x0)Δx→f′(x0)”或“limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f′(x0)”．3. 可导与导函数：如果f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数．记为f′(x)或y′（或y x′）．4. 导数的几何意义：设函数y=f(x)的图象如图所示：AB为过点A(x0,f(x0))与B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线．由此割线的斜率是ΔyΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线过点A的切线，即lim Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=切线AD的斜率．由导数的几何意义可知，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．5. 在点(x0，f(x0))处的切线方程与过点a，b的切线方程(1)函数y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)；(2)函数y=f(x)过点(a，b)的切线方程此时(a，b)可能是切点，也可能不是切点；因此设切点为(t，f(t))，求出在(t，f(t))处切线方程y−f(t)=f′(t)(x−t)代入(a，b)，得b−f(t)=f′(t)(a−t)，解出t，再代入y−f(t)=f′(t)(x−t)即可．典例精讲【典例1】已知函数f （x ）＝﹣x 4+2ax 2+（a ﹣1）x 为偶函数，则f （x ）的导函数f ′（x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数f （x ）为偶函数求得a 的值，再求出f （x ）的导函数f ′（x ）， 利用导数判断f ′（x ）的单调性与极值，从而得出函数f ′（x ）的大致图象．【解答】解：函数f （x ）＝﹣x 4+2ax 2+（a ﹣1）x 为偶函数， 则a ﹣1＝0，解得a ＝1，∴f （x ）＝﹣x 4+2x 2，∴f ′（x ）＝﹣4x 3+4x ； 设g （x ）＝f ′（x ），则g ′（x ）＝﹣12x 2+4， 令g ′（x ）＝0，解得x ＝±√33， ∴当0＜x ＜√33时，g ′（x ）＞0， 当x ＞√33时，g ′（x ）＜0； ∴g （x ）在x =√33时取得极大值为 g （√33）＝﹣4×(√33)3+4×√33=8√39＜2， ∴导函数f ′（x ）的图象大致为选项A 所示．故选：A ． 【点评】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数研究函数的图象和性质的应用问题，是中档题．【典例2】若过点P （﹣1，m ）可以作三条直线与曲线C ：y ＝xe x相切，则m 的取值范围是（ ）A ．（−3e 2，+∞） B ．（−1e ，0）C ．（0，+∞）D ．（−3e 2，−1e ）【分析】求指数函数的导数，利用导数的几何意义列出方程． 【解答】解：设切点为（x 0，y 0），过点P 的切线方程为y =(x 0+1)e x 0(x−x 0)+x 0e x 0，代入点P 坐标化简为m =(−x 02−x 0−1)e x 0，即这个方程有三个不等根即可，令f(x)=(−x 20−x 0−1)e x 0，求导得到f ′（x ）＝（﹣x ﹣1）（x +2）e x，函数在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞） 上单调递减，故得到f （﹣2）＜m ＜f （﹣1），即(−3e 2，−1e )故选：D ．【点评】本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键．【典例3】过点P （0，﹣1）作曲线C ：y ＝lnx 的切线，切点为A 1，设A 1在y 轴上的投影是点B 1，过点B 1再作曲线C 的切线，切点为A 2，设A 2在y 轴上的投影是点B 2，…，依次下去，得到第n （n ∈N *）个切点An ，则点A n 的坐标为 （e n ﹣1，n ﹣1） ． 【分析】设A 1（x 1，lnx 1），可得切线方程代入点P 坐标，可解得x 1＝1，即A 1（1，0），B 1（0，0），在写切线方程代入点B 1（0，0），可得A 2（e ，1），B 2（0，1），… 由此可得推得规律，从而可得结论．【解答】解：设A 1（x 1，lnx 1），此处的导数值为1x 1，故切线方程为y ﹣lnx 1=1x 1（x ﹣x 1），代入点P （0，﹣1）可得﹣1﹣lnx 1=1x 1（0﹣x 1），解得x 1＝1，即A 1（1，0），B 1（0，0），同理可得过点B 1再作曲线C 的切线方程为y ﹣lnx 2=1x 2（x ﹣x 2），代入点B 1（0，0），可得0﹣lnx 2=1x 2（0﹣x 2），可解得x 2＝e ，故A 2（e ，1），B 2（0，1），…依次下去，可得A n 的坐标为（e n ﹣1，n ﹣1）故答案为：（e n ﹣1，n ﹣1）【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，归纳推理是解决问题的关键，属中档题．【典例4】已知实数a ，b 满足ln （b +1）+a ﹣3b ＝0，实数c ，d 满足2d ﹣c −√5=0，则（a﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为 1 ．【分析】问题转化为曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0与直线2x ﹣y −√5上的两点之间距离的最小值．利用导数的意义可得：与曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0相切，而与直线2x ﹣y −√5平行的直线方程，即可得出．【解答】解：问题转化为曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0与直线2x ﹣y −√5上的两点之间距离的最小值．y ＝f （x ）＝3x ﹣ln （x +1），f ′（x ）＝3−1x+1，令3−1x+1=2，解得x ＝0，可得切点P （0，0）．点P 到直线2x ﹣y −√5的距离l =√5|5=1．∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了导数的应用、直线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【典例5】已知f（x）＝alnx+12x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1] B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞2恒成立”转换成当x＞0时，f'（x）≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立f'（x）=ax+x≥2在（0，+∞）上恒成立则a≥（2x﹣x2）max＝1故选：D．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与化归的数学思想．【典例6】已知函数y＝f（x）（x∈R）上任一点（x0，f（x0））处的切线斜率k＝（x0﹣3）（x0+1）2，则该函数的单调递增区间为[3，+∞）．【分析】由题意可求得导数f′（x），解不等式f′（x）＞0即得函数的递曾区间．【解答】解：由题意知，函数f（x）在任一点处的导数f′（x）＝（x﹣3）（x+1）2，令（x﹣3）（x+1）2＞0，解得x＞3，所以函数的单调递增区间为[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查导数的几何意义及不等式的解法，属基础题，准确理解导数的几何意义是解题的关键．考点2：导数运算一、导数的运算1. 导数公式表2. 复合函数的导数复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量的导数的乘积．即 设y =f(u)，u =g(x)，则y ′x =f ′(u)⋅g ′(x)． 3. 导数的四则运算(1)(f(x)+g(x))′=f ′(x)+g ′(x)，即两个函数和的导数，等于两个函数的导数的和． (2)(f(x)−g(x))′=f ′(x)−g ′(x)，即两个函数差的导数，等于两个函数的导数的差． (3)[f(x)g(x)]′=f ′(x)g(x)+f(x)g ′(x)，即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数． (4)[f(x)g(x)]′=g(x)f ′(x)−f(x)g ′(x)g 2(x)(g(x)≠0)，即两个可导函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．二、导函数与原函数的关系1．导函数的图像对于非基本初等函数以及无法通过平移和伸缩做出图形的函数，可以采用考察特殊点与求导相结合的方法做出该函数的大致图像，考察特殊点可以研究该函数与坐标轴的交点，然后利用求导研究该函数单调性的方法得出函数的增减走向，进而大体勾画出函数的图像．2、求导公式的逆用导函数与原函数的关系密切透过导函数的符号可以反映原函数的增减性，据此，可以通过配凑等方法构造某一函数的导函数并判断其符号，进而得到原函数的增减性．典例精讲【典例1】已知函数3()1x f x x e =-，则它的导函数()f x '等于( ) A ．23x x eB ．2x x e (3)x +C ．2(3)1x x e x +-D ．231x x e -【分析】根据题意，有导数的计算公式可得数3()()x f x x e '='-（1）33()()x x x e x e '='+'，化简变形即可得答案．【解答】解：根据题意，函数3()1x f x x e =-，其导数3()()x f x x e '='-（1）33232()()3x x x x x x e x e x e x e x e '='+'=+=(3)x +； 故选：B ．【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题． 【典例2】设函数F （x ）=f(x)e x是定义在R 上的函数，其中f （x ）的导函数为f '（x ），满足f '（x ）＜f （x ）对于x ∈R 恒成立，则（ ）A ．f （2）＞e 2f （0），f （2 017＞e 2017f （0）B ．f （2）＞e 2f （0），f （2 017）＜e 2017f （0）C ．f （2）＜e 2f （0），f （2 017）＞e 2017f （0）D ．f （2）＜e 2f （0），f （2 017）＜e 2017f （0）【分析】对f （x ）求导，利用f '（x ）＜f （x ）得到单调性，利用单调性求2与0以及2017与0的函数值的大小． 【解答】解：F '（x ）＝[f(x)e x]'=f ′(x)e x −f(x)e x(e x )2=f ′(x)−f(x)e x，因为f '（x ）＜f （x ），所以F '（x ）＜0，所以F （x ）为减函数，因为2＞0，2017＞0， 所以F （2）＜F （0），F （2017）＜F （0）， 即f(2)e 2＜f(0)e 0，所以f （2）＜e 2f （0）； f(2017)e 2017＜f(0)e 0，即f （2017）＜e2017f （0）；故选：D ．【点评】本题考查了利用函数的单调性判断函数值的大小关系；关键是正确判断F （x ）的单调性，并正确运用．【典例3】已知函数f(x)=2e x +1+sinx ，其导函数记为f ′（x ），则f （2016）+f （﹣2016）+f ′（2016）﹣f ′（﹣2016）的值为 2 ．【分析】利用导数的公式和导数的运算法，探究一下之间的关系，即可得到结论． 【解答】解：函数f(x)=2e x +1+sinx ，则f （﹣x ）=2e x1+e x −sin x ；f ′（x ）=−2e x(1+e x )2+cos x ，f′(−x)=−2e x(1+e x)2+cos x，∵f′（x）﹣f′（﹣x）＝0，f（x）+f（﹣x）＝2．∴f（2016）+f（﹣2016）+f′（2016）﹣f′（﹣2016）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了导数的公式的运用，简单复合函数求导的能力，同时要求有一定的化简能力和计算能力．探究其之间的关系．属于中档题．【典例4】已知函数f（x）=lnxx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为 1 ．【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得f′（x），将x＝1代入可得f′（1）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=lnxx，则f′（x）=(lnx)′x−lnx(x)′x2=1−lnxx2，则f′（1）=1−ln11=1；故答案为：1．【点评】本题考查导数的计算，关键是正确计算函数f（x）的导数．【典例5】如图，函数y＝f（x）的图象在点P（4，f（4））处的切线方程是y＝﹣2x+9，则f（4）+f′（4）的值为﹣1 ．【分析】由函数在点P（4，f（4））处的切线方程得到切线的斜率，即f′（4），再由切线方程求出f（4）的值，则答案可求．【解答】解：由图可知，f′（4）＝﹣2，且f（4）＝﹣2×4+9＝1，∴f（4）+f′（4）＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．【典例6】设函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）＝5x3+2xf′（1），则f′（3）＝105【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x＝1代入导函数中，列出关于f'（1）的方程，进而得到f'（1）的值，再求出f′（3）即可【解答】解：求导得：f′（x）＝15x2+2f′（1），令x＝1，得到f′（1）＝15+2f′（1），解得：f′（1）＝﹣15，∴f′（3）＝15×9+2×（﹣15）＝105，故答案为：105．【点评】本题主要考查了导数的运算，运用求导法则得出函数的导函数，求出常数f '（1）的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键．【典例7】若函数()f x 满足321()(1)23f x x f x x '=-+，则f '（2）的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】可以得出2()2f x x f '=-'（1）2x +，进而求出f '（1）1=，从而得出导函数2()22f x x x '=-+，将x 换上2即可得出f '（2）的值． 【解答】解：2()2f x x f '=-'（1）2x +，f ∴'（1）12f =-'（1）2+，解得f '（1）1=，2()22f x x x ∴'=-+， f ∴'（2）4422=-+=．故选：C ．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．综合练习一．选择题（共5小题）1．已知函数f （x ）＝e x+ax 2（a ∈R ），若曲线y ＝f （x ）在点 P （m ，f （m ））（m ＞1）处的切线为l ，且直线l 在y 轴上的截距小于1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（−12，+∞） B ．[﹣1，+∞） C ．[−12，+∞） D ．（﹣1，−12）【分析】求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和方程，令x ＝0，可得切线在y 轴上的截距，再由不等式恒成立思想，运用参数分离和构造函数法，求得范围，即可得到所求范围．【解答】解：函数f （x ）＝e x +ax 2的导数为f ′（x ）＝e x+2ax ，可得曲线y ＝f （x ）在点 P （m ，f （m ））（m ＞1）处的切线斜率为e m+2am ，即有切线的方程为y ﹣（e m +am 2）＝（e m+2am ）（x ﹣m ），可令x ＝0可得y ＝e m ﹣me m ﹣am 2，由题意可得e m ﹣me m ﹣am 2＜1对m ＞1恒成立， 则a ＞e m −me m −1m 2，由g （m ）=e m −me m −1m 2+1=e m −me m −1+m 2m 2，由e m﹣me m﹣1+m 2＝（1﹣m ）（e m﹣1﹣m ）， 由m ＞1可得1﹣m ＜0，由y ＝e x ﹣1﹣x 的导数为y ′＝e x﹣1，当x ＞0时，y ′＞0，函数y 递增；当x ＜0时，y ′＜0，函数y 递减，可得y ＝e x ﹣1﹣x 的最小值为e 0﹣1﹣0＝0，可得m ＞1时，e m﹣1﹣m ＞0，则（1﹣m ）（e m﹣1﹣m ）＜0，即g （m ）＜0， 则e m −me m −1m 2＜−1恒成立，可得a ≥﹣1，即a 的范围是[﹣1，+∞）． 故选：B ．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．2．已知函数f （x ）＝﹣x 4+2ax 2+（a ﹣1）x 为偶函数，则f （x ）的导函数f ′（x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数f （x ）为偶函数求得a 的值，再求出f （x ）的导函数f ′（x ）， 利用导数判断f ′（x ）的单调性与极值，从而得出函数f ′（x ）的大致图象．【解答】解：函数f （x ）＝﹣x 4+2ax 2+（a ﹣1）x 为偶函数， 则a ﹣1＝0，解得a ＝1，∴f （x ）＝﹣x 4+2x 2，∴f ′（x ）＝﹣4x 3+4x ； 设g （x ）＝f ′（x ），则g ′（x ）＝﹣12x 2+4， 令g ′（x ）＝0，解得x ＝±√33， ∴当0＜x ＜√33时，g ′（x ）＞0， 当x ＞√33时，g ′（x ）＜0； ∴g （x ）在x =√33时取得极大值为 g （√33）＝﹣4×(√33)3+4×√33=8√39＜2， ∴导函数f ′（x ）的图象大致为选项A 所示． 故选：A ． 【点评】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数研究函数的图象和性质的应用问题，是中档题．3．设函数f （x ）在x ＝1处存在导数为2，则lim △x→0f(1+△x)−f(1)3△x=（ ）A ．2B ．1C ．23D ．6【分析】根据题意，由极限的性质可得lim△x→0f(1+△x)−f(1)3△x=13×lim△x→0f(1+△x)−f(1)△x=13×f ′（1），据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f （x ）在x ＝1处存在导数为2，即f ′（1）＝2， 则lim△x→0f(1+△x)−f(1)3△x=13×lim△x→0f(1+△x)−f(1)△x=13×f ′（1）=23；故选：C ．【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的计算，属于基础题． 4．函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x ∈（0，+∞），f [f （x ）﹣lnx ]＝e +1，则方程f （x ）﹣f ′（x ）＝e （其中e 为自然对数的底数）的解所在的区间是（ ） A ．（0，12） B ．（12，1） C ．（1，2） D ．（2，3）【分析】由设t＝f（x）﹣lnx，则f（x）＝lnx+t，又由f（t）＝e+1，求出f（x）＝lnx+e，则方程f（x）﹣f′（x）＝e的解可转化成方程lnx−1x=0的解，根据零点存在定理即可判断．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]＝e+1，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣lnx为定值，设t＝f（x）﹣lnx，则f（x）＝lnx+t，又由f（t）＝e+1，即lnt+t＝e+1，解得：t＝e，则f（x）＝lnx+e，f′（x）=1x，∴f（x）﹣f′（x）＝lnx+e−1x=e，即lnx−1x=0，则方程f（x）﹣f′（x）＝e的解可转化成方程lnx−1x=0的解，令h（x）＝lnx−1x，而h（2）＝ln2−12＞0，h（1）＝ln1−11＜0，∴方程lnx−1x=0的解所在区间为（1，2），∴方程f（x）﹣f′（x）＝e的解所在区间为（1，2），故选：C．【点评】本题考查了导数的运算和零点存在定理，关键是求出f（x），属于中档题．5．已知函数f（x）=2e+1+sin x，其中f′（x）为函数f（x）的导数，求f（2018）+f（﹣2018）+f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝（）A．2 B．2019 C．2018 D．0【分析】化函数f（x）＝sin x+1−e x1+e x +1，设g（x）＝sin x+1−e x1+e x，判断g（x）为奇函数，求出f（﹣x）+f（x）的值；再判断g′（x）为偶函数，求出f′（x）﹣f′（﹣x）的值．【解答】解：函数f（x）=2e x+1+sin x＝sin x+1−e x1+e x+1，设g（x）＝sin x+1−e x1+e x，则g（﹣x）＝sin（﹣x）+1−e −x1+e−x =−（sin x+1−e x1+e x）＝﹣g（x），即g （﹣x ）+g （x ）＝0，即f （﹣x ）+f （x ）＝2，则f （2018）+f （﹣2018）＝g （2018）+1+g （﹣2018）+1＝2； 又f ′（x ）＝g ′（x ），由g （x ）为奇函数，则g ′（x ）为偶函数，可得f ′（2019）﹣f ′（﹣2019）＝g ′（2019）﹣g ′（﹣2019）＝0， 即有f （2018）+f （﹣2018）+f ′（2019）﹣f ′（﹣2019）＝2． 故选：A ．【点评】本题考查了函数的奇偶性与对应导数的奇偶性问题，是中档题．二．填空题（共3小题）6．已知实数a ，b 满足ln （b +1）+a ﹣3b ＝0，实数c ，d 满足2d ﹣c −√5=0，则（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为 1 ．【分析】问题转化为曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0与直线2x ﹣y −√5上的两点之间距离的最小值．利用导数的意义可得：与曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0相切，而与直线2x ﹣y −√5平行的直线方程，即可得出．【解答】解：问题转化为曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0与直线2x ﹣y −√5上的两点之间距离的最小值．y ＝f （x ）＝3x ﹣ln （x +1），f ′（x ）＝3−1x+1，令3−1x+1=2，解得x ＝0，可得切点P （0，0）．点P 到直线2x ﹣y −√5的距离l =√5|√5=1．∴（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了导数的应用、直线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．函数f （x ）＝x 3﹣（a ﹣1）x 2+（a ﹣3）x 的导函数f '（x ）是偶函数，则实数a ＝ 1 ． 【分析】先求出函数的导数，再利用偶函数的性质f （﹣x ）＝f （x ）建立等式关系，解之即可．【解答】解：对f （x ）＝x 3﹣（a ﹣1）x 2+（a ﹣3）x 求导，得 f '（x ）＝3x 2﹣2（a ﹣1）x +（a ﹣3），又f ′（x ）是偶函数，即f ′（x ）＝f ′（﹣x ）， 代入，可得： 3x 2﹣2（a ﹣1）x +（a ﹣3）＝3x 2+2（a ﹣1）x +（a ﹣3）， 化简得a ＝1， 故答案为：1．【点评】考查了偶函数的概念，以及将偶函数与函数的求导结合在一起． 8．若函数f （x ）满足f ′(x)−f(x)e x=2x ，f （0）＝1，则当x ＞0时，f ′(x)f(x)的取值范围是 （1，2] ．【分析】构造函数，结合条件求出函数f （x ）的解析式，结合分式函数的性质利用基本不等式法进行求解即可．【解答】解：设h（x）=f(x)e x，则h′（x）=f′(x)−f(x)e x=2x，即h（x）＝x2+c，即f（0）＝1，∴h（0）=f(0)e0=1＝0+c，则c＝1，则h（x）=f(x)e x=x2+1，则f（x）＝e x（x2+1），则f′（x）＝e x（x2+1）+e x（2x）＝e x（x2+2x+1），则f′(x)f(x)=e x(x2+2x+1)e x(x2+1)=x2+2x+1x2+1=1+2xx2+1=1+2x+1x当x＞0时，x+1x ≥2√x⋅1x=2，则0＜1x+1x ≤12，则0＜2x+1x≤1，则1＜1+2x+1x≤2，即f′(x)f(x)的取值范围是（1，2]，故答案为：（1，2]．【点评】本题主要考查函数值域的求解，根据条件利用构造法求出函数的解析式，结合分式函数的性质是解决本题的关键．。
人教版高中数学高考一轮复习--导数的概念、意义及运算
高中总复习优化设计
GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
第三章
3.1 导数的概念、意义及运算
课标要求
1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概
念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与
思想.
2.体会极限思想.
3.通过函数的图象直观理解导数的几何意义.
1
,y=
x
4.能根据导数的定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3, y=
x 的导数.
5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单
函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.
6.会使用导数公式表.
备考指导
导数是高中数学的重点,而求给定函数的导数则是解决导数问题的基本.复
2
9
9
即 2f'(2)=- ,得 f'(2)=- .故选 D.
2
4
9
D.4
(2)求下列函数的导数:
1
①y=x sin x;②y=ln x+;
cos
③y= ;④y=ln(2x-5).
e
2
解 ①y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x.
②y'=
③y'=
1
度为零的时刻是( D )
A.0 s
B.1 s末
C.2 s末
D.1 s末和2 s末
13 32
∵s=3t -2t +2t,∴v=s'=t2-3t+2.令 v=0,
高考数学一轮复习考点知识专题讲解14---导数的概念及其意义、导数的运算
高考数学一轮复习考点知识专题讲解 导数的概念及其意义、导数的运算考点要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝. f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； [cf (x )]′＝cf ′(x )． 常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(×)教材改编题1．若f(x)＝1x，则f′(x)＝________.答案－x 2x2解析f(x)＝1x＝12x-，∴f′(x)＝3212x--＝－x2x2.2．函数f(x)＝e x＋1x在x＝1处的切线方程为．答案y＝(e－1)x＋2解析f′(x)＝e x－1x2，∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3．已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝.答案－1e解析f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，∴a ＝－1e.题型一 导数的运算例1(1)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是________．(填序号) ①⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1x (ln x )2；②(x 2e x )′＝2x ＋e x ； ③(tan x )′＝1cos 2x； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x 2.答案①③④解析⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1(ln x )2·(ln x )′＝－1x (ln x )2，故①正确；(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ，故②错误；(tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ，故③正确；⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故④正确．(2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝.答案π236＋2π3解析f ′(x )＝2x ＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2π3＋12f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π236＋2π3.教师备选在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)等于()A ．26B ．29C ．212D ．215 答案C解析因为在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4， 所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2×4＝8. 因为函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，所以f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′， 所以f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．跟踪训练1(1)函数y ＝sin2x 的导数y ′等于()A ．2B ．cos2C ．2cos2xD ．2sin2x 答案C解析y ＝sin2x ＝2sin x ·cos x ，y ′＝2cos x ·cos x ＋2sin x ·(－sin x ) ＝2cos 2x －2sin 2x ＝2cos2x .(2)若函数f (x )，g (x )满足f (x )＋xg (x )＝x 2－1，且f (1)＝1，则f ′(1)＋g ′(1)等于() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案C解析当x ＝1时，f (1)＋g (1)＝0， ∵f (1)＝1，得g (1)＝－1，原式两边求导，得f ′(x )＋g (x )＋xg ′(x )＝2x ， 当x ＝1时，f ′(1)＋g (1)＋g ′(1)＝2， 得f ′(1)＋g ′(1)＝2－g (1)＝2－(－1)＝3. 题型二 导数的几何意义 命题点1求切线方程例2(1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为． 答案5x －y ＋2＝0解析y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l的方程为． 答案x －y －1＝0解析∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)． 又f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x . ∴由⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2求参数的值(范围)例3(1)(2022·西安模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于()A ．4B ．3C ．2D ．1 答案A解析∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)， 将P (1,2)代入y ＝kx ＋1， 可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵f (x )＝a ln x ＋b ，∴f ′(x )＝a x，由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln1＋b ＝2，解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.(2)已知曲线f(x)＝13x3－x2－ax＋1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是________．答案(－4，＋∞)解析f′(x)＝x2－2x－a，依题意知x2－2x－a＝3有两个实数解，即a＝x2－2x－3＝(x－1)2－4有两个实数解，∴y＝a与y＝(x－1)2－4的图象有两个交点，∴a>－4.教师备选1．已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为()A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)答案C解析设切点P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，又直线x＋2y－1＝0的斜率为－1 2，∴f′(x0)＝3x20－1＝2，∴x20＝1，∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，∴y0＝x30－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P为(1,3)或(－1,3)．2．(2022·哈尔滨模拟)已知M是曲线y＝ln x＋12x2＋(1－a)x上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a的取值范围是()A．[2，＋∞) B．[4，＋∞) C．(－∞，2] D．(－∞，4] 答案C解析因为y＝ln x＋12x2＋(1－a)x，所以y′＝1x＋x＋1－a，因为曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以y′≥tan π4＝1对于任意的x>0恒成立，即1x＋x＋1－a≥1对任意x>0恒成立，所以x＋1x≥a，又x＋1x≥2，当且仅当x＝1 x ，即x＝1时，等号成立，故a≤2，所以a的取值范围是(－∞，2]．思维升华(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”．跟踪训练2(1)(2022·南平模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e xe 2n 相切，则()A ．m ＋n 为定值B.12m ＋n 为定值C ．m ＋12n 为定值D ．m ＋13n 为定值答案B解析设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x e 2n 切于点002e (,)e x n x ，因为y ′＝e x e 2n ，所以02e e x n ＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)，代入直线方程得1＝2n ＋m ，即12m ＋n ＝12.(2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是． 答案[2，＋∞)解析直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线， ∴f ′(x )＝1x＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x－2，x >0.又4x ＋1x≥24x ·1x＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞)． 题型三 两曲线的公切线例4(1)(2022·驻马店模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于() A ．0B ．－1C ．3D ．－1或3 答案D解析由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1， 因为直线l 与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎨⎧y ＝x －1，g (x )＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根， 因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3， 所以a ＝－1或a ＝3.(2)若函数f (x )＝x 2－1与函数g (x )＝a ln x －1的图象存在公切线，则正实数a 的取值范围是()A ．(0，e)B ．(0，e]C ．(0,2e)D ．(0,2e] 答案D解析f (x )＝x 2－1的导函数f ′(x )＝2x ，g (x )＝a ln x －1的导函数为g ′(x )＝a x. 设切线与f (x )相切的切点为(n ，n 2－1)，与g (x )相切的切点为(m ，a ln m －1)， 所以切线方程为y －(n 2－1)＝2n (x －n )，y －(a ln m －1)＝am(x －m )，即y ＝2nx －n 2－1，y ＝a mx －a ＋a ln m －1.所以⎩⎨⎧2n ＝a m ，n 2＋1＝a ＋1－a ln m ，所以a 24m 2＝a －a ln m ，由于a >0，所以a4m 2＝1－ln m ， 即a4＝m 2(1－ln m )有解即可． 令h (x )＝x 2(1－ln x )(x >0)，h ′(x )＝x (1－2ln x )，所以h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，最大值为h (e)＝e2，当0<x <e 时，h (x )>0， 当x >e 时，h (x )<0， 所以0<a 4≤e2，所以0<a ≤2e.所以正实数a 的取值范围是(0,2e]．教师备选1．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于()A ．1B ．2C ．3D ．3或－1 答案D解析设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x＝1，解得x ＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切， 故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3. 2．已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)等于()A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案B解析已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)， 即y ＝1e x x －1e x x 1＋1e x ，曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由题意得⎩⎨⎧1ex ＝1x 2，1ex －1e x x 1＝－1＋ln x 2，得x 2＝11ex ， 1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋ln11e x ＝－1－x 1，则1e x ＝x 1＋1x 1－1.又x 2＝11ex ， 所以x 2＝x 1－1x 1＋1， 所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1， 所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3(1)(2022·雅安模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为() A ．2 B ．5 C ．1 D ．0 答案C解析根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0， 由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ， 由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a－1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ， 可得m ＝1.(2)不与x 轴重合的直线l 与曲线f (x )＝x 3和y ＝x 2均相切，则l 的斜率为________． 答案6427解析设直线l 与曲线f (x )＝x 3相切的切点坐标为(x 0，x 30)，f ′(x )＝3x 2，则f ′(x 0)＝3x 20，则切线方程为y ＝3x 20x －2x 30，因为不与x 轴重合的直线l 与曲线y ＝x 3和y ＝x 2均相切， 则⎩⎨⎧y ＝3x 20x －2x 30，y ＝x 2，得x 2－3x 20x ＋2x 30＝0，Δ＝9x 40－8x 30＝0，得x 0＝0(舍去)或x 0＝89，所以l 的斜率为3x 20＝6427. 课时精练1．(2022·阳江模拟)下列函数的求导正确的是()A ．(x －2)′＝－2xB ．(x cos x )′＝cos x －x sin xC ．(ln10)′＝110D ．(3x )′＝3x 答案B解析(x －2)′＝－2x －3，∴A 错； (x cos x )′＝cos x －x sin x ，∴B 对；(ln10)′＝0，∴C错；(3x)′＝3x·ln3，∴D错．2.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()答案B解析由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小．3．(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y＝2cos x＋sin x在(π，－2)处的切线方程为() A．x－y＋π－2＝0 B．x－y－π＋2＝0C．x＋y＋π－2＝0 D．x＋y－π＋2＝0答案D解析y′＝－2sin x＋cos x，当x＝π时，k＝－2sinπ＋cosπ＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y＋2＝－1×(x－π)，化简可得x＋y－π＋2＝0.4．(2022·兴义模拟)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于()A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案B解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.5．设曲线f (x )＝a e x ＋b 和曲线g (x )＝cos x ＋c 在它们的公共点M (0,2)处有相同的切线，则b ＋c －a 的值为() A ．0B ．πC．－2D ．3 答案D解析∵f ′(x )＝a e x ，g ′(x )＝－sin x ， ∴f ′(0)＝a ，g ′(0)＝0，∴a ＝0， 又M (0,2)为f (x )与g (x )的公共点， ∴f (0)＝b ＝2，g (0)＝1＋c ＝2，解得c ＝1， ∴b ＋c －a ＝2＋1－0＝3.6．已知点A是函数f(x)＝x2－ln x＋2图象上的点，点B是直线y＝x上的点，则|AB|的最小值为()A. 2 B．2 C.433D.163答案A解析当与直线y＝x平行的直线与f(x)的图象相切时，切点到直线y＝x的距离为|AB|的最小值．f′(x)＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，又f(1)＝3，所以切点C(1,3)到直线y＝x的距离即为|AB|的最小值，即|AB|min＝|1－3|12＋12＝ 2.7.已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，设a＝f(3)－f(2)，则下列结论正确的是()A．f′(2)<f′(3)<aB．f′(2)<a<f′(3)C．f′(3)<a<f′(2)D．a<f′(3)<f′(2)答案C解析a＝f(3)－f(2)＝f(3)－f(2)3－2，∴a 表示曲线上两点A (2，f (2))，B (3，f (3))连线的斜率， 由图知，曲线切线的斜率越来越小， ∴f ′(3)<a <f ′(2)．8．(2022·固原模拟)设点P 是函数f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，3π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 答案B解析∵f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －f ′(0)，∴f ′(0)＝2－f ′(0)，f ′(0)＝1， ∴f (x )＝2e x －x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －1>－1.∵点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α， ∴tan α>－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π. 9．已知函数y ＝f (x )的图象在x ＝2处的切线方程是y ＝3x ＋1，则f (2)＋f ′(2)＝________. 答案10解析切点坐标为(2，f (2))，∵切点在切线上，∴f (2)＝3×2＋1＝7， 又k ＝f ′(2)＝3，∴f (2)＋f ′(2)＝10.10．(2022·四川天府名校联考)若曲线f (x )＝x cos x 在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，则实数a ＝. 答案－1解析因为f (x )＝x cos x ， 所以f ′(x )＝cos x －x sin x ，f ′(π)＝cosπ－π·sinπ＝－1，因为函数在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以a ＝f ′(π)＝－1. 11．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝. 答案2解析f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2＋e x cos x －e x sin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1x (a ∈R )，若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为． 答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析因为f (x )＝x 3－ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1x (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1，因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线， 所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1＝0有两个不等的实根， 则Δ＝4a 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1>0，即a 2－2a －3>0，解得a >3或a <－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2023(x )等于()A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x答案A解析∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2023＝4×505＋3，∴f 2023(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x .14．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则()A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a答案D解析方法一设切点(x 0，y 0)，y 0>0，则切线方程为y －b ＝0e x (x －a )，由⎩⎨⎧ y 0－b ＝0e x (x 0－a )，y 0＝0e x ，得0e x (1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程0e x (1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解．设f (x )＝e x (1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x (x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (a )＝e a (1－a ＋a )＝e a ，当x <a 时，a －x >0，所以f (x )>0，当x →－∞时，f (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→－∞，函数f (x )＝e x (1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0<b <e a .方法二(用图估算法)过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0<b <e a .15．(2022·重庆沙坪坝区模拟)若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝[f ′(x )]′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4上是凸函数的是________．(填序号)①f (x )＝－x 3＋3x ＋4；②f (x )＝ln x ＋2x ；③f (x )＝sin x ＋cos x ；④f (x )＝x e x .答案①②③解析对①，f (x )＝－x 3＋3x ＋4， f ′(x )＝－3x 2＋3，f ″(x )＝－6x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故①为凸函数； 对②，f (x )＝ln x ＋2x ，f ′(x )＝1x＋2， f ″(x )＝－1x 2， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故②为凸函数； 对③，f (x )＝sin x ＋cos x ， f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故③为凸函数； 对④，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ， f ″(x )＝(x ＋2)e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )>0，故④不是凸函数． 16．已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为____________________．答案y ＝e x 或y ＝x ＋1解析设直线l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，y 1)，则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x ，∴f ′(x 1)＝1e x ，∴切点为(x 1，1e x )，切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x ， ①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)，∴y 2＝ln x 2＋2，g ′(x )＝1x， ∴g ′(x 2)＝1x 2， 切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2， ∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1， ②由题意知，①与②相同，∴⎩⎨⎧ 1e x ＝1x 2⇒x 2＝1e x -，③－x 11e x ＋1e x ＝ln x 2＋1，④把③代入④有－x 11e x ＋1e x ＝－x 1＋1， 即(1－x 1)(1e x －1)＝0，解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ；当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1，综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.。
高考数学一轮复习导数的概念及其意义、导数的运算
)
A．y＝3x＋1
B．y＝2x＋1
5
C．y＝ x＋1
D．y＝x＋1
4
答案：A
2 x+1 −2x
x＝ 2 ＋ex，则f′(0)＝3，
＋e
x+1 2
x+1 2
解析：由题设，f′(x)＝
而f(0)＝1，故在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝3x，则y＝3x＋1.
故选A.
(2)已知函数f(x)＝x ln x．若直线l过点(0，－1)，且与曲线y＝f(x)相切，
(2)[f(x)g(x)]′＝________________．
f ′ x g x − f x g′ x
′
g x 2
(3)
＝________________(g(x)≠0).
cf′(x)
(4)[cf(x)]′＝________(c为常数).
f（x）
g（x）
5．复合函数的导数
设 u ＝ g(x) 在 x 处 可 导 ， 则 复 合 函 数 y ＝ f(g(x)) 在 x 处 可 导 ， 且 y′ ＝
x－y－1＝0
则直线l的方程为________________.
解析：点(0，－1)不在曲线f(x)＝x ln x上，设切点坐标为(x0，y0)．
因为f′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
y0 = x0 ln x0
由ቊ
，
y0 + 1 = 1 + ln x0 x0
x0 = 1，
e
x
与曲线y＝ln (－x)相切于点(x2，ln (－x2))(x2<0)，则此时切线方程为y－ln (－x2)＝
2013年高考数学一轮复习3.1导数的概念及运算精品教学案(教师版)新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案3.1 导数的概念及运算（新课标人教版，教师版）【考纲解读】1．导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景． （2）理解导数的几何意义． 2．导数的运算（1）能根据导数定义，求函数x y xy x y x y x y c y ======,1,,,,32的导数． （2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． （3）基本初等函数的导数公式和常用的导数计算公式：()0C '=（C 为常数）， 1()();(sin )cos ;(cos )sin ;1();()ln (0,1);(ln );1(log )log (0,1)n n x x x x a a x nx n x x x x e e a a a a a x xx e a a x-+'''=∈N ==-'''==>≠='=>≠且且·法则1：[])()()()(x v x u x v x u '±'='±·法则2：[])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='·法则3：)0)(()()()()()()()(2≠'-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x v x v x v x u x v x u x v x u【要点梳理】 1.导数的概念(1)f(x)在x=x 0处的导数就是f(x)在x=x 0处的瞬时变化率，记作:0/|x x y =或f /(x 0),即f /(x 0)=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆.(2)当把上式中的x 0看作变量x 时, f /(x)即为f(x)的导函数,简称导数,即''()y f x ==0()()limx f x x f x x∆→+∆-∆.2.导数的几何意义:函数f(x)在x=x 0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率k= f /(x 0),切线方程为'000()()y y f x x x -=-.3.基本初等函数的导数公式1()();(sin )cos ;(cos )sin ;1();()ln (0,1);(ln );1(log )log (0,1)n n x x x x a a x nx n x x x x e e a a a a a x xx e a a x-+'''=∈N ==-'''==>≠='=>≠且且4.两个函数的四则运算法则 若u(x),v(x)的导数都存在,则 法则1：[])()()()(x v x u x v x u '±'='±法则2：[])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='法则3：)0)(()()()()()()()(2≠'-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x v x v x v x u x v x u x v x u .【例题精析】考点一 导数的概念及几何意义例1.（2012年高考新课标全国卷文科13）曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________1.（2011年高考江西卷文科4)曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C.e D.1e例2. (2010年高考全国2卷理数10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（ ）（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）82.(2010年高考江西卷文科4)若函数42()f x ax bx c =++满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0【课时作业】1.（山东省济南一中2012届高三上学期期末）设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ( )A ．2B ． 2-C ． 12-D.122. (2010年高考宁夏卷文科4)曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为( ) （A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+ 【答案】A【解析】232y x '=-，所以11x k y ='==，所以选A ．3．（2010年高考全国卷Ⅱ文科7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则( )（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=- 【答案】A 【解析】∵2x y x aa='=+=，∴ 1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴ 1b =.4. (2010年全国高考宁夏卷3）曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为( ) （A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-25．（2010年高考辽宁卷文科12）已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) (A)[0,4π) (B)[,)42ππ（C ） 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ 【答案】D【解析】2441212x x x x x e y e e e e'=-=-++++，12,10x xe y e '+≥∴-≤<，即1tan 0α-≤<，3[,)4παπ∴∈.6. (福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查理科)函数)()(3R x ax x x f ∈+=在1=x 处有极值，则曲线)(x f y =在原点处的切线方程是___ __.1.（2011年高考重庆卷文科3)曲线323y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为 ( ) A ．31y x =- B ．35y x =-+C ．35y x =+D ．2y x =【答案】A【解析】由导数的几何意义知：切线的斜率为3，所以切线方程为31y x =-，选A. 2. （2011年高考山东卷文科4)曲线211y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)153． (2011年高考全国卷理科8)曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为( ) (A)13 (B)12 (C)23 (D)1 【答案】A 【解析】：2'2x y e -=- ，2k =-，切线方程为22y x -=-由232223x y xy x y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩得 则1211.233S =⨯⨯= 故选A.4．（2011年高考湖南卷文科7)曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ．5. (2012年高考广东卷理科12)曲线y=x 3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 . 【答案】210x y -+=【解析】因为'231y x =-,所以切线的斜率为2，故所求的切线方程为210x y -+=. 6.(2012年高考山东卷文科22第1问)已知函数ln ()(e xx kf x k +=为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.求k 的值.。
高三一轮复习导数的概念、几何意义及导数的计算 (1)
第十四课时 导数的概念、几何意义及导数的计算考纲要求：1.导数的概念(A) 2.导数的几何意义(B) 3.导数的运算(B)知识梳理：1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x＝x 0，即f ′(x 0)＝(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数． 2．导数公式及运算法则(1)(2)①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；③⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 基础训练：1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )(2)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )(4)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( ) (5)(3x )′＝3x ln 3.( )(6)⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√2．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是________．解析：∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝03．求下列函数的导数：(1)y ＝x n e x ；(2)y ＝x 3－1sin x. 答案：(1)y ′＝e x (nx n －1＋x n )．(2)y ′＝3x 2sin x －(x 3－1)cos x sin 2x.[典题1] 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x； (3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x ＋e ；解析： (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12－x 12， ∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝ (ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.小结：导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．[典题2](1)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 016)＋2 016ln x ，则f ′(2 016)＝________. 解析：(1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 016)＋2 016x， 所以f ′(2 016)＝2 016＋2f ′(2 016)＋2 0162 016， 即f ′(2 016)＝－(2 016＋1)＝－2 017.答案：(1)3 (2)－2 017注意：在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．练习：1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.解析：∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx .又f ′(1)＝2，∴4a ＋2b ＝2，∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.答案：－22．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．解析：因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.答案：212导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求切线方程[典题3](1)曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为________．(2)设曲线y ＝e x ＋12ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则实数a ＝________. (3)已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.①求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；②求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解析：(1)由于y ′＝e －1x，所以y ′x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.(2)∵与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线斜率为2，∴f ′(0)＝e 0＋12a ＝2，解得a ＝2. (3)①∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.②设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.答案：(1)(e －1)x －y ＋1＝0 (2)2注意：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．角度二：求切点坐标[典题4] 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析： y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)小结：已知斜率k ，求切点A (x 0，f (x 0))，即解方程f ′(x 0)＝k .角度三：求参数的值[典题5](1)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.(2)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.(3)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：(1)∵两曲线的交点为(0，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝a ，m ＝1，即a ＝1， ∴f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则f ′(0)＝0，f (0)＝1.又g ′(x )＝2x ＋b ，∴g ′(0)＝b ，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.(3)法一：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－12，a ＝8.答案：(1)1 (2)1 (3)8小结：(1)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．(2)当切线方程中x (或y )的系数含有字母参数时，则切线恒过定点．总结：1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．注意：1．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．4．曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.课后作业：1．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为________．解析：由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x x ＝0＝e 0＝1.答案：12．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：－3π3．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于________．解析：∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a＝－1，∴a ＝－1. 答案：－14．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________． 解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝12，即x 0＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)，又切点在直线y ＝12x ＋b 上，∴ln 2＝1＋b ，即b ＝ln 2－1. 答案：ln 2－15．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为________．解析：因为定义域为(0，＋∞)，所以y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1,1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 答案：26．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.答案：e7．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意知，A (2,8)在y ＝x n 上，∴2n ＝8，∴n ＝3，∴y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2,8)．∴y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.答案：12x －y －16＝08．在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x 上，且在第二象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，∴3x 2－1＝2，x ＝±1，又∵点M 在第二象限，∴x ＝－1，∴y ＝(－1)3－(－1)＝0，∴M 点的坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)9．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝0，即a ＝－13x3(x >0)，故a ∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)10．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．解析：设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1，0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278. 答案：27811．函数f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1与g (x )的图象关于直线2x －y －3＝0对称，P ，Q 分别是函数f (x )，g (x )图象上的动点，则|PQ |的最小值为________．解析：因为f (x )与g (x )的图象关于直线2x －y －3＝0对称，所以当f (x )与g (x )在P ，Q 处的切线与2x －y －3＝0平行时，|PQ |的长度最小．f ′(x )＝e x ＋2x ＋1，令e x ＋2x ＋1＝2，得x ＝0，此时P (0,2)，且P 到2x －y －3＝0的距离为5，所以|PQ |min ＝2 5.答案：2512．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，则a ＝________，切线方程为________．解析：f ′(x )＝12x，g ′(x )＝a x (x >0)， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x＝a x ，解得a ＝e 2，x ＝e 2， ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， ∴切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.答案：e 2x －2e y ＋e 2＝013．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＋6＝13(x －2)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．14．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直．∴(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.②由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52. 15．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ， 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k≥－1， 解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。
高三第一轮复习 导数的概念及几何意义
高三一轮导学案学科数学编号11 编写人黄伟燕审核人文备组使用时间班级小组姓名代号评价文科数学专题复习11——导数的概念及运算【高考要求】1234. .123121．认真阅读考试大纲和教材相关内容，自主完成知识梳理和基础自测题；2．熟记变化率、割线斜率等基础知识，弄清切线斜率、求导公式等重要考点，理会解决求切线方程问题的思路与方法。
预习案一、考点知识梳理（一）变化率问题1、设()y f x =，1x 是数轴x 上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，2x 与1x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的“增量”，相应地，函数值的“增量”记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值y x∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率．即所谓平均变化率也就是 的“增量”与 的“增量”的比值． （二）导数的概念1数y f =2函数y 3S1S2S34、这样当1、基本初等函数的导数公式2、导数的四则运算法则：（1）=±')]()([x g x f ； （2）=⋅')]()([x g x f ；（3）=')()([x g x f ； （4）[()]c f x '⋅= ． （四）导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数'0()f x 的几何意义是曲线()y f x =在点 处的切线斜率，即k= ，所以曲线()y f x =在此点处的切线方程是 ． 二、基础知识自测1234探究2．求下列函数的导数： （1）2()xf x e =； （2）()xe f x x=； （3）ln y x x =；（4）()()11y x x x =-+； （5）()x t f x te +=．探究3．已知函数d cx bx x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P ，且在点M 处))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x ，求函数)(x f 的解析式。
2013届高考数学理一轮复习课件3.15导数的概念及运算
【解析】(1)由 f(x)＝31x3－2ax2＋bx＋c，得 f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b. f′(0)＝b. 又由已知得 f(0)＝1，f′(0)＝0， 故 b＝0，c＝1.
(2)证明：(反证法)假设 f′(x1)＝f′(x2)． f(x)＝13x3－a2x2＋1. 由于曲线 y＝f(x)在点(x1，f(x1))、(x2，f(x2)) 处的切线都过点(0,2)，则下列等式成立．
【解析】切线 l 的斜率 k＝y′|x＝ak＝2ak. l：y－a2k＝2ak(x－ak) 令 y＝0 有 x＝a2k 即 ak＋1＝a2k ∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1， 故 a1＋a3＋a5＝21.
【知识要点】
1．平均变化率及瞬时变化率
(1)函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率用
(3)[ f x]′＝
gx
f x·g x f x·g x
[g x]2 (g(x)≠0) .
6．复合函数的导数
(1)对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果
通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这
两个函数(函数 y＝f(u)和 u＝g(x))的复合函数为
于是对任意 x∈[x1，x2]，f(x)＞f(1)恒成立的充
要条件是
f(1)＝m2－13＜0，解得－
33＜m＜
3 3.
综上，m 的取值范围是(12， 33)．
【点评】导数的几何意义即函数在某点处的切线 的斜率，等于该点的导数值，同时函数的切线与 函数可能有除切点以外的公共点．因此审题时须 细心，若已知函数在某点处的切线，则该点是切 点，若已知切线过某点，则该点可能是切点，也 可能是交点(非切点)．
年高考第一轮复习数学资料导数的概念与运算
※第十四章 导数●网络体系总览 ●考点目标位定位要求：（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.（2）熟记基本求导公式〔C ，x m （m 为有理数），sin x ,cos x ,e x ,a x ,ln x ,log a x 的导数〕，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.（3）了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.●复习方略指南深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大（小）值的数学模型,应用导数知识去解决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键.1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础.2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大（小）值中的应用,尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.导数的概念与运算●知识梳理1.导数的概念：（1）如果当Δx →0时，xy∆∆有极限，我们就说函数y =f （x ）在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ′（x 0），即f ′（x 0）=lim →∆xx y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00. （2）如果函数f （x ）在开区间（a ,b ）内每一点都可导，就说f （x ）在开区间（a ,b ）内可导.这时对于开区间（a ,b ）内每一个确定的值x 0,都对应着一个确定的导数f ′（x 0）,这样就在开区间（a ,b ）内构成一个新的函数，这一新函数叫做f （x ）在开区间（a ,b ）内的导函数，记作f ′（x ）,即f ′（x ）= 0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(，导函数也简称导数.2.导数的几何意义：函数y =f （x ）在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y =f （x ）在点P （x 0,f （x 0））处的切线的斜率.3.几种常见的导数：C ′=0（C 为常数）;（x n ）′=nx n －1;（sin x ）′=cos x ;（cos x ）′=－sin x ;（e x ）′=e x ; （a x ）′=a x ln a ;（ln x ）′=x 1;（log a x ）′=x1log a e.4.导数的四则运算法则： 设u 、v 是可导函数，则（u ±v ）′=u ′±v ′;（uv ）′=u ′v +uv ′;（vu）′=2vv u v u '-' （v ≠0）. 特别提示f （x ）在x =x 0处的导数f ′（x 0）的实质是“增量之比的极限”，但在计算中取它的应用含义：f ′（x 0）是函数f （x ）的导函数f ′（x ）当x =x 0时的函数值.●点击双基1.在曲线y =x 2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx ,2+Δy ）,则yx ∆∆为 A.Δx +x ∆1+2 B.Δx －x∆1－2 C.Δx +2 +Δx －x∆1解析: y x ∆∆=xx ∆+-+∆+)11(1)1(2=Δx +2.答案:C2.设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim →h hx f h x f )()(00-+A.与x 0,h 都有关B.仅与x 0有关而与h 无关C.仅与h 有关而与x 0无关D.与x 0、h 均无关 答案:B3.设f （x ）=ax 3+3x 2+2,若f ′（－1）=4,则a 的值等于A.319 B.316C.313 D.310 解析:f ′（x ）=3ax 2+6x ,f ′（－1）=3a －6=4,所以a =310.答案:D4.函数y =x 2的曲线上点A 处的切线与直线3x －y +1=0的夹角为45°,则点A 的坐标为___________.解析:设点A 的坐标为（x 0,y 0）,则y ′|x =x 0=2x |x =x 0=2x 0=k 1,又直线3x －y +1=0的斜率k 2=3. ∴tan45°=1=|1|||1212k k k k ++-=|006123x x +-|.解得x 0=41或x 0=－1.∴y 0=161或y 0=1,即A 点坐标为（41，161）或（－1，1）. 答案:（41，161）或（－1，1）●典例剖析【例1】 若f ′（x 0）=2,求0lim →k kx f k x f 2)()(00--.剖析:根据导数的定义.解:f ′（x 0）= 0lim→k kx f k x f ---+)()]([00（这时Δx =－k ）.∴0lim →k kx f k x f 2)()(00--=0lim →k ［－21·kx f k x f ---)()(00］=－21·0lim →k k x f k x f ---)()(00=－21f ′（x 0）=－1.评述:注意f ′（x 0）= 0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00中Δx 的形式的变化,在上述变化中可以看到Δx =－k ,k →0⇒－k →0,∴f ′（x 0）= 0lim→k k x f k x f 3)()3(00---,还可以写成f ′（x 0）= 0lim →k kx f k x f 3)()3(00---或f ′（x 0）=∞→k lim ［f （x 0+k1）－f （x 0）］等.【例2】 若f （x ）在R 上可导，（1）求f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数的关系；（2）证明：若f （x ）为偶函数，则f ′（x ）为奇函数.剖析:（1）需求f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数；（2）求f ′（x ），然后判断其奇偶性.（1）解:设f （－x ）=g （x ）,则g ′（a ）= 0lim→∆x x a g x a g ∆-∆+)()(=0lim →∆x xa f x a f ∆--∆--)()( =－0lim →∆-x xa f x a f ∆---∆--)()(=－f ′（－a ）.∴f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数互为相反数. （2）证明:f ′（－x ）= 0lim→∆x xx f x x f ∆--∆+-)()(=0lim→∆x xx f x x f ∆--∆-)()(=－0lim →∆x xx f x x f ∆--∆-)()(=－f ′（x ）. ∴f ′（x ）为奇函数.评述:用导数的定义求导数时，要注意Δy 中自变量的变化量应与Δx 一致.（2）中若f （x ）为奇函数，f ′（x ）的奇偶性如何？ 【例3】 求下列函数的导数： （1）y =x 2sin x ;（2）y =ln （x ＋21x +）;（３）y =1e 1e -+x x ;（４）y =xx xx sin cos ++.解:（1）y ′=（x 2）′sin x ＋x 2（sin x ）′=2x sin x ＋x 2cos x . （2）y ′=211x x ++·（x ＋21x +）′=211x x ++（1＋21xx+）=211x+.（３）y ′=2)1e ()1e )(1e ()1e ()1e (-'-+--'+x x x x x=2)1(e e 2--x x . （4）y ′=2)sin ()sin )(cos ()sin ()cos (x x x x x x x x x x +'++-+'+=2)sin ()cos 1)(cos ()sin )(sin 1(x x x x x x x x +++-+- =2)sin (1cos sin sin cos x x x x x x x x +--+--.思考讨论函数f （x ）在点x 0处是否可导与是否连续有什么关系？夯实基础1.（2004年全国Ⅱ,文3）曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为 =3x －4 =－3x +2 =－4x +3 =4x －5 解析:y ′=3x 2－6x ,∴y ′|x =1=－3.∴在（1,－1）处的切线方程为y +1=－3（x －1）. 答案:B2.（2004年全国Ⅳ,文4）函数y =（x +1）2（x －1）在x =1处的导数等于解析:y ′|x =1=［（x 2+2x +1）（x －1）］′|x =1=［x 3+x 2－x －1］′|x x =1=（3x 2+2x －1）| x =1=4. 答案:D3.（2004年湖北,文3）已知函数f （x ）在x =1处的导数为3,则f （x ）的解析式可能为（x ）=（x －1）2+3（x －1） （x ）=2（x －1） （x ）=2（x －1）2 （x ）=x －1 答案:A4.（2004年重庆,理14）曲线y =2－21x 2与y =41x 3－2在交点处的切线夹角是__________.（以弧度数作答）解析:由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=242232x y x y 得x 3+2x 2－16=0,（x －2）（x 2+4x +8）=0,∴x =2.∴两曲线只有一个交点.∵y ′=（2－21x 2）′=－x ,∴y ′|x =2=－2.又y ′=（43x －2）′=43x 2,∴当x =2时,y ′=3.∴两曲线在交点处的切线斜率分别为－2、3, |3)2(132⨯-+--|=1.∴夹角为4π.答案:4π5.设f （x ）在x =1处连续，且f （1）=0,1lim→x 1)(-x x f =2,求f ′（1）. 解:∵f （1）=0, 1lim→x 1)(-x x f =2,∴f ′（1）= 0lim →∆x xf x f ∆-∆+)1()1(=1lim →x 1)1()(--x f x f =1lim →x 1)(-x x f =2. 6.设函数y =ax ３＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为12x －y －４=0.若函数在x =2处取得极值0，试确定函数的解析式.解:∵y =ax 3+bx 2+cx +d 的图象与y 轴的交点为P ，∴P 的坐标为P （0,d ）.又曲线在点P 处的切线方程为y =12x －４，P 点坐标适合方程，从而d =－４.又切线斜率k =12，故在x =0处的导数y ′｜x =0=12,而y ′=３ax 2＋2bx ＋c ，y ′｜x =0=ｃ，从而 c =12.又函数在x =2处取得极值0，所以 y ′｜x =2=0, f （2）=0,即 12a ＋４b ＋12=0, ８a ＋４b ＋20=0. 解得a =2，b =－9.∴所求函数解析式为y =2x 3－9x 2＋12x －４. 培养能力7.已知函数f （x ）=e －x （cos x +sin x ）,将满足f ′（x ）=0的所有正数x 从小到大排成数列｛x n ｝.求证：数列｛f （x n ）｝为等比数列.证明:f ′（x ）=－e －x （cos x +sin x ）+e －x （－sin x +cos x ）=－2e －x sin x , 由f ′（x ）=0,即－2e －x sin x =0,解得x =n π,n ∈Z .从而x n =n π（n =1,2,3…）,f （x n ）=（－1）n e －πn . 所以)()(1n n x f x f +=－e －π.所以数列｛f （x n ）｝是公比q =－e －π的等比数列. 8.已知函数f （x ）=ln （e x +a ）（a ＞0）.（1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）及f （x ）的导数f ′（x ）;（2）假设对任意x ∈［ln （3a ）,ln （4a ）］，不等式|m －f －1（x ）|+ln （f ′（x ））＜0成立，求实数m 的取值范围.解:（1）由y =f （x ）=ln （e x +a ）， 得x =ln （e y －a ），所以y =f －1（x ）=ln （e x －a ）（x ＞ln a ）.f ′（x ）=［ln （e x+a ）］′=ax x +e e .（2）由|m －f －1（x ）|+ln （f ′（x ））＜0,得ln （e x －a ）－ln （e x +a ）+x ＜m ＜ln （e x －a ）+ln （e x +a ）－x .设ϕ（x ）=ln （e x －a ）－ln （e x +a ）+x , ϕ（x ）=ln （e x －a ）+ln （e x +a ）－x ,于是原不等式对于x ∈［ln （3n ）,ln （4a ）］恒成立.等价于ϕ（x ）＜m ＜ϕ（x ）.（*）由ϕ′（x ）=a x x -e e －ax x+e e +1,ϕ′（x ）= a xx -e e +ax x+e e －1,注意到0＜e x －a ＜e x ＜e x +a . 故有ϕ′（x ）＞0, ϕ′（x ）＞0,从而ϕ（x ）、ϕ（x ）均在［ln （3a ）,ln （4a ）］上单调递增,因此不等式（*）成立当且仅当ϕ（ln （4a ））＜m ＜ϕ（ln （3a ））,即ln （512a ）＜m ＜ln （38a ）.探究创新 9.利用导数求和：（1）S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1（x ≠0,n ∈N *）.（2）S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n （n ∈N *）.解:（1）当x =1时，S n =1+2+3+…+n =2n （n +1）,当x ≠1时，∵x +x 2+x 3+…+x n=xx x n --+11,两边对x 求导，得S n =1+2x +3x 2+…+nxn －1=(x x x n --+11)=21)1()1(1x nx x n n n -++-+.（2）∵（1+x ）n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n,两边对x 求导，得n （1+x ）n －1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C n n x n －1. 令x =1,得n ·2n －1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n , 即S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n =n ·2n －1. ●思悟小结1.求函数y =f （x ）在点x 0处的导数通常有以下两种方法： （1）导数的定义，即求0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00的值.（2）利用导函数的函数值,即先求函数f （x ）在开区间（a ,b ）内的导函数f ′（x ）,再将x 0（x 0∈（a ,b ））代入导函数f （x ）,得函数值f ′（x 0）.2.求复合函数的导数的方法步骤：（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量.（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数.（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.3.本单元重点体现了极限思想、函数思想及等价转化的思想，在学习过程中应用心体会.●教师下载中心 教学点睛1.在该节教学中要重视对导数的概念、导数的几何意义的理解，注重对导数基本公式的熟练运用.2.可补充导数的另一种定义形式：f ′（x 0）=0lim x x →00)()(x x x f x f --.拓展题例【例题】 讨论函数f （x ）=⎩⎨⎧>+≤+)0(1),0(12x x x x 在x =0处的可导性. 解:函数f （x ）在x =0处是否可导，即xf x f ∆-∆+)0()0(当Δx →0时的极限是否存在.∵+→∆0lim x xf x f ∆-∆+)0()0(=+→∆0lim x xx ∆-+∆11 =1, =-→∆0lim x xx ∆-+∆11)(2 =0, 又∵+→∆0lim x x f x f ∆-∆+)0()0(≠-→∆0lim x xf x f ∆-∆+)0()0(,∴x f x f ∆-∆+)0()0(当Δx →0时的极限不存在，因此f （x ）在x =0处不可导.。
高三高考理科数学一轮复习学案：导数的概念及运算
知识梳理：（阅读选修教材2-2第2页—第21页）1、 导数及有关概念：000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的物理意义和几何意义：3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．．，也可记作y '，即()f x '＝y '＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 00 导数与导函数区别：4.可导:5.可导与连续的关系：6.求函数()y f x =的导数的一般步骤：7.几种常见函数的导数：8.求导法则：9.复合函数的导数：10.复合函数的求导法则：11.复合函数求导的基本步骤：12.导数的几何意义：二、题型探究：探究一．用导数的定义求函数在某一点处的导函数值。
例1：(1).（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷、若曲线lny kx x=+在点()1,k处的切线平行于x轴,则k=______.(2). [2014·广东卷10]．曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．(3). [2014·江西卷13]．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．探究二．导数的几何意义例2:已知曲线 .(1)、求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）、求过点P（0，0）的曲线的切线方程；（3）、求斜率为1的曲线的切线方程。
探究三：导数的物理意义例3：某市在一次降雨过程中，降雨量y（mm）与时间t（min）的函数关系可以近似地表示为，则在t=40min的降雨强度探究四：导数的运算：例4：求下列函数的导数（1）、sin2x（2）、(3)、探究五：求导运算后求切线方程例5：已知函数(1)、若a=1，点P为曲线上的一个动点，求以点p为切点的切线的斜率取最小值时的切线方程；（2）、求函数在（0，+）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a。
高三数学一轮复习知识点讲解4-1导数的概念、运算及导数的几何意义
高三数学一轮复习知识点讲解专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义【考纲解读与核心素养】1.了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义.2. 会用基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数（限于形如()f ax b +)的导数）.3．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 4. 高考预测：（1）导数的运算将依然以工具的形式考查；（2）单独考查导数的运算题目极少.对导数的运算的考查，主要通过考查导数的几何意义、导数的应用来体现.（3）对导数的几何意义的考查，主要有选择题、填空题，也有作为解答题的第一问.常见的命题角度有： ①求切线斜率、倾斜角、切线方程． ②确定切点坐标问题． ③已知切线问题求参数． ④切线的综合应用． 5.备考重点：（1）熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则； （2）熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式.【知识清单】知识点1．导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆.2．函数f (x )的导函数称函数0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆为f (x )的导函数．知识点2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1. 基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； （2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； （3）2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦(g (x )≠0)． (4) 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．知识点3．函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．【典例剖析】高频考点一 导数的计算【典例1】（2020·全国高考真题（文））设函数e ()xf x x a=+．若(1)4e f '=，则a =_________．【答案】1 【解析】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aee a =+， 整理可得：2210a a -+=，解得：1a =. 故答案为：1.【典例2】（2018年天津卷文）已知函数f (x )=e x ln x ，为f (x )的导函数，则的值为__________．【答案】e【规律方法】1.求函数导数的一般原则如下：(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导； (2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导； (3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导. 2.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决. ①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数； ④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程. 【变式探究】1.（2018届北京市人大附中十月月考）已知函数()πcos sin ,6f x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为________. 【答案】1【解析】由题得()1366666262f x f sinx cosx f f sin cos f ππππππ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+∴=-+=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭' 所以33326263f f ππ⎛⎫⎛⎫=∴=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''， 所以311sin 1636622f cos πππ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，故填1. 2（2018届陕西省咸阳市三模）已知三次函数的图象如图所示，则__________．【答案】1. 【解析】，由的图象知，∴，，∴，故答案为1. 【总结提升】(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． (2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元． 高频考点二 求曲线的切线方程【典例3】（2020·全国高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.【典例4】（2019·全国高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=【答案】C 【解析】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ． 【规律方法】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组0010010()'()y f x y y f x x x=⎧⎪-⎨=⎪-⎩得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程． 【变式探究】1.（2019·天津高考真题（文）） 曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________.【答案】220x y +-= 【解析】1'sin 2y x =--，当0x =时其值为12-， 故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=。
高考数学一轮复习 第三章导数及其应用3.1导数、导数的计算教学案 理
第三章 导数及其应用3.1 导数、导数的计算考纲要求1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义，求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．1．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y =.2．导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每一个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是在区间(a ，b )内____构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′.3．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________．45(1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝__________(g (x )≠0)． 6．复合函数的导数设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数y ＝f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝________，即y ′x ＝________.1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 22．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )． A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末D ．1秒末和2秒末3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1)4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )．A ．－1B ．－2C ．2D ．05．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________．6．y ＝sin 2x 的导数为__________． 一、根据导数的定义求函数的导数【例1－1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2f (x )－3x －2＋1的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．方法提炼1．根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法．确定y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数有两种方法：一是导数的定义法，二是导函数的函数值法．2．求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的求解步骤：请做演练巩固提升1二、利用求导公式、法则求导 【例2】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －3)2； (2)y ＝tan x ；(3)y ＝x 2＋2x ＋5. 方法提炼一般来说，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数的要先化简；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式．请做演练巩固提升2三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程． 方法提炼1．求曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线方程(1)求出函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)即为曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率；(2)由切点(x 0，f (x 0))和斜率f ′(x 0)，用点斜式写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再化为一般式即可．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.2．求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线方程可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)解出x 1，进而确定过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 1)(x －x 0)，再化为一般式即可．3．“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点．无论是求函数在某点的切线还是过某点的切线，首先都是求(或设)切点坐标得出切线的斜率，再解决问题．曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不止一条．请做演练巩固提升4对“在某点处”与“过某点”字眼的区分【典例】若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x－9都相切，则a 等于( )．A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：因为点(1,0)不在曲线y ＝x 3上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切求a 的值．设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 03)，所以切线方程为y －x 03＝3x 02(x －x 0)，即y ＝3x 02x －2x 03.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A ．答案：A答题指导：1．在解答本题时有两个易错点：(1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系，而必须设出切点．2．解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；(2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握； (3)对于直线的方程与斜率公式的求解，要熟练掌握．1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )．A ．2B ．－1C ．1D ．－22．y ＝cos(x 2＋3)的导数y ′＝__________.3．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________．4．(2012安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a ＞0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2．f ′(x )3．y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)4．nx n －1 cos x －sin x a xln a (a ＞0)e x1x ln a (a ＞0，且a ≠1) 1x5．(1)f ′(x )±g ′(x )(2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]26．f ′(u )·v ′(x ) y u ′·u x ′ 基础自测1．C 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝4＋2Δx . 2．D 解析：∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1，t 2＝2.3．C 解析：y ′＝3x 2，∴3x 2＝3. ∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1.4．B 解析：∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．4x －y －3＝0 解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x 3,4x 03＝4， ∴x 0＝1.∴y 0＝1.∴l 的方程为4x －y －3＝0. 6．y ′＝2cos 2x 考点探究突破【例1－1】C 解析：令Δx ＝x －2，则lim x →2f (x )－3x －2＋1 ＝lim Δx →0f (Δx ＋2)－f (2)Δx＋1 ＝f ′(2)＋1＝2＋1＝3.【例1－2】解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx ).∴Δy Δx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11＋Δx (1＋1＋Δx ) ＝－12.∴f ′(1)＝－12.【例2】解：(1)y ′＝(4x 2－12x ＋9)′＝8x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′ ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x＝1cos 2x. (3)y ′＝(x 2＋2x ＋5)′ ＝12(x 2＋2x ＋5)－12·(2x ＋2)＝x ＋1x 2＋2x ＋5.【例3】解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为：y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率为：0|x x y '=＝x 02.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3 x 02＋4＝0，∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0，∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则x 02＝1，x 0＝±1，切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎪⎫1，53，∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0. 演练巩固提升1．B 解析：lim x →0f (1)－f (1－2x )2x＝lim x →0f (1－2x )－f (1)－2x＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.2．－2x sin(x 2＋3) 解析：y ′＝[cos(x 2＋3)]′＝2x ·[－sin(x 2＋3)]＝－2x sin(x 2＋3)．3．(－∞，0) 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x(x ＞0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，即3ax 2＋1x ＝0有解，a ＝－13x3.∵x ＞0，∴－13x 3＜0.∴a ＜0.4．解：(1)(方法一)由题设和基本不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，其中当且仅当ax ＝1时，等号成立，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(方法二)f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上递增； 当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上递减．所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(2)f ′(x )＝a －1ax 2.由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.。
高考数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第1讲 变化率与导数、导数的运算教案 理
第1讲 变化率与导数、导数的运算【2013年高考会这样考】1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指导】本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.基础梳理1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li mΔx →0 Δy Δx＝ li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 Δy Δx . (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式 若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0；若f (x )＝x α(α∈R )，则f ′(x )＝αxα－1；若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； 若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ；若f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝a xln_a ； 若f (x )＝e x，则f ′(x )＝e x；若f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝1x ln a ；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x.5．导数四则运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x gx′＝f ′x g x －f x g ′x[g x ]2(g (x )≠0)． 6．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 一个区别曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别：曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 两种法则(1)导数的四则运算法则． (2)复合函数的求导法则． 三个防范1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别． 3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．双基自测1．下列求导过程中①⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2；②(x )′＝12x；③(log a x )′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ln a ′＝ 1x ln a；④(a x )′＝(eln a x )′＝(e x ln a )′＝e x ln a ln a ＝a xln a其中正确的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D2．(人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )．A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2) D ．3(x 2＋a 2)解析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．答案 C3．(2011·湖南)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )．A ．－12 B.12 C ．－22 D.22解析 本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力．y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin xsin x ＋cos x2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入得导数值为12.答案 B4．(2011·江西)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )．A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0) 解析 令f ′(x )＝2x －2－4x＝2x －2x ＋1x＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x ＜0或x ＞2，又x ＞0，所以x ＞2.故选C. 答案 C5．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝______；li mΔx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝________(用数字作答)．答案 2 －2考向一 导数的定义【例1】►利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处切线与曲线f (x )＝x 3的交点． [审题视点] 正确理解导数的定义是求解的关键．解 f ′(x 0)＝lim x →x 0 f x －f x 0x －x 0＝lim x →x 0 x 3－x 30x －x 0 ＝lim x →x 0 (x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20.曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 30，得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0. 若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)； 若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．利用定义求导数的一般过程是：(1)求函数的增量Δy ；(2)求平均变化率Δy Δx ；(3)求极限li mΔx →0 ΔyΔx. 【训练1】 利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．证明 法一 设y ＝f (x )是奇函数，即对定义域内的任意x 都有f (－x )＝－f (x )f ′(x )＝li mΔx →0 f x ＋Δx －f x Δx则f ′(－x )＝li mΔx →0 f －x ＋Δx －f －x Δx＝li m Δx →0 f x －Δx －f x －Δx＝f ′(x )因此f ′(x )为偶函数，同理可证偶函数的导数是奇函数． 法二 设y ＝f (x )是奇函数，即对定义域内的任意x 都有f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－f (－x )因此f ′(x )＝[－f (－x )]′＝－ [f (－x )]′＝f ′(－x ) 则f ′(x )为偶函数同理可证偶函数的导数是奇函数．考向二 导数的运算【例2】►求下列各函数的导数：(1)y ＝x ＋x 5＋sin xx2； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝11－x ＋11＋x；[审题视点] 先把式子化为最简式再进行求导． 解 (1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x －32＋x 3＋sin xx2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫x －32′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x －52＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)法一 y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)· (x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.(3)∵y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝－12sin x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(4)y ＝11－x ＋11＋x＝1＋x ＋1－x1－r(x 1＋x)＝21－x， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－21－x ′1－x 2＝21－x2.(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础．(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导． 【训练2】 求下列函数的导数： (1)y ＝x n e x； (2)y ＝cos xsin x ；(3)y ＝e xln x ；(4)y ＝(x ＋1)2(x －1)． 解 (1)y ′＝nxn －1e x ＋x n e x ＝xn －1e x(n ＋x )．(2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x.(3)y ′＝e xln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋ln x .(4)∵y ＝(x ＋1)2(x －1)＝(x ＋1)(x 2－1)＝x 3＋x 2－x －1， ∴y ′＝3x 2＋2x －1.考向三 求复合函数的导数【例3】►求下列复合函数的导数． (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)．[审题视点] 正确分解函数的复合层次，逐层求导． 解 (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5， 由y ＝u 5与u ＝2x －3复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′＝5u 4·2 ＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x . 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成．y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′＝12u －12(－1)＝－12u －12＝－123－x ＝3－x2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.(4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y x ′＝y u ′·u x ′y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程． 【训练3】 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋1； (2)y ＝sin 22x ； (3)y ＝e －xsin 2x; (4)y ＝ln 1＋x 2.解 (1)y ′＝12 x 2＋1·2x ＝x x 2＋1， (2)y ′＝(2sin 2x )(cos 2x )×2＝2sin 4x (3)y ′＝(－e －x)sin 2x ＋e －x(cos 2x )×2 ＝e －x(2cos 2x －sin 2x )．(4)y ′＝11＋x 2·121＋x2·2x ＝x1＋x 2.规范解答6——如何求曲线上某一点的切线方程【问题研究】 利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题.这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切点而导致错误., 【解决方案】 解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程.【示例】►(本题满分12分)(2010·山东)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1(a ∈R )．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．(1)求出在点(2，f (2))处的斜率及f (2)，由点斜式写出切线方程；(2)求f ′(x )，再对a 分类讨论．[解答示范] (1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，x ∈(0，＋∞)．所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，(1分)因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1.又f (2)＝ln 2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0.(3分)(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)．(4分)令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；(6分)②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1. a ．当a ＝12时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(7分)b ．当0＜a ＜12时，1a－1＞1＞0. x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1a －1时，g (x )＜0，此时f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；(9分)c ．当a ＜0时，由于1a－1＜0，x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．(11分)综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当0＜a ＜12时，函数f (x )在(0,1)上单调递减， 函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，1a －1上单调递增， 函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞上单调递减．(12分)求解切线问题的关键是切点坐标，无论是已知切线斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在．。
导数的计算与几何意义 高考数学一轮复习讲义
导数的计算与几何意义一、学习目标1.理解导数的概念；2.掌握导数的计算；3掌握导数的几何意义，会解决曲线的切线问题.二、知识要点1.函数)(x f y =在0x x =处的导数：称函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率xyx x f x x f x x ∆∆=∆-∆+→∆→∆0000lim )()(lim为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作).('0x f2.导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数)('0x f 的几何意义是在曲线)(x f y =上点),(00y x P 处的切线的斜率，即切线方程为))(('000x x x f y y -=-. 原函数 导函数原函数 导函数c y =（c 为常数）0'=y x a y =（0>a 且1≠a ） a a y x ln '= n x y =（Q n ∈）1'-=n nx yx e y =x e y ='x y sin = x y cos '= x y a log =（0>a 且1≠a ）a x y ln 1'=x y cos =x y sin '-=x y ln =xy 1=4. 导数的运算法则：①)(')(')]'()([x g x f x g x f ±=±； ②)(')()()(')]'()([x g x f x g x f x g x f ⋅+⋅=⋅； ③)()()(')()(']')()([2x g x f x g x g x f x g x f -=. 5. 符合函数的求导法则：' ''x u x u y y ⋅=.三、典例分析：考点1：导数的计算例1.求下列函数的导数：（1）x x y 22log 1+-=；（2）)13)(12(2-+=x x y ； （3）x e y xsin ⋅=；（4）1212+-=x x y . 【答案】（1）2ln 12'x x y +=； （2）3418'2+-=x x y ； （3）)cos (sin 'x x e y x+=； （4）22)12(222+-+=x x x y .例2.求下列函数的导数：（1）)1ln(x y -=； （2）12+=x e y ；（3）21x y -=；（4）)32(sin 2π+=x y .【答案】（1）11'-=x y ；（2）122'+=x e y ；（3）21'xx y --=；（4）)324sin(2'π+=x y .考点2：导数的几何意义 1.已知曲线.3431:3+=x y C （1）求曲线C 在点)4,2(P 处的切线方程；（2）求过点)4,2(P 且与曲线C 相切的直线方程. 【答案】（1）44-=x y ； （2）44-=x y 和2+=x y .2.已知函数x x x f 32)(3-=，若过点),1(t P 存在3条直线与曲线)(x f y =相切，求实数t 的取值范围.【答案】13-<<-t考点3：公切线问题1.已知函数)0(1)(2>+=a ax x f ，.)(3bx x x g +=若曲线)(x f y =与曲线)(x g y =在它们的交点),1(c 处具有公共切线，求b a ,的值. 【答案】3==b a2.已知x e x f =)(，2ln )(+=x x g ，直线l 是)(x f 与)(x g 的公切线，则直线l 的方程为（ ）A.x ey 1=或1-=x y B.ex y -=或1--=x y C.ex y =或1+=x y D.x ey 1=或1+-=x y【答案】C3.若直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是曲线)1ln(+=x y 的切线，则=b _____. 【答案】2ln 1-四、课外作业1.下列运算正确的是（ ）A ．(3)3x x lnx '=B ．2sin cos sin ()x x x xx x'+= C ．211()1x x x '-=- D ．21(log )2x xln '=【答案】D2．已知某函数的导数为12(1)y x '=-，则这个函数可能是（ ）A ．1y ln x =-B ．1y x=- C ．(1)y ln x =- D ．11y lnx =- 【答案】A3．函数1()(0)x f x e x x=+>，若0x 满足0()0f x '=，设0(0,)m x ∈，0(n x ∈，)+∞，则（ ）A ．()0f m '<，()0f n '<B ．()0f m '>，()0f n '>C ．()0f m '<，()0f n '>D ．()0f m '>，()0f n '<【答案】C5.已知函数44)(2+-=x x x f ，xx g 1)(=，则)(x f 和)(x g 的公切线条数为（ ） A.3条 B.2条 C.1条 D.0条 【答案】A6.已知()g x '是函数()g x 的导函数，且()()f x g x ='，下列命题中，真命题是（ ） A ．若()f x 是奇函数，则()g x 必是偶函数 B ．若()f x 是偶函数，则()g x 必是奇函数 C ．若()f x 是周期函数，则()g x 必是周期函数 D ．若()f x 是单调函数，则()g x 必是单调函数 【答案】A7．若函数()(1)ax f x e ln x =++，(0)4f '=，则a =_______. 【答案】38．曲线21x y xe x =++在点(0,1)处的切线方程为_______. 【答案】31y x =+9．已知函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则(0)f '=_______. 【答案】2410．设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()0g x ≠，当0x <时()()()()f x g x f x g x '>'，且(3)0f -=，则不等式()0()f xg x <的解集是_______. 【答案】(,3)(0,3)-∞-11.如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则=+)5(')5(f f ______.【答案】212．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于_________. 【答案】2564-或1-. 13．已知抛物线27:42C y x x =++，过C 上一点M ，且与M 处的切线垂直的直线称为C 在点M 的法线．（Ⅰ）若C 在点M 的法线的斜率为12-，求点M 的坐标0(x ，0)y ；（Ⅱ）设(2,)P a -为C 对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？【答案】（Ⅰ）1(1,)2M -； （Ⅱ）当0a >时，在C 上有三个点21(2,)2a a --，21(2,)2a a ---及1(2,)2--，在这三点的法线过点(2,)P a -，其方程分别是2220x ay a a +-=，2220x ay a a --，2x =-；当0a ≤时，在C 上有一个点1(2,)2P --，在这点的法线过点(2,)P a -，其方程为2x =-.。
高考数学一轮复习 专题3.1 导数概念及其几何意义(讲)
第01节 导数概念及其几何意义【考纲解读】【知识清单】1．导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆. 2．函数f (x )的导函数称函数0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆为f (x )的导函数．2．函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点 (x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．【重点难点突破】考点1 利用导数的定义求函数的导数 【1-1】一质点运动的方程为283s t =-.（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法） 【答案】（1）63x --∆；（2）6-.【领悟技法】1.根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法： ①求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆，简记作：一差、二比、三极限.2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数 【触类旁通】【变式一】若0()3f x '=-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A ．3-B ．12-C ．9-D ．6- 【答案】B【解析】法一（注重导数概念的应用的解法）：因为0000()()()lim3h f x h f x f x h→+-'==-，所以00000000()(3)()()[(3)()]limlimh h f x h f x h f x h f x f x h f x h h→→+--+----=0000000000030()()(3)()()()(3)()limlim lim 3lim3h h h h f x h f x f x h f x f x h f x f x h f x h h h h→→→-→+---+---=-=+- 000()3()4()12f x f x f x '''=+==-，选B ；法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为0000()()()lim3h f x h f x f x h→+-'==-，所以0000000()(3)()(3)lim4lim 4'()124h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+--+--===-（其中：00()(3)4x h x h h +--=），故选B.考点2 导数的几何意义【2-1】【2018年全国卷II 文】曲线在点处的切线方程为__________．【答案】y =2x –2点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理. 【2-2】【2018年全国卷Ⅲ理】曲线在点处的切线的斜率为，则________． 【答案】【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。
2013届高考数学一轮复习教案3.1导数的概念及其运算
§3.1导数的概念及其运算1.函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为____________，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为________.2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率______________＝______________为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝______________.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点__________处的____________.相应地，切线方程为__________________.3.函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝__________________为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4.基本初等函数的导数公式5.(1)[f (x )±g (x )]′＝______________； (2)[f (x )·g (x )]′＝____________________； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝______________________ (g (x )≠0).6.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝__________，即y 对x 的导数等于________的导数与________的导数的乘积. [难点正本 疑点清源]1.深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数；(2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的.如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0).这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x ).在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数.2.曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点.点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.1. f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________.2.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8， 则f (5)＋f ′(5)＝______.3.已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________.4.已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于 3x －y ＝0，则点P 的坐标为________.5.已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A.－3B.2C.－3或2D.12题型一 利用导数的定义求函数的导数例1 求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率. 探究提高 求函数f (x )平均变化率的步骤： ①求函数值的增量Δf ＝f (x 2)－f (x 1)； ②计算平均变化率Δf Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了.利用导数的定义求函数的导数：(1)f (x )＝1x 在x ＝1处的导数； (2)f (x )＝1x ＋2. 题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x 2；(4)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1. 探究提高 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量.求下列各函数的导数：(1)y ＝x ＋x 5＋sin xx 2；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝－sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝11－x ＋11＋x ； (5)y ＝cos 2xsin x ＋cos x.例3 求下列复合函数的导数： (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5). 探究提高 由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一 层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程.求下列复合函数的导数：(1)y ＝(1＋sin x )2；(2)y ＝ln x 2＋1； (3)y ＝x e 1－cos x；(4)y ＝1(1－3x )4；(5)y ＝x 1＋x 2. 题型三 导数的几何意义 例4 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程.探究提高 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点的坐标.(2)切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其它的公共点.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x－3相切，求实数a 、b 、c 的值.1.一审条件挖隐含试题：(12分)设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直. (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值. 审题路线图 C 1与C 2有交点↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1 ①↓(交点(x 0，y 0)适合解析式)⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0 ②↓(注意隐含条件方程①②同解) a ＋b ＝52↓(消元)ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516 ↓当a ＝54时，ab 最大且最大值为2516.规范解答解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，[1分]对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分]设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直.∴(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0 ② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.[7分](2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516. [10分] ∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.[12分]点评 本题的切入点是：两曲线有交点(x 0，y 0)，交点处的切线互相垂直.通过审题路线图可以较为清晰地看到审题的思维过程.方法与技巧1.在对导数的概念进行理解时，特别要注意f ′(x 0)与(f (x 0))′是不一样的，f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值，不一定为0；而(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误. 失误与防范1.利用导数定义求导数时，要注意到x 与Δx 的区别，这里的x 是常量，Δx 是变量.2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.3.求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.答案要点梳理 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1ΔyΔx 2.(1)lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx lim Δx →0 ΔyΔx lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx(2)(x 0，f (x 0)) 切线的斜率 y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) 3.lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx4.0 nx n －1 cos x －sin x a x ln a (a >0) e x 1x ln a (a >0，且a ≠1) 1x5.(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) (3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]26.y ′u ·u ′x y 对u u 对x 基础自测1.32.23.－24.(1,0)5.B题型分类·深度剖析例1 解 ∵Δy ＝(x 0＋Δx )2＋1－x 20＋1＝(x 0＋Δx )2＋1－x 20－1(x 0＋Δx )2＋1＋x 20＋1＝2x 0Δx ＋(Δx )2(x 0＋Δx )2＋1＋x 20＋1， ∴Δy Δx ＝2x 0＋Δx (x 0＋Δx )2＋1＋x 20＋1. 变式训练1 (1)－12(2)f ′(x )＝－1(x ＋2)2例2 解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x (ln x ＋1x ).(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(3)先使用三角公式进行化简，得 y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝x ′－12(sin x )′ ＝1－12cos x .(4)先化简，y ＝x ·1x －x ＋1x －1＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x .变式训练2 (1)y ′＝－32x －52＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)y ′＝3x 2＋12x ＋11 (3)y ′＝12cos x(4)y ′＝2(1－x )2(5)y ′＝－sin x －cos x例3 解 (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5与u ＝2x －3复合而成， ∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′ ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成.∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′＝12u －12(－1)＝－12u －12 ＝－123－x ＝3－x 2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， ∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.变式训练3 解 (1)设u ＝1＋sin x ， 则y ＝(1＋sin x )2，由y ＝u 2与u ＝1＋sin x 复合而成. ∴y ′＝f ′(u )·u ′＝2u ·cos x ＝2(1＋sin x )·cos x . (2)y ′＝(ln x 2＋1)′ ＝1x 2＋1·(x 2＋1)′ ＝1x 2＋1·12(x 2＋1)－12·(x 2＋1)′＝xx 2＋1. (3)y ′＝(x e 1－cos x)′＝e 1－cos x＋x (e 1－cos x)′＝e 1－cos x ＋x [e 1－cos x·(1－cos x )′]＝e 1－cos x＋x e 1－cos x·sin x ＝(1＋x sin x )e 1－cos x.(4)设u ＝1－3x ，y ＝u －4.则y x ′＝y u ′·u x ′＝－4u －5·(－3)＝12(1－3x )5. (5)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′·1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x 21＋x 2.例4 解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为：y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为：y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为：x 20＝1，x 0＝±1.切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎫1，53， ∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0. 变式训练4 解 ∵y ′＝2ax ＋b ， ∴抛物线在Q (2，－1)处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝2＝4a ＋b . ∴4a ＋b ＝1.①又∵P (1,1)、Q (2，－1)在抛物线上， ∴a ＋b ＋c ＝1，②4a ＋2b ＋c ＝－1. ③联立①②③解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.∴实数a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.高∴考[试﹤题!库。
高考数学一轮总复习课件：导数的概念与运算
(4)f(x)＝ 1－1 2x2；
π (5)f(x)＝cos(3x2－ 6 )．
【解析】 (1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝11＋ －
xx＋11＋－
x x
＝（1＋ 1－xx）2＋（1－ 1－xx）2
π 5．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝ 2 处的瞬时变化率为
k1，k2，则k1，k2的大小关系为( A )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx. π
k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
授人以渔
题型一 导数的概念(自主学习)
(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x02＝1， 解得x0＝±1，故切点为1，53或(－1，1)． 故所求切线方程为y－53＝x－1或y－1＝x＋1. 即3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0.
【答案】 (1)4x－y－4＝0 (2)4x－y－4＝0或x－y＋2＝0 (3)3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0
状元笔记
求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在 点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线， 一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上， 点P不一定是切点． (2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
数的平均变化率Δ Δyx的极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，
(word完整版)高三理科数学一轮总复习导数及其应用教师用书95891
第三章导数及其应用高考导航知识网络3.1 导数的概念与运算典例精析题型一 导数的概念【例1】 已知函数f (x )＝2ln 3x ＋8x ， 求0Δlim→x f (1－2Δx )－f (1)Δx 的值.【解析】由导数的定义知：0Δlim→x f (1－2Δx )－f (1)Δx ＝－20Δlim →x f (1－2Δx )－f (1)－2Δx ＝－2f ′(1)＝－20.【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx →0时， 平均变化率ΔyΔx 的极限.【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可以近似地表示为f (t )＝t 2100，则在时刻t ＝10 min 的降雨强度为( ) A.15 mm/minB.14 mm/min C.12mm/minD.1 mm/min 【解析】选A. 题型二 求导函数【例2】 求下列函数的导数. (1)y ＝ln(x ＋1＋x 2)； (2)y ＝(x 2－2x ＋3)e 2x ； (3)y ＝3x 1－x. 【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则. (1)y ′＝1x ＋1＋x2(x ＋1＋x 2)′＝1x ＋1＋x 2(1＋x 1＋x 2)＝11＋x 2.(2)y ′＝(2x －2)e 2x ＋2(x 2－2x ＋3)e 2x＝2(x 2－x ＋2)e 2x . (3)y ′＝13(x 1－x 32)-1－x ＋x (1－x )2＝13(x 1－x 32)-1(1－x )2 ＝13x 32- (1－x ) 34-【变式训练2】如下图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝；0Δlim→x f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(用数字作答).【解析】f (0)＝4，f (f (0))＝f (4)＝2， 由导数定义0Δlim→x f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1).当0≤x ≤2时，f (x )＝4－2x ，f ′(x )＝－2，f ′(1)＝－2. 题型三 利用导数求切线的斜率【例3】 已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ， 直线l ：y ＝kx ，且l 与C 切于点P (x 0，y 0) (x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.【解析】由l 过原点，知k ＝y 0x 0 (x 0≠0)，又点P (x 0，y 0) 在曲线C 上，y 0＝x 30－3x 20＋2x 0， 所以y 0x 0＝x 2－3x 0＋2. 而y ′＝3x 2－6x ＋2，k ＝3x 20－6x 0＋2. 又 k ＝y 0x 0，所以3x 20－6x 0＋2＝x 20－3x 0＋2，其中x 0≠0， 解得x 0＝32.所以y 0＝－38，所以k ＝y 0x 0＝－14，所以直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为(32，－38).【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.【变式训练3】若函数y ＝x 3－3x ＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程. 【解析】设切点为P (x 0，y 0)，则由 y ′＝3x 2－3得切线的斜率为k ＝3x 20－3.所以函数y ＝x 3－3x ＋4在P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(3x 20－3)(x －x 0). 又切线经过点(－2,2)，得2－y 0＝(3x 20－3)(－2－x 0)，① 而切点在曲线上，得y 0＝x 30－3x 0＋4， ② 由①②解得x 0＝1或x 0＝－2. 则切线方程为y ＝2 或 9x －y ＋20＝0.总结提高1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数通常有以下两种求法： (1) 导数的定义，即求0Δlim→x ΔyΔx ＝0Δlim →x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 的值；(2)先求导函数f ′(x )，再将x ＝x 0的值代入，即得f ′(x 0)的值. 2.求y ＝f (x )的导函数的几种方法： (1)利用常见函数的导数公式； (2)利用四则运算的导数公式； (3)利用复合函数的求导方法.3.导数的几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)，就是函数y ＝f (x )的曲线在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率.3.2 导数的应用(一)典例精析题型一 求函数f (x )的单调区间【例1】已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R )，求函数f (x )的单调区间. 【解析】函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)的定义域是(1，＋∞). f ′(x )＝2x －a －ax －1＝2x (x －a ＋22)x －1，①若a ≤0，则a ＋22≤1，f ′(x )＝2x (x －a ＋22)x －1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤0时，f (x )的增区间为(1，＋∞).②若a ＞0，则a ＋22＞1，故当x ∈(1，a ＋22]时，f ′(x )＝2x (x －a ＋22)x －1≤0；当x ∈[a ＋22，＋∞)时，f ′(x )＝2x (x －a ＋22)x －1≥0，所以a ＞0时，f (x )的减区间为(1，a ＋22]，f (x )的增区间为[a ＋22，＋∞).【点拨】在定义域x ＞1下，为了判定f ′(x )符号，必须讨论实数a ＋22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.【变式训练1】已知函数f (x )＝x 2＋ln x －ax 在(0,1)上是增函数，求a 的取值范围. 【解析】因为f ′(x )＝2x ＋1x －a ，f (x )在(0,1)上是增函数，所以2x ＋1x －a ≥0在(0,1)上恒成立，即a ≤2x ＋1x恒成立.又2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时，取等号).所以a ≤22，故a 的取值范围为(－∞，22].【点拨】当f (x )在区间(a ，b )上是增函数时⇒f ′(x )≥0在(a ，b )上恒成立；同样，当函数f (x )在区间(a ，b )上为减函数时⇒f ′(x )≤0在(a ，b )上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.题型二 求函数的极值【例2】已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由. 【解析】(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . 因为x ＝±1是函数f (x )的极值点，所以x ＝±1是方程f ′(x )＝0，即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根.由根与系数的关系，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-② ,13① ,032ac ab又f (1)＝－1，所以a ＋b ＋c ＝－1.③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)得f (x )＝12x 3－32x ，所以当f ′(x )＝32x 2－32＞0时，有x ＜－1或x ＞1；当f ′(x )＝32x 2－32＜0时，有－1＜x ＜1.所以函数f (x )＝12x 3－32x 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数.所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f (x )来讲， f (x )在点x ＝x 0处取极值的必要条件是f ′(x )＝0.但是， 当x 0满足f ′(x 0)＝0时， f (x )在点x ＝x 0处却未必取得极值，只有在x 0的两侧f (x )的导数异号时，x 0才是f (x )的极值点.并且如果f ′(x )在x 0两侧满足“左正右负”，则x 0是f (x )的极大值点，f (x 0)是极大值；如果f ′(x )在x 0两侧满足“左负右正”，则x 0是f (x )的极小值点，f (x 0)是极小值.【变式训练2】定义在R 上的函数y ＝f (x )，满足f (3－x )＝f (x )，(x －32)f ′(x )＜0，若x 1＜x 2，且x 1＋x 2＞3，则有( )A.f (x 1)＜f (x 2)B.f (x 1)＞f (x 2)C.f (x 1)＝f (x 2)D.不确定【解析】由f (3－x )＝f (x )可得f [3－(x ＋32)]＝f (x ＋32)，即f (32－x )＝f (x ＋32)，所以函数f (x )的图象关于x ＝32对称.又因为(x －32)f ′(x )＜0，所以当x ＞32时，函数f (x )单调递减，当x ＜32时，函数f (x )单调递增.当x 1＋x 22＝32时，f (x 1)＝f (x 2)，因为x 1＋x 2＞3，所以x 1＋x 22＞32，相当于x 1，x 2的中点向右偏离对称轴，所以f (x 1)＞f (x 2).故选B.题型三 求函数的最值【例3】 求函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在区间[0,2]上的最大值和最小值.【解析】f ′(x )＝11＋x －12x ，令11＋x －12x ＝0，化简为x 2＋x －2＝0，解得x 1＝－2或x 2＝1，其中x 1＝－2舍去.又由f ′(x )＝11＋x －12x ＞0，且x ∈[0,2]，得知函数f (x )的单调递增区间是(0,1)，同理， 得知函数f (x )的单调递减区间是(1,2)，所以f (1)＝ln 2－14为函数f (x )的极大值.又因为f (0)＝0，f (2)＝ln 3－1＞0，f (1)＞f (2)，所以，f (0)＝0为函数f (x )在[0,2]上的最小值，f (1)＝ln 2－14为函数f (x )在[0,2]上的最大值.【点拨】求函数f (x )在某闭区间[a ，b ]上的最值，首先需求函数f (x )在开区间(a ，b )内的极值，然后，将f (x )的各个极值与f (x )在闭区间上的端点的函数值f (a )、f (b )比较，才能得出函数f (x )在[a ，b ]上的最值.【变式训练3】(2008江苏)f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝. 【解析】若x ＝0，则无论a 为何值，f (x )≥0恒成立. 当x ∈(0,1]时，f (x )≥0可以化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，x ∈(0，12)时，g ′(x )＞0，x ∈(12，1]时，g ′(x )＜0.因此g (x )max ＝g (12)＝4，所以a ≥4.当x ∈[－1,0)时，f (x )≥0可以化为 a ≤3x 2－1x 3，此时g ′(x )＝3(1－2x )x 4＞0， g (x )min ＝g (－1)＝4，所以a ≤4. 综上可知，a ＝4.总结提高1.求函数单调区间的步骤是： (1)确定函数f (x )的定义域D ； (2)求导数f ′(x )；(3)根据f ′(x )＞0，且x ∈D ，求得函数f (x )的单调递增区间；根据f ′(x )＜0，且x ∈D ，求得函数f (x )的单调递减区间.2.求函数极值的步骤是： (1)求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)判断f ′(x )在方程根左右的值的符号，确定f (x )在这个根处取极大值还是取极小值. 3.求函数最值的步骤是：先求f (x )在(a ，b )内的极值；再将f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3.3 导数的应用(二)典例精析题型一 利用导数证明不等式 【例1】已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在区间[1，e]上的值域； (2)求证：x ＞1时，f (x )＜23x 3.【解析】(1)由已知f ′(x )＝x ＋1x，当x ∈[1，e]时，f ′(x )＞0，因此f (x )在 [1，e]上为增函数. 故f (x )max ＝f (e)＝e 22＋1，f (x )min ＝f (1)＝12，因而f (x )在区间[1，e]上的值域为[12，e 22＋1].(2)证明：令F (x )＝f (x )－23x 3＝－23x 3＋12x 2＋ln x ，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x ，因为x ＞1，所以F ′(x )＜0， 故F (x )在(1，＋∞)上为减函数. 又F (1)＝－16＜0，故x ＞1时，F (x )＜0恒成立， 即f (x )＜23x 3.【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.【变式训练1】已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x ＞0时，f ′(x )＞0，g ′(x )＞0，则x ＜0时( )A.f ′(x )＞0，g ′(x )＞0B.f ′(x )＞0，g ′(x )＜0C.f ′(x )＜0，g ′(x )＞0D.f ′(x )＜0，g ′(x )＜0 【解析】选B. 题型二 优化问题【例2】 (2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y 万元.(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 【解析】(1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝m x－1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256(m x －1)＋mx (2＋x )x＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知f ′(x )＝－256m x 2＋12mx 21 ＝m2x2(x 23－512).令f ′(x )＝0，得x 23＝512.所以x ＝64.当0＜x ＜64时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64＜x ＜640时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(64,640)内为增函数.所以f (x )在x ＝64处取得最小值.此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小.【变式训练2】(2010上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).【解析】设圆柱底面半径为r ，高为h ， 则由已知可得4(4r ＋2h )＝9.6，所以2r ＋h ＝1.2. S ＝2.4πr －3πr 2，h ＝1.2－2r ＞0，所以r ＜0.6. 所以S ＝2.4πr －3πr 2(0＜r ＜0.6). 令f (r )＝2.4πr －3πr 2，则f ′(r )＝2.4π－6πr . 令f ′(r )＝0得r ＝0.4.所以当0＜r ＜0.4，f ′(r )＞0； 当0.4＜r ＜0.6，f ′(r )＜0.所以r ＝0.4时S 最大，S max ＝1.51. 题型三 导数与函数零点问题【例3】 设函数f (x )＝13x 3－mx 2＋(m 2－4)x ，x ∈R .(1)当m ＝3时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)已知函数f (x )有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β.若对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】(1)当m ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2＋5x ，f ′(x )＝x 2－6x ＋5.因为f (2)＝23，f ′(2)＝－3，所以切点坐标为(2，23)，切线的斜率为－3，则所求的切线方程为y －23＝－3(x －2)，即9x ＋3y －20＝0.(2)f ′(x )＝x 2－2mx ＋(m 2－4). 令f ′(x )＝0，得x ＝m －2或x ＝m ＋2.当x ∈(－∞，m －2)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，m －2)上是增函数； 当x ∈(m －2，m ＋2)时，f ′(x )＜0，f (x )在(m －2，m ＋2)上是减函数； 当x ∈(m ＋2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(m ＋2，＋∞)上是增函数.因为函数f (x )有三个互不相同的零点0，α，β，且f (x )＝13x [x 2－3mx ＋3(m 2－4)]，所以⎩⎨⎧≠->--.0)4(3,0)4(12)3(222m m m 解得m ∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4). 当m ∈(－4，－2)时，m －2＜m ＋2＜0，所以α＜m －2＜β＜m ＋2＜0.此时f (α)＝0，f (1)＞f (0)＝0，与题意不合，故舍去. 当m ∈(－2,2)时，m －2＜0＜m ＋2， 所以α＜m －2＜0＜m ＋2＜β.因为对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立， 所以α＜1＜β.所以f (1)为函数f (x )在[α，β]上的最小值.因为当x ＝m ＋2时，函数f (x )在[α，β]上取最小值， 所以m ＋2＝1，即m ＝－1. 当m ∈(2,4)时，0＜m －2＜m ＋2， 所以0＜m －2＜α＜m ＋2＜β.因为对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立， 所以α＜1＜β.所以f (1)为函数f (x )在[α，β]上的最小值.因为当x ＝m ＋2时，函数f (x )在[α，β]上取最小值， 所以m ＋2＝1，即m ＝－1(舍去). 综上可知，m 的取值范围是{－1}.【变式训练3】已知f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x . (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值范围. 【解析】(1)当a ＞0时，F (x )的递增区间为(1a ，＋∞)，递减区间为(0，1a)； 当a ≤0时，F (x )的递减区间为(0，＋∞). (2)[12ln 2，1e). 总结提高在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.3.4 定积分与微积分基本定理典例精析题型一 求常见函数的定积分 【例1】 计算下列定积分的值. (1)⎰21(x －1)5d x ；(2)⎰2π(x ＋sin x )d x .【解析】(1)因为[16(x －1)6]′＝(x －1)5， 所以⎰21 (x －1)5d x ＝6)1(61-x 12＝16. (2)因为(x 22－cos x )′＝x ＋sin x ， 所以⎰2π0(x ＋sin x )d x ＝)cos 2(2x x -12π＝π28＋1. 【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：①若f (x )是偶函数时，则⎰-a a f (x )d x ＝2⎰a 0f (x )d x ； ②若f (x )是奇函数时，则⎰-a a f (x )d x ＝0. 【变式训练1】求⎰-55(3x 3＋4sin x )d x . 【解析】⎰-55(3x 3＋4sin x )d x 表示直线x ＝－5，x ＝5，y ＝0和曲线y ＝3x 3＋4sin x 所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.又f (－x )＝3(－x )3＋4sin(－x )＝－(3x 3＋4sin x )＝－f (x ).所以f (x )＝3x 3＋4sin x 在[－5,5]上是奇函数，所以⎰-50(3x 3＋4sin x )d x ＝－⎰05(3x 3＋4sin x )d x ， 所以⎰-55(3x 3＋4sin x )d x ＝⎰-50(3x 3＋4sin x )d x ＋⎰05(3x 3＋4sin x )d x ＝0. 题型二 利用定积分计算曲边梯形的面积【例2】求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 所围成的平面图形的面积.【解析】方法一：如图，由⎩⎨⎧-==,4,22x y x y 得交点A (2,2)，B (8，－4)，则S ＝⎰02[2x －(－2x )]d x ＋⎰28[4－x －(－2x )]d x＝0223324x ＋28)32224(232x x x +-＝163＋383＝18. 方法二：S ＝⎰-42[(4－y )－y 22]d y ＝42)61214(32---y y y ＝18. 【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以y 为积分变量时，应注意将曲线方程变为x ＝φ(y )的形式，同时，积分上、下限必须对应y 的取值.【变式训练2】设k 是一个正整数，(1＋x k )k 的展开式中x 3的系数为116，则函数y ＝x 2与y ＝kx －3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为.【解析】T r ＋1＝C r k (x k )r ，令r ＝3，得x 3的系数为C 3k 1k 3＝116，解得k ＝4.由⎩⎨⎧-==34,2x y x y 得函数y ＝x 2与y ＝4x －3的图象的交点的横坐标分别为1,3.所以阴影部分的面积为S ＝⎰13(4x －3－x 2)d x ＝(2x 2－3x －13)313x ＝43. 题型三 定积分在物理中的应用【例3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；(2)一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时阻力所做的功.【解析】(1)当0≤t ≤1时，v (t )≥0，当1≤t ≤2时，v (t )≤0，所以前2秒内所走过的路程为s ＝⎰01v (t )d t ＋⎰12(－v (t ))d t ＝⎰01(1－t 2)d t ＋⎰12(t 2－1)d t=01)31(3t t -＋12)31(3t t -＝2.2秒末所在的位置为x 1＝x 0＋⎰02v (t )d t ＝1＋⎰02(1－t 2)d t ＝13. 所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x 1＝13. (2) 物体的速度为v ＝(bt 3)′＝3bt 2.媒质阻力F 阻＝kv 2＝k (3bt 2)2＝9kb 2t 4，其中k 为比例常数，且k ＞0.当x ＝0时，t ＝0；当x ＝a 时，t ＝t 1＝(a b)31， 又d s ＝v d t ，故阻力所做的功为W 阻＝⎰阻F d s ＝⎰01t kv 2·v d t ＝k ⎰01t v 3d t ＝ k ⎰01t (3bt 2)3d t ＝277kb 3t 71 ＝ 277k 3a 7b 2. 【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v (t )＝⎰a ba (t )d t ，s (t )＝⎰ab v (t )d t 和W ＝⎰a b F (x )d x 这三个公式.【变式训练3】定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，x ，y ∈(0，＋∞).令函数f (x )＝F [1，log 2(x 2－4x ＋9)]的图象为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A (0，m )，过坐标原点O 向曲线C 1作切线，切点为B (n ，t )(n ＞0)，设曲线C 1在点A ，B 之间的曲线段与线段OA ，OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值.【解析】因为F (x ，y )＝(1＋x )y ，所以f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))＝)94log(22+-x x ＝x 2－4x ＋9，故A (0,9)，又过坐标原点O 向曲线C 1作切线，切点为B (n ，t )(n ＞0)，f ′(x )＝2x －4. 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=,42,942n nt n n t 解得B (3,6)， 所以S ＝⎰03(x 2－4x ＋9－2x )d x ＝(x 33－3x 2＋9x )03=9. 总结提高1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.3.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；（4）计算定积分，写出答案.。
导数的几何意义——高三一轮复习
1.0 1.1 t min
图1.1 4
如图1.1 4,画出曲线上某点处的切线,利用网格 估计这条切线的斜率,可以得到此刻药物浓度瞬 时变化率的近似值.
作t 0.8处的切线,它的斜率约为 1.4,所以f '0.8 1.4.
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值, 验证 一下, 这些值是否正确.
t
0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度的瞬时变化率f 't 0.4 0 0.7 1.4
导函数
从求函数f (x)在x x0处导数的过程可以看到， 当x x0时，f ' (x0 )是一个确定的数。 这样，当x变化时，f '(x)便是x的一个函数，我们称它为
f (x)的导函数（简称导数）。即
f ' (x) y' lim f (x x) f (x)
导数的几何意义
选修2-2,1.1.3
学习目标：理解导数的几何意义； 学会利用导数求曲线的切线方程； 学会应用导数的几何意义； 理解导函数的概念。
复习引入
1、平均变化率
一般地，函数 f (x)在区间上[x1, x2 ] 的平均变化率为
y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
y=f(x)
②割线的斜率
所以,
在t
2
单调递减.
从图3.1 3可见,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜
程度, 这说明曲线ht 在t1附近比在t2附近下降得缓慢.
变式
根据图像，请描述、比
较曲线
ht
在t
3、t
附近的变化情况。
4
h
o t 3t 4
t
结论：根据导数的几何意义，
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导数的计算及其几何意义1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数近年来,导数及其应用几乎成了数学高考舞台上必唱“主角”之一,在高考卷中所占比重也有上升趋势。
考查学生的运算能力、逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力，本节主要考察导数的几何意义，与函数及图象、直线方程等几何考查。
同时会以求基本函数的导数为基础，本节内容在高考中以简单题和中档题为主。
考点1 导数的概念1.平均变化率)(x f 在其定义域内从点1x 到2x 的平均变化率为xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆)()()()(111212. 2.瞬时变化率)(x f 在其定义域内的点x x =处的瞬时变化率为x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000.3.导数的定义函数)(x f y =,在0x x =处的瞬时变化率为xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000，我们称它为函数)(x f y =在0x x =处导数，记作)(0x f '，或0|x x y ='，即)(0x f '=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00. 考点2 导数的几何意义、物理意义1.几何意义（1）函数)(x f y =在点),(00y x 处的导数)(0x f '就是在点),(00y x 处的切线的斜率，即切k =)(0x f '.（2）点),(00y x 处的切线方程为))((000x x x f y y -'=-. 2.物理意义如果物体按规律)(t S S =运动，那么)(0t S '表示物体在0t t =时刻的瞬时速度， 即)(0t S v '=瞬.考点3 求基本函数的导数及导数的运算法则 1. 基本函数的导数(1).若c x f =)(，则0)(='x f (2).若)()(Q n x x f n ∈=，则1)(-='n nx x f (3).若x x f sin )(=，则x x f cos )(=' (4).若x x f cos )(=，则x x f sin )(-=' (5).若x a x f =)(，则a a x f x ln )(=' (6).若x e x f =)(，则x e x f =')( (7).若x x f a log )(=，则xe a x xf a log ln 1)(==' (8).若x x f ln )(=，则x x f 1)(=' 2.导数的运算法则(1) .()g f g f '±'='± (2) .()g f g f g f '⋅+⋅'='⋅(3). ''[()]()cf x cf x = (4).2g g f g f g f '⋅-⋅'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ )0(≠g (5).若函数))((x g f y =是由)(u f y =与)(x g u =复合而成的函数，则()x u u y x g f '⋅'=')((考点1 导数的几何意义、物理意义典例1 曲线y =－x 2+4x 上有两点A （4，0）、B （2，4）. 求：（1）割线AB 的斜率k AB ，及AB 所在直线的方程；（2）在曲线AB 上是否存在点C ，使过C 点的切线与AB 所在直线平行?若存在，求切线方程；若不存在，请说明理由.解题思路 本题主要考查导数的几何意义.假设存在符合条件的点C ，则切线的斜率与直线AB 的斜率相等，即点C 处的导数与直线AB 的斜率相等，从而求出切点C 的坐标，进而求得切线方程.解题过程 （1）k AB =4204--=－2，∴y =－2（x －4）.∴所求割线AB 所在直线方程为2x +y －8=0.（2）y '=－2x +4，由－2x +4=－2，得x =3，y =－32+3×4=3. ∴C 点坐标为（3，3），所求切线方程为2x +y －9=0. 即存在这样的点C ，点C 处的切线方程为2x +y －9=0.易错点拨 （1）已知两点求直线的斜率与切线的斜率要分清； （2）对于存在性问题的步骤与解题思路。
变式1 （2012年广东理）曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为 ． 点拨 求出已知函数的导数，判断点是否在曲线上，利用切线的斜率公式求解即可。
答案 012=+-y x变式2 已知函数32()()2f x x ax g x x b =+=+与的图象在1x =处有相同的切线，则a b +=（ ）A ．—1B ．0C ．1D ．2点拨 分别求得两函数的导数，利用两曲线在公共切点处的斜率相等，列等式即可求解。
答案 C变式2 已知直线20ax by --=与曲线3y x =在点P （1，1）处的切线互相垂直，则a b=（ ）A ．13B ．23C ．23-D ．13-点拨 求出曲线在切点处切线的斜率，用两直线的垂直关系找到等式便可求得结果。
答案 D考点2 求基本函数的导数及导数的运算法则 典例1 求下列函数的导数．（1）．2211x y -=； （2）．21x x y +=解题思路 选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数． 解题过程 （1）．解法一：设22121,x u uy -=='-，则()()()().21)21(2 212 42121 4212223223223xx x x x x xx u u y y x u x ---=---=-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⋅'='---＝解法二：()'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='-212221211x xy().21)21(2)21(2)4()21(2121)21(21222322322232xx xx x x x x x --=-=-⋅--='-⋅--=---（2）．解法一：.1422x x x x y +=+=设4221,x x u u y +==，则.1211)21(2 )42()(21 )42(21222242332142321xx x x x x x x x x x x x x x x u u y y x u x ++=++=++=+⋅+=+⋅='⋅'='-- 解法二：)1(1)1(222'+++⋅'='+='x x x x x x y .12111 22222xx xx x ++=+++=易错点拨 对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算．学生易犯错误是混淆变量或忘记中间变量对自变量求导。
变式1 函数)10()2)(1()(-⋅⋅⋅--=x x x x x f 在0=x 处的导数值为( ) A. 0 B. 210 C. 20 D. 10!点拨 看成x 与)10()2)(1(-⋅⋅⋅--x x x 的乘积，利用导数的运算易求解。
答案 D突破1 导数的意义与函数图象结合考查理解曲线（函数图象）的切线与导数的关系，是关键；还要理解原函数和导函数的关系。
典例1 如图)(/x f 是)(x f 的导函数，)(/x f 的图象如下图所示，则)(x f 的图象只可能是（ ）解题思路 首先观察函数的图象，y=)(/x f 与x 轴的交点即为)(x f 的极值点，然后根据函数与其导数的关系进行判断。
解题过程 由图可以看出函数y=)(/x f 的图象是一个二次函数的图象，在a 与b 之间，导函数的值是先增大后减小故在a 与b 之间，原函数图象切线的斜率是先增大后减小 因此故排除答案（A ），（B ），（C ）． 故答案为：（D ）。
易错点拨 会观察函数的图象并从中提取相关信息，并熟练掌握函数与其导数的关系 典例 2 如右图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则)5()5(f f '+= .解题思路 考查在某点处的切线方程，切点既在曲线上又在切线上解题过程 观察图形,设(5,(5))P f ,过P 点的切线方程为(5)'(5)(5)y f f x -=-，即'(5)(5)5'(5)y f x f f =+-它与8+-=x y 重合,比较系数知:'(5)1,(5)3f f =-= 故)5()5(f f '+=2.突破2 导数的意义与直线的斜率结合考查导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =在某点0x 处切线的斜率，因此切线方程可通过求导数先得斜率，再由切点利用点斜式方程求得。
求过点),(00y x P 的切线方程时，一要注意),(00y x P 是否在曲线上；二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线可能不只一条。
典例2 已知曲线31433y x =+，（1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程； （2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程； （3）求斜率为4的曲线的切线方程.解题思路 在点时：切点坐标→切线斜率→点斜式求切线方程；过点时，先把切点设出来，然后解方程。
解题过程 （1）(2,4)P 在曲线31433y x =+上，且2y x '= ∴在点(2,4)P 处的切线的斜率k=2|x y ='=4;∴曲线在点(2,4)P 处的切线方程为44(2)y x -=-,即440x y --=.（2）设曲线31433y x =+与过点(2,4)P 的切线相切于点30014(,)33A x x +， 则切线的斜率020|x x k y x ='==，∴切线方程为3200014()()33y x x x x -+=-，即23002433y x x x =-+ ∵点(2,4)P 在切线上，∴2300244233x x =-+，即3200340x x -+=， ∴322000440x x x +-+=， ∴200(1)(2)0x x +-=，解得01x =-或02x = 故所求的切线方程为440x y --=或20x y -+=. （3）设切点为00(,)x y则切线的斜率为204k x ==, 02x =±. ∴切点为()42，，⎪⎭⎫ ⎝⎛--342，∴切线方程为()244+=-x y 和()2434+=+x y 即440x y --=和123200x y -+=易错点拨 注意所求切线与已知点的关系，求过点),(00y x P 的切线方程时，一要注意),(00y x P 是否在曲线上；二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线可能不只一条。