高三数学第一轮复习——圆的方程

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高三数学第一轮复习讲义7.5 圆的方程(无答案)全国通用

§7.5 圆的方程班级姓名学号例1：求圆x 2+y 2－x+2y=0关于直线L ：x －y+1=0对称的圆的方程。

例2：一圆经过A （4，2），B （－1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距和为2，求此圆方程。

例3：设方程x 2+y 2－2(m+3)x+2(1－4m 2)y+16m 4+9=0。

（1）当且仅当m 在什么范围内，该方程表示一个圆。

（2）当m 在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程。

例4：已知圆和直线x －6y －10=0相切于（4，－1），且经过点（9，6），求圆的方程。

【备用题】已知圆x 2+y 2－6x －4y+10=0，直线L 1：y=kx, L 2:3x+2y+4=0, x 在什么范围内取值时，圆与L 1交于两点？又设L 1与L 2交于P ，L 1与圆的相交弦中点为Q ，当k 于上述范围内变化时，求证：|OP|·|OQ|为定值。

【基础训练】1、A=C ≠0，B=0是方程Ax 2+Bx+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、不充分不必要条件2、圆x 2+y 2－2x=0和x 2+y 2+4y=0的位置关系是：（） A 、相离 B 、外切 C 、相交 D 、内切3、以点A(－5,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为：（）A 、(x+5)2+(y －4)2=16B 、(x －5)2+(y+4)2=16C 、(x+5)2+(y －4)2=25D 、(x －5)2+(y+4)2=164、方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，（D 2+E 2－4F>0）关于直线x －y=0对称的充分条件是： A 、D=E B 、E=F C 、E=F D 、D=E 且F ≠05、若两直线y=x+2a, 和y=2x+a+1的交点为P ，P 在圆x 2+y 2=4的内部，则a 的取值范围是。

高三数学一轮复习圆的方程复习课

典例剖析
【例1】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为 2 ，求此圆的方程。 7 分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=（3b）2. 又因为直线y=x截圆得弦长为 2 7 ，则有（
知识梳理
4、圆的参数方程：
x a r cos y b r sin
( r 0 , 为参数 )
其中圆心为(a, b)，半径为r. 说明：1、几何性质比较明显，很好体现半径与x轴的圆心角的关系。 2、方程中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，把这个方程相对于参数方程又叫做普通方程.
能力培
（1）
y x
的最大值和最小值；
（2）y－x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.
思悟小结
1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F）的值需要确定，因此需要三个独立的条件. 利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值. 2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程. 3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.
A. a 1
B. a
.
1
C. a

8.3圆的方程课件高三数学一轮复习

(2) 圆 (x ＋ 2)2 ＋ (y － 12)2 ＝ 4 关于直线 x － y ＋ 8 ＝ 0 对称的圆的方程为
___(x__－__4_)_2_＋__(_y_－__6_)_2_＝_.4
解析设对称圆的圆心为(m，n)，则nmm－－2＋1222－＝n－＋211，2＋8＝0，解得mn＝＝64，，所以所求圆的圆心为(4，6)，
B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C.(x－1)2＋(y－1)2＝4
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r. 因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a. 又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2. 所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
5.已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( A)
A.4
B.5
C.6
D.7
解析由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为 dmin＝（3－0）2＋（4－0）2－1＝4.
6.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为
程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
一般
(D2＋E2－4F＞0)
圆心坐标：__－__D_2_，__－__E2____ 半径 r＝21 D2＋E2－4F
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|＞r⇔M在__圆__外__，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在__圆__上__，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|＜r⇔M在__圆__内__，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.

高三理科数学一轮总复习第八章直线和圆的方程

第八章直线和圆的方程
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命题展望
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.
3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
故所求直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)当斜率不存在时，直线方程x－2＝0合题意；
当斜率存在时，则设直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，所以＝2，解得k＝－，方程为3x＋4y－10＝0.
故所求直线方程为x－2＝0或3x＋4y－10＝0.
【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.
5.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.
7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
9.能用直线和圆的方程解决简单的问题.
10.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
11.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式.
本章重点：1.倾斜角和斜率的概念；2.根据斜率判定两条直线平行与垂直；3.直线的点斜式方程、一般式方程；4.两条直线的交点坐标；5.点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法；6.圆的标准方程与一般方程；7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系；8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题.
l的倾斜角为2θ，tan2θ＝＝＝.

圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习

解析：由题设知 = , = ， = ，所以
< < ，要使,,三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，
一个点在圆外，所以圆以为半径，故圆的方程为
−

+ + ��

= .
求圆的方程的两种方法
1.（多选）(2024·重庆模拟)设圆的方程是 −
= ，故 = − −
⋅ = − −
+ −

+ ,所以
+ + − = − .由圆的方程
= ，易知 ≤ ≤ ,所以，当 = 时， ⋅ 的值最大，
最大值为 × − = .
建立函数关系式求最值
所以点到两点的距离相等且为半径，
所以
−

+ −
=
+ −

= ，
即 − + + − + = ，解得 = ，
所以 , − ， = ，
所以⊙ 的方程为 −

+ +

= .
方法三：设点 , , , ,⊙ 的半径为,则 =
10
则 + 的最大值为____.
2.设点 , 是圆 −

解析：由题意知 = −, − , = −, − − ,
所以 + = −, − ,由于点 , 是圆上的点，故其坐标满足方
程 −

+ = ,
故 = − −
−

+ = ，即表示以点 , 为圆心，为半径
的圆.

2020高三数学一轮复习(人教版理)：圆的方程

解析 (1)由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有|a－－a|＝|a－－a－4|
2
2
即|a|＝|a－2|，解得 a＝1。故圆心坐标为(1，－1)，半径 r＝ 2 ＝ 2，所以 2
圆 C 的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故选 B。
答案 (1)B
(2)(2019·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线 x－by＋2b＋1＝0 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ()
答案 48
微考点·大课堂
考点例析对点微练
考点一圆的方程【例 1】 (1)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x－y－1＝0 相切于点 B(2,1)，则圆 C 的方程为________。
解析 (1)由已知 kAB＝0，所以 AB 的中垂线方程为 x＝3①。过 B 点且垂直于直线 x－y－1＝0 的直线方程为 y－1＝－(x－2)，即 x＋y－3＝0②，联立①②，解得xy＝＝30，，所以圆心坐标为(3,0)，半径 r＝ 4－32＋1－02 ＝ 2，所以圆 C 的方程为(x－3)2＋y2＝2。
一、走进教材
1．(必修 2P124A 组 T1 改编)圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( )
A．(2,3)
B．(－2,3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析故选 D。
答案
圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)。 D
2．(必修 2P120 例 3 改编)过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线 x＋y －2＝0 上的圆的方程是( )
解析
设圆心的坐标为(a,0)(a>0)，根据题意得|2a|＝4 5

高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲

高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲【本讲主要内容】圆的方程及直线与圆的位置关系圆的标准方程、圆的一般方程、圆的参数方程、直线和圆的位置关系【知识掌握】【知识点精析】1. 圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=，方程表示圆心为(),C a b ，半径为r 的圆。

2. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x⑴当0422>-+F E D 时，表示圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，的圆； ⑵当2240D E F +-=时，表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ⑶当0422<-+F E D 时，它不表示任何图形。

3. 圆的标准方程与一般方程的比较：圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：①2x 和2y 的系数相同，都不等于０；②没有xy 这样的二次项。

二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是：①2x 和2y 的系数相等且不为零，即0A C =≠；②没有xy 项，即0B =；③0422>-+F E D ，其中①、②是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。

说明：圆的标准方程和一般方程均含有三个参变量，因此必须有三个独立条件才能确定一个圆；求圆的方程的主要方法为待定系数法。

4. 圆的参数方程：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩()*，并且对于t 的每一个允许值，由方程组()*所确定的点(),M x y 都在这条曲线上，那么方程组()*就叫做这条曲线的参数方程，联系,x y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数。

cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩()θ为参数表示圆心为()a ，b ，半径为r 的圆。

5. 直线与圆的位置关系： ⑴点与圆的位置关系：若圆()()222x a y b r -+-=，那么点()000,P x y 在⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-⇔<-+-⇔=-+-⇔220202202022020)()()()()()(r b y a x r b y a x r b y a x 圆外圆内圆上⑵直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。

高三数学课件：圆的方程

2 2
2
(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中直径式：直径式，点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端，是圆的一条直径的两个端。（用向量法证之用向量法证之）点。（用向量法证之）
（4）半圆方程： y = r2 −(x −a)2 +b, y = − c +bx− x2 −d ）半圆方程： (5)圆系方程：圆系方程：圆系方程 i)过圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线过圆C：过圆和直线 l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为：的交点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 ii)过两圆 1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：过两圆C 过两圆， x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为的交点的圆的方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0( λ≠-1)该方程不包括圆 2；该方程不包括圆C 该方程不包括圆时为一条直线方程，（ λ = −1时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程）轴方程）
(1+k2)[x1 + x2)2 −4x1x2] （2）代数法：用弦长公式）代数法：
的半径为3，相切，例4、已知⊙O的半径为，直线 l 与⊙O相切，、已知⊙ 的半径为相切相切，并与⊙ 相交的公共弦恰一动圆与 l 相切，并与⊙O相交的公共弦恰的直径，为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。的直径求动圆圆心的轨迹方程。【点评】建立适当的点评】坐标系能使求轨迹方程的过程较简单、程的过程较简单、所求方程的形式较“ 求方程的形式较“整 A 齐” .

中职对口升学-高三数学第一轮复习：圆的方程及直线和圆的位置关系

所以所求切线方程为3x-4y+6=0或x=2.
技巧点拨
首先要判断点与圆的位置关系，明确所求的切线有几条
然后设切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径来求切线的斜率
此题一定要注意切线的斜率不存在的情形，防止漏解.
典例解析
例4 已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线m，使以m被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由.
• 即将直线的方程与圆的方程联立，消元得到一个一元二次方程，然后用判别式去判断直线的距离与半径比较来判定直线与圆的位置关系.在判断时要注意直线的斜率不存在的情形.
典例解析
例3
过点P (2 ,3 )向圆 (x - 1 )2 + (y - 1 )2 = 1 引切线 ,求切线方程 .
典例解析
解析
(1)根据圆的标准方程可以直接写出圆的方程为( x+2) 2+ (y-3 )2=1 (2)因为点A(3,-2),B(-5,4),所以以AB 为直径的圆的圆心为(-1,1),半径
所以所求圆的方程为 ( x+1) 2+ (y-1 )2=25
(3)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 ,则有
所以所求圆的方程为x2+y2-6x-6y+8=0.
技巧当已知条件与圆心和半径有关时,常用圆的标准方程;
点拨
若已知条件与圆心和半径关系不大,一般用圆的一般方程. 求圆的方程时经常使用待定系数法.
典例解析
例2. 已知直线 l :y = k x + 5 , 圆 C : (x - 1 )2 + y 2 = 1 , 当 k 为何值时 , 直线 l与圆C 相离、相切、相交?

圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习

方法技巧
求与圆有关的轨迹问题的几种方法
1. 直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表
示等式，直接求解轨迹方程.
2. 定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出
圆的方程.
3. 相关点代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关
或 m ＝2.(二次项系数相等)
当 m ＝－1时，原方程为 x 2＋ y 2＋8 x ＋4 y －5＝0，(二次项系数化为1后再使用公式)
即( x ＋4)2＋( y ＋2)2＝25.
5
2
2
当 m ＝2时，原方程可化为 x ＋ y ＋2 x ＋ y ＋＝0，
2
1
2
5
4
即( x ＋1)2＋( y ＋ )2＝－，不是圆的方程，∴ m ＝2不合题意.综上， m 的值为－1.
r ，设 M 的坐标为( x 0， y 0).
常用结论
向量法判断点与圆的位置关系
若点 P 是以 AB 为直径的圆 O 所在平面内的一点，则
· ＞0⇔点 P 在圆 O 外；
· ＝0⇔点 P 在圆 O 上；
· ＜0⇔点 P 在圆 O 内.
二、基础题练习
1. [2022北京高考]若直线2 x ＋ y －1＝0是圆( x － a )2 ＋ y 2＝1的一条对称轴，则 a ＝
则线段 AB 的中点 P 的轨迹方程为
[解析]
( x －3)2＋( y －3)2＝1 .
⁠
设点 P 的坐标为( x ， y )，点 A 的坐标为( x 0 ， y 0 )，由于点 B 的坐标
为(8，6)，且 P 为线段 AB 的中点，∴ x ＝

圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习

题后师说
求圆的方程的两种方法
巩固训练1
(1)已知圆心为(－2，1)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是(
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
)
答案： B
解析：根据题意知圆心为(－2，1)，半径为2，故圆的方程为：(x＋2)2＋(y－1)2
(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．
解析：设点M(x，y)，C(x0，y0)，因为点B(3，0)，M是线段BC的中点，所以x＝
x0 +3
y0 +0
，y＝
，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
2
2
由(1)知，点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
均在⊙M上，则⊙M的方程为________________．
解析：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设M(a，1－2a)．由点(3，0)，(0，
1)均在⊙M上，可得点(3，0)，(0，1)到圆心M的距离相等且为⊙M的半径，所以r
＝ a − 3 2 + 1 − 2a 2 ＝ a2 + 1 − 2a − 1 2 ，解得a＝1.所以M(1，－1)，r＝
圆．( × )
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．( × )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则02 + 02 ＋Dx0＋
Ey0＋F>0.( √ )

【步步高】高三数学大一轮复习 9.3圆的方程教案理新人教A版

§9.3 圆的方程2014高考会这样考 1.考查圆的方程的形式及应用；2.利用待定系数法求圆的方程．复习备考要这样做 1.熟练掌握圆的方程的两种形式及其特点；2.会利用代数法、几何法求圆的方程，注意圆的方程形式的选择．1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆． 2．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径． 3．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中(a ，b )为圆心，r 为半径． 4．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0，其中圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F2.5．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 6．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2. [难点正本疑点清源]1．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 2．圆的一般方程的特征圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若化为标准式，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.由于r 2相当于D 2＋E 2－4F4.所以①当D 2＋E 2－4F >0时，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.②当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2. ③当D 2＋E 2－4F <0时，这样的圆不存在．1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是______________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，23解析方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0 转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝－34a 2－a ＋1，所以若方程表示圆，则有－34a 2－a ＋1>0，∴3a 2＋4a －4<0，∴－2<a <23.2． (2011·辽宁)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______________．答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析设圆心坐标为(a,0)，易知a －2＋－2＝a －2＋－2，解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.3． (2011·四川)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)答案 D解析圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－－42，－62，即(2，－3)．4． (2012·辽宁)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0答案 C解析因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.5． (2012·湖北)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0答案 A解析当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴过点P 垂直于OP 的直线方程为x ＋y －2＝0.题型一求圆的方程例1 根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．思维启迪：(1)求圆心和半径，确定圆的标准方程． (2)设圆的一般方程，利用待定系数法求解．解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.(2)方法一如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，－x 02＋－2－y2＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.探究提高求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．(1)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2(2)经过点A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为 ____________________．答案 (1)B (2)(x －4)2＋(y －5)2＝10 解析 (1)设圆心坐标为(a ，－a )，则|a －－a2＝|a －－a －4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝2，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. (2)设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r 2－a 2＋－b2＝r22a －b －3＝0，可得a ＝4，b ＝5，r 2＝10. 题型二与圆有关的最值问题例2 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值．思维启迪：根据代数式的几何意义，借助图形来求最值．解 (1)原方程化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设y x＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.故y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2± 6.故y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.探究提高与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： (1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝＋2＋－2＝4 2.∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 题型三与圆有关的轨迹问题例3 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．思维启迪：结合图形寻求点P 和点M 坐标的关系，用相关点法(代入法)解决．解如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3y 0＝y －4.N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况)．探究提高求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.利用方程思想求解圆的问题典例：(12分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．审题视角 (1)求圆心及半径，关键是求m . (2)利用OP ⊥OQ ，建立关于m 的方程求解．(3)利用x 1x 2＋y 1y 2＝0和根与系数的关系或利用圆的几何性质．规范解答解方法一将x ＝3－2y ，代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.[2分]设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5.[4分] ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2.∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.[6分]故－27＋4m 5＋12＋m5＝0，解得m ＝3，[9分] 此时Δ>0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52.[12分]方法二如图所示，设弦PQ 中点为M ， ∵O 1M ⊥PQ ，∴kO 1M ＝2.[2分]∴O 1M 的方程为y －3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即y ＝2x ＋4.[4分]由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4x ＋2y －3＝0.解得M 的坐标为(－1,2)．[6分]则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2，即r 2＝5，|MQ |2＝r 2. 在Rt△O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋－2－4m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5. ∴m ＝3.[9分]∴半径为52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3.[12分] 方法三设过P 、Q 的圆系方程为x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＋λ(x ＋2y －3)＝0.[2分]由OP ⊥OQ 知，点O (0,0)在圆上． ∴m －3λ＝0，即m ＝3λ.[4分] ∴圆系方程可化为x 2＋y 2＋x －6y ＋3λ＋λx ＋2λy －3λ＝0.即x 2＋(1＋λ)x ＋y 2＋2(λ－3)y ＝0.[6分]∴圆心M ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋λ2，－λ2，又圆心在PQ 上． ∴－1＋λ2＋2(3－λ)－3＝0，∴λ＝1，∴m ＝3.[9分]∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径为52.[12分] 温馨提醒 (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中三种解法都是用方程思想求m 值，即三种解法围绕“列出m 的方程”求m 值． (3)本题的易错点：不能正确构建关于m 的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误．方法与技巧1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数． 2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．失误与防范1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．A 组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－32b ，则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，k ＝－1a >0，－ba>0，直线不经过第四象限．2．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是 ( )A ．－1<a <1B ．0<a <1C ．a >1或a <－1D ．a ＝±1答案 A解析因为点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2<4，∴－1<a <1.3． (2011·安徽)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－3答案 B解析化圆为标准形式(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1,2)． ∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1.4．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1答案 A解析设圆心坐标为(0，b )，则由题意知－2＋b －2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 二、填空题(每小题5分，共15分)5．若圆x 2＋y 2－4x ＋2my ＋m ＋6＝0与y 轴的两交点A ，B 位于原点的同侧，则实数m 的取值范围是______________．答案－6<m <－2或m >3解析令x ＝0，可得y 2＋2my ＋m ＋6＝0，由题意知，此方程有两个不相等且同号的实数根，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋6>0，4m 2－m ＋，解得－6<m <－2或m >3.6．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________________．答案 (x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝254解析直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A (－4,0)、B (0,3)，所以线段AB 的中点为C ⎝⎛⎭⎪⎫－2，32，|AB |＝5. 故所求圆的方程为(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522.7．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是__________．答案 x ＋y －1＝0解析过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0. 三、解答题(共22分)8． (10分)根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．解 (1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2a －2＋b －2＝r22a ＋3b ＋1＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r 2＝25.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. (2)方法一设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0. 方法二由A (1,12)，B (7,10)，得AB 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0. 同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝－2＋－2＝10.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.9． (12分)一圆经过A (4,2)，B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．解设圆心为(a ，b )，圆与x 轴分别交于(x 1,0)，(x 2,0)，与y 轴分别交于(0，y 1)，(0，y 2)，根据题意知x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝2，∵a ＝x 1＋x 22，b ＝y 1＋y 22，∴a ＋b ＝1.又∵点(a ，b )在线段AB 的中垂线上，∴5a －b －5＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，5a －b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. ∴圆心为(1,0)，半径为－2＋－2＝13.∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13.B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则P (a ，b )( ) A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内D ．以上都有可能答案 B 解析由已知条件1a 2＋b2<1，即a 2＋b 2>1. 因此点P (a ，b )在圆外．2．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定答案 C解析圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6. 3．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0答案 A解析设圆心为C (m,0) (m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2，整理得：|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．答案 (－∞，1)解析圆的方程化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1.5．若PQ 是圆O ：x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是M (1,2)，则直线PQ 的方程是____________．答案 x ＋2y －5＝0解析由圆的几何性质知k PQ k OM ＝－1.∵k OM ＝2，∴k PQ ＝－12，故直线PQ 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 6．已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．答案 5解析如图，取AC 的中点F ，BD 的中点E ，则OE ⊥BD ，OF ⊥AC . 又AC ⊥BD ，∴四边形OEMF 为矩形，设|OF |＝d 1，|OE |＝d 2， ∴d 21＋d 22＝|OM |2＝3.又|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝24－d 21·4－d 22＝2＋d 22－d 22＝2－⎝⎛⎭⎪⎫d 22－322＋254.∵0≤d 22≤3.∴当d 22＝32时，S 四边形ABCD 有最大值是5.三、解答题7． (13分)圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，试求圆C 的方程．解设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k 、2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12.∵圆C 在点P 处的切线斜率为1， ∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k ，∴k ＝－3.∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.。

高三数学知识点总结35之29：圆的方程和直线与圆的位置关系

圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一．圆的三种方程（1）方程)0()()(222>=-+-r r b y a x 以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程. （2）方程022=++++F Ey Dx y x .①当0422>-+F E D 时，表示圆，圆心为)2,2(E D --，半径为2422FE D -+，称为一般方程.②当0422=-+F E D 时，表示点).2,2(E D --③当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.（3）圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 的参数方程是).2,0[,sin cos πααα∈⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 其中α是以圆心C 为顶点且与x 轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P 所在半径成的角.参数方程可用来解决与圆有关的最值问题.例：若实数y x ,满足，014222=+-++y x y x 求y x 43-的范围.答：].1,21[-- 注1：求圆的方程的主要方法：1．代数法：利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于r b a ,,或F E D ,,的方程组．2. 几何法：利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)圆心和圆上任一点的距离等于半径.(4)两圆相切时，切点与两圆心三点共线. 注2：半圆问题.例:若直线b x y +=与曲线21y x -=恰有一个交点，则实数b 的取值范围是_________．答：11|{≤<-b b 或}2-=b 注3：阿波罗尼斯圆：平面内到两个定点B A ,的距离之比)1,0(≠>=λλλMBMA的点M 的轨迹是一个圆.二．点),(00y x P 与圆222)()(:r b y a x C =-+-位置关系的判断方法 ①点在圆内⇔<⇔r PC 22020)()(r b y a x <-+- ②点在圆上⇔=⇔r PC 22020)()(r b y a x =-+-③点在圆外⇔>⇔r PC 22020)()(r b y a x >-+-三．直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何法（主要方法）：比较圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小 ①⇔>r d 相离；②⇔=r d 相切；③⇔<r d 相交. （2）代数法：联立直线和圆的方程，计算ac b 42-=∆的大小 ①⇔<∆0相离；②⇔=∆0相切；③⇔>∆0相交.四. 圆与圆的位置关系的判断方法位置关系外离外切相交内切内含圆心距与半径的关系 21r r d +> 21r r d += 2121||r r d r r +<<- ||21r r d -=||21r r d -<图示公切线的条数 4 321 0五．计算直线与圆相交的弦长问题主要核心方法：围绕“弦心距，弦长的一半和半径构成的直角三角形”来处理问题.（几何法）注：代数法：运用韦达定理及弦长公式2221||(1)[()4]A B A B A B AB k x x k x x x x =+-=++-.(正设直线00()y y k x x -=-） 2221||(1)[()4]A B A B A B AB m y y m y y y y =+-=++-.(反设直线00()x x m y y -=-）六．处理直线与圆相切的问题主要核心方法：围绕“圆心与直线上的点这两点的距离，切线长和半径构成的直角三角形”来处理问题.（几何法）（1）求切线方程的方法： ①几何法（主要方法）：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知数的值.②代数法：设出切线的方程，利用0=∆，求出未知数的值. 注意：1.设直线方程时要注意直线方程的局限性.如设成点斜式),(00x x k y y -=-要注意讨论斜率不存在的情况；设成斜截式1=+bya x ，要注意讨论直线过原点的情况. 2.点在圆外，有两条切线；点在圆上，只有一条切线；点在圆内，无切线. （2）求切线长的最小值.切线长的最小值=22(r -圆心到直线的距离）七．直线与圆相离的最值问题（1）若直线和圆相离，则圆上的点到直线距离的最小值为：;r d -最大值为：.r d + （其中d 为圆心到直线的距离，r 为半径）（2）若点在圆外，则圆上的点到已知点距离的最小值为：;r d -最大值为：.r d + （其中d 为圆心到已知点的距离，r 为半径）八．计算两圆相交的弦长问题（1）公共弦所在的直线方程若圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 相交，则两圆公共弦所在直线的方程为.0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D （2）公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.九．处理两圆相切的问题（1）定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.（2）转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时).十．用几何意义处理与圆有关的最值问题（1）形如ax by --的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如by ax z +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；也可以考虑用圆的参数方程，借助三角函数来求最值.（3）形如22)()(b y a x -+-的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；十一．有用的结论（需要记住）（1）若圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 与x 轴相切，则|;|b r =与y 轴相切，则|;|a r = 与两坐标轴相切，则.||||b a r ==（2）当点),(00y x 在圆222r y x =+上时，过点),(00y x 的圆的切线方程为.200r y y x x =+ 推广：当点),(00y x 在圆222)()(r b y a x =-+-上时，过点),(00y x 的圆的切线方程为.))(())((200r b y b y a x a x =--+--（3）设点),(00y x P 是圆222r y x =+外一点，过点P 作圆的切线，两切点分别为,,B A 则直线AB 的方程为.200r y y x x =+推广：设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外一点，过点P 作圆的切线，两切点分别为,,B A 则直线AB 的方程为.))(())((200r b y b y a x a x =--+--（4）以),(),,(2211y x B y x A 为直径的圆的方程为.0))(())((2121=--+--y y y y x x x x （5）圆系方程：①若直线0=++C By Ax 与圆022=++++F Ey Dx y x 有两个交点，则过直线与圆的交点的圆可设为：.0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y xλ②若两圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 有两个交点，则过圆与圆的交点的圆可设为：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ（)1-≠λ.注：①1-=λ时，表示两圆的公共弦所在直线的方程.②方程不能表示,2C 留心检验.（6）圆和圆的重要性质①两圆相切时，两圆圆心与切点在同一条线上.②两圆相交时，两圆的公共弦所在直线的中垂线即为两圆心的连线. （7）圆上有几个点到直线的距离为几的问题假设圆的半径为,r 圆心到直线的距离为,D 圆上的点到直线的距离为d ，则①||d D r -< 0个；②||d D r -= 1个；③d D r d D +<<-|| 2个；④d D r += 3个； ⑤d D r +> 4个（8）过圆内一点的所有弦中，最长的是过该点的直径，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦.1：集合与常用逻辑用语与不等式的性质；2：一元二次不等式；3：基本不等式；4：函数的概念和求函数解析式；5：函数的定义域和值域；6：函数的单调性；7：奇偶性；8：函数的图像和周期性；9：二次函数和幂函数；10：指数函数与对数函数；11：函数与方程；12：导数；13：平面向量；14：平面向量的数量积；15：复数；16：任意角的三角函数和同角关系；17：诱导公式，两角和与差的三角函数，几个三角恒等式；18：三角求值问题归类；19：三角函数的图像和性质；20：三角函数的图像和性质2+题目；21：解三角形；22：数列的概念和等差数列；23：等比数列；24：数列通项；25：数列求和；26：立体几何；27：空间向量；28：直线方程和两条直线的位置关系；29：圆的方程和直线与圆的位置关系；30：椭圆；31：双曲线；32：抛物线；33：统计；34：概率；35：排列组合和二项式定理。

圆的方程项训练—— 高三数学一轮复习

高考数学一轮复习-圆的方程-专项训练基础巩固练1.已知圆C 的一条直径的两个端点的坐标分别是O (1,1)和A (3,3),则圆的标准方程是( )A.(x-2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=2C.(x-2)2+(y-2)2=2D.(x+2)2+(y+2)2=22.“方程x 2+y 2-4x+6y+a=0表示的图形是圆”是“a 2-144≤0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2023扬州月考)若直线2x+y-1=0是圆x 2+(y+a )2=1的一条对称轴,则a=( )A.-1B.1C.12D.-124.设P (x ,y )是圆C :(x-2)2+y 2=1上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为( )A.6B.25C.26D.365.(多选题)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的圆的方程为( )A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x-2)2+(y-3)2=13C.(x -43)2+(y -73)2=22D.(x -85)2+(y-1)2=95 6.(多选题)已知曲线C :Ax 2+By 2+Dx+Ey+F=0,下列说法正确的是( )A.若A=B=1,则C 是圆B.若A=B ≠0,D 2+E 2-4AF>0,则C 是圆C.若A=B=0,D 2+E 2>0,则C 是直线D.若A ≠0,B=0,则C 是直线7.(2023连云港期中)已知圆C 的圆心在y 轴上,半径长为1,且过点(1,2),则圆C 的标准方程为 .8.点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是 .9.已知圆过P (4,-2),Q (-1,3)两点,且在y 轴上截得的线段长为4√3,求圆的方程.综合提升练10.(多选题)已知点A(-1,0),B(0,2),P是圆(x-1)2+y2=1上任意一点,若△P AB面积的最大值为a,最小值为b,则()A.a=2B.a=2+√52C.b=2-√52D.b=√52-111.过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为8,则△OAB外接圆的标准方程是()A.(x-2)2+(y-2)2=8B.(x-1)2+(y-2)2=8C.(x+2)2+(y-2)2=8D.(x-1)2+(y+2)2=812.若点C到A(-1,0),B(1,0)的距离之比为√3,则点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为()A.2√5−√3B.√5−√3C.2√5D.√313.对任意实数m,圆x2+y2-3mx-6my+9m-2=0过定点,则定点坐标为.14.如图,已知圆O:x2+y2=16,A,B是圆O上的两个动点,点P(2,0),则矩形P ACB的顶点C的轨迹方程是.15.在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点.创新应用练16.在平面几何中,将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆,锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若A (-2,0),B (2,0),C (0,4),则△ABC 的最小覆盖圆的半径为( )A.32B.2C.52D.3参考答案1.C2.B3.A4.D5.AB6.BC7.x 2+(y-2)2=1 8.(x-2)2+(y+1)2=19.解方法一:设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0),①将P ,Q 的坐标分别代入①,得{4D -2E +F =-20,②D -3E -F =10.③令x=0,由①得y 2+Ey+F=0.④由已知得|y 1-y 2|=4√3,其中y 1,y 2是方程④的两根.∴(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=E 2-4F=48.⑤解②③⑤联立成的方程组,得{D =-2,E =0,F =-12或{D =-10,E =-8,F =4.故所求圆的方程为x 2+y 2-2x-12=0或x 2+y 2-10x-8y+4=0.方法二:求得PQ 的中垂线方程为x-y-1=0.①∴所求圆的圆心C 在直线x-y-1=0上,∴设其坐标为C (a ,a-1),圆C 的半径r=|CP|=√(a -4)2+(a +1)2.②又圆C 截y 轴所得的线段长为4√3,而圆心C 到y 轴的距离为|a|,∴r 2=a 2+(4√32)2,代入②并将两端平方,并整理得a 2-6a+5=0,解得a 1=1,a 2=5.∴当圆心为(1,0)时,半径r 1=√13;当圆心为(5,4)时,半径r 2=√37.故所求圆的方程为(x-1)2+y 2=13或(x-5)2+(y-4)2=37.10.BC 11.A 12.A13.(1,1)或(15,75) 14.x 2+y 2=2815.解由曲线Γ:y=x 2-mx+2m (m ∈R ),令y=0,得x 2-mx+2m=0.设A (x 1,0),B (x 2,0),可得Δ=m 2-8m>0,则m<0或m>8,x 1+x 2=m ,x 1x 2=2m.令x=0,得y=2m ,即C (0,2m ).(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得x 1x 2+4m 2=0,即2m+4m 2=0,所以m=0(舍去)或m=-12.此时C (0,-1),AB 的中点,即圆心为M (-14,0),半径r=|CM|=√174,故所求圆的方程为(x +14)2+y 2=1716. (2)设过A ,B 两点的圆的方程为x 2+y 2-mx+Ey+2m=0,将点C (0,2m )代入可得E=-1-2m , 所以过A ,B ,C 三点的圆的方程为x 2+y 2-mx-(1+2m )y+2m=0.整理得x 2+y 2-y-m (x+2y-2)=0.令{x 2+y 2-y =0,x +2y -2=0,可得{x =0,y =1或{x =25,y =45,故过A ,B ,C 三点的圆过定点(0,1)和(25,45). 16.C。

高三数学《师说》系列一轮复习圆的方程课件理新人教B

相交 R－r＜d＜R＋ M 有两组实数解 r
内切内含
d＝R－r d＜R－r
M 有一组实数解 M 无实数解
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/162022/1/16
点评确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数” 是解题的基本方法．其中，选标准是指根据已知条件选恰当的圆的方程的形式，进而确定其中三个参数 .
变式迁移 1 求满足下列条件的圆的方程： (1)圆心在 x 轴上，半径为 5，且过点 A(2，－3)； (2)过点 A(1,2)和 B(1,10)，且与直线 x－2y－1＝0 相切．
示圆的必要条件，而不是充分条件，还需要加上(DA)2＋(EA)2－4AF＞0，即 D2＋E2－4AF＞0.
(4)常见圆的方程 ①圆心在原点的圆，标准方程：x2＋y2＝r2；一般方程：x2＋y2 －r2＝0. ②过原点的圆，标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2；一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＝0. ③圆心在 x 轴上的圆，标准方程：(x－a)2＋y2＝r2；一般方程： x2＋y2＋Dx＋F＝0. ④圆心在 y 轴上的圆，标准方程：x2＋(y－b)2＝r2；一般方程： x2＋y2＋Ey＋F＝0. ⑤与 x 轴相切的圆，标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝b2；一般方

第8章第3节圆的方程-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)

5．已知圆 C 经过点 A(1，3)，B(4，2)，与直线 2x＋y－10＝0 相切，则圆 C 的标准方程为________．
(x－2)2＋(y－1)2＝5 解析由题意，设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为点 B(4，2)在直线 2x＋y－10＝0 上，所以点 B(4，2)是圆与直线 2x＋y－10＝0 的切点，连接圆心 C 和切点的直线和与切线 2x＋y－10＝0 垂直，则 kBC＝12，则 BC 的方程为 y－2＝12(x－4)，整理得 x－2y＝0，
(√)
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20
＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.
(√)
◇教材改编
2．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标和半径分别是
( D) A．(2，3)，3
B．(－2，3)， 3
C．(－2，－3)，13
D．(2，－3)， 13
解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径 r＝ 13.
(2)可知yx－＋32表示直线 MQ 的斜率 k. 设直线 MQ 的方程为 y－3＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＋3＝0. 由直线 MQ 与圆 C 有交点， ∴|2k－71＋＋2kk2＋3|≤2 2，可得 2－ 3≤k≤2＋ 3， ∴yx－＋32的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3.
(3)设 y－x＝b，则 x－y＋b＝0. 当直线 y＝x＋b 与圆 C 相切时，截距 b 取到最值， ∴ 1|22＋－（7＋－b1|）2＝2 2，∴b＝9 或 b＝1. ∴y－x 的最大值为 9，最小值为 1.
►考向三与圆有关的轨迹问题[师生共研] [例 3] 已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点． (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程． [自主解答] (1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x－2，2y)．因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

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