2015-2016学年北京市石景山区高二上学期期末文科数学试卷(带解析)
2015-2016学年北京市东城区高二上学期期末考试文科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015-2016学年北京市东城区高二上学期期末考试文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：126分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示。
现有下列四种说法：①前三年该产品产量增长速度越来越快； ②前三年该产品产量增长速度越来越慢； ③第三年后该产品停止生产； ④第三年后该产品年产量保持不变。
其中说法正确的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④2、过点的直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3、一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44、已知抛物线上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．125、若满足，则的最大值为（）A ．0B ．1C ．D ．26、已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若m ⊥，则m ⊥nB ．若m ⊥，m ⊥n ，则n ∥C ．若m ∥⊥n ，则n ⊥D ．若m ∥∥，则m ∥n7、双曲线的实轴长为（ ） A ．2 B ．C ．4D ．C． D．9、直线的倾斜角是（）A．30° B．60° C．120° D．150°10、圆的半径为（）A．1 B． C．2 D．4第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、如图所示，正方体的棱长为1，，M是线段上的动点，过点M作平面的垂线交平面于点N，则点N到点A距离的最小值为__________。
12、设椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B，已知，则C的离心率为________。
2015-2016年北京市西城区高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2015-2016学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是（）A．若a＞0，则a＞1B．若a≤0，则a＞1C．若a＞0，则a≤1D．若a≤0，则a≤12．（5分）复数z=1+2i的虚部是（）A．﹣2i B．2i C．﹣2D．23．（5分）在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④4．（5分）抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是（）A．1B．2C．3D．45．（5分）两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是（）A．B．C．A1A2+B1B2=0D．A1A2﹣B1B2=06．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，AB=BC，则下列结论中正确的是（）A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C7．（5分）已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c （c＞0）．若点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，AA1=2，P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A．3B．4C．D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是．10．（5分）已知球O的大圆面积为S1，表面积为S2，则S1：S2=．11．（5分）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则=．12．（5分）已知双曲线的一个焦点是（2，0），则b=；双曲线渐近线的方程为．13．（5分）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是．14．（5分）已知曲线C的方程是x4+y2=1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③曲线C所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．16．（13分）如图，已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，求m的值．17．（14分）如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点．（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．18．（13分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．19．（13分）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．20．（14分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．2015-2016学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是（）A．若a＞0，则a＞1B．若a≤0，则a＞1C．若a＞0，则a≤1D．若a≤0，则a≤1【解答】解：互换原命题“若a＞1，则a＞0”的题设和结论，得到它的逆命题是“若a＞0，则a＞1”，故选：A．2．（5分）复数z=1+2i的虚部是（）A．﹣2i B．2i C．﹣2D．2【解答】解：由复数概念知，复数z=1+2i的虚部是2．故选：D．3．（5分）在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①平行于同一个平面的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故①错误；②垂直于同一个平面的两个平面有两种可能的位置关系：平行、相交，故②错误；③由平行公理可知：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故③正确；④垂直于同一条直线的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故④错误．故选：C．4．（5分）抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是：p=1．故选：A．5．（5分）两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是（）A．B．C．A1A2+B1B2=0D．A1A2﹣B1B2=0【解答】解：两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直⇔A1A2+B1B2=0，故两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是A1A2+B1B2=0，故选：C．6．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，AB=BC，则下列结论中正确的是（）A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C【解答】解：∵如图，连接BD，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC，∴AC⊥BD，AC⊥DD1，∵BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．故选：C．7．（5分）已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c （c＞0）．若点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意作图如右，∵|PF1|+|PF2|=2a，又∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴|PF1|•|PF2|===2b2，设点P到x轴的距离为d，则|PF1|•|PF2|=|F1F2|•d，故2b2=2cd，故d=，故选：B．8．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，AA1=2，P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A．3B．4C．D．5【解答】解：如图，∵P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，∴问题可转化为从小长方体PMNG﹣A1HQD1的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题．共有三种剪展方法：沿QH剪开再展开，此时最短距离为l=；沿QN剪开再展开，此时最短距离为l=；沿QD1剪开再展开，此时最短距离为l=．∴从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是∃x∈R，x2﹣1≤0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是：∃x∈R，x2﹣1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣1≤0．10．（5分）已知球O的大圆面积为S1，表面积为S2，则S1：S2=1：4．【解答】解：设球的半径为r，所以大圆面积S1=πr2，表面积S2=4πr2，所以S1：S2=1：4故答案为：1：4．11．（5分）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则=﹣1+2i．【解答】解：由图可知，z1=﹣2﹣i，z2=i，∴=．故答案为：﹣1+2i．12．（5分）已知双曲线的一个焦点是（2，0），则b=；双曲线渐近线的方程为．【解答】解：∵双曲线的一个焦点是（2，0），∴1+b2=4，∵b＞0，∴b=，又a=1，∴双曲线渐近线的方程为故答案为：，13．（5分）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是4．【解答】解：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，∴左视图是长方形，长为=2，宽为2，∴左视图的面积是2×2=4，故答案为：14．（5分）已知曲线C的方程是x4+y2=1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③曲线C所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是①③．【解答】解：将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4+x2=1与原方程不同，故②错误；在曲线C上任取一点M（x0，y0），x04+y02=1，∵|x0|≤1，∴x04≤x02，∴x02+y02≥x04+y02=1，即点M在圆x2+y2=1外，故③正确；故正确的结论的序号是：①③，故答案为：①③三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：连结BD．因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BD．（2分）因为底面ABCD是正方形，AB=2，所以．（3分）在直角三角形PDB中，．（5分）（Ⅱ）解：因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，从而△PDA，△PDC为全等的直角三角形，（7分）所以．（8分）由（Ⅰ）知，所以AB2+PA2=PB2=BC2+PC2，从而△PAB，△PCB为全等的直角三角形．（10分）所以，四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2S△PDA +2S△PAB+S正方形ABCD（11分）==．（13分）16．（13分）如图，已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，求m的值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：∵圆心为C（4，3）的圆经过原点O，∴圆C的半径，（3分）∴圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=25．（5分）（Ⅱ）解：∵直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，∴．（7分）在直角三角形ADC中，．（9分）由点到直线的距离公式，得，（11分）∴，（12分）解得m=±15．（13分）17．（14分）如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点．（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接EO．因为E，O分别为QD和BD的中点，则EO∥QB．（2分）又EO⊂平面AEC，QB⊄平面AEC，（3分）所以QB∥平面AEC．（4分）（Ⅱ）证明：因为矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，所以CD⊥平面ADPQ．（6分）又AE⊂平面ADPQ，所以CD⊥AE．（7分）．因为AD=AQ，E是QD的中点，所以AE⊥QD．（8分）所以AE⊥平面QDC．（9分）所以平面QDC⊥平面AEC．（10分）（Ⅲ）解：多面体ABCEQ为四棱锥Q﹣ABCD截去三棱锥E﹣ACD所得，（12分）所以．（14分）18．（13分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，（2分）所以，解得p=1，（4分）所以抛物线的方程为y2=2x．（5分）（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=k（x﹣2）代入y2=2x，消去y整理得k2x2﹣2（2k2+1）x+4k2=0．（7分）所以x1x2=4．（8分）由，，两式相乘，得，（9分）注意到y1，y2异号，所以y1y2=﹣4．（10分）所以直线OM与直线ON的斜率之积为，（12分）即OM⊥ON．（13分）19．（13分）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）取FC中点N．在图1中，由D，N分别为AC，FC中点，所以DN∥EF．（2分）在图2中，由M，N分别为A1C，FC中点，所以MN∥A1F，（4分）所以平面DMN∥平面A1EF，（5分）所以DM∥平面A1EF．（6分）解：（Ⅱ）直线A1B与直线CD不可能垂直．（7分）因为平面A1BD⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，EF⊥BD，所以EF⊥平面A1BD，（8分）所以A1B⊥EF．（9分）假设有A1B⊥CD，注意到CD与EF是平面BCD内的两条相交直线，则有A1B⊥平面BCD．（1）（10分）又因为平面A1BD⊥平面BCD，A1E⊂平面A1BD，A1E⊥BD，所以A 1E⊥平面BCD．（2）（11分）而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，所以直线A1B与直线CD不可能垂直．（13分）20．（14分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c．依题意，得b=1，（1分）且，（3分）解得a2=4．（4分）所以，椭圆C的方程是．（5分）（Ⅱ）证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．（6分）将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．（8分）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．①（9分）因为BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，所以，整理得x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1=0．②（10分）因为y1=kx1+m，y2=kx2+m，所以y1+y2=k（x1+x2）+2m，．③将③代入②，整理得．④（11分）将①代入④，整理得5m2﹣2m﹣3=0．（13分）解得，或m=1（舍去）．所以，直线PQ恒过定点．（14分）证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1．（6分）将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，得（1+4k2）x2+8kx=0．（8分）解得x=0，或．（9分）设P（x1，y1），所以，，所以．（10分）以替换点P坐标中的k，可得．（11分）从而，直线PQ的方程是．依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上．（13分）在上述方程中，令x=0，解得．所以，直线PQ 恒过定点．（14分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo第21页（共21页）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =． ③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
北京市石景山区2015-2016学年高二(上)期末文科数学试题解析
石景山区2015—2016学年第一学期期末考试试卷高二数学（文科）本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．下列命题中，真．命题是（ ） A ．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 B ．若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行 C ．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线 D ．若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行【知识点】点线面的位置关系【试题解析】因为A 是一个定理，当然正确。
而B 、C 、D 均与定理有不同的地方，都能找到反例，都不正确。
所以，只有A 正确 故答案为：A 【答案】A2．直线2y x b =-+一定通过（ ）A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限【知识点】直线的倾斜角与斜率 【试题解析】因为斜率，倾斜角为钝角，所以，直线必过二、四象限 故答案为：B 【答案】B3．某建筑由相同的若干个房间组成， 该楼的三视图如右图所示，最高一层的房间在什么位置（ ）A ．左前B ．右前C ．左后D ．右后【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】因为由三视图可看出最高一层应在左后方所以，C 正确故答案为：C 【答案】C4．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，已知4,3a b ==，则双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．4C ．53D ．45【知识点】双曲线【试题解析】因为由渐近线方程得得所以，离心率为故答案为：A 【答案】A5． “命题p 为真命题”是“命题p q ∨为真命题”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【知识点】充分条件与必要条件 【试题解析】因为由为真命题，得p 、q 均为真命题，能推出真命题，但反之不成立，所以，是充分不必要条件 故答案为：A 【答案】A俯视图主视图6．抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点F 距离为 ( )A ．2B ．3C ．4D．【知识点】抛物线【试题解析】因为所以，故答案为：B 【答案】B7．棱长为2的正方体的内切球的表面积为（ ）A ．23π B ．43π C ．2π D ．4π【知识点】空间几何体的表面积与体积【试题解析】因为棱长为2的正方体内切球半径为1，所以，s=r2=故答案为：D 【答案】D8．将正方体的纸盒展开如图，直线AB ，CD 在原正方体的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交成60角 D ．异面且成60角 【知识点】点线面的位置关系【试题解析】因为 直线AB 、CD的位置关系在直观图中如图所示，AB ，CD 在原正方体的位置关系是相交成角故答案为：C【答案】C9．已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线l ，在平面α内一定存在一条直线m ，使得直线l 与直线m （ )A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直【知识点】点线面的位置关系【试题解析】因为当直线垂直于平面时，直线与平面内任一条直线垂直，直线不垂直于平面时，作在平面内的射影，在平面内一定存在一条直线，使得直线的射影与直线垂直 所以，故答案为：D 【答案】D10．某化工厂有8种产品，由于安全原因，有些产品不允许存放在同一仓库．具体情况由下表给出（“╳”则该厂至少需要几个产品仓库来存放这8种产品？ （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为 1与2，1与3，2与3均不能放在同一仓库， 所以，至少3个仓库，可这样放 故答案为：B 【答案】B第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分．11．命题p :“∀2,10x R x x ∈-+>”,则p ⌝为______________________．【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为为全称命题，所以，为特称命题故答案为： 【答案】12．过点(0，2)且与两坐标轴相切的圆的标准方程为___________________________． 【知识点】圆的标准方程与一般方程【试题解析】因为过点(0，2)且与两坐标轴相切， 所以圆心为或，半径为2．故答案为：【答案】13．已知抛物线和椭圆都经过点M (1，2)，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．则椭圆的焦点坐标为___________． 【知识点】抛物线椭圆【试题解析】因为设抛物线方程为过点M （1，2），，焦点，所以椭圆椭圆的焦点坐标为，故答案为：【答案】14．在平面直角坐标系xOy 中，对于⊙ O :221x y +=来说，P 是坐标系内任意一点，点P 到⊙ O 的距离P S 的定义如下：若P 与O 重合，r S P =；若P 不与O 重合，射线OP 与⊙ O 的交点为A ，=P S AP 的长度（如右图）．①点1(,0)3到⊙ O 的距离为_____________；②直线2210x y ++=在圆内部分的点到⊙ O 的 最长距离为_______________． 【知识点】直线与圆的位置关系 【试题解析】因为点到⊙ O 的距离为，所以，所求即为0B 减去O 到直线的距离，，所以所求为，故答案为：【答案】三、解答题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分8分）已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点P ，直线1l 的方程为410x y -+=．（Ⅰ）若直线l 平行于直线1l ，求l 的方程； （Ⅱ）若直线l 垂直于直线1l ，求l 的方程． 【知识点】两条直线的位置关系 【试题解析】解：联立方程组，可得．（Ⅰ）由题意，直线的斜率为4，所以的方程为；（Ⅱ）由题意，直线的斜率为，所以的方程为．【答案】见解析16．（本小题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60,ABC PA ∠=︒⊥平面ABCD ， 点E F G ，，分别为,,BC PA PD 的中点，且=PA （Ⅰ）证明：EF //平面ACG ； （Ⅱ）证明：平面PBC ⊥平面AEF ．【知识点】立体几何综合 【试题解析】证明： （Ⅰ）连接FG ， 在△中，点分别为的中点，所以，且，D又因为点为的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形． 所以，又平面，平面，所以//平面．（Ⅱ）因为ABCD 为菱形，所以AB=BC 又，所以AB=BC=AC ，又E 为BC 中点，所以 而平面ABCD ，平面ABCD ，所以 又，所以平面 又平面，所以平面⊥平面【答案】见解析 17．（本小题满分8分）如图，有一个正方体的木块，E 为棱1AA 的中点．现因实际需要，需要将其沿平面1D EC 将木块锯开．请你画出前面11ABB A 与截面1D EC 的交线，并说明理由．【知识点】立体几何综合 【试题解析】画法：取棱的中点F ，连接EF 即为交线．理由如下：1A E AC平面//平面，，．在正方体中，且，是平行四边形，在平面中，易证，进而所以，EF 即为所求． 【答案】见解析18．（本小题满分8分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是正方形，221==AB AA ，E 是1DD 上的一点，且满足⊥D B 1平面ACE ．（Ⅰ）求证：AE D A ⊥1； （Ⅱ）求三棱锥CDE A -的体积．【知识点】立体几何综合 【试题解析】解：（Ⅰ）因为平面，平面，所以，在长方体中，易证平面，平面所以． 因为，所以平面．1A A又平面所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，，所以．【答案】见解析19． （本小题满分8分）课本上的探索与研究中有这样一个问题：已知△ABC 的面积为S ，外接圆的半径为R ，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，用解析几何的方法证明：4abcR S=． 小东根据学习解析几何的经验，按以下步骤进行了探究：(1) 在△ABC 所在的平面内，建立直角坐标系，使得△ABC 三个顶点的坐标的表示形式较为简单，并设出表示它们坐标的字母；(2) 用表示△ABC 三个顶点坐标的字母来表示△ABC 的外接圆半径、△ABC 的三边和面积；(3) 根据上面得到的表达式，消去表示△ABC 的三个顶点的坐标的字母，得出关系式．在探究过程中，小东遇到了以下问题，请你帮助完成：（Ⅰ）为了使得△ABC 的三边和面积表达式及△ABC 的外接圆方程尽量简单，小东考虑了如下两种建系方式，你选择第___________种建系方式．① ②（Ⅱ）根据你选择的建系方式，完成以下部分探究过程： （1）设△ABC 的外接圆的一般式方程为22x y Dx +++________________0=； （2）在求解圆的方程的系数时，小东观察图形发现，由圆的几何性质，可以求出圆心 的横坐标为_____________，进而可以求出D =___________；（3）外接圆的方程为________________________________．【知识点】圆的标准方程与一般方程【试题解析】（Ⅰ）②;（Ⅱ）（1）； （2），；．或（Ⅰ）①;（Ⅱ）（1）； （2），；．【答案】见解析20．（本小题满分8分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左焦点)0,3(-F ，且离心率23=e (Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线:l y x m =+与椭圆C 交于不同的两点N M ,（N M ,不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ．求直线l 的方程．【知识点】椭圆【试题解析】解：（Ⅰ）由题意可知：解得 ， 所以椭圆的方程为：;（II ）证明：由方程组，得，， 整理得， 设， 则． 由已知，且椭圆的右顶点为，，，即，也即，整理得：．解得或均满足．当时，直线的方程为，过定点（2，0）与题意矛盾舍去；当时，直线的方程为，符合题意．【答案】见解析。
北京市石景山区2015届高三第一学期期末考试数学(文)试卷
北京市石景山区2015届高三第一学期期末考试数学（文）试卷本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ,{}2,1=A ,{}4,2=B , 则=B A C U ）（（ ） A.{}2 B.{}4,2,1 C.{}4 D.{}4,1 2．下列函数中，在)0(∞+，上单调递增，并且是偶函数的是（ ）A.B.C.D.3．已知向量)20()42(，，，===（ ） A.)22(--， B.(22)， C.(1,1) D.(1,1)-- 4．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ） A.63 B. C.D.5．设为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：，则命题甲是命题乙的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．函数()22f x log x x =+-的零点所在的区间是（ ）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）7．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线的距离依次为和，则这样的直线有（ ）A.条B.条C.条D.条 8．某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则()f x PF AP =+．那么可推知方程()6f x =解的个数是（ ） A. B. C. D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z . 10．若抛物线2y ax =的焦点与双曲线的右焦点重合，则a 的值为 ．11．在中，角所对的边分别为，已知，，，则____________．12． 如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的 各条棱中，最长的棱的长度为 ．13．已知不等式组00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为，则=a ；若点S y x P ∈),(，则y x z 3-= 的最小值为 .PFD C14. 将连续整数1，2，…，25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数从左到右都成递增数列，则第三列 各数之和的最小值为 ，最大值为 .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）设数列{}n a 满足:11a =,13n n a a +=,*n N ∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；(Ⅱ)已知数列{}n b 是等差数列,n T 为{}n b 的前n 项和,且1123b a a a =++,33b a =, 求n T 的最大值.16．（本小题共13分）已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωϕ=+∈><<）的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值与最小值.17．（本小题共14分）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是棱111D C DD 、的中点．（Ⅰ）证明：平面11ADC B ⊥平面1A BE ； （Ⅱ）证明：F B 1//平面BE A 1；（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体11A B BE -的体积.EABCDB 1A 1 D 1 C 1F18．（本小题共13分）某校有15050名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60答下列问题：（Ⅰ）写出M 、N 、p、q（直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；（Ⅱ）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；（Ⅲ）现从所有一等奖的学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.19．（本小题共14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为21.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线经过点）（1,0M，且与椭圆C交于BA,两点，若MBAM2=，求直线的方程.20. （本小题共13分）已知函数32()(,)f x ax x bx a b R=-+∈，()f x'为其导函数，且3x=时()f x有极小值9-．（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若不等式()(ln 1)64f x k x x x '>---（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值．（解答过程可参考使用以下数据：ln 7 1.95,ln8 2.08≈≈）石景山区2014—2015学年第一学期期末考试高三数学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(13题、14题第一空2分,第二空3分)三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）由已知，{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，………………………2分所以13n n a -=， ………………………4分 所以1(31)2nn S =-. ………………………………………6分 (Ⅱ) 13S 13b ==,39b =………………………………………8分31242b b d d -==-=-；, ………………………………………10分2(1)13(2)14.2n n n T n n n -=+⨯-=-+ 当7n =时，n T 有最大值49. ……………………………13分16．（本小题共13分） （Ⅰ）11522(),21212T T ππππω=-=∴==…………………………2分 因为点5(,0)12π在函数图象上，得5sin()06πϕ+=.由02πϕ∈（，）可得554663πππϕ+∈（，）， 从而 5=6πϕπ+即=6πϕ . ………………………………………………4分因为点(01)，在函数图象上，sin 126A A π==，即.故函数()f x 的解析式为()2sin(2).6f x x π=+……………………6分（Ⅱ）因为[,0]2x π∈-，所以52[,]666x πππ+∈-. ……………9分 当2+62x ππ=-时，即3x π=-时，)(x f 的最小值为2-；…………………11分当2+66x ππ=时，即0x =时，)(x f 的最大值为. ………………13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明:因为1111D C B A ABCD -为正方体， 所以11B C ⊥面11ABB A ；因为1A B ⊂面11ABB A ，所以111B C A B ⊥．…………2分又因为11A B AB ⊥，1111B C AB B =，所以1A B ⊥面11ADC B因为1A B ⊂面1A BE ,所以平面11ADC B ⊥面1A BE . …………5分（Ⅱ）连接EF ,EF //112C D ，且EF 11=2C D ，设11AB A B O =，则1B O //112C D 且1B O 11=2C D ,所以EF //1B O 且EF 1=B O ，所以四边形1B OEF 为平行四边形. 所以1B F //OE . …………9分 又因为11B F A BE ⊄面，OE 1A BE ⊂面．所以F B 1//面BE A 1 …………11分 （Ⅲ）111111111136A B BE E A B B A B B V V S B C --∆==⋅= …………………14分 18．（本小题共13分）（Ⅰ）M =13 ，N =2， p =0.30，q =0.04， …………………2分………………4分（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为（人）……6分（Ⅲ）记获一等奖的6人为，其中为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：，，，，， ，，，，，，，，，， ………10分E F A BCDB 1A 1 D 1 C 1女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:，，，，，，，， ………12分所以恰有1名女生接受采访的概率. ………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知, 1,c = …………………1分解得22=4,3a b = …………………3分故椭圆方程为22143x y +=． …………………4分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y当k 不存在时，直线方程为=0x ，不符合题意． …………………5分 当k 存在时，设直线方程为1y kx =+，联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去，得：22(34)880k x kx ++-=， ……………6分由题意，点在椭圆内部，必有两个交点，方程必有实根．（或计算0∆>） …7分1221228,34834k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩…………………8分 若2=，则122x x =-， …………………9分 代入上式，可得222228,34834k x k x k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪+⎩，消去2x ，解得12k =±. …………………13分所求直线方程为112y x =±+． …………………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）由，因为函数在时有极小值，所以，从而得， ………………2分所求的，所以，由0)(<'x f 解得31<<-x ， 所以的单调递减区间为()13-，. ………………4分 （Ⅱ）因为2()23f x x x '=--，所以()(ln 1)64f x k x x x '>---等价于，即， ……………6分由()0g x '=，得=1x k +， 所以()g x 在上单调递减，在上单调递增，所以()(1)6ln(1)g x g k k k k +=+-+≥， ……………8分()0>x g 对任意正实数恒成立，等价于，即. ……………10分x 则261'()01h x x x =--<+，所以()h x 在上单调递减，137所以的最大值为． ……………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
2015年高考文科数学北京卷及答案
数学试卷 第1页（共15页）数学试卷 第2页（共15页）数学试卷 第3页（共15页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{52}A x x =-<<，{33}B x x =-<<，则AB =（ ）A ．{|32}x x -<<B ．{|52}x x -<<C ．{|33}x x -<<D ．{|53}x x -<< 2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 （ ）A ．22(1)(1)1x y -+-=B ．22(1)(1)1x y +++=C ．22(1)(1)2x y +++=D ．22(1)(1)2x y -+-=3．下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x = B ．2cos y x x = C ．|ln |y x =D ．2x y -=4．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，（ ）A ．90B ．100C ．180D ．300 5．执行如果所示的程序框图，输出的k 值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 6．设a ，b 是非零向量，“a • b=|a||b|”是“a ∥b ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A ．1BC D ．28.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．复数i(1i)+的实部为__________.10．32-，123，2log 5三个数中最大的数是___________. 11．在ABC △中，3a =，b =，2π3A ∠=，则B ∠=___________. 12．已知2,0（）是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b =__________. 13．如图，ABC △及其内部的点组成的集合记为D ，(,)P x y 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为___________.14．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是____________；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是______________.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共15页）数学试卷 第5页（共15页）数学试卷 第6页（共15页）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数2sin 2xf x x =-().（Ⅰ）求f x ()的最小正周期； （Ⅱ）求f x ()在区间2π[0,]3上的最小值.16．（本小题满分13分）已知等差数列{n a }满足1a +2a =10，4a -3a =2. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{n b }满足23=b a ，37=b a ；问：6b 与数列{n a }的第几项相等？17．（本小题满分13分）某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18．（本小题满分14分）如图，在三棱锥V -ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC =BC ，O ，M 分别为AB ，VA 的中点. （Ⅰ）求证：VB ∥平面MOC ； （Ⅱ）求证：平面MOC ⊥平面VAB ； （Ⅲ）求三棱锥V -ABC 的体积.19．（本小题满分13分）设函数2()ln 2x f x k x =-，0k >．（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间（上仅有一个零点.20．（本小题满分14分）已知椭圆22:33C x y +=.过点1,0D （）且不过点2,1E （）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M . （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率； （Ⅲ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.数学试卷 第7页（共15页）数学试卷 第8页（共15页） 数学试卷 第9页（共15页）2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文科)答案解析第Ⅰ卷{|AB x =-【提示】在数轴上，将集合A，B 表示出来，如图所示：AB 为图中阴影部分，即【考点】集合的交集运算 A【解析】||||cos ,a b a b a b =<>，cos ,1a b ∴<>=，即,0a b <>=，//a b .又当//a b 时，,a b <>还可能是π，||||a b a b ∴=-，所以“||||a b a b =”是“//a b ”的充分而不必要故选A.【提示】||||cos ,a b a b a b =<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b ,a b <>还可能是π，此时||||a b a b =-，故“||||a b a b =”是“//a b ”的充分而不【考点】充分必要条件，向量共线 【解析】四棱锥的直观图如图所示：（Ⅰ）()sinf x=（Ⅱ）2π3x≤≤π在区间0,⎛⎝数学试卷第10页（共15页）数学试卷第11页（共15页）数学试卷第12页（共15页）数学试卷 第13页（共15页） 数学试卷 第14页（共15页） 数学试卷 第15页（共15页）。
2015-2016年北京市石景山区高三上学期期末数学试卷(文科)及答案解析
2015-2016学年北京市石景山区高三上学期数学期末试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={2，5}，集合B={1，2}，集合C={1，2，5，7}，则（A∪B）∩C为（）A．{1，2，5}B．{2，5}C．{2，5，7}D．{1，2，5，7}2．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．0 B．2 C．3 D．43．（5分）若函数y=f（x）的定义域为M={x|﹣2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．4．（5分）“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）如图的程序框图表示算法的运行结果是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．16．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C 的标准方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y+1）2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．（x+1）2+y2=1 7．（5分）已知f（x）=x﹣1，若|f（x）|≥ax﹣1在x∈R上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．[0，1]B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）8．（5分）有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数i（1﹣i）的实部为．10．（5分）已知向量=（﹣3，4），=（1，m），若•（﹣）=0，则m=．11．（5分）某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a=；样本中净重在[98，104）的产品的个数是．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a=15，b=10，A=60°，则sinB=．13．（5分）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为．14．（5分）股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为元，能够成交的股数为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（Ⅱ）记=2]（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．18．（14分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，，M，N分别是棱CC1，AB中点．（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB1；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣AMN的体积．19．（13分）已知椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求直线l的方程．20．（14分）已知函数f（x）=x3﹣x2，g（x）=﹣mx，m是实数．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极小值，求m的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）为增函数，求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数h（x）=f（x）﹣g（x）有三个零点，求m的取值范围．2015-2016学年北京市石景山区高三上学期数学期末试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={2，5}，集合B={1，2}，集合C={1，2，5，7}，则（A∪B）∩C为（）A．{1，2，5}B．{2，5}C．{2，5，7}D．{1，2，5，7}【解答】解：∵A={2，5}，B={1，2}；∴A∪B={1，2，5}；∵C={1，2，5，7}，∴（A∪B）∩C={1，2，5}，故选：A．2．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．0 B．2 C．3 D．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故选：D．3．（5分）若函数y=f（x）的定义域为M={x|﹣2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选：B．4．（5分）“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=2 时，直线2x+ay﹣1=0 即2x+2y﹣1=0，直线ax+2y﹣2=0 即2x+2y﹣2=0，显然两直线平行，故充分性成立．当直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行时，由斜率相等得，a2=4，a=±2，故由直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行，不能推出a=2，故必要性不成立．综上，“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的充分不必要条件，故选：B．5．（5分）如图的程序框图表示算法的运行结果是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=1不满足条件i＞3，不满足条件i是偶数，S=1，i=2不满足条件i＞3，满足条件i是偶数，S=﹣1，i=3不满足条件i＞3，不满足条件i是偶数，S=2，i=4满足条件i＞3，退出循环，输出S的值为2．故选：B．6．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C 的标准方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y+1）2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．（x+1）2+y2=1【解答】解：圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆的圆心坐标（0，1），圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1．故选：C．7．（5分）已知f（x）=x﹣1，若|f（x）|≥ax﹣1在x∈R上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【解答】解：如图，要使|f（x）|≥ax﹣1在x∈R上恒成立，则过定点（0，﹣1）的直线y=ax﹣1的斜率a∈[﹣1，1]．故选：C．8．（5分）有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8种，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数i（1﹣i）的实部为1．【解答】解：复数i（1﹣i）=1﹣i，复数的实部为：1．故答案为：1．10．（5分）已知向量=（﹣3，4），=（1，m），若•（﹣）=0，则m=7．【解答】解：由题可知：•（﹣）=（﹣3，4）•[（﹣3，4）﹣（1，m）]=（﹣3，4）•（﹣4，4﹣m）=12+16﹣4m=0，即m=7，故答案为：7．11．（5分）某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a=0.125；样本中净重在[98，104）的产品的个数是120．【解答】解：由样本的频率分布直方图知：a=[1﹣2×（0.05+0.075+0.1+0.15）]=0.125．∵样本中产品净重小于100克的产品的频率是2×（0.05+0.1）=0.3，样本中产品净重小于100克的个数是48，∴样本的容量是n==160，∵样本中净重在[98，104）的产品的频率是2×（0.10+0.15+0.125）=0.75，∴样本中净重在[98，104）的产品的个数是160×0.75=120．故答案为：120．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a=15，b=10，A=60°，则sinB=．【解答】解：∵a=15，b=10，A=60°，∴sinB===．故答案为：．13．（5分）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为4．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=2；由左视图知CD=4，BE=2，在Rt△BCE中，BC===4，在Rt△BCD中，BD==4．4．【解答】解：依题意，当开盘价为 2.1元时，买家意向股数为600+300+300+100=1300，卖家意向股数为200，此时能够成交的股数为200；当开盘价为2.2元时，买家意向股数为300+300+100=700，卖家意向股数为200+400=600，此时能够成交的股数为600；当开盘价为2.3元时，买家意向股数为300+100=400，卖家意向股数为200+400+500=1100，此时能够成交的股数为400；当开盘价为2.4元时，买家意向股数为100，卖家意向股数为200+400+500+100=1200，此时能够成交的股数为100；故答案为：2.2，600．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（I）设公差为d，由题意可得，即d2﹣d=0，解得d=1或d=0（舍去）所以a n=1+（n﹣1）=n．（II）∵，故数列{b n}是以2为首项，以2为公比的等比数列．∴数列{b n}的前n项和．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．【解答】解：==．（Ⅰ）f（x）的最小正周期为．令，解得，所以函数f（x）的单调增区间为．（Ⅱ）因为，所以，所以，于是，所以0≤f（x）≤1．当且仅当x=0时，f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0．当且仅当，即时最大值．17．（13分）编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：（II）（i）得分在区间[20，30）上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，计为（X，Y），则所有可能的抽取结果有：（A3，A4），（A3，A5），（A3，A10），（A3，A11），（A3，A13），（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A4，A13），（A5，A10），（A5，A11），（A5，A13），（A10，A11），（A10，A13），（A11，A13）共15种．（ii）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A5，A10），（A10，A11）共5种故这2人得分之和大于50分的概率P==18．（14分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，，M，N分别是棱CC1，AB中点．（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB1；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣AMN的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC又因为CN⊂平面ABC，所以AA1⊥CN．因为AC=BC=2，N是AB中点，所以CN⊥AB．因为AA1∩AB=A，所以CN⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）证明：取AB1的中点G，连接MG，NG，因为N，G分别是棱AB，AB1中点，所以NG∥BB1，．又因为CM∥BB1，，所以CM∥NG，CM=NG．所以四边形CNGM是平行四边形．所以CN∥MG．因为CN⊄平面AMB1，GM⊂平面AMB1，所以CN∥平面AMB1．（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM⊥平面AB1N．所以．故答案为：．19．（13分）已知椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求直线l的方程．【解答】解：（I）由条件椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，可得c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．（II）由过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①由①的判别式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，解得k2＜，x1+x2=，由又点A，B的中点横坐标为．可得解得k2=，即有k=±．y=（x﹣4）．直线l的方程：y=（x﹣4）．20．（14分）已知函数f（x）=x3﹣x2，g（x）=﹣mx，m是实数．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极小值，求m的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）为增函数，求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数h（x）=f（x）﹣g（x）有三个零点，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2﹣（m+1）x，由f（x）在x=1处取到极小值，得f′（1）=1﹣（m+1）=0，∴m=0，检验m=0时，f（x）=x3﹣x2，f′（x）=x（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故x=1是极大值点，不符合题意；（Ⅱ）f′（x）=x2﹣（m+1）x，∵f（x）在区间（2，+∞）为增函数，∴f′x）=x（x﹣m﹣1）≥0在区间（2，+∞）恒成立，∴x﹣m﹣1≥0恒成立，即m≤x﹣1恒成立，由x＞2，得m≤1，∴m的范围是（﹣∞，1]．（Ⅲ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣x2+mx﹣，∴h′（x）=（x﹣1）（x﹣m）=0，解得：x=m，x=1，m=1时，h′（x）=（x﹣1）2≥0，h（x）在R上是增函数，不合题意，m＜1时，令h′x）＞0，解得：x＜m，x＞1，令h′（x）＜0，解得：m＜x＜1，∴h（x）在（﹣∞，m），（1，+∞）递增，在（m，1）递减，∴h（x）极大值=h（m）=﹣m3+m2﹣，h（x）极小值=h（1）=，要使f（x）﹣g（x）有3个零点，需，解得：m＜1﹣，∴m的范围是（﹣∞，1﹣）．。
2016年1月石景山高三数学(文)答案3
石景山区2015—2016学年第一学期期末考试高三数学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(14题第一空2分，第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解 （Ⅰ）由题设知公差0d ≠， ………………2分 由11391,,,a a a a =成等比数列得1218112d d d++=+， ………………4分解得1,0d d ==（舍去）， ………………5分 故{}n a 的通项1(1)1na n n =+-⨯=. ………………7分(Ⅱ)由（Ⅰ）知22ma n =，由等比数列前n 项和公式得 ………………9分2312(12)22222212n nn n S +-=++++==--. ………………13分16．（本小题共13分）解：()2cos21f x x x =+-12cos2)12x x =+-π2sin(2)16x =+-. ………………2分（Ⅰ）()f x 的最小正周期为2ππ.2T == ………………4分 令222,262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以函数()f x 的单调增区间为[,],36k k k ππππ-+∈Z . ………………7分 （Ⅱ）因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以1sin(2x )126π≤+≤ ， 于是 12sin(2)26x π≤+≤ ，所以0()1f x ≤≤. ………………9分当且仅当0x =时，()f x 取最小值min ()(0)0f x f ==. ………………11分 当且仅当262x ππ+=，即6x π=时最大值max ()()16f x f π==. ………13分17．（本小题共13分）（Ⅰ）解：4，6，6 ………3分 （Ⅱ）解（i ）：得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种. ………8分（Ⅲ）解：“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有：454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种. ………11分所以51().153P B == ………13分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，又因为CN ⊂平面ABC ，所以1AA CN ⊥. ………1分 因为2AC BC ==，N 是AB 中点，所以CN AB ⊥. ………3分 因为1AA AB A ⋂=， ………4分 所以CN ⊥平面11ABB A . ………5分（Ⅱ）证明：取1AB 的中点G ，连结MG ，NG ，因为N ，G 分别是棱AB ，1AB 中点，所以NG ∥1BB ，112NG BB =. ………6分 又因为CM ∥1BB ，112CM BB =， 所以CM ∥NG ，CM ＝NG .所以四边形CNGM 是平行四边形．所以CN ∥MG . ………8分 因为CN ⊄平面1AMB ，MG ⊂平面1AMB ， ………9分 所以CN ∥平面1AMB . ………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知MG ⊥平面1AB N . 所以11114242323B AMN M AB N V V --==⨯⨯⨯⨯= ………14分 19．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由条件可知，1,2c a ==，故2223b a c =-=， ………3分椭圆的标准方程是22143x y +=． ………4分 （Ⅱ）由已知,,A B M 三点共线，设点11(,)A x y ，点22(,)B x y ．若直线AB x ⊥轴，则124x x ==，不合题意． ………5分 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为(4)y k x =-． …6分由22(4)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 消去y 得，2222(34)3264120k x k x k +-+-=．① ………8分 由①的判别式△=42223224(43)(6412)144(14)0k k k k -+-=->， …9分 解得214k <， ………10分 21223243k x x k +=+,2122641243k x x k -=+. ………11分由21221642437x x k k +==+，可得218k =，即有4k =± ………12分即所求直线方程为(4)4y x =±-. ………13分 20．（本小题共14分）解: （Ⅰ）2()(1)f x x m x '=-+ ………1分 由()f x 在1x =处取得极大值,得(1)1(1)0f m '=-+=, ………3分 所以0m =(经检验适合题意) ………4分（Ⅱ）2()(1)f x x m x '=-+,因为()f x 在区间(2,)+∞为增函数,所以2(1)(1)0x m x x x m -+=--≥在区间(2,)+∞恒成立, ………5分所以(1)0x x m --≥恒成立,即1m x ≤-恒成立,由于2x >,得1m ≤.所以m 的取值范围是1m ≤. ………8分（Ⅲ）32111()()()323m h x f x g x x x mx +=-=-+-, 故2()(1)(1)()0h x x m x m x x m '=-++=--=,得x m =或1x =当1m =时, 2()(1)0h x x '=-≥,()h x 在R 上是增函数,显然不合题意. ……9分 当1m <时, (),()f x f x '随x 的变化情况如下表:………10分要使()()f x g x -有三个零点,故需321110623102m m m ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩, ………12分即2(1)(22)01m m m m ⎧---<⎨<⎩, 解得31-<m所以m 的取值范围是31-<m . ………14分【注：若有其它解法，请酌情给分】。
石景山区高二上期末文科数学参考答案
石景山区2015—2016学年第一学期期末考试试卷高二数学参考答案（文科）二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．两空的题第一问1分第二问2分． 11． ∃2,10x R x x ∈-+≤使得成立；12．222)(2)4x y -+-=（或222)(2)4x y ++-=（；13． (1,0)±； 14．23，14-． 三、解答题：本大题共6个小题，共48分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分8分） 解：联立方程组25020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩． ………………2分（Ⅰ）由题意，直线l 的斜率为4，所以l 的方程为470x y --=； ………………5分 （Ⅱ）由题意，直线l 的斜率为14-，所以l 的方程为460x y +-=．………………8分 16．（本小题满分8分）证明：（Ⅰ）连接FG ，在△PAD 中，点F G ，分别为,PA PD 的中点， 所以//FG AD ，且12FG AD =， ………………1分D 1C 1B 1A 1EA D C又因为点E 为BC 的中点，所以//FG EC ，且FG EC =，所以四边形ECGF 是平行四边形． ………………2分 所以//FE GC ，又EF ⊄平面ACG ，GC ⊂平面ACG ，所以EF //平面ACG ．………………4分 （Ⅱ）因为ABCD 为菱形，所以AB=BC又60ABC ∠=，所以AB=BC=AC ，又E 为BC 中点，所以BC AE ⊥ …………… 5分 而PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,所以PA BC ⊥ …………… 6分 又PA AE A =，所以BC ⊥平面AEF …………… 7分 又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面AEF ……………8分17．（本小题满分8分）解：画法：取棱AB 的中点F ，连接EF 即为交线．…………… 4分 理由如下：平面11AA B B //平面11CC D D ，111CD CC D D ⊂面, 111//CD AA B B ∴面1//CD ∴交线． …………… 6分在正方体中，11//BC A D 且11=BC A D ，11BCA D ∴是平行四边形, 11//A B D C ∴在平面11AA B B 中，易证1//EF A B ，进而1//EF CD所以，EF 即为所求． …………… 8分 18．（本小题满分8分）解：（Ⅰ）因为⊥D B 1平面ACE ，⊂AE 平面ACE ，所以AE D B ⊥1， ……… 1分 在长方体中，易证⊥11B A 平面D D AA 11，⊂AE 平面D D AA 11所以AE B A ⊥11． ……… 2分因为B BD BB = 1，所以⊥AE 平面D B A 11． ……… 3分 又⊂D A 1平面D B A 11所以AE D A ⊥1． ……… 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知AE D A ⊥1，从而1AA AD AD DE =，21=DE ， ……… 6分 所以12112112131=⨯⨯⨯⨯=-CDE A V ． ……… 8分 19．（本小题满分8分）（Ⅰ）②; ………1分 （Ⅱ）（1）Ey ； ………3分 （2）2n，n -； ………5分 22220p q npx y nx y q+-+--=． ………8分或（Ⅰ）①; ………1分 （Ⅱ）（1）Ey F +； ………3分 （2）2m n+，()m n -+； ……5分 222()0mn p x y m n x y mn p++-+-+=． ……8分20．（本小题满分8分）解：（Ⅰ）由题意可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222233c b a a c e c ……1分解得 1,2==b a , ……2分所以椭圆的方程为：1422=+y x ; ……3分（II ）证明：由方程组2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2258440x mx m ++-=,22(8)20(44)0m m ∆=-->,整理得250m ->, ……4分 设),(),,(2221y x N x x M ,则21212844,55m x x m x x -+=-=． ……5分由已知，AN AM ⊥且椭圆的右顶点为)0,2(A ,0)2)(2(2121=+--∴y y x x , ………6分212121212()()()y y x m x m x x m x x m =++=+++,即212122(2)()40x x m x x m +-+++=,也即22888(2)4055m m m m ---++=,整理得：2516120m m ++=． 解得2m =-或65m =-均满足250m ->． ……7分 当2m =-时，直线的l 方程为2y x =-，过定点（2，0）与题意矛盾舍去； 当65m =-时，直线的l 方程为65y x =-，符合题意． ……8分【若有不同解法，请酌情给分】。
高考数学3月石景山高三数学(文)答案.docx
石景山区2015—2016学年第一学期期末考试高三数学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCACABA二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(第9题第一空2分， 第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解: （Ⅰ）设公比为q ，则2a q =，23a q =， …………1分∵2a 是1a 和31a -的等差中项，题号910 11121314答案 23，22y x =±10 2 c a b << [){}20+∞，6∴2132(1)a a a =+-，221(1)q q =+-， ……………3分解得2q =或0q =（舍）， ……………5分∴12n n a -=． .……………6分（Ⅱ）121212n n n b n a n -=-+=-+，则12[13(21)](122)21n n n S n n -=++⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅=+-． .……………13分16．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）sin 3cos b A a B =，由正弦定理得sin sin 3sin cos B A A B =，.……………2分 在△ABC 中，sin 0A ≠，即tan 3B =，(0,)B π∈ ……………4分3πB ∴=． .……………6分 （Ⅱ）sin 2sin C A =，由正弦定理得2c a =， .……………8分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22942(2)cos3πa a a a =+-⋅⋅， .……………10分解得3a =，∴223c a ==． .……………13分17．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）由直方图可知：(0.10.2)1206+⨯⨯=，(0.250.2)1209+⨯⨯=，(0.10.05)1203+⨯⨯=．所以这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为6个，9个，3个．.……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知拥堵路段共有69318++=个，按分层抽样从18个路段中选出6个，每种情况分别为：66218⨯=，69318⨯=，63118⨯=，即这三个级别路段中分别抽取的个数为2，3，1． .……………8分（Ⅲ）记（Ⅱ）中选取的2个轻度拥堵路段为12A A ，，选取的3个中度拥堵路段为123B B B ，，，选取的1个严重拥堵路段为C ，则从6个路段选取2个路段的可能情况如下：12()A A ，，11()A B ，，12()A B ， ，13()A B ，，1()A C ，，21()A B ， ，22()A B ，，23()A B ， ，2()A C ，，12()B B ，，13()B B ，，1()B C ，，23()B B ，，2()B C ，，3()B C ，共15种可能，其中至少有1个轻度拥堵的有：12()A A ，，11()A B ，，12()A B ， ，13()A B ，，1()A C ，，21()A B ， ，22()A B ，，23()A B ， ，2()A C ，共9种可能. ∴所选2个路段中至少1个路段轻度拥堵的概率为93155=． .……………13分18．（本小题共14分）解:（Ⅰ）证明：由直四棱柱1111ABCD A B C D -， 得1BB ∥1DD ，11BB DD =，∴11BB D D 是平行四边形，∴11B D ∥BD ..……………2分 ∵BD ⊂平面1A BD ，11B D ⊄平面1A BD ，∴11B D ∥平面1A BD ..……………4分（Ⅱ）证明：∵1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1BB AC ⊥. 又∵BD AC ⊥，且1BDBB B =，∴AC ⊥平面11BB D D . .……………7分∵MD ⊂平面11BB D D ，∴MD AC ⊥. .……………9分（Ⅲ）当点M 为棱1BB 的中点时，平面1DMC ⊥平面11CC D D . ……………10分证明如下：取DC 的中点N ，11D C 的中点1N ，连接1NN 交1DC 于O ，连接OM ，如图所示． ∵N 是DC 的中点，BD BC =， ∴BN DC ⊥.又∵DC 是平面ABCD 与平面11DCC D 的交线， 平面ABCD ⊥平面11DCC D ，∴BN ⊥平面11DCC D ..……………12分 由题意可得O 是1NN 的中点， ∴BM ∥ON 且BM ON =， 即四边形BMON 是平行四边形． ∴BN ∥OM .∴OM ⊥平面11DCC D .∵OM ⊂平面1DMC ，∴平面1DMC ⊥平面11CC D D .……………14分 19．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）()2xf x e '=-，令()0f x '=解得ln 2x =，易知()f x 在(ln 2)-∞，上单调递减，在(ln 2+)∞，上单调递增， 故当ln 2x =时，()f x 有极小值(ln 2)22ln 2f =- ...……………4分（Ⅱ）令2()x g x e x =-，则()2xg x e x '=-， ...……………5分 由（Ⅰ）知()2()22ln 20xg x e x f x '=-=≥->，所以()g x 在(0)+∞，上单调递增， 所以()(0)10g x g >=>，所以2x e x >. ..……………8分（Ⅲ）方程2()22x f x e x kx x =-=-，整理得2x e kx =，当0x >时，2xe k x =. ...……………9分令2()xe h x x=，则2432(2)()x x x e x e x e x h x x x ⋅-⋅-'==， ...……………10分 令()0h x '=，解得2x =，易得()h x 在(02)，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增，所以2x =时，()x ϕ有最小值2(2)4e ϕ=， ...……………12分而当x 越来越靠近0时，()x ϕ的值越来越大， 又当0x >，方程2()2f x kx x =-无解，所以24e k <. ...……………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以点()30-，，()30，为焦点，长半轴长为2的椭圆，故曲线C 的方程为2214x y +=. ...……………3分（Ⅱ）存在△AOB 面积的最大值． ...……………4分 因为直线l 过点()1,0E -，所以可设直线l 的方程为1x my =-或0y =(舍)．由条件得22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得22(4)230m y my +--=，22(2)12(4)0m m ∆=-++>.设1122()()A x y B x y ，，，，其中12y y >. 解得12224m y y m +=+，12234y y m -=+， ...……………7分 则2212434m y y m +-=+，则221222123212433AOBm S OE y y m m m ∆+=-==++++...……………10分设23t m =+，则1()3g t t t t=+≥，， 则()g t 在区间)3⎡+∞⎣，上为增函数，所以43()3g t ≥. 所以32AOB S ∆≤，当且仅当0m =时等号成立，即max 3()2AOB S ∆=.所以AOB S ∆的最大值为32. ....……………13分【注：若有其它解法，请酌情给分】。
2016.1高二文科答案
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.B2. D3.C4. A5.C6.C7. B8. B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 2,10x x ∃∈-≤R 10. 1:4 11. 12i -+12.y = 13. 14. ①③注：12题第一空2分，第二空3分；14题多选、少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解： 连结BD .因为 PD ⊥底面ABCD ，所以 PD BD ⊥. 【 2分】 因为 底面ABCD 是正方形，2AB =，所以 BD =【 3分】 在直角三角形PDB 中，PB ==.【 5分】 （Ⅱ）解：因为 PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，从而△PDA ，△PDC 为全等的直角三角形， 【 7分】所以 PA PC ==【 8分】由（Ⅰ）知 PB = 所以 22222AB PA PB BC PC +==+，从而 △PAB ，△PCB 为全等的直角三角形. 【10分】 所以，四棱锥P ABCD -的表面积22PDA PAB ABCD S S S S ∆∆=++正方形 【11分】 2112222AD PD AB PA AB =⨯⋅+⨯⋅+8=+【13分】 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：圆C 的半径 ||5OC ==， 【 3分】 从而圆C 的方程为22(4)(3)25x y -+-=． 【 5分】 （Ⅱ）解：作CD AB ⊥于D ，则CD 平分线段AB ，所以 1||||42AD AB ==． 【 7分】在直角三角形ADC 中，||3CD ==． 【 9分】 由点到直线的距离公式，得||||5m CD ==， 【11分】 所以||35m =，【12分】 解得 15m =±． 【13分】17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于O ，连接EO ．因为 ,E O 分别为QD 和BD 的中点，则EO ∥QB ．【 2分】又 EO ⊂平面AEC ，QB ⊄平面AEC ， 【 3分】所以 QB ∥平面AEC ． 【 4分】（Ⅱ）证明： 因为矩形ABCD 所在的平面与正方形ADPQ 所在的平面相互垂直，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，所以CD ⊥平面ADPQ ．【 6分】 又AE ⊂平面ADPQ ， 所以CD AE ⊥． 【 7分】 因为AD AQ =，E 是QD 的中点， 所以AE QD ⊥． 【 8分】 所以AE ⊥平面QDC ． 【 9分】 所以平面QDC ⊥平面AEC ．【10分】 （Ⅲ）解：多面体ABCEQ 为四棱锥Q ABCD -截去三棱锥E ACD -所得， 【12分】所以3311221443ABCEQ Q ABCD E ACD Q ABCD V V V V ---=-==⨯⨯⨯⨯=． 【14分】 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-， 【 2分】 所以 122p -=-， 解得1p =， 【 4分】所以 抛物线的方程为22y x =. 【 5分】 （Ⅱ）证明：设11(,)M x y ，22(,)N x y .将(2)y k x =-代入22y x =，消去y 整理得 22222(21)40k x k x k -++=. 【 7分】 所以 124x x =. 【 8分】由2112y x =，2222y x =，两式相乘，得 2212124y y x x =， 【 9分】注意到1y ，2y 异号，所以 124y y =-. 【10分】 所以直线OM 与直线ON 的斜率之积为12121y y x x ⋅=-， 【12分】 即 OM ON ⊥. 【13分】19.（本小题满分13分） （Ⅰ）证明：取FC 中点N .在图1中，由D ，N 分别为AC ，FC 中点，所以 DN ∥EF . 【 2分】 在图2中，由M ，N 分别为1A C ，FC 中点， 所以 MN ∥1A F ， 【 4分】 所以 平面DMN ∥平面1A EF ， 【 5分】所以 DM ∥平面1A EF . 【 6分】 （Ⅱ）解：直线1A B 与直线CD 不可能垂直. 【 7分】因为平面1A BD ⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，EF BD ⊥，所以 EF ⊥平面1A BD ， 【 8分】 所以1A B EF ⊥. 【 9分】 假设有1A B CD ⊥，注意到CD 与EF 是平面BCD 内的两条相交直线，则有1A B ⊥平面BCD . （1） 【10分】 又因为平面1A BD ⊥平面BCD ，1A E ⊂平面1A BD ，1A E BD ⊥，所以 1A E ⊥平面BCD .（2） 【11分】 而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾！ 所以直线1A B 与直线CD 不可能垂直. 【13分】20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得1b =， 【 1分】且 22222134c a e a a -===， 【 3分】解得 24a =． 【 4分】所以，椭圆C 的方程是2214x y +=． 【 5分】 （Ⅱ）证法一：易知，直线PQ 的斜率存在，设其方程为y kx m =+． 【 6分】将直线PQ 的方程代入2244x y +=，消去y ，整理得 222(14)8440k x kmx m +++-=． 【 8分】 设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 122814kmx x k+=-+，21224414m x x k -⋅=+．（1） 【 9分】 因为 BP BQ ⊥，且直线,BP BQ 的斜率均存在，所以1212111y y x x --⋅=-， 整理得 121212()10x x y y y y +-++=．（2） 【10分】因为 11y kx m =+，22y kx m =+，所以 1212()2y y k x x m +=++，22121212()y y k x x mk x x m =+++．（3）将（3）代入（2），整理得221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m ++-++-=．（4） 【11分】将（1）代入（4），整理得 25230m m --=． 【13分】解得 35m =-，或1m =（舍去）． 所以，直线PQ 恒过定点3(0,)5-． 【14分】证法二：直线,BP BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为1y kx =+． 【 6分】 将直线BP 的方程代入2244x y +=，消去y ，得 22(14)80k x kx ++=． 【 8分】 解得 0x =，或2814kx k -=+． 【 9分】设 11(,)P x y ，所以12814kx k -=+，211214114k y kx k -=+=+，所以 222814(,)1414k k P k k--++． 【10分】 以1k-替换点P 坐标中的k ，可得 22284(,)44k k Q k k -++． 【11分】 从而，直线PQ 的方程是 222222222148141488144144144k ky x k k k k k k kk k k --+++=-----++++．依题意，若直线PQ 过定点，则定点必定在y 轴上． 【13分】 在上述方程中，令0x =，解得35y =-．所以，直线PQ 恒过定点3(0,)5-． 【14分】。
《解析》北京市石景山区2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．下列命题中，真命题是（）A．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直B．若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行C．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线D．若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行2．直线y=﹣2x+b一定通过（）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限3．某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，最高一层的房间在什么位置（）A．左前 B．右前 C．左后 D．右后4．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．已知命题p，q，那么“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．棱长为2的正方体的内切球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π7．抛物线y2=8x上到其焦点F距离为4的点有（）个．A．1 B．2 C．3 D．48．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A．平行 B．垂直C．相交成60°角D．异面且成60°角9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则直线BE与平面AA1D1D 所成角的正切值为（）A．B．C．D．10．某化工厂有8种产品，由于安全原因，有些产品不允许存放在同一仓库．具体情况由下种产品？（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题共4小题，每小题3分，共12分．11．命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为．12．过点（0，2）且与两坐标轴相切的圆的方程为．13．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．则椭圆的长轴长为．14．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙O：x2+y2=1来说，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S P的定义如下：若P与O重合，S P=r；若P不与O重合，射线OP与⊙O的交点为A，S P=AP的长度（如图）．（1）直线2x+2y+1=0在圆内部分的点到⊙O的最长距离为；（2）若线段MN上存在点T，使得：①点T在⊙O内；②∀点P∈线段MN，都有S T≥S P成立．则线段MN的最大长度为．三、解答题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点P．（Ⅰ）若直线l平行于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程；（Ⅱ）若直线l垂直于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程．16．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2AB=2，E是DD1上的一点，且满足B1D⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：A1D⊥AE；（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．17．如图，有一个正方体的木块，E为棱AA1的中点．现因实际需要，需要将其沿平面D1EC 将木块锯开．请你画出前面ABB1A1与截面D1EC的交线，并说明理由．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E为PD中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的大小．19．课本上的探索与研究中有这样一个问题：已知△ABC的面积为S，外接圆的半径为R，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，用解析几何的方法证明：．小东根据学习解析几何的经验，按以下步骤进行了探究：（1）在△ABC所在的平面内，建立直角坐标系，使得△ABC三个顶点的坐标的表示形式较为简单，并设出表示它们坐标的字母；（2）用表示△ABC三个顶点坐标的字母来表示△ABC的外接圆半径、△ABC的三边和面积；（3）根据上面得到的表达式，消去表示△ABC的三个顶点的坐标的字母，得出关系式．在探究过程中，小东遇到了以下问题，请你帮助完成：（Ⅰ）为了△ABC的三边和面积表达式及外接圆方程尽量简单，小东考虑了如下两种建系方式；你选择第种建系方式．（Ⅱ）根据你选择的建系方式，完成以下部分探究过程：（1）设△ABC的外接圆的一般式方程为x2+y2+Dx+ =0；（2）在求解圆的方程的系数时，小东观察图形发现，由圆的几何性质，可以求出圆心的横坐标为，进而可以求出D=；（3）外接圆的方程为．20．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．2015-2016学年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．下列命题中，真命题是（）A．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直B．若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行C．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线D．若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用平面与平面垂直的判定定理判断A的正误；利用特例判断B的正误；直线与平面平行的性质定理判断C的正误，直线与平面的位置关系判断即可．【解答】解：一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A正确．若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行，例如正方体的上面的来与底面是平行的．侧面与底面是垂直的，所以B不正确．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线，也有异面直线，所以C 不正确；若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行，不满足平面与平面平行的判定定理．所以不正确．故选：A．2．直线y=﹣2x+b一定通过（）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】利用直线的斜率即可判断出结论．【解答】解：∵斜率k＜0，∴直线y=﹣2x+b一定通过第二、四象限．故选：B．3．某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，最高一层的房间在什么位置（）A．左前 B．右前 C．左后 D．右后【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据主视图和侧视图，结合三视力长对正，宽相等的原则，可得最高一层的房间的位置．【解答】解：由已知中的三视图可得：主视图的左边是三层的，可得最高一层的房间在左边；侧视图的左边是三层的，可得最高一层的房间在后面，故最高一层的房间在左后面，故选：C．4．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，转化求出双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，可得=，即，解得e2=，e=．故选：A．5．已知命题p，q，那么“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】复合命题的真假．【分析】根据p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系便可判断由“p∧q为真命题”能得到“p ∨q为真命题”，而“p∨q为真命题”得不到“p∧q为真命题”，从而得出正确选项为A．【解答】解：若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，∴p∨q为真命题；若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，而如果p，q中只有一个为真命题，则得不到p∧q为真命题；∴“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件．故选：A．6．棱长为2的正方体的内切球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】棱长为2的正方体的内切球的半径r=1，由此能求出其表面积．【解答】解：棱长为2的正方体的内切球的半径r==1，表面积=4πr2=4π．故选B．7．抛物线y2=8x上到其焦点F距离为4的点有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，判断焦点到顶点的距离，然后推出结果．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点坐标（2，0），焦点到顶点的距离为2，所以抛物线上到其焦点F距离为4的点有2个．故选：B．8．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A．平行 B．垂直C．相交成60°角D．异面且成60°角【考点】异面直线的判定．【分析】以AB所在平面为底面，将右侧正方形折起为右边的平面，因为DE∥AB，所以∠CDE即为直线AB，CD所成的角，在△CDE中求解即可．【解答】解：如图，直线AB，CD异面．因为DE∥AB，所以∠CDE即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠CDE=60°故选D．9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则直线BE与平面AA1D1D 所成角的正切值为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接AE，得到∠AEB是直线BE与平面AA1D1D所成的角，然后再在三角形EDF 中求出此角即可．【解答】解：连接AE，因为几何体是正方体，可知BA⊥平面AA1D1D，得到∠AEB是直线BE与平面AA1D1D所成的角，设棱长为2，AE==，直线BE与平面AA1D1D所成角的正切值为：=．故选：C．10．某化工厂有8种产品，由于安全原因，有些产品不允许存放在同一仓库．具体情况由下“╳”种产品？（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】排列、组合的实际应用．【分析】作图：以产品为顶点，能够允许存放在同一仓库的产品用边相连画图，找完全子图的顶点集，即可判断答案．【解答】解：作图：以产品为顶点，能够允许存放在同一仓库的产品用边相连画图，找完全子图的顶点集：例如：①{1，4，7}，{3，6，8}，{2，5}，②{2，4，6，8}，{1，7}，{3，5}，每个顶点集中元素可以放在同一仓库，需要3间仓库，故选：B二、填空题共4小题，每小题3分，共12分．11．命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为∃x∈R，x2﹣x+1≤0．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．12．过点（0，2）且与两坐标轴相切的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆的圆心与半径，即可写出圆的标准方程，【解答】解：过点（0，2）且与两坐标轴相切的圆的圆心（2，2），半径为：2．圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．13．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．则椭圆的长轴长为2+2．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程解得p即可．由题意知椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），可得c．对于椭圆，2a=|MF1|+|MF2|，可得结论．【解答】解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程得p=2．∴抛物线的方程为y2=4x．由题意知椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．∴c=1．对于椭圆，2a=|MF1|+|MF2|=+=2+2．故答案为：2+2．14．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙O：x2+y2=1来说，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S P的定义如下：若P与O重合，S P=r；若P不与O重合，射线OP与⊙O的交点为A，S P=AP的长度（如图）．（1）直线2x+2y+1=0在圆内部分的点到⊙O的最长距离为1﹣；（2）若线段MN上存在点T，使得：①点T在⊙O内；②∀点P∈线段MN，都有S T≥S P成立．则线段MN的最大长度为4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据点到的坐标和新定义进行求解即可．（2）根据点T在⊙O内，得到S T≤1，然后根据不等式S T≥S P成立，的S P≤1，即可得到结论．【解答】解：（1）作出对应的图象如图：由图象可知当直线与2x+2y+1=0垂直时对应的交点P，此时P到⊙O的距离最长，此时OP==，则AP=1﹣OP=1﹣．（2）∵点T在⊙O内，∴S T≤1，∵S T≥S P成立，∴S P≤1，∴当线段MN过原点时，MN的最大长度为1+2+1=4，故答案为：4．三、解答题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点P．（Ⅰ）若直线l平行于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程；（Ⅱ）若直线l垂直于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】联立，解得交点P．（Ⅰ）设直线l：4x﹣y+m=0，把（2，1）代入可得m，即可得出；（Ⅱ）设直线l的方程为：x+4y+n=0，把点P（2，1）代入上述方程n，即可得出．【解答】解：联立，解得P（2，1）．（Ⅰ）设直线l：4x﹣y+m=0，把（2，1）代入可得：4×2﹣1+m=0，m=﹣7．∴l的方程为：4x﹣y﹣7=0；（Ⅱ）设直线l的方程为：x+4y+n=0，把点P（2，1）代入上述方程可得：2+4+n=0，解得n=﹣6．∴x+4y﹣6=0．16．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2AB=2，E是DD1上的一点，且满足B1D⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：A1D⊥AE；（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由B1D⊥平面ACE，求出DE=，由此利用向量法能证明A1D⊥AE．（Ⅱ）求出平面AEC的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣C 的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2AB=2，E是DD1上的一点，且满足B1D⊥平面ACE，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（1，0，2），D（0，0，0），A（1，0，0），B1（1，1，2），C（0，1，0），设E（0，0，t），0≤t≤2，=（﹣1，﹣1，﹣2），=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，t），∵B1D⊥平面ACE，∴=1﹣2t=0，解得t=，∴=（﹣1，0，﹣2），=（﹣1，0，），∴，∴A1D⊥AE．解：（Ⅱ）=（﹣1，0，），=（﹣1，1，0），设平面AEC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，2），又平面ADE的法向量=（0，1，0），设二面角D﹣AE﹣C的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．17．如图，有一个正方体的木块，E为棱AA1的中点．现因实际需要，需要将其沿平面D1EC 将木块锯开．请你画出前面ABB1A1与截面D1EC的交线，并说明理由．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】取AB中点F，连结EF，则EF即为所求的面ABB1A1与截面D1EC的交线．【解答】解：取AB中点F，连结EF，则EF即为所求的面ABB1A1与截面D1EC的交线．理由如下：连结A1B，∵E为棱AA1的中点，F是AB中点，∴EF∥A1B，又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，∴直线EF与直线D1C确定一个平面α，∵直线D1C与直线外一点E都在平面α内，∴平面α与平面D1EC重合，∴EF即为所求的面ABB1A1与截面D1EC的交线．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E为PD中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，则OE∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，∵四边形ABCD为正方形，E为PD中点，∴OE∥PB，∵OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面AEC．解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵PA=AB=2，E为PD中点．∴B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（1，1，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，=（0，1，1），设二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角B﹣PC﹣D的大小为arccos．19．课本上的探索与研究中有这样一个问题：已知△ABC的面积为S，外接圆的半径为R，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，用解析几何的方法证明：．小东根据学习解析几何的经验，按以下步骤进行了探究：（1）在△ABC所在的平面内，建立直角坐标系，使得△ABC三个顶点的坐标的表示形式较为简单，并设出表示它们坐标的字母；（2）用表示△ABC三个顶点坐标的字母来表示△ABC的外接圆半径、△ABC的三边和面积；（3）根据上面得到的表达式，消去表示△ABC的三个顶点的坐标的字母，得出关系式．在探究过程中，小东遇到了以下问题，请你帮助完成：（Ⅰ）为了△ABC的三边和面积表达式及外接圆方程尽量简单，小东考虑了如下两种建系方式；你选择第①种建系方式．（Ⅱ）根据你选择的建系方式，完成以下部分探究过程：（1）设△ABC的外接圆的一般式方程为x2+y2+Dx+ Ey+F=0；（2）在求解圆的方程的系数时，小东观察图形发现，由圆的几何性质，可以求出圆心的横坐标为，进而可以求出D=﹣m﹣n；（3）外接圆的方程为x2+y2+（﹣m﹣n）x+（﹣p﹣）y+mn=0．【考点】圆的标准方程；圆的一般方程．【分析】选择坐标系，利用待定系数法，即可得出结论．【解答】解：设△ABC的外接圆的一般式方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则D=﹣m﹣n，∴方程为x2+y2+（﹣m﹣n）x+Ey+F=0，代入（0，p），（n，0），可得，∴F=mn，E=﹣p﹣，∴外接圆的方程为x2+y2+（﹣m﹣n）x+（﹣p﹣）y+mn=0．故答案为：①；Ey+F；；﹣m﹣n；x2+y2+（﹣m﹣n）x+（﹣p﹣）y+mn=0．20．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（I）设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率为，得出a2=4b2，再根据M（4，1）在椭圆上，解方程组得b2=5，a2=20，从而得出椭圆的方程；（II）因为直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，可将直线方程与椭圆方程消去y得到关于x的方程，有两个不相等的实数根，从而△＞0，解得﹣5＜m＜5；（III）设出A（x1，y1），B（x2，y2），对（II）的方程利用根与系数的关系得：．再计算出直线MA的斜率k1=，MB的斜率为k2=，将式子K1+K2通分化简，最后可得其分子为0，从而得出k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补，命题得证．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，∵椭圆的离心率为，∴a2=4b2，又∵M（4，1），∴，解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为．…（Ⅱ）将y=x+m代入并整理得5x2+8mx+4m2﹣20=0，∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B∴△=（8m）2﹣20（4m2﹣20）＞0，解得﹣5＜m＜5．…（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），根据（Ⅱ）中的方程，利用根与系数的关系得：．上式的分子=（x1+m﹣1）（x2﹣4）+（x2+m﹣1）（x1﹣4）=2x1x2+（m﹣5）（x1+x2）﹣8（m﹣1）=所以k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．…2016年7月30日。
北京市石景山区高二上学期数学期末试题(解析版)
一、单选题1．已知直线l 的倾斜角为，则直线l 的斜率为（ ）120︒A ．B ．C ．0D ．11-【答案】A【分析】根据直线倾斜角和斜率的定义即可求得结果.【详解】由斜率的定义可知，直线l 的斜率,tan120tan(18060)tan 60k ==-=-=即直线l 的斜率为故选：A. 2．双曲线右支上一点A 到右焦点的距离为3，则点A 到左焦点的距离为（）221169x y -=1F 2F A ．5 B ．6 C ．9 D ．11【答案】D【分析】根据双曲线的定义可求解.【详解】设双曲线的实轴长为，则，2a 28a =由双曲线的定义知，212AF AF a -=，2128311AF a AF =+=+=故选：D3．若，则的值为（ ）()()()2,3,2,1,2,2,1,2,2a b c ===- ()a b c -⋅ A ． B ．0 C ．1 D ．21-【答案】C【分析】直接利用数量积的坐标运算即可求得.【详解】因为，()()()2,3,2,1,2,2,1,2,2a b c ===- 所以.()()()1,1,01,2,21201a b c -⋅=⋅-=-++= 故选：C4．在复平面内，复数对应的点Z 如图所示，则（ ）z 1i z=-A ．B ．C ．D ．13i 2-+1i 2+1i +13i -+【答案】A【分析】根据图示及复数的几何意义可得复数，代入计算即可得结果. z 【详解】根据图示可知，复数，12z i =+根据复数的除法运算可得； 2i i)(1i)13i 2i 13i 1i 1i (1i)(1i)2212(12z +++-+==+=-+=--+故选：A.5．已知圆的方程是，圆的方程是，则圆与圆1C 222210x y x y +-++=2C 22(2)(3)16x y ++-=1C 的位置关系是（ ）2C A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含【答案】B【分析】根据圆心距以及半径间的关系确定正确选项.【详解】即，222210x y x y +-++=()()22111x y -++=所以圆的圆心为，半径. 1C ()11,1C -11r =,222(2)(3)164x y ++-==所以圆的圆心为，半径. 2C ()22,3C -24r =，12125C C r r ===+所以两圆外切.故选：B6．已知是直线l 的方向向量，是平面的法向量．若(2,,)(,)=-+-∈ m a b a b a b R (2,1,2)=- n αl α⊥，则下列选项正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 340a b --=350a b --=13,22a b =-=13,22a b ==-【答案】C【分析】根据可得与共线，由向量的坐标表示可得答案.l α⊥m n 【详解】若，则，l α⊥m n λ= 即，解得，且，即. 222a b a b λλλ-=⎧⎪+=-⎨⎪-=⎩11232a b λ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩193522-=--=-a b 350-+=a b 故选：C.7．如图，在三棱锥中，平面，，以A 为原点建-P ABC PA ⊥ABC ,1,2AB AC AB AC PA ⊥===立空间直角坐标系，如图所示，为平面的一个法向量，则的坐标可能是（ ）n PBC nA ．B ．C ．D ． 111,,224⎛⎫-- ⎪⎝⎭111,,224⎛⎫-- ⎪⎝⎭111,,242⎛⎫ ⎪⎝⎭111,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】先求出，根据法向量求解公式列方程即可求解．()()1,1,0,1,0,2BC PC =-=- 【详解】依题意得，，则()()()0,1,0,1,0,0,0,0,2B C P ()()1,1,0,1,0,2BC PC =-=- 设，则(),,n x y z = ，取则，所以 020n BC x y n PC x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 12x =11,24y z ==111,,224n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故选：D8．两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A 、B 两点，若直(0)y kx k=>y kx =-2:4C y x =线经过抛物线的焦点，则（ ）AB k =A ．1B C ．2 D ．3【答案】C【分析】根据抛物线的对称性可知A 、B 两点关于轴对称，直线经过抛物线的焦点即可x AB (1,0)得出的值.k 【详解】由题意可知，直线和关于轴对称；(0)y kx k =>y kx =-x 抛物线关于轴对称，焦点坐标，如下图所示：2:4C y x =x (1,0)F直线经过抛物线的焦点，且轴，AB (1,0)F AB x ⊥所以，代入抛物线方程得，解得；(1,)A k 24k =2k =±又，所以.0k >2k =故选：C.9．设椭圆离心率为e ，双曲线，22122:1(0)x y C a b a b +=>>22222:1x y C a b-=则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）1CA ．B ．C ．D ．⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭)+∞【答案】B【分析】根据渐近线斜率的取值范围可得出的关系，再根据椭圆离心率的定义即可求得离心率,a b e 的取值范围.【详解】根据双曲线方程可得，其渐近线方程为， 22222:1x y C a b-=b y x a =±又因为，即 0a b >>0b a <<所以，椭圆的离心率 1C c e a ⎫==⎪⎪⎭即离心率e 的取值范围是.⎫⎪⎪⎭故选：B10．在直四棱柱中，底面为直角梯形，1111ABCD A B C D -ABCD，点M 在该四棱柱表面上运动，且满足平面1,,1,2,3,2AB CD AD AB CD AD AB DD ⊥====//平面．当线段的长度取到最大值时，直线与底面所成角的正弦值是1DD M ⊥1AA C DM DM ABCD （ ）A ．B ．CD 1323【答案】B【分析】根据直四棱柱的几何关系，利用面面垂直的判定定理找出点M 在四棱柱表面上的运动轨迹，再根据线段的长度取到最大值时确定具体位置，根据几何法做出直线与底面所DM DM ABCD 成的角，即可求得其正弦值.【详解】根据几何体特征，四棱柱是直四棱柱，1111ABCD A B C D -所以平面，平面，所以，1DD ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥要满足平面平面，作于，延长交于，交的延长线于， 1DD M ⊥1AA C DE AC ⊥E DE BC G AB F 作交于，连接，如下图所示；1//GH DD 11B C H 1D H又因为，所以平面，即平面1DE DD D =I AC ⊥1DD E AC ⊥1DD HG 而平面，所以平面平面，AC ⊂1AA C 1DD HG ⊥1AA C 又因为点M 在该四棱柱表面上运动，所以点M 的轨迹是线段；1,,DG G HD H又因为底面为直角梯形，，ABCD 1,,1,2,3,2AB CD AD AB CD AD AB DD ⊥====//所以，即，得，所以； ADC FAD :::CD AD AD FA=4FA =1FB =又，所以，即为线段的中点，,1FB CD CD =//DCG FBG ≅::G ,BC DF，DF ==DG =易知，当线段的长度取到最大值时，点于点重合，DM M H 此时，即为直线与底面所成的角，HDG ∠DM ABCD，，12GH DD ==3DH === 2sin 3GH HDG DH ∠==所以，线段的长度取到最大值时，直线与底面所成角的正弦值是.DM DM ABCD 23故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用几何体特征，充分利用空间想象根据面面垂直的判定定理找出满足题意的动点的轨迹，再根据轨迹形状确定线段最长时的具体位置，找出线面角即可求得结果.二、填空题11．复数的模长_________．3i z =+||z =【分析】直接利用复数模的计算公式即可求出模长||z 【详解】解：由题意在复数中，3i z =+模长：||z ==.12．正方体的棱长是1，则点到平面的距离为_________．1111ABCD A B C D -1A 11BB D D【分析】连接交于.判断出点到平面的距离即为，即可求得.11A C 11B D O 1A 11BB D D 1AO 【详解】在正方体中，有正方体的结构可知：面面且面1111ABCD A B C D -11BB D D ⊥1111D C B A面.11BB D D ⋂111111A B C D B D =连接交于.11A C 11B DO因为为正方形，所以，所以面. 1111D C B A 1111AC B D ⊥11A C ⊥11BB D D 所以点到平面的距离即为.1A 11BB D D 1AO 在正方形中，，所以，所以1111D C B A 111A B=11A C ==11112A C O A ==. 13．已知直线．若，则实数_________．12:(1)210,:10l a x y l x ay -++=++=12//l l =a 【答案】1-【分析】根据两直线平行列方程，从而求得的值.a 【详解】由于，所以，解得或.12//l l ()121a a -⨯=⨯1a =-2a =当时，，符合.1a =-12:2210,:10l x y l x y -++=-+=当时，，两直线重合，不符合.2a =12:210,:210l x y lx y ++=++=所以的值为.a 1-故答案为：1-14．在中，和．则的外接圆方程为_________．ABC :(0,3),(A B C ABC :【答案】22230x y y+--=【分析】设出的外接圆方程，代入点列方程组求解即可.ABC :,,A B C 【详解】设的外接圆方程为，ABC :220x y Dx Ey F ++++=则，解得，9303030E F F F ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩203E D F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩故的外接圆方程为ABC :22230x y y +--=故答案为：22230x y y +--=15．在平面直角坐标系中，已知点M 的坐标为，点A 是圆上的一个动点，点B (0,2)22:1O x y +=在射线上，且，当点A 在圆O 上运动时点B 的轨迹记作曲线C ．对于曲线C ，有下列AM ||5AB =四个结论：①曲线C 是轴对称图形；②点为曲线C 的对称中心；(0,3)③曲线C 与y 轴有2个交点；④曲线C 上的点到点M 的距离最大值为4．其中所有正确结论的序号是_________．【答案】①③④【分析】根据题意可知，三点共线，且，根据曲线与方程的求法，可得曲线C 满,,A B M ||5AB =，利用其几何特征进行逐一判断即可得出结论.0511)y =-≤≤【详解】根据题意可知，两点的最大距离为3，又,A M ||5AB =所以在M 点的两侧，所以；,A B ||||||5AB AM BM =+=设，则；00(,),(,)A x y B x y 22001x y +=5=0511)y =-≤≤即曲线C ；0511)y =-≤≤显然，点和都在该曲线上，所以曲线C 关于轴对称，是轴对称图形，即①正确； (,)x y (,)x y -y 由题意可知只有当在轴上时，才和轴有交点；A yB y 在轴上有两个可能的点，所以曲线C 与y 轴有2个交点，即③正确；A y 当为时，曲线C 和轴交点坐标为；当为时，曲线C 和轴交点坐标为A (0,1)A y 1(0,6)B A (0,1)A -y ；2(0,4)B 显然，和不关于点中心对称，所以②错误；1(0,6)B 2(0,4)B (0,3)根据曲线C 可知，0511)y =-≤≤当时，曲线C 上的点到点M 的距离最大，其值为，即④正确；01y =54=故答案为：①③④三、解答题16．在中，边上的高所在的直线方程为边所在直线方程为ABC :(4,2),B BC 230,x y AC -+=．求点A 和点C 的坐标．30x y +-=【答案】，()0,3A ()5,2C -【分析】边上的高线与联立可求点的坐标，根据边上的高线可得的斜率，就能求BC AC A BC BC 出的方程，然后与联立求出点的坐标.BC AC C 【详解】设边上的高线为，则直线联立可得点的坐标，即BC AD ,AD AC A 即 2300303x y x x y y -+==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩()0,3A 11212AD BC BC BC AD BC k k k k ⊥∴⋅=-∴⋅=-∴=- 又，所以的方程为，即 ()4,2B BC ()1242y x -=--280x y +-=直线联立可得点的坐标，即，即 ,BC AC C 2805302x y y x y x +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩()5,2C -故，.()0,3A ()5,2C -17．如图，在直三棱柱中，，M 、N 分别是的中点，111ABC A B C -AB AC ⊥11,AA BB ．12,1AB AA AC ===(1)求证：；1C M CN ⊥(2)求直线与平面所成角的正弦值；CN BCM (3)求平面与平面所成角的余弦值．BCM 11ABB A 【答案】(1)证明见解析(3)23【分析】（1）根据题意可知，利用线面垂直的性质定理即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量方法即可求得直线与平面所成角的正弦值；（3）首先求得两平CN BCM 面的法向量，用向量法即可求得平面与平面所成角的余弦值.BCM 11ABB A 【详解】（1）连接，如下图所示， MN由于是直三棱柱，易知，111ABC A B C -1AA AB ⊥又因为，且，AB AC ⊥1AA AC A = 所以平面AB ⊥11AAC C M 、N 分别是的中点，所以，因此平面；11,AA BB //MN AB MN ⊥11AAC C 又平面，所以；1C M ⊂11AAC C 1MN C M ⊥易知，所以11111,1,2AM A AC A C CC M =====1C M CM ==满足，由勾股定理可知，，22211C M CM CC +=1C M CM ⊥又因为，所以平面，MN CM M = 1C M ⊥CMN 又平面，CN ⊂CMN 所以，.1C M CN ⊥（2）由（1）可知，两两垂直，1,,AB AC AA 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所A 1,,AB AC AA x y z 示：易得，(0,0,0),(2,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(2,0,1)A B C M N ；(2,1,1),(2,1,0),(0,1,1)CN BC CM =-=-=-设平面的一个法向量为，BCM (,,)n x y z =则，令得，，即；·20·0n BC x y n CM y z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ 2y =1,2x z ==(1,2,2)n = 设直线与平面所成的角为，CN BCM θ所以sin cos n CN n CN n CN θ==== : :，即直线与平面CN BCM （3）由（2）知，平面的一个法向量为， BCM (1,2,2)n =易知，平面的一个法向量为，11ABB A (0,1,0)AC =设平面与平面所成的角（锐角）为，BCM 11ABB A α所以，；2cos cos ,3n AC AC n n AC α=== ::所以，平面与平面所成角的余弦值为.BCM 11ABB A 2318．已知椭圆C 的两个焦点分别为和，点在椭圆上． 1(F 2F P (1)求椭圆C 的方程；(2)过点作倾斜角为的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段的长度．(1,0)M 3π4AB 【答案】(1)22142x y +=【分析】（1）利用焦点和椭圆上的点列方程组求解即可；（2）联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式计算线段的长度．AB 【详解】（1）设椭圆C 的方程为，()222210x y a b a b+=>>则，解得，22222112a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩2242a b ⎧=⎨=⎩故椭圆C 的方程为；22142x y +=（2）过点作倾斜角为的直线l 的方程为，设(1,0)M 3π41y x =-+()()1122,,,A x y B x y 联立，消去得，221142y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 23420x x --=，121242,33x x x x ∴+==-AB ∴===19．如图1，在中，是直角，是斜边的中点，分别是ABC :ACB ∠CA CB==P AB M N ，的中点．沿中线将折起，连接，点是线段上的动点，如图2所示．,PB PC CP CAP :AB Q AC(1)求证：平面；//MN ABC (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角Q MN C --时．求的值．AQAC条件①：；条件②：． BP AC ⊥AB AC =【答案】(1)证明见解析； (2). 34【分析】（1）利用线面平行的判定定理直接证明；（2）选条件①：.可以证明出BP AC ⊥两两垂直，以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法,,AP BP CP P ,,BP CP AP,,x y z 求解.选条件②：.先证明出两两垂直，以原点，分别为轴正AB AC =,,AP BP CP P ,,BP CP AP,,x y z 方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.【详解】（1）在中，因为分别是的中点，所以. PBC :M N ，,PB PC //BC MN 因为面,面, MN ⊄ABC BC ⊂ABC 所以平面.//MN ABC （2）在中，是直角，P 是斜边的中点，所以，即ABC :ACB ∠CA CB ==AB CP AB ⊥.,CP AP CP BP ⊥⊥选条件①：.BP AC ⊥因为，，,面,面, BP AC ⊥CP BP ⊥AC CP C ⋂=AC ⊂ACP CP ⊂ACP 所以面.BP ⊥ACP 又，可以以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.CP AP ⊥P ,,BP CP AP,,x y z在中，是直角，，P 是斜边的中点，所以. ABC :ACB ∠CA CB ==AB 2CP AP BP ===所以，，.()0,0,0P ()0,0,2,A ()2,0,0B ()0,2,0C 因为分别是的中点，所以，，所以，.M N ，,PB PC ()1,0,0M ()0,1,0N ()1,1,0MN =-()0,1,0NC = 因为点是线段上的动点，所以可设,所以Q AC ()()0,2,2,01CQ tCA t t t ==-≤≤.()()()0,1,00,2,20,12,2NQ NC CQ t t t t =+=+-=-不妨设为平面的一个法向量，则(),,m x y z =QMN ，设，则.()()()()(),,1,1,00,,0,12,201220m MN x y z x y m MN x y z t t t y tz ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=+-+=⎪⎩1y =121,1,2t m t -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 显然为面的一个法向量. ()0,0,2PA =CMN所以二面角的余弦值为.Q MN C --cos ,m PA m PA m PA⋅==⨯由题意可得：cos ,m PA m PA m PA⋅===⨯解得：. 14t =所以. 34AQ AC =选条件②：.AB AC =在中，是直角，，P 是斜边的中点，所以.ABC :ACB ∠CA CB ==AB 2CP AP BP ===.,CP AP CP BP ⊥⊥因为，所以.AB AC ==222AP BP AB +=AP BP ⊥所以可以以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.则，P ,,BP CP AP,,x y z ()0,0,0P ()0,0,2,A ，.()2,0,0B ()0,2,0C 因为分别是的中点，所以，，所以，.M N ，,PB PC ()1,0,0M ()0,1,0N ()1,1,0MN =-()0,1,0NC = 因为点是线段上的动点，所以可设,所以Q AC ()()0,2,2,01CQ tCA t t t ==-≤≤.()()()0,1,00,2,20,12,2NQ NC CQ t t t t =+=+-=-不妨设为平面的一个法向量，则(),,m x y z = QMN ，设，则.()()()()(),,1,1,00,,0,12,201220m MN x y z x y m MN x y z t t t y tz ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=+-+=⎪⎩1y =121,1,2t m t -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 显然为面的一个法向量.()0,0,2PA =CMN 所以二面角的余弦值为.Q MN C --cos ,m PA m PA m PA⋅==⨯由题意可得：cos ,m PA m PA m PA⋅===⨯解得：. 14t =所以. 34AQ AC =20．已知椭圆的一个焦点为，且经过点和．2222:1(0)x y C a b a b +=>>(1,0)F M (0,N (1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，设，点P 为椭圆C 上不同于M 、N 的一点，直线与直线交于点Q PM 2x =A ，直线与x 轴交于点B ，求证：和面积相等．PN AMQ △OBN △【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆焦点坐标和经过的两点即可求得标准方程；（2）设出点P 的坐标，即可表示出两点坐标，再写出和的面积公式，再利用点P 在椭圆上即可证明等式成,A B AMQ △OBN △立，得出和面积相等的结论.AMQ △OBN △【详解】（1）由题意可知，椭圆的半焦距，2222:1(0)x y C a b a b +=>>1c =将，即，M 1=23b =所以，2224a b c =+=椭圆C 的方程为.22143x y +=（2）根据题意，设， 000(,),0P x y x ≠又，，如下图所示，M (0,N则直线、的斜率均存在，且PM PN PM PN kk==所以，直线方程为 PM y =又直线与直线交于点A ，所以 PM 2x =A ⎛⎝又因为； Q所以，的面积为AMQ △AMQS :同理，直线方程为 PN y x=直线与x 轴交于点B ，易得PN B ⎫⎪⎪⎭所以，的面积为OBN△OBN S :要证明和 AMQ △OBN△整理得，由点P 在椭圆C 上可知，2200343x y =-0y <即，得，220034(3)x y =-22003412x y +=即显然成立；2200143x y +=所以和面积相等.AMQ △OBN △。
2015-2016年北京市朝阳区高二(上)期末数学试卷(文科)及答案
2015-2016学年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．（5分）下列选项中，满足焦点在y轴上且离心率为的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．3．（5分）若函数f（x）=x3﹣ax在x=2处取得极小值，则a=（）A．6B．12C．2D．﹣24．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心到直线x﹣y=0的距离为（）A．B．1C．D．5．（5分）已知圆O1：x2+y2﹣4x+4y﹣41=0，圆O2：（x+1）2+（y﹣2）2=4，则两圆的位置关系为（）A．外离B．外切C．相交D．内切6．（5分）已知顶点为原点，对称轴为坐标轴的抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，则此抛物线的标准方程是（）A．y2=8x B．x2=4yC．y2=8x或x2=﹣4y D．y2=8x或x2=4y7．（5分）设F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则此椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．9．（5分）若f（x）=x﹣elnx，0＜a＜e＜b，则下列说法一定正确的是（）A．f（a）＜f（b）B．f（a）＞f（b）C．f（a）＞f（e）D．f（e）＞f（b）10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为CD1中点，M为线段BC1上的动点（M不与B，C1重合），以下四个命题：（1）CD1⊥平面BMN；（2）MN∥平面AB1D1；（3）△D1MN的面积与△CMN的面积相等；（4）三棱锥D﹣MNC的体积有最大值其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）11．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为．12．（5分）从点（2，0）引圆x2+y2=1的切线，则切线长为．13．（5分）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第xh时，原油的温度（单位℃）为y=f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则第4h时原油温度的瞬时变化率是℃/h；在第4h时附近，原油的温度在．（此空填上升或下降）14．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，则其体积是；此三棱锥的最长棱的长度为．15．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同平面，则以下命题不成立的是（1）若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n（2）若m∥β，β⊥α，则m⊥α（3）若m⊥α，m⊂β，则α⊥β（4）若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β16．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x=0与直线y=x+b相交于M，N两点，且满足CM ⊥CN（C为圆心），则实数b的值为．三、解答题（本大题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）17．（12分）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求这个函数的图象在点x=1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（0，t]（t＞0）上的单调性．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PBC，AB∥DC，AP=AD=DC=AB=1，∠ADC=120°，E，F分别为线段AB，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面EFD；（Ⅱ）求证：平面EFD⊥平面APC；（Ⅲ）求锥体P﹣ADC的体积．19．（14分）椭圆W的中心在坐标原点O，以坐标轴为对称轴，且过点，其右焦点为F（1，0）．过原点O作直线l1交椭圆W于A，B两点，过F作直线l2交椭圆W于C，D两点，且∥．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；（Ⅱ）求证：|AB|2=4|CD|．2015-2016学年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若a＞b＞0，则﹣=＜0，即＜出成立．若＜则﹣=＜0，a＞b＞0或0＞a＞b所以“a＞b＞0是＜”的充分不必要条件．故选：A．2．（5分）下列选项中，满足焦点在y轴上且离心率为的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：焦点在y轴上的双曲线，可知选项A，C，不满足题意．对于选项B，可知a=1，b=，可得c=，离心率为：，满足题意．选项D的离心率为：．故选：B．3．（5分）若函数f（x）=x3﹣ax在x=2处取得极小值，则a=（）A．6B．12C．2D．﹣2【解答】解：∵f（x）=x3﹣ax，∴f′（x）=3x2﹣a，∵f（x）=x3﹣ax在x=2处取得极小值，∴f′（2）=3×4﹣a=0，解得a=12，经验证a=12符合在x=2处取得极小值，故选：B．4．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心到直线x﹣y=0的距离为（）A．B．1C．D．【解答】解：圆心（1，﹣2）到直线x﹣y=0距离为=．故选：D．5．（5分）已知圆O1：x2+y2﹣4x+4y﹣41=0，圆O2：（x+1）2+（y﹣2）2=4，则两圆的位置关系为（）A．外离B．外切C．相交D．内切【解答】解：由于圆O1：x2+y2﹣4x+4y﹣41=0，即（x﹣2）2+（y+2）2=49，表示以C1（2，﹣2）为圆心，半径等于7的圆．圆O2：（x+1）2+（y﹣2）2=4，表示以C2（﹣1，2）为圆心，半径等于2的圆．由于两圆的圆心距等于=5=7﹣2．故两个圆相内切．故选：D．6．（5分）已知顶点为原点，对称轴为坐标轴的抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，则此抛物线的标准方程是（）A．y2=8x B．x2=4yC．y2=8x或x2=﹣4y D．y2=8x或x2=4y【解答】解：∵焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，焦点的坐标为A（0，﹣1），或（2，0），若抛物线以y轴对称式，设方程为x2=﹣2py，=1，求得p=2，∴此抛物线方程为x2=﹣4y；若抛物线以x轴对称式，设方程为y2=2px，=2，求得p=4，∴此抛物线方程为y2=8x；故选：C．7．（5分）设F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则此椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线交x轴于点M，∵△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，∴∠PF1F2=120°，|PF1|=|F1F2|，且|PF1|=2|F1M|．∵P为直线x=上一点，∴，解得3c=2a，∴椭圆C的离心率e==．故选：A．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一半，圆锥的底面半径为为2，高为4．∴几何体的体积V==．故选：B．9．（5分）若f（x）=x﹣elnx，0＜a＜e＜b，则下列说法一定正确的是（）A．f（a）＜f（b）B．f（a）＞f（b）C．f（a）＞f（e）D．f（e）＞f（b）【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1﹣，∴当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，∵0＜a＜e＜b，∴f（a）＞f（e），f（b）＞f（e），f（a）与f（b）无法比较大小．故选：C．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为CD1中点，M为线段BC1上的动点（M不与B，C1重合），以下四个命题：（1）CD1⊥平面BMN；（2）MN∥平面AB1D1；（3）△D1MN的面积与△CMN的面积相等；（4）三棱锥D﹣MNC的体积有最大值其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：（1）CD1与BM不垂直，所以CD1⊥平面BMN，不正确；（2）平面BMN∥平面AB1D1，所以MN∥平面AB1D1，正确；（3）两个三角形等底等高，△D1MN的面积与△CMN的面积相等，正确；（4）M与B重合，三棱锥D﹣MNC的体积最大，不正确．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）11．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为∃x∈R，x2+2x+2≤0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为：命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”．故答案为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．12．（5分）从点（2，0）引圆x2+y2=1的切线，则切线长为．【解答】解：圆心坐标为O（0，0），半径r=1，P（2，0）则OP=2，则切线长为=，故答案为：．13．（5分）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第xh时，原油的温度（单位℃）为y=f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则第4h时原油温度的瞬时变化率是1℃/h；在第4h时附近，原油的温度在上升．（此空填上升或下降）【解答】解：∵y=f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），∴f′（x）=2x﹣7（0≤x≤8），∴当x=4时f′（4）=2×4﹣7=1，即第4h时原油温度的瞬时变化率是1°C/h；又f′（4）=1＞0，∴在第4h时附近原油的温度在上升．故答案为：1，上升．14．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，则其体积是；此三棱锥的最长棱的长度为3．【解答】解：作出三棱锥P﹣ABC的直观图如图所示，由三视图可知P在底面的投影D为AB的中点，AB⊥BC，AB=AC=PD=2，∴三棱锥的体积V==．由勾股定理可得：BC=2，PA=PB=，CD=，∴PC==3．∴三棱锥的棱中PC最长．故答案为，3．15．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同平面，则以下命题不成立的是（1）（2）（4）（1）若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n（2）若m∥β，β⊥α，则m⊥α（3）若m⊥α，m⊂β，则α⊥β（4）若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同平面，知：在（1）中，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平面或异面，故（1）错误；在（2）中，若m∥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故（2）错误；在（3）中，若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故（3）正确；在（4）中，若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故（4）错误．故答案为：（1）（2）（4）．16．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x=0与直线y=x+b相交于M，N两点，且满足CM ⊥CN（C为圆心），则实数b的值为0或﹣4．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x=0可化为圆（x﹣2）2+y2=4，圆心坐标为（2，0），半径为2∵CM⊥CN，∴圆心到直线的距离d=∴b=0或﹣4．故答案为：0或﹣4．三、解答题（本大题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）17．（12分）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求这个函数的图象在点x=1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（0，t]（t＞0）上的单调性．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1+lnx．这个函数的图象在x=1处的切线的斜率为k=f′（1）=1．把x=1代入f（x）=xlnx中得f（1）=0，即切点坐标为（1，0）．则这个函数的图象在x=1处的切线方程为y=x﹣1．…（5分）（Ⅱ）令f′（x）=1+lnx=0，得．（1）当时，在区间（0，t]上，f′（x）≤0成立，所以函数f（x）为减函数．（2）当时，在区间上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；在区间上，f′（x）＞0，f（x）为增函数．…（12分）18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PBC，AB∥DC，AP=AD=DC=AB=1，∠ADC=120°，E，F分别为线段AB，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面EFD；（Ⅱ）求证：平面EFD⊥平面APC；（Ⅲ）求锥体P﹣ADC的体积．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）设AC∩DE=O，连接OF，EC，由于E为线段AB的中点，且AB∥DC，所以AE∥DC，AE=DC．所以四边形ADCE为菱形，故O为AC中点，又F为PC中点，因此，在△APC中，AP∥OF又OF⊂平面EFD，AP⊄平面EFD，所以AP∥平面EFD…（5分）（Ⅱ）由题意，BE∥CD，BE=CD，所以四边形BCDE为平行四边形所以BC∥ED．而AP⊥平面PBC，所以AP⊥BC，故AP⊥ED．因为四边形ADCE为菱形，所以AC⊥ED，又AP∩AC=A，AP，AC⊂平面PAC，所以ED⊥平面PAC，又ED⊂平面EFD，所以平面EFD⊥平面APC．…（10分）（III）在△ADC中，AD=CD=1，∠ADC=120°，所以．因为AP⊥平面PBC，所以AP⊥PC，又AP=1，所以．所以．又ED⊥平面PAC，所以D点到平面APC的距离为．V P﹣ADC=V D﹣APC=×DC×S△APC==…（14分）19．（14分）椭圆W的中心在坐标原点O，以坐标轴为对称轴，且过点，其右焦点为F（1，0）．过原点O作直线l1交椭圆W于A，B两点，过F作直线l2交椭圆W于C，D两点，且∥．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；（Ⅱ）求证：|AB|2=4|CD|．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）因为已知焦点在x轴上，设椭圆W的标准方程为：，a＞b ＞0．由题意：，则a2=4．所求椭圆W的标准方程为：．…（4分）（Ⅱ）当直线l1垂直于x轴时，则直线l2也垂直于x轴，把x=1代入椭圆W的方程，得，即此时|CD|=3，而，所以|AB|2=4|CD|．当直线l1不垂直于x轴时，设直线l1的斜率为k，则依题意l2的斜率也为k，其方程为y=k（x﹣1）．设点A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），C（x1，y1），D（x2，y2）．则．把y=k（x﹣1）代入椭圆方程中，整理得，（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．显然△＞0，，．则=．即|CD|==．由，且A（x0，y0）在椭圆上，得．则|AB|2（4k2+3）=．因为直线l1过原点，所以y0=kx0，则|AB|2（4k2+3）=．因为A（x0，y0）在椭圆上，所以，所以|AB|2（4k2+3）=48（k2+1）．所以|AB|2（4k2+3）=4×12（k2+1），即|AB|2=4|CD|．…（14分）。
石景山区2023-2024学年第一学期期末检测数学试题及答案
石景山区2023—2024学年第一学期高二期末试卷数学本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若直线l 的倾斜角为60 ，则直线l 的斜率为（）2．直线21y x =+关于x 轴对称的直线方程为（）3．已知α，β是两个不同平面，l α⊂，则“//αβ”是“//l β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的离心率是2，则b =（）5．用01234，，，，可以组成无重复数字的两位数的个数为（）A ．25B ．20C ．16D ．156.在空间直角坐标系O xyz -中，点(121)A ，，，(121)B --，，，则（）A.直线//AB 坐标平面xOyB.直线AB ⊥坐标平面xOyC.直线//AB 坐标平面xOzD.直线AB ⊥坐标平面xOz7.已知直线1:370l x y +-=，直线2:20l kx y --=.若21l l ⊥，则实数k =（）8.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BC 中点，则异面直线PD 与1A B 所成角的余弦值是（）9．P 为直线2y kx =-上一点，过P 总能作圆221x y +=的切线，则k 的最小值（）10.庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD 是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（）．第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.4)2(x -的展开式中3x 的系数为___________.12．直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y --=之间的距离为___________.13．已知圆22240x y x ay ++--=的半径为3，则a 的值为________.14.方程2222(3)(3)10x y x y -++++=表示的曲线是_______，其标准方程是_______.15.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，14AA =，E 为棱1CC 上的一个动点，给出下列四个结论：①11A B BE ⊥；②三棱锥11E B BD -的体积为定值；③存在点E ，使得//AC 平面1BD E ；④存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E .其中所有正确结论的序号是___________．三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．(本小题满分8分)菱形ABCD 的顶点A C ，的坐标分别为(47)A -，，5(6)C -，，BC 边所在直线过点(41)P -，．（Ⅰ）求BC ，AD 边所在直线的方程；（Ⅱ）求对角线BD 所在直线的方程．17．（本小题满分8分）如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱11B C 的中点，过1A D E ，，的平面与棱1BB 相交于点F .（Ⅰ）求证：F 是1BB 的中点；（Ⅱ）求点D 到平面1AD E 的距离.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，其准线方程为1x =-．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）直线:1l y x =-与抛物线C 交于不同的两点A B ，，求以线段AB 为直径的圆的方程．19．(本小题满分8分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E F ，分别为AB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：//EF 平面PBC ；（Ⅱ）若AD =4PD =，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.求二面角E FC D --的大小.条件①：PB PC =；条件②：DE PC ⊥.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点0)A ，且离心率63e =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）F 为椭圆C 的右焦点，P 为直线3x =上一点，过点F 作PF 的垂线交椭圆C 于M N ，两点，连接OP 与MN 交于点H （O 为坐标原点）.求MH HN的值.石景山区2023—2024学年第一学期高二期末数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案CB A B CCD A D A二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分8分)解：（Ⅰ）由菱形的性质可知//BC AD ，则15246AD BC CP k k k -+====--.所以，BC 边所在直线的方程为52(6)y x +=--，即270x y +-=；AD 边所在直线的方程为72(4)y x -=-+，即210x y ++=.…………4分（Ⅱ）线段AC 的中点为(1,1)E ，756465AC k +==---，由菱形的几何性质可知，BD AC ⊥且E 为BD 的中点，则156BD ACk k =-=，所以，对角线BD 所在直线的方程为51(1)6y x -=-，即5610x y -+=.…………8分17．(本小题满分8分)证明：（Ⅰ）连接1BC .因为平面11//ADD A 平面11BCC B ，平面1AD EF 平面111ADD A AD =，平面1AD EF 平面11BCC B EF =，所以1//AD EF .又1111,//AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，故1//EF BC .又E 是棱11B C 的中点，所以F 是1BB 的中点.…………4分（Ⅱ）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,1,2,2D A D E ，设平面1AD E 的法向量为(,,)x y z =m ，则1(2,0,2)220(1,2,2)20(,,)(,,2)AD x z E x y z x y z A x y z −−→−−→⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⎪⋅=⋅-=-++=⎩m m ，令1x =，得11,2z y ==-，故1(1,,1)2=-m ，点D 到平面1AD E 的距离为1|(2,0,0)(1,,1)|||2422||331114DA d −−→⋅-⋅===⨯=++m m .…………8分18．(本小题满分8分)解：（Ⅰ）由题意知12p-=-，所以2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.…………3分（Ⅱ）联立24,,1y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2440y y --=.设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 的中点为00(,)D x y .则12124,4y y y y +==-.所以12022y y y +==,0013x y =+=.22212121212()()2[()4]8AB x x y y y y y y =-+-=+-=所以以线段AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=.…………8分19．(本小题满分8分)（Ⅰ）取PC 中点M ，连接,FM BM .在PCD △中，,M F 分别为,PC PD 的中点，所以1//,2MF DC MF DC =.在菱形ABCD 中，因为1//,2AB DC BE DC =，所以//,BE MF BE MF =.所以四边形BEMF 为平行四边形，所以//EF BM .又因为EF ⊄平面,PBC BM ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC .…………4分（Ⅱ）选择条件①：因为PD ⊥平面,,,ABCD DB DC DE ⊂平面ABCD ，所以,,PD DB PD DC PD DE ⊥⊥⊥.连接BD ，因为222222,PB PD BD PC PD DC =+=+，且PB PC =，所以BD DC =，在菱形ABCD 中，AB BD AD ==，即ADB △为正三角形.又因为E 为AB 中点，所以DE DC ⊥，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.又因为//,AB DC DE AB ⊥.因为ADB △为正三角形且AD =3DE =.则(0,0,2),(3,0,0),F E C ，则(3,0,2),(EF EC −−→−−→=-=-，根据条件，可得平面FCD 的法向量为1(1,0,0)=n .设平面EFC 的法向量为2(,,)x y z =n ，则2200EF EC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n，所以32030x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取2x =，则3y z ==，所以2=n ，所以1212121,||||2c os ⋅==<>n n n n n n .所以二面角E FC D --的大小为60 .…………8分选择条件②：因为PD ⊥平面,,ABCD DE DC ⊂平面ABCD ，所以,PD DE PD DC ⊥⊥.又因为,,,DE PC PD PC P PD PC ⊥=⊂ 平面PCD ，所以DE ⊥平面PCD ，又DC ⊂平面PCD ，所以DE DC ⊥，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.连接BD ，因为//AB DC ，所以DE AB ⊥，又E 为AB 中点，所以AD DB =，所以ADB △为正三角形.因为AD =，所以3DE =.则(0,0,2),(3,0,0),F E C ，则(3,0,2),(EF EC −−→−−→=-=-，根据条件，可得平面FCD 的法向量为1(1,0,0)=n .设平面EFC 的法向量为2(,,)x y z =n ，则2200EF EC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n，所以32030x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取2x =，则3y z ==，所以2=n ，所以1212121,||||2c os ⋅==<>n n n n n n .所以二面角E FC D --的大小为60 .20．(本小题满分8分)解：（Ⅰ）由题意可得222a c e a ab c⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2c b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩椭圆C 的方程为22162x y +=.…………3分（Ⅱ）设()3,P m ，)0,2(F 则直线PF 的斜率为032PF m k m -==-，（ⅰ）当0m =时，则直线l 与x 轴垂直，点H 即为点F ，则1MH HN=；（ⅱ）当0m ≠时，则直线l 的斜率为1l k m=-，则直线l 的方程()12y x m =--，联立方程()2212162y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得：()2223121260m x x m +-+-=，显然0∆>，设()()1122,,,M x y N x y ，则212122212126,33m x x x x m m -+==++.∵直线OP 的方程为3my x =，联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=xm y x m y 3)2(1，解得263H x m =+，因为122H x x x +=，所以点H 为线段MN 的中点，则1MH HN =；综上所述：1MH HN=.…………8分（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）石景山区2023—2024学年第一学期高二期末数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案CB A B CCD A D A二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分8分)解：（Ⅰ）由菱形的性质可知//BC AD ，则15246AD BC CP k k k -+====--.所以，BC 边所在直线的方程为52(6)y x +=--，即270x y +-=；AD 边所在直线的方程为72(4)y x -=-+，即210x y ++=.…………4分（Ⅱ）线段AC 的中点为(1,1)E ，756465AC k +==---，由菱形的几何性质可知，BD AC ⊥且E 为BD 的中点，则156BD ACk k =-=，所以，对角线BD 所在直线的方程为51(1)6y x -=-，即5610x y -+=.…………8分17．(本小题满分8分)证明：（Ⅰ）连接1BC .因为平面11//ADD A 平面11BCC B ，平面1AD EF 平面111ADD A AD =，平面1AD EF 平面11BCC B EF =，所以1//AD EF .又1111,//AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，故1//EF BC .又E 是棱11B C 的中点，所以F 是1BB 的中点.…………4分（Ⅱ）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,1,2,2D A D E ，设平面1AD E 的法向量为(,,)x y z =m ，则1(2,0,2)220(1,2,2)20(,,)(,,2)AD x z E x y z x y z A x y z −−→−−→⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⎪⋅=⋅-=-++=⎩m m ，令1x =，得11,2z y ==-，故1(1,,1)2=-m ，点D 到平面1AD E 的距离为1|(2,0,0)(1,,1)|||2422||331114DA d −−→⋅-⋅===⨯=++m m .…………8分18．(本小题满分8分)解：（Ⅰ）由题意知12p-=-，所以2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.…………3分（Ⅱ）联立24,,1y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2440y y --=.设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 的中点为00(,)D x y .则12124,4y y y y +==-.所以12022y y y +==,0013x y =+=.22212121212()()2[()4]8AB x x y y y y y y =-+-=+-=所以以线段AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=.…………8分19．(本小题满分8分)（Ⅰ）取PC 中点M ，连接,FM BM .在PCD △中，,M F 分别为,PC PD 的中点，所以1//,2MF DC MF DC =.在菱形ABCD 中，因为1//,2AB DC BE DC =，所以//,BE MF BE MF =.所以四边形BEMF 为平行四边形，所以//EF BM .又因为EF ⊄平面,PBC BM ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC .…………4分（Ⅱ）选择条件①：因为PD ⊥平面,,,ABCD DB DC DE ⊂平面ABCD ，所以,,PD DB PD DC PD DE ⊥⊥⊥.连接BD ，因为222222,PB PD BD PC PD DC =+=+，且PB PC =，所以BD DC =，在菱形ABCD 中，AB BD AD ==，即ADB △为正三角形.又因为E 为AB 中点，所以DE DC ⊥，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.又因为//,AB DC DE AB ⊥.因为ADB △为正三角形且AD =3DE =.则(0,0,2),(3,0,0),F E C ，则(3,0,2),(EF EC −−→−−→=-=-，根据条件，可得平面FCD 的法向量为1(1,0,0)=n .设平面EFC 的法向量为2(,,)x y z =n ，则2200EF EC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n，所以32030x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取2x =，则3y z ==，所以2=n ，所以1212121,||||2c os ⋅==<>n n n n n n .所以二面角E FC D --的大小为60 .…………8分选择条件②：因为PD ⊥平面,,ABCD DE DC ⊂平面ABCD ，所以,PD DE PD DC ⊥⊥.又因为,,,DE PC PD PC P PD PC ⊥=⊂ 平面PCD ，所以DE ⊥平面PCD ，又DC ⊂平面PCD ，所以DE DC ⊥，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.连接BD ，因为//AB DC ，所以DE AB ⊥，又E 为AB 中点，所以AD DB =，所以ADB △为正三角形.因为AD =，所以3DE =.则(0,0,2),(3,0,0),F E C ，则(3,0,2),(EF EC −−→−−→=-=-，根据条件，可得平面FCD 的法向量为1(1,0,0)=n .设平面EFC 的法向量为2(,,)x y z =n ，则2200EF EC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n，所以32030x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取2x =，则3y z ==，所以2=n ，所以1212121,||||2c os ⋅==<>n n n n n n .所以二面角E FC D --的大小为60 .20．(本小题满分8分)解：（Ⅰ）由题意可得222a c e a ab c⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2c b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩椭圆C 的方程为22162x y +=.…………3分（Ⅱ）设()3,P m ，)0,2(F 则直线PF 的斜率为032PF m k m -==-，（ⅰ）当0m =时，则直线l 与x 轴垂直，点H 即为点F ，则1MH HN=；（ⅱ）当0m ≠时，则直线l 的斜率为1l k m=-，则直线l 的方程()12y x m =--，联立方程()2212162y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得：()2223121260m x x m +-+-=，显然0∆>，设()()1122,,,M x y N x y ，则212122212126,33m x x x x m m -+==++.∵直线OP 的方程为3my x =，联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=xm y x m y 3)2(1，解得263H x m =+，因为122H x x x +=，所以点H 为线段MN 的中点，则1MH HN =；综上所述：1MH HN=.…………8分（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）。
高二数学上学期期末试卷（文科含解析）
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高二数学上学期期末试卷(文科含解析)数学试卷(文科)一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数3.已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.74.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A.(￢p)∨(￢q)B.p∨(￢q)C.(￢p)∧(￢q)D.p∨q5.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为( )A.±2B.C.D.6.曲线在点M( ，0)处的切线的斜率为( )A. B. C. D.7.若椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为( )A.( ，0)B.( ，0)C.(0， )D.(0， )8.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A.若|z1|=|z2|，则B.若，则C.若|z1|=|z2|，则D.若|z1﹣z2|=0，则9.已知命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数，则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题10.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件11.设a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( )A. B. C. D.12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f(x1)=x1A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数，那么z• 等于.14.f(x)=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是.15.函数f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，则f(1)= .16.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧)，则 = .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知z是复数，z+2i和均为实数(i为虚数单位).(Ⅰ)求复数z;(Ⅱ)求的模.18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围.19.设椭圆的方程为，点O为坐标原点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为 .(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设点C为椭圆的下顶点，N为线段AC的中点，证明：MN⊥A B.20.设函数，其中a为实数.(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值;(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取值范围.21.已知椭圆C1：的离心率为，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为﹣1.(1)求C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l 的方程.22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈(0，1)时，f(x)<0，求实数a的取值范围.高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】先根据mn>0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆;这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn>0，即可得到结论.【解答】解：当mn>0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆;或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆;故前者不是后者的充分条件;当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn>0;由上可得：“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选B.2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数【考点】命题的否定.【分析】根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题，根据全称命题的否定方法，我们易得到结论.【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”故选：D3.已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.7【考点】椭圆的简单性质.【分析】由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为7，求出P到另一焦点的距离即可.【解答】解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为7，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣7=3.故选B4.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A.(￢p)∨(￢q)B.p∨(￢q)C.(￢p)∧(￢q)D.p∨q【考点】四种命题间的逆否关系.【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示.【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(￢p)V(￢q).故选A.5.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为( )A.±2B.C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】由双曲线的离心率为，可得，解得即可.【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴ ，解得 .∴其渐近线的斜率为 .故选：B.6.曲线在点M( ，0)处的切线的斜率为( )A. B. C. D.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f(x)在x= 处的导数，从而求出切线的斜率.【解答】解：∵∴y'==y'|x= = |x= =故选B.7.若椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为( )A.( ，0)B.( ，0)C.(0， )D.(0， )【考点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质;抛物线的简单性质.【分析】根据椭圆 (a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，得到a，b的关系式;再将抛物线ay=bx2的方程化为标准方程后，根据抛物线的性质，即可得到其焦点坐标.【解答】解：∵椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点∴2a2﹣2b2=a2+b2，即a2=3b2， = .抛物线ay=bx2的方程可化为：x2= y，即x2= y，其焦点坐标为：(0， ).故选D.8.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A.若|z1|=|z2|，则B.若，则C.若|z1|=|z2|，则D.若|z1﹣z2|=0，则【考点】复数代数形式的乘除运算;命题的真假判断与应用.【分析】利用特例判断A的正误;复数的基本运算判断B的正误;复数的运算法则判断C的正误;利用复数的模的运算法则判断D的正误.【解答】解：若|z1|=|z2|，例如|1|=|i|，显然不正确，A错误.B，C，D满足复数的运算法则，故选：A.9.已知命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数，则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题【考点】四种命题间的逆否关系.【分析】先利用导数知识，确定原命题为真命题，从而逆否命题为真命题，即可得到结论.【解答】解：∵f(x)=e x﹣mx，∴f′(x)=ex﹣m∵函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数∴ex﹣m≥0在(0，+∞)上恒成立∴m≤ex在(0，+∞)上恒成立∴m≤1∴命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，是真命题，∴逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题∵m≤1时，f′(x)=ex﹣m≥0在(0，+∞)上不恒成立，即函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不一定是增函数，∴逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是真命题，即B不正确故选D.10.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件.【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B11.设a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( )A. B. C. D.【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.【分析】先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围.【解答】解：∵过P(x0，f(x0))的切线的倾斜角的取值范围是，∴f′(x0)=2ax0+b∈，∴P到曲线y=f(x)对称轴x=﹣的距离d=x0﹣(﹣ )=x0+∴x0∈[ ，].∴d=x0+ ∈.故选：B.12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f(x1)=x1A.3B.4C.5D.6【考点】利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断.【分析】由函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b>0.而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0，可知此方程有两解且f(x)=x1或x2.再分别讨论利用平移变换即可解出方程f(x)=x1或f(x)=x2解得个数.【解答】解：∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b>0.解得 = .∵x1∴ ， .而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0，∴此方程有两解且f(x)=x1或x2.不妨取00.①把y=f(x)向下平移x1个单位即可得到y=f(x)﹣x1的图象，∵f(x1)=x1，可知方程f(x)=x1有两解.②把y=f(x)向下平移x2个单位即可得到y=f(x)﹣x2的图象，∵f(x1)=x1，∴f(x1)﹣x2<0，可知方程f(x)=x2只有一解.综上①②可知：方程f(x)=x1或f(x)=x2.只有3个实数解.即关于x 的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的只有3不同实根.故选：A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数，那么z• 等于 1 .【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算化简求解即可.【解答】解：复数，那么z• = = =1.故答案为：1.14.f(x)=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是 2 .【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】求出函数的导函数，令导函数为0，求出根，判断根是否在定义域内，判断根左右两边的导函数符号，求出最值.【解答】解：f′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2)令f′(x)=0得x=0或x=2(舍)当﹣10;当0所以当x=0时，函数取得极大值即最大值所以f(x)的最大值为2故答案为215.函数f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，则f(1)= ﹣1 .【考点】导数的运算.【分析】先求出f′(1)的值，代入解析式计算即可.【解答】解：∵f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，∴f′(x)= ﹣2f′(1)x+5，∴f′(1)=6﹣2f′(1)，解得f′(1)=2.∴f(x)=lnx﹣2x2+5x﹣4，∴f(1)=﹣1.故答案为：﹣1.16.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧)，则 = .【考点】抛物线的简单性质.【分析】点斜式设出直线l的方程，代入抛物线方程，求出A，B 两点的纵坐标，利用抛物线的定义得出 = ，即可得出结论.【解答】解：设直线l的方程为：x=y﹣，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x=y﹣，代入x2=2py，可得y2﹣3py+ p2=0，∴y1= p，y2= p，从而， = = .故答案为： .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知z是复数，z+2i和均为实数(i为虚数单位).(Ⅰ)求复数z;(Ⅱ)求的模.【考点】复数求模;复数的基本概念.【分析】(Ⅰ)设z=a+bi，分别代入z+2i和，化简后由虚部为0求得b，a的值，则复数z可求;(Ⅱ)把z代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入模的公式得答案.【解答】解：(Ⅰ)设z=a+bi，∴z+2i=a+(b+2)i，由a+(b+2)i为实数，可得b=﹣2，又∵ 为实数，∴a=4，则z=4﹣2i;(Ⅱ) ，∴ 的模为 .18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分条件和必要条件的定义，转化为集合的关系进行求解.【解答】解：(1)a>0时，，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，所以，，检验符合题意;┅┅┅┅┅┅┅(2)a=0时，A=R，符合题意;┅┅┅┅┅┅┅(3)a<0时，，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，所以，，检验不符合题意.综上.┅┅┅┅┅┅┅19.设椭圆的方程为，点O为坐标原点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为 .(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设点C为椭圆的下顶点，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)通过题意，利用 =2 ，可得点M坐标，利用直线OM 的斜率为，计算即得结论;(2)通过中点坐标公式解得点N坐标，利用×( )=﹣1，即得结论.【解答】(Ⅰ)解：设M(x，y)，已知A(a，0)，B(0，b)，由|BM|=2|MA|，所以 =2 ，即(x﹣0，y﹣b)=2(a﹣x，0﹣y)，解得x= a，y= b，即可得，┅┅┅┅┅┅┅所以，所以椭圆离心率;┅┅┅┅┅┅┅(Ⅱ)证明：因为C(0，﹣b)，所以N ，MN斜率为，┅┅┅┅┅┅┅又AB斜率为，所以×( )=﹣1，所以MN⊥AB.┅┅┅┅┅┅┅20.设函数，其中a为实数.(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值;(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取值范围.【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】(1)求出f′(x)，因为函数在x=1时取极值，得到f′(1)=0，代入求出a值即可;(2)把f(x)的解析式代入到不等式中，化简得到，因为a>0，不等式恒成立即要，求出x的解集即可.【解答】解：(1)f′(x)=ax2﹣3x+(a+1)由于函数f(x)在x=1时取得极值，所以f′(1)=0即a﹣3+a+1=0，∴a=1(2)由题设知：ax2﹣3x+(a+1)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立即a(x2+2)﹣x2﹣2x>0对任意a∈(0，+∞)都成立于是对任意a∈(0，+∞)都成立，即∴﹣2≤x≤0于是x的取值范围是{x|﹣2≤x≤0}.21.已知椭圆C1：的离心率为，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为﹣1.(1)求C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l 的方程.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)运用椭圆的离心率和最小距离a﹣c，解方程可得a= ，c=1，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程;(2)设出直线y=kx+m，联立椭圆和抛物线方程，运用判别式为0，解方程可得k，m，进而得到所求直线的方程.【解答】解：(1)由题意可得e= = ，由椭圆的性质可得，a﹣c= ﹣1，解方程可得a= ，c=1，则b= =1，即有椭圆的方程为 +y2=1;(2)直线l的斜率显然存在，可设直线l：y=kx+m，由，可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0，由直线和椭圆相切，可得△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0，即为m2=1+2k2，①由，可得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0，由直线和抛物线相切，可得△=(2km﹣4)2﹣4k2m2=0，即为km=1，②由①②可得或，即有直线l的方程为y= x+ 或y=﹣ x﹣ .22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈(0，1)时，f(x)<0，求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)根据(Ⅰ)通过讨论a的范围，确定出满足条件的a的范围即可.【解答】解：(Ⅰ)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)，(x>0)，f′(x)=﹣，①a<﹣时，0<﹣ <1，令f′(x)<0，解得：x>1或00，解得：﹣∴f(x)在递减，在递增;②﹣﹣或00，解得：1∴f(x)在递减，在递增;③ ，f′(x)=﹣≤0，f(x)在(0，1)，(1+∞)递减;④a≥0时，2ax+1>0，令f′(x)>0，解得：01，∴f(x)在(0，1)递增，在(1，+∞)递减;(Ⅱ)函数恒过(1，0)，由(Ⅰ)得：a≥﹣时，符合题意，a<﹣时，f(x)在(0，﹣ )递减，在递增，不合题意，故a≥﹣ .。
北京市石景山区2016—2017学年第一学期高三文科数学期末试卷附参考答案
北京市石景山区2016—2017学年第一学期高三年级期末试卷数学（文）第一部分（选择题 共40 分）、选择题共 8小题，每小题 5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一6 .一个四棱锥的三视图如右图所示, 这个四棱锥的体积为（）A. 6B. 8C.12D. 24项• b5E2RGbCAP1 •已知集合 A 二{-1,1,2, 3} , B 二{x|x 》2},那么 A 「|B 等于（）A . {3}B . {2,3}C. {-1,2,3}D . {-1,1,2,3}2 .复数 i(3 4i) 二（)A . -4 3iB . 4 3iC. 3 — 4i D . 3 4iA . 3B . 5 C. 7 D . 94•下列函数中既是奇函数又在区间（0, •：：）上单调递减的是（x3A . y = eB . y = In( -x) C. y = x1D . y 二x5 .已知关于 的一次函数y 二mx • n ，设m •{ -1,1,2} , n { -2, 2}，则函数y =mx • n 是增函数的概率是（）A .B .C.3 10D .3 •执行如图所示的程序框图，输出的 k 值是（）2 2 27. 已知抛物线y =2px(p .0)的准线与圆(x_3) y =16相切，则p 的值为()1A .B . 1C 2D . 48.六名同学A 、B 、C 、D 、E 、F 举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局.第一天，A 、B 各参加了 3局比赛，C 、D 各参加了 4局比赛，E 参加了 2局比赛，且A 与C 没有比赛过， B 与D 也没有比赛过.那么 F 在第一天参加的比赛局数为() P^anqFDPwA . 1B . 2C. 3 D . 4第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 向量a = (J3,1), b=(J3,-1), a 与b 夹角的大小为 _____________________ .2x10. 函数f (x) = -------- (x 33)的最大值为 __________________ .x -111.已知△ ABC 中，AB=. 3 , BC=1 , sinC=,3cosC ，则△ ABC 的面积为.［八0,13. ___________________________________________________________________ 设变量x , y 满足约束条件＜x — y +1色0,则z = x + y 的最大值为 ________________________________________ .2+ y -3兰0,14. 甲、乙、丙三厂联营生产同一种产品，产品是哪个厂生产就在产品上盖哪个厂的厂名，如果是两个厂或三个厂联合生产，那么产品上就盖上两个厂或三个厂的厂名.今有一批产品，发现盖过甲厂、乙厂、 丙厂的厂名的产品分别为 18件、24件、30件，同时盖过甲、乙厂，乙、丙厂，丙、甲厂的产品，分 别有 12 件、14 件、16 件.DXDiTa9E3d① 产品上盖有甲厂厂名没有盖乙厂厂名的产品共有件； ② 这批产品的总数最多有件.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.(本小题共13分)已知等比数列 a?的公比为q ，且q =1, 4=2, 3a 「2a 2,a 3成等差数列. (I)求数列(a n /的通项公式；x 212若双曲线- 4 2-1的渐近线方程为m则双曲线的焦点坐标是.(H)设数列(b n ?是一个首项为-6，公差为2的等差数列，求数列:a n 'b n?的前n项和.16.(本小题共13分)已知函数f(x) =2sin(n x) sinx ,3cos2x .(I)求f (x)的最小正周期；(n)求f (x)在［,］上的最大值.12 617.(本小题共13分)30新高考政策已经在上海和浙江试验实施.为了解学生科目选择的意向，从某校高一学生中随机抽取位同学，对其选课情况进行统计分析，得到频率分布表如下：RTCrpUDGiT(I)若所抽取的30位同学中，有2位同学选择了“历史、地理、生物”组合，3位同学选择了“物理、政治、历史”组合•求a、b、c的值；(n)在(I)的条件下，将选择了“历史、地理、生物”组合的2位同学记为心X2,选择了“物理、政治、历史”组合的3位同学记为y2、y3.现从这5位同学中任取2位(假定每位同学被抽中的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两位同学科目选择恰好相同的概率.5PCzVD7HxA20.(本小题共13分)18. (本小题共14分)如图 1，等腰梯形 BCDP 中，BC // PD , BA_PD 于点 A , PD =3BC ，且 AB 二BC=1. 沿AB 把A PAB 折起到A PAB 的位置(如图(I)求证：CD 丄平面PAC ; (H)求三棱锥 A 一 P BC 的体积； (川)线段PA 上是否存在点 M ，使得BM 请说明理由.19.(本小题共14分)2 2已知椭圆C :笃•占=1(a b 0)的离心率为 ' ，点(2,0)在椭圆C 上.a b 2(I)求椭圆C 的标准方程；(H)过点P(1,0)的直线(不与坐标轴垂直)与椭圆交于A 、B 两点，设点B 关于x 轴的对称点为 B .直线AB 与X 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由.jLBHrnAlLg.丿1 3 2已知函数 f x x • ax • (2 a -1)x (a •二 R).3(i)若f (x)在点(0,0)处的切线方程为y = x ，求a 的值；2),使 N PAD =90* .//平面PCD .若存在，指出点 M 的位置并证明；若不存在,DA D图1(n)求f (x)的单调区间；(川)当a = 一1 时，设f (x)在x1,x2(x1：：：X2)处取到极值，记Mg’fX)).A(0, f(0)) , B(1,f (1)) , C(2, f(2)),判断直线AM、BM、CM与函数f (x)的图象各有几个交点(只需写出结论).石景山区2016—2017学年第一学期期末考试高三数学(文)参考答案•选择题共8小题，每小题5分，共40分.•填空题共6小题，每小题5分，共30 分.三.解答题共6小题，共80分.15.(本小题共13分)解：(i)因为3a1.2a2.a3成等差数列，所以4a? — 3a1 a3. ....... 2 分所以4&q =3a1• a1q2.所以q2-4q 3=0 .所以q =3或q =1(舍) 4分设事件A 表示“从这5位同学中任取2位，这两位同学科目选择恰好相同”所以a . = 2 3“亠 (6)(n) b n = -6 (n 「1)2=2n -8 . ••…8 分 所以 a n b n =2n -8 2 3n - . ••…9 分所以 S n = (a i a^ .............. a n ) (bi b^ .................. b n )16.(本小题共13分)解：(I) f(x)=2cosxsinx 「/3cos2x ........................ 1 分=sin 2x “3 cos2x (2)分n=2sin(2 x 川一),3因此f (x)的最小正周期为 n .因为抽取的30位同学中，有2位同学选择了史地生组合，所以 有3位同学选择了理政史组合，所以 b 二丄，从而c = 110 3所以a =2 , b 二丄,.30 ' 10 ' 3(n)从5位同学x n x 2, y 1, y 2, y 3中任取2位，所有可能的结果为:{X 1,X 2} , {X 1,yd , {^，丫?} , {*,『3} , {X 2, %},{X 2,y 2} , {x 2, y a }, {y 1,y 2} , {y 1, y a } , {y 2, y a } (8)....................................................... 分n(-6 2n -8) 2 .2(1-3n )1-3=n 2 -7n 3n -1 .13分17. 解: (n)当n n nn 2 nx —,—］时，_ *2x12 6 6 33n n2x32 n，sin(2x+n 有最大值1.10分n「2时，(本小题共13 分) (I)由频率分布表得f (x)的最大值为2 .13分1 12 a b c =1,5 6 151 * 一15，令 f'(x) =0，贝y x —1 或 x =1 -2a , 4分则 A 包含的基本事件为：{x i ,x 2}, {%,y 2}, {y i ,y 3}, {y 2,y 3}共4个,18.（本小题共14分）解：（I ）因为.PAD =90’，所以PA 丄AD .因为在等腰梯形中， AB 丄AP ，所以在四棱锥中， AB 丄AP '. 又AD 一 AB =A ，所以PA 丄面ABCD .因为CD 二面ABCD ，所以PA 丄CD . ，八...... 3分因为等腰梯形 BCDE 中，AB _ BC , PD =3BC ，且 AB =BC =1 . 所以 AC = . 2 ,CD = . 2 , AD =2 •所以 AC 2 CD 2 = AD 2 .所以AC 丄CD .因为PA ' AC = A ,所以CD 丄平面PAC .……5分1 1(U) S A ABCBC AB , ............. 7分 2 2因为PA 丄面ABCD .所以V A -P BC -V P -ABC1 S A ABC3（川）存在一点M , M 为PA 的中点，使得BM //面PCD ,10分证明：取PA 中点M , PD 中点N ，连结因为 所以 因为 所以 所以四边形 M , MN BC DMN // BM , MN , NC ,所以 BM // CN .因为 BM 二面 P C D , CN 二面 P C D .所以BM //平面P CD .... .......................................14分又基本事件的总数为 10，故所求的概率42 咻）甘513分19.(本小题共14分)解：(I)因为点(2,0)在椭圆C 上，所以a = 2 .又因为e，所以c=、.3.a 2所以 b = - a 2 _c 2 =1.2所以椭圆C 的标准方程为：xy 2 .4(n)设 A(X 1,y 1),B(X 2,y 2),B(X 2,-y 2),Q(n,0).设直线 AB : y =k(x _1)(k =0) . (6)分2 2 2 2 2 2y=k(x-1)和x 4y -4 =0，得：(1 4k )x -8k x 4k -4 = 0.又 % =k(x -1),y^k(x 2 -1),联立所以1X 2心，住十1 4k2 1 4k 2直线 AB •的方程为y 一％ =亠匹(X 一洛),X t _x 2%(X 1 - X 2) _ X 1 y 2 X2 %x 1 -y 「y 211分* y 2所以n=込a 尬=4.x<^ x 2 - 213分所以直线AB ■与x轴的交点Q是定点，坐标为Q(4,0).14分20.(本小题共13分)解：(I)由题意f (x) =x2 2ax 2a -1,因为f (x)在(0,0)点处切线方程为y = x ,所以f (0) =2a -1 =1，解得a =1,经检验a =1时满足条件. ............ 3分(叮由(I) f '(x)二x2 2ax 2a -1 = (x 1)(x 2a-1)①当a 1 时，1 _2a ：：：一1,令f '(x) .0，解得x ：：：1 _2a 或x . 一1；令f '(x) ：：：0 ,解得1 -2a ：：：x ：：：-1 .所以函数f (x)的单调增区间为(_：：,1_2a)和(-1,：：),单调减区间为(1-2a, _1). ...................... 分②当a =1时，1 — 2a - -1，此时，f'(x)_0恒成立，且仅在x = -1处f '(x) =0 ,故函数f (x)的单调增区间为(_：：,•：：). ................. 7分③当a ：：：1 时，1 _2a • -1,同理可得函数f (x)的单调增区间为(-：：，-1)和(1 -2a,：：), 单调减区间为(_1,1-2a) ..................... .............. 分(川)直线AM与f(x)的图象的交点个数是3个； ............. 1分直线BM与f (x)的图象的交点个数是3个；分直线CM与f (x)的图象的交点个数是2 个.令f'(x) =0，贝y x —1 或x=1 -2a, 4分。
石景山区2015—2016学年第一学期高三数学期末考试试卷
石景山区2015—2016学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．2．若变量满足约束条件,则的最大值为（）A．B．C．D．4．已知数列是等差数列，，则前项和中最大的是（）A. B.或C.或D.5．“”是直线与直线平行的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6．若曲线上只有一个点到其焦点的距离为1，则的值为（）A. 4B. 3C. 2D. 17．如图，点为正方体的中心，点为面的中心，点为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影不．可能．．是（）8.如图，在等腰梯形中，，分别是底边的中点，把四边形沿直线折起，使得面面，若动点平面，设与平面所成的角分别为（均不为0．若，则动点的轨迹为( )A.直线B.椭圆C.圆D.抛物线三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值．17．（本小题共14分）在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，，，. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得二面角为？若存在,求的值；若不存在，请述明理由．18.（本小题共13分）已知函数 (,为自然对数的底数).（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴,求的值；（Ⅱ）求函数的极值；19.（本小题共14分）已知椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，.证明：经过线段的中点．(其中为坐标原点)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D D A B B C D C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．题号9 10 11 12 13 14答案722.2，600三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）解：.………………2分（Ⅰ）的最小正周期为………………4分令，解得，所以函数的单调增区间为. ………………7分（Ⅱ）因为，所以，所以，于是，所以.………………9分当且仅当时，取最小值. ………………11分当且仅当，即时最大值. ………13分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）取的中点，连结，因为为中点，所以，且，在梯形中，，，所以，，四边形为平行四边形，所以，…………………2分因为平面，平面，所以平面. …………………4分（Ⅱ）平面底面，，所以平面，所以. …………………5分如图，以为原点建立空间直角坐标系.则…………………6分，，所以，，……………8分又由平面，可得，因为所以平面. …………………9分（Ⅲ）平面的法向量为，…………………10分，设，所以，……………11分设平面的法向量为，，，由，，得，令所以，…………………12分所以，…………………13分注意到，得.所以在线段上存在一点，使得二面角为，此时…………………14分18.（本小题共13分）解:(Ⅰ)由,得. ………………2分又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得.………………4分(Ⅱ),①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.………………6分②当时,令,得,.,;,.所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.综上,当时,函数无极小值当,在处取得极小值,无极大值.………………9分所以的最大值为. ………………13分。
北京市东城区2015-2016学年高二上学期期末考试文数试题解析(解析版)
北京市东城区2015-2016学年高二上学期期末考试文数试题第Ⅰ卷（共30分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的1.圆014222=++-+y x y x 的半径为（ ） A. 1B.2C. 2D. 4【答案】C 【解析】试题分析：由圆的方程可知半径为2r ==考点：圆的方程2.直线0133=+-y x 的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°【答案】A 【解析】试题分析：由直线方程可知直线斜率为tan 6k πθθ===，倾斜角为30° 考点：直线方程与倾斜角3.过点（1，0）且与直线=--22y x 0平行的直线方程为（ ） A. 012=--y x B. 012=+-y x C. 022=-+y xD. 012=-+y x【答案】A 【解析】试题分析：已知直线斜率为12k =，所以所求直线为()1012y x -=-，即012=--y x 考点：直线方程4.双曲线8222=-y x 的实轴长为（ ） A. 2B. 22C. 4D. 24【答案】C 【解析】试题分析：双曲线方程变形为2221422448x y a a a -=∴=∴=∴=，实轴长4考点：双曲线性质5.已知n m ,表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若m ⊥αα⊂n ,，则m ⊥n B. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α C. 若m ∥m ,α⊥n ，则n ⊥α D. 若m ∥n ,α∥α，则m ∥n【答案】A 【解析】试题分析：A 中由线面垂直的性质可知结论正确；B 中可能线面平行或线面相交或线在面内；C 中可能线面平行或线面相交或线在面内；D 中两直线可能相交，平行或异面 考点：空间线面平行垂直的判定与性质6.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-,01,0x y x y x ，则y x z 2+=的最大值为（ ）A. 0B. 1C.23 D. 2【答案】D 【解析】试题分析：由约束条件可知可行域为直线0,1,0x y x y x -=+==围成的三角形及其内部，顶点为()()110,0,0,1,22⎛⎫⎪⎝⎭，当y x z 2+=过点()0,1时取得最大值2 考点：线性规划问题7.已知抛物线x y 82=上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为（ ） A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】B 【解析】试题分析：由抛物线方程可知准线为2x =-，由P 到y 轴的距离是4可得到准线的距离为6，结合定义可知到该抛物线焦点的距离为6考点：抛物线方程及性质8.一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为矩形，边长为2,1，棱锥的高为3，所以其体积为11213233V Sh ==⨯⨯⨯=考点：三视图及棱锥体积9.过点)1,3(--P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ） A. ]33,0( B. ]3,0( C. ]33,0[ D. ]3,0[【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得点P )1,3(--在圆122=+y x 的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为 (1y k x+=+，即10kx y -+-=．即22311k k -+≤+，解得0≤k ，故直线l 的倾斜角的取值范围是]3,0[π考点：直线与圆的位置关系10.甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示。
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绝密★启用前2015-2016学年北京市石景山区高二上学期期末文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：126分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、（2015秋•石景山区期末）某化工厂有8种产品，由于安全原因，有些产品不允许存放在同一仓库．具体情况由下表给出（“╳”表示该两种产品不能存放在同一仓库） 1 2 3 4 5 6 7 8 1 ﹣ ╳ ╳ ╳ ╳ 2 ╳ ﹣ ╳ ╳ 3 ╳ ╳ ﹣ ╳ ╳ 4 ╳ ﹣ ╳ 5 ╳ ╳ ﹣ ╳ 6 ╳ ﹣ ╳ 7 ╳ ╳ ╳ ﹣ ╳ 8 ╳ ╳ ﹣则该厂至少需要几个产品仓库来存放这8种产品？（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．52、（2015秋•石景山区期末）已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线l ，在平面α内一定存在一条直线m ，使得直线l 与直线m （ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．垂直3、（2015秋•石景山区期末）将正方体的纸盒展开如图，直线AB 、CD 在原正方体的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交成60°角D ．异面且成60°角4、（2012•贵州校级模拟）棱长为2的正方体的内切球的表面积为（ ） A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π5、（2015秋•石景山区期末）抛物线y 2=8x 上横坐标为1的点到其焦点F 距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6、（2015秋•石景山区期末）“命题p 为真命题”是“命题p ∨q 为真命题”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7、（2015秋•石景山区期末）双曲线中，已知a=4，b=3，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．8、（2015秋•石景山区期末）某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，最高一层的房间在什么位置（ ）A ．左前B ．右前C ．左后D ．右后9、（2015秋•石景山区期末）直线y=﹣2x+b 一定通过（ ） A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、二、四象限 D ．第二、三、四象限第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）10、（2015秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy 中，对于⊙O ：x 2+y 2=1来说，P 是坐标系内任意一点，点P 到⊙O 的距离S P 的定义如下：若P 与O 重合，S P =r ；若P 不与O 重合，射线OP 与⊙O 的交点为A ，S P =AP 的长度（如图）．①点到⊙O 的距离为 ；②直线2x+2y+1=0在圆内部分的点到⊙O 的最长距离为 ．11、（2015秋•石景山区期末）已知抛物线和椭圆都经过点M （1，2），它们在x 轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．则椭圆的焦点坐标为 ．12、（2015秋•石景山区期末）过点（0，2）且与两坐标轴相切的圆的标准方程为 ．13、（2015秋•石景山区期末）命题p ：“∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0”，则¬p 为 ．14、（2015秋•石景山区期末）课本上的探索与研究中有这样一个问题：已知△ABC 的面积为S ，外接圆的半径为R ，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，用解析几何的方法证明：．小东根据学习解析几何的经验，按以下步骤进行了探究：（1）在△ABC 所在的平面内，建立直角坐标系，使得△ABC 三个顶点的坐标的表示形式较为简单，并设出表示它们坐标的字母；（2）用表示△ABC 三个顶点坐标的字母来表示△ABC 的外接圆半径、△ABC 的三边和面积；（3）根据上面得到的表达式，消去表示△ABC 的三个顶点的坐标的字母，得出关系式． 在探究过程中，小东遇到了以下问题，请你帮助完成：（Ⅰ）为了△ABC 的三边和面积表达式及外接圆方程尽量简单，小东考虑了如下两种建系方式；你选择第 种建系方式．（Ⅱ）根据你选择的建系方式，完成以下部分探究过程： （1）设△ABC 的外接圆的一般式方程为x 2+y 2+Dx+ =0；（2）在求解圆的方程的系数时，小东观察图形发现，由圆的几何性质，可以求出圆心的横坐标为 ，进而可以求出D= ； （3）外接圆的方程为 ．三、解答题（题型注释）15、（2015秋•石景山区期末）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0），左焦点F （﹣，0），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：y=x+m 与椭圆C 交于不同的两点M ，N （M ，N 不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ．求直线l 的方程．16、（2015秋•石景山区期末）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，AA 1=2AB=2，E 是DD 1上的一点，且满足B 1D ⊥平面ACE ．（1）求证：A 1D ⊥AE ；（2）求三棱锥A ﹣CDE 的体积．17、（2015秋•石景山区期末）如图，有一个正方体的木块，E 为棱AA 1的中点．现因实际需要，需要将其沿平面D 1EC 将木块锯开．请你画出前面ABB 1A 1与截面D 1EC 的交线，并说明理由．18、（2015秋•石景山区期末）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，PA ⊥平面ABCD ，点E ，F ，G 分别为BC ，PA ，PD 的中点，且PA=AB=2．（Ⅰ）证明：EF ∥平面ACG ； （Ⅱ）证明：平面PBC ⊥平面AEF ．19、（2015秋•石景山区期末）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点P，直线l1的方程为4x﹣y+1=0．（Ⅰ）若直线l平行于直线l1，求l的方程；（Ⅱ）若直线l垂直于直线l1，求l的方程．20、（2015秋•石景山区期末）下列命题中，真命题是（）A．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直B．若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行C．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线D．若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行参考答案1、B2、D3、D4、B5、B6、A7、A8、C9、B10、；1﹣．11、（±1，0）12、（x﹣2）2+（y﹣2）2=4或（x+2）2+（y﹣2）2=4．13、∃x∈R，x2﹣x+1≤0．14、①；Ey+F；；﹣m﹣n；x2+y2+（﹣m﹣n）x+（﹣p﹣）y+mn=0．15、（Ⅰ）=1；（Ⅱ）y=x﹣．16、（1）见解析；（2）17、见解析18、见解析19、（Ⅰ）4x﹣y﹣7=0．（Ⅱ）x+4y﹣1=0．20、A【解析】1、试题分析：作图：以产品为顶点，能够允许存放在同一仓库的产品用边相连画图，找完全子图的顶点集，即可判断答案．解：作图：以产品为顶点，能够允许存放在同一仓库的产品用边相连画图，找完全子图的顶点集：例如：①{1，4，7}，{3，6，8}，{2，5}，②{2，4，6，8}，{1，7}，{3，5}，每个顶点集中元素可以放在同一仓库，需要3间仓库，故选：B考点：排列、组合的实际应用．2、试题分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解：当直线a与平面α相交时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故A错．当直线a与平面α平行时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故B错．当直线a在平面α内时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故c错．不管直线a与平面α的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面α内找到一条直线与直线b垂直，因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故D正确．故选：D．考点：空间中直线与直线之间的位置关系．3、试题分析：以AB所在平面为底面，将右侧正方形折起为右边的平面，因为DE∥AB，所以∠CDE即为直线AB，CD所成的角，在△CDE中求解即可．解：如图，直线AB，CD异面．因为DE∥AB，所以∠CDE即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠CDE=60°故选D．考点：异面直线的判定．4、试题分析：棱长为2的正方体的内切球的半径r=1，由此能求出其表面积．解：棱长为2的正方体的内切球的半径r==1，表面积=4πr2=4π．故选B．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．5、试题分析：利用抛物线的定义，转化求解即可．解：抛物线y2=8x的焦点坐标（2，0），准线方程为：x=﹣2，抛物线y2=8x上横坐标为1的点到其焦点F距离就是到准线的距离为：3．故选：B．考点：抛物线的简单性质．6、试题分析：：“命题p为真命题”⇒“命题p∨q为真命题”，反之不成立，命题p∨q为真命题，可能为：q为真命题，p为假命题．即可判断出．解：“命题p为真命题”⇒“命题p∨q为真命题”，反之不成立，命题p∨q为真命题，可能为：q为真命题，p为假命题．故“命题p为真命题”是“命题p∨q为真命题”的充分不必要条件，故选：A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．7、试题分析：利用双曲线的性质求出c，然后求出离心率．解：双曲线中，已知a=4，b=3，可得c==5．双曲线的离心率为：e==．故选：A．考点：双曲线的简单性质．8、试题分析：根据主视图和侧视图，结合三视力长对正，宽相等的原则，可得最高一层的房间的位置．解：由已知中的三视图可得：主视图的左边是三层的，可得最高一层的房间在左边；侧视图的左边是三层的，可得最高一层的房间在后面，故最高一层的房间在左后面，故选：C．考点：简单空间图形的三视图．9、试题分析：利用直线的斜率即可判断出结论．解：∵斜率k＜0，∴直线y=﹣2x+b一定通过第二、四象限．故选：B．考点：确定直线位置的几何要素．10、试题分析：①O（0，0）与P（，0），由此能求出点到⊙O的距离S P．②由圆心O（0，0）到直线2x+2y+1=0的距离d==＜1=r，得到直线2x+2y+1=0在圆内部分的点到⊙O的最长距离（S P）max=1﹣d，由此能求出结果．解：①∵O（0，0），∴P（，0）与O不重合，∴点到⊙O的距离S P=|AP|=1﹣=．②∵圆心O（0，0）到直线2x+2y+1=0的距离d==＜1=r，∴直线2x+2y+1=0与⊙O：x2+y2=1相交，∴直线2x+2y+1=0在圆内部分的点到⊙O的最长距离：（S P）max=1﹣d=1﹣．故答案为：；1﹣．考点：任意角的三角函数的定义．11、试题分析：求出抛物线方程，求出焦点坐标，即可得到结果．解：抛物线和椭圆都经过点M（1，2），可得4=2p，解得p=2，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．抛物线的焦点坐标就是椭圆的焦点坐标（1，0），故答案为：（±1，0）．考点：椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合．12、试题分析：由题意可得所求的圆心在第一象限或第二象限，确定圆心与半径，可得所求的圆的方程．解：由题意可得所求的圆心在第一象限或第二象限，圆心在第一象限，圆心为（2，2），半径为2，故要求的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．圆心在第二象限，圆心为（﹣2，2），半径为2，故要求的圆的方程为（x+2）2+（y﹣2）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4或（x+2）2+（y﹣2）2=4．考点：圆的标准方程．13、试题分析：利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．考点：命题的否定．14、试题分析：选择坐标系，利用待定系数法，即可得出结论．解：设△ABC的外接圆的一般式方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则D=﹣m﹣n，∴方程为x2+y2+（﹣m﹣n）x+Ey+F=0，代入（0，p），（n，0），可得，∴F=mn，E=﹣p﹣，∴外接圆的方程为x2+y2+（﹣m﹣n）x+（﹣p﹣）y+mn=0．故答案为：①；Ey+F；；﹣m﹣n；x2+y2+（﹣m﹣n）x+（﹣p﹣）y+mn=0．考点：圆的标准方程；圆的一般方程．15、试题分析：（Ⅰ）由题设知c=，=，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设M（x1，y1）N（x2，y2），右顶点A（2，0），由以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A，知（2﹣x2）（2﹣x1）+y1y2=0，把y=x+m代入椭圆方程，再由韦达定理结合题设条件能求出直线方程．解：（1）∵椭圆C：+=1，a＞b＞0，左焦点F（﹣，0），且离心率e=，∴c=，=，∴a=2，b2=4﹣3=1，∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）证明：设M（x1，y1）N（x2，y2），右顶点A（2，0），=（2﹣x1，y1），=（2﹣x2，y2），∵以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A，∴（2﹣x2）（2﹣x1）+y1y2=0，∵y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2∴4+（m﹣2）（x1+x2）+2x1x2+m2="0" ①把y=x+m代入椭圆方程=1，得+（x+m）2=1，整理，得x2+2mx+m2﹣1=0，所以x1x2=，x1+x2=﹣，②把②入①，得4+（km﹣2）•（﹣）+（1+k2）•+m2=（5m2+16m+12）÷（1+4）=（m+2）（5m+6）÷（1+4）=0所以m+2="0" 或者m+=0当m+2=0时，直线y=x﹣2恒过点（2，0）和A点重合显然不符合当m+=0时直线恒过点（，0）符合题意∴直线l的方程y=x﹣．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．16、试题分析：（1）由B1D⊥平面ACE得AE⊥B1D，由A1B1⊥平面AA1D1D得AE⊥A1B1，于是AE⊥平面A1B1D，得出A1D⊥AE．（2）根据A1D⊥AE得△ADE∽△DD1A1，列出比例式求出DE，代入体积公式求出棱锥的体积．证明：（1）∵B1D⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥B1D，∵A1B1⊥平面AA1D1D，AE⊂平面AA1D1D，∴AE⊥A1B1，∵A1B1⊂平面A1B1D，B1D⊂平面A1B1D，A1B1∩B1D=B1，∴AE⊥平面A1B1D，∵A1D⊂平面A1B1D，∴A1D⊥AE．（2）∵A1D⊥AE，∴△ADE∽△DD1A1，∴，∴DE=．∴三棱锥A﹣CDE的V=S△CDE•AD==．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．17、试题分析：取AB中点F，连结EF，则EF即为所求的面ABB1A1与截面D1EC的交线．解：取AB中点F，连结EF，则EF即为所求的面ABB1A1与截面D1EC的交线．理由如下：连结A1B，∵E为棱AA1的中点，F是AB中点，∴EF∥A1B，又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，∴直线EF与直线D1C确定一个平面α，∵直线D1C与直线外一点E都在平面α内，∴平面α与平面D1EC重合，∴EF即为所求的面ABB1A1与截面D1EC的交线．考点：平面的基本性质及推论．18、试题分析：（Ⅰ）以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EF∥平面ACG．（Ⅱ）求出平面PBC的法向量和平面AEF的法向量，利用向量法能证明平面PBC⊥平面AEF．证明：（Ⅰ）以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意，得：E（，0，0），F（0，0，1），A（0，0，0），C（），P（0，0，2），D（0，2，0），G（0，1，1），=（﹣，0，1），=（），=（0，1，1），设平面ACG的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣），=﹣=0，∵EF⊄平面ACG，∴EF∥平面ACG．（Ⅱ）P（0，0，2），B（，﹣1，0），C（），=（），=（），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取x=2，得=（2，0，），平面AEF的法向量=（0，1，0），∵=0，∴平面PBC⊥平面AEF．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．19、试题分析：（Ⅰ）联立，解得交点P，设直线l的方程为：4x﹣y+m=0，把点P代入解得m．（Ⅱ）直线l垂直于直线l1，设直线l的方程为：x+4y+n=0，把点P的坐标代入解得n 即可得出．解：（Ⅰ）联立，解得交点P（2，1），设直线l的方程为：4x﹣y+m=0，把点P代入可得：4×2﹣1+m=0，解得m=﹣7．∴直线l的方程为：4x﹣y﹣7=0．（Ⅱ）∵直线l垂直于直线l1，设直线l的方程为：x+4y+n=0，把点P的坐标代入可得：2+4+n=0，解得n=﹣1．∴直线l的方程为：x+4y﹣1=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．20、试题分析：利用平面与平面垂直的判定定理判断A的正误；利用特例判断B的正误；直线与平面平行的性质定理判断C的正误，直线与平面的位置关系判断即可．解：一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A正确．若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行，例如正方体的上面的来与底面是平行的．侧面与底面是垂直的，所以B不正确．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线，也有异面直线，所以C不正确；若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行，不满足平面与平面平行的判定定理．所以不正确．故选：A．考点：命题的真假判断与应用．。