高一数学二次函数求最值
高中数学二次函数知识点
高中数学二次函数知识点高一数学是高考的基础，掌握数学知识点将对高考复习起到重要作用，为方便同学们复习高一数学，那么接下来给大家分享一些关于高中数学二次函数知识，希望对大家有所帮助。
高中数学二次函数知识1I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质(解析版)
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x =+>的单调性知识点2 二次函数区间求最值知识点3 已知一半求另一半（奇偶性） 知识点4单调奇偶联袂 二、题型归类练专练一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x=+>的单调性例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()f x x x=+. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】（1）函数()f x 为奇函数；（2）()f x 在区间()2,+∞上是增函数；证明见详解. （1）解：由题可知，4()f x x x=+，则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称，又44()()()f x x x f x x x-=--=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数.（2）解：()f x 在区间()2,+∞上是增函数， 证明：12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <， 有12121244()()()()f x f x x x x x -=+-+ 121244()()x x x x =-+-121212(4)x x x x x x -=-， 122x x <<，1212124,40,0x x x x x x >->-<∴,121212(4)0x x x x x x -∴-<，即12()()f x f x <， ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数.名师点评：对于函数()(0)af x x a x =+>主要性质如下：①定义域(,0)(0,)-∞+∞； ②奇偶性：奇函数；③单调性：当0x >时；()(0)af x x a x =+>在上单调递减；在)+∞的单调增；④值域与最值：当0x >时；()(0)af x x a x =+>值域为)+∞，当x =小值特别提醒同学们函数()(0)af x x a x =+>我们称为对钩函数（耐克函数），注意需要0a >这个大前提，当0a ≤时都不再是对钩函数，此时不具有对钩函数的性质。
高一数学二次函数的性质和图像
⑤.对称于原点的两点:
A(x,y)
x
y=x2 y= - x2 ...
... ...
-2 -1.5 4 2.25 -4 -2.25
-1 -0.5 1
0
0.5 0.25 -0.25
1 1 -1
1.5 2.25
2
...
0.25 0 -1 -0.25 0
4 -2.25 -4
... ...
函数图象画法
描点法
二次函数y=ax2的图象和性质
y
x
一. 平面直角坐标系: 1. 有关概念: 2. 平面内点的坐标: 3. 坐标平面内的点与有序 实数对是: 一一对应.
P (a,b)
第二象限
y(纵轴)
b
第一象限
a
第三象限
o
x(横轴)
第四象限
坐标平面内的任意一点M,都有唯一一对有序实数(x,y)与它对应; 任意一对有序实数(x,y),在坐标平面内都有唯一的点M与它对应.
注意：列表时自变量 2 取值要均匀和对称。 y x
画出下列函数的图象。
y x2
1 y x
列表 描点
1 2 (1) y x 2 (2) y 2 x 2 2 2 (3) y x 3
连线
y x2
用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结
( 3,6)与( 3,6)
3
3
( 3,6) y=-2x2
3.2.2函数的基本性质单调性与最大(小)值课件高一上学期数学人教A版
问题1：已知函数y=x2+2x-3 ,且x [-03，，-22],
求函数的最值．
y
解：因为由图易知:对称轴
x0= -1[0，2]
f(x)在区间[0，2]上
-10 1 2
x
单调递增。
所以：ymin= f(0)= -3 ymax= f(2)= 5
答：函数的最小值为-3，最大值为5
例三：二次函数在闭区间上的最值
y f (x)
2 O 6
11
x
例5已知函数 f (x) 2 (x [2, 6]),求函数f (x) x 1
的最大值和最小值.
y
2
0.5
02
6x
猜想 证明 运用(结论)
证明: 设任意 x1, x2 [2, 6], 且 x1 x2 , 则
22
f
(x1)
f
(x2 )
x1
1
x2
1
2[(x2 1) (x1 1)] 2(x2 x1) . (x1 1)(x2 1) (x1 1)(x2 1)
h(t) 4.9(t 14.7 )2 4 (4.9) 18 14.72
2 (4.9)
4 (4.9)
当 t 14.7 1.5 时,函数h(t)有最大值 2 (4.9)
h(t ) max
h(1.5)
4 (4.9) 18 14.72 4 (4.9)
2.9
于是, 烟花冲出后 1.5s 是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度约为 29 m.
例三：二次函数在闭区间上的最值
问题3:已知函数y=x2 +2x-3,且x[-2，2],
求函数的最值.
解：因为由图易知：对称轴
x0=-1 [-2，2] 所以 ymin= f(-1) = -4 ;
高一数学必修一 教案 第2课时 函数的最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值学习目标 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．知识点一 函数的最大(小)值及其几何意义最值 条件几何意义最大值①对于∀x ∈I ，都有f (x )≤M ，②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M函数y ＝f (x )图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x ∈I ，都有f (x )≥M ，②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M函数y ＝f (x )图象上最低点的纵坐标思考 函数f (x )＝x 2＋1≥－1总成立，f (x )的最小值是－1吗？ 答案 f (x )的最小值不是－1，因为f (x )取不到－1. 知识点二 求函数最值的常用方法1．图象法：作出y ＝f (x )的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性：(1)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )． (2)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 预习小测 自我检验1.函数f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．答案 －1 22．函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为________．答案 123．函数y ＝2x 2＋2，x ∈R 的最小值是________． 答案 24．函数y ＝2x在[2,4]上的最大值与最小值之和等于________．答案 32一、图象法求函数的最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值．解 作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (1)＝f (－1)＝1. 当x ＝0时，f (x )取最小值为f (0)＝0， 故f (x )的最大值为1，最小值为0. 反思感悟 图象法求函数最值的一般步骤跟踪训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．解 y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图象如图所示，由图象知，函数y ＝－|x －1|＋2的最大值为2，没有最小值， 所以其值域为(－∞，2]． 二、利用函数的单调性求最值例2 已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]． (1)判断函数f (x )的单调性并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f (x )是增函数，证明如下： 任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝3x 1－x 2x 1＋2x 2＋2，因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以f (x )在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，f (x )在[3,5]上为增函数， 则f (x )max ＝f (5)＝47，f (x )min ＝f (3)＝25.反思感悟 (1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为f (b )，最小值为f (a )． (2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为f (a )，最小值为f (b )．(3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．跟踪训练2 已知函数f (x )＝61－x＋3(x ∈[2,4])，求函数f (x )的最大值和最小值． 解 设x 1，x 2是[2,4]上任意两个实数，且x 1<x 2， 所以f (x 1)－f (x 2)＝61－x 1＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫61－x 2＋3＝61－x 1－61－x 2＝61－x 2－61－x 11－x 11－x 2＝6x 1－x 21－x 11－x 2，因为2≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0,1－x 1<0,1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在[2,4]上是增函数，所以f (x )max ＝f (4)＝1，f (x )min ＝f (2)＝－3.三、函数最值的实际应用例3 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x ，x ∈N ，0≤x ≤5，11，x ∈N ，x >5，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 解 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x ， 所以f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，x ∈N ，0≤x ≤5，8.2－x ，x ∈N ，x >5.(2)当x >5时，因为函数f (x )单调递减， 所以f (x )<f (5)＝3.2(万元)，当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大为3.6万元．反思感悟 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．跟踪训练3 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解 设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销量减少10(x －50)个，销量为500－10(x －50)＝(1 000－10x )个，则y ＝(x －40)(1 000－10x )＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000. 故当x ＝70时，y max ＝9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元．二次函数最值分类讨论问题典例 已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最小值． 解 ∵对称轴x ＝1，(1)当1≥t ＋2即t ≤－1时，f (x )在[t ，t ＋2]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2－2(t ＋2)－3＝t 2＋2t －3. (2)当t ≤1<t ＋2，即－1<t ≤1时，f (x )min ＝f (1)＝－4.(3)当1<t ，即t >1时，f (x )在[t ，t ＋2]上为增函数，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数f (x )的最小值为g (t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t －3，t ≤－1，－4，－1<t ≤1，t 2－2t －3，t >1.[素养提升] 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．利用二次函数图象，通过直观想象，进行分类讨论．1．函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值 考点 函数的最值及其几何意义题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值 答案 A2．函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( ) A ．10,5 B ．10,1 C ．5,1 D ．以上都不对答案 B解析 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2,3]， 所以当x ＝1时，y min ＝1，当x ＝－2时，y max ＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7，－1≤x <1，2x ＋6，1≤x ≤2，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对 考点 函数的最值及其几何意义 题点 分段函数最值答案 A4．已知函数f (x )＝2x －3，当x ≥1时，恒有f (x )≥m 成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．RB ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．∅答案 B解析 因为f (x )＝2x －3在x ∈[1，＋∞)上为增函数， 所以f (x )min ＝－1，故满足f (x )≥－1. 又因为在x ≥1时，f (x )≥m 恒成立， 所以m ≤－1，故m ∈(－∞，－1]． 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，－1≤x ≤0，x 2，0<x ≤1，x ，1<x ≤2，则f (x )的最大值为________．考点 函数的最值及其几何意义 题点 由函数图象求最值 答案 2解析 f (x )的图象如图：则f (x )的最大值为f (2)＝2.1．知识清单：函数的最大值、最小值定义．2．方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法． 3．常见误区：(1)最值M 一定是一个函数值，是值域中的一个元素． (2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x答案 A解析 选项B ，C 在[1,4]上均为增函数，选项A ，D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，可知A 正确． 2．函数y ＝x －1x在[1,2]上的最大值为( )A ．0 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析 函数y ＝x 在[1,2]上是增函数，函数y ＝－1x在[1,2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x在[1,2]上是增函数．当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.3．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0 答案 C解析 当a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上a ＝±2.4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x .若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元 C ．120万元 D ．120.25万元答案 C解析 设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，x ∈N ， 公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x ) ＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 C解析 因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ，所以函数f (x )图象的对称轴为x ＝2. 所以f (x )在[0,1]上单调递增． 又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2， 即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.6．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，若函数f (x )在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________． 答案 f (－2) f (6)解析 作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f (x )min ＝f (－2)，f (x )max ＝f (6)． 7．函数y ＝3x ＋2(x ≠－2)在区间[0,5]上的最大值与最小值的和为________． 答案2714解析 因为函数y ＝3x ＋2在区间[0,5]上单调递减， 所以当x ＝0时，y max ＝32，当x ＝5时，y min ＝37.所以y max ＋y min ＝32＋37＝2714.8．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 令f (x )＝－x 2＋2x ， 则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a <0.9．已知函数f (x )＝|x |(x ＋1)，试画出函数f (x )的图象，并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值．解 f (x )＝|x |(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x ≤0，x 2＋x ，x >0的图象如图所示．(1)f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12和(0，＋∞)上是增函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0上是减函数，因此f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，(0，＋∞)； 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值为34.10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：x 45 50 y2712(1)确定x 与y 的一个一次函数关系式y ＝f (x )(注明函数定义域)；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解 (1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]． (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860＝－3(x －42)2＋432，x ∈[30,54]．当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．11．若函数f (x )＝k x在区间[2,4]上的最小值为5，则k 的值为( ) A ．10 B ．10或20 C ．20 D ．无法确定答案 C解析 当k ＝0时，不满足．当k >0时，y ＝f (x )＝k x在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝k4＝5，∴k ＝20满足条件，k <0时，y ＝f (x )＝kx 在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝k2＝5，∴k ＝10，又∵k <0，∴k ＝10舍去， 综上有k ＝20.12．已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( ) A ．[160，＋∞) B ．(－∞，40]C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)D ．(－∞，20]∪[80，＋∞) 考点 函数的最值及其几何意义 题点 含参二次函数最值 答案 C解析 由于二次函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f (x )＝4x 2－kx －8图象的对称轴方程为x ＝k 8，因此k8≤5或k8≥20，所以k ≤40或k ≥160.13．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．答案 {m |1≤m ≤2}解析 y ＝f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3，利用图象(图略)得1≤m ≤2.14．函数y ＝x ＋2x －1的最小值为________．答案 12解析 令t ＝2x －1，t ≥0，∴x ＝t 2＋12， ∴y ＝t 2＋12＋t ＝12(t 2＋2t ＋1)＝12(t ＋1)2， ∵t ≥0，∴当t ＝0时，y min ＝12.15．已知f (x )＝x ，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g x ，f x ≥g x ，f x ，f x <g x ，则F (x )的最值情况是( )A ．最大值为3，最小值为－1B ．最小值为－1，无最大值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值答案 D解析 由f (x )≥g (x )得0≤x ≤3；由f (x )<g (x )，得x <0，或x >3， 所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，0≤x ≤3，x ，x <0或x >3.作出函数F (x )的图象(图略)，可得F (x )无最大值，无最小值．16．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )是R 上的单调减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．(1)证明 设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0，所以f (x 2－x 1)<0，又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调减函数．(2)解 由(1)可知f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在[－3,3]上也是减函数，所以f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. 所以函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。
高一数学函数的最大(小)值
课堂练习
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减， 则a的取值范围是( ) D A、a≥3 B、a≤3 C、a≥-3 D、a≤-3 2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上 递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的 [21,39] 值域____________.
于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这 时距地面的高度为29 m.
2 例3.求函数 y 在区间[2，6]上的最大值和 x 1 最小值．
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则
2 2 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 1 x2 1 2[(x2 1) ( x1 1)] ( x2 1)(x1 1) 2( x2 x1 ) ( x2 1)(x1 1)
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面 的高度. 由于二次函数的知识，对于 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
14.7 当t 1.5时，函数有最大值 2 (4.9) 4 (4.9) 18 14.7 2 h 29 4 (4.9)
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0∈I，使得f(x0) = M； 2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大 （小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地 面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻？这时 距地面的高度是多少（精确 到1m）
高一数学单元知识点专题讲解5---二次函数的最值问题
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【例 3】当 x ≥ 0时，求函数 y = −x(2 − x)的取值范围．
解：作出函数 y = −x(2 − x) = x2 − 2x 在 x ≥ 0 内的图象．
可以看出：当 x = 1时， ymin = −1，无最大值． 所以，当 x ≥ 0时，函数的取值范围是 y ≥ −1．
【例 4】当t ≤ x ≤ t +1时，求函数 y = 1 x2 − x − 5 的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于 x 所给的范围随着t 的变化而2变化，所以2需要比较对称轴与其范围的相对位置．
ymax = 37
当 时， ；当 时， ． (2) a ≥ 0 ymax = 27 + 10a a < 0 ymax = 27 −10a
． ． 2 −2 ≤ m ≤ −1 ． ． 3 a = 2,b = −2
4． a = − 1 或 a = −1． 4
5．当t ≤ 0 时， ymax = 2 − 2t ，此时 x = 1；当t > 0 时， ymax = 2 + 2t ，此时 x = −1．
解：函数 y = 1 x2 − x − 5 的对称轴为 x = 1．画出其草图．
2
2
(1) (2)
当对称轴在所给范围左侧．即t 当对称轴在所给范围之间．即t
> 1时：
当 时， x = t
ymin
时： ≤ 1 ≤ t + 1 ⇒ 0 ≤ t ≤ 1
=
1 t2 2
−t
−
5 2
；
(3)
当当对x称=轴1时在，所给ym范in 围= 右12 ×侧1．2 −即1t−+521
； (1) y = 2x2 − 4x + 5
高一数学二次函数知识点归纳
高一数学二次函数知识点归纳高一数学二次函数知识点归纳知识点，在教育实践中，对某一个知识的泛称，多用于口语化，特指教科书上或考试的知识。
下面是店铺为大家收集的高一数学二次函数知识点归纳，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-bb^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
高一数学函数知识点总结(五篇)
高一数学函数知识点总结函数的图象函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.高一数学函数知识点总结（二）函数的值域与最值(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(____)与其反函数f-1(____)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(____)变形为关于____的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0，____]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-____]∪[2，+∞)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如____>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.高一数学函数知识点总结（三）函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量____有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tan____(____∈R，且k∈Z)，余切函数y=cot____(____∈R，____≠kπ，k∈Z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(____)的定义域是[a，b]，求f[g(____)]的定义域是指满足a≤g(____)≤b的____的取值范围，而已知f[g(____)]的定义域[a，b]指的是____∈[a，b]，此时f(____)的定义域，即g(____)的值域.2、求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(____)=a____+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.(3)若题设给出复合函数f[g(____)]的表达式时，可用换元法求函数f(____)的表达式，这时必须求出g(____)的值域，这相当于求函数的定义域.(4)若已知f(____)满足某个等式，这个等式除f(____)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-____)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(____)的表达式.高一数学函数知识点总结（四）函数的单调性1、单调函数对于函数f(____)定义在某区间[a，b]上任意两点____1，____2，当____1>____2时，都有不等式f(____1)>(或<)f(____2)成立，称f(____)在[a，b]上单调递增(或递减);增函数或减函数统称为单调函数.对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的____1，____具有任意性，不能用特殊值代替.(3)单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.(4)注意定义的两种等价形式：设____1、____2∈[a，b]，那么：①在[a、b]上是增函数;在[a、b]上是减函数.②在[a、b]上是增函数.在[a、b]上是减函数.需要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(____1，f(____1))、(____2，f(____2))连线的斜率都大于(或小于)零.(5)由于定义都是充要性命题，因此由f(____)是增(减)函数，且(或____1>____2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.5、复合函数y=f[g(____)]的单调性若u=g(____)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f[g(____)]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。
高一数学教案函数的最值5篇最新
高一数学教案函数的最值5篇最新使学生从形与数两方面理解函数的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象判断、证明函数的方法，今天小编在这里整理了一些高一数学教案函数的最值5篇最新，我们一起来看看吧!高一数学教案函数的最值1一、教材分析及处理函数是高中数学的重要内容之一，函数的基础知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用;函数与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切;函数是近一步学习数学的重要基础知识;函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体体现;函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，《函数》教学设计。
对函数概念本质的理解，首先应通过与初中定义的比较、与其他知识的联系以及不断地应用等，初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念.其次在后续的学习中通过基本初等函数，引导学生以具体函数为依托、反复地、螺旋式上升地理解函数的本质。
教学重点是函数的概念，难点是对函数概念的本质的理解。
学生现状学生在第一章的时候已经学习了集合的概念，同时在初中时已学过一次函数、反比例函数和二次函数，那么如何用集合知识来理解函数概念，结合原有的知识背景，活动经验和理解走入今天的课堂，如何有效地激活学生的学习兴趣，让学生积极参与到学习活动中，达到理解知识、掌握方法、提高能力的目的，使学生获得有益有效的学习体验和情感体验，是在教学设计中应思考的。
二、教学三维目标分析1、知识与技能(重点和难点)(1)、通过实例让学生能够进一步体会到函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
并且在此基础上学习应用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
不但让学生能完成本节知识的学习，还能较好的复习前面内容，前后衔接。
(2)、了解构成函数的三要素，缺一不可，会求简单函数的定义域、值域、判断两个函数是否相等等。
(3)、掌握定义域的表示法，如区间形式等。
(4)、了解映射的概念。
2、过程与方法函数的概念及其相关知识点较为抽象，难以理解，学习中应注意以下问题：(1)、首先通过多媒体给出实例，在让学生以小组的形式开展讨论，运用猜想、观察、分析、归纳、类比、概括等方法，探索发现知识，找出不同点与相同点，实现学生在教学中的主体地位，培养学生的创新意识。
高一数学 函数单调性与最值(含解析)
函数单调性引入对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的 也随着增大”；在区间（0， ）上，任取两个 ， ，得到 ，，当 时，有 .这时，我们就说函数 在区间（0， ）上是增函数.一、 函数单调性的判断与证明 1、函数增减性的定义一般地，设函数 的定义域为 ： 如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是增函数（increasing function ）如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是减函数（decreasing function ）.【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.【例2】判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 【例3】 求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|； (3)y ＝－x 2＋2|x |＋1.【解】(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0.图象如图所示．f(x )在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．【解】令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 【例5】证明：函数 在R 上是增函数【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数 在区间 上是增函数。
高一数学《二次方程根的分布情况》归纳(完整版)
1 若 f m 0 或 f n 0 ，则此时 f m f n 0 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或 n ，可
以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 m, n内，从而可以求出参数的值。如方程 mx2 m 相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 x2 4mx 2m 6 0 有
且 一 根 在 区 间 3, 0 内 ， 求 m 的 取 值 范 围 。 分 析 ： ① 由 f 3 f 0 0 即 14m 15m 3 0 得 出
a
）
0
b 2a
0
f 0 0
0
b 0 2a
a f 0 0
f 0 0 a f 0 0
1
表二：（两根与 k 的大小比较）
分
两根都小于 k 即
布
情
况
x1 k, x2 k
大 致 图 象 （
k
）
a 0
两根都大于 k 即 x1 k, x2 k
f f
x max
x min
f f
3 2
3a b 2 5
2b 2
a 1 b 0 ；
（2）当 a
0 时，函数
f
x
在区间
2,
3
上是减函数，故
f f
x max
x min
f f
2 3
b2 3a b 2
5
2
a 1
突破2 函数的值域求法大盘点(举一反三)(解析版)
【练 1.2】已知函数 f (x) x2 4x 1，求函数 y f [ f (x)] 的值域． 【思路分析】本题采用配方法求值域． 【答案】解：y＝[f（x）]＝f2（x）﹣4f（x）+1＝[f（x）﹣2]2﹣3 ＝（x2﹣4x+1﹣2）2﹣3 ＝（x2﹣4x﹣1）2﹣3 ＝[（x﹣2）2﹣3]2﹣3≥﹣3，∴函数的值域为[﹣3，+∞）． 故答案为：[﹣3，+∞）．
1
，
即 f (x) 1 ．
则 f (x) 的值域为{y | y 1} ． 【练 2.1】（1）求下列函数的值域： y 2x 3 (x 1) .
x 1 （2）求函数 y 3 x 的值域．
2x 1
（1）【思路分析】利用分离变量法求解．
【答案】解：y
2ቂ3 ቂ1
2ቂ
1，
ቂ1
的值域．
7
（1）【思路分析】本题宜用分离常数法求值域，将函数
y
2x 3 3x 1
可以变为
y
2 3
3 3x 1
再由
函数的单调性求值域．
【答案】解：由题函数的定义域为{x | x 1} 3
y
2x 3
2 (3x 1) 7
3
3
2
7 3
2
7 3
2
3x 1
1
（1）判断出函数在[﹣1，0]上递减，再求出最大值和最小值，写出函数的值域即可； （2）判断出函数在（1，3）上单调性，再求出最大值和最小值，写出函数的值域即可； （3）判断出函数在（4，5]上递减，再求出最大值和最小值，写出函数的值域即可． 【答案】解：由题意得，y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，关于 x＝2 对称，如： （1）函数在[﹣1，0]上递减， 则当 x＝0 时，y＝5．当 x＝﹣1 时，y＝10． 即当 x∈[﹣1，0]时，y∈[5，10]． （2）函数在（1，2]上递减，（2，3）上递增， 则 x∈（1，3）时，x＝2 时，y 最小值为 1． 当 x＝1 或 x＝3 时，y＝2． 又∵x∈（1，3），∴点（1，2），（3，2）为虚点． ∴当 x∈（1，3）时，y∈[1，2）． （3）函数在（4，5]上递增， 当 x∈（4，5]时，x＝4 时，对应值 y＝5，（4，5）为虚点． 当 x＝5 时，y＝10，（5，10）为实点． ∴当 x∈（4，5]时，y∈（5，10]．
【高中数学过关练习】过关练13-二次函数在闭区间上的最值问题
过关练13 二次函数在闭区间上的最值问题一、单选题1．（2022·山西运城·高一期末）已知二次函数()()2f x ax x c x =-+∈R 的值域为[)0,∞+，则41a c+的最小值为（ ） A ．16 B ．12 C ．10 D ．8【解析】由题意知0a >，140ac ∆=-=， ∴14ac =且0c >， ∴4148a c ac+≥=， 当且仅当41a c=，即1a =，14c =时取等号.故选：D.2．（2022·全国·高一期末）若不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x -<<，则二次函数224y bx x a =++在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为（ ）A ．-1，-7B ．0，-8C ．1，-1D ．1，-7【解析】220ax bx ++>的解集为{}21x x -<<， 2∴-，1是方程220ax bx ++=的根，且0a <，∴21221b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，1a ∴=-，1b =-，则二次函数2224241y bx x a x x =++=-+-开口向下，对称轴1x =，在区间[]0,3上，当1x =时，函数取得最大值1，当3x =时，函数取得最小值7- 故选：D ．3．（2022·河南·信阳高中高一期末（理））函数()(||1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ） A ．52B ．522+C ．32D ．2【解析】当x ≥0时，()()221111()244f x x x x x x ==-=--≥-﹣， 当x ＜0时，()()22111()24f x x x x x x =-=--=-++，作出函数()f x 的图象如图：当0x ≥时，由()f x =22x x -=，解得x =2． 当12x =时，()1124f =-．当x ＜0时，由21()4f x x x =--=-,即24410x x +=﹣，解得x 2444443244212-±+⨯-±-±-±===∴此时x 12-- ∵[,m n ]上的最小值为14-，最大值为2，∴n =21212m --≤≤， ∴n m -的最大值为1252222--=+， 故选：B ．4．（2022·重庆巫山·高一期末）若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A ．(]0,4 B ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】234y x x =--为开口方向向上，对称轴为32x =的二次函数 min 99254424y ∴=--=- 令2344x x --=-，解得：10x =，23x = 332m ∴≤≤即实数m 的取值范围为3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C5．（2022·浙江台州·高一期末）已知函数()22f x ax x =+的定义域为区间[m ，n ]，其中,,a m n R ∈，若f （x ）的值域为[-4，4]，则n m -的取值范围是（ ）A ．[4，42]B ．[22，82]C ．[4，82]D ．[42，8]【解析】若0a =，()2f x x =，函数为增函数，[,]x m n ∈时，则()24,()24f m m f n n ==-==，所以2(2)4n m -=--=， 当0a >时，作图如下，为使n m -取最大，应使n 尽量大，m 尽量小，此时14a =， 由22()424()424f n am m f m an n =⎧+=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，即2240ax x +-=， 所以24,m n mn a a+=-=-，所以()22416482n m m n mn a a-=+-=+=82n m -≤ 当14a -<-时，即104a <<时，此时,m n 在对称轴同侧时n m -最小，由抛物线的对称性，不妨设,n m 都在对称轴右侧，则由22()24,()24f n an n f m am m =+==+=-， 解得24162416a an m -++-+-==416416141441414141422a a a a n m a aa a+--+--∴-===++-++-， 当且仅当1414a a +=- ,即0a =时取等号，但0a >，等号取不到，4n m ∴->，0a <时，同理，当14a =-时，max ()82n m -=14a >-时，()min 4n m ->， 综上，n m -的取值范围是[4,82]， 故选：C6．（2022·广东茂名·高一期末）已知函数2,02()34,23x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩，若存在实数1x ，2x （12x x <）满足12()()f x f x =，则21x x -的最小值为（ ） A ．712B ．22C ．23D ．1【解析】当0≤x ≤2时，0≤x 2≤4，当2<x ≤3时，2<3x －4≤5， 则[0，4]∩(2，5]=(2，4]，令12()()f x f x ==t ∈(2，4]， 则1x t 243t x +=， ∴2214143333t x x t tt -==， 32t ，即94t =时，21x x -有最小值712，故选：A.二、多选题7．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+，则()f x 在[)0,∞+上正确的结论是（ ）A ．()00f =B ．()10f =C ．最大值14D ．最小值14-【解析】由题可知，函数()f x 为定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-， 已知()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+， 则当0x >时，0x -<，则()()()1f x x x f x -=--=-，所以当[)0,x ∈+∞时，()()2211124f x x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，可知()00f =，()10f =，且最大值为14，无最小值，所以()f x 在[)0,∞+上正确的结论是ABC. 故选：ABC.8．（2022·贵州遵义·高一期末）设函数()21,21,ax x a f x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（ ）A ．2B ．-1C ．0D ．1【解析】当x a ≥时，()()222211f x x ax x a a =-+=--+，所以当x a ≥时，()()2min 1f x f a a ==-+，若0a =，则()21,01,0x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，所以此时()min 1f x =-，即()f x 存在最小值， 若0a >，则当x a <时，()1f x ax =-，无最小值， 若0a <，则当x a <时，()1f x ax =-为减函数， 则要使()f x 存在最小值时，则22110a a a ⎧-+≤-⎨<⎩，解得1a ≤-，综上0a =或1a ≤-. 故选：BC.三、填空题9．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数2()25,[1,5]f x x x x =-+∈-．则函数的最大值和最小值之积为______【解析】因为22()25(1)4f x x x x =-+=-+，所以当1x =时，min ()(1)4f x f ==，当5x =时，2max ()(5)(51)420f x f ==-+=，所以最大值和最小值之积为42080⨯=.故答案为：8010．（2022·广东汕头·高一期末）函数()()()2f x x a bx a =++是偶函数，且它的值域为(],2-∞，则2a b +=__________．【解析】()()()()22222f x x a bx a bx a ab x a =++=+++为偶函数，所以20a ab +=，即0a =或2b =-，当0a =时，()2f x bx =值域不符合(],2-∞，所以0a =不成立；当2b =-时，()2222f x x a =-+，若值域为(],2-∞，则21a =，所以21a b +=-.故答案为：1-.11．（2022·广东·华南师大附中高一期末）对x ∀∈R ，不等式2430mx x m ++->恒成立，则m 的取值范围是___________；若2430mx x m ++->在()1,1-上有解，则m 的取值范围是___________.【解析】（1）关于x 的不等式函数2430mx x m ++->对于任意实数x 恒成立，则()204430m m m >⎧⎨∆=--<⎩，解得m 的取值范围是()4,+∞.（2）若2430mx x m ++->在()1,1-上有解， 则2341x m x ->+在()1,1-上有解，易知当314x -<≤时23401xx -≥+， 当314x <<时23401x x -<+，此时记34t x =-， 则104t <<，()244253311624t g t t t t --==⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故()12g t >-， 综上可知，234112x x ->-+，故m 的取值范围是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：()4,+∞；1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭四、解答题12．（2022·河南安阳·高一期末（文））已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式； (2)求()f x 在区间[]1,2-上的值域. 【解析】（1）解：由()02f =可得2c =，()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++，由()()121f x f x x +-=-得221ax a b x ++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以()222f x x x =-+.（2）解：由（1）可得：()()222211f x x x x =-+=-+， 则()f x 的图象的对称轴方程为1x =，()11f =， 又因为()15f -=，()22f =，所以，()f x 在区间[]1,2-上的值域为[]1,5.13．（2022·广东潮州·高一期末）()2f x x bx c =++，不等式()0f x ≤的解集为[]1,3．(1)求实数b ，c 的值；(2)[]0,3x ∈时，求()f x 的值域．【解析】(1)解：由题意，1和3是方程20x bx c ++=的两根，所以1313b c +=-⎧⎨⨯=⎩，解得4,3b c =-=；(2)解：由（1）知，22()43(2)1f x x x x =-+=--，所以当[]0,2x ∈时，()f x 单调递减，当[]2,3x ∈时，()f x 单调递增， 所以min ()(2)1f x f ==-，max ()(0)3f x f ==， 所以()f x 的值域为[1,3]-.14．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()223f x x ax =++，[]4,6x ∈-．(1)当2a =-时，求()f x 的最值；(2)若()f x 在区间[]4,6-上是单调函数，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）当2a =-时，()()224321f x x x x =-+=--， ∴()f x 在[]4,2-上单凋递减，在2,6上单调递增，∴()()min 21f x f ==-，()()()()2max 4444335f x f =-=--⨯-+=.（2）()()222233f x x ax x a a =++=++-，∴要使()f x 在[]4,6-上为单调函数，只需4a -≤-或6a -≥，解得4a ≥或6a ≤-． ∴实数a 的取值范围为(][),64,-∞-+∞．15．（2022·北京通州·高一期末）已知二次函数2()21f x ax ax =-+. (1)求()f x 的对称轴；(2)若(1)7f -=，求a 的值及()f x 的最值.【解析】(1)解：因为二次函数2()21f x ax ax =-+， 所以对称轴212ax a-=-=． (2)解：因为(1)7f -=，所以217a a ++=. 所以2a =.所以2()241f x x x =-+． 因为20a =>， 所以()f x 开口向上，又2()241f x x x =-+对称轴为1x =，所以最小值为(1)1f =-，无最大值. 16．（2022·陕西·长安一中高一期末）函数2()22f x x x =-- (1)当[2,2]x ∈-时，求函数()f x 的值域； (2)当[,1]x t t ∈+时，求函数()f x 的最小值．【解析】(1)解：由题意，函数()22()2213f x x x x =--=--，可得函数()f x 在[]2,1-上单调递减，在[]12，上单调递增，所以函数()f x 在区间[]22-,上的最大值为(2)6f -=，最小值为(1)3f -=-， 综上函数()f x 在上的值域为[]3,6-.(2)解：①当0t ≤时，函数在区间[],1t t +上单调递减，最小值为2(1)3f t t +=-； ②当01t <<时，函数在区间[],1t 上单调递减， 在区间[]1,+1t 上单调递增，最小值为(1)3f =-；③当1t ≥时，函数在区间[],1t t +上单调递增，最小值为2()22f t t t =--，综上可得：当0t ≤时，函数()f x 的最小值为23t -；当01t <<，函数()f x 的最小值为3-；当1t ≥时，函数()f x 的最小值为222t t --.17．（2022·福建泉州·高一期末）已知函数2()4(0)f x ax ax b a =-+>在[0,3]上的最大值为3，最小值为1-． (1)求()f x 的解析式；(2)若(1,)∃∈+∞x ，使得()f x mx <，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）()f x 的开口向上，对称轴为2x =， 所以在区间[]0,3上有：()()()()min max 2,0f x f f x f ==，即481133a a b a b b -+=-=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，所以()243f x x x =-+.（2）依题意(1,)∃∈+∞x ，使得()f x mx <，即2343,4x x mx m x x-+<>+-， 由于1x >，33424234x x x x+-≥⋅=， 当且仅当33x x x=⇒=. 所以234m >.18．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）已知函数()()220f x mx mx n m =-+<在区间[]0,3上的最大值为5，最小值为1．(1)求m ，n 的值；(2)若正实数a ，b 满足2na mb -=，求114a b+的最小值．【解析】(1)由()()220f x mx mx n m =-+<，可得其对称轴方程为212mx m-=-=，所以由题意有(1)25(3)961f m m n f m m n =-+=⎧⎨=-+=⎩，解得1,4m n =-=.(2)由（1）2na mb -=为42a b +=，则111111171171725()()()(2)14242424848b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=+=， （当且仅当25a b ==时等号成立）. 所以114a b +的最小值为258.19．（2022·山东日照·高一期末）已知函数()223f x x ax =--.(1)若1a =，求不等式()0f x ≥的解集；(2)已知()f x 在[)3,+∞上单调递增，求a 的取值范围； (3)求()f x 在[]1,2-上的最小值.【解析】（1）当1a =时，函数()223f x x x =--，不等式()0f x ≥，即223(1)(3)0x x x x --=+-≥，解得1x ≤-或3x ≥， 即不等式()0f x ≥的解集为(,1][3,)-∞-+∞.（2）由函数()223f x x ax =--，可得()f x 的图象开口向上，且对称轴为x a =，要使得()f x 在[)3,+∞上单调递增，则满足3a ≤， 所以a 的取值范围为(,3]-∞.（3）由函数()223f x x ax =--，可得()f x 的图象开口向上，且对称轴为x a =，当1a <-时，函数()f x 在[]1,2-上单调递增，所以()f x 最小值为()122f a -=-； 当12a -≤≤时，函数()f x 在[]1,a -递减，在[],2a 上递增，所以()f x 最小值为()23f a a =--；当2a >时，函数()f x 在[]1,2-上单调递减，所以()f x 最小值为()214f a =-， 综上可得，()f x 在[]1,2-上的最小值为()2min22,13,1214,2a a f x a a a a -<-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩. 20．（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数f （x ）＝x |x ﹣m |＋n . (1)当f （x ）为奇函数，求实数m 的值；(2)当m ＝1，n ＞1时，求函数y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值. 【解析】(1)因为f （x ）为奇函数，所以f （﹣0）＝﹣f （0）， 所以f （0）＝0，即n ＝0，所以f （x ）＝x |x ﹣m |， 又f （﹣1）＝﹣f （1），所以|1﹣m |＝|1＋m |，解得m ＝0，此时f （x ）＝x |x |，对∀x ∈R ，f （﹣x ）＝﹣x |x |＝﹣f （x ）， 所以f （x ）为奇函数,故m ＝0.(2)f （x ）＝x |x ﹣1|＋n ＝22,1,1x x n x x x n x ⎧-++⎨-+>⎩所以f （x ）在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[1，n ]上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，其中211(),()24f n f n n =+=，2111212()()()24f n f n n n n +--=--=，令214n n >+得，12n +>12n +>1()()2f n f >，2max ()f x n =.121n +<≤时1()()2f n f ≤，所以max 1()4f x n =+，因此y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值为2112,14212,n n n n ⎧++⎪⎪⎨+⎪⎪⎩. 21．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一期末）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点()1,1-，且满足()()23f f -=．(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；(3)若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点，函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等且正的不动点，求t 的取值范围． 【解析】（1）∵()f x 的图象过点()1,1-， ∴21m n ++=-① 又()()23f f -=， ∴82183m n m n -+=++② 由①②解2m =-，1n =-，∴()2221f x x x =--；（2）()2213221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，[],2x a a ∈+，当122a +≤，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减，∴()()2min 2263f x f a a a ⎡⎤=+=++⎣⎦；当122a a <<+，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，∴()min1322f x f ⎛⎫⎡⎤==- ⎪⎣⎦⎝⎭； 当12a ≥时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增， ∴()()2min 221f x f a a a ⎡⎤==--⎣⎦．综上，()2min23263,,2331,,2221221,2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩．（3）设()()g x f x tx t =-+有两个不相等的不动点1x 、2x ，且1>0x ，20x >，∴()g x x =，即方程()22310x t x t -++-=有两个不相等的正实根1x 、2x ．∴()()21212Δ3810,30,2102t t t x x t x x ⎧⎪=+-->⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，解得1t >． 22．（2022·安徽合肥·高一期末）已知函数()22f x x mx =--.(1)若0m >且()f x 的最小值为3-，求不等式()1f x <的解集； (2)若当21x ≤时，不等式()20f x x -<恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】（1）解：()f x 的图象是对称轴为2mx =，开口向上的抛物线，所以，()222min2232424m m mm f x f ⎛⎫==--=--=- ⎪⎝⎭，因为0m >，解得2m =，由()1f x <得2230x x --<，即()()310x x -+<，得13x ，因此，不等式()1f x <的解集为()1,3-.（2）解：由21x ≤得11x -≤≤，设函数()()()2222g x f x x x m x =-=-+-，因为函数()g x 的图象是开口向上的抛物线，要使当21x ≤时，不等式()20f x x -<恒成立，即()0g x <在[]1,1-上恒成立，则()()1010g g⎧<⎪⎨-<⎪⎩，可得122010m m ---<⎧⎨+<⎩，解得3<1m -<-. 23．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．【解析】（1）当3a =时，不等式5()7f x -<<， 即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ， 所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃． （2）(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥， 若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥， 所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．24．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知函数()2623f x ax x b =+-+（,a b 为常数），在1x =时取得最大值2. （1）求()f x 的解析式； （2）求函数()f x 在3,2上的单调区间和最小值.【解析】（1）由题意知6126232a ab ⎧-=⎪⎨⎪+-+=⎩,∴32a b =-⎧⎨=⎩ , ∴ ()2361f x x x =-+-.（2）∵()()()22321312f x x x x =---=--+，∴当[]3,2x ∈-时，()f x 的单调增区间为[]3,1-，单调减区间为[]1,2，又()()32718146,2121211f f -=---=-=-+-=-， ∴ ()f x 最小值为46-.25．（2022·广东·化州市第三中学高一期末）已知函数()22f x x mx =-+．（1）若()f x 在区间(],1-∞上有最小值为1-，求实数m 的值；（2）若4m ≥时，对任意的12,1,12m x x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，总有()()21244mf x f x -≤-，求实数m 的取值范围．【解析】（1）可知()f x 的对称轴为2m，开口向上， 当12m ≤，即2m ≤时，()2min 2124m m f x f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， 解得23m =-23，∴23m =- 当12m>，即2m >时，()()min 131f x f m ==-=-， 解得4m =，∴4m =． 综上，23m =-4m =．（2）由题意得，对1,12m x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，()()2max min 44m f x f x -≤-． ∵1,122m m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，11222m m m⎛⎫-≥+- ⎪⎝⎭，∴()2min224m m f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()()max 13f x f m ==-．∴()()22max min1444m m f x f x m -=-+≤-， 解得5m ≥，∴5m ≥．26．（2022·黑龙江·鹤岗一中高一期末）已知二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=，且()01f =.(1)求函数()f x 在区间[]1,1-上的值域；(2)当x ∈R 时，函数y a =-与()3y f x x =-的图像没有公共点，求实数a 的取值范围.【解析】(1)解：设()()20f x ax bx c a =++≠､∴()1()22f x f x ax a b x +-=++=，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，∴1a =，1b =-，又()01f =，∴1c =，∴()21f x x x =-+.∵对称轴为直线12x =，11x -≤≤，1324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()13f -=， ∴函数的值域3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)解：由（1）可得：()2341y f x x x x =-=-+∵直线y a =-与函数()3y f x x =-的图像没有公共点∴()2min 41a x x -<-+， 当2x =时，()2min 41=3x x -+-∴3a -<-，∴3a >.27．（2022·陕西安康·高一期末）已知二次函数()[]21,1,2f x x ax x =++∈-．(1)当1a =时，求()f x 的最大值和最小值，并指出此时x 的取值； (2)求()f x 的最小值，并表示为关于a 的函数()H a ．【解析】(1)当1a =时，()21f x x x =++，对称轴为12x =-，开口向上，所以()f x 在11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，()2min111312224f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2max 22217f x f ==++=.所以当12x =-时，()f x 的最小值为34，当2x =时()f x 的最大值为7.(2)()21f x x ax =++的对称轴为2a x =-，开口向上，当12a-≤-即2a ≥时，()21f x x ax =++在[]1,2-上单调递增， ()()()2min 1112f x f a a =-=--+=-，当122a -<-<即42a -<<时，()21f x x ax =++在1,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时()22min 112224a a a a f x f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当22a-≥即4a ≤-时，()21f x x ax =++在[]1,2-上单调递减， ()()2min 222152f x f a a ==++=+，所以252,4()1,4242,2a a a H a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩.28．（2022·北京平谷·高一期末）已知二次函数()()211f x ax a x =-++.(1)当对称轴为1x =-时， （i ）求实数a 的值；（ii ）求f （x ）在区间[]22-,上的值域. (2)解不等式()0f x ≥. 【解析】(1)解：（i ）由题得(1)(1)11,12,223a a a a a a a -++-==-∴+=-∴=-； （ii ）()212133f x x x =--+，对称轴为1x =-， 所以当[]2,2x ∈-时，max 124()(1)1333f x f =-=-++=.min 445()(2)1333f x f ==--+=-.所以f （x ）在区间[]22-,上的值域为54[,]33-. (2)解：()2110ax a x -++≥，当0a =时，10,1x x -+≥∴≤；当0a >时，121(1)(1)0,0,1ax x x x a--≥∴=>=， 当01a <<时，不等式的解集为1{|x x a≥或1}x ≤； 当1a =时，不等式的解集为R ；当1a >时，不等式的解集为{|1x x ≥或1}x a≤；当0a <时，121(1)(1)0,0,1ax x x x a--+≤∴=<=， 所以不等式的解集为1{|1}x x a≤≤. 综上，当0a =时，不等式的解集为{|1}x x ≤； 当01a <<时，不等式的解集为1{|x x a≥或1}x ≤； 当1a =时，不等式的解集为R ；当1a >时，不等式的解集为{|1x x ≥或1}x a≤；当0a <时， 不等式的解集为1{|1}x x a≤≤. 29．（2022·重庆·高一期末）已知函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈．(1)若()f x 在[]0,1上的值域为[]4,6，求a 的值；(2)若关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，求a 的取值范围． 【解析】(1)解：因为函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈，对称轴2ax =，且()09f a =-，()1102f a =-，21924a f a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当02a<时，函数()f x 在0,1上单调递增，所以 ()()0416f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即941026a a -=⎧⎨-=⎩，此时无解； 当>12a时，函数()f x 在0,1上单调递减，所以 ()()0614f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即961024a a -=⎧⎨-=⎩，解得3a =； 当012a ≤≤，即02a ≤≤时，函数()f x 在2a x =取得最小值，所以42a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即21944a a --+=，方程在02a ≤≤上无解， 综上得：3a =；(2)解：关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，等价于2+9>+1x a x 只有一个正整数解，令()2+9+1x g x x =，则()()()2+91010+1+22+12102+1+1+1g x x x x x x x ==-≥⋅=，当且仅当10+1+1x x =，即101x =， ()2+9+1x g x x =在(101⎤-⎦，上递减，在)101,⎡+∞⎣递增， 而21013<，()21+9151+1g ==，()29g =，()2+913222+13g ==，()2+999133,5>>3+12233g ==，当a 13932⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不等式只有一个正整数解2x =，所以a 的取值范围为13932⎛⎤⎥⎝⎦，．30．（2022·河北秦皇岛·高一期末）已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-． (1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．(2)证明：对任意[]11,2x ∈，总存在[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x =成立．【解析】(1)解：因为()g x 的值域为[)0,∞+，所以()()222414420a a a a a ∆=--=-+=-=，解得2a =．(2)证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得()1111f x x x =+在[]1,2上单调递增，所以()152,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．设()21g x x ax a =-+-在[]1,3-上的值域为M ，当12a≤-，即2a -时，()g x 在[1,3]-上单调递增，因为max ()(3)8212g x g a =-=，min ()(1)24g x g a -==-，所以2,52M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；当32a，即6a 时，()g x 在[1,3]-上单调递减，因为max ()(1)212g x g a -==，min ()(3) 824g x g a =--=，所以2,52M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；当132a -<<，即26a -<<时，22min 11()1(2)(4,0]244a g x g a a a ⎛⎫==-+-=--∈- ⎪⎝⎭，max ()max{2, 82}[4,12)g x a a =-∈，所以52,2M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；综上，52,2M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦恒成立，即()f x 在[1,2]上的值域是()g x 在[1,3]-上值域的子集恒成立，所以对任意1[1,2]x ∈总存在2[1,3]x ∈-，使得()()12f x g x =成立.31．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）． （1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式： （2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）由于0a >，当[1,2]x ∈时，2211()212124f x ax x a a x a a a ⎛⎫=-+-=-+-- ⎪⎝⎭①若1012a <<，即12a >，则()f x 在[1,2]为增函数 ，()(1)32g a f a ==-； ②若1122a ≤≤，即1142a ≤≤时，11()2124g a f a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭；③若122a >，即104a <<时，()f x 在[1,2]上是减函数，()(2)63g a f a ==-； 综上可得163,04111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩； （2）21()1a h x ax x-=+-在区间[1,2]上任取1212x x ≤<≤， ()()()212121211221212111a a a h x h x ax ax x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=+--+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭[]211212(21)x x ax x a x x -=--（*） ()h x 在[1,2]上是增函数 ()()210h x h x ∴->∴（*）可转化为12(21)0ax x a -->对任意12,[1,2]x x ∈且12x x <都成立，即1221ax x a >- ①当0a =时，上式显然成立 ②12210,a a x x a ->>，由1214x x <<得211a a-≤，解得01a <≤； ③12210,a a x x a-<<，由1214x x <<得，214a a -≥，得102a -≤<， 所以实数a 的取值范围是1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．。