高中数学章末综合测评(二)北师大版必修1

章末综合测评(二) 函数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{－1,3,5}，若f ：x →2x －1是集合A 到集合B 的映射，则集合B 可以是( )A ．{0,2,3}B ．{1,2,3}C ．{－3,5}D ．{－3,5,9}【解析】 将x ＝－1,3,5代入f ：x →2x －1得－3,5,9，故B ＝{－3,5,9}． 【答案】 D2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤1，x 2＋3， x >1，则f (3)＝( ) A ．7 B ．2 C ．10D ．12【解析】 ∵3>1，∴f (3)＝32＋3＝9＋3＝12. 【答案】 D3．(2016·湖北高一月考)已知函数f (x )＝|x |，则下列哪个函数与y ＝f (x )表示同一个函数( )A ．g (x )＝(x )2B ．h (x )＝x 2C ．s (x )＝xD ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0－x ，x ＜0【解析】 由二次根式的性质可知h (x )＝x 2＝|x |.故选B. 【答案】 B4．幂函数f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(－∞，0)，(0，＋∞)【解析】 设幂函数f (x )＝x α，则f (2)＝12，即2α＝12，∴α＝－1，故f (x )＝x －1＝1x.∴函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)． 【答案】 D5．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】 ∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数． ∴－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4， ∴2g (1)＝6，∴g (1)＝3. 【答案】 B6．已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]，则函数f (x )的值域是( ) A ．[－4，＋∞) B ．[－3,5] C ．[－4,5]D ．(－4,5]【解析】 f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4， 当x ＝2时，f (x )取到最小值－4； 当x ＝5时，f (x )取得最大值5， 故函数f (x )的值域为[－4,5]． 【答案】 C7．(2016·河南郑州外国语学校高一月考)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,3]，则函数g (x )＝f x ＋1x －2的定义域是( )A ．[－1,2)B ．[0,2)C ．[－1,2]D ．[0,2)∪(2,3]【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤3，x －2≠0，解得－1≤x ＜2，故选A.【答案】 A8．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2 －f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)【解析】 ∵对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2 －f x 1x 2－x 1<0，∴f (x )在[0，＋∞)上是减少的，∵1<2<3，且f (x )为偶函数，∴f (3)<f (2)<f (1)， ∵f (－2)＝f (2)，∴f (3)<f (－2)<f (1)．【答案】 A9．用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的较小值，设f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x －1，1x (x >0)，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．不存在【解析】 作出f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x －1，1x (x >0)的图像，如图所示：所以f (x )的最大值为1. 【答案】 B10．函数f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)＝( ) A ．－26 B ．26C ．18D ．－18【解析】 f (－2)＝(－2)5＋a (－2)3＋b (－2)－8＝－25－a ·23－2b －8＝10， ∴25＋a ·23＋2b ＝－18，∴f (2)＝25＋a ·23＋2b －8＝－18－8＝－26. 【答案】 A11．(2016·辽宁沈阳铁路实验中学高一月考)若函数f (x )＝x －bx －a在区间(－∞，4)上是增函数，则有( )A ．a ＞b ≥4B ．a ≥4＞bC ．4≤a ＜bD ．a ≤4＜b【解析】 ∵f (x )＝x －b x －a ＝x －a ＋a －b x －a ＝1＋a －bx －a，如果a ＞b ，则f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上也单调递减；如果a ＜b ，则f (x )在(－∞，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上也单调递增．因为f (x )在区间(－∞，4)上是增函数，所以a ＜b ，且(－∞，4)为(－∞，a )的一个子区间，所以a ≥4，所以4≤a ＜b .【答案】 C12．已知x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a2>0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) 【导学号：04100038】A ．(0,2)B ．(2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(0,4)【解析】 由题意知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a 2的图像开口向上，对称轴方程为x ＝a2，x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a2>0恒成立，即f (x )最小值>0.当a 2≤－1，即a ≤－2时，f (x )最小值＝f (－1)＝1＋a ＋a 2>0，解得a >－23，与a ≤－2矛盾； 当a 2≥1，即a ≥2时，f (x )最小值＝f (1)＝1－a ＋a2>0，解得a <2，与a ≥2矛盾； 当－1<a2<1，即－2<a <2时，f (x )最小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，要使f (x )最小值>0，则Δ＝(－a )2－4·a2<0，解得0<a <2.综上，实数a 的取值范围(0,2)，选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．将二次函数y ＝x 2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是________．【解析】 y ＝(x ＋2)2＋1－3＝(x ＋2)2－2＝x 2＋4x ＋2. 【答案】 y ＝x 2＋4x ＋214．(2016·河南南阳市五校高一联考)函数f (x )＝4－2x ＋1x ＋1的定义域是________．(要求用区间表示)【解析】 要使原函数有意义，需要：⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ≥0，x ＋1≠0，解得x ＜－1或－1＜x ≤2，所以原函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,2]． 【答案】 (－∞，－1)∪(－1,2]15．设函数f (x )＝ x ＋1 x ＋ax为奇函数，则a ＝________.【解析】 f (－x )＝1－x a －x－x，又f (x )为奇函数，故f (x )＝－f (－x )，即x ＋1 x ＋a x ＝ 1－x a －x x ，所以x 2＋ a ＋1 x ＋a x ＝x 2－ a ＋1 x ＋ax，从而有a ＋1＝－(a ＋1)，即a ＝－1.【答案】 －116．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由已知f (x )在[0，＋∞)上为增函数，且f (a )＝f (|a |)，∴f (a )≥f (2)⇒f (|a |)≥f (2)，∴|a |≥2，即a ≥2或a ≤－2.【答案】 {a |a ≥2或a ≤－2}三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2， x ∈[－1，2]，x －3， x ∈ 2，5].(1)在如图1给定的直角坐标系内画出f (x )的草图；(不用列表描点)图1(2)根据图像写出f (x )的单调区间； (3)根据图像求f (x )的最小值． 【解】 (1)(2)单调增区间为[－1,0)，(2,5]，单调减区间为[0,2]． (3)最小值为－1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b ＜1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上为单调函数，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a ，①当a ＞0时，f (x )在区间[2,3]是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f 2 ＝2，f 3 ＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧4a －4a ＋2＋b ＝2，9a －6a ＋2＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.②当a ＜0时，f (x )在区间[2,3]是减函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧ f 2 ＝5，f 3 ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b ＜1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－(m ＋2)x ＋2 由题意知m ＋22≤2或m ＋22≥4，可得m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．19．(本小题满分12分)对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x ＞0时，f (x )＞1，f (3)＝4.(1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)求函数f (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 【解】 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， 则x 2－x 1＞0， ∴f (x 2－x 1)＞1.f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)－1＞0.∴f (x 1)＜f (x 2)，即f (x )是R 上的增函数．(2)令x ＝y ＝1，则f (2)＝2f (1)－1，f (3)＝f (2)＋f (1)－1＝3f (1)－2. 又∵f (3)＝4，∴3f (1)－2＝4， ∴f (1)＝2，f (2)＝2f (1)－1＝3， 由(1)知f (x )是R 上的增函数， ∴f (x )在[1,2]上是增函数，∴f (x )的最小值为f (1)＝2，最大值为f (2)＝3.20．(本小题满分12分)(2016·河南联考)已知函数f (x )＝ax －1x ＋1. (1)若a ＝－2，试证：f (x )在(－∞，－2)上单调递减； (2)函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，求实数a 的取值范围．【解】 (1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1－1x 1＋1－－2x 2－1x 2＋1＝－x 1－x 2x 1＋1 x 2＋1.∵(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递减． (2)f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1. 设x 1＜x 2＜－1， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 2＋1 ＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝ a ＋1 x 1－x 2x 1＋1 x 2＋1. 又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数， 所以f (x 1)－f (x 2)＞0. 由于x 1＜x 2＜－1，∴x 1－x 2＜0，x 1＋1＜0，x 2＋1＜0， ∴a ＋1＜0，即a ＜－1.故a 的取值范围是(－∞，－1)．21．(本小题满分12分)f (x )＝x1＋x 是定义在(－1,1)上的奇函数．(1)用定义证明f (x )在(－1,1)上是增加的； (2)解不等式f (t －1)＋f (t )<0.【解】 (1)证明：任取x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1<x 2， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1＋x 1x 22－x 2－x 2x 21 1＋x 21 1＋x 22＝x 1－x 2＋x 1x 2 x 2－x 1 1＋x 21 1＋x 22 ＝ x 1－x 2 1－x 1x 21＋x 21 1＋x 22. ∵x 1，x 2∈(－1,1)，x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，－1<x 1x 2<1，∴1－x 1·x 2>0. 又(1＋x 21)(1＋x 22)>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－1,1)上是增加的．(2)不等式需满足定义域⎩⎪⎨⎪⎧－1<t －1<1，－1<t <1，∴0<t <1，∵f (t －1)＋f (t )<0，∴f (t －1)<－f (t )， ∵f (x )为奇函数，∴f (t －1)<f (－t )． ∵f (x )在(0,1)上是增加的， ∴t －1<－t ，即t <12.综上可知不等式的解为0<t <12.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 2＋mx －m . (1)若函数f (x )为偶函数，求实数m 的值；(2)若函数f (x )在[－1,0]上是减少的，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得f (x )在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)∵函数f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x 2－mx －m ＝－x 2＋mx －m ， 则2mx ＝0，且对任意x ∈R 恒成立，故m ＝0.(2)因函数f (x )图像的对称轴是x ＝m 2，要使f (x )在[－1,0]上是减少的，应满足m2≤－1，解得m ≤－2.(3)当m2≤2，即m ≤4时，f (x )在[2,3]上是减少的．若存在实数m ，使f (x )在[2,3]上的值域是[2,3]，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f 2 ＝3，f 3 ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ －4＋2m －m ＝3，－9＋3m －m ＝2，无解；当m2≥3，即m ≥6时，f (x )在[2,3]上是增加的，则有⎩⎪⎨⎪⎧f 2 ＝2，f 3 ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧－4＋2m －m ＝2，－9＋3m －m ＝3，解得m ＝6；当2<m 2<3，即4<m <6时，f (x )在[2,3]上先增加再减少，所以f (x )在x ＝m2处取最大值．则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋m ·m2－m ＝3，解得m ＝－2(舍去)或6(舍去)．综上，存在实数m ＝6，使f (x )在[2,3]上的值域恰好是[2,3]．。