河北省唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试文科数学(扫描版)
唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试理数学文数学试卷及答案
唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ADBCDDACCB CB B 卷：ADBBD DACAB CB二．填空题：（13）2 （14） 1 2 （15）2 6 （16）(1，3)三．解答题：17．解：（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1，① 所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ②①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即a n a n －1＝3（n ≥2）， …3分 在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， …4分所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n ＝3n －1．…6分 （2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ． ④③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ，…8分 ＝3－3n1－3－(n －1)·3n ＝(3－2n )·3n －32．…10分 所以，T n ＝(2n －3)·3n ＋34． …12分 18．解：（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， 所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率P ＝4×5＋6×510×10＝ 1 2．…5分 （2）X 可取0，1，2，3．…6分 P (X ＝0)＝C 04C 36C 310＝ 1 6；P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝ 1 2； P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝ 3 10； P (X ＝3)＝C 34C 06C 310＝ 1 30； …10分X 的分布列为∴随机变量X 的期望E (X )＝0× 1 6＋1× 1 2＋2× 3 10＋3× 1 30＝ 6 5． …12分19．解：（1）∵直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点，∴BD ⊥CD ， 又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ，∴CD ⊥平面PBD ，∴CD ⊥PD ，又∵AD ⊥BD ，∴PD ⊥BD ．又因为BD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥平面BCD ． …5分（2）以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ， 则A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (－2，0，0)，P (0，0，2)，PA →＝(2，0，－2)，PB →＝(0，2，－2)，CB →＝(2，2，0)设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由PB →·n ＝0，CB →·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，－1，－1)． …9分cos PA →，n ＝PA →·n |PA →||n |＝63，∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为63．…12分 20．解：（1）由已知可得，y 1＝x 21，y 2＝x 22，所以y 1－y 2＝x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)，此时，直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2．…4分 （2）因为OB ⊥l ，所以k OB ＝－ 1k ，又因为k OB ＝y 2x 2＝x 22x 2＝x 2，所以，x 2＝－ 1k ，…6分 又由（1）可知，x 1＋x 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k ，从而有，x 1＝k －x 2＝k ＋ 1k ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|k ＋ 2k |，|OB |＝x 22＋y 22＝x 22＋x 42＝1k 2＋1k 4＝1＋k 2k 2，…9分 因为|AB |＝3|OB |，所以1＋k 2|k ＋ 2 k |＝31＋k 2k 2，化简得，|k 3＋2k |＝3，解得，k ＝±1，所以，|AB |＝1＋k 2|k ＋ 2k |＝32．…12分 21．解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ 1x ，所以f (x )＝ 1 x － 1 x 2． …1分 设切点为(x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )与y ＝m 相切，得f(x 0)＝0， 解得x 0＝1，所以切点为（1，1）．…3分 所以m ＝1． …4分（2）依题意得f (1)≥ e a ，所以1≥ ea ，从而a ≥e ．…5分 因为f (x )＝x －ln ax 2ln a ，a ≥e ，所以当0＜x ＜ln a 时，f (x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞ln a 时，f (x )＞0，f (x )单调递增，所以当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值log a (ln a )＋ 1ln a ．…7分 设g (x )＝eln x －x ，x ≥e ，则g (x )＝ e x －1＝e －xx ≤0，所以g (x )在[e ，＋∞)单调递减，从而g (x )≤g (e)＝0，所以eln x ≤x ．…10分 又a ≥e ，所以eln a ≤a ，从而 1 ln a ≥ ea ，当且仅当a ＝e 时等号成立．因为ln a ≥1，所以log a (ln a )≥0，即log a (ln a )＋ 1 ln a ≥ea ．综上，满足题设的a 的取值范围为[e ，＋∞)．…12分 22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π4)－4＝0得，ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0．所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6．…5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得，t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π 4)| 因为0≤α＜，所以 π 4≤α＋ π 4＜5π4，从而有－2＜22sin (α＋ π4)≤22．所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]．…10分 23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|,所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2，故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．…5分 （2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 12，－2x ＋2， x ＞ 12，由g (x )的单调性可知，x ＝ 12时，g (x )取得最大值1，所以a 的取值范围是[1，＋∞）． …10分唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试文科数学参考答案一．选择题：A卷：ACDBD CBCDA ACB卷：ACDCD CBCDA AB二．填空题：（13）12（14）2 （15）1 （16）(3，2]三．解答题：17．解：（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d（d≠0），则a n＝a1＋(n－1)d．因为a2，a3，a5成等比数列，所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，化简得，a1d＝0，又因为d≠0，所以a1＝0，…3分又因为a4＝a1＋3d＝3，所以d＝1．所以a n＝n－1．…6分（2）b n＝n·2n－1，…7分T n＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①则2T n＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n．②①－②得，－T n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，…8分＝1－2n1－2－n·2n …10分＝(1－n)·2n－1．所以，T n＝(n－1)·2n＋1．…12分18．解：（1）-x甲＝110(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1；-x乙＝110(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7；…4分（2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为25，二等品的概率为35，故采用甲工艺生产该零件每天取得的利润：w甲＝300×25×30＋300×35×20＝7200元；…7分应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为12，故采用乙工艺生产该零件每天取得的利润：w乙＝280×12×30＋280×12×20＝7000元．…10分因为w甲＞w乙，所以采用甲工艺生产该零件每天取得的利润更高．…12分19．解：（1）∵直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥CD，又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ，∴CD ⊥平面PBD ，又因为PD 平面PBD ，∴PD ⊥CD ． …5分（2）∵AD ⊥BD ，∴PD ⊥BD ．又∵PD ⊥CD ，BD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥平面BCD ．…8分 在直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，所以PD ＝AD ＝2，PB ＝PC ＝BC ＝2．S △ABC ＝2，S △PBC ＝3，设A 点到平面PBC 的距离为d ，由V P -ABC ＝V A -PBC 得，1 3S △ABC ×PD ＝ 13S △PBC ×d ，∴d ＝S △ABC ×PD S △PBC ＝ 263．即A 点到平面PBC 的距离为 263．…12分 20．解：（1）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y 得，x 2－2kx －2m ＝0，＝4k 2＋8m ，x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ，…2分 因为AB 的中点在x ＝1上，所以x 1＋x 2＝2．即2k ＝2，所以k ＝1．…4分 （2）O 到直线l 的距离d ＝|m |2，|CD |＝212－m 22， …5分所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22·1＋2m ，…6分因为|AB |＝|CD |,所以22·1＋2m ＝212－m 22， 化简得m 2＋8m －20＝0， 所以m ＝－10或m ＝2． …10分 由⎩⎨⎧＞0，d ＜23得－ 12＜m ＜26．所以m ＝2，直线l 的方程为y ＝x ＋2．…12分 21．解：（1）f (x )＝2(ln x ＋1)．…1分 所以当x ∈(0， 1e )时，f (x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈( 1e ，＋∞)时，f (x )＞0，f (x )单调递增．所以x ＝ 1 e 时，f (x )取得最小值f ( 1 e )＝1－ 2e ．…5分 （2）x 2－x ＋ 1x ＋2ln x －f (x )＝x (x －1)－x －1x －2(x －1)ln x＝(x －1)(x － 1x －2ln x )，…7分 令g (x )＝x － 1 x －2ln x ，则g (x )＝1＋ 1 x 2－ 2 x ＝ (x －1)2x 2≥0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又因为g (1)＝0，所以当0＜x ＜1时，g (x )＜0；当x ＞1时，g (x )＞0，…10分 所以(x －1)(x － 1x －2ln x )≥0，即f (x )≤x 2－x ＋ 1x ＋2ln x ．…12分 22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π 4)－4＝0得， ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0． 所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6． …5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得，t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π 4)|因为0≤α＜，所以 π 4≤α＋ π4＜5π4， 从而有－2＜22sin (α＋ π 4)≤22． 所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]．…10分 23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|,所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2，故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． …5分（2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 1 2，－2x ＋2， x ＞ 12， 由g (x )的单调性可知，x ＝ 12时，g (x )取得最大值1， 所以a 的取值范围是[1，＋∞）．…10分。
唐山市 2018—2019 学年度高三年级第一次模拟考试文科数学B4版(含参考答案)
唐山市 2018—2019 学年度高三年级第一次模拟考试
文科数学参考答案
一．选择题： A 卷：BBACD B 卷：BCABD 二．填空题： （13）－2 DACDB DACDC AB AB
（14）1
（15）2 3π
（16） 17
三．解答题： （17）解： （1）因为 a1＝1，所以 a2＝2a1＋0＝2，a3＝2a2＋2－1＝5， 从而 b1＝2，b2＝a2＋2＝4，b3＝a3＋3＝8， （2）{bn}是等比数列． 因为 an+1＝2an＋n－1， 所以 an＋1＋n＋1＝2(an＋n)， an+1＋(n＋1) bn+1 ＝2，即 ＝2， 所以 bn an＋n 所以{bn}是等比数列，且首项 b1＝2，公比为 2． （3）由（2）知 bn＝2n， 故 an＝bn－n＝2n－n． 所以 Sn＝(21＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n) n2＋n ＋ ＝2n 1－2－ ． 2 （18）解： （1）因为 E，F 分别为 AB，AC 边的中点， 所以 EF∥BC， 因为∠ABC＝90° ， 所以 EF⊥BE，EF⊥PE， 又因为 BE∩PE＝E， 所以 EF⊥平面 PBE， 所以 BC⊥平面 PBE． …5 分 （2）取 BE 的中点 O，连接 PO， 由（1）知 BC⊥平面 PBE，BC平面 BCFE， 所以平面 PBE⊥平面 BCFE， 因为 PB＝BE＝PE， 所以 PO⊥BE， 又因为 PO平面 PBE，平面 PBE∩平面 BCFE＝BE， 所以 PO⊥平面 BCFE， 在 Rt△POC 中：PC＝ PO2＋OC2＝2 5， 在 Rt△EBC 中：EC＝ EB2＋BC2＝2 5，
0＜α＜π） ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ＝ 4cos θ． （1）求 l 和 C 的直角坐标方程； （2）若 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AB|＝8，求 α． （23）[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 a，b 是正实数，且 a＋b＝2，证明： （1） a＋ b≤2； （2）(a＋b3)(a3＋b)≥4．
2018年河北省唐山市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年河北省唐山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）＝（）A．2﹣2i B．2+2i C．﹣2﹣2i D．﹣2+2i 2．（5分）已知命题p：∃n∈N，3n＞2018，则￢p为（）A．∀n∈N，3n≤2018B．∀n∈N，3n＞2018C．∃n∈N，3n≤2018D．∃n∈N，3n＜20183．（5分）设集合M＝{x|x2﹣x＞0}．N＝{x|＜1}，则（）A．M⊊N B．N⊊M C．M＝N D．M∪N＝R 4．（5分）某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（）A．24B．30C．32D．355．（5分）以角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy，若角θ终边过点P（1，﹣2），则sin2θ＝（）A．B．C．D．6．（5分）等腰直角三角形ABC中，A＝90°，该三角形分别绕AB，BC所在直线旋转，则2个几何体的体积之比为（）A．B．C．1：2D．2：17．（5分）已知a＝3，b＝2，c＝ln3，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c 8．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．（5分）如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（）A．求1+3+5+…+（2n﹣1）B．求1+3+5+…+（2n+1）C．求12+22+32+…+n2D．求12+22+32+…+（n+1）2 10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．B．9C．D．11．（5分）已知P为抛物线y2＝x上异于原点O的点，PQ⊥x轴，垂足为Q，过PQ的中点作x轴的平行线交抛物线于点M，直线QM交y轴于点N，则＝（）A．B．1C．D．212．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2x cos x，则下列关于f（x）的表述正确的是（）A．f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）的最小值为﹣1C．f（x）有4个零点D．f（x）有无数个极值点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知＝（﹣1，1），＝（1，﹣2），则（+2）•＝．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最小值是．15．（5分）已知双曲线C：（m＞0），则C的离心率的取值范围是．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知数列{a n}是以1为首项的等差数列，数列{b n}是以q（q≠1）为公比的等比数列，且a2＝b1，a3﹣a1＝b2﹣b1，a2b2＝b3．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）若S n＝a1b n+a2b n﹣1+…+a n﹣1b2+a n b1，求S n．18．（12分）某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元．销售宗旨是当天进货当天销售．如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元．根据以往的销售情况，按[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图计算该种鲜鱼日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了300公斤这种鲜鱼，假设当天的需求量为x公斤（0≤x≤500），利润为Y元．求Y关于x的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润Y不小于700元的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1B1C⊥平面AA1C1C，∠BAC＝90°．（1）证明：AC⊥CA1；（2）若△A1B1C是边长为2的等边三角形，求点B1到平面ABC的距离．20．（12分）已知椭圆Γ：（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，长轴长为，B为直线l：x＝﹣3上的动点，M（m，0）（m＜0），AM⊥BM．当AB⊥l时，M与F重合．（1）若椭圆Γ的方程；（2）若C为椭圆Γ上一点，满足AC∥BM，∠AMC＝60°，求m的值．21．（12分）已知函数，﹣lnx﹣x+a．（1）求f（x）的最大值；（2）若曲线y＝g（x）与x轴相切，求a的值．（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣1）2+y2＝1，圆C2：（x﹣3）2+y2＝9．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）设曲线C3：（t为参数且t≠0），C3与圆C1，C2分别交于A，B，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|﹣|x|的最大值为m．（1）求m的值；（2）若正实数a，b满足a+b＝m，求的最小值．2018年河北省唐山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）＝（）A．2﹣2i B．2+2i C．﹣2﹣2i D．﹣2+2i【解答】解：＝．故选：D．2．（5分）已知命题p：∃n∈N，3n＞2018，则￢p为（）A．∀n∈N，3n≤2018B．∀n∈N，3n＞2018C．∃n∈N，3n≤2018D．∃n∈N，3n＜2018【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题p：∃n∈N，3n＞2018，则￢p为：∀n∈N，3n≤2018．故选：A．3．（5分）设集合M＝{x|x2﹣x＞0}．N＝{x|＜1}，则（）A．M⊊N B．N⊊M C．M＝N D．M∪N＝R 【解答】解：解x2﹣x＞0得，x＜0或x＞1；解得，x＞1，或x＜0；∴M＝N．故选：C．4．（5分）某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（）A．24B．30C．32D．35【解答】解：由分层抽样的方法可设样本中有高中三个年级学生人数为x人，则，解得：x＝32故选：C．5．（5分）以角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy，若角θ终边过点P（1，﹣2），则sin2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy，若角θ终边过点P（1，﹣2），则x＝1，y＝﹣2，r＝|OP|＝，sinθ＝＝﹣，cosα＝＝，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝2•（﹣）•＝﹣，故选：D．6．（5分）等腰直角三角形ABC中，A＝90°，该三角形分别绕AB，BC所在直线旋转，则2个几何体的体积之比为（）A．B．C．1：2D．2：1【解答】解：如图，设等腰直角三角形ABC的一条直角边长为1，则斜边长为．以AB为轴旋转，得到圆锥BA，其体积为；以BC为轴旋转，得到两个同底的圆锥BG、CG，其体积．∴2个几何体的体积之比为．故选：B．7．（5分）已知a＝3，b＝2，c＝ln3，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵a＝3，b＝2＝，∴b＜a＜1，又c＝ln3＞1，则b＜a＜c，故选：D．8．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，即：y＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x﹣），故选：B．9．（5分）如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（）A．求1+3+5+…+（2n﹣1）B．求1+3+5+…+（2n+1）C．求12+22+32+…+n2D．求12+22+32+…+（n+1）2【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝0，a＝0，S＝0，i＝1满足条件i≤n，执行循环体，a＝0+2×1﹣1＝12，S＝12，i＝2满足条件i≤n，执行循环体，a＝1+2×2﹣1＝22，S＝12+22，i＝3满足条件i≤n，执行循环体，a＝4+2×3﹣1＝32，S＝12+22+32，i＝4…观察规律可得：当i＝n时，满足条件i≤n，执行循环体，a＝n2，S＝12+22+32+…n2，i＝n+1此时，不满足条件i≤n，退出循环，输出S的值为12+22+32+ (2)故选：C．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．B．9C．D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，原几何体是多面体，底面为边长是2的正方形，侧面BCF⊥底面ABCD，高为1，侧面ABFE与DCFE为全等的直角梯形，侧面AED为等腰三角形．则其表面积S＝＝．故选：A．11．（5分）已知P为抛物线y2＝x上异于原点O的点，PQ⊥x轴，垂足为Q，过PQ的中点作x轴的平行线交抛物线于点M，直线QM交y轴于点N，则＝（）A．B．1C．D．2【解答】解：如图，设P（t2，t），则Q（t2，0），PQ中点H（t2，），M（，），∴直线MQ的斜率为k＝＝，则直线MQ的方程为：y＝，令x＝0，可得y N＝，∴＝，故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2x cos x，则下列关于f（x）的表述正确的是（）A．f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）的最小值为﹣1C．f（x）有4个零点D．f（x）有无数个极值点【解答】解：对于A，f（x）≠f（﹣x），故A错误；对于B，问题转化为x2+1＝2x cos x有解，即x+＝2cos x有解，（x+）min＝2，当x＝1时，2cos1＜2，故方程无解，故B错误；对于C，问题等价于x＝2cos x有3个解，而方程只有2个解，故C错误；对于D，f′（x）＝2x﹣2（cos x﹣x sin x）＝2x（1+sin x）﹣2cos x，结合题意2x（1+sin x）﹣2cos x＝0，即x＝，而＝tan（），∴f（x）有无数个极值点，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知＝（﹣1，1），＝（1，﹣2），则（+2）•＝﹣4．【解答】解：由＝（﹣1，1），＝（1，﹣2），得＝（﹣1，1）+（2，﹣4）＝（1，﹣3），∴（+2）•＝（1，﹣3）•（﹣1，1）＝﹣1﹣3＝﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最小值是﹣5．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；由图形知，当目标函数z＝2x+3y过点A时，z取得最小值；由，求得A（﹣1，﹣1）；∴z＝2x+3y的最小值是2×（﹣1）+3×（﹣1）＝﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知双曲线C：（m＞0），则C的离心率的取值范围是（1，）．【解答】解：根据题意，双曲线C的方程为：（m＞0），则有1﹣m＞0，则0＜m＜1，则c2＝（1+m）+（1﹣m）＝2，即c＝，a＝，则双曲线的离心率e＝＝，又由0＜m＜1，则有1＜e＜，即C的离心率的取值范围是（1，）；故答案为：（1，）．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是2．【解答】解：根据题意，△ABC中，若，则有ab sin C＝，变形可得：2ab sin C＝a2+b2﹣2ab cos C，则有＝2（sin C+cos C）＝2sin（C+），即＝2sin（C+），分析可得：当C＝时，sin（C+）取得最大值，则有≤2，即的最大值是2；故答案为：2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知数列{a n}是以1为首项的等差数列，数列{b n}是以q（q≠1）为公比的等比数列，且a2＝b1，a3﹣a1＝b2﹣b1，a2b2＝b3．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）若S n＝a1b n+a2b n﹣1+…+a n﹣1b2+a n b1，求S n．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的首项为b1，则a n＝1+（n﹣1）d，b n ＝b1q n﹣1．依题意可得，解得d＝1，b1＝2，q＝2，所以a n＝n，b n＝2n．（2）S n＝1×2n+2×2n﹣1+…+n×21，①所以2S n＝1×2n+1+2×2n+…+n×22，②②﹣①可得，S n＝2n+1+（2n+2n﹣1+…+22）﹣n×21＝2n+1﹣2n+＝2n+2﹣2n﹣4．18．（12分）某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元．销售宗旨是当天进货当天销售．如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元．根据以往的销售情况，按[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图计算该种鲜鱼日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了300公斤这种鲜鱼，假设当天的需求量为x公斤（0≤x≤500），利润为Y元．求Y关于x的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润Y不小于700元的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图得该种鲜鱼日需求量的平均数：＝50×0.0010×100+150×0.0020×100+250×0.0030×100+350×0.0025×100+450×0.0015×100＝265．…（4分）（Ⅱ）当日需求量不低于300公斤时，利润Y＝（20﹣15）×300＝1500元；当日需求量不足300公斤时，利润Y＝（20﹣15）x﹣（300﹣x）×3＝8x﹣900元；故Y＝…（8分）由Y≥700得，200≤x≤500，所以P（Y≥700）＝P（200≤x≤500）＝0.0030×100+0.0025×100+0.0015×100＝0.7．…（12分）19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1B1C⊥平面AA1C1C，∠BAC＝90°．（1）证明：AC⊥CA1；（2）若△A1B1C是边长为2的等边三角形，求点B1到平面ABC的距离．【解答】证明：（1）过点B1作A1C的垂线，垂足为O，由平面A1B1C⊥平面AA1C1C，平面A1B1C∩平面AA1C1C＝A1C，得B1O⊥平面AA1C1C，又AC⊂平面AA1C1C，得B1O⊥AC．由∠BAC＝90°，AB∥A1B1，得A1B1⊥AC．又B1O∩A1B1＝B1，得AC⊥平面A1B1C．又CA1⊂平面A1B1C，得AC⊥CA1．…（6分）解：（2）因为AB∥A1B1，AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，所以A1B1∥平面ABC，所以B1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离，设其为d，由V A1﹣ABC ＝V B﹣AA1C得，××AC×AB×d＝××AC×A1C×B1O，所以d＝B1O＝．即点B1到平面ABC的距离为．…（12分）20．（12分）已知椭圆Γ：（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，长轴长为，B为直线l：x＝﹣3上的动点，M（m，0）（m＜0），AM⊥BM．当AB⊥l时，M与F重合．（1）若椭圆Γ的方程；（2）若C为椭圆Γ上一点，满足AC∥BM，∠AMC＝60°，求m的值．【解答】解：（1）根据题意，椭圆的长轴长为，则a＝，又由左焦点为F，上顶点为A，则A（0，b），F（﹣c，0），当AB⊥l时，B（﹣3，b），由AF⊥BF得k AF•k BF＝•＝﹣1，又b2+c2＝6．解得c＝2，b＝．所以，椭圆Γ的方程为+＝1；（2）由（1）得A（0，），所以k AM＝﹣，又AM⊥BM，AC∥BM，所以k BM＝k AC＝，所以直线AC的方程为y＝x+，y＝x+与+＝1联立得（2+3m2）x2+12mx＝0，所以x C＝，|AM|＝，|AC|＝•（m＜0），在直角△AMC中，由∠AMC＝60°得，|AC|＝|AM|，整理得：（m+）2＝0，解得m＝﹣．21．（12分）已知函数，﹣lnx﹣x+a．（1）求f（x）的最大值；（2）若曲线y＝g（x）与x轴相切，求a的值．【解答】解：（1）根据题意，，则f′（x）＝，当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故x＝1时，f（x）取得最大值f（1）＝；（2）因为g′（x）＝e x﹣1+﹣﹣1，设切点为（t，0），则g′（t）＝0，且g（t）＝0，即e t﹣1+﹣﹣1＝0，e t﹣1﹣﹣lnt﹣t+a＝0，所以a＝+lnt+t﹣e t﹣1．令h（x）＝e x﹣1+﹣﹣1，由（1）得f（x）≤，所以≤，即e x﹣1≥x，等号当且仅当x＝1时成立，所以h（x）≥x+﹣﹣1＝≥0，等号当且仅当x＝1时成立，所以当且仅当x＝1时，h（x）＝0，所以t＝1，则a＝1+ln1+1﹣e1﹣1＝1，解可得a＝1；故a＝1．（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣1）2+y2＝1，圆C2：（x﹣3）2+y2＝9．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）设曲线C3：（t为参数且t≠0），C3与圆C1，C2分别交于A，B，求的最大值．【解答】解：（1）∵圆C1：（x﹣1）2+y2＝1，∴x2+y2﹣2x＝0，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得：C1：ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρcosθ＝0，∴C1的极坐标方程为：ρ＝2cosθ；∵圆C2：（x﹣3）2+y2＝9．∴C2：ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣6ρcosθ+9＝9，∴C2的极坐标方程ρ＝6cosθ．…（4分）（2）依题意得|AB|＝6cosα﹣2cosα＝4cosα，﹣＜α＜，C2（3，0）到直线AB的距离d＝3|sinα|，∴＝×d×|AB|＝3|sin2α|，故当α＝±时，取得最大值3．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|﹣|x|的最大值为m．（1）求m的值；（2）若正实数a，b满足a+b＝m，求的最小值．【解答】解：（1）|x+1|﹣|x|≤|x+1﹣x|＝1；∴f（x）的最大值为1；∴m＝1；（2）由（1）可知，a+b＝1；∴（或运用柯西不等式≥[•+•）2＝，当且仅当a＝b＝时取等号）＝＝（a+b）2＝；当且仅当a＝b＝时取等号；即的最小值为．。
河北省唐山市2018年高三年级第三次模拟考试文科数学
河北省唐山市2018年高三年级第三次模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1. 若复数满足，则的实部为（）A. 3B.C. 4D.2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.3. 若函数，则（）A. 1B. 4C. 0D.4. 甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个1元，一个5元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为（）A. B. C. D.5. 一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A. B. C. D.6. 设等差数列的前项和为，若，，则（）A. 1B. 0C.D. 47. 一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的，则输出的结果（）A. 4B.C.D.8. 已知双曲线的右顶点为，过右焦点的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，则（）A. B. C. D.9. 下列命题正确的是（）A. 若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行B. 若一直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行 10. 已知为锐角，且，则（）A. B. C. D.11. 已知为单位向量，则的最大值为（）A. B. C. 3 D.12. 已知函数，若，，，则（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数y =的定义域为 ．14.平行四边形ABCD 中，AB AC DB λμ=+，则λμ+= ． 15.在ABC ∆中，8AB =，7BC =，5AC =，则AB 边上的高是 ．16.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，上、下顶点分别为A ，B ，直线AF 交Γ于另一点M ，若直线BM 交x 轴于点(12,0)N ，则Γ的离心率是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，111a b ==，3214a b =，325a b -=．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．18.共享单车的出现方便了人们的出行，深受我市居民的喜爱．为调查某校大学生对共享单车的使用情况，从该校8000名学生中按年级用分层抽样的方式随机抽取了100位同学进行调查，得到这100名同学每周使用共享单车的时间（单位：小时）如表：（Ⅰ）已知该校大一学生由2400人，求抽取的100名学生中大一学生人数； （Ⅱ）作出这些数据的频率分布直方图；（Ⅲ）估计该校大学生每周使用共享单车的平均时间t （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．19.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD DC ⊥，2AD DC PA ===，4BC =，E 为PA 的中点，M 为棱BC 上一点．（Ⅰ）当BM 为何值时，有//EM 平面PCD ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点P 到平面DEM 的距离．20.已知ABC ∆的顶点(1,0)A ，点B 在x 轴上移动，||||AB AC =，且BC 的中点在y 轴上． （Ⅰ）求C 点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知过(0,2)P -的直线l 交轨迹Γ于不同两点M ，N ，求证：(1,2)Q 与M ，N 两点连线QM ，QN 的斜率之积为定值． 21.已知函数()ln 1af x x x=+-的图象与x 轴相切． （Ⅰ）求证：2(1)()x f x x-≤；（Ⅱ）若1x <<21(1)log 2b x b x -->．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22(12sin )3ρθ+=．（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线1C 与曲线2C 相交于A ，B 两点，点(1,0)M ，求||||||MA MB -． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||1|f x x x =-++，P 为不等式()4f x >的解集. （Ⅰ）求P ；（Ⅱ）证明：当m ，n P ∈时，|4|2||mn m n +>+.试卷答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1. 若复数满足，则的实部为（）A. 3B.C. 4D.【答案】D2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】。
2018年唐山市高三年级高考一模数学文科试卷及解析
87,80 和 92,90 ， 84,85 和 100,95 ， 100,95 和 92,90 共有 6 个，
7
2018 年唐山市高三年级高考一模数学文科试卷及解析
则 5 次考试，任取 2 次，恰有一次两人“实力相当”的概率为
63 ，
10 5
另法：这 5 次考试中，分数差的绝对值分别为 13，7，1，5，2，则从中任取两次，
）
2
2018 年唐山市高三年级高考一模数学文科试卷及解析
A． 3 6 2 2 6
B ． 3 6 2 4 6 C.
63 46
D． 5 3 4 6
10. 已知向量 a sin 4 x ,cos 4 x ，向量 b 1,1 ，函数 f x a b ，则下列说法正
2
2
确的是（ ）
A． f x 是奇函数
B ． f x 的一条对称轴为直线 x 4
ac cosB a2 b2 7 bc ，则 B
．
4
三、解答题 ：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 第 17-21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答 . 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 . （一）必考题：共 60 分 .
17. 已知数列 an 满足： 2an an 1 an 1 n 2, n N ，且 a1 1,a2 2 .
分差绝对值的情况为 13,7 , 13,1 , 13,5 , 13,2 , 7,1 , 7,5 , 7,2 , 1,5 , 1,2 , 5,2
共 10 种，
其中符合条件的情况有 13,1 , 13,2 , 7,1 , 7,2 , 1,5 , 5,2 共 6 种情况，
则 5 次考试，任取 2 次，恰有一次两人“实力相当”的概率为
河北省唐山市2018届高三数学摸底考试文试题 含答案
文科数学 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()1,,2,1a t b ==-，若//a b ，则t =（ ） A ．-2 B ．12-C ．2D ．122.已知集合{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，则满足条件的集合A 的个数是（ ） A ．8 B ．7 C ．4 D ．33.在等比数列{}n a 中，13524621,42a a a a a a ++=++=，则9S =（ ） A ．255 B ．256 C ．511 D ．5124.设函数(),y f x x R =∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 要得到函数()sin 2,x f x x R =∈的图像，只需将函数()cos2,g x x x R =∈的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向右平移2π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位6.若,x y 满足约束条件302010x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．0C ．-3D ．-57.已知12,F F 是双曲线2214x y -=的两个焦点，P 在双曲线上，且满足01290F PF ∠=，则12F PF ∆的面积为（ ）A ．1 B．2C ．2 D8.执行如图所示的程序框图，若输入1,2a b ==，则输出的x =（ ）A ．1.25B ．1.375C ．1.41825D ． 1.43759.设0x是方程13x⎛⎫= ⎪⎝⎭0x 所在的范围是（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭ D ． 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭10.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．83B ．3 C．6+．6+11.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4,,,PA AB E F H ==分别是棱,,PB BC PD 的中点，则过,F,H E 的平面分别交直线,CD PA 于,M N 两点，则PM CN +=（ ）A ．6B ．4C ．3D ．212.设函数()3235f x x x ax a =--+-，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．15,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．13,32⎛⎤⎥⎝⎦ D ．53,42⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13.已知复数z 满足()14i z i -=，则z =___________． 14.若1tan 2θ=，则cos 2θ=__________． 15.已知抛物线24x y =与圆()()()222:120C x y r r -+-=>有公共点P ，若抛物线在P 点处的切线与圆C 也相切，则r =_________．16.如图，在平面四边形ABCD中，8,5,AB AD CD ===0060,150A D ∠=∠=，则BC =_________．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.其中（17）--（21）题必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1015110,240S S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令112n nn n n a a b a a ++=+-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,ABCD BC PB PC ⊥与平面ABCD 所成角的正切值为2，BCD ∆为等边三角形，,PA AB AD E ==为PC 的中点．（1）求AB ；（2）求点E 到平面PBD 的距离． 19.（本小题满分12分）某班一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为[)[)[)[]70,90,90,110,110,130,130,150，已知成绩大于等于90分的人数为36人，现采用分层抽样的方式抽取一个容量为10的样本．（1）求每个分组所抽取的学生人数；（2）从数学成绩在[]110,150的样本中任取2人，求恰有1人成绩在[)110,130的概率． 20.（本小题满分12分）如图，过椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足为左焦点F ，,A B 分别为E 的右顶点，上顶点，且//,1AB OP AF =．（1）求椭圆E 的方程；（2）,C D 为E 上的两点，若四边形ACBD （,C,B,D A 逆时针排列）的对角线CD 所在直线的斜率为1，求四边形ACBD 面积S 的最大值． 21.（本小题满分12分） 已知函数()1ln f x x x=+． （1）求()f x 的最小值；（2）若方程()f x a =有两个根()1212,x x x x <，证明：122x x +>．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆与ABD ∆都是以AB 为斜边的直角三角形，O 为线段AB 上一点，BD 平分ABC ∠，且//OD BC ．（1）证明：,,,A B C D 四点共圆，且O 为圆心；（2）AC 与BD 相交于点F ，若26,5BC CF AF ===，求,C D 之间的距离． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程是2ρ=．矩形ABCD 内接于曲线 1C ，,A B 两点的极坐标分别为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭和52,6π⎛⎫⎪⎝⎭．将曲线1C 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线2C ．（1）写出,C D 的直角坐标及曲线2C 的参数方程；（2）设M 为2C 上任意一点，求2222MA MB MC MD +++的取值范围． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()11f x x mx =++-．（1）若1m =，求()f x 的最小值，并指出此时x 的取值范围； （2）若()2f x x ≥，求m 的取值范围．唐山市2018—2018学年度高三年级摸底考试文科数学参考答案一、选择题：A 卷： BDCBA CACDB CB B 卷： BACBD CADDA CB 二、填空题： （13）2 2 （14）3 5（15） 2 （16）7三、解答题： （17）解：（Ⅰ）设公差为d ，依题意有⎩⎨⎧10a 1＋10 92d ＝110，15a 1＋15 142d ＝240．解得，a 1＝d ＝2． 所以，a n ＝2n ．…6分（Ⅱ）b n ＝2n ＋22n ＋2n 2n ＋2－2＝n ＋1n ＋n n ＋1－2＝ 1 n －1n ＋1，T n ＝1－1 2＋ 1 2－ 1 3＋ 1 3－ 1 4＋…＋ 1 n －1n ＋1＝n n ＋1． (12)分 （18）解：∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ， 又∵BC ⊥PB ，PB ∩PA ＝P ，∴BC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ， ∴BC ⊥AB ．∵△BCD 为等边三角形，AB ＝AD ， ∴∠ACB ＝30°，又Rt △ACB 中，AC ＝4． ∴AB ＝AC sin 30°＝2．…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，PB ＝PD ＝BD ＝BC ＝CD ＝23， ∴S △PBD ＝S △BCD ．设点E 到平面PBD 的距离为h ，∵E 为PC 中点，∴点C 到平面PBD 的距离为2h ．由V C -PBD ＝V P -BCD 得 1 3S △PBD ·2h ＝ 13S △BCD ·PA ，解得h ＝2．…12分（19）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，数学成绩在内的频率分别为0.1，0.4，0.3，0.2． ∴成绩在内的人数之比为 1∶4∶3∶2，∴采用分层抽样的方式抽取一个容量为10的样本，成绩在内所抽取的人数分别为1，4，3，2．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从两组抽取人数分别为3人和2人， 记从中抽取的2人分别为B 1，B 2．从这5个人中任取2人，有{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}， {A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共计10种等可能的结果， 其中恰有1人成绩在．…10分（24）解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2， 当且仅当(x ＋1)(x －1)≤0时取等号． 故f (x )的最小值为2，此时x 的取值范围是．…5分（Ⅱ）x ≤0时，f (x )≥2x 显然成立，所以此时m ∈R ；x ＞0时，由f (x )＝x ＋1＋|mx －1|≥2x 得|mx －1|≥x －1．由y＝|mx－1|及y＝x－1的图象可得|m|≥1且1m≤1，解得m≥1，或m≤－1．综上所述，m的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞)．…10分。
河北唐山2019高三一考试试-数学文
河北唐山2019高三一考试试-数学文唐山市2018—2018学年度高三年级第一次模拟考试文科数学(6)函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 的图象如(10)己知直线l 的斜率为k ,它勾抛物线y 2=4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，假设FB AF 2=，那么|k|=(11)x 0函数f(x)=2sinx —πlnx(x ∈(O,π))的零点，x 1<x 2,那么 ①x 0∈(1,e) ②x 0∈(1,π)：③f(x1)-f(x2)<0 ④f(x1)-f(x2)>0. 其中正确的命题为(A)①③ (B)①④(C)②③)(D )②④(12)如图I,边长为2的d 正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB,BC 的中点，将ΔADE ，ΔCDF ，ΔBEF 折起，使A ，C,B 二点重合于G,所得二棱锥G-D E F 的俯视图如图2,那么其正视图的面积为第II 卷【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分,把答案填写在题中横线上.离为L 那么C 的方程为_______(15)某单位为了了解每天用电量y(度〕与当天最高气温x(0C)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的最高气温，并制作了对比表.由表中数据得线性回归方程为a x y+-=2.3，那么a＝_______某公司共冇职工8000名，从中随机抽取了100名，调杏上、下班乘车所用时间，得下表：公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y(元〕与乘市时间如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 丄底面ABCD,.090=∠APD (I)求证：平面PAB 丄平面PCD的体积.(20)(本小题总分值12分〕轴.己知曲线C 1的极坐标方程为p=4cos θ曲线C 2的参数方程是⎩⎨⎧=+=a t y at m x sin cos 〔t 为参数，(I)当a=3时，解不等式4)(≤x f ;(II)当)1,2(-∈x )时，f(x)>|2x-a-1|.求a 的取值范围唐山市2018—2018学年度高三年级第一次模拟考试文科数学参考答案一、选择题：A 卷：CAADB CBCDA BB B 卷：BBADC DCCABBA【二】填空题：〔13〕(1，＋∞)〔14〕x 22－y 2＝1〔15〕53.2〔16〕78【三】解答题： 〔17〕解：〔Ⅰ〕设a n ＝a 1q n －1，依题意，有⎩⎨⎧a 1a 2＝a 21q ＝－13，a 3＝a 1q 2＝ 19，解得a 1＝1，q ＝－ 13、 …4分因此a n ＝(－13)n －1、 …5分〔Ⅱ〕b n ＝n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n (n ＋1)＝(n ＋1)[11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)]＝(n ＋1)[(1－1 2)＋( 1 2－ 1 3)＋…＋( 1 n －1n ＋1)]＝n 、…7分记数列{b na n }的前n 项的和为S n ，那么S n ＝1＋2×(－3)＋3×(－3)2＋…＋n ×(－3)n －1， －3S n ＝－3＋2×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋n ×(－3)n ，两式相减，得4S n ＝1＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ×(－3)n ＝1－(－3)n4－n ×(－3)n ， 故S n ＝1－(4n ＋1)(－3)n 16、…12分〔18〕解：〔Ⅰ〕当0≤t ＜60时，y ≤300、记事件“公司1人每月用于路途补贴不超过300元”为A 、…2分 那么P (A )＝25100＋50100＋15100＝0.9、…6分〔Ⅱ〕依题意，公司一名职工每月的平均路途补贴为x -＝200×25＋240×50＋280×15＋320×5＋360×5100＝246〔元〕…10分该公司每月用于路途补贴的费用总额约为246×8000＝1968000〔元〕、 …12分 〔19〕解：〔Ⅰ〕因为四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，因此CD ⊥AD ， 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，因此CD ⊥PA 、又∠APD ＝π2，即PA ⊥PD ，而CD ∩PD ＝D ，因此PA ⊥平面PCD 、因为PA ⊂平面PAB ，因此平面PAB ⊥平面PCD 、 …4分〔Ⅱ〕如图，作PO ⊥AD ，垂足为O ，那么PO ⊥平面ABCD 、 连结OB ，OC ，那么PO ⊥OB ，PO ⊥OC 、因为PB ＝PC ，因此Rt △POB ≌Rt △POC ，因此OB ＝OC 、依题意，ABCD 是边长为2的正方形，由此知O 是AD 的中点、 …7分 在Rt △OAB 中，AB ＝2，OA ＝1，OB ＝5、 在Rt △OAB 中，PB ＝6，OB ＝5，PO ＝1、…10分 故四棱锥P -ABCD 的体积V ＝ 1 3AB 2·PO ＝ 43、…12分〔20〕解：〔Ⅰ〕由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0、由于l 与C 1有唯一的公共点A ，故Δ1＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝0， 从而m 2＝1＋4k 2、 ① …2分由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝r 2，y ＝kx ＋m ，得(1＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－r 2＝0、由于l 与C 2有唯一的公共点B ，故Δ2＝4k 2m 2－4(1＋k 2)(m 2－r 2)＝0，从而m 2＝r 2(1＋k 2)、 ② …4分由①、②〕得k 2＝r 2－14－r 2、由k 2≥0，得1≤r 2＜4，因此r 的取值范围是[1，2)、 …6分〔注：由图形直截了当看出r 取值范围而未做代数推理的只给1分〕 〔Ⅱ〕设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由〔Ⅰ〕的解答可知 x 1＝－4km 1＋4k 2＝－4k m ，x 2＝－km 1＋k 2＝－kr2m 、|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·k 2(4－r 2)2m 2＝1＋k 2m 2·k 2·(4－r 2)2＝1r 2·r 2－14－r 2·(4－r 2)2＝(r 2－1)(4－r 2)r 2， 因此|AB |2＝5－(r 2＋4r 2)〔1≤r ＜2〕、…10分因为r 2＋4r 2≥2×2＝4，当且仅当r ＝2时取等号，因此当r ＝2时，|AB |取最大值1，如今C 2的方程为x 2＋y 2＝2、 …12分〔21〕解：ABCDPO〔Ⅰ〕f '(x )＝－mx ＋n －me x、依题意，f (1)＝e －1，f '(1)＝0，即⎩⎨⎧(m ＋n )e －1＝e －1，－n e －1＝0，解得m ＝1，n ＝0、 …4分因此f (x )＝xe x 、f '(x )＝－x －1e x 、当x ∈(－∞，1)时，f '(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f '(x )＜0、…6分函数f (x )在(－∞，1)单调递增；在(1，＋∞)单调递减、〔Ⅱ〕设g (x )＝f (1＋x )－f (1－x )＝1＋x e 1＋x －1－x e 1－x ＝(1＋x )e －x －(1－x )e xe 、 …8分 设h (x )＝(1＋x )e －x－(1－x )e x＝1＋xe x －(1－x )e x ，那么h '(x )＝x (e 2x －1)ex＞0，h (x )在(0，＋∞)单调递增，h (x )＞h (0)＝0， …10分因此g (x )＞0，从而f (1＋x )＞f (1－x )、 …12分 〔22〕解：〔Ⅰ〕连结OD ，那么OA ＝OD ，因此∠OAD ＝∠ODA 、因为∠EAD ＝∠OAD ，因此∠ODA ＝∠EAD 、 …2分 因为∠EAD ＋∠EDA ＝90︒，因此∠EDA ＋∠ODA ＝90︒，即DE ⊥OD 、因此DE 是圆O 的切线、 …4分〔Ⅱ〕因为DE 是圆O 的切线，因此DE 2＝EA ·EB ， 即62＝3(3＋AB )，因此AB ＝9、…6分因为OD ∥MN ， 因此O 到MN 的距离等于D 到MN 的距离，即为6 又因为O 为AC 的中点，C 到MN 的距离等于12 …8分故△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ＝54、…10分〔23〕解：〔Ⅰ〕依题意，|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos (φ＋π4)，|OC |＝4cos (φ－ π 4)，…2分那么|OB |＋|OC |＝4cos (φ＋π4)＋4cos (φ－ π 4)＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ)＝42cos φ， ＝2|OA |、…5分ABCDE OM N〔Ⅱ〕当φ＝π12时，B ，C 两点的极坐标分别为(2， π 3)，(23，－ π 6)、化为直角坐标为B (1，3)，C (3，－3)、 …7分 C 2是通过点(m ，0)，倾斜角为α的直线，又通过点B ，C 的直线方程为y ＝－3(x －2)，…9分 因此m ＝2，α＝2π3、…10分〔24〕解：〔Ⅰ〕当a ＝3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ，x ≤1，2，1≤x ≤3，2x －4，x ≥3．当x ＜2时，由f (x )≤4得4－2x ≤4，解得x ≥0；当1≤x ≤3时，f (x )≤4恒成立；当x ＞3时，由f (x )≤4得2x －4≤4，解得x ≤4、 …4分 因此不等式f (x )≤4的解集为{x |0≤x ≤4}、 …5分〔Ⅱ〕因为f (x )＝|x －a |＋|x －1|≥|x －a ＋x －1|＝|2x －a －1|， 当(x －1)(x －a )≥0时，f (x )＝|2x －a －1|；当(x －1)(x －a )＜0时，f (x )＞|2x －a －1|、 …7分 记不等式(x －1)(x －a )＜0的解集为A ，那么(－2，1)⊆A ，故a ≤－2， 因此a 的取值范围是(－∞，－2]、…10分。
2018-2019学年度唐山市高三年级第三次模拟考试文科数学(含答案)
2018-2019学年度唐山市高三年级第三次模拟考试文科数学（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答．．．．．．．题卷上．．．） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}02A x x =<<，{}21B x x =<，则A B =（ ）A.()0,1B.()1,2-C.()1,1-D.(][),12,-∞-+∞2.已知i 为虚数单位，()11z i i -=+，则复数z 的共轭复数为（ ） A.i -B.iC.2iD.2i -3.某校有高级教师90人，一级教师120人，二级教师75人，现按职称用分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为（ ） A.10B.12C.16D.184.若变量,x y 满足约束条件1021010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A.4B.1-C.2-D.3-5.执行下图程序框图，若输出2y =，则输入的x 为（ ）A.1-或2±B.1±C.1或2D.1-或26.已知平面α⊥平面β，则“直线m ⊥平面α”是“直线m ∥平面β”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.等差数列{}n a 的前11项和1188S =，则369a a a ++=（ ） A.18B.24C.30D.328.函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 满足（ ）A.在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B.图象关于直线6x π=对称C.332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭D.当512x π=时有最小值1- 9.函数()2ln f x x x =的图象大致为（ ）ABCD10.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A.4B.8C.43D.8311.在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为224x y +=，直线l 的方程为()2y k x =+，若在圆O 上至少存在三点到直线l 的距离为1，则实数k 的取值范围是（ ） A.3⎡⎢⎣⎦B.33⎡⎢⎣⎦C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知函数()32f x x ax bx =++有两个极值点12,x x ，且12x x <，若1022x x x +=，函数()()()0g x f x f x =-，则()g x （ ） A.仅有一个零点 B.恰有两个零点 C.恰有三个零点D.至少两个零点第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()4,x =-a ，()1,2=b ，若⊥a b ，则x = ．14.已知双曲线Γ过点(3，且与双曲线2214x y -=有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为 ．15.直线ABC △的三个顶点都在球O 的球面上，2AB AC ==，若球O 的表面积为12π，则球心O 到平面ABC 的距离等于 ．16.{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是公比为正数的等比数列，111a b ==，43a b =，84a b =，则数列{}n n a b 的前n 项和等于 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，cos a b b C -=. （1）求证：sin tan C B =；（2）若1a =，2b =，求c .18.某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”. （1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动. （i ）共有多少种不同的抽取方法？（ii ）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.19.如图，平行四边形ABCD 中，24BC AB ==，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别为BC ，PE 的中点.（1）求证：AF ⊥平面PED ； （2）求点C 到平面PED 的距离.20.已知椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>经过点13,2M ⎫⎪⎭3.（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点M 在x 轴上的射影为点N ，过点N 的直线l 与椭圆Γ相交于A ，B 两点，且30NB NA +=，求直线l 的方程.21.已知函数()x f x e =，()ln g x x a =+. （1）设()()h x xf x =，求()h x 的最小值；（2）若曲线()y f x =与()y g x =仅有一个交点P ，证明：曲线()y f x =与()y g x =在点P 处有相同的切线，且52,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.22.点P 是曲线()221:24C x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90︒得到点Q ，设点Q 的轨迹方程为曲线2C . （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，定点()2,0M ，求MAB △的面积.23.已知函数()21f x x a x =++-. （1）若1a =，解不等式()5f x ≤；（2）当0a ≠时，()1g a f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求满足()4g a ≤的a 的取值范围.2018-2019学年度唐山市高三年级第三次模拟考试文科数学参考答案一．选择题：BACCD DBDAC BA 二．填空题： （13）2 （14）22128y x -=（15）1（16）()121n n -+三．解答题：（17）解：（Ⅰ）由cos a b b C -=根据正弦定理得sin sin sin cos A B B C -=，即()sin sin sin cos B C B B C +=+，sin cos cos sin sin sin cos B C B C B B C +=+，sin cos sin C B B =， 得sin tan C B =．（Ⅱ）由cos a b b C -=，且1a =，2b =，得1cos 2C =-，由余弦定理，22212cos 1421272c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以c = （18）解：（Ⅰ）设该校900名学生中“读书迷”有x 人，则730900x=，解得210x =. 所以该校900名学生中“读书迷”约有210人.（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为35a ，38a ，41a ，抽取的女“读书迷”为 34b ，36b ，38b ，40b (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：()3534,a b ，()3536,a b ，()3538,a b ，()3540,a b ， ()3834,a b ，()3836,a b ，()3838,a b ，()3840,a b ， ()4134,a b ，()4136,a b ，()4138,a b ，()4140,a b ，所以共有12种不同的抽取方法．（ⅱ）设A 表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”， 则事件A 包含()3534,a b ，()3536,a b ，()3836,a b ，()3838,a b ，()3840,a b ，()4140,a b 6个基本事件，所以所求概率()61122P A ==． （19）解：（Ⅰ）连接AE ，在平行四边形ABCD 中，PF DCBA24BC AB ==，60ABC ∠=︒，∴2AE =，ED =222AE ED AD +=， ∴AE ED ⊥．∵PA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，∴PA ED ⊥， 又∵PA AE A =，∴ED ⊥平面PAE ，AF ⊂平面PAE 从而有ED AF ⊥．又∵2PA AE ==，F 为PE 的中点， ∴AF PE ⊥，又∵PE ED E =， ∴AF ⊥平面PED ．（Ⅱ）设点C 到平面PED 的距离为d ，在Rt PED △中，PE =ED =，∴PED S =△． 在ECD △中，2EC CD ==，120ECD ∠∠=︒，∴ECD S =△由C PED P ECD V V --=得，1133PED ECD S d S PA ⋅=⋅△△，∴ECD PED S PA d S ⋅==△△．所以点C 到平面PED的距离为2．（20）解：（Ⅰ）由已知可得223114a b+==，解得2a =，1b =， 所以椭圆Γ的方程为2214x y +=．（Ⅱ）由已知N的坐标为)，当直线l 斜率为0时，直线l 为x 轴，易知30NB NA +=不成立． 当直线l 斜率不为0时，设直线l的方程为x my =代入2214x y +=，整理得，()22410m y ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y 则12y y +，①12214y y m -=+，② 由30NB NA +=，得213y y =-，③由①②③解得m = 所以直线l的方程为2x y =，即y x =． （21）解：（Ⅰ）()()'1x h x x e =+，当1x <-时，()'0h x <，()h x 单调递减； 当1x >-时，()'0h x >，()h x 单调递增，故1x =-时，()h x 取得最小值1e-．（Ⅱ）设()()()ln xt x f x g x e x a =-=--，则()()11'0x xxe t x e x x x -=-=>，由（Ⅰ）得()1x T x xe =-在()0,+∞单调递增，又102T ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10T >，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00T x =，所以当()00,x x ∈时，()'0t x <，()t x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()'0t x >，()t x 单调递增， 所以()t x )的最小值为()000ln 0x t x e x a =--=，由()00T x =得001x e x =，所以曲线()y f x =与()y g x =在P 点处有相同的切线， 又00ln x a e x =-，所以001a x x =+， 因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以52,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（22）解：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．设(),Q ρθ，则,2P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．所以，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（Ⅱ）M 到射线3πθ=的距离为2sin3d π==)4sin cos 2133B A AB ππρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则132S AB d =⨯=（23）解：（Ⅰ）()21f x x x =++-,所以表示数轴上的点x 到2-和1的距离之和， 因为3x =-或2时()5f x =，依据绝对值的几何意义可得()5f x ≤的解集为{}32x x -≤≤． （Ⅱ）()1121g a a a a=++-， 当0a <时，()2215g a a a =--+≥，等号当且仅当1a =-时成立，所以()4g a ≤无解；当01a <≤时，()221g a a a=+-，由()4g a ≤得22520a a -+≤，解得122a ≤≤，又因为01a <≤，所以112a ≤≤；当1a >时，()214g a a =+≤，解得312a <≤，综上，a 的取值范围是13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
河北唐山2019高三9月摸底考试-数学(文)word版
河北唐山2019高三9月摸底考试-数学（文）word 版唐山市2018-2018学年度高三年级摸底考试文科数学第I 卷【一】选择题〔共60分〕 〔1〕复数3322ii i i+---+的虚部为 (A 〕2i 〔B 〕－2i 〔C 〕2〔D 〕－2 (2)设集合U ＝AUB,A={1，2，3}，AB={1}，那么UC B ＝〔A 〕{2}(B){3}(C){1，2，3}(D){2，3} (3)x ，y 满足1133x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，那么z=2x －y 的最大值为(A)2(B)1(C)－1(D)3 (4)双曲22212x y a -＝1的离心串为2，那么该双曲线的实轴长为 〔A 〕2〔B 〕(5)假设tnn θ=2，那么cos2θ＝ 〔A 〕45〔B 〕－45〔C 〕35〔D 〕－35(6〕以下函数中，既是偶函数，又在区间(0.3)内是增函数的是 (A)y=22x x -+(B)y=coss (C 〕y=0.5log||x (D)y=x ＋x －1(7)在三棱锥P －ABC 中，PA ＝侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，那么该三棱锥外接球的体积为〔A 〕π(B)3π(C)4π〔D)43π(8)要得到函数sin()3y x π=-的图象，只需将函数sin()6y x π=-的图象(A)向左平移6π个单位(B)向右平移6π单位(C)向左平移2π个单位(D 向右平移2π个单位(9〕空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为〔A 〕8＋B 〕6＋〔C 〕8＋B 〕6＋(10〕一名小学生的年龄和身高〔单位：cm) 的数据如下： 年龄x 6 7 8 9身高y 118 126 136144由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归直线方程为8.8y x a=+，预测该学生10岁时的身高为(A)154.(B)153(C)152(D)151 参考公式：回归直线方程是：,y bx a a y bx=+=-(11)己知△ABC 的外心、重心、垂心分别为O ，G ，H ，假设OH OG λ=，那么λ= 〔A 〕13〔B 〕12〔C 〕3〔D 〕2(12)定义在R 上的函数f 〔x 〕满足f 〔x ＋1〕＝－f 〔x 〕。
唐山市2018-2019学年度高三年级第二次模拟考试文科数学答案
唐山市2018—2019学年度高三年级第二次模拟考试文科数学参考答案一．选择题：A 卷：BDCAA CBDCC ADB 卷：BDCCA CBDCA AD 二．填空题： 13．714．－51315．2n －1 16．55三．解答题： 17．解：（1）因为2c ＝3a ＋2b cos A ，所以由正弦定理可得：2sin C ＝3sin A ＋2sin B cos A ，所以2sin C ＝2(sin A cos B ＋cos A sin B )＝3sin A ＋2sin B cos A ， 即2sin A cos B ＝3sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝32． 又0＜B ＜π，故B ＝π6．…6分（2）因为S △ABC ＝12ac sin B ＝14a ＝32，所以a ＝23，由余弦定理可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7， 所以b ＝7． …12分18．解：（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接OA 1， 因为四边形ABCD 为菱形， 所以AC ⊥BD ，从而OA 1⊥BD ，OC ⊥BD ， 又因为OA 1∩OC ＝O ， 所以BD ⊥平面A 1OC ， 因为A 1C ⊂平面A 1OC ， 所以A 1C ⊥BD ． …5分（2）在菱形ABCD 中，OA ＝OC ＝3，又A 1C ＝3，所以△A 1OC 为等边三角形且S △A 1OC ＝334．由（1）可知，BD ⊥平面A 1OC ， 所以V A 1-BCD ＝13S △A 1OC ·BD ＝32．ABCA 1DO在△A 1DC 中，A 1D ＝CD ＝2，A 1C ＝3，S △A 1DC ＝394， 设点B 到平面A 1DC 的距离为d ，由V B -A 1DC ＝V A 1-BCD 得，13S △A 1DC ·d ＝32，所以d ＝61313，即点B 到平面A 1DC 的距离为61313. …12分19．解： （1）-x ＝62.5×5×0.03＋67.5×5×0.05＋72.5×5×0.06＋77.5×5×0.04＋82.5×5×0.02＝71.75．因为抽取的样本中，果径在[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85]的频率分别为0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，所以样本的中位数为70＋13×5≈71.67． …5分（2）由图2可知，果径在80以上的苹果中，特级果、一级果、二级果所占比例约15，12，310， 所以按方案一进行收购，则1kg 的收购价X ≈12×15＋10×12＋9×310＝10.1＞10．故果园种植户应选择第一种收购方案． …12分 （比较两种方案收购总额的大小，同样给分．） 20．解：（1）由已知可得，|PN |＝|PM |，即点P 到定点N 的距离等于到直线l 1的距离， 故P 点的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线， 所以曲线C 的方程为y 2＝4x ． …4分 （2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，直线l 2斜率为k ，显然k ≠0，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x得，k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0， x 1＋x 2＝4－2kmk 2．所以x 0＝x 1＋x 22＝2－km k 2，y 0＝kx 0＋m ＝2k ，即D (2－km k 2， 2k)．因为直线l 2与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ， 所以|DE |2＝6；DE ⊥l 2，从而(2－km k 2－3)2＋(2k )2＝6；2－km k2－3＝－2， 整理可得(2k)2＝2，即k ＝±2．所以m ＝0，故l 2的方程为y ＝2x 或y ＝－2x ． …12分（1）f'(x)＝e x＋a e－x－(a＋1)＝e－x(e x－1)(e x－a)．…1分当a≤0时，e x－a＞0，x∈(－∞，0)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；x∈(0，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增．…2分当0＜a＜1时，x∈(－∞，ln a)和(0，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(ln a，0)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减．…4分当a＝1时，f'(x)≥0，f(x)单调递增．…5分当a＞1时，x∈(－∞，0)和(ln a，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(0，ln a)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减．…7分（2）由（1）得，当a＝1时，f(x)＝e x－e－x－2x，因为f(0)＝0，所以f(x)仅有一个零点0．且x＞0时，f(x)＞f(0)＝0，即e x＞e－x＋2x＞2x．…8分当0＜a＜1时，因为f(0)＝1－a＞0，所以f(x)在(ln a，＋∞)内没有零点，且f(ln a)＞0．由x＞0时e x＞2x，得e2x＞4x2，x＞ln x．所以x＝－4a时，ex＜1，e－x＞16a2，从而－a e－x＜－16a，所以f(－4a)＜1－16a－(a＋1)(－4a)＝5－12a＜0，又ln a＝－ln 1a＞－1a＞－4a，所以f(x)在(－4a，ln a)内有一个零点，所以当0＜a＜1时，f(x)仅在(－4a，ln a)内有一个零点．…10分当a＞1时，当x＝4a时，－a e－x＞－a，e x＝e4a＞16a2，从而f(4a)＞16a2－a－(a＋1)(4a)＝a(12a－5)＞0，又ln a＜a＜4a，所以f(x)在(ln a，4a)内有一个零点，所以当a＞1时，f(x)仅在(ln a，4a)内有一个零点．综上，a＞0时，f(x)有且仅有一个零点．…12分（1）依题意可得，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1；圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4． 所以C 1：x 2＋y 2＝2x ；C 2：x 2＋y 2＝－4x ， 因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以C 1：ρ＝2cos θ；C 2：ρ＝－4cos θ． …4分（2）因为C 1，C 2都关于x 轴对称，△OAB 为等边三角形，所以不妨设A (ρA ，θ)，B (ρB ，θ＋ π 3)，0＜θ＜ π2．依题意可得，ρA ＝2cos θ，ρB ＝－4cos (θ＋π3)． 从而2cos θ＝－4cos (θ＋π3)， 整理得，2cos θ＝3sin θ，所以tan θ＝233，又因为0＜θ＜ π 2，所以cos θ＝217，|AB |＝|OA |＝ρA ＝2217．…10分23．解：（1）因为|ax ＋1|＋|ax －1|≥|(ax ＋1)－(ax －1)|＝2， 等号当且仅当(ax ＋1)(ax －1)≤0时成立， 所以f (x )的最小值为2－2a －4＝－2a －2． 依题意可得，－2a －2≥0， 所以a ≤－1． …4分（2）因为a ＞0，f (x )＝|ax ＋1|＋|ax －1|－2a －4，所以f (x )＝⎩⎨⎧－2ax －2a －4，x ≤－ 1a ，－2a －2，－ 1 a ＜x ＜ 1a，2ax －2a －4，x ≥ 1a．所以y ＝f (x )的图像与x 轴围成的封闭图形为等腰梯形ABCD ，且顶点为A (－1－2a ，0)，B (1＋ 2a ，0)，C (1a ，－2a －2)，D (－ 1a，－2a －2)从而S ＝2(1＋3a )(a ＋1)＝2(a ＋ 3a)＋8． 因为a ＋3a ≥23，等号当且仅当a ＝3时成立，所以当a ＝3时，S 取得最小值43＋8．…10分。
2018年河北省唐山市高考数学一模试卷(文科)
2018年河北省唐山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. (1−i)3i=()A.2−2iB.2+2iC.−2−2iD.−2+2i2. 已知命题p:∃n∈N，3n>2018，则￢p为（）A.∀n∈N，3n≤2018B.∀n∈N，3n>2018C.∃n∈N，3n≤2018D.∃n∈N，3n<20183. 设集合M＝{x|x2−x>0}．N＝{x|1x<1}，则（）A.M⊊NB.N⊊MC.M＝ND.M∪N＝R4. 某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（）A.24B.30C.32D.355. 以角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy，若角θ终边过点P(1, −2)，则sin2θ=()A.3 5B.−35C.45D.−456. 等腰直角三角形ABC中，A=90∘，该三角形分别绕AB，BC所在直线旋转，则2个几何体的体积之比为（）A.1:√2B.√2:1C.1:2D.2:17. 已知a=3−23，b=2−43，c=ln3，则（）A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.b<a<c8. 为了得到函数y=sin(2x−π6)的图象，可以将函数y=sin(2x+π3)的图象（）A.向右平移π2个单位长度B.向右平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度D.向左平移π4个单位长度9. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（）A.求1+3+5+...+(2n−1)B.求1+3+5+...+(2n+1)C.求12+22+32+...+n2D.求12+22+32+...+(n+1)210. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A.5+4√2B.9C.6+5√2D.5311. 已知P为抛物线y2=x上异于原点O的点，PQ⊥x轴，垂足为Q，过PQ的中点作x轴的平行线交抛物线于点M，直线QM交y轴于点N，则|PQ||NO|=()A.2 3B.1C.32D.212. 已知函数f(x)=x2−2xcosx，则下列关于f(x)的表述正确的是（）A.f(x)的图象关于y轴对称B.f(x)的最小值为−1C.f(x)有4个零点D.f(x)有无数个极值点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.已知a→=(−1, 1)，b→=(1, −2)，则(a→+2b→)⋅a→=________．设x，y满足约束条件{x−y≥0x+2y−3≤0x−2y−1≤0，则z=2x+3y的最小值是________．已知双曲线C:x21+m −y21−m=1(m>0)，则C的离心率的取值范围是________．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若S△ABC=c24，则ab+ba的最大值是________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知数列{a n}是以1为首项的等差数列，数列{b n}是以q(q≠1)为公比的等比数列，且a2=b1，a3−a1=b2−b1，a2b2=b3．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）若S n=a1b n+a2b n−1+...+a n−1b2+a n b1，求S n．某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元．销售宗旨是当天进货当天销售．如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元．根据以往的销售情况，按[0, 100),[100, 200),[200, 300),[300, 400),[400, 500]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图计算该种鲜鱼日需求量的平均数x（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；(2)该经销商某天购进了300公斤这种鲜鱼，假设当天的需求量为x公斤(0≤x≤500)，利润为Y元．求Y关于x的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润Y不小于700元的概率．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1B1C⊥平面AA1C1C，∠BAC=90∘．（1）证明：AC ⊥CA 1；（2）若△A 1B 1C 是边长为2的等边三角形，求点B 1到平面ABC 的距离．已知椭圆Γ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为A ，长轴长为2√6，B 为直线l:x =−3上的动点，M(m, 0)(m <0)，AM ⊥BM ．当AB ⊥l 时，M 与F 重合． （1）若椭圆Γ的方程；（2）若C 为椭圆Γ上一点，满足AC // BM ，∠AMC =60∘，求m 的值．已知函数f(x)=xe x ，g(x)=e x−1−1x −lnx −x +a ．（1）求f(x)的最大值；（2）若曲线y =g(x)与x 轴相切，求a 的值． （二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x −1)2+y 2=1，圆C 2：(x −3)2+y 2=9．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求C 1，C 2的极坐标方程；（2）设曲线C 3:{x =tcosαy =tsinα (t 为参数且t ≠0)，C 3与圆C 1，C 2分别交于A ，B ，求S △ABC 2的最大值．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)=|x +1|−|x|的最大值为m ． （1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a +b =m ，求a 2b+1+b 2a+1的最小值．参考答案与试题解析2018年河北省唐山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】(1−i)3i =(1−i)2(1−i)i=−2i(1−i)i=−2+2i．2.【答案】A【考点】命题的否定【解析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题p:∃n∈N，3n>2018，则￢p为：∀n∈N，3n≤2018．3.【答案】C【考点】集合的含义与表示【解析】可分别解不等式x2−x>0和1x<1，从而可判断集合M，N的关系．【解答】解x2−x>0得，x<0或x>1；解1x<1得，x>1，或x<0；∴M＝N．4.【答案】C【考点】个体、总体、样本、样本容量概念及区分扇形统计图【解析】本题考查的知识点是分层抽样，根据分层抽样的方法，由样本中高一年级学生有8人，所占比例为25%，即可计算． 【解答】由分层抽样的方法可设样本中有高中三个年级学生人数为x 人， 则8x =14，解得：x =325.【答案】 D【考点】任意角的三角函数 【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinθ和cosθ 的值，可得sin2θ的值． 【解答】解：角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ，若角θ终边过点P(1, −2)，则 x =1，y =−2，r =|OP|=√5， sinθ=y r=√5，cosα=x r =√5， ∴ sin2θ=2sinθcosθ =2×√5)√5=−45， 故选D . 6.【答案】 B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】由题意画出图形，分别求出两个几何体的体积，作商得答案． 【解答】 如图，设等腰直角三角形ABC 的一条直角边长为1，则斜边长为√2． 以AB 为轴旋转，得到圆锥BA ，其体积为V 1=13×π×12×1=π3； 以BC 为轴旋转，得到两个同底的圆锥BG 、CG ， 其体积V 2=13×π×(√22)2×√2=√26π．∴2个几何体的体积之比为V1V2=π3√2π6=√2．7.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】利用幂函数的单调性、对数函数的单调性即可得出．【解答】∵a=3−23，b=2−43=4−23，∴b<a<1，又c=ln3>1，则b<a<c，8.【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用函数的图象的平移变换求出结果．【解答】解：将函数y=sin(2x+π3)的图象向右平移π4个单位，即：y=sin[2(x−π4)+π3]=sin(2x−π6).故选B.9.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得n=0，a=0，S=0，i=1满足条件i≤n，执行循环体，a=0+2×1−1=12，S=12，i=2满足条件i≤n，执行循环体，a=1+2×2−1=22，S=12+22，i=3满足条件i≤n，执行循环体，a=4+2×3−1=32，S=12+22+32，i=4…观察规律可得：当i=n时，满足条件i≤n，执行循环体，a=n2，S=12+22+32+...n2，i=n+1此时，不满足条件i≤n，退出循环，输出S的值为12+22+32+ (2)10.【答案】 A【考点】由三视图求体积 【解析】由三视图还原原几何体，可知原几何体是多面体，底面为边长是2的正方形，侧面BCF ⊥底面ABCD ，高为1，侧面ABFE 与DCFE 为全等的直角梯形，侧面AED 为等腰三角形，则其表面积可求． 【解答】由三视图还原原几何体如图，原几何体是多面体，底面为边长是2的正方形，侧面BCF ⊥底面ABCD ，高为1， 侧面ABFE 与DCFE 为全等的直角梯形，侧面AED 为等腰三角形．则其表面积S =2×2+12×2×1+2×12×(1+2)×√2+12×2×√2=5+4√2． 11.【答案】 C【考点】 抛物线的求解 【解析】如图，设P(t 2, t)，则Q(t 2, 0)，PQ 中点H(t 2, t2)，M(t 24, t2)，可得直线MQ 的方程，令x =0，可得y N ，则|PQ||NO|可求． 【解答】如图，设P(t 2, t)，则Q(t 2, 0)，PQ 中点H(t 2, t2)，M(t 24, t 2)，∴ 直线MQ 的斜率为k =t 2−0t 24−t 2=−23t ，则直线MQ 的方程为：y =−23t (x −t 2)， 令x =0，可得y N =2t 3，∴ |PQ||NO|=t2t 3=32，12.【答案】 D函数的图象变化 【解析】根据函数的单调性有解奇偶性分别判断即可． 【解答】对于A ，f(x)≠f(−x)，故A 错误；对于B ，问题转化为x 2+1=2xcosx 有解， 即x +1x =2cosx 有解，(x +1x )min =2，当x =1时，2cos1<2，故方程无解，故B 错误； 对于C ，问题等价于x =2cosx 有3个解， 而方程只有2个解，故C 错误；对于D ，f′(x)=2x −2(cosx −xsinx)=2x(1+sinx)−2cosx ， 结合题意2x(1+sinx)−2cosx =0，即x =cosx1+sinx ， 而cosx1+sinx =cos 2x 2−sin 2x2(cos x 2+sin x 2)2=tan(π4−x2)，∴ f(x)有无数个极值点，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【答案】 −4【考点】平面向量的坐标运算 【解析】由已知向量的坐标求得a →+2b →的坐标，再由数量积的坐标运算得答案． 【解答】由a →=(−1, 1)，b →=(1, −2)，得a →+2b →=(−1, 1)+(2, −4)=(1, −3)，∴ (a →+2b →)⋅a →=(1, −3)⋅(−1, 1)=−1−3=−4．【答案】−5【考点】 简单线性规划 【解析】画出不等式组表示的平面区域，结合图形求得最优解，计算目标函数的最小值． 【解答】画出不等式组{x −y ≥0x +2y −3≤0x −2y −1≤0 表示的平面区域，如图所示；由图形知，当目标函数z =2x +3y 过点A 时，z 取得最小值； 由{x −y =0x −2y −1=0，求得A(−1, −1)； ∴ z =2x +3y 的最小值是2×(−1)+3×(−1)=−5． 【答案】【考点】双曲线的特性【解析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得m的取值范围，同时可得c的值，结合双曲线的离心率公式可得e=ca =√2√1+m，又由m的范围分析可得答案．【解答】根据题意，双曲线C的方程为：x21+m −y21−m=1(m>0)，则有1−m>0，则0<m<1，则c2=(1+m)+(1−m)=2，即c=√2，a=√1+m，则双曲线的离心率e=ca =√2√1+m，又由0<m<1，则有1<e<√2，即C的离心率的取值范围是(1, √2)；【答案】2√2【考点】两角和与差的正弦公式解三角形基本不等式在最值问题中的应用三角形求面积余弦定理【解析】根据题意，由三角形面积公式以及余弦定理可得12absinC=a2+b2−2abcosC4，变形可得：a b +ba=2√2sin(C+π4)，结合正弦函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，△ABC中，若S△ABC=c24，则有12absinC=a2+b2−2abcosC4，变形可得：2absinC=a2+b2−2abcosC，则有a2+b2ab =2(sinC+cosC)=2√2sin(C+π4)，即ab +ba=2√2sin(C+π4)，分析可得：当C=π4时，sin(C+π4)取得最大值，则有ab +ba≤2√2，即ab+ba的最大值是2√2；故答案为：2√2.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】设{a n }的公差为d ，{b n }的首项为b 1，则a n =1+(n −1)d ，b n =b 1q n−1． 依题意可得{1+d =b 12d =b 1(q −1)(1+d)b 1q =b 1q 2，解得d =1，b 1=2，q =2， 所以a n =n ，b n =2n ．S n =1×2n +2×2n−1+...+n ×21，①所以2S n =1×2n+1+2×2n +...+n ×22，②②-①可得，S n =2n+1+(2n +2n−1+...+22)−n ×21 =2n+1−2n +4(2n −1−1)2−1=2n+2−2n −4． 【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】 （1）根据依题意可得{1+d =b 12d =b 1(q −1)(1+d)b 1q =b 1q 2，解得即可，（2）利用错位相减法即可求出． 【解答】设{a n }的公差为d ，{b n }的首项为b 1，则a n =1+(n −1)d ，b n =b 1q n−1． 依题意可得{1+d =b 12d =b 1(q −1)(1+d)b 1q =b 1q 2，解得d =1，b 1=2，q =2， 所以a n =n ，b n =2n ．S n =1×2n +2×2n−1+...+n ×21，①所以2S n =1×2n+1+2×2n +...+n ×22，②②-①可得，S n =2n+1+(2n +2n−1+...+22)−n ×21 =2n+1−2n +4(2n −1−1)2−1=2n+2−2n −4． 【答案】解：(1)根据频率分布直方图得该种鲜鱼日需求量的平均数： x =50×0.0010×100+150×0.0020×100+250×0.0030×100+350×0.0025×100+450×0.0015×100=265．(2)当日需求量不低于300公斤时，利润Y =(20−15)×300=1500元；当日需求量不足300公斤时，利润Y =(20−15)x −(300−x)×3=8x −900元； 故Y ={8x −900,0≤x <300,1500,300≤x ≤500, 由Y ≥700得，200≤x ≤500，所以P(Y ≥700)=P(200≤x ≤500)=0.0030×100+0.0025×100+0.0015×100 =0.7． 【考点】用频率估计概率众数、中位数、平均数 【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图能求出该种鲜鱼日需求量的平均数x ．(Ⅱ)当日需求量不低于300公斤时，利润Y ＝(20−15)×300＝1500元；当日需求量不足300公斤时，利润Y ＝(20−15)x −(300−x)×3＝8x −900元．由此能求出Y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润Y 不小于700元的概率． 【解答】解：(1)根据频率分布直方图得该种鲜鱼日需求量的平均数： x =50×0.0010×100+150×0.0020×100+250×0.0030×100+350×0.0025×100+450×0.0015×100=265．(2)当日需求量不低于300公斤时，利润Y =(20−15)×300=1500元；当日需求量不足300公斤时，利润Y =(20−15)x −(300−x)×3=8x −900元； 故Y ={8x −900,0≤x <300,1500,300≤x ≤500,由Y ≥700得，200≤x ≤500，所以P(Y ≥700)=P(200≤x ≤500)=0.0030×100+0.0025×100+0.0015×100 =0.7． 【答案】过点B 1作A 1C 的垂线，垂足为O ，由平面A 1B 1C ⊥平面AA 1C 1C ，平面A 1B 1C ∩平面AA 1C 1C =A 1C ， 得B 1O ⊥平面AA 1C 1C ，又AC ⊂平面AA 1C 1C ，得B 1O ⊥AC ．由∠BAC =90∘，AB // A 1B 1，得A 1B 1⊥AC ． 又B 1O ∩A 1B 1=B 1，得AC ⊥平面A 1B 1C ． 又CA 1⊂平面A 1B 1C ，得AC ⊥CA 1．因为AB // A 1B 1，AB ⊂平面ABC ，A 1B 1平面ABC ， 所以A 1B 1 // 平面ABC ，所以B 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离，设其为d ， 由V A1−ABC =V B−AA1C 得，13×12×AC ×AB ×d =13×12×AC ×A 1C ×B 1O ，所以d =B 1O =√3．即点B 1到平面ABC 的距离为√3．【考点】点、线、面间的距离计算【解析】（1）过点B1作A1C的垂线，推导出B1O⊥平面AA1C1C，从而B1O⊥AC．由∠BAC= 90∘，AB // A1B1，得A1B1⊥AC．从而AC⊥平面A1B1C．由此能证明AC⊥CA1．（2）可得B1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离，设其为d，由V A1−ABC=V B−AA1C得，13×12×AC×AB×d=13×12×AC×A1C×B1O，即d=B1O=√3．【解答】过点B1作A1C的垂线，垂足为O，由平面A1B1C⊥平面AA1C1C，平面A1B1C∩平面AA1C1C=A1C，得B1O⊥平面AA1C1C，又AC⊂平面AA1C1C，得B1O⊥AC．由∠BAC=90∘，AB // A1B1，得A1B1⊥AC．又B1O∩A1B1=B1，得AC⊥平面A1B1C．又CA1⊂平面A1B1C，得AC⊥CA1．因为AB // A1B1，AB⊂平面ABC，A1B1平面ABC，所以A1B1 // 平面ABC，所以B1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离，设其为d，由V A1−ABC=V B−AA1C得，1 3×12×AC×AB×d=13×12×AC×A1C×B1O，所以d=B1O=√3．即点B1到平面ABC的距离为√3．【答案】根据题意，椭圆的长轴长为2√6，则a=√6，又由左焦点为F，上顶点为A，则A(0, b)，F(−c, 0)，当AB⊥l时，B(−3, b)，由AF⊥BF得k AF⋅k BF=bc ⋅b−3+c=−1，又b2+c2=6．解得c=2，b=√2．所以，椭圆Γ的方程为x26+y22=1；由（1）得A(0, √2)，所以k AM=−√2m，又AM⊥BM，AC // BM，所以k BM=k AC=√2所以直线AC的方程为y=2+√2，y=√2+√2与x26+y22=1联立得(2+3m2)x2+12mx=0，所以x C=−12m2+3m2，|AM|=√2+m2，|AC|=√2+m2√2−12m2+3m2(m<0)，在直角△AMC中，由∠AMC=60∘得，|AC|=√3|AM|，整理得：(√3m+√2)2=0，解得m=−√63．【考点】椭圆的定义【解析】（1）根据题意，分析可得a的值以及A、F的坐标，由AF⊥BF得k AF⋅k BF=bc ⋅b−3+c=−1，结合椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程，即可得答案；（2）由（1）得A(0, √2)，进而可得直线AC的方程，与椭圆的方程联立，分析可得|AM|、|AC|的值，结合勾股定理可得(√3m+√2)2=0，解可得m的值，即可得答案．【解答】根据题意，椭圆的长轴长为2√6，则a=√6，又由左焦点为F，上顶点为A，则A(0, b)，F(−c, 0)，当AB⊥l时，B(−3, b)，由AF⊥BF得k AF⋅k BF=bc ⋅b−3+c=−1，又b2+c2=6．解得c=2，b=√2．所以，椭圆Γ的方程为x26+y22=1；由（1）得A(0, √2)，所以k AM=−√2m，又AM⊥BM，AC // BM，所以k BM=k AC=√2所以直线AC的方程为y=2+√2，y=√2+√2与x26+y22=1联立得(2+3m2)x2+12mx=0，所以x C=−12m2+3m2，|AM|=√2+m2，|AC|=√2+m2√2−12m2+3m2(m<0)，在直角△AMC中，由∠AMC=60∘得，|AC|=√3|AM|，整理得：(√3m+√2)2=0，解得m=−√63．【答案】根据题意，f(x)=xe x ，则f′(x)=1−xe x，当x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故x=1时，f(x)取得最大值f(1)=1e；因为g′(x)=e x−1+1x 2−1x −1， 设切点为(t, 0)，则g′(t)=0，且g(t)=0，即e t−1+1t 2−1t −1=0，e t−1−1t −lnt −t +a =0， 所以a =1t +lnt +t −e t−1． 令ℎ(x)=e x−1+1x 2−1x −1，由（1）得f(x)≤1e ，所以xe x ≤1e ，即e x−1≥x ，等号当且仅当x =1时成立， 所以ℎ(x)≥x +1x 2−1x−1=(x−1)2(x+1)x 2≥0，等号当且仅当x =1时成立，所以当且仅当x =1时，ℎ(x)=0，所以t =1，则a =1+ln1+1−e 1−1=1， 解可得a =1； 故a =1． 【考点】导数求函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（1）根据题意，求出函数的导数，分析函数的单调性可得当x <1时，f(x)单调递增，当x >1时，f(x)单调递减，据此分析可得答案；（2）根据题意，设切点为(t, 0)，由g(x)的解析式求出其导数，分析可得g′(t)=0，且g(t)=0，分析可得a =1t +lnt +t −e t−1，令ℎ(x)=e x−1+1x 2−1x −1，分析可得t 的值，又由a =1t +lnt +t −e t−1，计算即可得答案． 【解答】根据题意，f(x)=xe x ，则f′(x)=1−x e x，当x <1时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x >1时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 故x =1时，f(x)取得最大值f(1)=1e ； 因为g′(x)=e x−1+1x 2−1x −1， 设切点为(t, 0)，则g′(t)=0，且g(t)=0，即e t−1+1t 2−1t −1=0，e t−1−1t −lnt −t +a =0， 所以a =1t +lnt +t −e t−1． 令ℎ(x)=e x−1+1x 2−1x −1，由（1）得f(x)≤1e ，所以xe x ≤1e ，即e x−1≥x ，等号当且仅当x =1时成立，所以ℎ(x)≥x+1x2−1x−1=(x−1)2(x+1)x2≥0，等号当且仅当x=1时成立，所以当且仅当x=1时，ℎ(x)=0，所以t=1，则a=1+ln1+1−e1−1=1，解可得a=1；故a=1．（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】∵圆C1：(x−1)2+y2=1，∴x2+y2−2x=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得：C1:ρ2cos2θ+ρ2sin2θ−2ρcosθ=0，∴C1的极坐标方程为：ρ=2cosθ；∵圆C2：(x−3)2+y2=9．∴C2:ρ2cos2θ+ρ2sin2θ−6ρcosθ+9=9，∴C2的极坐标方程ρ=6cosθ．依题意得|AB|=6cosα−2cosα=4cosα，−π2<α<π2，C2(3, 0)到直线AB的距离d=3|sinα|，∴S△ABC2=12×d×|AB|=3|sin2α|，故当α=±π4时，S△ABC2取得最大值3．【考点】圆的极坐标方程【解析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出C1，C2的极坐标方程．（2）依题意得|AB|=6cosα−2cosα=4cosα，−π2<α<π2，C2(3, 0)到直线AB的距离d=3|sinα|，由此能求出S△ABC2的最大值．【解答】∵圆C1：(x−1)2+y2=1，∴x2+y2−2x=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得：C1:ρ2cos2θ+ρ2sin2θ−2ρcosθ=0，∴C1的极坐标方程为：ρ=2cosθ；∵圆C2：(x−3)2+y2=9．∴C2:ρ2cos2θ+ρ2sin2θ−6ρcosθ+9=9，∴C2的极坐标方程ρ=6cosθ．依题意得|AB|=6cosα−2cosα=4cosα，−π2<α<π2，C2(3, 0)到直线AB的距离d=3|sinα|，∴S△ABC2=12×d×|AB|=3|sin2α|，故当α=±π4时，S△ABC2取得最大值3．[选修4-5：不等式选讲]【答案】|x+1|−|x|≤|x+1−x|=1；∴f(x)的最大值为1；∴m=1；由（1）可知，a+b=1；∴a2b+1+b2a+1=13(a2b+1+b2a+1)[(a+1)+(b+1)brack（或运用柯西不等式a2b+1+b2a+1=13(a2b+1+b2a+1)[(a+1)+(b+1)brack≥13[√b+1⋅√b+1√a+1⋅√a+1)2=13，当且仅当a=b=12时取等号）=13[a2(a+1)b+1+b2(b+1)a+1+a2+b2brack≥13(2ab+a2+b2)=13(a+b)2=13；当且仅当a=b=12时取等号；即a2b+1+b2a+1的最小值为13．【考点】绝对值三角不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）根据绝对值不等式：|x+1|−|x|≤|x+1−x|即可求出f(x)的最大值为1，即得出m=1；（2）m=1，从而得出a+b=1，从而a2b+1+b2a+1=13(a2b+1+b2a+1)[(a+1)+(b+1)]，然后根据基本不等式即可得出a2b+1+b2a+1≥13(a+b)2=13，从而求得最小值为13．【解答】|x+1|−|x|≤|x+1−x|=1；∴f(x)的最大值为1；∴m=1；由（1）可知，a+b=1；∴a2b+1+b2a+1=13(a2b+1+b2a+1)[(a+1)+(b+1)brack（或运用柯西不等式a2b+1+b2a+1=13(a2b+1+b2a+1)[(a+1)+(b+1)brack≥13[√b+1⋅√b+1√a+1⋅√a+1)2=13，当且仅当a=b=12时取等号）=13[a2(a+1)b+1+b2(b+1)a+1+a2+b2brack≥13(2ab+a2+b2)=13(a+b)2=13；当且仅当a=b=12时取等号；即a2b+1+b2a+1的最小值为13．。
【2019年3月唐山一模】河北省唐山市2018-2019学年度高三第一次模拟考试 数学(文)(含答案)
…3 分
…8 分
…12 分P Eຫໍສະໝຸດ O BAFC
…7 分
即点 F 到平面 PEC 的距离为
（19）解： （1）△AF1B 的周长等于|AF1|＋|AB|＋|BF1| ＝|AF1|＋|AF2|＋|BF2|＋|BF1|＝4a， 所以 4a＝4 2，从而 a＝ 2． c 2 因为 e＝ ＝ ，所以 c＝1，即 b2＝a2－c2＝1， a 2 x2 椭圆 C 的方程为 ＋y2＝1． 2 （2）由（1）得 P(0，1)，F2(1，0)． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 依题意，l 的方程为 x＝3y＋1， 将 l 的方程代入 C 并整理，可得 11y2＋6y－1＝0， 6 1 所以 y1＋y2＝－ ，y1y2＝－ ． 11 11 ＝(3y1＋1)(3y2＋1)＋(y1－1)(y2－1) ＝10y1y2＋2(y1＋y2)＋2 ＝0 所以 PA⊥PB， 综上，点 P 在以 AB 为直径的圆上. （20）解： （1）分层抽样 （2）完成列联表 普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 个体经营户 合计 40 100 140 10 50 60 50 150 200
π （1）当α＝ 时，l：x＝1； 2 π 当α≠ 时，l：y＝tan α(x－1)． 2 2 由ρsin θ＝4cos θ得，ρ2sin2θ＝4ρcos θ， 因为 x＝ρcos θ ，y＝ρsin θ， 所以曲线 C 的直角坐标方程 y2＝4x． （2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得： (sin 2α)t2－(4cos α)t－4＝0, 4cos α 4 则 t1＋t2＝ 2 ，t1t2＝－ 2 ， sin α sin α 4 因为|AB|＝|t1－t2|＝ (t1＋t2)2－4t1t2＝ 2 ＝8， sin α 2 2 所以 sinα＝ 或－ ， 2 2 2 因为 0＜α＜π，所以 sinα＝ ， 2 π 3π 故α＝ 或 ． 4 4 （23）解： （1）∵a，b 是正实数，∴a＋b≥2 ab， ∴ ab≤1， ∴( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab≤4， ∴ a＋ b≤2， 当且仅当 a＝b＝1 时，取“＝” ． （2）∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b) 2＝4， ∴a2＋b2≥2， ∴(a＋b3)(a3＋b)＝a4＋b4＋a3b3＋ab≥a4＋b4＋2a2b2＝(a2＋b2) 2≥4， a＝b， 当且仅当 2 2 即 a＝b＝1 时，取“＝” ． a b ＝1，
河北省唐山市2019届高三下学期第三次模拟考试数学(文)
唐山市2018—2019学年度高三年级第三次模拟考试文科数学参考答案一．选择题：A 卷：CCAAC ABABB DD B 卷：BCAAD ABACB CD二．填空题：13．4 14．3 2 15． 4 516．(2，＋∞)三．解答题： 17．解：（1）由1，a n ，S n 成等差数列得1＋S n ＝2a n ，① 特殊地，当n ＝1时，1＋S 1＝2a 1，得a 1＝1． 当n ≥2时，1＋S n －1＝2a n －1，②①－②得a n ＝2a n －1，a na n －1＝2(n ≥2)，可知{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 则a n ＝2n －1，S n ＝2a n －1＝2n－1． …6分（2）T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋ (2))－n ＝2(1－2n)1－2－n＝2n ＋1－2－n ． …12分18．解：（1）取AB 1的中点O ，连接OM ，ON ， 在△ABB 1中，O ，M 分别是AB 1，AB 的中点， 则OM ∥BB 1，且OM ＝ 12BB 1，又N 为CC 1的中点，CC 1∥BB 1， 所以NC ∥BB 1，NC ＝ 12BB 1，从而有OM ∥NC 且OM ＝NC ， 所以四边形OMCN 为平行四边形， 所以CM ∥NO ．又因为CM 平面AB 1N ，NO 平面AB 1N ， 所以CM ∥平面AB 1N ．…5分（2）由CC 1⊥平面ABC ，得CC 1⊥AC ，又因为AC ⊥BC ，CC 1∩BC ＝C ，所以AC ⊥平面B 1C 1CB ，连接CB 1，所以∠AB 1C 即为AB 1与平面B 1C 1CB 所成的角，从而有∠AB 1C ＝30，所以B 1C ＝4 3 ，B 1B ＝4 2 ． 由（1）可知CM ∥平面AB 1N ，所以点C 到平面AB 1N 的距离等于点M 到平面AB 1N 的距离．在△AB 1N 中，AN ＝NB 1＝26，AB 1＝8，S △AB 1N ＝8 2 ，在△ACN 中，AC ＝4，CN ＝2 2 ，S △ACN ＝4 2 ， 设点C 到平面AB 1N 的距离为d ，由V B 1-ACN ＝V C -AB 1N 得，13S △AB 1N ·d ＝13S △ACN ·BC ，所以d ＝2，即点M 到平面AB 1N 的距离为2. …12分19．解：（1）设饿了么外卖配送员乙送餐量为16单的5天分别为a ，b ，c ，d ，e ， 送餐量为18单的1天为m ，则6天中抽取2天的所有基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，m )， (b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，m )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，m )，(d ，e )，(d ，m )，(e ，m )，共15个基本事件，…2分这2天的送餐量恰好都为16单的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )， (b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个基本事件， 故这2天的送餐量恰好都为16单的概率为P ＝1015＝ 23．…5分（2）（ⅰ）则x ¯＝13×230＋14×630＋16×1230＋17×630＋18×230＋20×230＝16，…7分y ¯＝11×430＋13×530＋14×1230＋15×330＋16×530＋18×130＝14． …9分（ⅱ）X －＝30x ¯＝480∈(300，600]，Y －＝30y ¯＝420∈(400，＋∞)， 美团外卖配送员，估计月薪平均为1800＋4X －＝3720元，饿了么外卖配送员，估计月薪平均为2100＋4Y －＝3780元＞3720元， 故小王应选择做饿了么外卖配送员． …12分20．解：（1）因为抛物线Г：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F (1，0)， 所以抛物线Г的方程为y 2＝4x ．由直线l 1的斜率为k 1，且过F (1，0)，得l 1的方程为y ＝k 1(x －1)， 代入y 2＝4x 化简得k 21x 2－(2k 21＋4)x ＋k 21＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2＋4k 21，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4k 21＋4．因为k 1＝33，所以|AB |＝16． …5分（2）由（1）可知，P (1＋2k 21，2k 1)，同理可得Q (1＋2k 22，2k 2)，因为k 1k 2＝－2，则Q (1＋k 212，－k 1)， 当k 1≠±2时，直线PQ 的斜率为k PQ ＝2k 1＋k 12k 21－k 212＝2k 12－k 21， 故直线PQ 的方程为y －2k 1＝2k 12－k 21(x －1－2k 21)，令y ＝0，解得x ＝2，此时直线PQ 过定点(2，0)．…10分当k 1＝±2时，直线PQ 的方程为x ＝2，此时直线PQ 亦过定点(2，0)． 综上所述，直线PQ 过定点(2，0)． …12分21．解：（1）f (x )＝x ln x －x 2＋x ＋1，g (x )＝f (x )＝ln x －2x ＋2，g(x )＝ 1 x －2＝1－2xx，当x ∈(0， 12)时，g(x )＞0，g (x )单调递增；当x ∈( 12，＋∞)时，g(x )＜0，g (x )单调递减；注意到g (1)＝f(1)＝0，则当x ∈( 12，1)时，f(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，f(x )＜0，f (x )单调递减；故当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝1．…5分（2）g (x )＝f (x )＝ln x ＋1－2ax ＋a ，g(x )＝ 1 x －2a ＝1－2ax x，（ⅰ）若a ≤0，则g (x )＞0，g (x )单调递增，至多有一个零点，不合题意．…7分（ⅱ）若a ＞0，则当x ∈(0，12a )时，g(x )＞0，g (x )单调递增；当x ∈(12a，＋∞)时，g(x )＜0，g (x )单调递减；则g (12a )≥g ( 1 2)＝ln 1 2＋1＝ln e 2＞0．不妨设g (x 1)＝g (x 2)，x 1＜x 2，则0＜x 1＜12a ＜x 2＜1．一方面，需要g (1)＜0，得a ＞1．另一方面，由（1）得，当x ＞1时，ln x ＜x －1＜x ，则x ＜e x， 进而，有2a ＜e 2a，则e －2a＜12a， 且g (e－2a)＝－2a e－2a＋1－a ＜0，故存在x 1，使得0＜e－2a＜x 1＜12a．综上，a 的取值范围是(1，＋∞)．…12分22．解：（1）曲线C 的普通方程为：x 24＋y 23＝1，直线l 的直角坐标方程为：x －y －1＝0． …4分（2）由题意知：A (1，0)，B (4，3)，所以|AB |＝32．设点P (2cos φ，3sin φ)，则点P 到AB 的距离为d ＝|2cos φ－3sin φ－1|2＝|7cos(φ＋)－1|2，所以△PAB 的面积S ＝ 1 2·|AB |·d ＝ 3 2|7cos(φ＋)－1|≤3(7＋1)2， 即△PAB 的面积S 的最大值为3(7＋1)2． …10分23．解： （1）∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a 2＋b 2＋c 2)＝9.∴|a ＋b ＋c |≤3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1或a ＝b ＝c ＝－1时，取等号.故|a ＋b ＋c |的最大值为3.…5分（2）不能成立.理由如下：由柯西不等式，得(ax ＋by ＋cy )2≤(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋y 2)＝3， 当且仅当a x ＝b y ＝cy时取等号，故ax ＋(b ＋c )y ≤3， 故ax ＋(b ＋c )y ＝2不能成立. …10分。
2018年唐山市高三年级高考一模数学文科试卷及解析
2018年高三第一次模拟考试文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,1,2A =--，集合{}|B k A y kx R =∈=在上为增函数，则A B 的子集个数为（）A．1B．2C．3D．42.设a 为1i -的虚部，b 为()21i +的实部，则a b +=（）A．-1B．-2C．-3D．03.已知具有线性相关的变量,x y ，设其样本点为()(),1,2,,8i i i A x y i = ，回归直线方程为1ˆ2y x a =+，若()1186,2OA OA OA +++= ，（O 为原点），则a =（）A．18B．18-C．14D．14-4.已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-，则0x <或4x >是向量a 与b 夹角为锐角的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件5.已知00:,5100n p n N ∃∈<，则p ⌝为（）A．,5100n n N ∀∈<B．,5100n n N ∀∈≥ C.00,5100n n N ∃∈≥D．00,5100n n N ∃∈>6.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin cos 23ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A．433+B．433- C.433-+D．433--7.如图所示的程序框图中，输出的S 为（）A．99223-B．100223- C.101223-D．102223-8.已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-= （）A．0B．2018C.4036D．40379.如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）3626+326++ C.6346D．34610.已知向量44sin ,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，向量()1,1b = ，函数()f x a b = ，则下列说法正确的是（）A．()f x 是奇函数B．()f x 的一条对称轴为直线4x π=C.()f x 的最小正周期为2πD．()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数11.已知双曲线()222109x y b b-=>的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且F与双曲线的渐近线相切，若过点A 作F 的两条切线，切点分别为,M N ，则MN =（）A．8B．42C.23D．4312.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数()()11132x g x x -⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（）A．2B．4C.6D．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线上的点()2,P a -到焦点的距离为3，则a =．14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，甲说：我做错了；乙说：丙做对了；丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.”请问他们三个人中做对了的是．15.已知实数,x y 满足2202200x y x y x y --≥⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，若32z x y =-取得最小值时的最优解(),x y 满足()20ax by ab +=>，则4a bab+的最小值为．16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3,2a b ==，且227cosB a 4ac b bc =-+，则B =．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列{}n a 满足：()1122,n n n a a a n n N ++-=+≥∈，且121,2a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1121,n n n n a b a b n n N ++=≥∈ ，且11b =.求数列{}n b 的通项公式，并求其前n 项和n T .18.某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）.第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩87878410092乙的成绩10080859590（1）试比较甲、乙二人谁的成绩更稳定；（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”.若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率.19.如图，四棱台1111A B C D ABCD -中，1A A ⊥底面111,3,23,2ABCD A B A A AB AC ====，平面11A ACC ⊥平面11,C CDD M 为1C C 的中点.（1）证明：1AM D D ⊥；（2）若030ABC ∠=，且AC BC ≠，求点A 到平面11B BCC的距离.20.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设(),P x y 为椭圆C 上任一点，F 为其右焦点，点P '满足()4,0PP x '=-.①证明：PP PF'为定值；②设直线12y x m =+与椭圆C 有两个不同的交点A B 、，与y 轴交于点M .若,,AF MF BF 成等差数列，求m 的值.21.已知函数()a f x x x=+.（1）判断函数()f x 的单调性；（2）设函数()ln 1g x x =+，证明:当()0,x ∈+∞且0a >时，()()f x g x >.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为21x t y t a =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos sin 0l b ρθρθ-+=与2:4cos C ρθ=- 相交于A B 、两点，且090AOB ∠=.（1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于M N 、，证明：22C M C N （2C 为圆心）为定值.23.已知函数()1f x x =+.（1）解关于x 的不等式()210f x x -+>；（2）若函数()()()1g x f x f x m =-++，当且仅当01x ≤≤时，()g x 取得最小值，求()1,2x ∈-时，函数()g x 的值域.试卷答案一、选择题1-5:DABBB 6-10:ACDCD11、12：DB二、填空题13.22±14.甲15.916.6π（或30°）三、解答题17.解：（1）由()*1122,n n n a a a n n N +-=+≥∈知数列{}n a 为等差数列，且首项为1，公差为211a a -=，所以n a n =；（2）∵()121n n nb n b +=+，∴()11112n n b b n n n +=≥+ ，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111b =为首项，12为公比的等比数列，112n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12n n n b -=，01221123122222n n n n n T ---=+++++ ，23111231222222nn nn nT --=+++++ ，∴1111112212112nn n n n nn n n T --+=++++-=-=-- ，所以1242n n n T -+=-.18.解：（1）∵90,90x x ==甲乙，2231.6,50S S ==甲乙，22S S <甲乙，∴甲的成绩更稳定；（2）考试有5次，任选2次，基本事件有()87,100和()87,80，()87,100和()84,85，()87,100和()100,95，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，()87,80和()100,95，()87,80和()92,90，()84,85和()100,95，()84,85和()92,90，()100,95和()92,90共10个，其中符合条件的事件有()87,100和()84,85，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，()87,80和()92,90，()84,85和()100,95，()100,95和()92,90共有6个，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为63105=，另法：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，则从中任取两次，分差绝对值的情况为()()()()()()()()()()13,7,13,1,13,5,13,2,7,1,7,5,7,2,1,5,1,2,5,2共10种，其中符合条件的情况有()()()()()()13,1,13,2,7,1,7,2,1,5,5,2共6种情况，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为63105=.19.（1）证明：连接1AC ，∵1111A B C D ABCD -为四棱台，四边形1111A B C D 四边形ABCD ，∴111112A B A C AB AC==，由2AC =得，111A C =，又∵1A A ⊥底面ABCD ，∴四边形11A ACC 为直角梯形，可求得12C A =，又2,AC M =为1CC 的中点，所以1AM C C ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面11C CDD ，平面11A ACC ⋂平面111C CDD C C =，∴AM ⊥平面111,C CDD D D ⊂平面11C CDD ，∴1AM D D ⊥；（2）解：在ABC ∆中，03,2,30AB AC ABC ==∠=，利用余弦定理可求得，4BC =或2BC =，由于AC BC ≠，所以4BC =，从而222AB AC BC +=，知AB AC ⊥，又∵1A A ⊥底面ABCD ，则平面11A ACC ⊥底面,ABCD AC 为交线，∴AB ⊥平面11A ACC ，所以1AB CC ⊥，由（1）知1,AM CC AB AM A ⊥⋂=，∴1CC ⊥平面ABM （连接BM ），∴平面ABM ⊥平面11B BCC ，过点A 作AN BM ⊥，交BM 于点N ，则AN ⊥平面11B BCC ，在Rt ABM ∆中可求得3,15AM BM ==，所以155AN =，所以，点A 到平面11B BCC 的距离为215.20.解：（1）由12c a =得2234a b =，把点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程为221914a b +=，∴221913a a +=得24a =，∴23b =，椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）由（1）知221,143x y c +==，()()22222111131244442x PF x y x x x x ⎛⎫=-+=--=-+=- ⎪⎝⎭ ，而4PP x '=-，∴2PP PF'= 为定值；②直线12y x m =+与椭圆C 联立，2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2230x mx m ++-=，()2243022m m m ∆=-->⇒-<<，设112211,,,22A x x m B x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21212,3x x m x x m +=-=- ，由①知()()12114,422AF x BF x =-=-，∴21244,122x x mAF BF MF m ++=-=+=+∵,,AF MF BF 成等差数列，∴2AF BF MF +=，即2412m m +=+解得125m =或43m =-，又因为22m -<<，所以43m =-.21.解：（1）因为()()22210a x af x x x x-'=-=≠，①若()0,0a f x '≤>，∴()f x 在()(),0,0,-∞+∞为增函数；②若0a >，则()200f x x a x a '>⇒->⇒<或x a>())2000f x x a a x a x '<⇒-<⇒<≠，∴函数()f x 的单调递增区间为(),,,a a -∞+∞，单调递减区间为()(,a a -；（2）令()()()()ln 10ah x f x g x x x x x =-=+-->，()22211a x x a h x x x x --'=--=，设()20p x x x a =--=的正根为0x ，所以2000x x a --=，∵()1110p a a =--=-<，∴01x >，()h x 在()00,x 上为减函数，在()0,x +∞上为增函数，()()2000000000min00ln 1ln 12ln 2x x ah x h x x x x x x x x x -==+--=+--=--，令()()2ln 21F x x x x =-->，()12120x F x x x-'=-=>恒成立，所以()F x 在()1,+∞上为增函数，又∵()12020F =--=，∴()0F x >，即()min 0h x >，所以，当()0,x ∈+∞时，()()f x g x >.22.（1）解：直线l 和圆2C 的普通方程分别为()220,24x y b x y -+=++=，090AOB ∠=，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，所以20,2b b -+==；（2）证明：曲线()21:0C x ay a =>，可知直线l 的参数方程为22222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线1C 得21224022t a t ⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭，21402a a ∆=+>恒成立，设M N 、两点对应的参数分别为12t t 、，则124812t t == ，所以22128C M C N t t == 为定值.2018年唐山市高三年级高考一模数学文科试卷及解析1123.解：（1）2211011x x x x +-+>⇒+>-，①211211x x x x ≥-⎧⇒-<<⎨+>-⎩，②2111x x x φ<-⎧⇒⎨-->-⎩，所以，不等式的解集为{}|12x x -<<；（2）()1111g x x x m x x m x x m m =+++=-+++≥-+++=+，当且仅当()()10x x m -++≥ 时取等号，∴110m ++=，得2m =-，∴()1g x x x =+-，故当()1,2x ∈-时，()21101012112x x g x x x x -+-<<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<<⎩，所以()g x 在()1,2x ∈-时的值域为[)1,3.。
唐山市2018—2019学年度高三年级第一次模拟考试(一模)数学(文)试题
开始 V＝1，W＝ 1 i＝1 i≤18 否 T＝V÷W 输出 T i＝i＋1 结束
（10）已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的所有棱长相等，∠ABC＝60° ，则直线 BC1 与平面 ABB1A1 所 成角的余弦值等于 6 10 A． B． 4 4 2 3 C． D． 2 2 （11）如图，直线 2x＋2y－3＝0 经过函数 f (x)＝sin (ωx＋φ)（ω＞0，|φ|＜π）的最高点 M 和相邻的 最低点 N，则 π π A．ω＝ ，φ＝ B．ω＝π，φ＝0 y 2 4 Ｍ π π π C．ω＝ ，φ＝－ D．ω＝π，φ＝ 2 4 2
（7）《算法统宗》中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺 外方七尺有奇．实际上，这是一种开平方的近似计算，即用 7 近似表示 5 2，当内方的边长为 5 时，外方的边长为 5 2，略大于 7．如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概 率为 1 2 A． B． 2 2 5 25 C． D． 7 49 1 2 3 4 17 18 （8）为计算 T＝ × × × ×…× × ，设计了右侧的程序 3 4 5 6 19 20 框图，则在空白框中应填入 A．W＝W×i B．W＝W×(i＋1) C．W＝W×(i＋2) D．W＝W×(i＋3) （9）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， a＝2，b＝3，c＝4，设 AB 边上的高为 h，则 h＝ 15 11 A． B． 2 2 3 15 3 15 C． D． 4 8
π π
x
Ｎ
B． 2e
－
π 4 π 2
（6）已知命题 p：f (x)＝x3－ax 的图像关于原点对称；命题 q：g (x)＝xcos x 的图像关于 y 轴对称．则 下列命题为真命题的是 A． p B．q C．p∧q D．p∧( q)
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【最新整理，下载后即可编辑】唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试文科数学参考答案一．选择题：A卷：ACDBD CBCDA ACB卷：ACDCD CBCDA AB二．填空题：（13）12（14）2 （15）1 （16）(3，2]三．解答题：17．解：（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d（d≠0），则a n＝a1＋(n－1)d．因为a2，a3，a5成等比数列，所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，化简得，a1d＝0，又因为d≠0，所以a1＝0， (3)分又因为a4＝a1＋3d＝3，所以d＝1．所以a n＝n－1． (6)分（2）b n＝n·2n－1，…7分T n＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①则2T n＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n．②①－②得，－T n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，…8分＝1－2n1－2－n·2n…10分＝(1－n)·2n－1．所以，T n＝(n－1)·2n＋1．…12分18．解：（1）-x甲＝110(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1；-x 乙＝110(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7；…4分（2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为25，二等品的概率为35，故采用甲工艺生产该零件每天取得的利润：w甲＝300×25×30＋300×35×20＝7200元；…7分应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为12，故采用乙工艺生产该零件每天取得的利润：w乙＝280×12×30＋280×12×20＝7000元．…10分因为w甲＞w乙，所以采用甲工艺生产该零件每天取得的利润更高．…12分19．解：（1）∵直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥CD，又∵PB⊥CD，BD∩PB＝B，∴CD⊥平面PBD，又因为PD 平面PBD，∴PD⊥CD．…5分（2）∵AD⊥BD，∴PD⊥BD．又∵PD⊥CD，BD∩CD＝D，∴PD⊥平面BCD．…8分在直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，所以PD＝AD＝2，PB＝PC＝BC＝2．S△ABC＝2，S△PBC＝3，设A点到平面PBC的距离为d，由V P-ABC＝V A-PBC得，1 3S△ABC×PD＝13S△PBC×d，A BCPD∴d ＝S △ABC ×PD S △PBC ＝ 263．即A 点到平面PBC 的距离为263．…12分 20．解：（1）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y得，x 2－2kx －2m ＝0， ∆＝4k 2＋8m ，x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ， …2分因为AB 的中点在x ＝1上， 所以x 1＋x 2＝2． 即2k ＝2，所以k ＝1． …4分（2）O 到直线l 的距离d ＝|m |2，|CD |＝212－m 22，…5分所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22·1＋2m ， …6分因为|AB |＝|CD |,所以22·1＋2m ＝212－m 22，化简得m 2＋8m －20＝0， 所以m ＝－10或m ＝2． …10分由⎩⎪⎨⎪⎧∆＞0，d ＜23得－ 1 2＜m ＜26．所以m ＝2，直线l 的方程为y ＝x ＋2． …12分 21．解：（1）f '(x )＝2(ln x ＋1)． …1分所以当x ∈(0， 1e)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈( 1e，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．所以x ＝ 1e 时，f (x )取得最小值f ( 1 e )＝1－ 2e．…5分 （2）x 2－x ＋ 1 x＋2ln x －f (x )＝x (x －1)－x －1x－2(x －1)ln x＝(x －1)(x － 1x－2ln x )，…7分令g (x )＝x － 1x－2ln x ，则g '(x )＝1＋ 1x 2－ 2x ＝(x －1)2x2≥0， 所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又因为g (1)＝0，所以当0＜x＜1时，g(x)＜0；当x＞1时，g(x)＞0，…10分所以(x－1)(x－1x－2ln x)≥0，即f(x)≤x2－x＋1x＋2ln x．…12分22．解：（1）由ρ2－22ρsin(θ＋π4)－4＝0得，ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ－4＝0．所以x2＋y2－2x－2y－4＝0．曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝6．…5分（2）将直线l的参数方程代入x2＋y2－2x－2y－4＝0并整理得，t2－2(sinα＋cosα)t－4＝0，t1＋t2＝2(sinα＋cosα)，t1t2＝－4＜0．||OA|－|OB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝|2(sinα＋cosα)|＝|22sin(α＋π4 )|因为0≤α＜ ，所以π4≤α＋π4＜5π4，从而有－2＜22sin(α＋π4)≤22．所以||OA|－|OB||的取值范围是[0，22]．…10分 23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|, 所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2，故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．…5分（2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 12，－2x ＋2， x ＞ 12，由g (x )的单调性可知，x ＝ 12时，g (x )取得最大值1，所以a 的取值范围是[1，＋∞）．…10分。
唐山,摸底,文数
唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试文科数学说明：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两个部分.2．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3．做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的项目符号涂黑，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案.4．考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1、已知集合A ＝{06x 5x |x 2<--}，B ＝{-2，-1,0,1,2}，则A B ＝( ) A .{0，1，2} B .{-2，-1，0} C .{2} D .{x|-1-2x 6x =<≤或} 2、设z ＝（1-2i)(3+i ），则|z|=( ) A .5 B .26 C .25 D .353、命题“x 1-1lnx ,0x ≥>∀”的否定是( ) A .0001-1lnx ,0x x ≥≤∃ B .0001-1lnx ,0x x <≤∃ C .0001-1lnx ,0x x ≥>∃ D .0001-1lnx ,0x x <>∃ 4、双曲线E:)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的渐近线方程为x 7y ±=，则E 的离心率为( )A .2B .7142 C .22 D .32 5、15cos 105cos-=( ) A .22B .-22 C .26 D .-26 6、在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，则两顶点间距离大于1的概率为( )A .51 B .52 C .21 D .53 7、在长方形1111D C B A ABCD -中，AB=BC=21AA 1,则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为( )A .510 B .51C .55 D .515 8、已知程序框图如右图所示，则该程序框图的功能是（ ） A .求7151311+++的值 B .求917151311++++的值C .求7151311-+-的值D .求917151311+-+-的值9、已知某几何体的三视图如图所示（俯视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的表面积为( ) A .12 B .32C .5D .210、设函数)e e (x )x (f x x -+=，则)x (f （ ）A .是奇函数，且在R 上是增函数B .是偶函数，且在R 上有极小值C .是奇函数，且在R 上是减函数D .是偶函数，且在R 上有极大值11、已知F 1F 2为椭圆C ：1by a x 2222=+(a>b>0)的左右焦点，过原点O 且倾斜角为 30的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若2S ,AF AF 21A F F 21=⊥∆,则椭圆C 的方程为( )A .12622=+y x B .14822=+y x C .12822=+y x D .1162022=+y x 12、已知函数f (x )＝sinx-sin3x ，x ]2,0[π∈，则f(x)的所有零点之和等于( ) A .π8 B .π7 C .π6 D .π5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13、设函数f (x )＝⎩⎨⎧>≤0x ,x 0x ,2x ，则f(f(-2))=________________.14、已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-3y x 32y x 24y 2x ，则z ＝2x-y 的最大值为____________.15、已知21,e e 是两个单位向量，且3||21=+e e ，则=-||21e e________________.16、△ABC 的垂心H 在其内部，1AH ,60A ==∠ ，则BH+CH 的取值范围是_____________. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，其中(17)－(21)题为必考题，(22)，(23)题为选考题，考生根据要求作答。
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唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试
文科数学参考答案
一．选择题：
A卷：ACDBD CBCDA AC
B卷：ACDCD CBCDA AB
二．填空题：
（13）1
2（14）2 （15）1 （16）(3，2]
三．解答题：
17．解：
（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d（d≠0），则a n＝a1＋(n－1)d．
因为a2，a3，a5成等比数列，
所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，
化简得，a1d＝0，
又因为d≠0，
所以a1＝0，…3分又因为a4＝a1＋3d＝3，
所以d＝1．
所以a n＝n－1．…6分（2）b n＝n·2n－1，…7分T n＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①
则2T n＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n．②
①－②得，
－T n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，…8分
＝1－2n
1－2－n·2
n …10分
＝(1－n)·2n－1．
所以，T n＝(n－1)·2n＋1．…12分18．解：
（1）-x甲＝1
10(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1；
-x
乙＝1
10(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7；
…4分
（2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为2
5，二等品的概率为
3
5，故采用甲工艺生产该零件每天取得的利润：
w甲＝300×2
5×30＋300×
3
5×20＝7200元；…7分
应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为1
2，故采用乙工艺生产该零件每天取得的利润：
w乙＝280×1
2×30＋280×
1
2×20＝7000元．…10分
因为w甲＞w乙，所以采用甲工艺生产该零件每天取得的利润更高．…12分19．解：
（1）∵直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，
D为AC的中点，
∴BD⊥CD，
又∵PB⊥CD，BD∩PB＝B，
A B C
P D
∴CD ⊥平面PBD ，
又因为PD ⊂平面PBD ，
∴PD ⊥CD ． …5分
（2）∵AD ⊥BD ，
∴PD ⊥BD ．
又∵PD ⊥CD ，BD ∩CD ＝D ，
∴PD ⊥平面BCD ． …8分 在直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，
所以PD ＝AD ＝2，PB ＝PC ＝BC ＝2．
S △ABC ＝2，S △PBC ＝3，
设A 点到平面PBC 的距离为d ，
由V P -ABC ＝V A -PBC 得，
1 3S △ABC ×PD ＝ 1
3S △PBC ×d ，
∴d ＝S △ABC ×PD S △PBC ＝ 26
3．
即A 点到平面PBC 的距离为 26
3．
…12分 20．解：
（1）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，
x 2＝2y 得，x 2－2kx －2m ＝0，
∆＝4k 2＋8m ，
x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ， …2分 因为AB 的中点在x ＝1上，
所以x 1＋x 2＝2．
即2k ＝2，
所以k ＝1．
…4分 （2）O 到直线l 的距离d ＝|m |2，|CD |＝212－m 2
2， …5分 所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22·1＋2m ， …6分 因为|AB |＝|CD |,
所以22·1＋2m ＝212－m 2
2，
化简得m 2＋8m －20＝0，
所以m ＝－10或m ＝2． …10分 由⎩⎨⎧∆＞0，d ＜23得－ 1
2＜m ＜26．
所以m ＝2，
直线l 的方程为y ＝x ＋2．
…12分 21．解：
（1）f '(x )＝2(ln x ＋1)． …1分 所以当x ∈(0， 1
e )时，
f '(x )＜0，f (x )单调递减；
当x ∈( 1
e ，＋∞)时，
f '(x )＞0，f (x )单调递增．
所以x ＝ 1 e 时，f (x )取得最小值f ( 1 e )＝1－ 2 e ． …5分
（2）x 2－x ＋ 1 x ＋2ln x －f (x ) ＝x (x －1)－x －1x －2(x －1)ln x
＝(x －1)(x － 1 x －2ln x )，
…7分 令g (x )＝x － 1 x －2ln x ，则g '(x )＝1＋ 1 x 2－ 2 x ＝ (x －1)2 x 2≥0， 所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，
又因为g (1)＝0，
所以当0＜x ＜1时，g (x )＜0；
当x ＞1时，g (x )＞0，
…10分 所以(x －1)(x － 1 x －2ln x )
≥0， 即f (x )≤x 2－x ＋ 1 x ＋2ln x ． …12分
22．解：
（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π 4)
－4＝0得， ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0．
所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．
曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6．
…5分
（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得，
t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，
t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0． ||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π 4)|
因为0≤α＜π，所以 π 4≤α＋ π 4＜5π4， 从而有－2＜22sin (α＋ π 4)
≤22． 所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]．
…10分 23．解：
（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|,
所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,
整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2，
故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．
…5分 （2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，
设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，
2x ，－1≤x ≤ 1 2，－2x ＋2， x ＞ 1 2，
由g(x)的单调性可知，x＝1
2时，g(x)取得最大值1，
所以a的取值范围是[1，＋∞）．…10分。