平面向量复习课
第01讲 平面向量的概念及线性运算(六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
题型突破·考法探究
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题
【典例2-1】若 = 7， = 4 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7]
B． 3，7
C． 3，11
D．(3，11)
【答案】C
【解析】由题意知 = 7， = 4，且 = | − |，
当, 同向时， 取得最小值， = | − | = ||| − ||| = |4 − 7| = 3；
【答案】C
【解析】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故
A错误．
对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误．
对于C，若Ԧ = ，则,
，故C成立．
Ԧ 必定共线，故//
Ԧ
对于D，当Ԧ ≠ 时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，
故与
Ԧ 可以为共线向量，故D错误．故选：C
后一个向量终点的向量．
即 + + ⋯ + − = ．
（2）||| − ||| ≤ | ± | ≤ || + ||，当且仅当, 至少有一个为时，向量不等式的等号成
立．
（3）特别地：||| − ||| ≤ | ± |或| ± | ≤ || + ||当且仅当, 至少有一个为时或者
与向量长度无关，两个向量方向相同
且长度相等，就是相等向量．
题型突破·考法探究
题型一：平面向量的基本概念
【变式1-1】下列说法中，正确的是（
）
A．若||
Ԧ > ||，则Ԧ >
C．若Ԧ = ，则//
Ԧ
B．若||
Ԧ = ||，则Ԧ =
D．若Ԧ ≠ ，则与
第二章平面向量小结复习课
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.
一.基本概念
7.两个非零向量 a与b 的夹角
A
[0, ]
B C
注意：保证同起点，若不是则平移到同一起点
二.基本运算（向量途径） 1.向量加法的三角形法则
a b AB BC AC
首尾相接
四.一个基本定理
2.平面向量基本定理
如果e1、 e 2 是同一平面内的两个不 共线的 向量, 那么对于这一平面内的 任一向量a, 有且只有一对实数 1 , 2 , 使 a 1 e1 2 e 2 把不共线的向量 e1、 e 2叫做表示这一 平面内所有向量的一组 基底.
利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
2.向量加法的平行四边形法则 共起点
ABCD中， a b AB AD AC
向量加法的运算律(交换律、结合律）
3.向量减法的三角形法则
a b AB AD DB
共起点
在同一个平行四边形中把握： a , b , a b , a b 及其模的关系 D
a b，（a b) (a b)， a (b c)，(a+b)2
(3)已知向量a=(1，2)，b=(－3，4)，求a在b方向上的投影
(4) 已知向量a=(2,1),b=(3,x) , 若(2a-b)和b共线,则x= ； 若(2a-b)和b垂直,则x= .
一.基本概念 区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上 6.相反向量
平面向量基本定理教案(精选10篇)
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高考数学总复习 第八章 第1讲 平面向量及其线性运算配套课件 文
长；
解：(1)由题设知A→B＝(3,5)，A→C＝(－1,1)， 则A→B＋A→C＝(2,6)，A→B－A→C＝(4,4)． 所以|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2，2 10.
第十九页，共27页。
A．0
B.B→E
图 8-1-1
C.A→D
D.C→F
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4．设O→A＝e1，O→B＝e2，若 e1 与 e2 不共线，且点 P 在线段 AB 上，|AP|∶|PB|＝2，如图 8-1-2，则O→P＝( C )
A.13e1－23e2 C.13e1＋23e2
图 8-1-2
B.23e1＋13e2 D.23e1－13e2
非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个(yī ɡè)实数λ，使得b=λa，
即 b∥a(⇔3b)＝若λaO(→a≠P0＝)． xO→A＋yO→B ，三点 P，A，B 共线⇔x＋y＝1. 若P→A＝λP→B，则 P，A，B 三点共线．
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【互动探究(tànjiū)】
3．(2013 年陕西)已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,2)，若 a∥b, 则实数(shìshù) mC ＝)(
第六页，共27页。
5．共线向量及其坐标表示
使得((s1hb)ǐ＝向deλ量)a__a_(_a_≠_0_)与_．b 共线的充要条件是存在唯一一个(yī ɡè)实数λ，
(2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，当且仅当 x1y2 －x2y1＝0 时，向量(xiàngliàng) a，b 共线．
第八章 平面(píngmiàn)向量
平面向量复习课教案
平面向量复习课教案第一章：向量的概念与运算1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，解释向量的定义展示向量的表示方法，包括箭头表示和坐标表示强调向量的方向和模长的意义1.2 向量的运算复习向量的加法、减法和数乘运算解释向量加法和减法的几何意义探讨数乘向量的性质和运算规则第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义与性质引入数量积的概念，解释数量积的定义展示数量积的计算公式和性质强调数量积的交换律、分配律和消去律2.2 数量积的应用探讨数量积在向量投影中的应用解释夹角和向量垂直的概念展示数量积在向量长度和方向判断中的应用第三章：向量的坐标运算3.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和建立方法解释直角坐标系和笛卡尔坐标系的区别和联系强调坐标系中点的表示方法3.2 向量的坐标运算复习向量在坐标系中的表示方法介绍向量的坐标运算规则，包括加法、减法和数乘强调坐标运算与几何意义的联系第四章：向量的线性相关与基底4.1 向量的线性相关性引入线性相关的概念，解释线性相关的定义探讨线性相关性的性质和判定方法强调线性相关性与向量组的关系4.2 向量的基底介绍基底的概念，解释基底的定义和作用探讨基底的选择方法和基底的性质强调基底与向量表示和线性相关的联系第五章：向量的线性空间5.1 线性空间的概念引入线性空间的概念，解释线性空间的定义探讨线性空间的性质和运算规则强调线性空间与向量组的关系5.2 向量组的线性表示介绍线性表示的概念，解释线性表示的定义探讨线性表示的方法和性质强调线性表示与基底和线性空间的关系第六章：向量的叉积与外积6.1 叉积的定义与性质引入叉积的概念，解释叉积的定义和几何意义展示叉积的计算公式和性质强调叉积的交换律、分配律和消去律6.2 叉积的应用探讨叉积在面积计算和力矩中的应用解释向量垂直和向量积的关系展示叉积在几何图形判断中的应用第七章：向量场的概念与运算7.1 向量场的定义与表示介绍向量场的概念，解释向量场的定义和表示方法展示向量场的图形表示和箭头表示强调向量场的物理意义和应用领域7.2 向量场的运算复习向量场的加法和乘法运算解释向量场的叠加原理和运算规则强调向量场的运算与物理意义的联系第八章：向量函数的概念与性质8.1 向量函数的定义与表示引入向量函数的概念，解释向量函数的定义和表示方法展示向量函数的图像和性质强调向量函数的应用领域和数学意义8.2 向量函数的性质与应用探讨向量函数的连续性、可导性和可微性解释向量函数在物理和工程中的应用展示向量函数的图像和性质第九章：向量微积分的基本定理9.1 向量微积分的定义与性质介绍向量微积分的基本概念，解释向量微积分的定义和性质展示向量微积分的运算规则和公式强调向量微积分在物理和工程中的应用9.2 向量微积分的基本定理复习格林定理、高斯定理和斯托克斯定理解释向量微积分基本定理的意义和应用强调向量微积分基本定理在几何和物理中的重要性第十章：向量的进一步应用10.1 向量在几何中的应用探讨向量在几何图形判断和证明中的应用解释向量积和向量场的几何意义展示向量在几何问题解决中的应用10.2 向量在物理中的应用解释向量在物理学中的重要性，包括力学和电磁学探讨向量在力学中速度、加速度和力矩的应用展示向量在电磁学中电场和磁场的应用10.3 向量在工程中的应用介绍向量在工程领域中的应用，如土木工程和航空工程解释向量在结构分析和流体动力学中的应用展示向量在工程问题解决中的作用重点和难点解析1. 向量的概念与表示：向量的定义和表示方法是理解向量运算和应用的基础。
第一节 平面向量的概念讲义--高三数学一轮复习备考
平面向量与复数第一节平面向量的概念一、课程标准1.向量概念(1)通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；(2)理解平面向量的几何表示和基本要素．2.向量运算(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；(2)通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义；(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；(4)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积；(5)通过几何直观了解平面向量投影的概念及投影向量的意义．新高考命题方向：主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量基本定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目，偶尔会在解答题中作为工具出现．考查理性思维、数学探究、数学抽象学科素养．二、知识梳理知识点一向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量记作，其方向是任意的单位向量长度等于长度的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量(又叫做共线向量)0与任意向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为01.对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任意向量平行；(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况．2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制． 知识点二 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律：a ＋b ＝ (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝减法 求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝ ；当λ>0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝ ；λ(a ＋b )＝知识点三 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 ． 知识点四 平面向量的数量积 1．向量的夹角 定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 就是a 与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是θ＝0或θ＝π⇔ ，⇔a ⊥b• 温馨提醒 •对于两个非零向量a 与b ，由于当θ＝0°时，a ·b >0，所以a ·b >0是两个向量a ，b 夹角为锐角的必要不充分条件；a ·b ＝0也不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b .2．平面向量的数量积 (1)投影向量①如图，设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD →＝b ，分别过A ，B 作CD 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图，在平面内任取一点O 作OM → ＝a ，ON →＝b ，过M 作ON 的垂线，垂足为M 1，则就是向量a 在向量b 上的投影向量，设与b 方向相同的单位向量为e ，〈a ，b 〉为θ，则＝(|a |cos θ)e .两个向量数量积的几何意义：a ·b 等于a 在b 上的投影数量与b 的模的乘积． (2)向量数量积的运算律①a ·b ＝ ；②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝ ；③(a ＋b )·c ＝ ．• 温馨提醒 •1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．在用|a |＝a 2 求向量的模时，一定要先求出a 2再进行开方．三、基础自测1．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )A ．共线B ．不共线C ．共线且同向D ．不一定共线 2．已知a·b ＝－122 ，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．33 D ．33．(易错题)已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．05．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA → ＝a ，OB → ＝b ，则DC → ＝________，BC →＝________(用a ，b 表示).四、核心题型题型一 平面向量的有关概念及线性运算例1（1） (多选)已知a ，b 是两个单位向量，下列命题中正确的是( )A .|a |＝|b |＝1B ．a ·b ＝1C ．当a ，b 反向时，a ＋b ＝0D ．当a ，b同向时，a ＝b（2）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a | ＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b(3)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB → ＝4EC → ，则ED →＝( )A ．56 AB → －43 AC → B ．43 AB → －56 AC → C ．56 AB → ＋43 AC →D ．43AB → ＋56AC →题型二 平面向量共线定理的应用例2(1)已知两个非零向量a ，b 互相垂直，若向量m ＝4a ＋5b 与n ＝2a ＋λb 共线，则实数λ的值为( )A ．5B ．3C ．52 D ．2(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA → ＝a ＋2b ，BC → ＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．B ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线(3)已知O 为△ABC 内一点，且AO → ＝12 (OB → ＋OC → )，AD → ＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．23题型三 平面向量的数量积及应用例3(1)已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2.若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE → ·DF →＝( )A ．8B ．10C ．12D ．14(2)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM → ＝2MA → ,CN →＝2NA → ，则BC → ·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0(3) 已知|a |＝6，e 为单位向量，当向量a ，e 的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a 在向量e 上的投影向量．(4)(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a·b ＝1，则|b |＝________． (5)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3(6)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．五、变式训练1.如图所示，在直角梯形ABCD 中，DC → ＝14 AB → ，BE → ＝2EC → ，且AE → ＝rAB → ＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．42..设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．3.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A ．7B ．10C ．13D ．44.非零向量a ，b ，c 满足a ·b ＝a ·c ，a 与b 的夹角为π6 ，|b |＝4，则c 在a 上的投影向量的长度为( )A ．2B ．23C ．3D ．4六、作业一轮复习资料《课时作业》437页 A 组：全部 B 组：2、3。
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第五章 平面向量●网络体系总览平面向量解斜三角形向量的概念向量的运算向量的表示向量的应用几何表示坐标表示代数运算几何运算线段的定比分点平移正弦定理余弦定理●考点目标定位1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则.3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则.4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. ●复习方略指南向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用，“平面向量”将会成为命题的热点，一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有：（1）与“定比分点”有关的试题；（2）平面向量的加减法运算及其几何意义；（3）平面向量的数量积及运算律，平面向量的坐标运算，用向量的知识解决几何问题； （4）正、余弦定理的应用. 复习本章时要注意：（1）向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.（2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.（3）向量的加、减、数乘积是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直.（4）向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.（5）要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.（6）平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积●知识梳理1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. （2）法则：三角形法则；平行四边形法则. （3）运算律：a +b =b +a ；（a +b ）+c =a +（b +c ）. 3.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. （2）法则：三角形法则；平行四边形法则. 4.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，规定：|λa |=|λ||a |.当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λa 与a 平行.（2）运算律：λ（μa ）=（λμ）a ，（λ+μ）a =λa +μa ，λ（a +b ）=λa +λb . 5.两个重要定理：（1）向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ，即b ∥a ⇔b =λa （a ≠0）.（2）平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.●点击双基1.（2004年天津，理3）若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=35，则b 等于A.（－3，6）B.（3，－6）C.（6，－3）D.（－6，3）解析：易知a 与b 方向相反，可设b =（λ，－2λ）（λ＜0）.又|b |=35=224λλ+，解之得λ=－3或λ=3（舍去）.∴b =（－3，6）. 答案：A2.（2004年浙江，文4）已知向量a =（3，4），b =（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于A.43 B.－43 C.34 D.－34 解析：由a ∥b ，∴3cos α=4sin α.∴tan α=43. 答案：A3.若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且=a ，=b ，则等于 A.b +21a B.b －21a C.a +21bD.a －21b 解析：BE =AE －AB =AD +DE －AB =AD +21AB －AB =b －21a . 答案：B4.e 1、e 2是不共线的向量，a =e 1+k e 2，b =k e 1+e 2，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 A.0 B.－1 C.－2 D.±1 解析：a 与b 共线⇔存在实数m ，使a =m b ， 即e 1+k e 2=mk e 1+m e 2.又e 1、e 2不共线， ∴⎩⎨⎧==.1k m mk ，∴k =±1.答案：D5.若a =“向东走8 km ”，b =“向北走8 km ”，则｜a +b |=_______，a +b 的方向是_______. 解析：|a +b |=6464+=82（km ）. 答案：82 km 东北方向●典例剖析【例1】 已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |等于 A.1B.2C.5D.6剖析：欲求|a +b |，一是设出a 、b 的坐标求，二是直接根据向量模计算. 解法一：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则x 12+y 12=1，x 22+y 22=4，a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2）， ∴（x 1－x 2）2+（y 1－y 2）2=4. ∴x 12－2x 1x 2+x 22+y 12－2y 1y 2+y 22=4. ∴1－2x 1x 2－2y 1y 2=0.∴2x 1x 2+2y 1y 2=1.∴（x 1+x 2）2+（y 1+y 2）2=1+4+2x 1x 2+2y 1y 2=5+1=6. ∴|a +b |=6.解法二：∵|a +b |2+|a －b |2=2（|a |2+|b |2）， ∴|a +b |2=2（|a |2+|b |2）－|a －b |2 =2（1+4）－22=6. ∴|a +b |=6.故选D.深化拓展此题也可以利用“解斜三角形”的方法进行处理.【例2】如图，G是△ABC的重心，求证：GA+GB+GC=0.AGB CDE剖析：要证GA+GB+GC=0，只需证GA+GB=－GC，即只需证GA+GB与GC互为相反的向量.证明：以向量GB、GC为邻边作平行四边形GBEC，则GB+GC=GE=2GD.又由G 为△ABC的重心知AG=2GD，从而GA=－2GD.∴GA+GB+GC=－2GD+2GD=0.评述：向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性.深化拓展此题也可用向量的坐标运算进行证明.【例3】设OA、OB不共线，点P在AB上，求证：OP=λOA+μOB且λ+μ=1，λ、μ∈R.剖析：∵点P在AB上，可知AP与AB共线，得AP=t AB.再用以O为起点的向量表示.证明：∵P在AB上，∴AP与AB共线.∴AP=t AB.∴OP－OA=t（OB－OA）.∴OP=OA+t OB－t OA=（1－t）OA+t OB.设1－t=λ，t=μ，则OP=λOA+μOB且λ+μ=1，λ、μ∈R.评述：本例的重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用.深化拓展①本题也可变为OA，OB不共线，若OP=λOA+μOB，且λ+μ=1，λ∈R，μ∈R，求证：A、B、P三点共线.提示：证明AP与AB共线.②当λ=μ=21时，OP =21（OA +OB ），此时P 为AB 的中点，这是向量的中点公式. 【例4】 若a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ）.（1）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a 、t b 、31（a +b ）三向量的终点在一直线上?（2）若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小? 解：（1）设a －t b =m ［a －31（a +b ）］（m ∈R ），化简得（32m －1）a =（3m－t ）b . ∵a 与b 不共线， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.2123030132t m t m m ， ∴t =21时，a 、t b 、31（a +b ）的终点在一直线上. （2）|a －t b |2=（a －t b ）2=|a |2+t 2|b |2－2t |a ||b |cos60°=（1+t 2－t ）|a |2，∴t =21时，|a －t b |有最小值23|a |. 评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题. 思考讨论两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样?●闯关训练 夯实基础1.（2004年广东，1）已知平面向量a =（3，1），b =（x ，－3）且a ⊥b ，则x 等于 A.3 B.1 C.－1 D.－3 解析：由a ⊥b ，则3x －3=0，∴x =1. 答案：B2.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有 A.a ∥b 且a 、b 方向相同 B.a =b C.a =－b D.以上都不对 解析：a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，∴a ∥b 且方向相同. 答案：A3.在四边形ABCD 中，AB －DC －CB 等于 A.B.BDC.ADD.解析：－－=－=+=. 答案：C4.设四边形ABCD 中，有=21AB 且|AD |=||，则这个四边形是A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形解析：∵DC =21AB ，∴DC ∥AB ，且DC ≠AB .又|AD |=|BC |，∴四边形为等腰梯形. 答案：C5.l 1、l 2是不共线向量，且a =－l 1+3l 2，b =4l 1+2l 2，c =－3l 1+12l 2，若b 、c 为一组基底，求向量a .解：设a =λ1b +λ2c ，即－l 1+3l 2=λ1（4l 1+2l 2）+λ2（－3l 1+12l 2）， 即－l 1+3l 2=（4λ1－3λ2）l 1+（2λ1+12λ2）l 2，∴⎩⎨⎧-=-.31221342121＝＋，λλλλ解得λ1=－181，λ2=277，故a =－181b +277c . 6.设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解：e 12=4，e 22=1，e 1·e 2=2×1×cos60°=1， ∴（2t e 1+7e 2）·（e 1+t e 2）=2t e 12+（2t 2+7）e 1·e 2+7t e 22=2t 2+15t +7.∴2t 2+15t +7＜0.∴－7＜t ＜－21.设2t e 1+7e 2=λ（e 1+t e 2）（λ＜0）⇒⎩⎨⎧==λλt t 72⇒2t 2=7⇒t =－214， ∴λ=－14. ∴当t =－214时，2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为π. ∴t 的取值范围是（－7，－214）∪（－214，－21）. 思考讨论向量a 、b 的夹角为钝角，则cos 〈a ，b 〉＜0，它们互为充要条件吗?培养能力7.已知向量a =2e 1－3e 2，b =2e 1+3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c =2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d =λa +μb 与c 共线?解：∵d =λ（2e 1－3e 2）+μ（2e 1+3e 2） =（2λ+2μ）e 1+（－3λ+3μ）e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d =k c ，即（2λ+2μ）e 1+（－3λ+3μ）e 2=2k e 1－9k e 2，由⎩⎨⎧-=+-=+，，k k 933222μλμλ得λ=－2μ.故存在这样的实数λ、μ，只要λ=－2μ，就能使d 与c 共线.8.如图所示，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知=a ，=b ，试用a 、b 分别表示、和.解：由三角形中位线定理，知DE 21BC . 故=21BC ，即=21a . CE =CB +BD +DE =－a +b +21a =－21a +b ， =MD +DB +=21ED +DB +21=－41a +21a －b =41a －b . 探究创新9.在△ABC 中，AM ∶AB =1∶3，AN ∶AC =1∶4，BN 与CM 交于点E ，AB =a ，AC =b ，用a 、b 表示.解：由已知得=31，AN =41AC .设ME =λMC ，λ∈R ，则AE =AM +ME =AM +λMC . 而=－AM ，∴=+λ（－） =31+λ（－31）. ∴=（31－3λ）+λAC .同理，设NE =t NB ，t ∈R ，则AE =AN +NE =41AC +t NB =41AC +t （AB －AN ）=41+t （AB －41）. ∴=（41－4t）+t . ∴（31－3λ）+λ=（41－4t）+t .由AB 与AC 是不共线向量，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-，，441331t t λλ解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.113112t ，λ∴AE =113AB +112AC ， 即=113a +112b . 评述：此题所涉及的量较多，且向量与向量之间的关系较为复杂，因此对学生来说确有一定困难.通过共线向量，增加辅助量来理清向量之间关系是“探索”之所在，即对基本定理的深化及应用.●思悟小结1.我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.2.共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.3.对于两个向量平行的充要条件：a ∥b ⇔a =λb ，只有b ≠0才是正确的.而当b =0时，a ∥b 是a =λb 的必要不充分条件. 4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题. 5.培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力. ●教师下载中心 教学点睛1.本课复习的重点是：理解向量的基本概念，掌握向量的加法、减法运算，掌握实数与向量的积的运算.2.复习时要构建良好的知识结构.3.向量的加法、减法运算既要注重几何运算，又要注重代数运算.4.强化数学思想的教学，尤其是数形结合思想、化归思想等. 拓展题例【例题】 对任意非零向量a 、b ，求证：|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |. 证明：分三种情况考虑.（1）当a 、b 共线且方向相同时，|a |－|b |＜|a +b |=|a |+|b |，|a |－|b |=|a －b |＜|a |+|b |. （2）当a 、b 共线且方向相反时，∵a －b =a +（－b ），a +b =a －（－b ），利用（1）的结论有||a |－|b ||＜|a +b |＜|a |+|b |，|a |－|b |＜|a －b |=|a |+|b |.（3）当a ，b 不共线时，设OA =a ，OB =b ，作OC =OA +OB =a +b ，BA =OA －OB =a －b ，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||a |－|b ||＜|a ±b |＜|a |+|b |.综上得证.。
高考数学一轮复习平面向量应用举例公开课一等奖课件省赛课获奖课件
【例2】(1)已知向量 a (cos 3x , sin 3x ),b (cos x ,sin x ), x ［0, ］,
2
2
22
2
则函数 gx | a b | 的值域为_______.
(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量
p=(1-sinA, 12 ), q=(cos2A,2sinA),且p∥q.
【反思·感悟】平面几何问题的向量解法 (1)坐标法 把几何图形放在适宜的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体 的坐标，这样就能进行对应的代数运算和向量运算，从而使问 题得到解决. (2)基向量法 适宜选用一组基底，沟通向量之间的联系，运用向量共线构造 有关设定未知量的方程来进行求解.
向量在三角函数中的应用 【办法点睛】平面对量与三角函数的综合问题的命题形式与解 题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向 量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求 解. (2)给出用三角函数表达的向量坐标，规定的是向量的模或者 其它向量的体现形式，解题思路是通过向量的运算，运用三角 函数在定义域内的有界性，求得值域等.
1 ( 1) 1 . 32 6
∵0≤x≤
,∴3
≤co1sθ≤1,∴0≤θ≤
2
.
3
∴θ的最大值为 ,此时x=0,
3
∴点P的坐标为(0,± )3.
【反思·感悟】1.向量法解决平面解析几何问题的核心是把点的 坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算. 2.相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经惯用到，必须 纯熟掌握.
【易错误区】无视对直角位置的讨论致误 【典例】(2012·烟台模拟)已知平面上三点A、B、C， BC =(2-k,3), AC =(2,4). (1)若三点A、B、C不能构成三角形，求实数k应满足的条件； (2)若△ABC为直角三角形，求k的值.
2025届高中数学一轮复习课件《平面向量基本定理及坐标表示》ppt
)
高考一轮总复习•数学
第10页
2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以12a－32b＝12(1，1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32 ＝(－1,2)．
∴54<k<32.即 k 的取值范围为54，32.
高考一轮总复习•数学
第23页
题型
平面向量的坐标运算
典例 2(1)已知 A(－2,5)，B(10，－3)，点 P 在直线 AB 上，且 P→A ＝－13P→B ，则点 P 的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9)
B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
高考一轮总复习•数学
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01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
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第4页
理清教材 强基固本
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第5页
一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
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第22页
解析：如图，分别取 BD，AE 的中点 G，N，连接 GN 交 EF 于 H，
第二节 平面向量基本定理及坐标运算 课件(共102张PPT)
( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.
高考数学复习第4章平面向量第1讲平面向量及其线性运算
向量－b 的和的 减法
运算叫做 a 与 b
的差
三角形法则
运算律 a－b＝a＋(－b)
(续表) 向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
(1)|λa|＝___|λ_|_|a_|__； (2)当λ>0 时,λa 的
数乘 求实数λ与向量 a 的积的运算
方向与 a 的方向相 同；当λ<0 时,λa 的 方向与 a 的方向相
量的个数为( B )
A.1
B.2
C. B.
4.如图 4-1-1，在正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝ (D )
图 4-1-1
A.0
B.B→E
C.A→D
D.C→F
考点 1 平面向量的基本概念
例 1：(1)(多选)下列命题正确的有( ) A.若|a|＝|b|，则 a＝b B.若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件 C.若 a＝b，b＝c，则 a＝c D.若 a∥b，b∥c，则 a∥c
选 A.
答案：A
【规律方法】(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也 具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时, 不要把它与函数图象的平移混为一谈.(4)非零向量 a 与|aa|的关系： |aa|是与 a 同方向的单位向量.
λ(μa)＝___λ_μ_a___； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
反；当λ＝0 时,λa
＝____0____
3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ, 使得 b＝λa.
平面向量复习讲义
平面向量复习讲义一. 向量有关概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；uuu3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是uuu.ABL）；|AB|4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5. 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a // b，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0）；6. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a的相反向量是一a。
女口下列命题：（1）若a b，则a b。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC，则ABCD是平行四边形。
（4）若ABCD是平行四边形，uiin LLir r r r r r r r r r r r r则AB DC。
（5）若a b, b c，则 a c。
（6）若a//b,b//c，则a//c。
其中正确的是____________（答：（4）（5））二. 向量的表示方法：1 .几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2 .符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3.坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，——r r r tj为基底，则平面内的任一向量a可表示为a xi y j x,y，称x, y为向量a的坐标，a = x, y叫做向量a的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
人教高中数学必修二A版《平面向量的运算》平面向量及其应用说课复习(向量的加法运算)
核心素养 数学抽象、 直观想象
数学抽象、 直观想象
数学抽象、 数学运算
第六章 平面向量及其应用
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问题导学
预习教材 P7－P10 的内容，思考以下问题： 1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？ 2．向量加法的运算律有哪两个？
A．2
B．3
C．4
D．5
答案：D
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
如图所示，在平行四边形 ABCD 中，A→B＝a，A→D＝b，则A→C＋B→A ＝( )
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→
→
则得向量OB＝a＋c，然后作向量BC＝b，
则向量O→C＝a＋b＋c 为所求．
法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图， (1)在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b；
AB，BC，CD，DA 的中点，化简下列各式：
人教高中数学必修二A版《平面向量的应用》平面向量及其应用教学说课复习课件(平面几何中的向量方法)
必修第二册·人教数学A版
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探究二 平面向量在几何求值中的应用
[例 2] (1)已知边长为 2 的正六边形 ABCDEF，连接 BE，CE，
点 G 是线段 BE 上靠近 B 的四等分点，连接 GF，则G→F·C→E( )
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的合力的大小为( )
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N
B．5 2 N
C．5 3 N
D．5 6 N
解析：两个力的合力的大小为|F1＋F2|＝ F21＋F22＋2F1·F2＝5 6(N)． 答案：D
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①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；
④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、
平行、夹角等问题转化为代数运算．
中职教育数学《平面向量-复习课》练习题
第七章平面向量（知识点）1.向量的概念（1）定义：既有大小又有方向的量。
（2）向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为A，终点为B的向量表示为AB。
（3）向量的模（长度）：||||aAB或（4）零向量：长度为0，方向任意。
单位向量：长度为1的向量。
相等向量：大小相等，方向相同的两个向量。
反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。
2.向量的运算（1）图形法则三角形法则平形四边形法则（2）计算法则加法：ACBCAB=+减法：CBACAB=-（指向被减）（3）运算律：加法交换律、结合律注：乘法（内积）不具有结合律3.数乘向量：aλ（1）模：||||aλ（2）方向：λ为正与a相同；λ为负与a相反。
4.AB的坐标：终点B的坐标减去起点A的坐标。
),(ABAByyxxAB--=5.向量共线（平行）：存在唯一实数λ，使得baλ=。
（可证平行、三点共线问题等）6.注意ABC∆中，重心(三条中线交点)、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点）、内心（内切圆圆心：三角平分线交点）、垂心（三高线的交点）7.向量的内积（数量积）（1）向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围],0[π。
夹角必须共起点（2）内积公式：><=⋅bababa,cos||||8.向量内积的性质：（1）||||,cosbababa⋅>=<（夹角公式）（2）a⊥b0=⋅⇔ba（3）aaaaaa⋅==⋅||||2或（长度公式）9.向量的直角坐标运算：（1）),(ABAByyxxAB--=（2）设),(),,(2211yxbyxa==，则),(2121yyxxba±±=±),(11yxaλλλ=2121yyxxba+=⋅11.中点坐标公式：若A11(,)x y,B22(,)x y,点M(x,y)是线段AB的中点,则1212,22x x y yx y++==12.向量平行、垂直的充要条件：设),(),,(2211yxbyxa==，则a∥b2121yyxx=⇔（相对应坐标比值相等）a⊥b⇔=⋅⇔0ba02121=+yyxx（两个向量垂直则它们的内积为0）10.长度公式（1）向量长度公式：设),(yxa=，则22||yxa+=（2）两点间距离公式：设点),(),,(2211yxByxA，则212212)()(||yyxxAB-+-=第七章：平面向量（练习）一、选择题：1、平面向量定义的要素是（）A 大小和起点B 方向和起点C 大小和方向D 大小、方向和起点2、BCACAB--等于（）A 2BCB 2CBC 0D 03、设点A（a1,a2）及点B（b1,b2），则AB的坐标是（）A （2211,baba--） B （2121,bbaa--）C （2211,abab--） D （1212,bbaa--）4、两个向量夹角的范围是（）A、（0°，90°）B、[0°，90°]C、（0°，180°）D、[0°，180°]5、已知向量(1,2)a=-,向量(2,3)b=-,则32a b-等于( )A.(－1,－12)B.(3,－5)C.(7,－12)D.(7,0)6、21（2a +6b ）-3b 等于（ ） A 、a -2b B 、a -b C 、a D 、b7、若b a •=-4，|a |=2，|b |=22，则<b a ,>是（ ） AB 90C 180 D2708、已知(3,2),(,4)m n x ==,m n ∥,则x = （ ） A.6 B.－6 C.83- D.839、下列各对向量中互相垂直的是（ ）A )5,3(),2,4(-==b aB )3,4(),4,3(=-=b aC )5,2(),2,5(--==b aD )2,3(),3,2(-=-=b a 二、填空题：1、BC CD AB ++=______________.2、向量b a ,的坐标分别为（2，-1），（-1，3），则b a +的坐标_______，2b a 3+的坐标为__________.3、已知A （-3，6），B （3，-6），则AB =__________,|BA |=____________.4、=⋅-=--=b a b a 则)5,6(),3,2( 。
平面向量复习课教案
平面向量复习课教案第一章：向量的概念与表示1.1 向量的定义1.2 向量的表示1.3 向量的几何表示1.4 向量的坐标表示第二章：向量的运算2.1 向量的加法2.2 向量的减法2.3 向量的数乘2.4 向量的点积2.5 向量的叉积第三章：向量的性质与运算规律3.1 向量的模3.2 向量的方向3.3 向量的单位向量3.4 向量的平行与共线3.5 向量的垂直与正交3.6 向量的运算律第四章：向量的应用4.1 向量在几何中的应用4.2 向量在物理中的应用4.3 向量在计算机图形学中的应用第五章：向量的线性空间与基底5.1 向量空间的概念5.2 向量空间的基底5.3 向量空间的维数5.4 向量空间的线性组合5.5 向量空间的线性变换第六章：向量组的线性相关性6.1 线性相关的定义6.2 线性相关的判定6.3 线性无关的定义6.4 线性无关的判定6.5 向量组的秩第七章：向量空间的标准基底与坐标系7.1 标准基底的概念7.2 标准基底的性质7.3 坐标系的定义7.4 坐标系的转换7.5 向量在坐标系中的表示第八章：向量的线性变换8.1 线性变换的定义8.2 线性变换的性质8.3 线性变换的矩阵表示8.4 线性变换的图像8.5 线性变换的应用第九章：向量组的极大线性无关组9.1 极大线性无关组的定义9.2 极大线性无关组的判定9.3 极大线性无关组的性质9.4 极大线性无关组与基底的关系9.5 极大线性无关组的应用第十章：向量代数在实际问题中的应用10.1 向量代数在物理学中的应用10.2 向量代数在工程学中的应用10.3 向量代数在计算机科学中的应用10.4 向量代数在经济学中的应用10.5 向量代数在其他领域中的应用重点和难点解析一、向量的概念与表示补充说明：向量的定义是本节课的基础，理解向量是具有大小和方向的量，能在物理、几何等多个领域中表示各种对象。
向量的几何表示是通过箭头表示向量的大小和方向，坐标表示则是将向量的大小和方向用数对的形式表示出来。
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2
坐标表示
x2 y2
2 2 （3）若A（x1，y1），B（x2，y2），则| AB | （x1 x 2） （y1 y 2） x1 x2 y1 y2 七、向量的夹角 cos a b 2 2 2 2 x y x y | a || b | 1 1 2 2
y
2、坐标表示：
a xi y j
（x，y）
OA （x，y）
a j O i
y
A (x,y)
a
x
Байду номын сангаас
x
三、向量的运算
（一）向量的加法
1、作图 三角形法则： C
AB BC AC
A
a +b
平行四边形法则：
b
B
设a （x1，y1） ， b （x2，y2） （x1 x2，y1 y2） 则a b D a +b b （二）向量的减法 A a
2、坐标运算： 1、作图
a
C
平行四边形法则：AB AD
B
DB
2、坐标运算：
设a （x1，y1） ， b （x2，y2）
则a b （x1 x2，y1 y 2）
（三）数乘向量 λ a( R)
（1）长度： a a 1、 a 的大小和方向： （2）方向： 当 0时， a与a同向 当 0时， a与a异向
当 0时， a 0
(四) 数量积 1、平面向量数量积的定义： a b | a | | b | cos 2、数量积的几何意义：
等于a 的长度 | a | 与 b 在 a 方向上的投影 | b | cos 的乘积.
B
b O B b B b
θ
a B1
θ
A B
1
O a
A
O (B1)
例4、A1B1=8, A1A2 =9, A2B2= 5 2
∠A1A2B2=450，求B1B2的长。
B2
1350
A2
5 2
9
B1
8
A1
课下探究
设a ( 2 cos x , 1), b (cos x , 3 sin 2 x ) ( x R ), 记 f ( x ) a b 1. (1) 若x [0, ], 试求f ( x )的单调递 减区间； ( 2) 将y 2 sin x的图象按向量 c ( m , n) ( m
一、向量的有关概念
向量定义： 既有大小又有方向的量叫向量。
零向量：
长度为0的向量，记作 0.
单位向量： 长度为1个单位长度的向量.
平行向量：
也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.
相等向量：
长度相等且方向相同的向量. 长度相等且方向相反的向量.
相反向量：
二、向量的表示
1、字母表示：AB或a
B A
2 象 , 求实数m , n的值.
)平移后得 y f ( x )的图
五、向量平行的判定(共线向量的判定)
（ 1 ）a // b b a （a 0 ） 向量表示 （2） b // a x1 y2 x2 y1 0 ，其中a （x1，y1）， b （x2，y2）
六、向量的长度
（） 1 a a | a | ， | a | a （2）设 a （x，y），则 | a |
θ
a
A
3、数量积的坐标运算
a b x1 x2 y1 y2
1 ） a b b a 4、运算律: （ （ 2 ）（ a ） b （ a b ） a（ b ）
（ 3）（ a b） c ac b c
四、向量垂直的判定
（ 1 ） a b a b 0 向量表示 （2） a b x1 x2 y1 y2 0 坐标表示
（x，y）（ x， y） 2、数乘向量的坐标运算 ： a 3、数乘向量的运算律： a a （ ） （a b） a b a a a 4、平面向量基本定理
如果 e1 ， e2 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数1，2使 a 1 e1 2 e2