复变函数习题及解答

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复变函数课后习题答案(全)

习题一答案

1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）1

32i

+ （2）(1)(2)i i i --

（3）131i i i

-- （4）821

4i i i -+-

解：（1）1323213i

z i -==

+，因此：32

Re , Im 1313z z ==-，

1232, arg arctan , 3131313

z z z i ==-=+

（2）3(1)(2)1310

i i i

z i i i -+===---，

因此，31

Re , Im 1010

z z =-=，

1131, arg arctan , 3101010

z z z i π==-=--

（3）133335122

i i i

z i i i --=-=-+=

-，因此，35

Re , Im 32z z ==-，

34535, arg arctan , 232

i z z z +==-=

（4）821

41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+

因此，Re 1, Im 3z

z =-=，

10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--

2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）13i -+

（3）(sin cos )r i θθ+

（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤

解：（1）2

cos

sin

i e π

=+=

（2）13i -+2

222(cos sin )233

i i e πππ=+=

（3）(sin cos )r i θθ+()2

复变函数习题及答案解释

第一篇复变函数

第一章复数与复变函数

1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.

（1） 7

52)(43(i

i i −+；

（2） .421

i i i +−

2. 当x ，y 等于什么实数时，等式

i i

y x +=+−++135)3(1 成立？

3.证明：

（1）;2

z z z = （2）11

,z z z z = .02≠z

4.求下列各式的值：（1）(

)

;35

i −

（2）().13

1i +−

5.求方程083=+z 的所有根.

6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ，

证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.

7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围：

（1）;65=−z

（2）;12≥+i z

（3）.i z i z −=+

8.描述下列不等式所确定的区域，并指出它是有界的还是无界的：（1）;32≤≤z

（2）.141+<−z z

9.将方程t

t z 1

=（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.

第一章复习题

1.单项选择题

（1）设iy x z +=，y x ≠||，4z 为实数，则（）.

A ．0=xy B.0=+y x C ．0=−y x D.022=−y x

（2）关于复数幅角的运算，下列等式中正确的是（）. A ．Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=

C ．2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += （3）=+31i （）.

复变函数_习题集(含答案)

14.计算积分，其中路径为（a）自原点到点的直线段；(b)自原点沿虚轴到，再由沿水平方向向右到．
15.计算积分，其中路径分别为（a）自原点到点的直线段；(b)自原点沿虚轴到，再由沿水平方向向右到．
16.计算积分．
17.计算积分．
18.计算积分．
19.计算积分．
20.计算积分．
又在内为常数,
有 .
由与得 .
故在内为常数.从而在内为常数.
6.解：， .
又 ,
.
7.解:
.
8.解:
.
9.解:
.
10.解: .
11.解：在C内解析.
.
12.解: .
13.解：
.
14.解：（a） .
（b）
.
15.解：（a） .
（b）
.
16.解：在内仅以z=1，z=2为分别为一、二级极点.
38.设函数在内解析，令 .证明：在区间上是一个上升函数，且若存在及（），使，则常数．
39.设在内部解析，且连续到，在上有 .试证明：在内部只有一个点，使．
40.证明区域上的调和函数的也为区域上的调和函数．
二、填空题1
（略）……
答案
1.解：
2.解：
设，我们有，

复变函数课后部分习题解答精编版

（1）(3-i)

解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°]

(3-i)5

=25[cos(30°⨯5)-isin(30°⨯5)]

=25(-3/2-i/2) =-163-16i

（2）（1+i ）6

解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2

tan θ=x y =1

x>0,y>0

∴θ属于第一象限角

∴θ=4

π ∴1+i=2（cos

4π+isin 4

π） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 46π） =8（0-i ）

=-8i

1.2求下式的值 (3)61-

因为

-1=（cos π+sin π）

所以

61-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6).

习题一

1.2（4）求(1-i)31

的值。

解：(1-i)31 =[2(cos-4∏+isin-4∏)]31

=62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12)

18(-

k ∏)]

(k=0,1,2)

1.3求方程3z +8=0的所有根。

解：所求方程的根就是w=38-

因为-8=8（cos π+isin π）所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2

其中ρ=3r=38=2

即

w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i

w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-2

w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i

复变函数综合练习题及答案

第一部分习题

一. 判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填√,否则填⨯.(共20题) 1. 在复数范围内31有唯一值1.

( ) 2. 设z=x+iy , 则

z z 22y x +.

(

)

3. 设,2321i z -=则.3

2arg π=z ( ) 4. z cos =ω是有界函数.

( ) 5. 方程1=z

e 有唯一解z=0.

( ) 6.

设函数z g z f (),()在0z 处可导,则)

()

(z g z f 在点0z 处必可导.

(

)

设函数

)

,(),()(y x iv y x u z f +=在

00iy x z +=处可导,则

)(00,0)(

)(y x y

i y v z f ∂∂-∂∂='.

( )

8. 设函数)(z f 在区域D 内一阶可导,则)(z f 在D 内二阶导数必存在. ( ) 9.

设函数)(z f 在0z 处可导, 则)(z f 在0z 处必解析.

( ) 10. 设函数)(z f 在区域D 内可导, 则)(z f 在D 内必解析.

(

)

11. 设),(),,(y x v y x u 都是区域D 内的调和函数,则),(),()(y x iv y x u z f +=是D 内的解析函数.

( ) 12. 设n 为自然数,r 为正实数,则

(00=-⎰=-r z z n z z dz

(

)

13. 设)(z f 为连续函数,则⎰⎰

'=1

)()]([)(t t c

dt t z t z f dz z f ,其中10,),(t t t z z =分别为曲

复变函数习题及解答

第⼀章复变函数习题及解答

1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐⾓以及辐⾓的主值；并分别写成代数形式，三⾓形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数)

（1）1--；（2）

ππ2(cos

isin )33-；（3）1cos isin αα-+；

（4）1i e +；（5）i sin R e θ；（6）i + 答案（1）实部－1；虚部

2；辐⾓为

4π

2π,0,1,2,3

k k +=±±；

主辐⾓为

4π3

；原题即为代数形式；三⾓形式为

4π4π2(cos

isin )33+；指数形式为

4π

i 3

．

（2）略为 5π

i 3

5π5π

2[cos sin ], 233i e +

（3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα

（4）略为

i ;(cos1isin1)ee e +

（5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+

（6）该复数取两个值

略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθθθθθθθ+==+==+

1.2 计算下列复数

1）()

3i 1+-；2）()3

1i 1+-；

答案 1）3512i 512+-；2）()1

3π/42k π

2e 0,1,2k +=；

1.3计算下列复数

（1

（2

答案（1

（2）(/62/3)i n e ππ+

1.4 已知x

为实数，求复数的实部和虚部．

【解】

令i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平⽅得

到

12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以

复变函数课后习题答案(全)

习题一答案

1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）

32i

（2）

(1)(2)

i i

（3）13

i i

（4）821

i i i

-+-

解：（1）

132

3213

i z

，

因此：

32 Re, Im

1313 z z

==-，

232

arg arctan,

31313

z z z i

==-=+

（2）

(1)(2)1310

i i i

===

---

，

因此，

Re, Im

1010

z z

=-=，

131

arg arctan,

31010

z z z i

==-=--

（3）

133335

122

i i i

z i

i i

=-=-+=

，

因此，

Re, Im

z z

==-，

535

,arg arctan,

232

z z z

==-=

（4）821

41413

z i i i i i i

=-+-=-+-=-+

因此，Re1,Im3

z z

=-=，

arg arctan3,13

z z z i

==-=--

2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：

（1）i（2

）1-+（3）(sin cos)

r i

θθ

（4）(cos sin)

r i

θθ

-（5）1cos sin (02)

θθθπ

-+≤≤

解：（1）2

cos

sin

i i e π

=+=

（2

）1-+2

222(cos sin )233

i i e πππ=+=

（3）(sin cos )r i θθ+()2

[cos()sin()]22

r i re

θππ

θθ-=-+-=

（4）(cos sin )r i θ

θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=

复变函数课后习题答案(全)

习题一答案之巴公井开创作

1．

求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）132i

+ （2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i -- （4）8214i i i -+- 解：（1）1323213i z i -==+，因此：32Re , Im 1313z z ==-，（2）3(1)(2)1310

i i i z i i i -+===---，因此，31Re , Im 1010z z =-=，（3）133335122i i i z i i i --=-=-+=-，因此，35Re , Im 32

z z ==-，（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+

因此，Re 1, Im 3z z =-=，

2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2

）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+

（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤

解：（1）2cos sin 22i

i i e ππ

=+= （2

）1-+23222(cos sin )233

i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22i r i re πθππθθ-=-+-=

（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=

（5）2

1cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 3．求下列各式的值：

复变函数课后习题答案(全)

精心整理

习题一答案

1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（ 1）

（2）

2i 1)(i

（3）

3i （4） i 8

1 i

解：（ 1） z

1 3 2i ，

3 2i 13

因此： Re z

3 , Im z

2 ，

13 13 （ 2） z

i 3 i ， (i

1)(i 2)

因此， Re z

3 , Im z 1 ，

（ 3） z

1 3i i

3 3i 3 5i ，

i 1

2 2

因此， Re z

3 , Im z 5 ，

（ 4） z

i 8 4i 21

i 1 4i i 1 3i

因此， Re z 1, Im z 3，

2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：

（）（）

1 3i （） r (sin i cos )

1 i

（ 4） r (cos i sin ) （5）1 cos i sin

2 )

解：（ 1） i

cos

i sin

i e 2 2

（2） 1

2(cos

i sin

)

3 3

（ 3） r (sin

i cos ) r[cos(

)

i sin(

)] (

) i

（ 4） r (cos i sin ) r[cos( ) i sin( )]

re i

（5）1

cos

i sin

2sin 2

2 2i sin

cos 2

页脚内容

3．求下列各式的值：

（1）( 3 i)5 （ 2） (1

i )100

i)100

（3）

3i )(cos i sin ) （4） (cos5 i sin 5

(1 i )(cos i sin ) (cos3 i sin 3

复变函数经典习题及答案

e(1i
)
ln
2
i
4
2
k
e e ln
2
4
2 k
i
4
2
kln
2
ln 2 2k i 2kln 2
4 4
2e
2 k 4
cos
4
ln
2
i
sin
4
ln
2
令 k 0 得主值:
(k 0, 1, 2,)
(1 i)(1i)
2e
4
cos
4
ln
2
arg z , arg z 2
3
3
在圆环内的点不是内点.
o 2 3x
5
例6 函数 w 1 z 将 z 平面上的下列曲线变成 w平面上的什么曲线？
(1) x2 y2 9, (2) x 2. 解 (1) 因为 x2 y2 z 2 9
又
w1 z
1 x iy
x iy x2 y2
1
1
1
C z(z2 1)dz
C1
z(z2
dz 1)
C2 z(z2 1) dz
21
解法一利用柯西-古萨基本定理及重要公式
z(
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z

复变函数课后部分习题解答

（1）(3-i)

解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°]

(3-i)5

=25[cos(30°⨯5)-isin(30°⨯5)]

=25(-3/2-i/2) =-163-16i

（2）（1+i ）6

解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2

tan θ=x y =1

x>0,y>0

∴θ属于第一象限角

∴θ=4

π ∴1+i=2（cos

4π+isin 4

π） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 46π） =8（0-i ）

=-8i

1.2求下式的值 (3)61-

因为

-1=（cos π+sin π）

所以

61-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6).

习题一

1.2（4）求(1-i)3

的值。

解：(1-i)31 =[2(cos-4∏+isin-4∏)]31

=62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12)

18(-k

∏)]

(k=0,1,2)

1.3求方程3z +8=0的所有根。

解：所求方程的根就是w=38-

因为-8=8（cos π+isin π）所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2

其中ρ=3r=38=2

即

w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i

w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-2

w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i

复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||0

0)(z z n

z z dz

__________.（n 为自然数）

2.=+z z 2

cos sin

_________.

3.函数z sin 的周期为___________.

4.设

)(2+=

z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.

5.幂级数

n n nz ∞

=∑的收敛半径为__________.

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

7.若ξ

=∞

→n n z lim ，则=

+++∞→n z z z n

n (i)

21______________.

=)0,(

Re n z

z e

s ________，其中n 为自然数.

9. z

z sin 的孤立奇点为________ .

10.若0z 是)(z f 的极点，则___

)(lim 0

=→z f z z .

三.计算题（40分）：

1. 设

)2)(1(1

)(--=

z z z f ，求)(z f 在}

1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.

2. .cos 1

1||⎰=z dz z

3. 设

⎰

-++=C d z z f λ

λλλ1

73)(2，其中

}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +

4. 求复数

+-=

z z w 的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数

)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，

那么它在

D 内为常数.

2. 试证

: ()f z =

在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两

复变函数习题及解答

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）

答案（1）实部－1；虚部；模为2；辐角为；主辐角为；原题即为代数形式；三角形式为；指数形式为．

（2）略为

（3）略为

（4）略为

（5）略为：

（6）该复数取两个值

略为

计算下列复数

1）；2）；

答案1）；2）；

计算下列复数

（1）；（2）；

答案（1）

（2）

已知为实数，求复数的实部和虚部．

【解】令，即为实数域(Real).平方得到

，根据复数相等，所以

即实部为虚部为

说明已考虑根式函数是两个值，即为值．

如果试证明对于任何复常数有

【证明】因为，所以

如果复数是实系数方程的根，则一定也是该方程的根．

证因为，，…，均为实数，故，，…，．且，故由共轭复数性质有：．则由已知．两端取共轭得

即．故也是之根．

注此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点．

证明：,并说明其几何意义．

若，试求的值.

【解】因为

所以即为所以

将下列复数表为的幂的形式

（1）；（2）

答案

证明：如果是1的n次方根中的一个复数根，但是即不是主根，则必有

对于复数，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：

成立。

【证明】对任意n个复数，由三角不等式知

再由关于实数的柯西不等式得

,证毕。

证明

成立．

下列不等式在复数平面上表示怎样的点集

1）；2）；3）；4）；

5）

（答 1）平面上由与所构成的宽度为1的铅直带形域；2）以为心，内半径为2，外半径为3的圆环域；3）顶点在原点，开度为的角形区域；4）宽度为的说平带形域，边界为，；

复变函数习题总汇与参考答案

复变函数习题总汇与参考答案(总

21页)

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复变函数习题总汇与参考答案

第1章复数与复变函数

一、单项选择题

1、若Z 1=（a, b ）,Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=（C ）

A （ac+bd, a ）

B (ac-bd, b)

C （ac-bd, ac+bd ）

D (ac+bd, bc-ad)

2、若R>0，则N （∞，R ）={ z ：（D ）}

A |z|

B 0<|z|

C R<|z|<+∞

D |z|>R

3、若z=x+iy, 则y=(D) A B C D

4、若A= ，则 |A|=（C ） A 3 B 0 C 1 D 2

二、填空题

1、若z=x+iy, w=z 2=u+iv, 则v=（ 2xy ）

2、复平面上满足Rez=4的点集为（ {z=x+iy|x=4} ）

3、（设E 为点集，若它是开集，且是连通的，则E ）称为区域。

z +2z z -i

z 2+i

z z 2-)1)(4()

1)(4(i i i i +--+

4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……)，则{z n }以z o 为极限的充分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。

三、计算题

1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。

解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1

|-1-i|=

2、写出复数-i 的三角式。解：

3、写出复数的代数式。

解：

4、求根式

的值。 +∞→n lim +∞→n lim ππ4

复变函数习题解答.docx

复变函数练习题解答

一、求出下列函数的奇点，并确定它们的类别(对于极点，耍指明它们的阶)，对于无穷远

点也要加以讨论.

(1)/(z) = —⑵ /(z) = —^-丄

sin 丄Z z

解.(1) /(z)=—有奇点0,丄伙=1,2,3,・・・)严，因在扩充复平面上siiJ $

——=sin丄有一阶零点丄伙=1,2,3,…)，8 ,故/(z)=—冷有一阶极点/⑵ 乙加sin 丄

丄伙= 1,2,3,…)产,易见o是于(z)的一阶极点丄伙= 1,2,3,…)的极限点，因而o kn kn 不是/(z)的孤立奇点.

解.(2) /(z)= ------------ 丄有奇点0,2£方伙=1，2,3,…)严，因

e-1 z

蛇⑵也詔也占

=lim 2 = 1曲—e)',=怙= -1

ZTO & _1 + ze、ZTO(&_1 + zej 乙TO 2b + 2

0是/(z)的可去奇点,易见/(z)有一阶极点2km(k = 1,2,3,…)•事实上

恋(“ 2聞/⑵叮监(占-

z-2kjt\ 1 ‘

=lim ——: ---- =lim — = 1

ZT2hri e、一 ] ZT2E e、

因而oo是/(z)的一阶极点2Si伙=1,2,3,…)的极限点，OO不是/(z)的孤立奇点.

二、考查函数f(z.) = x3-y3 + 2x2y2i的可微性和解析性，并求出导数(如存在).

解.因u（x, y） = x3 - y3, v（x,y） = 2x2y2,宾=3疋，-^- = -3y2,

ox dy

^L = 4xy2 , ^- = 4x2y ,故f（z） = x3-y3+2x2y2i仅在两个点（0,0）,（—,—）满足ox dy 4 4

复变函数习题及答案

第一章习题

一、选择题

1．设z=3+4i,，则Re z2=( )

A．-7 B．9

C．16 D．25

2.arg(2-2i)=（）

A. B.

C. D.

3．设0

A．z=(1+i)t B．z=e it+2i

C．z=t+D．z=2cost+i3sint

4.复数方程z=3t+it表示的曲线是（）

A.直线

B.圆周

C.椭圆

D.双曲线

5．复方程所表示的曲线为________.

. 直线；.抛物线；.双曲线；.圆

二、填空题

1. 设点,则其辐角主值arg z (-π

2.设点, 则其辐角主值arg z (-π

3.若，则=___________.

4．arg(1+i)= .

5．复数的模为_____, 幅角主值为_______.

6．复数的模为_________，辐角为____________.

7．设z=x+iy, 则曲线|z-1|=1的直角坐标方程为.

一．选择

1．下列集合为无界多连通区域的是（）

A.0<|z-3i|<1

B.Imz>π

C.|z+ie|>4

二、填空

1．设，则Imz＝______________________。

三、计算题

1.解方程z4=.

2. 考察函数在处的极限。

复变函数第一章单元测试题

一、判断题（正确打√，错误打）

1.复数. ( )

2.若为纯虚数，则. ( )

3.。（）

4.在点连续的充分必要条件是在

点连续。（）

5.参数方程（为实参数）所表示的曲线是抛物线. ( )

二、填空题

1.若等式成立，则______, _______.

2.方程表示的曲线是__________________________.

3.方程的根为_________________________________.