第0章、数学基础范文
从零开始学习数学建立坚实的数学基础
从零开始学习数学建立坚实的数学基础在当今社会，数学作为一门重要的学科，不仅是我们日常生活中的必备技能，也是许多职业的基础。
然而，对于许多人来说，数学学习似乎是一座难以逾越的高山。
为了建立坚实的数学基础，我们需要从零开始学习数学。
首先，了解数学的核心概念是非常重要的。
数学是一门逻辑严密、系统完整的学科，它的核心概念贯穿于各个不同的领域。
实数、整数、分数、代数、几何等都是数学的基础概念。
我们可以通过阅读教材、参加数学课程或者寻找在线学习资源来掌握这些概念。
在学习过程中，我们应该注重理解概念的本质和逻辑关系，而不仅仅追求记忆公式和定理。
其次，进行反复实践是巩固数学基础的关键。
数学是一门需要经常实践的学科，光靠听课或者阅读教材是不够的。
我们应该通过做题和解题来训练自己的思维和技巧。
可以选择一些适合自己水平的练习题目，如果遇到困难，可以寻求帮助或者参考解答。
通过不断的练习和实践，我们可以加深对数学知识的理解，提高解题的能力。
此外，培养良好的数学思维方式也非常重要。
数学思维是一种逻辑思维和抽象思维的结合。
在学习数学的过程中，我们应该注重培养分析问题、归纳总结和抽象思考的能力。
可以通过解决实际问题、进行数学建模等方式来培养自己的数学思维。
另外，与他人合作解决数学问题或者参加数学竞赛也是锻炼数学思维的好途径。
最后，要善于利用各种资源和工具来学习数学。
现代化的学习环境为我们提供了丰富的资源和工具。
我们可以使用数学应用软件、在线学习平台、数学教育网站等来辅助学习和实践。
同时，参与数学学习团队或者加入学习社群也能够为我们提供学习和交流的机会。
总之，建立坚实的数学基础需要从零开始学习。
了解核心概念、进行反复实践、培养数学思维方式以及善用资源和工具都是实现这一目标的有效途径。
通过持之以恒的努力，我们可以逐渐掌握数学的基本知识和技能，为后续学习和发展打下坚实的基础。
数学不再成为一座高山，而是我们轻松攀登的阶梯。
初二数学基础知识点总结大全范文三篇
初二数学基础知识点总结大全范文三篇第一篇:初二数学基础知识点总结大全一次函数一、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。
一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即为y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.二、正比例函数的图象与性质：(1)图象:正比例函数y=kx(k是常数，k≠0))的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y=kx。
(2)性质:当k>0时,直线y=kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大;当k0，b>0图像经过一、二、三象限;(2)k>0，b<0图像经过一、三、四象限;(3)k>0，b=0图像经过一、三象限;(4)k<0，b>0图像经过一、二、四象限;(5)k<0，b<0图像经过二、三、四象限;(6)k<0，b=0图像经过二、四象限。
一次函数表达式的确定求一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)时，需要由两个点来确定;求正比例函数y=kx(k≠0)时，只需一个点即可.5.一次函数与二元一次方程组：解方程组从“数”的角度看，自变量(x)为何值时两个函数的值相等.并求出这个函数值解方程组从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标.数据的分析数据的代表：平均数、众数、中位数、极差、方差第二篇:初二数学基础知识点总结大全第一章勾股定理定义：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
判定：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
定义：满足a+b=c的三个正整数，称为勾股数。
第二章实数定义：任何有限小数或无限循环小数都是有理数。
无限不循环小数叫做无理数(有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示)一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
代数学 第0章 基础知识
第0章 基础知识§0 常用记号记号,,,, 分别表示正整数集、整数集、有理数集、实数集以及复数集。
如果a 是A 的一个元素，则记为a A ∈，反之记为a A ∉。
A B ⊆表示A 是B 的子集，而A B ⊂表示A 是B 的真子集，空集记为∅。
A B 与A B 表示A 与B 的交集与并集，'A 记为A 余集。
A B -表示属于A 但是不属于B 的全部元素，称为A 与B 的差集（difference set ）。
§1 整数§1.1 带余除法我们都已熟知整除的概念：非零整数b 整除a 整数意味着存在整数q ，使得a qb =，习惯记为|b a 。
当然两个整数之间的关系更多是互不整除，因此带余除法就特别有意义。
不少人也已经熟悉带余除法的描述：给定两个整数,a b ，其中0b ≠，则存在整数,q r ，使得等式a qb r =+成立。
但是一个重要的问题是在这种情况下整数,q r 并不唯一，为此必须约定余数r 的取值范围，比如假设0r b ≤<。
定理0.1.1（带余除法 division algorithm ）给定两个整数,a b ，其中0b ≠，并且令0r b ≤<。
则存在唯一整数,q r ，使得等式a qb r =+ （0.1） 成立。
以后我们始终约定0r b ≤<。
定义0.1.1（最大公因子 great common divisor ）对于两个不全为0整数,a b ，如果正整数d 同时整除它们，并且任意整除,a b 的整数c 必然整除d ，则d 称为,a b 的最大公因子。
以下把最大公因子d 记为gcd(,)a b 。
当gcd(,)1a b =时则称,a b 互素（coprime ）。
虽然两个整数,a b 之间互不整除，但是通过不断应用带余除法可以求出它们的最大公因子，而这一过程称为辗转相除法（欧几里德算法 Euclidean algorithm ）。
第0章、数学基础
第一章、数学基础主要分为两部分：矩阵代数和概率统计§1矩阵代数1、定义（1）矩阵（Matrix）12][1111ij mn m n a a a a a A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= n m ⨯ 矩阵, m 为行维数, n 为列维数(dimension). 例如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯07655832A , 其中512=a （2） 向量（vector ）m A ⨯1：m 维行向量, （row vector ）, 记为),,(1m x x x =31⨯n A ：n 维列向量, （column vector ）, 记为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y 1 （3） 标量（Scalar ）11⨯A :11⨯矩阵, 为一实数（4）方阵（square ）A m ×m4（5）对角矩阵（Diagonal ）A m ×m 有a ij =0, i ≠j, 即110A 0mm a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ （6）单位矩阵, 恒等矩阵（Identity ）10I 01n ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（7）零矩阵（zero matrix, null matrix ）5nm nm ⨯⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000 （8）对称矩阵ki ik a a =, k i ∀∀,, 即A A ='例子：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=674752421A62 矩阵运算 （1） 矩阵相等A =B 如果a ik = b ik , k i ∀∀,例: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A , 101 011B ⎛⎫= ⎪⎝⎭, A ≠B（2） 矩阵转置（行列互换）7⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=005214A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=005214'A )201(=A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=201'A性质: ✧ A A ='',✧ (αA)’=αA ’, α∈R8✧ (A+B)’=A ’＋B ’ ✧ (AB)’=B ’A ’, A m ×n , B n ×k✧ 11⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n x x x , ∑==n i i x x x 12'（3） 矩阵相加A ，B 同维, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+mn mn b a b a B A 11119（4）数乘（Scalar multiplilation ）,R ∈γ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m n a a a a A γγλγγ1111例子: γ＝2, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4231A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8462A γ （5）向量乘法（内积, inner product ）10⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 1, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y 1, i i n i y x y x 1'=∑= （6）矩阵乘法（matrix multiplication ） A m ×n , B n ×p , (AB)m ×p =(∑k a ik b kj ),AB 第（i, j ）个元素等于A 中的第i 行的每个元素与第j 列的对应元素的乘积之和.11例: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛37343760251632165743性质：（a, b ∈R ）✧ (a+b )A=a A+b A✧ a (A+B)= a A+ a B✧ (ab )A=a (b A)✧ a (AB)=(a A)B✧ A+B=B+A✧(AB)C=A(BC)✧A(B+C)=AB+AC✧(A+B)C=AC+BC✧IA=AI=A✧A+0=0+A=A✧A0=0A=0（7）分块矩阵乘法1213⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n k n a a A 1, 其中a i 为k 维行向量, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n m n b b B 1, 其中b i 为m 维行向量.()',,''1n a a A =, i i n i b a B A ''1=∑=, i i b a '为k ×m 矩阵（8）迹（trace ）A n ×n 的迹为tr(A)=(∑n i a ii ),性质：✧tr ( I n ) = n✧tr ( A’ ) = tr ( A )✧** tr ( AB ) = tr ( BA ), A m×n, B n×m ✧tr ( a A ) = a tr ( A )✧tr ( A+B ) = tr ( A ) + tr ( B )✧a’a = tr ( a’a) = tr ( aa’ )14（9）逆矩阵（inverse）A-1A = AA-1 = I n, 称A n×n可逆或者非奇异性质：✧(AB)-1 = B-1A-1✧(A’)-1 = (A-1)’✧(a B)-1 = (1/a) (B)-1例子：1516⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8642A , ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-41862111A , 有211001I AA =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- Matlab 命令: inv(A), det(A), rank(A)3、数值和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 1, 有17 =+++=∑=n i n i x x x x 211i ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 1)1,,1('=x nx x x i n i '21=∑=, y x y x i i ni '1=∑=4、幂等矩阵（idempotent）（1）幂等矩阵的定义: M2 = MM = M（2）对称幂等矩阵的定义: 幂等矩阵M是对称的. 即M’= M且M2 = M, 也即M= M’M（3）一个常用幂等矩阵01M I ii'n=-, 此处i为n维的全1列向量, 则有1819111ii '(1,,1)111⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭性质：(习题)✧ (M 0)’ = M 0✧ M 0 M 0 =M 0证明：？20 ✧ =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x n 1 M 0 x ？✧ ')(21x x x i n i =-∑=M 0 x , '))((1x y y x x i i n i =--∑=M 0 y , ？5、线性无关和矩阵的秩（1）线性无关/独立（linearly independent）称向量（a1,…,a k）为线性独立的, 如果线性方程α1a1+ ...+ακa k=0的唯一解为α1=...=ακ=0（2）线性相关至少一个向量可以表示为其它向量的线性组合.2122,i ∃ αι ≠ 0, 有a i ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑≠i j i j ααa j 例子：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01,10线性独立, 而⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32,01,10中有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01210332线性相关（3）秩（rank）A m×n＝(a1, ...,a n), 其中a i是m维列向量.{a1, ...,a n}中最大线性无关子组的个数, 称为A的（列）秩, 记为rank(A)性质：✧rank(A’)=rank(A)✧rank(A)≤min(m, n)✧A m×m, rank(A)=m, 称A满秩236、特征根与特征向量（characteristic roots and vectors）（1）定义：Ac=λc, c为列向量, 满足c’c=1（2）定理：m×m对称矩阵有m个不相同的特征向量c1,…,c m, 和相应的特征根λ1,...,λm为实数, 不一定相同.2425（3）C ＝[c 1,…,c m ], ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λm λλ001 , AC=C Λ, C ’C=IC ’C=I 可以推出C C ’ =I ，为什么？注意：C’C=I说明C’是C的逆矩阵，即C’=C-1。
高等数学0基础教材
高等数学0基础教材高等数学是一门非常重要的学科，许多大学都会开设这门课程。
不过，对于没有学过高等数学的同学来说，可能会感到有些困惑和困难。
因此，编写一本针对高等数学0基础的教材就变得尤为重要。
本文将以教材的形式，为读者提供高等数学的基础知识和理解。
第一章导数与微分1.1导数定义及其基本性质在本章中，将介绍导数的定义及其基本性质。
读者将通过理论推导和数学公式的解释，了解导数的概念和作用。
本章还包括导数的四则运算和复合函数的导数求法等内容。
1.2函数的微分与高阶导数本节将深入研究函数的微分和高阶导数。
读者将学习如何求解函数的微分，并了解二阶导数、三阶导数等高阶导数的概念和计算方法。
第二章定积分与不定积分2.1定积分的定义及其性质本章将介绍定积分的定义及其性质。
读者将学习如何计算定积分，以及定积分在几何和物理问题中的应用。
2.2不定积分及其应用在本节中，将讨论不定积分的概念和计算方法。
读者将了解如何求解不定积分，并学习积分的应用技巧。
第三章多元函数微分学3.1多元函数及其极限本章将引入多元函数及其极限的概念。
读者将学习如何计算多元函数的极限，并了解多元函数的连续性和一致连续性等性质。
3.2偏导数与全微分在本节中，将讨论多元函数的偏导数和全微分。
读者将学习如何求解多元函数的偏导数，并了解全微分的概念和计算方法。
第四章多重积分与曲线积分4.1二重积分及其应用本章将介绍二重积分的定义和计算方法。
读者将学习如何计算二重积分，并了解二重积分在几何和物理问题中的应用。
4.2三重积分及其应用在本节中，将深入研究三重积分的概念和计算方法。
读者将学习如何计算三重积分，并了解三重积分在几何和物理问题中的应用。
第五章无穷级数5.1数项级数及其判敛法本章将介绍数项级数及其判敛法。
读者将学习如何判断数项级数的敛散性，以及常见级数的性质和判敛方法。
5.2幂级数在本节中，将研究幂级数的性质和求和方法。
读者将了解如何计算幂级数，并学习幂级数的收敛半径和求和函数等概念。
第0章 电动力学的数学基础
(2)两个矢量的叉乘 ) 两个矢量的叉乘,乘积是一个矢量, 两个矢量的叉乘,乘积是一个矢量,称为矢积或 外积. 外积.其大小等于以两矢量为邻边所作平行四边 形的面积,方向满足右手螺旋法则. 形的面积,方向满足右手螺旋法则.
a×b
b a
3. 三个矢量的乘积: 三个矢量的乘积
(1)三个矢量的混合积 ) 三个矢量的混合积是一个标量. 三个矢量的混合积是一个标量. 设 则 , ,
(2). 散度 定义: 定义: 矢量场的散度是一个标量 直角坐标系中散度可表示为 直角坐标系中散度可表示为
Ax Ay Az div A = + + x y z
散度定理
∫
V
div A dV = ∫ A dS
S
从数学角度建立了面积分和体积分的关系. 数学角度建立了面积分和体积分的关系. 角度建立了 从物理角度建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的边界 S 上的场 物理角度建立了区域 角度建立了 之间的关系. 之间的关系.
算符以及梯度, . 算符以及梯度,散度和旋度的表示 (del operator)
直角坐标系中: 直角坐标系中: = i + j+ k x y z
表示梯度,散度和旋度: 用 表示梯度,散度和旋度:
grad = ,
算符的性质: 算符的性质:
divA = A,
rotA = × A
矢量性——矢算符 按矢量运算规则. 矢量性——矢算符,按矢量运算规则. 矢算符, 微分性——微分运算 按求导规则. 微分性——微分运算,按求导规则. 微分运算,
Laplace算符 标算符,有的书上记为: 算符, 2—Laplace算符,标算符,有的书上记为:
× (× A) = ( A) 2 A
数学基础教育毕业论文范文模板【精选两篇】
数学基础教育毕业论文范文模板【精选两篇】数学基础教育论文2500字(一)：对基础教育数学教学中存在的问题的思考论文摘要：当前，基础教育阶段的学科教学均在追求有效教学。
对于中学数学而言更是如此，要追寻有效教学，就需要着手解决当前数学教学中存在的问题，只有一点一滴解决了问题，教学才能顺利开展，才可能会达到有效教学的目的。
关键词：基础教育数学教学学习基础学习兴趣探究合作初中阶段，对于数学基础、数学学习主动性和数学学习兴趣都提出了较大的要求和挑战，导致基础教育数学教学中存在着一定的问题。
不着手解决这些问题，是无法开展有效教学，无法优化数学课堂的。
为此，本文将从基础教育数学教学中存在的问题入手，对如何解决基础教育数学教学中的问题进行研究，以供参考。
[1]一、基础教育数学教学中存在的问题1.学生数学基础不好，对数学学习缺乏足够的兴趣当下初中数学教材中的知识内容较比先前有了不小的删减，那么初中学生理应会因为知识内容的难度降低而更易于吸收和掌握。
然而实际情况却是，试卷上一些十分简单的、堪称是送分题的知识点，学生也无法获得分数。
而试卷中计算题出错的次数更多，因为多数出错的学生没有依据算法进行计算。
前述情况的成因均表明了学生的数学知识掌握基础十分地不牢靠。
[2]举例而言，有理数知识的学习建立在学生正确理解和掌握四则运算的基础之上，如若学生在小学阶段没有打好四则运算的基础，则其也无法掌握有理数的相关算法。
同时，在学生数学知识基础较为薄弱的情况下，其亦会产生对数学知识理解能力的障碍，难以准确地分析和领会题目的要求。
在这些问题集中暴露出来之后，学生在数学知识的学习过程之中就会时常产生挫折情绪，数学知识的学习对其而言将会成为一种折磨。
[3]2.学生缺乏探求知识主动性在初中数学教学中，发现很多学生只是习惯性认真听课，却不主动思考，更没有主动探究知识的意识。
他们认为，只要听课，按时完成老师布置的作业，数学学习成绩就会不错，无须自己费力去探索和思考。
七年级上册各单元数学作文范文汇总
七年级上册各单元数学作文范文汇总单元一：整数范文一：在研究整数的单元中，我发现整数可以分为正整数、负整数和零。
它们有很多有趣的性质和应用。
例如，正整数可以表示温度的上升，负整数可以表示负债的增加。
我还学到了整数的加减乘除运算规则，通过运算整数可以得到不同的结果。
整数还可以在生活中的角度应用，比如计算秒表的跳动、计算两种温度差的绝对值等。
整数是数学中一个重要的概念，研究它对我来说很有意义。
单元二：代数与方程范文二：在研究代数与方程的单元中，我深入了解了代数的基本概念和方程的解法。
代数是数学中研究数与数之间关系的一门学科，它通过符号和字母的运算表示数的运算。
方程是一个含有未知数的等式，通过运用等式的性质和运算法则，我们可以求解出方程中的未知数。
在研究过程中，我发现代数与方程在实际生活中有着广泛的应用，比如解决物体运动问题、解决购物打折问题等。
通过研究代数与方程，我不仅提高了数学解题能力，也培养了逻辑思维能力。
我相信代数与方程将对我的未来研究和生活产生积极的影响。
单元三：图形的初步认识范文三：研究图形的初步认识给了我一个完全不同的视角去观察并理解我们周围的世界。
在这个单元中，我研究了平面图形和立体图形的基本特征和性质。
平面图形包括三角形、四边形、圆等，它们有着不同的边数和角度特征。
立体图形包括球体、长方体、正方体等，它们有不同的面数和体积特征。
研究这些图形的特征和性质，让我能够更好地描述和分类不同的图形。
在实际生活中，图形也有着广泛的应用，比如建筑设计、工程计算等。
对于我来说，研究图形不仅增加了我的观察与想象能力，也提升了我的综合应用能力。
单元四：比例与数的运算范文四：比例与数的运算是七年级数学的一个重要内容。
在这个单元中，我研究了比例的定义和性质，以及比例在实际问题中的应用。
比例是一个关系的表达方式，可以用来解决两个或多个数之间的比较和计算。
比例的应用非常广泛，比如食谱中的材料比例、地图的比例尺等。
电动力学(数学基础)
散的度强的弱重程要 度性 ，在 当于div，A可 用0 表，征表空示间该各点点有矢散量发场通发量散
的正源；当div A 0 ，表示该点有吸收通量的
负源；当div
A
0
，表示该点为无源场。
在直角坐标系中：
divA A Ax Ay Az x y z
例：设u是空间坐 标A(xu,)y,z的u函数dA，(u证) 明
Operator
设有一标量函数 r x, y, z
d dx dy dz
x y z
x
i
y
j
z
k
dxi dyj dzk
Gx,
y,
z dl
G
n dl
p
n
dn θ
p dl
p
l
0
方向导数：
l
G n el
G
c
os
n
e
G cos
G
l max
n
引进梯度(Gradient)概念：
６ 0, A 0
证明:
( )
(
)
ex
x
(
)
ey
y
(
)
ez
z
(
)
ex (
x
x
)
ey (
y
y
)
ez (
z
z
)
(ex
x
ey
y
ez
)
z
(ex x
ey y
ez
) z
§0-5 二阶微分算符
Second-order Differentiation Operator
数学小文章3篇
数学小文章第一篇：初中数学说课之“整数运算”同学们，大家好！我今天给大家讲解的是初中数学的整数运算。
整数是我们学习数学的基础，也是我们生活中常见的数学对象。
整数的运算有加减乘除几种，首先我们来了解一下整数的加减法。
整数加法，要按照两个数的符号进行分类，同号相加则保持符号不变，异号相加则需要根据绝对值大小确定符号。
例如，-3+(-4)=-7，2+6=8，-5+3=-2。
同时，加法还有交换律和结合律，满足a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
整数减法，则可以转化为加上相反数，例如7-3=7+(-3+1)=5，4-(-2)=4+2=6。
需要注意，减法不满足交换律，即a-b不等于b-a。
接下来，我们来了解一下整数的乘法。
整数乘法，同号相乘得正，异号相乘得负，例如，(-5)×(-7)=35，2×(-3)=-6，4×5=20。
乘法同样满足交换律和结合律，满足a×b=b×a 和(a×b)×c=a×(b×c)。
最后，我们来了解一下整数的除法。
整数的除法需要注意除数不能为0，同时得到的商和余数都是整数。
例如，8÷3=2余2，-13÷5=-2余3。
需要注意的是，整数除法不满足除法分配律，即a÷(b÷c)不等于(a÷b)÷c。
同时，不是所有的整数都有逆元，也就是说，对于整数a和整数b，不一定存在某个整数c，使得ac=b或者ca=b。
好啦，今天的整数运算就到这里，希望同学们能够认真理解这些基础知识，做好基础，才能在后续的学习中更加轻松地应对。
谢谢大家！第二篇：初中数学说课之“初一年级代数方程”同学们，大家好！今天我来给大家讲解的是初一年级的代数方程。
对于初中数学来说，代数方程是比较重要的一部分。
在初一年级，我们首先需要学习一元一次方程。
一元一次方程的基本形式是ax+b=c，其中a、b、c是已知的实数，我们需要求出未知数x的值。
中学生数学写作
中学生数学写作数学作为一门学科，在中学阶段是必修课程，它不仅仅是一种学习的工具，更是一种思维的训练。
通过学习数学，我们可以培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
下面将从数学的基本概念、运算与推理、几何与代数、应用问题四个方面来介绍中学生数学的重要性和学习方法。
我们来了解数学的基本概念。
数学是一门研究数量、结构、变化和空间等基本概念及其相互关系的学科。
在中学阶段，我们要学习的基本概念有整数、分数、小数、平方根等。
掌握这些基本概念是进行后续数学学习的基础，也是日常生活中运用数学的基本要素。
数学的运算与推理也是中学生数学学习的重点。
运算包括加减乘除、求平方根、求倒数等。
通过运算，我们可以解决各种数学题目，掌握运算规则对于解题是非常重要的。
推理是数学的核心之一，它要求我们根据已知条件进行分析和推理，找到问题的解决方法。
在学习数学的过程中，我们要培养自己的逻辑思维能力，善于进行推理和演绎。
几何与代数是中学数学的两个重要分支。
几何研究的是图形的性质和空间的关系，代数研究的是数的性质和运算规律。
在几何学习中，我们要学习图形的名称、性质和变换等，通过几何图形的分析和计算，进一步理解数学的抽象概念。
代数是数学的一种表达方式，通过字母和符号来表示数和运算，通过代数方程的解法来解决实际问题。
几何和代数的学习相辅相成，相互促进，能够提高我们的空间想象力和分析问题的能力。
我们来谈谈数学的应用问题。
数学是一门实用的学科，它在日常生活和各个领域都有广泛的应用。
在中学数学学习中，我们要学习如何将数学知识应用到实际问题当中。
比如，通过数学计算来解决物理问题、经济问题、统计问题等。
掌握数学的应用能力，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题，提高我们的综合能力。
中学生数学学习是一门重要的学科，它不仅仅是为了应付考试，更是为了培养我们的思维能力和解决问题的能力。
通过学习数学的基本概念、运算与推理、几何与代数、应用问题等方面，我们可以全面提高自己的数学水平。
(完整版)人教版七年级数学下册各单元作文范文
(完整版)人教版七年级数学下册各单元作文范文第一单元：有理数的认识与比较有理数是我们在日常生活中经常遇到的数，它包括整数、分数等。
在研究有理数的过程中，我发现有理数之间可以进行比较大小的运算。
比如，当我们比较两个有理数的大小时，可以通过找到它们的公共分母，然后比较分子的大小来进行判断。
有理数的比较帮助我们在解决实际问题时能够更加准确地判断大小关系，做出正确的决策。
第二单元：代数与方程式代数是数学中的一门重要的学科，它帮助我们解决了很多实际问题。
在研究代数的过程中，我掌握了如何利用字母表示未知数，并且通过方程式来描述和解决问题。
解方程是代数研究中的一项重要内容，它可以帮助我们解决很多实际问题，比如求解某个未知数的值。
代数和方程式的研究让我在解决问题时更加有条理和灵活，提高了我的数学思维能力。
第三单元：比例与相似比例是数学中与我们日常生活息息相关的内容，比如在制作食物时，我们需要根据食材的比例来调配。
研究比例与相似的过程中，我了解了比例的概念和比例的性质。
通过计算和分析比例，我们可以得到物体之间的相似关系。
比例和相似的研究让我在解决实际问题时更加具有准确性和实用性。
第四单元：平面图形的认识平面图形是我们日常生活中经常遇到的，比如正方形、长方形、圆等。
在研究平面图形的过程中，我学会了如何识别和描述不同的图形，以及计算和应用它们的面积和周长。
通过研究平面图形，我们能够更好地理解和应用几何知识，解决实际问题。
第五单元：数据的收集、整理与展示在日常生活中，我们经常需要收集和整理数据，并将其以不同的方式展示出来。
研究数据的收集、整理与展示的过程中，我学到了如何进行有效的数据收集和整理，以及如何使用表格、图表等方式展示数据。
通过数据的收集、整理与展示，我们能够更加清晰地了解数据的特征和变化趋势，从而做出合理的分析和判断。
第六单元：函数与应用函数是数学中的一项重要概念，它在解决实际问题时起着重要的作用。
在研究函数与应用的过程中，我掌握了函数的定义和性质，并学会了如何分析和应用函数。
高等数学零基础教材
高等数学零基础教材第一章：导数与微分概念介绍：在高等数学中，导数与微分是基本概念之一。
导数描述了函数在某一点的变化率，而微分则是导数的实际应用。
了解导数与微分的概念对于学习高等数学是至关重要的。
1.1 导数的定义与性质导数的定义：设函数y=f(x)，若极限lim(x→x0) [f(x)-f(x0)] / (x-x0)存在，且与x0的取值无关，那么这个极限值就称为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)。
导数的性质：- 导数的存在性- 导数的唯一性- 导数与函数的连续性- 导数与函数的单调性- 导数与函数的求导法则（如常数因子、和差法则、乘积法则、商法则等）1.2 微分的概念与应用微分的定义：设函数y=f(x)，在点x0处有定义，若存在一个线性函数dy=Ax，使得当x趋于x0时，有f(x)-f(x0)=A(x-x0)+o(x-x0)，则称dy=A(x-x0)为函数f(x)在点x0处的微分。
微分的应用：- 切线与法线- 误差与线性近似- 极值问题与最优化- 应用实例解析与求解步骤第二章：不定积分与定积分概念介绍：不定积分与定积分是高等数学中重要的概念之一，用于求解曲线下面的面积、求解曲线的弧长、计算物体的质心等问题。
2.1 不定积分的定义与性质不定积分的定义：设函数y=f(x)，在区间[a, b]上有定义，则称F(x)为f(x)的一个原函数，记作F(x)=∫f(x)dx。
其中，F(x)为不定积分，f(x)为被积函数。
不定积分的性质：- 线性性质- 积分与常数项- 原函数的存在性2.2 定积分的定义与性质定积分的定义：设函数y=f(x)，在区间[a, b]上有定义，则称函数F(x)在区间[a, b]上的积分为定积分，记作∫[a, b]f(x)dx。
定积分的性质：- 零点定理与中值定理- 积分上限与下限的可交换性- 定积分与不定积分之间的关系第三章：级数与数列概念介绍：级数与数列是高等数学中用于描述无穷多个数之和与数的有序排列的概念。
数学专题文章七篇
数学专题文章七篇1. 范数和内积的关系范数和内积是线性代数中常见的概念。
本文将介绍范数和内积的定义及其之间的关系。
首先，我们将介绍范数的定义，包括欧几里得范数、曼哈顿范数等。
然后，我们将讨论内积的定义，并展示范数和内积的关系。
最后，我们将探讨范数和内积在实际问题中的应用，如多元线性回归、信号处理等。
2. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量在线性代数中具有重要意义。
本文将介绍矩阵的特征值和特征向量的定义及其基本性质。
我们将探讨特征值和特征向量的计算方法，并展示它们在求解线性方程组、矩阵对角化等问题中的应用。
此外，我们还将讨论特征值和特征向量的几何解释以及它们在物理学和工程学中的应用。
3. 概率论中的随机变量随机变量是概率论中重要的概念。
本文将介绍随机变量的定义、分类以及常见的概率分布。
我们将讨论离散随机变量和连续随机变量的性质，以及它们的期望、方差等统计量。
此外，我们还将探讨随机变量的生成方法和常用的随机变量模拟技术，如逆变换法、接受-拒绝法等。
4. 微分方程与动力系统微分方程和动力系统是应用数学中的重要领域。
本文将介绍常微分方程和偏微分方程的定义及其求解方法。
我们将讨论一阶和高阶微分方程的解法，包括分离变量法、变换法等。
此外，我们还将探讨动力系统的概念，如稳定性、相图等，并展示微分方程和动力系统在物理学、生物学等领域的应用。
5. 线性规划与整数规划线性规划和整数规划是运筹学中常用的优化方法。
本文将介绍线性规划和整数规划的定义及其求解技术。
我们将讨论线性规划的标准形式和单纯形法、对偶理论等解法。
此外，我们还将探讨整数规划的性质和常见的解法，如分支定界法、割平面法等，并展示它们在生产调度、资源分配等问题中的应用。
6. 统计推断与假设检验统计推断和假设检验是统计学中的核心内容。
本文将介绍统计推断的基本概念和假设检验的原理。
我们将讨论参数估计和置信区间的计算方法，以及假设检验的步骤和判断准则。
数学基础模块上册作文
数学基础模块上册作文我们学习数学，必须先弄清什么叫做“数”。
何谓“数”？简单地讲：“数”就是确定量度标准、对事物分门别类的过程。
这样看来，世界万物似乎都可以用数字进行表示了，不仅如此，数字还成为描述宇宙现象、生命活动等客观规律的重要手段。
所有这些无一例外地表明：人类社会已经步入了科技时代，计算机作为一个新型的工具走进了千家万户，同时也使得越来越多的问题需要用数学的方法去解决，数学与人们的日常生活联系更加密切了。
然而，大部分人却只把数学当成一门纯粹的自然学科——研究自然界的事物与其运动变化的规律性。
认为它只能应用于解释与处理各种现实生活中遇到的问题。
这显然是错误的。
因为从某种意义上来说，数学的每一个分支几乎都渗透着哲学的思想：微积分不但蕴含着极其深刻的辩证唯物主义思想；代数学和拓扑学又体现出浓厚的朴素唯物主义和朴素辩证法色彩……当今最伟大的两位数学家是丹麦著名数学家雅可比(Jacobi)和美国著名数学家庞加莱(Poincare)。
他俩都致力于抽象数学的发展并取得了非凡的成就，被誉为数学史上最耀眼的双子星座。
在庞加莱眼里，数学好像一条金光灿烂的大道，通向人类智慧的殿堂；在雅可比心目中，数学则仿佛一个充满奥秘的海洋，激励他去探索数学的真谛。
这便是数学神奇魔力之所在！那么，数学这一学科又是怎样产生的呢?最早关注并研究数学的人们是谁呢?答案很简单：是古希腊的泰勒斯(Thales)。
公元前580年，这位有着非凡头脑的哲学家写下了《几何原本》，第一次将自己创造的数学概念用几何图形精确地演绎出来，指出正多面体和球形的体积公式。
直至今天，后人仍在研读、领悟。
据记载，泰勒斯在数学领域内有一句名言：“数学无非是有限的符号及推理”。
这恰好印证了一点：数学源于生活，但高于生活。
任何一个复杂的问题，在泰勒斯手中却转瞬即逝，迎刃而解；而许多平凡的问题在我们眼里或许就是一团乱麻。
随着人类历史的不断延续，我们终于登上了近代科学技术革命的舞台，与计算机结缘了。
初中数学作文万能模板
初中数学作文万能模板引言数学是一门重要的学科，它不仅培养了我们的逻辑思维能力，还促进了我们的创造力和解决问题的能力。
在初中数学作文中，我们可以通过讨论实际问题、应用数学知识来展示我们的数学思维。
本文将为大家提供一份初中数学作文的万能模板，供大家参考。
问题描述在数学作文中，我们常常需要描述一个问题，并提出相应的解决方案。
首先，我们要清晰地描述问题，确保问题具有一定的难度和复杂性，以激发读者的兴趣。
分析和思考在描述问题后，我们需要分析和思考问题，运用我们学过的数学知识进行解题。
我们可以列出问题的具体要求，并运用相应的数学方法和公式进行计算和推导。
解决方案在这一部分，我们将给出解决问题的具体步骤和方法。
可以按照以下几个步骤进行解决：1. 分析问题，明确所需求解的内容。
2. 列出相关已知条件和已知数据。
3. 运用适当的数学方法和公式进行计算和推导。
4. 根据计算结果，给出问题的解答。
实例分析为了更好地理解模板的应用，以下是一个具体实例的分析和解答：问题：某箱子里有红、黄、蓝三种颜色的球，共有30个球，其中红球的数量是黄球的两倍，蓝球的数量比红球还少10个。
请问红球、黄球和蓝球各有多少个？分析：根据问题描述，可以设红球的数量为x，黄球的数量为2x，蓝球的数量为x-10。
根据已知条件，可得到方程x + 2x + (x-10) = 30。
通过解方程，可以得到红球、黄球和蓝球的具体数量。
结论通过这份初中数学作文的万能模板，我们可以更好地组织和写作数学作文。
希望大家能够积极运用数学知识，培养数学思维能力，并在数学作文中展示自己的才华和创造力。
加油！。
高等数学基础教程3篇
高等数学基础教程第一篇高等数学是数学中的一个重要分支，其研究对象主要是在微积分、复分析、概率论等方面的理论、方法和应用问题。
它已经成为了数学中最基础的一门学科之一。
高等数学最基础的内容包括：极限、导数、微分、积分、微分方程、无穷级数等。
其中，极限是引导整个高等数学的一个关键步骤。
极限是细化关于自变量变化过程的概念，是一种“趋近于”的性质。
导数和微分则对函数斜率和变化率进行了进一步的研究。
积分则是在求解曲线下面的面积、体积、物体的质量、质心、惯性矩等方面起到了至关重要的作用。
微分方程可以描述世界上很多现象的变化过程，其解法往往是高等数学中的一大难点。
而无穷级数则是一个数列求和的一种方式，在高等数学中也被广泛应用。
理解高等数学的基础概念和方法，对于学好高等数学理论和应用都具有非常重要的作用。
在学习的过程中，我们应注重加强计算和推导能力，同时也要训练自己的数学抽象思维能力。
第二篇高等数学中，函数是一个至关重要的概念。
函数理论是一个研究函数基本性质和功能的学科。
它关注的关键课题是，如何从自变量到函数值的映射中，研究数学中各种规则和规律的变化及其特征。
在高等数学中，我们常常遇到的函数有常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
常函数是指只要在定义域内都是相等的函数。
幂函数是指函数的自变量与函数值之间满足某种幂次关系的函数。
指数函数是以常数为底数的指数幂所组成的函数。
对数函数则相反，是以指数为底数的对数函数。
三角函数在数学中的应用十分广泛，其中包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
我们需要在学习高等数学的过程中，理解和熟练掌握各种函数及其特性。
同时，我们还需要深入探究函数的性质和应用，比如函数的极值、渐进线、函数图像、泰勒级数等，这些都是深入了解高等数学理论和应用的重要突破口。
第三篇高等数学中，矩阵是一个非常基础的概念。
矩阵是一个矩形阵列，其中包含的元素可能是实数、复数或其他数学对象。
在高等数学中，矩阵广泛应用于线性代数中的研究，这些研究包括：线性方程组的求解、向量空间的性质、线性变换的性质等。
第0章、数学基础：拉格朗日法
∂V (at ) ∂u (xt , at ) ∂V (g (xt , at )) ∂g (xt , at ) = +β ∂at ∂at ∂g (xt , at ) ∂at
上述两个方程合并就可以得到描述跨期优化行为的欧拉方程。 在动态规划问题中，有一类非常广泛的问题就是家庭的优化问题。众所周知，跨期动态 一般均衡模型必然需要考虑家庭的效用最大化问题和厂商的利润最大化问题。 因而， 家庭优 化问题在动态规划问题中是非常常见和非常重要的。 在宏观经济学、 微观经济学和金融经济 学学会遇到大量的家庭优化问题。 虽然这些优化问题所要研究的问题是不同的， 因而模型的 设定是不同的，但是主要体现在效用最大化目标的具体设定上和预算约束方程的具体构造 上。无论怎样，只要是家庭的效用最大化问题，两个变量就必不可少：作为控制变量的家庭 消费和作为状态变量的家庭资源（或者财富等） 。 我们将家庭的控制变量记为 xt = (Ct , z t ) ，其中 z t 是非消费的其它控制变量向量；将状 态变量记为 at = (ωt , d t ) ，其中 d t 是非资源的其它状态变量向量。家庭的规划问题可以记为
x
此处 x 为规划问题的控制变量，a 为状态变量。若 x(a) 为最优解，则 V (a) = f (x(a), a) 。 那么，值函数关于状态变量的导数为
dV (a) ∂f (x, a) = |x=x(a) da ∂a
证明：由求偏导数的链式法则，有
dV (a) ∂f (x(a), a) ∂x(a) ∂f (x(a), a) = + da ∂x ∂a ∂a
= V (ωt , dt ) max {u (Ct , z t , ωt , dt ) + βV (ωt +1 , dt +1 )}
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第一章、数学基础主要分为两部分：矩阵代数和概率统计§1矩阵代数1、定义（1）矩阵（Matrix）2][1111ij mn m n a a a a a A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= n m ⨯ 矩阵, m 为行维数, n 为列维数(dimension). 例如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯07655832A , 其中512=a （2） 向量（vector ）m A ⨯1：m 维行向量, （row vector ）, 记为),,(1m x x x =31⨯n A ：n 维列向量, （column vector ）, 记为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y 1 （3） 标量（Scalar ）11⨯A :11⨯矩阵, 为一实数（4）方阵（square ）A m ×m4（5）对角矩阵（Diagonal ）A m ×m 有a ij =0, i ≠j, 即110A 0mm a a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭（6）单位矩阵, 恒等矩阵（Identity ）10I 01n ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭（7）零矩阵（zero matrix, null matrix ）5nm nm ⨯⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000 （8）对称矩阵ki ik a a =, k i ∀∀,, 即A A ='例子：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=674752421A62 矩阵运算 （1） 矩阵相等A =B 如果a ik = b ik , k i ∀∀,例: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A , 101 011B ⎛⎫= ⎪⎝⎭, A ≠B（2） 矩阵转置（行列互换）7⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=005214A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=005214'A )201(=A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=201'A性质: ✧ A A ='',✧ (αA)’=αA ’, α∈R8✧ (A+B)’=A ’＋B ’ ✧ (AB)’=B ’A ’, A m ×n , B n ×k✧ 11⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n x x x , ∑==n i i x x x 12'（3） 矩阵相加A ，B 同维, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+mn mn b a b a B A 11119（4）数乘（Scalar multiplilation ）,R ∈γ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m n a a a a A γγλγγ1111例子: γ＝2, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4231A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8462A γ （5）向量乘法（内积, inner product ）10⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 1, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y 1, i i n i y x y x 1'=∑= （6）矩阵乘法（matrix multiplication ） A m ×n , B n ×p , (AB)m ×p =(∑k a ik b kj ),AB 第（i, j ）个元素等于A 中的第i 行的每个元素与第j 列的对应元素的乘积之和.11例: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛37343760251632165743性质：（a, b ∈R ）✧ (a+b )A=a A+b A✧ a (A+B)= a A+ a B✧ (ab )A=a (b A)✧ a (AB)=(a A)B✧ A+B=B+A✧(AB)C=A(BC)✧A(B+C)=AB+AC✧(A+B)C=AC+BC✧IA=AI=A✧A+0=0+A=A✧A0=0A=0（7）分块矩阵乘法1213⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n k n a a A 1, 其中a i 为k 维行向量, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n m n b b B 1, 其中b i 为m 维行向量.()',,''1n a a A =, i i n i b a B A ''1=∑=, i i b a '为k ×m 矩阵（8）迹（trace ）A n ×n 的迹为tr(A)=(∑n i a ii ),性质：✧tr ( I n ) = n✧tr ( A’ ) = tr ( A )✧** tr ( AB ) = tr ( BA ), A m×n, B n×m ✧tr ( a A ) = a tr ( A )✧tr ( A+B ) = tr ( A ) + tr ( B )✧a’a = tr ( a’a) = tr ( aa’ )14（9）逆矩阵（inverse）A-1A = AA-1 = I n, 称A n×n可逆或者非奇异性质：✧(AB)-1 = B-1A-1✧(A’)-1 = (A-1)’✧(a B)-1 = (1/a) (B)-1例子：1516⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8642A , ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-41862111A , 有211001I AA =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- Matlab 命令: inv(A), det(A), rank(A)3、数值和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 1, 有17 =+++=∑=n i n i x x x x 211i ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 1)1,,1('=x nx x x i n i '21=∑=, y x y x i i ni '1=∑=4、幂等矩阵（idempotent）（1）幂等矩阵的定义: M2 = MM = M（2）对称幂等矩阵的定义: 幂等矩阵M是对称的. 即M’= M且M2 = M, 也即M= M’M（3）一个常用幂等矩阵01M I ii'n=-, 此处i为n维的全1列向量, 则有1819111ii '(1,,1)111⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭性质：(习题)✧ (M 0)’ = M 0✧ M 0 M 0 =M 0证明：？20 ✧ =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x n 1 M 0 x ？✧ ')(21x x x i n i =-∑=M 0 x , '))((1x y y x x i i n i =--∑=M 0 y , ？5、线性无关和矩阵的秩（1）线性无关/独立（linearly independent）称向量（a1,…,a k）为线性独立的, 如果线性方程α1a1+ ...+ακa k=0的唯一解为α1=...=ακ=0（2）线性相关至少一个向量可以表示为其它向量的线性组合.2122,i ∃ αι ≠ 0, a i ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑≠i j i j ααa j例子：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01,10线性独立, 而⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32,01,10中有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01210332线性相关（3）秩（rank）A m×n＝(a1, ...,a n), 其中a i是m维列向量.{a1, ...,a n}中最大线性无关子组的个数, 称为A的（列）秩, 记为rank(A)性质：✧rank(A’)=rank(A)✧rank(A)≤min(m, n)✧A m×m, rank(A)=m, 称A满秩236、特征根与特征向量（characteristic roots and vectors）（1）定义：Ac=λc, c为列向量, 满足c’c=1（2）定理：m×m对称矩阵有m个不相同的特征向量c1,…,c m, 和相应的特征根λ1,...,λm为实数, 不一定相同.2425（3）C ＝[c 1,…,c m ], ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λm λλ001 , AC=C Λ, C ’C=IC ’C=I 可以推出C C ’ =I ，为什么？注意：C’C=I说明C’是C的逆矩阵，即C’=C-1。
因此C C’ =I Matlab: [C, Λ]=eig(A)矩阵的对角化：在AC=CΛ⎛⎛∃≠⎛Ξ∑C’，有C’AC= C’CΛ=Λ σC’AC= Λ26✧若A’=A, 则rank(A)=rank(Λ), 数非0的个数即可.✧Rank(A)=rank(A’A)=A’A的非0特征根的个数.(5) 矩阵的迹✧tr(A)=tr(Λ), 特征根之和,✧tr(A)=tr(ACC’)=tr(C’AC)=tr(Λ)27|A|=|Λ|, 特征根之积证明：由于C’AC=Λ，所以|C’AC|=|Λ|，而左边等于|C’ |×|A|×|C|=|C’|×|C|×|A|=|C’ C|×|A|=|A|(7) 矩阵的幂定理: 若A对称,则A2的特征向量同A, A2的特征根是A的特征根的平方.推论: A k=CΛk C’, k=0, ±1, ±228(8) 幂等矩阵的特征根若A2=A, 则λ=λ2, 即λ=0或1.297. 二次型和正定矩阵(1)二次型q=x’Ax=∑i∑j x i x j a ij, A对称(2)称A是正定的(Positive define), 若对任意x≠0, 有x’Ax>0称A是负定的(negative define), 若对任意x≠0, 有x’Ax<0称A是非负定的(nonnegative define), 若对任意x≠0, 有x’Ax ≥030称A是非正定的(nonnegative define), 若对任意x≠0, 有x’Ax ≤031(3)定理: 若A对称, 且A的所有特征根都为正, 则A为正定; 若一些根为0, 则A为非负定。
证: q=x’Ax=x’CΛC’x 令y=C’x, 则有q=y’ Λy=∑iλi y i2若对任意i, λi >0, 则对任意y≠0, 有q>0.32(4)*对称幂等二次型定理: (1) 对称幂等矩阵均为非负定的; (2) 若A为对称幂等矩阵, 秩为J, 则x’Ax=∑i=1J y i2证: 由幂等矩阵的特征根非0即1可证.3334 8 向量微分设列向量x n ×1∈R n , f: R n —>R, 则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂≡∂∂n x x f x x f x x f /)(/)()(1 例：(1) 1)'(⨯=∂∂n a x x a (2) ')(A x Ax =∂∂35 (3) (')(')x Ax A A x x∂=+∂ 例子：效用函数12()U x Ax x αβ=，求U x ∂∂？ 生产函数为(,)F L K AL K αβ=，求,(,)'F z L K z∂=∂？369、多元函数的极值。