二次函数与几何综合(讲义)

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二次函数与几何综合(讲义及答案)

二次函数与几何综合（讲义）➢ 课前预习1. 如图，直线112y x =+经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标为(2，5)，则△ABC 的面积为__________．提示：利用点坐标求面积，需要将点坐标转化为横平竖直的线段长，常考虑作横平竖直的线来对图形进行割补．具体操作：①过点C 作CD ∥y 轴，交AB 于点D ； ②借助C ，D 坐标求解CD 长；③以CD 为底，则A ，B 两点间的水平距离为高，即1()2ABC ADC DBC B A S S S CD x x =+=⋅⋅-△△△．2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线334y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点C 的坐标为(0，-2)．若点D 在直线AB 上运动，点E 在直线AC上运动，当以O，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________．提示：（1）分析定点（A，O），动点（D，E），属于两定两动的平行四边形存在性问题．（2）连接两定点得定线段，考虑：①若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；②若定线段作为平行四边形的对角线，则绕定线段中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标．（3）利用函数特征和几何特征求解后，结合图形进行验证．➢知识点睛1.“函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，_____________________．2.研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________．②___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息．3. 二次函数之面积问题的常见模型①割补法——铅垂法求面积：1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△ 1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时， PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．➢ 精讲精练1. 如图，抛物线y =-x 2+2x +3经过A ，B ，C 三点．点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B ，C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，连接MB ，MC ．（1）若设点M 的横坐标为m ，四边形OBMC 的面积为S ，则S 与m 的函数关系式为________________．（2）四边形OBMC 的最大面积为________，此时点M 的坐标为____________．2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3经过A，B，C三点，点D的坐标为(0，1)，直线AD与抛物线交于另一点E．（1）若M是直线AD上方抛物线上的一个动点，则△AME面积的最大值为__________．（2）在直线AD下方的抛物线上有一动点G，当S=6时，点G的坐标△AEG为_______________．3.如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a＞0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC，CD，∠ACD=90°．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若点M在抛物线上，且以点M，A，C以及另一点N为顶点的平行四边形ACNM的面积为12，设M的横坐标为m，求m的值．4. 如图，已知二次函数y =x 2-3x -4的图象与x 轴交于点A ，B ，且经过点C(2，标；若不能，请说明理由．5.如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D在抛物线对称轴上，点E在抛物线上，且以A，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）已知点F是抛物线上的动点，点G是直线y=-x上的动点，且以O，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形，求点G的横坐标．【参考答案】➢课前预习1.9 22.1126 () 55D，，2286 () 55D-，➢知识点睛1.利用横平竖直的线段长，函数特征与几何特征互转2.①四点一线；k，b②坐标转线段长➢精讲精练。

二次函数与几何综合

二次函数与几何综合（讲义）一、知识点睛“二次函数与几何综合”思考流程：①研究函数表达式,二次函数关注四点一线，一次函数关注k、b；②关键点坐标转线段长，找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息．二、精讲精练1. 如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a>0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC、CD，∠ACD=90°．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标．3.已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中A (1，0)，C (0，-3). （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ），①如图1，当△PBC 的面积与△ABC 的面积相等时，求点P 的坐标； ②如图2，当∠PCB =∠BCA 时，求直线CP 的解析式．4. 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x=-与抛物线214y x bx c=-++交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x 轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．5．已知，抛物线212y ax ax b=-+经过A(-1，0)，C(2，32)两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ2y，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．6．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(m-4，0)和B(m，0)，与直线y=-x+p 相交于点A和点C(2m-4，m-6).（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A、C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP的面积为12，求P、Q两点的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴下方抛物线上的一动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．令x=0，则y=-3a，∴C（0，3-a），∴OC=3a∵D为抛物线223y ax ax a=--的顶点，∴D（1，-4a）过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，则∠AOC =∠CMD =90°，又∵∠ACD +∠MCD =∠AOC +∠1，∠ACD =∠AOC =90°∴∠MCD =∠1 ， ∴△AOC ∽△CMD ，∴OA OCCM DM=， ∵D （1，-4a ），∴DM =1，OM =4a ，∴CM =a ∴331a a =，∴21a =，∵a >0，∴a =1 ∴抛物线的解析式为：223y x x =-- （2）当AB 为平行四边形的边时，则BA ∥EF ，并且EF = BA =4由于对称轴为直线x =1，∴点E 的横坐标为1 ∴点F 的横坐标为5或者-3 将x =5代入223y x x =--得y =12， ∴F （5，12）．将x =-3代入223y x x =--得y =12， ∴F （-3，12）．当AB 为平行四边形的对角线时，点F 即为点D ， ∴F （1，-4）．综上所述，点F 的坐标为（5，12），（-3，12）或（1，-4）． 3．解：（1）由题意，得0322a b c c ba⎧⎪++=⎪=-⎨⎪⎪-=⎩，解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为243y x x =-+-.（2）①令2430x x -+-=，解得1213x x ==， ∴B （3， 0）则直线BC 的解析式为3y x =- 当点P 在x 轴上方时，如图1，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于点P ， ∴设直线AP 的解析式为y x n =+， ∵直线AP 过点A （1，0），∴直线AP 的解析式为1y x =-，交y 轴于点(01)E -，. 解方程组2143y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩，得12121201x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，∴点1(21)P ，当点P 在x 轴下方时，如图1，根据点(01)E -，，可知需把直线BC 向下平移2个单位，此时交抛物线于点23P P 、，得直线23P P 的解析式为5y x =-，解方程组2543y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩，得1212x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩∴23P P ，综上所述，点P 的坐标为：1(21)P ，，23P P ， ②过点B 作AB 的垂线，交CP 于点F .如图2，∵(30)(03)B C -，，， ∴OB =OC ，∴∠OCB =∠OBC =45° ∴∠CBF =∠ABC =45° 又∵∠PCB =∠BCA ，BC =BC ∴△ACB ≌△FCB∴BF =BA =2，则点F （3，－2）又∵CP 过点F ，点C ∴直线CP 的解析式为133y x =-.4．解：（1）对于3342y x =-，当y =0，x =2；当x =-8时，y =-152.∴A 点坐标为（2，0），B 点坐标为15(8)2--，由抛物线214y x bx c =-++经过A 、B 两点，得012151682b c b c =-++⎧⎪⎨-=--+⎪⎩ 解得3452b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 2135.442y x x ∴=--+（2）设直线3342y x =-与y 轴交于点M 当x =0时，y =32-. ∴OM =32.∵点A 的坐标为（2，0），∴OA =2，∴AM 5.2=∴OM ：OA ：AM =3：4：5.由题意得，∠PDE =∠OMA ，∠AOM =∠PED =90°，∴△AOM ∽△PED . ∴DE ：PE ：PD =3：4：5∵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，∴PD 213533()()44242x x x =--+--=213442x x --+∴21213(4)542l x x =--+231848555x x =--+23(3)155l x ∴=-++由题意知：82x -<<315.x l ∴=-=最大时，5．解：(1) ∵拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A (-1，0)，C (0，23)两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2302b b a a ，∴1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴拋物线的解析式为y 1= -21x 2+x +23（2）解法一：过点M 作MN ⊥AB 交AB 于点N ，连接AM 由y 1= -21x 2+x +23可知顶点M (1，2) ，A (-1，0)，B (3，0)，N (1，0) ∴AB =4，MN =BN=AN =2，AM =MB =∴△AMN 和△BMN 为等腰直角三角形. ∵∠MP A +∠QPB =∠MP A +∠PMA =135° ∴∠QPB =∠PMA 又∵∠QBP =∠P AM =45° ∴△QPB ∽△PMA∴=AP BQAM BP将AM =AP =x +1，BP =3－x，BQ=22－y 代入，223y x=－－，即2215=+22y x x －. ∵点P 为线段OB 上一动点（不与点B 重合） ∴0≤x ＜3则y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +25(0≤x <3) 解法二：过点M 作MN ⊥AB 交AB 于点N .由y 1= -21x 2+x +23易得M (1，2)，N (1，0)，A (-1，0)，B (3，0)， ∴AB =4，MN =BN =2，MB =22，∠MBN =45︒. 根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM2-PN 2. ∴(()22222=1PM x ---…①，又∠MPQ =45︒=∠MBP ， ∴△MPQ ∽△MBP ， ∴2PM MQ MB =⨯=22y 2⨯22 由、得y 2=21x 2-x +25.∵0≤x <3，∴y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +25(0≤x <3) 6．解：（1）如图1，过点C 作CE ⊥AB ，交AB 于点E . ∵点C (2m -4，m -6)，∴点E (2m -4，0) ∴EC =6-m ，AE =OE +EA =m 又∵直线AC ：y =-x +p ∴∠EAC =45°，AE =EC 即6－m =m ，m =3.∴A (-1，0)，B (3，0)，C (2，-3)可得抛物线解析式为y =x 2-2x-3，直线AC 解析式为y = -（2）如图2，AC =32，AC 所在直线的解析式为：y ∠BAC =45°∵平行四边形ACQP 的面积为12. ∴平行四边形ACQP 中AC 边上的高为2312=22过点D 作DK ⊥AC 与PQ 所在直线相交于点K ，DK = 22，符合条件的点K 在直线AC 的两侧各有一个， ∴PQ 所在直线可能在直线AC 的两侧各有一条，又∵∠OAD =45°，∴DN =4 ∴PQ 的解析式为y =-x +3或y =-x -5∴ 2233y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩ ，解得1130x y =⎧⎨=⎩或2225x y =-⎧⎨=⎩2235y x x y x ⎧=--⎨=--⎩ 方程组无解. 即P 1(3，0)， P 2(-2，5)∵ACPQ 是平行四边形，A (-1，0) C (2，-3) ∴当P (3，0)时，Q (6，-3) 当P (-2，5)时，Q (1，2)∴满足条件的P ，Q 点是P 1(3，0)， Q 1(6，-3)或 P 2(-2，5)，Q 2(1，2) （3）如图3，作直线l 平行于PQ 所在的直线（即BN ），且使得l 与抛物线只有一个交点，这个交点即为M （此时以PQ 为底，高最大，面积最大）设l 的表达式为y x b =-+，则223y x b y x x =-+⎧⎨=--⎩，得230x x b ---=，由△=0，得b =134-，∴213423y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩，解得12154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴M （21，154-）设l 与y 轴交点为点G ，过G 作GH ⊥BN 于点H ，易得∠NGH =45°，则在Rt △NGH 中，GHNG 又∵N （0，3），G （0，134-），∴NG =254∴GHNG = ∵PQ =AC=∴S=11752288PQ GH =⨯=1，154），最大面积为857.∴M（2。

第22章二次函综合专题3-二次函数的几何综合应用人教版数学九年级上册课件

将点 C 代入抛物线
(m＞0)，得
∴ m = 4. ∴该抛物线解析式为
(2) 如图，过点 P 作 PH∥y 轴，交 BC 于点 H， ∵ B、C 坐标分别为 B(4，0)，C(0，2). yy P
设直线 BC 解析式为 y = kx + n，
CC
则
，得
A
H
O
BB xx
∴直线 BC 解析式为设点 P 的坐标为
问题在平面直角坐标系中，已知 A(1，1)，B(7，3)，
C(4，7)，求△ABC 的面积．
分析：显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补
y D CC E
倒是可以一试，比如这样：
B
构造矩形ADEF，用矩形面积减去三
AA O
F xx
个三角形面积即可得△ABC 面积．这
是在“补”，同样可以采用“割”.
【解析】(1) 将点 A(-1，0)，C(0，5)，代入
y＝ -x2＋bx＋c 得，
解得
∴ 抛物线的解析式为 y＝ -x2＋4x＋5.
y
(2) 存在，理由如下：
抛物线 y＝ -x2＋4x＋5 对称轴为直线 x＝2， C
设点 M(s，-s2＋4s＋5)，N(2，t)，而 B(5，0)，C(0，5)，
C(3，5)，可得：
(1) AD 为对角线时，
，可得 D1(7，6)；
(2) AC 为对角线时， (3) AB 为对角线时，
解得 D3(3，0)
，解得 D2y(-1，4)；
，
C
D1
D2 B
A
O
D3
x
2．两定两动
已知 A(1，1)、 B(3，2)，点 C 在 x 轴上，点 D 在 y

第03讲二次函数与几何综合+张来

第二十二章二次函数第三讲二次函数与几何综合概述教学内容本讲内容涉及二次函数知识点，在人教版课本第二十二章中学习，在本系列教材初三第1册第六、七节中已学习过．专题1 二次函数与图形面积专题2 二次函数与特殊三角形专题3 二次函数与特殊四边形专题4 二次函数与全等专题5 二次函数与判别式专题6 二次函数和根与系数的关系专题讲解专题1 二次函数与图形面积例1如图，抛物线y＝mx2－2rnx－3m(m>0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点M为抛物线的顶点，且OC＝OB．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线上有一点P，连PC交线段BM于Q点，且S△BPQ＝S△CMQ，求P点的坐标．(2014－2015，武昌区七校联考) 点拨灵活处理面积问题，转化成求点、直线解析式问题．解析：归纳总结：①题型特征：图形的面积与二次函数的系数相关．②方法与技巧：结合题意选取恰当的方法对面积条件进行充分的表达．练1．1如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，其中点A 的坐标为(－3，0)．(1)求点B的坐标；(2)已知a＝1，点C为抛物线与y轴的交点．若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标．专题2 二次函数与特殊三角形例2 如图，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．(2014，外校月考)点拨(1)分析抛物线过两点，由待定系数求出抛物线解析式；(2)根据特殊角构造特殊三角形，求特殊三角形顶点坐标，进而求交点P坐标．解析：归纳总结：①题型特征：结合了二次函数和等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等信息．②方法与技巧：将特殊三角形的边、角信息转化成坐标信息，与二次函数进行结合．练2．1如图，抛物线y＝－x2＋4x－3与坐标轴交于A，B，C三点．点M在线段BC上．将线段OM绕O点逆时针旋转90°，使点M的对应点N恰好落在第一象限的抛物线上，求点N的坐标．专题3 二次函数与特殊四边形例3已知：抛物线y＝－ax2－2ax＋3a分别交x轴于A，B点，交y轴于C点，其顶点D在直线y＝－2x －6上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，直线y＝－x－5分别与x轴、y轴交于E、F点，将直线EF沿y轴正方向平移t(t>0)个单位得直线l，直线l和抛物线相交于点P，Q，是否存在t，使四边形EFQP为平行四边形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．(2014－2015，洪山区期中)点拨平行四边形的对边平行且相等，利用平移思路设点坐标并求解．解析：归纳总结：①题型特征：二次函数与平行四边形的结合，涉及存在性问题等②方法与技巧：特殊平行四边形的性质是解决这类题目的关键．练3．1如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，－4)，C(2，0)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得以P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．专题4 二次函数与全等例4 如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上，若∠AEF ＝90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．(1)图1中若点E 是边BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE ＝EF ．请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)；(2)如图2，若点E 在线段BC 上滑动(不与点B ，C 重合)． ①AE ＝EF 是否总成立？请给出证明；②在如图2的直角坐标系中，当点E 滑动到某处时，点F 恰好落在抛物线y ＝－x 2＋x ＋1上，求此时点F 的坐标．(2014，武昌区七校联考)FEDCBA图1 图2点拨根据全等进行边、角转换，并最终转换成坐标的关系，使图形信息与函数相结合．解析：归纳总结：①题型特征：结合了二次函数与全等三角形，具有明显的根据全等进行边、角转化的信息． ②方法与技巧：将边、角通过适当的方法转化成坐标信息与二次函数进行结合．练4．1 如图，抛物线交x 轴于点A (－1，0)，B (3，0)两点，交y 轴于点C ． (1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上，找一点N使∠NCA＝2∠ACB，求点N的坐标．(2014－2015，汉阳区期中)变式已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，将直线AC向右平移交抛物线于点P，交x轴于Q点，且∠CPQ＝135°．求直线PQ的抛物线．专题5 二次函数与判别式例5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C l：y＝ax2－a2(a>0)经过点B(1，0)，顶点为A．(1)求抛物线C2的解析式；(2)在图1中将抛物线C l绕点B旋转180°后得抛物线C3，直线y＝kx－2k＋4总经过一定点M，若过定点M的直线l与抛物线C3只有一个公共点，求直线l的解析式．(2014－2015，硚口区期中)图1点拨探讨抛物线与直线交点个数问题，即是联立解析式得到一元二次方程，转化为一元二次方程根的个数问题，利用判别式求解．解析：归纳总结：①题型特征：②方法与技巧：练5．1如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过A(－3，0)，B(－1，0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为M，直线y＝2x－9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．专题6 二次函数和根与系数的关系例6 已知关于x的二次函数y＝x2－2x＋2的图象与关于x的函数y＝x＋1的图象交于A，B两点，求线段AB的长．(2014，江岸区期末) 点拨直线被二次函数所截线段长问题可以通过联立二次函数解析式与直线解析式，转化为关于x的一元二次方程问题，综合利用韦达定理求解．解析：归纳总结：①题型特征：②方法与技巧：练6．1 已知关于x的二次函数y＝x2－2m x＋2的图象与关于x的函数y＝x＋1的图象交于A，B两点，且AB＝10，求m的值．练6．2如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C l：y＝ax2－a2(a>0)经过点B(l，0)，顶点为A．(1)求抛物线C l的解析式；(2)如图2，先将抛物线C l向上平移使其顶点在原点O，再将其顶点沿直线y＝x平移得到抛物线C2，设抛物线C2与直线y＝x交于C、D两点，求线段CD的长．图1 图2例7在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝54x＋m(m为常数)的图象与x轴交于点A(－3，0)，与y轴交于点C．以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．(1)求m的值及抛物线的函数表达式；(2)若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1，y1)，M2(x2，y2)两点，试探究1212M P M PM M是否为定值，并写出探究过程．(2014，江岸区期末) 点拨紧紧抓住二次函数与x轴交点横坐标即是令函数值为0时得到的关于自变量x的一元二次方程的解，然后利用韦达定理根据相关关系列出等式即可．解析：归纳总结：①题型特征：②方法与技巧：练6．3如图，抛物线的顶点坐标为(1，－4)，且与x轴交于A(－1，0)，B．(1)求抛物线C的解析式；(2)如图，点M的坐标为(2，0)，过点M的直线交抛物线于点P，Q，当线段PQ恰好被x轴平分时，求直线PQ的解析式；分级检测A级1．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点为B(5，0)，另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5)(1)求直线BC与抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；(3)在(2)的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1＝6S2，求点P的坐标．(2013，重庆)2 如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过两点C(－2，5)与D(0，－3)，且与x轴相交于A，B两点，其顶点为M．(1)求点M的坐标；(2)求△ABM的面积；(3)在二次函数图象上是否存在点P，使S△P AB＝54S△MAB?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；(4)在二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变．得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y＝x＋n与此图象有两个公共点时，求n的取值范围．备用图B级1. 如图，抛物线y＝14x2－32x－4与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C．连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．(1)求点A，B，C的坐标．(2)当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD 是平行四边形．此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．(3)当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．课后反馈1．已知抛物线y＝ax2＋bx－8a与x轴交于A(－2，0)，B(x2，0)两点，与y轴正半轴交于点C，且S△BOC －S△AOC＝4，求抛物线的解析式．2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；(3)若点P是抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为时，四边形PQAC是平行四边形；当点Q的坐标为时，四边形PQAC是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)．3．如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA ＝4，OC＝3．若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．(2013，昆明压轴题)4．如图，已知抛物线y ＝x 2＋mx －34m 2(m >0)与x 轴交于A ，B 两点． (1)求证：抛物线的对称轴在y 轴的左侧；(2)若1OB －1OA ＝23(O 是坐标原点)，求抛物线的解析式； (3)设抛物线与y 轴交于点C ，若△ABC 是直角三角形，求△ABC 的面积．下次课必背1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的基本性质：对称轴x ＝－2b a，最值y ＝244ac b a ． 2．对于实际问题，通过建立函数模型来刻画变量之间的关系，利用二次函数的图象和性质来研究，从来使实际问题得到解决．。

初三数学-二次函数和几何综合应用PPT共25页

13、遵守纪律的风气的培养，只有领导者本身在这方面以身作则才能收到成效。—— 马卡连柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅精神以及同全世界劳动者的团结一致，是取得最后胜利的保证。—— 列宁摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而用
11、战争满足了，或曾经满足过人的好斗的本能，但它同时还满足了人对掠夺，破坏以及残酷的纪律和专制力的欲望。 ——查·埃利奥特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段。纪律是教育过程的结果，首先是学生集体表现在一切生活领域—— 生产、日常生活、学校、文化等领域中努力的结果。— —马卡连柯(名言网)

第二章二次函数-二次函数与几何综合(教案)

5.培养学生的合作交流能力，通过小组讨论和问题探究，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养团队协作精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次函数图像的几何变换：重点理解图像的平移、伸缩、对称等几何变换的规律及其对函数表达式的影响。
-平移变换：掌握二次函数图像向左、向右、向上、向下平移的规律，理解平移变换对函数解析式中常数项的影响。
-难点举例：在图像的平移、伸缩、对称变换中，如何正确调整函数解析式中的常数项和系数。
-解决方法：通过动态演示和实际操作，帮助学生直观地理解图像变换规律，并学会应用于实际问题。
（2）二次函数与几何关系的综合应用：学生对二次函数图像与坐标轴、直线、圆的交点的理解可能不深刻。
-难点举例：如何确定二次函数图像与坐标轴、直线、圆的交点，以及如何利用这些交点解决几何问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数与几何综合》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算抛物线与坐标轴围成图形面积的情况？”（如篮球投篮的抛物线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数与几何综合的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数与几何综合在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决方法：通过典型例题的分析和讲解，使学生掌握求解交点的方法，并运用这些交点解决几何问题。

二次函数与几何综合-特殊三角形存在问题(解析版)

专项12 二次函数与几何综合-特殊三角形存在问题等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线”（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB=AC ；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA=BC ；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA=CB ．注意：若有重合的情况，则需排除．以点 C 1 为例，具体求点坐标：过点A 作AH ⊥x 轴交x 轴于点H ，则AH=1，又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C 类似可求点 C 2 、C 3、C 4 ．关于点 C 5 考虑另一种方法．【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C直角三角形的存在性【方法1 几何法】“两线一圆”（1）若∠A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C ；（2）若∠B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C ；（3）若∠C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C ．（直径所对的圆周角为直角）如何求得点坐标？以C 2为例：构造三垂直．），坐标为（故代入得：坐标得、由易证0213232222C C C BN AM B A N MBBN AM BN AMB ===∆≈∆()），坐标为（，，坐标为故或故又即代入得：，设，坐标得、由易证求法相同，如下：、040231a ,4a ,3ab ,3ab 1N a,31,4333333343C C C C C C C C C C b bM BN AM B A NBM N AMNB AM ==+=======∆≈∆【方法2 代数法】点-线-方程23m 20352235110,m 135-m 1-m 35-m 11-m 22222122111=+=+=+=+==，解得：）代入得方程（，，，）表示线段：（）；，（）、，（），又坐标为（）表示点：设（：不妨来求下）（）（）（）（BC C C C A AB B A【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A （﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝，（2）m＝时，△ADE的面积取得最大值为（3）点P坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得，所以二次函数的解析式为：y＝，（2）y＝的对称轴为x＝﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求P A2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20，当P A2＝PE2时，9+n2＝1+（n+2）2，解得，n＝1，此时P（﹣1，1）；当P A2＝AE2时，9+n2＝20，解得，n＝，此时点P坐标为（﹣1，）；当PE2＝AE2时，1+（n+2）2＝20，解得，n＝﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述，P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．【变式1-2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3 （2）①n＝时，PM最大＝②P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）解法一：当PM＝PC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1＝n2＝0（不符合题意，舍），n3＝2，n2﹣2n﹣3＝﹣3，P（2，﹣3）．当PM＝MC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n﹣3+3）2，解得n1＝0（不符合题意，舍），n2＝3﹣，n3＝3+（不符合题意，舍），n2﹣2n﹣3＝2﹣4，P（3﹣，2﹣4）．综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．解法二：当PM＝PC时，∵BC：y＝x﹣3∴∠ABC＝45°∵PH⊥AB∴∠BMH＝∠CMP＝45°∴PM＝PC时，△CPM为等腰直角三角形，CP∥x轴设P（n，n2﹣2n﹣3），则CP＝nMP＝﹣n2+3n∴n＝﹣n2+3n解得n＝0（舍去）或n＝2，∴P（2，﹣3）当PM＝CM时，设P（n，n2﹣2n﹣3），则＝﹣n2+3n＝﹣n2+3n∵n＞0∴n＝﹣n2+3n解得n＝3﹣∴P（3﹣，2﹣4）综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）【变式1-2】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝1，点B与A（﹣1，0）关于直线x＝1对称，∴B（3，0），设y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）存在，设Q（m，﹣m+3）（0＜m＜3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴AC2＝OA2+OC2＝12+32＝10，AQ2＝（m+1）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣4m+10，CQ2＝m2+m2＝2m2，∵以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，∴AC＝AQ或AC＝CQ或AQ＝CQ，当AC＝AQ时，10＝2m2﹣4m+10，解得：m＝0（舍去）或m＝2，∴Q（2，1）；当AC＝CQ时，10＝2m2，解得：m＝﹣（舍去）或m＝，∴Q（，3﹣）；当AQ＝CQ时，2m2﹣4m+10＝2m2，解得：m＝，∴Q（，）；综上所述，点Q的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）．【考点2 直角三角形的存在性】【典例2】（2021秋•建华区期末）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（1，0）、C（0，﹣3），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．（4）在y轴上存在点E，使△ADE为直角三角形，理由如下：∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4），设E点坐标为（0，m），∴AE2＝m2+9，DE2＝m2+8m+17，AD2＝20，当∠EAD＝90°时，有AE2+AD2＝DE2，∴m2+9+20＝m2+8m+17，解得m＝，∴此时点E的坐标为（0，）；当∠ADE＝90°时，DE2+AD2＝AE2，m2+8m+17+20＝m2+9，解得m＝﹣，∴此时点E的坐标为（0，﹣）；当∠AED＝90°时，AE2+DE2＝AD2，m2+9+m2+8m+17＝20，解得m＝﹣1或m＝﹣3，∴此时点E的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）．综上所述，符合题意的点E的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．【变式2-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将点C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），∴3a＝3，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点为（2，﹣1）；（2）存在一点E，使△BCE是直角三角形，理由如下：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，设E（2，t），∵△BCE是直角三角形，∴BE⊥CE，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，BE＝，CE＝，①当BC为斜边时，∴18＝（）2+（）2，解得t＝，∴E点坐标为（2，）或（2，）；②当BE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝5，∴E点坐标为（2，5）；③当CE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝﹣1，∴E点坐标为（2，﹣1）；综上所述：E点坐标为（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1）．【变式2-2】（2022•碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c 交x轴于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y轴于点C（0，5）．（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标．（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若△DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+6x+5，∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，∴顶点D（﹣3，﹣4）；（2）设抛物线C2上任意一点（x，y），则（x，y）关于y轴对称的点为（﹣x，y），∵点（﹣x，y）在抛物线C1上，∴抛物线记作C2的解析式为y＝x2﹣6x+5，设E（t，t2﹣6t+5），过点D作DG⊥x轴交于点G，过点E作EH⊥x轴交于点H，∵∠DOE＝90°，∴∠GOD+∠HOE＝90°，∵∠GOD+∠GDO＝90°，∴∠HOE＝∠GDO，∴△GDO∽△HOE，∴＝，∵DG＝4，GO＝3，HE＝﹣t2+6t﹣5，OH＝t，∴＝，∴t＝4或t＝，∴E（4，﹣3）或E（，﹣）．【变式2-3】（2022•武功县模拟）如图，经过点A（2，6）的直线y＝x+m与y轴交于点B，以点A为顶点的抛物线经过点B，抛物线的对称轴为直线l．（1）求点B的坐标和抛物线的函数表达式；（2）在l右侧的抛物线上是否存在点P，使得以P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y＝x+m经过点A（2，6），∴2+m＝6，解得m＝4，即y＝x+4．令x＝0，得y＝4，即点B的坐标为（0，4）．∵点A（2，6）为抛物线的顶点，∴可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+6（a≠0），将点B（0，4）代入，得4＝4a+6，解得，∴抛物线的函数表达式为．∴点B的坐标为（0，4），抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+4；（2）∵点A（2，6）为抛物线的顶点，∴抛物线的对称轴l：x＝2．①当AB为该等腰三角形的底边时：如图，点P在P2的位置．过点A作AC⊥y轴于点C，过点P2作P2D⊥AC交CA的延长线于点D，作P2E⊥y轴于点E，连接P2A，P2B，则P2A＝P2B，∠D＝∠P2EB＝90°．∵A（2，6），B（0，4），AC⊥BC，∴AC＝BC＝2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA．∵P2A＝P2B，∴∠P2AB＝∠P2BA，∴180°﹣∠CAB﹣∠P2AB＝180°﹣∠CBA﹣∠P2BA，即∠P2AD＝∠P2BE．在△P2AD和△P2BE中，∠D＝∠P2EB，∠P2AD＝∠P2BE，P2A＝P2B，∴△P2AD≌△P2BE（AAS），∴P2D＝P2E．设，则P2E＝m，，∴，解得（舍去）或，∴；②当AB为该等腰三角形的腰时，作点B关于l的对称点P1，由抛物线的对称性可知，AB＝AP1．∵B（0，4），抛物线的对称轴为直线x＝2，∴P1（4，4）．综上可知，在l右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为（4，4）或．【考点3 等腰直角三角形的存在性】【典例3】（2022•黔东南州一模）抛物线y＝ax2+bx﹣经过点（1，﹣1），现将一块等腰直角三角板ABC（∠ACB＝90°）按照如图的方式放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A、C坐标分别为（0，2）、（﹣1，0）．B点在抛物线y＝ax2+bx﹣图象上．（1）求点B的坐标：（2）求抛物的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D．∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠BCD＝∠CAO，又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，∴△BCD≌△CAO（AAS），∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，∴点B的坐标为（﹣3，1）；（2）抛物线y＝ax2+bx﹣经过点（1，﹣1），点B（﹣3，1），则，解得，所以抛物线的解析式为y＝x2+x﹣；（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°，∴△MP1C≌△DBC（AAS），∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1，∵OC＝1，∴OM＝1，∴P1（1，﹣1）；②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，得到等腰直角三角形△ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1，∴点P2（2，1），③以A为直角顶点的等腰Rt△ACP的顶点P有两种情况．即过点A作直线L⊥AC，在直线L上截取AP＝AC时，点P可能在y轴右侧，即现在解答情况②的点P2；点P也可能在y轴左侧，即还有第③种情况的点P3．因此，然后过P3作P3G⊥y轴于G，同理：△AGP3≌△CAO，∴GP3＝OA＝2，AG＝OC＝1，∴P3为（﹣2，3）；经检验，点P1（1，﹣1）与在抛物线y＝x2+x﹣上，点P2（2，1）点P3（﹣2，3）都不在抛物线y＝x2+x﹣上．综上，存在，点P的坐标为（1，﹣1）．【变式1-1】（2022•兴宁区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；【解答】解：（1）由题意，解得：，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x；（2）过点A作直线AF⊥x轴于点F，由（1）得y＝（x﹣4）2﹣4，∴抛物线的顶点A（4，﹣4），①AM＝BM，∵B（8，0），∴BF＝4，∵∠AFB＝90°，AF＝BF＝4，∴△ABF是等腰直角三角形，∴M在点F处，△ABM是等腰直角三角形，此时M为（4，0），②AB＝AM，由①得△ABF是等腰直角三角形，BF＝4，∴AB＝＝＝4，∴M为（4，﹣4﹣4）或（4，﹣4+4），③AB＝BM，∵AB＝BM，BF⊥AM，∴MF＝AF，∴M为（4，4），综上所述，M为（4，0），（4，﹣4﹣4）或（4，﹣4+4）或（4，4）；【变式3-2】（2022•禅城区二模）如图，抛物线经过原点O，对称轴为直线x＝2且与x轴交于点D，直线l：y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与抛物线有且只有一个公共点B，并且点B在第四象限，直线l与直线x＝2交于点C．（1）连接AD，求证：AD⊥AC．（2）求抛物线的函数关系式．（3）在直线l上有一点动点P，抛物线上有一动点Q，当△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，直接写出此时点P的坐标．【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，则∠AEC＝∠DOA＝90°，∵直线y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线x＝2交于点C，∴A（0，﹣1），C（2，﹣5），∴E（0，﹣5），∴OA＝1，OD＝2，CE＝2，AE＝4，∴＝，＝＝，∴＝，∵∠AEC＝∠DOA，∴△AEC∽△DOA，∴∠CAE＝∠ADO，∵∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠CAE+∠DAO＝90°，∴∠DAC＝180°﹣（∠CAE+∠DAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥AC．（2）设抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx，∵对称轴为直线x＝2，∴＝2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax，由ax2﹣4ax＝﹣2x﹣1，整理得ax2+（2﹣4a）x+1＝0，∵直线y＝﹣2x﹣1与抛物线有且只有一个公共点B，∴Δ＝（2﹣4a）2﹣4a＝0，解得：a1＝，a2＝1，当a＝时，抛物线解析式为y＝x2﹣x，联立得x2﹣x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝﹣2，∴B（﹣2，3）与点B在第四象限矛盾，故a＝不符合题意，舍去，当a＝1时，y＝x2﹣4x，联立得x2﹣4x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝1，∴B（1，﹣3），点B在第四象限符合题意，∴a＝1，∴该抛物线的函数关系式为y＝x2﹣4x．（3）如图2，过点B作BQ⊥AB交抛物线于点Q，作GH∥x轴交y轴于点G，过点Q 作QH⊥GH，则∠AGB＝∠BHQ＝∠ABQ＝90°，∴∠ABG+∠QBH＝∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠QBH＝∠BAG，∴△ABG∽△BQH，∴＝，设Q（t，t2﹣4t），∵A（0，﹣1），B（1，﹣3），∴AG＝2，BG＝1，BH＝t﹣1，QH＝t2﹣4t+3，∴＝，解得：t＝1（舍去）或t＝，∴BH＝﹣1＝，QH＝（）2﹣4×+3＝，过点B作EF∥y轴，过点P1作P1E⊥EF，过点P2作P2F⊥EF，∵△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴P1B＝BQ＝P2B，∵∠P1BE+∠EBQ＝∠EBQ+∠QBH＝90°，∴∠P1BE＝∠QBH，∵∠BEP1＝∠BHQ＝90°，∴△BEP1≌△BHQ（AAS），∴EP1＝QH＝，BE＝BH＝，∴P1（﹣，﹣），同理可得：P2（，﹣），综上，点P的坐标为P1（﹣，﹣），P2（，﹣）．1．（2022•榆阳区一模）如图，已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过B，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则x＝3，∴B（3，0），将C（0，﹣3），B（3，0）代入y＝mx2+4x+n中，∴，解得，∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴M（2，1），对称轴为直线x＝2，设P（2，t），∴MP＝|t﹣1|，MC＝2，CP＝，①当MP＝MC时，|t﹣1|＝2，∴t＝2+1或t＝﹣2+1，∴P（2，2+1）或（2，﹣2+1）；②当MP＝CP时，|t﹣1|＝，解得t＝﹣，∴P（2，﹣）；③当MC＝CP时，2＝，解得t＝1（舍）或t＝﹣7，∴P（2，7）；综上所述：P点坐标为（2，2+1）或（2，﹣2+1）或（2，﹣）或（2，7）．2．（2022•岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；（3）易证线BC的解析式为y＝﹣x+8，向下平移5个单位得到y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，∴M（3，0），当x＝0时，y＝3，∴N（0，3），由题意得PD⊥MB，∵MB＝8﹣3＝5，D（m，﹣m+3），∴MD2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，BD2＝（8﹣m）2+（﹣m+3）2，若△BMD是等腰三角形，可分三种情况：①当MB＝MD时，∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝25，解得m1＝3+，m2＝3﹣，②当MB＝BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝25，解得，m1＝3（舍去），m2＝8（舍去），③当MD+BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，解得，m＝5.5．综上所述，m的值为3+或3﹣或5.5时，△BMD是等腰三角形．3．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x 轴于点D，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令y＝0，即﹣x+3＝0，解得：x＝3，令x＝0，得y＝3，∴B（3，0），C（0，3），∵A为x轴负半轴上一点，且OA＝OB，∴A（﹣1，0）．将点A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（3）存在．如图2，∵点P在x轴上，∴设P（m，0）．∵C（0，3），D（1，0），∴由勾股定理，得：CD2＝OC2+OD2＝32+12＝10，PD2＝（m﹣1）2，CP2＝OP2+OC2＝m2+32＝m2+9，分为三种情况讨论：①当CD＝PD时，CD2＝PD2，即10＝（m﹣1）2，解得m1＝1+，m2＝1﹣，此时点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）；②当CD＝CP时，CD2＝CP2，即10＝m2+9，解得m1＝﹣1，m2＝1（不符合题意，舍去），此时点P的坐标为（﹣1，0）；③当PC＝PD时，PC2＝PD2，即m2+9＝（m﹣1）2，解得m＝﹣4，此时点P的坐标为（﹣4，0）．综上所述，在x轴上存在点P，使得△PDC为等腰三角形，满足条件的点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）或（﹣1，0）或（﹣4，0）．4．（2022•鞍山模拟）抛物线与坐标轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式；（3）如图2，点E是抛物线上第一象限内对称轴右侧的一点，连接EC，点D是抛物线的对称轴上的一点，连接ED、CD，当△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形时，直接写出点E的横坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点，∴．解得：．∴抛物线对应的二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4；（2）设G（x，﹣x2+3x+4），∵S△BHG＝S△ABG﹣S△ABH，S△AHC＝S△ABC﹣S△ABH，△BHG与△AHC的面积差为1，∵A（﹣1，0）、B（4，0），∴AB＝5，（3）∵y＝﹣x2+3x+4，∴抛物线对称轴为x＝﹣＝，，点E分别作EM⊥y轴于M，作EN⊥EM，过点D作DN⊥EN，垂足为N，∴∠CME＝∠DNE＝90°，∠MEN＝90°，∵△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形，∴∠CED＝90°，∴∠CEM+∠MED＝∠DEN+∠MED＝90°，CE＝DE，∴∠CEM＝∠DEN，∴△EMC≌△END（AAS），∴CM＝DN，设E（m，﹣m2+3m+4）（m＞），∴4﹣（﹣m2+3m+4）＝m﹣，∴m＝或（不合题意，舍去），∴点E的横坐标为．5．（2022•渭滨区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，∴，解得，∴抛物线的表达式为：；（2）存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：令x＝0，则y＝4，∴点C（0，4），∵A（﹣3，0）、C（0，4），∴AC＝5，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+4，设点M（m，0），则点Q（m，﹣m+4），①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，∵CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：舍去负值），∴点；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或m＝0（舍去0），∴点Q（1，3）；③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：舍去）；综上所述，点Q的坐标为（1，3）或．31。

九年级数学上册二次函数讲义

初三数学二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c=+的性质：上加下减。

()2x h -4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；0a >二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）y y y y 1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

7[1].5.4二次函数与其他几何综合.讲义学生版

7.5.4二次函数与其他几何综合讲义·学生版 Page 1 of 1
【例1】如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度
移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ +MC 的值最小？若存在，请
求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

（注：抛物线2
y ax bx c =++的对称轴为2b x a
=-
） Q
P O D
C (4,0)
B (0,4)
A (-3,0)
x
y
【例2】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点()03A ，
，与x 轴分别交于()10B ，、()50C ，两点．（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；
（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．
x
C
A'
33
B E
F
y M'
O M
A 例题精讲
二次函数与其他几何综合。

二次函数与几何综合类存在性问题课件

03
注意答案的完整性和规范性；
04
在解答过程中，注意逻辑的严密性和推理的准确性。
02
二次函数与几何综合类存在
性问题的类型
以二次函数为背景的存在性问题
总结词
这类问题主要考察二次函数的性质，如开口方向、对称轴、顶点等，以及这些性质在几何图形中的应用。
详细描述
这类问题通常会给出二次函数的一般形式，如$f(x) = ax^2 + bx + c$，然后要求求解满足某些条件的点或线。例如，求函数$f(x) = x^2 - 2x$在$x$轴上的交点，或求函数$f(x) = x^2 - 2x$的对称轴等。
3. 将代数结果和几何结果相互印证，得出最终结论。
04
二次函数与几何综合类存在
性问题的实例分析
实例一
总结词
利用抛物线的性质和点到直线距离公式，求出最小值。
详细描述
设抛物线方程为 $y = ax^2 + bx + c$，直线方程为 $y = mx + n$。首先，将抛线上的点 $(x, y)$ 到直线的距离表示为 $d = frac{|ax^2 + bx + c - mx - n|}{sqrt{m^2 + 1}}$。然后，利用抛物线的性质和极值定理，求出 $d$ 的最小值。
实例三
总结词
利用双曲线的性质和点到直线距离公式，求出最小值。
详细描述
设双曲线方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$，直线方程为 $y = mx + n$。首先，将双曲线上的点 $(x, y)$ 到直线的距离表示为 $d = frac{|mx - y + n|}{sqrt{m^2 + 1}}$。然后，利用双曲线的性质和极值定理，求出 $d$ 的最小值。

二次函数与几何综合类问题复习课件

①当 m＝－3， n＞3 时，求
S△ACO S四边形AOED
的值(用含 n 的代数式表示)．
②当四边形 AOED 为菱形时， m 与 n 满足的关系式为________；当四边形 AOED 为正方形时，m＝________，n＝________．
图 40－2
解：(1)当 m＝－1 时，y＝x ＝1，当 n＝4 时，y＝x ＝16. ∴点 A 的坐标为(－1，1)，点 B 的坐标为(4，16)． ∵直线 y＝kx＋b 过 A、B 两点， 1＝－k＋b， k＝3， ∴ 解得 16＝4k＋b. b＝4. 当 m＝－2 时，y＝x2＝4，当 n＝3 时，y＝x2＝9. ∴点 A 的坐标为(－2，4)，点 B 的坐标为(3，9)．
情况二：当－2＜t＜0 时，如图②，设过点 P 且平行于 y 轴的直线交 AC 于点 N，则 OP＝－t，PA＝t－(－2)＝t＋2. ∵PN∥OC，∴△APN∽△AOC， PN PA PN t＋2 ∴ ＝，即＝， OC OA 3 2 3 ∴PN＝ (t＋2)， 2
1 1 3 3 ∴S△APN＝ PN·PA＝ × (t＋2)×(t＋2)＝ (t＋2)2， 2 2 2 4 1 3 3 2 2 ∴S＝S△ABC－S△APN＝ ×6×3－ (t＋2) ＝－ (t＋2) ＋9. 2 4 4 3 综上所述，当 0≤t＜4 时，S＝ (4－t)2；当－2＜t＜0 时，S 8 3 ＝－ (t＋2)2＋9. 4
②如图，连接 AE 交 OD 于点 P.
∵点 A(m，m2)关于 y 轴的对称点为 E， ∴E(－m，m2)，∴OP＝m2. ∵k＝m＋n，b＝－mn，∴D(0，－mn)．若四边形 AOED 为菱形，则 OP＝DP，即－mn＝2m2，∴n＝－2m. 若四边形 AOED 为正方形，则 OP＝AP，即－m＝m2，解得 m＝－1 或 m＝0(舍去)，∴n＝－2m＝2. 故答案为 n＝－2m；－1，2.

华师大初三上册提高讲义第十一讲二次函数与几何图形的综合

第十一讲二次函数与几何图形的综合学习目标1、知识目标：能根据信息写出二次函数的解析式；掌握利用二次函数知识解决简单的几何图形问题的基本思路和解题方法。

2、能力目标：使学生深入理解二次函数的图象和性质，并能进一步提升自己应用的能力；通过典型习题的分析，使学生进一步体会函数中涉及的“数形结合”、“方程思想”、“分类思想”以及“待定系数法”求解析式的方法。

3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。

体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

一、知识讲解课前测评1．（2016秋岳池县期中）已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长等于（）A ．15B ．12或15C ．12D ．15或182．（2012三明中考）在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在x 轴上，若以P ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．（2015秋义乌市校级期中）将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在AC 边上的点B′处，折痕为EF 。

已知AB =AC =3，BC =4，若以B′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF 的长是________。

4．（2014润州区校级模拟）如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，MN=4，MA=1，MB>1。

以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设AB=x ，若△ABC 为直角三角形，则x 的值为。

B'EF CBA5．如图，在直角坐标平面内，O 为原点，二次函数y=-x 2+2x+3的图像与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，顶点为P 。

如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形。

求点Q 的坐标。

知识点回顾1、二次函数的三种表达式（1）一般式：_____________________ （2）顶点式：________________________（3）交点式：_____________________其中是方程02=++c bx ax 的两实根。

初中数学《二次函数与几何综合》讲义及练习

内容基本要求略高要求较高要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题；2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；二次函数与三角形在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：ED CBAFEDA BCD FEDCBAh45︒D CBA1.如图，过三角形的某个顶点作与x 轴或y 轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加．1122ABC ACD ADB C B ACE CEB A B S S S AD y y S S CE x x ∆∆∆∆∆=+=⋅-=+=⋅-其中D ,E 两点坐标可以通过BC 或AB 的直线方程以及A 或C 点坐标得到． 2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积．ABC DEBF DAC AEB CBF S S S S S ∆∆∆∆=---.所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得． 3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用．()()()()()()111222ABC ADEB CFEB ADFC A B A B B C B c C A C A S S S S x x y y x x y y x x y y ∆=-++=-++-++-+4.如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积．该方法不常用，如果三角形的一条边与0x y ±=平行，则可以快速求解．知识点睛中考要求第五讲二次函数与几何综合12ABC S h BC ∆=⋅．适当选择图形的几何性质是难点和重点板块一二次函数与三角形【例1】（09湖北）一开口向上的抛物线与x 轴交于A （2m -，0），B （m ＋2，0）两点，记抛物线顶点为，且AC ⊥BC ．（1）若m 为常数，求抛物线的解析式；（2）若m 为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？（3）设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)设抛物线的解析式为：y ＝a (x －m ＋2)(x －m －2)＝a (x －m )2－4a ．∵AC ⊥BC ，由抛物线的对称性可知：△ACB 是等腰直角三角形，又AB ＝4，∴C (m ，－2)代入得a ＝12．∴解析式为：y ＝12(x －m )2－2． (亦可求C 点，设顶点式)(2)∵m 为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m 个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y ＝12(x －m )2－2顶点在坐标原点．(3)由(1)得D (0，2122m -)，设存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形． ∵△BOD 为直角三角形，∴只能OD ＝OB ．∴2122m -＝|m ＋2|，当m ＋2＞0时，解得m ＝4或m ＝－2(舍)．当m ＋2＜0时，解得m ＝0(舍)或m ＝－2(舍)；当m ＋2＝0时，即m ＝－2时，B 、O 、D 三点重合(不合题意，舍) 综上所述：存在实数m ＝4，使得△BOD 为等腰三角形．【例2】（09山东德城）如图，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ．⑴ 求A 、B 、C 三点的坐标．⑵ 过点A 作AP CB ∥交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．⑶ 在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG x ⊥轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA ∆相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．重、难点例题精讲y x OA【解析】 ⑴ 令0y =，得210x -=, 解得1x =±．令0x =，得1y =-．∴()10A -，，()10B ，，()01C -，⑵ ∵1OA OB OC === ∴45BAC ACO BCO ∠=∠=∠=︒ ∵AP CB ∥ ∴45PAB ∠=︒．过点P 作PE x ⊥轴于E ，则APE ∆为等腰直角三角形．令OE a =，则1PE a =+． ∴()1P a a +，．∵点P 在抛物线21y x =-上．∴211a a +=-解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴3PE =．∴四边形ACBP 的面积1111212342222S AB OC AB PE =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=．⑶ 假设存在∵45PAB BAC ∠=∠=︒ ∴PA AC ⊥．∵MG x ⊥轴于点G ，∴90MGA PAC ∠=∠=︒．在Rt AOC ∆中，1OA OC ==∴AC =在Rt PAE ∆中，3AE PE ==∴AP =设M 点的横坐标为m ，则(21M m m -，①点M 在y 轴左侧时，则1m <-．（ⅰ）当AMG PCA ∆∆∽时，有AG MGPA CA=． ∵1AG m =--，21MG m =-．即2-=．解得11m =-（舍去）223m =（舍去）．（ⅱ）当MAG PCA ∆∆∽时，有AG MGCA PA =2= 解得：1m =-（舍去）22m =-． ∴()23M -，② 点M 在y 轴右侧时，则1m >．（ⅰ）当AMG PCA ∆∆∽时有AG MGPA CA=． ∵211AG m MG m =+=-，，2=，解得11m =-（舍去），243m =．∴4739M ⎛⎫⎪⎝⎭，（ⅱ）当MAG PCA ∆∆∽时有AG MGCA PA =2=．解得：11m =-（舍去）24m =．∴()415M ，∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA ∆相似．M 点的坐标为()23-，，4739⎛⎫⎪⎝⎭，，()415，．【例3】已知：m n 、是方程2650x x -+=的两个实数根，且m n <，抛物线2y x bx c =-++的图像经过点(),0A m 、()0,B n ．⑴ 求这个抛物线的解析式；⑵ 设⑴中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和BCD ∆的面积；⑶ P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH x ⊥轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把PCH ∆分成面积之比为2:3的两部分，请求出P 点的坐标．【解析】 ⑴ 解方程650x x -+=，得1251x x ==，．由m n <，有15m n ==，．所以点A 、B 的坐标分别为()10A ，，()05B ，．将()10A ，，()05B ，的坐标分别代入2y x bx c =-++．得105b c c -++=⎧⎨=⎩解这个方程组，得45b c =-⎧⎨=⎩．所以，抛物线的解析式为245y x x =--+．⑵ 由245y x x =--+，令0y =，得2450x x --+=．解这个方程，得1251x x =-=，所以C 点的坐标为()50-，．由顶点坐标公式计算，得点()29D -，．过D 作x 轴的垂线交x 轴于M ．则()12795222DMC S ∆=⨯⨯-=．()1295142MDBO S =⨯⨯+=梯形，1255522BOC S ∆=⨯⨯=．所以，2725141522BCD DMC BOC MDBO S S S S ∆∆∆=+-=+-=梯形．⑶ 设P 点的坐标为()0a ，因为线段BC 过B 、C 两点，所以BC 所在的直线方程为5y x =+．那么，PH 与直线BC 的交点坐标为()5E a a +，，与抛物线245y x x =--+的交点坐标为()245H a a a --+，．由题意，得 ① 32EH EP =，即()()()2345552a a a a --+-+=+．解这个方程，得32a =-或5a =-（舍去）② 23EH EP =，即()()()2245553a a a a --+-+=+ 解这个方程，得23a =-或5a =-（舍去），P 点的坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，或203⎛⎫- ⎪⎝⎭，．板块二二次函数与四边形【例4】（2009山东淄博）如图，在矩形ABCD 中，20cm BC =，P ，Q ，M ，N 分别从A 、B 、C 、D出发沿AD BC CB DA ，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若()cm 0BQ x x =≠，2cm AP x =，3cm CM x =，2cm DN x =．⑴ 当x 为何值时，以PQ MN ，为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形⑵ 当x 为何值时，以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形；⑶ 以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．B【解析】 ⑴ 当点P 与点N 重合或点Q 与点M 重合时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形．当点P 与点N 重合时，由2220x x +=，得1211x x =，（舍去）∵)34120BQ CM x x +=+=<，∴此时点Q 与点M 不重合，∴1x =符合题意．当点Q 与点M 重合时，由320x x +=，得5x =，此时22520DN x ==>不符合题意，故点Q 与点M 不能重合，∴1x =． ⑵ 由⑴知，点Q 只能在点M 的左侧，当点P 在点N 的左侧时，由()()2203202x x x x -+=-+得1202x x ==，，舍去1x ，当2x =时，四边形PQMN 是平行四边形；当点P 在点N 的右侧时，由()()2203220x x x x -+=+-得12104x x =-=，，舍去1x ，当4x =时，四边形NQMP 是平行四边形．∴当2x =或者4x =时，以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形 ⑶ 过点Q M ，分别作AD 的垂线，垂足分别为点E F ，．由于2x x >，∴点E 一定在点P 的左侧，若以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形是等腰梯形，则点F 一定在点N 的右侧，且PE NF =，即223x x x x -=-， ∴1204x x ==，，可知当0x =时不成立．由于当4x =时，以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形， ∴以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形不能是等腰梯形．【巩固】（2009湖北襄樊）如图，在梯形ABCD 中，2AD BC AD =∥，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．⑴ 求证：梯形ABCD 是等腰梯形；⑵ 动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ ∠=︒保持不变，设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式；⑶ 在⑵中，①当动点P 、Q 运动到何处时，以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形，并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【解析】 ⑴ ∵MBC △是等边三角形， ∴60MB MC MBC MCB =∠=∠=︒，， ∵M 是AD 的中点，∴AM M D =， ∵AD BC ∥，∴60AMB MBC ∠=∠=︒，60DMC MCB ∠=∠=︒，∴AMB DMC △≌△，∴AB DC =，∴梯形ABCD 是等腰梯形．⑵ 在等边三角形MBC 中，460MB MC BC MBC MCB ===∠=∠=︒，，60MPQ ∠=︒ ∴120BMP BPM BPM QPC ∠+∠=∠+∠=︒，∴BMP QPC ∠=∠∴PC CQBMP CQP BM BP=△∽△， ∵PC x =，MQ y =，∴44BP x QC y =-=-，∴444x y x -=-，∴2144y x x =-+⑶ ①当1BP =时，则有BP AM BP MD BP AM BP MD ==∥，∥，，则四边形ABPM 和四边形M BPD 均为平行四边形∴211333444MQ y ==⨯-+=，当3BP =时，则有PC AM PC MD PC AM PC MD ==∥，∥，，则四边形MPCD 和四边形APCM 均为平行四边形∴11311444MQ y ==⨯-+=．∴当314BP MQ ==，或1334BP MQ ==，时，以P 、M 和A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形，此时平行四边形有4个．②PQC △为直角三角形∵()21234y x =-+，∴当y 取最小值时，2x PC ==，∴P 是BC 的中点，MP BC ⊥，而60MPQ ∠=︒∴30CPQ ∠=︒，∴90PQC ∠=︒．【例5】在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x c =++经过直线24y x =+与坐标轴的两个交点B C 、，它与x 轴的另一个交点为A ．点N 是抛物线对称轴与x 轴的交点，点M 为线段AB 上的动点．（1）求抛物线的解析式及点A 的坐标；（2）如图①，若过动点M 的直线//ME BC 交抛物线对称轴于点E ．试问抛物线上是否存在点F ，使得以点,,,M N E F 为顶点组成的四边形是平行四边形，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图②，若过动点M 的直线//MD AC 交直线BC 于D ，连接CM ．当CDM ∆的面积最大时，求点M 的坐标？60︒Q P M DC B A【解析】 ⑴∵直线24y x =+与坐标轴交点B C ，的坐标分别为()()2004-，，，∴4204a c c -+=⎧⎨=⎩，124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩4212++-=∴x x y 抛物线解析式∴抛物线与x 轴的另一个交点(4,0)A 的坐标是⑵由（１）可知，点Ｎ的坐标为()1,0．设点()0,m M直线BC ME // 2()22ME y x m x m ∴=-=-的解析式为将1x =代入,得()221,22y m E m =-∴-假设存在点Ｆ，使得以点F E N M ,,,为顶点组成的四边形是平行四边形．,,1,MN EF MN EF MN m ==- (2,22),22)F m m m m ∴---或（．2122(2)242F m m m ∴-=--+-+点在抛物线上，．整理，得2640313m m m --==解之，得 )4132,133(),4132,131(21---+-∴F F ． ⑶如图，E DE x ⊥作轴于点，设(),0,M x 则2,BM x =+//DM CA ，BDM ∆∴∽BCA ∆．224,DE (2)333DE BM x x CO BA ∴==+=+即． CDM 11S S 22BCM BDM S BM CO BM DE ∆∆∆=-=⋅-⋅124(2)(4)233x x =+--21(1)33x =--+．点M 为线段AB 上的动点，24x ∴-<<． ()0,131M S x ，此时时，当最大值==∴．【例6】（09北京昌平一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++ 与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），过点A 的直线1y kx =+交抛物线于点()2,3C ．（1）求直线AC 及抛物线的解析式；（2）若直线1y kx =+与抛物线的对称轴交于点E ，以点E 为中心将直线1y kx =+顺时针旋转90︒得到直线l ，设直线l 与y 轴的交点为P ，求APE ∆的面积；（3）若G 为抛物线上一点，是否存在x 轴上的点F ，使以B E F G 、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵点()2,3C 在直线1y kx =+上，213k ∴+=．解得1k =．∴直线AC 的解析式为1y x =+． ∵点A 在x 轴上， (10)A ∴-，．抛物线2y x bx c =-++过点A C 、， 10423b c b c --+=⎧∴⎨-++=⎩，．解得23b c =⎧⎨=⎩，．∴抛物线的解析式为223y x x =-++．（2）由()222314y x x x =-++=--+，可得抛物线的对称轴为1(30)x B =，，． ()1,2E ∴．根据题意，知点A 旋转到点B 处，直线l 过点B E 、．设直线l 的解析式为y mx n =+．将B E 、的坐标代入y mx n =+中，联立可得1,3m n =-=． ∴直线l 的解析式为3y x =-+． ()0,3P ∴．过点E 作ED x ⊥轴于点D .()1114322222APE APB EAB S S S AB PO AB ED ∆∆∆∴=-=⋅⋅-⋅⋅=⨯⨯-=． ·············· 5分存在，点F 的坐标分别为()320、()320+、()160--、()160-【例7】（2009门头沟一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，且点B 的坐标为()10，，点C 的坐标为()03，． ⑴ 求抛物线和直线AC 的解析式；⑵ E 、F 是线段AC 上的两点，且AEO ABC ∠=∠，过点F 作与y 轴平行的直线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，当MF DE =时，在x 轴上是否存在点P ，使得以点P 、A 、F 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．y xODCBAHNMF E yxO DCBA【解析】 ⑴ ∵抛物线2y x bx c =-++过点()()1003B C ，，，∴103b c c -++=⎧⎨=⎩，解得23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =--+，由223y x x =--+可得()30A -，．设直线AC 的解析式为y kx n =+ ∴303k n n -+=⎧⎨=⎩，解得13k n =⎧⎨=⎩∴直线AC 的解析式为3y x =+⑵ ∵31OA OC OB ===，∴AOC △是等腰直角三角形，4AC AB ==∴45ECO ∠=︒∵AEO ABC EAO BAC ∠=∠∠=∠，∴AEO ABC △∽△，∴AE AOAB AC=∴4AE =，∴AE =∴CE AC AE =-=过点E 作EH y ⊥轴与H ，可得12EH CH OH ===，， ∴E 点的坐标为()12-，．∵抛物线223y x x =--+顶点D 的坐标为()14-，， ∴2ED =，∴2M F ED ==．∵F 在线段AC 上，M 在抛物线223y x x =--+上，设F 点的坐标为()3x x +，，M 点的坐标为()223x x x --+， ∴()22332x x x --+-+=，解得1221x x =-=-，，舍去2x ∴F 点的坐标为()21-，，∴1FN NA == 在x 轴上存在点P ，使得以点P 、A 、F 、M 为顶点的四边形是梯形当FP M A ∥时，可得FN PNMN AN=∴131PN =，∴13PN = ∴P 点的坐标为703⎛⎫- ⎪⎝⎭，当M P FA ∥时，可得FN ANMN PN=∴3PN =，∴P 点的坐标为()50-，∴在x 轴上存在点P 使得以点P 、A 、F 、M 为顶点的四边形是梯形，点P 的坐标为703⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()50-，【例8】 (2008年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）点E 在y 轴，理由如下：连接AO ，如图所示，在中，1AB =，BO =2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=，30AOB ∴∠=由题意可知：60AOE ∠=306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+= 点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上．（2）过点D 作DM x ⊥轴于点M 1OD =，30DOM ∠=∴在Rt DOM △中，12DM =，OM =点D 在第一象限， ∴点D 的坐标为由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02)，∴点A的坐标为( 抛物线2y ax bx c =++经过点E ，2c ∴=由题意，将(A ，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得32131242a a ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得89a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线表达式为：2829y x x =--+ （3）存在符合条件的点P ，点Q ．理由如下：矩形ABOC 的面积=AB ×BD∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为．由题意可知OB 为此平行四边形一边，又3OB =OB ∴边上的高为2依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P 在抛物线2829y x x =--+上28229m ∴--+=解得，10m =，2m =1(02)P ∴，，22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，PQ OB = ∴当点1P 的坐标为(02)，时，点Q的坐标分别为1(Q，2Q ；当点2P的坐标为2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时点Q的坐标分别为32Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，42Q ⎫⎪⎪⎝⎭．【例9】（湖北宜昌）如图，点O 是坐标原点，点(0)A n ，是x 轴上一动点(0)n <.以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且2OB OA =．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90︒得矩形AGDE ．过点A 的直线y kx m =+(0)k ≠交y 轴于点F ，FB FA =．抛物线2y ax bx c =++过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM x ⊥轴，垂足为点M ． ⑴ 求k 的值；⑵ 点A 位置改变时，AMH ∆的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由．【解析】 ⑴ 根据题意得到： (30)E n ，，()G n n -，当0x =时，y kx m m =+=，∴点F 坐标为(0)m ，∵Rt AOF ∆中，222AF m n =+，∵FB AF =，∴222(2)m n n m +=--，化简得：0.75m n =-，对于y kx m =+，当x n =时，0y =， ∴00.75kn n =-， ∴0.75k =⑵ ∵抛物线2y ax bx c =++过点E 、F 、G ，∴ 220930.75n a nb c n n a nb c n c ⎧=++⎪-=++⎨⎪-=⎩解得：110.7542a b c n n ==-=-，，∴抛物线为2110.7542y x x n n =--解方程组：2110.75420.750.75y x x n n y x n⎧=--⎪⎨⎪=-⎩ 得：1153x n y n ==，；2200.75x y n ==-，∴H 坐标是：(53)n n ，，354HM n AM n n n =-=-=-，， ∴AMH ∆的面积20.56HM AM n =⨯⨯=；而矩形AOBC 的面积＝22n ，∴AMH ∆的面积∶矩形AOBC 的面积31=∶，不随着点A 的位置的改变而改变．【例10】（09北京西城一模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线364y x =-+与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C .（1）直接写出点C 的坐标，并求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线B C 的交点为T ，Q 为线段B T 上一点，直接写出 QA QO -的取值范围.【解析】（1）点C 的坐标为(3,0).∵ 点A 、B 的坐标分别为(8,0),(0,6)A B ，∴ 可设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为(3)(8)y a x x =--.将0,6x y ==代入抛物线的解析式，得14a =.∴ 过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为2111644y x x =-+.（2）可得抛物线的对称轴为2x =，顶点D 的坐标为 1125(,)216-，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G . 直线BC 的解析式为26y x =-+. 设点P 的坐标为(,26)x x -+.解法一：如图8，作OP ∥AD 交直线BC 于点P ，连结AP ，作PM ⊥x 轴于点M . ∵ OP ∥AD ，图10xyT 11C B AOHQK图9 xy11N EG DCBAOPxy11MPG DCBAO∴ ∠POM =∠GAD ，tan ∠POM =tan ∠GAD .∴ PM DGOM GA =，即2526161182x x -+=-. 解得167x =. 经检验167x =是原方程的解.此时点P 的坐标为1610(,)77.但此时165,72OM GA ==，OM ＜GA .∵ ,,,cos cos OM GAOP AD POM GAD POM GAD==∠=∠∠∠∴ OP ＜AD ，即四边形的对边OP 与AD 平行但不相等 ∴ 直线BC 上不存在符合条件的点P .解法二：如图9，取OA 的中点E ，作点D 关于点E 的对称点P ，作PN ⊥x 轴于点N . 则∠PEO =∠DEA ，PE =DE .可得△PEN ≌△DEG ．由42OAOE ==，可得E 点的坐标为(4,0).NE=EG=32， ON=OE －NE=52，NP=DG=2516.∴ 点P 的坐标为525(,)216.∵ x=52时，52526261216x -+=-⨯+=≠，∴ 点P 不在直线BC 上.∴ 直线BC 上不存在符合条件的点P . （3）QA QO -的取值范围是04QA QO ≤-≤.说明：如图10，由对称性可知QO=QH ，QA QO QA QH -=-.当点Q 与点B 重合时，Q 、H 、A 三点共线，QA QO -取得最大值4（即为AH 的长）；设线段OA 的垂直平分线与直线BC 的交点为K ，当点Q 与点K 重合时，QA QO -取得最小值0. 【附加题】（大连）如图，直线AB 交x 轴于点()20A ，，交抛物线2y ax =于点(1B ，点C 到OAB ∆各顶点的距离相等，直线AC 交y 轴于点D ．当0x >时，在直线OC 和抛物线2y ax =上是否分别存在点P 和点Q ，使四边形DOPQ 为特殊的梯形？若存在，求点P 、Q 的坐标；若不存在，说明理由．∵111102,k b k b =+⎧⎪=+⋅解得k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴y =+抛物线2y ax =经过点(1B ，21a ⨯，a =∴2y ；又∵点C 到OAB ∆各顶点距离相等，即点C 是OAB ∆三边的垂直平分线的交点．连接BC 并延长交OA 于E ， ∴BE OA ⊥，OE AE = ∴点E 的坐标为()10，，在Rt OEC ∆中，0tan 30CE OE =⋅=∴1C ⎛ ⎝⎭设直线OC 的解析式为2y k x =，11k =⨯，2k =，∴y =．设直线AC 的解析式为33y k x b =+，333302k b k b =+⎧=+，解得33k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y x = ∵直线AC 交y 轴于点D，则点0D ⎛ ⎝⎭，OD =． ⑴ 当OD PQ ∥时，①DQ OP =时，四边形DOPQ 为等腰梯形．(如图①)，由题意得，OCD ∆为等边三角形，CDO COD ∠=∠， ∴Q 是直线AD 与抛物线的交点，2x ，解得11x =-（舍），223x =，当23x =2=∴点Q的坐标为23⎛ ⎝⎭，当23x ==∴点P的坐标为23⎛ ⎝⎭． ②90ODQ ∠=︒时，四边形DOPQ 为直角梯形(如图②)．过点0D ⎛ ⎝⎭且平行x轴的直线交抛物线2y =于点Q ．2=，解得x =(负值舍去) ∴点Q的坐标为⎝⎭，把x =y =中，得y =∴点P的坐标为3⎝⎭，． ⑵ 当DQ OP ∥时，①OD PQ =时，四边形DOPQ 是等腰梯形．如图①．过点2303D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，且平行于OC 的直线为32333y x =+，交抛物线23y x =于点Q ∴2323333x x +=，解得11x =或223x =-(舍)．把1x =代入23y x =中，得3y =，∴点Q 的坐标为()13，(与点B 重合)．又∵OCD ∆为等边三角形，60DOC BPO ∠=∠=︒．设过点()13Q ，，且平行于AD 的直线33y x b =-+，交OC 于点P ，则433b =， ∴34333y x =-+，∴3433333x x -+=，解得2x =，把2x =代入34333y x =+中，233y =∴点P 的坐标为2323⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，． ②90OPQ ∠=︒时，四边形DOPQ 为直角梯形．由上解法知，点Q 的坐标为()13，（与点B 重合），过B与OC 垂直的直线为AB ，设OC 与AB 的交点为P ，∴32333y x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，解得3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 的坐标为3(2，3)2．综上所述：当112232433939P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，、，和()22232133P Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，、，（与点B 重合）时，四边形DOPQ 为等腰梯形；当33626233333P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，、，和()44331322P Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，、，（与点B 重合）时，四边形DOPQ 为直角梯形．【习题1】（湖北湛江课改卷）已知抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于点1(0)A x ，，2(0)B x ，12()x x <，且12x x ，是方程2230x x --=的两个实数根，点C 为抛物线与y 轴的交点．（1）求a b ，的值；（2）分别求出直线AC 和BC 的解析式；（3）若动直线(02)y m m =<<与线段AC BC ，分别相交于D E ，两点，则在x 轴上是否存在点P ，使得DEP △为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．家庭作业【解析】（1）由2230x x --=，得1213x x =-=，．(10)(30)A B ∴-，，，，把A B ，两点的坐标分别代入22y ax bx =++ 联立求解，得2433a b =-=-，．（2）由（1）可得224233y x x =-++，当0x =时，2y =，(02)C ∴，．设AC y kx b =+:，把A C ，两点坐标分别代入y kx b =+，联立求得 22k b ==，．∴直线AC 的解析式为22y x =+．同理可求得直线BC 的解析式是223y x =-+．（3）假设存在满足条件的点P ，并设直线y m =与y 轴的交点为(0)F m ，．①当DE 为腰时，分别过点D E ，作1DP x ⊥轴于1P ，作2EP x ⊥轴于2P ，如图，则1PDE △和2P ED △都是等腰直角三角形， 12DE DP FO EP m ====，214AB x x =-=．DE AB ∥，CDE CAB ∴△∽△， DE CF AB OC ∴=，即242m m-=．解得43m =．∴点D 的纵坐标是43，点D 在直线AC 上，4223x ∴+=，解得13x =-，1433D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．∴1103P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，同理可求2(10)P ，． ②当DE 为底边时，过DE 的中点G 作3GP x ⊥轴于点3P ，如图，则3DG EG GP m ===，由CDE CAB △∽△，xxx得DE CF AB OC =，即2242m m-=，解得1m =．同1方法．求得131122D E ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 31DG EG GP ∴=== 312OP FG FE EG ∴==-=，3102P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，．结合图形可知，2223324P D P E ED ===，， 22233ED P D P E ∴=+，3DEP ∴△是Rt △，3102P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，也满足条件．综上所述，满足条件的点P 共有3个，即123110(10)022P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，【习题2】（09山东）如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．【解析】（1）该抛物线过点(02)C -，， ∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将(40)A ，，(10)B ，代入，得1642020.a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得125.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-．（2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-，当14m <<时，4AM m =-，215222PM m m =-+-．又90COA PMA ∠=∠=°，∴①当21AM AO PM OC ==时，APM ACO △∽△，即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． ②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-．解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，．类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，．（3）如图，设D 点的横坐标为(04)t t <<，则D 点的纵坐标为215222t t -+-．过D 作y 轴的平行线交AC 于E ．由题意可求得直线AC 的解析式为122y x =-．E ∴点的坐标为122t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．2215112222222DE t t t t t ⎛⎫∴=-+---=-+ ⎪⎝⎭．22211244(2)422DAC S t t t t t ⎛⎫∴=⨯-+⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭△． ∴当2t =时，DAC △面积最大．(21)D ∴，．【习题3】（09重庆）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A (1,0),B (- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.【解析】 (1)将A (1，0)，B (－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩ (3)xy ABCPE Oxy ABC QO(2)ABC∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点，此时△AQC 周长最小 ∵223y x x =--+ ∴C 的坐标为：(0，3)直线BC 解析式为：3y x =+ Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解∴12x y =-⎧⎨=⎩∴Q (－1，2)（3）答：存在。

二次函数专题讲义(含解析)

二次函数专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这样表示。

三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。

第二课二次函数与几何综合

二次函数与几何综合1（线段最值）大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：（1）M在直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN平行于y轴交直线AC于点N，当点M的坐标为多少时，线段MN有最大值，并求出最大值二次函数与几何综合2大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：点M是直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN//y轴交直线AC于点N，作ME⊥AC于点E，当点M的坐标为多少时，△MEN的周长有最大值。

二次函数与几何综合3：线段的比（相似）大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A （-3,0），B （1,0），两点，与y 轴交于点C （0,3）小条件：如图，直线()0<=k kx y 与该抛物线在第二象限的交点为M ，与AC 交于点E ，求OE ME 的最大值二次函数与几何综合4：铅锤法（面积问题）大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A （-3,0），B （1,0），两点，与y 轴交于点C （0,3）小条件：点M 是AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点M ，使△ACM 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A （-3,0），B （1,0），两点，与y 轴交于点C （0,3）小条件：点M 是直线AC 下方抛物线上一动点，是否存在点M ，使？△15ACM =S 若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由二次函数与几何综合6：平行转化法（面积问题）大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A （-3,0），B （1,0），两点，与y 轴交于点C （0,3）小条件：点P 是抛物线上的顶点，在抛物线上是否存在异于点P 的点Q ，使ACP ACQ S S △△=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A （-3,0），B （1,0），两点，与y 轴交于点C （0,3）小条件：点M 是抛物线上一动点，是否存在点M ，使ACO ACM S 23△△=S ，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由二次函数与几何综合8：异侧过中点（面积问题）大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A （-3,0），B （1,0），两点，与y 轴交于点C （0,3）小条件：抛物线上是否存在点P ，使OPA OPC S △△=S ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由二次函数与几何综合模型9：等腰直角三角形大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：点P是AC上方抛物线上一动点，过点P点作PE垂直于x轴于E，交AC于点F，若当△CPF为等腰直角三角形时，求P的坐标二次函数与几何综合10：等腰三角形大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：在抛物线对称轴上是否存在点Q，使△BCQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为直角三角形；若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由二次函数与几何综合12：三角形的周长最小大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△BCQ的周长最小；若存在，求出点Q的坐标与周长的最小值；若不存在，请说明理由大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A （-3,0），B （1,0），两点，与y 轴交于点C （0,3）小条件：在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使CQ -AQ 最大；若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由二次函数与几何综合14：四边形周长最小大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A （-3,0），B （1,0），两点，与y 轴交于点C （0,3）小条件：若D 点的坐标为（0,1），P 是抛物线对称轴上一动点，Q 是x 轴上一动点，当P 、Q 两点的坐标为多少时，四边形CPQD 周长的最小值大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：抛物线对称轴与x轴交于点E，有一动点Q从点E出发以每秒1个单位长度的速度运动到线段AC上的点M后再以每秒2个单位长度的速度运动到点C，求Q点运动时间的最小值并写出此时点M的坐标二次函数与几何综合16：天桥模型大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：E（1，a）F（-1，a+1）是抛物线对称轴上的两个动点，当a为何值时四边形EFCB 的周长最小？并直接写出四边形EFCB周长的最小值大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：点Q是抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E，是否存在点Q，使以点A、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由二次函数与几何综合18：斜直角相似大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：点P是抛物线的顶点，作PH⊥AB于H，Q是x轴上方一动点（点Q与点P不重合），过Q点作QM⊥AP于M，当△QMP与△APH相似时，求点Q的坐标二次函数与几何综合19：45度角大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：抛物线上是否存在点Q，使∠QBC=45°，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由二次函数与几何综合20：两角和为45°大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件:抛物线上是否存在点Q，使∠QCA+∠OCB=45°，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由二次函数与几何综合21：二倍角大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件:抛物线的对称轴于x轴交于点E，在对称轴上是否存在一点Q，使∠AQE=2∠BCO，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由二次函数与几何综合22：相似与角度综合大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件:M为线段AB上一动点，过点M作MN//AC交BC于点N，若△ACM∽△CMN，求点M的坐标变式：求△MCN面积的最大值及此时点M的坐标二次函数与几何综合23：平行四边形1大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件:M为抛物线上一动点，过点M作MN//y轴交直线AC于点N，当以OCMN为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。

中考数学专题复习二次函数与几何综合模型讲义(PDF版)

y
P
H
C
F
∴ m2 3m 2m , 解得： m 0(舍去) ， m 2 3
E
OB x
从而求出 P 点的坐标。
二次函数综合题模型，第 8 页
（10）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q 使△BCQ 是等腰三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由；（等腰三角形：两圆一线）几何法：先利用“两圆一线”画出 Q 点的位置，再利用勾股定理、三线合一或相似三角形求点 Q 的坐标．（具体方法可参考等腰三角形模型之单动点平行四边形存在性问题微课）
4
此时M ( 3 , 15 ). 24
N A
OB
x
（2）点 M 为直线 AC 上方抛物线上一动点，过 M 点作 MN∥y 轴交直线 AC 于点 N, 作 ME⊥AC 于点
E，当点 M 的坐标为多少时，△MEN 的周长有最大值，并求出其最大值；
变式：△MEN 的面积有最大值，并求出其最大值．
思路点拔：
四、几何最值问题：（12）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△BCQ 的周长最小；若存在，求出点 Q 的坐标与周长最
小值；若不存在，说明理由；（线段和最小与差最大：大同小异）变式 1：在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使四边形 BOQC 的周长最小，若存在，求出点 Q 的坐标
及四边形周长的最小值；若不存在，说明理由；变式 2：点 F 是直线 BC 上的一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使 BQ+QF 最小，若存在，
y
易证△MEN∽△AOC， ∴△MEN 为等腰直角三角形，
M C
∴ C MEN ( 2 1)MN
∴当 MN 取最大值时， C MEN 最大
由（1）得当 M( 3 , 15 ) 时，MN 的最大值为： 9

二次函数与几何图形综合

新授：1.二次函数和几何图形结合2.二次函数中几何图形最值问题一、开胃菜1.抛物线22y x mx n =++过点（2,4），且其顶点在直线21y x =+上（1）求抛物线解析式；（2）求直线、抛物线的对称轴与x 轴所围成的三角形面积。

2.抛物线2(3)(1)y x x =-+-的顶点为D ，与x 轴交于点A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，求四边形ABCD 的面积。

二、典例精讲 1.如图1—17，已知一次函数643+-=x y 与坐标轴交于A 、B 过点B 作BE ⊥AE ，垂足为E ，过E 作x 轴的垂线，垂足为M 。

（1）求证：M 为OB 的中点；（2）求以E 为顶点，且经过点A 的抛物线解析式。

xyO M E B A2.如图1-24，梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，AB ⊥OA ，二次函数22+-=mx mx y 的图像经过A 、B 、C 三点。

（1）求点A 、B 的坐标；（2）当AC ⊥OB 时，求二次函数的解析式。

3.如图1-21，在直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且在点A （0,2），点C （-1,0），抛物线22-+=ax ax y 经过点B（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点P （点B 除外），使△APC 仍然以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

图1-24C B O A xy4.如图1-26，抛物线a bx ax y 42-+=经过点A(-1，0)，C （0，4）两点，与x 轴交于另一点B 。

（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D ()1+m m ，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P 的坐标。

二次函数与几何综合讲义(答案)

二次函数与几何综合讲义2013/11/101．若抛物线y =x 2-2x +c 与y 轴的交点坐标为（0，-3），则下列说法不正确的是（ C ） A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x =1C.当x =1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）。

2．在同一坐标系内，一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+8x +b 的图象可能是（ C ）A B C D3．函数y =x 2+bx +c 与y =x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2-4c >0；②b +c +1=0；③3b +c +6=0；④当1<x <3时，x 2+(b -1)x +c <0.其中正确的个数是（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（包含端点），则下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a ＋b ＞0；③－1≤a ≤－23；④3≤n ≤4中，正确的是（ D ）． A ．①②B ．③④C ．①④D ．①③5．方程0132=-+x x 的根可视为函数3+=x y 的图象与函数xy 1=的图象的交点的横坐标，则0123=-+x x 的实数根0x 所在的范围是（C ）A ． 4100<<x B ． 31410<<x C ．21310<<x D ． 1210<<x 6．如图1，把矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE →ED →DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm 2，已知y 与t 的函数关系的图形如图2（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：：①AD=BE=5cm ；②当0＜t ≤5时；y=52t 2；③直线NH 的解析式为y=－25t+27；④若△ABE 与△QBP 相似，则t=429秒。