(α,m)凸函数的新的Hermite-Hadamard型不等式
由Hermite-Hadamard_不等式的一个推广形式所生成的不等式
第37卷 第1期 湖南理工学院学报(自然科学版) V ol. 37 No. 12024年3月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Mar. 2024由Hermite-Hadamard 不等式的一个推广形式所生成的不等式时统业, 董芳芳(海军指挥学院, 江苏 南京 211800)摘 要: 考虑由一个推广的Hermite-Hadamard 不等式的右边部分的连续加细所生成的两个差函数. 引入参数求最值的方法, 在Lipschitz 条件下给出了关于这两个差函数的不等式.关键词: Hermite-Hadamard 型不等式; Lipschitz 条件; 凸函数; 加强 中图分类号: O178; O174.13文章编号: 1672-5298(2024)01-0001-06Inequalities Generated by a Generalized Form ofHermite-Hadamard InequalitySHI Tongye, DONG Fangfang(PLA Naval Command College, Nanjing 211800, China)Abstract : In this paper, we consider two difference functions generated by a continuous refinement of the right-hand side of a generalized Hermite-Hadamard inequality. By using the method of introducing a parameter to find the minumum value, inequalities involving these two difference functions are established under Lipschitz condition.Key words : Hermite-Hadamard type inequality; Lipschitz condition; convex function; strengthen0 引言本文假设,(0,1),1p q p q Î+=, 且pa qb x =+. 对于[,]a b 上的凸函数f , 成立()()()1()d ,22b a f a f b a b f f x x b a ≤≤++-ò (1) 式(1)称为Hermite-Hadamard 不等式[1−3].Dragomir 等[4]引入定义在[0,1]上的函数()1()(1)d 2ba ab H t f tx t x b a +=+--⎰, 证明当f 是[,]a b 上的凸函数时, ()H t 是[0,1]上单调递增的凸函数. 利用()H t 可加细Hermite-Hadamard 不等式的左边部分.王良成[5]给出Hermite-Hadamard 不等式的一个推广:()(,)()(),f pa qb C p q pf a qf b ++≤≤ (2)其中f 是[,]a b 上的凸函数,(,)()d ()d .()()bapq C p q f x x f x x q b a p b a ξξ=+--⎰⎰于永新和刘证[6]引入另一个与Hermite-Hadamard 不等式相关的函数:1()((1))d ((1))d bq pa q p H t p f qtx t x q f ptx t xb aξξξξ⎡⎤=+-++-⎢⎥-⎣⎦⎰⎰. 当12p q ==时, ()H t 即为Dragomir 等定义的()H t . 当1t =时, ()H t 即为王良成给出的式(2)中的插值函数. 文[6]证明当f 是[,]a b 上的凸函数时, ()H t 是[0,1]上单调递增的函数, 并且建立不等式收稿日期: 2023-08-12作者简介: 时统业, 男, 副教授. 主要研究方向: 数学不等式2湖南理工学院学报(自然科学版)第37卷()()()()()11()2222t t t t f pa qb pf a qf b H t ≤≤≤x x ++-++- ()d ()d (1)()(,)bap qt f x x f x x t f pa qb C p q b a qpξξ⎡⎤++-+⎢⎥-⎣⎦⎰⎰≤, (3) 从而加细了式(2)的左边部分. 文[7]研究由式(3)生成的差值在Lipschitz 条件下的估计.与Hermite-Hadamard 不等式有关的函数的研究还有很多[8−14]. 文[14]引入函数1()((1))d ((1))d bq p a q p H t p f qtx t a x q f ptx t b x b a ξξ⎡⎤=+-++-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ , 证明了当f 是[,]a b 上的凸函数时, ()Ht 是[0,1]上单调递减的函数, 并且利用()H t 加细了式(2)的右边部分, 即12()d ()d ()d ()d (1)()bbaapqp q t f x x f x x f x x f x x t f b a q pb a qpξξξξξ⎡⎤⎡⎤-++--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰≤≤ ()()d ()d (1)[()()]()()bapqt Ht f x x f x x t pf a qf b pf a qf b b a qpξξ⎡⎤++-++⎢⎥-⎣⎦⎰⎰ ≤≤. (4) 通过积分变量替换可以将()Ht 化为 1()((1))d ((1))d bap qHt f tx t a x f tx t b x b a qpξξ⎡⎤=+-++-⎢⎥-⎣⎦⎰⎰ . 由式(4)生成两个差值:12()()()d ()d (1)()bap qt t H t f x x f x x t f b a qpξξ∆ξ⎡⎤-=-++-⎢⎥-⎣⎦⎰⎰ , 2()()d ()d (1)[()()]()bap qt t f x x f x x t pf a qf b H t b a qpξξ∆⎡⎤=++-+-⎢⎥-⎣⎦⎰⎰ . 本文将证明当f 是定义在[,]a b 上的Lipschitz M -函数时, ()H t 是[0,1]上的()Lipschitzpq b a M --函数, 而且给出更强的结果. 另外, 还要在Lipschitz M -条件下给出1()t ∆和2()t ∆ 的估计. 1 主要结果定理1 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意12,[0,1]t t ∈, 12t t <, 有()()()2222121111()()11()()1112244U VU Vpq t t b a M pq t t b a M M MM⎡⎤⎡⎤-----+----+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤≤()()22212111()()()()11144U VH t H t pq t t b a M M M⎡⎤------+⎢⎥⎣⎦≤≤()2211()()1122V Upq t t b a M M ⎡⎤----+⎢⎥⎣⎦, (5)其中222((1))()()f t t a f a U t q b a ξ+--=-, 222()((1))()f b f t t b V t p b a ξ-+-=-.证明 利用函数2x 的凸性知式(5)的左边第一个不等式和右边第一个不等式成立. 令1211()((1))d ,()((1))d ()()baH t f tx t a x H t f tx t b x q b a p b a ξξ=+-=+---⎰⎰ ,则有12()()()H t pH t qH t =+ . (6) 下面证明对任意12,[0,1]t t ∈, 12t t <, 有第1期时统业, 等: 由Hermite-Hadamard 不等式的一个推广形式所生成的不等式 3()2211211()1()()()11,22q t t U H t H t b a M M -⎡⎤----⎢⎥⎣⎦ ≤ (7)()2212221()1()()()11.22p t t V H t H t b a M M -⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦ ≤ (8) 先考虑1201t t <<≤情形. 对任意1[0,()]t q b a ε∈-, 令211221(1)t t s t t a t ξε-=+--, 则有 2112111()()t t H t H t t ε---= (){}1111112111[()()]d [((1))()]d ()a t t aaa f a f s s f t t a f s s qb a t t εξεξ++-+⎛⎛⎫--++--+ ⎪ -⎝⎭⎝⎰⎰{}122111(1)1122(1)21[()((1))]d [()((1))]d s t t at t as f s f t t a s f s f t t a s t ξξξξ+-+-⎫-+-+-+-⎪⎭⎰⎰≤()11(1)111211()d {[(1)]}d ()a t t a aa M s a s t t a s s qb a t t εξεξ++-+⎡⎛⎫--++--+ ⎪⎢-⎝⎭⎣⎰⎰()122111(1)1122(1)21{[(1)]}d {[(1)]}d s t t at t as s t t a s t t a s s t ξξξξ+-+-⎤-+-++--=⎥⎦⎰⎰2221121(){[()]}2()t t M t q b a t q b a εε-+---,()2221211211121()()()1()()()11()22q t t t t b a U H t H t b a M M qt εε---⎡⎤----+-⎢⎥⎣⎦≤, (9) 其中()11()12t q b a U M ε-=-. 因为||U M ≤, 所以11[0,()]t q b a e Î-. 在式(9)中取1εε=即可得到式(7)．类似地可证明式(8), 只要注意到对任意21[0,()()]t t p b a ε∈--, 令211(1)s t t b ξ=+-, 32s t ξ=+2(1)t b -, 有{}3233222132211()()[()()]d [()()]d ()s s s s H t H t V f s f s s f s f s s p b a t εεε++⎛-+=-+-+ -⎝⎰⎰121122121211[()()]d [()()]d t b b t t t s b t t f s f s s f s f b s t t εε----⎫⎧⎫⎛⎫--+-⎪⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭⎭⎰⎰． 再考虑120, (0,1]t t =∈情形. 对任意2[0,()]t q b a ε∈-, 有121()(0)H t H U ε--= {}222222(1)(1)22(1)21[()()]d [()((1))]d ()t t a t t aat t a f s f a s f s f t t a s t q b a ξεξξεξ+--+-+---+-+--⎰⎰≤()222222(1)(1)22(1)2()d {[(1)]}d ()t t a t t a at t a M s a s t t a s s t q b a ξεξξεξ+--+-+---++--=-⎰⎰2222{[()]}2()M t q b a t q b a εε+---, ()222121221()(0)()11(),22()qt U MH t H b a M M t q b a εε⎡⎤----+-⎢⎥-⎣⎦ ≤ (10) 其中()22()12t q b a U M ε-=-. 由||U M ≤可知22[0,()]t q b a ε∈-. 在式(10)中取2εε=即知式(7)也成立.类似地可证明式(8), 只要注意到对任意2[0,()]t p b a ε∈-, 有222()(0)H t H V ε-+= {}222222(1)22(1)(1)21[()((1))]d [()()]d ()t t b bt t bt t b f s f t t b s f s f b s t p b a ξεξξεξ+-++-+-+-+-+--⎰⎰.综合式(6)~(8), 则式(5)从右边数起的第二个不等式得证. 又f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 故f -也是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 对f -应用已证结果, 则式(5)从左边数起的第二个不等式得证.推论1 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意12,[0,1]t t ∈, 12t t <, 有4湖南理工学院学报(自然科学版)第37卷22121||1|()()|()()11.22U V H t H t pq t t b a M M ⎡⎤-⎛⎫-----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ≤ 定理2 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意(0,1]t ∈, 有2222(1)(1)(2)()1222t t P t t Q t pq b a M t t tpqM ⎧⎫⎡⎤-⎪⎪-+------⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎩⎭≤ 2222212(1)(1)(2)1()1()222222t t t t t Q P t pq b a M t t tpqM t tpqM ∆⎡⎤---⎛⎫⎛⎫-------⎢⎥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎣⎦≤≤ 222222(1)(1)(2)1()1222222t t t P t t t Q pq b a M t tpqM t tpqM ⎡⎤⎛⎫⎛⎫------+--⎢⎥ ⎪ ⎪--⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦≤2222(1)(1)(2)()1222t t P t t Q t pq b a M t t tpqM ⎧⎫⎡⎤⎪⎪--+----+⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎩⎭, (11) 其中1{[((1))()][((1))()]}P p f t t a f a q f t t b f b b aξξ=+--++---,1{[((1))()][((1))()]}Q p f t t a f q f t t b f b aξξξξ=+--++---.证明 利用函数2x 的凸性知式(11)的左边第一个不等式和右边第一个不等式成立. 可直接验证2112()(1)(2),t t I t t I ∆=-+- (12) 其中{}(1)1(1)1[()((1))]d [()((1))]d ()t t abat t bp q I f x f t t a x f x f t t b x t b a qpξξξξ+-+-=-+-+-+--⎰⎰,(1)2(1)2(1)21[((1))()]d [()()]d ()t att a t t at p I f t t a f x x f f x x t b a q ξξξξξξ+--+-+--⎛⎧⎫=+--+-+ ⎨⎬ -⎩⎭⎝⎰⎰ (1)(1)2(1)2[()()]d [((1))()]d t bt t b tt b t q f f x x f t t b f x x p ξξξξξξ+-+--+--⎫⎧⎫-++--⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰. 对于任意[0,()]tq b a ε∈-, 有{}(1)11[()()]d [()((1))]d ()a t t aaa p P I f x f a x f x f t t a x tq tb a qεξεεξ++-+⎛+=-+-+-+ -⎝⎰⎰(1)[()((1))]d [()()]d pb b q p t t bb q q f x f t t b x f x f b x p εξεξ-+--⎫⎧⎫-+-+-⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰≤ ()(1)()d {[(1)]}d ()a t t aaa p M x a x t t a x x tb a qεξεξ++-+⎡-++--+⎢-⎣⎰⎰22(1){[(1)]}d ()d {[()]},()pb b q p t t b b q q pMx t t b x b x x tq b a p tq b a ξεξεε-+--⎤⎛⎫-+-+-=+--⎥ ⎪-⎝⎭⎦⎰⎰ 221321()11()22()pM P I tpq b a M tpqM tq b a εε⎡⎤⎛⎫--++-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦≤, (13) 其中3()122tq b a P tpqM ε-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为||2P tpqM ≤, 所以3[0,()]tq b a ε∈-. 在式(13)中取3εε=即得 211()1122P I tpq b a M tpqM ⎡⎤⎛⎫--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦≤． (14)第1期时统业, 等: 由Hermite-Hadamard 不等式的一个推广形式所生成的不等式 5类似可证22222(1)(22)1()222(2)t t t Q t t I pq b a M t tpqM t t ⎡⎤--+⎛⎫---+⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎣⎦≤, (15) 只要注意到对任意2(1)1(),()22t t q b a q b a t t ε⎡⎤--∈---⎢⎥--⎣⎦, 有(1)2(1)2(1)21[((1))()]d [()()]d ()t at t a t t a t Q p I f t t a f x x f f x x tq t b a q ξεξξξεεξξ+-+-+-+-+-⎛⎧⎫+=+--+-+ ⎨⎬ -⎩⎭⎝⎰⎰(1)(1)2(1)2[()()]d [((1))()]d t b pt t b t q t b p t q q f f x x f t t b f x x p ξεξξξεξξ+--+--+--⎫⎧⎫-++--⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰. 综合式(12)、(14)、(15), 则式(11)从右边数起的第二个不等式得证. f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 故f -也是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 对f -应用已证结果, 则式(11)从左边数起的第二个不等式得证.推论2 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意(0,1]t ∈, 有2221|(1)(2)|2(1)|()|()1.222t P t t Q t t t pq b a M t t tpqM ∆⎧⎫⎡⎤-+-⎪⎪-----⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎩⎭≤ 定理3 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意(0,1]t ∈, 有2222(1)(1)1()1122t t P t Q tpq b a M t t tpqM ⎧⎫⎡⎤--+⎪⎪-----⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪⎩⎭≤ 22222(1)111()1()121222t Q t t P tpq b a M t t t t tpqM pqM ∆⎡⎤-⎛⎫⎛⎫---------⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ≤≤ 2222(1)111()1121222t Q t t P tpq b a M t t t tpqM pqM ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫----+--+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦≤ 2222(1)(1)1()1122t t P t Q tpq b a M t t tpqM ⎧⎫⎡⎤⎪⎪--+---+⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪⎩⎭, (16) 其中,P Q 与定理2中的定义相同.证明 利用函数2x 的凸性知式(16)的左边第一个不等式和右边第一个不等式成立. 可直接验证有22212()(1),t t J t J ∆=-+ (17) 其中()(1)1()111[()()]d [((1))()]d ()tq b a a t t a t tq b a a a t p J f a f x x f t t a f x x t b a q ξξ-++-+-++⎛⎧⎫=-++--+ ⎨⎬ -⎩⎭⎝⎰⎰ ()1()(1)1[((1))()]d [()()]d tp b a b b ttp b a t t b b t q f t t b f x x f b f x x p ξξ--+-+--+⎫⎧⎫+--+-⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰, {}(1)2(1)1[()((1))]d [()((1))]d ()t t bt t ap q J f x f t t a x f x f t t b x t b a qpξξξξξξ+-+-=-+-+-+--⎰⎰.对任意2()(),11tq b a t q b a t t ε⎡⎤--∈-⎢⎥++⎣⎦, 有 ()(1)1()111[()()]d [((1))()]d ()tq b a a t t a t tq b a a a t p P J f a f x x f t t a f x x tq t b a q εξεεξ-+++-+-+++⎛⎧⎫-=-++--+ ⎨⎬ -⎩⎭⎝⎰⎰ ()1()(1)1[((1))()]d [()()]d tp b a pb b t q tp b a p t t b b t q q f t t b f x x f b f x x p εξεξ---+-+---+⎫⎧⎫+--+-⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰≤6湖南理工学院学报(自然科学版)第37卷()(1)1()1()d {[(1)]}d ()tq b a a t t a t tq b a a a t p M x a x t t a x x t b a q εξεξ-++-+-+++⎡⎛⎫-++--+⎢ ⎪-⎝⎭⎣⎰⎰()1()(1)1{[(1)]}d ()d tp b a pb b t q tp b a p t t b b t q q x t t b x b x x p εξεξ---+-+--+⎤⎛⎫-+-+-=⎥ ⎪⎝⎭⎦⎰⎰ 222()()()11pMtq b a t q b a tq b a t tεε⎧⎫⎡⎤⎪⎪--⎡⎤++-⎨⎬⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭, 2221422111()()212()(1)pM t t P J tpq b a M t tpqM tq b a t εε⎡⎤⎛⎫+---++-⎢⎥ ⎪+-+⎝⎭⎣⎦≤, (18) 其中4()1212tq b a t P t tpqM ε-⎛⎫-=-+ ⎪+⎝⎭. 因为||2P tpqM ≤, 所以24()(),11tq b a t q b a t t ε⎡⎤--∈-⎢⎥++⎣⎦. 在式(18)中取4εε=即得2212111()212(1)t t P J tpq b a M t tpqM t ⎡⎤⎛⎫+---+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦≤. (19) 类似可证2221()(1)1,22pq Q J b a M t t t pqM ⎡⎤⎛⎫----+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦≤ (20) 只要注意到对任意常数[0,(1)()]t q b a ε∈--, 有{}2(1)1[()((1))]d [()()]d ()t t aQ p J f x f t t a x f x f x tq t b a qξεξξξεεξξ-+--⎛+=-+-+-+-⎝⎰⎰(1)[()()]d [()((1))]d pt t b q p q q f x f x f x f t t b x p ξξξξεξξ++-+⎫⎧⎫-+-+-⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰. 综合式(17)、(19)、(20), 则式(16)从右边数起的第二个不等式得证. f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 故f -也是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 对f -应用已证结果, 则式(16)从左边数起的第二个不等式得证.推论3 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意(0,1]t ∈, 有22222(1)|(1)|1|()|()1.122t t P t Q t tpq b a M t t tpqM ∆⎧⎫⎡⎤⎪⎪--+----⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪⎩⎭ ≤ 参考文献:[1] DRAGOMIR S S, PEARCE C E M. Selected topics on Hermite-Hadamard inequalities and applications[D]. Victoria: Victoria University, 2000.[2] 匡继昌. 常用不等式[M]. 第五版. 济南: 山东科学技术出版社, 2021.[3] 张小明, 褚玉明. 解析不等式新论[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2009.[4] DRAGOMIR S S, GOMM I. Some new bounds for two mappings related to the Hermite-Hadamard inequality for convex functions[J]. Numer. AlgebraControl Optim., 2012, 2 (2): 271−278.[5] 王良成. 凸函数的Hadamard 不等式的若干推广[J]. 数学的实践与认识, 2002, 32(6): 1027−1030.[6] 于永新, 刘 证. 另一个新的与Hadamard 不等式相关的映射[J]. 纯粹数学与应用数学, 2008, 24(3): 547−550.[7] 时统业. 由一个Hermite-Hadamard 型不等式生成的差的不等式[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2022, 31(1): 5−13.[8] DRAGOMIR S S, MILOŠEVI Ć D M, SÁNDOR J. On some refinements of Hadamard’s inequalities and applications[J]. Univ. Beograd, Publ. Elektrotelm.Fak, Ser. Mat., 1993, 4: 3−10.[9] DRAGOMIR S S, CHO Y J, KIM S S. Inequalities of Hadamard’s type for Lipschitzian mappings and their applications[J]. Journal of MathematicalAnalysis and Applications, 2000, 245(2): 489−501.[10] WANG L C. New inequalities of Hadamard’s type for Lipschitzian mappings[J]. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 2005, 6(2): 37. [11] TSENG K L, HWANG S R, DRAGOMIR S S. New Hermite-Hadamard-type inequalities for convex functions (Ⅰ)[J]. Applied Mathematics Letters, 2012,25(6): 1005−1009.[12] TSENG K L, HWANG S R, DRAGOMIR S S. New Hermite-Hadamard-type inequalities for convex functions (Ⅱ)[J]. Computers and Mathematics withApplications, 2011, 62(1): 401−418.[13] DRAGOMIR S S. Further properties of some mappings associated with Hermite-Hadamard inequalities[J]. Tamkang Journal of Mathematics, 2003, 34(1):45−57.[14] 时统业. 也谈一个Hermite-Hadamard 型不等式推广形式的加细[J]. 高等数学研究, 2022, 25(4): 44−47.。
一类推广的Hermite—Hadamard不等式
２ ８ ４
淮 阴师范学 院学报（自然科学版 ）
第ｌ ５卷
１
王 要 缙果 引理 ４ 设 ： ［ 口 ， ｂ ］一 Ｒ在 开 区间 （ ０ ， ｂ ）上 三次可 微． 若 ” ∈Ｌ ［ ０ ， ｂ ］ ， Ｏ ／ ∈Ｒ ， 则
一
［ ． ， ： ＋ ６ ）＋． ， ； 一 ， （ 口 ） ］＝
收稿 日期 ： ２ ０ １ ６ － ０ ９ — １ ２
基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目 （ １ １ ５ ７ １ １ ３ ６ ）
通讯作者 ： 杨丹丹 （ １ ９ ８ ２ 一 ） ， 女， 吉林通化人 ， 副教授 ， 博士 ， 主要从事非线性泛函分析及 其应用 等研究 ．Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ： ｙ ｄ ｄ ４ ２ ３ ＠ｓ ｏ ｈ ｕ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
， （ ｇ ｘ ＋ （ １ 一 ｇ ） ｙ ） ≤ ／ ｘ ￣ ｆ （ ｘ ） ＋ ｍ （ １ 一 ） 上１ ，
其 中（ ， ｍ）∈［ ０ ， １ ］ 和 ｓ∈ ［ ０ ， １ ］ ．
０ ｄ ｅ ｍｉ ｒ 等 人 利 用 下列 涉及 二 阶导数 的两 个积 分等 式 ， 建 立 了包含 ｍ－ 凸函数 及 （ ｓ ， ｍ） ． 凸函数 的 Ｈ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｅ ． Ｈａ ｄ ａ ｍａ ｒ ｄ型不 等式 ． 最 近涉 及 ｍ 一 凸 函数及 （ ｓ ， ｍ） 一 凸 函数 的一些 相关 的研 究 ， 见文 ［ ３ － ６ ］ ．
关于凸函数的不等式的研究与应用
等 式， 在导 函数满足李普希兹（ Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ ） 条件 和导 函数有界 的情况下 ， 给 出部分不等 式的证 明。 关键词 ： 凸 函数 ； 埃 尔米特 一阿达 玛不等式； 费耶 不等式； 李普希 兹条件
中国分类号 ： ０ １ ７ ８ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： （ ２ ０ １ ７ ） ０ ４— ０ ０ ６ ５— ０ ０ ４
但 是 凸函数 也有 一 定 的局 限性 ， 所 以研 究 凸 函数 的
一
称 为埃 尔米 特 一阿达 玛 不 等式 （ Ｈ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｅ —Ｈ ａ ｄ －
证 明 ： 先 证 （ １ ） 式 不 等 式 的 左 端 ： ｆ （ ａ ＋ ｂ １
』 ， （ ） 。
令 则有 同理 ： 有 ＝ａ＋Ａ （ ｂ —ａ ） ， Ａ∈（ ０ ， １ ） ， 』 ） ＝ 。＋Ａ （ ６一 口 ） Ｉ ｄ Ｚ
些定 义 和 性 质 就 显 得 十 分 必 要 。 目前 凸 函 数 还
在 不断 研究 中 ， 它 的性 质 及应 用 在 不 断 完 善 。本 文
结合现有 的文献研究利用 费耶 （ ｆ ｅ ｊ ｅ ｒ ） 不 等式的右 端部分形式 ， 通过建立积分恒等式 ， 在导函数满足
李 普希 兹 （ Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ ） 条 件 和 导 函数 有 界 的情 况 下 ，
函数是 一类 重 要 的 函数 ， 关 于 它 的概 念 最 早 见 于詹森 （ Ｊ ｅ ｎ ｓ ｅ ｎ ） 的著 述 中 。它 在纯 粹数 学 和应 用 数
定理 １ 设 函数 ｆ （ Ｘ ） 是 ｌ ａ 、 ｂ Ｊ 上 的凸 函数 ，
则有 ：
学的众多领域 中具有广泛 的应用。尤其是 凸函数
也谈一个Hermite-Hadamard型不等式推广形式的加细
也谈一个Hermite-Hadamard型不等式推广形式的加细时统业
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2022(25)4
【摘要】引入一个与推广的Hermite-Hadamard型不等式相关的函数,给出这个推广的Hermite-Hadamard型不等式的连续加细.
【总页数】4页(P44-47)
【作者】时统业
【作者单位】海军指挥学院
【正文语种】中文
【中图分类】O178
【相关文献】
1.Hermite-Hadamard不等式的一个推广与加细
2.基于凸函数积分性质的Hermite-Hadamard不等式的加细
3.基于单调函数的Hermite-Hadamard不等式的加细
4.调和凸函数及其Hermite-Hadamard型不等式的加细
5.基于单调函数的Hermite-Hadamard不等式的加细
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关于-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式
关于-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式
李慧平
【期刊名称】《内蒙古农业大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2012(33)2
【摘要】本文研究了-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式,得到了一类结果,并给出了一些应用。
【总页数】8页(P203-210)
【关键词】-凸函数;Hermite-Hadamard型积分不等式
【作者】李慧平
【作者单位】包头轻工职业技术学院
【正文语种】中文
【中图分类】O178.1
【相关文献】
1.分数积分下的关于m-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式 [J], 徐冬;叶小彩;黄敏杰;邱克娥
2.预不变凸函数的Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式的推广 [J], 孙文兵;郑灵红
3.区间凸函数的量子积分Hermite-Hadamard型不等式 [J], 娄天依;叶国菊
4.有关(α,m)-对数凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式 [J], 黄滢;韩盼盼;齐静;王芳;王文;魏茂森
5.区间值h-凸函数的整合分数阶积分Hermite-Hadamard型不等式 [J], 史芳芳;叶国菊;刘尉;赵大方
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凸函数的一个Hadamard型不等式
凸函数的一个 < B C B F B 1 C 型不等式
赵伟珍 ! ! 李爱军
" 河南理工大学 数学与信息科学学院 ! 河南 焦作 !* # ( * " " "
摘!要! 通过对两个积分式做变量代换和利用拉格 朗 日 中 值 定 理 # 得出了一个关于凸函数的 < B C B F B 1 C型 不 等式 & 推广了前人的成果 $ 关键词 ! 凸函数 & 变量代换 & 积分 < B C B F B 1 C 不等式 & 中图分类号 ! " # ‘ % ’ !!!!! 文献标识码 ! +!!!! 文章编号 ! % " " & # " ! % ! " " ’ " % " % ! ) " !
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关于Hermite-Hadamard积分型不等式的推广
关于Hermite-Hadamard积分型不等式的推广包图雅;宝音特古斯【摘要】利用r-平均凸函数的定义,将把凸函数的Hermite-Hadamard积分型不等式推广到了r-平均凸函数,从而加细了r-平均凸函数的Hadamard积分型不等式,并改进了相关文献的结果.【期刊名称】《内蒙古民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(025)006【总页数】3页(P617-619)【关键词】r-平均凸函数;Hermite-Hadamard积分型不等式【作者】包图雅;宝音特古斯【作者单位】内蒙古民族大学,数学学院,内蒙古,通辽,028043;内蒙古民族大学,数学学院,内蒙古,通辽,028043【正文语种】中文【中图分类】O151.25大家熟悉的Hermite-Hadamard积分型不等式〔1〕为：设f（x）为区间上的凸函数，则文〔2〕对凸函数的Hermite-Hadamard积分型不等式（1）进行了如下推广：设（fx）为区间〔a，b〕上的凸函数，则存在使得对任意的有下面将把凸函数的Hermite-Hadamard积分型不等式（2）推广到r-平均凸函数上，得到了r-平均凸函数的Hermite-Hadamard积分型不等式.为此先引入r-平均凸函数.设（fx）为区间上的正值函数记特别，当时，有定义1〔3〕（r-平均凸函数）设（fx）为区间上的正值函数，若对任意的且，有则称为I上的r-平均凸函数；若不等式（5）中反向不等号成立，则称为I上的r-平均凹函数.引理1〔2〕设g（x）为区间上的连续函数，且则存在使得定理1 设（fx）为区间上的r-平均凸函数，r∈R+，定义函数则函数上的增函数.证对任意的因上的r-平均凸函数，所以，有同理，有把不等式（6）和（7）相加，可得即的任意性知，函数上的递增函数.证毕.定理2 设为区间上的连续r-平均凸函数，r＞0，则存在使得对任意的和有证先证不等式（8）中的α的存在性，即存在，使得实际上，由于f（x）为〔a，b〕上连续的r-平均凸函数，令那么，根据引理1，存在从而，有即不等式（9）成立.又由定理1中函数F（x）在上的单调递增性可知，不等式（8）成立.证毕.推论〔4〕设f（x）为区间［a，b］⊂R+上的连续r-平均凸函数，r＞0，则定理3 设（fx）为区间上的连续r-平均凹函数，r＜0，则存在使得对任意的和【相关文献】〔1〕胡克.解析不等式的若干问题〔M〕.武汉：武汉大学出版社，2003.121-140.〔2〕柯源，杨斌，胡明.Hermite-Hadamard不等式的推广〔J〕.数学的实践与认识，2007，37（12）：161-164.〔3〕吴善和.rp-凸函数与Jensen型不等式〔J〕.数学的实践与认识，2005，35（3）：220-228. 〔4〕邓勇平，吴善和.Hadamard不等式的若干推广〔J〕.贵州师范大学学报，2007，25（1）：63-67.。
若干Hermite-Hadamard型不等式的改进
若干Hermite-Hadamard型不等式的改进曾志红;时统业【摘要】考虑利用导数来估计由Hermite-Hadamard型不等式生成的差值.利用可微凸函数的导函数的性质或者通过建立涉及导函数的积分恒等式,给出若干Hermite-Hadamard型不等式的改进.【期刊名称】《中州大学学报》【年(卷),期】2018(035)006【总页数】6页(P114-119)【关键词】Hermite-Hadamard型不等式;凸函数;可微函数【作者】曾志红;时统业【作者单位】广东第二师范学院学报编辑部,广东广州510303;海军指挥学院,江苏南京211800【正文语种】中文【中图分类】O1781 引言若f是区间I上的凸函数，则对于任意a，b∈I，a<b，有(1)式(1)就是著名的Hermite-Hadamard不等式。
对Hermite-Hadamard不等式的加细和推广以及利用导函数来估计由Hermite-Hadamard不等式生成的差值已有很多结果，比如文献[1-20]。
文献[9-10]通过考虑[a，b]上满足a≤x<y≤y′<x′≤b，x+x′=y+y′的4个点x，y，y′，x′，建立了凸函数的Hermite-Hadamard型不等式，文献[11]通过考虑[a，b]上满足a≤x<y≤y′<x′≤b，λx+λ′x′=λy+λ′y′(λ,λ′>0)的4个点x，y，y′，x′，推广了文献[9]的结果。
设f是[a，b]上的可积函数，a≤x<y≤y′<x′≤b，t∈[0,1]，λ,λ′>0，记当λx+λ′x′=λy+λ′y′时，可将H(t)和P(t)分别化为文献[11]中的H1(t)和P1(t)。
由文献[11]的引理1.2得在f为[a，b]上可微的凸函数，且λx+λ′x′=λy+λ′y′的情况下，文献[11]利用不等式给出了结果：(2)(3)(4)(6)本文的定理1给出式(2)～(6)的改进。
协同(r,(h,m))-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式
则称 f 为 I 上的 (h, m) -凸函数。
M. P. Gill 等人在文[4]中引进了“r-凸函数”的等价形式
定义 2：设 I ⊆ 为区间，实数 r ∈ ，函数 f : I → =+ (0, +∞) ，若对任意的点 x, y ∈ I 和任意的 λ ∈[0,1] ，有
( )
f
(λ
x
( a, c )
+
f
(b,c) +
f
(a, d
)+
f
(b, d ) ,
其中 L (u, v) 为对数平均，且
= Ψ f (∆)
1 4
L
(
f
( a, c ) ,
f
(b, c ))
+
L
(
f
(a,
d
),
f
(b, d
))
+
L
(
f
(a,
c),
f
(a,
d
))
+
L
(
f
(b,
c),
f
(b,
d
) ) .
定理 1 [பைடு நூலகம்] 设函数 f : [a,b] ⊆ → + 为对数凸函数，且 a < b ，则
b
1 −
a
b
∫a
f
(
x)
dx
≤
L
(
f
(a),
f
(b)),
其中 L (u, v) 为对数平均数。
定理 2 [4] 设一元函数 f : [a,b] ⊆ → + 为 r-凸函数，且 a < b ， r ∈ ，若 f ∈ L1 ([a, b]) ，则
一类推广的 Hermite-Hadamard 不等式
一类推广的 Hermite-Hadamard 不等式柏传志;杨丹丹【摘要】We establish some Hermite-Hadamard type inequalities involving Riemann-Liouville fractional in-tegrals for s-(β,m)-convex functions including triple differentiable mappings .Our results extend some recent known results .%建立了涉及带三阶导数的s-（β，m）-凸函数的Riemann-Liouville分数阶积分Hermite-Hadamard型不等式。
所得结果推广了已有的相关结论。
【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(015)004【总页数】7页(P283-289)【关键词】Hermite-Hadamard 型不等式;Riemann-Liouville分数阶积分;s-(β,m)-凸【作者】柏传志;杨丹丹【作者单位】淮阴师范学院数学科学学院，江苏淮安 223300;淮阴师范学院数学科学学院，江苏淮安 223300【正文语种】中文【中图分类】O178经典的Hermite-Hadamard不等式有很多推广,其中主要思路是拓广不等式中的函数类．最近,Odemir等人将(s,m)-凸的概念[1]推广到下面的s-(β,m)-凸[2]:定义1 函数f:[0,∞)→(-∞,+∞),如果∀x,y∈[0,∞)及μ∈[0,1],下列不等式成立:,Odemir等人[2]利用下列涉及二阶导数的两个积分等式,建立了包含m-凸函数及(s,m)-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式．最近涉及m-凸函数及(s,m)-凸函数的一些相关的研究，见文[3-6]．引理1[3] 设f:[a,b]→R在开区间(a,b)上二次可微.如果f″∈L[a,b],则t.引理2[1] 设f:[a,b]→R在开区间(a,b)上二次可微,且m∈(0,1].如果f″∈L[a,b],则t.文[4]推广了引理1,获得了下列涉及二阶导数的Riemann-Liouville型分数阶积分等式:引理3[4] 设f:[a,b]→R在开区间(a,b)上二次可微. 如果f″∈L[a,b], 则t.受上述研究工作的启发,本文的目的是推广现有的工作,建立了涉及带s-(β,m)-凸函数的Riemann-Liouville分数阶积分的Hermite-Hadamard型不等式.引理4 设f:[a,b]→R在开区间(a,b)上三次可微.若f‴∈L[a,b], α∈R+,则‴证明由引理3, 只需证‴(a).‴(ta+(1-t)b)dt=‴(ta+(1-t)b)dt=‴(ta+(1-t)b)dt‴‴(ta+(1-t)b)dt为方便起见,引进记号引理5 设p>1, α∈R+, 则不等式成立:|证明接下来，将证明分为3个步骤.步骤1：令h(t)=1+(1-t)α+2-tα+2-(α+2)th′(t)=-(α+2)[(1-t)α+1+tα+1+1]<0,h(t*)=0, h(t)>0,t∈[0,t*), h(t)<0, t∈(t*,1].步骤2：易得步骤3：由式(8), 得到|h(t)||||k(t)|pdt=.定理1 假设f:[na,mb]→R是一个三次可微映射,且na<mb.若|f‴|q是可测的,并且在[na,mb]上对于某个固定的q≥1是s-(β,m)-凸的,(βs,m)∈(0,1]2,α∈R+,则[|f‴(na)|qI1+m|f‴,,|f″(na)|证明情形1：假设q=1.由引理4,有.|f‴(tna+(1-t)mb)|≤tβs|f‴(na)|+m(1-tβs)|f‴(b)|.||≤||[tβs|f‴(na)|+m(1-tβs)|f‴(b)|]dt+I2≤情形2：假设q>1. 由引理4, 幂q的中值不等式,有|k(t)f‴(tna+m(1-t)b)|dt≤|k(t)||k(t)f‴|f‴(tna+(1-t)mb)|q≤tβs|f‴(na)|q+m(1-tβs)|f‴(b)|q|k(t)||k(t)f‴|k(t)|注1 在定理1中, 假设s=β=n=m=1, 式(11)将化简为[|f‴m|f‴|f″(a)|.定理2 假设f:[na,mb]→R,na<mb. 若|f‴|q是可测的, 且对于某个固定的q>1在[na,mb]上是s-(β,m)-凸的, (βs,m)∈(0,1]2,α∈R+, 则当有||≤.证明由引理4, Holder’s不等式, 有|k(t)f‴(tna+(1-t)mb)||f″(na)|≤.|.|f‴(tna+m(1-t)b)|qdt≤|f‴|f‴|f‴|f‴(b)|q.注2 若s=m=β=n=1,不等式简化为|f″(a)|.定理3 假设f:[na,mb]→R, na<mb. 若|f‴|q是可测的, 且对于某个固定的q>1在[na,mb]上是s-(β,m)-凸的, (βs,m)∈(0,1]2,α∈R+, 则m|f‴证明由引理4,应用Holder’s不等式, 有|f″(na)|≤||注3 在定理3中, 若选择s=m=β=n=1, 则不等式(19)化为|f‴|f″(a)|.【相关文献】[1] Muddassar M, Bhatti A I, Irshad W.Generalisations of integral inequalities of the type of Hermite-Hadamard through convexity[J].Bull Aust Math Soc,2013 (88):320-330.[2] Odemir M, Avci M, Kavurmaci H.Hermite-Hadamard-type inequalities via (s,m)-convexity[J].Comput Math Appl,2011(61):2614-2620.[3] Odemir M E, Avci M, Set E.On some inequalities of Hermite-Hadamard type via m-convexity[J].Appl Math Lett,2010(23):1065-1070.[4] Wang J, Li X, Feckan M, etal.Hermite-Hadamard-type inequalities for Riemann-Liouville fractional integrals via two kinds of convexity[J].Appl Anal,2013(10):2241-2253.[5] Sarikaya M Z, Set E, Yaldiz H, etal.Hermite-Hadamard's inequalities for fractional integrals and related fractional inequalities[J].Math Comput Model,2013(57):2403-2407.[6] Gao Z, Li M, Wang J.On some fractional Hermite-Hadamard inequalities via s-convex and s-Godunova-Levin functions and their applications[J].Bol Soc Mat Mex, DOI10.1007/s40590-016-0087-9.[7] Kilbas A A, Srivastava H M, Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M].Amsterdam: Elsevier Science B V,2006.[8] Miller K S, Ross B.An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations[M].New York: John Wiley & Sons,1993.[9] Podlubny I.Fractional Differential Equations[M].San Diego: Academic Press,1999.。
分形空间上的新Hadamard型不等式及应用
分形空间上的新Hadamard型不等式及应用孙文兵【摘要】In the paper,using local fractional calculus theory and the theory of generalized s-convex function in the second sense on fractal sets,some new Hermite-Hadamard type inequalities involving local fractional integrals on fractal sets Rα(0 ＜α ≤ 1) were established.Finally,some applications of these inequalities to some error estimates for numerical integration were given.%根据分形集上局部分数阶积分和第二种意义下广义s-凸函数的理论,建立了几个分形集Rα(0＜α≤1)上涉及局部分数积分的Hermite-Hadamard型不等式.最后,给出了所得不等式在数值积分误差估计中的应用.【期刊名称】《华东师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(000)006【总页数】9页(P33-41)【关键词】Hermite-Hadamard型不等式;广义s-凸函数;局部分数积分;局部分数阶导数;分形空间【作者】孙文兵【作者单位】邵阳学院理学院,湖南邵阳422000【正文语种】中文【中图分类】O178设f:I⊆R→R是一个凸函数,若a,b∈I且a＜b,那么有如下不等式成立.这就是著名的Hermite-Hadamard不等式(或者Hadamard不等式).对Hadamard不等式的研究和推广往往是建立在函数凸性定义之上的,随着函数凸性定义的推广,Hadamard不等式的研究受到越来越多学者的关注,关于Hadamard 不等式的一些研究结果,读者可以参见文献[1-7]等.近年来,分形理论作为一门新理论、新科学已在科学工程领域有非常广泛的应用.分形理论是用分数维度的视角和数学方法描述和研究客观事物.研究表明用分形分维的数学工具来描述研究客观事物,更易于揭示世界的本质.因此,分形数学的发展也十分迅速,尤其是分形空间上的微积分理论发挥着重要的角色,很多学者用不同的方法构建了分数阶微积分,见文献[8-11].在文献[10]中Yang系统阐述了建立在分形空间上的局部分数阶微积分的相关理论.文献[12]中,Mo等提出了关于分形空间上广义s-凸函数的两种概念,定义如下.定义0.1 设R+=[0,∞),函数f:1时,有以下不等式成立则称f为定义在R+上第一种意义下的广义s-凸函数(0＜s＜1),记为f∈定义0.2 设R+=[0,∞),函数f:R+ → Rα,对任意x1,x2∈R+,λ1,λ2≥ 0,若λ1+λ2=1时,有以下不等式成立则称f为定义在R+上第二种意义下的广义s-凸函数(0＜s＜1),记为f∈文献[13]中,Mo等建立了分形空间上第二种意义下关于广义s-凸函数的推广的Hermite-Hadamard不等式.定理0.1(广义s-凸Hermite-Hadamard不等式) 令f:R+→Rα是第二种意义下上的一个广义s-凸函数,其中s∈(0,1).令a,b∈[0,∞),a＜b.如果f∈Cα[a,b],则本文立足于Yang构建的局部分数阶微积分理论的基础上,引入Mo等关于分形集上广义s-凸函数的理论以及广义H¨older不等式,对Hermite-Hadamard型不等式进行推广,得出了Hermite-Hadamard型不等式在分形空间中的几个变式,为了体现所建立的不等式的应用意义,最后举例说明了这些不等式在求局部分数阶积分上的应用.设Rα为分形实线上的α型集合,利用Gao-Yang-Kang的方法给出局部分数阶导数和局部分数阶积分的定义[10-11].定义1.1[10] 设f:R→Rα,xf(x)是一个不可微函数,如果对于任意的ε＞0,总存在δ＞0,其中ϵ,δ∈ R,使得当|x−x0|＜δ时有成立,则称不可微函数f在x0处局部分数阶连续.如果f(x)在区间(a,b)上局部分数阶连续,记为f(x)∈Cα(a,b).定义1.2[10]若则称之为f(x)在x=x0处的α阶局部分数阶导数.如果对任意的x∈I⊆R,有f(n+1)α(x)=f(x)(n+1次α阶导数),则记为f∈D(n+1)α(I),其中n=0,1,2,···.定义1.3[10] 设f(x)∈ Cα[a,b],a=t0＜ t1＜···＜tN−1＜ tN=b,[tj,tj+1]是区间[a,b]的一个划分,∆tj=tj+1−tj,∆t=max{∆t0,∆t1,···,∆tN−1},有则称之为f(x)的α阶局部分数阶积分.需要注意,当a＜b时,若对任意x∈[a,b],则记为f(x)∈引理1.1[10](1)设f(x)=g(α)(x)∈ Cα[a,b],则引理1.2[10]引理2.1 设I⊆R是一个区间,f:I0⊆R→ Rα(I0是I的内部)使得f∈Dα(I0)且fα∈Cα[a,b],a,b∈I0,a＜b.则对于任意x∈[a,b],下面等式成立.证明根据局部分数阶积分的分部积分公式(引理1.1)和引理1.2,可得由于(a−b)α = −(b−a)α,两边再同乘以(b−a)α,等式(3)得证.根据引理2.1,可以得到以下结论.定理2.1 设f:I → Rα,I ⊂ [0,∞)在I0上是一个可微函数,且其中a,b∈I,a＜b.若对于某个固定的s∈(0,1),上是第二种意义下的广义s-凸函数,其中q＞1,则有如下不等式成立.其中=1.证明在引理2.1的等式两边同时取模,并且利用广义H¨older不等式(引理1.3),计算可得由引理1.2,计算可得将等式(10)—(13)代入不等式(9),可得不等式(8).定理得证.定理2.2 设f:I→ ,I⊂ [0,∞)在上是一个可微函数,其中a,b∈I,a＜b.若对于某个固定的s∈(0,1),上是第二种意义下的广义s-凸函数,其中q＞1,则有如下不等式成立, 再由引理1.2,类似于(10)—(11)式计算可得通过计算可得将(16)、(18)—(23)式代入(15)式可得不等式(14),定理得证.定理2.3 设f:I→ I⊂ [0,∞)在I0上是一个可微函数,且∈Cα[a,b],其中a,b∈I,a＜b.若对于某个固定的s∈(0,1),上是第二种意义下的广义s-凸函数,其中q＞1,则有如下不等式成立.证明由定理2.1的证明中的不等式(9),可得先换元.令ta+(1−t)b=x,又因为上是第二种意义下的广义s-凸函数,再由定理0.1(广义s-凸Hermite-Hadamard不等式)中(2)式右边的不等式,可得同理,将(10)、(11)、(26)、(27)式代入不等式(25),定理得证.下面考虑文中建立的涉及局部分数阶积分的不等式在局部分数积分的数值求积中的应用,可用这些不等式估计数值求积结果的误差.令In为区间[a,b]上的一个分划,0＜a＜b,且In:a=x0＜x1＜···＜xn=b,考虑下面的局部分数阶求积公式其中,T(f,In)为逼近局部积分aIαbf(x)近似计算的中点型公式,其构造为因此即为积分a近似计算公式的误差.命题3.1 设f:I→ Rα,I⊂ [0,∞)在I0上是一个可微函数,且fα ∈ Cα[a,b],其中a,b∈I,a＜b.若对于某个固定的s∈(0,1),在[a,b]上是第二种意义下的广义s-凸函数,其中q＞1,则对于区间[a,b]上的任意一个分划In,由公式(28)确定的数值积分,其余项E(f,In)满足如下不等式.证明根据定理2.1,对于分划In的每一个子区间[xi,xi+1](i=0,···,n−1),有当i从0到n−1对上式两边求和,并由三角不等式,得结论得证.注类似于命题3.1的方法,由定理2.2,定理2.3可以得到其他类似的误差估计式. (责任编辑:林磊)【相关文献】[1] LATIF M A,SHOAIB M.Hermite-Hadamard type integral inequalities for differentiablem-preinvex and(α,m)-preinvex functions[J].Journal of the Egyptian Mathematical Society,2015,23:236-241.[2]PAVI´C Z.Improvements of the Hermite-Hadamard inequality for the simplex[J].Journal of Inequalities and Applications,2015,2015(1):1-11.[3] WU Y,QI F.On some Hermite-Hadamard type inequalities for(s,QC)-convexfunctions[J].Springer Plus,2016,5(49):1-13.[4] LATIF M A.Inequalities of Hermite-Hadamard type for functions whose derivatives in absolute value are convex with applications[J].Arab J Math Sci,2015,21(1):84-97.[5]ALOMARI M W,DARUS M,KIRMACI U S.Some inequalities of Hermite-Hadamard type for s-convex functions[J].Acta Mathematica Scientia,2011,31B(4):1643-1652.[6]¨OZDEMIR M E,AVCI M,KAVURMACI H.Hermite-Hadamard type inequalities via(α,m)-convexity[J].Comput Math Appl,2011,61:2614-2620.[7]¨OZDEMIR M E,YILDIZ C¸,AKDEMIR A O,etal.On some inequalities for s-convex functions and applications[J].Journal of Inequalities and Applications,2013,2013(1):1-11.[8] BABAKHANI A,DAFTARDAR-GEIJI V.On calculus of local fractional derivatives[J].J MathAnal Appl,2002,270(1):66-79.[9] ZHAO Y,CHENG D F,YANG X J.Approximation solutions for local fractionalSchr¨odinger equation in the one-dimensional Cantorian system[J].Adv Math Phys,2013:1-5.Article ID 291386.[10] YANG X J.Advanced Local Fractional Calculus and Its Applications[M].NewYork:World Science Publisher,2012.[11] YANG Y J,BALEANU D,YANG X J.Analysis of fractal wave equations by local fractional Fourier series method[J].Adv Math Phys,2013:377-384.Article ID 632309.[12] MO H X,SUI X.Generalized s-convex functions on fractal sets[J].Math A P,2014:1-12.[13] MO H X,SUI X.Hermite-Hadamard type inequalities for generalized s-convex functions on real linear fractal set Rα(0＜α＜ 1)[J].Math Sciences,2017,11(3):241-246.。
HG-凸函数的几何平均型Hadamard不等式
证 （ １ ） 为／ ） 是ｌ ａ ， ｂ Ｊ （ ０ ， 十∞ ） 上的 Ｈ Ｇ
凸函数 ， 由引理 １ ， 知ｇ （ ）＝ － 厂 （ ） 是［ ｂ ～， ａ ］
由引理 ２ ， 有ｇ （ ） 在［ ｂ ～， 。 一］ 上 的对 数 凸 函数
１ 引理
引理 １ ［ ５ １ 设－ 厂 （ ） 是 定 义在 区 间 ［ 。 ， ｂ ］ Ｒ
２ ０ １ ５年 １ ２月 第２ ８卷第 ６期
湖 北工 业职 业技 术学 院学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈｕ ｂ ｅ ｉ Ｉ ｎ ｄ ｕ ｓ ｔ ｒ ｉ ａ ｌ Ｐ ｏ ｌ ｙ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ
Ｄｅ Ｃ ．， ２ ０１ ５
Ｖｏ １ ． ２ ８ Ｎｏ ． ６
Ｈ Ｇ一凸函数的几何平均型 Ｈ ａ ｄ ａ ｍ ａ ｒ ｄ 不等式
陈 少 元
（ 湖北 职业 技术 学 院 教 务处 ， 湖北 孝感 ４ ３ ２ ０ ０ ０ ）
摘 要 ： 运 用 ＨＧ一凸 函数 与对数 凸函数 的 关 系、 对数 凸 函数 的几 何 平 均型 Ｈ ａ ｄ ａ ｍ ａ ｒ ｄ型 不 等 式， 通过 积分 运 算 ， 建立了 Ｈ Ｇ一凸函数 的 几何 平均 型 Ｈａ ｄ ａ ｍ ａ ｒ ｄ型 不等式 ， 并给 出其 应 用。 关键 词 ： ＨＧ一凸 函数 ；对数 凸 函数 ；Ｈ ａ ｄ ａ ｍ ａ ｒ ｄ型 不等 式 ；应 用
（
） ≤ ｅ 印 （
≤
厂 ｎ ｇ （ ） ） ，
，
引Ｌ ￥２ ｌ ４ ］ 设＿ 厂 是定义在［ 。 ， ｂ ］ 上的正值函数 ，
若Ｉ 厂 是［ 口， ｂ ］上 的对 数 凸函数 ， 则 有
（ ｂ 一） ｇ （ ０ ） ，
对数凸函数的几何平均型Hadamard不等式
则称 （ ） Ｌ 为函数 ＿ 厂 厂在 ，】 的 次幂平 均．其 中 （ ）、 ， ６上 Ｉ （ 厂 ）、 。－） Ｍ一 厂 分别称 为 函数 ＿ ［，】 （ 厂在 ｂ 上 的算 术平均 、几何平 均和调 和平均 ． 基 于 函数 ｌ ［，］ 的一 次 幂 平 均 即 为 函数 ／在 ［，］ 厂在 口ｂ 上 ｂ 上的算 术平 均 ，１９ 年 ，著 名 法 曰数 学 家 ８３ Ｈａａ ｒ ８ ５ ｌ６ ） 出了针对 凸函数这 类特殊 函数 的 Ｈａａ ｒ 不等式 ，即 ｄ ｍａｄ １ ６ ～ ９ ３提 ｒ ｄ ｍａｄ 若 厂是区 间 （，］ 的凸 函数 ， 有 日ｂ 上 则
～
、、 ●●，●●，● ●●／
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ａｃ ｏ ｄ ｎ ｅｇ ｏ ｔ ｃｍｅ ｎ ｏ ｇ ｒ ｈ ｃｃ ｎ ｅ ｕ ｃｉ ｎ ｔ ｅｇ ｏ ｔｉ ｍｅ ｎ ｔ ｐ ｄ ｍａ ｄ ｉｅ ｕ ｌｙ ｏ ｓ ｒ ｃ ： ｃ ｒ ｉ ｇｔ ｔ ｅ ｍｅｒ ａ ｆｌ ａ ｉ ｍｉ ｏ ｖ ｘ ｆ ｎ ｔ ， ｈ ｅ ｍｅ ｒ ａ — ｅ Ｈａ ａ ｒ ｑ ａ ｉ ｆ ｏｈ ｉ ｏ ｔ ｏ ｃ ｙ ｎ ｔ
ｌｇ ｒ ｈ ｃ ｃ ｎ ｅ ｕ ｃｉ ｎ ｉ ｅ ｉ ｅ ｎ ｈ ｉ ｌ ｐ ｌ ａ ｉｎ ｉ ａ ｓ ｌ ｉ ｄ ｂ ｏ ｓｄ ｒ ｇ ｔ ｅ ｌ ｇ ｒ ｈ ｃ ｃ ｎ ｅ ｉ ｆ ｏ ａ ｉ ｍｉ ｏ ｖ ｘ ｆ ｎ ｔ ｓ ｄ ｒｖ ｄ ａ ｄ ｔ ｅ ｓｍｐ ｅ ａ ｐ ｉ ｔ ｓ ｌｏ ｅ ｉ ｔ ｙ ｃ ｎ ｉ ｅ ｎ ｈ ｏ ａ ｉ ｍｉ ｏ ｖ ｘ ｔ ｏ ｔ ｏ ｃ ｏ ｃｅ ｉ ｔ ｙ ｌｇ ｒｈ ｃｃ ｎ ｅ ｕ ｃｉｎ ａ ｄ ａ ｐｙｎ ｈ ｅ ｓｎ ｔｐ ｅ ｕ ｌ ｆｌｇ ｒ ｈ ｃｃ ｎ ｅ ｕ ｃｉｎａ ｌ ａ ｅｄ ｆｎｔ ｎａ ｄ ｏ ａ ｔｍｉ ｏ ｖ ｘ ｆｎ ｔ ｎ ｐ ｌｉｇｔｅＪ ｎ ｅ － ｅｉ ｑ ａｉ ｏ ａ ｔｍｉ ｏ ｖ ｘｆｎ ｔ ｓｗｅｌ ｓｔ ｅｉｉｏ ｎ ｉ ｏ ｙ ｎ ｙ ｔ ｏ ｉ ｏ ｈ ｉ
分形空间中的广义预不变凸函数与相关的Hermite-Hadamard型积分不等式
分形空间中的广义预不变凸函数与相关的Hermite-Hadamard型积分不等式孙文兵【摘要】在分形集Rα(0<α≤1)上定义了广义预不变凸函数,建立了关于广义预不变凸函数的Hermite-Hadamard积分不等式.构建了一个与广义预不变凸函数相关的局部分数阶积分恒等式,由此恒等式并利用广义H?lder不等式和广义幂均不等式得到了关于此类函数的几个Hermite-Hadamard型局部分数阶积分不等式.结果推广了已有研究中的一些结论.【期刊名称】《浙江大学学报（理学版）》【年(卷),期】2019(046)005【总页数】7页(P543-549)【关键词】广义预不变凸函数;Hermite-Hadamard型不等式;广义Hölder不等式;分形集;局部分数阶积分【作者】孙文兵【作者单位】邵阳学院理学院,湖南邵阳 422000【正文语种】中文【中图分类】O178函数凸性在经济数学、管理科学、工程和优化等领域有非常重要的应用。
目前，很多学者展开了对函数凸性推广的研究。
WEIR等[1-2]提出了预不变凸函数的定义：定义 1 设A⊆Rn，若存在一个向量函数η:Rn× Rn→ Rn，对任意x,y∈A,0≤ λ≤ 1,有则称A是不变凸集。
定义2 设A⊆Rn是一个关于η:Rn×Rn→Rn的不变凸集。
f:A→R是一个函数。
若对任意x,y∈A,0≤ λ≤ 1，有则称函数f是预不变凸的。
显然，当式(1)中，取η(x,y)=x-y时，f便是一个凸函数，因此凸函数是一个关于η(x,y)=x-y的预不变凸函数，而预不变凸函数是凸函数的一种推广。
关于预不变凸函数的性质，可参阅文献[3-4]。
Hermite-Hadamard不等式的推广研究是与函数凸性紧密相关的，该不等式叙述如下:令f:I⊆R→R是一个凸函数，其中a,b∈I，a＜ b，则如果f是凹的,则不等式反号。
根据不同的凸性定义，涌现了许多Hermite-Hadamard不等式的新研究结果[5-8]。
一类推广的 Hermite-Hadamard 不等式
一类推广的 Hermite-Hadamard 不等式柏传志;杨丹丹【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(015)004【摘要】We establish some Hermite-Hadamard type inequalities involving Riemann-Liouville fractional in-tegrals for s-(β,m)-convex functions including triple differentiable mappings .Our results extend some recent known results .%建立了涉及带三阶导数的s-（β，m）-凸函数的Riemann-Liouville分数阶积分Hermite-Hadamard型不等式。
所得结果推广了已有的相关结论。
【总页数】7页(P283-289)【作者】柏传志;杨丹丹【作者单位】淮阴师范学院数学科学学院，江苏淮安 223300;淮阴师范学院数学科学学院，江苏淮安 223300【正文语种】中文【中图分类】O178【相关文献】1.Hermite-Hadamard模糊积分不等式的推广 [J],2.预不变凸函数与一类Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式 [J], 王柳伟;叶明武;袁权龙3.Hermite-Hadamard不等式推广的q-模拟 [J], 时统业;李照顺;夏琦4.Hermite-Hadamard不等式差值估计的一种推广 [J], 时统业; 曾志红5.预不变凸函数的Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式的推广 [J], 孙文兵;郑灵红因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
与am凸函数有关的积分不等式和单调函数
与am凸函数有关的积分不等式和单调函数积分不等式是关于函数的凹凸不等式，而am凸函数是一类特殊的凹凸函数，它有可能拥有大于1的极限值，但是它定义在某一范围内时一定不会大于1。
因此，对am凸函数来说，对于一般的积分不等式，可以用一下形式表示：
∫F(x)dx≥b。
其中，F(x)为am凸函数，b为常数，如果b>1，则表示积分的下限值大于1；而当b<1时，表示积分的下限值小于1。
由此可以推出，当积分不等式右侧的常数b取大于1的值时，am凸函数一定是单调递增的；当b 取小于1的值时，am凸函数也是单调递增的。
由此可知，am凸函数有关的积分不等式和单调函数，在右侧常数b 取定的情况下，am凸函数一定是单调的。
区间值h-凸函数的整合分数阶积分Hermite-Hadamard型不等式
f
a+b 2
⊇
Γ(α + 1) (b − a)α
Jaα+ f (b) + Jbα− f (a)
⊇
f (a)
+ 2
f (b) .
受此启发, 本文引入了区间值函数整合分数阶积分的概念, 讨论了其若干重要性质. 将文 献 [1] 中的 Hermite-Hadamard 型不等式推广到区间值函数整合分数阶积分的形式中, 同时 也推广了文献 [2, 3] 的相关结果.
f
a+b 2
=f
ta + (1 − t)b + tb + (1 − t)b 2
⊇h
1 2
[f (ta + (1 − t)b) + f (tb + (1 − t)a)] .
(3.1) (3.2)
在
(3.2)
式两边同乘以
1 n!
ν
n
(1
−
ν )α−n−1
并在
[0, 1]
上关于
t
取积分,
Γ(α Γ(α +
定义 2 [9] 设 f : [a, b] → RI 且 f (t) = f (t), f (t) . 若 f ∈ IR([a,b]), 那么区间值
Riemann-Liouville 分数阶积分定义为：
Jaα+ f (t)
=
1 Γ(α)
t
(t − τ )α−1f (τ )dτ,
a
Jbα− f (t)
=
1 Γ(α)
b
(τ − t)α−1f (τ )dτ.
t
No.3
史芳芳等: 区间值 h- 凸函数的整合分数阶积分 Hermite-Hadamard 型不等式
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(αꎬｍ)凸函数的新的Ｈｅｒｍｉｔｅ￣Ｈａｄａｍａｒｄ型不等式时统业(海军指挥学院ꎬ江苏南京２１１８００)㊀㊀摘要:从(αꎬｍ)凸函数的定义出发ꎬ建立了(αꎬｍ)凸函数的Ｈｅｒｍｉｔｅ￣Ｈａｄａｍａｒｄ型不等式ꎬ其中的一个不等式推广了已有文献关于第一种意义上的(αꎬｍ)凸函数的结果.关键词:第一种意义上的(αꎬｍ)凸函数ꎻ第二种意义上的(αꎬｍ)凸函数ꎻＨｅｒｍｉｔｅ￣Ｈａｄａｍａｒｄ型不等式中图分类号:Ｏ１７８㊀文献标识码:Ａ㊀文章编号:２０９５￣３７９８(２０１８)０５￣００２２￣０５收稿日期:２０１８￣０５￣０９作者简介:时统业ꎬ男ꎬ河北张家口人ꎬ海军指挥学院副教授.０㊀引言(αꎬｍ)凸函数是ｍ凸函数[１－２]和第二种意义上的ｓ－凸函数[３]的推广.１９９３年ꎬＭｉｈｅｓａｎ给出了第一种意义上的(αꎬｍ)凸函数的定义[４]ꎬ２０１１年ꎬＰａｒｋ给出了第二种意义上的(αꎬｍ)凸函数的定义[５].一些文献研究了(αꎬｍ)凸函数的各种类型的不等式[５－２０]ꎬ而且关于第一种意义上的(αꎬｍ)凸函数的结果居多.受到文[７]和文[２１]的启发ꎬ本文研究(αꎬｍ)凸函数的Ｈｅｒｍｉｔｅ￣Ｈａｄａｍａｒｄ型不等式.定义１[４]㊀设ｆ:[０ꎬｂ]ңＲꎬαɪ(０ꎬ１]ꎬｍɪ(０ꎬ１]ꎬ若对任意ｘꎬｙɪ[０ꎬｂ]ꎬｔɪ[０ꎬ１]ꎬ有ｆ(ｔｘ＋ｍ(１－ｔ)ｙ)ɤｔαｆ(ｘ)＋ｍ(１－ｔα)ｆ(ｙ)ꎬ则称ｆ为[０ꎬｂ]上的第一种意义上的(αꎬｍ)凸函数.定义２[５]㊀设ｆ:[０ꎬｂ]ңＲꎬαɪ(０ꎬ１]ꎬｍɪ(０ꎬ１]ꎬ若对任意ｘꎬｙɪ[０ꎬｂ]ꎬｔɪ[０ꎬ１]ꎬ有ｆ(ｔｘ＋ｍ(１－ｔ)ｙ)ɤｔαｆ(ｘ)＋ｍ(１－ｔ)αｆ(ｙ)ꎬ则称ｆ为[０ꎬｂ]上的第二种意义上的(αꎬｍ)凸函数.１㊀主要结果定理１㊀设αɪ(０ꎬ１]ꎬｍɪ(０ꎬ１]ꎬｆ是[０ꎬ＋ɕ]上的第一种意义上的(αꎬｍ)凸函数ꎬ０ɤａ<ｂꎬλɪ(０ꎬ１].若ｆ在[λｍａꎬ(２－λ)ｂ]上可积ꎬ则有ｆ((２－λ)ｂ＋λ(ｍａ)２)ɤ１(２－λ)ｂ－λｍａʏ(２－λ)ｂλｍａ[１２αｆ(ｘ)＋ｍ(１－１２α)ｆ(ｘｍ)]ｄｘɤ第３８卷㊀第５期广东第二师范学院学报Ｖｏｌ.３８㊀Ｎｏ.５２０１８年１０月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕａｎｇｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎＯｃｔ.２０１８１２α(α＋１)[ｆ((２－λ)ｂ)＋(α＋２α－１)ｍｆ(λａ)＋α(２α－１)ｍ２ｆ(２－λｍ２ｂ)](１)证明㊀对任意ｔɪ[０ꎬ１]ꎬ有(２－λ)ｂ＋λ(ｍａ)２＝１２{ｔ(２－λ)ｂ＋ｍ(１－ｔ)λａ＋ｍ[ｔλａ＋ｍ(１－ｔ)(２－λ)ｂｍ２]}由第一种意义上的(αꎬｍ)凸函数的定义有ｆ((２－λ)ｂ＋λ(ｍａ)２)ɤ１２αｆ[ｔ(２－λ)ｂ＋ｍ(１－ｔ)λａ]＋ｍ(１－１２α)ｆ[ｔλａ＋ｍ(１－ｔ)(２－λ)ｂｍ２]ɤ１２α[ｔαｆ((２－λ)ｂ)＋ｍ(１－ｔα)ｆ(λａ)]＋ｍ(１－１２α)[ｔαｆ(λａ)＋ｍ(１－ｔα)ｆ((２－λ)ｂｍ２)].(２)在式(２)中对ｔ在[０ꎬ１]上积分ꎬ并分别利用变量代换ｘ＝ｔ(２－λ)ｂ＋ｍ(１－ｔ)λａ和ｘ＝ｔｍλａ＋(１－ｔ)(２－λ)ｂꎬ得ʏ１０ｆ[ｔ(２－λ)ｂ＋ｍ(１－ｔ)λａ]ｄｔ＝１(２－λ)ｂ－ｍλａʏ(２－λ)ｂｍλａｆ(ｘ)ｄｘꎬʏ１０[ｔλａ＋ｍ(１－ｔ)(２－λ)ｂｍ２]ｄｔ＝１(２－λ)ｂ－ｍλａʏ(２－λ)ｂｍλａｆ(ｘｍ)ｄｘꎬ则式(１)得证.推论１㊀设αɪ(０ꎬ１]ꎬｍɪ(０ꎬ１]ꎬｆ是[０ꎬ＋ɕ]上的(αꎬｍ)凸函数ꎬ０ɤａ<ｂ.若ｆ在[ｍａꎬｂ]上可积ꎬ则有ｆ(ｂ＋ｍａ２)ɤ１ｂ－ｍａʏｂｍａ[１２αｆ(ｘ)＋ｍ(１－１２α)ｆ(ｘｍ)]ｄｘɤ１２α(α＋１)[ｆ(ｂ)＋(α＋２α－１)ｍｆ(ａ)＋α(２α－１)ｍ２ｆ(ｂｍ２)].证明㊀在定理１中取λ＝１即可得证.注２㊀在定理１中取λ＝ｍꎬ则由式(１)得ｆ(２－ｍ２ｂ＋ｍ２(ｍａ))ɤ１(２－ｍ)ｂ－ｍ２ａʏ(２－ｍ)ｂｍ２ａ[１２αｆ(ｘ)＋ｍ(１－１２α)ｆ(ｘｍ)]ｄｘɤ１２α(α＋１)[ｆ((２－ｍ)ｂ)＋(α＋２α－１)ｍｆ(ｍａ)＋α(２α－１)ｍ２ｆ((２－ｍ)ｂｍ２)].(３)注意到ʏ(２－ｍ)ｂｍ２ａｆ(ｘｍ)ｄｘ＝ʏ(２－ｍ)ｂｍ２ａｆ((２－ｍ)ｂ＋ｍ２ａ－ｘｍ)ｄｘ＝ʏ(２－ｍ)ｂｍ２ａｆ[(２－ｍ)ｂｍ(１－ｘ－ｍ２ａ(２－ｍ)ｂ－ｍ２ａ)＋ｍｘ－ｍ２ａ(２－ｍ)ｂ－ｍ２ａａ]ｄｘꎬ故式(３)实际上为文献[７]中的定理５所给不等式ꎬ因此定理１是文献[７]中定理５的推广.用证明定理１的方法还可证明下面定理２.定理２㊀设αɪ(０ꎬ１]ꎬｍɪ(０ꎬ１]ꎬｆ是[０ꎬ＋ɕ]上的第二种意义上的(αꎬｍ)凸函数ꎬ０ɤａ<ｂꎬλɪ(０ꎬ１].若ｆ在[λｍａꎬ(２－λ)ｂ]上可积ꎬ则有ｆ((２－λ)ｂ＋λ(ｍａ)２)ɤ１２α[(２－λ)ｂ－λｍａ]ʏ(２－λ)ｂλｍａ[ｆ(ｘ)＋ｍｆ(ｘｍ)]ｄｘɤ１２α(α＋１)[ｆ((２－λ)ｂ)＋２ｍｆ(λａ)＋ｍ２ｆ((２－λ)ｂｍ２)].定理３㊀设αɪ(０ꎬ１]ꎬｍɪ(０ꎬ１]ꎬｆ是[０ꎬｂ]上的第一种意义上的(αꎬｍ)凸函数ꎬ０ɤａ<ｂꎬｔɪ[０ꎬ１]ꎬ３２ ２０１８年第５期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀时统业:(αꎬｍ)凸函数的新的Ｈｅｒｍｉｔｅ￣Ｈａｄａｍａｒｄ型不等式㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ξ＝ｔａ＋ｍ(１－ｔ)ｂ.若ｆ在[０ꎬｂ]上可积ꎬ则有１＋α１＋αｍ２＋αｍ(１－ｍ)ｔα (ｍ＋１)α(１－ｍ)ｍα＋ｍ(ｍ＋１)αｆ((ｍ２－ｍ３)ｔ＋ｍ＋ｍ３ｍ＋１ξ)ɤ１＋α１＋αｍ２＋αｍ(１－ｍ)ｔα[ｔαＩ１＋ｍ(１－ｔα)Ｉ２]ɤｔαｆ(ａ)＋ｍ(１－ｔα)ｆ(ｂ)ꎬ(４)其中Ｉ１＝ʏ１０ｆ(ｕａ＋(１－ｕ)ｍξ)ｄｕꎬＩ２＝ʏ１０ｆ(ｕｂ＋(１－ｕ)ｍξ)ｄｕ.证明㊀为方便起见ꎬ记ｋ＝ｔ＋ｍ(１－ｔ)ꎬｌ＝ｍｍ＋１.对任意ｕɪ[０ꎬ１]ꎬ由第一种意义上的(αꎬｍ)凸函数的定义有ｔαｆ(ｕａ＋(１－ｕ)ｍξ)＋ｍ(１－ｔα)ｆ(ｕｂ＋(１－ｕ)ｍξ)ȡｆ[ｔ(ｕａ＋(１－ｕ)ｍξ)＋ｍ(１－ｔ)(ｕｂ＋(１－ｕ)ｍξ)]＝ｆ{[ｍｋ＋(１－ｍ)(１＋ｍ(１－ｔ)ｕ)]ξ}ꎬ(５)ｔαｆ((１－ｕ)ａ＋ｕｍξ)＋ｍ(１－ｔα)ｆ((１－ｕ)ｂ＋ｕｍξ)ȡｆ[ｔ((１－ｕ)ａ＋ｕｍξ)＋ｍ(１－ｔ)((１－ｕ)ｂ＋ｕｍξ)]＝ｆ{[１－(１－ｍ)(１＋ｍ(１－ｔ))ｕ]ξ}ꎬ(６)ｌαｆ{[ｍｋ＋(１－ｍ)(１＋ｍ(１－ｔ))ｕ]ξ}＋ｍ(１－ｌα)ｆ{[１－(１－ｍ)(１＋ｍ(１－ｔ))ｕ]ξ}ȡｆ{ｌ[ｍｋ＋(１－ｍ)(１＋ｍ(１－ｔ))ｕ]ξ＋ｍ(１－ｌ)[１－(１－ｍ)(１＋ｍ(１－ｔ))ｕ]ξ}＝ｆ((ｍ２－ｍ３)ｔ＋ｍ＋ｍ３ｍ＋１ξ)ꎬ(７)在式(５)~式(７)中对ｕ在[０ꎬ１]上积分得ｔαＩ１＋ｍ(１－ｔα)Ｉ２ȡʏ１０ｆ{[ｍｋ＋(１－ｍ)(１＋ｍ(１－ｔ))ｕ]ξ}ｄｕꎬｔαＩ１＋ｍ(１－ｔα)Ｉ２ȡʏ１０ｆ{[１－(１－ｍ)(１＋ｍ(１－ｔ))ｕ]ξ}ｄｕꎬｌαʏ１０ｆ{[ｍｋ＋(１－ｍ)(１＋ｍ(１－ｔ))ｕ]ξ}ｄｕ＋ｍ(１－ｌα)ʏ１０ｆ{[１－(１－ｍ)(１＋ｍ(１－ｔ))ｕ]ξ}ｄｕȡｆ((ｍ２－ｍ３)ｔ＋ｍ＋ｍ３ｍ＋１ξ)ꎬ于是[ｌα＋ｍ(１－ｌα)][ｔαＩ１＋ｍ(１－ｔα)Ｉ２]＝ｌα[ｔαＩ１＋ｍ(１－ｔα)Ｉ２]＋ｍ(１－ｌα)[ｔαＩ１＋ｍ(１－ｔα)Ｉ２]ȡｆ((ｍ２－ｍ３)ｔ＋ｍ＋ｍ３ｍ＋１ξ)ꎬ故式(４)的左边不等式得证.由第一种意义上的(αꎬｍ)凸函数的定义有ｆ(ｕａ＋(１－ｕ)ｍξ)ɤｕαｆ(ａ)＋ｍ(１－ｕα)ｆ(ξ)ɤｕαｆ(ａ)＋ｍ(１－ｕα)[ｔαｆ(ａ)＋ｍ(１－ｔα)ｆ(ｂ)]＝[ｕα＋ｍ(１－ｕα)ｔα]ｆ(ａ)＋ｍ２(１－ｕα)(１－ｔα)ｆ(ｂ)ꎬ(８)同理可得ｆ(ｕｂ＋(１－ｕ)ｍξ)ɤｍ(１－ｕα)ｔαｆ(ａ)＋[ｕα＋ｍ２(１－ｕα)(１－ｔα)]ｆ(ｂ)ꎬ(９)在式(８)㊁式(９)中对ｕ在[０ꎬ１]上积分得Ｉ１ɤ(１＋ｍαｔα)ｆ(ａ)＋ｍ２α(１－ｔα)ｆ(ｂ)α＋１ꎬ(１０)Ｉ２ɤｍαｔαｆ(ａ)＋[１＋ｍ２α(１－ｔα)]ｆ(ｂ)α＋１ꎬ(１１)４２㊀广东第二师范学院学报第３８卷将式(１０)和式(１１)分别乘以(１＋α)ｔα１＋ｍ２α(１－ｔα)＋ｍαｔα和ｍ(１＋α)(１－ｔα)１＋ｍ２α(１－ｔα)＋ｍαｔαꎬ然后相加ꎬ则式(４)的右边部分得证.用定理３的证明方法还可证明下面定理４㊁定理５和定理６ꎬ本文略去证明.定理４㊀设αɪ(０ꎬ１]ꎬｍɪ(０ꎬ１]ꎬｆ是[０ꎬｂ]上的第一种意义上的(αꎬｍ)凸函数ꎬ０ɤａ<ｂꎬｔɪ[０ꎬ１]ꎬξ＝ｔａ＋ｍ(１－ｔ)ｂ.若ｆ在[０ꎬｂ]上可积ꎬ则有１＋αｍ(１＋α)＋(１－ｍ)ｔα (ｍ＋１)α(１－ｍ)ｍα＋ｍ(ｍ＋１)αｆ(２ｍ２＋(ｍ－ｍ２)ｔｍ＋１ξ)ɤ１＋αｍ(１＋α)＋(１－ｍ)ｔα[ｔαＩ３＋ｍ(１－ｔα)Ｉ４]ɤｔαｆ(ａ)＋ｍ(１－ｔα)ｆ(ｂ).其中Ｉ３＝ʏ１０ｆ(ｕξ＋(１－ｕ)ｍａ)ｄｕꎬＩ４＝ʏ１０ｆ(ｕξ＋(１－ｕ)ｍｂ)ｄｕ.定理５㊀设αɪ(０ꎬ１]ꎬｍɪ(０ꎬ１]ꎬｆ是[０ꎬｂ]上的第二种意义上的(αꎬｍ)凸函数ꎬ０ɤａ<ｂꎬｔɪ[０ꎬ１]ꎬξ＝ｔａ＋ｍ(１－ｔ)ｂ.若ｆ在[０ꎬｂ]上可积ꎬ则有１＋α１＋ｍ２(１－ｔ)α＋ｍｔα (ｍ＋１)αｍα＋ｍｆ((ｍ２－ｍ３)ｔ＋ｍ＋ｍ３ｍ＋１ξ)ɤ１＋α１＋ｍ２(１－ｔ)α＋ｍｔα[ｔαＩ１＋ｍ(１－ｔ)αＩ２]ɤｔαｆ(ａ)＋ｍ(１－ｔ)αｆ(ｂ)ꎬ其中Ｉ１和Ｉ２同定理３.定理６㊀设αɪ(０ꎬ１]ꎬｍɪ(０ꎬ１]ꎬｆ是[０ꎬｂ]上的第二种意义上的(αꎬｍ)凸函数ꎬ０ɤａ<ｂꎬｔɪ[０ꎬ１]ꎬξ＝ｔａ＋ｍ(１－ｔ)ｂ.若ｆ在[０ꎬｂ]上可积ꎬ则有１＋αｍ＋ｔα＋ｍ(１－ｔ)α(ｍ＋１)αｍα＋ｍｆ(２ｍ２＋(ｍ－ｍ２)ｔｍ＋１ξ)ɤ１＋αｍ＋ｔα＋ｍ(１－ｔ)α[ｔαＩ３＋ｍ(１－ｔ)αＩ４]ɤｔαｆ(ａ)＋ｍ(１－ｔ)αｆ(ｂ)ꎬ其中Ｉ３和Ｉ４同定理４.参考文献:[１]ＴＯＡＤＥＲＧＨ.Ｓｏｍｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｃｏｎｖｅｘｉｔｙ[Ｍ]//Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅｃｏｌｌｏｑｕｉｕｍｏｎａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎａｎｄｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ.ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＣｌｕｊ￣Ｎａｐｏｃａꎬ１９８４:３２９￣３３８.[２]ＤＲＡＧＯＭＩＲＳＳꎬＴＯＡＤＥＲＧＨ.Ｓｏｍｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒｍ￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓ[Ｊ].ＳｔｕｄｉａＵｎｉｖＢａｂｅｓ￣ＢｏｌｙａｉＭａｔｈꎬ１９９３ꎬ３８(１):２１￣２８.[３]ＨＵＤＺＩＫＨꎬＭＡＬＩＧＲＡＮＤＡＬ.Ｓｏｍｅｒｅｍａｒｋｓｏｎｓ￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓ[Ｊ].ＡｅｑｕａｔｉｏｎｅｓＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｅꎬ１９９４ꎬ４８(１):１００￣１１１.[４]ＭＩＨＥＳＡＮＶＧ.Ａｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｃｏｎｖｅｘｉｔｙꎬｓｅｍｉｎａｒｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓꎬａｐｐｒｏｘꎬｃｏｎｖｅｘ[Ｍ].Ｒｏｍａ￣ｎｉａ:Ｃｌｕｊ￣Ｎａｐｏｃａꎬ１９９３.[５]ＰＡＲＫＪ.ＳｏｍｅＨａｄａｍａｒｄ̓ｓｔｙｐｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒｃｏ￣ｏｒｄｉｎａｔｅｄ(ｓꎬｍ)￣ｃｏｎｖｅｘｍａｐｐｉｎｇｓｉｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｓｅｎｓｅ[Ｊ].ＦａｒＥａｓｔＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓꎬ２０１１ꎬ２(２):２０５￣２１６.[６]ＢＡＫＵＬＡＭＫꎬＰＥＣＡＲＩＣＪꎬＲＩＢＩＣＩＣＭ.ＣｏｍｐａｎｉｏｎｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｔｏＪｅｎｓｅｎ̓ｓｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｆｏｒｍ￣ｃｏｎｖｅｘａｎｄ(αꎬｍ)￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＩｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｉｎＰｕｒｅａｎｄＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓꎬ２００６ꎬ７(５):１￣３２.[７]ＳＥＴＥꎬＳＡＲＤＡＲＩＭꎬÖＺＤＥＭＩＲＭＥꎬｅｔａｌ.ＯｎｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＨａｄａｍａｒｄｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｆｏｒ(αꎬｍ)￣ｃｏｎ￣ｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓ[Ｊ].ＫｙｕｎｇｐｏｏｋＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＪｏｕｒｎａｌꎬ２０１２ꎬ５２(３):３０７￣３１７.５２ ２０１８年第５期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀时统业:(αꎬｍ)凸函数的新的Ｈｅｒｍｉｔｅ￣Ｈａｄａｍａｒｄ型不等式㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀６２ ㊀广东第二师范学院学报第３８卷[８]双叶ꎬ尹红萍.关于(αꎬｍ)凸函数的几个积分不等式及其应用[Ｊ].湖北民族学院学报(自然科学版)ꎬ２０１７ꎬ３５(３):２９２￣２９６.[９]ＢＡＫＵＬＡＭＫꎬÖＺＤＥＭＩＲＭＥꎬＰＥＣＡＲＩＣＪ.Ｈａｄａｍａｒｄｔｙｐｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒｍ￣ｃｏｎｖｅｘａｎｄ(αꎬｍ)￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＩｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｉｎＰｕｒｅａｎｄＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓꎬ２００８ꎬ９(４):ａｒｔｉｃｌｅ９６.[１０]ÖＺＤＥＭＩＲＭＥꎬＡＶＣＩＭꎬＫＡＶＵＲＭＡＣＩＨ.Ｈｅｒｍｉｔｅ￣Ｈａｄａｍａｒｄ￣ｔｙｐｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｖｉａ(αꎬｍ)￣ｃｏｎｖｅｘｉｔｙ[Ｊ].ＣｏｍｐｕｔｅｒｓａｎｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓｗｉｔｈＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓꎬ２０１１ꎬ６１(９):２６１４￣２６２０.[１１]ＳＵＮＷＮꎬＬＩＵＱＮ.ＮｅｗＨｅｒｍｉｔｅ￣Ｈａｄａｍａｒｄｔｙｐｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒ(αꎬｍ)￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏｓｐｅｃｉａｌｍｅａｎｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＩｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓꎬ２０１７ꎬ１１(２):３８３￣３９７.[１２]李玉娇ꎬ杜廷松.一类(αꎬｍ)￣凸函数的Ｈａｄａｍａｒｄ型不等式[Ｊ].上海大学学报(自然科学版)ꎬ２０１７ꎬ２３(４):５８３￣５８９.[１３]ＣＯＲＴＥＺＭＶ.Ｆｅｊｅｒｔｙｐｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒ(ｓꎬｍ)￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉｎｓｅｃｏｎｄｓｅｎｓｅ[Ｊ].ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅｓꎬ２０１６ꎬ１０(５):１￣８.[１４]ÖＺＤＥＭＩＲＭＥꎬＫＡＶＵＲＭＡＣＩＨꎬＳＥＴＥ.Ｏｓｔｒｏｗｓｋｉ̓ｓｔｙｐｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒ(αꎬｍ)￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎ[Ｊ].ＫｙｕｎｇｐｏｏｋＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＪｏｕｒｎａｌꎬ２０１０ꎬ５０(３):３７１￣３７８.[１５]ＢＡＩＳＰꎬＷＡＮＧＳＨꎬＱｉＦ.ＳｏｍｅＨｅｒｍｉｔｅ￣Ｈａｄａｍａｒｄｔｙｐｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒｎ￣ｔｉｍｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅ(αꎬｍ)￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＩｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓꎬ２０１２(１):２６７.[１６]ＩＭＤＡＴＩŞＣＡＮ.Ａｎｅｗｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｓｏｍｅｉｎｔｅｇｒａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒ(αꎬｍ)￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓ[Ｊ].Ｍａｔｈｅ￣ｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓꎬ２０１３ꎬ７(１):１￣８.[１７]ＶＩＶＡＳＭ.Ｆｅｊｅｒｔｙｐｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒ(ｓꎬｍ)￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉｎｓｅｃｏｎｄｓｅｎｓｅ[Ｊ].ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅｓꎬ２０１６ꎬ１０(５):１￣８.[１８]ＥＵＩꎬＰＡＲＫＪ.Ｏｎｔｈｅｓｉｍｐｓｏｎ￣ｌｉｋｅｔｙｐｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒｔｗｉｃｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅ(αꎬｍ)￣ｃｏｎｖｅｘｍａｐｐｉｎｇｓ[Ｊ].ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＰｕｒｅａｎｄＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓꎬ２０１２ꎬ７８(５):６１７￣６３４.[１９]ＷＡＮＧＳＨꎬＸｉＢＹꎬＱｉＦ.ＯｎＨｅｒｍｉｔｅ￣Ｈａｄａｍａｒｄｔｙｐｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒ(αꎬｍ)￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓ[Ｊ].ＩｎｔＪＯｐｅｎＰｒｏｂｌｅｍｓＣｏｍｐｕｔＭａｔｈꎬ２０１２ꎬ５(４):４６￣５７.[２０]时统业.涉及可微(αꎬｍ)凸函数的单调函数和Ｈｅｒｍｉｔｅ￣Ｈａｄａｍａｒｄ型不等式[Ｊ].广东第二师范学院学报ꎬ２０１８ꎬ３８(３):３２￣３７.[２１]王良成.凸函数的Ｈａｄａｍａｒｄ不等式的若干推广[Ｊ].数学的实践与认识ꎬ２００２ꎬ３２(６):１０２７￣１０３０.ＮｅｗＨｅｒｍｉｔｅ￣ＨａｄａｍａｒｄＴｙｐｅＩｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒ(αꎬｍ)￣ＣｏｎｖｅｘＦｕｎｃｔｉｏｎｓＳＨＩＴｏｎｇｙｅ(ＰＬＡＮａｖａｌＣｏｍｍａｎｄＣｏｌｌｅｇｅꎬＮａｎｊｉｎｇꎬＪｉａｎｇｓｕꎬ２１１８００ꎬＰ.Ｒ.Ｃｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｓｔａｒｔｉｎｇｆｒｏｍｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆ(αꎬｍ)￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓꎬＨｅｒｍｉｔｅ￣Ｈａｄａｍａｒｄｔｙｐｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｏｆ(αꎬｍ)￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎａｒｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ.ＯｎｅｏｆｔｈｅＨｅｒｍｉｔｅ￣Ｈａｄａｍａｒｄｔｙｐｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｅｘｔｅｎｄｓｔｈｅｅｘｉｓｔｉｎｇｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｒｅｓｕｌｔａｂｏｕｔ(αꎬｍ)￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔｓｅｎｓｅ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:(αꎬｍ)￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔｓｅｎｓｅꎻ(αꎬｍ)￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｓｅｎｓｅꎻＨｅｒｍｉｔｅ￣Ｈａｄａｍａｒｄｔｙｐｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ。