[精校版]江苏省扬州市高一上期末数学试卷有答案

2016-2017学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）tan= ．2．（5分）2lg2+lg25的值等于．3．（5分）若幂函数f（x）=x a的图象过点（4，2），则f（9）= ．4．（5分）已知角α的终边经过点P（2，m）（m＞0），且cosα=，则m= ．5．（5分）在用二分法求方程x3﹣2x﹣1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为．6．（5分）某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为cm2．7．（5分）若a+b=3，则代数式a3+b3+9ab的值为．5，b=2，c=sin1，将a，b，c按从小到大的顺序用不等号“＜”连8．（5分）已知a=log0.6接为．9．（5分）将正弦曲线y=sinx上所有的点向右平移π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式y= ．10．（5分）已知函数f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=（）x，则f（）= ．11．（5分）已知f（x）=在[2，+∞）上是单调增函数，则实数a的取值范围为．12．（5分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边CD的中点，=，若•=﹣4，则sin∠BAD= ．13．（5分）已知f（x）=，若对任意θ∈[0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣）+＞0恒成立，整数λ的最小值为．14．（5分）已知函数f（x）=ln（a﹣）（a∈R）．若关于x的方程ln[（4﹣a）x+2a﹣5]﹣f（x）=0的解集中恰好有一个元素，则实数a的取值范围为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知全集U=R，集合A={x|2≤x＜7}，B={x|0＜logx＜2}，C={x|a＜x＜a+1}．3A）∩B；（1）求A∪B，（∁U（2）如果A∩C=∅，求实数a的取值范围．16．（14分）已知：θ为第一象限角，=（sin（θ﹣π），1），=（sin（﹣θ），﹣），（1）若∥，求的值；（2）若|+|=1，求sinθ+cosθ的值．17．（14分）某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m （万元）的关系有经验公式P=m+65，Q=76+4，今将150万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25万元．（1）设对乙产品投入资金x万元，求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；（2）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？18．（16分）已知函数y=sin（ωx+）（ω＞0）．（1）若ω=，求函数的单调增区间和对称中心；（2）函数的图象上有如图所示的A，B，C三点，且满足AB⊥BC．①求ω的值；②求函数在x∈[0，2）上的最大值，并求此时x的值．19．（16分）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）证明：函数f（x）为奇函数；（2）判断并证明函数f（x）的单调性，再根据结论确定f（m2﹣m+1）+f（﹣）与0的大小关系；（3）是否存在实数k，使得函数f（x）在定义域[a，b]上的值域为[ke a，ke b]．若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（16分）设函数f（x）=|ax﹣x2|+2b（a，b∈R）．（1）当a=﹣2，b=﹣时，解方程f（2x）=0；（2）当b=0时，若不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a为常数，且函数f（x）在区间[0，2]上存在零点，求实数b的取值范围．2016-2017学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）tan= ．【解答】解：tan=tan（）=tan=．故答案为：．2．（5分）2lg2+lg25的值等于 2 ．【解答】解：lg25+2lg2=2lg5+2lg2=2（lg5+lg2）=2故答案为：2．3．（5分）若幂函数f（x）=x a的图象过点（4，2），则f（9）= 3 ．【解答】解：∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（4，2），∴4a=2；解得a=．故f（x）=，则f（9）=3，故答案为：3．4．（5分）已知角α的终边经过点P（2，m）（m＞0），且cosα=，则m= 1 ．【解答】解：∵角α的终边经过点P（2，m）（m＞0），且cosα==，则m=1，故答案为：1．5．（5分）在用二分法求方程x3﹣2x﹣1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为（，2）．【解答】解：令f（x）=x3﹣2x﹣1，则f（1）=﹣2＜0，f（2）=3＞0，f（）=﹣＜0，由f（）f（2）＜0知根所在区间为（，2）．故答案为：（，2）．6．（5分）某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为 1 cm2．【解答】解：设该扇形的半径为r，根据题意，有l=αr+2r4=2r+2rr=1S=αr2=×2×12=1．扇形故答案为：1．7．（5分）若a+b=3，则代数式a3+b3+9ab的值为27 ．【解答】解：∵a+b=3，∴代数式a3+b3+9ab=（a+b）（a2+b2﹣ab）+9ab=3（a2+b2﹣ab）+9ab=3[（a+b）2﹣3ab]+9ab=3（9﹣3ab）+9ab=27．故答案为：27．8．（5分）已知a=log 0.65，b=2，c=sin1，将a ，b ，c 按从小到大的顺序用不等号“＜”连接为 a ＜c ＜b ．【解答】解：∵a=log 0.65＜log 0.61=0，b=2＞20=1， 0＜c=sin1＜1，∴a ＜c ＜b ．故答案为：a ＜c ＜b ．9．（5分）将正弦曲线y=sinx 上所有的点向右平移π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式y= ．【解答】解：由题意，将函数y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动π个单位长度， 利用左加右减，可所函数图象的解析式为y=sin （x ﹣π）， 再把所得各点的横坐标伸长到原的倍（纵坐标不变），利用x 的系数变为原的3倍进行横向变换，可得图象的函数解析式是．故答案为：．10．（5分）已知函数f （x ）为偶函数，且f （x+2）=﹣f （x ），当x ∈（0，1）时，f （x ）=（）x ，则f （）= ． 【解答】解：∵当x ∈（0，1）时，f （x ）=（）x ，∴f （）=f （﹣）=，又∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），f（）=f（﹣）=，故答案为：11．（5分）已知f（x）=在[2，+∞）上是单调增函数，则实数a的取值范围为[，+∞）．【解答】解：f（x）==ax++1，函数的导数f′（x）=a﹣，∵f（x）在[2，+∞）上是单调增函数，∴f′（x）=a﹣≥0在[2，+∞）上恒成立，即a≥，∵≤，∴a≥，即实数a的取值范围是[，+∞），故答案为：[，+∞）12．（5分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边CD的中点，=，若•=﹣4，则sin∠BAD= ．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边CD的中点，=，∴=+=+，=﹣=﹣，∴•=（+）•（﹣）=﹣﹣•=﹣﹣||•||cos∠BAD=6﹣8﹣8cos∠BAD=﹣4，∴cos∠BAD=，∴sin∠BAD=，故答案为：13．（5分）已知f（x）=，若对任意θ∈[0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣）+＞0恒成立，整数λ的最小值为 1 ．【解答】解：∵f（x）=，令f（x），解得：x，若对任意θ∈[0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣）+＞0恒成立，则对任意θ∈[0，]，cos2θ+λsinθ﹣恒成立，即1﹣sin2θ+λsinθ﹣恒成立，当θ=0时，不等式恒成立，当θ≠0时，1﹣sin2θ+λsinθ﹣可化为：λ＞=sinθ﹣，当θ=时，sinθ﹣取最大值，故λ＞，故整数λ的最小值为1，故答案为：1．14．（5分）已知函数f（x）=ln（a﹣）（a∈R）．若关于x的方程ln[（4﹣a）x+2a﹣5]﹣f（x）=0的解集中恰好有一个元素，则实数a的取值范围为（1，2]∪{3，4} ．【解答】解：由ln[（4﹣a）x+2a﹣5]﹣f（x）=0，得ln[（4﹣a）x+2a﹣5]=ln（a﹣），即a﹣=（4﹣a）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2﹣（a﹣5）x﹣1=0，即（x﹣1）[（a﹣4）x+1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=1，代入①，成立；当a=3时，方程②的解为x=1，代入①，成立；当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=1或x=﹣，若x=1是方程①的解，则a﹣=a﹣1＞0，即a＞1，若x=﹣是方程①的解，则a﹣=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，关于x的方程ln[（4﹣a）x+2a﹣5]﹣f（x）=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4，故答案为：（1，2]∪{3，4}．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）x＜2}，C={x|a＜x＜a+1}．15．（14分）已知全集U=R，集合A={x|2≤x＜7}，B={x|0＜log3（1）求A∪B，（∁A）∩B；U（2）如果A∩C=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由0＜logx＜2，得1＜x＜9∴B=（1，9），3∵A={x|2≤x＜7}=[2，7），∴A∪B=（1，9）∁U A=（﹣∞，2）∪[7，+∞），A）∩B=（1，2）∪[7，9）∴（∁U（2）C={x|a＜x＜a+1}=（a，a+1）∵A∩C=∅，∴a+1≤2或a≥7，解得：a≤1或a≥716．（14分）已知：θ为第一象限角，=（sin（θ﹣π），1），=（sin（﹣θ），﹣），（1）若∥，求的值；（2）若|+|=1，求sinθ+cosθ的值．【解答】解：（1）∵=（sin（θ﹣π），1），=（sin（﹣θ），﹣），∥，∴﹣sin（θ﹣π）=sin（﹣θ），可得：sinθ=cosθ又∵θ为第一象限角，可得：tanθ=2，∴==5．（2）∵|+|=1，+=（cosθ﹣sinθ，），∴（cosθ﹣sinθ）2+（）2=1，解得：2sinθcosθ=，∴sinθ+cosθ==．17．（14分）某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m （万元）的关系有经验公式P=m+65，Q=76+4，今将150万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25万元．（1）设对乙产品投入资金x万元，求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；（2）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？【解答】解：（1）根据题意，对乙种商品投资x（万元），对甲种商品投资（150﹣x）（万元）（25≤x≤125）．所以y=（150﹣x）+65+76+4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）其定义域为[25，125]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）令t=，因为x∈[25，125]，所以t∈[5，5]，有y=﹣+203﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）所以当t=6时，即x=36时，y=203﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）max答：当甲商品投入114万元，乙商品投入36万元时，总利润最大为203万元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）18．（16分）已知函数y=sin（ωx+）（ω＞0）．（1）若ω=，求函数的单调增区间和对称中心；（2）函数的图象上有如图所示的A，B，C三点，且满足AB⊥BC．①求ω的值；②求函数在x∈[0，2）上的最大值，并求此时x的值．【解答】解：（1）ω=时，函数y=sin（x+），令﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈，解得：﹣3+8k≤x≤1+8k，k∈，∴函数y的单调增区间为[﹣3+8k，1+8k]，（k∈）；…（4分）令x+=kπ，k∈，解得x=﹣1+4k，k∈，∴函数y的对称中心为（﹣1+4k，0），（k∈）；…（8分）（2）①由图知：点B是函数图象的最高点，设B（xB，），设函数最小正周期为T，则A（xB ﹣，0），C（xB+，0）；∴=（，），=（，﹣），…（10分）由⊥，得•=T2﹣3=0，解得：T=4，∴ω==；…（12分）②由x∈[0，2]得x+∈[，]，∴sin（x+）∈[﹣，1]，∴函数y在[0，2]上的最大值为，…（14分）此时x+=+2kπ，k∈，则x=4k，k∈；又x∈[0，2]，∴x=．…（16分）19．（16分）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）证明：函数f（x）为奇函数；（2）判断并证明函数f（x）的单调性，再根据结论确定f（m2﹣m+1）+f（﹣）与0的大小关系；（3）是否存在实数k，使得函数f（x）在定义域[a，b]上的值域为[ke a，ke b]．若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：函数f（x）定义域为R，…（1分）对于任意的x∈R，都有f（﹣x）===﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数…（4分）（2）f（x）=在R上为增函数，理由如下：∵f′（x）=＞0恒成立，∴f（x）=在R上为增函数，…（7分）∵∴f（m2﹣m+1）≥f（﹣）=﹣f（），∴f（m2﹣m+1）+f（﹣）≥0…（10分）（3）∵f（x）为R上的增函数且函数f（x）在定义域[a，b]上的值域为[ke a，ke b]．∴k＞0且，=ke x在R上有两个不等实根；…（12分）令t=e x，t＞0且单调增，问题即为方程kt2+（k﹣1）t+1=0在（0，+∞）上有两个不等实根，设h（t）=kt2+（k﹣1）t+1，则，解得：0＜k＜3﹣2…（16分）20．（16分）设函数f（x）=|ax﹣x2|+2b（a，b∈R）．（1）当a=﹣2，b=﹣时，解方程f（2x）=0；（2）当b=0时，若不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a为常数，且函数f（x）在区间[0，2]上存在零点，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣2，b=﹣时，f（x）=|x2+2x|﹣15，所以方程即为：|2x（2x+2）|=15解得：2x=3或2x=﹣5（舍），所以x=；…（3分）（2）当b=0时，若不等式：x|a﹣x|≤2x在x∈[0，2]上恒成立；当x=0时，不等式恒成立，则a∈R；…（5分）当0＜x≤2时，则|a﹣x|≤2，在[0，22]上恒成立，即﹣2≤x﹣a≤2在（0，2]上恒成立，因为y=x﹣a在（0，2]上单调增，ymax =2﹣a，ymin=﹣a，则，解得：0≤a≤2；则实数a的取值范围为[0.2]；…（8分）（3）函数f（x）在[0，2]上存在零点，即方程x|a﹣x|=﹣2b在[0，2]上有解；设h（x）=当a≤0时，则h（x）=x2﹣ax，x∈[0，2]，且h（x）在[0，2]上单调增，所以h（x）min =h（0）=0，h（x）max=h（2）=4﹣2a，则当0≤﹣2b≤4﹣2a时，原方程有解，则a﹣2≤b≤0；…（10分）当a＞0时，h（x）=，h（x）在[0，]上单调增，在[]上单调减，在[a，+∞）上单调增；①当，即a≥4时，h（x）min =h（0）=0，h（x）max=h（2）=4﹣2a，则当则当0≤﹣2b≤2a﹣4时，原方程有解，则2﹣a≤b≤0；②当，即2≤a＜4时，h（x）min =h（0）=0，h（x）max=h（）=，则当0≤﹣2b≤时，原方程有解，则﹣；③当0＜a＜2时，h（x）min =h（0）=0，h（x）max=max{h（2），h（）=max{4﹣2a，}当，即当﹣4+4≤a＜2时，h（x）max=，则当0≤﹣2b≤时，原方程有解，则；当，即则0时，h（x）max=4﹣2a，则当0≤﹣2b≤4﹣2a时，原方程有解，则a﹣2≤b≤0；…（14分）综上，当0＜a＜﹣4+4时，实数b的取值范围为[a﹣2，0]；当﹣4+4≤a＜4时，实数b的取值范围为[]；当a≥4时，实数b的取值范围为[2﹣a，0]；。