概率论第一章小节

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(完整版)概率论第一章随机事件与概率

P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间：离散样本空间样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理

概率论第四讲--第一章小结

试别为0.3和0.35.现规定只要命中就被
验击毁.问: (1)火炮与坦克被击毁的概率分别为多
概少?
型 (2)火炮与坦克都不被击毁的概率为多少?
独 (二)独立试验概型
立 1.定义
性 (1)独立试验概型
与
将试验E独立重复进行n次,则称这n次
独试验为n次独立重复试验概型,简称独立试
立验概型.
独
第一章小结
立
基本概念：事件、概率、事件的独立性、独立重
试
复试验;
验基本运算：等可能概型;
概
常用公式：条件概率公式，全概率公式,Bayes 公式。
型
独
例3：有战士20名进行射击，其中15名优秀射手，
其命中概率为0.9，其余战士命中概率为0.7。今任抽
立一名射手后命中，问该射手属于优秀射手的概率。
k
P( X k ) Pn (m) Cnm pmqnm
试
m0
m0
验而事件A出现次数不少于k次的概率为
n
n
概
P( X k ) Pn (m) Cnm pmqnm
型
mk
mk
推论3 在k次独立重复试验中，事
件A至少出现一次的概率为
P( X 1) 1 (1 p)n
例4 某种产品的废品率为0.05,今抽
独取10件检验.求:其中恰有4件废品的概率.
立例5 有100件产品,其中有5件废品,今
试抽取10件检验.求:其中恰有4件废品的概率.
验例6 火炮对暴露的火力点射击,每次
概射击的命中率p=0.1,设摧毁目标仅需
型
命中一发.为使摧毁目标的概率不小于 0.8.问:至少需要进行几次独立射击.

概率论和数理统计知识总结之第一章

第一章概率论的基本概念确定性现象：在一定条件下必然发生的现象随机现象：在个别实验中其结果呈现出不确定性，在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象随机实验：具有下述三个特点的实验：1.可以在相同的条件下重复地进行2.每次实验的可能结果不止一个，且能事先明确实验的所有可能结果3.进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现样本空间：将随机实验E 的所有可能出现的结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S 样本点：样本空间的元素，即E 的每个结果，称为样本点样本空间的元素是由实验的目的所确定的。

随机事件：一般，我们称实验E 的样本空间S 的子集为E 的随机事件，简称事件在每次实验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。

基本事件：由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。

必然事件：样本空间S 包含所有的样本点，它是S 自身的子集，在每次实验中它总是发生的，称为必然事件。

不可能事件：空集Φ不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次实验中，称为不可能事件。

事件间的关系与运算：设实验E 的样本空间为S ，而A,B,k A （k=1,2,…)是S 的子集。

1.若B A ⊂，则称事件B 包含事件A ，这指的是事件A 发生必然导致事件B 发生。

若B A ⊂且A B ⊂,即A=B ，则称事件A 与事件B 相等。

2.事件{x B A =⋃｜A x ∈或}B x ∈称为事件A 与事件B 的和事件。

当且仅当A,B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生。

类似地，称nk U 1=k A 为事件,,21A A …n A ,的和事件；称k k A U ∞=1为可列个事件,,21A A …的和事件。

3.事件B A ⋂=x {｜A x ∈且}B x ∈称为事件A 与事件B 的积事件。

当且仅当A,B同时发生时，事件B A ⋂发生。

B A ⋂记作AB 。

类似地，称I nk k A 1=为n 个事件,,21A A …n A ,的积事件；称I ∞=1k k A 为可列个事件,,21A A …的积事件。

概率论与数理统计教程第1章

② 落在中的任一子区域A的概率，只与子区域的度量SA有关，而与子区域的位置无关 (等可能的).
则事件A的概率为: P(A)= SA /S
27 January 2020
第一章随机事件与概率
第5页
几何方法的例子
例1.2.3 蒲丰投针问题平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l 的针，求针与平行线相交的概率.
p0=1p1p2p3p4p5p6 p7 6499350 0.966515.
6724520
27 January 2020
第一章随机事件与概率
生日问题
第14页
求n 个人（n小于等于365）中至少有两人生日相同
的概率. 看成 n 个球放入 N=365个盒子中. P(至少两人生日相同)=1P(生日全不相同) 用盒子模型得：pn= P(至少两人生日相同)=
27 January 2020
第一章随机事件与概率
1.4.4 贝叶斯公式
第23页
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率；
贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
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第一章随机事件与概率
第24页
已知“结果” ，求“原因”
第30页
第一章随机事件与概率
第31页
例1.5.1 两射手独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率.
解: 设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所以解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B)
= 0.9+0.80.90.8 = 0.98.

《概率论与数理统计》第一章知识小结

附加知识：排列组合知识小结：一、计数原理1.加法原理：分类计数。

2.乘法原理：分步计数。

二、排列组合1.排列数（与顺序有关）：)(),1()2)(1(n m m n n n n A m n ≤+---= !n A nn =，n A A n n==10,1 如：25203456757=⨯⨯⨯⨯=A ，12012345!5=⨯⨯⨯⨯= 2.组合数(与顺序无关)：!m A C mn m n=，mn n m n C C -=如：3512344567!44747=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==A C ，2112672757757=⨯⨯===-C C C3.例题：（1）从1，2，3，4，5这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___6034535=⨯⨯=A ____种取法。

（2）从0，1，2，3，4这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___483442414=⨯⨯=A A ____种取法。

（3）有5名同学照毕业照，共有__1201234555=⨯⨯⨯⨯=A _种排法。

（4）有5名同学照毕业照，其中有两人要排在一起，那么共有_48)1234()12(4422=⨯⨯⨯⨯⨯=A A ___种排法。

（5）袋子里有8个球，从中任意取出3个，共有___38C ____种取法。

（6）袋子里有8个球，5个白球，3个红球。

从中任意取出3个，取到2个白球1个红球的方法有___1325C C ____种。

3887656321C ⨯⨯==⨯⨯第一章、基础知识小结一、随机事件的关系与运算 1.事件的包含设A ，B 为两个事件，若A 发生必然导致B 发生，则称事件B 包含于A ，记作B A ⊂。

2.和事件事件“A,B 中至少有一个发生”为事件A 与B 的和事件，记作B A 或B A +。

性质：（1）B A B B A A ⊂⊂, ；（2）若B A ⊂，则B B A =3.积事件：事件A,B 同时发生，为事件A 与事件B 的积事件，记作B A 或AB 。

概率论章节总结

第一章考核内容小结种类相加，步骤相乘排列（数）：从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数，记作或。

排列数的计算公式为：例如：（四）组合（数）：从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作或。

例如：=45组合数有性质（1），（2），（3）例如：（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生-------（2）A，B，C三事件都发生-------ABC（3）A，B，C三事件都不发生--------（4）A，B，C三事件不全发生---------（5）A，B，C三事件只有一个发生--------（6）A，B，C三事件中至少有一个发生-------A+B+C（1）A，B都发生且C不发生（2）A与B至少有一个发生而且C不发生（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生）（4）A，B，C中最多有一个发生（5）A，B，C中恰有两个发生（6）A，B，C中至少有两个发生）简记AB+AC+BC（7）A，B，C中最多有两个发生简记（一）了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式计算简单的古典概型的概率（二）知道事件的四种关系（1）包含：表示事件A发生则事件B必发生（2）相等：（3）互斥：与B互斥（4）对立：A与B对立AB=Φ，且A+B=Ω（三）知道事件的四种运算（1）事件的和（并）A+B表示A与B中至少有一个发生性质：（1）若，则A+B=A（2）且（2）事件积（交）AB表示A与B都发生性质：（1）若，则AB=B∴ΩB=B且（2）（3）事件的差：A-B表示A发生且B不发生∴，且A-B=A-AB（4）表示A不发生性质（四）运算关系的规律（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律（AB）C=A（BC）（3）A（B+C）=AB+AC叫分配律（A+B）（A+C）=A+BC（4）叫对偶律（五）掌握概率的计算公式（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）特别情形①A与B互斥时：P（A+B）=P（A）+P（B）②A与B独立时：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）③推广P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）（2）推广：因为，而，而BA 与明显不相容。

概率论第一章总结

第一章随机事件及其概率一、内容提要（一）．随机事件的概率1.随机试验：（i ）在相同的条件下可以重复进行；（ii ）试验有多种可能结果（iii ）所有可能结果可以明确，但试验前不能事先预知哪个结果出现。

记为E2.随机事件:与随机试验结果有关的命题, 简称事件.记为A,B,C……不可能事件和必然事件也视为为随机事件分别记为 φ和Ω.3.基本事件:按照试验的目的和要求所确定的随机试验E 的一个直接可能结果ω称为基本事件或样本点.4.样本空间(基本事件集):试验E 的所有样本点ω构成的集合称为E 的样本空间或基本事件集,记为Ω.即 Ω.={ω}（二）．随机事件的关系和运算1.事件的包含: 若事件A 发生必然导致B 发生.则称A 包含于B 记作 A ⊂B.2.事件的相等:对两个事件A,B.若A ⊂B.且B ⊂A.则称A 与B 相等.记作A=B3.事件的并：“事件A 与B 中至少有一个发生”的事件称为A 与B 的并（或和），记作A B 。

“n 个事件中至少有一个发生”的事件称为这个事件的并(或和).记作12....n A A A 简记为1n i i A =4.事件的差: “事件A 发生而B 不发生”的事件称为A 与B 的差记作A-B5.事件的交(积): “事件A 与B 都发生” 的事件称为A 与B 的交(积).记作A Bn 个事件12,...n AA A 都发生”的事件称为这个事件的交(或积).记作12...n A A A .6. 事件的互斥(互不相容):事件A 与事件B 不能同时发生,则称互斥.即AB φ=7. 事件的互逆(对立): 事件A 与事件B 必有一个发生,但不能同时发生,则称A 与B 互逆,记作A B =或B A = 即满足A B =Ω AB φ=8.完备事件组:若事件12,,,n A A A 必有一个发生,且12,,,n A A A 两两互不相容,即 12,n A A A =Ω ,且(, 1.2...,,)i j A A i j n i j φ==≠（三）．概率的概念1.概率的古典定义:设E 为古典概型,其样本空间Ω包含n 样本点,事件A 含k 样本点,则称k/n 为事件A 的概率,记作()/P A k n =2.概率的统计定义设在相同条件下重复进行同一试验,n 次试验中事件A 发生的次数为μ,如果随着试验次数的增大,事件A 发生的频率/n μ 仅在某个常数(01)p p << 附近有微小变化,则称数p 是事件A 的概率, 即()P A p =.3.概率的公理化定义设A 为随机事件, ()P A 为定义在所有随机事件组成的集合上的实函数且满足下列三条公理:公理1 对任一事件A,有0()1P A ≤≤公理2 ()1P Ω= ()0P φ=公理3.对于两两互斥的可数个随机事件12,,,n A A A ..., 有1212(......)()()...()...n n P A A A P A P A P A =++++ 则()P A 称为事件A 的概率.（四）．概率的性质1. ()1P Ω= ()0P φ=2. 对任意两个事件A ，B.有()()()()P A B P A P B P AB =+-若AB φ=,则()()()P A B P A P B =+3.对任意事件A,有()1(P A P A =-)4.对任意个事件12,,...,n A A A .有12(...)n P A A A 11()()n i i j i i j n P A P A A =≤<≤=-∑∑+1()i j k i j k n P A A A ≤<<≤∑-...+12(1)(...)n n P A A A -(-1)若i j A A φ= (,1,2...,)i j n i j =≠ 则121(...)()n n i i P A A A P A ==∑5.若B A ⊂,则()()()P A B P A P B -=-,且()()P A P B ≥（五）．条件概率、乘法公式1.条件概率设A ，B 为随机试验E 的两个事件。

概率论与数理统计第一章小结

1第一章随机事件及其概率一、几种概率1、统计概率2、古典概率NM A P =)(3、几何概率试验的总的几何度量所占的几何度量随机事件）（A A P =4、条件概率)()()|(B P AB P B A P =5、贝努利概率),1,0( )(n m q p C m P m n m mn n ==−2二、事件的关系及其概率)()( .1B P A P B A ≤⊂112. ()()()() ()i i i i AB P A B P A P B P A P A ϕ∞∞====+=∑∑∪（概率的可加性）3. ()()1AB A B P A B ϕ==Ω+=∪)()()(B P A P AB P =⇔4、事件A 与B 是相互独立3三、概率的公式1、加法公式)()()()(AB P B P A P B A P −+=∪2、乘法公式)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P ==3、全概率公式∑==ni i i B A P B P A P 1)|()()(4、贝叶斯公式∑==n i ii i i B A P B P B A P B P 1)|()()|()()()()|(A P AB P A B P i i =4从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A ={抽到K }, B ={抽到的牌是黑色的}可见, P (AB )=P (A )P (B )P (A )=4/52=1/13,说明事件A 、B 独立.问事件A 、B 是否独立？解：P (AB )=2/52=1/26P (B )=26/52=1/2)()()(B P A P AB P =⇔一、事件A 与B 是相互独立5请问：如图的两个事件是独立的吗？即: 若A 、B 互斥，且P (A )>0, P (B )>0,则A 与B 不独立.反之，若A 与B 独立，且P (A )>0,P (B )>0,则A 、B 不互斥.而P (A ) ≠0, P (B ) ≠0故A 、B 不独立P (AB )=0P (AB ) ≠P (A )P (B )即A B 二、独立与互斥的关系6Ω问：能否在样本空间中找两个事件,它们既相互独立又互斥?这两个事件就是A 和φP ( A) =P ( )P (A)=0φφ与A 独立且互斥φA φφ=不难发现，与任何事件都独立.φΩ前面我们看到独立与互斥的区别和联系.设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：1. P(B|A)>02. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=04. P(AB)=P(A)P(B)设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：1. P(B|A)>02. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=04. P(AB)=P(A)P(B)7三、多个事件的独立性将两事件独立的定义推广到三个事件：对于三个事件A、B、C，若P(AB)= P(A)P(B) 四个等式同时P(AC)= P(A)P(C) 成立,则称事件P(BC)= P(B)P(C) A、B、C相互P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 独立.89推广到n 个事件的独立性定义,可类似写出：包含等式总数为：1201)11(32−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n ≤≤≤设A 1,A 2, …,A n 是n 个事件，如果对任意k(1<k n ),任意1i 1<i 2< …<i k n ,具有等式则称A 1,A 2, …,A n 为相互独立的事件.)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =10例：同时抛掷两个均匀的正四面体，每一面标有号码1，2，3，4。

概率论第一章知识点总结

概率论第一章知识点总结
概率论第一章主要介绍了以下几个知识点：
1. 随机试验：指具有以下三个特征的试验：可以进行多次独立重复；每次试验只有两个可能结果中的一个发生；每次试验发生的概率相同。

2. 样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，通常用S表示。

3. 事件：样本空间的任意子集称为事件，通常用A、B等大写字母表示。

4. 概率：事件A发生的概率定义为P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A中元素的个数，n(S)表示样本空间中元素的个数。

5. 概率的性质：对于任意事件A和B，有以下性质：
(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(2) P(S) = 1
(3) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
(4) 若A和B互不相容（即A∩B=），则P(A∪B) = P(A) + P(B) 6. 条件概率：事件B在事件A发生的条件下发生的概率称为条件概率，记为P(B|A)，计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。

7. 乘法公式：对于任意事件A1，A2，…，An，有P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)…P(An|A1∩A2∩…∩An-1)。

8. 全概率公式和贝叶斯公式：全概率公式和贝叶斯公式是基于条件概率的重要公式，用于计算复杂事件的概率。

其中全概率公式为：
P(B) = Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)，贝叶斯公式为：P(Aj|B) = P(Aj)P(B|Aj)/Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)。

概率第一章

14
确定性现象两种现象随机现象
概率论就是研究随机现象的数学分支。概率论就是研究随机现象的数学分支
15
课时分配
第第第第第第第第合章一二三四五六七八计章章章章章章章章
学时
1
1
3
4
5
1
1
4
20
16
第一章预备知识
第一节：第一节：排列组合第二节：第二节：集合
概率论起源
公元1651年法国著名数学家帕斯卡1623-1662 年法国著名数学家帕斯卡公元收到法国大贵族德.美黑的一封信，信中请教美黑的一封信，了关于赌徒分赌金的问题：“两个赌徒向他提了关于赌徒分赌金的问题：出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半定谁先赢满局谁就获得全部赌金。赢了4局赢了3局时间很晚了，天，A赢了局，B赢了局，时间很晚了，他赢了赢了们都不想再赌下去了。此时赌博终止，们都不想再赌下去了。此时赌博终止，应该怎样分配赌本才算公平合理？样分配赌本才算公平合理？”
6
两张一定都是死，我命完也！
跟我斗，哼！这下你完了吧。哈哈…
死
死
7
那个奸臣一定写了两个“死”，不公平，我要上奏父皇。让我来写，驸马就有救了…
生
生
8
次日，公主和宰相力争主写权，次日，公主和宰相力争主写权，最终皇帝把此大权留给了自己… 终皇帝把此大权留给了自己你知道要是宰相写驸马会怎样？你知道要是宰相写驸马会怎样？你知道要是公主写驸马会怎样？你知道要是公主写驸马会怎样？你知道要是皇帝写驸马会怎样？你知道要是皇帝写驸马会怎样？

概率论与数理统计 --- 第一章{随机事件的概率} 第一节：随机事件

概率论
一个随机试验 E 的所有可能结果所组的集合
4. 样本点 (Sample Point)
样本空间中的元素 , 即 E 的每个结果 ,称为样本点 .
Ω
.
样本点ω
现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 .
概率论
例如, 试验是将一枚硬币抛掷两次, 观察正面H、反面T出现的情况: 则样本空间: Ω ={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} 第 1次 (H,H):
果事件 A 发生必然导致事件 B 发生， 1.子事件: 如
则称事件 B 包含事件 A ( 或称事件 A 是事件 B 的子事件 )
记作 :
A B 或 B A .
对于任何事件 A ,都有 SA .
二、随机事件(Events)
概率论
1. 试验 E 的样本空间的子集称为 E 的随机事件.
随机事件简称事件 , 常用 A ,B ,C 等表示 .
例如,在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
样本空间为 :S 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .
事件 A={掷出1点} 1 .
事件 B={掷出奇数点} 1 ,3 ,5
事件 C {出现的点数大于4} 5,6 .
概率论
2. 基本事件(Elementary Event): 由一个样本点组成的单点集. 例如,在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
事件 Ai ={掷出i点}, i =1,2,3,4,5,6
基本事件
概率论
从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东西. 他们没有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性.

概率论(01章)课件。

出现正面的次数m 出现正面的频率m/n
1061 2048 6019 12012 14994
0.518 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
频率和概率
频率的稳定性随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A 随机事件在相同条件下重复多次时，事件发在相同条件下重复多次时生的频率在一个固定的数值p附近摆动，生的频率在一个固定的数值附近摆动，随试验次数附近摆动的增加更加明显事件的概率事件A的频率稳定在数值，说明了数值p可以用事件的频率稳定在数值p，说明了数值可以用的频率稳定在数值来刻划事件Ａ发生可能性大小，可以规定为事件来刻划事件Ａ发生可能性大小，可以规定为事件A 的概率
概率的统计定义
对任意事件Ａ，在相同的条件下重复进行n 对任意事件Ａ，在相同的条件下重复进行Ａ，在相同的条件下重复进行次试验，事件Ａ次试验，事件Ａ发生的频率 m/n，随着试验次，数n的增大而稳定地在某个常数附近摆动那么称的增大而稳定地在某个常数 p为事件Ａ的概率，记为为事件Ａ的概率，为事件
随机试验：随机试验：抛掷两颗骰子
Rolling two die 随机试验抛掷两颗骰子，抛掷两颗骰子，观察出现的点数试验的样本点和基本事件
样本空间），（1，）（，），（），（1，），＝｛（1，1），（，2）,（1，3），（，4），，），（），（1，），，（6，），（），...，（），（6，（1，5），（，6），，（，1），（，，），（ 2），，（，6）｝．），...，（），，（6，）
样本空间写出下列事件的样本空间
E1: 射手向以一目标射击，记录射击的次数射手向以一目标射击，

第1章-概率论基本知识1

P ( X xk ) pk ,
x1 p1 x2 p2
… …
k 1, 2 ,...
… …
X pk
xk pk
分布列
常见离散型随机变量的分布
0-1分布若随机变量X只可能取0和1两个值，其概率分布为 P(X=1)= p，P(X=0)=1-p (0<p<1) 则称X服从参数为p的0-1分布。二项分布若随机变量X的概率分布为
3.右连续
F(x+0)=F(x)
1.2.3 离散型随机变量
离散型随机变量定义 1.6 如果随机变量X的全不可能取值只有有限多个或可列无穷多个，则称X为离散型随机变量。
定义 1.7 设 xk(k=1,2,…) 是离散型随机变量 X 所取的一切可能值，pk是X取值xk的概率，则称为离散型随机变量X的概率分布或分布律。
1 { X x} X x k k 1

{ X x} { X x} { X x}
{ x1 X x 2 } { X x 2 } { X x1 }
1.2.2 随机变量的分布函数设X是一个随机变量，称
F ( x ) P ( X x ),

x
则称X为连续型随机变量, f(x)称为X的概率密度函数,简称为概率密度或分布密度。
概率密度的性质
(1) f ( x ) 0;
(3) P ( a X b ) f ( x ) dx;
a
( 2) f ( x ) dx 1;

b
( 4 ) P ( X x ) 0;
•基本事件 •复合事件 •必然事件 •不可能事件
随机事件之间的关系

《概率论与数理统计》第一章知识点

第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。

2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。

二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。

（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。

2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。

1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。

2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。

一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。

3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。

用Ω表示。

样本空间是必然事件。

4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。

1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。

2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。

3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或。

4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。

5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。

概率论第一章总结

概率论与数理统计第一章总结1.随机事件在试验的结果中，可能发生也可能不发生的事件成为随机事件，通常用字母A ，B ，C 等表示。

在每次试验的结果中，如果某事件一定发生，则称为必然事件。

相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件。

2.样本空间随机试验的每一个可能的结果称为样本点，所有样本点组成的集合称为样本空间。

任一随机事件A 都是样本空间的一个子集，必然事件A 就等于样本空间，不可能事件是不包含任何样本点的空集，基本事件就是仅包含单个样本点的子集。

3.事件的关系及运算（1）事件的包含与相等：（2）事件的和(或并)：（3）事件的积(或交)：（4）事件的差：（5）互不相容事件：（6）对立事件：（7）事件满足以下运算规律：交换律，结合律，分配率，德摩根定律4.随机事件的频率与概率的定义及性质设随机事件A 在n 次试验中发生了a 次，则a/n 称为随机事件A 发生的频率。

概率的公理化定义：（1）非负性（2）规范性（3）有限可加性（4）可列可加性概率的重要性质：（1）（2）P (Φ)=0（3）若A 、B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )（4）A ⊂ B ，则 P (B －A )＝P (B )－P (A )（5）加法公式：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P(AB )5.古典概型两个特征：有限性，等可能性。

设在古典概型中，试验的基本事件的总数为N ，随机事件A 包含其中的M 个基本事件，则随机事件A 的概率为：P （A ）=M/N（生日模型，抽签模型，分配模型）6. 几何概型两个特征：无限性，等可能性。

（蒙特卡罗法）7. 条件概率与乘法公式A B 或B A⊂⊃ A B A B或+ AB A B 或A B-ΦAB = A A 与()1()P A P A =-条件概率若P(B)>0,乘法公式:P (AB )=P (B )P (A |B )P (A 1A 2…An )= P (A 1) P (A 2|A 1) P (A3| A 1A 2) P (A 4| A 1A 2A 3) …P (An | A 1A 2…An -1)(波利亚罐模型)8. 全概率公式与贝叶斯公式(1) 全概率公式：(全概率公式用来求较复杂事件的概率.)(敏感性问题调查)(2) 贝叶斯公式:(贝叶斯公式用来求后验概率)9.随机事件的独立性两两独立与相互独立的关系：相互独立一定两两独立，两两独立不一定相互独立多个事件相互独立的必要条件：10.伯努利概型若在试验E 的样本空间S 只有两个基本事件且每次试验中我们称这只有两个对立的试验结果的试验为伯努里试验。

概率论-第一章1.1-1.2小节

设A为随机事件,如果试验的结果ω属于A,则称
事件A发生.即
事件A发生
试验的结果 A
我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现。
随机事件与集合
样本空间 = { } ：全集
样本点：中的元素

A A

随机事件 A ：由具有某些特性的样本点所组成的样本空间的一个子集，即 A .
概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.
接下来，如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的.
问题
什么是随机试验?
凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验。
注：这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。
§1. 随机试验(Random Experiment)
定义随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间, 记为S={ω}
E的一个可能的结果,称为样本点(Sample point) 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件

S
随机试验的例子及其样本空间表示
E1:抛一枚硬币,观察正面H反面T的出现情况;
S1 H , T
E2:抛一枚硬币两次,观察正面H反面T的出现情况;
即每次试验一定不发生的事件.
例. 将一颗骰子抛掷若干次，直到掷出的点数之和超过 2 为止.
写出样本空间与事件A ={恰好抛掷骰子一次} .
解： = { 3 , 4 , 5 , 6 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 111 , 112 , 113 , 114 , 115 , 116 } A={3,4,5,6}

概率论第一章第一节

件作为元素所构成的集合，即集合族 F ，若F 满足以下三条：（1）F （F 包含必然事件）；
（2）任意AF ,有A （F F 对逆运算封闭）；
（3）任意AiF ,i=1,2…，则 Ai F （ F 对可列并运算封闭）。 i1
则称 F 为事件域（-代数），称（，F ）为可测空间。
联想：事件域函数的“定义域”
2024年8月31日7时9分
4. 事件的积
A B 或 AB
— A 与B 的积事件。
Ω A
B
A B 发生
A∩B
事件 A与事件B 同时
发生。 n
A1, A2,, An 的积事件 —— Ai，有限交
i 1
A1, A2,, An , 的积事件 —— Ai，可列交
i 1
2024年8月31日7时9分
5. 事件的差
n
n
Ai Ai
i1
i1
n
n
Ai Ai
i1
i1
运算顺序：逆积和差，括号优先。
2024年8月31日7时9分
B A
B A
2024年8月31日7时9分
分配律图示
C
A (BC)
(A B)(A C)
C
例2 用图示法简化 (A B)(A B). 其中AB
A (A B) B
(A B)
A
B
2024年8月31日7时9分
它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且
只可能发生一个基本事件。
单点集
7 必然事件——全体样本点组成的事件,记为 ,
每次试验必定发生的事件。全集
8 不可能事件——不包含任何样本点的事件,记为 , 每次试验必定不发生的事件。空集