离散数学等价关系和偏序关系共19页文档
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等价关系与偏序关系复习题答案
第5章 等价关系与偏序关系
一、选择题（每题3分）
1、设Z 为整数集，下面哪个序偶不够成偏序集（ A ）
A 、)(,小于关系：<><<Z
B 、)(,小于等于关系：≤>≤<Z
C 、,()Z
D D <>关系：整除 D 、,()Z M M <>关系：整倍数
2、序偶(),A ρ<>⊆必为（ B ）
A 、非偏序集
B 、偏序集
C 、线序集
D 、良序集
3、设≤小于等于关系：Z 为整数集，下面哪个序偶能够成良序集（ D ）
A 、,()R R +<>
≤：正实数集 B 、,()Q Q ++<≤>有理数集：正 C 、,()Z Z ++<≤>整数集：正 D 、,()N N <≤>：自然数集
4、设{,{1},{1,3},{1,2,3}}A =∅，则A 上包含关系“⊆”的哈斯图为（ C ）
5、集合{ 1, 2, 3,4 }A =上的偏序关系图为
则它的哈斯图为（ A ）
6、某人有三个儿子，组成集合123{ , , }A S S S =，则在A 上的兄弟关系一定不是（ D ）
A 、偏序关系
B 、线序关系
C 、良序关系
D 、等价关系
7、有一个人群集合12{ , ,
, }n A P P P =，则在A 上的同事关系一定是（ D ） A 、偏序关系 B 、线序关系 C 、良序关系 D 、等价关系
8、设A 为非空集合，则下列A 上的二元关系中为等价关系的是（ D ）
A 、空关系
B 、全域关系
C 、恒等关系
离散数学___等价关系与偏序关系
（2）当(a,b) ∈R时有(b,a) ∈R，所以满足对称性；
（3）当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时有(a,c) ∈R，所以R是可传递的。
由此可得同姓氏关系 R是等价关系。
3
又如设集合A的情况同上所述
若令集合A={a ,b ,c , d ,e , f } 20 22
其中a ,b,c,d都是20岁，e,f都是22岁。 如果年龄相同的大学生认为是相关的，那么 “同年龄”关系R 是 等价关系。 （1）因为每一个大学生都和自已是同年龄的，所以满足自反性；
。
14
又如设集合A ={a ,b ,c , d ,e , f ,g}其中a ,b ,c , d ,e , f ,g分别表
示7位大学生，且a ,b都是20岁， c,d都是22岁， e,f都是24岁， g是25岁。R是A的同年龄关系，写出 A中各元素关于R的等 价类。
显然[a]R={a,b} [c]R={c,d}
（2）当(a,b) ∈R时有(b,a) ∈R，所以满足对称性；
（3）当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时有(a,c) ∈R，所以R是可传递的。
由此可得同房间关系 R是等价关系。
5
由上述3个例子可知那种同姓氏、同房间、同年龄的关系都是 等价关系。 由此可知等价关系所具有的重要特性。 如果抽象地讨论，对集合A中的元素按照某种特性分成几个组， 每个元素只属于一个组（如按年龄分组，即同年龄人在同一组 内；或按姓氏分组，即同姓人在同一组内），并且定义在同一 组内的元素是相关的，而不在同一组内的元素是不相关的，那
（3）当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时有(a,c) ∈R，所以R是可传递的。
由此可得同姓氏关系 R是等价关系。
3
又如设集合A的情况同上所述
若令集合A={a ,b ,c , d ,e , f } 20 22
其中a ,b,c,d都是20岁，e,f都是22岁。 如果年龄相同的大学生认为是相关的，那么 “同年龄”关系R 是 等价关系。 （1）因为每一个大学生都和自已是同年龄的，所以满足自反性；
。
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又如设集合A ={a ,b ,c , d ,e , f ,g}其中a ,b ,c , d ,e , f ,g分别表
示7位大学生，且a ,b都是20岁， c,d都是22岁， e,f都是24岁， g是25岁。R是A的同年龄关系，写出 A中各元素关于R的等 价类。
显然[a]R={a,b} [c]R={c,d}
（2）当(a,b) ∈R时有(b,a) ∈R，所以满足对称性；
（3）当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时有(a,c) ∈R，所以R是可传递的。
由此可得同房间关系 R是等价关系。
5
由上述3个例子可知那种同姓氏、同房间、同年龄的关系都是 等价关系。 由此可知等价关系所具有的重要特性。 如果抽象地讨论，对集合A中的元素按照某种特性分成几个组， 每个元素只属于一个组（如按年龄分组，即同年龄人在同一组 内；或按姓氏分组，即同姓人在同一组内），并且定义在同一 组内的元素是相关的，而不在同一组内的元素是不相关的，那
离散数学中的关系
离散数学中的关系
离散数学中的关系指的是集合之间元素的联系或对应关系。这种关系可以描述为有序对的集合，其中每个有序对都由一对元素组成。在离散数学中常见的关系包括等价关系、偏序关系、全序关系等。
等价关系是一种自反、对称和传递的关系，即元素之间具有相等的性质。例如，集合中两个元素的相等关系就是一种等价关系。
偏序关系是一种自反、反对称和传递的关系，即对元素之间存在一种偏序或排序关系。例如，在集合中，可以通过元素之间的比较来确定它们的顺序关系。
全序关系是一种偏序关系，它不仅是自反、反对称和传递的，还具有完备性，即对于集合中任意两个元素，它们之间必定存在一种顺序关系。
离散数学中还有其他类型的关系，如函数关系、包含关系等。函数关系是一种特殊的关系，它对于集合中的每个元素，都存在唯一的映射元素。包含关系则描述了两个集合之间的包含或包含于关系。
通过对这些关系的研究和分析，可以帮助理解和解决离散数学中的问题。同时，关系的性质和特征也为其他学科如计算机科学、逻辑学等提供了基础。
离散数学及其应用 第2版课件第4章 关系
定义4.6 令R为二元关系，DR＝{x|y(xRy)}和RR＝ {y|x(xRy)}分别称为R的定义域(或前域)和值域。关系R的域记 为FR＝DR∪RR。
例如，设H＝{<1，2>，<1，4>，<2，4>，<3，4>}是一个 二元关系，则DH＝{1，2，3}，RH＝{2，4}，FR＝{1，2，3，4}。
例1 设A＝{1，2，3}，B＝{a，b}，R＝{<1，a>，<2，b>，<3， b>}和S＝{<1，a>，<2，a>}是A到B的两个二元关系，求它们的并、 交、差、补。
解 R∪S＝{<1，a>，<2，a>，<2，b>，<3，b>} R∩S＝{<1，a>} R－S＝{<2，b>，<3，b>} A×B＝{<1，a>，<1，b>，<2，a>，<2，b>，<3，a>，<3，b>} R ＝A×B－R＝{<1，b>，<2，a>，<3，a>} R ＝A×B－S＝{<1，b>，<2，b>，<3，a>，<3，b>} 前面有关集合的公式在关系中同样适用。
2021/4/1
例如，设H＝{<1，2>，<1，4>，<2，4>，<3，4>}是一个 二元关系，则DH＝{1，2，3}，RH＝{2，4}，FR＝{1，2，3，4}。
例1 设A＝{1，2，3}，B＝{a，b}，R＝{<1，a>，<2，b>，<3， b>}和S＝{<1，a>，<2，a>}是A到B的两个二元关系，求它们的并、 交、差、补。
解 R∪S＝{<1，a>，<2，a>，<2，b>，<3，b>} R∩S＝{<1，a>} R－S＝{<2，b>，<3，b>} A×B＝{<1，a>，<1，b>，<2，a>，<2，b>，<3，a>，<3，b>} R ＝A×B－R＝{<1，b>，<2，a>，<3，a>} R ＝A×B－S＝{<1，b>，<2，b>，<3，a>，<3，b>} 前面有关集合的公式在关系中同样适用。
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离散数学-关系-4.1-2
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4.1.1 有序对与笛卡尔集
笛卡儿积的性质
(1) 若A= 或 B=，则 AB=. 即 A=B= (2) 若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn (3) 不适合交换律 AB BA (AB, A, B) (4) 不适合结合律 (AB)C A(BC) (A, B, C) (5) 对于并或交运算满足分配律 A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA)
4.1.2 二元关系的定义
A上重要关系的实例
设A为任意集合， 是A上的关系，称为空关系 定义 4.6 EA, IA分别称为全域关系与恒等关系，其中 EA={<x,y> | x∈A y∈A}=A×A IA={<x,x> | x∈A} 例如 A={1,2}, 则 EA= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA= {<1,1>,<2,2>} .
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ M R MS = = ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 故：R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} 求： S∘R？
4.1.1 有序对与笛卡尔集
笛卡儿积的性质
(1) 若A= 或 B=，则 AB=. 即 A=B= (2) 若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn (3) 不适合交换律 AB BA (AB, A, B) (4) 不适合结合律 (AB)C A(BC) (A, B, C) (5) 对于并或交运算满足分配律 A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA)
4.1.2 二元关系的定义
A上重要关系的实例
设A为任意集合， 是A上的关系，称为空关系 定义 4.6 EA, IA分别称为全域关系与恒等关系，其中 EA={<x,y> | x∈A y∈A}=A×A IA={<x,x> | x∈A} 例如 A={1,2}, 则 EA= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA= {<1,1>,<2,2>} .
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ M R MS = = ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 故：R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} 求： S∘R？
离散数学4.4-等价和偏序关系
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4.4.4 偏序关系
相关概念（续）
定义4.25 全序 R为非空集合A上的偏序, x, yA, x与y 都可比，则称R为全序关系，简称为全序（或线序）. 实例： (1) 数集上的小于或等于关系是全序关系？ （自反 ？ 反对称 ？ 传递 ？ 可比 ？）
(2) 整除关系是正整数集合上的全序关系？
4.4.3 集合的划分
求证：有A的划分 ={A1, A2, …, Ak}，则 R={<x, y>|xAi yAi, i=1, 2, …k}= 是一个等价关系，其商集即。 证：由笛卡尔积的定义，知
������ ������=������ ������������
× ������������
������∈������
������ ������ ������
再证������
������∈������
Leabharlann Baidu
������
������
∀������ ∈ ������, 有������ ∈ ������
������
{������} ������ ������
������∈������
������
y矛盾
9
4.4.2 等价类与商集
性质的证明（续）
(4)
先证
������∈������
������ = ������，即所有等价类的并集就是A
离散数学等价关系与偏序关系
2021/10/10
3
集合与图论
等价关系的关系图
例5：设 A={1, 2, …, 8}, 如下定义 A上的关系R： R={(x,y)| x,yA∧x≡y (mod 3)}
R 的关系图如下：
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4
集合与图论
等价类的定义
定义2 设R是X上的一个等价关系，xX，X的 子集Ex={yyX且xRy}称为x关于R的等价类，或简 记为x的等价类。
哈斯图实例
例4：({ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, R整除) (P({a, b, c}), R)
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集合与图论
哈斯图实例
例5：已知偏序集(A,R)的哈斯图如下图所示， 试 求出集合A和关系R的表达式。
A={a, b, c, d, e, f, g, h} R={(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),
(N,)是一个偏序集。
设≤是X上的偏序关系，则≤的逆≤-1也是X上的偏 序关系，以后用“≥”表示≤的逆关系，并读成“大 于或等于”。
若x≥y且xy，则简记为x>y。
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17
集合与图论 全序关系与全序集
定义3 集合X上的偏序关系叫做全序关系，如果 x,yX，xy与yx至少有一个成立。全序关系也称为 线性序关系。X与全序关系≤构成的二元组(X,≤)称为全 序集。
离散数学等价关系与偏序关系
11
例题
例1 设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：
π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} }
是π. 称为由划分π所诱导的等价关系。
例2 给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系 求解思路：先做出A的所有划分, 然后根据划分写 出对应的等价关系.
13
等价关系与划分之间的对应
2 13
1
2 13
2
2 13
3
2 13
4
2 13
5
π1对应于全域关系 EA，π5 对应于恒等关系 IA
π2,π3和π3分别对应等价关系 R2, R3 和 R4.
关系性质判别
定义
条件 关系 矩阵
自反
反自反
对称
反对称
x(x∈A→<x x(x∈A→
,x>R)
<x,x>R)
xy(x,y∈A∧ <x,y>∈R→<y,x >∈R)
xy(x,y∈A ∧<x,y>∈R∧ <y,x>∈R→x=
例题
例1 设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：
π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} }
是π. 称为由划分π所诱导的等价关系。
例2 给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系 求解思路：先做出A的所有划分, 然后根据划分写 出对应的等价关系.
13
等价关系与划分之间的对应
2 13
1
2 13
2
2 13
3
2 13
4
2 13
5
π1对应于全域关系 EA，π5 对应于恒等关系 IA
π2,π3和π3分别对应等价关系 R2, R3 和 R4.
关系性质判别
定义
条件 关系 矩阵
自反
反自反
对称
反对称
x(x∈A→<x x(x∈A→
,x>R)
<x,x>R)
xy(x,y∈A∧ <x,y>∈R→<y,x >∈R)
xy(x,y∈A ∧<x,y>∈R∧ <y,x>∈R→x=
《离散数学课件》7偏序关系
d c b
a
({ a, b, c, d }, ≺) 链
({ a, d, e }, ≺) 链
e ({ b, e }, ≺)
反链
({ c, e }, ≺) 反链
全序集
设(A，≺)是一个偏序集， 如果它本身就是一条链， 那么称之为全序集，并称≺ 为全序关系。
例 A={ a, b, c, d, e} d c e b
{4,6}, {0,3,6}, {1,5,8}, {0,3,4,6} }
R是A上的一个偏序关系: 对于任意的x,y∊A，(x,y) ∊R当且仅当x⊆y。
{0,3,4,6}
{1,5,8}
{0,3,6}
{1,5}
{1,2} {3.6}
{4,6}
{1} {2}
{3} {4}
哈斯图实例
例 已知偏序集<A,R> 的哈斯图如右图所示, 试求出集合A和关系 R的表达式.
一个偏序集，通常用符号(A，≺)来表示。
注意
偏序关系“a小于等于b”，并不意味着平时 意义上的a小于等于b。
一个集合上可以定义不同的偏序关系，得到 不同的偏序集。
还要说明一下，一个偏序集(A，≺ )，包含集 合A与集合A上的偏序关系≺。 不允许x∊(A，≺)出现， 而仅有x∊A，（x，y）∊≺。 即谈到元素是从A中取，讲到关系是在 ≺中 取。
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清华大学离散数学ppt
7
性质的证明（续）
(4) 先证 [x] A. 任取y, xA y∈ [x] x (x∈A∧y∈[x]) xA
y∈[x]∧[x]A y∈A
从而有 [x] A . xA
再证A [x]. 任取y,
xA
y∈A
y∈[y]∧y∈A
y∈
[x] xA
从而有A [x]成立. 综上所述得
[x] A
例3 设A＝{a, b, c, d}, 给定 1, 2, 3, 4, 5, 6如下：
1={{a, b, c},{d}}， 2={{a, b},{c},{d}}
3={{a},{a, b, c, d}}， 4={{a, b},{c}}
5={,{a, b},{c, d}}， 6={{a,{a}},{b, c, d}}
x,y,z∈A, 若x≡y(mod 3), y≡z(mod 3), 则有
x≡z(mod 3)
2
模3等价关系的关系图
设 A={1, 2, …, 8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y (mod 3) }
R 的关系图如下：
3
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性质的证明（续）
(4) 先证 [x] A. 任取y, xA y∈ [x] x (x∈A∧y∈[x]) xA
y∈[x]∧[x]A y∈A
从而有 [x] A . xA
再证A [x]. 任取y,
xA
y∈A
y∈[y]∧y∈A
y∈
[x] xA
从而有A [x]成立. 综上所述得
[x] A
例3 设A＝{a, b, c, d}, 给定 1, 2, 3, 4, 5, 6如下：
1={{a, b, c},{d}}， 2={{a, b},{c},{d}}
3={{a},{a, b, c, d}}， 4={{a, b},{c}}
5={,{a, b},{c, d}}， 6={{a,{a}},{b, c, d}}
x,y,z∈A, 若x≡y(mod 3), y≡z(mod 3), 则有
x≡z(mod 3)
2
模3等价关系的关系图
设 A={1, 2, …, 8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y (mod 3) }
R 的关系图如下：
3
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离散数学(第13讲)二元关系
4 5 2 1
11
6 3
)是偏序集 是偏序集， 定义 设(A, )是偏序集，B⊆A (3)若存在元素b x， (3)若存在元素b∈B，∀x∈B，如b x，则x＝b，称b为B 若存在元素 极大元。 的极大元。 (4)若存在元素b b， (4)若存在元素b∈B，∀x∈B，如x b，则x＝b，称b为B 若存在元素 极小元。 的极小元。
解：根据哈斯图，有：A＝{a,b,c,d,e,f,g,h} 根据哈斯图， =ΙA ∪ {<a,c>,<c,e>, <a,e>, <b,c>,<b,e>, <a,d>, <d,e>,
<b,d>, <f,g>}
8
3、最大元、最小元、极大元、极小元 最大元、最小元、极大元、 )是偏序集 集合B 是偏序集， (B是 定义 设(A, )是偏序集，集合B⊆A，(B是A的 子集) 子集)。 如存在元素b 使得∀ 均有x (1). 如存在元素b∈B，使得∀x∈B，均有x 则称b 最大元。 b，则称b为B的最大元。 如存在元素b 使得∀ 均有b (2). 如存在元素b∈B，使得∀x∈B，均有b 则称b 最小元。 x，则称b为B的最小元。
15
A={1,2,3,4,5,6,8,12,15,24,30,60,120}， 例 A={1,2,3,4,5,6,8,12,15,24,30,60,120}， R)是一个偏序集 是一个偏序集。 R是整除关系。则(A, R)是一个偏序集。 是整除关系。 哈斯图为： 哈斯图为：
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6 3
)是偏序集 是偏序集， 定义 设(A, )是偏序集，B⊆A (3)若存在元素b x， (3)若存在元素b∈B，∀x∈B，如b x，则x＝b，称b为B 若存在元素 极大元。 的极大元。 (4)若存在元素b b， (4)若存在元素b∈B，∀x∈B，如x b，则x＝b，称b为B 若存在元素 极小元。 的极小元。
解：根据哈斯图，有：A＝{a,b,c,d,e,f,g,h} 根据哈斯图， =ΙA ∪ {<a,c>,<c,e>, <a,e>, <b,c>,<b,e>, <a,d>, <d,e>,
<b,d>, <f,g>}
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3、最大元、最小元、极大元、极小元 最大元、最小元、极大元、 )是偏序集 集合B 是偏序集， (B是 定义 设(A, )是偏序集，集合B⊆A，(B是A的 子集) 子集)。 如存在元素b 使得∀ 均有x (1). 如存在元素b∈B，使得∀x∈B，均有x 则称b 最大元。 b，则称b为B的最大元。 如存在元素b 使得∀ 均有b (2). 如存在元素b∈B，使得∀x∈B，均有b 则称b 最小元。 x，则称b为B的最小元。
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A={1,2,3,4,5,6,8,12,15,24,30,60,120}， 例 A={1,2,3,4,5,6,8,12,15,24,30,60,120}， R)是一个偏序集 是一个偏序集。 R是整除关系。则(A, R)是一个偏序集。 是整除关系。 哈斯图为： 哈斯图为：
离散数学第三章
第三章集合与关系
3.等价类性质 R是A上等价关系，任意a,b,c∈A
⑴同一个等价类中的元素，彼此有等价关系R。 即任意x,y∈[a]R，必有<x,y>∈R
证明：任取x,y∈[a]R，由等价类定义得，<a,x>∈R, <a,y>∈R ,由R对称得，<x,a>∈R，又由R传递得
<x,y>∈R。 ⑵ [a]R∩[b]R=Φ， 当且仅当 <a,b>R。 证明:(充分性)设<a,b>R，假设[a]R∩[b]R≠Φ,则存在
例子，集合A={1,2,3,4,5,6,7}, R是A上的模3同
余关系，即
R={<x,y>|x-y可被3整除(或x/3与y/3的余数相同)}
第三章集合与关系
即<x,y>∈R x(mod 3)=y(mod3)
例如 4(mod 3)=7(mod3) 3(mod 3)=6(mod3)
R={<1,1>,<1,4>, <1,7>,<2,2>,<2,5>,<3,3>,<3,6>,
除关系，其关系图如右图，显然 ≤是自反、反对称和传递的，即
2。
。 4
它是个偏序关系。
2. x与y是可比较的：<A,≤>是偏序集，x,y∈A，如果要
离散数学(3.12序关系)
3 ．下列关系哪一个是自反的、对称的、反对称的或可传 递的？ 〈1〉当且仅当n1n2<8(n1,n2∈N)时,有n1ρ n2 〈2〉当且仅当r1≤ | r2| (r1,r2∈R)时,有r1ρ r2 解〈1〉ρ 不是自反的，如4∈N，但4· 4=16>8。
ρ 是对称的，因为 对于任意的 n1, n2∈N，若有 n1n2< 8， 则 n 2n 1 = n1n 2 < 8 。 ρ不是反对称的，例，2· 3<8，3· 2<8，但3≠2. ρ 不是可传递的，例如，3· 2<8，2· 3<8，但3· 3=9>8。
〈3〉若ρ 1和ρ 2是对称的，则ρ 1· ρ 2也是对称的；
〈4〉若ρ 1和ρ 2是反对称的，则ρ 1· ρ 2也是反对称的；
3.7 集合的划分与覆盖(Partition & Cover of Sets)
3.8 等价关系(Equivalent Relations) 3.9 相容关系(Compatibility Relations)
3.10 序关系(Ordered Relations)
第三章 集合与关系(Sets & Relations) 3.10 序关系(Ordered
离散数学(Discrete Mathematics)
张捷
1
第三章
集合与关系
（Sets and Relations)
离散数学-3-12序关系.ppt
17
四．最大元和最小元
集合A＝{1,2,3,4,5,6}, 上的整除关系，其哈斯图 如右图所示：当B＝A时， 极大元为 4,5,6 ，
5
4
6
2 1
3
极小元为 最大元为 最小元为
1
无
， ， 。
18
1
五．上界与下界
P144 定义3-12.7 设＜A，＞为偏序集，BA， 若有aA且对B的任意元素x有xa，称a为子集B的 上界， 同样的，对B的任意元素x有ax，则称a为B的下界。
25
六．良序集
P144 定义3-12.9：任一偏序集，如果它的每个非空子集 存在最小元，这种偏序集称良序集。 例如:自然数集N对于小于等于关系是良序集。 整数集上的小于等于关系是不是良序集 ？
定理3-12.2 每一个良序集，一定为全序集。 证明：设＜A，＞为良序集，对任x, yA构成子集{x, y}， 其最小元不是x，就是y，即一定有xy或yx。故＜A，＞ 为全序集。但是一个全序集，并一定是良序集。 例如：大于0小于1的全部实数，按其大小次序显然构成一 个全序集，但不是良序集，集合本身就不存在最小元。 但容易证明以下定理
{a,b,c,Fra Baidu bibliotek}
{a,b } {a }
(全序关系的哈斯图呈现一直线段-链。)
10
请问下列偏序关系是不是全序关系？为什么？
四．最大元和最小元
集合A＝{1,2,3,4,5,6}, 上的整除关系，其哈斯图 如右图所示：当B＝A时， 极大元为 4,5,6 ，
5
4
6
2 1
3
极小元为 最大元为 最小元为
1
无
， ， 。
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1
五．上界与下界
P144 定义3-12.7 设＜A，＞为偏序集，BA， 若有aA且对B的任意元素x有xa，称a为子集B的 上界， 同样的，对B的任意元素x有ax，则称a为B的下界。
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六．良序集
P144 定义3-12.9：任一偏序集，如果它的每个非空子集 存在最小元，这种偏序集称良序集。 例如:自然数集N对于小于等于关系是良序集。 整数集上的小于等于关系是不是良序集 ？
定理3-12.2 每一个良序集，一定为全序集。 证明：设＜A，＞为良序集，对任x, yA构成子集{x, y}， 其最小元不是x，就是y，即一定有xy或yx。故＜A，＞ 为全序集。但是一个全序集，并一定是良序集。 例如：大于0小于1的全部实数，按其大小次序显然构成一 个全序集，但不是良序集，集合本身就不存在最小元。 但容易证明以下定理
{a,b,c,Fra Baidu bibliotek}
{a,b } {a }
(全序关系的哈斯图呈现一直线段-链。)
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请问下列偏序关系是不是全序关系？为什么？
《离散数学课件》7偏序关系
设R为非空集合A上的偏序关系, x, y∈A, 如 果 x ≺ y且不存在 zA 使得 x ≺ z ≺ y, 则称 y 覆盖x.
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A={1, 2, 3, 4} ≺={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (1,3), (1,4), (2,4)}
显然 2覆盖1 3覆盖1 4覆盖2，但4不覆盖1
极小元：a, b, c, g； 极大元：a, f, h； 没有最小元与最大元. B无下界和下确界,
上界有d 和 f, 上确界为 d.
36
小结 偏序关系
偏序关系（自反、反对称、传递） 哈斯图
画法 从图写出关系
特定元素
极大、极小元与最大、最小元 上界、下界与上、下确界
37
B的最大下界 或 下确界.
34/49
例 给出如图所示的偏 序集。
◆ {b，d}的上界是h和f
h
下界是a；
e
f
g
上确界是f，下确界是a。b c
d
a
1、B中的元素向上走共同能到达的即为上界， 上界中的最大元即为上确界；
2、B中元素向下走共同能到达的为下界， 下界中的最小元即为下确界。
35/49
实例
例 设偏序集<A,≼>如下图所示，求 A 的极小元、最 小元、极大元、最大元. 设 B＝{b,c,d}, 求 B 的下界、 上界、下确界、上确界.
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A={1, 2, 3, 4} ≺={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (1,3), (1,4), (2,4)}
显然 2覆盖1 3覆盖1 4覆盖2，但4不覆盖1
极小元：a, b, c, g； 极大元：a, f, h； 没有最小元与最大元. B无下界和下确界,
上界有d 和 f, 上确界为 d.
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小结 偏序关系
偏序关系（自反、反对称、传递） 哈斯图
画法 从图写出关系
特定元素
极大、极小元与最大、最小元 上界、下界与上、下确界
37
B的最大下界 或 下确界.
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例 给出如图所示的偏 序集。
◆ {b，d}的上界是h和f
h
下界是a；
e
f
g
上确界是f，下确界是a。b c
d
a
1、B中的元素向上走共同能到达的即为上界， 上界中的最大元即为上确界；
2、B中元素向下走共同能到达的为下界， 下界中的最小元即为下确界。
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实例
例 设偏序集<A,≼>如下图所示，求 A 的极小元、最 小元、极大元、最大元. 设 B＝{b,c,d}, 求 B 的下界、 上界、下确界、上确界.
《离散数学》7偏序关系
显然
2覆盖1 3覆盖1 4覆盖2，但4不覆盖1
4
2
3
1
哈斯图
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二、哈斯图（Hasse Diagram)
设(A，≺ )是一个偏序集， A是一个有限集，|A|=n。 可以用一个图形来表示偏序集（A，≺）， 这个图形有 n个顶点，每一个顶点表示A中 一个元素， 两个顶点 x与y，若有y覆盖x，则点x在点y 的下方，且两点之间有一条直线相连结。
一个集合上可以定义不同的偏序关系，得到 不同的偏序集。
还要说明一下，一个偏序集(A，≺ )，包含 集合A与集合A上的偏序关系≺。
不允许x∊(A，≺)出现，
而仅有x∊A，（x，y）∊≺。
即谈到元素是从A中取，讲到关系是在 ≺中 取。
10
覆盖
设(A，≺ )是一个偏序集， A是一个有限集， |A|=n。对于任意的x，y∊A，且x≠y，
x≥y。 可以证明 S’是R上的一个偏序关
集合系A上。的恒等关系 IA 是A上的偏序关系.
8
关于记号 ≺
对于一个偏序关系，往往用记号“≺”来表示。 若(a，b) ∊ ≺，记为a ≺ b，读做“ a小于等于 b”。
一个偏序集，通常用符号(A，≺)来表示。
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注意
偏序关系“a小于等于b”，并不意味着平时 意义上的a小于等于b。
2
一、偏序关系
例 在实数集R上定义二元关系S， 对于任意的x, y∊R，
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