黑龙江省哈师大附中2017届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析

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黑龙江省哈师大附中高三数学上学期第一次月考试卷理(含解析)

黑龙江省哈师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一．选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）集合B={x||x﹣1|＜3}，则A∩B=（）A．（﹣2，﹣1）B．[1，4）C．（﹣2，﹣1）∪[1，4）D．（﹣2，4）2．（5分）下列函数在（1，+∞）上为增函数的是（）A．y=﹣|x﹣1| B．y=x+C．y=D．y=x（2﹣x）3．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=24．（5分）已知点P在角的终边上，且|OP|=4，则P点的坐标为（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=（x≥3）的值域是（）A．（0，1] B．[﹣1，0）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1] 6．（5分）设a=log0.34，b=log0.30.2，（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a7．（5分）已知偶函数f（x）满足f（﹣1）=0，且在区间[0，+∞）上为减函数，不等式f（log2x）＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．D．8．（5分）已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0），若，，则ω的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．89．（5分）已知sinθ+cosθ=，则tan2θ值为（）A．B．C．D．10．（5分）f（x），g（x）都是定义在R上且不恒为0的函数，下列说法不正确的是（）A．若f（x）为奇函数，则y=|f（x）|为偶函数B．若f（x）为偶函数，则y=﹣f（﹣x）为奇函数C．若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则 y=f[g（x）]为偶函数D．若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则y=f（x）+g（x）非奇非偶11．（5分）已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如下，则f（x）的解析式为（）A．B．C．D．12．（5分）函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k的零点有2个，则k的取值范围（）A．（1，2] B．（0，1] C．（1，3] D．（1，+∞）二．填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）=．14．（5分）在△ABC中，，则cosC=．15．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足 f（2x）=2f（x），当x∈[1，2）时，f （x）=x2，则 f（10）=．16．（5分）定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），若方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是．三．解答题：（共70分）17．（10分）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．19．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1，x∈R（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．20．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD 交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）是奇函数，f（x）的定义域为（﹣∞，+∞）．当x＜0时，f（x）=．（e为自然对数的底数）．（1）若函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx，（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）=log4（a•2x﹣a）有且只有一个根，求实数a的取值范围．黑龙江省哈师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）集合B={x||x﹣1|＜3}，则A∩B=（）A．（﹣2，﹣1）B．[1，4）C．（﹣2，﹣1）∪[1，4）D．（﹣2，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求解分式不等式化简集合A，求解绝对值的不等式化简集合B，然后直接利用交集运算得答案．解答：解：由，得x＜﹣1或x≥1．∴={x|x＜﹣1或x≥1}．B={x||x﹣1|＜3}={x|﹣2＜x＜4}，则A∩B=（﹣2，﹣1）∪[1，4）．故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，是基础题．2．（5分）下列函数在（1，+∞）上为增函数的是（）A．y=﹣|x﹣1| B．y=x+C．y=D．y=x（2﹣x）考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：举反例说明A，B在（1，+∞）上不是增函数，由二次函数的性质说明y=x（2﹣x）在（1，+∞）上不是增函数，利用函数单调性的定义证明函数y=在（1，+∞）上为增函数．解答：解：对于函数y=f（x）=﹣|x﹣1|，∵f（2）=﹣1，f（3）=﹣2，f（3）＜f（2），∴y=﹣|x﹣1|在（1，+∞）上不是增函数；对于y=f（x）=x+，∵f（）=，f（）=，f（）＜（），∴y=x+在（1，+∞）上不是增函数；对于y=x（2﹣x）=﹣x2+2x，图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x=1，在（1，+∞）上为减函数；对于y=，在（1，+∞）上任取两个实数x1，x2，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==．∵x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，∴＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．∴y=在（1，+∞）上为增函数．故选：C．点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，关键是掌握单调性证明的步骤，是基础题．3．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=2考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据指数函数的值域，得到A项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B 项不正确；根据对数的定义与运算，得到C项正确；根据正弦函数y=tanx的值域，得D项正确．由此可得本题的答案．解答：解：∵指数函数y=2t的值域为（0，+∞）∴任意x∈R，均可得到2x﹣1＞0成立，故A项正确；∵当x∈N*时，x﹣1∈N，可得（x﹣1）2≥0，当且仅当x=1时等号∴存在x∈N*，使（x﹣1）2＞0不成立，故B项不正确；∵当x=1时，lgx=0＜1∴存在x∈R，使得lgx＜1成立，故C项正确；∵正切函数y=tanx的值域为R∴存在锐角x，使得tanx=2成立，故D项正确综上所述，只有B项是假命题故选：B点评：本题给出含有量词的几个命题，要求找出其中的假命题．着重考查了基本初等函数的值域、对数的运算和不等式的性质等知识，属于基础题．4．（5分）已知点P在角的终边上，且|OP|=4，则P点的坐标为（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义和题意分别求出P点的横坐标、纵坐标即可．解答：解：设P点的坐标为（x，y），由三角函数的定义得，x=|OP|cos=4×（﹣）=﹣2，y=|OP|sin=4×=﹣2，则P（﹣2，﹣2），故选：A．点评：本题主要考查三角函数的定义的应用，属于基础题．5．（5分）函数y=（x≥3）的值域是（）A．（0，1] B．[﹣1，0）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据符合函数的单调性得到函数为增函数，问题得以解决．解答：解：设g（x）==1+，x≥3，因为函数g（x）为减函数，g（x）max=g（3）=2，所以g（x）=1+＞1，又因为y=x为减函数，所以y=g（x）为增函数，所以y min=2=﹣1，y max=0，故函数的值域为[﹣1，0）故选：C．点评：本题主要考查了复合函数的单调性，属于基础题．6．（5分）设a=log0.34，b=log0.30.2，（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数和对数的性质即可判断解答：解：由指数和对数函数的性质得：＜1，b=log0.30.2＞1，而y=log0.3x为底数是0.3＜1的对数函数且是减函数，由4＞0.2得到，log0.30.2＞log0.34，所以b＞c＞a，故选：B点评：考查学生灵活运用指数和对数函数的性质及利用对数函数的增减性比较大小，学生做题时应利用函数思想进行比较大小．7．（5分）已知偶函数f（x）满足f（﹣1）=0，且在区间[0，+∞）上为减函数，不等式f（log2x）＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．D．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据题意，不等式f（log2x）＞f（1），偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为减函数，转化为﹣1＜log2x＜1或log2x＞﹣1，即可求出不等式f（log2x）＞0的解集．解答：解：根据题意，不等式f（log2x）＞f（1），∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为减函数，∴转化为﹣1＜log2x＜1或log2x＞﹣1，∴＜x＜2，故选：C．点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，本题考查到了转化的思想．8．（5分）已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0），若，，则ω的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得≥，解得ω的范围即可．解答：解：由题意可知f（x）图象的一个最高点为（，3），其中一个平衡位置为（，0），两者的水平距离至少为四分之一周期，∴≥，解得ω≥2∴ω的最小值为2故选：A点评：本题考查三角函数的图象和性质，得出≥是解决问题的关键，属基础题．9．（5分）已知sinθ+cosθ=，则tan2θ值为（）A．B．C．D．考点：二倍角的正切．专题：三角函数的求值．分析：由已知sinθ+cosθ=，可得2sinθcosθ=﹣，sinθ﹣cosθ=，从而可求ta n2θ的值．解答：解：已知sinθ+cosθ=，有1+sin2θ=，解得2sinθcosθ=﹣，sinθ﹣cosθ==，则tan2θ===﹣．故选：C．点评：本题主要考察二倍角的正切公式的应用，属于基础题．10．（5分）f（x），g（x）都是定义在R上且不恒为0的函数，下列说法不正确的是（）A．若f（x）为奇函数，则y=|f（x）|为偶函数B．若f（x）为偶函数，则y=﹣f（﹣x）为奇函数C．若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则 y=f[g（x）]为偶函数D．若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则y=f（x）+g（x）非奇非偶考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用奇偶函数的定义分别判断解答．解答：解：对于A，若f（x）为奇函数，则|f（﹣x）|=|﹣f（x）|=|f（x）|，所以y=|f （x）|为偶函数；正确；对于B，若f（x）为偶函数，则﹣f（﹣x）=﹣f（x），与y=﹣f（﹣x）关系不确定，所以B 错误；对于C，若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则 f[g（﹣x）]=f[g（x）]，所以y=f[g（x）]为偶函数；C正确；对于D，若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x），所以函数y=f（x）+g（x）是非奇非偶；所以D正确．故选：B．点评：本题考查了函数的奇偶性的判断；在定义域关于原点对称的前提下，判断f（﹣x）与f（x）的关系，若相等，则f（x）是偶函数；若相反，则是奇函数．11．（5分）已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如下，则f（x）的解析式为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图象可得A=2，由周期可得ω=2，又图象过点（，0），可得φ的方程，解得φ可得．解答：解：由图象可得A=2，=﹣，解得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ），又图象过点（，0），∴2sin（+φ）=0，∴+φ=kπ，解得φ=kπ﹣，k∈Z当k=1时，φ=，∴f（x）=2sin（2x+），故选：C点评：本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题．12．（5分）函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k的零点有2个，则k的取值范围（）A．（1，2] B．（0，1] C．（1，3] D．（1，+∞）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）只有2个交点，数形结合求得k 的范围．解答：解：令g（x）=f（x）﹣kx+k=0，∴f（x）=k（x﹣1），令h（x）=k（x﹣1），画出函数f（x），g（x）的图象，如图示：，直线y=k（x﹣1）经过定点（1，0），斜率为k．当 0＜x＜1时，f′（x）=＞1，当x≥1时，f′（x）=2﹣∈（﹣1，2），∴1＜k≤2，故选：A．点评：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．二．填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）=．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用三角函数的诱导公式化为锐角的三角函数．解答：解：cos=cos（4π+）=cos=cos（）=﹣cos=﹣；故答案为：．点评：本题考查了利用三角函数的诱导公式求三角函数值；关键是熟练诱导公式．14．（5分）在△ABC中，，则cosC=．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：由cosB的值利用同角三角函数间的关系求出sinB，然后再根据sinA的值，由B为锐角，得到A可为锐角或钝角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA，把所求的cosC利用诱导公式及两角和的余弦函数公式化简后，将各项的值代入即可求出值．解答：解：在△ABC中，，则sinB==，由于＞，即sinA＞sinB，则由正弦定理，可得a＞b即有A＞B，而B为锐角，则A可为锐角或钝角，则cosA==，故cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×+×=或=×+×=．故答案为：．点评：本题考查学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系，以及两角和的余弦公式化简求值，解题的关键点是判断角的范围得到符合题意的解．15．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足 f（2x）=2f（x），当x∈[1，2）时，f （x）=x2，则 f（10）=．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中函数f（x）满足 f（2x）=2f（x），可得f（10）=2 f（5）=4f（）=8f（），结合当x∈[1，2）时，f（x）=x2，可得答案．解答：解：∵当x∈[1，2）时，f（x）=x2，∴f（）=，又∵函数f（x）满足 f（2x）=2f（x），∴f（10）=2 f（5）=4f（）=8f（）=，故答案为：点评：本题考查的知识点是函数的值，其中根据分析出f（10）=2 f（5）=4f（）=8f（），是解答的关键．16．（5分）定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），若方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是a＜﹣．考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：根据函数的单调区间求出a，b，c的关系，然后利用导数研究三次函数的极值，利用数形结合即可得到a的结论．解答：解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），∴f'（x）＞0的解集为（﹣1，1），即f'（x）=3ax2+2bx+c＞0的解集为（﹣1，1），∴a＜0，且x=﹣1和x=1是方程f'（x）=3ax2+2bx+c=0的两个根，即﹣1+1=，，解得b=0，c=﹣3a．∴f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），则方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0等价为3a（f（x））2﹣3a=0，即（f（x））2=1，即f（x）=±1．要使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1．各有3个不同的根，∵f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），∴f'（x）=3ax2﹣3a=3a（x2﹣1），∵a＜0，∴当f'（x）＞0得﹣1＜x＜1，此时函数单调递增，当f'（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此时函数单调递减，∴当x=1时，函数取得极大值f（1）=﹣2a，当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=2a，∴要使使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1各有3个不同的根，此时满足f极小（﹣1）＜1＜f极大（1），f极小（﹣1）＜﹣1＜f极大（1），即2a＜1＜﹣2a，且2a＜﹣1＜﹣2a，即，且，解得即a且a，故答案为：a．点评：本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．利用导数研究函数的极值是解决本题的突破点．三．解答题：（共70分）17．（10分）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值．解答：解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣．cos（﹣2α）的值为：﹣．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）由A为三角形的内角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值，再将已知等式的左边sinB中的角B利用三角形的内角和定理变形为π﹣（A+C），利用诱导公式得到sinB=sin（A+C），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanC的值；（2）由tanC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，将sinC的值代入sinB=cosC中，即可求出sinB的值，由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理求出c的值，最后由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，则S△ABC=acsinB=×××=．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1，x∈R（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．考点：二倍角的正弦；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）将函数f（x）化简得f（x）=sin（2x﹣）．从而可求单调递增区间；（2）由函数的图象可知，f（x）在区间上单调递增，在[，]单调递减，当x=时取最大值，当x=时，取最小值﹣1．解答：解：（1）f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1=2sinxcosx﹣2cos2x+1=sin2x﹣cos2x=sin （2x﹣）．由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+得kπ﹣≤x≤kπ+，所以，函数f（x）的单调递增区间为：．（2）函数f（x）的单调递减区间为：．由函数的图象可知，f（x）在区间上单调递增，在[，]单调递减，当x=时取最大值，当x=时，取最小值﹣1，故．点评：本题主要考察二倍角的正弦和复合三角函数的单调性，属于中档题．20．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD 交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；向量法；空间位置关系与距离．分析：（1）结合已知由直线和平面垂直的判定定理可证PC⊥平面ADF，即得所求；（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可．解答：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，又AF⊥PC，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；（2）设AB=1，在直角△PDC中，CD=1，∠DPC=30°则PC=2，PD=，由（1）知，CF⊥DF，则DF=，AF==，即有CF==，又EF∥CD，则==，则有DE=，同理可得EF=CD=，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0），设=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则，，则有，令x=4可得z=，则=（4，0，），设平面ACF的一个法向量为=（k，l，r），则，，则有，令l=4，可得r=4，k=，则=（，4，4），设二面角C﹣AF﹣E的平面角为θ，则θ为钝角，则cosθ=﹣|cos＜，＞|=﹣||=﹣．点评：本题考查空间直线与平面垂直的性质和判定，考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题．21．（12分）已知函数f（x）是奇函数，f（x）的定义域为（﹣∞，+∞）．当x＜0时，f（x）=．（e为自然对数的底数）．（1）若函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求出x＞0时的解析式，确定f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，∞）上单调递减，函数f（x）在x=1处取得唯一的极值，利用函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值点，即可求实数a的取值范围；（2）令，由题意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，求出g（x）min=g（1）=2，即可求实数k的取值范围．解答：解：x＞0时，…（3分）（1）当x＞0时，有，f'（x）＞0⇔lnx＜0⇔0＜x＜1；f'（x）＜0⇔lnx＞0⇔x＞1所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，∞）上单调递减，函数f（x）在x=1处取得唯一的极值．由题意a＞0，且，解得所求实数a的取值范围为…（6分）（2）当x≥1时，令，由题意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立…（8分）令h（x）=x﹣lnx（x≥1），则，当且仅当x=1时取等号．所以h（x）=x﹣lnx在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=1＞0因此，g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）min=g（1）=2．…（10分）所以k≤2．所以所求实数k的取值范围为（﹣∞，2]…（12分）点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．22．（12分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx，（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）=log4（a•2x﹣a）有且只有一个根，求实数a的取值范围．考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据偶函数可知f（x）=f（﹣x），取x=﹣1代入即可求出k的值；（Ⅱ）根据方程有且只有一个实根，化简可得有且只有一个实根，令t=2x＞0，则转化成新方程有且只有一个正根，结合函数的图象讨论a的取值，即可求出实数a的取值范围．解答：解：（I）由题意得f（﹣x）=f（x），即，化简得，…（2分）从而4（2k+1）x=1，此式在x∈R上恒成立，∴…（6分）（II）由题意，原方程化为且a•2x﹣a＞0即：令2x=t＞0…（8分）函数y=（1﹣a）t2+at+1的图象过定点（0，1），（1，2）如图所示：若方程（1）仅有一正根，只有如图的三种情况，可见：a＞1，即二次函数y=（1﹣a）t2+at+1的开口向下都可，且该正根都大于1，满足不等式（2），…（10分）当二次函数y=（1﹣a）t2+at+1的开口向上，只能是与x轴相切的时候，此时a＜1且△=0，即也满足不等式（2）综上：a＞1或…（12分）点评：本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查了分类讨论的思想，数形结合的思想．属于中档题．。

新编黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第一次月考理科数学试卷(含答案)

17.( 本题满分 12 分 )
在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a,b, c ，已知 c ba
(1) 求角 B 的大小；
sin A sin B . sin A sin C
(2)若 b 2 2 ， a c 3 ，求 ABC 的面积 .
18. （本题满分 12 分）
已知函数 f ( x) sin 2 x
(2) 若函数 f x 有两个零点 x1, x2 ，证明： 1
1 2.
ln x1 ln x2
请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号
.
22. ( 本题满分 10 分 ) 选修 4-4: 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
20xx- 度高三学年上学期第一次月考
数学试题 ( 理科 )
考试时间： 120 分钟试卷满分： 150 分
一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )
1. 已知集合 A x x 1 ， B x 3x 1 ，则
A. A B { x | x 0}
A.(0,1)
B.(0,2)
C.( ,1)
D .( ,1]
11. 已知 f ( x) x ln x aex （ e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数
a 的取值范围是
1 A.(0, )
e 12. 已知函数 f x
B.(0, e)
a
xln x
3, g x
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 C .( , e)
e x 3 x 2 ，若 x1 , x2

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

哈师大附中2017-2018学年度高三上学期期中考试数学试题（理科）考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}|3A x x =<，{}|20B x x =-≤，那么集合=B A A ．(],3-∞B ．(),3-∞C ．[)2,3D ．(]3,2-2．已知不共线的向量,a b ，||2,||3==a b ，()1⋅-=a b a ，则||-=a bAB ． CD 3．等差数列{}n a 中，35710133()2()24a a a a a ++++=，则这个数列的前13项和为A ．13B ．26C ．52D ．156 4．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 A ．133π B ． 7π C ．11πD ． 12π5．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度，所得图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值是 A ．13B ．1C ．53D ． 2 6．设tan()2πα+=，则sin()cos()sin()cos()αππααππα-+-=+--A ．13B ．1C ．3D ． -17．设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知241a a =，37,S =则5S = A ．152 B ．314 C ．334D ．1728．定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(),f x f x +=-且(1)2f =，则(2013)(2015)f f += A ．-2 B ．0 C ．2D ．49．已知函数()3sin ,f x x x π=-:(0,),()02p x f x π∀∈<，则A ．p 是真，00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥ B ．p 是真，:(0,),()02p x f x π⌝∀∈>C ．p 是假，:(0,),()02p x f x π⌝∀∈≥D ．p 是假，00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥10．已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是A ．(],1-∞-B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若co s (2)c o s c a B a b A -=-，则ABC∆的形状是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形12．已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且(2)()k x f x -<对任意2x >恒成立，则k 的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等差数列{}n a 中，12342,4a a a a +=+=，则56a a += ． 14．设α为锐角，若3cos(),65πα+=则sin()12πα-= ． 15．已知向量)2,2(=，)1,4(=，在x 轴上存在一点P 使⋅有最小值，则点P 的坐标是．16．在平面直角坐标系xoy 中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．已知点(),P x y 是角θ终边上一点，()0OP r r =>，定义()ryx f -=θ．对于下列说法：①函数()f θ的值域是⎡⎣； ②函数()f θ的图象关于原点对称；③函数()fθ的图象关于直线34x π=对称； ④函数()f θ是周期函数，其最小正周期为2π；⑤函数()fθ的单调递减区间是32,2,.44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦其中正确的是．（填上所有正确的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）P A B CD E17．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1110,910n n a a S +==+. （Ⅰ）求证：{lg }n a 是等差数列；（Ⅱ）设12(lg )(lg )n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本题满分12分）已知向量m 2(2cos x =n (1,sin 2),x =函数()f x =⋅m n ．（Ⅰ）求函数()f x 的图象的对称中心和单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()3,1,f C c ab ===且a b >，求,a b 的值．19．（本题满分12分）四棱锥P -ABCD 中，直角梯形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，∠APD =60°，P A =CD =2PD =2AB =2，且平面PDA ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（Ⅰ）求证：PD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PD 与平面BDE 所成角的大小．20．（本题满分12分）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=1，E 为BC 中点．（Ⅰ）求证：C 1D ⊥D 1E ；（Ⅱ）在棱AA 1上是否存在一点M ，使得BM ∥平面AD 1E ? 存在，说明理由；（Ⅲ）若二面角B 1-AE -D 1的大小为90°，求AD 的长．21．（本题满分12分）设函数()()1ln 2++=x a x x f ，其中0≠a ．（Ⅰ）当1-=a 时，求曲线()x f y =在原点处的切线方程；（Ⅱ）试讨论函数()x f 极值点的个数；（Ⅲ）求证：对任意的*N n ∈，不等式()3112ln +>⎪⎭⎫⎝⎛++n n n n 恒成立．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．(本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲已知AB 是半圆O 的直径，AB =4，点C 是半圆O 上一点，过C 作半圆O 的切线CD ，过点A 作AD ⊥CD 于D ，交半圆于E ，DE =1．（Ⅰ）求证：AC 平分∠BAD ；（Ⅱ）求BC 的长．23．(本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2sin ,0,.2πρθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:20l x -=垂直，根据（Ⅰ）中的参数方程，确定点D 的坐标． 24．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲（Ⅰ）已知不等式28x t t +-≤的解集是{}54x x -≤≤，求实数t 的值；（Ⅱ）已知实数,,x y z 满足22211249x y z ++=，求x y z ++的最大值．哈师大附中2015-2016学年度高三上学期期中考试数学（理科）答案1-6：BABADC 7-12：BAACDB13、 6 14、1015、（3，0） 16、 ①③④ 17．（1）当2≥n 时，由1091+=+n n S a ，得1091+=-n n S a ，相减得：n n a a 101=+当1=n 时，11210100109a S a ==+=，∴)(10*1N n a a n n ∈=+，n n n a a a lg 1)10lg(lg 1+==∴+， 1lg lg 1=-∴+n n a a ，又1lg 1=a {}n a lg ∴是首项为1，公差为1的等差数列. L L 6‘（2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=111212n n n n b n ，则11111212231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭L =12+n nL L 12‘18、解：（1）2()2cos 2cos212==+f x x x x x 2sin(2)16π=++x L L2‘令2,6ππ+=∈x k k Z ，,212ππ∴=-∈k x k Z ，∴对称中心为,1212ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭k k Z L L 4‘ 令222,262πππππ-≤+≤+∈k x k k Z ，∴,36ππππ-≤≤+∈k x k k Z∴增区间：,36ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z L L 6‘（2）()2sin 2136π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭f C C ，sin 216π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭C ，E DCBAD 1C 1B 1A 1MN z yxMA 1B 1C 1D 1A B C DE 0π<<Q C ，132,666πππ∴<+<C 262ππ∴+=C 6π∴=C ， LL 8‘ ()2222222cos 2=+-=+=+-c a b ab C a ba b ab 1,==Q c ab ，2∴+=a b =ab 且>a b ，2,∴==a bL L 12‘19、解：（1）2,1,60,==∠=o Q PA PD PAD2222cos 3∴=+-⋅∠=AD PA PD PA PD PAD ，∴=AD ，222∴=+PA AD PD∴⊥PD AD ，又⊂Q PD 平面PDA ，平面PDA I 平面=ABCD AD ，平面PDA ⊥平面ABCD ，∴⊥PD 平面AL L 6‘（2）⊥Q AD CD ，∴以,,DA DC DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系1(0,0,0),(0,0,1),(0,1,),2D P E B 1(0,1,),2∴==uuu ruu ur DE DB ，设平面BDE的一个法向量为(,,)=r n x y z，则1020⎧+=⎪+=y z y ，令1=x ，(1∴=r n cos ,∴〈〉==uu u r r DP n ，设直线PD 与平面BDE 所成的角为θ，sin θ=∴直线PD与平面BDE所成的角为60.oL L 12‘20．方法一：证明：（1）连D 1C ，长方体中，EC ⊥平面DCC 1D 1，∴EC ⊥DC 1∵AB=AA 1，∴正方形DCC 1D 1中，D 1C ⊥DC 1 又EC ∩D 1C=C ，∴DC 1⊥平面ECD 1∵D 1E ⊂面ECD 1，∴C 1D ⊥D 1E L L 4‘解：（2）存在点M 为AA 1中点，使得BM ∥平面AD 1E ．证明：取A 1D 1中点N ，连，NB∵E 为BC 中点，∴∴四边形BED 1N BN ∥D 1E 又BN ⊄平面AD 1E ，D 1E ⊂平面AD 1E ∴BN ∥平面AD 1E∵AD 1，MN ⊄平面AD 1E ，AD 1⊂平面AD 1E ∴MN ∥平面AD 1E∵BN ∩MN=N ，∴平面BMN ∥平面AD 1E ∵BM ⊂平面BMN ，∴BM ∥平面AD 1En n n n n n n n m m m m m m 此时，112AM AA = L L 8‘ 方法二：证明：（1）以D 为原点，如图建立空间直角坐标系D-xyz ，设AD=a ，则D(0,0,0)，A(a ,0,0)，B(a ,1,0)，B 1(a ,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E(2a,1,0)， ∴11(0,1,1),(,1,1)2aC D D E =--=-uuu r uuu r ，∴110C D D E ⋅=uuu r uuu r ，∴C 1D ⊥D 1E L L 4‘解：（2）设1AMh AA =，则(,0,)M a h ，∴(0,1,)B M h =-u u u r ，1(,1,0),(,0,1)2a AE AD a =-=-uu u r uuu r ，设平面AD 1E 的法向量 (,,)x y z =，则1020a AE x y AD ax z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩uu u r uuu r，∴平面AD 1E 的一个法向量 (2,,2)aa = ∵BM ∥平面AD 1E ，∴BM ⊥uuu r ，即20BM a ah ⋅=-=u u u r ，∴12h =即在存在AA 1上点M ，使得BM ∥平面AD 1E ，此时112AM AA =．L L 8‘ 解：（3）设平面B 1AE 的法向量 (,,)x y z '''=，1(,1,0),(0,1,1)2aAE AB =-=uu u r uuu r 则1020a AE x y AB y z ⎧''⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩uu u r uuu r，∴平面B 1AE 的一个法向量 (2,,)aa =- ∵二面角B 1-AE-D 1的大小为90°，∴ ⊥ ，∴ 22420a a ⋅=+-= ∵a >0，∴a =2，即AD=2． L L 12‘21．解：（1）当1-=a 时，()()1ln 2+-=x x x f ，则()112'+-=x x x f，()10'-=∴f ∴曲线()x f y =在原点处的切线方程为x y -= L L 2‘（２）()1,122122'->+++=++=x x a x x x a x x f ，令()1,222->++=x a x x x g 当21>a 时，0<∆，所以()x g >０，则()x f '>０，所以()x f 在()+∞-,1上为增函数，所以无极值点；当21=a 时，0=∆，所以()x g ≥０，则()x f '≥０，所以()x f 在()+∞-,1上为增函数，所以无极值点；当21<a 时，0>∆，令()x f '=０，则22111a x ---=，22112a x -+-= 当210<<a 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈21,11x ，⎪⎭⎫⎝⎛+∞-∈,212x ，此时有２个极值点；当0<a 时，()1,1-∞-∈x ，()+∞∈,02x ，此时有１个极值点；综上：当21≥a 时，无极值点；当210<<a 时，有２个极值点；当0<a 时，有１个极值点； L L 8‘（３）对于函数()2ln(1)f x x x =-+，令函数()332()ln(1)h x x f x x x x =-=-++则()32213(1)3211x x h x x x x x +-'=-+=++，()[0,)0x h x '∈+∞>当时，，所以函数()h x 在[0,)+∞上单调递增，又(0)0,(0,)h x =∴∈+∞时，恒有()(0)0h x h >= 即23ln(1)<++x x x 恒成立.取11+=n x ，则有()()321111111ln +-+>⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n 恒成立，即不等式()3112ln +>⎪⎭⎫⎝⎛++n n n n 恒成立. L L 12‘ 22.解：(1)连接OC, 因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA因为CD 为半圆O 的切线,所以OC ⊥CD, 因为AD ⊥CD,所以OC ∥AD,所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD, 所以AC 平分∠BAD………………5分 (2)连接CE,有(1)知∠OAC=∠CAD,所以BC=CE.因A,B,C,D 四点共圆,故∠ABC=∠CED,因为AB 是半圆O 的直径, 所以∠ACB 是直角, Rt △CDE 相似于Rt △ACB,DE:CE=CB:AB,BC=2.………………10分 23. 解 (I )半圆C 的普通方程为;[]2220,0,1,x y y x +-=∈ ………………2分半圆C 的参数方程为cos ,,1sin .22x y αππαα=⎧⎛⎫⎡⎤∈-⎨⎪⎢⎥=+⎣⎦⎝⎭⎩为参数 ………………5分 (II )设点D 对应的参数为α,则点D 的坐标为()cos ,1sin αα+且,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 由(1)可知半圆C 的圆心是C(0,1),因半圆C 在D 处的切线与直线l 垂直,故直线DC 的斜率与直线l 的斜率相等,(1sin )1tan cos ααα+-==即,,,226πππαα⎡⎤∈-∴=⎢⎥⎣⎦………………8分所以点D 的坐标为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭………………10分24.解 (I )28,80,8+≤++≥≥-x t t t t 得所以 ,828,44,t x t t t x --≤+≤+--≤≤由()8f x ≤的解集是{}54,x x -≤≤得45,1t t --=-=(II )由柯西不等式得()()222221491234923y z y zx x x y z⎛⎫⎛⎫++++≥++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()228,x y z x y z ≥++-≤++≤当且仅当320123zyx ==>即22224949y z y z x x ==++=>0且,亦即x y z ===时(()max x y z ++=。

黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2017届高三数学12月月考试卷理【word版】.doc

哈师大青冈实验中学2016-2017学年度月份考试高三学年理科数学试题一、选择题（每小题5分，共计60分）1、若集合{}{}2|,|2,M x y x N y y x x R ====-∈,则M N =I （）A.[0,)+∞B.[2,)-+∞C.∅D.[2,0)- 2.如图，执行程序框图后，输出的结果为（）A ．8B ．10C ．12D ．323.复数21ia bi i=+-（i 是虚数单位，a 、b R ∈），则（） A ．1a =，1b = B ．1a =-，1b =- C ．1a =-， 1b = D ．1a =，1b =-4.已知(1,2)a =-r ，(2,)b m =r ，若a b ⊥r r，则||b =r （）A ．12B ．1C ．3D ．55.下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a>b ＋1 B ．a>b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 36.已知约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－27. 某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（）A ．219cm π+B ．2224cm π+C ．210624cm π++D ．213624cm π++8.已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（） A ．B ．3C ．D ．9.若函数()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线12x π=对称，且当12172123x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（） A ．2 B ．22C.62D ．2410.双曲线mx 2﹣y 2=1（m ＞0）的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点B ，C 使得△ABC 为等腰直角三角形，则实数m 的值可能为（） A ． B ．1C ．2D ．311.已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C. (1，2)D. (2，＋∞) 12．设函数())(2R a a x e x f x ∈-+=，e 为自然对数的底数，若曲线x y sin =上存在点()00,y x ，使得()()00y y f f =，则a 的取值范围是（）A 、[]e e ++--1,11B 、[]e +1,1C 、[]1,+e eD 、[]e ,1 二、填空题（每小题5分，共计20分）13.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的体积是 cm 3．14.若直线l 1：2x －5y ＋20＝0，l 2：mx －2y －10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为__________。

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三(上)期中数学试卷(理科)及解析

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.复数z=1+i 的虚部（）A.iB.﹣iC.1D.﹣12.已知集合A={x|xx−1≥0,x∈R},B={y|y=3x2+1,x∈R}，则A∩B=（）A.（1，+∞）B.[1，+∞）C.（﹣∞，0]∪（1，+∞）D.[0，1]3.在区间[0，π]上随机取一个数x，使−√32<cosx<√32的概率为（）A.13 B.23 C.38 D.584.二项式（x2﹣1x ）11的展开式中，系数最大的项为（）A.第五项B.第六项C.第七项D.第六和第七项5.数列{an }的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（）A.3×44B.3×44+1C.44D.44+16.已知函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，数列{an }是以π4为公差的等差数列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，则a2016a2=（）A.2016B.2015C.2014D.2013第II 卷（非选择题）二、解答题7.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量 m →=（a ，c ）， n →=（1﹣2cosA ，2cosC ﹣1）， m →∥n →（Ⅰ）若b=5，求a+c 值；（Ⅱ）若 tanB 2=12，且角A 是△ABC 中最大内角，求角A 的大小．8.中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛，种子选手A 与非种子选手B 1 ， B 2 ， B 3分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，A 获胜的概率分别为 34,23,12 ，且各场比赛互不影响．（Ⅰ）若A 至少获胜两场的概率大于 23 ，则A 入选征战里约奥运会的最终名单，否则不予入选，问A 是否会入选最终的名单？（Ⅱ）求A 获胜场数X 的分布列和数学期望．9.已知各项为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 √2S n =a n +22（Ⅰ）求证：{a n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设 b n =1an +a 1+1an +a 2+⋯+1an +a n+1an +a n+1(n ∈N ∗) ，求证： b n ≤38． 10.已知函数f （x ）=x ﹣2sinx ．（Ⅰ）求函数f （x ）在 [−π2,π2] 上的最值；（Ⅱ）若存在 x ∈(0,π2) ，使得不等式f （x ）＜ax 成立，求实数a 的取值范围．11.已知函数 f(x)=e x ax 2+bx+1，其中a ，b ，c∈R．（Ⅰ）若a=b=1，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若a=0，且当x≥0时，f （x ）≥1总成立，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）若a ＞0，b=0，若f （x ）存在两个极值点x 1 ， x 2 ，求证；f （x 1）+f （x 2）＜e ．12.已知函数f （x ）=|x ﹣a|﹣2．（Ⅰ）若a=1，求不等式f （x ）+|2x ﹣3|＞0的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）＜|x ﹣3|恒成立，求实数a 的取值范围． 13.（Ⅰ）已知x 2+y 2=1，求2x+3y 的取值范围；2222a ﹣2b ﹣2c=0，求证： 2a −b −c ≤3√2 ．三、填空题14.已知 (1−x)a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 9x 9 ，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|= ．15.袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，则至少有2次摸出白球的概率为．16.已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为．参考答案1.D【解析】1.解：复数z=21+i = 2(1−i)(1+i)(1−i)=1﹣i的虚部为﹣1．故选：D．【考点精析】掌握复数的乘法与除法是解答本题的根本，需要知道设则；．2.A【解析】2.解：∵集合A={x|xx−1≥0,x∈R},B={y|y=3x2+1,x∈R}，∴A={x|x≤0或x＞1}，B={y|y≥1}，∴A∩B=（1，+∞）．故选：A．【考点精析】利用集合的交集运算对题目进行判断即可得到答案，需要熟知交集的性质：（1）A∩B A，A∩B B，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则A B，反之也成立．3.B【解析】3.解：∵0≤x≤π，−√32<cosx<√32，∴ π6≤x≤ 5π6π，区间长度为23π，则对应的概率P= 23ππ= 23，故选：B．【考点精析】解答此题的关键在于理解几何概型的相关知识，掌握几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．4.C【解析】4.解：二项式（x2﹣1x ）11的展式的通项公式为 Tr+1= C11r•x22﹣2r•（﹣1）r•x﹣r = (−1)r⋅C11r•x22﹣3r，故当r=6时，展开式的系数(−1)r⋅C11r = C116最大，故选：C．5.A【解析】5.解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn﹣1（n≥2），两式相减得：an+1﹣an=3（Sn﹣Sn﹣1）=3an，则an+1=4an（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以an =a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选A【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和等比数列的前n项和公式的相关知识点，需要掌握通项公式：；前项和公式：才能正确解答此题．6.B【解析】6.解：∵函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，可设f（x）=2x﹣cosx+c，∵f（0）=﹣1，∴﹣1+c=﹣1，可得c=0．∴f（x）=2x﹣cosx．∵数列{an }是以π4为公差的等差数列，∴an =a1+（n﹣1）× π4，∵f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，∴2（a2+a3+a4）﹣（cosa2+cosa3+cosa4）=3π，∴6a2+ 3π2﹣cosa2﹣cos(a2+π4)﹣cos(a2+π2)=3π，∴6a2﹣cos(a2+π4) = 3π2．令g（x）=6x﹣cos (x+π4)﹣3π2，则g′（x）=6+sin (x+π4)在R上单调递增，又g(π4) =0．∴a2= π4．则a2016a2 =π4+2014×π4π4=2015．故选：B．【考点精析】认真审题，首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导)，还要掌握等差数列的通项公式（及其变式）(通项公式：或)的相关知识才是答题的关键．7.解：（Ⅰ）因为：，所以，2sinAcosC﹣sinA=sinC﹣2sinCcosA，可得：2sinAcosC+2sinCcosA=2sin（A+C）=sinC+sinA，所以，sinA+sinC=2sinB，由正弦定理得2b=a+c=10．（Ⅱ），又因为sinA+sinC=2sinB=sinA+sin（π﹣A﹣B），则，2sinA+cosA=2，又sin2A+cos2A=1，所以，解得，由于A是最大角，所以，．【解析】7.（Ⅰ）利用平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可求sinA+sinC=2sinB，由正弦定理及已知即可得解．（Ⅱ）由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可求sinB，cosB的值，可求2sinA+cosA=2，联立sin2A+cos2A=1即可解得cosA的值，结合A是最大角，即可得解A的值．【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:)．8.解：（Ⅰ）记“种子A与非种子B1、B2、B3比赛获胜”分别为事件A1、A2、A3=所以，A入选最终名单 (6)（Ⅱ）X的可能值为0、1、2、3所以，数学期望：【解析】8.（Ⅰ）利用相互独立事件的概率公式，结合条件，即可求解；（Ⅱ）据题意，X的可能值为0、1、2、3，求出概率，列出分布列，然后求解期望．【考点精析】利用离散型随机变量及其分布列对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi ,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．9.证明：（Ⅰ）∵满足，当n=1时，a1=2．当n≥2时，由（1）﹣（2）得（an +an﹣1）（an﹣an﹣1﹣4）=0（an＞0）则an ﹣an﹣1=4，∴{an}是以4为公差的等差数列．an=4n﹣2．（Ⅱ）证明：设，则f（n+1）﹣f（n）＜0所以，{f（n）}递减，即：．【解析】9.（1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）通过放缩，利用数列的单调性即可证明．【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an }的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．↗（Ⅱ）f（x）＜ax，∴2sinx﹣（1﹣a）x＞0设g（x）=2sinx﹣（1﹣a）x，则g'（x）=2cosx﹣（1﹣a）由①1﹣a≥2即a≤﹣1，此时g'（x）＜0得出g（x）在单调递减，g （x）＜g（0）=0不成立②1﹣a≤0即a≥1，此时g'（x）＞0得出g（x）在单调递增，g（x）＞g（0）=0成立③0＜1﹣a＜2即﹣1＜a＜1，令，存在唯一）时，g'（x）＞0得出g（x），使得．当x∈（0，x＞g（0）=0，∴存在，有g（x）＞0成立综上可知：a＞﹣1【解析】10.（1）求出导函数，得出极值点，根据极值点求闭区间函数的最值；（2）不等式整理得出2sinx﹣（1﹣a）x＞0，构造函数，根据导函数进行分类讨论，即最大值大于零即可．11.解：（Ⅰ），f'（x）＞0⇒x＞1或x＜0，f'（x）＜0⇒0＜x＜1，∴f（x）增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），减区间为（0，1）．（Ⅱ）在[0，+∞）恒成立⇒b≥0当b≥0时，f（x）≥1⇔e x﹣bx﹣1≥0．设g（x）=e x﹣bx﹣1，g'（x）=e x﹣b ①当0≤b≤1时，g'（x）≥0⇒g（x）在[0，+∞）单调递增，⇒g（x）≥g（0）=0成立②当b＞1时，g'（x）=0⇔x=lnb，当x∈（0，lnb）时，g'（x）＜0⇒g（x）在（0，lnb）单调递减，⇒g（x）＜g（0）=0，不成立综上，0≤b≤1（Ⅲ）有条件知x1， x2为ax2﹣2ax+1=0两根，，且，由成立，作差得：，得∴f（x1）+f（x2）＜e (12)或由x1+x2=2，，（可不妨设0＜x1＜1）设（0＜x＜1），在（0，1）单调递增，h（x）＜h（1）=e，∴f（x1）+f（x2）＜e成立．【解析】11.（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为bx+1≥0在[0，+∞）恒成立，通过讨论b的范围集合函数的单调性从而求出b的范围即可；（Ⅲ）求出函数的导数，构造新的函数，根据函数的单调性证明即可．【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．12.解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣a|﹣2．若a=1，不等式f（x）+|2x﹣3|＞0，化为：|x﹣1|+|2x﹣3|＞2．当x≥ 时，3x＞6．解得x＞2，当x∈（1，）时，可得﹣x+2＞2，不等式无解；当x≤1时，不等式化为：4﹣3x＞2，解得x ．不等式的解集为：（Ⅱ）关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，可得|x﹣a|﹣2＜|x﹣3|设f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，因为|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，所以，f（x）max=|a﹣3|即：|a﹣3|＜2所以，a的取值范围为（1，5）【解析】12.（Ⅰ）化简不等式，利用绝对值的几何意义求解即可．（Ⅱ）设f （x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，转化不等式为a的不等式，求解即可．【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．13.解：（Ⅰ）由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，则|2x+3y| ，∴﹣≤2x+3y≤ ．（Ⅱ）证明：由a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，得（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2=3，由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2得证：18≥（2a﹣b﹣c）2，所以【解析】13.（Ⅰ）已知x2+y2=1，由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，即可求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2，即可证明结论．【考点精析】利用不等式的证明对题目进行判断即可得到答案，需要熟知不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．14.512【解析】14.解：已知(1−x)9=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|，即（1+x）9展开式的各项系数和，令x=1，可得（1+x）9展开式的各项系数和为|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=29=512，所以答案是：512．15.2027【解析】15.解：∵袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，∴每次摸到红球的概率都是13，摸到白球的概率都是23，∴至少有2次摸出白球的概率为：p= C32（13）（23）2+ C33（23）3= 2027，故选答案为：2027．16.[4，12]【解析】16.解：x 2+2xy+4y 2=6变形为 (x +y)2+(√3y)2 =6，设 x +y =√6cosθ ， √3y =√6sinθ ，θ∈[0，2π）．∴y= √2 sinθ，x= √6cosθ−√2sinθ ， ∴z=x 2+4y 2== +6=2×（1﹣cos2θ）﹣ 2√3sin2θ +6 = 8−4sin(2θ+π6) ，∵ sin(2θ+π6) ∈[﹣1，1]． ∴z∈[4，12]．所以答案是：[4，12]．【考点精析】解答此题的关键在于理解三角函数的最值的相关知识，掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．。

高三数学上学期开学考试试题理

哈师大附中高三上学期第一次月考数学试卷(理)一、选择题(本大题共１2小题,每小题5分,共60分、在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1、若全集,集合,,则( )A、B。

或Ｃ、 D、２、若复数满足,为虚数单位,则的虚部为( )A、B、C、 D。

3、与函数相同的函数是( )Ａ、ﻩB、Ｃ、Ｄ、4、幂函数在上单调递增,则的值为( )A。

２ B。

3 C、 4 D、2或45、函数的图象大致为( )6。

下列关于命题的说法错误的是( )A、命题“若,则”的逆否命题为“若,则”;B。

“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件;C、若命题,则;D、命题“”是假命题、7、设, , ,则( )A。

B。

C、D、8、已知定义在上的奇函数满足,当时,则( )A。

B、Ｃ、Ｄ、9。

若函数在其定义域上为增函数,则实数的取值范围是( )A。

Ｂ、C、Ｄ。

1０、已知函数,若函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是( )A、Ｂ、 C。

D。

11、已知函数,给出以下四个命题:①,有;②且,有;③,有;④, 、其中所有真命题的序号是( )Ａ。

①② B。

③④ C、①②③ D。

①②③④1２、已知函数,若有且只有两个整数使得,且,则实数的取值范围为( )A、Ｂ、 C、Ｄ。

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计2０分)13、设函数,则＝、14、若函数的定义域是,则函数的定义域为________。

15、已知函数,若存在,当时,,则的最小值为。

16、设,已知函数是定义域为的偶函数, 当时,若关于的方程有且只有个不同实数根,则的取值范围是。

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)１７、(本题满分１０分)设函数、(Ⅰ)求不等式的解集;(Ⅱ)若存在使不等式成立,求实数的取值范围。

１8。

(本题满分１2分)已知曲线的参数方程是(为参数),曲线的参数方程是(为参数)。

(Ⅰ)将曲线,的参数方程化为普通方程;(Ⅱ)求曲线上的点到曲线的距离的最大值和最小值、19。

黑龙江省哈师大附中2017届高三上学期期中考试数学理(含答案)word版

黑龙江省哈师大附中 2017届高三上学期期中考试数学试题（理科）一、选择题（每小题5分） 1．已知i 是虚数单位，()()3i 2+i =i--1（）A ．3+iB ．3i --C ．3+i -D ．3i -2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB = ,(1,3)AC =，则BD 等于）A ．(2,4)--B ．(3,5)--C ．(3,5)D ．(2,4) 3．等差数列{}n a 中，35791120a a a a a ++++=，则8912a a -= （）A ．1B ．2C ．3D ．44．函数1112xy +⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为（）A ．(),1-∞B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5．已知向量,a b 均为单位向量，若它们的夹角为60，则3a b - 等于（）ABCD ．46．函数2()25f x lnx x x =-++的零点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．37．已知=2tan α，则22sin 1sin 2αα+= （）A ．53B ．134-C ．135D ．1348．等比数列{}n a 中，2580a a +=，则62S S = （）A ．10-B ．10C ．20D ．219．函数2()12sin ()4--f x x π=是（）A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数10．等差数列{}n a 的前n 项和满足1020:S S =，下列结论正确的是（） A ．15S 是n S 中最大值 B ．15S 是n S 中最小值C ．150S =D ．300S =11．设函数()2cos(2)4f x x π=-，将()y f x =的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位，使得到的图像关于原点对称，则ϕ的最小值为（）A ．8πB ．38π C ．4π D ．34π12．设A ．B ．C 是半径为1的圆上三点，若AB =AB AC ⋅的最大值为（）A ．B ．32C ．3D 二、填空题（每小题5分）13．已知角α的终边经过点P (,6)x -，且35tan α=-，则__________x =．14．已知(1,2),(2,)a b λ=-=，若a 与b夹角为锐角，则实数λ的取值范围为__________．15．在ABC ∆中，E ．F 分别为边AB ．AC 上的点，且,2AE EB AF FC ==，若BC mCE nBF=+，则__________m n +=． 16．在,90Rt ABC C ∆∠=中，且A ∠．B ∠．C ∠所对边分别为,,a b c ，若a b cx +=，则实数x 的取值范围为__________．三、解答题（共70分）17．（10分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为A ∠．B ∠．C ∠的对边，已知-tanB tanA tanB=-⋅，c =ABC ∆面积为2．（1）求C ∠的大小; （2）求a b +的值．18．（12分）数列{}n a 的前n 项和21n S n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设*11()n n n b n N a a +=∈⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）设a R ∈,cos 2f x x(asinx -cosx)+cos (-x)2π（）=，满足()(0)3f f π-=．（1）求()f x 的最大值及此时x 取值的集合; （2）求()f x 的增区间．20．（12分）在数列{}n a 中，*112,21,n n a a a n n N +==-+∈．（1）证明数列{}n a n -是等比数列;（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求使12n n S S +>的最小n 值．21．（12分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（1）求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域; （2）求面积S 的最大值．22．（12分）已知函数2()2()f x x x alnx a R =++∈．（1）当4a =-时，求()f x 的最小值;（2）若函数()f x 在区间(0,1)上为单调函数,求实数a 的取值范围; （3）当1t ≥时,不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立,求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题13．10 14．{}14-λλλ<≠且 15．1416．(1三、解答题 17．解：（1）由已知得：tan tan 1tan tan A Btan(A+B)=A B+=- t a n C 3∴()0,C π∠∈3C =π∴∠（2）由余弦定理得：2222cos 1sin 25.c a b ab CS ab C a b =+-=∴+=18．解:（1）由已知：当1n =时 112a S == 当2n ≥时 121n n n a S S n -=-=-∴数列{}n a 的通项公式为2(1)21(2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩．（2）由（1）知: 1(1)61111(2)(21)(21)22121n n b n n n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪=-≥ ⎪⎪-+-+⎝⎭⎩当1n =时 1116T b == 当2n ≥时1211111111623557212111342n n T b b b n n n =++=⎛⎫+-+-++- ⎪-+⎝⎭=-+∴{}n b 的前n 项和11342n T n =-+． 19．解:（1）22()cos sin cos sin 1sin 2cos 22()(0)3f x a x x x x a x x f f a π=-+=--=∴=()cos 2sin()6f x x x x π∴=-=-当22()62x k k Z πππ-=+∈时 sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ()f x ∴的最大值为2,取最大值时x 的集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．(2)222()262k x k k Z πππππ-<-<+∈所以，函数()f x 的单调递增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 20．（1）证明：由已知 1110a -=≠由 121n n a a n +=-+，得1(1)2(2n n n n a n a n a (n+1)a n+-+=--∴=-）{}n a n ∴-是等比数列．（2）解：由（1）知：1122n n n n a n a n ---=∴=+ n (1)=212n n n S +-+215202n n n n S S +---=>使12n n S S +>的最小n 值为3．21．解: 以AB 所在的直线为x 轴,以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．椭圆方程为222214y x r r+= 设(,)C x y则y = （1）1(22)2(2S x r r x =+⋅=+ 定义域为 {}0x x r <<．（2）由（1）知2(S r x =+=设222g(x)=(r+x)(r -x ) 则22()(2)g (x)x r x r '=-+- 由0g (x)'=得2r x =当02r x << 0g (x)'> 当2rx r << 0g (x)'< ∴当2r x =时g(x)取最大值,S 取最大值,22．解:（1）当4a =-时, 2()24ln f x x x x =+- 2(2)(1)()x x f x x+-'=当1x =时函数()f x 取最小值3．（2） 222()(0)x x af x x x++'=> 设222g(x)=x x a ++ 依题意 00(1)0g()g ≥≤或得 04a a ≥≤-或．（3）当1t ≥时 (21)2()3f t f t -≥-恒成立⇔ 当1t ≥时 2221242ln0t t t a t --++≥ 恒成立设2221()242lnt g t t t a t-=-++ 则 []1()2(1)222(21)(21)(21)a t g t t t t a t t t t ⎡⎤-'=--=--⎢⎥--⎣⎦1(1)1t t t ≥∴-≥（1）当2a ≤时，1()0t g t '≥≥则 ()g t 在[)1,+∞单调递增1()(1)0t g t g ∴≥≥=时（2）当2a >时，设()2(21)h t t t a =--(1)20h a =-< ()0h t = 有两个根，一个根大于1，一个根小于1．不妨设 121t t <<当()21,t t ∈时 ()0h t < 即()0g t '< ()g t ∴在()21,t 单调递减 ()(1)0g t g <= 不满足已知条件．综上:a 的取值范围为{}2a a ≤．。

黑龙江省哈师大附中2017届高三上学期第一次月考数学试卷(理科) 含解析

2016—2017学年黑龙江省哈师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设全集I=R，集合A={y｜y=x2﹣2｝．B={x|y=log2（3﹣x)｝，则∁I A∩B等于（）A．{x|﹣2≤x＜3｝B．{x|x≤﹣2｝C．{x｜x＜3}D．｛x｜x＜﹣2}2．已知函数f(x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在(﹣∞，+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是(）A． B．C． D．3．函数f（x）=ln｜x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．4．已知α∈(,π），sinα=,则tan（α+）等于()A．B．7 C． D．﹣75．已知△ABC中，a=4，b=4,A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°6．要得到函数f（x）=sin(2x+）的导函数f′（x）的图象,只需将f（x)的图象（）A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变）B．向左平移个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变)C．向左平移个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变)D．向左平移个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变）7．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果=，=，那么向量=（）A．B．C．D．8．若a=20.5,b=logπ3,c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a9．已知tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是（)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形10．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,且满足b2+c2﹣a2=bc，•＞0，a=，则b+c的取值范围是（）A． B．C．D．11．已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f(x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个12．已知f（x）=ln（1+x)﹣ln（1﹣x），x∈(﹣1,1）．现有下列命题:①f（﹣x)=﹣f（x）；②f（）=2f(x）③｜f（x）|≥2｜x｜其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③ B．②③C．①③D．①②二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若（2x+）dx=3+ln2(a＞1），则a的值是．14．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5,且∠B与∠D互补，则AC的长为km．15．规定一种运算：a⊗b=，例如：1⊗2=1,3⊗2=2，则函数f(x）=sinx⊗cosx的值域为．16．关于函数f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命题：①由f(x1)=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍;②y=f(x）的表达式可改写为y=4cos（2x﹣）;③y=f（x）的图象关于点（﹣，0)对称；④y=f（x)的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是．三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f （x）=的定义域集合是A，函数g（x）=lg［x2﹣（2a+1）x+a2+a］的定义域集合是B．（1)求集合A，B．（2)若A∪B=B，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=（x2+ax+a）．（I)当a=时,求f(x）的极值；（II）若f(x）在区间（0，）上单调递增，求a的取值范围．19．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin(x﹣)sin（x+）．(1)求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴；（2）求函数f（x）在［﹣，］上的值域．20．已知a，b，c分别是△ABC的角A,B，C所对的边，且c=2,C=．(1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．21．已知函数f（x)=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，］时,f(x)的最小值为2．(1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2)先将函数y=f(x)的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象，求方程g（x)=4在区间［0，］上所有根之和．22．已知函数f（x）=sinx﹣x,x∈［0，]．（I）求证：f（x）≥0；（II）若m＜＜n对一切x∈（0，）恒成立,求m和n的取值范围．。

黑龙江省校届高三数学月月考试题理0.doc

哈师大青冈实验中学2016-2017学年度月份考试高三学年理科数学试题一、选择题（每小题5分，共计60分）1、若集合{{}2|,|2,M x y N y y x x R ====-∈,则MN = （）A.[0,)+∞B.[2,)-+∞C.∅D.[2,0)- 2.如图，执行程序框图后，输出的结果为（）A ．8B ．10C ．12D ．323.复数21ia bi i=+-（i 是虚数单位，a 、b R ∈），则（） A ．1a =，1b = B ．1a =-，1b =- C ．1a =-， 1b = D ．1a =，1b =- 4.已知(1,2)a =-，(2,)b m =，若a b ⊥，则||b =（）A ．12B ．1CD 5.下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a>b ＋1 B ．a>b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 36.已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A．1 B．－1 C．0 D．－27. 某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（）A．219cmπ+ B．2224cmπ+ C．2104cmπ+ D．2134cmπ++8.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A． B．3 C． D．9.若函数()()22f x xπϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象关于直线12xπ=对称，且当12172123x xππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，，，12x x≠时，()()12f x f x=，则()12f x x+等于（）A B D10.双曲线mx2﹣y2=1（m＞0）的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为等腰直角三角形，则实数m的值可能为（）A．B．1 C．2 D．311.已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎪⎫0，12 B. ⎝⎛⎭⎪⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞)12．设函数())(2Raaxexf x∈-+=，e为自然对数的底数，若曲线xy sin=上存在点(),yx，使得()()yyff=，则a的取值范围是（）A、[]ee++--1,11B、[]e+1,1C、[]1,+ee D、[]e,1二、填空题（每小题5分，共计20分）13.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的体积是cm3．14.若直线l1：2x－5y＋20＝0，l2：mx－2y－10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为__________。

黑龙江省哈师大附中高三数学上学期第一次月考试卷文

黑龙江省哈师大附中2015届高三上学期第一次月考数学文科试题一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} , B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=( )A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3） D (3,+∞) 2.已知命题()()()()122121:,,--0p x x R f x f x x x ∀∈≥，则p ⌝是( )A ．()()()()122121,,--0x x R f x f x x x ∃∈≤B ．()()()()122121,,--0x x R f x f x x x ∀∈≤ C ．()()()()122121,,--<0x x R f x f x x x ∃∈ D ．()()()()122121,,--<0x x R f x f x x x ∀∈3.下列函数中，与函数y=31x定义域相同的函数为（） A ． y=1sin x B. y=1nx x C. y=x e xD. sin x x4.下列命题中，真命题是（） A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 5.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．60B ．54C ．48D ．246. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 8 7.设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法：①若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂β；②若l ∥α，α∥β，则l ⊂β； ③若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β；④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β. 其中说法正确的个数为( )A ． 1B ． 2C ． 3D ． 08.下列不等式一定成立的是（）A．)0(lg)41lg(2>>+xxx B．),(2sin1sin Zkkxxx∈≠≥+πC．)(||212Rxxx∈≥+ D．)(1112Rxx∈>+9.定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x. . 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A. 335B. 338C. 1678D. 201210．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B． 16π C． 9π D.27π411.函数-cos6=2-2x xxy的图象大致为12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( ) A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分)13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生．14．函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________．15．已知2)(xxfy+=是奇函数，且1)1(=f，若2)()(+=xfxg，则=-)1(g . 16．设()f x是定义在R上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，111()21xxaxf x bxx<+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b∈R，．若1322f f⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b+的值为．三、解答题（共6道大题，共70分）17．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤14.18．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查(1)习惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．n（ad－bc）2附：K2＝19．如图15，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．20．已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R上的偶函数．(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．21．如图在四棱锥ABCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.(1)证明：AC⊥平面BCDE；(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．22．函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围．答案：选择题：DCDDABACBADC 填空题：15；（-∞，0）； -1； -10 解答题:17．24．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）.当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集M ={x|0≤x ≤43}(2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得解得－14≤x ≤34，因此N ={x|－14≤x ≤34}故M ∩N ={x|0≤x ≤34}当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14.18．解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝100×（60×10－20×10）270×30×80×20＝10021≈4.762.由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}，其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1，2，b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1，2，3. Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.19. (1)证明：在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F ，G 分别是A 1C 1，BC ，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ，EC 1＝12A 1C 1.因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形，所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3. 所以三棱锥E ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.20. (1)证明：因为对任意 x ∈R，都有f (－x )＝e －x ＋e －(-x)＝e －x ＋e x＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x－1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x(x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2 （t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以－1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．因此 m ≤－1321. (1)证明：连接BD ，在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝2，由AC ＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE .(2)在直角梯形BCDE 中，由BD ＝BC ＝2，DC ＝2，得BD ⊥BC . 又平面ABC ⊥平面BCDE ，所以BD ⊥平面ABC .作EF ∥BD ，与CB 的延长线交于点F ，连接AF ，则EF ⊥平面ABC . 所以∠EAF 是直线AE 与平面ABC 所成的角．在Rt △BEF 中，由EB ＝1，∠EBF ＝π4，得EF ＝22，BF ＝22；在Rt △ACF 中，由AC ＝2，CF ＝322，得AF ＝262. 在Rt △AEF 中，由EF ＝22，AF ＝262，得tan ∠EAF ＝1313. 所以，直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值是1313.22. 解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )．(i)若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1时成立．故此时f (x )在R 上是增函数．(ii)由于a ≠0，故当a ＜1时，f ′(x )＝0有两个根；x 1＝－1＋1－a a ，x 2＝－1－1－aa.若0＜a ＜1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)是减函数．若a ＜0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时，f ′(x )＜0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时f ′(x )＞0，故f (x )在(x 1，x 2)是增函数．(2)当a ＞0，x ＞0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＞0，故当a ＞0时，f (x )在区间(1，2)是增函数．当a ＜0时，f (x )在区间(1，2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a＜0.综上，a 的取值范围是－54≤a ＜0或(0，＋∞)。

黑龙江省哈师大附中2017届高三3月月考(数学理)(含答案)word版

哈师大附中2016—2017学年度高三4月月考数学试题（理）一、选择题（每小题5分，共计60分） 1．设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()RC A B 等于（）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅2．已知53sin ,,2=⎪⎭⎫⎝⎛∈αππα，则)4tan(πα+等于（）A ．7B ．7-C ．71 D ．71- 3．设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=（）A ．-3B ．-1C ．１D ．３ 5．已知354sin )6cos(=+-απα 的值是则)67sin(πα+ （）A ．-532 B ．532 C ．-54 D ．546．设12322()log (1)2x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为（）A ．(1,2)(3,)⋃+∞ B．)+∞ C．(1,2))⋃+∞ D ．（1，2）7．设25abm ==，且112a b+=，则m = （）AB ．10C ．20D ．1008．若函数)0(c o s s i n)(>+=ωωωx a x x f 的图象关于点M )0,3(π对称，且满足)6()6(x f x f +=-ππ，则ω+a 的一个可能的取值是（）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．910．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是（）①图象C 关于直线11π12x =对称；②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称；③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④11．设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（）A ．9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ B ．[0,)+∞C ．9[,)4-+∞D ．9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦12．函数)(x f 的定义域为()()+∞⋃∞-,11,，且)1(+x f 为奇函数，当1>x 时，16122)(2+-=x x x f ，则直线2=y 与函数)(x f 图象的所有交点的横坐标之和是） A ．1 B ．2 C ．4D ．5二、填空题（每小题5分，共计20分） 13．若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= ． 14．由一条曲线)0(1>=x xy 与直线2,1==y y 以及y 轴所围成的曲边梯形的面积是______。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期开学考试数学(理)试题Word版含答案

哈师大附中 2017-2018 学年度高三上学期开学考试数学试题（理科）考试时间： 90 分钟满分： 150 分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1. 以下函数中，不知足f (2 x) 2 f (x) 的是A ． f ( x) ＝ | x |B ． f ( x) ＝ x -| x |C ． f ( x) ＝ x + 1D ． f ( x) ＝－ x2．设 x Z , 会合 A 是奇数集 , 会合 B 是偶数集 . 若 p : xA, 2x B , 则A ． p : xA,2 x BB ． p : x A, 2x BC ． p : xA,2x BD ． p : xA,2 x B3. 已知函数 y=1 xx 3 的最大值为2B. 2C.2D.2 2A.24. 已知函数 f ( x)A cos( x)( A0,0,R) , 则“ f (x) 是奇函数”是“的A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件5．设 a { 1,1, 1,3} ，则使函数yx a 的定义域为 R 且为奇函数的全部 a 的值为2A.1,3B.1,1C.1,3D.1,1,36．已知函数 f ( x)lg( 1 4x22 x)1 ，则 f (lg 2)f (lg 1)22A ．－ 1 B． 0C． 1 D． 27. 已知函数 fx 的定义域是1,2 , 则 y f x f x 的定义域是”2A.1,1B ．2,2C ．1,2D.2,18. 已知函数2的图象与 x 轴的交点起码有一个在原点右边，则实数mf ( x) ＝ mx ＋ ( m －3) x ＋ 1的取值范围是A ．(0 ，1)B ．(0 ，1]C ． ( －∞， 1)D ．( －∞， 1]9. 定义在R上的偶函数 f ( x) 满足：对任意的 x 1 , x 2 ( ,0]( x 1 x 2 ) ，有( xx ) ( f ( x )f (x ) .)则当0n N * 时 , 有（）2121A. f ( n) f ( n 1) f (n 1) B C. f (n 1)f ( n)f (n 1)D.f (n 1) f ( n) f ( n 1) .f (n 1)f ( n 1)f ( n)10. 已知 { a n } 是递加数列，关于随意的正整数n 均有 a nn2n 恒成立，则实数的取值范围是A ． 2,B ．3,C ． RD ．11. 已知函数 f ( x)ax 2bx ，假如关于实数 a 的某些值，能够找到相应正数 b ，使得f x 的定义域与值域同样，那么切合条件的实数 a 的个数是A ．1个B ．2 个 C．3个D．4个12. 设方程 2x log 2 ( x) 的两个根分别为 x 1， x 2，则A ．x 1x 2＜ 0B． 0＜ x 1x 2＜ 1 C． x 1x 2＝ 1D． x 1x 2＞ 1第Ⅱ卷（非选择题共 90分）二、填空题（本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分）1 x 213. 函数 y 2 的值域为 ___________.1 x14. 若函数 ykx2016的定义域为 R ，则实数 k 的取值范围是 _______.kx 2 4kx 3log 2 x, x 0, 则 f f1 15. 已知函数 f x_______.3x , x 0416.若函数 f (x) ＝a10x为奇函数，则实数 a ＝_______．1a 10x三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (此题满分12 分）数列a n的前 n 项和 S n， a11,S n5a n 1（ n N ），求a n.18.( 此题满分 12 分）设一个口袋中装有10 个球此中红球 2 个，绿球 3 个，白球 5 个，这三种球除颜色外完整同样.从中一次随意选用 3 个，取后不放回.（1）求三种颜色球各取到 1 个的概率；（2）设 X 表示取到的红球的个数，求X 的散布列与数学希望 .19.( 此题满分 12 分）如图，三棱锥 P ABC 中， PC平面ABC,PC3,AC B. , D 分E别为线段2AB, BC 上的点，且CD DE2, CE2EB 2.（1）证明：DE平面 PCD ；（2）求二面角A PD C 的余弦值.20.( 本小题 12 分）已知过原点的动直线l 与圆 C1 : x2 + y2 - 6 x + 5 = 0 订交于不一样的两点 A ， B .（ 1）求圆C1的圆心坐标；（ 2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）能否存在实数k，使得直线L : y = k( x - 4)与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明原因.21. ( 此题满分12 分）设函数 f ( x)1aln x ax 1.1x时，求函数 f (x) 的单一区间；（ 1）当a3（ 2）在（ 1）的条件下，设函数g( x) x22bx 5，若关于x1 [1,2], x2 [0,1] ，使12f (x1) g( x2 ) 成立，务实数 b 的取值范围 .请从下边所给的22 , 23二题中任选一题做答，多答按所答第一题评分.22.( 此题满分10 分）选修4— 4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴，圆 C 的极坐标方程为4 2 cos() ．4（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P (2,0) 作斜率为1直线l与圆C交于 A, B 两点，试求11PA 的值 .PB23.（此题满分 10 分）选修 4— 5：不等式选讲已知定义在R 上的函数 f x x 1 x 2 的最小值为 a .（ 1）求a的值；2）若p q rp q r a ，求证：p q r3.（，，为正实数，且222哈师大附中2014-2015 年度高三上学期开学考试数学答案（理科）一．选择题CDDBA CADCB BB二．填空题13. ( 1,1] 14.[0,315.11或1)16.49三．解答题17. 解：（ 1） n 1时，S 1a 1 5a 2a 21 25（ 2） n 2 时， S n 1 5a n 1a n S nSn 15a n 15a n 6an 16 8a n5n 2a n a 26 1 ( 6) n 2 1055 51 ( n 1) 综上： a n1 6 ) n2 125 ( (n 2)518. 解：（ 1）设 A 表示事件“三种颜色的球各取到一个”2则 P(A)C 21C 31C 511 6C 3 410（2） X 的全部可能值为 0,1,2 7且P(XC 83 7P( XC 21C 827 C 22C 8110)151)P( X 2)15C 103C 10315C 103X 的散布列为10X 01 2P77 1151515E(X)71721 3 121515（个）15519.(1) 证明：由 PC 平面 ABC ， DE 平面ＡＢＣ，故 PC DE 2由 CE＝２，CD=DE＝２得ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CD DE4由 PC CD=C， DE垂直于平面PCD内两条订交直线，故DE平面PCD6(2)解：由（１）知，CDE为等腰直角三角形，DCE＝，4,过点Ｄ作 DF垂直 CE于Ｆ，易知 DF＝ FC＝ EF＝１，又已知 EB＝１，故 FB＝２．由 ACB＝得 DF//AC，DF=FB=2，故 AC＝3DF＝3．2,AC BC322以Ｃ为坐标原点，分别以 CA, CB,CP 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向成立空间直角坐标系，8则Ｃ(0,0,0,)，Ｐ(0,0,3)，Ａ(3,0,0),Ｅ(0,2,0)，Ｄ(1,1,0)，2ED=(1,-1,0),DP =(-1,-1,3),DA １( ,-1,0)２设平面 PAD 的法向量１＝（ x,y1,z1) ，n1x1y13z10由 n１ DP0,n１ DA01x1故 n１＝(2,1,1) y10210进而法向量 n1， n2的夹角的余弦值为cos n1 , n2n1 n2=3 ，|n1 | |n2 |6故所求二面角 A- PD- C的余弦值为 3 .12620．解：（1）由x2y26x50 得 x32y24，∴ 圆C1的圆心坐标为3,0； 2（2）设M x, y，则∵ 点 M 为弦 AB 中点即C1M AB ，∴ k C M kAB1即y y 1，1x3x2y29∴线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为x35x 3 ；6243（ 3）由（ 2）知点M的轨迹是以C 3,0为圆心 r3为半径的部分圆弧 EF 22（以以下图所示，不包含两头点），且E 5 , 25， F5, 2 5 ，3333又直线 L ： y k x 4 过定点 D4,0，k340当直线 L 与圆C相切时，由2123得 k3， 8k22402532 5 ，又 k DE kDF105473联合上图可知当k 3 , 325,25时，4477直线 L ： y k x 4 与曲线C只有一个交点．1221. 解：（ 1）f ( x)x23x2( x1)( x2)3x23x22因此当 0x1或 x2时， f( x)0; 当 1 x 2时， f(x)0故当 a 1f ( x) 单一递加区间为(1,2) ，单一递减区间为(0,1),(2,) 4时，函数3（2）当a 1f (x) 在区间 (1,2) 上为增函数，因此函数 f (x) 在 [1,2]时，由（ 1）知函数32上的最小值为 f (1)3若关于x1[1,2], x2[0,1] 使 f (x1) g( x2 ) 成立g ( x) 在 [0,1] 上的最小值不大于 f ( x) 在 [1,2] 上的最小值 2 6355, x又 g( x)x22bx( x b) 2b2[0,1]12125 2,矛盾①当 b0时， g(x) 在 [0,1] 上为增函数， g( x)ming(0)123②当 0b 1时， g(x)ming(b)b 25 ，由 b 2 5 2 及 0 b 1 ，得112123b1272，此时 b③当 b1时， g(x) 在 [0,1] 为减函数， g(x)ming(1)2b 1 10123综上所述， b 的取值范围是 [ 1,) 12222.23．（ 1） x 1 x 2 ( x 1) ( x 2) 33当且仅当1 x2 时，等号成立，f (x)min3,a 310（ 2）由（ 1）知 p q r3 ，又 p, q,r R( p 2 q 2 r 2 )(1212 12 ) ( p q r )2 =9 8即 p 2q 2 r 23 10。

黑龙江省哈师大附中2016-2017学年高二上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析

2016-2017学年黑龙江省哈师大附中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一．选择题（每题5分，共60分）1．到两定点F1（﹣2，0）和F2（2，0）的距离之和为4的点M的轨迹是（）A．椭圆 B．线段 C．圆D．以上都不对2．椭圆+=1的焦点在y轴上，则m的取值范围是（）A．0＜m＜B．﹣1＜m＜C．﹣1＜m＜0 D．m＞03．命题“若a＞1且b＞1，则a+b＞2且ab＞1”的逆否命题是（）A．若a+b≤2且ab≤1，则a≤1且b≤1 B．若a+b≤2且ab≤1，则a≤1或b≤1C．若a+b≤2或ab≤1，则a≤1且b≤1 D．若a+b≤2或ab≤1，则a≤1或b≤14．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）A．﹣1 B．1 C． D．﹣5．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴相切，则该圆的标准方程是（）A． B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．7．已知F1，F2为椭圆C：=1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=3|PF2|，则cos∠F1PF2等于（）A． B． C． D．8．直线y=x﹣1上的点到圆x2+y2+4x﹣2y+4=0上的点的最近距离为（）A． B． C． D．09．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E是棱CD中点，则直线A1E与直线BC1所成角的余弦值为（）A． B． C． D．010．椭圆+=1的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上任一点，则|PF1||PF2|的最小值为（）A．25 B．16 C．10 D．911．已知命题p：∃x∈R，x+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为（）A．m≥2 B．m≤﹣2 C．m≤﹣2或x≥2 D．﹣2≤m≤212．倾斜角为60°的直线与椭圆+=1（a＞b＞0）交于A，B两点，若+与=（4，﹣）共线，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二．填空题（每题5分，共20分）13．命题“∃x∈（﹣∞，0），有x2＞0”的否定是．14．直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=．15．椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8，椭圆E的方程是．16．倾斜角为θ的直线过离心率是的椭圆C：+=1（a＞b＞0）右焦点F，直线与C交于A，B两点，若=7，则θ=．三．解答题：（共70分）17．已知A，B是椭圆C：+=1的左右顶点，P是异于A，B的椭圆上一点，．（1 ）求P到定点Q（0，1）的最大值；（2）设PA，PB的斜率为k1，k2，求证：k1k2为定值．18．直线l：y=kx+m与椭圆C：+=1．（1）原点到l的距离为1，求出k和m的关系；（2）若l与C交于A，B两点，且•=0，求出k和m的关系．19．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程．20．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．（1）证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）求二面角B﹣FC1﹣C的余弦值．21．△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分别是边AD和BE的中点，平面BCH 与AE、AF分别交于I、G两点（Ⅰ）求证：IH∥BC；（Ⅱ）求直线AE与平面角GIC所成角的正弦值．22．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（1）若PA=1，求证：EF⊥平面PCD；（2）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．2016-2017学年黑龙江省哈师大附中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（每题5分，共60分）1．到两定点F1（﹣2，0）和F2（2，0）的距离之和为4的点M的轨迹是（）A．椭圆 B．线段 C．圆D．以上都不对【考点】轨迹方程．【分析】利用已知条件列出关系式，即可得出点M的轨迹．【解答】解：∵到两定点F1（﹣2，0）和F2（2，0）的距离之和为4的点M，∴|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|，故动点M为线段F1F2上任意一点，即动点M的轨迹是线段F1F2．所求轨迹为线段F1F2．故选：B．2．椭圆+=1的焦点在y轴上，则m的取值范围是（）A．0＜m＜B．﹣1＜m＜C．﹣1＜m＜0 D．m＞0【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件列出不等式，求解即可．【解答】解：椭圆+=1的焦点在y轴上，可得：，解得﹣1＜m＜0．故选：C．3．命题“若a＞1且b＞1，则a+b＞2且ab＞1”的逆否命题是（）A．若a+b≤2且ab≤1，则a≤1且b≤1 B．若a+b≤2且ab≤1，则a≤1或b≤1C．若a+b≤2或ab≤1，则a≤1且b≤1 D．若a+b≤2或ab≤1，则a≤1或b≤1【考点】四种命题．【分析】根据逆否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：命题“若a＞1且b＞1，则a+b＞2且ab＞1”的逆否命题是“若a+b≤2或ab≤1，则a≤1或b≤1”，故选：D4．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）A．﹣1 B．1 C． D．﹣【考点】椭圆的简单性质．【分析】把椭圆5x2+ky2=5的方程化为标准形式，得到c2的值等于4，解方程求出k．【解答】解：椭圆5x2+ky2=5 即x2 +=1，∵焦点坐标为（0，2），c2=4，∴﹣1=4，∴k=1，故选B．5．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴相切，则该圆的标准方程是（）A． B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．【考点】圆的标准方程．【分析】设圆心，然后圆心到直线的距离等于半径可解本题．【解答】解：设圆心为（a，1），由已知得，∴．故选B．7．已知F1，F2为椭圆C：=1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=3|PF2|，则cos∠F1PF2等于（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义，结合|PF1|=3|PF2|，求出|PF1|=3，|PF2|=1，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：由椭圆C：=1，得a2=4，b2=1，则，设|PF1|=3|PF2|=3m，则根据椭圆的定义，可得3m+m=4，∴m=1，∴|PF1|=3，|PF2|=1，∵|F1F2|=2c=．∴cos∠F1PF2=．故选：B．8．直线y=x﹣1上的点到圆x2+y2+4x﹣2y+4=0上的点的最近距离为（）A． B． C． D．0【考点】点到直线的距离公式；圆的标准方程．【分析】求出圆心和半径，求圆心到直线的距离，此距离减去半径即得所求的结果．【解答】解：由题设知圆心为C（﹣2，1），半径r=1，而圆心C（﹣2，1）到直线x﹣y﹣1=0距离为，因此，圆上点到直线的最短距离为，故选C．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E是棱CD中点，则直线A1E与直线BC1所成角的余弦值为（）A． B． C． D．0【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角．【分析】令正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，建立空间坐标系，利用向量法，可得直线A1E与直线BC1所成角的余弦值．【解答】解：令正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，建立如图所示的坐标系，则=（1，0，1），=（1，﹣，﹣1），则直线A1E与直线BC1所成角θ的余弦值为：cosθ==0，故选：D．10．椭圆+=1的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上任一点，则|PF1||PF2|的最小值为（）A．25 B．16 C．10 D．9【考点】椭圆的简单性质．【分析】由焦半径公式|PF1|=a﹣ex，|PF2|=a+ex．|PF1|•|PF2|=（a﹣ex）（a+ex）=25﹣x2，由x∈[﹣5，5]，即可得出．【解答】解：椭圆+=1，a=5，b=4，c=3，e==．由焦半径公式|PF1|=a﹣ex，|PF2|=a+ex．|PF1|•|PF2|=（a﹣ex）（a+ex）=a2﹣e2x2=25﹣x2，∵x∈[﹣5，5]，∴x=±5时，|PF1||PF2|的最小值为16．故选：B．11．已知命题p：∃x∈R，x+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为（）A．m≥2 B．m≤﹣2 C．m≤﹣2或x≥2 D．﹣2≤m≤2【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】由已知可得命题p为真命题，若p∧q为假命题，则命题q为假命题，即∃x∈R，x2+mx+1≤0成立，结合二次函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：：∃x≤﹣1∈R，使x+1≤0，故命题p为真命题，若p∧q为假命题，则命题q为假命题，故命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0恒成立不成立，故∃x∈R，x2+mx+1≤0成立，故△=m2﹣4≥0，解得：m≤﹣2或x≥2故选：C．12．倾斜角为60°的直线与椭圆+=1（a＞b＞0）交于A，B两点，若+与=（4，﹣）共线，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知，直线AB的斜率k=tan60°=，设直线AB的方程为y=x+m，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，则y1+y2=（x1+x2）+2m，+与=（4，﹣）共线，因此﹣（x1+x2）=4（y1+y2），整理得：5（x1+x2）+8m=0，将x1+x2=﹣代入求得3a2=4b2，由b2=a2﹣c2，求得a=2c，由椭圆的离心率公式可知：e===．【解答】解：由题意，由题意可知：直线AB的斜率k=tan60°=，则设直线AB的方程为y=x+m，则，整理得（b2+3a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可知：x1+x2=﹣，则y1+y2=（x1+x2）+2m，由+=（x1+x2，y1+y2），∵+与=（4，﹣）共线，∴﹣（x1+x2）=4（y1+y2），即4（y1+y2）+（x1+x2）=0，∴4[（x1+x2）+2m]+（x1+x2）=0，∴5（x1+x2）+8m=0，∴5×（﹣）+8m=0，=4，整理得：3a2=4b2，由b2=a2﹣c2，∴3a2=4（a2﹣c2），整理得：a2=4c2，则a=2c，由椭圆的离心率e===，∴椭圆的离心率，故选A．二．填空题（每题5分，共20分）13．命题“∃x∈（﹣∞，0），有x2＞0”的否定是∀x∈（﹣∞，0），x2≤0．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈（﹣∞，0），有x2＞0”的否定是：∀x∈（﹣∞，0），x2≤0．故答案为：∀x∈（﹣∞，0），x2≤0．14．直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】可以直接求出A、B然后求值；也可以用圆心到直线的距离来求解．【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，故，得|AB|=2．故答案为：2．15．椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8，椭圆E的方程是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知结合椭圆定义可得4a=8，即a=2，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求．【解答】解：由△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，又e=，得c=1，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆E的方程为．故答案为：．16．倾斜角为θ的直线过离心率是的椭圆C：+=1（a＞b＞0）右焦点F，直线与C交于A，B两点，若=7，则θ=或．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，结合椭圆的第二定义列式求得答案．【解答】解：如图，设椭圆的右准线为l，过A，B作AM，BN垂直于l，过B作BE垂直AM于E，则|AM|=，BN=，由=7，得|AM|=7|BN|，∴=．∴∠BAE=；当A在x轴上方时，同理可得．故答案为：或．三．解答题：（共70分）17．已知A，B是椭圆C：+=1的左右顶点，P是异于A，B的椭圆上一点，．（1 ）求P到定点Q（0，1）的最大值；（2）设PA，PB的斜率为k1，k2，求证：k1k2为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：设P（4cosα，2sinα），α∈[0，2π），则|PQ|2=（4cosα）2+（2sinα﹣1）2=﹣12（sinα+）2++17，当sinα+=0，即sinα=﹣时，|PQ|取得最大值，|PA|max==；（2）设P（x，y）（y1≠0），A（﹣4，0），B（4，0），根据两点之间的距离公式求得，则k1=，k2=，k1k2=•=，P（x1，y1）在椭圆上，=﹣，k1k2为定值．【解答】解：（1）由题意可知：设P（4cosα，2sinα），α∈[0，2π），则|PQ|2=（4cosα）2+（2sinα﹣1）2=16cos2α+4sin2α﹣4sinα+1，=16（1﹣sin2α）+4sin2α﹣4sinα+1，=﹣12sin2α﹣4sinα+17，=﹣12（sinα+）2++17，∴当sinα+=0，即sinα=﹣时，|PQ|取得最大值，|PA|max==；（2）证明：设P（x，y）（y1≠0），A（﹣4，0），B（4，0）则k1=，k2=，k1k2=•=，∵P（x1，y1）在椭圆上，+=1，整理得：=﹣∴k1k2为定值﹣．18．直线l：y=kx+m与椭圆C：+=1．（1）原点到l的距离为1，求出k和m的关系；（2）若l与C交于A，B两点，且•=0，求出k和m的关系．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用点到直线的距离公式即可得出．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△＞0，化为：4k2+3＞m2．由•=0，可得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，代入即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：=1，可得m2=1+k2．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化为：4k2+3＞m2．∴x1x2=，x1+x2=，∵•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴（1+k2）×+km•+m2=0，化为：7m2﹣12k2=12（4k2+3＞m2）．19．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程．【考点】椭圆的标准方程；直线的一般式方程；椭圆的应用．【分析】（Ⅰ）先设出椭圆标准方程，根据题意可知b=c，根据准线方程求得c和a的关系，进而求得a，b和c，则椭圆方程可得．（Ⅱ）设出直线l的方程和A，B的坐标，进而把直线方程与椭圆方程联立，消去y，根据判别式大于0求得k的范围，根据韦达定理求得x1+x2，x1x2的表达式，表示出|AB|，求得原点到直线的距离，进而表示出三角形的面积，两边平方根据一元二次方程，建立关于S的不等式，求得S的最大值，进而求得k，则直线方程可得．【解答】解：设椭圆方程为（Ⅰ）由已知得⇒，∴所求椭圆方程为8x2+16y2=1．（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）由，消去y得关于x的方程：（1+2k2）x2+8kx+6=0，由直线l与椭圆相交于A、B两点，∴△＞0⇒64k2﹣24（1+2k2）＞0解得又由韦达定理得∴=原点O到直线l的距离∵．对两边平方整理得：4S2k4+4（S2﹣4）k2+S2+24=0（*）∵S≠0，整理得：又S＞0，∴的最大值为，从而S△AOB此时代入方程（*）得4k4﹣28k2+49=0∴所以，所求直线方程为：．20．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．（1）证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）求二面角B﹣FC1﹣C的余弦值．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）可以通过证明面面平行来证明线面平行；（2）通过建立空间直角坐标系，先求出两个平面的法向量，则两个平面的法向量的夹角即为两平面的二面角或其补角．【解答】解：（1）∵F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，∴CD∥AF，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD∥FC．又CC1∥DD1，FC∩CC1=C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，∴平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，∴EE1∥平面FCC1．（2）过D作DR⊥CD交于AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．则F（，1，0），B（，3，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），∴=（0，2，0），=（﹣，﹣1，2），=（，3，0）．由FB=CB=CD=DF，∴四边形BCDF是菱形，∴DB⊥FC．又CC1⊥平面ABCD，∴为平面FCC1的一个法向量．设平面BFC1的一个法向量为=（x，y，z），则得，可得y=0，令x=2，则z=，∴．∴===．故所求二面角的余弦值为．21．△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分别是边AD和BE的中点，平面BCH 与AE、AF分别交于I、G两点（Ⅰ）求证：IH∥BC；（Ⅱ）求直线AE与平面角GIC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质．【分析】（I）DE∥BC，可得DE∥平面BCH，可得DE∥IH，即可证明IH∥BC．（II）建立如图所示的空间直角坐标系．设平面BCH的法向量为=（x，y，z），则，设直线AE与平面角GIC所成角为θ，则sinθ=|cos|=．【解答】（I）证明：DE∥BC，DE⊄平面BCH，BC⊂平面BCH，∴DE∥平面BCH，∵平面ADE∩平面BCH=IH，∴DE∥IH，∴IH∥BC．（II）解：建立如图所示的空间直角坐标系．D（0，0，0），A（0，0，2），E（0，﹣2，0），C（2，0，0），H（0，0，1），B（2，﹣4，0），=（﹣2，0，1），=（0，﹣4，0），=（0，﹣2，﹣2）．设平面BCH的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（1，0，2）．设直线AE与平面角GIC所成角为θ，则sinθ=|cos|===．22．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（1）若PA=1，求证：EF⊥平面PCD；（2）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取PD中点M，连接MF、MA，先证明EF∥AM，然后证明AM⊥平面PCD，利用直线平行的性质即可证明EF⊥平面PCD，（2）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则平面PAD的法向量与平面PAQ的法向量的夹角的余弦值即为，建立方程进行计算求解即可．【解答】证明：（1）取PD中点M，连接MF、MA，在△PCD中，F为PC的中点，∴MF，正方形ABCD中E为AB中点，∴AE，∴AEMF，故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，若PA=1，则PA=AD=1，即三角形PAD是等腰直角三角形，∵M是中点，∴AM⊥MD，∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，∵CD∩MD=D，∴AM⊥平面PCD，∵EF∥AM，∴EF⊥平面PCD；（2）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，，0），F（，，1），由题易知平面PAD的法向量为=（0，1，0），假设存在Q满足条件：设=λ，∵=（，0，1），∴Q（，，λ），=（，，λ），λ∈[0，1]，设平面PAQ的法向量为=（x，y，z），由，可得=（1，﹣λ，0），∴==，由已知：=，解得：，所以满足条件的Q存在，是EF中点．2017年1月11日。

黑龙江省哈师大附中高三数学第一次月考试题理(含解析)

哈师大附中高三数学月考试题【试卷分析】试题中有相当一部分试题是对基本知识、基本技能、基本方法的考查应更多地在知识网络的交汇点上设计试题，在综合中考查能力.高中数学的主干知识在高考命题中的主要综合有：“函数、方程、导数与不等式的综合”、“函数与数列的综合”、“三角、向量的综合”等。

数学思想方法是知识综合的统帅和纽带，是综合能力的中心.数学思想总结提炼为：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归思想、猜证结合思想。

因此，自觉地、尽早地领悟数学思想方法，以综合能力为重点和难点，强化训练，使解题策略与方法明确化和系统化.一．选择题：（每小题5分，共60分）【题文】1．集合1 |01x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭ {} B |13x x =-<，则 A B=⋂( ) A.()-2,-1 B. [)1,4 C.()[)-2,-1 1,4 ⋃ D.()-2,4【知识点】集合与集合之间的交集.A1 【答案解析】C 解析：解：A 集合可转化为()(){}{}|110|x 1,x 1x x x x -+≥=≥≤-，B集合为{}|24x x -≤≤，所以A B ⋂的结果为C 选项.【思路点拨】分别求出两个集合中元素的范围，再求交集. 【题文】2．下列函数在()1,+∞上为增函数的是 ()A.1y x =-- B.2y x x =+C.311x y x +=+ D ．()2y x x =-【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：解：由函数的单调性可知，311x y x +=+231x =-+在()1,-+∞上为增函数.所以只有C 正确.【思路点拨】利用分离常数法化简函数，再根据反比例的形式判定.【题文】3．下列命题中，假命题的是( )A ．1,20x x R -∀∈> B. ()2*,10x N x ∀∈-> C.,lg 1x R x ∃∈<D.,tan 2x R x ∃∈=【知识点】指数函数与对数函数B6,B7【答案解析】B 解析：解：由题意可分析每一个选项，可知当1x =时，()210x -=，所以B 为假命题，所以应选B.【思路点拨】根据指数函数与对数函数的性质，对每一个选项进行分析.【题文】4．已知点P 在角43π的终边上，且4OP =,则P 点的坐标为 ( )A.()-2,-23B. 13-,- 22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.()-23,-2D ．31-,-22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 【知识点】三角函数的概念.C1【答案解析】A 解析：解：由三角函数的定义可知，()2243sinsin ,42,23332x y ππ=-=-+=∴--，所以A 正确.【思路点拨】根据直角坐标系中三角函数的定义可得到答案.【题文】5.函数()121log 31x y x x +=≥-的值域是 ( )A ．(]0,1B.[)-1,0 C. [)-1,+ ∞ D. (],1-∞-【知识点】对数函数B7【答案解析】B 解析：解：由定义域可求121222131121log 101111x x x x x x +=+≥∴<+≤∴-≤+<----Q .所以B 为正确选项.【思路点拨】对真数进行化简，再利用对数函数的性质求解.【题文】6.设0.3log 4a =，0.3log 0.2b =，1c e π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ( ) A. a b c >> B. b c a >> C. b a c >> D. c b a >> 【知识点】指数函数与对数函数.B6,B7【答案解析】B 解析：解：因为根据对数函数的性质可知0.30.31log 0.21,01,log 40b c c a b c ae π⎛⎫=>=∴<<=<∴>> ⎪⎝⎭，所以B 为正确选项.【思路点拨】根据指数函数与对数函数的性质可判断值的大小. 【题文】7.已知偶函数()f x 满足()10f -=，且在区间[)0,+ ∞上为减函数，不等式()2log 0f x >的解集为( )A ．()-1,1B ．()()-,-1 1, ∞⋃+∞C ． 1,2 2⎛⎫ ⎪⎝⎭D . ()10, 2, 2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【知识点】函数的奇偶性B4【答案解析】C 解析：解：根据题意，不等式f （log2x ）＞f （1），∵偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上为减函数，∴转化为-1＜log2x ＜1或log2x ＞-1，∴122x <<故选：C ．【思路点拨】根据题意，不等式f （log2x ）＞f （1），偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上为减函数，转化为-1＜log2x ＜1或log2x ＞-1，即可求出不等式f （log2x ）＞0的解集．【题文】8.已知函数()()()3sin 0f x x ωϕω=+>，若33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为（）A.2B.4C. 6D.8 【知识点】三角函数性质C3【答案解析】A 解析：解：由题意代入3sin 3sin 123332k ππππϖϕϖϕϖϕπ⎛⎫⎛⎫+=∴+=∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①又因为3sin 0sin 02121212k πππϖϕϖϕϖϕπ⎛⎫⎛⎫+=∴+=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②综合①②可得最小值为2ϖ=所以A 正确.【思路点拨】根据已知条件可求出角的取值范围，再利用特殊值求出最小值.【题文】9.已知()1sin cos 02θθθπ+=<<，则tan 2θ值为（）A. 377 B.73 C.377- D. 73-【知识点】三角恒等式.C7【答案解析】C 解析：解：由题可知()2137sin cos 2sin cos cos 0sin cos 442θθθθθθθ+=∴=-∴<-=71711771472sin sin ,cos tan 244317θθθ++-++∴=∴==∴==--，根据公式可得22tan 37tan 21tan 7θθθ==--.所以C 为正确选项.【思路点拨】根据三角函数的公式可直接求出结果. 【题文】10.()(),f x g x 都是定义在R 上且不恒为0的函数，下列说法不正确的是（）A.若()f x 为奇函数，则()y f x =为偶函数B. 若()f x 为偶函数，则()y f x =--为奇函数C.若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则 ()y f g x =⎡⎤⎣⎦为偶函数D.若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则()()y f x g x =+非奇非偶【知识点】函数的奇偶性.B4【答案解析】B 解析：解：解：对于A ，若f （x ）为奇函数，则|f （-x ）|=|-f （x ）|=|f （x ）|，所以y=|f （x ）|为偶函数；正确；对于B ，若f （x ）为偶函数，则-f （-x ）=-f （x ），与y=-f （-x ）关系不确定，所以B 错误；对于C ，若f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数，则 f[g （-x ）]=f[g （x ）]，所以y=f[g （x ）]为偶函数；C 正确；对于D ，若f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数，则f （-x ）+g （-x ）=-f （x ）+g （x ），所以函数y=f （x ）+g （x ）是非奇非偶；所以D 正确．故选：B ．【思路点拨】利用奇偶函数的定义分别判断解答【题文】11. 已知()f x ()()=sin 0,0A x A ωϕω+>>的一段图象如下，则()f x 的解析式为（） A ．()4=2sin 23f x x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．()=2sin 23f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．()=2sin 23f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．()=2sin 26f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【知识点】三角函数的图像.C3【答案解析】C 解析：解：由图象可得A=2，25263πππϖ=-，解得ω=2，∴f （x ）=2sin （2x+φ），又图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，222sin 033k ππϕϕπ⎛⎫+=∴+= ⎪⎝⎭∴解得2,3k k z πϕπ=-∈当k=1时，()2sin 233f x x ππϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭故选：C 【思路点拨】根据函数的图像可直接求出结果.【题文】12．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<=)1(32)10(ln )(x x x x xx f ，若函数()()g x f x kx k =-+的零点有2个，则 k 的取值范围（ )A ．(]1,2 B. ]1,0( C ． ]3,1( D ．()1,+ ∞【知识点】导数与切线B11【答案解析】B 解析：解：令g （x ）=f （x ）-kx+k=0， ∴f （x ）=k （x-1），令h （x ）=k （x-1），画出函数f （x ），g （x ）的图象，如图示：，直线y=k （x-1）经过定点（1，0），斜率为k ．当 0＜x ＜1时，()11f x x '∴=>当x≥1时，()2332,22f x x ⎛⎫'∴=-∈- ⎪⎝⎭∴1＜k≤2，【思路点拨】题意可得函数y=f （x ）的图象和直线y=k （x-1）只有2个交点，数形结合求得k 的范围．二．填空题：（每小题5分，共20分）【题文】13．31cos6π= ________．【知识点】三角函数的求值.C7【答案解析】32-解析：解：由题意可得313coscos 4cos cos 66662πππππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【思路点拨】根据诱导公式化简求值.【题文】14. 在ABC ∆中，422sin ,cos 53A B ==，则cos C =__________．【知识点】解三角形C8【答案解析】46215±解析：解：由题意可知()()31cos ,sin cos cos cos cos cos sin sin 53A B C A B A B A B A B π=±=∴=-+=-+=-+⎡⎤⎣⎦代入可知462cos 15C ±∴=【思路点拨】根据三角函数，结合三角形内角的关系可直接求出结果. 【题文】15.定义在()0,+ ∞上的函数()f x 满足 ()()22f x f x =，当[)1,2x ∈时，()2f x x =，则()10f =.【知识点】函数的性质.B10【答案解析】252 解析：解：解：∵当x ∈[1，2）时，f （x ）=x2，525416f ⎛⎫∴=⎪⎝⎭，又∵函数f （x ）满足 f （2x ）=2f （x ）， ()()5525102548222f f f⎛⎫⎛⎫∴====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：252【思路点拨】由已知条件可直接求值.【题文】16.定义在R 上的函数()()320f x ax bx cx a =++≠的单调增区间为()-1,1 ，若方程()()()2320a f x bf x c ++=恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是 .【知识点】函数与方程B9 【答案解析】a解析：解：解：∵函数f （x ）=ax3+bx2+cx （a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），∴f'（x）＞0的解集为（﹣1，1），即f'（x）=3ax2+2bx+c＞0的解集为（﹣1，1），∴a＜0，且x=﹣1和x=1是方程f'（x）=3ax2+2bx+c=0的两个根，即﹣1+1=，，解得b=0，c=﹣3a．∴f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），则方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0等价为3a（f（x））2﹣3a=0，即（f（x））2=1，即f（x）=±1．要使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1．各有3个不同的根，∵f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），∴f'（x）=3ax2﹣3a=3a（x2﹣1），∵a＜0，∴当f'（x）＞0得﹣1＜x＜1，此时函数单调递增，当f'（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此时函数单调递减，∴当x=1时，函数取得极大值f（1）=﹣2a，当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=2a，∴要使使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1各有3个不同的根，此时满足f极小（﹣1）＜1＜f极大（1），即2a＜1＜﹣2a，即，即a，故答案为：a．【思路点拨】根据题意求方程，利用数形结合的方法可求a的取值范围.三．解答题：（共70分）【题文】17．（10分）已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5sin5α=（1）求sin4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）求5cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017届高三上学期期中

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共12题1．复数的虚部A. B. C.1 D.-1【答案】D【解析】主要考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念.因为复数所以复数的虚部为：-1.故选D.2．已知集合，则A.，B.，C.，，D.【答案】A【解析】主要考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.由A中的不等式变形可得：且解得：或即由B中得到，则，故选A.3．已知函数是奇函数，且当＞时，，则﹣A.﹣2B.0C.1D.2【答案】A【解析】主要考查奇函数的性质以及函数求值问题.因为函数是奇函数，且当＞时，，所以故选A.4．在区间上随机取一个数，使的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】主要考查几何概型和三角函数值.因为，所以在区间内，所以事件“”发生的概率为故选B.5．若，则向量与的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】主要考查了向量的平行四边形法则、矩形的性质，直角三角形的边角关系，考查了数形结合的思想方法，推理能力和计算能力.作以为邻边作平行四边形则,因为，所以四边形为矩形，所以,所以向量与的夹角为.故选A.6．如果对于任意实数，表示不超过的最大整数．例如，．那么“”是“﹣＜”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】主要考查充分必要条件的判断.由可推出即﹣＜，而取此时﹣＜，而，，，所以“”是“﹣＜”的充分而不必要条件.故选A.7．二项式(x2-)11的展开式中,系数最大的项为A.第五项B.第六项C.第七项D.第六项和第七项【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理的基础知识,意在考查考生的分析能力.由于(x2-)11展开式的通项公式为T r+1=(-1)r x22-3r,展开式共12项,系数符号一正一负,故当r=6时,展开式中系数最大,为,即第七项系数最大.选C.8．根据如图所示程序框图，若输入，，则输出的值为A.0B.3C.6D.12【答案】C【解析】主要考查程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.第一次执行循环体后，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，满足退出循环的条件；故输出的的值为6.故选C.9．数列的前项和为，若，)，则A. B.C. D.【答案】A【解析】主要考查数列知识的综合应用.由得两式相减可得，则,因为，所以故故选A.10．若，且，则的值为A. B.﹣ C. D.﹣【答案】D【解析】主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式的应用.因为，且，所以化简可得：平方可得解得：故选D.11．穿红黄两种颜色的衣服的各有两人，穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有A.24B.28C.36D.48【答案】D【解析】主要考查一个简单计数问题，在解题时注意应用排除法，从正面解题时情况比较复杂，所以可以写出所有的结果，再把不合题意的去掉.由题意知先使五个人的全排列，共有种结果，穿红色相邻或穿黄色相邻两种情况，共有种，穿红色且穿黄色也相邻情况，有种，故穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是，故选D.12．已知函数的导函数，且，数列是以为公差的等差数列，若，则A.2016B.2015C.2014D.2013【答案】B【解析】主要考查等差数列的通项公式及其性质，利用导数研究函数的单调性，考查了学生的推理和计算能力.因为函数的导函数可设因为可得因为数列是以为公差的等差数列，，令则在上单调递增，又则故选B.二、填空题：共4题13．将高三(1)班参加体检的名学生，编号为：，，，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，已知样本中含有编号为号、号、号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 .【答案】【解析】主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键.样本间距为，则另外一个编号为故答案为15.14．已知，则= 【答案】【解析】主要考查二项式展开式的特定项问题，一般解决这种问题的工具是二项展开式的通项公式；解决系数和问题一般利用的方法是赋值法.的展开式的通项为的奇次方的系数为负数，令二项式中的用代替得到，故答案为512.15．袋子中装有大小相同的个小球，红白，现从中有放回的随机摸球次，每次摸出个小球，则至少有次摸出白球的概率为【答案】【解析】主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式.因为袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，所以每次摸到红球的概率都是，摸到白球的概率都是，所以至少有2次摸出白球的概率为：.故答案为16．已知，满足，则的取值范围是________ 【答案】，【解析】主要考查同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性.变形为设故答案为，三、解答题：共7题17．的内角所对的边分别为，向量(Ⅰ)若，求值;(Ⅱ)若,且角是中最大内角，求角的大小.【答案】(1)所以，，由正弦定理得(2)、、又因为则或,由是最大角所以，【解析】主要考查了平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，倍角公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想.利用平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦公式，三角形内角和定理可求，由正弦定理以及已知即可求解；由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可求，的值，可求联立即可解得的值，结合是最大角，即可解得的值.18．中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛，种子选手与非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响.(Ⅰ)若至少获胜两场的概率大于，则入选征战里约奥运会的最终名单，否则不予入选，问是否会入选最终的名单？(Ⅱ)求获胜场数的分布列和数学期望.【答案】(1)记“种子与非种子、、比赛获胜”分别为事件、、所以，A入选最终名单(2)的可能值为、、、所以，的分布列为所以，数学期望：【解析】主要考查对立事件的概率和离散型随机变量的分布列和期望.记“种子与非种子、、比赛获胜”分别为事件、、，至少获胜两场的事件为，计算，故能入选最终名单；的可能值为、、、，分别算出各自的概率，即可列出获胜场数的分布列，进而求出结果.19．已知各项为正数的数列的前项和为,且满足.(Ⅰ)求证：为等差数列，并求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求证：.【答案】(1)当时，当时，由得则，所以，是以4为公差的等差数列.(2)由题意得证明：设，则所以，递减，即：【解析】主要考查数列的递推公式、等差数列的通项公式，以及数列的单调性. 利用递推公式求出，进而证明数列是等差数列；(2)根据(1)的结论，将化简到设，则所以，递减，,进而得证.20．已知函数.(Ⅰ)求函数在，上的最值；(Ⅱ)若存在,使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，……2分(2)设，则由①，此时在单调递减，不成立②，此时在单调递增，成立③，令，存在唯一，使得.当时，，存在，有成立综上可知：【解析】主要考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题.对函数求导，利用导函数判断函数的单调性，即可求出最值；(2)存在,使得不等式成立，设，则，根据导函数的正负判断的单调性即可求出结果.21．已知函数，其中.(Ⅰ)若求函数的单调区间;(Ⅱ)若，且当时，总成立，求实数b的取值范围;(Ⅲ)若，若存在两个极值点，求证；.【答案】(1)或，增区间为，减区间为(2)在恒成立当时，.设①当时，在单调递增，成立②当时，，当时，在单调递减，，不成立综上，……8分(3)有条件知为两根，，且由成立，(作差得：) 得或由，，(可不妨设)设在单调递增，成立【解析】主要考查利用导数研究函数的单调性，给定区间上的最值及不等式的证明. 求出函数的导函数,分别利用导数的正负即可求出函数的单调区间；(2)先根据当时，总成立，判断，再分类讨论即可求出取值范围；(3)求导可知的两个极值点为方程两根，利用韦达定理可得，整理可得，通过作差或者求导判断单调性即可证得结论.22．已知函数.(Ⅰ)若，求不等式的解集；(Ⅱ)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围 .【答案】(1)(2)设所以，即：所以，的取值范围为【解析】主要考查含绝对值不等式，考查学生的计算能力，分析问题的能力.当，去绝对值即可求得不等式的解集；设，问题等价于,解之即可得出结果.23．(Ⅰ)已知，求的取值范围;(Ⅱ)已知，求证：.【答案】由柯西不等式得所以，，则的取值范围为(2)所以，由柯西不等式得，所以，【解析】主要考查柯西不等式的应用.(1)已知，由柯西不等式得，即可求的取值范围;(2)由柯西不等式[,即可证明结论.。