鲁棒控制理论第三章

d
只需考察从r，d，n
r
—
x1
C
u
x2
y
P
到x1，x2，x3的9个
传递函数
v
F
x3
n
图3.3 基本反馈回路

求和点的方程 x1 = r - Fx3
x2 = d + Cx1 x3 = n + Px2
r
x1
—
v
d
C
u
x2
P x3
y
F
n

表达成矩阵形式
轾 1 0 犏 犏 -C 1 犏 犏 0 - P 犏 臌
ˆ+ T ˆ=1 S
对摄动的比
) ) ) ˆ DT T dT P ) ) = ) lim ˆ ˆ D P? 0 D P / D P dP T
ˆ 对 P ˆ 的变化的敏感程度。 表示了 T ) ) )) )) ˆ dT P C 1 + PC ˆ PC ˆ ) = ) ) P = )) = S ) ) 2 ˆ dP T 1 + PC (1+ PC) PC
输入信号一
考虑任意幅值不大于1的正弦信号
r (t ) ? {a sin wt a ? (0,1], w ? ¡
+
}
+
禳 镲 aw ˆ (s ) ? 睚 2 r a ? (0,1], w ? ¡ 2 镲 s +w 镲 铪 ) 由 e (t ) = a s ˆ ( jw))) ( jw) sin (wt + arg (s
鲁棒控制理论
第三章 基本概念
前言

本章和下一章（不确定性和鲁棒性）是最基本的。集中讨 论单回路反馈系统。 首先定义系统的稳定性并给出其充分必要条件，进而分析 系统渐近跟踪某些信号（即阶跃和斜坡）的能力，最后我 们把跟踪作为一种性能指标来讨论。不确定性问题推迟到 下一章。 在前一章我们用到了时间域和频率域的信号，用u(t)记时 间函数，用记它的Laplace变换。当上下文仅在频率域内， 我们去掉^而更方便地写成u(s)；依此类推，脉冲响应 G(t)、相应的传递函数也可作同样的简化。
y PC 1 = = 2 r 1 + PCF s + 2s + 2
y P s+ 1 = = d 1+ PCF (s - 1)(s 2 + 2s + 2)
这种情况是由于控制器的零点和对象的极点在s=1相消引起 的。 s- 1 1 s- 1
PCF = s + 1 s2 - 1 =
(s + 1) (s - 1)
F骣 x1 鼢 珑 鼢 珑 珑 鼢 0 珑 x2 鼢 = 鼢 珑 鼢 珑 鼢 珑 1 桫 x3 鼢
骣 r d n 桫
或
骣 x1 鼢 珑 鼢 珑 珑 鼢 x2 鼢 = 珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 珑 x3 鼢 桫
轾 1 0 犏 犏 -C 1 犏 犏 0 - P 犏 臌
F 0 1
- 1
骣 r
轾 1 - PF - F 犏 1 犏 d = C 1 - CF 犏 1 + PCF 犏 n PC P 1 桫 犏 臌
定理3的证明
(1)
ˆ 是一稳定的传递函数。根据终 由于系统是内稳定的，则 S 值定理， c)
e (? ) ˆ (0) lim s S (s ) = cS s® 0 s
c ) r1 (s ) = , s
) c ˆ ) ˆ e (s ) = S (s ) r s = S (s ) ( ) 1 s
则 e(? ) 0 ? s ˆ(0) 0
阶跃
ì ct , t ³ 0 ï ï r2 (t ) = í ï ï î 0, t = 0
斜坡
r→y的传递函数
ˆˆ D ˆ y PC ˆ = =T ˆˆ ˆ 1 + PC r
ˆ e 1 D ˆ = =S r→e的传递函数 ˆ ˆ ˆ 1 + PC r ˆ 的摄动D P ˆ ，则相 ˆ ，将引起 T ˆ 的摄动 D T 对于传递函数 P
性质：若P，C和F是正则的，并且其中之一是严格正则的，
则反馈系统是强良定的。 证明：不失一般性，设P是严格正则的， 设
P= NP N N ,C = C , F = F DP DC DF
则
1 + PCF =
DP DC DF + N P NC N F DP DC DF
可见当P严格正则时，1+PCF一定是双正则的。证毕。 在本课程中，一般假设P是严格正则的，C、F是正则 的，即系统是强良定的。
D
3.3 渐近跟踪考虑如图34所示的单位反馈回路（F=1）
r
— e
d
C
u
P
y
v

n
e为跟踪误差，当n=d=0， e等于参考输入（理想的响 应）r与对象输出（实际的 响应）y之差。
我们希望研究当时间趋向无穷时系统跟踪某些试验信号的 能力。
ì c, t ³ 0 ï ï r1 (t ) = í ï ï î 0, t = 0
) ˆ sup e t = e = sup s () ( jw) = s 则 ゥ
t w
即
e ゥ< e?
ˆ s
e
) 1 ˆ (s ) ˆ ( s ) = ，则由 W ˆ ( s ) S (s ) = 1 S 定义权函数W 1 1 e e ) 有 1 ) ˆ ˆ ˆ¥ W1S = S < 1 ? S e? e e ¥ ¥ ¥ e ) ˆ 以 W1S 为跟踪性能的量度，将性能指标进行了标称化。
（1）传递函数1+PCF没有零点在 Re s ³ 0 （2）乘积PCF在 Re s ³ 0没有零极相消
Nyquist稳定判据

构造PCF的Nyquist图，将围线 D在虚轴上的极点处向左绕过 这一点（这样就把虚轴上的极 点划归到右半平面）。 令N表示P、C和F在 Re s ³ 0 的 极点总数，那么反馈系统是内 稳定的，当且仅当Nyquist图不 通过-1点，并且逆时针包围-1 点N次。

判定：开环传递函数是否零极相消
) ˆ 判定： W1S

跟踪性：系统跟踪不同信号的能力

¥

内稳定的一个结果是：如果外部输入的幅值有界，那么x1， x2和x3以及u，y和v都是有界的。因此，对所有有界的外部信 号，内稳定确保内部信号是有界的（保证系统的安全性）。


例 在图3.2中
s- 1 C (s ) = , s+ 1 1 P (s ) = 2 , s - 1 F=1
检验从r到y的传递函数是稳定的，但从d到y是不稳定的。因 此反馈系统不是内稳定的。
骣 r? ? ? ? ? ? d? ? ? ? ? ? ? ? n? 桫
弱良定性
当且仅当行列式1+PCF不恒等于0时，称系统 是（弱）良定的。 这一定义说明了系统所有传递函数的存在性。 强良定性 当且仅当1+PCF不是严格正则时，称系统是 （强）良定的。 这一定义说明了系统所有传递函数的正则性 （系统的可实现性）。
定理3
假定反馈系统是内稳定的，且n=d=0
ˆ (1) 对于r1(阶跃)，系统渐近跟踪(t→∞,e(t)→0)，当且仅当 S 至少由一个零点在原点。 ˆ 至少由两个 (2) 对于r2(斜坡)，系统渐近跟踪，当且仅当 S 个零点在原点。
定理的证明应用终值定理：
ˆ (s)是一有理Laplace变换，除了可能有一单极点在原 如果 y ˆ (s ) y (t ) 存在且等于 lim sy 点以外没有极点在 Re s ³ 0 , 那么 lim t s® 0


下面的分析在频率域里进行，为简化记号，省略了表示 Laplace变换的符号^

假定图3.1中的每一部分都是线性的，因此它的输出是输 入的线性函数 更特殊化，假定三个部分的输出是它们输入的和或差的线 性函数 y = P (d + u )
v = F ( y + n) u = C (r - v )


3.1 基本反馈回路
d
r
控制器
u
y
对象
v
敏感元件
n
图3.1 最基本的反馈控制系统

尽管性能目标是多种多样的，但总可以概括成y应当接近 某一预定的输入函数r。当然在外部干扰d，敏感噪声n以 及对象的不确定性存在的情况下也是如此 此外我们还可能要限制u的大小 因为我们往往是通过v得到y的，所以通常根据量测信号v 而不是y来描述系统的性能目标更有普遍意义
d
对应的方框图如图3.2
r
—
C
u
y
P
v
F
n
图3.2 基本反馈回路
“良定性” （适定性，Well Postedness）
“良定性”是指图3.2中所有闭环传递函数都存在，即从三
个外部输入到所有内部信号u，y，v以及求和点的输出之间的 传递函数都存在。
诸求和点的输出示于图3.3中。 为获得良定性，
ˆ 至少有一零点在原点。 ，即 S
(2)
证明类似。
c ) r2 ( s ) = 2 s
例
1 ˆ P (s ) = , s
ˆ (s ) = 1 C
1 s 从r到e的传递函数等于 = - 1 1+ s s+ 1
可见s=0的开环极点成了闭环误差传递函数的零点，这一零 ˆ(s) 中便没有不稳定的基点。 点与 r ˆ(s) 的极点相消，结果在 e
3.2 内稳定(Internal Stability)
仅仅看输入-输出传递函数，如从r到y，是不够的，这个传 递函数可能是稳定的，因而当r有界时y也有界，但可能有内 部信号是无界的，这种情况可能会引起物理系统内部结构的 毁坏。