华东交通大学高数13-14期末卷子
华东交大历年高数上册期末试题及答案10高数上复习题
第一章 复习题 1. 计算下列极限: （1）2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (2)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (3))1311(lim 31xx x ---→; 解 112lim)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 212122131-=+++-=++-+--=++--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . (4)xx x 1sin lim 20→; 解 01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(5)xx x arctan lim ∞→. 解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量).(6)145lim1---→x xx x ;解 )45)(1(44lim)45)(1()45)(45(lim 145lim111x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+--+---=---→→→ 214154454l i m1=+-⋅=+-=→xx x .(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 )())((lim)(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim)(2lim22=-++=-++=+∞→+∞→xx x x x x xx x .(8)xxx sin lnlim 0→; 解 01ln )sin lim ln(sin lnlim 00===→→x xxx x x .(9)2)11(lim xx x+∞→;解[]e e xxx x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim(10))1(lim 2x x x x -++∞→;解 )1()1)(1(lim )1(lim 2222x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→ 211111lim 1lim22=++=++=+∞→+∞→x x x x x x . (11)1)1232(lim +∞→++x x x x ;解 2121211)1221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x21212)1221()1221(lim ++++=+∞→x x x x e x x x x x =++⋅++=∞→+∞→21212)1221(lim )1221(lim .(12)30sin tan lim x x x x -→; 解 x x x x x x x x x x x x x c o s)c o s 1(s i n lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→ 21)2(2lim cos 2sin 2sin lim320320=⋅=⋅=→→x x x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换) . 2. 证明: 当x →0时, arctan x ~x ;证明 因为1tan lim arctan lim00==→→y y x xy x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .3. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;(2)x xy tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅); 解 (1))1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→xxk x tan limπ(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xxx ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的; 令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的. 4. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x 应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞, +∞)内的连续函数？解 要使函数f (x )在(-∞, +∞)内连续, 只须f (x )在x =0处连续, 即只须 a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 0.因为1lim )(lim 0==-→-→x x x e x f , a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00, 所以只须取a =1.5. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0.若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根;若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .6. 证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 证明 因为()11 211122222+≤++⋅⋅⋅++++≤+n n n n n n n n n , 且 1111lim lim 2=+=+∞→∞→nn n n n n , 1111lim 1lim 22=+=+∞→∞→n n n n n , 所以()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 7. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0sin x x x x , 求f '(x ) .解 当x <0时, f (x )=sin x , f '(x )=cos x ;当x >0时, f (x )=x , f '(x )=1;因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim00=-=--→-→xx x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim00=-=-+→+→x x x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而 f '(x )=⎩⎨⎧≥<0 10cos x x x .8*、证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取 πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .第二章 复习题1. 求下列函数的导数: (1) y =ln(1+x 2);解 222212211)1(11x x x x x x y +=⋅+='+⋅+='.(2) y =sin 2x ;解 y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x .(3)22x a y -=; 解[]22122221122122)2()(21)()(21)(xa x x x a x a x a x a y --=-⋅-='-⋅-='-='--.(4)xx y ln 1ln 1+-=;解 22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='.(5)xxy 2sin =; 解 222s i n 2c o s 212s i n 22c o s x x x x x x x x y -=⋅-⋅⋅='. (6)x y arcsin =; 解 2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='.(7))ln(22x a x y ++=; 解 ])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y2222221)]2(211[1xa x x a x a x +=++⋅++=. (8)x x y +-=11arcsin . 解 )1(2)1(1)1()1()1(1111)11(11112x x x x x x xx x x x x y -+-=+--+-⋅+--='+-⋅+--='.(9)x x y -+=11arctan ; 解 222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x xx x x x x y +=-++-⋅-++='-+⋅-++='. (10)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=; 解 )(t a n t a n 1c o s t a n ln sin )2(tan 2tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x yx x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅.(11))1ln(2x x e e y ++=;解 xx x x x x x x x x x e ee e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++='. 2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式: (1) y =sin 2 x ;解y '=2sin x cos x =sin2x ,)22sin(22cos 2π+==''x x y ,)222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y ,)232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y ,⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n .(2) y =x ln x ;解 1ln +='x y , 11-==''x xy ,y '''=(-1)x -2, y (4)=(-1)(-2)x -3, ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n x n x n . (3) y =x e x .解 y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x , y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .3. 求方程y =1+xe y 所确定的隐函数的二阶导数22dx y d . 解 方程两边求导数得 y '=e y +x e y y ',ye y e xe e y yy y y -=--=-='2)1(11,3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''. 4. 求参数方程⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的三阶导数33dx y d : 解t t t t t t t dx dy 2112111])1[ln()arctan (222=++-='+'-=, t t t t t dx y d 4112)21(2222+=+'=,3422338112)41(t t t t t t dx y d -=+'+=. 5. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中, 其速率为4m 2/min . 当水深为5m 时, 其表面上升的速度为多少？解 水深为h 时, 水面半径为h r 21=, 水面面积为π241h S =,水的体积为3212413131h h h hS V ππ=⋅==,dt dh h dt dV ⋅⋅=2312π, dtdV h dt dh ⋅=24π.已知h =5(m )，4=dtdV (m 3/min), 因此 πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).6. 求下列函数的微分: (1)21arcsin x y -=;解 dx x x x dx x x dx x dx y dy 22221||)12()1(11)1(arcsin --=--⋅--='-='=.(2) y =tan 2(1+2x 2);解 dy =d tan 2(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)d tan(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)d (1+2x 2) =2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)⋅4x dx =8x ⋅tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)dx .(3)2211arctan xx y +-=;解 )11()11(1111a r c t a n 2222222x x d x x x x d dy +-+-+=+-= dx x x dx x x x x x xx 4222222214)1()1(2)1(2)11(11+-=+--+-⋅+-+=. 7. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x xx x f 在x =0处的连续性与可导性.解 因为f (0)=0, )0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限x x x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim)0()(lim 000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不导数. 第三章 复习题1. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.2. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x . 证明 令xe xf x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ,所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数.因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x . 3. 用洛必达法则求下列极限: (1)xe e xx x sin lim 0-→-; 解 2c o s l i m s i n l i m00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x . (2)22)2(sin ln limx x x -→ππ;解 812c s c lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ. (3)xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→;解 xx x x x x x x x x x 22022020c o s 1l i m c o s 1)1l n (c o s l i m c o s s e c )1l n (l i m -=-+=-+→→→(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2)1sin lim )sin (cos 22lim00==--=→→xxx x x x x . 4. 证明不等式 ：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;解 设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为0)1ln(1)11(11)1ln()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1ln(122>+-+++x x x x , 也就是 221)1l n (1x x x x +>+++. 5. 判定曲线y =x arctan x 的凹凸性: 解 21a r c t a nx x x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.6. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =xe -x ;解 y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2). (2) y =ln(x 2+1);解 122+='x xy , 22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1. 列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明 设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0. 8. 求数列}{n n 的最大项. 解 令xx x x x f 1)(==(x >0), 则x x x f ln 1)(ln =,)ln 1(1ln 11)()(1222x x x x x x f x f -=-='⋅, )ln 1()(21x x x fx -='-.令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为当0<x <e 时, f '(x )>0; 当x >e 时, f '(x )<0, 所以唯一驻点x =e 为最大值点.因此所求最大项为333}3 ,2m ax{=. 第四、五、六章 复习题 1. 求下列不定积分: (1)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3. (2)⎰+++dx x x x 1133224; 解C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224.(3)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(4)⎰-+dx e e xx 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de edx e e x x xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122. (5)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21. (6)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1.(7)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(8)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.（9） ⎰-xdx e x cos ;解 因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos . （10）⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx x x x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin ⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22.（11）⎰xdx e x 2sin .解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e x x x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos , 所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2 （12）dx x x )1(12+⎰; 解 C x x dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解 设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1. 又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=13=f (e 2)=ln|e 2|+C =2+C ,C =3-2=1.于是所求曲线的方程为y =ln|x |+1.3. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0, ⎰-=x a dt t f a x x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f x a -=⎰ξ. 于是有))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F x a ----=-+--='⎰ξ )]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F . 4. 计算下列定积分:(1)⎰-πθθ03)sin 1(d ;解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d 34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ. (2)dx x ⎰-2022; 解 dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-020202)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令 2)2sin 21(20ππ=+=t t . 6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的图形的面积.解:所求的面积为⎰⎰⎰-=--==a a a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a =++-=⎰. 7. 证明 由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰=ba dx x xf V )(2π.证明 如图, 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形, 小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2πx ⋅f (x )dx , 这就是体积元素, 即dV =2πx ⋅f (x )dx ,于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰⎰==ba ba dx x xf dx x xf V )(2)(2ππ. 8. 利用题7的结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.解 20002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==⎰⎰x x x x xd xdx x V . 9. 求心形线ρ=a (1+cos θ )的全长.解 用极坐标的弧长公式.θθθθθρθρππd a a d s ⎰⎰-++='+=0222022)sin ()cos 1(2)()(2a d a 82cos 40==⎰πθθ.第七章 复习题1、设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k 和p =5i +j -4k . 求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解 因为a =4m +3n -p =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k , 所以a =4m +3n -p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j .2. 设a =3i -j -2k , b =i +2j -k , 求(1)a ⋅b 及a ⨯b ; (2)(-2a )⋅3b 及a ⨯2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.解 (1)a ⋅b =3⨯1+(-1)⨯2+(-2)⨯(-1)=3,k j i k j i b a 75121 213++=---=⨯. (2)(-2a )⋅3b =-6a ⋅b = -6⨯3=-18,a ⨯2b =2(a ⨯b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k .(3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a . 3. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a .解 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a .4、设已知向量a =2i -3j +k , b =i -j +3k 和c =i -2j , 计算: (1)(a ⋅b )c -(a ⋅c )b ; (2)(a +b )⨯(b +c );(3)(a ⨯b )⋅c .解 (1)a ⋅b =2⨯1+(-3)⨯(-1)+1⨯3=8, a ⋅c =2⨯1+(-3)⨯(-2)=8,(a ⋅b )c -(a ⋅c )b =8c -8b =8(c -b )=8[(i -2j )-(i -j +3k )]=-8j -24k .(2)a +b =3i -4j +4k , b +c =2i -3j +3k ,k j k j i c b b a --=--=+⨯+332443)()(. (3)k j i k j i b a +--=--=⨯58311132, (a ⨯b )⋅c =-8⨯1+(-5)⨯(-2)+1⨯0=2.5、一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程. 解 所求平面的法线向量可取为k j i k j i b a n 3011112-+=-=⨯=, 所求平面的方程为(x -1)+(y -0)-3(z +1)=0, 即x +y -3z -4=0.6、用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x . 解 平面x -y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, -1, 1), n 2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为k j i k j i n n s 3211211121++-=-=⨯=. 在方程组⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 中, 令y =0, 得⎩⎨⎧=+=+421z x z x , 解得x =3, z =-2. 于是点(3, 0, -2)为所求直线上的点.所求直线的对称式方程为32123+==--z y x ; 参数方程为x =3-2t , y =t , z =-2+3t .7、求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面4x -y +z =1上的投影直线的方程. 解 过直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 的平面束方程为 (2+3λ)x +(-4-λ)y +(1-2λ)z -9λ=0.为在平面束中找出与已知平面垂直的平面, 令(4 -1, 1)⋅(2+3λ, -4-λ, 1-2λ)=0, 即 4⋅(2+3λ)+(-1)⋅(-4-λ)+1⋅(1-2λ)=0.解之得1113-=λ. 将1113-=λ代入平面束方程中, 得 17x +31y -37z -117=0.故投影直线的方程为⎩⎨⎧=--+=+-011737311714z y x z y x . 8、设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a -b 的夹角. 解 |a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )76cos 3213=++=π, |a -b |2=(a -b )⋅(a -b )=|a |2+|b |2-2a ⋅b =|a |2+|b |2-2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )16cos 3213=-+=π. 设向量a +b 与a -b 的夹角为θ, 则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅-=-⋅+-=-⋅+-⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ, 72arccos =θ.。
2013-2014理论力学A试卷_华东交大
华东交通大学2012—2013学年第一学期考试卷试卷编号： （A ）卷理论力学 课程 课程类别：必、限、任考生注意事项：1、本试卷共 页，总分 分，考试时间 分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．力系简化时若取不同的简化中心，则（ ）。
(A) 力系的主矢、主矩都会改变； (B) 力系的主矢不会改变，主矩一般会改变； (C) 力系的主矢会改变，主矩一般不改变；(D) 力系的主矢、主矩都不会改变，力系简化时与简化中心无关。
2．当作用在质点系上的外力系的主矢恒为零时，则（ ）。
(A) 只有质点系的动量守恒； (B) 只有质点系的动量矩守恒； (C) 只有质点系的动能守恒； (D) 质点系的动量和动能均守恒。
3．关于瞬时平移时下列叙述正确的是：(A) 速度相同，加速度不同； (B) 速度不同，加速度不同； (C) 速度不同，加速度相同； (D) 速度相同，加速度相同。
4．平面一般力系的二力矩平衡方程⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑000B A x M M F 为必须满足的条件是（ ）。
(A) 合力的作用线必然通过A 点和B 点的连线 (B) x 轴与A 点和B 点的连线不相互垂直；(C) x 轴与A 点和B 点的连线相互垂直； （D ） 合力与x 轴相互垂直。
5．圆盘作定轴转动，若某瞬时其边缘上A 、B 、C 三点的速度、加速度如图所示，(A) 点A ，B ； (B) 点A ，C ； (C ) 点B ，C ； (D) 点A ，B ，C 。
6．刚体作平面运动，某瞬时平面图形的角速度为ω，角加速度为α，则其上任意两点A 、B 的加速度在A 、B 连线上的投影_________。
(A) 必相等； (B) 相差2ω⋅AB ；(C) 相差α⋅AB ；(D) 相差)(2αω⋅+⋅AB AB 。
7．在图示系统中，A 点的虚位移大小A r δ 与C 点 的虚位移大小C r δ的比值A r δ：C r δ=___________。
华东交通大学期末考试复习题
在机械系统速度波动的一个周期中，_______。
（）(A) 当系统出现盈功时，系统的运转速度将降低，此时飞轮将储存能量；(B) 当系统出现亏功时，系统的运转速度将加快，此时飞轮将储存能量；(C) 当系统出现亏功时，系统的运转速度将降低，此时飞轮将释放能量；(D) 当系统出现盈功时，系统的运转速度将加快，此时飞轮将释放能量。
9．回转件静平衡条件是分布在回转件上的各个偏心质量的_______。
（）(A) 离心惯性力合力为零； (B) 离心惯性力的合力矩为零；(C) 离心惯性力合力及合力矩均为零； (D) 离心惯性力的合力及合力矩均不为零。
10．图示直径为d的轴颈1与轴承2组成转动副，摩擦圆半径为ρ，载荷为Q，驱动力矩为Md，欲使轴颈加速转动，则应使_______。
（）(A) Md =Qd/2； (B) Md>Qd/2 (C) Md=Qρ； (D) Md>Qρ。
2.图示轴颈1与轴承2组成转动副，细实线的圆为摩擦圆，运动着的轴颈1受到外力（驱动力)Q的作用，则轴颈1应作[ ]运动。
A) 等速； B) 加速； C) 减速。
7.机器运转出现周期性速度波动的原因是[ ]。
A)机器中存在往复运动构件,惯性力难以平衡；B)机器中各回转构件的质量分布不均匀；C)在等效转动惯量为常数时,各瞬时驱动功率和阻抗功率不相等，但其平均值相等,且有公共周期；D)机器中各运动副的位置布置不合理。
10.在由若干机器并联构成0，则机组必有如下关系：[ ] A)＞B ＜C)=D)= (n 为单机台数)。
11.90的蜗杆蜗轮传动中，蜗杆和蜗轮的螺旋线旋向必须 [ ]。
A ）相反 B ）相异 C ）相同 D ）相对15.当标准直齿渐开线圆柱齿轮的齿数少于zmin 时，可采用[ ]的办法来避免根切。
A)正变位； B)负变位； C)减少切削深度。
3.下图是四种机构在某一瞬时的位置图。
在图示位置哥氏加速度不为零的机构为[ ]。
华东交大历年高数上册期末试题及答案10高数上复习题
第一章 复习题 1. 计算下列极限: （1）2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (2)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (3))1311(lim 31x x x ---→; 解 112lim)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 212122131-=+++-=++-+--=++--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . (4)xx x 1sin lim 20→; 解 01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x1sin 是有界变量).(5)xxx arctan lim∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x1是无穷小, 而arctan x 是有界变量).(6)145lim1---→x xx x ;解 )45)(1(44lim )45)(1()45)(45(lim 145lim111x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+--+---=---→→→ 214154454lim1=+-⋅=+-=→xx x .(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 )())((lim)(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim)(2lim22=-++=-++=+∞→+∞→xx x x x x xx x .(8)xxx sin lnlim 0→; 解 01ln )sin lim ln(sin lnlim 00===→→x xxx x x .(9)2)11(lim xx x+∞→;解[]e e xxx x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim(10))1(lim 2x x x x -++∞→;解 )1()1)(1(lim )1(lim 2222x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→ 211111lim 1lim22=++=++=+∞→+∞→x x x x x x . (11)1)1232(lim +∞→++x x x x ;解 2121211)1221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x21212)1221()1221(lim ++++=+∞→x x x x e x x x x x =++⋅++=∞→+∞→21212)1221(lim )1221(lim .(12)30sin tan lim x x x x -→; 解 xx x x x x x x x x x x x cos )cos 1(sin lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→ 21)2(2lim cos 2sin 2sin lim320320=⋅=⋅=→→x x x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换) . 2. 证明: 当x →0时, arctan x ~x ;证明 因为1tan lim arctan lim 00==→→y y x xy x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .3. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;(2)x xy tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解 (1))1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→xxk x tan limπ(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xxx ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的; 令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的. 4. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x 应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞, +∞)内的连续函数？解 要使函数f (x )在(-∞, +∞)内连续, 只须f (x )在x =0处连续, 即只须 a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 0.因为1lim )(lim 0==-→-→x x x e x f , a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00, 所以只须取a =1.5. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0.若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根;若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .6. 证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 证明 因为()11 211122222+≤++⋅⋅⋅++++≤+n n n n n n n n n , 且 1111lim lim 2=+=+∞→∞→nn n n n n , 1111lim 1lim 22=+=+∞→∞→n n n n n , 所以()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 7. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0sin x x x x , 求f '(x ) .解 当x <0时, f (x )=sin x , f '(x )=cos x ; 当x >0时, f (x )=x , f '(x )=1;因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim00=-=--→-→xx x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim00=-=-+→+→x x x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而 f '(x )=⎩⎨⎧≥<0 10cos x x x .8*、证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取 πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .第二章 复习题1. 求下列函数的导数:(1) y =ln(1+x 2);解 222212211)1(11x xx x x x y +=⋅+='+⋅+='.(2) y =sin 2x ;解 y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x .(3)22x a y -=;解[]22212222121222122)2()(21)()(21)(x a x x x a x a x a x a y --=-⋅-='-⋅-='-='--.(4)xx y ln 1ln 1+-=;解 22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='.(5)xxy 2sin =; 解 222sin 2cos 212sin 22cos xx x x x x x x y -=⋅-⋅⋅='.(6)x y arcsin =; 解 2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='.(7))ln(22x a x y ++=; 解 ])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++⋅++=. (8)x x y +-=11arcsin .解 )1(2)1(1)1()1()1(1111)11(11112x x x x x x x x x x x x y -+-=+--+-⋅+--='+-⋅+--='.(9)xx y -+=11arctan ; 解 222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x xx x x x x y +=-++-⋅-++='-+⋅-++='. (10)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=; 解 )(tan tan 1cos tan ln sin )2(tan 2tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x yx x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅.(11))1ln(2x x e e y ++=;解 xx x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++='.2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式: (1) y =sin 2 x ;解y '=2sin x cos x =sin2x ,)22sin(22cos 2π+==''x x y , )222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y ,)232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y ,⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n .(2) y =x ln x ;解 1ln +='x y , 11-==''x xy ,y '''=(-1)x -2, y (4)=(-1)(-2)x -3, ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n x n x n . (3) y =x e x .解 y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x , y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .3. 求方程y =1+xe y 所确定的隐函数的二阶导数22dx y d . 解 方程两边求导数得 y '=e y +x e y y ',ye y e xe e y yy y y -=--=-='2)1(11,3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''. 4. 求参数方程⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的三阶导数33dx y d : 解t t t t t t t dx dy 2112111])1[ln()arctan (222=++-='+'-=, t t t t t dx y d 4112)21(2222+=+'=,3422338112)41(t t t t t t dx y d -=+'+=. 5. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中, 其速率为4m 2/min . 当水深为5m 时, 其表面上升的速度为多少？解 水深为h 时, 水面半径为h r 21=, 水面面积为π241h S =,水的体积为3212413131h h h hS V ππ=⋅==,dt dh h dt dV ⋅⋅=2312π, dtdV h dt dh ⋅=24π.已知h =5(m )，4=dtdV (m 3/min), 因此 πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).6. 求下列函数的微分: (1)21arcsin x y -=;解 dx x x x dx x x dx x dx y dy 22221||)12()1(11)1(arcsin --=--⋅--='-='=.(2) y =tan 2(1+2x 2);解 dy =d tan 2(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)d tan(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)d (1+2x 2) =2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)⋅4x dx =8x ⋅tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)dx .(3)2211arctan xx y +-=;解 )11()11(1111arctan 2222222x x d x x x x d dy +-+-+=+-= dx x x dx x x x x x xx 4222222214)1()1(2)1(2)11(11+-=+--+-⋅+-+=. 7. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x xx x f 在x =0处的连续性与可导性.解 因为f (0)=0, )0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限xx x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim)0()(lim 000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不导数. 第三章 复习题1. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈. 因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0. 2. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x . 证明 令xe xf x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ,所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数.因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x . 3. 用洛必达法则求下列极限: (1)xe e xx x sin lim 0-→-; 解 2cos lim sin lim 00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x .(2)22)2(sin ln limx x x -→ππ;解 812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(3)xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→;解 x x xx x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2) 1sin lim )sin (cos 22lim 00==--=→→xxx x x x x .4. 证明不等式 ：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;解 设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为0)1ln(1)11(11)1ln()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1ln(122>+-+++x x x x , 也就是 221)1ln(1x x x x +>+++. 5. 判定曲线y =x arctan x 的凹凸性: 解 21arctan x x x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.6. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:(1) y =xe -x ;解 y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2). (2) y =ln(x 2+1);解 122+='x xy , 22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1. 列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明 设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0. 8. 求数列}{n n 的最大项. 解 令xxx x x f 1)(==(x >0), 则x x x f ln 1)(ln =,)ln 1(1ln 11)()(1222x x x x x x f x f -=-='⋅,)ln 1()(21x x x fx -='-.令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为当0<x <e 时, f '(x )>0; 当x >e 时, f '(x )<0, 所以唯一驻点x =e 为最大值点.因此所求最大项为333}3 ,2max{=. 第四、五、六章 复习题 1. 求下列不定积分: (1)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3. (2)⎰+++dx x x x 1133224; 解 C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224. (3)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(4)⎰-+dx e e xx 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de e dx e e xx xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122. (5)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21. (6)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1. (7)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(8)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.（9） ⎰-xdx e x cos ; 解 因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin ⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos .（10）⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx xx x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22 C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22. （11）⎰xdx e x 2sin . 解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e x x x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos ,所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2（12）dx x x )1(12+⎰;解 C x x dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解 设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|+C =2+C , C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为 y =ln|x |+1.3. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0, ⎰-=xa dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ. 于是有 ))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F xa----=-+--='⎰ξ)]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F . 4. 计算下列定积分:(1)⎰-πθθ03)sin 1(d ; 解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(2)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令 2)2sin 21(20ππ=+=t t .6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的图形的面积.解:所求的面积为 ⎰⎰⎰-=--==aa a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a=++-=⎰.7. 证明 由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰=badx x xf V )(2π.证明 如图, 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形, 小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2πx ⋅f (x )dx , 这就是体积元素, 即 dV =2πx ⋅f (x )dx ,于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰⎰==babadx x xf dx x xf V )(2)(2ππ.8. 利用题7的结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 解 2002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==⎰⎰x x x x xd xdx x V .9. 求心形线ρ=a (1+cos θ )的全长. 解 用极坐标的弧长公式. θθθθθρθρππd a a d s ⎰⎰-++='+=0222022)sin ()cos 1(2)()(2a d a82cos 40==⎰πθθ.第七章 复习题 1、设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k 和p =5i +j -4k . 求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解 因为a =4m +3n -p =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k , 所以a =4m +3n -p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j .2. 设a =3i -j -2k , b =i +2j -k , 求(1)a ⋅b 及a ⨯b ; (2)(-2a )⋅3b 及a ⨯2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.解 (1)a ⋅b =3⨯1+(-1)⨯2+(-2)⨯(-1)=3,k j i kj i b a 75121 213++=---=⨯.(2)(-2a )⋅3b =-6a ⋅b = -6⨯3=-18,a ⨯2b =2(a ⨯b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k .(3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a . 3. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a . 解 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0, 即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a .4、设已知向量a =2i -3j +k , b =i -j +3k 和c =i -2j , 计算: (1)(a ⋅b )c -(a ⋅c )b ; (2)(a +b )⨯(b +c ); (3)(a ⨯b )⋅c .解 (1)a ⋅b =2⨯1+(-3)⨯(-1)+1⨯3=8, a ⋅c =2⨯1+(-3)⨯(-2)=8, (a ⋅b )c -(a ⋅c )b =8c -8b =8(c -b )=8[(i -2j )-(i -j +3k )]=-8j -24k . (2)a +b =3i -4j +4k , b +c =2i -3j +3k , k j kj i c b b a --=--=+⨯+332443)()(.(3)k j i kj i b a +--=--=⨯58311132,(a ⨯b )⋅c =-8⨯1+(-5)⨯(-2)+1⨯0=2.5、一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程. 解 所求平面的法线向量可取为 k j i kj i b a n 3011112-+=-=⨯=,所求平面的方程为(x -1)+(y -0)-3(z +1)=0, 即x +y -3z -4=0.6、用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x .解 平面x -y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, -1, 1), n 2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为k j i kj i n n s 3211211121++-=-=⨯=.在方程组⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 中, 令y =0, 得⎩⎨⎧=+=+421z x z x , 解得x =3, z =-2. 于是点(3, 0, -2)为所求直线上的点.所求直线的对称式方程为32123+==--z y x ;参数方程为x =3-2t , y =t , z =-2+3t .7、求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面4x -y +z =1上的投影直线的方程.解 过直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 的平面束方程为(2+3λ)x +(-4-λ)y +(1-2λ)z -9λ=0.为在平面束中找出与已知平面垂直的平面, 令(4 -1, 1)⋅(2+3λ, -4-λ, 1-2λ)=0, 即4⋅(2+3λ)+(-1)⋅(-4-λ)+1⋅(1-2λ)=0.解之得1113-=λ. 将1113-=λ代入平面束方程中, 得17x +31y -37z -117=0.故投影直线的方程为⎩⎨⎧=--+=+-011737311714z y x z y x .8、设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a -b 的夹角.解 |a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )76cos 3213=++=π,|a -b |2=(a -b )⋅(a -b )=|a |2+|b |2-2a ⋅b =|a |2+|b |2-2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )16cos 3213=-+=π.设向量a +b 与a -b 的夹角为θ, 则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅-=-⋅+-=-⋅+-⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ, 72arccos =θ.。
13级《高等数学I、II》(上)期末考试卷及答案
2013—2014学年第一学期《高等数学I 、II 》考试试卷（A 卷）一、填空题（每小题3分，共48分）1. 2()ln(1)f x x =-, 已知 000()(2)3lim2h f x f x h h →--=, =0x 13- .2. 2sin 10()0ax x e x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a = 1- . 3. 函数32()391f x x x x =--+的既递减又上凸的区间是 (1,1)- .4. 21tx t y e ⎧=+⎨=⎩，则22d d y x 4t t． 5. 设)(x f 在0=x 点处连续，且0()lim12x f x x→=，那么(0)f '= 2 6. 222||2x x dx x -++⎰ ln3 .7.x y dye dx+=的通解为 y x e e c --=+ 8. 设3(1)f x x +=，则(1)f x '-= 23(2)x - ．9. 方程2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。
10. 若函数)(x f 具有二阶连续导数，,0)()(21='='x f x f ),(0)( 21x f x f ''<<''则12(),().f x f x 的大小关系为 ).()(21x f x f >11. 变上限函数⎰21sin x tdt 的导数等于 2sin 2x x12. 设x ，x e ，x e -是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，则该方程的通解为x x e C x e C y x x +-+-=-)()(21。
得 分13. 广义积分21(ln )edx x x +∞⎰= 1 。
14. 微分方程052=+'-''y y y 的通解为12(cos 2sin 2)x y e c x c x =+ 15. ⎰⎰'+=dx x f x c x dx x f )( ,sin )(2 2sin 2sin x x x C -+ .16. 函数x e x f -=)(的四阶麦克劳林公式是)(!!!443243211x o xx x x ++-+-二、计算题（满分24分，每小题6分）17.求020()lim (0,0)ln(1)xt t xx a b dt a b t dt→->>+⎰⎰)(b a ≠原式=-+→limln()x x x a b x 0212 3分=-+→lim ln ln x x x a a b b x 0412=14lna b 3分18、求曲线xex y 12-+=)(的渐近线。
华东交大历年高数上册期末试题及答案07-08高数上试卷及答案
3x y x 3y
2
2
dy y dx
3x y x 3y
2
2
2
dx
2பைடு நூலகம்
或两边取微分得： 3 x dx ydx xdy 3 y dy 0
dy 3x y x 3y
2 2
dx
4、 求曲线 y x ln x的凹凸区间及拐点
2
得分
评阅人
1 y 2 x ln x x 2 2 x ln x x x y 2 ln x 2 x
( x 1) ln( x 1) 1 ( x 2 1)d ln( x 1) 2 2
2
( x 1) ln( x 1) 1 ( x 1)dx 2 2
2
( x 1) ln( x 1) x 2 x C 2 4 2
2
6、 求定积分
2 2 0
令y 0得： xe
3 2
1 1 2 ln x 3 x
3 2
3
当0 x e 时y 0， 当x e 2 时y 0 故凹区间为 [ e 2， ) 凸区间为 (0， e
3
3
3 2
]
3 )
拐点为 (e 2，
2e 3
5、 求 不 定 积 分 x ln( x 1)dx
2 xe
x2
2 xe 6x
x2
x2
lim
x 0
e
x2
e 3
2 3
2、 当x 0时 ， 无 穷 小 1 x 1 x与x是 否 为 等价无穷小 ? 说明理由 .
2013-2014第一学年期末考试高数C参考答案
2013—2014学年第一学期高等数学期末考试试题参考答案一、 选择题（每小题4分，共20分）D B D C A二、 填空题（每小题4分，共20分）1.（0，2）2. cos sin x dy xe dx =-3. (1)x e x C --++4.15.0 三、 计算题（每小题5分，共20分） 1. 31lim (2cos )1x x x x →∞++-解：由于2333111lim lim 0111x x x x x x x →∞→∞++==--或者3211lim lim 013x x x x x →∞→∞+==-―――（2分） 2cos x +为x →∞时的有界量，――――――――――――――（4分）所以原式极限为0. ―――――――――――――――――――（5分） 2.设0x >时，可导函数()f x 满足：13()2()f x f x x+=，求'()f x (0)x > 令1t x =，则原式变为：1()2()3f f t t t +=――――――――――――――――――――――（2分） 连立得13()2(),1()2()3f x f x x f f x x x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1()2f x x x =-―――――――――（4分） 所以21()2f x x '=+. ――――――――――――――――――――（5分） 3.设2cos xy e x =，求y '' 解：21(cos sin )2x y e x x '=-―――――――――――――――――（3分）23[cos sin ]4x y e x x ''=-+―――――――――――――――――――（5分）4.x 011lim()1x x e →-- 解：原式=x 01lim (1)x x e x x e →---――――――――――――――――――（1分） =01lim (1)1x x x e e x →-+-―――――――――――――――――（3分） =01lim 2x x →+=12――――――――――――――――――（5分） 四．计算题（每小题5分，共20分） 1.2arctan 1x x dx x ++⎰解：原式=22arctan 11x x dx dx x x +++⎰⎰――――――――――――――（1分） =2211(1)arctan arctan 21d x xd x x+++⎰⎰―――――――――――――（3分） =221[ln(1)(arctan )]2x x +++C ―――――――――――――――――（5分） 2.2156dx x x -+⎰ 解：原式=11()32dx x x ---⎰―――――――――――――――――（3分） =3ln2x C x -+-―――――――――――――――――――（5分） 3.3cos()3x dx πππ+⎰解：法一：原式=3cos()()33x d x ππππ++⎰―――――――――――（2分）=3sin()3x πππ+――――――――――――――――――（4分）=（5分）法二：原式=3cos()()33x d x ππππ++⎰――――――――――――――――（2分） 43323cos x tdt πππ+==⎰t=换元―――――――――――――――――――（4分）4323sin tππ=-=――――――――――――――――――（5分） 4.120arcsin xdx ⎰解：原式=1212001arcsin 2x x +⎰―――――――――――――（2分）=12π――――――――――――――――――（4分）=122π+――――――――――――――――――――（5分） 五．求由抛物线21y x =+与直线1y x =+所围成的面积.解：如图所示――――――――――――――――――――――（2分） 联立方程，解出交点：（0，1）（1，2）――――――――（6分） 积分：1122300111()()236x x dx x x -=-=⎰―――――――――――（10分） 六．某服装有限公司确定，为卖出x 套服装，其单价为1500.5p x =-.同时还确定，生产x 套服装的总成本为：2()40000.25C x x =+.（10分）(1)写出边际成本'()C x 的表达式；(2)求总利润()L x 以及边际利润'()L x ；(3)服装产量x 为多少时，利润达到最大，最大利润是多少？解：1.()0.5C x x '=――――――――――――――――――――（2分） 2.2()()()0.751504000L x R x C x x x =-=-+-―――――――（4分） () 1.5150L x x '=-+――――――――――――――――――――（6分）3.令()0L x '=得到唯一驻点100x =，由题设可知此唯一驻点即使总利润最大时的服装产量，则(100)3500L =――――――――――――――――（10分）。
2013级高数(下)试题及答案
南昌大学 2013～2014学年第二学期期末考试试卷 一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 微分方程x yy e 2'-=满足初始条件y (0)0=的特解为_________.2. 在y 轴上与点A (1,3,7)-和B (5,7,5)-等距离的点是_________.3. 函数arccosz u =的定义域是_______.4. 设函数 cos(2)xyz e x y =+, 则 zy∂=∂________.5. 改换二次积分的积分次序1101(,)xx dx f x y dy --=⎰⎰_______. 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 已知3,3OA i k OB j k =+=+,则OAB ∆的面积为（ ）（A； （B； （C）； （D ）2.2. 设(,)z z x y =是由方程3330z xyz a --=所确定的隐函数,则zy ∂=∂（ ）（A ）2xz z xy +；（B ）2xz z xy -；（C ）2xz z xy --；（D ）2yzz xy-.3. 设 ()y f x = 是方程 ''2'40y y y -+= 的一个解，若0()0f x >，且0'()0f x =，则函数()f x 在点0x （ ） （A ）取得极小值 ； （B ）某个邻域内单调增加；（C ）取得极大值； （D ）某个邻域内单调减少.4. 设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解, 12,C C 是任意常数, 则该非齐次线性微分方程的通解是（ ） （A ）1122123(1)C y C y C C y +---； （B ）11223C y C y y ++；（C ）1122123()C y C y C C y +-+； （D ）1122123(1)C y C y C C y ++--。
大专高数期末考试题及答案
大专高数期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数是：A. 6x - 2B. 6x^2 - 4x + 1C. 6x^2 - 2D. 3x - 12. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 1B. 0C. 2D. 不存在3. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 24. 函数y = sin(x)的不定积分是：A. cos(x) + CB. sin(x) + CC. x + CD. -cos(x) + C5. 微分方程dy/dx + 2y = x^2的解是：A. y = x^2/2 + CB. y = x^2 + CC. y = x^2 - 2x + CD. y = x^2 + 2x + C6. 函数f(x) = e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是：A. 1 + x + x^2/2B. 1 + x + x^2C. 1 + x + x^2/6D. 1 + x + x^3/67. 函数f(x) = ln(x)的反函数是：A. e^xB. ln(x)C. x^eD. x^(ln(x))8. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x在x=3处的切线斜率是：A. 0B. 3C. 6D. 99. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[1,2]上的最大值是：A. -1B. 0C. 1D. 210. 函数f(x) = x^2 + 2x + 3在x=-1处的极小值是：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：1. A2. A3. A4. A5. B6. A7. A8. D9. C10. B二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x的导数是________。
答案：3x^2 - 4x + 32. 极限lim(x→∞) (1/x)等于________。
华东交通大学车辆工程A卷期末考试标准答案
5.三角坑若左、右两轨（1分）四点间（1分）不在同一水平面（2分）则称为有三角坑。
评分说明：出现上述知识点，即可得1分。
五、简答题(每题6分，共30分)1. 阐述轨道车辆基本特点及其内在联系答：轨道车辆基本特点为：1）自行导向(1分)2）低运行阻力(1分)3）成列运行(1分)4）严格的外形尺寸限制(1分)相互关系：轨道车辆沿既定的轨道行驶，且不能主动避让（自行导向），为了确保车辆安全运行，需要对其进行严格的外形尺寸限制；（1分）轮轨之间的接触关系，使得车辆在运行过程中所受的阻力较低，因此在相同的牵引力的情况下可以牵引更多的车辆，即成列运行。
1（分）评分说明：在意思大体相同情况下，出现上述知识点，即可得1分。
2. .阐述明轴箱定位的作用，并识别图KS-1中轴箱定位方式。
答：轴箱定位的作用：1）避免车辆在运行速度范围内发生蛇形运动失稳；（1分）2）保证车辆在曲线时的良好的导向性能（或曲线通过性），减少轮轨冲击和侧压力，减轻轮缘和钢轨磨耗；（2分）3）确保车辆的安全性和平稳性（1分）轴箱定位方式识别：a) 导框式（0.5分）b) 固定式（0.5分）c) 橡胶弹簧定位（橡胶堆）（0.5分）d) 转臂式（0.5分）评分说明：在意思大体相同情况下，出现相应的知识点即可以得分，不扣分。
3.从以下两题中，任远一题1）CRH3型动车组采用Scharfenberg密接式车钩,解释闭锁位置及原理。
答：连挂时，钩锁的凸锥(a)滑进对应车钩的凹锥(b)，并将导向杆(8)推回，导向杆使棘轮(9)解锁（2分）。
由此，钩锁在拉伸弹簧力(6)的作用下释放并旋转，直到钩板(4)碰到车钩头外壳(1)（2分）。
凹锥内的钩舌(2)与钩板槽啮合，达到连挂位置，钩锁都闭锁（2分）。
2）车辆抗侧滚扭杆装置及示意如图KS-3所示，说明其作用原理。
答：当车辆发生侧滚时（1分），一根连杆向上运动，另一根连杆向下运动（1分），这时带动扭臂的一头分别向上和向下运动即作用于扭杆一个力矩（1分），使得扭杆发生扭转变形（1分），扭杆产生的反力矩抵抗车体侧滚（1分），从而改善车体侧滚性能（1分）。
华东交通大学2013-2014第二学期试卷
SAGE)的码，则SNO是关系模式SC的A. 主码B. 外码C. 候选码D. 非码10. 事务T在修改数据R之前必须先对其加X锁，直到事务结束才释放。
事务T在读取数据R之前必修先对其加S锁，读完后即可释放S锁。
这是A. 一级封锁协议B. 二级封锁协议C. 三级封锁协议D. 可串行化协议11.软件工程专业开设了多门选修课，每个学生可以根据自己兴趣选修多门课程，则学生和选修课之间的联系是A. 多对多B. 一对一C. 多对一D.一对多12. SQL语言集数据查询、数据操作、数据定义和数据控制功能于一体，语句INSERT、DELETE、UPDATE实现的是功能。
A. 数据控制B. 数据查询C. 数据定义D.数据操纵13.下列有关E-R模型向关系模型的转换的叙述中，不正确的是A.一个实体型转换为一个关系模式B.一个1：1联系只能转化为一个独立的关系模式C.一个1：n的联系可以转换为一个独立的关系模式，也可以与N端对应的关系模式合并D.一个m：n联系转化为一个关系模式14. 下列关于视图(View)的叙述中，不正确的是A.视图是外模式B.视图是虚表C. 使用视图可以加快查询语句的执行速度D. 使用视图可以简化查询语句的编写15. 在数据库的三级模式结构中，内模式有个。
A. 1个B.2个C. 3个D. 任意多个二、填空题（共20分，每空1分，将正确答案写在答题纸上）1. 数据模型通常由数据结构、和三部分组成。
2. 目前数据库领域中最常用的数据模型有四种，它们是层次模型、网状模型、和。
3. 按照规范化的方法，数据库的设计可以分为需求分析、、、物理结构设计、数据库的实施、数据库的运行和维护。
4. 事务的ACID特性是指事务的原子性、一致性、和持续性。
5. 封锁是实现并发控制的一个重要技术。
封锁类型有两种：和。
6. 数据库管理系统在外模式、模式和内模式这三级模式之间提供了两层映象，分别是映象和映象。
7. 设关系R和S的元组个数分别为50和200，设T是R与S的笛卡尔积，则T的元组个数是。
华东交大历年高数上册期末试题及答案07-08高数上试卷及答案
考试时间：2008.1.14
四 2 9 五 总分
学生签名：
分值 注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
2
得分
评阅人
y 2 x ln x x 2 y 2 ln x 2 x
令y 0得： xe
3 2
1 2 x ln x x x
1 1 2 ln x 3 x
3 2 3
当0 x e 时y 0， 当x e 2 时y 0 故凹区间为 [ e 2， ) 凸区间为 (0， e
得分
评阅人
专业
2、 设f ( x ) x 15 4 x 5 2 x 1， 则f (16 ) (1) ( D ) A. 16! B. wjb005 制作
3、 设函数 f ( x )在[a， a]上连续， 则 A.0 B. 2
2 2
2
x
2
d ln( x 1)
2
x dx x1
x ln( x 1) 1 1 (x 1 )dx 2 2 x1
2
x ln( x 1) x 2 x ln( x 1) C 2 4 2 2 1 或原式 ln(x 1)d ( x 2 1) 2
2
dx
得分
评阅人
令x sin t， 则dx cos tdt
原式
4 0
sin t cos tdt cos t 1 cos 2t dt 2
2
13高数A期末一真题与答案
第１页 共2页淮 海 工 学 院12 – 13 学年 第 二 学期 高等数学A （2） 期末试卷（A 卷）1．向量(1,1,0)a =，(0,1,1)b =-所成夹角为----------------------------（C ） （A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π2．2(,)(2)tan(23)f x y x y x y =+-+，则(,2)xx f x =--------------------------------（B ） （A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x 2 3. 3sin xu e y z =-+在点(0,0,1)-处沿下列哪个方向的方向导数最大--------（D） （A ）)1,1,0(- （B ）(0,1,1)- （C ）(3,1,1)- （D ）(3,1,1)- 4．二次积分1ln 10(,)x edx f x y dy ⎰⎰的另一种积分次序为----------------------（B ） （A ） 011(,)ye dyf x y dx -⎰⎰（B ）011(,)y e dy f x y dx -⎰⎰（C ）1(,)ye dyf x y dx -⎰⎰（D ）011(,)y edy f x y dx -⎰⎰5．设L 为椭圆2251x y +=，其周长为l ，则()(5)Lx y x yd s ++=⎰----------------（B ） （A ） 5l （B ） l （C ） （D ） 5l6．若级数1(65)nn p ∞=-∑收敛，则p 的取值范围是------------------------------------------（B ）（A ）(,2-∞ （B ）(2 （C ）(1,32) （D ）(32,)+∞ 7．若幂级数21(4)n nn a x ∞+=-∑在7x =处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（A ）（A ）3 （B ）9 （C ）11 （D ）1218．12xy C C e -=+是下列哪个微分方程的通解------------------------------------------（C ） （A ）0='-''y y （B ）0=-''y y （C ）0='+''y y （D ）0=+''y y二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 1．设(,)f u v 是二元可微函数，=(,)z f y x x y ，求+x y xz yz .解：21x u v y z f f x y =-+----------------------------------------------------------------------------2 21y u v xz f f x y=-----------------------------------------------------------------------------3故+0x y xz yz =.------------------------------------------------------------------------------22．求22xy De dxdy +⎰⎰D :2214x y ≤+≤.解: :02,12,D r θπ≤≤≤≤--------------------------------------------2 则原式2221r d e rdr πθ=⎰⎰----------------------------------------------22221r e dr π=⎰4()e e π=-.-----------------------------------------------------------33．设空间闭区域Ω{(,,)0x y z z =≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的内侧，用高斯公式计算3222()3()(1)xz dydz y z x dzdx z z dxdy ∑++-+-⎰⎰．解: 3222,3(),(1)P x z Q y z x R z z =+=-=---------------------------------------1Ω是半径为1的半球体 --------------------------------------------------------------------2 则 原式()xyz Pdydz Qdzdx Rdxdy P QR dxdydz ∑Ω=++=-++⎰⎰⎰⎰⎰-------------2dv Ω=-⎰⎰⎰23π=-． ---------------------------------------------------------------24．求解微分方程111y y x x'-=++． 解: 公式法， 11111[(1)]dx dx x x y e e dx C x-++⎰⎰=++⎰------------------------------------------3 ln(1)ln(1)1[(1)]x x e e dx C x+-+=++⎰------------------------------------------21(1)()x dx C x=++⎰(1)(ln )x x C =++．---------------------2第２页 共2页三、计算题（本大题8分）设方程0132=--xz y z 确定了),(y x z z =，求（1）)1,0,1(-dz；（2）曲面),(y x z z =在点)1,0,1(-处的切平面方程. 解: 令1),,(32--=xz y z z y x F则1)1,0,1(=-x F ，1)1,0,1(=-y F ，3)1,0,1(-=-z F ---------------------------------2（1）=-)1,0,1(dz dx F F z x )1,0,1()1,0,1(---)(31)1,0,1()1,0,1(dy dx dy F F z y +=----------------------2（2）切平面的法向量 )311(-=，，n--------------------------------------------2 切平面方程为 0)1(3)1(=+-+-z y x .----------------------------------------2 四、计算题（本大题8分）和建制造，乐在共享。
高数13级高数(上)期末试卷
(A) 有界(B) 可导(C) 有原函数(D) 可积三、判断题（对的打勾错的打叉）(共5题，每题2分，共10分)1.（ ）一切初等函数在其定义区间内都是连续的.2.（ ）)(])([22x f x f '='运算无误.3.（ ）0→x 时，37x x +是46x x +的高阶无穷小.4.（ ）因为3x y =为奇函数，区间) (∞+-∞，关于原点对称，所以0d )( =⎰∞+∞-x x f .5.（ ）若直线为过一定点与已知平面垂直的直线，则该直线方向向量的方向是唯一的.四、解下列各题(共6小题，每小题5分，共30分) 1. 已知⎰+=x t t y 2 02d 1，求y ''. 2. 求⎰x x x d e 22.3. 求)11e 1(lim 0x x x --→ . 4. 已知62134++=x x y ，求)(n y5. 已知0d cos d e 0=+⎰⎰xytt t t ，求22d d x y 6. 求⎰-π3d )cos 1(x x五. (12分)设曲线x y 22=与直线4-=x y 围成的图形在第一象限中 的部分为D ，求(1)D 的面积；(2)D 绕x 轴旋转形成的立体体积； (3)曲线x y 22=绕x 轴旋转形成的旋转曲面的曲面方程。
六. (10分)(1)方程对称式的直线标准式且平行直线，，求过点)(012022) 1 3(⎩⎨⎧=--+=++--z y x z y x(2)求其方程，到该平面的距离为，，且点平行，设一平面与平面 3)3 2 1( 0122-=++-z y x .七.(10分)设)1ln()(2x x f +=，讨论函数)(x f 的单调性和曲线)(x f y =的凹凸性 .八. (8分)设1 0>>>n b a ，证明：)()(11b a na b a b a nb n n n n -<-<---.。
华东交大2019-2020高数卷子 -回复
华东交大2019-2020高数卷子-回复
摘要：
一、华东交大高数卷子的概述
1.华东交大介绍
2.2019-2020 高数卷子的背景
二、高数卷子的难度与题型
1.试卷难度的分析
2.题型的多样性
三、高数卷子的知识点覆盖
1.知识点全面覆盖
2.知识点之间的联系
四、学生反馈与建议
1.学生对高数卷子的评价
2.对今后高数教学的建议
正文：
一、华东交大高数卷子的概述
华东交通大学，位于我国华东地区，是一所以工为主，工学、理学、管理学、文学、经济学、法学、艺术学等多学科协调发展的全日制普通本专科院校。
2019-2020 学年度的高等数学试卷，是该校针对本科学生的一次重要考核，对学生的数学素养和能力进行全面评估。
二、高数卷子的难度与题型
2019-2020 学年度的高数卷子，难度适中，既考查了学生的基础知识，又考查了学生的实际应用能力。
试卷涵盖了选择题、填空题、计算题、证明题等多种题型，让学生在应对考试时能充分发挥自己的特长。
三、高数卷子的知识点覆盖
这份高数卷子知识点覆盖全面，涉及高等数学的基本概念、基本理论和方法。
从函数、极限、连续到微分、积分、级数，各种知识点在试卷中都有所体现，要求学生具备扎实的理论基础和较强的分析问题、解决问题的能力。
四、学生反馈与建议
对于这份高数卷子，学生们普遍认为既有一定的挑战性，又能够反映出自己的学习成果。
但是，也有部分学生提出，部分题目难度较高，对于基础薄弱的学生来说，可能难以应对。
最新华东交通大学-高等数学期末考试-级第二学期试题
华东交通大学2015—2016学年第二学期考试卷（B ）卷一、填空题(每题3分，共15分)1. __________grad )(),(=-=f y x y x f 处的梯度，在点函数1132 2. _________d }),{(=≤+≤=⎰⎰Dy x y x D σ，则设94223. _______d }),,{(=≤≤≤≤-≤≤=Ω⎰⎰⎰Ωv x z y x z y x 2101110，则，，设4. ________=-∑∞=S n nnn 的和级数1423 5. _______d )(d )()()(=++-⎰1100，，曲线积分y y x x x y二、选择题(每题 3 分，共 15 分)1. ) (),(的驻点是函数y y xy x y x f 25422++-=0)0( D. )( C. )( B. 2(1 A.，，，），2112----d )(d D. d )(d C. d )(d B. d )(d A.)(d )(}),{( .cos 0cos 2012⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+≥≤+=θπθπππθθθθσ222202122022222022r r rf r r f r r rf r r f y x f y x y x y x D D ，则且设d sin )(d d B. d )(d d A.)()d ( .02040⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++==++ΩΩ4211202222222213ππππρϕρρϕθρρρϕθf f v z y x f y x z z y x 围成，则及由曲面设d cos )(d d D. d sin )(d d C.02040⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211020ππππρϕρρϕθρϕρρϕθf fD. C. B. A.)(sin)( .敛散性不确定条件收敛绝对收敛发散 级数∑∞=-1114n n ncos D. cos C. sin B. sin A.)(sin .212121215C x C x y C x C x y C x C x y C x C x y x y ++=++-=++=++-=='' 的通解为微分方程姓名： 学号： 教学班级： 教学小班序号：4. 的折线段，与，，，是连接其中，求) () ( ) ( d )(30000142B O A C s y x I C⎰+=5. 的收敛半径及收敛域求幂级数∑∞=⋅121n nnx n6. 的通解求微分方程xy x y y x e +='装Ｏ订Ｏ线Ｏ二、看一看，想一想，填一填。
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华东交通大学2013—2014学年第二学期考试卷
高等数学(A)Ⅱ课程 工科 类别：必 闭卷（√）试卷编号： (A)卷
考生注意事项：1、本试卷共 4 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
3、考试独立完成，发现雷同试卷一律按零分处理。
一、填空题（共6题，每题2分，共12分）
ln 1x x y
z
x z y y
=∂∂=则，设、
)d (d d ) (d 2 1 0
1 0
2
⎰
⎰⎰
⎰=y
y
x
x x y x f y
y y x f x
，，交换积分次序、
3
4
d 1 3222π
==++Ω⎰⎰⎰
Ω
v z y x 则
围成，由球面设、 4
1
d )1 1()0 0( 42==⎰
C
x xy A O x y C 则
，，到，从点为曲线设、
∑
∞
=+-=+=01
2
)1( )(21
)( 5n n n n x x f x x x f 的幂级数为展开成函数、 044 2 6=+'-''y y y 则该方程为，的实根方程的特征方程有相同设二阶常系数线性齐次、
二、计算题（58分）
1、多元函数微分学应用（共2题，每题6分，共12分）
切平面方程处的
，，在点求曲面)2 1 1()1(32-+=y x z 的极值求函数x y xy x y x f 3),( )(222++-=
23 2 y z x z y x ='='，解：
y x f y x f y x 2 32 +-='+-='，解： }1 3 2{ --=∴，，
法向量n )1 2( 020
32--⎩
⎨⎧=+-=+-，得解y x y x 0
)2()1(3)1(2 =---++-z y x 故切平面方程为
2 1 2 =''-=''=''yy xy xx
f f f ，，又 0332 =++-z y x 即 02 03C 2>=<-=-A A B 且，
故 3)1 2(-=--，
因此所求极小值为f
2、重积分（共2题，每题6分，共12分）
围成和由抛物线其中，利用直角坐标求2 d d )1(x y x y D y x y x
I D
==
=
⎰⎰
⎰
⎰=x
x y y x x
I 1 0
2
d d 解： ⎰
⎰=y
y x y x y
I 1
2
d d
⎰
-=
1 0
34
3)d (3
2
x x x x ⎰
-=
1
4)d (2
1y y y y
556)5111
4
(321054
11=
-=x x
55
6
)11252(2110211
25
=-=y y
围成、及平面由柱面其中，利用柱面坐标求1 04 d )2(2222===+Ω+=
⎰⎰⎰
Ω
z z y x v y x I
⎰
⎰⎰
=1
22 0 2 0
d d d z r r
I π
θ解：
⎰
⎰
=2 0
22 0 d d r r π
θ
⎰
=π
θ2 0
d 3
8
3
16π
=
3、曲线积分（共2题，每题6分，共12分）
的一段弧，与，上点为抛物线其中，求曲线积分
)2 2()0 0( 2 d )(12A O x y C s y C
=⎰
y x y x y ='∴= 2
2
，解： x
y 21=
'
⎰
⎰
+=
2
2d 1d
y y y s y C
故
⎰
⎰
+
=
2
d 2112d x x
x s y C
2
23
22 0 22)1(31)d(1121y y y y +=++=⎰ ⎰
++=2 0 )2d(12121x x 20
23)21(31x +=
)155(31-= )155(3
1
-=
所做的功，，求此过程力，，，移动到点，，从点：一质点沿曲线} { )1 1 1()0 0 0( )2(32
x y z F A O t
z t y t x L -=⎪⎩⎪⎨⎧===
⎰+-=
L
z x y y x z W d d d 解：
⎰⋅+⋅-=1
2
23d )32(t t t t t t
2
1
21d 210
41
3
===⎰t t t
4、无穷级数（共2题，第(1)题4分，第(2)题6分，共10分）
的敛散性判断级数
∑
∞
=+1
5
1)1(n n n
2/351
1 n
n n <+ 解：
收敛又∑∞
=12
/31
n n
收敛∑
∞
=+∴1
5
1
1
n n
装 的收敛域求幂级数
∑∞
=1
2
1
)2(n n x n
1)
1(lim /1)1/(1lim 22
22
=+=+=∞→∞→n n n n n n ρ 解： 1 =∴R
收敛级数时，当∑
∞
=--=1
2
)1( 1n n
n x 收敛级数
时，当∑
∞
==12
1
1n n
x 订 ]1 1[，故收敛域为-
5、微分方程（共2题，每题6分，共12分）
的通解求微分方程x
y
x y y 2)1(+='
x
y
u =
令解： x x u u
d 1
d 21 =则原方程化为
C x u +=ln 两边积分得 2)(ln ln
C x x y C x x
y
+=+=即，所求通解为
线 的通解求微分方程x y cos )2(=''' 1sin d cos C x x x y +==''⎰
解：
211cos d )(sin C x C x x C x y ++-=+='⎰
322
1212
sin d )cos (
C x C x C x x C x C x y +++-=++-=⎰
通解
、
三、综合题（共2题，每题10分，共20分）
的通解求微分方程、1234 1+=+'+''x y y y
034 2=++r r 特征方程为解： 3 1 21-=-=⇒r r 、 x x C C Y 321e e --+=故齐次方程的通解为 b ax y +=*设特解 12343 *+=++x b a ax y 代入原方程得把
⎩⎨
⎧=+=⇒1
342
3b a a 95 32-==⇒b a 、 9
5
32*-=⇒x y
9
5
32e e 321-++=--x C C y x x 故通解为
)
1 1(2)0 0(
d )
e (d )2e ( 22
2
，到点沿曲线，从点其中，求曲线积分、A x y x O C y y x x x I C
y y =++++=
⎰
y x Q x P y
y
+=+=e 2e ，令解：，y y x
Q
y P e e =∂∂=∂∂，则
无关故曲线积分与积分路线， y
P x Q ∂∂=∂∂⇒ ⎰⎰+++=
BA
OB y Q x P y Q x P I d d d d 因此 ⎰⎰+++=BA
OB y Q x P y Q x P I d d d d
⎰⎰+++=1
0 1 0
d )
e (d )21(y y x x y
⎰⎰++=1
1
0 d )2e (d x x y y
102102)21e ()(y x x y
+
++= 102102)e (2
1x x y ++= 23e += 2
3
e +=
四、证明题（共2题，第1题6分，第2题4分，共10分）
z y
z y x z x u f x y f x z -=∂∂+∂∂= )( )(1 1证明：可导，其中，设、
f x
y f x x z '--=∂∂321 证： ， f x y z '=∂∂21
z f x f x
y f x y f x y z y x z x -=-='+'--=∂∂+∂∂∴1
1 22
发散证明级数，常数收敛，
设级数
、∑∑∞
=∞=+≠1
1
)( 0 2n n
n n a u a u
0lim 1
=∴∞
→∞
=∑n
n n n u u 收敛，
证：
发散故
，∑∞
=∞
→+≠=+=+⇒1
)( 00)(lim n n
n n a u
a a a u。