2013年高三复习第五讲幂函数与二次函数

第五讲幂函数与二次函数基础梳理1．幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1的图象分别如右图．3．幂函数的性质4.5.(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)五个代表函数y＝x，y＝x2，y＝x3，21xy=，y＝x－1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表．两种方法函数y＝f(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．双基自测1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．32.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )．A ．－2，－12，12，2B ．2，1212，－2C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－123．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )．A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或24．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或25．(2012·武汉模拟)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.1.解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3.答案 A2.答案 B3.解析 由⎩⎨⎧α≤0，－α＝4或⎩⎨⎧α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.4.解析函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1，f b ＝b ，b >1，即⎩⎨⎧b 2－3b ＋2＝0，b >1.解得b ＝2.答案 C5.解析 f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2由已知条件ab ＋2a ＝0，又f (x )的值域为(－∞，4]，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，b ＝－2，2a 2＝4.因此f (x )＝－2x 2＋4.答案 －2x 2＋4考点一 二次函数的图象【例1】►(2010·安徽)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．[审题视点] 分类讨论a ＞0，a ＜0.解析 若a ＞0，则bc ＞0，根据选项C 、D ，c ＜0，此时只有b ＜0，二次函数的对称轴方程x＝－b2a＞0，选项D 有可能；若a ＜0，根据选项A ，c ＜0，此时只能b ＞0，二次函数的对称轴方程x＝－b 2a ＞0，与选项A 不符合；根据选项B ，c ＞0，此时只能b ＜0，此时二次函数的对称轴方程x ＝－b2a＜0，与选项B 不符合．综合知只能是选项D.分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等．【训练1】 已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象的大致形状是( )．解析 由函数f (x )的图象知：当x ∈(－∞，1]时，f (x )为减函数，∴f ′(x )≤0；当x ∈[1，＋∞)时，f (x )为增函数，∴f ′(x )≥0.结合选项知选C.考点二 二次函数的性质【例2】►函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式；(2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．[审题视点] 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式． 解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1. 当t <1<t ＋1，即0<t <1时，g (t )＝f (1)＝1当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1综上可知g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1≤0，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2 t ＋2，t ≥1.(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0,1]上取到最小值1.(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在(－∞，＋∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在[m ，n ]上的最值需要根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象对称轴的位置，通过讨论进行求解． 【训练2】 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，∴x ＝1时，f (x )取得最小值1；x ＝－5时，f (x )取得最大值37. (2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.考点三 幂函数的图象和性质【例3】►已知幂函数f (x )＝322--m m x(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足33)23()1(m m a a ---<+的a 的取值范围．[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3.∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1. 而f (x )＝31-x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴33)23()1(m m a a ---<+等价于a ＋1＞3－2a ＞0或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a .解得a ＜－1或23＜a ＜32.故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜－1或23＜a ＜32.本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．【训练3】 幂函数y ＝x a ，当a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)． 设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分， 即有|BM |＝|MN |＝|NA |.那么，αβ＝( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．无法确定解析 法一 由条件得M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13，由一般性，可得13＝⎝⎛⎭⎫23α，23＝⎝⎛⎭⎫13β，即α＝31log32，β＝32log31.所以αβ＝31log32·32log 31＝lg13lg 23·lg 23lg 13＝1.法二 由解法一，得13＝⎝⎛⎭⎫23α，23＝⎝⎛⎭⎫13β，则⎝⎛⎭⎫13αβ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13βα＝⎝⎛⎭⎫23a ＝13，即αβ＝1.答案 A规范解答4——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．【解决方案】 对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论． 【示例】)(2011·济南模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )．求二次函数f (x )的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论． [解答示范] ∵f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －a 22－4a ，∴抛物线顶点坐标为⎝⎛⎭⎫a2，－4a .(1分) ①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1＜2(舍去)；(4分)②当0＜a 2＜1，即0＜a ＜2时，x ＝a 2时，f (x )取最大值为－4a .令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；(7分)③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减，∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2，令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0， 解得a ＝－5或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分)综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5.∴f (x )＝－4x 2＋5x －10516f (x )＝－4x 2－20x －5.(12分)求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．【试一试】 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．[尝试解答] ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2＜a ＜1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2＜a ＜1，－1，a ≥1.1.已知函数f (x )＝x α的图象经过点(4,2)，则log 2f (2)＝________.2.设α∈{－2，－12，12，2}，则使函数y ＝x α为偶函数的所有α的和为____________．3.已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a 、b 、c 按从小到大的顺序排列为________________．4.幂函数y ＝(m 2－m －1)·x －5m －3，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m 的值为________．5.设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－1， x ≤0，x 12， x >0.若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是________________．6.函数y ＝21)85.0(--x的定义域是______________．7.若3131)23()1(---<+a a ，则a 的取值范围是______________．8.给出封闭函数的定义：若对于定义域D 内的任意一个自变量x 0，都有函数值f (x 0)∈D ，则称函数y ＝f (x )在D 上封闭．若定义域D ＝(0,1)，则函数①f 1(x )＝3x －1；②f 2(x )＝－12x 2－12x ＋1；③f 3(x )＝1－x ；④f 4(x )＝x 12，其中在D 上封闭的是________．(填序号即可)9.已知幂函数f (x )的图象经过点(18，24)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)； ②x 1f (x 1)<x 2f (x 2)；③f (x 1)x 1>f (x 2)x 2； ④f (x 1)x 1<f (x 2)x 2.其中正确结论的序号是________________．10.已知幂函数y ＝23212++-p p x (p ∈Z )在(0，＋∞)上单调递增，且在定义域内图象关于y 轴对称，求p 的值．11.已知f (x )＝3212++-n n x (n ＝2k ，k ∈Z )的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x ＋3)．12.已知函数f (x )＝x1＋x，(1)画出f (x )的草图；(2)由图象指出f (x )的单调区间；(3)设a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c ，证明：f (a )＋f (b )＞f (c )．13.如果函数y ＝x 2＋mx ＋(m ＋3)有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．14.如果函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋2的一个零点是0，则另一个零点是________________．15.用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．16.已知函数f (x )＝3x ＋x －5的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________.17.若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是______________．18.偶函数f (x )在区间[0，a ](a >0)上是单调函数，且f (0)·f (a )<0，则方程f (x )＝0在区间[－a ，a ]内根的个数是________．19.关于x 的实系数方程x 2－ax ＋2b ＝0的一根在区间[0,1]上，另一根在区间[1,2]上，则2a ＋3b 的最大值为________．20.若关于x 的方程3tx 2＋(3－7t )x ＋4＝0的两实根α，β满足0<α<1<β<2，则实数t 的取值范围是______________．21.已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0，求实数p 的取值范围．22.已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)问是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t .(视区间[a ，b ]的长度为b －a )1.解析 由已知得2＝4α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12，∴log 2f (2)＝log 2212＝12.2.解析 符合题意的α为－2和2，则－2＋2＝0.3.解析 由指数函数y ＝0.8x 知，∵0.7<0.9，∴0.80.9<0.80.7<1，即b <a ，又c ＝1.20.8>1，∴b <a <c .4.解析 由题意知⎩⎨⎧m 2－m －1＝1，－5m －3<0.∴m ＝2.5.解f (x 0)>1，当x 0≤0时，2－x 0－1>1，即2－x 0>2，－x 0>1，∴x 0<－1；当x 0>0时，x 120>1，∴x 0>1.综上，x 0∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．6.解析 由题意知0.5x －8>0，即(12)x >8，即2－x >23，∴－x >3，则x <－3.7.解析∵(a ＋1)－13<(3－2a )－13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>03－2a >0a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<03－2a <0a ＋1>3－2a或⎩⎨⎧3－2a >0a ＋1<0解之得23<a <32或a <－1.8.解析 ∵f 1⎝⎛13＝0∉(0,1)，∴f 1(x )在D 上不封闭．∵f 2(x )＝－12x 2－12x ＋1在(0,1)上是减函数，∴0＝f 2(1)<f 2(x )<f 2(0)＝1，∴f 2(x )适合．∵f 3(x )＝1－x 在(0,1)上是减函数，∴0＝f 3(1)<f 3(x )<f 3(0)＝1，∴f 3(x )适合．又∵f 4(x )＝x 12在(0,1)上是增函数，且0＝f 4(0)<f 4(x )<f 4(1)＝1，∴f 4(x )适合．答案 ②③④9.解析 依题意，设f (x )＝x α，则有(18α＝24，即(18)α＝(18)12，所以α＝12f (x )＝x 12由于函数f (x )＝x 12在定义域[0，＋∞)内单调递增，所以当x 1<x 2时，必有f (x 1)<f (x 2)，从而有x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，故②正确；又因为f (x 1)x 1，f (x 2)x 2分别表示直线OP 、OQ 的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP 的斜率大于直线OQ 的斜率，故f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，所以③正确．答案 ②③10.解 由题意知：－12p 2＋p ＋32＝－12(p －1)2＋2.因为p ∈Z ，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且在定义域上为偶函数，所以p ＝1.11.解 由条件知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n <3.又n ＝2k ，k ∈Z ，∴n ＝0,2.当n ＝0,2时，f (x )＝x 13. ∴f (x )在R 上单调递增．∴f (x 2－x )>f (x ＋3)，∴x 2－x >x ＋3.解得x <－1或x >3.∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 12.(1)解 由x xx f +=1)(得.111)(+-=x x f∴f(x)的图象可由xy 1-=的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到如图．(2)解 由图象知(－∞，－1)，(－1，＋∞)均为f (x )的单调增区间．(3)证明 ∵f (x )在(－1，＋∞)为增函数，a 1＋a ＞a 1＋a ＋b ＞0，b 1＋b ＞b1＋a ＋b＞0，a ＋b ＞c ＞0，∴f (a )＋f (b )＝a 1＋a ＋b 1＋b ＞a ＋b 1＋a ＋b ＞c1＋c＝f (c )，∴f (a )＋f (b )＞f (c )．13.解析 方程x 2＋mx ＋(m ＋3)＝0有两个不同的根⇔Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，∴m >6或m <－2. 答案 (－∞，－2)∪(6，＋∞)14.解析 依题意知：m ＝－2.∴f (x )＝x 2－2x ，∴方程x 2－2x ＝0的另一个根为2，即另一个零点是2.15.解析 令f (x )＝x 3－2x －1，则f (1)＝－2<0，f (2)＝3>0，f (32)＝－58，由f (32)f (2)<0知根所在区间为(32，2)．答案 (32，2)(说明：写成闭区间也对)16.解析 ∵b －a ＝1，a ，b ∈N *，f (1)＝4－5＝－1<0，f (2)＝6>0，∴f (1)f (2)<0，∴a ＋b ＝3. 17.解析 设函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1) 有两个零点，就是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点，由图1可知，当 0<a <1时两函数只有一个交点，不符合；由图2知，当a >1时，因为函数y ＝a x (a >1)与y 轴交于点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所 以实数a 的取值范围是a >1.18.解析 由f (0)·f (a )<0，且f (x )在[0，a ](a >0)上单调知f (x )＝0在[0，a ]上有一根，又函数f (x ) 为偶函数，f (x )＝0在[－a,0]上也有一根．答案 219.解析 令f (x )＝x 2－ax ＋2b ，据题意知函数在[0,1]，[1,2]内各存在一零点，结合二次函数图象可知满足条件 ⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)≥0f (1)≤0f (2)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧b ≥01－a ＋2b ≤04－2a ＋2b ≥0，在直角坐标系中作出满足不等式的点(a ，b )所在的可行域，问题转化为确定线性目标函数： z ＝2a ＋3b 的最优解，结合图形可知当a ＝3，b ＝1时，目标函数取得最大值9.20.解析 依题意，函数f (x )＝3tx 2＋(3－7t )x ＋4的两个零点α，β满足0<α<1<β<2，且函数f (x ) 过点(0,4)，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4>03t ＋3－7t ＋4<012t ＋6－14t ＋4>0，解得74<t <5.答案 74<t <5 21.解 二次函数f (x )在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0的否定是对于区间[－1,1] 内的任意一个x 都有f (x )≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0f (－1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤04＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0整理得⎩⎪⎨⎪⎧2p 2＋3p －9≥02p 2－p －1≥0，解得p ≥32或p ≤－3. ∴二次函数在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0的实数p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，32.22.解 (1)∵函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，∴f (x )在区间[－1,1]上是减函数．∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0f (－1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－16＋q ＋3≤01＋16＋q ＋3≥0，∴－20≤q ≤12. (2)∵0≤t <10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x ＝8.①当0≤t ≤6时，在区间[t,10]上，f (t )最大，f (8)最小，∴f (t )－f (8)＝12－t ，即t 2－15t ＋52＝0，解得t ＝15±172，∴t ＝15－172；②当6<t ≤8时，在区间[t,10]上f (10)最大，f (8)最小，∴f (10)－f (8)＝12－t ，解得t ＝8；③当8<t <10时，在区间[t,10]上，f (10)最大，f (t )最小，∴f (10)－f (t )＝12－t ，即t 2－17t ＋72＝0，解得t ＝8或t ＝9，∴t ＝9.综上可知，存在常数t ＝15－172，8,9满足条件．。