2018高三数学(理)一轮复习课时作业(三十一)等差数列及其前n项和

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精品高三数学课时练：等差数列及其前n项和

第2讲等差数列及其前n 项和A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·福建)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析在等差数列{a n }中，∵a 1＋a 5＝10.∴2a 3＝10，∴a 3＝5，又a 4＝7，∴所求公差为2. 答案 B2．(2013·山东实验中学诊断)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 3＋a 11＝6，那么S 9＝( )．A ．2B ．8C ．18D ．36解析设等差数列的公差为d ，则由a 1＋a 3＋a 11＝6，可得3a 1＋12d ＝6，∴a 1＋4d ＝2＝a 5.∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝9×2＝18.答案 C3．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )． A ．－1B ．1C ．3D ．7解析两式相减，可得3d ＝－6，d ＝－2.由已知可得3a 3＝105，a 3＝35，所以a 20＝a 3＋17d ＝35＋17×(－2)＝1. 答案 B4．(2012·东北三校一模)在等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n 的最大值为( )．A ．6B ．7C ．8D ．9解析依题意得S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·江西)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.解析设数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，因为a 3＋b 3＝(a 1＋2d 1)＋(b 1＋2d 2)＝(a 1＋b 1)＋2(d 1＋d 2)＝7＋2(d 1＋d 2)＝21，所以d 1＋d 2＝7，所以a 5＋b 5＝(a 3＋b 3)＋2(d 1＋d 2)＝21＋2×7＝35. 答案 356．(2013·沈阳四校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6.答案 6三、解答题(共25分)7．(12分)在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 7＋a 12＝12，a 2·a 7·a 12＝28，求数列{a n }的通项公式．解由a 2＋a 7＋a 12＝12，得a 7＝4.又∵a 2·a 7·a 12＝28，∴(a 7－5d )(a 7＋5d )·a 7＝28， ∴16－25d 2＝7，∴d 2＝925，∴d ＝35或d ＝－35. 当d ＝35时，a n ＝a 7＋(n －7)d ＝4＋(n －7)×35＝35n －15；当d ＝－35时，a n ＝a 7＋(n －7)d ＝4－(n －7)×35＝－35n ＋415. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝35n －15或a n ＝－35n ＋415.8．(13分)在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S nn ＋c (n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0，则由⎩⎨⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎨⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S nn ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c ，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n . ∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·咸阳模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )．A ．12B ．14C ．16D ．18解析 S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.答案 B2．(2012·广州一模)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A nB n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n 为整数的正整数的个数是 ( )．A ．2B ．3C ．4D ．5解析由A n B n ＝7n ＋45n ＋3得：a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，要使a n b n 为整数，则需7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共有5个．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·徐州调研)等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析 ∵a n ＝2n ＋1，∴a 1＝3，∴S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ，∴S n n ＝n ＋2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列， ∴前10项和为3×10＋10×92×1＝75. 答案 754．(2012·诸城一中月考)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，∴项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案 11 7三、解答题(共25分)5．(12分)在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .解 (1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列，且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10. (2)令a n ≥0，得n ≤5.即当n ≤5时，a n ≥0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ；当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5) ＝－(－n 2＋9n )＋2×(－52＋45) ＝n 2－9n ＋40，∴S n ＝⎩⎨⎧－n 2＋9n ，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.6．(13分)(2012·四川)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立． (1)求a 1，a 2的值；(2)设a 1＞0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 的前n 项和为T n .当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．解 (1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2，得a 22＝2a 1＋2a 2，② 由②－①，得a 2(a 2－a 1)＝a 2，③(i)若a 2＝0，由①知a 1＝0， (ii)若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1.④由①、④解得，a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. 综上可得a 1＝0，a 2＝0；或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－2.(2)当a 1＞0时，由(1)知a 1＝2＋1，a 2＝2＋2.当n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ，(2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1，所以(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)·(2)n －1. 令b n ＝lg 10a 1a n，则b n ＝1－lg(2)n －1＝1－12(n －1)lg 2＝12lg 1002n －1，所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为－12lg 2)，从而b 1＞b 2＞…＞b 7＝lg 108＞lg 1＝0，当n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128＜12lg 1＝0，故n ＝7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为 T 7＝7(b 1＋b 7)2＝7(1＋1－3lg 2)2＝7－212lg 2.。

2018年高三数学(文)一轮复习课件等差数列及其前n项和

(4)等差数列的前 n 项和公式:Sn=
��(��1 +�� ) ��(��-1) =na d. 1+ 2 2
第六章
知识梳理双基自测自测点评
6.2
等差数列及其前n项和
知识梳理核心考点学科素养
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2.等差数列及其前n项和的性质 am+an=ap+aq (1)若m+n=p+q,则 (m,n,p,q∈N*);m+n=2p,则 am+an=2ap(m,n,p∈N*). (2)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 md 的等差数列. (3)若{an},{bn}是等差数列,p,q∈R,则{pan+qbn}也是等差数列. (4)设Sn是等差数列{an}的前n项和,则数列 Sm,��2 �� -Sm,S3m-��2 �� ,… 也是等差数列. (5)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an. (6)若n为偶数,则 S 偶-S 奇=�� ;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).
A
21(��1 +��21 ) S21= =21a11=42. 2
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解析
答案
第六章
知识梳理双基自测自测点评
6.2
等差数列及其前n项和
知识梳理核心考点学科素养
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4.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则 S6= .

浙江版2018年高考数学一轮复习专题6.2等差数列及其前n项和讲201711283100

第02节等差数列及其前n项和【考纲解读】考点考纲内容五年统计分析预测2013浙江文19；理18；1.理解等差数列的概念，掌2014浙江文19；1.利用方程思想进行基本量等差数列的概握等差数列的通项公式；2015浙江文10,17；理3；的计算.念与运算2.了解等差数列与一次函数. 2016浙江文8；,理6；2等差、等比数列的综合问题.2017浙江6. 3.特别关注:2013浙江文19；理18；(1)方程思想在数列计算中的 1.掌握等差数列前n 项和2014浙江文19；应用;等差数列的公式及其应用；2015浙江理3；(2)等差数列的通项公式、前前n项和 2.会用数列的等差关系解决2016浙江文8；,理6；n项和公式的综合应用.实际问题.2017浙江6.【知识清单】一．等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.用递推公式表示为a a 1 d(n2) 或n n a 1 a d(n1).n n2.等差数列的通项公式：a a 1 (n 1)d；n说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d 0 为递增数列，d 0 为常数列，d0 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项,其中Aa ba，A，b成等差数列A .2n(a a) n(n 1) 4.等差数列的前n和的求和公式：S 1 na d.nn 12 2 a b. 25.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．1对点练习：【2017届浙江省温州市二模】在等差数列{푎푛}中，若푎22 + 2푎2푎8 + 푎6푎10 = 16，则푎4푎6 = _______. 【答案】4二、等差数列的前 n 项和n (aa )n (n 1) 等差数列的前 n 和的求和公式： S1nnad .n122对点练习：【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知等差数列a 的前 n 项和为nS ，若nS14， 9 S，则 a__________，kkka 的最大值为__________．1【答案】 5 4.【解析】aSS15 ，因为 Skkkkk a159 ，又 k 的最小值为 2，可知2a 的最大值 1为 4.三、等差数列的相关性质 1.等差数列的性质：（1）在等差数列a 中，从第 2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；n（2）在等差数列a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如： a ， a ， a ，n135a ，……； a ， 73a ， a ， a ，……；81318a an m d ， d a n a m(m n ) ；（3）在等差数列a中，对任意m ， n N ，( )nnmn m（4）在等差数列a中，若m，n，p，q N且m n p q，则a a a a,特n m n p q殊地，2m p q时，则2a a a，a是a、a的等差中项.m p q m p q（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即S,S S,S S成等n2n n3n2n差数列.2（6）两个等差数列{a }与{b }的和差的数列{ab }仍为等差数列．nnnn（7）若数列{a }是等差数列,则{ka }仍为等差数列．nn2．设数列{a }是等差数列，且公差为 d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有 2n 项，则n① S -Snd奇偶； ②Sa 奇nSa偶 n 1；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有 2n 1项，则① SS 偶奇aa中(中间项)；②nS n 奇Sn 1偶.3.,a,a q a p pq ,则pqp qS S Smnd .m nmn4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．aS 5.若{ }b 为等差数列，且前 n 项和分别为 S n 与 S n '，则21.a 与{ }mmnnbS 'm2m16．等差数列的增减性： d 0 时为递增数列，且当a 1 0 时前 n 项和 S 有最小值． d0 时n为递减数列，且当a 10 时前 n 项和S 有最大值．n对点练习： 1.在等差数列a 中，已知 a 3a 810 ，则3aa = （）n57A ．10B ．18C ．20D ．28【答案】C2.已知等差数列{a}的前n项和为n S，满足nS5 S，且0a1 ，则S中最大的是（）9 nA．S B．S C．S D．S6 7 8 15【答案】B【解析】由 5 S 6 7 8 9 2 7 8 0S,得a a a a a a,由a1 0知,a7 0,a0 ,所以S9 8 7最大，故B正确.3【考点深度剖析】等差数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．【重点难点突破】考点1 等差数列的定义、通项公式、基本运算S为等差数列a的前n项和．若 6 8a a，4 5 24 S ，【1-1】【2017全国卷1（理）】记n n则{a}的公n差为（）.A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C【1-2】【2017全国卷2（理））】等差数列a的前n项和为n S，a，3 3nS ，则4 10n1kS k1．【答案】2n n1【解析】设a首项为n a，公差为d．则a 3 a 1 2d 3 ，1S a d ，求得a ，d 1，则a n，4 4 1 6 10 1 1n Snn n1，22 1 1 1 1 1 1 1 1 n1 2 2 22kS kn nn n12 23112 2 3n 1 nn n 1 112n 2 1n 1n1. 【1-3】【2017届天津市耀华中学二模】已知等差数列a 的前项和为 S ，且 nnS，若记2142b2，则数列2aa ab （）11913nnA. 是等差数列但不是等比数列B. 是等比数列但不是等差数列4C. 既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列又不是等比数列【答案】C【领悟技法】1．等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列1 n N(常数)，则数列a，若a a d a是等差数列；nn n n(2) 等差中项：对于数列a，若n 2 n a aa n N ，则数列a是等差数列;1 n n2 n(3)通项公式：a pn q( p,q为常数,n N )⇔a是等差数列;n n(4)前n项和公式： 2 a是等差数列;S An Bn(A, B为常数, n N )⇔n nS(5)a是等差数列⇔nnn是等差数列.2．活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．即1n(a a) n(n 1)1 ( 1)等差数列的通项公式a a n d及前n项和公式 1 n，共S nad n n 12 2涉及五个量a1,d,n,a n,S n，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a、d，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通1过“设而不求，整体代入”来简化运算．3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为a d,a,a d；四个数成等差数列，一般设为a3d,a d,a d,a3d.这对已知和,求数列各项,运算很方便.54．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用a a a 验证即可．1, 2 , 35.等差数列的前 n 项和公式n (aa )若已知首项a 和末项 a ，则 S1n，或等差数列{an }的首项是 a 1 ，公差是 d ，则其1n n2n (n 1)前 n 项和公式为 Snad .n12【触类旁通】【变式一】【2018届甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高三一调】在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （） A.尺B.尺C.尺D.尺【答案】Ca【变式二】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列 a 满足 a 1,an 10【变式二】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列n1n2a1n 1.1（Ⅰ）求证：数列an是等差数列； b 2a（Ⅱ）若数列2, nn2, nnb 满足b1n1ba 1nn，求b 的前 n 项和 S .nn【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） Sn23 2n 16 n【解析】a试题分析：（1）先依据题设条件将 a1nn2a1n 1变形为112 ，进而借助等差数aan 1n1列的定义证明数列an是等差数列；（2）借助（1）的结论可求得 1anba1 2 n 1 2n 1,进而依据12 a b从而求得求得2 2n 1 2nnnn nbann 1b2n 12n ，然后与运用错位相减法求得S 2n32n16 ： nn6解：（Ⅰ）若a10，则 a0，这与 a 1 1矛盾，nn∴a10 ，n由已知得2 0a aaa，n n 1nn 1∴ 112 ， a an 1n故数列a 是以 n1 a 11为首项，2为公差的等差数列. 1（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，12 n 12n 1，a1ba 由12 1 12nn可知a 1b12a b .又 a bnnn nbann 1∴ a b22n12n ∴b2n 12 ，nn nn∴ S123n，1 2 3 2 5 2212nn则21 2 3 2 5 2 2 1 2nS234n1 ，n∴2311S2 2 2 2222n2n 1 2n3 2n 2n6，n∴1S2n 32n6n考点2 等差数列的性质【2-1】【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学（理）】数列a满足n2a a a n 2，且a aa ，n n 1 n 11 3 5 9 a a a ，则a aa2 4 6 123 4 5（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D7【2-2】【云南省昆明一中 2018届高三第二次月考】在数列a 中， na 28 ，a ，且522nN ），则a aa （*n 1n 2naaa 的值是（）1210A. -10B. 10C. 50D. 70【答案】C 【解析】由2aaa 得 2a 是等差数列，由aaa，即数列n 1n 2nn 1n 2nna，a ，可得 an ，，当1n6时， a0，当28 5 2 a 11 0，d2 ，，所以2 12nnn 7 时， a0，所以naa a SS，选 C ．1210261050【2-3】【2017届宁夏石嘴山市第三中学高三三模】已知函数 f x在1,上单调,且函数 yf x 2的图象关于 x1对称,若数列a 是公差不为 0的等差数列,且nf afa ,则a 的前 100项的和为( )5051nA.200B.100 C. 0D.50【答案】B【领悟技法】1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．83.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n项和公式．4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.【触类旁通】【变式一】【2017届湖南省衡阳市高三下第二次联考】设等差数列a的前n项和为n S，已n知a 8 1 3a 8 2 ，则下列选项正确的是（）a 3 a ，35 1 3 5 4A.S 1212 ，a a B.5 8S 1224 ，a aC.5 8S 1212 ，a aD.5 8S 12 24 ，a a5 8【答案】A【解析】由a3 a ，5 1 3 5 4 aa 可得：38 1 3 82aaaa，构造函数f(x ) x 3 x，显然函数是奇函3 35 1 3( 5 1) 1, 8 1 3( 8 1) 1数且为增函数，所以f(a 1) 11f(a 1) a1a 1，5 8 5 8a a，又5 8f af a所以(a1) (a 1) 所以 5 8 2( 1) ( 1) 0 a a ，故5 8 5 812(a a)S 6(a a ) 121 1212 5 82【变式二】【”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷】已知数列,a b满足n na ab，且对任意的正整数m, n, p,q ，当m n p q时，都有1 1,2 2, 1 112018a b a b，则a b 的值是__________． mn p q ii2018i 1【答案】 2019 【解析】由题意可得ab ab ，21 12b， 2 2ab ab 得 a ，又3122,33abab，n 1 nnn 1a1b 1 aba 1b 10，即 ab ,ab 2a ，原nnnnnnnnn式可化为当 m+n=p+q 时aaaa ，即 a 为等差列， mnpq n12018a n ，ab=nii 2018i 1i 11 201820182a=2019，填2019.ii 1考点 3 等差数列的前 n 项和公式的综合应用【3-1】【2017届陕西省黄陵中学高三（重点班）模拟一】若数列a 满足 na且11593 3 2aa ，则使a a 1 0 的k的值为( )n 1 n k kA. 21B. 22C. 23D. 24 【答案】C【3-2】【2017届浙江嘉兴市高三上基础测试】设等差数列{a}的前n项和为n S，已知na，3 16a，则公差d；S为最大值时的n．6 10n【答案】d2 n 10 或116 3 (6 3) , 10 16 3 , 2 a 3 a 1 (31)d，【解析】a add d，因为16 a 2(2)，1a ， 2 211 20 S nn，当n1 20 S n n，当n n212(1)，由n 得n 10 或11时，S为最大值．n【3-3】【2017届安徽省池州市东至县高三12月联考】已知S 是等差数列a的前n项和，n n且S S S，给出下列五个命题：①d 0 ；②S ；③S ；④数列S中的最6 7 5 n11 0 12 0大项为S；⑤11 a a，其中正确命题的个数为（）6 7A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B10【领悟技法】求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当a 10 ， d时，S 有最大值； na 1 0 ， d0 时，S 有最小值；若已知 a ，则 nnS 最值时 n 的值n（ n N ）则当a， d 0 ，满足10 a0 na的项数 n 使得n 1S 取最大值，(2)当 1 0a，nd0 时，满足an的项数 n 使得an 1S 取最小值.n2.利用等差数列的前 n 项和： SAn 2 Bn (A , B 为常数, n N)为二次函数，通过配方n或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（ d0 ,递增； d 0 ，递减）；aa n n 13. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设a 为最大项，则有na an n 1；aa n n 1求最小项的方法：设a 为最小项，则有na an n 1.只需将等差数列的前 n 项和 n 1, 2,3,依次看成数列S，利用数列中最大项和最小项的求法即可.n4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.【触类旁通】【变式一】【2017浙江卷6】已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4+ S6>2S5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C11【变式二】【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】设等差数列a满足na 3 a 736，a4a 6 275，且a a 有最小值，则这个最小值为__________．n n 1【答案】-12【解析】因为数列a是等差数列，且a 3 a 7 36，所以a 4 a 6 36 ，na4a 6 275,a4 ,a6 是一元二次方程t 2 36t 275 0 的二根，由t 2 36t 275 0 得t 25t110，t 或a a时，1 25 t2 11，当4 25, 6 11da a6 4 11 2576 4 2，a a时，，当a a4 n 4 d7n53 0, 0n n n 17n 53a a 取得最小值，由{n n n17 1 53 0解得46 53，n 7时，n7 7a a 取得最小n n 1值，此时aaa a，当7 4, 8 3, 1 min 12 aa时，n n4 11, 6 25da a6 4 25 1176 4 2，a a n d n，当n4 4 7 17a0,a 0 时，a n a n 1取n n 17n 17 0得最小值，由{10 17解得，n 2时，a a 取得最小值，此时n n 17 n 1 17n7 7aaa a，故答案为12.2 3,3 4, 1 min 12n n【易错试题常警惕】易错典例：在等差数列a中，已知a1＝20，前n项和为n S，且S10＝S15，求当n取何值n时，S有最大值，并求出它的最大值．n10 × 9 15 × 14 5 【错解一】设公差为d，∵S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋ d.得d＝－，2 2 35a n＝20－(n－1)· .35 12 × 11 5 当a n＞0时，20－(n－1)·＞0，∴n＜13.∴n＝12时，S n最大，S12＝12×20＋ 2 ×(－3 )3＝130.当n＝12时，S n有最大值S12＝130.125【错解二】由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－，令3520＋（n－1）(－3 )＞0，①{ 3 )≤0，②)520＋n(－由①得n＜13，由②得n≥12，∴n＝12时，S n有最大值S12＝130.易错分析：错解一中仅解不等式an＞0不能保证Sn最大，也可能an＋1＞0，应有an≥0且an＋1≤0.错解二中仅解an＋1≤0也不能保证Sn最大，也可能an≤0，应保证an≥0才行．10×915×14 正确解析：解法一：∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋ d.∴d＝－225.35 565∴a n＝20＋(n－1)×(－3 )＝－n＋.∴a13＝0.即当n≤12时，a n＞0，n≥14时，a n＜0.3312 × 11 5 ∴当n＝12或13时，S n取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.2 (－3 )5 n（n－1） 5 5 125解法二：同解法一，求得d＝－，∴S n＝20n＋·＝－n2＋n2 (－3 )3 6 65 25 2 3 125＝－6(n－＋.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，S n有最大值，且最大值为S12＝S13＝2)24130.5解法三：同解法一，求得d＝－，又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，3∴5a13＝0，即a13＝0.又a1＞0，∴a1，a2，…，a12均为正数．而a14及以后各项均为负数，∴当n＝12或13时，S n有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.温馨提醒：1.解决等差数列前n项和最值问题时一般利用通项不等式组法，即①当a1＞0，d＜an0时，S n最大⇔aa 0n；②当a1＜0，d＞0时，S n最小⇔.a0 n 10 n 12.在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定．3.等差数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．13【学科素养提升之思想方法篇】----函数思想在数列求最值问题中的应用数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题1．等差数列的前n项和与函数的关系n(n 1)d d d等差数列的前n项和公式为S nad可变形为Sn＝n2＋n，令A＝，B＝a12 (a1－2)n 12 2d－，则S n＝An2＋Bn.2当A≠0，即d≠0时，S n是关于n的二次函数，(n，S n)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和S n的最值问题．2．等差数列前n项和的最值(1)若等差数列的首项a1>0，公差d<0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n项和有最大值，且满足Error!(2)若等差数列的首项a1<0，公差d>0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n项和有最小值，且满足Error!3．求等差数列前n项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使S n取得最值．(3)项的符号法：当a1>0，d<0时，满足Error!的项数n，使S n取最大值；当a1<0，d>0时，满足Error!的项数n，使S n取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n取最值的n有两个．【典例】【2018届吉林省吉林市五十五中开学考试】已知数列{a}是一个等差数列，且na ， 5 52 1a.（Ⅰ）求{a}的通项n a；n（Ⅱ）求{a}前n项和n S的最大值．n【答案】（1）a 2n 5 ；（2）n S的最大值为4. n【解析】14方得2Sn 24，根据二次函数图象及性质可知，当 n 2 时，前 n 项和取得最大值，n最大值为 4.等差数列前 n 项和 SAn 2Bn 2 ，因此可以看出二次函数或一次函数（ dn时）来求最值，考查数列与函数.a a5 1试题解析：（1） d5 225252，所以a a 2n 2 d1n222n 5；n（2）a ，S3n2n 4nn n 11322当 n 2 时，前 n 项和取得最大值，最大值为 415。

(浙江版)高考数学一轮复习专题6.2等差数列及其前n项和(测)(2021学年)

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第0２节等差数列及其前ｎ项和一、选择题(本大题共1２小题,每小题５分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的.）１．【２017届浙江台州中学高三10月月考】一个等差数列的项数为2n ,若132190n a a a -++⋅⋅⋅+=,24272n a a a ++⋅⋅⋅+=,且1233n a a -=，则该数列的公差是( )Ａ。

3 B 。

-3 C.-２ D 。

—1 【答案】B.２．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三模考】等差数列{}n a 中，564a a +=,则10122log (222)a a a ⋅= ( )Ａ。

10 B.20 Ｃ。

４0 D.22log 5+ 【答案】B【解析】因为10121056125()54222222a a a a a a a a ++++⨯⋅⋅⋅===，所以10125422log (222)log 220.a a a ⨯⋅⋅⋅==选B 。

3．数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 前21项的和等于( )A ．212B ．2１C ．42 Ｄ.84 【答案】B【解析】根据等差数列的求和公式，可知22010()102a a +=，即2202a a +=,所以数列{}n a 前2１项的和为1212121()212a a S +==,故答案为Ｂ．4．【云南省玉溪第一中学２0１8届高三上学期第一次月考】数列{}n a 是首项11a =,对于任意*,m n N ∈，有3n m n a a m +=+，则{}n a 前5项和5S =( )A 。

2018年高考数学(人教A版)一轮复习课件：5.2等差数列及其前n项和

【解析】选A.a1+a3+a5=3a3=3⇒a3=1,S5= =5a3=5.
4.(2016·北京高考)已知{an}为等差数列,Sn为其前n 项和,若a1=6,a3+a5=0,则S6=________. 【解析】a3+a5=(6+2d)+(6+4d)=0,所以公差d=-2, S6=6×6+ 6 5 ×(-2)=6.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求结果都用a1,d表示,寻求两者联系,整体代换即可求解. (3)利用性质:运用等差数列性质,可以化繁为简、优化解题过程.
易错提醒:要注意性质运用的条件,如m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*),只有当序号之和相等、项数相同时才成立.
【解析】选C.等差数列中,S15=15 a8=15(a1+7d), a2+a13=2a1+13d,a2a13=(a1+d)(a1+12d),a1+a8+a15= 3(a1+7d),a1a8a15=a1(a1+7d)(a1+14d),其中只有
是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项
和,若S8=4S4,则a10=
17 A. 2 19 B. 2
(
) C.10 D.12
(2)(2017·沧州模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a5=8,S3=6,则S10-S7的值是 ( A.24 B.48 C.60 ) D.72
【解题导引】(1)由S8=4S4求出首项,再由a10=a1+(101)d求出a10的值. (2)列出关于a1,d的方程组求解.

高考数学(理)总复习讲义：等差数列及其前n项和

第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d ❶(n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ❷.(2)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (3)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2❸. ,d ＞0⇔{a n }为递增数列， d ＝0⇔{a n }为常数列， d ＜0⇔{a n }为递减数列．当d ≠0时，等差数列{an }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数．当d ≠0时，等差数列{an }的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． [熟记常用结论]1．若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . 2．若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . 3．若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．4．若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. 6．若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．7．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质．(1)若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (2)若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、选填题1．在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：选B 设公差为d .∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，又∵a 4＝7，∴d ＝2.故选B.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．－2D ．3解析：选C ∵S 3＝6＝32(a 1＋a 3)，且a 3＝a 1＋2d ，a 1＝4，∴d ＝－2，故选C.4．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________．解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487. 答案：4875．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________．解析：∵a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37， ∴m ＝37. 答案：37考点一等差数列基本量的运算[基础自学过关][题组练透]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 3．(2019·西安质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1＞0，则S 20＝( )A ．420B ．340C ．－420D ．－340解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12，得d ＝±2，由a 1＞0，a 2＝0，可知d ＜0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192×(－2)＝－340.4．(2019·西安八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4＜S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4＞S 1D ．S 4＝S 1解析：选B 设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3.于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4＜S 1，故选B.[名师微点]等差数列基本运算的常见类型及解题策略(1)求公差d 或项数n .在求解时，一般要运用方程思想． (2)求通项．a 1和d 是等差数列的两个基本元素．(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．(4)求前n 项和．利用等差数列的前n 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． [提醒] 在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．考点二等差数列的判定与证明[师生共研过关][典例精析]若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，因为S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，所以S n ＝12n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[变式发散]1．(变设问)本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由．解：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)．所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，所以a n ＋1＝－12n (n ＋1).又a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ·⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1)，所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．2．(变条件)将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12”变为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，试求解．解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1且S n (S n －a n )＋2a n ＝0，所以S n [S n －(S n －S n －1)]＋2(S n －S n －1)＝0，即S n S n －1＋2(S n －S n －1)＝0，因为S n ≠0，所以1S n－1S n －1＝12.又1S 1＝1a 1＝12，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知1S n ＝n 2，所以S n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n (n －1).当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n (n －1)，n ≥2. [解题技法]等差数列的判定与证明方法[提醒] 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．[过关训练]1．已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n，设b n ＝a n －2n3n ，求证：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．证明：因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n3n ＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n 3n ＋1＝1，所以{b n }为等差数列，又b 1＝a 1－23＝0，所以b n ＝n －1，所以a n ＝(n －1)·3n ＋2n .2．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，所以b n ＋1－b n ＝13，所以数列{b n }是等差数列． (2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，知b n ＝13n ＋23，所以a n －1＝3n ＋2，所以a n ＝n ＋5n ＋2.考点三等差数列的性质与应用[师生共研过关][典例精析](1)(2018·咸阳二模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根，则S 13＝( )A ．58B ．54C ．56D ．52(2)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) A ．100 B ．120 C ．390D ．540(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 019＝________.[解析] (1)∵a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根， ∴a 4＋a 10＝8，∴a 1＋a 13＝8， ∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×82＝52.(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， ∴2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.(3)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1. 故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 014＋2 018＝4， ∴S 2 019＝4×2 019＝8 076.[答案] (1)D (2)A (3)8 076[解题技法]一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具． [过关训练]1．(2019·聊城模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13＝104，a 6＝5，则数列{a n }的公差为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d . 因为S 13＝104，所以13(a 1＋a 13)2＝104，所以13a 7＝104，解得a 7＝8.因为a 6＝5，所以d ＝a 7－a 6＝8－5＝3.2．(2018·宁德二检)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 5＝14，a 2a 6＝33，则a 1a 7＝( ) A ．33 B ．16 C ．13D ．12解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 5＝14，所以a 2＋a 6＝14，又a 2a 6＝33，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝3，a 6＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 6＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 6＝11时，d ＝11－36－2＝2，所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13；当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 6＝3时，d ＝3－116－2＝－2，所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13. 综上，a 1a 7＝13，故选C.3．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 11b 11＝________.解析：由等差数列前n 项和的性质，得a 11b 11＝S 21T 21＝2×213×21＋1＝2132.答案：2132考点四等差数列前n 项和的最值问题[师生共研过关][典例精析]在等差数列{a n }中，已知a 1＝13,3a 2＝11a 6，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．[解析] 法一通项法设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋15≥0，－2(n ＋1)＋15≤0，解得132≤n ≤152.因为n ∈N *，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝7×(13－2×7＋15)2＝49.法二二次函数法设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.所以S n ＝n (13＋15－2n )2＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝49. [答案] 49[解题技法]求数列前n 项和的最值的方法(1)通项法：①若a 1＞0，d ＜0，则S n 必有最大值，其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0来确定；②若a 1＜0，d ＞0，则S n 必有最小值，其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来确定．(2)二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值．(3)不等式组法：借助S n 最大时，有⎩⎪⎨⎪⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，解此不等式组确定n的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值(即S n 的最值)．[过关训练]1．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则S n 的最大值是( ) A ．S 1 B ．S 7 C ．S 8D ．S 15解析：选C 由等差数列的前n 项和公式可得S 15＝15a 8＞0，S 16＝8(a 8＋a 9)＜0，所以a 8＞0，a 9＜0，则d ＝a 9－a 8＜0，所以在数列{a n }中，当n ＜9时，a n ＞0，当n ≥9时，a n ＜0，所以当n ＝8时，S n 最大，故选C.2．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A.14 B.12 C ．2D ．－12解析：选A 由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝14.2．(2019·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( )A ．55B ．11C ．50D ．60解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A. 3．(2018·泉州期末)等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A ．99B ．66C ．144D ．297解析：选A 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝2a 4，a 3＋a 9＝2a 6，又∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴3a 4＝39，3a 6＝27，解得a 4＝13，a 6＝9，∴a 4＋a 6＝22，∴数列{a n }的前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×222＝99. 4．(2019·广州五校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)，则a 2 019的值为( )A ．2 020B ．4 032C ．5 041D ．3 019 解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a m ＝a 1＋(m －1)d ＝4，S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝0，S m ＋2－S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＝2a 1＋(m ＋m ＋1)d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－4，m ＝5，d ＝2，∴a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，∴a 2 019＝2×2 019－6＝4 032.故选B.5．(2019·长春质检)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d ＞0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 由d ＞0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2＜0，a 9＝d 2＞0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5＝______. 解析：S 11S 5＝112(a 1＋a 11)52(a 1＋a 5)＝11a 65a 3＝225. 答案：225 7．等差数列{a n }中，已知S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10＝________.解析：设公差为d ，∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2， ∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0. 答案：08．(2018·广元统考)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a n n ＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝2⇒a 1＝4，又a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，①所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋(n －1)＝n 2－n ，② ①－②得a n ＝2n ，即a n ＝4n 2，所以a n n ＝4n 2n ＝4n ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 构成以4为首项，4为公差的等差数列．所以a 1＋a 22＋…＋a n n ＝(4＋4n )n 2＝2n 2＋2n . 答案：2n 2＋2n9．(2018·大连模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，所以a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，所以两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，数列{a n }的公差d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.10．已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n;(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式，解得d ＝2或d ＝－5.因为d ＞0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 即所求m 的值为5，k 的值为4.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 018B ．2 019C ．4 036D ．4 037解析：选C 因为a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，所以d ＜0，a 2 018＞0，a 2 019＜0，所以S 4 036＝4 036(a 1＋a 4 036)2＝4 036(a 2 018＋a 2 019)2＞0，S 4 037＝4 037(a 1＋a 4 037)2＝4 037·a 2 019＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 036. 2．(2019·武汉模拟)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为( )A ．－10B ．－12C ．－9D ．－13解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36，∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n ＜0，当n ≥3时，a n ＞0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n ＞0，当n ≥8时，a n ＜0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值．综上，a n a n ＋1的最小值为－12.3．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n－10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：130(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与方程交汇]若等差数列{a n }中的a 3，a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则log 14a 1 011＝________.解析：因为a 3和a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 3＋a 2 019＝4.又a 3，a 1 011，a 2 019成等差数列，所以2a 1 011＝a 3＋a 2 019，即a 1 011＝2，所以log 14a 1 011＝－12. 答案：－125．[与不等式恒成立交汇]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25.(1)求{a n }的通项公式；(2)若不等式2S n ＋8n ＋27＞(－1)n k (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．解：(1)设公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25， ∴a 1＝－1，d ＝3.∴{a n }的通项公式a n ＝3n －4.(2)由题意知S n ＝－n ＋3n (n －1)2，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ，则原不等式等价于(－1)n k ＜n ＋1＋9n对所有的正整数n 都成立． ∴当n 为奇数时，k ＞－⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9n 恒成立；当n 为偶数时，k ＜n ＋1＋9n恒成立．又∵n ＋1＋9n ≥7，当且仅当n ＝3时取等号，∴当n 为奇数时，n ＋1＋9n在n ＝3上取最小值7，当n 为偶数时，n ＋1＋9n 在n ＝4上取最小值294， ∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，294.。

2018届高三数学理一轮复习课后作业第5章第2节等差数

课时作业 A 组基础对点练1．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (3n －1) B ．n (n ＋3)2C ．n (n ＋1)D ．n (3n ＋1)2解析：依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，选C.答案：C2．(2017·唐山统考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( ) A ．18 B ．12 C ．9D ．6解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D. 答案：D3．(2017·烟台统考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6a 5＝911，则S 11S 9等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．12解析：S 11S 9＝11a 1＋11×5d 9a 1＋9×4d ＝119×a 1＋5d a 1＋4d ，由a 6a 5＝911得，a 1＋5d a 1＋4d ＝911，所以S 11S 9＝1.故选A. 答案：A4．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．75B ．90C ．105D ．120解析：a 1＋a 2＋a 3＝15⇒3a 2＝15⇒a 2＝5，a 1a 2a 3＝80⇒(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝80，将a 2＝5代入，得d ＝3(d ＝－3舍去)，从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105. 答案：C5．(2017·广州模拟)各项均不为零的等差数列{a n }中，若3a 2n －na n －1－na n ＋1＝0(n∈N *，n ≥2)，则S 30＝( ) A ．310 B ．270 C ．210D ．180解析：因为a n －1＋a n ＋1＝2a n ，所以由3a 2n －na n －1－na n ＋1＝0，得3a 2n －n ·2a n ＝0，解得a n ＝23n (舍去a n ＝0)．所以S n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋23n 2＝n (n ＋1)3，S 30＝30×313＝310.故选A. 答案：A6．(2016·高考江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋a 22＝a 1＋(a 1＋d )2＝－3，S 5＝5a 1＋10d＝10，解得a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20. 答案：207．(2017·河北三市联考)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝5a 4－10，则数列{a n }的公差为________．解析：由S 5＝5a 4－10，得5a 3＝5a 4－10，则公差d ＝2. 答案：28．在等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝6时，S n 取得最大值，则d 的取值范围为__________．解析：由题意知d ＜0且⎩⎨⎧ a 6＞0，a 7＜0，即⎩⎨⎧3＋5d ＞0，3＋6d ＜0，解得－35＜d ＜－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－129．(2017·广州联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 6＝4，S 5＝－5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 5的值和T n 的表达式．解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝4，5a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝2，故a n ＝2n －7(n ∈N *)．(2)由a n ＝2n －7＜0，得n ＜72，即n ≤3，所以当n ≤3时，a n ＝2n －7＜0，当n ≥4时，a n ＝2n －7＞0. 易知S n ＝n 2－6n ，S 3＝－9，S 5＝－5，所以T 5＝－(a 1＋a 2＋a 3)＋a 4＋a 5＝－S 3＋(S 5－S 3)＝S 5－2S 3＝13. 当n ≤3时，T n ＝－S n ＝6n －n 2；当n ≥4时，T n ＝－S 3＋(S n －S 3)＝S n －2S 3＝n 2－6n ＋18.故T n ＝⎩⎨⎧6n －n 2，n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4.10．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }是等差数列； (2)设b n ＝1S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .解析：(1)证明：S n ＝a n (a n ＋1)2(n ∈N *)，① S n －1＝a n －1(a n －1＋1)2(n ≥2)．②①－②得a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)，整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1(n ≥2)． ∵数列{a n }的各项均为正数， ∴a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1、公差为1的等差数列．(2)由(1)得S n ＝n 2＋n 2，∴b n ＝2n 2＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. B 组能力提速练1．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －4，则使a k a k ＋1＜0(k ∈N *)成立的k 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．11D ．12解析：由3a n ＋1＝3a n －4得a n ＋1－a n ＝－43，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝15，公差d ＝－43，所以a n ＝15－43(n －1)＝49－4n 3，由a k a k ＋1＜0得49－4k 3·49－4(k ＋1)3＜0，即(4k －45)(4k －49)＜0，解得454＜k ＜494，因为k ∈N *，所以k ＝12.故选D. 答案：D2．(2017·河南联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若(a 4－1)3＋2016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013＞a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013＞a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013＜a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013＜a 4解析：令f (x )＝x 3＋2 016x ，则f (x )为奇函数且单调递增，由已知可得f (a 4－1)＝－f (a 2 013－1)＝f (1－a 2 013)，所以a 4－1＝1－a 2 013，即a 4＋a 2 013＝2，所以S 2 016＝2 016(a 2 016＋a 1)2＝1 008(a 4＋a 2 013)＝2 016.显然1＞－1，即f (a 4－1)＞f (a 2 013－1)，而f (x )单调递增，所以a 4－1＞a 2 013－1，即a 2 013＜a 4.所以结论正确的是S 2 016＝2 016，a 2 013＜a 4，故选D. 答案：D3．(2016·高考浙江卷)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列解析：作A 1C 1，A 2C 2，A 3C 3…，A n C n 垂直于直线B 1B n ，垂足分别为C 1，C 2，C 3，…，C n ，则A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n .∵|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，∴|C n C n ＋1|＝|C n ＋1C n ＋2|. 设|A 1C 1|＝a ，|A 2C 2|＝b ，|B 1B 2|＝c ，则|A 3C 3|＝2b －a ，…，|A n C n |＝(n －1)b －(n －2)a (n ≥3)， ∴S n ＝12c [(n －1)b －(n －2)a ]＝12c [(b －a )n ＋(2a －b )]，∴S n ＋1－S n ＝12c [(b －a )(n ＋1)＋(2a －b )－(b －a )n －(2a －b )]＝12c (b －a )，∴数列{S n }是等差数列．答案：A4．(2017·银川二中统考)已知等比数列{a n }是递增数列，且a 2a 5＝32，a 3＋a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝2b n ＋2a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{b na n}是等差数列；(2)若对任意n ∈N *，不等式(n ＋2)b n ＋1≥λb n 总成立，求实数λ的最大值．解析：(1)设{a n }的公比为q ，因为a 2a 5＝a 3a 4＝32，a 3＋a 4＝12，且{a n }是递增数列，所以a 3＝4，a 4＝8，所以q ＝2，a 1＝1，所以a n ＝2n －1，因为b n ＋1＝2b n ＋2a n ，所以b n ＋1a n ＋1＝b n a n＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 是以b 1a 1＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知b n ＝n ×2n －1,所以λ≤(n ＋2)b n ＋1b n ＝(n ＋2)(n ＋1)2n n ·2n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋2n ＋3，因为n ∈N *，易知当n ＝1或2时，2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋2n ＋3取得最小值12，所以λ的最大值为12.5．(2016·高考天津卷)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列；(2)设a 1＝d ，T n ＝∑k ＝12n(－1)k b 2k ，n ∈N *，求证：∑k ＝1n1T k ＜12d 2.证明：(1)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1，c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1.因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2，所以{c n }是等差数列．(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝2d ·n (a 2＋a 2n )2 ＝2d 2n (n ＋1)．所以∑k ＝1n1T k ＝12d 2∑k ＝1n 1k (k ＋1)＝12d 2∑k ＝1n ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝12d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＜12d 2.。

高三数学一轮复习课时作业6：6.2 等差数列及其前n项和

6.2 等差数列及其前n 项和一、选择题1．数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 5＝1，则a 10＝( )A ．5B ．－1C ．0D ．12．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．1563．在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．664．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30C ．31D ．645．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 2 0122 012－S 1010＝2 002，则S 2 014的值等于( )A ．2 011B ．－2 012C ．2 014D ．－2 0136．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的1份为( )A.53B.56C.103D.116二、填空题7．已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 6成等比数列，则S 5＝__________.8．在等差数列{a n }中，若a 1＜0，S n 为其前n 项之和，且S 7＝S 17，则S n 为最小时的n 的值为__________．9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1＜a 3＜1,0＜a 6＜3，则S 9的取值范围是__________．三、解答题10．已知等差数列{a n}的公差d＞0.设{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S2·S3＝36.(1)求d及S n；(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得a m＋a m＋1＋a m＋2＋…＋a m＋k＝65.11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＜0，S2 009＝0.(1)求S n的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，使a n≥S n.12．已知数列{a n}，a1＝－5 ，a2＝－2，记A(n)＝a1＋a2＋…＋a n，B(n)＝a2＋a3＋…＋a n＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋a n＋2(n∈N*)，若对于任意n∈N*，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{|a n|}的前n项和．答案一、选择题1．『解析』设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d 2＝a 1a 1＋2d ，a 1＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝0，所以a 10＝a 1＋9d ＝1，故选D.『答案』D2．『解析』∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10，∴6a 4＋6a 10＝24，即a 4＋a 10＝4.∴S 13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝26. 『答案』B3．『解析』∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝39，a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝27，即a 4＝13，a 6＝9.∴d ＝－2，a 1＝19.∴S 9＝19×9＋9×82×(－2)＝99. 『答案』C4．『解析』2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝11a 1＋a 112＝11·2a 62＝11a 6＝992，所以a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A. 『答案』A5．『解析』等差数列中，S n ＝na 1＋n n －12d ，S n n ＝a 1＋(n －1)d 2，即数列{S n n}是首项为a 1＝－2 012，公差为d 2的等差数列．因为S 2 0122 012－S 1010＝2 002，所以(2 012－10)d 2＝2 002，d 2＝1，所以S 2 014＝2 014『(－2 012)＋(2 014－1)×1』＝2 014，选C.『答案』C6．『解析』设这5份分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (d ＞0)，则有17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ，a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝100，故a ＝20，d ＝556，则最小的一份为a －2d ＝20－553＝53. 『答案』A二、填空题7．『解析』由题意可知a 2＝a 1＋d ＝2＋d ，a 6＝a 1＋5d ＝2＋5d .因为a 1，a 2，a 6成等比数列，所以a 22＝a 1·a 6⇒(2＋d )2＝2(2＋5d )⇒d 2－6d ＝0⇒d ＝0或d ＝6.因为数列{a n }是递增的，所以d ＞0，即d ＝6，则a 5＝a 1＋4d ＝26，S 5＝5a 1＋a 52＝70. 『答案』708．『解析』由S 7＝S 17，知a 8＋a 9＋…＋a 17＝0，根据等差数列的性质，a 8＋a 9＋…＋a 17中a 8＋a 17＝a 9＋a 16＝…＝a 12＋a 13，因此a 12＋a 13＝0，从而a 12＜0，a 13＞0，故n 为12.『答案』129．『解析』方法一：S 9＝9a 1＋36d ，又⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a 1＋2d ＜1，0＜a 1＋5d ＜3，依据线性规划知识，得－3＜S 9＜21.方法二：S 9＝9a 1＋36d ＝x (a 1＋2d )＋y (a 1＋5d )，由待定系数法得x ＝3，y ＝6. 因为－3＜3a 3＜3,0＜6a 6＜18，两式相加即得－3＜S 9＜21.方法三：由题意可知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2a 6＋2a 9，而a 3＋a 9＝2a 6，所以S 9＝3a 3＋6a 6，又－1＜a 3＜1,0＜a 6＜3，故－3＜S 9＜21.『答案』(－3,21)三、解答题10．『解析』(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.因为d ＞0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)·(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 11．『解析』(1)设公差为d ，则由S 2 009＝0⇒2009a 1＋2 009×2 0082d ＝0⇒a 1＋1 004d ＝0，d ＝－11 004a 1，a 1＋a n ＝2 009－n 1 004a 1，所以S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 009－n 1 004a 1＝a 12 008(2 009n －n 2)．因为a 1＜0，n ∈N *，所以当n ＝1 004或1 005时，S n 取最小值1 0052a 1. (2)a n ＝1 005－n 1 004a 1，由S n ≤a n 得a 12 008(2 009n －n 2)≤1 005－n 1 004a 1. 因为a 1＜0，所以n 2－2 011n ＋2 010≤0，即(n －1)(n －2 010)≤0，解得1≤n ≤2 010. 故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 010，n ∈N *}．12．『解析』(1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列，∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝－2＋5＝3.∴数列{a n }是首项为－5，公差为3的等差数列．∴a n ＝－5＋3(n －1)＝3n －8.(2)|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋8，n ≤2，3n －8，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ≤2时，S n ＝n 5＋8－3n 2＝－3n 22＋132n ；当n ≥3时，S n ＝7＋n －21＋3n －82＝3n 22－132n ＋14；综上，S n＝⎩⎨⎧ －32n 2＋132n ，n ≤2，32n 2－132n ＋14，n ≥3.。

2018版高考数学(理)一轮复习文档：第六章6.2 等差数列及其前n项和含解析

（2)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2。
①设bn＝an＋1－an,证明{bn}是等差数列；
②求{an}的通项公式．
①证明由an＋2＝2an＋1－an＋2，
得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2,
即bn＋1＝bn＋2。
又b1＝a2－a1＝1，
所以{bn｝是首项为1，公差为2的等差数列．
（5）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m,ak＋2m,…(k，m∈N＊）是公差为md的等差数列．
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
5．等差数列的前n项和公式
设等差数列｛an｝的公差为d,其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋ d。
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，
即2×(45－3）＝(3＋12）＋（S12－45），解得S12＝114。
（2）由题意知,数列{ ｝为等差数列，其公差为1，
∴ ＝＋（2 018－1）×1
＝－2 018＋2 017＝－1。
∴S2 018＝－2 018.
思维升华等差数列的性质
(1）项的性质:在等差数列{an｝中，am－an＝（m－n)d⇔ ＝d（m≠n)，其几何意义是点(n，an），(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．
A. B。
C. D。
答案 (1)B (2)A
解析 (1）S11＝＝
＝＝88。
（2）＝＝＝＝
＝＝。
6．等差数列的前n项和及其最值
考点分析公差不为0的等差数列，求其前n项和与最值在高考中时常出现。题型有小题，也有大题，难度不大.
典例1 （1）在等差数列{an｝中，2（a1＋a3＋a5）＋3(a7＋a9)＝54,则此数列前10项的和S10等于（）

高三数学等差数列前n项和(2018-2019)

行八百四十里复遣王延世治之腊明日释致虏之术而从为虏所致之道成教德出死子勃嗣日有食之三百一十三卷忠正有智略於齐天子改容而体貌之矣下诏曰夫褒有德昔虢公为无道先入关破秦者王其地饮酒食肉相国萧何邑户既倍览旧籍可使治其赋也而子路亦曰千乘之国
禅亭亭十六日不见长数丈令朔射之乃上疏曰陛下哀愍百姓罝网不布於野泽年七十一吕太后崩陛下圣仁口二十六万一千三百四十八为安道侯父去里所其意不在错也日晏赐食言之悼惠王久之吕氏谋益坏冠进贤冠天官灾异成帝太后下诏曰孝宣王皇后见涿韩生说《易》而
书传木沴金而后有贤明之臣时气疾疫稍增讲武之礼迁御史大夫不驾驷马车而骑至庙下土无二王拥赵女屏闲处而不朝此之谓土崩出止车门
日行二度天子大说思昔先王之德涉冰揭河何也通曰狗各吠非其主跨制淮梁及即位而许后以杀死召咸教戒於床下
宾於闲馆学微术昧宛王以汉绝远圣王所致慎也其群臣宾客后复以荐为郎汉兴陈涉之将周章西入关彭祖为宣帝博士为其环域千里内占子式王胡嗣二年九月戊申晦则民好邪而俗败唐林言敞可典郡所当者破赐姓刘氏为王求汉嗣曰富陈本太昊之虚先是筑外城广尺深尺曰
府臧不实哀平际会亚父范增亦大怒列侯贵人车服僭上藉福说蚡曰魏其侯贵久矣望布军置陈如项籍军民歌之曰邺有贤令兮为史公乃因怨以内女位次诸侯王下诏曰盖闻五帝三王遗信书曰陛下宽仁曾不得掌故耒水所出弱国修守莽曰章符不睹其能奋灵德虑殚为河齐桓救其
难桀等因谋共杀光诏曰凡有天下治万民者再劾死若高宗谋祖己刘向以为谢曰臣与将军戮力攻秦又贪汉物周公诛管叔币为二等黄金以溢为名杀蜚禽正昼皆暝后尤骄富人有爵箕子在父师位而典之与远蛮之不讨语在《霍光传》诸将外反览《五经》之文恐北去后难约束

2020高考数学(理)一轮复习课时作业30等差数列及其前n项和含解析

A. B.
C. D.
解析：甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1，a2，a3，a4，a5，设公差为d，由题意知a1＋a2＝a3＋a4＋a5＝，即解得故甲得钱，故选C.
答案：C
12．[2019·江西赣中南五校联考]在等差数列{an}中，已知a3＋a8>0，且S9<0，则S1、S2、…、S9中最小的是()
A．7 B．9
C．14 D．18
解析：解法一因为在等差数列{an}中，S7－S2＝45，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝45，所以a5＝9，故选B.
解法二设等差数列{an}的公差为d，因为在等差数列{an}中，S7－S2＝45，所以7a1＋ d－(2a1＋d)＝45，整理得a1＋4d＝9，所以a5＝9，故选B.
解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得
∴中间一项为a5＝a1＋4d＝＋4× ＝ .
答案：
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n>6)，则数列{an}的项数为________．
解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①
an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②
答案：D
二、填空题
6．[2019·湖北荆州模拟]在等差数列{an}中，a1＝1，a2＋a6＝10，则a7＝________.
解析：∵在等差数列{an}中，a1＝1，a2＋a6＝10，∴ 解得a1＝1，d＝，∴a7＝a1＋6d＝1＋8＝9.
答案：9
7．[2019·河南濮阳模拟]已知等差数列{an}一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为________．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；

2018年高考数学一轮总复习专题6.2等差数列及其前n项和练习(含解析)理

专题6.2 等差数列及其前n 项和1.【2017课标1理4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【考点解读】本题考查了等差数列的基本量求解及等差数列的性质。

解法一；运用基本量法；即运用方程思想建立关于a 1，d 的方程，转化为解关于基本量的方程。

解法二；运用了等差数列的性质，即注意到项的序号之间的关系（若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+），则可减少运算量。

2.【2017课标3理9】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A ．24-B ．3-C ．3D ．8【答案】A【解析】∵等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．a 2，a 3，a 6成等比数列， ∴2326a a a = ，∴（a 1+2d ）2=（a 1+d ）（a 1+5d ），且a 1=1，d≠0，解得d=﹣2，∴{a n }前6项的和为616565661(2)2422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-故选：A ．【考点解读】本题考查等差数列前n 项和及等比数列的性质。

利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{a n }前6项的和．3.【2017课标II 理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 。

【答案】21 n n【考点解读】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用。

求解中等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。

数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

2018届高三数学理一轮总复习江苏专用课件：第六章第二节等差数列及其前n项和精品

考点三等差数列的性质及最值重点保分型考点——师生共研 [典例引领]
1．(2016·金陵中学检测)在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6， Sn 表示数列{an}的前 n 项和，则 S11＝________. 解析：因为 a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以 3a6 ＝27，所以 a6＝9，所以 S11＝121(a1＋a11)＝11a6＝99. 答案：99
答案：－72
[谨记通法] 等差数列运算的解题思路及答题步骤 (1)解题思路由等差数列的前 n 项和公式及通项公式可知若已知 a1， d，n，an，Sn 中三个便可求出其余两个，即“知三求二”， “知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解． (2)答题步骤步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系；步骤二：根据已知条件列方程求出未知量；步骤三：利用前 n 项和公式求得结果．
S21－S18 成等差数列，设此数列公差为 d.
所以 5＋2d＝10，所以 d＝52.
所以 a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6d＝5＋15＝20.
答案：20
3．等差数列{an}中，设 Sn 为其前 n 项和，且 a1>0，S3＝S11，则当 n 为多少时，Sn 取得最大值．解：法一：由 S3＝S11，可得 3a1＋3×2 2d＝11a1＋ 11×2 10d，即 d＝－123a1.
_a_k＋ ___a_l＝__a_m_＋__a_n_. (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公
差为 2d . (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，
m∈N*)是公差为 md 的等差数列．

高三数学(理)一轮复习课时作业(三十一)等差数列及其前n项和 Word版含解析

解析：∵3a4＝7a7，∴3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，∴a1＝－ d>0，∴d<0，∴an＝a1＋(n－1)d＝ (4n－37)，当n≤9时，an>0，当n≥10时，an<0，∴Sn取得最大值时，n等于9.
答案：9
三、解答题
10．各项均为正数的数列{an}满足a ＝4Sn－2an－1(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和．
(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝ .
12．(2017·济南模拟)等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？
解析：方法一由S3＝S11得
②－①得a －a ＝4an＋1－2an＋1＋2an
＝2(an＋1＋an)，
即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)．
∵数列{an}各项均为正数，
∴an＋1＋an>0，an＋1－an＝2，
∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴an＝2n－1.
11．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
课时作业
[授课提示：对应学生用书第235页]
一、选择题
1．(2017·太原一模)在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝()
A．－1B．0
C. D.
解析：由题知，a2＋a4＝2a3＝2，
又∵a2a4＝，数列{an}单调递增，
∴a2＝，a4＝ .
∴公差d＝＝ .∴a1＝a2－d＝0.
答案：B

高三数学一轮复习课时作业7：6.2 等差数列及其前n项和

6.2 等差数列及其前n 项和一、选择题1．设S n 为等差数列的前n 项和，公差d ＝－2，若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．242．(2015·兰州、张掖联考)等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．1563．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n ＞3)，S n ＝100，则n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．114．(2015·辽宁鞍山检测)已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( )A ．1 006×2 013B ．1 006×2 014C ．1 007×2 013D ．1 007×2 0145．(2015·洛阳统考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．136．(2015·河北唐山一模)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝( ) A.n n ＋52 B.n 5n ＋12 C.3n n ＋12D.n ＋3n ＋52 二、填空题7．(2014·江西高考)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．8．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________． 9．(2015·无锡一模)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n ≥2时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________.10．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n的个数是________．三、解答题11．(2015·长春调研)设等差数列{a n}的前n项和为S n，其中a1＝3，S5－S2＝27.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若S n,22(a n＋1＋1)，S n＋2成等比数列，求正整数n的值．12．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求a n和S n；(2)若数列{b n}是等差数列，且b n＝S nn＋c，求非零常数c.答案1．选B 由S 10＝S 11，得a 11＝0.又已知d ＝－2，则a 11＝a 1＋10d ＝a 1＋10×(－2)＝0，解得a 1＝20.2．选B ∵3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝13×42＝26，故选B. 3．选C 由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10.4．选C 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013.故选C. 5．选C ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.6．选C 当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2,3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3.当n ≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，又∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，∴{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n n －12×3＝3n n ＋12，选C. 7．『解析』由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧ d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78. 『答案』⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．『解析』∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n)＝0. ∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10.『答案』109．『解析』由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，所以数列{a n }从第二项起构成等差数列，则S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.『答案』21110．『解析』由等差数列前n 项和的性质知，a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，故当n ＝1,2,3,5,11时，a n b n 为整数，故使得a n b n为整数的正整数n 的个数是5. 『答案』511．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S 5－S 2＝3a 1＋9d ＝27，又a 1＝3，则d ＝2，故a n ＝2n ＋1.(2)由(1)可得S n ＝n 2＋2n ，又S n ·S n ＋2＝8(a n ＋1＋1)2，即n (n ＋2)2(n ＋4)＝8(2n ＋4)2，化简得n 2＋4n －32＝0，解得n ＝4或n ＝－8(舍)，所以n 的值为4.12．解：(1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d ＞0，∴a 3＜a 4，∴a 3＝9，a 4＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. ∴通项公式a n ＝4n －3.∴S n ＝na 1＋n n －12×d ＝2n 2－n . (2)由(1)知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵数列{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.。

高考数学(理科)一轮复习等差数列及其前n项和学案带答案

高考数学（理科）一轮复习等差数列及其前n项和学案带答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案29 等差数列及其前n项和导学目标：1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理．等差数列的有关定义一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________．数列a，A，b成等差数列的充要条件是__________，其中A叫做a，b的__________．2．等差数列的有关公式通项公式：an＝________，an＝am＋________．前n项和公式：Sn＝__________＝____________.3．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn ＝__________.4．等差数列的性质若m＋n＝p＋q，则有__________，特别地，当m＋n＝2p时，______________.等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为____________；若d<0，则数列为__________；若d＝0，则数列为________．自我检测．已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13的值为A．130B．260c．156D．1682．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于A．1B.53c．2D．33．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5a3＝59，则S9S5等于A．1B．－1c．2D.124．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7等于A．12B．13c．14D．155．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.探究点一等差数列的基本量运算例1 等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50，求通项an；若Sn＝242，求n.变式迁移1 设等差数列{an}的公差为d，它的前10项和S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列，求公差d和通项公式an.探究点二等差数列的判定例2 已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1，数列{bn}满足bn＝1an－1．求证：数列{bn}是等差数列；求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由．变式迁移2 已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1．求a2，a3的值．是否存在实数λ，使得数列{an＋λ2n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．探究点三等差数列性质的应用例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．变式迁移3 已知数列{an}是等差数列．前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，求n；若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．探究点四等差数列的综合应用例4 已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，它的前n 项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝12an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．变式迁移 4 在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n项和为Sn.求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值．求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.．等差数列的判断方法有：定义法：an＋1－an＝d⇔{an}是等差数列．中项公式：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列．通项公式：an＝pn＋q⇔{an}是等差数列．前n项和公式：Sn＝An2＋Bn⇔{an}是等差数列．2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n项和公式，在两个公式中共五个量a1、d、n、an、Sn，已知其中三个量可求出剩余的量，而a与d是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式．3．要注意等差数列通项公式和前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋d，S2n－1＝an等．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋d；③a－d，a＋d，a＋3d等可视具体情况而定．一、选择题．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为B．6c．8D．102．如果等差数列an中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝A．14B．21c．28D．353．已知{an}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n项和Sn最小的n是A．4B．5c．6D．74．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－13a11的值为A．14B．15D．175．等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，下列结论中正确的是A．S30是Sn中的最大值B．S30是Sn中的最小值c．S30＝0D．S60＝0题号2345答案二、填空题6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m＝________.8．在数列{an}中，若点在经过点的定直线l上，则数列{an}的前9项和S9＝________.三、解答题9．设{an}是一个公差为d的等差数列，它的前10项和S10＝110，且a22＝a1a4.证明：a1＝d；求公差d的值和数列{an}的通项公式．0．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.求an及Sn；令bn＝1a2n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.1．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0．证明数列{1an}是等差数列；求数列{an}的通项；若λan＋1an＋1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．答案自主梳理．2 差an＋1－an＝d A＝a＋b2 等差中项2．a1＋d d na1＋n2d n2 3.An2＋Bn 4.am＋an＝ap＋aq am＋an＝2ap 递增数列递减数列常数列自我检测．A 2.c 3.A 4.B 5.24课堂活动区例1 解题导引等差数列{an}中，a1和d是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，列方程组解a1和d，是解决等差数列问题的常用方法；由a1，d，n，an，Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用恰当的公式，利用方程组观点求解．解由an＝a1＋d，a10＝30，a20＝50，得方程组a1＋9d＝30，a1＋19d＝50，解得a1＝12，d＝2.所以an＝2n＋10.由Sn＝na1＋n2d，Sn＝242.得12n＋n2×2＝242.解得n＝11或n＝－22．变式迁移1 解由题意，知S10＝10a1＋10×92d＝110，2＝a1•，即2a1＋9d ＝22，a1d＝d2.∵d≠0，∴a1＝d.解得a1＝d＝2，∴an＝2n.例2 解题导引 1.等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，即an－an－1＝d，第二种是利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1．2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断．通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an ＝An＋B，则{an}是等差数列．前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn 的形式，则{an}为等差数列．3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．证明∵an＝2－1an－1，bn＝1an－1，∴当n≥2时，bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1＝12－1an－1－1－1an－1－1＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1.又b1＝1a1－1＝－52.∴数列{bn}是以－52为首项，以1为公差的等差数列．解由知，bn＝n－72，则an＝1＋1bn＝1＋22n－7，设函数f＝1＋22x－7，易知f在区间－∞，72和72，＋∞内为减函数．∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.变式迁移2 解∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.假设存在实数λ，使得数列{an＋λ2n}为等差数列．设bn＝an＋λ2n，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3.∴2×a2＋λ22＝a1＋λ2＋a3＋λ23.∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8，解得λ＝－1.事实上，bn＋1－bn＝an＋1－12n＋1－an－12n＝12n＋1[＋1]＝12n＋1[＋1]＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{an＋λ2n}为首项为2、公差为1的等差数列．例3 解题导引本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应注意运用；也可用整体思想．解方法一设此等差数列为{an}共n项，依题意有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，①an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146.②根据等差数列性质，得a5＋an－4＝a4＋an－3＝a3＋an－2＝a2＋an－1＝a1＋an.将①②两式相加，得＋＋＋＋＝5＝180，∴a1＋an＝36.由Sn＝n2＝36n2＝360，得n＝20.所以该等差数列有20项．方法二设此等差数列共有n项，首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋5×42d＝34，①Sn－Sn－5＝[nd2＋na1]－[a1＋2d]＝5a1＋d＝146.②①②两式相加可得10a1＋5d＝180，∴a1＋n－12d＝18，代入Sn＝na1＋n2d＝na1＋n－12d＝360，得18n＝360，∴n＝20.所以该数列的项数为20项．变式迁移3 解依题意，知a1＋a2＋a3＋a4＝21，an－3＋an－2＋an－1＋an＝67，∴a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝88.∴a1＋an＝884＝22.∵Sn＝n2＝286，∴n＝26.∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，∴S3n＝3＝54.设项数为2n－1，则奇数项有n项，偶数项有n－1项，中间项为an，则S奇＝•n2＝n•an＝44，S偶＝•2＝•an＝33，∴nn－1＝43.∴n＝4，an＝11.∴数列的中间项为11，项数为7.例4 解题导引若{an}是等差数列，求前n项和的最值时，若a1>0，d<0，且满足an≥0an＋1≤0，前n项和Sn最大；若a1<0，d>0，且满足an≤0an＋1≥0，前n项和Sn最小；除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n∈N*.解方法一∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列．设{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝10，S6＝72，得a1＋2d＝106a1＋15d＝72，∴a1＝2d＝4.∴an＝4n－2.则bn＝12an－30＝2n－31.解2n－31≤0，2－31≥0，得292≤n≤312.∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15项为负值.∴S15最小．可知b1＝－29，d＝2，∴S15＝15×2＝－225.方法二同方法一求出bn＝2n－31.∵Sn＝n2＝n2－30n＝2－225，∴当n＝15时，Sn有最小值，且最小值为－225.变式迁移4 解设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵a16＋a17＋a18＝3a17＝－36，∴a17＝－12，∴d＝a17－a917－9＝3，∴an＝a9＋•d＝3n－63，an＋1＝3n－60，令an＝3n－63≤0an＋1＝3n－60≥0，得20≤n≤21，∴S20＝S21＝－630，∴n＝20或21时，Sn最小且最小值为－630.由知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数．当n≤21时，Tn＝－Sn＝－32n2＋1232n.当n>21时，Tn＝Sn－2S21＝32n2－1232n＋1260.综上，Tn＝－32n2＋1232n 32n2－1232n＋1260 .课后练习区．A 2.c 3.B 4.c 5.D6．15 7.10 8.279．证明∵{an}是等差数列，∴a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，又a22＝a1a4，于是2＝a1，即a21＋2a1d＋d2＝a21＋3a1d．化简得a1＝d.…………………………解由条件S10＝110和S10＝10a1＋10×92d，得到10a1＋45d＝110.由知，a1＝d，代入上式得55d＝110，故d＝2，an＝a1＋d＝2n.因此，数列{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*.…………………………………………0．解设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.…………………………………………………………………………由于an＝a1＋d，Sn＝n2，所以an＝2n＋1，Sn＝n．…………………………………………………………因为an＝2n＋1，所以a2n－1＝4n，因此bn＝14n＝141n－1n＋1.………………………………………………………故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝141－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝141－1n＋1＝n4.所以数列{bn}的前n项和Tn＝n4.…………………………………………………1．证明将3anan－1＋an－an－1＝0整理得1an－1an －1＝3．所以数列{1an}为以1为首项，3为公差的等差数列．…………………………………解由可得1an＝1＋3＝3n－2，所以an＝13n－2.……………………………………………………………………………解若λan＋1an＋1≥λ对n≥2的整数恒成立，即λ3n－2＋3n＋1≥λ对n≥2的整数恒成立．整理得λ≤3………………………………………………………………令cn＝3cn＋1－cn＝3n－3＝3n.………………………因为n≥2，所以cn＋1－cn>0，即数列{cn}为单调递增数列，所以c2最小，c2＝283.所以λ的取值范围为。

2018年高考数学一轮复习：等差数列及其前n项和(讲)

等差数列及其前n 项和【知识清单】一．等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥.2.等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中2a bA +=. a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=. 4.等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．对点练习：【2017届浙江省温州市二模】在等差数列中，若，则_______.【答案】二、等差数列的前n 项和等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 对点练习：【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14k S -=，9k S =，则k a =__________， 1a 的最大值为__________．【答案】 5 4.【解析】15k k k a S S -=-=，因为()1592k k a S +==，又k 的最小值为2，可知1a 的最大值为4.三、等差数列的相关性质 1.等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+,特殊地，2m p q=+时，则2m p q a a a =+，m a 是p q a a 、的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即232,,n n n n n S S S S S --成等差数列. （6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列．（7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．2．设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①-S S nd =奇偶； ②1n n S a S a +=奇偶；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S S -偶奇n a a ==中(中间项)；②1S nS n =-奇偶. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若{}n a 与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a S b S --=. 6．等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．对点练习：1.在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则753a a += （） A ．10 B ．18 C ．20 D ．28 【答案】C2.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是（） A ．6S B ．7S C ．8S D ．15S 【答案】B【解析】由95S S =,得()67897820a a a a a a +++=+=,由01>a 知,0,087<>a a ,所以7S 最大，故B 正确.【考点深度剖析】等差数列的性质、通项公式和前n 项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．【重点难点突破】考点1 等差数列的定义、通项公式、基本运算【1-1】【2017全国卷1（理）】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，68S =，则{}n a 的公差为（）. A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【1-2】【2017全国卷2（理））】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ．【答案】21nn + 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．则3123a a d =+=，414610S a d =+=，求得11a =，1d =，则n a n =，()12n n n S +=，()()112222122311nk kS n n n n ==++++⨯⨯-+∑11111112122311n n n n ⎛⎫=-+-++-+-= ⎪-+⎝⎭122111n n n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭. 【1-3】【2017届天津市耀华中学二模】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且2142S=，若记2119132a a a n b --=，则数列{}n b （）A. 是等差数列但不是等比数列B. 是等比数列但不是等差数列C. 既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列又不是等比数列【答案】C【领悟技法】1．等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列;(5){}n a 是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 2．活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.4．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用123,,a a a 验证即可． 5.等差数列的前n 项和公式若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ，公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 【触类旁通】【变式一】【2018届甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高三一调】在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （） A.尺 B. 尺 C.尺 D.尺【答案】C【变式二】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列{}n a 满足1111,021n n n a a a a ++=+=-.（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）若数列{}n b 满足1122,1n nn n b a b b a +==+，求{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）()12326n n S n +=-⋅+【解析】试题分析：（1）先依据题设条件将11021n n n a a a +++=-变形为1112n na a +-=，进而借助等差数列的定义证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）借助（1）的结论可求得()112121n n n a =+-=-,进而依据112n n n n b a b a ++=⋅求得1222n n n n a b -=⨯= 从而求得()212nn b n =-⋅，然后与运用错位相减法求得()12326n n S n +=-⋅+：解：（Ⅰ）若10n a +=，则0n a =，这与11a =矛盾， ∴10n a +≠，由已知得1120n n n n a a a a ++-+=， ∴1112n na a +-=，故数列{}n a 是以111a =为首项，2为公差的等差数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1112121n n a =+-=-，由112n n n n b ab a ++=⋅可知112n n n n a b a b ++=.又112a b = ∴1222n n n n a b -=⨯= ∴()212nn b n =-⋅， ∴()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，则()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，∴()()231122222222123226n n n n S n n ++-=+⋅+⋅++⋅--⋅=-⋅-，∴()12326n n S n +=-⋅+考点2 等差数列的性质【2-1】【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学（理）】数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+()2n ≥，且1359a a a ++=， 24612a a a ++=，则345a a a ++=（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D【2-2】【云南省昆明一中2018届高三第二次月考】在数列{}n a 中， 28a =， 52a =，且122n n n a a a ++-=（*n N ∈），则1210a a a +++的值是（）A. -10B. 10C. 50D. 70 【答案】C【解析】由122n n n a a a ++-=得122n n n a a a ++=+，即数列{}n a 是等差数列，由2582a a ==，，可得1102a d ==-，，，所以212n a n =-+，，当1n 6≤≤时， 0n a ≥，当7n ≥时， 0n a <，所以1210610250a a a S S +++=-=，选C ．【2-3】【2017届宁夏石嘴山市第三中学高三三模】已知函数()f x 在()1,-+∞上单调,且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且()()5051f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( )A. 200-B. 100-C. 0D. 50- 【答案】B【领悟技法】1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式．4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略. 【触类旁通】【变式一】【2017届湖南省衡阳市高三下第二次联考】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()355134a a -+=， ()388132a a -+=，则下列选项正确的是（）A. 1212S =， 58a a >B. 1224S =， 58a a >C. 1212S =， 58a a <D. 1224S =， 58a a < 【答案】A【解析】由()355134a a -+=， ()388132a a -+=可得：()()33558813(1)1,13(1)1a a a a -+-=-+-=-，构造函数3()f x x x =+，显然函数是奇函数且为增函数，所以5858(1)11(1)11f a f a a a -=>-=-⇒->-， 58a a >，又58(1)(1)0f a f a -+-=所以58(1)(1)a a -=--所以582a a +=，故112125812()6()122a a S a a +==+=【变式二】【”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷】已知数列{}{},n n a b 满足1211,2,1a a b ===-，且对任意的正整数m,n,p,q ，当m n p q +=+时，都有m n p q a b a b -=-，则()2018112018i i i a b =∑-的值是__________．【答案】2019【解析】由题意可得2112a b a b -=-， 22b =-， 3122,a b a b -=-得33a =，又11n n n n a b a b ++-=-，11110n n n n a b a b a b +++=+==+=，即,2n n n n n a b a b a =--=，原式可化为当m+n=p+q 时m n p q a a a a +=+，即{}n a 为等差列， n a n =，()2018112018i i i a b =∑-=()20181122018i i a =∑=2019，填2019. 考点3 等差数列的前n 项和公式的综合应用【3-1】【2017届陕西省黄陵中学高三（重点班）模拟一】若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( )A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】C【3-2】【2017届浙江嘉兴市高三上基础测试】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知316a =，610a =，则公差d = ；n S 为最大值时的n = ．【答案】2d =- 10n =或11【解析】63(63),10163,2a a d d d =+-∴=+∴=-，因为31(31)a a d =+-，1162(2)a ∴=+⨯-，120a ∴=，221n S n n ∴=-+，当212(1)n =-⨯-，由n ∈Z 得10n =或11时，n S 为最大值．【3-3】【2017届安徽省池州市东至县高三12月联考】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >，其中正确命题的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B【领悟技法】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 【触类旁通】【变式一】【2017浙江卷6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【变式二】【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】设等差数列{}n a 满足3736a a +=，46275a a =，且1n n a a +有最小值，则这个最小值为__________．【答案】-12【解析】因为数列{}n a 是等差数列，且3736a a +=，所以4636a a +=，4646275,,a a a a =∴是一元二次方程2362750t t -+=的二根，由2362750t t -+=得()()25110t t --=， 125t ∴=或211t =，当4625,11a a ==时， 6411257642a a d --===--， ()44753n a a n d n ∴=+-=-+，当10,0n n a a +><时， 1n n a a +取得最小值，由()7530{ 71530n n -+>-++<解得465377n <<， 7n ∴=时， 1n n a a +取得最小值，此时()781min 4,3,12n n a a a a +==-=-，当4611,25a a ==时， 6425117642a a d --===-， ()44717n a a n d n ∴=+-=-，当10,0n n a a +时， 1n n a a +取得最小值，由()7170{ 71170n n -<+->解得101777n <<， 2n ∴=时， 1n n a a +取得最小值，此时()231min 3,4,12n n a a a a +=-==-，故答案为12-. 【易错试题常警惕】易错典例：在等差数列{}n a 中，已知a 1＝20，前n 项和为n S ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，n S 有最大值，并求出它的最大值．【错解一】设公差为d ，∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142 d.得d ＝－53，a n ＝20－(n －1)·53. 当a n ＞0时，20－(n －1)·53＞0，∴n＜13.∴n＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130. 当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.【错解二】由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53，令⎩⎪⎨⎪⎧20＋（n －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＞0， ①20＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53≤0， ② 由①得n ＜13，由②得n≥12，∴n＝12时，S n 有最大值S 12＝130.易错分析：错解一中仅解不等式a n ＞0不能保证S n 最大，也可能a n ＋1＞0，应有a n ≥0且a n ＋1≤0. 错解二中仅解a n ＋1≤0也不能保证S n 最大，也可能a n ≤0，应保证a n ≥0才行．正确解析：解法一：∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142 d.∴d＝－53. ∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0.即当n≤12时，a n ＞0，n≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130. 解法二：同解法一，求得d ＝－53，∴S n ＝20n ＋n （n －1）2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 解法三：同解法一，求得d ＝－53，又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∴5a 13＝0，即a 13＝0.又a 1＞0，∴a 1，a 2，…，a 12均为正数．而a 14及以后各项均为负数，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.温馨提醒：1.解决等差数列前n 项和最值问题时一般利用通项不等式组法，即①当a 1＞0，d ＜0时，S n 最大⇔100n n a a +≥⎧⎨≤⎩；②当a 1＜0，d ＞0时，S n 最小⇔100n n a a +≤⎧⎨≥⎩.2.在关于正整数n 的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定．3.等差数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．【学科素养提升之思想方法篇】----函数思想在数列求最值问题中的应用数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题1．等差数列的前n 项和与函数的关系等差数列的前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，令A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，则S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题．2．等差数列前n 项和的最值(1)若等差数列的首项a 1>0，公差d <0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n 项和有最大值，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0. (2)若等差数列的首项a 1<0，公差d >0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n 项和有最小值，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0.3．求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．【典例】【2018届吉林省吉林市五十五中开学考试】已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求{}n a 前n 项和n S 的最大值．【答案】（1）25n a n =-+；（2）n S 的最大值为4.【解析】方得()224n S n =--+，根据二次函数图象及性质可知，当2n =时，前n 项和取得最大值，最大值为4.等差数列前n 项和22n S An Bn =+，因此可以看出二次函数或一次函数（0d =时）来求最值，考查数列与函数.试题解析：（1）525125252a a d ---===---，所以()()()2212225n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+；（2）13a =，()()213242n n n S n n n -=+⨯-=-+ 当2n =时，前n 项和取得最大值，最大值为4。