高效求解整数线性规划问题的分支算法_高培旺

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关于解线性规划问题的一种半单纯形法的注记

第１Ｏ卷第２期
２１０１年６月
南通大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆＮｎｏｇＵｎｖｒｉＮａｕａｃｅｃｄｔｎｏｒａａｔቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ｉｅｓｔｏｙ（ｔｒｌｉｎｅＥｉｏ）Ｓｉ
Ｖ０＿１Ｎｏｌ０．２
Ｊｎ２１ｕ．０ｌ
关于解线性规划问题的一种半单纯形法的注记
高培旺
（西财经学院数学与统计系，西南宁广广５００）３０３
摘要：出某文献解线性规划问题的一种半单纯形法的定理２是错误的，给出了理论分析和实例说明．一步分指进析发现．所谓的 “ 单纯形法 ” 经典的两阶段法本质上是相同的，只不过人工变量没有显示出来，轴列的选择半与枢准则稍有不同．此，本文在枢轴行和枢轴列的选择上对半单纯形法（两阶段法第一阶段）行了改进，值试为或进数验结果表明．改进后的单纯形算法在计算效率上明显优于半单纯形法．关键词：性规划；本可行解；纯形法；单纯形法；阶段法线基单半两中图分类号：２１Ｏ２．１文献标志码：Ａ文章编号：１７ — ３０２１）２０８ — ５６３２４（０１０ — ０５０
ＡｔｎｍｉｓｍｐｅｅｈｏＮｏｅｏｔＳｅ．ｉｌｘＭｔｄｈｅ

线性规划问题的建模与求解思路

线性规划问题的建模与求解思路线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它在工程、经济、运筹学等领域具有广泛的应用。

本文将探讨线性规划问题的建模与求解思路，介绍一些常用的方法和技巧。

一、问题建模在进行线性规划问题的建模时，首先需要明确问题的目标和约束条件。

目标通常是最大化或最小化一个线性函数，而约束条件则是一系列线性等式或不等式。

以生产计划为例，假设某公司有两种产品A和B，每单位产品A的利润为10万元，每单位产品B的利润为8万元。

公司希望最大化总利润，同时满足以下约束条件：1. 产品A和B的生产总量不超过1000单位；2. 产品A的生产量不低于200单位；3. 产品B的生产量不低于300单位。

根据以上信息，我们可以进行如下的建模：设产品A的生产量为x，产品B的生产量为y，则目标函数为最大化利润：Maximize Z = 10x + 8y同时，需要满足以下约束条件：x + y ≤ 1000x ≥ 200y ≥ 300二、求解思路一般来说，线性规划问题的求解可以采用图形法、单纯形法、内点法等不同的方法。

下面将介绍其中两种常用的方法：图形法和单纯形法。

1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制目标函数和约束条件的图形来求解最优解。

在上述例子中，我们可以将目标函数和约束条件绘制在坐标系中，找到目标函数与约束条件的交点，进而确定最优解。

2. 单纯形法单纯形法适用于高维线性规划问题，通过迭代计算来逐步接近最优解。

该方法的核心思想是从一个可行解开始，通过不断调整变量的取值来提高目标函数的值，直到找到最优解。

单纯形法的具体步骤如下：（1）将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束；（2）构建初始单纯形表，并选择一个初始基本可行解；（3）计算单位利润向量，并判断是否达到最优解；（4）选择一个入基变量和出基变量，并进行迭代计算，直到找到最优解。

三、技巧和注意事项在解决线性规划问题时，有一些常用的技巧和注意事项可以帮助我们更高效地求解问题。

求解整数线性规划的一种高效隐数搜寻

求解整数线性规划的一种高效隐数搜寻
高培旺
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2009(045)026
【摘要】提出了一种求解整数线性规划的新的隐数算法.首先,该算法引入了一组线性变换,将线性松弛问题的最优非基变量变换到一组新变量,使新变量有更小的取值范围.然后,在目标函数超平面上对非基变量和新变量进行隐数计算,从而大大提高了隐数搜寻的效率.
【总页数】4页(P24-26,52)
【作者】高培旺
【作者单位】广西财经学院数学与统计系,南宁,530003
【正文语种】中文
【中图分类】O221.4
【相关文献】
1.求解整数线性规划的一种等值线法 [J], 温大伟;陈莉;谢文环
2.高效求解整数线性规划问题的分支算法 [J], 高培旺
3.整数线性规划的一种新的隐数搜寻方法 [J], 高培旺
4.0-1整数线性规划的一种组合直接搜寻法 [J], 高培旺;范国兵
5.0-1线性规划问题的分类隐数搜寻 [J], 高培旺
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整数规划问题的求解

max Z 4 x1 3 x 2 1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 LP 21 : x1 4，x 2 6 x1 , x 2 0
C o 3 4
x1
分支定界法
x2
A
Page 16
由于Z 21 Z 1，选择 LP 21进行分枝，增加约束 x1 4及x1 5，得线性规划 LP 211 及LP 212 ：
10
A
x2 7不可行
max Z 4 x1 3 x 2 1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 LP 22 : x1 4，x 2 7 x1 , x 2 0
B 6 LP1
LP21
LP21:X=(4.33,6),Z21=35.33
整数规划问题的求解
整数规划问题的求解方法：分支定界法和割平面法
Page 1
匈牙利法（指派问题）
分支定界法
分支定界法的解题步骤：
Page 2
1）求整数规划的松弛问题最优解；若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下一步； 2）分支与定界：任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1 组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目标值是分枝问题的下界。检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝，再检查，直到得到最优解。

线性规划问题规范型算法的改进及计算机实现

Improvement and Its Computer Implementation of
a New Algorithm for Linear Programming
作者：高培旺
作者机构：闽江学院数学系,福建福州350108
出版物刊名：常熟理工学院学报
页码： 18-22页
年卷期： 2012年第10期
主题词：线性规划;可行基;单纯形算法;规范型;计算机实现
摘要：线性规划的规范性算法是从一个初始基出发，通过一种单纯形变式求得可行基的方法．提出了求等式约束方程的初始基的方法，该方法不需要计算辅助目标函数的缩减费用，在约束无冗余的假定下经过至多m（等式个数）次迭代后一定得到一个初始基或者问题无可行基
的结论，并对规范型算法进行了简化．为了验证改进的规范型算法的计算性能，通过MATLAB 编程在计算机上实现大规模数值试验，结果表明，与经典单纯形算法相比，改进的算法平均每次迭代花费更少的执行时间，因而具有更高的计算效率，且随着问题规模的扩大，其计算优越性更明显．。

线性规划问题的四种求解方法

时成本最低为 850 元 .
需要说明的是 , 若所求的最优解是整数解 ,
数法求解 .
而用以上方法求得的最优解不是整数 , 则可以
例 4 甲、乙、丙三种维生素 A 、B 含量及用平移法寻找到最优整数解 .
12
《中学理科》 2002 年第 7 期
时 , zmax =12 ×5 +18 ×4 =132(万美元) 答 :购买第一种机器 5 台 , 第二种机器 4 台
料等工作的资源优化配制问题 , 寻求线性规划时能使工厂获得的年利润最大 .
问题的最优解具有十分重要的现实意义 .现介
二、等值线法
绍几种求解线性规划问题的最优解的策略 .
所谓等值线是指直线上任一点的坐标(x ,
:y
=-
2 3
x
,
把直线
l0
向右上方
平移 , 当经过可行域上点 B 时 , 直线的截距最
大 .此时 z = 12x +18y 取最大值 .解方程组
z =6x +3y +5[ 300 -(x +y)] +5(200 -x ) +9(450 -y)+6(100 +x +y)=2 x -5y +
7150 作出以上不等式组所表示的平面区域即可
于是
2λ+3 μ=7 3λ- μ=5
解得 λ=2 、μ=1
∴c =400 +7x +5y =400 +2(2 x +3y )
+(3x -y )≥400 +2 ×160 +130 =850
当且仅当
2x 3x
+3y =160 -y =130

高二数学线性规划问题解题步骤总结高中线性规划解题技巧

高二数学线性规划问题解题步骤总结高中线性规划解题技巧线性规划问题是最简单的优化问题，是高二数学学习的重点。

下面WTT给高二学生带的数学期望与随机变量知识要点，希望对你有帮助。

高二数学线性规划问题解题步骤高二数学线性规划问题教学反思线性规划是《运筹学》中的基本组成部分，是通过数形结合方法来解决日常生活实践中的最优化问题的一种数学模型，体现了数形结合的数学思想，具有很强的现实意义。

也是高中数学教材的新增知识点，在近两年高考中属于必考知识。

线性规划问题，高考主要以选择填空题的形式出现，常考两种类型：一类是求目标函数的最值问题(或取值范围)，另一类是考查可行域的作法。

下面我们结合教材和各地高考及模拟题举例说明。

第一大类：求目标函数的最值问题，解答此类题型时，关键是要正确理解目标函数的几何意义，再数形结合求出目标函数的最值，而目标函数的几何意义是由其解析式确定的，常见的目标函数有三类。

1、截距式(目标函数为二元一次型)，即，这也是最常见的类型，目标函数值的几何意义是与直线的纵截距有关。

2、距离式(目标函数为二元二次型)，目标函数值的几何意义与距离有关。

3、斜率式(目标函数为分式型)，目标函数值的几何意义与直线的斜率有关。

反思该节线性规划的教学，认为应注意如下几个问题1.线性规划应用题条，数据较多，梳理已知数据至关重要(以线定界，以点定面)2.学生作图时太慢，没有使用尺规作图，找最优解时不会通过斜率比较分析。

(用尺作图直观)3.借用线性规划思想解题能力不强，某些目标函数的几何意义理解不透。

(三组形式)4.高考中对线性规划的考查常以选择、填空题的形式出现，具有小巧、灵活的特点，因此，对常见题型要重点训练。

总之，对于线性规划问题，应坚持应用数形结合的思想方法解题，作出可行域和看出目标函数的几何意义是解题关键。

高二数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

套裁下料问题的模型分析及实现

改善了用户界面的友好性，加快了软件开发进度，并且可以脱离Ｍａａｔｂ环境。ｌ
结果表明：四种方案下料的钢管依次数为：０５、
２
１０５、、０、０００根，得到的产品最大配套数为１０套。０
材料利用率为０：。２
ｐ１
一
ｐ２Ｐ３
一一
∑
Ｐ
（）７、
（，３．ｊ２．＝１ｍ）
问题的目标是获得ｎ种零件的最大配套数，
目标函数可以写成：
∑１
ｍａＦ：上１ｘ＿一
Ｐ１
【２第３卷６】３第５期２１— （）０１６下
０引言
下料问题在机械、家具、钢铁、船舶、车辆、建筑、造纸、玻璃、皮革等制造业中是控制原材
料利用率的重要环节。根据世界银行钢铁统计年鉴的统计分析，中国、印度等发展中国家与美国、日本等发达国家相比，钢材在切割焊接过程中的
割得到的各种规格零件的个数ａ乘以按这种方案ｉｉ
３要求这ｎ种不同零件按Ｐ：２Ｐ：）Ｐ：３
Ｐ：…… ：ｎ的配套关系来切割，求出最大产品ｐ配套数的下料组合。
切割的钢管的数量ｘ２￣，即ａｘ（ｌ２３ …… ｊ：ｕｉ，，，ｊ＝
．∑ ｘ＝ｊ
Ｊ＝１

运筹学中的线性规划与整数规划算法

运筹学中的线性规划与整数规划算法运筹学是一门研究如何有效地做出决策的学科，它集合了数学、计算机科学和经济学等多个学科的理论和方法。

其中，线性规划和整数规划是运筹学中最常用的一类问题求解方法。

本文将重点讨论运筹学中的线性规划和整数规划算法。

线性规划是一种通过线性数学模型来实现决策优化的方法。

在线性规划中，目标函数和约束条件都是线性关系。

目标函数表示要优化的目标，约束条件则限制了决策变量的取值范围。

线性规划的基本思想是通过调整决策变量的取值，使得目标函数达到最大或最小值。

线性规划的求解方法主要有两种：单纯形法和内点法。

单纯形法是一种通过在顶点间移动来寻找最优解的方法。

它从一个可行解开始，然后通过交替移动到相邻的顶点来逐步优化目标函数值。

而内点法则是一种通过将目标函数与约束条件转化为一组等价的非线性方程组，通过迭代方法逼近最优解的方法。

内点法相对于单纯形法而言，在求解大规模问题时速度更快。

整数规划是线性规划的一个扩展，它要求决策变量只能取整数值。

整数规划问题更接近实际问题，因为很多情况下我们只能从离散的选择中进行决策。

然而，整数规划的求解难度要远远高于线性规划。

因为整数规划问题的解空间是离散的，不再是连续的顶点，这导致了求解整数规划的困难。

为了解决整数规划问题，提出了许多算法，其中最著名的是分支定界法和割平面法。

分支定界法是一种通过将整数规划问题分解为一系列线性规划子问题来求解的方法。

它通过将整数规划问题不断分解为子问题，并利用线性规划的求解方法求解子问题。

割平面法则是一种在单纯形法的基础上引入额外的不等式约束来加强整数规划问题的求解方法。

割平面法通过将不等式约束添加到线性规划模型中，逐步缩小解空间，最终找到整数规划问题的最优解。

除了分支定界法和割平面法之外，还有一些其他的整数规划求解方法，如启发式算法和元启发式算法。

启发式算法是一种基于经验和启发知识的求解方法，它通过模拟生物进化、社会行为等过程来搜索整数规划问题的解。

线性规划问题的两种求解方式

线性规划问题的两种求解方式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

解决线性规划问题常用的方法是图解法和单纯性法，而图解法简单方便，但只适用于二维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适用于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及大量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量大，复杂繁琐。

在这个计算机高速发展的阶段，利用Excel建立电子表格模型，并利用它提供的“规划求解”工具，能轻松快捷地求解线性模型的解。

无论利用哪种方法进行求解线性规划问题，首先都需要对线性规划问题建立数学模型，确定目标函数和相应的约束条件，进而进行求解。

从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；1、根据所求目标的影响因素找到决策变量；2、由决策变量和所求目标的函数关系确定目标函数；3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

以下是分别利用单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种方法对例题进行求解的过程。

例题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，工厂中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。

每生产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的生产数量的哪种组合能使总利润最大？问题的决策变量有两个：产品I的生产数量和产品II的生产数量；目标是总利润最大；需满足的条件是：(1)两种产品使用设备的台时<= 台时限量值(2) 生产两种产品使用原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的生产数量均>=0。

整数规划中的割平面法和分枝定界法的研究

二、研究的主要内容和预期目标
研究的主要内容：
1.引言
2.Gomory割平面法
2.1割平面法的基本思想
2.2割平面法步骤
3.分枝定界法
.1分枝定界法的基本思想
.2分枝定界法步骤
4.割平面法和分枝定界法比较
5.一种新型割平面法
6.分枝定界法在最优化问题中的应用
结束语
预期目标：
熟练掌握两种算法，了解各自算法的优点与缺点；会建立整数规划模型，并合理应用算法和计算机解决问题。
and Complexity[M].NewJersey:Prentice-Hall,1982
[3]许志国，马仲蕃.整数规划初步[M].沈阳：辽宁教育出版社，1990
[4]赵玮，王荫清.随机运筹学[M].北京：高等教育出版社，1993
[5]张香云.线性规划[M].浙江：浙江大学出版社，2009
[6]张雅琴，王希云.分枝定界法在最优化问题中的应用[J].经济技术协作信息，2007.17(17):83
三、拟采用的研究方法、步骤
1.研究方法：
主要采用文献资料法对大量文献进行分析，以使对研究课题的研究现状、背
景意义有深刻的理解。
运用描述性研究法研究两种算法的优劣、在模型中的应用等。
2.研究步骤
(1)选定课题：根据对所学专业知识熟练与理解程度评估，选择了自己较为容易
研究的课题。
(2)收集资料：根据所选课题收集大量相关的材料。首先将有关运筹学中整数规划
的内容进行收集、归纳；再则去校图书馆查阅相关的资料，借阅有
关的书籍以及习题讲解；最后利用电脑在网上查阅更多的资料来丰
富论文研究内容。
(3)整合资料：将所收集的资料进行整合，则优而不泛用。
(4)确定题目：在整理好所需资料，大致的方向有所掌握后再确定论文的题目，好

运筹学中关于规划问题的常用解决方法

运筹学中关于规划问题的常用解决方法运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科。

在运筹学中，规划问题是一类常见的问题，它涉及到如何合理分配资源以达到特定的目标。

本文将介绍运筹学中关于规划问题的常用解决方法。

首先，线性规划是解决规划问题最常用的方法之一。

线性规划的目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数最大或最小的变量值。

线性规划的数学模型可以表示为：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z是要优化的目标函数，c₁, c₂, ..., cₙ是目标函数的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ是约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ是约束条件的常数，x₁, x₂, ..., xₙ是决策变量。

其次，整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量必须取整数值。

整数规划在实际问题中具有广泛的应用，例如生产调度、物流配送等。

整数规划的求解方法包括分支定界法、割平面法等。

分支定界法通过将整数规划问题划分成一系列子问题，并逐步求解，最终得到最优解。

割平面法则通过添加额外的线性约束条件来逐步逼近最优解。

除了线性规划和整数规划，规划问题还可以通过动态规划方法求解。

动态规划是一种将问题分解成子问题并逐步求解的方法。

它适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

动态规划的核心思想是通过存储中间结果来避免重复计算，从而提高计算效率。

动态规划在求解最短路径、背包问题等方面具有广泛的应用。

此外，启发式算法是一类基于经验和直觉的求解方法，它通过不断搜索和优化来寻找问题的近似最优解。

启发式算法常用于求解复杂的规划问题，如旅行商问题、车辆路径问题等。

求解整数线性规划问题的一种新算法

[收稿日期]20061020　[基金项目]国家自然科学基金项目(70371032);高等学校博士学科与专项科研基础项目(20020486035)。

　[作者简介]燕子宗(1964),男,1984年大学毕业,博士,副教授,现主要从事最优化理论方面的教学与研究工作。

求解整数线性规划问题的一种新算法燕子宗　(长江大学信息与数学学院,湖北荆州434023)[摘要]提出了一种求解整数线性规划问题的新方法。

利用流动等值面技术的原单纯形方法,从初始整数可行解出发,逐步寻找下一个更好的整数可行解,直到找到原问题的最优解,必要时通过G omory 割平面来寻找整数可行解。

该方法不但保留了原割平面法保持整数可行解的特点,而且继承了对偶割平面法灵活利用割平面的优点。

[关键词]整数线性规划;G omory 割平面技术;线性规划;流动等值面;对偶间隙[中图分类号]O22112[文献标识码]A [文章编号]16731409(2007)01N00504割平面算法以及结合分支定界技术的分支割算法,目前已经变成求解(混合)整数线性规划问题的非常有用的工具[1～3]。

事实上,这些算法绝大部分都是通过引入对偶割平面,逐步压缩原问题的相应松弛线性规划问题的可行域,然后利用对偶单纯形算法求得问题的整数最优解,必要时通过分支定界技术加快收敛速度,这些方法本质上都是以G o mory 的割平面法为基础的[4]。

笔者讨论求解整数线性规划问题: max c T x s 1t 1A x =b x ∈Z n +(1)式中,c ∈Z n ,A ∈Z m ×n 和b ∈Z m 是已知的参数;Z n +代表n 维非负整数集合。

对应的松弛线性规划问题为: max c T x s 1t 1A x =b x ≥0(2)借助对偶单纯形算法的割平面技术在求解整数线性规划问题方面取得巨大成功,但该方法的处理策略也是有明显缺点的。

它必须要在求得相应松弛问题的最优解后,通过割平面压缩其可行域后逐步求得原问题的整数最优解。

高效求解整数线性规划问题的分支算法

Ａｂｓｒｃ：Ｉｒｅｏｉｒｖｈｏｕｔｔｏａｆｉｉｃｔａｔｎｏｄｒｔｍｐｏｅｔｅｃｍｐａｉｎｌｅｆｃｅｎｙ，ａｂｒｎｃｌｏｔｍｏｅｅａｎｅｅｉｅｒｐｒｇａａｈａｇｒｈｆｒｇｎｒｌｉｔｇｒｌｎａｏｒｍｍｉｇｉｎ
Ｋｅｏｄ：ｌｅｒｐｏａｍｎ；ｉｅｅｒｇａｍｎ；ｏｊｃｖｕｃｏｙｅｐｎ；ｓｐｅｍｔｄｂａｃｙｗｒｓｉａｒｇｍｉｇｎｇｒｐｏｍｉｇｂｅｔｅｆｎｔｎｈｐｒｌｅｉｌｘｅｏ；ｒｈｎｒｔｒｉｉａｍｈｎ
给定的目标函数整数值，首先利用线性规划松弛问题的最优单纯形表确定变量的上、下界，然后将变量的上、下界条件加入约束条件中对相应的目标函数超平面进行切割，最后应用分支定界算法中的分支方法来搜寻目标函数超平面上的可行解。通过对一些经典的数值例子的求解计算并与经典的分支定界算法进行比较，果表明，结该算法减少了
ｐｏｌｍｎｔｂｅｔｅｕｃｏｙｅｐａｅｓｉｓｗｓｒｓｎｅ．Ｆｒ，ｆｒｂｅｓｅｏｊｃｖｎｔｎｈｐｒｌｎｈｔａｅｅｔｏｈｉｆｉｆｐｄｉｔｏａ百ｖｎｉｔｅａｅｏｔｅｏｊｃｖｎｔｎｓｒｅｅｒｌｆｈｂｅｔｅｆｃｏ，ｎｇｖｕｉｕｉ
高效求解整数线性规划问题的分支算法
高培旺
（西财经学院数学与统计系，宁５００）广南３０３

求解线性规划问题的整数规划算法研究

求解线性规划问题的整数规划算法研究Introduction线性规划问题是运筹学中最基本的问题之一，是一种优化问题，在数学和计算机科学中都有广泛的应用。

而整数规划算法则是针对线性规划问题中所有变量都必须取整的情况而设计的一类算法。

在实际应用中，很多情况下最优解需要得到整数解。

本文主要研究求解线性规划问题的整数规划算法，并介绍其中比较常见的两种算法：分支定界法和割平面法。

分支定界法分支定界法是将整数规划问题分成若干个子问题，每个子问题是原问题的一个部分，可以得到其最优解。

该算法的基本思想是先找到一个松弛线性规划问题的最优解，然后选择一个变量进行分支。

具体实现方式是拆分成两个子问题，一个子问题中该变量小于等于其整数部分，另一个子问题中该变量大于等于其整数部分加1，然后分别对这两个子问题进行求解，直到找到最优解。

当子问题的最优下界大于等于全局最优解的上界时，就可以在子问题中停止搜索。

分支定界法的主要思想是通过不断地削减搜索空间，来避免不必要的计算。

割平面法割平面法是将整数规划问题转化成线性规划问题，并在每个子问题中添加一些割平面来逼近整数解。

该算法的基本思想是先转化成松弛线性规划问题，在其中添加限制条件，即割平面，来求出一组整数解。

割平面是原问题整数约束条件的线性组合，可以有效地削减搜索空间，进而提高搜索效率。

该方法的主要难点在于如何构造合适的割平面，以减小搜索空间的大小并在短时间内找到最优解。

相比于分支定界法，割平面法在求解时需要添加额外的限制条件，使得问题转化为线性规划问题。

因此，该算法需要更多的计算资源。

但是，相对于分支定界法，割平面法的搜索空间更小，因此在实际应用中经常会使用这种方法来求解整数规划问题。

Conclusion整数规划问题作为线性规划问题的一种扩展，广泛应用于各个领域。

分支定界法和割平面法是求解整数规划问题时使用较为频繁的算法。

虽然它们的实现细节不同，但都具有削减搜索空间、减小计算量的优点。

关于《求解LP问题的部分基变量算法》的勘误及补正

１０＞
的前提下也是错误的，由此可见，需要对文献［１］中的算法进行修正和补充。本文指出文献［１］中的不当之处，以免误导读者。
在无法对算法复杂性给出理论证实的情形下，
这里，Ａ∈Ｒ（ｍ＜ｎ），且假定ｒａｎｋ（Ａ）＝ｍ，ｃ、ｂ是相应维数的行向量和列向量，且ｂ ≥０。
关于《求解ＬＰ问题的部分基变量算法》的勘误及补正
高培旺
（闽江学院数学系，福建福州３５０１０８）
摘要文章针对周康等人的《求解ＬＰ问题的部分基变量算法》一文进行了分析，指出其文中算法原理及算法步骤存在的一些错误，补正了算法的不完善之处，并通过数值试验验证算法的计算
的，对此将用反例进行说明。另外，文献［１］中的算法步骤２ｂ给出的结论在还未产生全部基变量
１部分基变量算法的勘误及补正
考虑如下形式的线性规划问题：
（ＬＰ）ｍａｘｚ＝ｃｘ
ｓ．ｔ．Ａｘ＝ｂ
本文对修正和补充后的部分基变量算法进行数值试验。为此，从线性规划标准测试库ＮＥＴＬＩＢ中选取ｌ６个中、大规模的典型算例，这些算例多数具有稀疏、退化特征，可用于初步测试这种算法的
收稿日期：２０１３ — ０９ — ２５
文献［１］在部分基变量算法原理中首先给出定义１，称如果（ＬＰ）中存在可行的部分基变量，就不能用单纯形法求解。该定义不仅多余而且非常

整数规划问题的求解策略探讨

整数规划问题的求解策略探讨整数规划问题是指在约束条件下，目标函数为整数线性函数的优化问题。

在实际应用中，整数规划问题广泛存在于生产调度、资源分配、网络设计等领域。

由于整数规划问题的复杂性，其求解过程需要采用合适的策略和方法。

本文将探讨整数规划问题的求解策略，包括分枝定界法、割平面法、启发式算法等，并分析它们的优缺点及适用场景。

一、分枝定界法分枝定界法是求解整数规划问题最常用的方法之一。

其基本思想是通过不断地将问题分解为子问题，并对每个子问题进行求解，直到找到最优解为止。

在分枝定界法中，通常采用深度优先搜索或广度优先搜索的方式遍历搜索空间，通过对搜索树的分支进行限界，剪去一些不必要的分支，从而提高求解效率。

分枝定界法的优点在于能够确保找到最优解，尤其适用于规模较小的整数规划问题。

然而，对于规模较大的问题，分枝定界法的计算复杂度会随着搜索空间的增大而急剧增加，导致求解时间过长。

因此，在实际应用中，需要结合问题的特点和求解需求来选择是否采用分枝定界法。

二、割平面法割平面法是另一种常用的整数规划求解方法。

该方法通过引入额外的线性约束（割平面）来逐步逼近整数规划问题的最优解。

割平面法的核心思想是通过不断添加线性不等式约束，将整数规划问题的凸包逼近到凸壳，从而逐步缩小搜索空间，最终找到最优解。

割平面法的优点在于能够有效地提高求解效率，尤其适用于存在大量连续约束的整数规划问题。

然而，割平面法的实现过程较为复杂，需要对问题的线性松弛模型进行求解，并不断生成有效的割平面。

因此，对于一些特定结构的整数规划问题，割平面法可能并不是最优的求解策略。

三、启发式算法除了传统的分枝定界法和割平面法外，启发式算法也被广泛应用于整数规划问题的求解中。

启发式算法是一类基于经验和规则的启发式搜索方法，通过模拟生物进化、群体智能等自然现象，寻找最优解或近似最优解。

常见的启发式算法包括遗传算法、蚁群算法、模拟退火算法等。

这些算法在求解整数规划问题时，能够有效地避免陷入局部最优解，提高求解速度和质量。

高中数学解线性规划问题的步骤和技巧

高中数学解线性规划问题的步骤和技巧线性规划是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模的基础。

它通过数学方法来解决实际问题，寻找最优解。

本文将介绍解线性规划问题的步骤和技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用线性规划。

一、了解线性规划问题的基本概念在解决线性规划问题之前，首先需要了解线性规划问题的基本概念。

线性规划问题是在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值。

其中，线性约束条件是指各个变量之间的关系是线性的，线性目标函数是指目标函数是线性的。

二、确定决策变量和目标函数解决线性规划问题的第一步是确定决策变量和目标函数。

决策变量是指需要决策的变量，目标函数是指需要优化的目标。

例如，假设有一个生产问题，需要确定生产不同产品的数量，那么生产不同产品的数量就是决策变量，而总利润就是目标函数。

三、列出线性约束条件在确定了决策变量和目标函数之后，需要列出线性约束条件。

线性约束条件可以是等式或不等式，用来限制决策变量的取值范围。

例如，假设生产不同产品的数量不能超过某个限制值，那么可以列出相应的不等式约束条件。

四、绘制可行域图为了更直观地理解线性规划问题，可以绘制可行域图。

可行域图是指将线性约束条件表示在坐标系中，形成的一个区域。

决策变量的取值必须在这个区域内，才满足线性约束条件。

通过绘制可行域图，可以更好地理解问题的约束条件和可行解的范围。

五、确定最优解在确定了可行域图之后，需要确定最优解。

最优解是指在满足线性约束条件的前提下，使目标函数取得最大值或最小值的决策变量取值。

通过观察可行域图和目标函数的变化趋势，可以推测最优解的位置。

六、检验最优解在确定了最优解之后，需要对最优解进行检验。

检验最优解的方法是将最优解代入目标函数和约束条件中，计算是否满足所有约束条件。

如果满足所有约束条件，则最优解是可行解；如果不满足所有约束条件，则需要重新调整决策变量的取值。

七、灵活运用线性规划的方法和技巧在解决线性规划问题时，可以灵活运用一些方法和技巧来简化计算过程。

高一数学中的线性规划问题如何解决

高一数学中的线性规划问题如何解决在高一数学的学习中，线性规划问题是一个重要且具有一定难度的知识点。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，还能培养我们的逻辑思维和解决实际问题的能力。

那么，如何有效地解决高一数学中的线性规划问题呢？下面让我们一起来探讨一下。

首先，我们要明白线性规划问题的基本概念。

简单来说，线性规划就是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值。

这些约束条件通常是由一些线性不等式组成，而目标函数则是一个关于变量的线性表达式。

为了更好地理解和解决线性规划问题，我们需要掌握以下几个关键步骤：第一步，准确地列出约束条件和目标函数。

这就要求我们能够读懂题目中的文字描述，将其转化为数学语言。

比如，如果题目中说“生产A 产品不超过 5 件，生产B 产品不少于 3 件”，那么我们可以列出约束条件：＄A\leq5$，＄B\geq3$。

同时，根据题目所给定的条件，确定目标函数，比如“利润最大”，那么可能就会有目标函数$Z ＝3A ＋5B$。

第二步，画出可行域。

可行域就是满足所有约束条件的点的集合。

我们可以通过把每个约束条件所对应的直线画出来，然后根据不等式的方向确定可行域的范围。

例如，对于不等式$A ＋ B\leq8$，我们先画出直线$A ＋ B ＝ 8$，然后根据“小于等于”这个条件，确定可行域在直线的下方（包括直线上的点）。

第三步，找到最优解。

在可行域内，我们要找到使得目标函数取得最大值或最小值的点。

这个点可能在可行域的顶点处，也可能在边界上。

我们可以通过将可行域的顶点坐标代入目标函数，比较得出最大值或最小值。

在实际解题过程中，还需要注意一些常见的错误和容易忽略的地方。

一是在列出约束条件时，要注意不等式的方向不要搞错。

比如“大于等于”和“小于等于”的区别，如果弄错了，就会导致可行域的范围出错，从而影响最终的结果。

二是在计算顶点坐标时要仔细，避免计算错误。

有时候顶点坐标可能不是整数，计算过程中要保持耐心和细心。