26.1.2 反比例函数的图象和性质的的综合运用

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人教版九年级数学下册：26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案2

人教版九年级数学下册：26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案2一. 教材分析《反比例函数的图象和性质》是人教版九年级数学下册第26章第1节的内容。

本节课主要介绍了反比例函数的图象和性质，是学生在学习了正比例函数和一次函数的基础上进行学习的。

通过本节课的学习，使学生能理解反比例函数的概念，会绘制反比例函数的图象，掌握反比例函数的性质，并能应用于实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了正比例函数和一次函数的相关知识，对函数的概念、图象和性质有一定的了解。

但反比例函数的概念和性质与前两者存在较大差异，需要学生在已有的知识基础上进行迁移和拓展。

同时，学生需要理解反比例函数图象的特点，如双曲线、渐近线等，这对学生的空间想象能力有一定要求。

三. 教学目标1.了解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。

2.学会绘制反比例函数的图象，并能分析反比例函数图象的特点。

3.能将反比例函数应用于实际问题中，提高解决问题的能力。

4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质。

2.反比例函数图象的绘制和分析。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法。

通过设置问题引导学生思考，分析案例使学生理解反比例函数的应用，小组合作讨论促进学生交流和拓展思维。

六. 教学准备1.准备反比例函数的相关案例和问题。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

3.准备反比例函数图象的素材，如图片、图表等。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如购物时商品的单价和数量的关系，引出反比例函数的概念。

让学生思考并讨论这些问题，引导学生发现其中的规律。

呈现（10分钟）教师通过多媒体展示反比例函数的图象和性质，引导学生观察和分析。

同时，教师给出反比例函数的定义，并解释反比例函数的性质。

操练（10分钟）教师提出一些有关反比例函数的问题，让学生独立解答。

教师选取部分学生的解答进行讲解和分析，引导学生掌握反比例函数的性质。

反比例函数的综合应用ppt课件

x
数 y = 3x 的图象的交点坐标为 (2，6)，(－2，－6) ．
解析：联立两个函数解析式，解方程即可.
课堂小结
性反
质比
的例
综函
合数
运图
用象
和
比例系数k的
几何意义
与一次函
数的综合
面积不变性
S矩形=|k|
1
S三角形= |k|
2
判断反比例函数和一次函数在
同一直角坐标系中的图象，要
对系数进行分类讨论，并注意
S1=S2=k
y
5
4
y
4
x
3
P( 2, 2 )
•
2
Q( 4, 1 )
•
1 S1
S2
－4－3－2 －1 O 1 2 3 4 5 x
－1
－2
－3
－4
新知探究
2. 若在反比例函数 y 4 中也用同样
x
的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
y
4
y
x
P
Q
S1
S2
O
S1的值 S2的值 S1与S2的猜想与 k 的关
九年级数学人教版·下册
第二十六章
26.1反比例函数
26.1.2反比例函数的综合应用
教学目标
1.进一步理解和掌握反比例函数的图象与性质.
2. 灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题. (重点)
3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，能
对自变量或函数值进行大小比较. (难点)
温故知新
x
点 C，且 △AOC 的面积为 2，求该反比例函数的表达式．
解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，

26.1.2 反比例函数的图象和性质教案人教版九年级数学下册

通过对上节课的学习回顾，做好本节微课学习的知识准备，有利于学生顺利推进学习进程。
环节2：对比思考（对比一次函数的图象性质增减性的学习，结合反比例函数的图象，初步描述反比例函数图象的增减性）
【解说词】我们在学习一次函数的时候就知道，系数k不仅会影响函数图象的分布，还会影响到图象的上升和下降，也就是增减性。对于反比例函数而言，情况又会如何呢？请大家暂停视频片刻，结合反比例函数图象，独立思考后组织语言尝试描述，反比例函数图象的增减性。
【解说词】其实啊，两位同学的描述都抓住了反比例函数图象增减性的特点，不过还不够全面和准确，在这之前我们需要给出一个重要的前提：在同一象限内。所以最准确的反比例函数增减性的描述应该是：当k＞0时，在每一象限内，y的值随x的值增大而减小，图象“下降”；当k＜0时，在每一象限内，y的值随x的值增大而增大，图象“上升”。请同学们注意：“在每一象限内”这个前提条件必不可少。你明白了吗？
承接上一环节，学生有很多参差不齐的答案，教师在预设学生错误表达时，选取了两种具有代表性的错误描述语，供学生思考和分辨。学生通过思考、辨别、试举反例等思维活动，去判断学生代表的描述是否有误。这一过程中可能会有学生认同学生代表的说法，也有可能会发现其问题所在，不论结果如何，都需要让学生在此环节中充分的思考和判断。
通过对比学习，不仅回顾了一次函数的图象性质，同时可以参照一次函数的图像性质描述语，初步组织语言进行描述。学生的描述用语可能不规范、不正确，但通过该环节，能够引导学生进行思考、仿读、初步总结。结合图象也能够培养学生数形结合的数学思想。
环节3：交流讨论
微课中通过老师转述两名学生具有代表性的图象增减性描述语，引发学生的对比思考，模拟课堂中师生、生生互动的场景。
本环节是教师需要意识到的关键环节，面对学生的认知不一，需要教师在学生不准确的结论中提出反例或质疑，让学生重新回到起点进行思考：如何改进、更正才能使结论描述更加完善和准确？这其实也是给学生一个自我反思的机会，梳理疑惑，寻找更为准确的描述语。

26.1.2 第2课时反比例函数的图象和性质的的综合运用

4
4
S1=S2
S1=S2=－k
S1
S2
由前面的探究过程，可以猜想：
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.
S
我们就 k < 0 的情况给出证明：
代入一次函数中，求得k=3
3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b ＞的解集是___________．
1＜x＜5
表示一次函数图象在反比例函数上方时，x的取值范围
解得 k = －8.
或
作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则AC=4，BD=2.
(2) 求△AOB的面积.
解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)， ∴OM=2.
M
C
D
∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，
∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
根据面积得出k的绝对值为3，未说明图象经过的象限，因此k等于3或-3
例4. 如图，P，C是函数 (x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.
A
B
|k|
归纳：
反比例函数的面积不变性
A. SA >SB>SC B. SA<SB<SCC. SA =SB=SC D. SA<SC<SB
如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则 ( )

人教版数学九年级下册《反比例函数的图象和性质的的综合运用》PPT课件

x D.
Ox
探究新知
考点 2 通过函数图形确定字母的取值范围
如图是一次函数
y1=kx+b
和反比例函数
y2
m x
的图象，观察图象，当
y1﹥y2 时，x 的取值范围为－2< x <0 或 x.>3 y
解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3.
探究新知
【思考】根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围?
注：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时，y随x的增大而增大，从而出现错误.
巩固练习
如图，是反比例函数 y k 2 的图象的一个分支，对于
x
给出的下列说法：
y
①常数k的取值范围是 k 2 ；
②另一个分支在第三象限；
③在函数图象上取点 Aa1,b1 和 Ba2,b2 ， O
x
当 a1 a2 时，b1 b2 ；
④在函数图象的某一个分支上取点Aa1,b1和Ba2,b2 ，
当 a1 a2 时，b1 b2．其中正确的是___①___②__④____（在横线上填出正确的序号）．
巩固练习
已知反比例函数
yk x
的图象经过点 A (2，3)．
(1) 求这个函数的表达式；
解：∵ 反比例函数 y k 的图象经过点 A(2，3)，
x
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 3 k ，
2
解得 k = 6.
∴
这个函数的表达式为
y6 x

人教版九年级数学下册26.1.2反比例函数的图象与性质优秀教学案例

（三）学生小组讨论
在学生掌握了反比例函数的基本性质后，我会组织小组讨论。每个小组选取一个或几个反比例函数，通过绘制图象、分析性质，探讨反比例函数在实际问题中的应用。我会鼓励学生尝试用反比例函数解决一些简单的几何问题，如求两个反比例函数交点的问题。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会邀请几个小组代表展示他们的讨论成果，让学生通过对比和讨论，总结出反比例函数的普遍性质和图象特征。我会引导学生从数形结合的角度，理解反比例函数的本质，并强调反比例函数在实际问题中的应用价值。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的一般形式，并能准确表述。
2.学会绘制反比例函数的图象，分析图象特征，总结反比例函数的性质。
3.能够运用反比例函数的性质解决实际问题，提高数学应用能力。
4.掌握反比例函数与一次函数、二次函数等其他类型函数之间的关系，拓展函数知识体系。
（五）实施多元化评价
本案例采用多元化的评价方式，包括自评、互评、师评等，全面评价学生的学习过程和结果。这种评价方式有助于激发学生的学习动力，促使学生反思自己的学习，不断提高。
（二）问题导向
在教学过程中，我将采用问题导向法，引导学生发现问题、提出问题、解决问题。首先，通过提出问题“反比例函数的图象有什么特点？”让学生进行独立思考。然后，组织学生进行小组讨论，共同探讨反比例函数的性质。在学生掌握性质后，再提出问题：“反比例函数在实际生活中有哪些应用？”引导学生将所学知识运用到实际问题中。
（五）作业小结
为了巩固本节课的学习内容，我会布置以下作业：
1.绘制并分析至少三个不同反比例函数的图象，总结它们的性质。
2.结合实际情境，编写至少两个反比例函数的应用问题，并解答。

26.1.2反比例函数的图像与性质(教案)

2.教学难点
-理解反比例函数图像与性质之间的关系，特别是$ x $接近0时，$ y $值的变化；
-将反比例函数图像与实际情境联系起来，进行数学建模；
-解决涉及反比例函数的实际问题时，如何提取关键信息，建立数学模型。
举例：在分析反比例函数图像时，难点在于让学生理解当$ x $接近0时，$ y $值会无限增大，图像呈现出渐进线。此时，教师可通过动态演示或实际案例（如速度与时间的关系），帮助学生形象理解这一难点。
此外，课堂总结时，我询问了学生们的疑问，他们提出了一些很好的问题，这表明他们在课堂上确实有所思考。我感到欣慰的同时，也意识到自己在解答问题时需要更加耐心和细致，确保每个学生都能跟上课堂节奏。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解反比例函数的基本概念。反比例函数是形如$ y = \frac{k}{x} $（$ k \neq 0 $）的函数。它在描述一些变量关系时非常重要，如在经济学、物理学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以速度与时间的关系为例，当速度固定时，行驶的距离与时间成反比，从而引入反比例函数的概念。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了反比例函数的基本概念、图像性质和实际应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对反比例函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
三、教例函数的定义及其表达形式，强调$ k \neq 0 $的条件；
-反比例函数图像的特点，包括图像在坐标轴上的分布、对称性等；

26.1.2反比例函数图像与性质

形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的函数称为反比例函数。
表达式
反比例函数的一般表达式为 $y = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是比例系数，且 $k neq 0$。
自变量取值范围
自变量 $x$ 的取值范围
在反比例函数中，自变量 $x$ 可以取任何实数，除了使分母为零的值，即 $x neq 0$。
渐近线与交点
反比例函数的图像无限接近但不与坐标轴相交，即坐标轴是反比例函数图像的渐近线。
反比例函数的图像关于原点对称，因此它不会与坐标轴产生交点。
对称性特点
反比例函数的图像关于原点对称，即如果点$(x, y)$在反比例函数的图像上，那么点$(-x, -y)$也在反比例函数的图像上。
反比例函数的图像还关于直线$y = x$和$y = -x$对称，即如果点$(x, y)$在反比例函数的图像上，那么点$(y, x)$和$(-y, -x)$也在反比例函数的图像上。
经济学中的供需关系
02
在经济学中，价格和需求量之间的关系往往可以用反比例函数
来表示。
工程学中的压力与体积关系
03
在气体或液体中，压力和体积之间的关系可以用反比例函数来
表示。
05
拓展：复合反比例函数简介及图像性质探讨
复合反比例函数定义及表达式
定义
复合反比例函数是由两个或多个反比例函数相乘或相加得到的函数。
反比例函数的性质
当 $k < 0$ 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
典型例题解析
例题1
解析
已知反比例函数 $y = frac{m}{x}$ 的图像经过点 $A(2,3)$，求 $m$ 的值。

人教版九年级下册26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案

（1）反比例函数的定义及表达式：y = k/x (k≠0)；
（2）反比例函数图象的绘制方法：以坐标轴为基准，选取不同的x值，计算对应的y值，连接点形成图象；
（3）反比例函数的性质：
①对称性：反比例函数图象关于原点对称；
②单调性：在第一、三象限内，反比例函数为增函数；在第二、四象限内，反比例函数为减函数；
人教版九年级下册26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案
一、教学内容
人教版九年级下册26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案：
1.理解反比例函数的定义及表达式；
2.学习反比例函数图象的绘制方法；
3.掌握反比例函数的性质，包括对称性、单调性及极值等；
4.能够运用反比例函数的性质解决实际问题。
教学内容：
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调反比例函数的定义和图象性质这两个重点。对于难点部分，我会通过图象绘制和实际案例来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与反比例函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体在不同速度下的运动距离，以演示反比例函数的基本原理。
其次，在新课讲授环节，我发现理论介绍部分，学生们对反比例函数的定义和表达式掌握得还不错，但在案例分析部分，有些学生对于如何将实际问题转化为反比例函数模型感到困惑。针对这个问题，我打算在今后的教学中，多安排一些实际案例的分析，让学生有更多的机会练习和掌握这一方法。
此外，实践活动环节，学生们在分组讨论和实验操作过程中，积极参与，表现出了很高的热情。但我也注意到，有些小组在讨论过程中，对于反比例函数在实际生活中的应用还不够深入。为了提高讨论效果，我计划在今后的教学中，加强对学生的引导，鼓励他们提出更多有创意的想法，并与其他小组进行交流。

26.1.2 反比例函数的图象和性质人教版教案设计

《反比例函数的图象与性质》教学设计教学环节（二）师生活动类比探究1.例2 画出反比例函数6yx与12yx的图象。

（我们用什么方法画反比例函数的图象呢？有哪些步骤？）分析：所要画的图象是反比例函数的图象，自变量的取值范围是x≠0，怎样取值比较恰当呢？x…-12-6-4-3-2-11236yx…-1.5-26212yx…-1-2-4-6124观察反比例函数6yx与的图象，回答下列问题：(1)每个函数的图象分别位于哪些象限？(2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化?你能由他们的解析式说明理由吗？(3)对于反比例函数(0)ky kx,考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？2.画一画：回顾我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数(0)ky kx的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数(0)ky kx的图象和性质吗？请你借鉴画反比例函数6yx的图象的经验，在同一平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并说一说该函数图象的特征。

3.想一想：反比例函数6yx与6yx的图象有什么共同特点？有什么不同点？不同点由什么决定？他们有什么联系？12yx6yx教学环节（四）师生活动基础闯关1.反比例函数5yx的图象大致是（）2.已知反比例函数4kyx若函数的图象位于第一三象限，则k_____________;若在每一象限内，y随x增大而增大,请写出一个符合条件的k的值：4.画出函数4yx的图象：(1)列表(填空)：(2)描点连线：(3)由图象可知，函数4yx也由条曲线组成，分别位于第象限，试猜想：3yx的图象位于第象限.x…-8 -5 -4 -2 -1 1 2 4 5 8 …y……设计意图检验学生对本课知识的掌握及应用情况。

通过练习，既培养学生思维的敏捷性，又激发学生的参与和竞争意识.在回答过程中，教师给予适当评讲，并积极调动学生的参与热情，让整个课堂充满活跃的气氛.教学环节（五）师生活动中考链接1.已知k<0,则函数12,ky kx yx在同一坐标系中的图象大致是( )思考：把条件“k<0”改为“k≠0”结果还是一样吗？2.已知反比例函数)0≠(kxky－=的图象在第二、四象限，那么一次函数y=kx-k的图象经过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.函数kyx与)0≠(2kkkxy－=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）4.(2017江西)如图，直线)0≠(11kxky=与双曲线2(0)ky xx相交于点P(2,4).已知点A(4,0),B(0,3)，连接AB，将AOBRt△沿OP 方向平移，使点O移动到点P，得到''PBA△ .过点A'作'A C y轴交双曲线于点C。

人教版数学九年级下册26.1.2《反比例函数的图象和性质》教学设计

人教版数学九年级下册26.1.2《反比例函数的图象和性质》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册26.1.2《反比例函数的图象和性质》是反比例函数部分的重要内容。

本节内容是在学生已经掌握了比例函数的知识基础上进行学习的，通过本节课的学习，使学生理解反比例函数的概念，会画反比例函数的图象，了解反比例函数的性质，并能运用反比例函数解决一些实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于比例函数有一定的了解，但反比例函数作为一种新的函数形式，对学生来说还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探究反比例函数的图象和性质，提高学生的动手操作能力和思维能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解反比例函数的概念，会画反比例函数的图象，了解反比例函数的性质。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生自主探究的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习函数的兴趣，培养学生的团队协作精神。

四. 教学重难点1.反比例函数的概念及其图象的画法。

2.反比例函数的性质及其运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究，培养学生的动手操作能力和思维能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作反比例函数的图象和性质的课件，用于辅助教学。

2.学生活动材料：反比例函数图象和性质的练习题，用于巩固所学知识。

3.教学设备：投影仪、计算机等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾比例函数的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过课件展示反比例函数的图象和性质，引导学生观察、分析，并总结反比例函数的特点。

3.操练（10分钟）教师布置练习题，学生独立完成，巩固所学知识。

教师选取部分学生的作业进行讲解和点评。

4.巩固（5分钟）教师通过提问方式检查学生对反比例函数图象和性质的掌握情况，并对学生的回答进行指导和纠正。

26.1.2第2课时反比例函数的图象和性质的的综合运用

对称性质
反比例函数的图象关于原点对称，即如果点 $(x, y)$ 在图象上，则点 $(-x, -y)$ 也在图象上。
单调性质
截距性质
在每个象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐减小，即反比例函数在每个象限内是单调减的。
反比例函数图象与坐标轴没有交点，即没有截距。
02
反比例函数图象分析
与其他函数进行比较研究
可以将反比例函数与其他类型的函数进行比较研究，探究它们之间的异同点以及各自的优势和应用范围。
THANKS
感谢观看
03
反比例函数性质探讨
单调性判断
反比例函数在其定义域内不具备单调性。
在每一象限内，从左往右，函数值随自变量的增大而减小。
奇偶性验证
反比例函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
可以通过代入验证法，将-x代入函数表达式，验证其是否等于-f(x)。
周期性考察
反比例函数不是周期函数，即不具备周期性。
图象趋势
随着 $x$ 的增大或减小，$y$ 值相应地减小或增大，但永远不会等于零。
图象位置
当 $k > 0$ 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。
性质总结
比例性质
对于任意两个点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 在反比例函数图象上，都有 $x_1 times y_1 = x_2 times y_2 = k$。
03
通过实例分析，掌握了如何利用反比例函数解决实际问题的方
法。
拓展延伸：反比例函数在其他领域应用举例
物理学中的应用
在物理学中，反比例函数常用来描述某些物理量之间的关系，如万有引力定律中的引力与距离的