2021中考备考资料中考试题分类汇编-知识点43 数学文化

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初中数学专题讲解2《中考试题中的数学文化》

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小正方形内的概率为 ,故答案为 .
答案
第
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【文化背景】——海岛算经
《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年(公元263年)所撰,本为《九
章算术注》之第十卷,题为《重差》.全书共9题,所有问题都是利
用两次或多次测望所得的数据,来推算可望而不可及的目标的高、
深、广、远,因首题测算海岛的高、远而得名.此卷书被收集于明
在《方程》一章中,不仅阐发和增补了方程诸术,并且为这一理论
奠定了基础.盈不足术通过两次“假设检验”将一般数学问题化
为特定的盈亏类问题模式,而“方程”也是按照一定的规程进行
试验考核而得到的数学模式.
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【对接考题】
3.(2019 大同二模)《九章算术》是中国传统数学最
重要的著作之一,其中记载:“今有共买物人出八,盈
2
2
) ].现已知△ABC 的三边长分别为
1,2, 5,则△ABC 的面积为
1
.
答案
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【文化背景】——赵爽弦图
勾股定理是刻画直角三角形特征的一条重要定理,它的发现、验证、
应用蕴含着丰富的文化价值.中国古代的数学家们不仅很早就发
现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理进行了证明.最早
对勾股定理进行证明的是汉代数学家赵爽,他以“弦图”为基本
算术》(1261年)一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律.
杨辉三角
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【对接考题】
8.我们知道,很多数学知识相互之间都是有联系的.如图,图一是“杨
辉三角”数阵,其规律是从第三行起,每行两端的数都是“1”,其

【数学知识点】2021中考数学总复习知识点

【数学知识点】2021中考数学总复习知识点距离2021年中考越来越近，建议同学们可以利用这个寒假进行系统的知识点复习，这篇文章给大家分享中考数学总复习知识点，供参考。

(一)相关定义1.科学记数法：把一个数字写成的形式的记数方法。

2.统计图：形象地表示收集到的数据的图。

3.扇形统计图：用圆和扇形来表示总体和部分的关系，扇形大小反映部分占总体的百分比的大小;在扇形统计图中，每个部分占总体的百分比等于该部分对应的扇形圆心角与360°的比。

4.条形统计图：清楚地表示出每个项目的具体数目。

5.折线统计图：清楚地反映事物的变化情况。

6.确定事件包括：肯定会发生的必然事件和一定不会发生的不可能事件。

7.不确定事件：可能发生也可能不发生的事件;不确定事件发生的可能性大小不同;不确定。

8.事件的概率：可用事件结果除以所以可能结果求得理论概率。

9.算数平均数：简称“平均数”，最常用，受极端值得影响较大10.中位数：数据按大小排列，处于中间位置的数，计算简单，受极端值得影响较小。

11.众数：一组数据中出现次数最多的数据，受极端值得影响较小，跟其他数据关系不大。

(二)概率1.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率n/m会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。

2.随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。

3.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。

4.对立事件：即必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。

5.必然事件:那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件。

6.不可能事件：那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件。

7.等可能事件：通常一次实验中的某一事件由基本事件组成。

如果一次实验中可能出现的结果有n个，即此实验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么这种事件就叫做等可能事件。

(一)正负数1.正数：大于0的数。

(2021年整理)中考数学知识点梳理

中考数学知识点梳理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（中考数学知识点梳理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为中考数学知识点梳理的全部内容。

中考知识点梳理第一章：实数考点一、实数的概念及分类（3分）1、实数的概念有理数和无理数统称实数.也就是说，实数可分为有理数和无理数。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的。

无理数：无限不循环小数叫做无理数.有理数:有限小数或无限循环小数称为有理数.有限小数：特征一个最简分数的分母只含有因数2或5 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数无限循环小数（纯循环小数和混循环小数）：纯循环小数的分母中没有2和5;混循环小数的分母中有2或5也有其他质因数.2、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数3、无理数在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3)有特定结构的数，如0.1010010001…等；(4）某些三角函数，如sin60o等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a ｜≥0。

数学文化—中考复习(含练习题)【精心整理】【6本教材】

目录：数学文化——七上数学文化——七下数学文化——八上数学文化——八下数学文化——九上数学文化——九下数学文化专项练习题数学文化——七上1.中国人最先使用负数中国人很早就开始使用负数.著名的中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法。

魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(红色为正，黑色为负).追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数, 中国人最先使用负数 .2.负数的由来中国是世界上首先使用负数的国家, 战国时期李悝(约前455- -前395)所著的(法经)中已出现使用负数的实例。

1629年颇具远见的法国数学家吉拉尔(1595- -1632) 在《代数新发现》中用减号表示负数和减法运算，吉拉尔的负数符号得到人们的公认，一直沿用至今.印度最早使用负数的是婆罗摩芨多(598- -665), 他在628年完成的《婆罗摩修正体系》中给出了正数、负数的四则运算法则，认为负数就是负债和损失.西方首先使用负数的是古希腊的丢番图.（丢番图(公元3-4世纪)，古希腊数学家.丢番图对代数学和数论的发展起了极其重要的作用和深远的影响。

他有几部著作，最重要的是《算术》，还有一部《多角数》，他被后人称为“代数学之父".）负数的地位最后是由德国的维尔斯特拉斯和意大利的皮亚诺确立的。

刘徽在注解《九章算术》"方程”章时给出了正数、负数的加减法则:“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之”“异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。

遗憾的是他未能像正数、负数的加减运算那样，总结出正数、负数乘除运算的一般法则，而是通过具体的例子予以处理正数、负数的乘除法则，直到1299年元代数学家朱世杰的《算学启蒙》中才有明确记载:“同名相乘为正，异名相乘为负，同名相除所得为正，异名相除所得为负.”3.通常用z. y, z等字母表示来知数，法国数学家笛卡儿是最早这样做的人，我国古代用“天元、地元、人元、物元”等表示未知数.4.公元820年左右，中亚细亚的数学家阿尔—花拉子米曾写过一本名叫《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法，这本书对后来数学的发展产生了很大影响。

2021年最新初中数学中考专题综合复习讲义(全国通用版)

⌒
的延长线交优弧 BDA 于点 F ，如图11所示，连结 AE 、AF ，则 AE ____ AB（请在横线上填上“ ”、
“ ”、“ ”、“ ”这四个不等号中的一个）并加以证明.
二、能力提升练习
1.已知 a 、 b 互为相反数， c 、 d 互为倒数， e 为非零实数，求
2.已知 | a 4 |
在 RtABE 中， AEB BAE 90 ∴ BAE CED
BE
C
图1
－２－
∴ RtABE ∽ RtECD ∴ AB BE
EC CD 又∵ BE : EC 1: 2 ，且 BC 12 及 DC 7 ∴ AB 4
87 ∴ AB 32
7 规律总结：几何中求线段的长常常利用到全等三角形、相似三角形，解直角三角形、圆的切线长定理、相交弦定理等知识，关键是找出条件与结论之间存在的数量关系，并利用此关系列方程或方程组解题。常见错误：思维混乱，审题不清，找不准已知与所求之间存在的联系而导致出错。
0
3
思路点拨：本题考查实数的运算，具体解法为：
解：原式 4 2 2 2 1 4 2 1 3 2
规律总结：实数的运算首先注意运算顺序，其次注意运算律的灵活应用，再者注意结果的最简
性，另外 a 0
1， ap
1 ap
（a
0，
p 为整数）也是历届中考考查的重点，必须深入理解。
常见错误：（1）符号处理不当，如 22 4 ， 1
b
9
0 ，计算
a 2 ab b2
a2 a2
ab b2
的值.
2a b 1 cd 2e .
2
3.已知关于
x
，
y
的方程组
x y a 3 2x y 5a

河南中考总复习之中考试题中的数学文化专题

中考试题中的数学文化《九章算术》——正负术中国古代著名的数学专著《九章算术》(成书于公元一世纪)中，最早提出了正负数加减法的法则：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之．”这里的“名”就是“号”，“除”就是“减”，“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”，“无”就是“零”．1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温为零上10℃记作＋10℃，则－3℃表示气温为( )A. 零上3℃B. 零下3℃C. 零上7℃D. 零下7℃2. 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为________．第2题图中考试题中的数学文化一、《庄子·天下篇》《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，每天去掉一半，第n 天还剩下12n ，当n 趋于无穷大时，12n 趋于0，但永远不是0，也就是永远取不完． 1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为14尺，…，第n 天折断一半后得到的木棍长应为________尺．二、斐波那契《计算之书》十三世纪意大利数学家斐波那契的《计算之书》是中世纪晚期欧洲重要的数学著作，在13到16世纪对欧洲算法化数学发展、商业数学革命、以及数学教育变革等方面产生了广泛的影响．2.13世纪数学家斐波那契的《计算之书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为()A. 42B. 49C. 76D. 77三、结绳记数“结绳记数”是远古时代的人最常用的记数方法，因为那个时候还没有发明阿拉伯数字，人们在记数的时候，就只能借助外物的帮助了．所谓“结绳记数”就是用打绳结的办法来计算物体的数量．传说，古代的国王们出去打仗的时候，因为没有日历，就采取在绳子上打结的办法计算天数，当绳子上所有的结都被打开的时候，也就是战争该结束的时候．3. (2018恩施州)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为________个．第3题图四、杨辉三角杨辉三角，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年．4.(2019永州)我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方(a＋b)n的展开式(按b的升幂排列)，经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s＋x)15的展开式按x的升幂排列得：(s＋x)15＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15.依上述规律，解决下列问题：(1)若s＝1，则a2＝________；(2)若s＝2，则a0＋a1＋a2＋…a15＝________.第4题图中考试题中的数学文化无理数的发现最早把数的概念提到突出地位的是毕达哥拉斯学派，亦称“南意大利学派”，是前800～前500年古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派．其学派中的一员希伯索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示．希伯索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2的诞生．1. 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数2，导致了第一次数学危机.2是无理数的证明如下：假设2是有理数，那么它可以表示成q p (p 与q 是互质的两个正整数)．于是(q p)2＝(2)2＝2，所以，q 2＝2p 2.于是q 2是偶数，进而q 是偶数．从而可设q ＝2m ，所以(2m )2＝2p 2，p 2＝2m 2，于是可得p 也是偶数．这与“p 与q 是互质的两个正整数”矛盾，从而可知“2是有理数”的假设不成立，所以，2是无理数．这种证明“2是无理数”的方法是( )A. 综合法B. 反证法C. 举反例法D. 数学归纳法中考试题中的数学文化一、《御制数理精蕴》《御制数理精蕴》一般称《数理精蕴》，是由清康熙皇帝所亲自编写的，介绍包括西方数学知识的数学百科全书．1. (2019舟山)中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为( )A. ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝383x ＋5y ＝48B. ⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋6x ＝483y ＋5x ＝38C. ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝485x ＋3y ＝38D. ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝483x ＋5y ＝38 二、《九章算术》——方程术《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就，书中收集了246个与生产、生活实践有联系的应用问题．2. (2019兰州)《九章算术》是中国古代数学著作之一．书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为( )A. ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝15x －y ＝6y －xB. ⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ＝15x ＋y ＝6y ＋x C. ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝14x ＋y ＝5y ＋x D. ⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ＝14x －y ＝5y －x 三、《九章算术》——有女善织3. (2019岳阳)我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布________尺．四、《孙子算经》——折绳测木4. (2019长沙)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是( )A. ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4.50.5y ＝x －1B. ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4.5y ＝2x －1 C. ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4.50.5y ＝x ＋1 D. ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4.5y ＝2x ＋1 五、《孙子算经》——百鹿入城5. (2018安徽)《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完．问：城中有多少户人家？请解答上述问题．中考试题中的数学文化一、一元二次方程的图解法古希腊数学家丢番图在公元250年前在《算术》中就提出一元二次方程的问题，不过当时人们还没有找到一元二次方程的求根公式，只能用图解法求解，在欧几里得的《几何原本》中，就给出了形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法．1. (2018舟山)欧几里得的《原本》记载，形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝a 2，则该方程的一个正根是( )第1题图A. AC 的长B. AD 的长C. BC 的长D. CD 的长【拓展设问】上述求解方法运用的数学思想是( )A. 整体思想B. 类比思想C. 方程思想D. 数形结合思想二、《杨辉算法》——田亩比类乘除捷法《杨辉算法》包括《乘除通变算宝》、《田亩比类乘除捷法》和《续古摘奇算法》三部书，此外还有《日用算法》残卷，它们是南宋实用算书的代表作．其中《田亩比类乘除捷法》中列出了各种形状的田地求积公式及例题，并结合当时实际需要的问题进行归类，关乎国计民生，意义非同寻常．2. 《杨辉算法》中有一题：“ 直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文为：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？三、执竿入城3. 一道古算题：有执长竿入城门者，横执之多六尺，竖执之多三尺．有老父至，教他斜竿对两角，不多不少刚抵足，借问竿长多少数？大意如下：某人拿着长竹竿进城门，横着拿竿多六尺，竖着拿竿多三尺，有一个经验丰富的老者，教他斜着拿竹竿进城门，竹竿刚好就是城门斜对角线的长度，正好可以进城，问竹竿长多少尺？(城门为矩形)四、《九章算术》——勾股4. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)中考试题中的数学文化一、海伦——秦九韶公式古希腊的几何学家海伦，约公元50年，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了如下公式：若一个三角形的三边分别为a 、b 、c ，记p ＝12(a ＋b ＋c )，那么三角形的面积为：S △ABC ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）(海伦公式)．我国南宋时期数学家秦九韶(约1202－约1261)，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：S △ABC ＝14[a 2b 2－（a 2＋b 2－c 22）2] .海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们一般也称此公式为海伦—秦九韶公式．1. (2019宜昌)古希腊几何学家海伦和我国南宋数第1题图学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记p ＝a ＋b ＋c 2，那么三角形的面积为S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）.如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为()A. 66B. 63C. 18D. 19 2二、《周髀算经》——勾股定理勾股定理是一个基本的几何定理，在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又称之为商高定理；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方．也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2.勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一．赵爽在注解《周髀算经》中给出了“赵爽弦图”证明了勾股定理的准确性．2.(2019宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积．则一定能求出()第2题图A. 直角三角形的面积B. 最大正方形的面积C. 较小两个正方形重叠部分的面积D. 最大正方形与直角三角形的面积和三、《九章算术》——折竹抵地3. (2019德阳改编)《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地．去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈＝10尺)，现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，求折断处离地面的距离．一、《九章算术》——井深几何1.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为()A. 1.25尺B. 57.5尺C. 6.25尺D. 56.5尺第1题图二、《孙子算经》——测影长2.(2018长春)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为()第2题图A. 五丈B. 四丈五尺C. 一丈D. 五尺三、《九章算术》——勾股容方3.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B 处的树木，求正方形城池的边长．第3题图赵爽弦图赵爽，三国吴人，是三国到南宋时期三百多年间中国杰出的数学家之一．他在注解《周髀算经》中给出的“赵爽弦图”证明了勾股定理的准确性，如图所示，四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，中间空的是一个小正方形．通过对这个图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．证明方法如下：设直角三角形的三边中较短的直角边为a，另一直角边为b，斜边为c，朱实面积＝2ab，黄实面积＝(b－a)2＝b2－2ab＋a2，朱实面积＋黄实面积＝a2＋b2＝大正方形面积＝c2.1. (2019绵阳)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”第1题图如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sinθ－cosθ)2＝()A. 15 B.55 C.355 D.95中考试题中的数学文化一、七巧板七巧板是古代中国劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型．明、清两代在中国民间广泛流传，清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．在18世纪，七巧板流传到了国外．李约瑟说它是东方最古老的消遣品之一，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．1.(2019苏州)“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为10 cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为________cm(结果保留根号)．第1题图二、赵爽弦图2.公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，求小正方形ABCD的面积．第2题图一、《九章算术》——圆材埋壁1.(2019广西北部湾经济区)《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为________寸．第1题图二、《农政全书》——筒车2.(2019安徽)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图①，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图②，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB的长为6米，∠OAB＝41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C，O的连线垂直于AB)，求点C到弦AB所在直线的距离．(参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88)第2题图《九章算术》——勾股容圆1.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径．．是多少步．”该问题的答案是________步．《九章算术》——割圆术1. (2019孝感)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算第1题图圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S 1来近似估计⊙O 的面积S ，设⊙O 的半径为1，则S －S 1＝______．(π取3.14)2. (2018宜宾)刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设⊙O 的半径为1，若用⊙O 的外切正六边形的面积S 来近似估计⊙O 的面积，则S ＝________．(结果保留根号)参考答案中考试题中的数学文化1. B 【解析】用正负数来表示具有相反意义的两个量：正表示零上温度，则负表示零下温度．∵气温零上10 ∵记作＋10 ∵，∵－3 ∵表示零下3 ∵，故选B .2. －3 【解析】∵图∵中小棍正放2个，斜放5个，∵所得数值为(＋2)＋(－5)＝2－5＝－3.中考试题中的数学文化1. (12)n 【解析】∵第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为14尺，14＝(12)2，第三天再折断一半，其长为18尺，18＝(12)3，∵第n 天折断一半后得到的木棍长为(12)n 尺． 2. C3. 1838 【解析】由题意，在绳子打结的过程中满六进一，可得该图示为六进制数，化为十进制数为1×64＋2×63＋3×62＋0×61＋2×60＝1838.4. (1)105；(2)315.【解析】(1)由题图二知：(a ＋b )1的第三项系数为0，(a ＋b )2的第三项系数为1，(a ＋b )3的第三项系数为3＝1＋2，(a ＋b )4的第三项系数为6＝1＋2＋3，…，发现(1＋x )n 的第三项系数为1＋2＋3＋…＋(n －2)＋(n －1)，又∵s ＝1，则a 2＝1＋2＋3＋…＋14＝105；(2)∵(s ＋x )15＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 15x 15，当x ＝1，s ＝2时，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 15＝(2＋1)15＝315.中考试题中的数学文化1. B中考试题中的数学文化1. D 【解析】四匹马的价钱为4x 两，六头牛的价钱为6y 两，由“马四匹，牛六头，共价四十八两”得方程4x ＋6y ＝48；三匹马的价钱为3x 两，五头牛的价钱为5y 两，由“马三匹，牛五头，共价三十八两”可得方程3x ＋5y ＝38，则可列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝483x ＋5y ＝38. 2. C 【解析】根据题意可列方程为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝14x ＋y ＝5y ＋x . 3. 531【解析】设该女子第一天织布x 尺，则第二天织布2x 尺，第三天织布4x 尺，第四天织布8x 尺，第五天织布16x 尺，根据题意可得：x ＋2x ＋4x ＋8x ＋16x ＝5，解得x ＝531，即该女子第一天织布531尺． 4. A 【解析】由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4.50.5y ＝x －1. 5. 解：设城中有x 户人家，由题意得x ＋x 3＝100，解得x ＝75.答：城中有75户人家．中考试题中的数学文化1. B 【解析】方程x 2＋ax ＝b 2两边同时加(a 2)2，得x 2＋ax ＋(a 2)2＝b 2＋(a 2)2，即(x ＋a 2)2＝b 2＋(a 2)2，在Rt △ABC 中，AC ＝b ，BC ＝a 2，∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝b 2＋(a 2)2，∴(x ＋a 2)2＝AB 2，又∵BD ＝a 2，AD ＋BD ＝AB ，∴x 表示的是AD 的长．【拓展设问】D2. 解：设矩形田地的长为x 步(x ＞30)，则宽为(60－x )步，根据题意得x (60－x )＝864，整理得x 2－60x ＋864＝0，解得x ＝36或x ＝24(舍去)，∴x －(60－x )＝12.答：矩形田地的长比宽多12步．3. 解：设竹竿长x 尺，由题意得，(x －6)2＋(x －3)2＝x 2解得x 1＝15，x 2＝3(舍去)，答：竹竿长为15尺．4. 解：设高是x 尺，则宽是(x －6.8)尺，根据题意得，x 2＋(x －6.8)2＝102，解得x ＝9.6或x ＝－2.8(舍去)．则宽是9.6－6.8＝2.8(尺)．答：门的高是9.6尺，宽是2.8尺．中考试题中的数学文化1. A 【解析】由题意可知p ＝a ＋b ＋c 2＝9， ∴S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）＝9×4×3×2＝6 6.2. C 【解析】设直角三角形三边长分别为a ，b ，c ，不妨设a <b <c ，则a 2＋b 2＝c 2，把阴影部分分割成两个矩形来表示面积，则S 阴影＝b (c －b )＋(c －b )(c －a )＝c 2－b 2＋ab －ac ＝a 2＋ab －ac .而两个较小正方形重叠部分的面积为a (a ＋b －c )＝a 2＋ab －ac .故选C .3. 解：设折断处离地面的距离为x 尺，则折断处离尖端的距离为(10－x )尺，根据题意可得x 2＋32＝(10－x )2，解得x ＝4.55.∴折断处离地面的距离为4.55尺．中考试题中的数学文化1. B 【解析】依题意可得：△ABF ∽△ADE ，∴AB ∶AD ＝BF ∶DE ，即5∶AD ＝0.4∶5，解得AD ＝62.5，∴BD ＝AD －AB ＝62.5－5＝57.5尺．2. B 【解析】设竹竿的长度为x 尺， ∵竹竿的影长为一丈五尺＝15尺，标杆长为一尺五寸＝1.5尺，影长五寸为0.5尺， ∴x 15＝1.50.5，解得x ＝45，即竹竿长为4丈5尺． 3. 解：依题意得AB ＝30步，CD ＝750步，解法一：设AE 为x 步，则正方形边长为2x 步，根据题意，得Rt △ABE ∽Rt △CED ，∴AB CE ＝AE CD. 即30x ＝x 750. 解得x 1＝150，x 2＝－150(不合题意，舍去)．∴2x ＝300.∴正方形城池的边长为300步．解法二：设正方形城池的边长为x 步，根据题意得，Rt △ABE ∽Rt △CED ，∴AB CE ＝AE CD.即3012x ＝12x 750. 解得x 1＝300，x 2＝－300(不合题意，舍去)．∴正方形城池的边长为300步．中考试题中的数学文化1. A 【解析】∵大正方形的面积是125，小正方形的面积是25，∴大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，∴55cos θ－55sin θ＝5，∴cos θ－sin θ＝55，∴(sin θ－cos θ)2＝[－(cos θ－sin θ)]2＝15.中考试题中的数学文化1. 522【解析】如解图，由题意可知正方形ABCD 的边长AB ＝10 cm ，∵△AOB 是等腰直角三角形，∴AO ＝BO ＝52，∵△BEF 是等腰直角三角形，∴BE ＝EF ，∵四边形OEFG 是正方形，∴OE ＝EF ＝BE ，∴OE ＝522.第1题解图2. 解：∵勾a ＝6，弦c ＝10，∴股b ＝8，∴AD ＝8－6＝2，∴小正方形ABCD 的面积是2×2＝4.中考试题中的数学文化1. 26 【解析】如解图，作DE ⊥AB 于点H ，连接OA ，由题意可得DH ＝1寸，AB ＝1尺＝10寸，∴AH ＝BH ＝12AB ＝5寸．设OH ＝x 寸，∴OD ＝OA ＝(x ＋1)寸，∴(x ＋1)2＝x 2＋52，解得x ＝12，∴OA ＝OD ＝13 寸，∴DE ＝2OD ＝26 寸，即圆材的直径为26寸．第1题解图2. 解：如解图，连接CO 并延长，交AB 于点D ，则CD ⊥AB ，∴D 为AB 的中点，所求运行轨道的最高点C 到弦AB 所在直线的距离即为线段CD 的长．在Rt △AOD 中，∵AD ＝12AB ＝3，∠OAD ＝41.3°， ∴OD ＝AD ·tan 41.3°≈3×0.88＝2.64，OA ＝AD cos 41.3°≈30.75＝4， ∴CD ＝CO ＋OD ＝AO ＋OD ＝4＋2.64＝6.64(米)．答：运行轨道的最高点C 到弦AB 所在直线的距离约为6.64米．第2题解图中考试题中的数学文化1. 6 【解析】由勾股定理得，斜边＝152＋82＝17.如解图，⊙O 是△ABC 的内切圆，AB ＝8，BC ＝15，AC ＝17，设⊙O 的半径为r ，则BE ＝OE ＝OF ＝BF ＝OG ＝r ，AE ＝AG ，CG ＝CF ，∴FC ＝AC －AG ＝AC －(AB －r )，即15－r ＝17－(8－r )，解得2r ＝15＋8－17＝6. 即该直角三角形的内切圆直径是6.第1题解图中考试题中的数学文化1. 0.14 【解析】如解图，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，由题意可得∠AOB ＝360°12＝30°，OA ＝OB ＝1，∴AC ＝12，圆内接正十二边形的面积S 1＝12S △OAB ＝12×12×1×12＝3，⊙O 的面积S ＝πr 2＝3.14，∴S －S 1＝3.14－3＝0.14.第1题解图2. 23 【解析】如解图，易证△AOB 为等边三角形，则∠OAB ＝60°.设G 为正六边形ABCDEF 与⊙O的切点，则OG ⊥AB ，在Rt △OAG 中，AG ＝OG tan ∠OAB ＝1tan 60°＝33.∴S ＝12×S △AOG ＝12×12AG ·GO ＝12×12×33×1＝2 3.第2题解图。

2021年中考数学复习资料

2021年中考数学复习资料一、实数考点一、实数的概念及分类（3分） 1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3分） 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a ＝﹣b ，反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根（3~10分） 1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a 的平方根记做“a ±”。

2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

3、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

考点四、科学记数法和近似数（3—6分） 1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

(2021年整理)初三中考数学总复习《知识点》

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中考数学总复习资料代数部分第一章:实数基础知识点：一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数:任何一个有理数总可以写成qp 的形式,其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根,如2、34；特定结构的不限环无限小数,如1。

101001000100001……;特定意义的数，如π、45sin °等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

河南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类(含答案)

河南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类一．相反数（共1小题）1．（2022•河南）﹣的相反数是（）A．B．2C．﹣2D．﹣二．绝对值（共1小题）2．（2022•大连）﹣2的绝对值是（）A．2B．﹣2C．D．﹣三．科学记数法—表示较大的数（共3小题）3．（2023•河南）2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“4.59亿”用科学记数法表示为（）A．4.59×107B．45.9×108C．4.59×108D．0.459×109 4．（2022•河南）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1亿．则1兆等于（）A．108B．1012C．1016D．1024 5．（2021•河南）河南人民济困最“给力”！据报道，2020年河南省人民在济困方面捐款达到2.94亿元．数据“2.94亿”用科学记数法表示为（）A．2.94×107B．2.94×108C．0.294×108D．0.294×109四．实数大小比较（共1小题）6．（2023•河南）下列各数中最小的数是（）A．﹣1B．0C．1D．五．完全平方公式（共1小题）7．（2021•河南）下列运算正确的是（）A．（﹣a）2＝﹣a2B．2a2﹣a2＝2C．a2•a＝a3D．（a﹣1）2＝a2﹣1六．分式的加减法（共1小题）8．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2七．二次根式的性质与化简（共1小题）9．（2022•河南）下列运算正确的是（）A．2﹣＝2B．（a+1）2＝a2+1C．（a2）3＝a5D．2a2•a＝2a3八．根的判别式（共3小题）10．（2023•河南）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根11．（2022•河南）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根12．（2021•河南）若方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（）A．﹣1B．0C．1D．九．规律型：点的坐标（共1小题）13．（2022•河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（）A．（，﹣1）B．（﹣1，﹣）C．（﹣，﹣1）D．（1，）一十．函数的图象（共1小题）14．（2022•河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（）A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小B．当K＝0时，R1的阻值为100ΩC．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态一十一．动点问题的函数图象（共2小题）15．（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6B．3C．D．16．（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4B．5C．6D．7一十二．二次函数的性质（共1小题）17．（2023•河南）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限一十三．专题：正方体相对两个面上的文字（共1小题）18．（2022•河南）2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合•人心同”的中华文化内涵．将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是（）A．合B．同C．心D．人一十四．对顶角、邻补角（共1小题）19．（2023•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE 的度数为（）A．30°B．50°C．60°D．80°一十五．垂线（共1小题）20．（2022•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A．26°B．36°C．44°D．54°一十六．平行线的性质（共1小题）21．（2021•河南）如图，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°一十七．菱形的性质（共2小题）22．（2022•河南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．12C．24D．48 23．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）A．四条边相等B．对角线互相垂直C．对角线相等D．是轴对称图形一十八．圆周角定理（共1小题）24．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°一十九．旋转的性质（共1小题）25．（2021•河南）如图，▱OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D．将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为（）A．（2，0）B．（2，0）C．（2+1，0）D．（2+1，0）二十．简单几何体的三视图（共1小题）26．（2023•河南）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同C．左视图与俯视图相同D．三种视图都相同二十一．简单组合体的三视图（共1小题）27．（2021•河南）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）A．B．C．D．二十二．众数（共1小题）28．（2022•河南）如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为（）A．5分B．4分C．3分D．45%二十三．列表法与树状图法（共2小题）29．（2023•河南）为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（）A．B．C．D．30．（2021•河南）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（）A．B．C．D．河南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类参考答案与试题解析一．相反数（共1小题）1．（2022•河南）﹣的相反数是（）A．B．2C．﹣2D．﹣【答案】A【解答】解：﹣的相反数是，故选：A．二．绝对值（共1小题）2．（2022•大连）﹣2的绝对值是（）A．2B．﹣2C．D．﹣【答案】A【解答】解：﹣2的绝对值是2，即|﹣2|＝2．故选：A．三．科学记数法—表示较大的数（共3小题）3．（2023•河南）2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“4.59亿”用科学记数法表示为（）A．4.59×107B．45.9×108C．4.59×108D．0.459×109【答案】C【解答】解：4.59亿＝459000000＝4.59×108．故选：C．4．（2022•河南）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1亿．则1兆等于（）A．108B．1012C．1016D．1024【答案】B【解答】解：1兆＝104×108＝1012，故选：B．5．（2021•河南）河南人民济困最“给力”！据报道，2020年河南省人民在济困方面捐款达到2.94亿元．数据“2.94亿”用科学记数法表示为（）A．2.94×107B．2.94×108C．0.294×108D．0.294×109【答案】B【解答】解：2.94亿＝294000000＝2.94×108，故选：B．四．实数大小比较（共1小题）6．（2023•河南）下列各数中最小的数是（）A．﹣1B．0C．1D．【答案】A【解答】解：∵1＜3＜4，∴1，根据实数的大小可得：，所以﹣1最小．故选：A．五．完全平方公式（共1小题）7．（2021•河南）下列运算正确的是（）A．（﹣a）2＝﹣a2B．2a2﹣a2＝2C．a2•a＝a3D．（a﹣1）2＝a2﹣1【答案】C【解答】解：A．（﹣a）2＝a2，故本选项不符合题意；B.2a2﹣a2＝a2，故本选项不符合题意；C．a2•a＝a3，故本选项符合题意；D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故本选项不符合题意；故选：C．六．分式的加减法（共1小题）8．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．七．二次根式的性质与化简（共1小题）9．（2022•河南）下列运算正确的是（）A．2﹣＝2B．（a+1）2＝a2+1C．（a2）3＝a5D．2a2•a＝2a3【答案】D【解答】解：A、，故A不符合题意；B、（a+1）2＝a2+2a+1，故B不符合题意；C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；D、2a2•a＝2a3，故D符合题意．故选：D．八．根的判别式（共3小题）10．（2023•河南）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．11．（2022•河南）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根【答案】A【解答】解：在一元二次方程x2+x﹣1＝0中，a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选：A．12．（2021•河南）若方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（）A．﹣1B．0C．1D．【答案】D【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，解得：m＞1，∴m只能为，故选：D．九．规律型：点的坐标（共1小题）13．（2022•河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（）A．（，﹣1）B．（﹣1，﹣）C．（﹣，﹣1）D．（1，）【答案】B【解答】解：∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，∴OA＝AB＝2，∠BAO＝60°，∵AB∥x轴，∴∠APO＝90°，∴∠AOP＝30°，∴AP＝1，OP＝，∴A（1，），∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知点A2与D重合，由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环，∴2022÷4＝505……2，∴点A2022与点A2重合，∵点A2与点A关于原点O对称，∴A2（﹣1，﹣），∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为（﹣1，﹣），故选：B．一十．函数的图象（共1小题）14．（2022•河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（）A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小B．当K＝0时，R1的阻值为100ΩC．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态【答案】C【解答】解：由图2可知，呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小，故A正确，不符合题意；由图2知，K＝0时，R1的阻值为100，故B正确，不符合题意；由图3知，当K＝10时，M＝2200×10×10﹣3＝22（mg/100mL），∴当K＝10时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意；由图2知，当R1＝20时，K＝40，∴M＝2200×40×10﹣3＝88（mg/100mL），∴该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意；故选：C．一十一．动点问题的函数图象（共2小题）15．（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6B．3C．D．【答案】A【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O 沿直线运动到顶点B，\结合图象可知，当点P在AO上运动时，，∴PB＝PC，，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，∴OB＝，即AO＝OB＝，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，过点O作OC⊥AB，垂足为D，∴AD＝BD，则AD＝AO•cos30°＝3，∴AB＝AD+BD＝6，即等边三角形ABC的边长为6．故选：A．16．（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC 的长为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．∴y的最大值为AE，∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，设BE的长度为t，则BA＝t+1，∴（t+1）2+t2＝25，即：t2+t﹣12＝0，∴（t+4）（t﹣3）＝0，由于t＞0，∴t+4＞0，∴t﹣3＝0，∴t＝3．∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．故选：C．一十二．二次函数的性质（共1小题）17．（2023•河南）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解答】解：由函数图象可得，a＜0，﹣＞0，∴b＞0，∴y＝x+b的图象过一，二，三象限，不过第四象限，故选：D．一十三．专题：正方体相对两个面上的文字（共1小题）18．（2022•河南）2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合•人心同”的中华文化内涵．将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是（）A．合B．同C．心D．人【答案】D【解答】解：在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是人，故选：D．一十四．对顶角、邻补角（共1小题）19．（2023•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE 的度数为（）A．30°B．50°C．60°D．80°【答案】B【解答】解：∵∠AOD＝∠1＝80°，∴∠AOE＝∠AOD﹣∠2＝80°﹣30°＝50°．故选：B．一十五．垂线（共1小题）20．（2022•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A．26°B．36°C．44°D．54°【答案】B【解答】解：∵EO⊥CD，∴∠COE＝90°，∵∠1+∠COE+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．故选：B．一十六．平行线的性质（共1小题）21．（2021•河南）如图，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°【答案】D【解答】解：由图得∠2的补角和∠1是同位角，∵∠1＝60°且a∥b，∴∠1的同位角也是60°，∠2＝180°﹣60°＝120°，故选：D．一十七．菱形的性质（共2小题）22．（2022•河南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．12C．24D．48【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴△COD为直角三角形．∵OE＝3，点E为线段CD的中点，∴CD＝2OE＝6．∴C菱形ABCD＝4CD＝4×6＝24．故选：C．23．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）A．四条边相等B．对角线互相垂直C．对角线相等D．是轴对称图形【答案】C【解答】解：A．菱形的四条边相等，故选项A不符合题意，B．菱形的对角线互相垂直，故选项B不符合题意，C．菱形的对角线不一定相等，故选项C符合题意，D．菱形是轴对称图形，故选项D不符合题意，故选：C．一十八．圆周角定理（共1小题）24．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】D【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，∴∠AOB＝110°，故选：D．一十九．旋转的性质（共1小题）25．（2021•河南）如图，▱OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D．将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为（）A．（2，0）B．（2，0）C．（2+1，0）D．（2+1，0）【答案】B【解答】解：延长A′D′交y轴于点E，延长D′A′，由题意D′A′的延长线经过点C，如图，∵A（1，2），∴AD＝1，OD＝2，∴OA＝．由题意：△OA′D′≌△OAD，∴A′D′＝AD＝1，OA′＝OA＝，OD′＝OD＝2，∠A′D′O＝∠ADO＝90°，∠A′OD′＝∠DOD′．则OD′⊥A′E，OA平分∠A′OE，∴△A′OE为等腰三角形．∴OE＝OA′＝，ED′＝A′D′＝1．∵EO⊥OC，OD′⊥EC，∴△OED′∽△CEO．∴．∴．∴OC＝2．∴C（2，0）．故选：B．二十．简单几何体的三视图（共1小题）26．（2023•河南）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同C．左视图与俯视图相同D．三种视图都相同【答案】A【解答】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．故选：A．二十一．简单组合体的三视图（共1小题）27．（2021•河南）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：该几何体的主视图有三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层主视图为两个正方形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的．故选：A．二十二．众数（共1小题）28．（2022•河南）如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为（）A．5分B．4分C．3分D．45%【答案】B【解答】解：由扇形统计图知，得4分的人数占总人数的45%，人数最多，所以所打分数的众数为4分，故选：B．二十三．列表法与树状图法（共2小题）29．（2023•河南）为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：把三部影片分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中七、八年级选择的影片相同的结果有3种，∴这两个年级选择的影片相同的概率为＝，故选：B．30．（2021•河南）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：把4张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，∴两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率为＝，故选：A．。

2021年中考数学复习数学文化(四)(精讲课件)

则称点P为△ABC的布罗卡点，三角形的布罗卡点是法国数学家
和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布
罗卡重新发现，并用他的名字命名，布罗卡点的再次发现，引
发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA＝CB，
∠ACB＝120°，P为△ABC的布罗卡点，若PA＝
PC＝
1＋
3 3
．
3 ，则PB＋
2021年中考数学复习精讲课件
数学文化(四)
数来知往
一、将军饮马 1．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？请你用所学的数学知识在图2中画出．
多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算
KC的长为
2000 3
步．
学无止境
本课结束
6．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股 ”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步
(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点
，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门
解：如图所示：
2．如图，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知OA＝2 km，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．
解：分别画出点A关于OM，ON的对称点B，C，连接BC交 OM，ON于点D，E，连接AD，AE，则线段AD，DE，EA即为所示路径；由题意得，OB＝OA＝2，三角形OBC为等边三角形，∴BC＝2，故其总路程为2 km.

2021年中考数学专题复习大全(133页)

2021年中考数学专题复习大全（133页）----eacd40a8-6ea1-11ec-b8a8-7cb59b590d7d2021年中考数学专题复习大全（硕士总结精髓、知识点总结+实操+详细答案）专题一有理数复习教材，分析知识1.________和________统称为有理数．有理数还可以分为________、________和________三类．2.数字轴的三个元素分别为___3．一个数的绝对值等于数轴上表示这个数的点到原点之间的________．正数的绝对值是________，负数的绝对值是____________，0的绝对值是________．4.如果只有两个数字______;如果它们不同，那么其中一个被称为另一个的相反数字，也被称为______，相反的数字0是___5．科学记数法：把一个绝对值大于10的数记作__________的形式，其中a是整数数位只有一位的数(即1≤|a|＜10)，n等于原数的____________．6.有理数混合运算顺序：计算。

据了解，动物园以4kg为标准，对6只成年麦哲伦企鹅进行称重和检测，超过或不足的千克数分别用正数和负数表示。

称重记录如下表所示，用于计算6只企鹅的总重量编号差值(kg)高中入学考试风向标：以实际生活中的题材为背景，结合当今社会的热点问题考查有理数的相关知识是中考命题的一个热点．这类考题联系实际，灵活多变．解决此类问题时，要将探究的实际问题转化为数学问题，构造出相应的数学模型，通过对数学模型探究结果的解释，使实际问题得以解1－0.082＋0.093＋0.054－0.055＋0.086＋0.06决．这种变体有四包真空小包装火腿。

每个包装以标准克（450克）为基数。

超出的克数记录为正数，不足的克数记录为负数。

以下数据显示，实际克数最接近标准克数（）a．＋2b．－3c．＋3d．＋4课后自测我当先1.2021张家界2021的绝对值是()11a．2021b．－2021c.d．－202120212.2022株洲数据显示，地球上的海洋面积约为3.6亿平方公里。

2021年中考数学专项训练：数学文化(含答案)

一、选择题8.(2020·宁波)我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长尺，那么可列方程组为A ． 4.50.51y x y x ⎩=+=⎧⎨-B ． 4.521y x y x ⎧⎨⎩=+=-C ． 4.50.51y x y x ⎩=-=⎧⎨+D ． 4.521y x y x ⎧⎨⎩=-=- {答案}A{解析}根据“用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺”得y ＝x ＋4.5；由绳子对折再量木条，木条剩余1尺得0.5y ＝x －1，所以所列方程组为 4.50.51y x y x ⎩=+=⎧⎨-，因此本题选A ． 10．（2020湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）A ．1和1B ．1和2C ．2和1D ．2和2【分析】根据要求拼平行四边形矩形即可．【解答】解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：故选：D ．7. （2020·盐城）把19-这9个数填入33⨯方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”.它源于我国古代的“洛書”(图①)，是世界上最早的“幻方”.图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x 的值为:（）A．1B．3C．4D．67．A，解析：本题考查“幻方”，可利用方程思想，由图可知对角线和为15，从而求出右下角的数为6，再列8+x+6＝15,则x＝1 因此本题选A．7.（2020·达州）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”.如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数由图可知，孩子自出生后的天数是（）A.10B.89C.165D.294{答案}D{解析}由“在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1”可知：最右侧一列绳子上的1个结代表1，右侧第二列绳子上的1个结代表5，右侧第三列绳子上的1个结代表25，右侧第四列绳子上的1个结代表125，所以孩子出生的天数=4＋3×5＋1×25＋2×125=294．13．（2020·随州）幻方是相当古老的数学问顾，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图.将数字1-9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为 .{答案}9{解析}本题考查了有理数的加减运算，解答过程如下：∵每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，∴左上角的数字为15-7-2=6，∴右下角的数字为15-6-5=4，∴m=15-4-2=9.（2020·山西）5．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似第5题图{答案}D{解析}本题考查了数学文化，泰勒斯的测量原理是图形的相似．10．（2020·内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意方程是（）A. ()1552x x =--B. ()1552x x =++C. ()255x x =--D. ()255x x =++{答案} A{解析}本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．设索为x 尺，杆子为(5x -)尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x 一元一次方程．设索为x 尺，杆子为(5x -)尺，根据题意得：12x =(5x -)5-．因此本题选A ． 10．（2020·临沂）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前.其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少？设有x 人，y 辆车，可列方程组为（） A.2392x y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B.2392x y x y ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩C.2392x y x y ⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩D.2392x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ {答案}B{解析}根据题目已知条件“若每辆车乘坐3人，则空余两辆车”可知：实际乘坐车辆数和车辆总数相差2，即：23x y =-；同时，根据“每辆车乘坐2人，则有9人步行”可得：用总人数减去步行的9人，就是实际乘车人数，进而可以计算出车的总数，即：92x y -=；所以符合要求是B 选项. 5．（2020•呼和浩特）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（）A ．102里B ．126里C ．192里D ．198里【解析】设第六天走的路程为x 里，则第五天走的路程为2x 里，依此往前推，第一天走的路程为32x 里，依题意，得：x +2x +4x +8x +16x +32x ＝378，解得：x ＝6．32x ＝192，6+192＝198，∴此人第一和第六这两天共走了198里，故选：D ．二、填空题15．（2020·嘉兴）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x 人，则可列方程．{答案}10406x x =+ {解析}本题考查了分式方程的应用，根据第二次每人所得与第一次相同列方程求解.第一次分得的钱为10x ，第二次分得的钱为406x +，因此本题答案为10406x x =+．（2020·江西）9.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是．【解析】依题意可得，有两个尖头表示20102=⨯，有5个丁头表示15⨯，故这个两位数为2513．（2020·襄阳）《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为━或﹣﹣），如正北方向的卦为．从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根━和1根﹣﹣的概率为__________．{答案}14．{解析}因为图中8卦里有2卦“恰有2根━和1根﹣﹣”，而28＝14，从而所示事件的概率为14，故答案为14．15．（2020·南通）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的宽为x步，则可列方程为▲ ．{答案}x(x＋12)＝864{解析}设矩形田地的宽为x步，那么长就应该是(x＋12)步．根据矩形面积＝长×宽，得：x(x＋12)＝864．故答案为：x(x＋12)＝864．16. (2020·湘潭)算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式|||||||||||||||第13题图表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下：6728，则表示的数是________．6708{答案}8167{解析}本题考查了算筹计数法，理解题意是解题的关键．根据算筹计数法来计数即可．根据算筹计数法，表示的数是：8167故答案为：816718.（2020·株洲）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为________尺．（结果用最简根式表示）{答案}{解析}根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∠=45°，∴CE为直径，ECD由题意得AB=2.5，∴CE=2.5-0.25×2=2，∠⨯，∴CD=CE cos ECD=22∠=45°，∴ECD∴正方形CDEF周长为故答案：15．（2020·黄冈）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是尺．第15题图{解析}本题考查了勾股定理的实际应用．根据题意设这个水池深x尺，由题意得，x2+52=（x+1）2，解得：x=12，即这个水池深12尺．因此本题答案为12．{答案}1212．（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是26寸．【解析】由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r，∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解得：r＝13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．三、解答题。

海南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类

海南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类一．二次根式的混合运算（共1小题）1．（2021•海南）（1）计算：23+|﹣3|÷3﹣×5﹣1；（2）解不等式组并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．二．二元一次方程的应用（共1小题）2．（2023•海南）2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功，为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习．已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元，问甲、乙两种型号客车各租多少辆？三．二元一次方程组的应用（共2小题）3．（2022•海南）我省某村委会根据“十四五”规划的要求，打造乡村品牌，推销有机黑胡椒和有机白胡椒．已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元，购买2千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元，求每千克有机黑胡椒和每千克有机白胡椒的售价．4．（2021•海南）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了党史知识竞赛，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励．若购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需280元；若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480元．求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各是多少元？四．解一元一次不等式组（共2小题）5．（2023•海南）（1）计算：32÷|﹣3|﹣×2﹣1；（2）解不等式组：．6．（2022•海南）（1）计算：×3﹣1+23÷|﹣2|；（2）解不等式组．五．二次函数综合题（共3小题）7．（2023•海南）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B（3，0）两点，交y轴于点C （0，﹣3）．点P是抛物线上一个动点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为（1，﹣4）时，求四边形BACP的面积；（3）当动点P在直线BC上方时，在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线DH∥y轴，交x轴于点H，当点P 在第二象限时，作直线PA，PB分别与直线DH交于点G和点I．求证：点D是线段IG 的中点．8．（2021•海南）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A 的坐标为（﹣1，0）、点C的坐标为（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求△PBC的面积；（3）如图2，有两动点D、E在△COB的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C→O→B方向向终点B运动，点E沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：①当t为何值时，△BDE的面积等于；②在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．9．（2022•海南）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；（3）点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；（4）如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G（n，0），点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．六．四边形综合题（共3小题）10．（2023•海南）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠ABC＝60°，点P为线段BO上的动点（不与点B，O重合），连接CP并延长交边AB于点G，交DA的延长线于点H．（1）当点G恰好为AB的中点时，求证：△AGH≌△BGC；（2）求线段BD的长；（3）当△APH为直角三角形时，求的值；（4）如图2，作线段CG的垂直平分线，交BD于点N，交CG于点M，连接NG，在点P的运动过程中，∠CGN的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．11．（2021•海南）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C 重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE．（1）求证：△DCE≌△DAF；（2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF 于点G，连接HB，HC．①求证：HD＝HB；②若DK•HC＝，求HE的长．12．（2022•海南）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．（1）当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；（2）将△APB沿直线AP折叠得到△APB'，点B'落在矩形ABCD的内部，延长PB'交直线AD于点F．①证明FA＝FP，并求出在（1）条件下AF的值；②连接B'C，求△PCB'周长的最小值；③如图2，BB'交AE于点H，点G是AE的中点，当∠EAB'＝2∠AEB'时，请判断AB与HG的数量关系，并说明理由．七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）13．（2022•海南）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB 的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．（1）填空：∠APD＝度，∠ADC＝度；（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；（3）求此时无人机距离地面BC的高度．14．（2021•海南）如图，在某信号塔AB的正前方有一斜坡CD，坡角∠CDK＝30°，斜坡的顶端C与塔底B的距离BC＝8米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角∠AEN＝60°，CE＝4米，且BC∥NE∥KD，AB⊥BC（点A，B，C，D，E，K，N在同一平面内）．（1）填空：∠BCD＝度，∠AEC＝度；（2）求信号塔的高度AB（结果保留根号）．八．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）15．（2023•海南）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．（1）填空：∠AMB＝度，∠BCM＝度；（2）求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果保留根号）；（3）求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）．九．条形统计图（共1小题）16．（2021•海南）根据2021年5月11日国务院新闻办公室发布的《第七次全国人口普查公报》，就我国2020年每10万人中，拥有大学（指大专及以上）、高中（含中专）、初中、小学、其他等文化程度的人口（以上各种受教育程度的人包括各类学校的毕业生、肄业生和在校生）受教育情况数据，绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝；（2）在第六次全国人口普查中，我国2010年每10万人中拥有大学文化程度的人数约为0.90万，则2020年每10万人中拥有大学文化程度的人数与2010年相比，增长率是 %（精确到0.1%）；（3）2020年海南省总人口约1008万人，每10万人中拥有大学文化程度的人数比全国每10万人中拥有大学文化程度的人数约少0.16万，那么全省拥有大学文化程度的人数约有万（精确到1万）．一十．概率公式（共2小题）17．（2023•海南）某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务，随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下：调查问卷在下列课外活动中，你最喜欢的是（）（单选）A．文学B．科技C．艺术D．体育填完后，请将问卷交给教务处．根据统计得到的数据，绘制成下面两幅不完整的统计图．请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题：（1）本次调查采用的调查方式为（填写“普查”或“抽样调查”）；（2）在这次调查中，抽取的学生一共有人；扇形统计图中n的值为；（3）已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是；（4）若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有人．18．（2022•海南）某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：（1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是（填写“普查”或“抽样调查”）；（2）教育局抽取的初中生有人，扇形统计图中m的值是；（3）已知平均每天完成作业时长在“100≤t＜110”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是；（4）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“70≤t＜80”分钟的初中生约有人．海南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类参考答案与试题解析一．二次根式的混合运算（共1小题）1．（2021•海南）（1）计算：23+|﹣3|÷3﹣×5﹣1；（2）解不等式组并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝8+3÷3﹣5×＝8+1﹣1＝8；（2），解①得x＞﹣3，解②得x≤2，所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2，解集在数轴上表示为：二．二元一次方程的应用（共1小题）2．（2023•海南）2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功，为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习．已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元，问甲、乙两种型号客车各租多少辆？【答案】租用甲型车5辆，乙型车10辆．【解答】解：设租用甲型车x辆，乙型车y辆，根据题意得：，解得，答：租用甲型车5辆，乙型车10辆．三．二元一次方程组的应用（共2小题）3．（2022•海南）我省某村委会根据“十四五”规划的要求，打造乡村品牌，推销有机黑胡椒和有机白胡椒．已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元，购买2千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元，求每千克有机黑胡椒和每千克有机白胡椒的售价．【答案】见试题解答内容【解答】解：设每千克有机黑胡椒的售价为x元，每千克有机白胡椒的售价为y元，依题意得：，解得：．答：每千克有机黑胡椒的售价为50元，每千克有机白胡椒的售价为60元．4．（2021•海南）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了党史知识竞赛，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励．若购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需280元；若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480元．求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各是多少元？【答案】购买1副乒乓球拍80元，1副羽毛球拍120元．【解答】解：设购买1副乒乓球拍x元，1副羽毛球拍y元，根据题意得，，解得．答：购买1副乒乓球拍80元，1副羽毛球拍120元．四．解一元一次不等式组（共2小题）5．（2023•海南）（1）计算：32÷|﹣3|﹣×2﹣1；（2）解不等式组：．【答案】（1）2；（2）x＞3．【解答】解：（1）原式＝9÷3﹣2×＝3﹣1＝2．（2）由①得，x＞3；由②得x≥1．∴原不等式组的解集为：x＞3．6．（2022•海南）（1）计算：×3﹣1+23÷|﹣2|；（2）解不等式组．【答案】（1）5；（2）﹣1＜x≤2．【解答】解：（1）×3﹣1+23÷|﹣2|＝3×+8÷2＝1+4＝5；（2），解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤2，∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．五．二次函数综合题（共3小题）7．（2023•海南）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B（3，0）两点，交y轴于点C （0，﹣3）．点P是抛物线上一个动点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为（1，﹣4）时，求四边形BACP的面积；（3）当动点P在直线BC上方时，在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线DH∥y轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线PA，PB分别与直线DH交于点G和点I．求证：点D是线段IG 的中点．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）9；（3）在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为（﹣5，2）或（，）；（4）证明见解析．【解答】解：（1）由题意可得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接OP，过点P作PE⊥AB于点E，如图，∵点P的坐标为（1，﹣4），∴PE＝4，OE＝1．令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝3或﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1．∵C（0，﹣3），B（3，0），∴OC＝3，OB＝3．∴四边形BACP的面积＝S△OAC+S△OCP+S△OBP＝OA•OC+OC•OE+OB•PE＝1×3+3×1+3×4＝9；（3）①在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形，如图，四边形BCQP为符合条件的矩形，PB交y轴于点E，CQ交x轴于点F，连接EF，过点P作PM⊥y轴于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N，∵OC＝OB＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵四边形BCQP为矩形，∴∠PBC＝∠QCB＝90°，∴∠OBE＝∠OCF＝45°，∴△OBE和△OCF为等腰直角三角形，∴OB＝OC＝OE＝OF＝3，∴四边形BCFE为正方形，∴CF＝BE，∠EFC＝∠BEF＝90°，∴四边形EFQP为矩形，∴QF＝PE．∵∠MEP＝∠BEO＝45°，∠QFN＝∠OFC＝45°，∴△PME和△QNF为全等的等腰直角三角形，∴NF＝QN＝PM＝ME．∵OE＝3，∴E（0，3），设直线BE的解析式为y＝kx+n，∴，∴，∴直线BE的解析式为y＝﹣x+3．∴，∴或，∴P（﹣2，5），∴PM＝2，∴QN＝NF＝2，∴ON＝OF+NF＝3+2＝5，∴Q（﹣5，2）．②当四边形BP1CQ为矩形时，即∠BP1C＝90°时，设P1（m，m2﹣2m﹣3），由一线三垂直可知：，解得：m1＝（舍去），m2＝．∴P1（，）．此时Q1（，）．综上，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为（﹣5，2）或（，）；（4）证明：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点D的坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1．设P（m，m2﹣2m﹣3），直线PB的解析式为y＝cx+d，∴，∴．∴直线PB的解析式为y＝（m+1）x﹣3m﹣3，当x＝1时，y＝﹣2m﹣2，∴I（1，﹣2m﹣2），∴ID＝﹣2m﹣2﹣（﹣4）＝﹣2m+2．设直线PA的解析式为y＝ex+f，∴，∴，∴直线PA的解析式为y＝（m﹣3）x+m﹣3，当x＝1时，y＝2m﹣6，∴G（1，2m﹣6），∴DG＝﹣4﹣（2m﹣6）＝﹣2m+2，∴ID＝DG，∴点D是线段IG的中点．8．（2021•海南）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A 的坐标为（﹣1，0）、点C的坐标为（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求△PBC的面积；（3）如图2，有两动点D、E在△COB的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C→O→B方向向终点B运动，点E沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：①当t为何值时，△BDE的面积等于；②在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）；（3）①当t＝或t＝时，S△BDE＝；②（，）或（3，3）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，∴，解得，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+3；（2）∵抛物线y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的顶点P的坐标为（，），∵y＝﹣x2+x+3，令y＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B点的坐标为（4，0），OB＝4，如图，连接OP，则S△PBC＝S△OPC+S△OPB﹣S△OBC，＝•OC•|x p|+•OB•|y p|﹣•OB•OC＝×3×+×4×﹣×4×3＝+﹣6＝，∴△PBC的面积为；（3）①∵在△OBC中，BC＜OC+OB，∴当动点E运动到终点C时，另一个动点D也停止运动，∵OC＝3，OB＝4，∴在Rt△OBC中，BC＝＝5，∴0＜t≤5，当运动时间为t秒时，BE＝t，如图，过点E作EN⊥x轴，垂足为N，则△BEN∽△BCO，∴＝＝＝，∴BN＝t，EN＝t，∴点E的坐标为（4﹣t，t），下面分两种情形讨论：Ⅰ、当点D在线段CO上运动时，0＜t＜3，此时CD＝t，点D的坐标为（0，3﹣t），∴S△BDE＝S△BOC﹣S△CDE﹣S△BOD＝BO•CO﹣CD•|x E|﹣OB•OD＝×4×3﹣×t×（4﹣t）﹣×4×（3﹣t）＝t2，当S△BDE＝时，t2＝，解得t1＝﹣（舍去），t2＝＜3，∴t＝；Ⅱ、如图，当点D在线段OB上运动时，3≤t≤5，BD＝7﹣t，∴S△BDE＝BD•EN，＝×（7﹣t）×t＝﹣t2+t，当S△BDE＝时，﹣t2+t＝，解得t3＝，t4＝＜3，又∵3≤t≤5，∴t＝，综上所述，当t＝或t＝时，S△BDE＝；②当点D在线段OC上，过点E作EH∥x轴，过点F作FH⊥EH于H，∵四边形ADFE是平行四边形，∴AD＝EF，AD∥EF，∴∠ADF+∠DFE＝180°，∵CO∥FH，∴∠ODF+∠DFH＝180°，∴∠ADO＝∠EFH，又∵∠AOD＝∠EHF，∴△ADO≌△EFH（AAS），∴AO＝EH＝1，FH＝DO＝3﹣t，∵点E的坐标为（4﹣t，t），∴点F（5﹣t，t+3﹣t），∴t+3﹣t＝﹣（5﹣t）2+（5﹣t）+3；解得：t1＝，t2＝（不合题意舍去），∴F坐标为（，），当点D在线段OB上，过点E作EQ⊥AB于Q，过点F作FM⊥AB于M，∵四边形ADFE是平行四边形，∴AD＝EF，AD∥EF，∴∠EAQ＝∠FDM，又∵∠AQE＝∠DMF＝90°，∴△AEQ≌△DFM（AAS），∴DM＝AQ，EQ＝FM，EF＝AD＝t﹣3+1＝t﹣2，∵点E的坐标为（4﹣t，t），∴点F（2+t，t），∴t ＝﹣（2+t ）2+（2+t ）+3；解得：t 3＝﹣30（不合题意舍去），t 4＝5，∴F 坐标为（3，3）．综上所述：F 坐标为（，）或（3，3）．9．（2022•海南）如图1，抛物线y ＝ax 2+2x +c 经过点A （﹣1，0）、C （0，3），并交x 轴于另一点B ，点P （x ，y ）在第一象限的抛物线上，AP 交直线BC 于点D ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P 的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP 的面积；（3）点Q 在抛物线上，当的值最大且△APQ 是直角三角形时，求点Q 的横坐标；（4）如图2，作CG ⊥CP ，CG 交x 轴于点G （n ，0），点H 在射线CP 上，且CH ＝CG ，过GH 的中点K 作KI ∥y 轴，交抛物线于点I ，连接IH ，以IH 为边作出如图所示正方形HIMN ，当顶点M 恰好落在y 轴上时，请直接写出点G 的坐标．【答案】（1）抛物线的函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）；（3）点Q 的横坐标为：或1或或；（4）G （﹣4+，0）．【解答】解：（1）由题意得，，∴，∴该抛物线的函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∵PC2+BC2＝[1+（4﹣3）2]+（32+32）＝20，PB2＝[（3﹣1）2+42]＝20，∴PC2+BC2＝PB2，∴∠PCB＝90°，∴S△PBC＝＝＝3，∵S△BOC＝＝＝，∴S四边形BOCP＝S△PBC+S△BOC＝3+＝；（3）如图1，作PE∥AB交BC的延长线于E，设P（m，﹣m2+2m+3），∵B（3，0），C（0，3），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，由﹣x+3＝﹣m2+2m+3得，x＝m2﹣2m，∴PE＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，∵PE∥AB，∴△PDE∽△ADB，∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，（）最大＝，当m ＝时，y ＝﹣（）2+2×+3＝，∴P （，），设Q （n ，﹣n 2+2n +3），如图2，当∠PAQ ＝90°时，过点A 作y 轴平行线AF ，作PF ⊥AF 于F ，作QG ⊥AF 于G ，则△AFP ∽△GQA ，∴＝，∴＝，∴n ＝，如图3，当∠AQP ＝90°时，过QN ⊥AB 于N ，作PM ⊥QN 于M ，可得△ANQ ∽△QMP ，∴＝，∴＝，可得n1＝1，n2＝，如图4，当∠APQ＝90°时，作PT⊥AB于T，作QR⊥PT于R，同理可得：＝，∴n＝，综上所述：点Q的横坐标为：或1或或；（4）如图5，作GL∥y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于T，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．∴RH＝OG＝﹣n，CR＝GL＝OC＝3，MT＝IW，∴G（n，0），H（3，3+n），∴K（，），∴I（，﹣（）2+n+3+3），∵TM＝IW，∴＝﹣（）2+n+6﹣（3+n），∴（n+3）2+2（n+3）﹣12＝0，∴n1＝﹣4+，n2＝﹣4﹣（舍去），∴G（﹣4+，0）．六．四边形综合题（共3小题）10．（2023•海南）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠ABC ＝60°，点P为线段BO上的动点（不与点B，O重合），连接CP并延长交边AB于点G，交DA的延长线于点H．（1）当点G恰好为AB的中点时，求证：△AGH≌△BGC；（2）求线段BD的长；（3）当△APH为直角三角形时，求的值；（4）如图2，作线段CG的垂直平分线，交BD于点N，交CG于点M，连接NG，在点P的运动过程中，∠CGN的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）见解析过程；（2）BD＝6；（3）2或2+；（4）∠CGN的度数是定值，∠CGN＝30°．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠HAB＝∠ABC，∵点G是AB的中点，∴AG＝BG，又∵∠AGH＝∠BGC，∴△AGH≌△BGC（AAS）；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴AO＝AB＝3，BO＝AO＝3，∴BD＝6；（3）解：当∠PAD＝90°时，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠ADB＝∠ADC＝30°，∴AD＝AP＝6，PD＝2AP，∴AP＝2，DP＝4，∴BP＝2，∵AD∥BC，∴△BPC∽△DPH，∴，∴＝＝2；当∠APH＝90°时，∴∠DPA＝∠DPC＝45°，∴AO＝PO＝3，∴BP＝3﹣3，DP＝3+3，∵AD∥BC，∴△BPC∽△DPH，∴，∴＝＝2+；综上所述：＝2或2+；（4）解：∠CGN的度数是定值，如图，取BC的中点H，连接OH，HM，NC，∵MN是CG的垂直平分线，∴GN＝CN，GM＝CM，∴∠NGC＝∠GCN，又∵点H是BC的中点，∴MH∥AB，∵点H是BC的中点，AO＝CO，∴OH∥AB，∴点M，点H，点O三点共线，∵点H是BC的中点，AC⊥BD，∴HO＝HB＝CH，∴∠CBO＝∠BOH＝30°，∵∠COB＝∠NMC＝90°，∴点O，点C，点M，点N四点共圆，∴∠BOH＝∠NCM＝30°，∴∠CGN＝∠NCM＝30°．11．（2021•海南）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C 重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE．（1）求证：△DCE≌△DAF；（2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF 于点G，连接HB，HC．①求证：HD＝HB；②若DK•HC＝，求HE的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°，∵CE＝AF，∴△DCE≌△DAF（SAS）；（2）①∵△DCE≌△DAF，∴DE＝DF，∠CDE＝∠ADF，∴∠FDE＝∠ADF+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，∴△DFE为等腰直角三角形，∵DH⊥EF，∴点H是EF的中点，∴DH＝EF，同理，由HB是Rt△EBF的中线得：HB＝EF，∴HD＝HB；②∵四边形ABCD为正方形，故CD＝CB，∵HD＝HB，CH＝CH，∴△DCH≌△BCH（SSS），∴∠DCH＝∠BCH＝45°，∵△DEF为等腰直角三角形，∴∠DFE＝45°，∴∠HCE＝∠DFK，∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∴∠DKF＝∠HEC，∴△DKF∽△HEC，∴，∴DK•HC＝DF•HE，在等腰直角三角形DFH中，DF＝HF＝HE，∴DK•HC＝DF•HE＝HE2＝，∴HE＝1．12．（2022•海南）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．（1）当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；（2）将△APB沿直线AP折叠得到△APB'，点B'落在矩形ABCD的内部，延长PB'交直线AD于点F．①证明FA＝FP，并求出在（1）条件下AF的值；②连接B'C，求△PCB'周长的最小值；③如图2，BB'交AE于点H，点G是AE的中点，当∠EAB'＝2∠AEB'时，请判断AB与HG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解答过程；（2）①证明见解答过程，AF＝；②△PCB'周长的最小值为12；③AB＝2HG．理由见解析．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAP＝∠E，∠B＝∠BCE，∵点P是BC的中点，∴BP＝CP，∴△ABP≌△ECP（AAS）；（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠FAP，由折叠得∠APB＝∠APF，∴∠FAP＝∠APF，∴FA＝FP，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∴BC＝AD＝8，∵点P是BC的中点，∴BP＝CP＝4，由折叠得AB′＝AB＝6，PB′＝PB＝4，∠B＝∠AB′P＝∠AB′F＝90°，设FA＝x，则FP＝x，∴FB′＝x﹣4，在Rt△AB′F中，AF2＝B′F2+B′A2，∴x2＝（x﹣4）2+62，解得x＝，即AF＝；②由折叠得AB′＝AB＝6，PB′＝PB＝4，∴△PCB'的周长＝CP+PB′+CB′＝CB+CB′＝8+CB′，连接B'C，AC，∵AB′+B′C＞AC，∴当点B′恰好位于对角线AC上时，CB′+AB′最小，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，∴CB′的最小值＝AC﹣AB′＝4，∴△PCB'周长的最小值＝8+CB′＝8+4＝12；③AB与HG的数量关系是AB＝2HG．理由：如图，由折叠可知∠1＝∠6，AB'＝AB，BB'⊥AE，过点B'作B'M∥DE，交AE于点M，∴AB∥DE，∴AB∥DE∥B'M，∴∠l＝∠6＝∠5＝∠AED，∴AB'＝B'M＝AB，∴点H是AM中点，∵∠EAB'＝2∠AEB'，即∠6＝2∠8，∴∠5＝2∠8．∵∠5＝∠7+∠8，∴∠7＝∠8．∴B'M＝EM．∴B'M＝EM＝AB'＝AB．∵点G为AE中点，点H是AM中点，∴AG＝AE，AH＝AM．∴HG＝AG﹣AH＝（AE﹣AM）＝EM．∴HG＝AB．∴AB＝2HG．七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）13．（2022•海南）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB 的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．（1）填空：∠APD＝　75　度，∠ADC＝　60　度；（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；（3）求此时无人机距离地面BC的高度．【答案】（1）75，60；（2）楼CD的高度为（+10）米；（3）此时无人机距离地面BC的高度为110米．【解答】解：（1）∵∠MPA＝60°，∠NPD＝45°，∴∠APD＝180°﹣∠MPA﹣∠NPD＝75°．过点A作AE⊥CD于点E．则∠DAE＝30°，∴∠ADC＝180°﹣90°﹣30°＝60°．故答案为：75；60．（2）由题意可得AE＝BC＝100米，EC＝AB＝10米，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，tan30°＝，解得DE＝，∴CD＝DE+EC＝（+10）米．∴楼CD的高度为（+10）米．（3）过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，则∠PFA＝∠AED＝90°，FG＝AB＝10米，∵MN∥AE，∴∠PAF＝∠MPA＝60°，∵∠ADE＝60°，∴∠PAF＝∠ADE，∵∠DAE＝∠30°，∴∠PAD＝30°，∵∠APD＝75°，∴∠ADP＝75°，∴∠ADP＝∠APD，则AP＝AD，∴△APF≌△DAE（AAS），∴PF＝AE＝100米，∴PG＝PF+FG＝100+10＝110（米）．∴此时无人机距离地面BC的高度为110米．14．（2021•海南）如图，在某信号塔AB的正前方有一斜坡CD，坡角∠CDK＝30°，斜坡的顶端C与塔底B的距离BC＝8米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角∠AEN＝60°，CE＝4米，且BC∥NE∥KD，AB⊥BC（点A，B，C，D，E，K，N在同一平面内）．（1）填空：∠BCD＝　150　度，∠AEC＝　30　度；（2）求信号塔的高度AB（结果保留根号）．【答案】（1）150，30；（2）（4+8）m．【解答】解：（1）∵BC∥DK，∴∠BCD+∠D＝180°，又∵∠D＝30°，∴∠BCD＝180°﹣30°＝150°，∵NE∥KD，∴∠CEN＝∠D＝30°，又∵∠AEN＝60°，∴∠ACE＝∠AEN﹣∠CEN＝60°﹣30°＝30°，故答案为：150，30；（2）如图，过点C作CG⊥EN，垂足为G，延长AB交EN于点F，在Rt△CEG中，∵∠CEG＝30°，CE＝4m，∴CG＝CE＝2（m）＝BF，∴EG＝CG＝2（m），设AB＝x，则AF＝（x+2）m，EF＝BC+EG＝（8+2）m，在Rt△AEF中，∵∠AEN＝60°，∴AF＝EF，即x+2＝（8+2），x＝（4+8）m，即信号塔的高度AB为（4+8）m．八．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）15．（2023•海南）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．（1）填空：∠AMB＝　30　度，∠BCM＝　45　度；（2）求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果保留根号）；（3）求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）．【答案】（1）30，45；（2）10海里；（3）10（﹣1）海里．【解答】解：分别过点C、M，作CD⊥AB，ME⊥AB，垂足分别为D、E．（1）∵∠DBM＝∠A+∠AMB＝60°，∠A＝30°，∴∠AMB＝30°．∵AB、CM都是正北方向，∴AB∥CM．∵∠DBC＝45°，∴∠BCM＝45°．故答案为：30，45．（2）由（1）知∠A＝∠AMB，∴AB＝BM＝20海里．在Rt△EBM中，sin∠EBM＝，∴EM＝sin∠EBM•BM＝sin60°×20＝×20＝10（海里）．答：灯塔M到轮船航线AB的距离为10海里．（3）∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB、CM都是正北方向，∴四边形DEMC是矩形．∴CD＝EM＝10海里，DE＝CM．在Rt△CDB中，∵∠DBC＝45°，∴∠DBC＝∠DCB．∴DB＝DC＝10海里．在Rt△EMB中，cos∠DBM＝，∴EB＝cos∠DBM•BM＝cos60°×20＝×20＝10（海里）．∴CM＝DE＝DB﹣EB＝10﹣10＝10（﹣1）海里．答：港口C与灯塔M的距离为10（﹣1）海里．九．条形统计图（共1小题）16．（2021•海南）根据2021年5月11日国务院新闻办公室发布的《第七次全国人口普查公报》，就我国2020年每10万人中，拥有大学（指大专及以上）、高中（含中专）、初中、小学、其他等文化程度的人口（以上各种受教育程度的人包括各类学校的毕业生、肄业生和在校生）受教育情况数据，绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）a＝　3.45　，b＝　1.01　；（2）在第六次全国人口普查中，我国2010年每10万人中拥有大学文化程度的人数约为0.90万，则2020年每10万人中拥有大学文化程度的人数与2010年相比，增长率是　72.2　%（精确到0.1%）；（3）2020年海南省总人口约1008万人，每10万人中拥有大学文化程度的人数比全国每10万人中拥有大学文化程度的人数约少0.16万，那么全省拥有大学文化程度的人数约有　140　万（精确到1万）．【答案】（1）3.45，1.01；（2）72.2；（3）140．【解答】解：（1）2.48÷24.8%＝10（万人），a＝10×34.5%＝3.45，b＝10﹣1.55﹣1.51﹣3.45﹣2.48＝1.01，故答案为：3.45，1.01；（2）×100%≈72.2%，故答案为：72.2；（3）1008×≈140（万人），故答案为：140．一十．概率公式（共2小题）17．（2023•海南）某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务，随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下：调查问卷在下列课外活动中，你最喜欢的是（）（单选）A．文学B．科技C．艺术D．体育填完后，请将问卷交给教务处．根据统计得到的数据，绘制成下面两幅不完整的统计图．请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题：（1）本次调查采用的调查方式为　抽样调查　（填写“普查”或“抽样调查”）；（2）在这次调查中，抽取的学生一共有　200　人；扇形统计图中n的值为　22　；（3）已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是；（4）若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有　350　人．【答案】（1）抽样调查；（2）200，22；（3）；（4）350．【解答】解：（1）本次调查采用的调查方式为抽样调查；故答案为：抽样调查；（2）∵70÷35%＝200（人），×100%＝22%，∴在这次调查中，抽取的学生一共有200人；扇形统计图中n的值为22；故答案为：200，22；（3）恰好抽到女生的概率是＝；故答案为：；（4）估计选择“文学”类课外活动的学生有1000×35%＝350（人），故答案为：350．18．（2022•海南）某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：（1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是　抽样调查　（填写“普查”或“抽样调查”）；（2）教育局抽取的初中生有　300　人，扇形统计图中m的值是　30　；（3）已知平均每天完成作业时长在“100≤t＜110”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是；（4）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“70≤t＜80”分钟的初中生约有　3000　人．【答案】（1）抽样调查；（2）300，30；（3）；（4）3000．【解答】解：（1）∵教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，∴教育局采取的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查；（2）45÷15%＝300（人），1﹣15%﹣3%﹣7%﹣45%＝30%，故答案为：300，30；（3）∵所有可能抽到的结果数为9，抽到男生的结果数为5，且每一名学生被抽到的可能性相同，∴P（抽到男生）＝，故答案为：；（4）10000×30%＝3000（人），故答案为：3000．。

2021年中考数学复习数学文化(三)(精讲课件)

阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线 ABC是圆的一条折弦)，BC＞AB，M是的中点，则从M向BC 所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB＋BD.
下面是运用“截长法”证明CD＝AB＋BD的证明过程．
证明：如图 2，在 CB 上截取 CG＝AB，连接 MA，MB，MC 和 MG. ∵ M 是 ABC 的中点， ∴ MA ＝ MC. 在 △MBA 和 △MGC 中， ∵
2021年中考数学复习精讲课件
数学文化(三)
数来知往
一、垂径定理(圆材埋壁与弧田面积) 1．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为_2_6__寸．
2．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式＋矢2).弧田是由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的
距离之差，运用垂径定理(当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB)可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 10 平方米．
二、割圆术
3．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S－S1＝ 0.14 ．
4．“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术“，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积．如图，连接⊙O的内接正十二边形顶点得到AB，BC，若OA＝2，则阴影部分的面积为( B )

2021人教版中考数学知识考点

2021人教版中考数学知识考点数学属于形式科学，而不是自然科学。

在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，同时也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

今天小编在这给大家整理了一些人教版中考数学知识考点，我们一起来看看吧!人教版中考数学知识考点轴对称知识点1.如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。

2.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

3.角平分线上的点到角两边距离相等。

4.线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

5.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

6.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

7.画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

8.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)点(x,y)关于原点轴对称的点的坐标为(-x,-y)9.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，(等边对等角)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为三线合一。

10.等腰三角形的判定：等角对等边。

11.等边三角形的三个内角相等，等于60，12.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。

有一个角是60的等腰三角形是等边三角形有两个角是60的三角形是等边三角形。

13.直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。

中考数学知识考点因式分解的方法1.十字相乘法(1)把二次项系数和常数项分别分解因数;(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果;(4)检验。

2.提公因式法(1)找出公因式;(2)提公因式并确定另一个因式;①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母;②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式;③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

2021中考数学复习难题突破：数学文化(含答案)

中考数学复习难题突破：数学文化（含答案）难题突破专题十一数学文化数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。

数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。

在近几年的中考中，以数学文化为载体的数学题越来越多，只要我们平时注意积累和了解这方面的常识，解题时注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过现象看本质，问题便可迎刃而解．类型1 以科技或数学时事为题材“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图Z11－1，图Z11－2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是( )图Z11－1图Z11－2A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d例题分层分析(1)根据题目所给的直观图，你发现“牟合方盖”有哪些特征？(2)“牟合方盖”的主视图和俯视图分别是什么？|针对训练|1．[2017·湖州] 七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图Z11－3所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那幅图是( )图Z11－3图Z11－42．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图Z11－5)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cosθ的值等于________．图Z11－5 图Z11－63．[2017·江西] 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数，斜放表示负数．如图Z11－6，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为________．4．[2017·威海] 阅读理解：如图Z11－7①，⊙O与直线a，b都相切．不论⊙O如何转动，直线a，b之间的距离始终保持不变(等于⊙O的直径)．我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”．图②是利用圆的这一特性的例子．将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进．据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的．图Z11－7拓展应用：如图Z11－8①所示的弧三角形(也称为莱洛三角形)也是“等宽曲线”，如图②，夹在平行线c，d间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变．若直线c，d之间的距离等于 2 cm，则莱洛三角形的周长为________cm.图Z11－8类型2 以数学名著为题材《九章算术》中，将两底面是直角三角形的棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图Z11－9所示，主视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )图Z11－9A．2 B．4＋2 2C．4＋4 2 D．6＋4 2例题分层分析(1)通过阅读，你知道“堑堵”是什么样的图形吗？(2)根据“堑堵”的定义，你能推断出该几何体的底面是什么图形？侧面又是什么图形？|针对训练|1．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来1534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约( ) A．134石 B．169石 C．268石 D．338石2．[2017·荆州] 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( )A．x2－6＝(10－x)2 B．x2－62＝(10－x)2 C．x2＋6＝(10－x)2 D．x2＋62＝(10－x)23．[2017·眉山] “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图Z11－10获得，则井深为( )图Z11－10A．1.25尺 B．57.5尺C．6.25尺 D．56.5尺4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国目前已知最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750 D .3551135．[2017·自贡] 我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x 、y 人，则可以列方程组为________．图Z 11－116．[2017·遵义] 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题(如图Z 11－11)，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．请问：所分的银子共有________两．(注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语)7．[2017·北京] 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图Z 11－12所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．图Z 11－12(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》) 请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S 矩形NFGD ＝S △ADC －(S △ANF ＋S △FGC )，S 矩形EBMF ＝S △ABC －(________＋________)．易知，S △ADC ＝S △ABC ，________＝________，________＝________．可得S 矩形NFGD ＝S 矩形EBMF .8．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图Z 11－13所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 的值为________．图Z 11－139．[2017·宜昌] 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12()m 2－n 2，b ＝mn ，c ＝12()m 2＋n 2.其中m >n >0，m ，n 是互质的奇数．应用：当n ＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．10．[2017·福建]我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解．类型3 以数学名人为题材古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式．三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n ，4)＝n 2，五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ， ……可以推测，N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________． |针对训练|1．[2017·黔东南州] 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用图Z 11－14的三角形解释二项和(a ＋b )n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．(a ＋b )0…………… ① (a ＋b )1……………① ① (a ＋b )2…………① ② ① (a ＋b )3………① ③ ③ ① (a ＋b )4……① ④ ⑥ ④ ① (a ＋b )5…① ⑤ ⑩ ⑩ ⑤ ①…… ……图Z 11－14根据“杨辉三角”请计算(a ＋b )20的展开式中第三项的系数为( ) A ．2017 B ．2016 C ．191 D ．1902．[2017·云南] 正如我们小学学过的圆锥体积公式V ＝13πr 2h (π表示圆周率，r 表示圆锥的底面半径，h 表示圆锥的高)一样，许多几何量的计算都要用到π.祖冲之是世界上第一个把π计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把π计算得更精确．在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少．现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内．即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习．下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于9 3π，则这个圆锥的高等于( )A ．5 3πB ．5 3C ．3 3πD ．3 33．[2017·株洲] 如图Z 11－15，若△ABC 内一点P 满足∠PAC ＝∠PBA ＝∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点．三角形的布洛卡点(Brocard point )由法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L .Crelle 1780－1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard 1845－1922)重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF ＝90°.若Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ ＝1，则EQ ＋FQ 的值为( )图Z 11－15A ．5B ．4C ．3＋ 2D ．2＋ 24．[2017·乐山] 庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话(文字语言)表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图Z 11－16①，按此图分割的方法，可得到一个等式(符号语言)：1＝12＋122＋123＋…＋＋….图Z 11－16②也是一种无限分割：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，过点C 作CC 1⊥AB 于点C 1，再过点C 1作C 1C 2⊥BC 于点C 2，又过点C 2作C 2C 3⊥AB 于点C 3，如此无限继续下去，则可将△ABC 分成△ACC 1、△CC 1C 2、△C 1C 2C 3、△C 2C 3C 4、…、△C n －2C n －1C n 、….假设AC ＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是__________．图Z 11－16参考答案类型1 以科技或数学时事为题材例1 A [解析] 当主视图和左视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且对角线为两条实线．故选A .[赏析] “牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．试题从识“图”到想“图”，再到构“图”，要经历分析、判断的逻辑过程．另外，我国古代数学中的其他著名几何体，如“阳马”、“鳖臑”和“堑堵”等的三视图问题都有可能在中考中考查，值得我们注意．|针对训练| 1．C2.45[解析] 如图，∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，∴大正方形边长AD ＝5，小正方形的边长EF ＝1.设DE ＝AF ＝x ，在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE 2＋DE 2＝AD 2，∴(x ＋1)2＋x 2＝52，解得x 1＝－4(舍去)，x 2＝3，即DE ＝3，AE ＝3＋1＝4，∴cos θ＝cos ∠DAE ＝AE AD ＝45.3．－3 [解析] 根据题意可知正放表示正数，斜放表示负数，组合在一起表示相加，由正放2根，斜放5根组合在一起表示(＋2)＋(―5)＝－3.4．2π [解析] 由题意知，莱洛三角形周长是半径为2，圆心角是60°的三段弧长的和，60π×2180×3＝2π.类型2 以数学名著为题材例 2 C [解析] 依题意得，该几何体为三棱柱，且底面为等腰直角三角形，两直角边长均为2，高为2，所以其侧面积为S ＝2×2＋2 2×2＝4＋4 2，故选C .[赏析] 该题以我国古代数学名著《九章算术》中所描述的特殊几何体“堑堵”为背景，是一道新概念信息的信息迁移题．试题以三视图为依托，在考查空间想象能力的同时传播数学文化．|针对训练|1．B [解析] 设这批米内夹谷约为x 石，根据随机抽样事件的概率得x 1534＝28254，解得x ≈169.故选B .2．D [解析] 如图，折断处离地面的高度为x 尺，则AB ＝10－x ，BC ＝6, 在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，即x 2＋62＝(10－x )2.3．B [解析] 如图，由题意，得BC ∥DE ，从而△ABF ∽△ADE ，因此BF DE ＝AB AD ，即0.45＝55＋BD ，解得BD ＝57.5，所以井深为57.5尺．4．B [解析] 由题意知275L 2h ≈13πr 2h ，∴275L 2≈13πr 2，而L ≈2πr ，代入得π≈258. 5.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝100，3x ＋y3＝100 [解析] 根据“大、小和尚共有100人”可得x ＋y ＝100；由“大和尚一人分3个”可知x 个大和尚共分得3x 个馒头，由“小和尚3人分一个”可知y 个小和尚共分得y3个馒头，根据“大、小和尚分100个馒头”可得3x ＋y3＝100，故可列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝100，3x ＋y3＝100. 6．46 [解析] 设这群人人数为x ，根据题意得7x ＋4＝9x －8，解得x ＝6，银子的数量为46两． 7．S △AEF ；S △CFM ；S △ANF ；S △AEF ；S △FGC ；S △CFM8．1.6 [解析] 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：(5.4－x )×3×1＋π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122x＝12.6.解得x ＝1.6.9．解：当n ＝1时，a ＝12(m 2－1)①，b ＝m ②，c ＝12(m 2＋1)③，因为直角三角形有一边长为5，分情况如下：情况1：当a ＝5时，即12(m 2－1)＝5，解得m ＝±11(舍去)；情况2：当b ＝5时，即m ＝5，再将它分别代入①③得a ＝12×(52－1)＝12，c ＝12×(52＋1)＝13；情况3：当c ＝5时，即12(m 2＋1)＝5，m ＝±3，因m >0，所以m ＝3，把m ＝3分别代入①②得a ＝12×(32－1)＝4，b＝3.综上所述，直角三角形的另两边长为12，13或3，4.10．解：设鸡有x 只，兔有y 只．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝35，2x ＋4y ＝94，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝12.答：鸡有23只，兔有12只．类型3 以数学名人为题材例3 1000 [解析] 由N (n ，4)＝n 2，N (n ，6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－2n ，于是N (n ，24)＝11n 2－10n ，故N (10，24)＝11×102－10×10＝1000. |针对训练|1．D [解析] 观察可得(a ＋b )n 的展开式中第三项的系数为n （n －1）2，因此，可得(a ＋b )20的展开式中第三项的系数为190.2．D [解析] 如图，∵圆锥的侧面展开图是个半圆，∴设这个半圆的半径为R ，则AC ＝R ，∴这个半圆的弧长为πR ，设圆锥底面圆的半径为r ，则2πr ＝πR ，得：R ＝2r ，∴AC ＝2r .由圆锥的母线AC ＝2r ，OC ＝r 得在Rt △AOC 中，h ＝AO ＝3r ，∵圆锥的体积等于9 3π，∴13πr 2·3r ＝9 3π，∴r ＝3，h ＝AO ＝3r ＝3 3.3．D [解析] 因为Q 是△EDF 的布洛卡点，所以∠QDF ＝∠QFE ＝∠QED ，又因为∠QFD ＝45°－∠QFE ，∠QEF ＝45°－∠QED ，所以∠QFD ＝∠QEF ，所以△QDF ∽△QFE ，所以QF ∶EQ ＝DQ ∶QF ＝DF ∶EF ＝1∶2(△EDF 是等腰直角三角形)，所以DQ ∶QF ＝1∶2，其中DQ ＝1，所以QF ＝2，且QF ∶EQ ＝1∶2，所以EQ ＝2，所以EQ ＋FQ ＝2＋ 2.故选D . 4．2 3＝32[1＋34＋(34)2＋(34)3＋…＋(34)n＋…] [解析] 根据三角形的面积来列出等式．由∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，可得三角形的面积为12×AC ×BC ＝12×2×2 3＝2 3.又因为三角形的面积可表示为n 个三角形的面积和，则可得到12×1×3＋12×32×32＋12×34×3 34＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋…＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋….所以根据面积相等得2 3＝。

【原创】中考试题中的数学文化(1)

中考试题中的数学文化《孙子算经》——算筹1.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种(如图)．第1题图当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示：“0”用空位来代替，以此类推．例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为()《九章算术》——正负术中国古代著名的数学专著《九章算术》(成书于公元一世纪)中，其作者已不可考，一般认为它是经历代名家的增补修订而逐渐成为现今定本的，书中最早提出了正负数加减法的法则：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之．”这里的“名”就是“号”，“除”就是“减”，“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”，“无”就是“零”．2.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温为零上10 ℃记作＋10 ℃，则－3 ℃表示气温为()A. 零上3 ℃B. 零下3 ℃C. 零上7 ℃D. 零下7 ℃《易经》——结绳记数“结绳记数”是远古时代的人最常用的记数方法，因为那个时候还没有发明阿拉伯数字，人们在记数的时候，就只能借助外物的帮助了．所谓“结绳记数”就是用打绳结的办法来记录物体的数量．3.(2018恩施州)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为________个．第3题图《算法统宗》——韩信点兵4．古代有这样一个数学问题：韩信点一队士兵人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人，问这队士兵至少多少人？我国古代学者早就研究过这个问题．例如明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》中就用四句口诀暗示了此题的解法：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知，这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3，5，7时，用70乘以用3除的余数(例如：韩信点兵问题中用70乘以2)，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把三个乘积相加．加得的结果如果比105大就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解．按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数为________．5.斐波那契数列斐波那契(约1170－1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)，后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果．在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用15[(1＋52)n－(1－52)n]表示(其中n≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：根据以上材料，可求出斐波那契数列中的第1个数为________；第2个数为________．6.杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年．(2019烟台)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a＋b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．(a＋b)0＝1(a＋b)1＝a＋b(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3(a ＋b )4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4(a ＋b )5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5…则(a ＋b )9展开式中所有项的系数和是( )A. 128B. 256C. 512D. 10247.《庄子·天下篇》——极限思想古人在两千多年前，已知道这个数学极限的原理．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，第1天开始每天去掉一半，当n 趋于无穷大时，12n 趋于0，但永远不是0，也就是永远取不完．我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为14尺，…，第n 天折断一半后得到的木棍长应为________尺．8.海伦——秦九韶公式古希腊的几何学家海伦，约公元50年，在数学史上因解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了如下公式：若一个三角形的三边分别为a ，b ，c ，记p ＝12(a ＋b ＋c )，那么三角形的面积为：S △ABC ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）(海伦公式)．我国南宋时期数学家秦九韶(约1202－1261)，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：S △ABC ＝14[a 2b 2－（a 2＋b 2－c 22）2] . 海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们一般也称此公式为海伦——秦九韶公式．(2019宜昌)古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记p ＝a ＋b ＋c 2，那么三角形的面积为S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）.如图，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝5，b ＝6，c ＝7，则△ABC 的面积为( )第1题图A. 66B. 63C. 18D. 1929.《孙子算经》——影度竿长(2018长春)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为( )A. 五丈B. 四丈五尺C. 一丈D. 五尺10.《九章算术》——勾股容方(2019泉州九上期末质检)我国古代数学著作《九章算术》中有题如下：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何？”其大意译为：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，四边形CDEF 是Rt △ABC 的内接正方形，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上，则正方形CDEF 的边长为________．第2题图《九章算术》——邑方几何(2019漳州九上期末质检)我国古代数学《九章算术》中记载了一个问题：“含有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”其大意是：如图，一座正方形城池，A 为北门中点，从点A 往正北方向走30步到B 处有一树木，C 为西门中点，从点C 往正西方向走750步到D 处正好看到B 处的树木，求正方形城池的边长．第3题图11.《几何原本》——一元二次方程图解法古希腊数学家丢番图在公元250年前在《算术》中就提出一元二次方程的问题，不过当时人们还没有找到一元二次方程的求根公式，只能用图解法求解，在欧几里得的《几何原本》中，就给出了形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法．(2018嘉兴)欧几里得的《原本》记载，形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝a 2，则该方程的一个正根是( )第1题图A. AC 的长B. AD的长C. BC的长D. CD的长。

2021年最新数学中考总复习知识点(完整版)

初中数学知识点总结第一章实数考点一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数Array有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义π+8等；的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。