待定系数法分解因式
待定系数法分解因式
待定系数法分解因式…•…名师点拨学科：奥数教学内容：待定系数法分解因式经验谈：待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。
其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。
【内容综述】将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。
同学们要仔细体会解题的技巧。
_ j T~r~ www.pk.u$chooLcom — ~~・・-【要点讲解】这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。
★★例1分解因式思路1因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。
解法1因为”…V所以可设2十十0-3才+x +14》-15 = (x-y 5)(2X■+3y + n).=2# + xy~3y2 + (2 朋 +同)兀 + (3碑-总)丿f21t+n= I比较系数，得由①、②解得:■ ■-把:--代入③式也成立。
/. . T 1:‘:“ ：; •" - :/I…:I :;：T [思路2前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n的值。
解法2因为a：：、；;”所以可设2x J+xy-3y2 +x+14.y^l5= (x-y + 刑)(2x + 3y + n\因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令：「得™ = -15.令_ _ -■得"‘•一」解①、②得"V或 '汀把它们分别代入恒等式检验，得-'■ : : -:.■: ■- …说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。
因式分解法的待定系数法
因式分解法的待定系数法待定系数法是一种用于求解多项式函数因式分解的方法。
这种方法主要使用一些指定的“待定系数”来表示多项式的各个部分，然后通过联立线性方程组，确定这些待定系数的值，从而求解出多项式的因式分解式。
在这篇文章中，我们将详细介绍该方法的基本思想和具体步骤，以帮助您更好地理解。
一、待定系数法的基本思想待定系数法的基本思想是，假设多项式函数的因式分解式具有一定的形式，并用一些“待定系数”来表示多项式的各个部分。
然后，根据给定的条件，将这些未知系数代入多项式中，联立未知数方程组，从而求解出这些未知数的值，进而得到多项式的真正因式分解式。
二、待定系数法的具体步骤1. 确定多项式的形式在使用待定系数法分解多项式时，需要先确定多项式所具有的形式。
常见的形式包括平方差、完全平方、一次二次乘积等。
如果无法确定多项式的形式，则无法使用待定系数法进行分解。
2. 建立方程根据多项式的形式，可以得到关于待定系数的未知量方程。
如果形式是平方差，则常用形式为Ax²-B²=(Ax+B)(Ax-B)；如果形式是完全平方，则常用形式为x²+2a+1=(x+a+1)²；如果形式是一次二次乘积，则常用形式为x²+bx+c=(x+m)(x+n)3. 解方程将建立的未知量方程代入多项式中，并整理成标准形式。
通常采用高斯消元法、等价代换法等方法解线性方程组，从而得到待定系数的值。
4. 确认结果将求得的待定系数代入多项式因式分解式中，验证是否正确。
如果正确，则求解成功。
三、待定系数法的优缺点优点：待定系数法求解因式分解式的过程简单，易于实现。
适用广泛，可以解决形式各异的多项式问题。
缺点：待定系数法需要先假设多项式的分解式形式，如果形式选择不当，则无法进行分解。
对于具有多个重根的多项式，待定系数法求解起来较为繁琐。
待定系数法对于不规则的多项式难以求解，需要减少规则项。
综上所述，待定系数法是求解因式分解问题的一种简单有效的方法。
因式分解的待定系数法
因式分解的待定系数法因式分解的待定系数法是一种通过设定待定系数，并利用已知条件解方程组来分解代数表达式的方法。
这种方法常用于分解多项式或解析函数的因式，对于一些复杂的多项式或函数，待定系数法能够提供一种简单有效的解决方案。
在待定系数法中，我们假设要分解的多项式或函数为P(x)，并设定待定系数a，b，c等，并利用已知条件建立方程组，通过求解方程组，我们可以确定待定系数的值，从而得到多项式或函数的因式。
具体来说，设定待定系数法通常分为以下几个步骤：1. 确定待定系数的个数：根据多项式或函数的次数，确定所需的待定系数的个数。
例如，对于二次多项式，我们需要设定两个待定系数。
2. 建立方程组：根据已知条件建立方程组，以求解待定系数。
已知条件通常来自于多项式或函数的根、零点、截距等，也可能包括导数的值等等。
方程组的个数应当与待定系数的个数相等。
3. 求解方程组：利用代数方法求解方程组，以确定待定系数的值。
4. 得到因式：将待定系数的值代入到多项式或函数中，得到因式的表达式。
下面通过一个具体的示例来解释待定系数法的具体过程：假设我们要分解二次多项式P(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为待定系数。
已知P(x)的图像上有一个零点为x = 1，并且在x = 2处有一个切线的斜率为3。
现在利用待定系数法分解P(x)。
根据已知条件，我们可以列出方程组：1. P(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 02. P'(2) = 2a(2) + b = 3解这个方程组可以得到待定系数的值。
假设方程组的解为a = 2，b = 1，c = -1。
将待定系数的值代入P(x)，我们得到因式的表达式为P(x) =2x^2 + x - 1。
通过解方程组，我们成功地将二次多项式P(x)通过待定系数法分解成了三个一次因式。
这种方法同样适用于更高次的多项式或更复杂的函数，只要设定足够的待定系数，并利用已知条件建立方程组。
利用待定系数法因式分解和分式的拆分等
第2讲利用待定系数法因式分解.分式的拆分等一、方法技巧1.待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式/（x） = g （x）的充要条件是：对于一个任意的值，都有/（X）= g（x）:或者两个多项式各关于X的同类项的系数对应相等.2.使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）：（3）解方程（组），从而使问题得到解决.例如："已知x2-5=（2-6/）-X2 +Z?x+c,求d, b, c 的值."解答此题，并不困难.只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到b, c的值.这里的a, b f c是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法.3.格式与步骤：（1）确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中，解析式就是：（2 —a）/+bx+c（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.在这一题中，恒等条件是：（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.a = l/• < b = 0c = -5二、应用举例类型一利用待定系数法解决因式分解问题【例题1】已知多项式2x4-3x3 +股‘ + 7x+b能被F + x—2整除（1）求o, b（2）分解因式：2x4-3x34-ax2 + 7x+b【答案】（1）a=一12和/?= 6 （2）2兀“-3x‘一12亍+ 7x+6 =（兀'+x-2）（2x‘一5兀一3）【解析】试题分析：（1）由条件可知疋+ /-2是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为巾，故可设2疋一3疋+ +7x+b = （x‘+兀一2）（2亍+肌¥+川），可解出〃7、m最后代入即可求出a、b的值.（2）由（1）可得结果试题解析：解：(1) T 多项式2x° —3x‘ + QX7 + 7x+ b 能被AT +x— 2 整除•••设2x4 -3x‘ + + 7x+b = (x，+兀一2)(2亍 + 〃?x + 〃),整理，得2x4一3x3 + ax2 +7x+b = 2x4 + (〃?+2)牙‘ + 伽+n-4)x2 + (/?-2m)x一2n m + 2 = -3 m+n-4=a n一2m = 7 b = -2/?b = 6•••a、b的值分别为-12和6.(2) 2疋-3屮-12亍 + 7兀+6 =(x2 +x-2)(2x z-5x-3)考点：1.待定系数法因式分解2.整式乘法3.解方程组.点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘枳，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】一般【例题2】分解因式：2x2 + 5xy-3y2-3x+5y-2【答案】2x2 + 5.巧-3y‘ - 3x + 5y-2 = (2x-y + l) (x+3y-2)【解析】试题分析：方法一因为2x2 + 5xy^-3y2=C2x-y)(x+3y),因此加果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘枳，那么设原式的分解式是(2x-y+加)(x + 3y切),其中加、n为待定系数•然后展开，利用多项式的恒等，求出〃7、〃的值.试题解析：解：•: 2亍+ 5厂一3尸=(2x_y) (x+3y),:.设2亍+5xy-3y2 -3x+5y-2 = (2x-y + m)(x + 3y + “)即2x2 + 5号一3才一3x+5y - 2 = (2x - y) (x+3y)+(m+2n )x4-(3/tt-n)y + nm"2 m =—3 n = -3m + In = -3 ①对比系数，得：3/n -n = 5 ②mn = -2③ = 1n = -2代入③式也成立.••• 2x 2 + 5xy^-3y 2-3x + 5y-2 = C2x-y + l) (x+3y-2)试题分析：方法二前面同思路1,因为2x 2 + 5心-3)F_3x+5y-2 =(2x-y)(x+3y)+(〃7+2“)x+(一幵)y + mn 是恒等式，所以对 任意的值，等式都成立，所以给取特殊值，即可求出〃7屮的值.试题解析：解：V 2x 2 + 5xy-3y 2 =(2x-y) (x+3y),/•设+ 5卩一3)F -3x+5y-2 = (2x —(x+3y+〃)即 2x 2 + 5A)?-3y 2 -3x+5y - 2 = (2x-y)(x+3y)+(加+2M )X +(3 加-/7)y+/wf?•・•该式是恒等式，・••它对所有使式子有意义的X, y 都成立，那么令x = 0, y = 0得:nm = -2®令 x = 0, y = 1得：3加一〃 +肋一3 = 0 ② m = l解①、②组成的方程组，得｛ 或 n = -2m — 1把它们分别代入恒等式检验，得彳n = -2/• 2x 2 + 5xy-3y 2 -3x + 5y-2 = (2x- y+ 1) (x+3y-2)考点：1.待定系数法分解因式2.解方程组.点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的 解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去：若得方程组无解，则说明原式不能分解成所 设形成的因式.【难度】较难类型二利用待定系数法解决分式拆分问题【例题3】将分式---------------- 拆分成两个分式的和的形式.(r + l)(x + l)1-x + 1解: 【例题【答案】 ------------------- = ---------------- + --------------(x2 +1)(% +1)2(%2 +1) 2(x +1)【解析】试题分析:［ax + b c设 ------- ------- =—+ —,将等式右边通分，再利用分子恒等求出a、b、c的值即可. (X" + l)(x+ 1) JT + 1 X+ 1试题解析:ax+b c x2 +1 x+1ax+b c 而「+ i ~ (a + c)x2 + (a + b)x+b + c(亍 + 1)(兀+1)即r 1=(•L + l)(X + l)(a + c)x2 + (a + b)x + b + c(x2 +l)(x+l)解得“弓"冷.1 -x+1 1——; ------------- = ； H ----------------------------(x2 + l)(x +1) 2(亍 +1) 2(x +1)考点：分式的恒等变形点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax+B形式，分母只含一次项，则设分子为常数【难度】较难1 1 1 1------------- + -----------------------+ ----------------------- +・・・+ -----------------------a(a + l) (a + l)(a + 2) (a + 2)(a + 3) (a + 9)(a + 10)■ “ 小10［答案］— ------ ——a(a + 10)【解析】试题分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积(若d是整数)，所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题.试题解析：1 A R解：我们设=- + —a(a + l) ci a + l1.A B A(a + l) + Ba (A + B)a + AIIIJ —— + ------ = ----------------------- =--------- - ------ - --a a + 1 a(a + l) a(a + l)所以]a(a +比较分子得：+ B = 解得：= lIA = 1 15 = —1卄〜1 1 1 1 1 1 1 1a a + l67 + 1 a + 2 a + 2 a + 3 a + 9 a + 10考点：分式计算.点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的枳，可直接用公式1 1 1 jr/,— ----- -=---------- 拆分.n（n + l） n n + 1【难度】较难类型三利用待定系数法解决多项式中不含某项问题【例题5】已知（干一〃泾+3）（3兀一2）的积中不含x的二次项，则〃？的值是（）2 2 3A. 0B. —C. 一一D. —3 3 2【答案】C【解析】试题分析：将多项式（亍-加+3）（3x-2）展开、合并，按x的降幕排列，根据积中不含x的二次项等价于F项的系数为零列方程即可求得加的值.试题解析：解：•・•（x2 - mx+3）（3x - 2） = 3x3 - 3mx2 +9x-2x2 + 2mx一6=—（3〃7+2）亍+（9+2〃7）X-6•・•积中不含x的二次项，•°・ 3/77 4-2 = 0»2解得/;/ = — .3故选C.考点：多项式乘以多项式.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般三、实战演练1•若多项式3F + 5JQ，—2于+兀+9＞，+ ”能被3x—y + 4整除，则〃 = ________ .【答案】-4【解析】试题分析：此题可通过因式分解得到：被除式=商乂除式（余式为0）,其除式为3x-y + 4即可试题解析：解：设原式=（3x — y + 4）（x+2y + 也）=3x2 + 5xy- 2y2+（3〃?+4）x+（8—〃7）y+3/w + 4 = 1 ①比较系数，得：老一加=9 ②n = 4加③由①，②解得〃7 = —1,代入③得n = -4考点：因式分解的应用点评：此题考查知识点是因式分解的应用，运用公式被除式二商x除式（余式为0）是解题关键.【难度】容易2.分解因式：h + x' + F + x + l【答案】x4 + x3+x2+x+l =(X2 + 1-耳Y+l)(〒 + ^\ + 1)2【解析】试题分析：这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式，又因为不是二次三项式所以不适用十字相乘法; 虽多于三项，但分组之后分解不能继续.因此，我们应采用其他的办法一待定系数法.这是一个四次五项式，首项系数为1,尾项也是1,所以它可以写成两个二次三项式的枳，再利用恒等式的性质列方程组求解即可.试题解析：解：设X1 + X3 + 妒 + 兀+1 = (x2 + mx+V)(x2 + nx +1)而(X2 + mx + l)(x2 + nx +1)m + n = lmn + 2 = 1/. x4 + x5 + x2 +x + l = (x2 + ] + l)(x2 + 上逅x +1)2 2考点：待定系数法因式分解.点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关键.【难度】容易3.分解因式：ler + 3ab- 9b2 +146/- 3Z? + 20【答案】2亍+3”-松+14。
待定系数法分解因式附答案
待定系数法分解因式(附答案) 待定系数法是一种常用的分解因式的方法，适用于多项式的因式中有一个二次项和一个一次项的情况。
下面我将详细介绍待定系数法的步骤，并给出一个具体的例子。
假设我们要分解因式的多项式为：ax^2 + bx + c，其中a、b、c是待定系数。
步骤一：设分解因式为(x + m)(x + n)，其中m和n是待定系数。
步骤二：将待分解的多项式用分解因式展开：(x + m)(x + n) = x^2 + (m + n)x + mn。
步骤三：将展开后的多项式与原多项式进行比较，得到以下关系式：
a = 1（因为x^2的系数为1）；
b = m + n；
c = mn。
步骤四：根据关系式解出m和n的值。
步骤五：将得到的m和n代入分解因式中，即可得到最终的分解因式。
下面以一个具体的例子来说明待定系数法的使用：
例子：分解因式x^2 + 5x + 6。
步骤一：设分解因式为(x + m)(x + n)。
步骤二：展开(x + m)(x + n)得到x^2 + (m + n)x + mn。
步骤三：根据关系式得到以下方程组：
1 = a；
5 = m + n；
6 = mn。
步骤四：解方程组，得到m = 2，n = 3。
步骤五：将m和n代入分解因式中，得到(x + 2)(x + 3)。
所以，x^2 + 5x + 6可以分解为(x + 2)(x + 3)。
以上就是待定系数法分解因式的详细步骤和一个具体例子。
通过使用待定系数法，我们可以将一个多项式分解为两个一次项的乘积，从而更好地理解和运用多项式的因式分解。
代定系数法因式分解
待定系数法因式分解待定系数法因式分解定理是一种用于因式分解多项式的方法，它基于多项式的根与系数之间的关系。
1、解题思路待定系数法是一种用于因式分解多项式的方法，其中我们假设多项式的因式可以表示为待定系数与特定项的乘积。
然后通过解方程组来确定待定系数的值。
2、基本步骤因式分解多项式f(x)=3x^2+7x+2。
按照待定系数法，可以假设f（x）可以因式分解为（ax+b）（cx+d）的形式，其中a、b、c、d是待定系数。
展开括号得到：f(x)=(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd我们可以观察到，多项式f(x)=3x^2+7x+2的系数分别是ac、ad+bc和bd。
现在，我们需要通过解方程组来确定待定系数的值。
将多项式的系数与我们假设的形式相比较，得到以下方程组：ac=3ad+bc=7bd=2解这个方程组，我们可以得到a=1，b=2，c=3，d=1。
3、得出结果因此，多项式f（x）可以因式分解为（x+2）（3x+1)。
利用待定系数法因式分解定理进行因式分解的具体实例。
假设我们要因式分解多项式f(x)=x^3-7x^2+16x-12。
按照待定系数法因式分解定理，我们可以假设f（x）可以表示为以下形式的乘积：f(x)=a(x-r1)(x-r2)(x-r3)其中，r1、r2、r3是多项式的根，a是待定系数。
我们需要找到多项式f（x）的根。
通过观察多项式的系数，我们可以猜测其中一个根本可能是1，因此我们可以使用这个猜测来进行试验。
将多项式f（x）使用综合除法除以x-1（当作一个因式），我们得到上式为x^2-6x+10。
现在我们有一个二次多项式，我们可以使用求根公式或其他方法来找到其根。
假设该二次多项式的根是r2和r3。
根据待定系数法因式分解定理，我们可以写出以下方程：(x-1)(x-r2)(x-r3)=a(x^3-7x^2+16x-12)展开右侧的乘积，并与原多项式f（x）进行比较，我们得到以下等式：x^3-(r2+r3)x^2+(r2r3+r3+r2)x-r2r3=ax^3-7ax^2+16ax-12a通过比较系数，我们得到以下方程组：(r2+r3)=-7(r2r3+r3+r2)=16-r2r3=-12a现在我们需要了解这个方程组，求解待定系数a和根r2、r3的值。
因式分解待定系数法
用待定系数法分解因式就是按照已知条件，把原式设为几个因式的乘积，然后利用多项式恒等定理，求出各待定系数的值。
待定系数法的定义
待定系数法，一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
待定系数法求因式分解
待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
因式定理的简单运用其实就是一个窍门：
如果各项系数和为0，则必含有因式（x-1)；如果奇次项系数和与偶次项系数和相等，则必含有因式（x+1）可以用一个十字相乘法来引入，因为十字相乘法是特殊的待定系数法。
使用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式。
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
分式因式分解待定系数法
分式因式分解待定系数法
分式因式分解待定系数法(英文：Polynomial long division，又称：长除法)是一种用来分解因式的方法。
若一个多项式除以一个单项式，可以用多项式除以单项式的除法进行；若一个多项式除以另一个多项式，就比较复杂。
这时通常用长除法进行。
具体做法是：用商的代数式除以除式，所得的商作为试商，再将被除数中减去试商，所得差继续做除数，直到差为0或能整除除数为止，最后将所有的试商和整除数相加就是所求的商。
需要注意的是，这种方法的适用范围是：被除数或除数中含有多次的因式，且商为多项式。
初中数学待定系数法分解因式
初中数学待定系数法分解因式待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。
其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。
【内容综述】将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。
同学们要仔细体会解题的技巧。
【要点讲解】这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。
★★例1 分解因式2x^2+3xy-y^2+x+14y-15.? ? 思路1 因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以设原式的分解式是(x-y+m)(2x+3y+n),后展开，利用多项式的恒等,求出m、n的值。
? ?解法1因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以可设2x^2+3xy-y^2+x+14y-15=(x-y+m)(2x+3y+n)=2x^2+3xy-y^2+(2m+n)x+(3m-n)y+mn? ?比较系数得2m+n=1...(1) 3m-n=14...(2) mn=-15...(3) ?由(1)(2)得m=3,n=-5,带入(3)成立。
(想想，如果不成立说明什么?)所以2x^2+3xy-y^2+x+14y-15=(x-y+3)(2x+3y-5).? ?思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。
? ? 解法2 因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以设原式的分解式是(x-y+m)(2x+3y+n), 因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令x=0,y=0,得mn=-15...(1),令x=0,y=1得mn+3m-n+1=0...(2)解①、②得m=3,n=-5或m=5/3,n=-9,带入恒等式验证知m=3,n=-5.? ?说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。
待定系数法因式分解技巧口诀
待定系数法因式分解技巧口诀
1.判断是否需要使用待定系数法。
待定系数法主要适用于分解含有二
次项或高次项的多项式，即多项式的次数大于等于2、如果多项式的次数
小于2，通常可以使用其他的因式分解方法。
2.将多项式按照一定的次数次序排列，并确定其次数最高的项的类型。
一般来说，在多项式中，次数最高的项通常是一个二次项或高次项。
3. 假设待分解的多项式为P(x)，并设其因式分解形式为P(x) = (ax + b)(cx + d)。
根据所设的形式，可以确定每个因式的次数，并逐步进行
因式分解的计算。
4. 根据等式P(x) = (ax + b)(cx + d)的左右两侧进行展开，得到
展开式的各项系数。
5.利用展开式的各项系数进行系数比较，从而得到一系列的方程式。
6.解方程组。
根据待定系数法的原则，通过解方程组得到待定系数a、
b、c、d的具体取值。
7. 将得到的待定系数代入P(x) = (ax + b)(cx + d)中，从而得到
原多项式的因式分解形式。
8.检验。
将得到的因式分解形式代入原多项式进行验算，确保分解结
果正确无误。
9.可能的优化。
如果待定系数法得到的方程组比较复杂，可以尝试简
化方程组，使用其他代数或代数几何的技巧进行求解。
10.总结。
待定系数法是一种常用的因式分解技巧，它通过设定待分解多项式的因式分解形式，从而得到待定系数的具体取值，进而完成多项式的因式分解过程。
通过这个口诀，我们可以清楚地了解待定系数法的具体步骤和技巧，进一步提高因式分解的效率和准确性。
待定系数法分解因式
待定系数法分解因式
待定系数法分解因式是一种处理多项式的有效解决方案，用于寻找它们具有相同因子的分解形式。
它可以将复杂的多项式及带有待定程度的项或多项式分解为简化的表达式，可以更清楚地了解这些多项式的求解方式。
将多项式的每一项分解为其因子的乘积，然后组合成新的多项式。
每一项中的系数是未知的，其取值范围由提出的问题所约束。
待定系数法分解因式具有很多优点，例如可以有效地减少多项式项数，以便更容易解决多项式求解问题。
它能够有效地消除约束性限制，将多项式分解为诸多简单项，使其更易于计算。
它可以结合其他数学工具，如微积分、线性代数等，发挥最佳效果，满足不同的数学问题的求解要求。
待定系数法分解因式有助于理解多项式问题，还能提高数学分析问题的效率，提高试验数据的准确性。
可以用该方法在众多数学领域进行数学计算，如微积分、线性代数、概率统计等，一次性解决大量问题，可以显著提高工作效率。
总的来说，待定系数法分解因式也有局限性，例如无法精确确定因式，有限的计算能力，待定系数可能不唯一，因而问题可能无法完全解决。
固，在使用时需要更多的考虑，才能获得更加准确的结果。
本质上，待定系数法分解因式旨在以有效的方式解决多项式，将复杂的问题进行分解，以对其进行有效地分析。
如此，不仅能够减少计算难度，提高解题能力，而且能够进行更有效的研究，为统计分析、数学模型设计等带来更大的帮助。
专题45 待定系数法(解析版)
专题45 待定系数法1.待定系数法的含义一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
2. 待定系数法的应用（1）分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
在初中竞赛中经常出现。
a.确定所求问题含待定系数的解析式。
b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。
c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
（2）求函数解析式初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=k/x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。
c.解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。
（3）解方程例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．（4）分式展开首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。
待定系数法因式分解
待定系数法因式分解
1等待定系数法因式分解
等待定系数法因式分解是一种比较常用的分解公式的方法，它可以将复杂的公式分解成若干相等的两项式，能更便捷的求出我们想要的结果。
它的基本原理是，首先，把公式中的两项乘积分别记作a和b，其中a作为第一项，b作为第二项。
然后，把两个平方差记作c，把b乘以c称为d。
最后，把c除以a，即可得到第二项。
使用等待定系数法因式分解的方法，我们可以比较容易地将比较复杂的多项式分解成相等的两项式，以更快捷，更方便地求出我们需要的结果。
比如，当需要求出多项式$x^5-5x^4+6x^3-5^2x+2的值的时候，我们可以将它分解为（x-2）（x^4-3x^3+4x^2-2x+1），然后通过乘法，加法等其他储备的求解方法，比直接求出所有项快得多。
所以，等待定系数法因式分解是一种比较实用的分解公式的方法，它可以显著提高求解的效率，节省时间和解题的步骤，受到广大人士的欢迎。
八年级利用待定系数法分解因式
八年级利用待定系数法分解因式题目展示【例题讲解】因式分解：x3﹣1．∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立．∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即解得．∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．【学以致用】（1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝；（2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值；（3）请判断多项式x4+x2+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由．题目分析（1）根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；（2）根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；（3）根据待定系数原理和多项式乘以多项式即可求得结论．题目解答解：（1）1；解法提示：∵（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，∴﹣m＝﹣1，∴m＝1，（2）设另一个因式为（x2+ax+k），（x+1）（x2+ax+k）＝x3+ax2+kx+x2+ax+k＝x3+（a+1）x2+（a+k）x+k，∴x3+（a+1）x2+（a+k）x+k＝x3+3x2﹣3x+k，∴a+1＝3，a+k＝﹣3，解得a＝2，k＝﹣5；（3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x2+x+1）（x2+ax+1），①（x2+1）（x2+ax+b）＝x4+ax3+bx2+x2+ax+b＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b，∴a＝0，b+1＝1，b＝1，由b+1＝1得b＝0≠1，②（x2+x+1）（x2+ax+1）＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1，∴a+1＝0，a+2＝1，解得a＝﹣1．即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积．答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．。
待定系数法分解因式(附问题详解)
待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。
其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。
内容综述将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。
同学们要仔细体会解题的技巧。
要点解析这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。
例1 分解因式思路1 因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。
解法1因为所以可设比较系数，得由①、②解得把代入③式也成立。
∴思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。
解法2 因为所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得令得解①、②得或把它们分别代入恒等式检验，得∴说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。
若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。
例2 分解因式思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。
解设由恒等式性质有：由①、③解得代入②中，②式成立。
∴说明若设原式由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式例3在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。
思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。
可考虑利用恒待式的性质。
解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得解得故所求的二次三项为思路2 根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。
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学科：奥数
教学内容：待定系数法分解因式
经验谈：
待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。
其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。
【内容综述】
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。
同学们要仔细体会解题的技巧。
【要点讲解】
这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。
★★例1 分解因式
思路1 因为
所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。
解法1因为所以可设
比较系数，得
由①、②解得把代入③式也成立。
∴
思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。
解法2 因为所以可设
因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得
令得
解①、②得或
把它们分别代入恒等式检验，得
∴
说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。
若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。
★★例2 分解因式
思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。
解设
由恒等式性质有：
由①、③解得代入②中，②式成立。
∴
说明若设原式
由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式
★★★例3 在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。
思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。
可考虑利用恒待式的性质。
解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得
解得
故所求的二次三项为
思路2 根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。
解法2 由已知条件知当时，这个二次三项式的值都为0，故可设这个二次三项式为
把代入上式，得
解得
故所求的二次三项式为即
说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。
★★★★例4 已知多项式的系数都是整数。
若是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。
证明：设
（m,n,r都是整数）。
比较系数，得
因为是奇数，则与d都为奇数，那么mr也是奇数，由奇数的性质得出m,r也都是奇数。
在①式中令，得②
由是奇数，得是奇数。
而m为奇数，故是偶数，所以是偶数。
这样②的左边是奇数，右边是偶数。
这是不可能的。
因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。
★★★★例5 已知能被整除，求证：
思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。
证明：设展开，比较系数，得
由①、②，得，
代入③、④得：，
∴
★★★例6若a是自然数，且的值是一个质数，求这个质数。
思路：因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a的值。
进而解决问题。
解：由待定系数法可解得
由于a是自然数，且是一个质数，
∴
解得
当时，不是质数。
当时，是质数。
∴=11 .
A级
★★★1、分解因式_______.
★★★2、若多项式能被整除，则n=_______.
★★3、二次三项式当时其值为-3，当时其值为2，当时其值为5 ，这个二次三项式是_______.
★★4、m, n是什么数时，多项式能被整除？
B级
★★★5、多项式能分解为两个一次因式的积，则
k=_____.
★★★6、若多项式能被整除，则_______. ★★7、若多项式当 2 时的值均为0，则当x=_____时，多项式的值也是0。
★★★8、求证：不能分解为两个一次因式的积。
参考答案或提示：
1.
提示：设原式
比较两边系数，得
由①、②解得
将代入③式成立。
∴原式
2、-4。
提示：设原式
=
比较系数，得
由①、②解得
代入③得
3、
提示：设二次三项式为
把已知条件代入，得
解得
∴所求二次三项式为
4.
设
比较系数，得
解得
∴当m=-11，n=4已知多项式能被整除。
5.-2
提示：设原式
.
比较系数，得
解得
6.-7
提示：设原式
比较系数，得
解得
∴
7.3.
提示：设原式
比较系数，得
解得c=3.
∴当x=3时，多项式的值也是0.
8.设原式且展开后比较系数，得
由④、⑤得代入③，再由①、③得将上述入②得.而这与③矛盾，即方程组无解。
故命题得证。