13.5 逆命题与逆定理
第13章 13.5 1.互逆命题与互逆定理
5．关于互逆定理的说法中，正确的是( A ) A．任何一个定理都有逆命题 B．任何一个定理都有逆定理 C．任何一个定理的逆命题都是真命题 D．两个真命题互为逆定理
6．下列说法正确的个数有( A )
①每一个命题都有逆命题；②每一个定理都有逆定理；③原命题不正确，
它的逆命题一定不正确；④互逆命题是互逆定理．
互逆定理． 【例 2】下面命题互为定理吗？说明理由． (1)“在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”与“如果三角 形的一条边的平方等于另两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”； (2)“对顶角相等”与“相等的角是对顶角”． 【思路分析】一个定理一定有逆命题，但不一定有逆定理．
【规范解答】(1)互逆定理；(2)不是，命题“相等的角是对顶角”是假命题．
(4)同角的补角相等 真．
14．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为点 E、F. (1)求证：DE＝DF； (2)下面是(1)的一个逆命题，请判断其是真命题还 是假命题？若是真命题，请给出证明；若是假命 题，请举出反例． 如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，E、F 分别在 AB、AC 上， 若 DE＝DF，则 DE⊥AB，DF⊥AC.
13．写出下列命题的逆命题，并指出它们的真假性． (1)如果 x＝5，那么 x2－5x＝0； (2)全等三角形的面积相等； (3)如果△ABC 是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，△ABC 的三个外角中有两个钝角； (4)相等的角是同角的补角． 解：(1)如果 x2－5x＝0，那么 x＝5 假； (2)面积相等的三角形全等 假； (3)如果当每个内角取一个对应外角时，△ABC 的三个外角中有两个钝角， 那么△ABC 是直角三角形 假；
华师大版数学八年级上册13.5《逆命题与逆定理》说课稿
华师大版数学八年级上册13.5《逆命题与逆定理》说课稿一. 教材分析华师大版数学八年级上册13.5《逆命题与逆定理》是本节课的主题。
这部分内容是在学生已经掌握了命题与定理的基础上进行学习的，是进一步引导学生深入理解数学概念，培养学生逻辑思维能力的重要内容。
逆命题与逆定理是数学中的基本概念，理解这两个概念有助于学生更好地理解命题与定理的本质。
通过学习逆命题与逆定理，学生能够更深入地理解数学的逻辑结构，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经有了一定的数学基础，对命题与定理有一定的了解。
但是，对于逆命题与逆定理的理解可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例来理解逆命题与逆定理的概念，并通过练习来巩固所学知识。
三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生理解逆命题与逆定理的概念，能够运用逆命题与逆定理来解决问题，提高学生的逻辑思维能力。
四. 说教学重难点本节课的重难点是逆命题与逆定理的理解和运用。
学生需要通过实例来理解逆命题与逆定理的概念，并通过练习来掌握运用逆命题与逆定理的方法。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲解法、示例法、练习法等教学方法。
通过讲解法，我来向学生解释逆命题与逆定理的概念；通过示例法，我来引导学生通过实例来理解逆命题与逆定理；通过练习法，我来让学生通过练习来巩固所学知识。
六. 说教学过程1.导入：我会通过一个简单的实例来导入本节课的内容，让学生初步感受逆命题与逆定理的概念。
2.讲解：我会详细讲解逆命题与逆定理的概念，并通过示例来让学生更好地理解这两个概念。
3.练习：我会给出一些练习题，让学生通过练习来巩固所学知识。
4.总结：我会对本节课的内容进行总结，让学生加深对逆命题与逆定理的理解。
七. 说板书设计板书设计如下：逆命题与逆定理逆命题：将一个命题的条件和结论互换得到的命题。
逆定理：如果一个命题的条件是另一个命题的结论，另一个命题的条件是这个命题的结论，那么这两个命题叫做逆定理。
第13章 13.5 13.5. 1 互逆命题与互逆定理
证明：过点E作EM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于
点N，∵BD、CE分别是△ ABC的中线，∴S△ BEC＝S△ BDC，
∴
1 2
BC·EM＝
1 2
BC·DN，∴EM＝DN，在Rt△ EMC和
Rt△ DNB中，CE＝BD，EM＝DN，
∴Rt△ EMC≌Rt△ DNB，∴∠ECM＝∠DBC，在△ EBC
6.在△ ABC 中，∠A 的相邻外角是 110°，要使△ ABC 是等腰三角形，则∠B＝ 55°或 70°或 40° ．
7. 命题“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题 是 两边上的中线相等的三角形是等腰三角形 ，这个命 题是 真 命题．(填“真”或“假”)
【解析】逆命题：两边上的中线相等的三角形是等 腰三角形．已知：如图，在△ ABC中，BD、CE分别是 边AC和AB上的中线，且CE＝BD，求证：△ ABC是等腰 三角形．
知识点 互逆定理 4. 下列定理是否都有逆定理？若有，请写出来． (1)如果两个角都是直角，那么这两个角相等； (2)内错角相等，两直线平行； (3)等边三角形的三个内角都等于60°.
解：(1)逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角 是直角，它是一个假命题，故(1)没有逆定理．
(2)逆命题是：两直线平行，内错角相等，它是一个 真命题，故(2)的逆命题就是它的逆定理．
如图，△ ABC 是等边三角形． (1)若 AD＝BE＝CF，求证：△ DEF 是等边三角形； (2)请问(1)的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不 成立，请用反例说明．
解：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， AB＝AC＝BC， 又∵AD＝BE＝CF， ∴AB－AD＝BC－BE＝AC－CF， 即 BD＝CE＝AF. ∴△ADF≌△BED≌△CFE.
全等三角形135逆命题与逆定理3角平分线课件
证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°. ∠DEB＝∠DFC，
在△BDE 和△CDF 中，∠BDE＝∠CDF， BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF(A.A.S.)，
∴DE＝DF，∴点D在∠BAC的平分线上．
(2)若将条件“BD＝CD”与(1)中结论“点D在∠BAC的平分 线上”互换，成立吗？试说明理由．
①∠AMB＝36°；②AC＝BD； ③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD. 其中正确的结论有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC.即∠AOC＝∠BOD.
∴△AOC≌△BOD.∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，故②正确． 在△AOC 和△BOD 中，O∠AA＝OOC＝B，∠BOD，
(2)写出AB，AC与AE之间的数量关系，并证明．
解：AE＝12(AB＋AC)． 证明：易证△ADE≌△ADF，得 AE＝AF， ∴12(AB＋AC)＝12(AE－BE＋AF＋CF) ＝12(AE－BE＋AE＋BE)＝AE.
15．如图，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为点E，F， BF交CE于点D，BD＝CD.
第13章 全等三角形
13.5 逆命题与逆定理
3．角平分线
新知笔记 1 相等 2 平分线
提示：点击 进入习题
1A 2B 33 4B 5B
答案显示Biblioteka 6D 7D 8 120° 9B 10 B
11 B 12 见习题 13 见习题 14 见习题 15 见习题
答案显示
1．角平分线上的点到角两边的距离__相__等____．
华东师大版八年级上册数学课件13.5逆命题与逆定理1.互逆命题与互逆定理
A )
B．等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形的两个底角相等 D．三边对应相等的两个三角形全等
3．命题“如果一个数能被10整除，那么这个数也一定能被5整除” 5整除，那么这个数也一定能被10整除 的 逆 命 题 是如果一个数能被 _____________________________________________ ，
＝90°，∴△ABC是直角三角形．
易错点：考虑问题不全面导致对命题的判断出错
11．已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝－a；②若ma2>na2，则m>n； ③不相等的角不是对顶角；④两直线平行 ，内错角相等．其中原
命题与逆命题均为真命题的个数是(
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
)
B
12．判断下列命题，其中逆命题正确的有(
10 ． 请写出定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题．这个
逆命题正确吗？若正确， 请你画出图形， 写出“已知”“求证”， 再进行“证明”；若不正确，请举反例说明．
解：两个锐角互余的三角形是直角三角形．这个逆命题正确．
已知：如图，△ABC中，∠A＋∠B＝90°.求证：△ABC是直角三 角形．
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C
14．已知下列命题： 1 1 ①若 a>0，b>0，则 a＋b>0；②若 a≠b，则 a ≠b ；③若aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb，
2 2
则 a＝b；④任何有理数都有倒数． 其中原命题与逆命题均为真命题的有( A．0 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
A
)
15．写出下列命题的逆命题，并指出它们的真假性．
(1)如果x＝4，那么x2＝16；
华师版数学八年级上册教案-第13章 全等三角形-13.5 逆命题与逆定理(3课时)
13.5逆命题与逆定理1互逆命题与互逆定理(第1课时)一、基本目标1．理解逆命题与逆定理的意义，会写出一个命题的逆命题．2．会判断定理的逆命题的真假．二、重难点目标【教学重点】会写出一个命题的逆命题，会判断定理的逆命题的真假．【教学难点】写出一个命题的逆命题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P92～P93的内容，完成下面练习．【3 min反馈】一、互逆命题1．命题“两直线平行，内错角相等”的条件是两直线平行，结论是内错角相等．2．命题“内错角相等，两直线平行”的条件是内错角相等，结论是两直线平行．3．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．二、互逆定理1．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是内错角相等，两直线平行．2．“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角．3．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例题】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．(1)两直线平行，同旁内角互补；(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．【互动探索】(引发学生思考)什么是逆命题？怎样举反例？【解答】(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行．是真命题．(2)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线．是真命题．(3)逆命题：内错角相等．是假命题．反例：如图，∠1与∠2是内错角，但不相等．(4)逆命题：等边三角形有一个角是60°.是真命题．【互动总结】(学生总结，老师点评)说明命题为假命题的反例即为符合该命题条件而不符合该命题结论的例子，如(3)小题中的例子．活动2巩固练习(学生独学)1．下列命题的逆命题是真命题的是(C)A．全等三角形的周长相等B．对顶角相等C．等边三角形的三个角都是60°D．全等三角形的对应角相等2．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题：面积相等的三角形全等．3．写出命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题并证明．解：逆命题：直角三角形的两锐角互余．已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A＋∠B＝90°.证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，即∠A与∠B互余．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！2线段垂直平分线(第2课时)一、基本目标1．掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理．2．能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．二、重难点目标【教学重点】线段垂直平分线的性质定理和判定定理．【教学难点】灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P94～P95的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，猜想一下线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？解：AA′、BB′、CC′与直线MN垂直平分．2．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．3．线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．4．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)A．MA＝MB，NA＝NBB．MA＝MB，MN⊥ABC．MA＝NA，MB＝NBD．MA＝MB，MN平分∠AMB5．三角形的三条垂直平分线交于一点．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC 于点D.若△DBC的周长为35 cm，求BC的长．【互动探索】(引发学生思考)已知AB、AC的长和△DBC的周长，要求BC的长，先求什么？再求什么？【解答】∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD.∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35 cm，∴BC＋AD＋CD＝35 cm.∵AC＝AD＋DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15 (cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质定理，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【例2】如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．【互动探索】(引发学生思考)先利用角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证△AED ≌△AFD ，从而找出AD 与EF 的关系．【解答】AD 垂直平分EF .证明如下： ∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF ，∠AED ＝∠AFD ＝90°.在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF ， ∴AE ＝AF ，∴A 、D 均在线段EF 的垂直平分线上，即直线AD 垂直平分线段EF .【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段的垂直平分线可以用定义法，也可用线段垂直平分线的判定定理．活动2 巩固练习(学生独学)1．三角形中，到三个顶点距离相等的点是( D ) A ．三条高线的交点 B ．三条中线的交点 C ．三条角平分线的交点 D ．三边垂直平分线的交点2．如图，△ABC 的两边AC 和BC 的垂直平分线分别交AB 于D 、E 两点，若AB 边的长为10 cm ，则△CDE 的周长为( A )A ．10 cmB ．20 cmC ．5 cmD ．不能确定3．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段P A ＝5，则线段PB的长度为(B)A．6 B．5C．4 D．34．小明做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.【互动探索】(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可证得△ADE≌△FCE，从而证得结论；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．【证明】(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是线段垂直平分线与全等三角形的综合应用，证得△ADE≌△FCE是解题的关键．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！3角平分线(第3课时)一、基本目标1．掌握角平分线的性质定理和判定定理．2．能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．二、重难点目标【教学重点】角平分线的性质定理和判定定理．【教学难点】灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P96～P98的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．角平分线上的点到角两边的距离相等．2．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．3．三角形的三条角平分线交于一点，这个交点一定在三角形内部，它到三角形三边距离相等．4．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为30°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生对学)【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC ＝3 cm，那么AE、AC、DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由．【互动探索】(引发学生思考)根据“角平分线上的点到角两边距离相等”可得DE＝CE，从而可知AE 、AC 、DE 之间的数量关系．【解答】AE ＋DE ＝AC ＝3 cm.理由如下： ∵∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB ， ∴DE ＝CE ，由图可知，AC ＝AE ＋CE ， 所以AC ＝AE ＋DE ＝3 cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了“角平分线上的点到角两边距离相等”的性质，熟记性质是解题的关键．【例2】如图，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，F 、G 分别是OA 、OB 上的点，且PF ＝PG ，DF ＝EG .求证：OC 是∠AOB 的平分线．【互动探索】(引发学生思考)要证OC 是∠AOB 的平分线，需证PD ＝PE ，而通过证Rt △PFD ≌Rt △PGE 即可得PD ＝PE .【证明】∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴∠PDF ＝∠PEG ＝90°.在Rt △PFD 和Rt △PGE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧PE ＝PG ，DF ＝EC ，∴Rt △PFD ≌Rt △PGE (H.L.)， ∴PD ＝PE .∵P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴OC 是∠AOB 的平分线．【互动总结】(学生总结，老师点评)根据三角形全等得到PD ＝PE ，这样就把已知条件和角平分线的判定定理联系起来了．活动2巩固练习(学生独学)1．如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝16，BD＝9，则点D到AB的距离是(D)A．10 B．9C．8 D．72．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)A．一处B．二处C．三处D．四处3．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC.(1)求证：AM平分∠DAB；(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．(1)证明：过点M 作ME ⊥AD 于点E . ∵DM 平分∠ADC ，∠C ＝90°，ME ⊥AD ， ∴MC ＝ME . ∵M 是BC 的中点， ∴BM ＝MC ＝ME .又∵∠B ＝90°，ME ⊥AD ， ∴AM 平分∠DAB .(2)解：AM ⊥DM .证明如下： ∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴AB ∥DC ，∴∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∵AM 平分∠DAB ，DM 平分∠ADC ， ∴∠MAD ＝12∠BAD ，∠MDA ＝12∠ADC ，∴∠MAD ＋∠MDA ＝90°， ∴∠AMD ＝90°， ∴AM ⊥DM .环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！。
全等三角形135逆命题与逆定理4角平分线角平分线的判定课件2
你一定发现到角两边距离相等的点的确在该角的 平分线上. 我们可以通过“证明”说明这一结论正确.
知1－讲
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离 相等
的点在角的平分线上．
(1)几何语言：如图13.5-15，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或
∠AOC＝∠BOC)． (2)作用：运用角平分线的判定，
图
知1－讲
证明：过点O、Q作射线OQ. ∵ QD⊥OA, QE⊥OB ， ∴ ∠QDO= ∠BOQ = 90°. 在 Rt △QDO和 Rt △QEO中，
∵ OQ = OQ，QD = QE，
∴ Rt △QDO≌ Rt △QEO, (H. L.), ∴ ∠DOQ= ∠EOQ(全等三角形的对应角相等). ∴点Q在∠AOB的平分线上.
试试看，现在你会证明了吗？
图13.5.6
知2－讲
例4 如图13.5-20，CP，BP是△ABC两外角的平分线，
PE⊥AC且与AC的延长线交于点E，PF⊥AB且与
AB的延长线交于点F，试探究BC，CE，BF三条
线段有什么关系？
导引：点P是两个角的平分线的
交点，因此先作PD⊥BC，
利用角平分线的性质找出
(2)点在角的平分线上
点到这个角两边的
距离相等．
(3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离 就一定相等；判定定理反映只要是到角两边
距离 相等的点，都应在角的平分线上．
AB •D1 E）∶（ 2
AC •D1 F）＝ 2
(2)∵S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，
1
1
∴ （ AB •DE）∶（ AC •DF） ＝AB∶AC，
13.5.3 逆命题与逆定理(线段垂直平分线的判定)(华东师大版)(共16张PPT)
（3）你发现了什么规律，试证明；
（4）将题中的∠A改为钝角，（3）中的规律还成立吗？若不成立，应
怎样加以修改？
？ A
N
B
CM
小结
这节课我学到了什么？ 我的收获是…… 我还有……的疑惑
P 98
习题 13.5
第2、3题
选做题
1.如图，AB＞AC，∠BAC的平分线交BC的垂直平分线于点D，自D作 DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：BE=CF.
OA=OB OB=OC
OA=OC
点O在AC的垂 直平分线n上
学以致用
例 1 在ABC中，C=90，A=30°，BD平分ABC交AC于D.
求证:D点在AB的垂直平分线上.
B
C
D
A
【变式】如图，在ABC中，点D在AC边上，且CD+BD=AC,求证：点D 在AB的垂直平分线上。
数学活动室
1.在△ABC中，AD垂直平分BC，点E在BC的延长线上，且满足 AB+BD=DE，求证：点C在线段AE的垂直平分线上。
学
A
以
致
用
B DC
E
学以致用
例 2 已知:如图，AD平分BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，
连结AF.求证: CAF= B.
A
E
B
DC F
学以致用
例 3 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC
的延长线于M，∠A=40°. （1）求∠M的度数；
（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，求∠M的度数；
问题2：请你写出“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等” 的逆命题。 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
新华东师大版八年级数学上册《13章 全等三角形 13.5 逆命题与逆定理 线段垂直平分线》优质课教案_11
线段垂直平分线教学设计（一）教学目标1、理解与掌握关于线段的垂直平分线的两个定理。
2、能依据教材中的“分析”独立或合作交流，用逻辑推理的证明方法证明定理。
3、通过看书和独立证明，合作交流，培养学生的思维能力和几何表达能力。
（二）教学重点难点根据学生的认知水平、认知能力以及教材的特点，确定以下重点、难点：教学重点：线段垂直平分线的性质定理与其逆定理。
教学难点：线段垂直平分线的性质定理与其逆定理的正确运用。
（三）教学过程设计1.情境引入在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?由生活中的数学问题引入新课.2.出示本节课的教学目标双向细目表。
3.预习展示（1）.线段是什么图形？（2）.线段有几条对称轴？分别是什么？（3）.画一条线段AB,并作出线段AB 的垂直平分线.4.合作探究（1）在线段AB的垂直平分线MN上找一点P,连接PA,PB.将线段AB 沿直线MN对折，你能得出什么结论？（2）说出你的猜想（3）验证猜想（4）得出结论5.随堂练习1. 已知线段AB和它外一点P，若PA=PB，则点P在AB的____________________；若点P在AB的____________________，则PA=PB．2.在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交AB于D 点,BD=4cm,则CD=____3.如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm,BC=11cm,则△ABD 的周长为________.6.当堂检测1、如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（ )A 、6B 、5C 、4D 、32.在△ABC,PM,QN 分别垂直平分AB,AC ，(1)若BC=10cm ，求△APQ 的周长.(2)若∠BAC=100°求∠PAQ 的度数.7.回顾与小结 Q N M CB P A ED CB AAB C D E BCDPA。
华师大版数学八年级上册13.5《逆命题与逆定理》教学设计
华师大版数学八年级上册13.5《逆命题与逆定理》教学设计一. 教材分析《逆命题与逆定理》是华师大版数学八年级上册第13.5节的内容。
本节主要让学生了解逆命题和逆定理的概念，理解它们之间的关系，并能够运用逆定理判断命题的真假。
教材通过实例引入逆命题和逆定理的概念，接着给出了它们的定义和性质，最后通过例题和练习题来巩固所学知识。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了命题、定理和证明等基本知识，具备了一定的逻辑思维能力。
但逆命题和逆定理的概念较为抽象，学生可能难以理解和接受。
因此，在教学过程中，需要通过具体实例和生活中的问题来引导学生理解和掌握逆命题和逆定理。
三. 教学目标1.了解逆命题和逆定理的概念，理解它们之间的关系。
2.能够写出给定命题的逆命题，并能判断其真假。
3.能够运用逆定理判断命题的真假。
4.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.逆命题和逆定理的概念。
2.判断逆命题的真假。
3.运用逆定理判断命题的真假。
五. 教学方法1.实例引入：通过具体实例引导学生理解和掌握逆命题和逆定理。
2.小组讨论：让学生分组讨论，共同探索逆命题和逆定理的关系，提高学生的合作能力。
3.练习巩固：通过大量练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
4.引导思考：引导学生思考生活中的问题，培养学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示逆命题和逆定理的定义和性质。
2.练习题：准备适量练习题，用于巩固所学知识。
3.实例：准备生活中的实例，用于引导学生理解和掌握逆命题和逆定理。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过生活中的实例，如“如果一个人是学生，那么他一定是人类。
”引导学生思考，让学生知道一个命题可以分为题设和结论两部分，并且题设和结论可以互换位置。
2.呈现（10分钟）讲解逆命题和逆定理的概念，给出它们的定义和性质。
让学生理解逆命题是将原命题的题设和结论互换位置得到的新命题，而逆定理是如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题也是真命题。
13.5逆命题与逆定理 第三课时 角平分线-数学八年级上册
图 1AA DO E BPC图 2课 题：13.5 逆命题与逆定理第三课时 角平分线＆.教学目标：1、掌握角平分线性质定理以及其逆定理。
2、让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论，并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别。
3、通过认识的升华，使学生进一步理解数学，也使学生关注数学，热爱数学。
＆.教学重点、难点：重点：理解并会证明“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”；并能用这两个结论证明相关命题和解释有关生活中所遇到的相关问题。
难点：“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”这一结论的证明以及应用。
＆.教学过程： 一、问题引入1、角平分线上的点到这个角两边的距离有怎样的关系？2、回忆角平分线的这条性质是怎样得到的？二、探究新知§.利用全等三角形的知识解决角平分线的问题： 探究活动1：问题1：同学们都喜欢折纸，老师现在也来折纸.如图1是画有AOB ∠的纸张，我们将AOB ∠对折，得到一条折痕，然后再折出一个直角三角形（以第一条折痕为斜边）然后展开，大家一起观察一下这两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？问题2：如图2所示，已知OC 平分AOB ∠，点P 在OC 上，OA PD ⊥，OB PE ⊥，垂足为D 、E .你能证明PE PD =吗？教学方法：引导学生回顾刚才折纸的过程，从中启发学生用全等三角形的知识进行证明并叙述其过程。
§.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
几何语言：∵OC 平分AOB ∠，OA PD ⊥，OB PE ⊥∴PE PD =探究活动2：问题3：写出定理“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的逆命题。
问题4：你能证明刚才所写的逆命题是真命题吗？如图2，OA PD ⊥，OB PE ⊥，垂足为D 、E ，PE PD =. 求证：点P 在AOB ∠的平分线上.解析：为了证明点P 在AOB ∠的平分线上，可以作射线OC ，然后证OPE Rt OPD Rt ∆≅∆，从而得到BOC AOC ∠=∠.§.角平分线的判定定理：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
逆命题与逆定理
与性质定理有何不
➢等腰三角形判定定理与性质定理的证明思路是 否一样？
➢8分钟后，比谁能回答以上问题，并能做与例 题 类似的练习。
已知：△ABC中，∠B=∠C，
求证：AB=AC。
证明：作∠BAC的平分线AD.
A
在△ BAD和△ CAD中，
12
∠1=∠2， ∠B=∠C，
AD=AD
B
C
D
所以△ BAD≌ △ CAD（AAS） 所以AB=AC（全等三角形的对应边相等）
（2）等边三角形的每个角都等于60°．
题设：一个三角形是等边三角形。 结论：它的每个角都等于60。。 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60。，那
么这个三角形是等边三角形。
（3）全等三角形的对应角相等．
题设：两个三角形是全等三角形。
结论：它们的对应角相等。
逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两 个三角形是全等三角形。
勾股定理的逆命题: 如果三角形的一条边的平
方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形
是直角三角形．
A
已知： 如图,在△ABC中，
AB＝c, BC＝a,CA＝b,
且a2＋b2＝c2．
求证：△ABC是直角三角形． B
C
勾股定理的逆定理: 如果三角形的一条边 的平方等于另外两条边的平方和，那么这 个三角形是直角三角形．
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题
1. 指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆 命题：
（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个 锐角互余．
题设：一个三角形是直角三角形。
结论：它的两个锐角互余。
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这 个三角形是直角三角形。
最新华师版八上数学13.5 逆命题与逆定理【上课课件】
1. 如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，
使PA = PB. A
提示：作AB的垂直平 分线与直线l的交点.
B
P
l
2. 如图，BD⊥AC，垂足为点E，AE = CE.
求证：AB＋CD＝AD ＋BC.
证明：∵BDAC ，AE＝EC， D
C
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AB＝BC， ∴AB＋CD＝AD＋BC.
证明：过点O、Q作射线OQ. ∵OQ⊥OA，QE⊥OB，
O
∴∠QDO＝∠QEO＝90° 在Rt△QDO和Rt△QEO中，
B
E Q
DA
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点 D、E为垂足，QD＝QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上.
∵OQ＝OQ，QD＝QE， ∴Rt△QDO≌Rt△QEO（H.L.） O ∴∠DOQ＝∠EOQ ∴点Q在∠AOB的平分线上.
“内错角相等，两直线平行”
随堂练习
1. 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题 并判断其真假。
（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
条件
结论
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，
真命题
那么这个三角形是直角三角形.
（简单说成：两锐角互余的三角形是直角三角形。）
（2）等边三角形的每个角都等于60°； 写出一个命题的逆
A
C
B
N
如何证明“三角形三条边的垂 直平分线交于一点”？
只需证明其中两条边的垂 直平分线的交点一定在第三条 边的垂直平分线上就可以了. B
A
l
n
O
m
C
点O在AC的垂
l是AB的垂直平分线
13.5.逆命题与逆定理
逆命题：两个全等三角形的对应角相等。 （真命题） 4、直线比射线长。（假命题）
逆命题：射线比直线长。（假命题）
概括：
原命题（真）
{ {
逆命题（真） 逆命题（假） 逆命题（真） 逆命题（假）
原命题（假）
所以，互逆命题之间的真假没有必然的联系。
课堂练习
先指出下列命题的条件和结论，再写出它们的逆命题， 并判断其真假：
一、复习回顾
1、命题的定义： 能够判断正误的句子。 2、命题的结构： 由条件和结论两个部分组成。 3、命题的分类： 真命题和假命题。
二、新课探究
说出下列命题的条件和结论 1、 两直线平行，同位角相等. 条件： 两直线平行 结论： 同位角相等 2、 同位角相等，两直线平行. 条件： 同位角相等 结论： 两直线平行 想一想：上面两个命题有什么区别？
1、如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
0
2、等边三角形的每一个角都等于60
倍 速 课 时 学 练 3、全等三角形的对应角相等 4、如果 a=b, 那么 a2 = b2
2、互逆定理
命题：两直线平行，内错角相等。 （定理） 逆命题：内错角相等，两直线平行。 （定理）
概括：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个
定理叫做互逆定理。其中的一个定理叫做另一个定理 的逆定理，两个互逆的定理都是真命题。
议一议：每一个定理都有逆定理吗？
四、练习：
说出下列定理的逆命题，并判断它们是不是互逆 定理
1、等腰三角形的两个底角相等
2、等角对等边
3、正方形的四个角都等于90
0
五、小结： 你学到了什么？
六、 作业:ຫໍສະໝຸດ 1、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二 个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题
八年级数学上册13.5逆命题与逆定理角的平分线性质及应用素材华东师大版(new)
角的平分线性质及应用我们知道，把一个角分成两个相等的角的射线，叫做角的平分线．关于角的平分线,它有两个重要性质(1）性质定理:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；(2）性质定理的逆定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．利用角的平分线的性质定理可以证明题目中某两条线段相等；利用性质定理的逆定理可以证明某两个角相等,下面举例说明角的平分线的应用．例1．三角形内到三边的距离相等的点是（ ）的交点． （A)三条中线（B ）三条高（C ）三条角平分线（D ）以上均不对． 解：由角平分线性质定理的逆定理可知：应选（C ）．例2．如图1,△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ，试问：P 到AB 、BC 、CA 的距离相等吗？解:相等．理由如下：过P 作PD 、PE 、PF 分别垂直于AB 、BC 、CA,垂足为D 、E 、F ， ∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上，∴PD=PE,同理PE=PF ， ∴PD=PE=PF，即点P 到边AB 、BC 、CA 的距离相等．例3．如图2，△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠BAC，BD=4，BC=7, 则D 到AB 的距离是 ．分析：∵∠C=900，∴DC⊥CA，过点D 作DE⊥AB，垂足为E ，∵AD 平分∠BAC，∴DE=DC=BC－BD=7－4=3，BD ACE图2D图１即点D 到AB 的距离是3．例4．如图3,△ABC 中，∠B、∠C 的角平分线相交于O ， 下面结论中正确的是（ )．（A)∠1＞∠2（B ）∠1=∠2（C)∠1＜∠2（D ）不能确定．分析：由例2知点O 到△ABC 的三边距离相等，因此点在∠BAC 的平分线上，即AO 平分∠BAC，故选（B ）．例5．如图4，在△ABC 中，∠A=900，BD 是角平分线， 若AD=m ，BC=n ，求△BDC 的面积．分析：过点D 作DE⊥BC，垂足为E ，∵BD是角平分线， AD⊥AB，DE⊥BC，∴DE=AD=m，∴mn DE BC S ABC 2121=⨯⨯=∆．例6．如图4，在△ABC 中，∠A=900,AC=AB ，BD 平分∠BAC，DE⊥BC，BC=8，求△BED 的周长．分析:△BED 的周长为DE+DC+EC=AD+DC+EC=AC+EC=AB+EC=BE+EC=BC=8．例7．如图5,△ABC 中，∠A=900，点D 在BC 上,DE⊥AB 于E,且AE=EB,DE=DC ，求∠B 的度数．解：∵DC⊥AC,DE⊥AB，且DE=DC ，∠1=∠2， 在△AED 和△BED 中，AE=BE ，BC图３ABCD E 图４1 ABCDE2 图５∠AED=∠BED，ED=ED，∴△AED和△BED，∠1=∠B，∴∠B=∠1=∠2，又∵在Rt△ABC中，∠B+∠BAC=900，∴∠B=300．例8．如图6，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地,现准备在其中建一小亭,供人们小憩，而且要使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置（不写作法，保留作图痕迹）．分析：到三马路的距离相等的点在每两条马路所成角的平分线上，可作任意两个角的平分线，其交点即为所求小亭的中心位置．解：(略)．图6。
八年级数学上册第十三章全等三角形13.5逆命题与逆定理课件新版华东师大版
学习目标
• 1．理解原命题、逆命题、互逆命题、逆定理、互逆 定理的概念，通过比较，提高学生的辨析与表达能 力；
• 2.通过独立思考、小组合作，培养学生说理有据， 有条理地表达自己想法的良好意识.
问题4：如何判断一个命题的逆命题是假命题？ 例如原命题“对顶角相等”是真命题，而它的逆命题“相等的角是对顶角” 为假命题； 【答案】举反例．
归纳总结： 一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而 第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如 果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题；逆命题 是一个命题，而互逆命题指的是两个命题之间的关系．
总结升华
课堂小结
本节课主要学习了原命题、逆命题、互逆命题以及互逆定理的概念与区 别； 要学会给定一个命题或定理，能够判断其逆命题的真假； 本节课主要采用了类比的数学思想方法．
问题2.如何判断定理的逆命题能否成为原定理的逆定理？
【答案】 （1）逆命题：三个内角都相等的三角形是等边三角形；
它是一个真命题，故可成为原定理的逆定理；
（2）逆命题：各角对应相等的两个三角形是全等三角形； 它是一个假命题，故不能成为原定理的逆定理．
规律方法总结： 每一个命题都有逆命题，而一个定理不一定有逆定理.定理和逆定理都是 真命题， 而命题和逆命题却不一定都是真命题．
（4）逆命题：如果
a b ，那么 a b
题设： a b ， 结论： a b， 假命题．
规律方法总结： 分清原命题的题设与结论是写出逆命题的前提； 原命题正确，它的逆命题不一定正确．
初中数学知识点精讲精析 逆命题与逆定理
13.5 逆命题与逆定理学习目标1. 理解逆命题的概念，能写出一个命题的逆命题，知道原命题成立，它的逆命题不一定成立；了解互逆定理。
2. 掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理。
3. 掌握角平分线性质定理及逆定理。
知识详解1. 互逆命题与互逆定理一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题。
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题，但是原命题正确，它的逆命题未必正确。
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。
2. 线段垂直平分线线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
此定理的逆命题是“到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”。
到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形三边的垂直平分线交于一点。
3. 角平分线角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
此定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”。
到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，上述两条定理互为逆定理，根据上述这两条定理，我们很容易证明：三角形三条角平分线交于一点。
【典型例题】例1：如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边中线的交点【答案】A【解析】△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．例2：如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CDB．∠DAC=∠BC．∠C＞2∠BD．∠B+∠ADE=90°【答案】D【解析】∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°其它选项无法证明其是正确的．例3：如图：Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB=2：1，则∠B 的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°【答案】B【解析】在Rt△ABC中∵DE是AB的垂直平分线∴∠B=∠BAD ∵∠CAD：∠DAB=2：1 ∴4∠B=90°∴∠B=22.5°【误区警示】易错点1：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线段有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】D【解析】∵BC的中垂线交斜边AB于D，CD=BD，CE=BE，∴∠B=∠BCD，又∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°∴∠A=∠ACD，∴AD=CD ∴AD=BD 共4组．易错点2：线段的垂直平分线的性质2. 线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】C【解析】∵CA=CB，DA=DB，∴CD垂直平分AB且垂足为M．∵∠ADB=80°，∠CAD=10°，∴∠ACM=50°，∴∠ACB=100°．【综合提升】针对训练1. 如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（）的垂直平分线上．A．ABB．ACC．BCD．不能确定2. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD=CD，AB=7.8，AC=3.9，DE⊥BC于E，则图中有（）个60°的角．A．2B．3C．4D．53. 下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个1.【答案】B【解析】∵BC=BD+AD=BD+CD ∴AD=CD ∴点D在AC的垂直平分线上2.【答案】D【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7.8，AC=3.9 ∴∠B=30°∵BD=CD ∴∠DCB=∠B=30°又DE⊥BC于E ∴∠BDE=∠CDE=60 ∴∠ACD=90°﹣30°=60°∴△ACD为等边三角形∴∠ADC=∠DAC=∠ACD=∠CDE=∠BDE=60°3.【答案】C【解析】①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB，符合性质定理，是正确的；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB，符合逆定理，是正确的；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点，符合逆定理，是正确的；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB，不符合逆定理，是错误的。