2020_2021学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课时素养评价含解析新人教A版选修2_2

合集下载

高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课时素养评价含解析新人教A版选修2_

学习资料课时素养评价十九数学归纳法(15分钟30分）1。

对于不等式〈n+1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时，〈1+1，不等式成立。

（2）假设当n=k（k∈N*）时,不等式成立,即〈k+1，则当n=k+1时,=<==（k+1）+1,所以当n=k+1时，不等式成立.则上述证法（)A。

过程全部正确B.n=1验得不正确C。

归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确【解析】选D.从n=k到n=k+1的推理过程中未用到(2)中假设,所以不正确。

2.某个与正整数有关的命题：如果当n=k（k∈N*)时命题成立，则可以推出当n=k+1时该命题也成立.现已知n=5时命题不成立,那么可以推得（)A.当n=4时命题不成立B。

当n=6时命题不成立C。

当n=4时命题成立D。

当n=6时命题成立【解析】选A。

因为当n=k（k∈N＊）时命题成立,则可以推出当n=k+1时该命题也成立，所以假设当n=4时命题成立，那么n=5时命题也成立,这与已知矛盾,所以当n=4时命题不成立。

3。

用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立"时，第一步证明中的起始值n0应取( )A.2 B。

3 C。

5 D.6【解析】选C。

令n0分别取2，3，5，6，依次验证即得.4.已知f(n）=1+++…+(n∈N＊），用数学归纳法证明f（2n)>时,f(2k+1）-f（2k)=________。

【解析】因为假设n=k时，f（2k）=1+++…+，当n=k+1时,f（2k+1)=1+++…+++…+,所以f(2k+1)—f(2k)=1+++…+++…+—=++…+.答案:++…+5。

在数列{a n｝，{b n}中，a1=2,b1=4，且a n，b n,a n+1成等差数列，b n，a n+1,b n+1成等比数列（n∈N ＊)。

求a2，a3，a4及b2，b3，b4,由此猜测｛a n}，{b n｝的通项公式，并证明你的结论.【解析】由已知得2b n=a n+a n+1,=b n b n+1,a1=2,b1=4，由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25。

2020_2021学年高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理课时素养评价含解析新人教A版选修2_

课时素养评价十五演绎推理(15分钟30分)1.《论语·子路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是( ) A.类比推理 B.归纳推理C.演绎推理D.三段论【解析】选C.由演绎推理定义知该推理为演绎推理.2.若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a∈R,结论是:a2>0,那么这个演绎推理出错在( )A.大前提B.小前提C.推理过程D.没有出错【解析】选A.要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确,若这几个方面都正确,才能得出这个演绎推理正确.因为任何实数的平方都大于0,又因为a是实数,所以a2>0,其中大前提是:任何实数的平方都大于0,不正确.3.“10是5的倍数,15是5的倍数,所以15是10的倍数”上述推理 ( )A.大前提错B.小前提错C.推论过程错D.正确【解析】选C.大小前提正确,结论错误,那么推论过程错.4.用演绎推理证明函数y=x3是增函数时的小前提是( )A.增函数的定义B.函数y=x3满足增函数的定义C.若x1<x2,则f(x1)<f(x2)D.若x1>x2,则f(x1)>f(x2)【解析】选B.“三段论”中,根据其特征,大前提是增函数的定义,小前提是函数y=x3满足增函数的定义,结论是y=x3是增函数.5.用演绎推理证明函数f(x)=|sin x|是周期函数.【证明】大前提:若函数y=f(x)对于定义域内的任意一个x值满足f(x+T)=f(x)(T为非零常数),则它为周期函数,T为它的一个周期.小前提:f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x).结论:函数f(x)=|sin x|是周期函数.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是( )A.直角梯形B.矩形C.正方形D.菱形【解析】选D.由+=0⇒AB∥CD,AB=CD,由(-)·=0⇒BD⊥AC.所以四边形ABCD是菱形.2.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【解析】选D.由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲、丁一人优秀一人良好,乙看到丙的结果则知道自己的结果,丁看到甲的结果则知道自己的结果.3.已知三条不重合的直线m,n,l,两个不重合的平面α,β,有下列命题:①若m∥n,n⊂α,则m∥α;②若l⊥α,m⊥β且l∥m,则α∥β;③若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.其中正确的命题个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①中,m还可能在平面α内,①错误;②正确;③中m与n相交时才成立,③错误;④正确.4.有一段“三段论”推理过程:若函数f(x)在(a,b)内可导且单调递增,则在(a,b)内,f′(x)>0恒成立.因为f(x)=x3在(-1,1)内可导且单调递增,所以在(-1,1)内,f′(x)=3x2>0恒成立,以上推理中( )A.大前提错误B.小前提错误C.结论正确D.推理形式错误【解析】选A.f(x)在(a,b)内可导且单调递增,则在(a,b)内,f′(x)≥0恒成立,故大前提错误.【补偿训练】设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=错误!未找到引用源。

2020_2021学年高中数学第二章推理与证明2.2.2.2反证法ppt课件新人教A版选修2_2

[答一答] 1．在证明命题“若 p 则 q”的过程中，虽然否定了结论 q，
但在证明过程中，没有把“綈 q”当作条件利用，也推出了矛盾
或证得了结论，这种证明是反证法吗？
提示：不是，反证法是在假设原结论不成立的条件下推出矛盾的，也就是说，之所以推出了矛盾，就是因为我们假设了原结论不成立，故在用反证法时，必须把结论的否定作为条件使用，否则，就不是反证法．
2．用反证法证明命题“如果
a>b，那么3
3 a>
b”时，假设
的内容应是什么？
提示：应假设3 a≤3 b.
类型一用反证法证明否定性命题
【例 1】已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列，求证： a， b， c不成等差数列．
【思路分析】由题目可获取以下主要信息： ①a、b、c 三个正数成等比数列，但不成等差数列． ②求证 a， b， c不成等差数列．不成的反面是“能成”．解答本题可选用反证法，关键是利用等差、等比中项．
因为 AB⊥平面 α，AC⊥平面 α， a⊂α，所以 AB⊥a，AC⊥a，在平面 β 内经过点 A 有两条直线都和直线 a 垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾． (2)如图，点 A 在平面 α 外，假设经过点 A 至少有平面 α 的两条垂线 AB 和 AC(B、C 为垂足)，那么 AB、AC 是两条相交直线，它们确定一个平面 β，平面 β 和平面 α 相交于直线 BC，因为 AB⊥平面 α，AC⊥平面 α，BC⊂α，
所以 AB⊥BC，AC⊥BC. 在平面 β 内经过点 A 有两条直线都和 BC 垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点 A 只能有平面 α 的一条垂线．

高中数学第二章推理与证明 2.2.2 反证法课堂探究新人教B版选修2-2(2021年最新整理)

编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章推理与证明2.2.2 反证法课堂探究新人教B版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章推理与证明2.2.2 反证法课堂探究新人教B版选修2-2的全部内容。

2-2探究一用反证法证明否定性命题所谓否定性命题，就是指所证问题的结论中含有“不”、“不是"、“不存在"、“不相等”、“不可能”等词语的命题，这类问题的结论的反面比较具体，适合用反证法进行证明．【典型例题1】（1）若数列｛a n｝的通项公式为a n＝错误!（n∈N＋）,求证｛a n}中任意连续的三项都不可能构成等差数列．（2)已知a是整数，且a2＋2a是奇数，求证：a不是偶数．思路分析:两个命题均是否定性命题，可用反证法证明．证明：（1）假设｛a n｝中存在连续的三项构成等差数列．设这连续三项为a k，a k＋1，a k＋2（k∈N＋）,则2a k＋1＝a k＋a k＋2，即错误!＝错误!＋错误!,所以错误!＝错误!。

所以2k2＋4k＝2k2＋4k＋2，即0＝2，这显然是矛盾的．因此假设不成立,即{a n}中任意连续三项不可能构成等差数列．(2）假设a是偶数，不妨设a＝2k(k∈Z），于是a2＋2a＝(2k)2＋2·2k＝4k2＋4k＝4(k2－k)，由于k∈Z,所以k2＋k∈Z。

因此4(k2＋k)是偶数,即a2＋2a是偶数．这与已知a2＋2a是奇数相矛盾，故假设不成立，即a不是偶数．探究二用反证法证明唯一性命题1．结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论易于导出矛盾,所以用反证法证其唯一性简单明了．2．用反证法证明问题时，若结论的反面呈现多样性，必须罗列出各种可能的情况,缺少任何一种情况时,反证都是不完全的．3．证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题,即存在性和唯一性．【典型例题2】（1)求证：经过平面α外一点M，只能作一条直线与该平面垂直．(2)若函数f(x)在区间[a，b］上的图象连续不断开，且f(a）＜0，f(b)＞0，且f（x)在［a，b］上单调递增，求证：f（x)在（a，b)内有且只有一个零点．思路分析：对于（1）可假设能作两条直线与该平面垂直，然后根据空间中有关定理推出矛盾；对于(2），应先由函数零点存在性判定定理判定函数在（a,b)内有零点，再用反证法证明零点唯一．证明：（1)假设经过平面α外一点M，能作两条直线a，b都与该平面垂直．那么由线面垂直的性质可知a∥b，且a，b在同一平面内，这与a，b相交（均过点M)矛盾,因此假设不成立，即经过平面α外一点M，只能作一条直线与该平面垂直．（2）由于f（x)在[a，b]上的图象连续不断开,且f(a）＜0,f(b）＞0，即f（a)·f(b)＜0，所以f(x）在(a,b）内至少存在一个零点，设零点为m，m∈(a，b），则f(m）＝0，假设f(x）在（a，b)内还存在另一个零点n，则f（n)＝0，且n≠m。

2020_2021学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课件新人教A版选修2_22021020

自我纠正：证明：假设x，y不全为零，则有以下三种可能： (1)x＝0，y≠0，则x2＋y2＞0，与x2＋y＝0矛盾； (2)x≠0，y＝0，则x2＋y2＞0，与x2＋y＝0矛盾； (3)x≠0，y≠0，则x2＋y2＞0，与x2＋y2＝0矛盾．故假设不成立，则x，y全为零.
您好，谢谢观看！
2.2.2 反证法
01 课前自主预习 02 课堂合作探究 03 课后讨论探究 04习教材P89－91，思考并完成以下问题王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．” 本故事中王戎运用了什么论证思想？提示：运用了反证法思想．
思考：1.反证法的思维过程是怎样的？
提示：否定结论⇒推演过程中引出矛盾⇒否定假设肯定结论，即否定——推理——否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的否定，即肯定原命题)．反证法的证明过程可以用以下框图表示：
肯定条件p，否定结论q
→
导致逻辑矛盾
→
原命题成立
2．反证法的证明步骤是怎样的？
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线解析：假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是
平行直线．答案：C
3．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝ ∠B＝90°不成立． ②所以一个三角形中不能有两个直角． ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 正确顺序的排列为________．

高中数学第二章推理与证明 2.2.2 反证法学案(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选

2.2.2 反证法自主预习·探新知情景引入从前，某国王一贯自我标榜不仅是至高无上的权威，而且更是一个“大慈大悲”的救世主，他在处决犯人之前，要恩赐一个机会，叫他们去抽生死签，如果抽到“活”字，就可幸免一死．有一次，一个囚犯即将处决，他的冤家买通狱吏，把两张纸都写上“死”．不料有人把此消息透漏给犯人，可犯人闻后却高兴地说“啊！我可死里逃生了”．国王宣布抽签后，犯人抽出一张签，二话不说便吞入腹中，这下在场的人慌了手脚，因为谁也搞不清楚犯人吞下的是“死”还是“活”，只听国王大声呵斥：“混蛋，你们只要看一下剩下的那张纸签就是了．”显然剩下的是“死”签，由此反证犯人吞下的是“活”签，聪明的犯人死里逃生，就是巧用了本节课要学习的方法——反证法．新知导学1．反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出__矛盾__，因此说明假设__错误__，从而证明了原命题__成立__，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．2．反证法证题的原理(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( C )①原结论的相反判断，即假设②原命题的结论③公理、定理、定义等④原命题的条件A．①④B．①②③C．①③④D．②③[解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条件使用，故应选C．2．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个偶数”正确的反设为( D )A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个偶数D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数[解析] “自然数a、b、c中恰有一个偶数”即a、b、c中有两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数，故选D．3．如果两个实数之和为正数，则这两个数( C )A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个正数D．两个都是负数[解析] 假设两个数分别为x1、x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C．4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__存在一个三角形，其外角至多有一个钝角__.[解析] 全称命题的否定形式为特称命题，而“至少有两个”的否定形式为“至多有一个”．故该命题的否定为“存在一个三角形，其外角至多有一个钝角”．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶用反证法证明否(肯)定性命题典例1 (1)(2019·武汉高二检测)用反证法证明命题“如果a>b，那么a3>b3”时，假设的内容是( C )A．a3＝b3B．a3<b3C．a3≤b3D．a3<b3且a3＝b3(2)(2020·德州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为__③①②__.[解析] (1)假设的内容应为结论“a 3>b 3”的否定“a 3≤b 3”，故选C ． (2)根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论．『规律总结』 1.用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤特别提醒：1用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较少，直接证明不易入手时常用的方法.2结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“没有”等词语的否定性命题，结论的反面比较具体，适于应用反证法.3注意否定结论时，要准确无误. ┃┃跟踪练习1__■已知数列{b n }的通项公式为b n ＝14(23)n －1，n ∈N *.求证：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．[解析] 假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列．由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，所以有b t >b s >b r ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立，两边同乘3t－121－r，化简得3t －r＋2t －r＝2·2s －r 3t －s由于r <s <t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾，故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．命题方向❷用反证法证明“至多”“至少”型命题典例2 已知a，b，c都是小于2的正数，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a 中至少有一个不大于1.[思路分析] 本题为“至少、至多”型问题，反设其结论，容易导出矛盾，故用反证法证明．[解析] 方法一：假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1，即(2－a)b>1，(2－b)c>1，(2－c)a>1，所以2－a b>1，2－b c>1，2－c a>1，所以2－a b＋2－b c＋2－c a>3.又因为a，b，c都是小于2的正数，由基本不等式可得2－a b≤2－a＋b2，2－b c≤2－b＋c2，2－c a≤2－c＋a2，所以2－a b＋2－b c＋2－c a≤2－a＋b2＋2－b＋c2＋2－c＋a2＝3，这与2－a b＋2－b c＋2－c a>3相矛盾，故假设错误，即(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a中至少有一个不大于1.方法二：假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1，即(2－a)b>1，(2－b)c>1，(2－c)a>1，以上三式相乘得(2－a)b·(2－b)c·(2－c)a>1，即a(2－a)·b(2－b)·c(2－c)>1，又由于a，b，c都是小于2的正数，由基本不等式可得a(2－a)≤(a＋2－a2)2＝1，同理b(2－b)≤1，c(2－c)≤1，所以a(2－a)·b(2－b)·c(2－c)≤1，这与a(2－a)·b(2－b)·c(2－c)>1相矛盾，故假设错误，即(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a中至少有一个不大于1.『规律总结』 1.当命题中出现“至少……”“至多……”“不都……”“都不……”“没有……”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x存在某个成立 x 0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x 0成立至少有n 个至多有n －1个 p 或q ¬p 且¬q 至多有n 个至少有n ＋1个p 且q¬p 或¬q┃┃跟踪练习2__■求下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根时实数a 的取值范围．[解析] 若方程没有一个有实根，则⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－43－4a <0，a －12－4a 2<0，4a 2＋8a <0.解得－32<a <－1.所以若三个方程至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是{a |a ≥－1或a ≤－32}．命题方向❸ 用反证法证明存在性、唯一性命题典例3 已知：一点A 和平面α.求证：经过点A 只能有一条直线和平面α垂直． [思路分析][证明] 根据点A 和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图，点A 在平面α内，假设经过点A 至少有平面α的两条垂线AB 、AC ，那么AB 、AC 是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A 的一条直线ɑ.因为AB ⊥平面α，AC ⊥平面α，a ⊂α，所以AB ⊥a ，AC ⊥a ，在平面β内经过点A 有两条直线都和直线a 垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．(2)如图，点A 在平面α外，假设经过点A 至少有平面α的两条垂线AB 和AC (B 、C 为垂足)那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，∴AB⊥BC，AC⊥BC，在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．『规律总结』 1.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．2．若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．┃┃跟踪练习3__■若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[解析] 由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．学科核心素养适宜运用反证法证明的命题正难则反是运用反证法的原则，有一些基础命题都是我们在数学中常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．这些题型有：(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“唯一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题；(7)涉及“无限”结论的命题．典例4 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．[思路分析]假设三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点→演绎推理，利用Δ≤0得出矛盾→原命题得证.[解析] 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点，由y 1＝ax 2＋2bx ＋c ，y 2＝bx 2＋2cx ＋a ，y 3＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，且Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，且Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.同向不等式求和得：4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0，所以2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0.所以(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0.所以a ＝b ＝c .这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．『规律总结』 1.反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．2．反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定的“结论的反面”是错误的，从而肯定原结论是正确的．┃┃跟踪练习4__■证明：对于直线l ：y ＝kx ＋1，不存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A ，B 关于直线y ＝ax (a 为常数)对称．[解析] 假设存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有(1)直线l ：y ＝kx ＋1与直线y ＝ax 垂直；(2)点A 、B 在直线l ：y ＝kx ＋1上；(3)直线AB的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)在直线y ＝ax上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ka ＝－1，①y 1＋y 2＝k x 1＋x 2＋2，②y 1＋y 22＝a x 1＋x22.③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝3x 2－1得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0. ④由②③得a (x 1＋x 2)＝k (x 1＋x 2)＋2， ⑤，由④知x 1＋x 2＝2k3－k 2，代入⑤整理得ak ＝3.这与①矛盾．所以假设不成立，故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称．易混易错警示反证法证明过程中漏用反设导致错误典例5 已知实数k 满足2k 2＋3k ＋1<0，运用反证法证明：关于x 的方程x 2－2x＋5－k 2＝0没有实数根．[错因分析] 证明过程中，虽然对命题的结论进行了反设，但是在后面的推理过程中，没有将这一“反设”作为条件进行推理，因此证明过程就不是利用反证法进行的，是错误的．[正解] 假设方程x 2－2x ＋5－k 2＝0有实数根．则其判别式Δ＝4－4(5－k 2)＝4k 2－16≥0，解得k ≥2或k ≤－2.又因为实数k 满足2k 2＋3k ＋1<0，所以－1<k <－12，“k ≥2或k ≤－2”与“－1<k <－12”矛盾．∴反设不成立，原命题成立．[点评] 反证法证明过程中，必须用上“反设”，否则就不是运用反证法证明．。

2020版高中数学第二章推理与证明2_2_2反证法学案新人教B版选修1_2

2.2.2 反证法明目标、知重点 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.1.反证法的定义一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾.从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾，或与公认的简单事实矛盾等.3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有(n－1)个至少有(n＋1)个结论词只有一个对所有x成立对任意x不成立反设词没有或至少有两个存在某个x不成立存在某个x成立结论词都是一定是p或q p且q反设词不都是不一定是綈p且綈q 綈p或綈q王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”这就是著名的“道旁苦李”的故事.王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法.探究点一反证法的概念思考1 结合情境导学描述反证法的一般模式是什么？答(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法.思考2 反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾.反证法引出的矛盾有几种情况？答(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾.思考3 反证法主要适用于什么情形？答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.探究点二用反证法证明定理、性质等一些事实结论例1 已知直线a，b和平面α，如果a⊄α，b⊂α，且a∥b，求证：a∥α.证明因为a∥b，所以经过直线a，b确定一个平面β.因为a⊄α，而a⊂β，所以α与β是两个不同的平面.因为b⊂α，且b⊂β，所以α∩β＝b.下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点.假设直线a与平面α有公共点P，如图所示，则P∈α∩β＝b，即点P是直线a与b的公共点，这与a∥b矛盾.所以a∥α.反思与感悟数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明.正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法.跟踪训练1 如图，已知a∥b，a∩平面α＝A.求证：直线b与平面α必相交.证明假设b与平面α不相交，即b⊂α或b∥α.①若b⊂α，因为b∥a，a⊄α，所以a∥α，这与a∩α＝A相矛盾；②如图所示，如果b∥α，则a，b确定平面β.显然α与β相交，设α∩β＝c，因为b∥α，所以b∥c.又a∥b，从而a∥c，且a⊄α，c⊂α，则a∥α，这与a∩α＝A相矛盾.由①②知，假设不成立，故直线b与平面α必相交.探究点三用反证法证明否定性命题例2 求证：2不是有理数.证明假设2是有理数.于是，存在互质的正整数m ，n ，使得2＝m n，从而有m ＝2n ，因此m 2＝2n 2，所以m 为偶数.于是可设m ＝2k (k 是正整数)，从而有 4k 2＝2n 2，即n 2＝2k 2，所以n 也为偶数.这与m ，n 互质矛盾.由上述矛盾可知假设错误，从而2不是有理数.反思与感悟当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法.跟踪训练2 已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列.证明假设a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ，即a ＋c ＋2ac ＝4b ，而b 2＝ac ，即b ＝ac ，∴a ＋c ＋2ac ＝4ac ， ∴(a －c )2＝0.即a ＝c ，从而a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 不成等差数列矛盾，故a ，b ，c 不成等差数列.探究点四含至多、至少、唯一型命题的证明例3 若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根.证明假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根.因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)<f (β).这与假设f (α)＝0＝f (β)矛盾，所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根.反思与感悟当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，注意准确写出命题的假设.跟踪训练3 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，所以a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝(x 2－2y ＋π2)＋(y 2－2z ＋π3)＋(z 2－2x ＋π6)＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，所以a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.1.用反证法证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( ) A.三角形中至少有一个直角或钝角 B.三角形中至少有两个直角或钝角 C.三角形中没有直角或钝角 D.三角形中三个角都是直角或钝角答案 B2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( ) A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60° C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60°答案 B3.“a <b ”的反面应是( ) A.a ≠b B.a >b C.a ＝b D.a ＝b 或a >b答案 D4.用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( ) A.a 不垂直于c B.a ，b 都不垂直于c C.a ⊥b D.a 与b 相交答案 D5.已知a ≠0，证明：关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根. 证明由于a ≠0，因此方程至少有一个根x ＝ba.如果方程不止一个根，不妨设x 1，x 2是它的两个不同的根，即ax 1＝b ， ①ax 2＝b .②①－②，得a (x 1－x 2)＝0.因为x 1≠x 2，所以x 1－x 2≠0，所以应有a ＝0，这与已知矛盾，故假设错误. 所以，当a ≠0时，方程ax ＝b 有且只有一个根. [呈重点、现规律] 1.反证法证明的基本步骤：(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推谬)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的.(结论)2.反证法证题与“逆否命题法”的异同：反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题.反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾.因此，反证法与证明逆否命题是不同的.。

高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理课时素养评价含解析新人教A版选修2_

学习资料课时素养评价十四合情推理(15分钟30分）1。

下列说法正确的是 ( ）A。

由合情推理得出的结论一定是正确的B.合情推理必须有前提有结论C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的结论不能判断正误【解析】选B.根据合情推理定义可知,合情推理必须有前提有结论。

2。

如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列｛a n｝的前4项,则这个数列的一个通项公式为（)A.a n=3n—1B。

a n=3nC。

a n=3n-2n D。

a n=3n—1+2n-3【解析】选A.第2个图形中有3个着色三角形,第3个图形中有3×3个着色三角形，第4个图形中有3×9个着色三角形，以此类推:第n个图形中有3n-1个着色三角形.3.平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域,则f（n)的表达式为( ）A。

n+1 B.2nC。

D。

n2+n+1【解析】选C。

1条直线将平面分成1+1个区域；2条直线最多可将平面分成1+（1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+（1+2+3）=7个区域；……;n条直线最多可将平面分成1+（1+2+3+…+n）=1+=个区域。

4。

在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地,在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为________.【解析】因为两个正三角形是相似的三角形,所以它们的面积之比是相似比的平方。

同理，两个正四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方,所以它们的体积比为1∶8。

答案:1∶85.已知在Rt△ABC中,AB⊥AC，AD⊥BC于点D，有=+成立.那么在四面体A —BCD 中,类比上述结论，你能得到怎样的猜想,说明猜想是否正确并给出理由。

【解析】类比AB⊥AC,AD⊥BC，可以猜想四面体A -BCD中,AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD。

则=++。

猜想正确.理由如下：如图所示，连接BE,并延长交CD于F,连接AF.因为AB⊥AC,AB⊥AD，所以AB⊥平面ACD。

高中数学第二章推理与证明 2.2.2反证法课时作业含解析新人教A版选修2

第二章 2.2 2.2.2请同学们认真完成练案[17]A级基础巩固一、选择题1．在用反证法证明命题“三个正数a，b，c满足a＋b＋c≤6，则a，b，c中至少有一个不大于2”时，下列假设正确的是(A)A．假设a，b，c都大于2B．假设a，b，c都不大于2C．假设a，b，c至多有一个不大于2D．假设a，b，c至少有一个大于2[解析]“a，b，c中至少有一个不大于2”的对立面是“a，b，c都大于2”，故选A．2．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是(D)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确[解析]反证法的实质是命题的等价性，因为命题p与命题的否定¬p真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．故选D．3．(2020·青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是(C) A．甲B．乙C．丙D．丁[解析]若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．4．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R 同时大于零的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分又不必要条件[解析] 若P >0，Q >0，R >0，则必有PQR >0；反之，若PQR >0，也必有P >0，Q >0，R >0.因为当PQR >0时，若P 、Q 、R 不同时大于零，则P 、Q 、R 中必有两个负数，一个正数，不妨设P <0，Q <0，R >0，即a ＋b <c ，b ＋c <a ，两式相加得b <0，这与已知b ∈R ＋矛盾，因此必有P >0，Q >0，R >0.5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( D )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形[解析] 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin (π2－A 1)sin B 2＝cos B 1＝sin (π2－B 1)sin C 2＝cos C 1＝sin (π2－C 1)得⎩⎪⎨⎪⎧ A 2＝π2－A 1B 2＝π2－B 1C 2＝π2－C 1，那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾，故假设不成立，即△A 2B 2C 2是钝角三角形，故选D ．6．若m 、n ∈N *，则“a >b ”是“a m ＋n ＋b m ＋n >a n b m ＋a m b n ”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] a m ＋n ＋b m ＋n －a n b m －a m b n ＝a n (a m －b m )＋b n (b m －a m )＝(a m －b m )(a n －b n )>0⇔⎩⎨⎧ a m >b m a n >b n 或⎩⎨⎧a m <b ma n <b n ，不难看出a >b ⇒/ a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋a n b m ，a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋b m a n ⇒/ a >b . 二、填空题7．命题“a ，b 是实数，若|a ＋1|＋(b ＋1)2＝0，则a ＝b ＝－1”，用反证法证明该命题时应假设__a ≠－1或b ≠－1__.[解析] a ＝b ＝－1表示a ＝－1且b ＝－1，故其否定是a ≠－1或b ≠－1.8．下列命题适合用反证法证明的是__①②③④__.①已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负实数根； ②若x ，y ∈R ，x >0，y >0且x ＋y >2，求证：1＋x y 和1＋y x中至少有一个小于2； ③关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．[解析] ①是“否定性”命题；②是“至少”类命题；③是“唯一性”命题，且题中条件较少；④不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．故填①②③④.三、解答题9．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．[解析] 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1，又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ，所以ac ＋bd ≤1，这与已知ac ＋bd >1矛盾，所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．10．(2020·深圳高二检测)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．[解析] 假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0，由f (0)为奇数，即c 为奇数，f (1)为奇数，即a ＋b ＋c 为奇数，所以a ＋b 为偶数，又an 2＋bn ＝－c 为奇数，所以n 与an ＋b 均为奇数，又a ＋b 为偶数，所以an －a 为奇数，即(n －1)a 为奇数，所以n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾．所以f (x )＝0无整数根．B 级素养提升一、选择题1．(多选题)①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ＞2；②设x ，y ，z 都是正数，用反证法证明三个数x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1x 至少有一个不小于2时，可假设x ＋1y，y ＋1z ，z ＋1x都大于2，以下说法不正确的是( ABD ) A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确[解析] p ＋q ≤2的反面是p ＋q ＞2，①正确，“至少有一个不小于2”的反面是“都小于2”，②错误，故选ABD ．2．(多选题)(2019·龙岩期中)“已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋a (a ∈R )，求证：|f (1)|与|f (2)|中至少有一个不小于12.”用反证法证明这个命题时，下列假设不正确的是( ACD ) A ．假设|f (1)|≥12且|f (2)|≥12B ．假设|f (x )|<12且|f (2)|<12C ．假设|f (1)|与|f (2)|中至多有一个不小于12D ．假设|f (1)|与|f (2)|中至少有一个不大于12[解析] 由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．假设|f (1)|＜12且|f (2)|＜12，故选ACD ．二、填空题3．(2020·嘉峪关校级期中)已知x ，y ∈R 且x ＋y ＞2，则x ，y 中至少有一个大于1，在反证法证明时假设应为__x ≤1且y ≤1__.[解析] ∵x ，y 中至少有一个大于1，∴其否定为x ，y 均不大于1，即x ≤1且y ≤1，故答案为x ≤1且y ≤1.4．在用反证法证明“已知p 3＋q 3＝2，求证：p ＋q ≤2”时的反设为__p ＋q >2__，得出的矛盾为__(q －1)2<0，或(p －1)2<0__.[解析] 由题意假设p ＋q ＞2，则p ＞2－q ，p 3＞(2－q )3，p 3＋q 3＞8－12q ＋6q 2，∵p 3＋q 3＝2，∴2＞8－12q ＋6q 2，即q 2－2q ＋1＜0，∴(q －1)2＜0，∵不论q 为何值，(q －1)2都大于等于0，即假设不成立，∴p ＋q ≤2；由以上分析过程可知：反设为p ＋q ＞2，得出的矛盾为(q －1)2＜0，同理可得出矛盾(p －1)2＜0.综上：反设为p ＋q ＞2，得出的矛盾为(q －1)2＜0，或(p －1)2＜0.三、解答题5．设a ，b ，c 均为正实数，反证法证明：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a至少有一个不小于2. [解析] 证明：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 全部小于2.即a ＋1b ＜2，b ＋1c ＜2，c ＋1a＜2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＜6，① 又≥2a ×1a ＋2b ×1b ＋2c ×1c＝6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，与①矛盾，所以假设错误．原命题为真．a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c) 所以a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a至少有一个不小于2. 6．设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，x ∈[－1,1]，证明：b <－2时，在其定义域范围内至少存在一个x ，使|f (x )|≥12成立． [证明] 假设不存在x ∈[－1,1]使|f (x )|≥12. 则对于x ∈[－1,1]上任意x ，都有－12<f (x )<12成立．当b <－2时，其对称轴x ＝－b 2>1， f (x )在x ∈[－1,1]上是单调递减函数，∴⎩⎨⎧ f (－1)＝1－b ＋c <12，f (1)＝1＋b ＋c >－12.⇒b >－12与b <－2矛盾． ∴假设不成立，因此当b <－2时在其定义域范围内至少存在一个x ，使|f (x )|≥12成立．。

2021_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法讲义新人教B版选修2_2

2.2.2 反证法学习目标核心素养1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.反证法1．反证法的定义由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)反证法属于间接证明问题的方法．( )(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( )(3)反证法的实质是否认结论导出矛盾．( )[答案] (1)√(2)×(3)√2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°〞，假设正确的选项是( )A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°[解析] 根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否认，故假设三个内角都大于60°.[答案] B3．平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，假设利用反证法证明，那么应假设__________．[解析] ∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．[答案] b与c平行或相交利用反证法证明否认性命题【例1】(1)用反证法证明：“假设方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，那么方程没有整数根〞，正确的假设是方程存在实数根x0为( )A．整数B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数(2)三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．[解析] (1)要证明的结论是“方程没有整数根〞，故应假设：方程存在实数根x0为整数，应选A.[答案] A(2)证明：假设a，b，c成等差数列，那么a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c，从而a＝b＝c，所以a，b，c可以成等差数列，这与中“a，b，c不成等差数列〞相矛盾．原假设错误，故a，b，c不成等差数列．1．用反证法证明否认性命题的适用类型结论中含有“不〞“不是〞“不可能〞“不存在〞等词语的命题称为否认性命题，此类问题的正面比拟模糊，而反面比拟具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤1．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．求证：数列{S n }不是等比数列． [证明] 假设数列{S n }是等比数列，那么S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．所以数列{S n }不是等比数列．利用反证法证明存在性命题【例2】 a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.[思路探究] “不能都大于〞的含义为“至少有一个小于或等于〞其对立面为“全部大于〞．[解] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.∵a ，b ，c ∈(0,1)，∴1－a >0,1－b >0,1－c >0. ∴(1－a )＋b2≥(1－a )b >14＝12. 同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12.三式相加得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32，即32>32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.应用反证法常见的“结论词〞与“反设词〞当命题中出现“至多〞“至少〞等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词〞与“反设词〞如下：2．a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．[证明] 假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1．又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.利用反证法证明唯一性命题[探究问题]反证法解题的实质是什么？提示：否认结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．【例3】直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．[思路探究] “有且只有〞表示“存在且唯一〞，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．[解] 因为a∥b，所以过a，b有一个平面α.又因为m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，即过a，b，m有一个平面α，如图．假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，那么a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个〞的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有〞“只有一个〞“唯一存在〞等形式出现的命题时，可先证“存在性〞，由于假设“唯一性〞结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．3．假设函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[证明] 由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，那么f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，那么n≠m.假设n>m，那么f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；假设n<m，那么f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数〞的否认正确的为( )A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数[解析] 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否认正确的选项是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．[答案] D2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角〞时，反设正确的选项是( ) A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角[解析] “至多有一个〞即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个〞．[答案] B3．“x＝0且y＝0”的否认形式为________．[解析] “p且q〞的否认形式为“¬p或¬q〞．[答案] x≠0或y≠04．用反证法证明命题“假设x2－(a＋b)x＋ab≠0，那么x≠a且x≠b〞时，应假设________．[解析] “x≠a且x≠b〞形式的否认为“x＝a或x＝b〞．[答案] x＝a或x＝b5．假设a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax ＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．[证明] 假设三个方程中都没有两个相异实根，那么Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a ＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．。

2021_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法学案新人教A版选修2_2

2.2.2 反证法学习目标核心素养1．了解反证法是间接证明的一种根本方法．(重点、易混点)2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点) 通过反证法的学习，培养学生的逻辑推理的核心素养.反证法的定义及证题的关键思考1：反证法的实质是什么？[提示] 反证法的实质就是否认结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？[提示] 反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．1．“a<b〞的反面应是( )A．a≠b B．a>bC．a＝b D．a＝b或a>b[答案] D2．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b〞，假设的内容应是________．[答案] 3a≤3b3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角〞有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．③①②[由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.]4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，以下选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)①结论的反设；②条件；③定义、公理、定理等；④原结论．①②③ [反证法的“归谬〞是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设〞作为一个新的条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进展正确推理，推出与条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．]用反证法证明否认性命题【例1】三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证：a，b，c不成等差数列．[证明] 假设a，b，c成等差数列，那么a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c.从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．1．用反证法证明否认性命题的适用类型结论中含有“不〞“不是〞“不可能〞“不存在〞等词语的命题称为否认性命题，此类问题的正面比拟模糊，而反面比拟具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤1．设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．[证明] 假设AC⊥平面SOB，如图，∵直线SO在平面SOB内，∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O.这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．用反证法证明唯一性命题【例2】求证方程2x＝3有且只有一个根．[证明] ∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，那么2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1.假设b1－b2>0，那么2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．假设b1－b2<0，那么2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．∴b1－b2＝0，那么b1＝b2.∴假设不成立，从而原命题得证．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有〞“当且仅当〞“唯一存在〞“只有一个〞等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；假设结论的反面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)证明“有且只有一个〞的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．2．求证：两条相交直线有且只有一个交点．[证明] 假设结论不成立，那么有两种可能：无交点或不止一个交点．假设直线a，b无交点，那么a∥b或a，b是异面直线，与矛盾．假设直线a，b不只有一个交点，那么至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线〞相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．用反证法证明“至多〞“至少〞问题[探究问题]1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n 个〞等量词的含义吗？ [提示]量词含义至少有一个有n 个，其中n ≥1至多有一个有0或1个至少有n 个大于等于n 个2.在反证法证明中，你能说出 “至少有一个、至多有一个、至少有n 个〞等量词的反设词吗？[提示]量词反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有n 个至多有n －1个【例3】 a ≥－1，求证三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．[证明] 假设三个方程都没有实根，那么三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)＜0，(a －1)2－4a 2＜0，(2a )2＋4×2a ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，－2＜a ＜0.∴－32＜a ＜－1，这与a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．1．(变条件)将此题改为：以下三个方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a 的取值范围？[解] 假设三个方程都没有实根，那么⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4(3－4a )＜0，(a －1)2－4a 2＜0，4a 2＋8a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，－2＜a ＜0，即－32＜a ＜－1，故三个方程至少有一个方程有实根，实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥－1或a ≤－32. 2．(变条件)将例题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a 的取值范围． [解] 假设三个方程都有实数根，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)≥0，(a －1)2－4a 2≥0，(2a )2＋4×2a ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4a －3≥0，3a 2＋2a －1≤0，a 2＋2a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－32或a ≥12，－1≤a ≤13，a ≤－2或a ≥0.即a ∈.所以三个方程中至多有2个方程有实数根时，实数a 的取值范围为R .当命题中出现“至少……〞“至多……〞“不都……〞“都不……〞“没有……〞“唯一〞等指示性词语时，宜用反证法.提醒：对于此类问题，需仔细体会“至少有一个〞“至多有一个〞等字眼的含义，弄清结论的否认是什么，防止出现证明遗漏的错误.用反证法证题要把握三点：(1)必须先否认结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否认结论进展推理，且必须根据这一条件进展论证，否那么，仅否认结论，不从结论的反面出发进展论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角〞，以下假设中正确的选项是( )A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角C[“最多只有一个〞的否认是“至少有两个〞，应选C.]2．如果两个实数之和为正数，那么这两个数( )A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个正数D．两个都是负数C[假设两个数分别为x1，x2，且x1≤0，x2≤0，那么x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.]3．平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c 是异面直线，假设利用反证法证明，那么应假设________．b与c平行或相交[∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．]4. 设数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．求证：数列{S n}不是等比数列．[证明] 假设数列{S n}是等比数列，那么S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾．所以数列{S n}不是等比数列．。

高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法高效演练知能提升含解析新人教A版选修2_2

2.2.2 反证法[A级基础巩固]一、选择题1．实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，则正确的说法是( )A．a，b，c都是0B．a，b，c都不为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c不可能均为正数答案：D2．用反证法证明“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a能被5整除解析：由于反证法是否定命题的结论，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．“a，b中至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．答案：B3．“实数a，b，c不全大于0”等价于( )A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于”．选项D正确．答案：D4．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为( )A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B5．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解析：①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．答案：B二、填空题6．用反证法证明命题“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是______________．解析：“大于”的否定为“小于或等于”．答案：3a＝3b或3a<3b成立7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．(填序号)答案：③①②8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．答案：丙三、解答题9．(1)当x>1时，求证：x2＋1x2>x＋1x；(2)已知x∈R，a＝x2－x＋1，b＝4－x，c＝x2－2x，试证明a，b，c中至少有一个不小于1.证明：(1)x2＋1x2－⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x＝（x－1）2（x2＋x＋1）x2，因为x>1，所以(x－1)2>0，x2>0，x2＋x＋1>0，所以x2＋1x2>x＋1x.(2)假设a，b，c都小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3，①而a ＋b ＋c ＝2x 2－4x ＋5＝2(x －1)2＋3≥3，②①与②矛盾，故a ，b ，c 中至少有一个不小于1.10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．证明：假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0，由f (0)为奇数，即c 为奇数， f (1)为奇数，即a ＋b ＋c 为奇数，所以a ＋b 为偶数，又an 2＋bn ＝－c 为奇数，所以n 与an ＋b 均为奇数，又a ＋b 为偶数，所以an －a 为奇数，即(n －1)a 为奇数，所以n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾．所以f (x )＝0无整数根．B 级能力提升1．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则下列三个数a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a( ) A ．都大于6B ．至少有一个不大于6C ．都小于6D ．至少有一个不小于6解析：假设a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a 都小于6，则a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16a<18，利用基本不等式可得a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16a ≥2b ·4b ＋2a ·16a ＋2 c ·9c ＝4＋8＋6＝18，当且仅当a ＝4，b ＝2，c ＝3时取等号．这与假设矛盾，故假设不成立，故a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a这三个数中至少有一个不小于6. 答案：D2．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________________．解析：若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)＜0，解得a ＜－1或a ＞13. Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)＜0，解得－2＜a ＜0，所以－2＜a ＜－1.所以，若两个方程至少有一个方程有实根，则有a ≤－2或a ≥－1.答案：{}a |a ≤－2或a ≥－13．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立．证明：假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即(x ＋y 2)2＋34y 2＝0.由y ≠0，得34y 2＞0.又(x ＋y 2)2≥0，所以(x ＋y 2)2＋34y 2＞0.与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．。

2020_2021学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法跟踪训练含解析新人教A版选修2_220

反证法[A组学业达标]1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．其中正确的为( )A．①②B．②③C．③④D．①②③④解析：本题直接考查反证法的定义．答案：D2．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的序号顺序为( )A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序为③①②.答案：B3．用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b中至少一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除解析：本题主要考查命题的否定与间接证明．根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定．命题：“a、b中至少一个能被5整除”的否定是：“a、b都不能被5整除．故答案为a、b都不能被5整除．答案：B4．(1)已知p2＋q2＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2；(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是( )A．(1)的假设正确，(2)的假设错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设错误，(2)的假设正确D．(1)与(2)的假设都错误解析：(1)用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定．所以p＋q≤2的假命题应为p＋q＞2.故(1)错误；(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，根据反证法的定义，可假设|x1|≥1，故(2)正确；所以C选项是正确的．答案：C5．设a，b，c都是正数，则三个数a＋1b，b＋1c，c＋1a( )A．都在于2B．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2解析：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a都小于2，即⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＋1b ＜2，b ＋1c ＜2，c ＋1a＜2，三式相加得a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＜6.由基本不等式知a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c≥2a ·1a＋2b ·1b＋2c ·1c ＝6，与假设矛盾，所以a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a至少有一个不小于2.答案：C6．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设________．解析：“x ≠a 且x ≠b ”形式的否定为“x ＝a 或x ＝b ”．答案：x ＝a 或x ＝b7．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．根据以上条件可以判断偷珠宝的人是________．解析：假设是甲偷了珠宝，则甲“我没有偷”为假，丁“我没有偷”为真，丙“丁是小偷”为假，乙“丙是小偷”为假，符合题目条件“四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝”，故假设正确．答案：甲8．求证方程sin x ＋c ＝x 只有唯一解．证明：假设方程至少有x 1，x 2(x 1≠x 2)两个解．则⎩⎪⎨⎪⎧sin x 1＋c ＝x 1， ①sin x 2＋c ＝x 2， ②①－②得sin x 1－sin x 2＝x 1－x 2， 2cosx 1＋x 22sinx 1－x 22＝x 1－x 2，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x 1＋x 22·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 1－x 22＝|x 1－x 2|2.③ 又由x 1≠x 2，可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 1－x 22＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 22， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x 1－x 22≤1， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x 1＋x 22⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 1－x 22＜|x 1－x 2|2，④ ③与④矛盾．∴sin x ＋c ＝x 只有唯一解．[B 组能力提升]9．若下列关于x 的方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0(a 为常数)，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，－1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞)C ．(－2,0)D.⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－32∪[0，＋∞)解析：不妨假设三个方程都没有实数根，则有⎩⎪⎨⎪⎧16a 2＋16a －12＜0(a －1)2－4a 2＜04a 2＋8a ＜0，解得－32＜a ＜－1，故三个方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根时，实数a 的取值X 围为a ≤－32或a ≥－1，所以B 选项是正确的．答案：B10．学生的语文，数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”，若学生甲的语文，数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙的成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同，数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多人数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5 解析：当有4名学生时，他们的语文成绩肯定有两个人相同，设为甲、乙两位同学，当这两位同学的数学成绩不同时，假设甲同学成绩高于乙同学成绩，则甲同学成绩比乙同学成绩好，不符合题意；当这两位同学的数学成绩相同时，不符合题目要求．所以学生人数不能多于3个．当有3名同学时，可以找出符合题意的情况，如下：甲同学语文成绩优秀，数学成绩不合格；乙同学语文成绩合格，数学成绩合格；丙同学语文成绩不合格，数学成绩优秀，所以满足条件的最多有3个学生．答案：B11．若a ，b ，c ，d 都是有理数，c ，d 都是无理数，且a ＋c ＝b ＋d ，则a 与b ，c 与d 之间的数量关系为________．解析：假设a ≠b ，令a ＝b ＋m (m 是不等于零的有理数)，于是b ＋m ＋c ＝b ＋d ，所以m ＋c ＝d ，两边平方整理得c ＝d －c －m 22m.左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此a ＝b ，从而c ＝d . 答案：a ＝b ，c ＝d12．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|. 求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12.那么他的反设应该是________．解析：根据反证法证明的步骤，首先反设，反设是否定原命题的结论．故答案为∃x 1，x 2∈[0,1]，当f (x 1)－f (x 2)＜|x 1－x 2|时，有|f (x 1)－f (x 2)|≥12.答案：∃x 1，x 2∈[0,1]，当f (x 1)－f (x 2)＜|x 1－x 2|时，有|f (x 1)－f (x 2)|≥1213．设a，b是异面直线，在a上任取两点A1，A2，在b上任取两点B1，B2，试证：A1B1与A2B2也是异面直线．证明：假设A1B1与A2B2不是异面直线，则A1B1与A2B2可以确定一个平面α，点A1，A2，B1，B2都在平面α内，于是A1A2⊂α，B1B2⊂α，即a⊂α，b⊂α，这与已知a，b是异面直线矛盾，所以假设错误．因此A1B1与A2B2也是异面直线.。