九年级数学选优拔尖测试题

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宁波九年级数学选拔试卷【含答案】

宁波九年级数学选拔试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数是质数？A. 21B. 23C. 27D. 302. 若一个三角形的两边长分别是8cm和10cm，那么第三边的长度可能是多少？A. 3cmB. 5cmC. 12cmD. 17cm3. 下列哪个选项是正确的？A. 0除以任何数都等于0B. 任何数乘以0都等于0C. 任何数除以1都等于它本身D. 任何数乘以1都等于它本身4. 下列哪个数是无理数？A. √9B. √16C. √25D. √265. 下列哪个图形是正方形？A. 四条边都相等的四边形B. 四个角都相等的四边形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线互相平分且相等的四边形二、判断题（每题1分，共5分）1. 0是最小的自然数。

（）2. 任何两个奇数相加的和都是偶数。

（）3. 任何两个有理数相乘的积都是有理数。

（）4. 平行四边形的对角线互相平分。

（）5. 任何两个实数相加的和都是实数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 最大的负整数是______。

2. 若一个数的平方是49，那么这个数是______或______。

3. 若两个数的和是10，它们的差是2，那么这两个数分别是______和______。

4. 若一个等腰三角形的底边长是8cm，腰长是5cm，那么这个三角形的周长是______cm。

5. 若一个数的算术平方根是3，那么这个数是______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要解释有理数的概念。

2. 请简要解释无理数的概念。

3. 请简要解释平行四边形的性质。

4. 请简要解释等腰三角形的性质。

5. 请简要解释勾股定理。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算下列各式的值：(1) 3^2 + 4^2(2) (3 + 4)^2(3) (3 4)^22. 解方程：2x + 3 = 113. 解方程：3(x 2) = 2(x + 1)4. 计算下列各式的值：(1) √9(2) √16(3) √255. 计算下列各式的值：(1) 3^3(2) 4^3(3) (3 + 4)^3六、分析题（每题5分，共10分）1. 已知一个三角形的两边长分别是8cm和10cm，那么第三边的长度可能是多少？请给出理由。

初三数学拔高类试卷及答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，公差d=2，则S10等于：A. 105B. 110C. 120D. 1302. 函数y=2x+1在定义域内的增减性为：A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数3. 在直角坐标系中，点A（1，2），点B（3，4）关于直线y=x的对称点分别是：A. A'（2，1），B'（4，3）B. A'（2，3），B'（4，1）C. A'（3，2），B'（1，4）D. A'（3，4），B'（1，2）4. 已知三角形ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠C的度数是：A. 60°B. 120°C. 30°D. 90°5. 若x²-3x+2=0，则x²+3x+2=？A. 0B. 2C. 4D. 66. 在平面直角坐标系中，点P（2，3）到直线2x+y-5=0的距离为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，公比q=3，则S4等于：A. 24B. 18C. 12D. 68. 函数y=√(x-1)的定义域是：A. x≥1B. x≤1C. x>1D. x<19. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=5，公差d=-2，则S6等于：A. -30B. -40C. -50D. -6010. 在平面直角坐标系中，点A（-1，1），点B（1，-1）关于原点的对称点分别是：A. A'（1，-1），B'（-1，1）B. A'（-1，-1），B'（1，1）C. A'（-1，1），B'（1，-1）D. A'（1，1），B'（-1，-1）二、填空题（每题5分，共50分）1. 已知函数y=3x²-6x+1，其顶点坐标为______。

九年级数学上册高分拔尖提优期末试题(青岛版)

九年级数学上册高分拔尖提优单元卷期末测试一、选择题（每小题3分，共36分）1.已知函数y=（m-2）25mx -是反比例函数，则m 的值为（） A ． 2B ． -2C ． 2或-2D ．任意实数【答案】B【解析】∵函数()252m y m x -=-是反比例函数，∴22051m m -≠⎧⎨-=-⎩，解得m=-2，故选B ．2. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判断△ABC ∽△AED 的是（）A ． ∠AED=∠BB ． ∠ADE=∠C C ． AD AC AE AB = D ． AD AE AB AC= 【答案】D 【解析】解：由题意得∠DAE=∠CAB ，A 、当∠AED=∠B 时，△ABC ∽△AED ，故本选项不符合题意；B 、当∠ADE=∠C 时，△ABC ∽△AED ，故本选项不符合题意；C 、当AD AE =AC AB时，△ABC ∽△AED ，故本选项不符合题意； D 、当AD AB =AE AC 时，不能推断△ABC ∽△AED ，故本选项符合题意；故选D ．3.如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 翻折，点A 恰好落在BC 边的A ′处，若，∠EFA=60°，则四边形A′B′EF的周长是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，过点E作EG⊥AD，∴∠AGE＝∠FGE＝90°∵矩形纸片ABCD，∴∠A＝∠B＝∠AGE＝90°，∴四边形ABEG是矩形，∴BE＝AG，EG＝AB，在Rt△EFG中，∠EFG＝60°，EG∴FG＝1，EF＝2，由折叠有，A'F＝AF，A'B'＝AB BE＝B'E，∠A'FE＝∠AFE＝60°，∵BC∥AD，∴∠A'EF＝∠AFE＝60°，∴△A'EF是等边三角形，∴A'F＝EF＝2，∴AF＝A'F＝2，∴BE＝AG＝AF－FG＝2－1＝1∴B'E＝1∴四边形A′B′EF的周长是A'B'＋B'E＋EF＋A'F1＋2＋2＝5故答案为D ．4.若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ． k ＞1B ． k ＜1C ． k ＞1且k≠0D ． k ＜1且k≠0【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，∴k ≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k ×1＞0，解得k ＜1且k ≠0．∴k 的取值范围为k ＜1且k ≠0．故选D ．5.河堤横断面如图所示，堤高BC ＝6米，迎水坡AB 的坡比是1，则AC 的长是（）A ．米B ． 12米C ．D ．【答案】D【解析】解：∵迎水坡AB 的坡比为1BC AC ∴= ∵堤高BC=6米，AC ∴==.故选D ．6.点A 为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，则x 轴的距离为3，若点A 第二象限内，则这个函数的解析式为（）A ． y=12xB ． y=﹣12xC ． y=112xD ． y=﹣112x 【答案】B【解析】设A 点坐标（x ，y ）．∵A 点到x 轴的距离为3，∴|y |＝3，y ＝±3． ∵A 点到原点的距离为5，∴x 2＋y 2＝52，解得x ＝±4， ∵点A 在第二象限，∴x ＝－4，y ＝3，∴点A 的坐标为（－4，3），设反比例函数的解析式为y ＝k x ， ∴k ＝－4×3＝－12， ∴反比例函数的解析式为y ＝12x，故选B ．7.如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A(﹣5，0)，对称轴为直线x ＝﹣2，给出四个结论：①abc ＞0；②4a+b ＝0；③若点B(﹣3，y 1)、C(﹣4，y 2)为函数图象上的两点，则y 2＜y 1；④a+b+c ＝0．其中，正确结论的个数是( )A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【答案】C 【解析】解：由图象可知：开口向下，故a ＜0，抛物线与y 轴交点在x 轴上方，故c ＞0，∵对称轴x ＝﹣2b a ＜0， ∴b ＜0，∴abc ＞0，故①正确；∵对称轴为x ＝﹣2， ∴﹣2b a＝﹣2， ∴b ＝4a ，∴4a ﹣b ＝0，故②不正确；当x＜﹣2时，此时y随x的增大而增大，∵﹣3＞﹣4，∴y1＞y2，故③正确；∵图象过点A(﹣5，0)，对称轴为直线x＝﹣2，∴点A关于x＝﹣2对称点的坐标为：(1，0)令x＝1代入y＝ax2+bx+c，∴y＝a+b+c＝0，故④正确故选C．8.在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与kyx=(k≠0)的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：有两种情况，当k>0是时，一次函数y=kx-k的图象经过一、三、四象限，反比例函数kyx=(k≠0)的图象经过一、三象限；当k<0时，一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限，反比例函数kyx=(k≠0)的图象经过二、四象限；根据选项可知，D选项满足条件.故选D．9.如图，⊙O是Rt△ABC外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．55°【答案】C【解析】连接OC，由圆周角定理可求得∠COD，由切线的性质可知∠OCD=90°，则可求得∠D．【详解】解：连接OC，则∠COD=2∠A=50°，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠D=90°-∠COD=40°，故选C．10. 如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（）A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6【答案】B【解析】在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，∴∠C=90°，如图：设切点为D，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∵S△ABC=12AC×BC=12AB×CD，∴AC×BC=AB×CD，即CD=AC BCAB⋅=345⨯=125，∴⊙C的半径为125，故选B．11.如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为（）A．5米B．3米C．2米D．2米或5米【答案】C【解析】设道路的宽为x，根据题意得20x+32x-x2=20×32-540整理得（x-26）2=576开方得x-26=24或x-26=-24解得x=50（舍去）或x=2所以道路宽为2米．故选C．12.如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为（）A．8S B．9S C．10S D．11S【答案】B【解析】如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF ∽△BCF ， ∴2:()DEF BCF DE S S BC=，又∵E 是AD 中点，∴1122DE AD BC ==， ∴DE :BC =DF :BF =1:2， ∴:1:4DEF BCF SS =， ∴4BCF S S =，又∵DF :BF =1:2，∴2DCF SS =， ∴2()12.ABCD S DCF BCF S S S =+=∴四边形ABCE 的面积=9S ，故选B ．二、填空题(本题满分18分，共有6道小题，每小题3分)13.方程x （2x －1）＝x 的解是______．【解析】解：方程移项得：x （2x-1）-x=0，分解因式得：x （2x-1-1）=0，可得x=0或2x-2=0，解得：x 1=0，x 2=1．故答案为x 1=0，x 2=114.计算sin60°tan60°cos45°cos60°的结果为______．【解析】解：原式1=222⨯ 31=22- =115.如图，已知等边三角形ABC 的边长为6，以AB 为直径的⊙O 与边AC ，BC 分别交于D ，E 两点，则劣弧DE 的长为________．【解析】如图，连接OD 、OE ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵OA=OD ，OB=OE ，∴△AOD 、△BOE 是等边三角形，∴∠AOD=∠BOE=60°，∴∠DOE=60°，又∵OA=12AB=3， ∴DE 的长=603180ππ⨯=；故答案为π．16.如图，过原点O 的直线与反比例函数1y ，2y 的图象在第一象限内分别交于点A ，B ，且A 为OB 的中点，若函数11y x=，则2y 与x 的函数表达式是_________．【解析】过A 作AC ⊥x 轴于C ，过B 作BD ⊥x 轴于D ，∵点A 在反比例函数11y x=上，∴设A （a ，1a ），∴OC=a，AC=1a，∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴AC∥BD，∴△OAC∽△OBD，∴AC OC OABD OD OB==，∵A为OB的中点，∴12AC OC OABD OD OB===，∴BD=2AC=2a，OD=2OC=2a，∴B（2a，2a），设2kyx=，∴k=224aa⋅=，∴2y与x的函数表达式是：24yx=．故答案为24yx=．16.如图，将矩形沿图中虚线（其中x＞y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若y=2，则x的值等于________【解析】∵③所在的小直角三角形和③②构成的大直角三角形相似，∴x y xy x y -=+，∵y＝2．∴x2－2x－4＝0解得：x＝1x1．1．17.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为.【解析】：∵AB=12，BC=5，∴AD=5．∴BD 13=．根据折叠可得：AD=A′D=5，∴A′B=13－5=8．设AE=x ，则A′E=x ，BE=12－x ，在Rt △A′EB 中：()22212x x 8-=+，解得：10x 3=． 18.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm ，AD 为BC 边上高．动点P 从点A 出发，沿A→Dcm/s 的速度向点D 运动．设△ABP 的面积为S 1，矩形PDFE 的面积为S 2，运动时间为t 秒（0＜t ＜8），则t= 秒时，S 1=2S 2．【解析】∵Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm ，AD 为BC 边上的高，∴AD=BD=CD=．又∵，∴1118,22S AP BD t PD =⋅=⋅==． ∵PE ∥BC ，∴△APE ∽△ADC ．∴PE AP DC AD =PE =⇒=． ∴PE=AP=．∴22S PD PE 16t 2t =⋅==-．∵S 1=2S 2，∴()28t 216t 2t =-，解得：t=6．三、解答题(共6题；共46分)19.按要求解下列方程.（1）22340x x --=（配方法）（2）2(2)3(2)40x x ----=（自己喜欢的方法）【解析】解：（1）2322x x -=222333()2()244x x -+=+ 2341()416x -=344x -=±∴12x x ==（2）2(2)3(2)40x x ----=(21)(24)0x x -+--=(1)(6)0x x --=∴121,6x x ==20.已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，DF ∥BE ．求证：四边形ABCD 为平行四边形．【解析】∵AB ∥CD ，∴∠DCA =∠BAC ，∵DF ∥BE ，∴∠DFA =∠BEC ，∴∠AEB =∠DFC ，在△AEB 和△CFD 中{DCF EABAE CF DFC AEB＝＝＝∠∠∠∠，∴△AEB ≌△CFD （ASA ），∴AB=CD ，∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．21.如图，四边形ABCD是一个菱形绿地，其周长为40m，∠ABC＝120°，在其内部有一个四边形花坛EFGH，其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点，现在准备在花坛中种植茉莉花，其单价为10元/m2，请问需投资金多少元？(结果保留整数)【解析】连接BD，AC．∵菱形ABCD的周长为，∴菱形ABCD的边长为．∵∠ABC＝120°，∴△ABD，△BCD是等边三角形．∴对角线BD＝m，AC＝m.∵E，F，G，H是菱形ABCD各边的中点，∴四边形EFGH是矩形，矩形的边长分别为m，．∴矩形EFGH的面积为(m2)，即需投资金为10元)．答：需投资金为866元．22.四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于H，求DH的长．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm，∴AC ⊥BD ，OA ＝12 AC ＝4cm ，OB ＝12BD ＝3cm ， ∴Rt △AOB 中，AB5，∵DH ⊥AB ，∵菱形ABCD 的面积S ＝ 12AC •BD ＝AB •DH ， 12×6×8＝5DH ， ∴DH ＝245． 23.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于B 、A 两点，与反比例函数的图象交于点C ，连接CO ，过C 作CD ⊥x 轴于D ，已知tan ∠ABO ＝12，OB ＝4，OD ＝2．（1）求直线AB 和反比例函数的解析式；（2）在x 轴上有一点E ，使△CDE 与△COB 的面积相等，求点E 的坐标．【解析】解：（1）∵OB =4，OD =2∴DB =2+4=6∵CD ⊥x 轴， tan ∠ABO ＝12∴OA =2，CD =3∴A （0，2），B （4，0），C （－2，3）设直线AB 解析式为y =kx +b ，则 2,04b k b =⎧⎨=+⎩解得2,12b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩∴直线AB解析式为122y x=-+设反比例函数解析式为myx =，得m=－2×3=－6∴反比例函数解析式为6 yx =-（2）∵△CDE与△COB的面积相等∴1122CD DE CD OB ⨯⨯=⨯⨯∴DE=OB=4∴点E的坐标为（－6，0）或（2，0）24.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB ＝2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC＝12 AB；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝8，求MN·MC的值．【解析】（1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，∴∠A=∠ACO=∠PCB．又∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACO +∠OCB =90°．∴∠PCB +∠OCB =90°．即OC ⊥CP ，∵OC 是⊙O 的半径．∴PC 是⊙O 的切线．（2）证明：∵AC =PC ，∴∠A =∠P ，∴∠A =∠ACO =∠PCB =∠P ．又∵∠COB =∠A +∠ACO ，∠CBO =∠P +∠PCB ，∴∠COB =∠CBO ，∴BC =OC ．12BC AB =∴ （3）解：连接MB ，MA∵点M 是AB 的中点，∴∠ACM =∠BCM ．∵∠ACM =∠ABM ，∴∠BCM =∠ABM ．又∵∠BMN =∠CMB ，∴△MBN ∽△MCB ． ∴MB MN MC MB= ∴2MB MN MC =⋅又∵AB 是⊙O 的直径，AM BM =∴∴∠AMB=90°，AM=BM ． ∵AB =8，∴MB = ∴232MN MC MB ⋅==。

2020年秋九年级数学拔尖班竞赛试卷

九年级数学拔尖班试卷一、单选题1．为锻炼身体，增强体质，小明长期坚持在环形操场上跑步．如果小明跑第一圈的速度为1v km/h ，小明跑第二圈的速度为2v km/h ，那么小明跑这两圈的平均速度是（）A ．122v v +km/hB ．12122v v v v +km/hC ．1212v v v v +km/hD ．12v v +（）km/h2．某城市计划用两年时间增加全市绿化面积，若平均每年绿化面积比上一年增长20%，则两年后城市绿化面积是原来的（） A ．1.2倍 B ．1.4倍 C ．1.44倍 D ．1.8倍3．已知多项式ax 5＋bx 3＋4，当x ＝1时，值为5，那么多项式ax 4＋bx 2－4，当x ＝－1时的值为( ) A ．5B ．－5C ．3D ．－3 4．下列说法①23xy -的系数是-2；②1π不是单项式；③1132x y -是多项式；④225mn 次数是3次；⑤3221x x --的次数是5次；⑥1x是代数式但不是单项式．正确的有（）A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 5．下列说法错误的是（） A ．25mn -的系数是25-，次数是2 B ．数字0是单项式 C ．14ab 是二次单项式 D ．23xy π的系数是13，次数是4 6．如果多项式441(2)352b a x x x +---是关于x 的三次三项式，则ab 的值是（）） A ．6 B ．6- C ．4 D ．4-7．下列结论正确的是（）A ．单项式25xy π的系数是15，次数是4 B ．233ab 的次数是6次 C ．单项式xyz -的系数是1-，次数是4D ．多项式23x xy +-是二次三项式 8．已知a ，b ，c 为非零的实数，则a ab ac bc a ab ac bc+++的可能值的个数为（）A ．4 B ．5C ．6 D ．7 二、填空题 9．瑞士中学教师巴尔末成功从光谱数据91625365122132⋅⋅⋅，，，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按规律写出第6个数是____________，第n 个数是____________．10．已知x ﹣1x=4，则x 2﹣4x+5的值为__． 11．将代数式4a 2b +3ab 2﹣2b 3+a 3按a 的升幂排列的是_____．12．把多项式3232741x x y y xy -+-+按x 的升幂排列为___________________________.三、解答题13．计算：（1）42112(3)6⎡⎤--⨯--⎣⎦ （2）221131643242⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⨯+⨯-÷⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦14．计算：（2）﹣54×214÷（﹣412）× 29 （3）﹣24×（131346-+）（4）﹣4×（﹣889）+（﹣8）×（﹣889）+12×（﹣889）（5）411110.563⎡⎤⎛⎫----⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦16．计算（3）8×（﹣25）﹣（﹣4）×（﹣29）+（﹣8）×35（4）﹣32﹣13×[（﹣5）2×（﹣35）﹣240÷（﹣4）×14]．17．计算： (3) 8－2×32－(－2×3)2 (4) －22 ÷47×(34－47)+32÷(－9) (5) －12 －(－193536)×18(6) －613÷6－234×(－16)+2323÷(－6)－634×16(7) －32－ (－5)3×(25)2－15÷│－3│(8) [－7－(49－14+518 )×(－36)]÷(－2)318．已知430x y ++-=， 152423x y xy --+的值.19．(3m -4)x 3-(2n -3)x 2+）2m+5n）x）6是关于x 的多项式．）1）当m）n 满足什么条件时，该多项式是关于x 的二次多项式；）2）当m）n 满足什么条件时，该多项式是关于x 的三次二项式．20．（4）已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为1-，3．现点A 、点B 分别以2个单位长度/秒和0.5单位长度/秒的速度同时向右，当点A 与点B 之间的距离为3个单位长度时，求点A 所对应的数是多少？ 21．()2计算：1111111111 (2324398109)-+-+-+-+-）22．已知a 、b 、c 均为整数，且1a b c a -+-=，试求a b b c c a -+-+-的值．23．a b c 、、在数轴上的大致位置如图所示：（1）：2+a b 0，b c - 0，a c + 0．（2）化简：2a b b c a c +--++25．（3）若动点C 表示的数为x ，当x 为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值．①–23x x ++；②235x x x -++++；③24620x x x x -+-+-+⋯+-26．（1）若|x −3|=4，则x =______；（2）式子|x −3|=|x +1|，则x =______；（3）若|x −3|+|x +1|=9，借助数轴求x 的值．27．已知点A 在数轴上表示的数是a ，点B 在数轴上表示的数是b ，且2|4|(1)0a b ++-=，现将点A ，B 之间的距离记作AB ，定义AB a b =-．（1）AB =_________________．（2）设点P 在数轴上表示的数是x ，||||2PA PB -=，求x 的值．28．(1) 有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图，化简：a c b c a b +-+--；(2) 两个非零有理数a ，b 满足a b +=2a －3b ，求432a b a b a b--+的值．29．（1）已知3a =，1=b ，且a b <，求+a b 的值（2）已知a b ，是有理数，当0ab ≠时，求||||a b a b +的值. （3）已知a b c ，，是有理数，0a b c ++=，0abc <，求||||||b c a c a b a b c +++++的值. （4）若a b c ，，均为整数，且2019||||1a b c a -+-=，化简：|||22||33|c a a b b c -+-+-.30．请阅读求绝对值不等式3x <和3x >的解集的过程：因为3x <，从如图1所示的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以3x <的解集是33x -<<；因为3x >，从如图②所示的数轴上看：小于-3的数的绝对值和大于3的数的绝对值是大于3的，所以3x >的解集是3x <-或3x >.解答下面的问题：（1）不等式()0x a a <>的解集为______；不等式()0x a a >>的解集为______.（2）解不等式24x -<.（3）解不等式57x->.31．(1)数轴上表示x和2-的两点A和B之间的距离可表示为____________；如果5AB=，求出x的值；(2)探究：32x x++-是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；(3)求1232019x x x x-+-+-++-的最小值，并指出取最小值时x的值.32．已知3x<-，化简：|3|2|1|||x+-+33．阅读下列材料，并解决有关问题：我们知道，(0)0(0)(0)x xx xx x>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的式子，例如化简式子|1||2|x x++-时，可令10x+=和20x-=）分别求得1x=-）2x=）称1-）2分别为|1|x+与|2|x-的零点值）．在有理数范围内，零点值1x=-和2x=可将全体有理数不重复且不遗漏地分成如下三种情况：（1）1x<-））2）1-≤2x<））3）x≥2．从而化简代数式|1||2|x x++-可分为以下3种情况：）1）当1x<-时，原式()()1221x x x=-+--=-+））2）当1-≤2x<时，原式()()123x x=+--=））3）当x ≥2时，原式()()1221x x x =++-=-综上所述：原式21(1)3(12)21(2)x x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩通过以上阅读，请你类比解决以下问题：）1）填空：|2|x +与|4|x -的零点值分别为））2）化简式子324x x -++）34．）1）若|x+5|=2，则x= ））2）代数式|x）1|+|x+3|的最小值为，当取此最小值时，x 的取值范围是））3）解方程：|2x+4|）|x）3|=9）35．有理数a ）b 在数轴上的对应点位置如图所示）1）用“<”连接0）a -）b -）1-）2）化简：12113a a b b a -+----（3）若2(1)0c a ⋅+<，且0c b +>，求1111c c a b c c c a b c+--++-+--+的值．24．已知A ，B 在数轴上对应的数分别用a ，b 表示，且点B 距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，将点B 先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点A ，P 是数轴上的一个动点．(1)在数轴上标出A 、B 的位置，并求出A 、B 之间的距离；(2)已知线段OB 上有点C 且6BC =，当数轴上有点P 满足2PB PC =时，求P 点对应的数；(3)动点P 从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…点P 能移动到与A 或B 重合的位置吗?若不能，请说明理由．若能，第几次移动与哪一点重合?。

初三提优试卷数学

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √16B. πC. √-1D. √2 - √32. 如果a > b，那么下列不等式中正确的是（）A. a + 2 > b + 2B. a - 2 < b - 2C. 2a > 2bD. 2a < 2b3. 下列函数中，一次函数是（）A. y = x^2 + 3x + 2B. y = 2x - 1C. y = √xD. y = 3/x4. 已知等腰三角形底边长为6，腰长为8，那么这个三角形的面积是（）A. 24B. 32C. 36D. 485. 若等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，那么这个数列的公差是（）A. 1C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共25分）6. 若x + 3 = 0，则x = ________。

7. （-2）^3 × (-1)^4 = ________。

8. 已知函数y = 3x - 2，当x = 2时，y = ________。

9. 在直角坐标系中，点P（3，4）关于x轴的对称点是_______。

10. 若等比数列{an}的第一项为a1，公比为q，则第四项a4 = ________。

三、解答题（共50分）11. （15分）解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。

12. （15分）已知函数y = 2x - 3，求函数的图像与x轴的交点坐标。

13. （15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 12，S5 = 30，求该数列的首项a1和公差d。

14. （15分）在直角坐标系中，点A（-2，3），B（4，-1），C（0，2）构成三角形ABC，求三角形ABC的周长。

答案：一、选择题1. C2. C3. B4. B5. B二、填空题7. -28. 19. （3，-4）10. a1q^3三、解答题11. 解：因式分解得：(x - 2)(x - 3) = 0，所以x = 2或x = 3。

初三数学拔尖考试试卷答案

一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知实数a、b满足a+b=1，则a^2+b^2的最小值为（）A. 1B. 0C. 1/2D. 2答案：A解析：由平方差公式可得a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab。

因为a+b=1，所以a^2+b^2=1-2ab≥1-2×(a+b)/2=1/2。

当且仅当a=b=1/2时取等号，所以a^2+b^2的最小值为1/2。

2. 已知函数f(x)=x^3-3x+2，则f(x)的对称中心为（）A. (0, 2)B. (1, 0)C. (0, 0)D. (1, 2)答案：A解析：因为f(-x)=(-x)^3-3(-x)+2=-x^3+3x+2=-f(x)，所以f(x)为奇函数，对称中心在y轴上。

又因为f(0)=2，所以对称中心为(0, 2)。

3. 在直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(-3, 4)，则线段AB的中点坐标为（）A. (-1, 1)B. (-1, 3)C. (1, 1)D. (1, 3)答案：A解析：线段AB的中点坐标为[(2-3)/2, (3+4)/2]=(-1/2, 7/2)。

化简得(-1, 1)。

4. 已知a、b、c为等差数列，且a+b+c=9，则b的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 12答案：A解析：因为a、b、c为等差数列，所以b=(a+c)/2。

又因为a+b+c=9，所以a+c=9-b。

代入b=(a+c)/2得b=(9-b)/2，解得b=3。

5. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1+a2+a3=6，a1+a2+a3+a4=18，则q的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 6答案：B解析：因为{an}为等比数列，所以a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q^2+q^3)=18。

又因为a1+a2+a3=6，所以a1+q+q^2=2。

联立两个方程解得q=3。

二、填空题（每题5分，共25分）6. 若等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an=______。

九年级数学上册期末选优拔尖自测卷

九年级数学上册期末选优拔尖测试总分：120分,时间：90分钟一、填空题（每题3分，共21分）1.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2－x－6向上(下)或向左(右)平移m个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则m的最小值为_______.2.已知点P(a,－3)关于原点的对称点为P1(－2,b),则a+b的值是_______.3.已知2x2－4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是_______.4.如图4所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面3 m高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为6 m，则厂门的高度约为_______.（精确到0.1 m）图45.一圆锥的侧面展开后是扇形,该扇形的圆心角为120°,半径为6 cm,则此圆锥的表面积为_______cm2.6.已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程x2－5x+6=0的两根,且O1O2=1,则⊙O1和⊙O2的位置关系是_______.7.如图2,Rt△ABC的边BC位于直线l上,AC,∠ACB=90°,∠A= 30°;若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转,当点A第3次落在直线l上时,点A所经过的路线的长为_______ (结果用含π的式子表示).图2二、选择题（每题3分，共24分）8.如图3所示的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )图39.下列成语所描述的事件是必然事件的是（）A．水中捞月B．拔苗助长C．守株待兔D．瓮中捉鳖10.如图4,AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为（）A．75°B．72°C．70°D．65°图4 图511.有一块长为30 m，宽为20 m的矩形菜地，准备修筑同样宽的三条直路（如图5），把菜地分成六块作为试验田，种植不同品种的蔬菜，并且种植蔬菜面积为矩形菜地面积的34，设道路的宽度为x m，下列方程：①30x +20x×2=30×20×14；②30x+20x×2－2x2=30×20×14；③(30－2x)(20－x)=30×20×34,其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③12.已知关于x的一元二次方程x2－2x=m有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m<1 B．m<－2C．m=0 D．m>－113.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）A．1B∶1C．3∶2∶1 D．1∶2∶3图614.如图6，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O－C－D－O的路线作匀速运动.设运动时间为t秒，∠APB 的度数为y度，则如图7所示图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）图7 图815.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图8所示,则下列5个代数式：ab,ac,a－b+c,b2－4ac,2a+b中,值大于0的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2三、解答题（16～18题每题6分，19～22题每题8分，23题11分，24题14分，共75分）16.已知抛物线经过两点A（1，0），B（0，－3），且对称轴是直线x=2，求此抛物线的解析式.17.解方程x2－4x+2=0.（用配方法）18.已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根,第三边BC的长为5.(1)k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?(2)k为何值时,△ABC是等腰三角形?并求△ABC的周长.19.现有形状、大小和颜色完全一样的三张卡片，上面分别标有数字“1”“2”“3”，第一次从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回；第二次再从这三张卡片中随机抽取一张并记下数字.请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果，并求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率.20.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上.（1）如图9（1），连接DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题：“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确，若正确请说明理由，若不正确请举反例说明；图9（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图9（2）为例说明理由.21.如图10，AC是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°.（1）求证：PB是⊙O的切线；图10（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及P A，PB的长.22.“五一”期间，小明和同学一起到游乐场游玩.如图11为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m.小明乘坐的车厢经过点B时开始计时.（1）计时4分钟后小明离地面的高度是多少？图11（2）在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m 以上的空中？23.为了实现“畅通市区”的目标，市地铁一号线准备动工，市政府现对地铁一号线第15标段工程进行招标，施工距离全长为300米.经招标协定，该工程由甲、乙两公司承建，甲、乙两公司施工方案及报价分别为：（1）甲公司施工单价y1（万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y1=27.8－0.09x,(2)乙公司施工单价y2（万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y2=15.8－0.05x.(注:工程款=施工单价×施工长度)(1)如果不考虑其他因素,单独由甲公司施工,那么完成此项工程需工程款多少万元?(2)考虑到设备和技术等因素,甲公司必须邀请乙公司联合施工,共同完成该工程.因设备共享，两公司联合施工时市政府可节省工程款140万元（从工程款中扣除）.①如果设甲公司施工a米（0<a<300）,那么乙公司施工______米,其施工单价y2=_______万元/米,试求市政府共支付工程款P(万元)与a(米)之间的函数关系式;②如果市政府支付的工程款为2 900万元,那么应将多长的施工距离安排给乙公司施工?24.如图12，y关于x的二次函数y=x+m)(x－3m)图象的顶点为M,图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于点D.以AB为直径作圆，圆心为点C，定点E的坐标为（－3，0），连接ED.（m>0）(1)写出A、B、D三点的坐标；图12（2）当m为何值时，点Ｍ在直线ＥＤ上？判定此时直线ED与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在直角坐标系中画出S关于m的函数图象示意图.。

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期末选优拔尖测试（120分,90分钟）一、选择题（每题3分，共24分）1.如图1所示的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A．B．C．D．图12.下列成语所描述的事件是必然事件的是（）A．水中捞月B．拔苗助长C．守株待兔D．瓮中捉鳖3.如图2,AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为（）A．75°B．72°C．70°D．65°图2 图34.有一块长为30 m，宽为20 m的矩形菜地，准备修筑同样宽的三条直路（如图3），把菜地分成六块作为试验田，种植不同品种的蔬菜，并且种植蔬菜面积为矩形菜地面积的34，设道路的宽度为x m，下列方程：①30x +20x×2=30×20×14；②30x+20x×2－2x2=30×20×14；③(30－2x)(20－x)=30×20×34,其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③5.已知关于x的一元二次方程x2－2x=m有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m<1 B．m<－2C．m=0 D．m>－16.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）A．1B．∶1C．3∶2∶1 D．1∶2∶3图47.如图4，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O－C－D－O的路线作匀速运动.设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，则如图5所示图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）图5 图68.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图6所示,则下列5个代数式：ab,ac,a－b+c,b2－4ac,2a+b中,值大于0的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题（每题3分，共21分）9.(陕西)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2－x－6向上(下)或向左(右)平移m个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则m的最小值为_______.10.已知点P(a,－3)关于原点的对称点为P1(－2,b),则a+b的值是_______.11.已知2x2－4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是_______.12.如图7所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面3 m高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为6 m，则厂门的高度约为_______.（精确到0.1 m）图713.一圆锥的侧面展开后是扇形,该扇形的圆心角为120°,半径为6 cm,则此圆锥的表面积为_______cm2.14.已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程x2－5x+6=0的两根,且O1O2=1,则⊙O1和⊙O2的位置关系是_______.15.如图8,Rt△ABC的边BC位于直线l上,AC,∠ACB=90°,∠A= 30°;若Rt△ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转,当点A第3次落在直线l上时,点A所经过的路线的长为_______ (结果用含π的式子表示).图8三、解答题（16～18题每题6分，19～22题每题8分，23题11分，24题14分，共75分）16.已知抛物线经过两点A（1，0），B（0，－3），且对称轴是直线x=2，求此抛物线的解析式.17.解方程x2－4x+2=0.（用配方法）18.已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根,第三边BC的长为5.(1)k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?(2)k为何值时,△ABC是等腰三角形?并求△ABC的周长.19.现有形状、大小和颜色完全一样的三张卡片，上面分别标有数字“1”“2”“3”，第一次从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回；第二次再从这三张卡片中随机抽取一张并记下数字.请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果，并求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率.20.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB 上.（1）如图9（1），连接DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题：“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确，若正确请说明理由，若不正确请举反例说明；（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图9（2）为例说明理由.图921.如图10，AC是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°.（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及P A，PB的长.图1022.“五一”期间，小明和同学一起到游乐场游玩.如图11为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m.小明乘坐的车厢经过点B时开始计时.（1）计时4分钟后小明离地面的高度是多少？（2）在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？图1123.为了实现“畅通市区”的目标，市地铁一号线准备动工，市政府现对地铁一号线第15标段工程进行招标，施工距离全长为300米.经招标协定，该工程由甲、乙两公司承建，甲、乙两公司施工方案及报价分别为：（1）甲公司施工单价y1（万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y1=27.8－0.09x,(2)乙公司施工单价y2（万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y2=15.8－0.05x.(注:工程款=施工单价×施工长度)(1)如果不考虑其他因素,单独由甲公司施工,那么完成此项工程需工程款多少万元?(2)考虑到设备和技术等因素,甲公司必须邀请乙公司联合施工,共同完成该工程.因设备共享，两公司联合施工时市政府可节省工程款140万元（从工程款中扣除）.①如果设甲公司施工a米（0<a<300）,那么乙公司施工______米,其施工单价y2=_______万元/米,试求市政府共支付工程款P(万元)与a(米)之间的函数关系式;②如果市政府支付的工程款为2 900万元,那么应将多长的施工距离安排给乙公司施工?24.如图12，y关于x的二次函数y=x+m)(x－3m)图象的顶点为M,图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于点D.以AB为直径作圆，圆心为点C，定点E的坐标为（－3，0），连接ED.（m>0）（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时，点Ｍ在直线ＥＤ上？判定此时直线ED与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在直角坐标系中画出S关于m的函数图象示意图.图12参考答案及点拨一、1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. B 7. C 8. C二、9. 2 10. 5 11. 2+5 12. 6.9 m 13. 16π 14. 内切15. (4+3)π三、16. 解：设抛物线的解析式为y =a (x －2)2+k .把A (1,0),B (0,－3)的坐标代入,得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=.)20(3,)21(022k a k a 解得⎩⎨⎧=-=.1,1k a ∴y =－(x －2)2+1= －x 2+4x －3.17. 解：移项，得x 2－4x =－2，配方，得x 2－4x +4= －2+4，即（x －2）2=2，所以x －2=±2，x 1=2+2，x 2=2－2.18. 解：(1)∵x 2－(2k +1)x +k (k +1)=0,∴(x －k )·［x －(k +1)］=0,∴x 1=k ,x 2=k +1.由勾股定理，得k 2+(k +1)2=52,解得k 1=3,k 2=－4(舍去).∴当k =3时,△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形.(2)当△ABC 是等腰三角形时,有三种情况:①AB =AC ,而在一元二次方程中,由于b 2－4ac =［－(2k +1)］2－4k (k +1)=1,即AB ≠AC .因此此种情况不存在;②AB =BC 或AC =BC .此时x =5是已知方程的一个根，所以52－5(2k +1)+k (k +1)=0,解得k 1=4,k 2=5.当k 1=4时,方程的两个根为x 1=k =4,x 2=k +1=5,此时等腰三角形的三边长为4,5,5,可以构成三角形,∴此时等腰三角形的周长为4+5+5=14;当k =5时,方程的两个根为x 1=k =5,x 2=k +1=6,此时等腰三角形的三边长为5,5,6,可以构成三角形,∴此时等腰三角形的周长为6+5+5=16.19. 解：画树状图如答图1：∵共有9种等可能的结果,第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的有3种情况,∴第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率为: 93=31.答图120. 解：（1）不正确，当F 在线段AB 上时，设大正方形边长为a ，小正方形边长为b ,计算可得DF =222b a + >a ,BF =｜AB －AF ｜=｜a －b 2｜<a ,故DF >BF ,即此时DF ≠BF ;(2)BE =DG .理由：连接BE ，在△ADG 和△ABE 中，∵AD =AB ，∠DAG =∠BAE ，AG =AE ，∴△ADG ≌△ABE （SAS ），∴BE =DG .21.（1）证明：连接OB .∵OA =OB ,∴∠OBA =∠BAC =30°.∴ ∠AOB =180°－30°－30°=120°.∵P A 切⊙O 于点A,∴OA ⊥P A ,∴∠OAP =90°.∵四边形的内角和为360°，∴∠OBP =360°－90°－60°－120°=90°.∴OB ⊥PB .又∵点B 是⊙O 上的一点，∴PB 是⊙O 的切线.（2）解：连接OP .∵P A 、PB 是⊙O 的切线，∴P A =PB ，∠OP A =∠OPB =21∠APB =30°. 在Rt △OAP 中，∠OAP =90°，∠OP A =30°，∴OP =2OA =2×2=4，∴P A =22OA OP - =2224-=23.∵P A =PB ,∠APB =60°,∴P A =PB =AB =23.22. 解：(1)设4分钟后小明到达点C ,过点C 作CD ⊥OB 于点D ,如答图2，DA 即为小明离地面的高度,∵∠COD =24360︒×4=60°，∴OD =21OC =21×20=10（m ），∴DA =20－10+1=11（m ）.答:计时4分钟后小明离地面的高度是11 m;答图2(2)当旋转到E 处时,作弦EF ⊥AO 交AO 的延长线于点H ,连接OE ,OF ,此时EF 离地面高度为HA .当HA =31 m 时,OH =31－1－20=10（m ）,∴OH =21OE ,∴∠HOE =60°,∴∠FOE =120°. ∵摩天轮每分钟旋转的角度为: 24360︒=15°,∴由点E 旋转到F 所用的时间为: ︒︒15120=8(分钟). 答:在旋转一周的过程中,小明将有8分钟的时间连续保持在离地面31m 以上的空中.23. 解：(1)由题意得:(27.8－0.09×300)×300=240(万元).答:甲公司单独完成此项工程需工程款240万元.(2)①(300－a )(0.05a +0.8)由题意,得P =(27.8－0.09a )a +(0.05a +0.8)(300－a )－140=27.8a －0.09a 2－0.05a 2+14.2a +100=－0.14a 2+42a +100②当P =2 900时,－0.14a 2+42a +100=2 900,整理,得:a 2－300a +20 000=0,解得:a 1=100,a 2=200,∴300－a =200或300－a =1 00.答:应将200米或100米长的施工距离安排给乙公司施工.24. 解：(1)令y =0,则－m33(x +m )(x －3m )=0,解得x 1=－m ，x 2=3m . ∵m >0,∴A (－m ,0)，B (3m ,0).令x =0,则y =3m ,即D (0, 3m ).(2)设直线ED 的解析式为y =kx +b ,将点E (－3,0)、D （0，3m ）的坐标代入解析式中，得⎩⎨⎧==+-,3,03m b b k解得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,33m b m k ∴直线ED 的解析式为y =.333m mx + ∵y =－m 33(x +m )(x －3m )=－m 33(x －m )2+334m , ∴顶点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m m 334,. 把⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m m 334,代入y =,333m mx +得m 2=m ,解得m =0或m =1. ∵m >0,∴m =1.∴当m =1时,点M 在直线ED 上.连接CD ,点C 为AB 的中点,坐标为C (m ,0),即(1,0). ∵OD =3,OC =1,∴CD =2,点D 在圆上.又∵OE =3,OE 2+OD 2=ED 2=12,EC 2=16,CD 2=4，∴CD 2+DE 2=EC 2.∴∠EDC =90°,∴直线ED 与⊙C 相切.答图3(3)S △AED =23m ·｜3－m ｜. 当0<m <3时,S △AED =21AE ·OD =23m （3－m ），即S = －23m 2+233m .当m >3时,S △AED =21AE ·OD =23m （m －3），即S =23m 2－233m . 图象示意图如答图3中的实线部分.。

九年级数学下期末选优拔尖测试卷

期末选优拔尖测试卷（120分，120分钟）一、选择题（每题3分，共36分）1.已知x－1x=3，则4－12x2+32x的值为（）A.1B. 32 C.52D.722.（吉林长春）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y=34x上，则点B与其对应点B′间的距离为（）A．94B．3 C．4 D．5图13.如图2的几何体的左视图是图3中的（）图2 图3 图44.〈山东临沂〉如图4，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1(1，0)，A2(2，0)，B1(0，1)，B2(0，2)，分别以A1，A2，B1，B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（）A.34B.13C.23D.125.〈浙江绍兴〉教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y （℃）和时间x（min）的关系如图5，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（）A.7：20B.7：30C.7：45 D．7：50图56.〈山东威海〉如图6，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数y1=mx的图象经过点A，反比例函数y2=nx的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（）A.m=－3nB.m=C.m=nD.m n图67.如图7，有两个可以自由转动的转盘（每个转盘均被等分），同时转动这两个转盘，待转盘停止后，两个指针同时指在偶数上的概率是（）A.15B.625C.25D.1925图78.〈山东滨州〉如图8，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD=BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3图8 图99.如图9是某几何体的三视图，则组成该几何体的小方块块数为（）A.12块B.9块C.7块D.6块10.〈青海西宁〉已知函数y=kx+b的图象如图10所示，则一元二次方程x2+x+k －1=0根的存在情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定图10 图1111.〈山东菏泽，有改动〉如图11，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A.16B.17C.18D.1912.根据如图12所示的程序，得到了y与x的函数图象（如图13），过y轴正半轴上一点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ，则以下结论：①x＜0时，y=2x；②△OPQ的面积为定值；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④MQ=2PM；⑤∠POQ可以等于90°，其中正确的是（）A.①②④B.②④⑤C.③④⑤D.②③⑤图12 图13二、填空题（每题4分，共24分）13.〈湖北随州〉如图14，点D，E分别在AB，AC上且∠ABC=∠AED，若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为.14.关于x的方程ax2－(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1+x2－x1·x2=1－a，则a= .图14 图1515.如图15，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F.现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB 上，对应点记为A1，AD的中点E的对应点记为E1.若△E1F A1∽△E1BF，则AD= .16.小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6），记甲立方体朝上一面的数字为x，乙立方体朝上一面的数字为y，这样就确定P的一个坐标（x，y），则点P落在双曲线y=6x上的概率为.17.如图16，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在AB，AD上，且AE=DF，连接BF与DE，相交于点G，连接CG，与BD相交于点H，下列结论①△AED≌△DFB；②SCG2；③若AF=2FD，则BG=6GF，其中正确的有.（填四边形BCDG序号）图16 图1718.〈辽宁铁岭〉如图17，在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线交l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B，BA为邻边作平行四边形ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1，B1A1为邻边作平行四边形A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则C n的坐标是.三、解答题（每题10分，共60分）19.某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图18所示的两幅不完整的统计图（要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：图18（1）九（1）班的学生人数为_____，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中m=____，n=____，表示“足球”的扇形的圆心角是_____度；（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．20.如图19，点A ，F ，C ，D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC .（1）求证：四边形BCEF 为平行四边形.图19（2）若∠ABC =90°，AB =4，BC =3，当AF 为何值时，四边形BCEF 为菱形？21.已知平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程：x 2－mx +2m －14=0的两个实数根，（1）当m 为何值的，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；（2）当AB =2时，平行四边形ABCD 的周长是多少？22.如图20所示，不透明圆锥DEC 放在水平面上，在A 处灯光照射下形成影子，设BP 过圆锥底面的圆心，已知圆锥的高为，底面半径为2 m ，BE =4 m.（1）求∠B的度数；图20 （2）若∠ACP=2∠B，求光源A距水平面的高度（答案用含根号的式子表示）.23.〈四川绵阳〉“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆.（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1 000元/辆，售价为1 300元/辆.根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍.假设所进自行车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？24.（1）请在图21①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图21②，M是正方形ABCD内一定点，请在图21②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．问题解决：图21（3）如图21③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．参考答案及点拨一、1.D 点拨：由x－1x =3得：x2－3x=1，∴4－12x2+32x=4－12(x2－3x)=4－1 2×1=72.2. B3.B4. D 点拨：所作的三角形共有4个，△OA1B1，△OA1B2，△OA2B2，△OA2B1，其中等腰三角形有2个，△OA1B1，△OA2B2，所以所作三角形是等腰三角形的概率为24=12.5. A 点拨：∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7 min，设一次函数关系式为：y=k1x+b，将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30，∴y=10x+30（0≤x≤7），令y=50，解得x=2；设反比例函数关系式为：y=k x，将（7，100）代入y=kx得k=700，∴y=700x，将y=30代入y=700x，解得x=703；∴y=700x（7＜x≤703），令y=50，解得x=14．所以，饮水机的一个循环周期为703min．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤703时间段内，水温不超过50℃．逐一分析如下：选项A：7：20至8：45之间有85 min．85－703×3=15，位于14≤x≤703时间段内，故可行；选项B：7：30至8：45之间有75 min．75 min－703×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤703时间段内，故不可行；选项C：7：45至8：45之间有60 min．60－703×2=403≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤703时间段内，故不可行；选项D：7：50至8：45之间有55 min．55－703×2=253≈8.3，不在0≤x ≤2及14≤x ≤703时间段内，故不可行．综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意．故选A ．6. A 点拨：∵∠AOB =90°，∠OAB =30°，∴OB =12AB ，又OA 2+OB 2=AB 2，∴OB OA=3.作BE ⊥x 轴于E ，AF ⊥x 轴于F ， ∵∠BOE +∠AOF =90°，∠OBE +∠BOE =90°，∴∠AOF =∠OBE ，∴△OBE ∽△AOF ，∴OB OA =BE OF =OE AF=3.设B ,BB n x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，A ,A A m x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则BE =Bnx ，OF =x A ，OE =－x B ，AF =A m x ，即B A nx x =BAx m x -=3，∴A B n x x=3，m x x B A -=3， ∴ －n m=3·3=13， ∴m =－3n ，故选A.7. B8. D 点拨：AD ∥ BC ，AD ＝ BC ， AD ∥CE ，AD ＝CE ，∴四边形ABCD 、四边形ACED 都是平行四边形，又△ABC 是等边三角形，∴AC =BC =CE .∴平行四边形ACED 为菱形，故①②③全正确.9. D 点拨：组成该几何体的块数为1+2+3=6（块）.故选D.10. C 点拨：Δ=1－4(k －1)=5－4k .又由函数y =kx +b 的图象可知k ＜0，∴5－4k ＞0，∴x 2+x +k －1=0有两个不相等的实数根，故选C.11. B 点拨：∵大正方形的边长为6，∴面积为S 1的正方形的边长为3.∴S 1=9，设面积为S 2的正方形的边长为x，则=，∴x∴S 22=8.∴S 1+S 2=9+8=17.故选B. 12. B二、13. 10 点拨：∵∠ABC =∠AED ，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴AEAB=DEBC，∴5AB =48，∴AB =10.14. －1 点拨：x 1+x 2=a a 13+，x 1·x 2=()a a 12+，∴a a 13+－()aa 12+=1－a ，∴a 2－1=0，∴a =±1，Δ=［－(3a +1)］2－4a ·2(a +1)＞0即（a －1）2＞0，∴a ≠1，∴a =－1. 15.165点拨：在Rt △ABC 中，AB =10，BC =6，∴AC =8.设AD =x ，由△ADF ∽△ACB ，得8x =6FD，∴DF =34x ，当△E 1F A 1∽△E 1BF 时，E 1F 2=E 1A 1·E 1B .即FD 2+DE 2=E 1A 1·E 1B ，∴（34x ）2+(12x )2=12x ·(10－32x )，∴x =165. 16.19点拨：等可能出现的情况共有36种，其中xy =6的有4种（1，6；2，3；3，2；6，1），∴P =436=19.答图117. ①②③ 点拨：在菱形ABCD 中，AB =BD ，∴△ABD 和△BCD 都为等边三角形，又AE =DF ，∴△AED ≌△DFB ，如答图1，作∠BCM =∠DCG ，交GB 的延长线于M ，易知△DCG ≌△BCM .∴△GCM 为等边三角形，∴S 四边形BCDG =S 三角形GCM =4CG 2;作EN ∥AD ，交BF 于N . ∵AF =2FD ，DF =AE ，∴BE =2AE .∴EN AF =EB AB =23，∴GN FG =21.5=43，又BN FN =21，∴BG FG =61，∴BG =6GF ，故①②③都正确.18.4n －1，4n ）点拨：此题运用数字归纳法.∵直线l 经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，∴易求出直线l对应的函数关系式为y=3x．∵AB⊥y轴，点A（0，1），∴可设B点坐标为（x B，1），将（x B，1）代入y=3x，得1=3x B，解得x BB1），ABRt△A1AB中，∠AA1B=90°－60°=30°，∠A1AB=90°，∴A1B=2AB=2，∴AA1===3，OA1=OA+AA1=1+3=4，∵平行四边形ABA1C1中，A1C1=ABC1点的坐标4），即（－40，41）；由3x=4，解得xB1点的坐标为（4），A1B1Rt△A2A1B1中，∠A1A2B1=30°，∠A2A1B1=90°，∴A2B1=2A1B1=8，∴A1A2===12，OA2=OA1+A1A2=4+12=16，∵平行四边形A1B1A2C2中，A2C2=A1B1C2点的坐标为（－16），即41，42）；同理，可得C3点的坐标为（－64）42，43）；以此类推，则C n4n－1，4n）．4n－1，4n）．三、19. 解：（1）40，如答图2：答图2(2)10;20；72；（3）列表如下：从上表可以看出，所有可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性均相同，其中1男1女的结果有6种，∴P（1男1女）=612=12.点拨：条形图和扇形图相结合，由篮球人数为12，篮球占30%，即可求出总人数，进而可求出足球的人数和排球和足球所占的百分比及足球在扇形统计图中所占的圆心角度数.（3）4名学生中抽取2名实际上是两次试验，是抽出不放回的概率模型问题.20.（1）证明：∵AF=CD，∴AC=DF.又∠A=∠D，AB=DE，∴△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∠ACB=∠DFE.∴BC∥EF.∴四边形BCEF为平行四边形.（1）解：连接BE交CF于G.若四边形BCEF为菱形，则有BE⊥CF，FG=CG，又∠ABC=90°，AB=4，BC=3，∴AC=5.又∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG.∴△ABC∽△BGC，∴BCAC=CGBC，即35=3CG.∴CG=95.∴FC=2CG=185.∴AF=AC－FC=5－185=75.故当AF=75时，四边形BCEF为菱形.点拨：当AF 为何值时，四边形BCEF 为菱形，我们可以把四边形BCEF 为菱形作为条件去求AF 的值.这也是我们解决探究问题的一个常用方法. 21. 解：（1）∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB =AD .又∵Δ=m 2－4（2m －14）=m 2－2m +1=(m －1)2.∴当(m －1)2=0，即m =1时，四边形ABCD 是菱形.把m =1代入x 2－mx +2m －14=0得x 2－x +14=0，∴x 1=x 2=12.∴菱形ABCD 的边长为12.（2）把x =2代入x 2－mx +2m －14=0得4－2m +2m －14=0，解得m =52.把m =52代入x 2－mx +2m －14=0得x 2－52x +1=0，解得x 1=2，x 2=12∴AD =12.∵四边形ABCD 为平行四边形. ∴平行四边形ABCD 的周长为2（2+12）=5.点拨：把平行四边形的边长与一元二次方程的根相联系，那么平行四边形的性质和一元二次方程根的性质都要掌握.首先平行四边形变为菱形，各边相等，那么一元二次方程就有两个相等的实数根.对于（2）就是已知一元二次方程的一根再求另一根.22. 解：（1）圆锥的高DO 在Rt △DOB 中，OB =BE +EO =4+2=6(m).∴BD 2=BO 2+DO 2=622=48.∴BD ，则BD =2DO . ∴∠B =30°.（3）过A作AF⊥BP于F.∵∠ACP=∠B+∠BAC=2∠B，∴∠B=∠BAC=30°.∴AC=BC=BE+EC=8(m).在Rt△ACF中，∠CAF=90°－∠ACP=90°－2∠B=30°.∴CF=12AC=4(m).∴AF=(m).故光源A距水平面的高度为点拨：投影问题在本题中转化为在直角三角形中求角度和边长的问题，通过作高，构造直角三角形，应用直角三角形中边、角之间的关系去求值.23. 解：（1）设前4个月自行车销量的月平均增长率为x，根据题意列方程：64（1+x）2 =100 ，解得x1=－225%（不合题意，舍去），x2= 25%.100×(1+25%)=125(辆).答：该商城4月份卖出125辆自行车.（2）设进B型车x辆，则进A型车300001000500x-辆，根据题意得不等式组2x≤300001000500x-≤2.8x，解得12.5≤x≤15，自行车辆数为整数，所以13≤x≤15，设销售利润为W元，则W=（700－500）×300001000500x-+（1 300－1 000）x .整理得：W=－100x+12 000，∵W随着x的增大而减小，∴当x=13时，W有最大值，此时，300001000500x-=34，所以该商城应进A型车34辆，B型车13辆.点拨：方程、不等式（组）、一次函数相结合的问题，除了要考虑数学知识之间的融会贯通之外，还应考虑它们所表示的实际问题的意义，如舍去负根，不等式组的正整数解，根据一次函数的性质求最大利润等.24. 解：（1）如答图3①.答图3（4）如答图3②.理由如下：∵点O是正方形ABCD的对角线的交点，∴点O是正方形ABCD的对称中心，∴AP=CQ，EB=DF，在△AOP和△EOB中，∵∠AOP=90°－∠AOE，∠BOE=90°－∠AOE，∴∠AOP=∠BOE，∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，∴△AOP≌△BOE，∴AP=BE=DF=CQ，设O到正方形ABCD一边的距离为d，则12（AP+AE）d=12（BE+BQ）d=12（CQ+CF）d=12（PD+DF）d，∴S四边形AEOP=S四边形BEOQ=S四边形CQOF=S四边形DPOF，∴直线EF、OM将正方形ABCD面积四等分；答图4（3）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等分.理由如下：如答图4，延长BA至点E，使AE=b，延长CD至点F，使DF=a，连接EF.∴BE∥CF，BE=CF，∴四边形BCFE为平行四边形，∵BC=BE=a+b，∴平行四边形BCFE为菱形.连接BF交AD于点M，则△MAB≌△MDF，∴AM=DM.即点P、M重合.∴点P是菱形EBCF对角线的交点，在BC上截取BQ=CD=b，则CQ=AB=a.设点P到菱形EBCF一边的距离为d.连接CP，∴S△ABP+S△QBP=12(AB+BQ)d=12(CQ+CD)d=S△CQP+S△CDP，即S四边形ABQP=S四边形PQCD.∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.。

2023年创新拔尖选拔初赛试卷(初三数学)与答案

2023年YL 集团中学数学学科素养与能力测试九年级初赛时量：100分钟满分：120座位号第一部分：答题卡2. 3. 4.6.7.8.9.、10.11.12.13.14.15.16.第二部分：试题16题，每题5分，共80分）．下列因式分解正确的是．（填序号）2211()42x x x -+=-②4322269(69)a b a b a b a b a a -+=-+2224(2)x x x -+=-④224(4)(4)x y x y x y -=+-133(5a -=，125()3b =，124(3c -=，则a 、b 、c 三个数的大小关系是．关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．x 的小数部分用{}x 表示，{}x x -为整数，且0{}1x ，记9，9的小a ，b ，则432ab a b -+-=．x 的不等式组35241x m x x >+⎧⎨-<+⎩的整数解仅有4个，则m 的取值范围是．4(0)3y x b b =+<与413y x =-图象之间的距离等于3，则b 的值为．(1y a x =--的函数值y 随自变量x 的增大而减小，下列描述中：①a <②y 轴的交点为(0,1)-；③函数图象经过第一象限；④点(a +24)a -在该函数图象上，其中正确的是．（填序号）0ab >．则有00a b >⎧⎨>⎩或00a b <⎧⎨<⎩．如图，直线y kx b =+与y mx n =+分别交x (0.5,0)A -、(2,0)B ，则不等式()()0kx b mx n ++>的解集是．第8题第9题9．若直线AB ：y ＝32x +4与x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ，直线CD ：y ＝21-x +2与x 轴、y 轴分别交于点D 和点C ，线段AB 与CD 的中点分别是M ，N ，点P 为x 轴上一动点．（1）点M 的坐标为；（2）当PM +PN 的值最小时，点P 的坐标为．10．方程210x ax ++=和20x x a --=有一个公共根，则a 的值是．11．如果关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，则符合条件的整数a 为．12．已知实数α，β满足2310αα+-=，2310ββ--=，且1αβ≠，则23αβ-+=．13．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，90ABC ∠=︒，点M ，N 分别在射线BA ，BC 上，MN 长度始终保持不变．4MN =，E 为MN 的中点，点D 到BA ，BC 的距离分别为3和2，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE 的最小值为．第13题第14题第16题14．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，过点E 作//EF CD ，交AD 于F ，交对角线BD 于G ，取DG 的中点H ，连接AH ，EH ，FH ．下列结论：①//FH AE ；②AH EH =且AH EH ⊥；③BAH HEC ∠=∠；④EHF AHD ∆≅∆；⑤若2BE EC =，则313DHEC AHE S S ∆=四边形，其中哪些结论是正确的．（填序号）15．已知x ，y ，z ，a ，b 均为非零实数，且满足333331112,,,81xy yz xz xyz x y a b y z a x z a b xy yz zx ====+-+++++，则a 的值为．16．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的大致图象如图所示，顶点坐标为(2,9)a --，下列结论：①0abc >；②420a b c ++>；③90a b c -+=；④若方程(5)(1)1a x x +-=-有两个根1x 和2x ，且12x x <，则1251x x -<<<；⑤若方程2||1ax bx c ++=有四个根，则这四个根的和为8-．其中正确的结论为．二、解答题（共4题，每题10分，共40分）17．已知x ，y ，z 为正数，且81535x y xy y z yz z x zx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，求x y z xy +++的值．18．已知：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD CF ⊥．②CF BC CD =-．（2）如图2，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系；②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC ∆的形状，并说明理由．19．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有；②若凸四边形ABCD 是“十字形”，AC a =，BD b =，则该四边形的面积为；（2）如图，以“十字形”ABCD 的对角线AC 与BD 为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，若计“十字形”ABCD 的面积为S ，记AOB ∆，COD ∆，AOD ∆，BOC ∆的面积分别为：1S ，2S ，3S ，4S ，且同时满足四个条件：==+③“十字形”ABCD 的周长为32；④60ABC ∠=︒；若E 为OA 的中点，F 为线段BO 上一动点，连接EF ，动点P 从点E 出发，以1/cm s 的速度沿线段EF 匀速运动到点F ，再以2/cm s 的速度沿线段FB 匀速运动到点B ，到达点B 后停止运动，当点P 沿上述路线运动到点B 所需要的时间最短时，求点P 走完全程所需的时间及直线EF 的解析式．20．如图，抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴分别交于点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式：（2）存在正实数m ，()n m n <，当m x n 时，恰好满足2323m n m y n +++ ，求m ，n 的值．2023年YL 中学数学学科素养与能力测试九年级初赛参考答案一.填空题：（每题5分，16个小题，共80分；）1.① 2.a b c>> 3.94k <且0k ≠ 4.3-．5.54m -<- 6.6-7.①②④8.0.52x -<<．9.（1）（﹣3，2）（2）（，0）10.2．11.1-，0，1，2，312.10．13.2-．14.②③④15.3．16.②③④⑤.二．解答（共4小题）17．【解答】解：8x y xy ++= ，1819x y xy ∴+++=+=，(1)(1)9x y ∴++=，同理可得：(1)(1)16y z ++=，(1)(1)36x z ++=，…………………3分解得：72x =，1y =，7z =，………………………………………………………………9分7717173622x y z xyz ∴+++=+++⨯⨯=，故答案为：36．…………………………10分18．【解答】（1）证明：①90BAC ∠=︒ ，AB AC =，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，四边形ADEF 是正方形，AD AF ∴=，90DAF ∠=︒，90BAC BAD DAC ∠=∠+∠=︒ ，90DAF CAF DAC ∠=∠+∠=︒，BAD CAF ∴∠=∠，在BAD ∆和CAF ∆中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAF SAS ∴∆≅∆，45ACF ABD ∴∠=∠=︒，90ACF ACB ∴∠+∠=︒，BD CF ∴⊥；………………………………………………………………………………3分②由①BAD CAF ∆≅∆可得BD CF =，BD BC CD =- ，CF BC CD ∴=-；……………………………………………………5分（2）①与（1）同理可得，BD CF =，所以，CF CD BC =-；………………………7分②90BAC ∠=︒ ，AB AC =，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，则18045135ABD ∠=︒-︒=︒，四边形ADEF 是正方形，AD AF ∴=，90DAF ∠=︒，90BAC BAF CAF ∠=∠+∠=︒ ，90DAF BAD BAF ∠=∠+∠=︒，BAD CAF ∴∠=∠，在BAD ∆和CAF ∆中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAF SAS ∴∆≅∆，18045135ACF ABD ∴∠=∠=︒-︒=︒，90FCD ACF ACB ∴∠=∠-∠=︒，则FCD ∆为直角三角形，正方形ADEF 中，O 为DF 中点，12OC DF ∴=，在正方形ADEF 中，12OA AE =，AE DF =，OC OA ∴=，AOC ∴∆是等腰三角形．……………………………………………………………………10分19．【解答】解：（1）① 正方形，菱形的对角线互相垂直，∴正方形，菱形是“十字形”，故答案为正方形，菱形．…………………………………2分②如图1中，四边形ABCD 是“十字形”．AC BD ∴⊥，()1111122222ABD BDC ABCD S S S BD OA BD OC BD OA OC BD AC ab ∆∆∴=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+=⋅⋅=四边形，故答案为12ab ．………………………………………………………………………………5分（2）==+1234S S S S S =+++，12S S S ∴=++，34S S S =+，34S S ∴+=12S S +=，四边形ABCD 中，AC BD ⊥，1234S S S S ∴=，34S S ∴+=2233443424S S S S S S ∴++=，234()0S S ∴-=，34S S ∴=，同法可证12S S =，1234S S S S ∴===，OA OC ∴=，OB OD =，∴四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥ ，∴四边形ABCD 是菱形，……………………………………………………7分60ABC ∠=︒ ，1302CBO ABC ∴∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，如图2中，过点F 作FH BC ⊥于H ，过点E 作EJ BC ⊥于J ．点P 的运动时间1122EF BF EF BF =+=+，FH BH ⊥ ，30FBH ∠=︒，12FH FB ∴=，12EF BF EF FH ∴+=+，EJ BC ⊥ ，EF FH EJ ∴+ ，菱形ABCD 的周长为32，8AB BC ∴==，60ABC ∠=︒ ，ABC ∴∆是等边三角形，8AC ∴=，4OA OC ==，2AE OE == ，在Rt EJC ∆中，426CE =+=，sin 606EJ EC ∴=⋅︒=⨯∴点P 走完全程所需的时间为．此时23(0,3F ，设直线EF 的解析式为233y kx =+，把(2,0)-代入3y kx =+，可得3k =，∴直线EF 的解析式为y =+．…………………………………………………10分20．【解答】解：（1）抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴分别交于点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，∴309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：223y x x =-++；……………………………………………………3分（2）抛物线2223(1)4y x x x =-++=--+，4y ∴ ，正实数m ，()n m n <，0m n ∴<<，当m x n < 时，恰好满足2323m n m y n +++ ，∴66y n m ，∴64m ，即312m > ，1m n ∴< ，抛物线的对称轴是直线1x =，且开口向下，∴当m x n 时，y 随x 的增大而减小，∴当x m =时，223y m m =-++最大值，当x n =时，223y n n =-++最小值，…………………………………………………………6分又66y n m ，∴22623623n n n m m m⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩①②，将①整理得：322360n n n --+=，…………………………………………………………8分2(2)3(2)0n n n ∴---=，2(2)(3)0n n ∴--=，1n > ，20n ∴-=或230n -=，解得：2n =或n =n =同理：由②解得：2m =（不合题意舍去）或m =（不合题意舍去）或m =，综上所述，m =，2n =． (10)分。

九年级尖子生选拔数学试题

九年级尖子生选拔数学试题本试卷共13页，满分120分，考试时间120分钟，考生请将卷Ⅰ的答案转涂到答题卡上。

卷Ⅰ（选择题,共33分）一、精心选一选，慧眼识金!（每小题3分，共33分)1。

如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1）个图形中的正方形有2个,第(2）个图形中面积为1的正方形有5个,第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，……，按此规律，则第(6）个图形中面积为1的正方形的个数为( ）A.20 B。

27 C。

35 D.402。

观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图片共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（)A.31 B。

46 C.51 D.66 3。

下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形,第二个图形中共有8个三角形,第三个图形中共有14个三角形，……，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A。

22 B.24 C。

26 D。

28 4。

如图,将n个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A。

n B。

n—1 C。

（14）n-1 D。

14n5. 如图，四边形ABCD中，AC=a,BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n。

下列结论正确的是（)①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为8a b+；④四边形A nB nC nD n面积为·2na b.A。

①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④6. 如图，已知A1、A2、……、A n、A n＋1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝……＝A n A n＋1＝1，分别过点A1、A2、……、A n、A n＋1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1、B2、……、B n、B n＋1,连接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、……、A n B n＋1、B n A n＋1，依次相交于点P1、P2、P3、……、P n，△A1B1P1、△A2B2P2、……、△A n B n P n的面积依次为S1、S2、……、S n，则S n为（)A.121nn++B.231nn-C。

九年级数学选优试题

九年级数学选优试题时间：120分钟分值：120分一．选择题（共20小题，每小题3分，共60分）1．如图所示的工件，其俯视图是（）A．B．C．D．2．对于函数y=，下列说法错误的是（）A．这个函数的图象位于第一、第三象限B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小3．一次函数y=ax+a（a为常数，a≠0）与反比例函数y=（a为常数，a≠0）在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．4．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤165．如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（）A．2 B．2C．4 D．46．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y=﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y37．在公式中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．8．已知函数y=的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论：①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2；②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；③无论点P在什么位置，始终有S△AOB=7.5，AP=4BP；④当点P移动到使∠AOB=90°时，点A的坐标为（2，﹣）．其中正确的结论个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan ∠DAC的值为（）A．2+B．2C．3+D．310．在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是（）A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形D．△ABC是一般锐角三角形11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个12．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（）A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米13．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A．4米B．3米C．2米D．1米14．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个15．小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是（）A．B．C．D．16．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O 的周长为（）A．26πB．13πC．D．17．把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（）A．12cm B．24cm C．6cm D．12cm18．如图，已知直线AD是⊙O的切线，点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA=36°，则∠ACB的度数为（）A．54°B．36°C．30°D．27°19．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB=8cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=3cm，则这个陀螺的表面积是（）A．68πcm2B．74πcm2C．84πcm2D．100πcm220．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（）A．12 B．24 C．8 D．6二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分）21．如图，菱形ABCD的面积为6，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y=的图象经过顶点B，则k的值为．22．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，计算tan∠BA4C=，…按此规律，写出tan∠BA n C=（用含n的代数式表示）．23．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是．（只填写序号）24．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC=°．三．解答题（共5小题，共48分）25．(6分）右图是一个立体图形的三视图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的体积．（结果保留π）26．（10分）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．（1）sin2A1+cos2A1=，sin2A2+cos2A2=，sin2A3+cos2A3=；（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=；（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA=，求cosA．27．（8分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象在第一象限交于A、B两点，B 点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，若OC=CA．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积．28．（12分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出点C和点D的坐标；（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）29．（12分）如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点，并且∠BMC=60°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF 的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．九年级数学选优试题（答案）一、选择题1—5 BCCCC 5-10 BDCAB 11-15 BAABB 16-20BDDCD二、填空题21、3 22、；23、②⑤24、27三、解答题25．右图是一个立体图形的三视图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的体积．（结果保留π）【解答】解：该立体图形为圆柱，∵圆柱的底面半径r=5，高h=10，∴圆柱的体积V=πr2h=π×52×10=250π（立方单位）．答：所以立体图形的体积为250π立方单位．26．【解答】解：（1）sin2A1+cos2A1=（）2+（）2=+=1，sin2A2+cos2A2=（）2+（）2=+=1，sin2A3+cos2A3=（）2+（）2=+=1，故答案为：1、1、1；（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=1，故答案为：1；（3）在图2中，∵sinA=，cosA=，且a2+b2=c2，则sin2A+cos2A=（）2+（）2=+===1，即sin2A+cos2A=1；（4）在△ABC中，∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，∵sin2A+cos2A=1，∴（）2+cosA2=1，解得：cosA=或cosA=﹣（舍），∴cosA=．27．【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥x轴交BD于E，∵点B（3，2）在反比例函数y=的图象上，∴a=3×2=6，∴反比例函数的表达式为y=，∵B（3，2），∴EF=2，∵BD⊥y轴，OC=CA，∴AE=EF=AF，∴AF=4，∴点A的纵坐标为4，∵点A在反比例函数y=图象上，∴A（，4），∴，∴，∴一次函数的表达式为y=﹣x+6；（2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，∵B（3，2），∴直线OB的解析式为y=x，∴G（，1），A（，4），∴AG=4﹣1=3，=S△AOG+S△ABG=×3×3=．∴S△AOB28．【解答】解：（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，∴C（0，3），∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），S△COE=×1×3=，S△ABP=×4y=2y，=4S△COE，∴2y=4×，∵S△ABP∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，∴P（2，3）．29．【解答】（1）证明：连结OB、OD、OC，如图1，∵D为BC的中点，∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，∴∠ODB=90°，∵∠BMC=∠BOC，∴∠BOD=∠M=60°，∴∠OBD=30°，∵△ABC为正三角形，∴∠ABC=60°∴∠ABO=60°+30°=90°，∴AB⊥OB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：BE+CF的值是为定值．作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴DH=DN，∠HDN=120°，∵∠EDF=120°，∴∠HDE=∠NDF，在△DHE和△DNF中，，∴△DHE≌△DNF，∴HE=NF，∴BE+CF=BH﹣EH+CN+NF=BH+CN，在Rt△DHB中，∵∠DBH=60°，∴BH=BD，同理可得CN=OC，∴BE+CF=OB+OC=BC，∵BD=OB•cos30°=，∴BC=2，∴BE+CF的值是定值，为．。

福建省泉州市泉港三川中学九年级数学拔尖训练题华东

数学拔尖训练题（1~10）1．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是．3．如图所示，已知：点(00)A ，，(30)B ，， (01)C ，在ABC △内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个11AA B △，第2个122B A B △，第3个233B A B △，…，则第n 个等边三角形的边长等于 __．O yx(A )A 1C1 12 BA 2A 3B 3 B 2 B 110解：（2）①∵L ∥y 轴，∴E 、P 横坐标相同∴E （m, 234322++-m m ） S △BCE = S △COE +S △OEB - S △OCB =m m m m m 33221)23432(32122122+-=⨯⨯-++-⨯+⨯因P 点在BC 线段上，并与B 、C 均不重合，所以 0＜X P ＜3，从而求得 0＜m ＜3∴ S 与m 的函数关系式为 S= -m 2+3m (0＜m ＜3) ②∵S= -m 2+3m 49)23(2+--=m 而0＜23＜3 ∴当m=23时，S 取最大值，最大值为49轴的两个交点分别为与线已知：如图所示，抛物x c bx x y ++-=2 5.A （1，0），FPEl ACBOxyyxOBCAB（3，0）。

（1）求抛物线的解析式；所有点P的坐标；（3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小。

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

6．（本题满分12分）已知矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝3．操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．探究：（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；（2）如图2，若点B与CD的中点重合，请你判断△FCB1、△B1DG和△EA1G之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；（3）如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即B1C的长度为多少时，△FCB1与△B1DG全等．数学拔尖训练题（1~10）答案AB FD(B)EF CDEGA1A1图1 图2B1第6题1.答：2)n(n +，2.答：①④⑤ 3答：n 234．解：（1）当点P 在AC 上时，)10(23y 2≤≤=t t ．…2分当点P 在BC 上时，)31(33263)4(33212≤≤+-=-•=t t t t t y ．…4分（2）∵AC=2，4AB ∴=．413BN AB AM MN t t ∴=--=--=-．∴QN=BN×)3(33tan30t -=o ．…6分若四边形MNQP 为矩形，需PM QN =，)t =-， 34t ∴=． ∴当34t =s 时，四边形MNQP 为矩形．…8分（3）由（2）知，当34t =s 时，四边形MNQP 为矩形，此时PQ AB ∥，PQC ABC ∴△∽△．…9分除此之外，当30CPQ B ∠=∠=o时，QPC ABC △∽△，此时tan 30CQ CP ==o ．=，解得12t =． ∴当12t =s 或34s 时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似．…12分7．（本题满分14分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过O （0，0），A （4，0），B （3，3）三点，连备用图接AB ，过点B 作BC ∥x 轴交抛物线于点C ．动点E 、F 分别从O 、A 两点同时出发，其中点E 沿线段OA 以每秒1个单位长度的速度向A 点运动，点F 沿折线A →B →C 以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，动点E 、F 有一个点到达目的点即停止全部运动．设动点运动的时间为t （秒）．（1）求抛物线的解析式；（2）记△EFA 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求S 的最大值；（3）是否存在这样的t 值，使△EFA 是直角三角形？若存在，求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．8. (12分)如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，直线y = 3x + 9与x 轴、y 轴分别交于A 、C两点，抛物线c bx x y ++-=241经过A 、C 两点，与x 轴的另一个交点为点B ，动点P 从点A 出发沿AB 以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，动点Q 从点B 出发沿BC 以每秒3个单位长度的速度向点C 运动，动点N 从点C 出发沿CA 以每秒5103个单位长度的速度向点A 运动，点P 、Q 、N 同时出发、同时停止，设运动时间为t (0＜t ＜5)秒. (1) 求抛物线的解析式； (2) 判断△ABC 的形状；(3) 以OC 为直径的⊙O′与BC 交于点M ，求当t 为何值时，PM 与⊙O′相切？请说明理由； (4) 在点P 、Q 、N 运动的过程中，是否存在△NCQ 为直角三角形的情形，若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由.5. 解：(B )CD 图1图2B 1（2）如图，设P （x ，y ）∴满足条件的点P 有三个坐标分别为（，），（，），（，）21221221+---（）若在抛物线的对称轴上存在点，使的周长3432y x x M AC =-+-∆M 最小过点C 作抛物线的对称轴的对称点C'设直线的解析式为，则AC y kx b k b k b '=++=+=-⎧⎨⎩043∴直线的解析式为AC y x '=-+1直线与对称轴的交点为（，），即（，）AC x m '=--22121∴存在点（，），可使的周长最小M AMC 21-∆6．解：（1）全等．-------------------------1分证明：∵四边形ABCD 是矩形，所以∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD ，由题意知：∠A=∠A 1，∠B=∠A 1DF=90°，CD=A 1D ，------------2分所以∠1A =∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，---------------------3分所以∠1A DE=∠CDF，所以△ED 1A ≌△FDC（ASA ）．---------4分（2）△B 1DG 和△EA 1G 全等．------------6分 △FCB 1与△B 1DG 相似，设FC=x ，则B 1F=BF=3x -，B 1C=12DC=1，所以2221(3)x x +=-，所以43x =，所以△FCB 1与△B 1DG 相似，相似比为4：3．----------------------9分（3）△FCB 1与△B 1DG 全等．设1B C a =，则有12FC B D a ==-，11B F BF a ==+，在直角1FCB ∆中，可得2221)(2)a a a +=-+（，整理得2630a a -+=，解得3a =(另一解舍去)，所以，当B 1C=3FCB 1与△B 1DG 全等．-----------------12分9、（满分10分）某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套，经过一段时间的经营发现：当每套设备的月租金为270元时，恰好全部租出。

20191201九年级数学提优试题拔尖培优辅导试卷

20191201提优试题拔尖培优辅导试卷1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=0B：OD，则△________∽△_______．第1题第3题第4题第5题2．点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有_______条．3．如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有___个．4．如图，在正方形网格上，与△ABC∽△__________．5．如图，在Rt△ABC中，AB=AC．D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2．其中正确的有___________（填序号）．第6题第7题6．如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，垂足为点O，过点A作射线AE∥BC，点P是边BC上任意一点，连接PO并延长与射线AE相交于点Q，设B，P两点之间的距离为x，过点Q作直线BC的垂线，垂足为R．岑岑同学思考后给出了下面五条结论，①△AOB≌△COB；②当0＜x＜10时，△AOQ≌△COP；③当x=5时，四边形ABPQ是平行四边形；④当x=0或x=10时，都有△PQR∽△CBO；⑤当145x 时，△PQR与△CBO一定相似．正确的有___________．7．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有_______对．8．如图，已知：△ABC、△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，两条直角边AB、AD重合，把AD绕点A逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），到如图所示的位置时，BC分别与AD、AE相交于点F、G，则图中共有_______对相似三角形．9．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC，且AB2=AP•PD，则图中有对相似三角形．10．在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动．连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点．若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为秒．11．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，则△ABD∽．12．如图，在△ABC中，AB=AC，若△ABC≌△DEF，且点A在DE上，点E在BC上，EF与AC交于点M．求证：△ABE∽△ECM．13．如图，已知反比例函数1k y x =（x ＞0）的图象与反比例函数2k y x=（x ＜0）的图象关于y 轴对称，A （1，4），B （4，m ）是函数1k y x =（x ＞0）图象上的两点，连接AB ，点C （﹣2，n ）是函数2k y x=（x ＜0）图象上的一点，连接 AC ，BC .（1）求m ，n 的值；（2）求AB 所在直线的表达式；（3）求△ABC 的面积.14．如图，P A 是⊙O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接PB 、PC ，PC 交AB 于点E ，且P A ＝P B.（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）若∠APC ＝3∠BPC ，求CE PE 的值.15．抛物线L ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (0，1)，与它的对称轴直线x ＝1交于点B ，（1）直接写出抛物线L 的解析式；（2）如图1，过定点的直线y ＝kx －k ＋4(k ＜0)与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值；（3）如图2，将抛物线L 向上平移m (m ＞0)个单位长度得到抛物线L 1，抛物线L 1与y 轴交于点C ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D ．F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点，P 为线段OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点P 恰有2个，求m 的值及相应点P 的坐标.。

初三数学提优试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. 0D. 12. 如果a > b，那么下列不等式中正确的是（）A. a - 2 > b - 2B. a + 2 < b + 2C. a - 3 < b - 3D. a + 3 > b + 33. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = 1/xB. y = √xC. y = |x|D. y = x^24. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，那么它的两个根的和是（）A. 5B. -5C. 6D. -65. 在直角坐标系中，点P（-2，3）关于x轴的对称点坐标是（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（-2，3）D.（2，3）6. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么它的体积V可以表示为（）A. abcB. a^2bC. ab^2D. a^2c7. 在等腰三角形ABC中，若AB = AC，且∠BAC = 40°，那么∠ABC的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°8. 下列各式中，能被3整除的是（）A. 27B. 28C. 29D. 309. 在平面直角坐标系中，点A（1，2）到原点O的距离是（）A. 1B. 2C. √5D. √1010. 若sinα = 1/2，那么cosα的值是（）A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/2二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知x + y = 5，xy = 6，那么x^2 + y^2的值是______。

12. 在等腰三角形ABC中，若底边AB = 6cm，腰AC = 8cm，那么三角形ABC的周长是______cm。

13. 函数y = -2x + 3的图象经过______象限。

14. 若∠A和∠B是等腰三角形ABC的两底角，那么∠A和∠B的度数分别是______°和______°。

2019-2020年九年级(上)期末数学选优拔尖卷(word版,含答案)

2019-2020年九年级（上）期末数学选优拔尖卷（word版，含答案）一、选择题（每题3分，共36分）1.已知x－=3，则4－x2+x的值为（）A.1B.C.D.2.（吉林长春）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y=x上，则点B与其对应点B′间的距离为（）A． B．3 C．4 D．5图13.如图2的几何体的左视图是图3中的（）图2 图3 图44.〈山东临沂〉如图4，在平面直角坐标系中,点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1(1，0),A2(2,0),B1(0,1)，B2(0,2)，分别以A1，A2，B1，B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（）A. B. C. D.5.〈浙江绍兴〉教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图5，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（）A.7：20B.7：30C.7：45 D．7：50图56.〈山东威海〉如图6，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数y1=的图象经过点A，反比例函数y2=的图象经过点B，则下列关于m，n 的关系正确的是（）A.m=－3nB.m=－nC.m=－nD.m=n图67.如图7，有两个可以自由转动的转盘（每个转盘均被等分），同时转动这两个转盘，待转盘停止后，两个指针同时指在偶数上的概率是（）A. B. C. D.图78.〈山东滨州〉如图8，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD,BD，则下列结论：①AD=BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3图8 图99.如图9是某几何体的三视图，则组成该几何体的小方块块数为（）A.12块B.9块C.7块D.6块10.〈青海西宁〉已知函数y=kx+b的图象如图10所示，则一元二次方程x2+x+k－1=0根的存在情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定图10 图1111.〈山东菏泽，有改动〉如图11，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A.16B.17C.18D.1912.根据如图12所示的程序，得到了y与x的函数图象（如图13），过y轴正半轴上一点M 作PQ∥x轴交图象于点P,Q，连接OP,OQ，则以下结论：①x＜0时，y=；②△OPQ的面积为定值；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④MQ=2PM；⑤∠POQ可以等于90°，其中正确的是（）A.①②④B.②④⑤C.③④⑤D.②③⑤图12 图13二、填空题（每题4分，共24分）13.〈湖北随州〉如图14,点D，E分别在AB，AC上且∠ABC=∠AED，若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为 .14.关于x的方程ax2－(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1+x2－x1·x2=1－a,则a= .图1515.如图15，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF ⊥AB交AC于点F.现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1,AD的中点E的对应点记为E1.若△E1FA1∽△E1BF，则AD= .16.小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6），记甲立方体朝上一面的数字为x，乙立方体朝上一面的数字为y，这样就确定P的一个坐标（x，y），则点P落在双曲线y=上的概率为 .17.如图16，在菱形ABCD中，AB=BD,点E、F分别在AB，AD上，且AE=DF，连接BF与DE，相交于点G，连接CG，与BD相交于点H，下列结论①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2FD,则BG=6GF,其中正确的有 .（填序号）图16 图1718.〈辽宁铁岭〉如图17，在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0,1）作y轴的垂线交l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B,BA为邻边作平行四边形ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1，B1A1为邻边作平行四边形A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则C n的坐标是 .三、解答题（每题10分，共60分）19.某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图18所示的两幅不完整的统计图（要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：图18（1）九（1）班的学生人数为_____，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中m=____，n=____，表示“足球”的扇形的圆心角是_____度；（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．20.如图19，点A,F,C,D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC.（1）求证：四边形BCEF为平行四边形.图19 （2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF为菱形？21.已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程：x2－mx+－=0的两个实数根，（1）当m为何值的，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）当AB=2时，平行四边形ABCD的周长是多少？22.如图20所示，不透明圆锥DEC放在水平面上，在A处灯光照射下形成影子，设BP过圆锥底面的圆心，已知圆锥的高为2m，底面半径为2 m，BE=4 m.（1）求∠B的度数；图20 （2）若∠ACP=2∠B，求光源A距水平面的高度（答案用含根号的式子表示）.23.〈四川绵阳〉“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城的自行车销售量自xx年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆.（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1 000元/辆，售价为1 300元/辆.根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍.假设所进自行车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？24.(1）请在图21①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图21②，M是正方形ABCD内一定点，请在图21②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．问题解决：图21（3）如图21③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．参考答案及点拨一、1.D 点拨：由x－=3得：x2－3x=1，∴4－x2+x=4－ (x2－3x)=4－×1=.2. B3.B4. D 点拨：所作的三角形共有4个，△OA1B1，△OA1B2，△OA2B2，△OA2B1，其中等腰三角形有2个，△OA1B1，△OA2B2，所以所作三角形是等腰三角形的概率为=.5. A 点拨：∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7 min，设一次函数关系式为：y=k1x+b，将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30,∴y=10x+30（0≤x≤7），令y=50，解得x=2；设反比例函数关系式为：y=，将（7，100）代入y=得k=700，∴y=，将y=30代入y=，解得x=；∴y=（7＜x≤），令y=50，解得x=14．所以，饮水机的一个循环周期为 min ．每一个循环周期内，在0≤x ≤2及14≤x ≤时间段内，水温不超过50℃．逐一分析如下：选项A ：7：20至8：45之间有85 min ．85－×3=15，位于14≤x ≤时间段内，故可行；选项B ：7：30至8：45之间有75 min ．75 min －×3=5，不在0≤x ≤2及14≤x ≤时间段内，故不可行；选项C ：7：45至8：45之间有60 min ．60－×2=≈13.3，不在0≤x ≤2及14≤x ≤时间段内，故不可行；选项D ：7：50至8：45之间有55 min ．55－×2=≈8.3，不在0≤x ≤2及14≤x ≤时间段内，故不可行．综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意．故选A ．6. A 点拨：∵∠AOB =90°，∠OAB =30°，∴OB =AB ，又OA 2+OB 2=AB 2，∴ =.作BE ⊥x 轴于E ，AF ⊥x 轴于F ，∵∠BOE +∠AOF =90°，∠OBE +∠BOE =90°，∴∠AOF =∠OBE ，∴△OBE ∽△AOF ，∴===.设B ，A ,则BE =,OF =x A ,OE =－xB ,AF =，即B Anx x =BAx m x =,∴=,=,∴ －=·=,∴m =－3n ,故选A.7. B8. D 点拨：AD ∥ BC ，AD ＝ BC ， AD ∥CE ，AD ＝CE ，∴四边形ABCD 、四边形ACED 都是平行四边形，又△ABC 是等边三角形，∴AC =BC =CE .∴平行四边形ACED 为菱形，故①②③全正确.9. D 点拨：组成该几何体的块数为1+2+3=6（块）.故选D. 10. C 点拨：Δ=1－4(k －1)=5－4k .又由函数y =kx +b 的图象可知k ＜0，∴5－4k ＞0，∴x 2+x +k －1=0有两个不相等的实数根，故选C.11. B 点拨：∵大正方形的边长为6，∴面积为S 1的正方形的边长为3.∴S 1=9,设面积为S 2的正方形的边长为x ，则=，∴x =2.∴S 2=(2)2=8.∴S 1+S 2=9+8=17.故选B. 12. B二、13. 10 点拨：∵∠ABC =∠AED ，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴ =,∴=,∴AB =10.14. －1 点拨：x 1+x 2=,x 1·x 2=,∴－=1－a ，∴a 2－1=0,∴a =±1，Δ=［－(3a +1)］2－4a ·2(a +1)＞0即（a －1）2＞0，∴a ≠1，∴a =－1. 15. 点拨：在Rt △ABC 中，AB =10，BC =6，∴AC =8.设AD =x ，由△ADF ∽△ACB ，得=,∴DF =x ，当△E 1FA 1∽△E 1BF 时，E 1F 2=E 1A 1·E 1B .即FD 2+DE 2=E 1A 1·E 1B ,∴（x ）2+(x )2=x ·(10－x ),∴x =.16. 点拨：等可能出现的情况共有36种，其中xy =6的有4种（1,6；2,3；3,2；6,1），∴P==.答图117. ①②③ 点拨：在菱形ABCD 中，AB =BD ，∴△ABD 和△BCD 都为等边三角形，又AE =DF ，∴△AED ≌△DFB ，如答图1，作∠BCM =∠DCG ，交GB 的延长线于M ，易知△DCG ≌△BCM .∴△GCM 为等边三角形，∴S 四边形BCDG =S 三角形GCM =CG 2;作EN ∥AD ，交BF 于N .∵AF =2FD ，DF =AE ，∴BE =2AE .∴= =,∴==，又=，∴ =,∴BG =6GF ,故①②③都正确.18.（－×4n－1,4n）点拨：此题运用数字归纳法.∵直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，∴易求出直线l对应的函数关系式为y=x．∵AB⊥y轴，点A（0，1），∴可设B点坐标为（x B，1），将（x B，1）代入y=x，得1=x B，解得x B=，∴B点坐标为（，1），AB=．在Rt△A1AB中，∠AA1B=90°－60°=30°，∠A1AB=90°，∴A1B=2AB=2，∴AA1= ==3，OA1=OA+AA1=1+3=4，∵平行四边形ABA1C1中，A1C1=AB=，∴C1点的坐标为（－，4），即（－×40，41）；由x=4，解得x=4，∴B1点的坐标为（4，4），A1B1=4．在Rt△A2A1B1中，∠A1A2B1=30°，∠A2A1B1=90°，∴A2B1=2A1B1=8,∴A1A2= ==12，OA2=OA1+A1A2=4+12=16，∵平行四边形A1B1A2C2中，A2C2=A1B1=4，∴C2点的坐标为（－4，16），即（－×41，42）；同理，可得C3点的坐标为（－16，64），即（－×42，43）；以此类推，则C n的坐标是（－×4n－1，4n）．故答案为（－×4n－1，4n）．三、19. 解：（1）40，如答图2：答图2(2)10;20；72；（3）列表如下：从上表可以看出，所有可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性均相同，其中1男1女的结果有6种，∴P（1男1女）==.点拨：条形图和扇形图相结合，由篮球人数为12，篮球占30%，即可求出总人数，进而可求出足球的人数和排球和足球所占的百分比及足球在扇形统计图中所占的圆心角度数.（3）4名学生中抽取2名实际上是两次试验，是抽出不放回的概率模型问题.20.（1）证明：∵AF=CD，∴AC=DF.又∠A=∠D，AB=DE，∴△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∠ACB=∠DFE.∴BC∥EF.∴四边形BCEF为平行四边形.（1）解：连接BE交CF于G.若四边形BCEF为菱形，则有BE⊥CF，FG=CG，又∠ABC=90°，AB=4，BC=3，∴AC=5.又∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG.∴△ABC∽△BGC，∴ =，即=.∴CG=.∴FC=2CG=.∴AF=AC－FC=5－=.故当AF=时，四边形BCEF为菱形.点拨：当AF为何值时，四边形BCEF为菱形，我们可以把四边形BCEF为菱形作为条件去求AF的值.这也是我们解决探究问题的一个常用方法.21. 解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD.又∵Δ=m2－4（－）=m2－2m+1=(m－1)2.∴当(m－1)2=0，即m=1时，四边形ABCD是菱形.把m=1代入x2－mx+－=0得x2－x+=0，∴x1=x2=.∴菱形ABCD的边长为.（2）把x=2代入x2－mx+－=0得4－2m+－=0,解得m=.把m=代入x2－mx+－=0得x2－x+1=0,解得x1=2,x2=∴AD=.∵四边形ABCD为平行四边形.∴平行四边形ABCD的周长为2（2+）=5.点拨：把平行四边形的边长与一元二次方程的根相联系，那么平行四边形的性质和一元二次方程根的性质都要掌握.首先平行四边形变为菱形，各边相等，那么一元二次方程就有两个相等的实数根.对于（2）就是已知一元二次方程的一根再求另一根.22. 解：（1）圆锥的高DO=2m.在Rt△DOB中，OB=BE+EO=4+2=6(m).∴BD2=BO2+DO2=62+(2)2=48.∴BD=4m,则BD=2DO.∴∠B=30°.（3）过A作AF⊥BP于F.∵∠ACP=∠B+∠BAC=2∠B，∴∠B=∠BAC=30°.∴AC=BC=BE+EC=8(m).在Rt△ACF中，∠CAF=90°－∠ACP=90°－2∠B=30°.∴CF=AC=4(m).∴AF= ==4 (m).故光源A距水平面的高度为4m.点拨：投影问题在本题中转化为在直角三角形中求角度和边长的问题，通过作高，构造直角三角形，应用直角三角形中边、角之间的关系去求值.23. 解：（1）设前4个月自行车销量的月平均增长率为x ,根据题意列方程：64（1+x）2 =100 ,解得x1=－225%（不合题意，舍去）, x2= 25%.100×(1+25%)=125(辆).答：该商城4月份卖出125辆自行车.（2）设进B型车x辆，则进A型车辆，根据题意得不等式组2x≤≤2.8x，解得 12.5≤x≤15,自行车辆数为整数，所以13≤x≤15,设销售利润为W元，则W=（700－500）× +（1 300－1 000）x .整理得：W=－100x+12 000，∵W随着x的增大而减小,∴当x=13时，W有最大值，此时，=34，所以该商城应进A型车34辆，B型车13辆.点拨：方程、不等式（组）、一次函数相结合的问题，除了要考虑数学知识之间的融会贯通之外，还应考虑它们所表示的实际问题的意义，如舍去负根，不等式组的正整数解，根据一次函数的性质求最大利润等.24. 解：（1）如答图3①.答图3（4）如答图3②.理由如下：∵点O是正方形ABCD的对角线的交点，∴点O是正方形ABCD的对称中心，∴AP=CQ，EB=DF，在△AOP和△EOB中,∵∠AOP=90°－∠AOE，∠BOE=90°－∠AOE，∴∠AOP=∠BOE，∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，∴△AOP≌△BOE，∴AP=BE=DF=CQ，设O到正方形ABCD一边的距离为d，则（AP+AE）d=（BE+BQ）d=（CQ+CF）d=（PD+DF）d，∴S四边形AEOP=S四边形BEOQ=S四边形CQOF=S四边形DPOF，∴直线EF、OM将正方形ABCD面积四等分；答图4（3）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等分.理由如下：如答图4，延长BA至点E，使AE=b，延长CD至点F，使DF=a，连接EF.∴BE∥CF，BE=CF，∴四边形BCFE为平行四边形，∵BC=BE=a+b，∴平行四边形BCFE为菱形.连接BF交AD于点M，则△MAB≌△MDF，∴AM=DM.即点P、M重合.∴点P是菱形EBCF对角线的交点,在BC上截取BQ=CD=b，则CQ=AB=a.设点P到菱形EBCF一边的距离为d.连接CP，∴S△ABP+S△QBP= (AB+BQ)d= (CQ+CD)d=S△CQP+S△CDP，即S四边形ABQP=S四边形PQCD.∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.。

【名师点拨】九年级数学上学期期末选优拔尖自测卷湘教版

期末选优拔尖自测卷(120分钟 120分)一、选择题（每题3分，共24分）1．一元二次方程x 2－2x =3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A.1，－2，－3 B.1，－2，3 C.1,2,3 D.1,2，－3 2．2cos45°的值等于（） A.22B.2C.42D.22 3．反比例函数y =6x的图象上有三个点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），其中x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A.y 1＜y 2＜y 3B.y 2＜y 1＜y 3C.y 3＜y 1＜y 2D.y 3＜y 2＜y 14．两个相似多边形的面积比是9:16，其中较小多边形的周长为36cm ，则较大多边形的周长为（）A ．48cmB ．54cmC ．56cmD ．64cm5．从某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分共4个等级，将调查结果绘制成如图1所示的条形统计图和扇形统计图.根据图中信息，这些学生这次体能测试的平均成绩是（）图1A.2.25分B. 2.5分C.2.95分D.3分6．关于x 的方程x 2+2kx +k -1=0的根的情况描述正确的是（） A.无论k 为任何实数，方程都没有实数根B.无论k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根C.无论k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根D.根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等实数根三种7．如图2，D 为△ABC 的边BC 上一点，要使△ABD ∽△CBA ，应该具备下列条件中的（） A.BD AB CD AC = B.AD BC CD AB = C.AB BD CB AB = D.ACCBCD AC =图2 图38．如图3，为估算某河的宽度，在河岸边选定一个目标点A ，在对岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得BE ＝20 m ，EC ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB 等于（）A. 60 mB. 40 mC. 30 mD. 20 二、填空题（每题3分，共24分）9．方程（x -1）(x +4)=0的解是 .10．反比例函数y ＝xm 1+的图象经过点（2，1），则m 的值是________. 11．若32=-b b a ，则ba= . 12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD =3，AC =4，则sin B 的值为 . 13．2014年1月，“教学点数字教育资源”进入某县农村中小学，2014年该县投入该项工程的经费为3500万元，预计2016年投入4600万元，设这两年投入这项工程的经费的年平均增长率为x ，则可列方程： .14．某河堤横断面如图4所示，堤高BC =6米，迎水坡AB 的坡度为3:1，则AB 的长为米.图415．如图5，路灯距离地面8米，身高1．6米的小明站在距离灯的底部(点O )20米远的A 处，则小明的影子AM 长______米．图516．设x 1，x 2为一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根，则有如下关系：x 1+x 2=ab -，x 1·x 2=a c，C根据材料，若x 1，x 2是方程x 2+8x +4=0的两根，则2111x x +的值为_________.三、解答题（17题5分，18题6分，20题7分，24题10分，25题12分，其余每题8分，共72分）17．（本题5分）用适当的方法解方程：x 2－10x +9=0.18．（本题6分）计算：2cos30°－tan45°－2)60tan 1(︒-.19．（本题8分）如图6，在直角坐标系xOy 中，一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =xk 2的图象交于A （1，4）、B （3，m ）两点．（1）求一次函数的解析式；图6（2）求△AOB的面积．20．（本题7分）如图7，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到A、B的点E 处，分别取AE、BE延长线上的C、D两点，使CD∥AB，如果测得CD＝5米，AD＝15米，ED ＝3米，你能求出A，B两点之间的距离吗？图721．（本题8分）已知关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）求k的负整数值，并选择一个k的负整数值，求出方程的解.22．（本题8分）如图8①是矗立在“万卷书崖”之上的文昌塔，喜爱数学实践活动的小明查资料得知：祁阳文昌塔始建于明万历十二年（1584），由当时担任铜仁知府的祁阳人邓球倡建，它是祁阳县现存最高大、最古老的宝塔.小明决定用自己所学习的知识测量文昌塔的高度，如图8②，他利用测角仪站在B处测得文昌塔最高点P的仰角为45°，又前进12米到达A处，在A处测得P的仰角为60 °．请你帮助小明算算文昌塔的高度（结果保留根号）．① ②图823．（本题8分）如图9，已知：△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）.（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位）图9（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2︰1，并写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．24．（10分）某中学开展“中国梦”演讲比赛活动，九(1)、九(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如图10所示. （1）根据统计图，分别求出两班复赛的平均成绩和方差；图10（2）根据（1）的计算结果，分析哪个班的复赛成绩较好.25．（本题12分）如图11，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =10，将∠MPN 的顶点P 在矩形ABCD 的边AD 上滑动，在滑动过程中始终保持∠MPN =90°，射线PN 经过点C ，射线PM 交直线AB 于点E ，交直线BC 于点F ．（1）求证：△AEP ∽△DPC ；图11（2）在点P 的运动过程中，点E 与点B 能重合吗？如果能重合求DP 的长；（3）是否存在这样的点P ，使△DPC 的面积等于△AEP 面积的4倍？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由.参考答案及点拨一.1．A 点拨：先把方程化成一元二次方程的一般形式. 2．B 点拨：记住特殊角的锐角三角函数值是解题的关键. 3．B 点拨：先根据反比例函数y =6x判断出函数图象所在的象限，再根据x 1＜x 2＜0＜x 3判断出三点所在的象限，最后根据各象限点的坐标的特点及函数图象在每一象限的增减性解答. 4．A 点拨：相似多边形的面积比等于相似比的平方，相似多边形的周长比等于相似比. 5．C 点拨：若n 个数x 1，x 2，x 3，…，x n 的权分别是w 1，w 2，w 3，…，w n ，则nnn w w w w x w x w x +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++212211叫做这n 个数的加权平均数.6．C 点拨：一元二次方程根的情况与根的判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根.7．C 点拨：△ABD 与△CBA 有一个公共角，所以添加条件为夹等角的两边成比例即可. 8．B 点拨：证明△ABE ∽△DCE ，再利用相似三角形的对应边成比例求解.二.9．x 1=1，x 2=－4 点拨：几个多项式的乘积为0，则这几个多项式的值都为0. 10．1 点拨：函数图象经过某点，则该点的坐标适合函数解析式.11．35点拨：方法一：根据比例的基本性质有：3（a -b ）=2b ，解之即得b a =35；方法二：在比例式的两边同时加上1，得2113a b b -+=+，即得b a =35. A B C DE F M N P12．32点拨：本题根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AB 的长，从而求sinB 的值.13．3500（1+x ）2=4600 点拨：解增长率问题时，一般情况下，可设基数为a ，平均增长率(降低率)为x ，增长的次数为n (一般情况下为2)，增长后的量为b ，则有表达式a (1±x )n=b ，注意“增”用“+”，“降”用“－”．14．12 点拨：坡度是指垂直距离与水平距离的比值． 15．5 点拨：相似三角形对应边的比等于相似比.16．－2 点拨：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根为1x ，2x ，则12b x x a+=-，12cx x a⋅=，解题时注意常见的变形有：（1）222121212()2x x x x x x +=+-；（2）22121212()()4x x x x x x -=+-；（3）21212122112()2x x x x x x x x x x +-+=. 三、17．解：原方程可变形为（x －1）（x －9）=0，∴x 1=1，x 2=9. 点拨：本题还可利用配方法或公式法求解. 18．解：原式=2×23-1+（1-3）=3-1+1-3=0. 19．解：（1）因为点A （1，4）在反比例函数y =xk 2的图象上，所以k 2=xy =1×4=4，故有y =x 4.因为点B （3，m ）也在y =x4的图象上，所以m =34，即点B 的坐标为（3，34），因为一次函数y =k 1x +b 的图象过A （1，4）、B （3，34）两点，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+，，343411b k b k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=，，316341b k 所以所求一次函数的解析式为y =－34x +316. （2）过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A ′、A 〞，过点B 作x 轴的垂线，垂足为B ′，则S △AOB =S 矩形OA′AA″+S 梯形A′ABB′﹣S △OAA″﹣S △OBB′=1×4+21×（4+34）×（3﹣1）﹣21×1×4﹣21×3×34=316，所以△AOB 的面积为316．点拨：求一次函数的解析式需知道它的图象上两个点的坐标；求坐标系内三角形的面积，通常转化为矩形面积减去若干直角三角形的面积的和的形式．20．解：∵CD ∥AB ，∴∠A =∠D ,∠B =∠C ，∴△ABE ∽△DCE ，∴CD ∶AB =ED ∶AE ，即5∶AB=3∶(15－3)，解得AB =20（米）.∴A ，B 两点间的距离为20米. 21．解：（1）依题意有：（-3）2+4k ＞0 ，解得k ＞49-.（2）k =-1或-2，当k =-1时，原方程的解为x 1=253+，x 2=253-；当k =-2时，原方程的解为x 1=1，x 2=2. 点拨：若一元二次方程有两个不相等的实数根，则b 2-4ac ＞0，反之也成立.22．解：设 OP =x 米，由题意得：∠ POB =90°，∠B =45°，AB = 12米，∴∠OPB =∠B =45°， ∴OP =OB =x 米,∴OA =（x －12）米，在Rt △OAP 中，tan60°=312=-=x xOA OP ，∴x =18＋6 3 ,答: 文昌塔的高度为（18＋6 3 ）米.点拨：利用解直角三角形来解决生活中的实际问题的关键是要将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素间的关系，然后根据直角三角形边、角以及边角关系求解.解题时应弄清仰角、俯角、坡度(坡比)、坡角等概念的意义，选择合适的边角关系式计算. 23．解：（1）如答图1，△A 1B 1C 1即为所求，C 1（2，－2）；（2）如答图1，△A 2BC 2即为所求，C 2（1，0），△A 2BC 2.答图124．解：⑴九（1）班复赛的平均成绩x1＝15(85＋75＋80＋85＋100) ＝85（分），方差s 12＝15〔(85－85)2＋(75－85)2+…+（100－85）2〕＝70；九（2）班复赛的平均成绩x2＝15(70＋100＋100＋75＋80) ＝85（分），方差s 22＝15 〔(70－85)2+(100－85)2+…+（80－85）2〕＝160.⑵根据⑴的计算结果分析，从平均数看两个班的平均水平一样，就方差看九⑴班学生复赛成绩比较整齐. 25．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠A =90°，∴∠PCD +∠DPC =90°，又∵∠CPE =90°，∴∠EPA +∠DPC =90°，∴∠PCD =∠EPA ，∴△PAE ∽△CDP ．（2）解：在点P 的运动过程中，点E 能与点B 重合，当B ，E 重合时，∵∠BPC =90°，∴∠APB +∠DPC =90°，又∵∠DPC +∠DCP =90°，∴∠DCP =∠APB ，又∵∠A =∠D ，∴△ABP ∽△DPC ，∴AP AB =，∴103DP-=，解得：DP =1或DP =9，∴B ，E 重合时DP 的长为1或9.。

初三数学拔尖考试题及答案

初三数学拔尖考试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是无理数？A. -3.14159B. 根号2C. 0.33333（无限循环）D. 1/32. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 83. 如果一个多项式 \( P(x) = ax^2 + bx + c \) 是完全平方三项式，那么下列哪个条件是正确的？A. \( b^2 = ac \)B. \( b = ac \)C. \( a = c \)D. \( b = 0 \)4. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 一个数的平方根等于它本身，这个数是：B. 1C. -1D. 4二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个数的立方根是它本身，这个数可以是______。

7. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______。

8. 一个二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的判别式是 \( b^2 -4ac \)，当 \( b^2 - 4ac = 0 \) 时，方程有______个实数解。

9. 一个函数 \( y = kx + b \) 当 \( k = 0 \) 时，函数的图像是一条______。

10. 一个正多边形的内角和是 \( (n-2) \times 180 \) 度，其中\( n \) 是多边形的边数，当 \( n = 6 \) 时，内角和是______度。

三、解答题（共70分）11. 已知一个二次函数 \( y = -2x^2 + 4x - 1 \)，求顶点坐标。

（10分）12. 求证：对于任意实数 \( a \) 和 \( b \)，不等式 \( a^2 +b^2 \geq 2ab \) 总是成立。

（15分）13. 一个长方体的长、宽、高分别是 4 米、3 米和 2 米，求其表面积和体积。

（15分）14. 解方程 \( (x-1)(x+2) = 0 \)。