定积分的应用ppt课件
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定积分的简单应用 课件
[解析] 解法1:画出草图,如图所示.
解方程组yx=+y=x,2.
y= x, 得y=-13x.
x+y=2, 及y=-13x. 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).
所以S=1[
x-(-13x)]dx+3[(2-x)-
0
1
(-13x)]dx
=1(
x+13x)dx+3(2-x+13x)dx
-1
0
=0
(2+2y)dy+1(2-y-y2)dy
-1
0
=(2y+y2)|0-1+(2y-12y2-13y3)|01
=-(-2+1)+2-12-13=163.
变速直线运动的路程、位移问题
有一动点P从原点出发沿x轴运动,在时刻为t时 的速度为v(t)=8t-2t2(速度的正方向与x轴正方向一致).求
2.变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v
bv(t)dt
=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即 s=
a
.
3.变力做功 一物体在恒力F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物体
沿着与F相同的方向移动了sm,则力F所作的功为W=Fs.
如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x
即4t2-23t3=0,解得t=0或t=6, t=0对应于P点刚开始从原点出发的情况, t=6是所求的值.
《高中定积分的应用》课件
2 区间可加性
探究定积分在不同区间上的值相加的性质。
3 介值性质
分析定积分在区间内能够取到任意中间值的性质。
定积分的计算方法
基本积分公式
介绍基本积分公式, 如幂函数和三角函数 的积分。
分部积分法
学习如何使用分部积 分法来简化复杂函数 的积分计算。
换元积分法
讨论如何通过变量代 换将复杂函数转化为 简单形式进行积分。
的重要性
的应用
方向
总结定积分在数学领域中 的重要作用和意义。
回顾定积分在实际生活中 的广泛应用,如工程、科 学和经济等领域。
探讨进一步学习和应用定 积分的拓展方向,如多重 积分和微分方程等。
参考文献
1. Stewart, J. (2007). Calculus: Concepts and Contexts (4th ed.). 2. Rogawski, J., & Adams, C. (2015). Calculus: Early Transcendentals (3rd ed.). 3. Larson, R., & Edwards, B. (2014). Calculus of a Single Variable (10th ed.).
三角函数积分法
探索使用三角函数积 分公式来求解涉及三 角函数的积分问题。
定积分的应用
几何应用
应用高等数学第3章3.2.3 定积分的应用21页PPT
成的面积.
a
A1
ab 0a
a2 x2dx
令 x asint, x 0, a,
则 t arcsin x ,
a
dxacostdt.
A1
ab 0a
a2x2dx π 2b
0a
a2a2sin2tacostdt
ab
π
2 cos2 tdt
ab
π
2 (1cos2t)dt
0
20
π
ab 2
t
1 2
sin
一、微元法的基本思想 二、利用定积分求平面图形的面积 三、利用定积分求旋转体的体积 四、定积分在经济学中的应用 五、定积分在物理学中的应用
[引例3.10] 修建一道梯形闸门,它的两条底边长 分别为6m和4m,高为6m,较长的底边与水面平 齐,要计算闸门一侧所受水的压力.
分析:建立右图所示的坐标系, AB的方程为 y 1 x 3,
b
Aa[f(x)g(x)]dx.
y
dA
y = f (x)
a
O x x+dx b x
y = g(x)
例 2 求 y = sinx, y = cos x, x 0,
所围成的平面图形的面积. 解:
x , 2
A 4(cosxsinx)dx 0
y
2
(sin
xcos
高中数学-定积分在几何中的应用-课件
的图形的面积为( )
10 A. 3
B.4
16 C. 3
D.6
解析 由yy==x-x,2 得其交点坐标为(4,2).
如图,所求的面积为 答案 C
❖
由两条或两条以上的曲线围成的
较为复杂的图形,在不同的区段内位于上方
和下方的函数有所变化,通过解方程组求出
曲线的不同的交点坐标,可以将积分区间进
行细化分段,然后根据图象对各个区段分别
:
1、利用定积分求解平面图形的面积的技巧
由两条曲线 y=f(x),y=g(x)和直线 x=a,x=b(b>a)所围图
形的wenku.baidu.com积
b
①如图(1)所示,f(x)>g(x)>0,所以所求面积
S
=
a
[f(x)
-
g(x)]dx.
b
②如图(2)所示,f(x)>0,g(x)<0,所以所求面积 S=af(x)dx
+bagxdx=ba[f(x)-g(x)]dx.
求由一条曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及 y=0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示,f(x)>0, bf(x)dx>0. a
∴S= bf(x)dx. a
②如图 2 所示,f(x)<0, bf(x)dx<0, a
《定积分的应》课件
定积分的线性性质在积分区间上的应用:对于任意两个区间[a,b]和[c,d],有∫[a,b] f(x) dx + ∫[c,d] f(x) dx = ∫[a,d] f(x) dx。
定积分的线性性质在积分函数上的应用:对于任意两个函数f(x)和g(x),有∫[a,b] [f(x) + g(x)] dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx。
积分区间上的函数值与积 分值的关系
积分区间上的函数值的绝 对值与积分值的关系
积分区间上的函数值的平 方与积分值的关系
积分区间上的函数值的立 方与积分值的关系
定积分与不定积 分的关系
定积分的几何意 义
定积分的物理意 义
定积分的微积分 基本原理
平面图形的面积计算公式
定积分在平面图形面积计算中的应 用
定义:直接计算法是指通过直接计算定积分来求解的方法 适用范围:适用于被积函数简单、积分区间已知的情况 计算步骤:首先确定积分区间,然后根据定积分的定义进行计算 注意事项:在计算过程中需要注意积分的上下限和被积函数的取值范围
适用范围:当被积函数较复 杂或难以直接计算时
定义:将定积分中的被积函数 进行适当的变量替换,以便简 化计算
等领域。
实例分析:以 一个具体的例 子来说明变力 沿直线所做的 功的计算方法
和应用。
定义:水压力是指水在重力作用下对物体产生的压力 计算公式:水压力 = 水的密度 × 重力加速度 × 深度 应用:水压力可以用于计算水体对物体产生的压力,例如船只、潜艇等在水中的浮力问题
定积分的线性性质在积分函数上的应用:对于任意两个函数f(x)和g(x),有∫[a,b] [f(x) + g(x)] dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx。
积分区间上的函数值与积 分值的关系
积分区间上的函数值的绝 对值与积分值的关系
积分区间上的函数值的平 方与积分值的关系
积分区间上的函数值的立 方与积分值的关系
定积分与不定积 分的关系
定积分的几何意 义
定积分的物理意 义
定积分的微积分 基本原理
平面图形的面积计算公式
定积分在平面图形面积计算中的应 用
定义:直接计算法是指通过直接计算定积分来求解的方法 适用范围:适用于被积函数简单、积分区间已知的情况 计算步骤:首先确定积分区间,然后根据定积分的定义进行计算 注意事项:在计算过程中需要注意积分的上下限和被积函数的取值范围
适用范围:当被积函数较复 杂或难以直接计算时
定义:将定积分中的被积函数 进行适当的变量替换,以便简 化计算
等领域。
实例分析:以 一个具体的例 子来说明变力 沿直线所做的 功的计算方法
和应用。
定义:水压力是指水在重力作用下对物体产生的压力 计算公式:水压力 = 水的密度 × 重力加速度 × 深度 应用:水压力可以用于计算水体对物体产生的压力,例如船只、潜艇等在水中的浮力问题
3.2.3-定积分的应用
[
cos
x
sin
x]
2
O
4
π
πx
4
2
2( 2 1)
例 3 求出抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x – 4 所围成的
平面图形的面积. 结论:
y 4
y2 = 2x
B (8,4)
若函数 ( y)、 ( y)在[c,d]上
y = x-4
连续,且( y) ( y) ,则由
x
曲线 x ( y) 、x ( y) 及直
0
20
π
ab 2
t
1 2
sin
2t
2 0
π ab
4
三、利用定积分求旋转体的体积
一般地,由曲线 y f (x)(x [a,b]) 与直线x=a, x=b及y=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周而生 成的旋转体的体积为
V
π
b
[
f
(x)]2 dx
a
类似地,由曲线 x (y)(y [c, d]) 与直线y=c, y=d及x=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周而生 成的旋转体的体积为
4
f (t)dt
4 (80 10t 0.6t2 )dt
2
2
(80t 5t2 0.2t3) 4 2
208.8
例7 已知某产品的边际成本和边际收入都是产 量x的函数,它们分别是C(x) 4 0.25(x 万元/吨) 和 R(x) 80 x(万元/吨).
定积分PPT课件
bx
(四个小矩形)
(九个小矩形)
显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯 形面积.
曲边梯形如图在区间[a, b]内插入若干个分点,
a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间[a,b] 分成 n
个小区间[ xi1, xi ],
y
长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]
证 f ( x) 0, f (i ) 0, (i 1,2,,n)
n
xi 0, f (i )xi 0,
i 1
max{x1,x2 ,,xn }
n
lim
0
i 1
f (i )xi
b
f ( x)dx 0.
a
例 4 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
x
cos
x(
x x2
tan
x)
0,
f ( x)在[ , ]上单调下降,
42
故 x 为极大点, x 为极小点,
4
2
M f () 2 2, m f () 2 ,
4
2
ba , 24 4
2 4
2 4
sin xdx x
2 2, 4
1
2
2 4
sin x
xdx
2. 2
性质7(定积分中值定理)
定积分的应用课件
液体静压力计算步骤
详细阐述液体静压力计算的步骤,包 括确定计算区域、选择坐标系、列出 被积函数等。
其他物理问题中定积分应用
引力计算
通过定积分求解质点系或连续体 之间的引力问题。
波动问题
将波动问题转化为定积分问题, 进而求解波动过程中的各种物理 量。
01
02
电场强度计算
利用定积分求解电荷分布连续体 所产生的电场强度。
01
通过定积分求解绕x轴或y轴旋转一周所得旋转体的体积。
平行截面面积为已知的立体体积计算
02
利用定积分将立体划分为无数个平行截面,通过截面面积和高
度求解体积。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
参数方程表示立体体积计算
03
将参数方程转化为普通函数形式,再利用定积分求解体积。
曲线弧长求解方法
1 2
直角坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在直角坐标系下的弧长。
土木工程稳定性评估
土压力计算
利用定积分求解土体对结 构物产生的侧压力,为挡 土墙、地下室等结构的设 计提供数据支持。
地基承载力分析
通过定积分计算地基的承 载力,评估建筑物或构筑 物在地基上的稳定性。
滑坡稳定性分析
结合定积分方法,分析滑 坡体的稳定性,为土木工 程中滑坡治理提供依据。
其他工程问题中定积分应用
02
《高中定积分的应用》课件
详细描述
在静电场中,电场强度和电势是随位置变化的。通过定积分,我们可以计算任意位置的 电场强度和电势,从而更好地理解电场的分布和性质。这对于分析带电粒子的运动轨迹
和电场力的作用具有重要意义。
04
定积分在经济学中的应用
边际与弹性分析
总结词
边际分析主要研究自变量发生微小变化时, 因变量的变化量。弹性分析则进一步引入相 对变化率的考虑,研究自变量变化对因变量 变化的敏感程度。
详细描述
成本计算涉及生产成本、销售成本、管理费 用和财务费用等方面的核算,目的是控制成 本、提高效率和盈利能力。收益计算则关注 企业的收入、利润和现金流等方面,通过收 入和利润的核算来评估企业的经营绩效和市
场竞争力。
最优化问题求解
要点一
总结词
最优化问题求解是经济学中常见的问题,旨在寻找在一定 约束条件下实现目标函数最大或最小的最优解。
总结词
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用,有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体,我们可以通过定积分计算其质量分布,进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体 的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中,定积分用于计算电场强度和电势,有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时,需要仔细分析这 些函数之间的关系,如一个函数可能对另一个函数求导 或积分,或者两个函数之间存在特定的关系等。
在静电场中,电场强度和电势是随位置变化的。通过定积分,我们可以计算任意位置的 电场强度和电势,从而更好地理解电场的分布和性质。这对于分析带电粒子的运动轨迹
和电场力的作用具有重要意义。
04
定积分在经济学中的应用
边际与弹性分析
总结词
边际分析主要研究自变量发生微小变化时, 因变量的变化量。弹性分析则进一步引入相 对变化率的考虑,研究自变量变化对因变量 变化的敏感程度。
详细描述
成本计算涉及生产成本、销售成本、管理费 用和财务费用等方面的核算,目的是控制成 本、提高效率和盈利能力。收益计算则关注 企业的收入、利润和现金流等方面,通过收 入和利润的核算来评估企业的经营绩效和市
场竞争力。
最优化问题求解
要点一
总结词
最优化问题求解是经济学中常见的问题,旨在寻找在一定 约束条件下实现目标函数最大或最小的最优解。
总结词
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用,有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体,我们可以通过定积分计算其质量分布,进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体 的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中,定积分用于计算电场强度和电势,有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时,需要仔细分析这 些函数之间的关系,如一个函数可能对另一个函数求导 或积分,或者两个函数之间存在特定的关系等。
定积分的简单应用 课件
解:作出曲线 y=sin x 和直线 x=0, x=32π,y=0 的草图,如右图所示,所 求面积为图中阴影部分的面积.
由图可知,当 x∈[0,π]时,曲线 y =sin x 位于 x 轴的上方;
当 x∈π,32π时,曲线位于 x 轴下方.
3
因此,所求面积应为两部分的和,即S= 2 |sin x|dx=πsin
[导入新知] 1.变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函 数 v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即 s= bvtdt.
__a_____
2.变力做功
如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿
着与 F(x)相同的方向从 x=a 移动到 x=b(a<b),那么变力
a
问题3:如何求阴影的面积S? 提示:S=S1-S2.
[导入新知]
平面图形的面积
由两条曲线y=f(x),y=g(x)和直线x=a,x=b(b>a)所围
图形的面积.
(1)如图①所示,f(x)>g(x)>0,所以所求面积 b[f(x)-g(x)]dx
S=___a _____________.
(2)如图②所示,f(x)>0,g(x)<0,所以所求面积 S=abf(x)dx+abgxdx=__ab_[_f(_x_)_-__g_(x_)_]_d_x_.
由图可知,当 x∈[0,π]时,曲线 y =sin x 位于 x 轴的上方;
当 x∈π,32π时,曲线位于 x 轴下方.
3
因此,所求面积应为两部分的和,即S= 2 |sin x|dx=πsin
[导入新知] 1.变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函 数 v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即 s= bvtdt.
__a_____
2.变力做功
如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿
着与 F(x)相同的方向从 x=a 移动到 x=b(a<b),那么变力
a
问题3:如何求阴影的面积S? 提示:S=S1-S2.
[导入新知]
平面图形的面积
由两条曲线y=f(x),y=g(x)和直线x=a,x=b(b>a)所围
图形的面积.
(1)如图①所示,f(x)>g(x)>0,所以所求面积 b[f(x)-g(x)]dx
S=___a _____________.
(2)如图②所示,f(x)>0,g(x)<0,所以所求面积 S=abf(x)dx+abgxdx=__ab_[_f(_x_)_-__g_(x_)_]_d_x_.
定积分的应用(面积)市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
总结:
1.选择积分变量标准:
(1)尽可能少分块(2)积分轻易。
2.准确作图.
作业:
1.(3)(5)(8) 2.
24
第24页
备用题1. 设曲线 y f ( x)过原点及点(2,3),且 f ( x)
为单调函数,并具有连续导数,今在曲线上任 取一点作两坐标轴的平行线,其中一条平行线
与 x 轴和曲线 y f ( x)围成的面积是另一条平 行线与 y 轴和曲线 y f (x) 围成的面积的两
解 先求曲线 L1,L2 的交点,由 y
1 x2 ax2 ( 0 x 1, a 0 ) 1
y ax2
解得 x 1 , 1 a
y a , 1 a
y 1 x2
S1
1
于是有
S1
1a [(1 x 2 ) ax 2 ]dx
0
O
S2
x
1
x 1 x3 1 ax3 1a 2
3 3 0
y
3 (4, 3)
y2 2x 1
y x1
得交点 (0, 1), (4,3) . 对 y 积分 .
1O
1
2
1
4
x
S
3 1
(
y
1)
1( 2
y2
1)dy
1 2
y2
1 6
y3
定积分在几何中的应用 课件
S=
a
(x)dx +
a g (x)dx
=
[(x) − g(x)]dx.
a
2.求曲边多边形的面积的步骤有哪些?
剖析:(1)画出图形,确定图形范围.即借助几何知识将所求图形的
面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题.
(2)确定积分上、下限.即通过解方程组求出交点的横坐标,确定
积分上、下限.
1 2
2x- x
2
|2-3
−
(−x +
1 3
x -4x
3
|2-3
=
25
−
2
反思求不分割型图形面积的一般步骤如下:
同时,要注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积:
定积分可正、可负或为零;而平面图形的面积总是正的.
分割型图形面积的求解
【例2】 求由曲线y= , 直线 = 2 − , =
.
6
3
3 6
1
反思由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区
间段内位于上方和下方的函数有所变化,通过解方程组求出曲线的
不同的交点坐标,可以将积分区间进行细化区段,然后根据图象对
各个区段分别求面积进而求和,在每个区段上被积函数均是由上减
下.
综合应用
【例 3】 如图,在曲线 C:y=x2,x∈[0,1]上取点 P(t,t2),过点 P 作 x 轴的
a
(x)dx +
a g (x)dx
=
[(x) − g(x)]dx.
a
2.求曲边多边形的面积的步骤有哪些?
剖析:(1)画出图形,确定图形范围.即借助几何知识将所求图形的
面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题.
(2)确定积分上、下限.即通过解方程组求出交点的横坐标,确定
积分上、下限.
1 2
2x- x
2
|2-3
−
(−x +
1 3
x -4x
3
|2-3
=
25
−
2
反思求不分割型图形面积的一般步骤如下:
同时,要注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积:
定积分可正、可负或为零;而平面图形的面积总是正的.
分割型图形面积的求解
【例2】 求由曲线y= , 直线 = 2 − , =
.
6
3
3 6
1
反思由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区
间段内位于上方和下方的函数有所变化,通过解方程组求出曲线的
不同的交点坐标,可以将积分区间进行细化区段,然后根据图象对
各个区段分别求面积进而求和,在每个区段上被积函数均是由上减
下.
综合应用
【例 3】 如图,在曲线 C:y=x2,x∈[0,1]上取点 P(t,t2),过点 P 作 x 轴的
定积分在物理中的应用 课件
【典例1】(1)物体以速度v(t)=3t2-2t+3做直线运动,它在t=0
到t=3这段时间内的位移是( )
A.9
B.18
C.27
D.36
(2)一质点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2-4t+3(m/s)
运动,求点在t=4 s时的位置及经过的路程.
【解题探究】1.题(1)中速度与位移之间如何建立联系? 2.在题(2)中,质点在4 s时的位置与什么有关? 【探究提示】1.对速度在某一时间段进行积分即得这一时间段 的位移值. 2.质点在4 s时的位置决定于质点的位移.
20 90 x 120,
在AB段运动时F与运动方向成30°角,在BC段运动时F与运动方
向成45°角,在CD段运动时F与运动方向相同,求物体由A运动
到D所做的功.( 3 ≈1.732, 2 ≈1.414,精确到1 J)
【解题探究】1.变力做功的公式是什么? 2.在题(2)中,AB段、CD段做功的力是多少?
指物体位置的改变,位移不但有大小,而且有方向,是一个矢
量(或向量);路程是物体运动轨迹即质点运动时所经过的实际
路径的长度,路程只有大小,没有方向,是个标量(或数量).
(2)用定积分计算做直线运动物体的路程,要先判断速度v(t)在
时间区间内是否为正值,若v(t)>0,则运动物体的路程为
s= abv(t)dt;若v(t)<0,则运动物体的路程为
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第三部分 体 积
一、平行截面面积为 已知的立体的体积
二、旋转体的体积
18
18
一、平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体,但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积,那么,这 个立体的体积也可用定积分来计算.
2
15
15
例4 求双纽线 2 a2 cos 2 所围成的平面图形
的面积 .
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
A 4A 1
A 4
4
1 a2 cos 2d
a2.
02
y x A1
2 a2 cos 2
16
16
例5 求心形线 r a(1 cos ) 所围成的平面图形
d
设曲线 r ( ) 及射线 , 围成一曲边扇 形,求其面积 . 这里 ( ) 在 [ , ] 上连续,且 ( ) 0 .
面积元素 dA 1[ ( )]2 d
2
r ( )
d
o x
曲边扇形的面积 A 1[ ( )]2 d .
7
7
(3)以所求量 U 的元素 f (x)dx 为被积表达式,
在区间[a,b] 上作定积分,得U b f (x)dx, a
即为所求量 U 的积分表达式 .这个方法通常 叫做微元法 或元素法。
应用方面 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长;
功;水压力;引力和平均值等.
8
8
第二部分 平面图形的面积
第四节 定积分的应用
1
1
第一部分 定积分的微元法
一、问题的提出 二、微素法的一般步骤:
2
2
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y f ( x)( f ( x) 0), x轴与两条直线x a, x b所围成
A
b
a
f
(
x )dx
y
y f (x)
oa
bx
3
3
面积表示为定积分的步骤如下
(1) 把区间[a,b] 分成 n 个长度为xi的小区间,相应 的曲Hale Waihona Puke Baidu梯形被分为n 个小窄曲边梯形,第 i 个小
n
窄曲边梯形的面积等于Ai , A Ai;
i 1
(2) 计算 Ai 的近似值
Ai f ( )xi , i xi ;
(3) 求和,得A的近似值
于是 A f ( x)dx .
o a x x dxb x
A
lim
f
( x)dx
b
a f
( x)dx.
5
5
当所求的量U 符合下列条件: (1) U 是 与 一 个 变 量 x 的 变 化 区 间[a,b] 有 关 的 量 ;
(2) U 对于区间[a,b] 具有可加性,就是说,如果把 区间[a,b] 分成许多部分区间,则U 相应地分成 许多分量,而U 等于所有部分量之和;
n
A f (i )xi .
i 1
4
4
(4) 求极限,得 A的精确值
n
A
lim
0
i 1
f
( i
)xi
b
f ( x)dx
a
提示:若用 A 表示 任意小区间 y
[ x, x dx] 上的窄曲边梯形的面积,
y f (x)
则 A A,并取 A f ( x)dx,
2
4
A dA 18. 2
12
12
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x (t)
y
(t
)
曲边梯形的面积 A t2 (t ) (t )dt. t1
(其中t1 和 t2 对应曲线的起点与终点的参数值)
在 [t1, t2 ] (或[t2 , t1])上 x (t ) 具有连续导数 , y (t) 连续.
例1 计算由两条抛物线 y2 x 和 x y2 所围成 的图形的面积.
解 两曲线的交点 (0,0) , (1,1) .
选 x为积分变量 x [0,1]
面积元素 dA ( x x2 )dx
x y2 y x2
1
A ( 0
x
x2 )dx
2 3
3
x2
x3 1 3 0
一、直角坐标系情形 二、极坐标系情形
9
9
一、直角坐标系情形
y y f (x)
o a x x xb x 曲边梯形的面积
b
A a f ( x)dx
y
y f2(x)
y f1( x)
oa
xx b x
曲边梯形的面积
b
A [ f ( x) f ( x)]dx
a
2
1
10
10
1. 3
11
11
例2 计算由曲线 y2 2 x 和直线 y x 4 所围成 的图形的面积
解 两曲线的交点
y2 2x
y
x
4
(2,2), (8,4).
选 y 为积分变量, y [2, 4]
y x4
y2 2x
dA y 4 y2 dy,
(3) 部 分 量 U i 的 近 似 值 可 表 示 为 f ( i )xi;
就 可 以 考 虑 用 定 积 分 来表 达 这 个 量U .
6
6
二、微元法的一般步骤:
(1) 根据问题的具体情况,选取一个变量,例如 x 为积分变量,并确定它的变化区间[a,b];
(2) 设想把区间[a,b] 分成 n 个小区间,取其中 任意一个小区间并记作 [x, x dx],求出相 应于这小区间的部分量 U 的近似值 .如果 U 能近似地表示为[a,b] 上的一个连续函数 在 x 处的值 f (x) 与 dx 的乘积,就把 f (x)dx 称为量 U 的元素,记作 dU ,即 dU f (x)dx;
的面积 .
解 dA 1 a2 (1 cos )2 d
d
2
利用对称性知
A 2 1 a2
(1 cos )2 d
20
a2 (1 2cos cos2 )d 0
a
2
3
2
2 sin
1 sin 2
4
0
3
2
a2.
17
17
13
13
例3
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x
y
a cos t bsin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积.
a
0
A
4 0
ydx
4
bsin td(a cos t )
2
4ab 2 sin2 tdt a b. 0
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二、极坐标系情形