1.1.2导数的概念第二课时

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教学设计6：1.1.2 导数的概念

1.1.2 导数的概念教材分析一般地，学习导数概念的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解．本节课，教材将学习导数的概念分为两个阶段：第一阶段是通过大量实例，利用逼近思想直观理解瞬时速度的含义；第二阶段则是将瞬时速度一般化，即通过对瞬时速度的理解来引出导数的概念．整个过程蕴涵了逼近的思想和用已知探求未知的思想方法．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标利用学生对瞬时速度的理解，逐步达到对导数概念和基本方法的直观、准确的理解．2．过程与方法目标用形象直观的“逼近”方法定义导数，学习和掌握用已知探究未知的思想方法．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，培养学生运动变化的观点和辩证统一的思想．在对实际问题的分析过程中，体会、感受数学的创造美．重点难点重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；难点：准确理解导数的概念．教学过程引入新课问题1：物体作自由落体运动的方程是s (t )＝12g t 2，求1 s 到2 s 的平均速度．问题2：物体作自由落体运动的方程是s (t )＝12g t 2，如何求t ＝3 s 这一时刻的速度呢？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：经过简单运算，学生能够回答出第一个问题．对于第二个问题，可能在理解“瞬时速度”上有难度，感觉无从下手．教师提问：这两个问题在解法上有什么区别和联系？能否从它们的联系上寻找第二个问题的解法？你对“t ＝3 s 这一时刻”怎么理解？学情预测：学生能够利用物理知识解决速度问题，但对某一时刻的速度，未必能从“平均速度”和“瞬时速度”的关系上说清楚．教师提示：我们可以取t ＝3 s 临近时间间隔内的平均速度去“逼近”t ＝3 s 时刻的“瞬时速度”，如在[3,3＋Δt ]内或在[3－Δt ,3]内，不过时间间隔Δt 要尽可能小．学情预测：经过提示和讨论后，学生应该能从尽可能缩小时间间隔的角度进行感性认识和猜测了．活动成果：师生共同得出如下结论：取一小段时间：[3,3＋Δt ]，Δs ＝12g(3＋Δt )2－92g ，Δv ＝Δs Δt ＝g 2(6＋Δt )．当Δt →0时，Δv →3g.设计意图从学生学过并且熟悉的物理问题切入，以平均速度和瞬时速度作对比设计两个问题，使学生有一个思考的台阶，在教师的引导提示下，感性地认识瞬时速度的概念．探究新知在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．运动员的平均速度不一定能反映他在某一时刻的瞬时速度．那么，如何求运动员的瞬时速度呢？提出问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，试探求运动员在t ＝2 s 时的瞬时速度是多少？活动设计：以小组为单位，列好表格，准备好计算器，分别计算时间间隔Δt ＝－0.01，－0.001，－0.000 1，－0.000 01，－0.000 001，…在区间[2＋Δt ,2]内的平均速度和Δt ＝0.01，0.001,0.000 1,0.000 01,0.000 001，…时，在区间[2,2＋Δt ]内的平均速度．并观察当|Δt |逐渐变小时，平均速度v 的取值变化情况．活动成果：当Δt <0时，在[2＋Δt ,2]这段时间内 v ＝h (2)－h (2＋Δt )2－(2＋Δt )＝4.9Δt 2＋13.1Δt －Δt＝－4.9Δt －13.1. 当Δt ＝－0.01时，v ＝－13.051；当Δt ＝－0.001时，v ＝－13.095 1；当Δt ＝－0.000 1时，v ＝－13.099 51；当Δt ＝－0.000 01时，v ＝－13.099 951；当Δt ＝－0.000 001时，v ＝－13.099 995 1；……当Δt >0时，在[2,2＋Δt ]这段时间内v ＝h (2＋Δt )－h (2)(2＋Δt )－2＝－4.9Δt 2－13.1Δt Δt ＝－4.9Δt －13.1.当Δt ＝0.01时，v ＝－13.149；当Δt ＝0.001时，v ＝－13.104 9；当Δt ＝0.000 1时，v ＝－13.100 49；当Δt ＝0.000 01时，v ＝－13.100 049；当Δt ＝0.000 001时，v ＝－13.100 004 9；……可以看出，当|Δt |逐渐变小时，平均速度v 的取值逐渐趋近于一个稳定的值－13.1，从物理的角度看，时间间隔|Δt |无限变小时，平均速度v 就无限趋近于t ＝2 s 时的瞬时速度．所以说，运动员在t ＝2 s 时的瞬时速度是－13.1 m/s.为了表述方便，我们用0lim t ∆→ h (2＋Δt )－h (2)Δt＝－13.1 来表示“当Δt →0时，v →－13.1”．提出问题：仍以高台跳水为例，运动员在某一时刻t 0的瞬时速度怎样表示？能用它来表示函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率吗？活动设计：学生独立思考，两名学生板演，其他学生在练习本上试着写出结果，然后教师点评．活动成果：根据上面对瞬时速度概念的探究，可知：运动员在某一时刻t 0的瞬时速度为0lim t ∆→ h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt. 类似地，函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率可以表示为0lim x ∆→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ Δf Δx.我们称它为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)＝0lim x ∆→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ Δf Δx . 理解新知例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)，计算第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．学情预测：根据上面所学知识，学生能够求出第2 h 时和第6 h 时原油温度的瞬时变化率，但是在说明它们的意义时可能有困难，或表述不准确．活动设计：学生先独立思考，一名学生板演，其他学生在练习本上试着写出过程和结果．教师适时点评．活动结果：在第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)．根据导数的定义，Δf Δx ＝f (2＋Δx )－f (x 0)Δx＝(2＋Δx )2－7(2＋Δx )＋15－(22－7×2＋15)Δx＝Δx －3，所以，f ′(2)＝0lim x ∆→ Δf Δx ＝0lim x ∆→ (Δx －3)＝－3.同理可得：f ′(6)＝5. 在第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5.说明在2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升．点评：(1)函数f (x )在x ＝x 0处的导数即为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率；(2)瞬时变化率是平均变化率的极限；(3)Δx ＝x －x 0，当Δx →0时，x →x 0，所以f ′(x 0)＝0lim x x → f (x )－f (x 0)x －x 0； (4)由定义知，求f (x )在x 0处的导数的步骤为：求增量Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )算比值Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx 求极限y ′＝0lim x ∆→ Δy Δx. 由导数的定义，我们知道，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度；气球半径r 关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率．实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值的增长率等等．设计本例的主要目的还是让学生在实际问题背景中体会导数的产生、导数的意义等．设计意图运用新知例2 (1)求函数f (x )＝－x 2＋x 在x ＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．(2)求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．思路分析：求函数f (x )在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f ′(x 0)．解：(1)因为Δf Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx ＝3－Δx ，所以f ′(－1)＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx ＝0lim x ∆→ (3－Δx )＝3. (2)因为Δf ＝Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝6Δx ＋3(Δx )2，所以Δf Δx ＝6＋3Δx ，0lim x ∆→ Δf Δx＝6. 点评：体会求函数f (x )在任一点处的导数的一般步骤，进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy 与Δx 的比值，感受和认识在Δx 逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A 这一现象．例3 函数f (x )满足f ′(1)＝1，则当x 无限趋近于0时，(1) 0lim x → f (1＋x )－f (1)2x＝__________， (2) lim x→0 f (1＋2x )－f (1)x＝____________. 思路分析：因为f (x )在x ＝1处存在导数，所以当x 无限趋近于0时，2x 也无限趋近于0，故lim x →0 f (1＋x )－f (1)x ＝1， lim 2x→0 f (1＋2x )－f (1)2x＝1. 【解析】(1)lim x →0f (1＋x )－f (1)2x ＝lim x→0 12f (1＋x )－f (1)x ＝12， (2)lim x →0 f (1＋2x )－f (1)x ＝2lim 2x →0f (1＋2x )－f (1)2x＝2. 【答案】(1)12(2)2 点评：理解导数的意义，关键在理解当Δx →0时，Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx的变化趋势．巩固练习1．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.12．设函数f (x )可导，则0lim x ∆→ f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( ) A ．f ′(1) B ．不存在C. 13f ′(1) D ．以上都不对 3．设f (x )＝1x ，则lim x a→ f (x )－f (a )x －a 等于( ) A ．－1a B. 2a C ．－1a 2 D. 1a 2 【答案】1.D 2.C 3.C变练演编变式(1)设f (x )在x ＝x 0处可导，若f (x 0＋4Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于1，则f ′(x 0)＝__________. 变式(2)设f (x )在x ＝x 0处可导，若f (x 0－4Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于1，则f ′(x 0)＝__________. 变式(3)设f (x )在x ＝x 0处可导，当Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋2Δx )－f (x 0－2Δx )Δx所对应的常数与f ′(x 0)的关系．活动设计：学生独立完成，教师将所有发现的结果一一列举，再由学生相互之间交流、评价，最后教师给出正确答案．【答案】变式(1)：14变式(2)：－14变式(3)：当Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋2Δx )－f (x 0－2Δx )Δx＝4f ′(x 0) 设计意图对于函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim t ∆→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim t ∆→ Δf Δx，Δx 表示的意义是一个尽可能小的改变量，是一个广义的概念．通过变练(就是变式训练)演编(就是让学生试着自己编题)，让全班同学通过交流合作的形式，在辨析中加深对导数概念的理解．达标检测1．当自变量x 由x 0增加到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数……( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．在区间[x 0，x 1]上的导数2．下列各式中正确的是( )A ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0－Δx )－f (x 0)2ΔxB ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0－Δx )－f (Δx )ΔxC ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0＋Δx )＋f (x 0)－ΔxD ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx 3．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－34．y ＝x 3－1，当x ＝2时，0lim t ∆→ Δy Δx＝______. 【答案】1.A 2.D 3.A 4.12课堂小结本节课通过大量的实例，引出了瞬时速度、瞬时变化率的概念，进而形成了导数的概念．其中探究从平均速度到瞬时速度的过程和方法，从特殊推向一般的思想和方法，以及利用所学知识解决实际问题的思想和方法都具有非常重要的作用．布置作业课本习题1.1A2、A3、B1.补充练习1．若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．33【答案】C2．设函数f (x )＝mx 3＋2，若f ′(－1)＝3，则m ＝__________.【答案】13．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且s ＝4t 2＋2t －3，试求物体分别在运动开始及第5秒末的速度．解：开始的速度为2米/秒，第5秒末的速度为42米/秒．设计说明本节课从变化率入手，通过大量的实验和学生的广泛参与，用形象直观的逼近思想来理解瞬时速度和瞬时变化率，在此基础上再给出导数定义．这样做可以避免学生因未学习极限的概念而影响对导数的认识，可以使学生更直观形象地理解导数概念，同时还能使学生对逼近思想有一定的了解．教学过程中，从形成导数定义到理解导数内涵都使用了瞬时速度这个具体的物理模型，教学的关键放在了让学生充分经历从平均速度探究到瞬时速度上．整个过程采用的方法都是遵循循序渐进的原则，尊重学生的认知水平和认知规律．另外，本节还选配了一些其他方面的变化率问题，形式丰富的实例有利于学生辨别出它们具有的共同特征，认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率，从而加深对导数概念的理解．。

§1.1.2导数的概念

＝ lim Δ x→ 0
f（x0－Δx）－f（x0）－Δx
或
f
′(x0)＝
lim
x x0
f（x）x－－fx（0 x0）.
§1.1.2 导数的概念
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导
数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数
思考：已知物体作变速直线运动，其运动方程
为s＝s(t)(ｓ表示位移，t 表示时间)，求物体在
t0 时刻的速度．
如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0，在时刻
2、把分式化简后令△x=0（一般分母中不含△x），所求之值就是函数y=f(x)在x=xo处的导数。
例1、已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数的增量
定义法,
Δy Δx
―Δx―→→0
极限
―→
导数
解：(1)因为ΔΔyx＝f1＋ΔΔxx－f1
探究三、求函数y=f(x)在x=xo处的导数步骤：
1.求函数增量： Dy f ( x0 Dx) f ( x0 )
2.算比值（平均变化率）：Dy f ( x0 Dx) f ( x0 )
Dx
Dx
3.取极限：
简记为：一差、二比、三极限
注意：1、取极限前，要注意化简Δy，保证使Δx→0 时，分母不为 0. Δx
2.求运动物体瞬时速度的三个步骤第一步：求时间改变量Δt 和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；第二步：求平均速度 v ＝Δs；
Δt 第三步：求瞬时速度，当Δt 无限趋近于:

课件4：1.1.2导数的概念

(3)ΔS＝S(0.5)－S(0) ＝3×0.5－0.52－0＝1.25， Δt＝0.5－0＝0.5. ∴－v ＝ΔΔSt ＝10.2.55＝2.5. ∴从 t＝0 到 t＝0.5 的平均速度为 2.5.
(4)物体在 t＝0 的平均变化率
ΔΔSt ＝SΔtΔ－t S0＝3×ΔtΔ－t Δt2＝3－Δt.
∴lim
Δt→0
ΔΔSt ＝Δlit→m0
(3－Δt)＝3.
即物体在 t＝0 的瞬时速度为 3.
[规律技巧] 物体在 t＝0 时的瞬时速度也叫做物体的初速度，当 t＝0 时，初速度 v0 不一定为 0.
【变式训练1】求函数y＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上
的平均变化率，并分别求函数在x0＝1,2,3，附近Δx取
(3)取极限，得导数：f′(x0)＝ lim Δx→0
Δy Δx.
典例剖析
题型一平均变化率与瞬时速度【例1】一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S ＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求t＝0到t＝1的平均速度； (3)求t＝0到t＝0.5的平均速度； (4)求在t＝0时的瞬时速度．
当这段时间很短，即 Δt 很小时，这个平均速度就接近时
刻 t0 的速度．Δt 越小，v 就越接近于时刻 t0 的速度，当 Δt→0
时，这个平均速度的极限
v＝lim Δt→0
ΔΔSt ＝Δlit→m0
St0＋ΔΔtt－St0就
是物体在时刻 t0 的速度即为________．
3．一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 lim Δx→0
当 x0＝2，Δx＝12时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为 k2 ＝6×2＋3×0.5＝13.5；

导数的概念及其几何意义(2课时)高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

为v(t)=﹣t²+6t＋60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
2
2
v(t0 t ) v(t0 )

(
t

t
)

6
(
t

t
)

(

t
0
0
0 6t 0 )
解 : 设第t0s时, v' (t0 ) lim
lim
t 0
t 0
t
t
(t ) 2 (6 2t0 )t
位: °C)为f(x)=x²－7x＋15(0≤x≤8). 计算第2 h与第6 h时原油温
度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
f ( x0 x) f ( x0 )
( x0 x) 2 7( x0 x) ( x02 7 x0 )
解 : 设第x0 h时, f ' ( x0 ) lim
lim (t 6 2t0 ) 6 2t 0
lim
t 0
t 0
t
v' (2) 6 2 2 2, v' (6) 6 2 6 6.
故在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别为2 ℃/h与－6 ℃/h.
意义：在第2 s附近，汽车速度大约以2 m/s的速率增加；
的值.
2k
解：令－k＝Δx，∵k→0，∴Δx→0.
则原式可变形为 lim
Δx→0
f（x0＋Δx）－f（x0）
－2Δx
f（x0＋Δx）－f（x0）
1
＝－ lim
2Δx→0
Δx
1
1
＝－ f′(x0)＝－ ×2＝－1.

1.1.2导数的概念

,
1 运动员在这段时间里是静止的吗 ? 2你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问
题吗 ? 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。
思考：什么是瞬时速度呢？如何求瞬时速度呢？
1 运动员在这段时间里是静止的吗 ? 2 你认为用平均速度描述运动员运动
状态有什么问题吗 ?
h t2 h t1 h v t t2 t1
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10 65 的图像，结合图形可知， h( ) h(0) ， 49 所以， h
例 2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品 , 需要对原油进行冷却和加热 .如果在 xh 时, 原油的温度单位 :0 C 为 f x x 2 7 x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.

解在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是f ' 2
(2)将 Δ t=0.01代入上式，得:
__
s
v 2.005g 20.05m / s.
从而平均速度 v 的极限为：
__
__
( 3)当t 0,2 t 2,
s v lim v lim 2 g 20m / s. t 0 t 0 t
s
65 探究 : 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度 49 并思考下面的问题 :
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051 当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,

《1.1.2导数的概念》教学案3

《1.1.2导数的概念》教学案3教材分析导数的概念是高中新教材人教A 版选修2-2第一章1.1.2的内容, 是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。

新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。

问题1 气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率问题2 高台跳水的平均速度--→瞬时速度--→根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点教学目标1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：① 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力② 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法函数的平均变化率fx ∆∆ 函数的瞬时变化率0limx fx∆→∆∆（即导数）3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.重点、难点➢重点：导数概念的形成，导数内涵的理解➢难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点学法与教法➢学法与教学用具学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。

（如问题2的处理）（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。

（如问题3的处理）（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。

（如例题的处理）教学用具：电脑、多媒体、计算器➢教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动——师生互动、共同探索。

②导——教师指导、循序渐进（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲（2）理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识（4）变式练习——深化对导数内涵的理解，巩固新知二、教学设想（具体如下表）教学环节教学内容师生互动设计思路创设情景、引入新课幻灯片➢回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在6549t≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？首先回顾上节课留下的思考题：在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。

1.2.1.2 函数的概念(第二课时)学案设计

1.2.1 函数的概念(第二课时)一、教材分析：1.函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高.2.通过学生的回顾，再现初中变量观点描述函数的概念，为后面用集合和对应的观点来定义函数奠定基础。

通过对实例的探究，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生对数学的高度抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性有进一步认识，提高抽象概括、分析总结、数学表达交流等基本数学思维能力；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、学习目标①掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性,激发学生学习的积极性.②启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴含的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会用数学表达和交流,发展数学的应用意识.三、教学重点：进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.四、教学难点：符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．五、课时安排：1课时六、教学过程（一）、自主导学（预习）1、设计问题,创设情境教师根据课堂需要，提出问题，合理引入新课（内容）：问题1:y=x 与y=xx 2是同一个函数吗? 两个函数不是同一个函数,主要是定义域不同.2、自主探索,尝试解决问题2:指出函数y=x+1的构成要素有几部分?并思考一个函数的构成要素有几部分? ①函数y=x+1的构成要素为:定义域R ,对应关系x →x+1,值域是R.②一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.问题3:分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系,并比较异同.两个函数的定义域和对应关系分别相同,分别为R ,x →x+1,不同点是变量所用字母不同. 问题4:函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗?两个函数的值域相同,都是R.问题5:根据问题3和问题4的研究,分析两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域一定相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识?值域一定相同.提示学生并一起分析总结得出新的认识：两个函数只要定义域和对应法则相同，则这两个函数就相同（等）.3、信息交流,揭示规律函数相等的条件: 如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等. （二）、合作学习让学生合作做练习，教师巡视指导【例1】下列函数中哪个与函数y=x 相等?⑴2y = ⑵y =⑶y = ⑷2x y x=解：⑴2y =（0x ≥）与函数y x =（x R ∈）定义域不同，所以两个函数不相等．⑵y =（x R ∈）与y x =（x R ∈）不仅定义域相同，而且对应关系也相同，所以两个函数相等．⑶y =（x R ∈）与函数y x =（x R ∈）定义域相同，但是对应关系不同，所以两个函数不相等． ⑷2x y x=定义域是{x|x ≠0}，与函数y x =（x R ∈）定义域不同，所以两个函数不相等．【例2】已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义域是________. 分析:要使函数f(2x-1)有意义,自变量x 的取值需满足-1≤2x -1≤1,∴0≤x≤1.(三)、当堂检测1、判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.①y=x -1,x∈R 与y=x-1,x∈N ; ②y=4-x 2与y=2-x ·2x +; ③y=1+x 1与u=1+x1; ④y=x 2与y=x 2x ;⑤y=2|x|与y=⎩⎨⎧<-≥;0,2,0,2x x x x⑥y=f(x)与y=f(u).是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可).解：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.①前者的定义域是R ,后者的定义域是N ,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;②前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数;③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;⑤函数y=2|x|=⎩⎨⎧<-≥,0,2,0,2x x x x 则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.故填③⑤⑥.2.求函数y=x x x --++11)1(2的定义域. 答案：{x|x ≤1,且x ≠-1}.3.函数y=x 2与S=t 2是同一函数吗?（四）、课堂小结提问并让学生回忆和总结，最后师生一起得出本节课所学习的内容及注意事项：（1）主要内容：初步介绍了①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念。

高中数学第一章导数及其应用 1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2(2021年整理)

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导数的概念本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时,导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。

2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面,函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率,我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．教学目的1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验;5．通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．教学准备1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法;2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：复习准备理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．体会模型感受当△t→0时，平均速度逼近于某个常数．提炼模型从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．形成概念由物体运动的瞬时速度推广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．应用概念理解导数概念，熟悉求导的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．小结作业通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．教学过程设计5分钟1．复习准备设计意图：让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系,感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度．（1）提问：请说出函数从x1到x2的平均变化率公式．（2)提问：如果用x1与增量△x表示平均变化率的公式是怎样的？(3）高台跳水的例子中，在时间段]4965,0[里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态。

课件6：1.1.2 导数的概念

(2)落体在 t0 时的瞬时速度为
v＝lim v ＝lim
Δt→0
Δt→0
12g(2t0＋Δt)＝gt0.
(3)落体在 t0＝2 秒到 t1＝2.1 秒时,其时间增量 Δt＝t1－t0＝
0.1 秒，由(1)知平均速度为 v ＝12g(2×2＋0.1)＝2.05g≈2.05×9.8
＝20.09(米/秒)．
(3)取极限，得 y′| x＝x0 ＝f′(x0)＝Δlixm→0
Δy Δx.
典型例题
已知自由落体的运动方程为s＝12gt2，求： (1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度； (2)落体在t0时的瞬时速度； (3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒这段时间内的平均速度； (4)落体在t＝2秒时的瞬时速度．
4＋Δx－4＋12Δx＝4＋0－4＋12×0＝145.
【方法规律总结】用导数定义求函数在某一点处的导数的
步骤：
(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)求极限 lim
Δx→0
Δy Δx.
若 f ′(x0)＝2，则lim k→0
【解析】 ΔS ＝ -4(2 ＋ Δt)2 ＋ 16(2 ＋ Δt) ＋ 4×22 － 16×2 ＝ -4Δt2 ， ∴ΔΔSt ＝－Δ4Δt t2＝－4Δt，∴v＝Δlit→m0 ΔΔSt ＝Δlit→m0 (－4Δt)＝0.
∴物体在 t＝2s 时的瞬时速度为 0m/s.
2．导数：函数
y＝f(x)在
度．即
v＝lim Δt→0
ΔΔst ＝_____Δl_i_t→m__0__s__t_0_＋___Δ_Δ_t_t_－___s___t0___.

课件1 ：1.1.2导数的概念

例子：设一物体的运动方程是 s(t ) v0t
一般地，对于任意时刻t0，对于s=s(t)，当⊿t→0时，
1 2
at 其中 v 0 为初速
2
度，a 为加速度，时间单位为s，求t=t0时的瞬时速度。
s(t0 解：设时间t0的增量为⊿t，s(t)的增量为⊿s，则
t ) s (t0 )
t s v (t t ) 1 a(t t ) v t 1 at
导函数通常简称导数.如果不特殊指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求
导函数.
例子：求函数y=ax2+bx+c的导数。
解：设函数在y=f(x)=ax2+bx+c。
例子：求函数 = + + +a的导数.
y f ( x x) f ( x) a( x x) 2 b( x x) c
解：△y=a(x+△x)2+b(x+△x)+c－(ax2+bx+c)
=(2ax+b)△x+a(△x)2，
y
=(2ax+b)+a△x，
x
当△x→0时，y’= 2ax+b，
当x=2时，y’|x=2=4a+b。
练习题
1．一物体的运动方程是s=3+t2，则在一小段时间[2, 2.1]内相应的平均
速度为（
v
13.59(m / s)
2.1 2
(2)计算运动员在2s到2+⊿t s(t∈[2,2+⊿t])内的平均速度.
h(2 t ) h(2)
v
13.1 4.9t
2 t 2

课件12：1.1.2 导数的概念

1.1.2 导数的概念
情境导入中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”．中国是世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运营速度最快、在建规模最大的国家．
同学们，高速列车，风驰电掣，呼啸而过，怎样确定它的瞬时速度？怎样研究它的速度与路程的关系呢？
知识梳理 1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(3)v＝Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0(4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)．规律总结求物体在时刻t0的瞬时速度的一般步骤是：首先要求出平均速度，然后求解当时间增量Δt趋近于零时平均速度所趋向的那个定值，这个定值即为物体在t0时刻的瞬时速度．
跟踪练习 1
某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关系
2．设 f(x)＝2ax＋4，若 f ′(1)＝2，则 a 等于 ( C )
A．2
B．－2
C．1
D．－1
【解析】 f ′(1)＝lxi→m1f(xx)－－f1(1)＝lxi→m12a＝2a＝2.
∴a＝1.
3．设函数 f(x)可导，则Δlxi→m0f(1＋Δ3Δx)x－f(1)等于 ( C )
A．f ′(1)
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规律总结利用导数解决问题的关键是建立数学模型，特别是对有关物理问题一定要将其物理意义与导数联系起来．由导数的定义知，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，它在现实生活中的作用是比较广泛的．
跟踪练习 3 若一物体运动方程如下：(位移 s：m，时间 t：s) s＝f(t)＝239t2＋＋32(，t－t≥33).2，0≤t<3，求：(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度 v0； (3)物体在 t＝1 时的瞬时速度．

高中数学选修2-2第一章-导数及其应用

选修2-2
第一章导数及其应用目录
§1.1.1变化率问题（新授课）
§1.1.2导数的概念（新授课）
§1.1.3导数的几何意义（新授课）
§1.2.1几个常用函数的导数（新授课）
§1.2.2第一课时：基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则（新授课）
§1.2.2第二课时：复合函数的求导法则（新授课）
§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）(新授课)
二、教学重点与难点：
重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
难点：平均变化率的概念．
三、教学过程：
（一）．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
§3.3.2函数的极值与导数（2课时）（新授课）
§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）（新授课）
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）（新授课）
§1.5.1曲边梯形的面积（新授课）
§1.5.2汽车行驶的路程（新授课）
§1.5.3定积分的概念（新授课）
§1.6微积分基本定理（新授课）
§1.7定积分的简单应用（两课时）（新授课）
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

五年级【数学】1.1.2《导数的概念》课件(人教A版选修2-2)---初版

t 0
t
lim 4.9(t)2 (9.8t0 6.5)t
t 0
t
lim (4.9t
t 0
9.8t0
6.5)
9.8t0 6.5
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 Δx) f (x0 ) f
x 0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x0 )
)
x
lim
x0
f x
.
x
一差、二化、三极限
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单
位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h,
原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是
课堂练习:
如果质点A按规律 s 2t3 则在t=3s
时的瞬时速度为
A.6
B.18
C.54 D.81
练习：
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h,
原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
f (2)和 f (6).
根据导数的定义,
f (2 x) f (2) 4x (x)2 7x x 3