第3章多元线性回归58页PPT
合集下载
第三章多元线性回归-PPT课件
ˆ b ˆ x b ˆ x ... b ˆ x yb 0 1 1 2 2 k k
四、拟合优度
与简单线性回归一样，可以定义 2 总平方和： TSS yi y i 2 ˆ RSS y y 解释（回归）平方和： i
ˆi 残差平方和： ESS yi y i 并有：TSS=RSS+ESS
2 ESS n k 1 n 1 (1 R ) 2 R 1 1 TSS n 1 n k 1
注意：R方虽然属于0～1，但调整R方的值却可能是负的。 调整R方为负表明是一个很差的拟合模型。
如：R2=0.1,n=51,k=10,验证一下调整R方=？ 其他例子见3.1和3.2
xik
i 1
y
i
多元回归的解释
ˆ b ˆ x b ˆ x ... b ˆ x , 因此 ˆb y 0 1 1 2 2 k k ˆ x b ˆ x ... b ˆ x , ˆ b y
1 1 2 2 k k
所以，如果保持 x2 ,..., xk 固定不变， ˆ x 也就是说每个 b 都具有 ˆ b 意味着y
min
i 1
ˆ b ˆ x ...b ˆ x yi b 0 1 i1 k ik
2
y
i i 1 i1
FOC：
i
ˆ b ˆ x ...b ˆ x =0 b 0 1 i1 k ik
i
x y
......
ˆ b ˆ x ...b ˆ x =0 b 0 1 i1 k ik ˆ b ˆ x ...b ˆ x =0 b 0 1 i1 k ik
第三章
计量经济学第三章-多元线性回归模型PPT课件
用矩阵表示
Y1 1 X 21 X k1 1 u1
Y2
1
X 22
Xk
2
2
u2
Yn
1 X 2n
X
kn
k
u
n
Y
X
βu
n 1
nk
第8页/共55页
k 1 n1
8 8
矩阵表示方式
总体回归函数 E(Y) = Xβ 或 Y = Xβ + u
样本回归函数 Yˆ = Xβˆ 或 Y = Xβˆ + e
第1页/共55页
1
怎样分析多种因素的影响？
分析中国汽车行业未来的趋势,应具体分析这样一些问题：
中国汽车市场发展的状况如何？（用销售量观测） 影响中国汽车销量的主要因素是什么？
（如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等）
各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负）
各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？
( j 2,3, , k)
假定5: 无多重共线性假定 (多元中增加的)
假定各解释变量之间不存在线性关系，或各个解
释变量观测值之间线性无关。或解释变量观测值
矩阵X的秩为K(注意X为n行K列)。
Ran(X)= k 即 (X'X) 可逆 假定6:正态性假定
Rak(X'X)=k
ui ~ N(0, 2)
u ~ N(0, 2I)
定值的矩阵
2、 无偏特性E(ˆK ) K
(证明见教材P101附录3.1)
3、 最小方差特性
在 K 所有的线性无偏估计中，OLS估计ˆK
具有最小方差
(证明见教材P101或附录3.2)
结论：在古典假定下，多元线性回归的 OLS估
计量经济学-3章：多元线性回归模型PPT课件
YXβ ˆe
Y ˆ Xβ ˆ
4/5/2021
.
17
2 模型的假定
(1) 零均值假设。随机误差项的条件期望为零，即 E(ui)=0 ( i=1,2,…,n)
其矩阵表达形式为:E(U)=0 (2)同方差假设。随机误差项有相同的方差，即
Var(ui)E(ui2) 2 （i=1,2,…,n）
(3)无自相关假设。随机误差项彼此之间不相关，即
（i=1,2,…,n）
上式为多元样本线性回归函数（方程）,简称样本回归函 数（方程）(SRF, Sample Regression Function).
ˆ j (j=0,1,…,k)为根据样本数据所估计得到的参数估计量。
4/5/2021
.
13
(4)多元样本线性回归模型
对应于其样本回归函数（方程）的样本回归模型:
4/5/2021
.
3
教学内容
一、模型的建立及其假定条件 二、多元线性回归模型的参数估计：OLS 三、最小二乘估计量的统计性质 四、拟合优度检验 五、显著性检验与置信区间 六、预测 七、案例分析
4/5/2021
.
4
回顾: 一元线性回归模型
总体回归函数 E (Y i|X i)01X i
总体回归模型 Y i 01Xiui
0 0
2 0 0 2
0
0
0 0 0 2
2I n
4/5/2021
.
u1un
u2un
un2
20
(4)解释变量X1,X2,…,Xk是确定性变量,不是随机 变量,与随机误差项彼此之间不相关,即
Cov(Xji,ui)0 j=1,2…k , i=1,2,….,n
第3章多元线性回归
E (β XX1Xε-β)(β XX1Xε-β)
E XX1Xεε XXX1 XX1XE(εε )XXX1
XX1XE( 2In )XXX1 2 XX1
3.3 参数估计量的性质
i 1
i 1
ˆ
2
n
1 p
1
SSE
n
1 p
(ee) 1
n
1 p
1
n i 1
ei2
是σ2的无偏估计
3.2 回归参数的估计
三 、回归参数的最大似然估计
y～N(Xβ ,σ 2In)
似然函数为
L
(2 )n
2
2
n
2
exp(
1
2
2
(y - Xβ)(y - Xβ))
βˆ (XX)-1 Xy
3.2 回归参数的估计
二、回归值与残差
称 yˆi ˆ0 ˆ1xi1 ˆ2xi2 ˆp xip 为回归值
yˆ Xβˆ X(XX)-1 Xy H X(X X)-1X
称为帽子矩阵，其主对角线元素记为hii ，则
3.2 回归参数的估计
二、回归值与残差
n
tr(H ) hii p 1 i 1
此式的证明只需根据迹的性质tr(AB)=tr(BA),因而
tr(H) tr(X(XX)-1X) tr(XX(XX)-1) tr(Ip1) p 1
3.2 回归参数的估计
二、回归值与残差
e y yˆ y Hy (I- H)y
x 2
Lxx
x 2
Lxx
2
L xx
《多元线性回归》PPT课件
ˆ 0.7226 0.0003 15674 103 .172 1 ˆ β ˆ 0 . 0003 1 . 35 E 07 39648400 0 . 7770 2
x11 x x 1n x k1 x kn
假设6：回归模型是正确设定的
§3.2
多元线性回归模型的参数估计
一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质 三、样本容量问题
参数估计的任务和方法
1、估计目标：回归系数βj、随机误差项方差б2 2、估计方法：OLS、ML或者MM * OLS：普通最小二乘估计 * ML：最大似然估计
E(X(Y Xβ )0
矩条件
*矩条件和矩估计量*
1、 E(X(Y Xβ ) 0 称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了
原总体回归方程所具有的内在特征。
2、如果随机抽出原总体的一个样本，估计出的样本回归方程：
ˆ 能够近似代表总体回归方程的话，则应成立： ˆ X Y
1 ˆ)0 X (Y Xβ n
第三章
多元线性回归模型
§ 3.1 多元线性回归模型
§ 3.2 多元线性回归模型的参数估计 § 3.3 多元线性回归模型的统计检验 § 3.4 多元线性回归模型的预测 § 3.5 可线性化的多元非线性回归模型 § 3.6 受约束回归
§3.1
多元线性回归模型
一、模型形式 二、基本假定
一、模型形式
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i ... k X ki i 0 j X ji i
#参数估计的实例
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，
第三章(1) 多元线性回归模型课件
分离差的大小
解释的那部分离差的大小。也
称剩余平方和。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-3 多元线性回归模型的统计检验 一、 拟合优度检验 检验模型对样本观测值的拟合程度。用在总离差分解 基础上确定的可决系数R2 (调整的可决系数 ) 度量。 1、总离差平方和的分解
总离差平方和TSS 回归平方和ESS
3、随机误差项在不同 样本点之间是独立的，
Cov( i,
不存在序列相关
因为 i与 j相互独立，有：
j)=0 i≠j
无自相关假定表明：产生 误差(干扰)的因素是完 全随机的，此次干扰与彼 次干扰互不相关，互相独 立。由此应变量Yi的序列 值之间也互不相关。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-1 多元线性回归模型及其基本假定
3、有效性(最小方差性)：
指在所有线性、无偏估计量中， OLS参数估计量的 方差最小。
4、 服从正态分布，即：
其中，
， G2是随机误差项的方差，
Cjj是矩阵(X’X)-1 中第j行第j列位置上的元素。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-2 多元线性回归模型的参数估计
一、 参数的最小二乘估计
二、 OLS估计量的统计性质及其分布
三、随机误差项方差Q2的估 计
参数估计的另一项任务是： 求随机误差项 i 的分布参数
称作回归标准差 (standard error of regression)， 常作为对所估计回归线的拟
合优度的简单度量。
i~N(0, Q2)
随机误差项 i 的 方差的估计量为：
可以
证明：
说明 是QS 的无偏估计量。
t-Statistic 6.411848 22.00035 4.187969
《多元线性回归》课件
案例三：销售预测
总结词
利用多元线性回归模型预测未来销售情况，为企业制定 生产和销售计划提供依据。
详细描述
选取影响销售业绩的因素，如市场需求、竞争状况、产 品定价等，建立多元线性回归模型。通过分析历史销售 数据，预测未来销售趋势。在实际应用中，需要考虑市 场变化和不确定性因素，对模型进行动态调整和优化。
市场分析
在市场营销领域，多元线性回归可用于分析消费 者行为、市场趋势等，为企业制定营销策略提供 支持。
多元线性回归的基本假设
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系，即随着自变量的增加或 减少，因变量也按一定比例变
化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性 ，即自变量之间没有高度的相 多元线性回归的 案例分析
案例一：股票价格预测
总结词
通过分析历史股票数据，利用多元线性回归 模型预测未来股票价格走势。
详细描述
选取多个影响股票价格的因素，如公司财务 指标、宏观经济指标、市场情绪等，建立多 元线性回归模型。通过训练数据拟合模型， 并使用测试数据评估模型的预测精度。在实 际应用中，需要考虑市场变化、政策影响等
特点
多元线性回归具有简单易用、可解释性强等优点，适用于探 索多个变量之间的相互关系，并能够提供可靠的预测结果。
多元线性回归的应用场景
1 2 3
经济预测
通过对多个经济指标进行多元线性回归分析，可 以预测未来的经济走势，为政策制定提供依据。
医学研究
在医学领域，多元线性回归常用于研究疾病发生 与多个风险因素之间的关系，为疾病预防和治疗 提供参考。
用于检验自变量与因变量之间是否存在线性关系。常用的方法包括散点图、趋 势线等。如果数据点在散点图上呈现一条直线，或者趋势线与水平线接近平行 ，则可以认为自变量与因变量之间存在线性关系。
计量经济学第3章-多元线性回归模型PPT课件
第2页/共63页
第三章 经典单方程计量经济学模型：多元线性回 归模型
• 多元线性回归模型 • 多元线性回归模型的参数估计 • 多元线性回归模型的统计检验 • 多元线性回归模型的预测
第3页/共63页
第一节 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定
第4页/共63页
一、多元线性回归模型
因为n < 30时构造不出用于检验的服从标准正态分布的统计量；
t 检验在 n k 8 时才比较有效，因为 n k 8 时 t 分布才比较稳定。 一般经验认为，当 n 30或者至少 n （3 k 1）时，才能满足基本要求。
第27页/共63页
第三节 多元线性回归模型的统计检验
一、拟合优度检验 二、方程的显著性检验(F检验) 三、变量的显著性检验（t检验） 四、参数的置信区间
X X1i
X
ki
X
2 ki
ki
ˆ0 ˆ1
ˆ k
1 X 11
X k1
1 X 12
X k2
1 Y1 X 1n Y2 X kn Yn
即
(XX)βˆ XY
由于X’X满秩，故有 βˆ (XX)1 XY
第19页/共63页
⃟正规方程组 的另一种写法 对于正规方程组
多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的 解释变量有多个。
一般表现形式：
Yi 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki i i=1,2…,n 其中:k为解释变量的数目，j称为回归系数
（regression coefficient）。
第5页/共63页
习惯上：把常数项（或截距项）看成为 一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始 终取1。于是： 模型中解释变量的数目为（k+1）
第三章 经典单方程计量经济学模型：多元线性回 归模型
• 多元线性回归模型 • 多元线性回归模型的参数估计 • 多元线性回归模型的统计检验 • 多元线性回归模型的预测
第3页/共63页
第一节 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定
第4页/共63页
一、多元线性回归模型
因为n < 30时构造不出用于检验的服从标准正态分布的统计量；
t 检验在 n k 8 时才比较有效，因为 n k 8 时 t 分布才比较稳定。 一般经验认为，当 n 30或者至少 n （3 k 1）时，才能满足基本要求。
第27页/共63页
第三节 多元线性回归模型的统计检验
一、拟合优度检验 二、方程的显著性检验(F检验) 三、变量的显著性检验（t检验） 四、参数的置信区间
X X1i
X
ki
X
2 ki
ki
ˆ0 ˆ1
ˆ k
1 X 11
X k1
1 X 12
X k2
1 Y1 X 1n Y2 X kn Yn
即
(XX)βˆ XY
由于X’X满秩，故有 βˆ (XX)1 XY
第19页/共63页
⃟正规方程组 的另一种写法 对于正规方程组
多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的 解释变量有多个。
一般表现形式：
Yi 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki i i=1,2…,n 其中:k为解释变量的数目，j称为回归系数
（regression coefficient）。
第5页/共63页
习惯上：把常数项（或截距项）看成为 一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始 终取1。于是： 模型中解释变量的数目为（k+1）
3第三章多元线性回归模型分析(一)-PPT精选文档87页
型相同，只是计算更为复杂。
以多元线性回归模型的一般形式——K元线性回归 模型入手进行讲解，其模型结构如下：
Y= x11 + x22 +…+ xk k + (1)
其中，Y是被解释变量（因变量、相依变量、内 生变量），x是解释变量（自变量、独立变量、外生
变量）， 是随机误差项，i, i = 1, … , k 是回归参 数。
coefficients）。
偏回归系数的含义如下：
1度量着在X2,X3,…,Xk保持不变的情况下，X1 每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化，或者说 （1给不出含X其1的他单变位量变）化影对响Y。均值的“直接”或“净”
其他参数的含义与之相同。
例： C t β 1 β 2D t β 3 L t u t
e2
... en
Y
Y
其中： Y X β
残差平方和
e1
Q
ei2 eee1 e2 ... ene.2..
(YY)(YY)en源自(YXβ)(YXβ)
(YβX)Y (Xβ)
YYβ XYYXβ β XXβ
（1）线性性。即要求模型关于参数是线性的，关于扰 动项是可加的。 （2） 满秩。说明解释变量之间是线性无关的，这一假 设很重要，在后面会经常受到。
（3）回归性。x与不相关。
（4）x的DGP是外生的。x相对于y是外生的，是非随 机的。 （5）球形扰动。同方差性和非自相关性。 （6）正态假设。
2、多元回归方程及偏回归系数的含义
yˆ1
1
x12
以多元线性回归模型的一般形式——K元线性回归 模型入手进行讲解，其模型结构如下：
Y= x11 + x22 +…+ xk k + (1)
其中，Y是被解释变量（因变量、相依变量、内 生变量），x是解释变量（自变量、独立变量、外生
变量）， 是随机误差项，i, i = 1, … , k 是回归参 数。
coefficients）。
偏回归系数的含义如下：
1度量着在X2,X3,…,Xk保持不变的情况下，X1 每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化，或者说 （1给不出含X其1的他单变位量变）化影对响Y。均值的“直接”或“净”
其他参数的含义与之相同。
例： C t β 1 β 2D t β 3 L t u t
e2
... en
Y
Y
其中： Y X β
残差平方和
e1
Q
ei2 eee1 e2 ... ene.2..
(YY)(YY)en源自(YXβ)(YXβ)
(YβX)Y (Xβ)
YYβ XYYXβ β XXβ
（1）线性性。即要求模型关于参数是线性的，关于扰 动项是可加的。 （2） 满秩。说明解释变量之间是线性无关的，这一假 设很重要，在后面会经常受到。
（3）回归性。x与不相关。
（4）x的DGP是外生的。x相对于y是外生的，是非随 机的。 （5）球形扰动。同方差性和非自相关性。 （6）正态假设。
2、多元回归方程及偏回归系数的含义
yˆ1
1
x12
多元线性回归分析PPT模板
=1−
SSE
SST
σ e2i
= 1 − σ(y −y)2
i
（6-42）
10
由判定系数的定义可知，R2的大小取决于残差平
2
方和σ e2i 在总离差平方和σ(yi − y) 中所占的比
重。在样本容量一定的条件下，总离差平方和与
自变量的个数无关，而残差平方和则会随着模型
中自变量个数的增加而不断减少，至少不会增加。
回归系数对应的自变量对因变量的影响是否显著，以
便对自变量的取舍做出正确的判断。一般来说，当发
现某个自变量的影响不显著时，应将其从模型中删除，
这样才能做到以尽可能少的自变量达到尽可能高的拟
合优度。
17
多元模型中回归系数的检验同样采用t检验，其原理和基本
步骤与一元回归模型中的t检验基本相同，此处不再赘述。
因此，R2是自变量个数的非递减函数。
11
在一元线性回归模型中，所有模型包含的变量个
数都相同，如果所使用的样本容量也一样，判定
系数便可以直接作为评价拟合优度的尺度。然而
在多元线性回归模型中，各回归模型所含的变量
的个数未必相同，以R2的大小作为衡量拟合优度
的尺度是不合适的。
12
因此，在多元回归分析中，人们更常用的评价指标是所谓
( ′ )是一个(k + 1) × (k + 1)的对称矩阵，根据标准假定1，
rank() = k + 1，k + 1个变量之间不存在高度的线性相关，
因此其逆矩阵存在。式（6-40）两边同时除以( ′ )，可以
得到回归系数最小二乘估计的一般形式：
= ( ′ )−1 ′
（6-41）
多元线性回归课件
误差项之间不存在自相关性。
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系。
无异方差性
误差项的方差在所有观测值中 保持恒定。
无异常值
数据集中没有异常值。
02
多元线性回归的参 数估计
最小二乘法
最小二乘法是一种数学优化技术，其 基本思想是寻找一个函数，使得该函 数与已知数据点的总误差（或总偏差 ）的平方和最小。
最小二乘法通过构建残差平方和பைடு நூலகம்数 学模型，并对其求最小值来估计参数 ，这种方法具有简单、直观和易于计 算的特点。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是找到最佳参数值，使得实际观测 值与通过模型预测的值之间的残差平 方和最小。
参数的估计值与估计量的性质
参数的估计值是通过最小二乘法 或其他优化算法从样本数据中得
多元线性回归课件
目录
CONTENTS
• 多元线性回归概述 • 多元线性回归的参数估计 • 多元线性回归的评估与诊断 • 多元线性回归的进阶应用 • 多元线性回归的软件实现 • 多元线性回归的案例分析
01
多元线性回归概述
定义与模型
定义
多元线性回归是一种统计学方法，用于 研究多个自变量与因变量之间的线性关 系。
决定系数（R^2）
衡量模型解释变量变异程度的指标，值越接近1表示模型拟合度越好。
调整决定系数（Adjusted R^2）
考虑了模型中自变量的增加，对R^2进行调整后的拟合度指标。
均方误差（MSE）
衡量模型预测误差大小的指标，值越小表示模型预测精度越高。
变量的显著性检验
t检验
通过t统计量检验自变量对因变量 的影响是否显著，值越大表明该 变量越重要。
用于判断自变量之间是否存在多重共线性的指标，值小于阈值时可能存在多重共线性问 题。
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系。
无异方差性
误差项的方差在所有观测值中 保持恒定。
无异常值
数据集中没有异常值。
02
多元线性回归的参 数估计
最小二乘法
最小二乘法是一种数学优化技术，其 基本思想是寻找一个函数，使得该函 数与已知数据点的总误差（或总偏差 ）的平方和最小。
最小二乘法通过构建残差平方和பைடு நூலகம்数 学模型，并对其求最小值来估计参数 ，这种方法具有简单、直观和易于计 算的特点。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是找到最佳参数值，使得实际观测 值与通过模型预测的值之间的残差平 方和最小。
参数的估计值与估计量的性质
参数的估计值是通过最小二乘法 或其他优化算法从样本数据中得
多元线性回归课件
目录
CONTENTS
• 多元线性回归概述 • 多元线性回归的参数估计 • 多元线性回归的评估与诊断 • 多元线性回归的进阶应用 • 多元线性回归的软件实现 • 多元线性回归的案例分析
01
多元线性回归概述
定义与模型
定义
多元线性回归是一种统计学方法，用于 研究多个自变量与因变量之间的线性关 系。
决定系数（R^2）
衡量模型解释变量变异程度的指标，值越接近1表示模型拟合度越好。
调整决定系数（Adjusted R^2）
考虑了模型中自变量的增加，对R^2进行调整后的拟合度指标。
均方误差（MSE）
衡量模型预测误差大小的指标，值越小表示模型预测精度越高。
变量的显著性检验
t检验
通过t统计量检验自变量对因变量 的影响是否显著，值越大表明该 变量越重要。
用于判断自变量之间是否存在多重共线性的指标，值小于阈值时可能存在多重共线性问 题。
第三章多元线性回归模型PPT课件
n个样本 (Y,观 X,X测 , ,X 值 ) i1,2, ,n
i
1i
2i
ki
得Y： bbXbX bXu
i
0
1 1i
2 2i
k ki i
Y1 b0 b1X11b2X21bkXk1u1 Y2 b0 b1X12b2X22bkXk2 u2 Yn b0 b1X1n b2X2n bkXknun
多元模型的矩阵表达式
E(NN)(X X )1 X X ( X X )1
2 ( X X )1
2.2 OLS回归线的性质
完全同一元情形：
（1）回归线过样本均值
Y 1 2 X 2i 3 X 3i ... k X ki
XX bˆ 1i ki 2
XX bˆ
2i ki
k
X2 ki
XY ki i
n
X 1i
X ki
X 1i
X2 1i
XX 1i ki
X 2i
X X 2i 1i
X X 2i ki
bˆ
X ki
XX ki 1i
0 bˆ bˆ12
Y X1iiYi
X2 ki
bˆk
XkYi i
正规方程
1
12
22
k2
X X X 1
1n
2n
kn
u 1
U
u
2
u n
二. 参数估计(OLS)
参数值估计 参数估计量的性质 偏回归系数的含义 正规方程 样本容量问题
1.参数值估计(OLS)
e n
Q
n
2
i
yi
2
yˆi
i1
i1
n
2
Yi bˆ0bˆ1 X1i bˆk Xki
第3章-多元回归模型PPT课件
t = bˆ 1j
s ( bˆ 1j )
x Var(bj ) ＝ ∑
σ²
j²（1－Rj²）
问题：如果该解释变量和其他某些解释
2021变/3/12量高度相关，会导致什么结果？
47
案例分析
棒球运动员的薪水
被解释变量：棒球运动员的薪水
解释变量：
１、加入俱乐部的年数years
２、平均每年的比赛次数gamesyr
7、如何预测被解释变量的期望值？ 8、如何预测被解释变量的值？
2021/3/12
2
3.1 三变量线性回归模型
一元回归分析的弱点
Y = b0 + b1X+ µ b1刻划了解释变量X对Y的影响 其他影响Y的因素被放入µ当中
2021/3/12
3
一元回归分析的弱点
Y = b0 + b1X+ µ
要用OLS法得到b1的无偏估计量，必要条
2021/3/12
14
Y= b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + µ
假设1、随机误差项与各解释变量X之间不相关（更 强的假设是各个解释变量X都是确定性变量，不是随 机变量，这样假设1自动满足）
2021/3/12
15
Y= b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + µ
３、平均每年击球次数bavg
aa/2
-c
0
c
临界值c
|t| > c的概率？
在实践中，一般取α＝5％，确定一个小概率事件
t~t(n-2) 给20定21/3/样12 本容量n和显著性水平α，就可以计算40c
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三产业 增加值x3
5 813.5 7 227.0 9 138.6 11 323.8 14 930.0 17 947.2 20 427.5 23 028.7 25 173.5 27 037.7 29 904.6 33 153.0 36 074.8 39 188.0 43 720.6
3.1 多元线性回归模型
是σ2的无偏估计
3.2 回归参数的估计
三 、回归参数的最大似然估计
y～N(Xβ ,σ 2In)
似然函数为
L (2) n2 2 n2ex 2 1 p 2(y ( - X) ( β y - X) β )
lL n n 2 ln 2) (n 2 ln2 ) (2 1 2(y - X) ( β y - X) β
E(β XX1Xε -β )(β XX1Xε -β )
E X X 1 X ε ε X X X 1 X X 1 X E ε ε ( ) X X X 1
X X 1 X E2 I ( n ) X X X 1 2 X X 1
三、多元线性回归方程的解释
建立GDP对x1和x2的回归，得二元回归方程
yˆ =2 914.6+0.607 x1+1.709 x2
你能够合理地 解释两个回归
系数吗 ？
3.2 回归参数的估计
一、回归参数的普通最小二乘估计
最小二乘估计要寻找 ˆ0， ˆ1， ˆ2， ， ˆp,使得
n
Q(ˆ0,ˆ1,ˆ2, ,ˆp) (yiˆ0ˆ1xi1ˆ2xi2 ˆpxip)2 i1 n 0,m 1,2, ,in p i1(yi 01xi1 2xi2 pxip)2
x21 x22 x2p
xn1 xn2 xnp n( p1)
0
β
1
p
1
ε
2
n
3.1 多元线性回归模型
二、多元线性回归模型的基本假定
1. 解释变量x1,x2,…,xp是确定性变量,不是随机变量,且要求 rk(X)=p+1＜n。表明设计矩阵X中的自变量列之间不相关,
得 D(ei)=(1-hii)σ2，i=1,2,…,n
3.2 回归参数的估计
二、回归值与残差
n
n
得 E( ei2) D (ei)(np1)2
i1
i1
ˆ2 n 1 p 1 SS n E 1 p 1 (e e ) n 1 p 1i n 1e i2
x1表示空调机的价格, x2表示消费者可用于支配的收入。
y=β0+β1x1+β2x2+ε
E(y)=β0+β1x1+β2x2
在x2保持不变时,有
E( y) x1
1
在x1保持不变时,有
E( y) x2
2
3.1 多元线性回归模型
三、多元线性回归方程的解释
考虑国内生产总值GDP和三次产业增加值的关系， GDP=x1 + x2+ x3
yn 0 1xn1 2xn2 pxnpn
3.1 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型的一般形式
写成矩阵形式为: y=Xβ +ε , 其中,
y 1
y
y2
y
n
1 1 X 1
x11 x12 x1p
等价于使(y-Xβ )′(y-Xβ )达到最小,这又完全与 OLSE一样
3.2 回归参数的估计
例3.1 国际旅游外汇收入是国民经济发展的重要组成部 分，影响一个国家或地区旅游收入的因素包括自然、文化、 社会、经济、交通等多方面的因素，本例研究第三产业对旅 游外汇收入的影响。《中国统计年鉴》把第三产业划分为12 个组成部分，分别为x1农林牧渔服务业,x2地质勘查水利管 理业,x3交通运输仓储和邮电通信业,x4批发零售贸易和餐饮 业,x5金融保险业,x6房地产业,x7社会服务业,x8卫生体育和 社会福利业，x9教育文化艺术和广播,x10科学研究和综合艺 术,x11党政机关，x12其他行业。采用2019年我国31 个省、 市、自治区的数据，以国际旅游外汇收入（百万美元）为因 变量y，以如上12 个行业为自变量做多元线性回归，数据见 表3.1，其中自变量单位为亿元人民币。
Sig. . 096 . 951 . 889 . 198 . 476 . 237 . 318 . 423 . 172 . 053 . 380 . 077 . 787
3.3 参数估计量的性质
性质1 βˆ 是随机向量y的一个线性变换。
β ˆ (XX)-1Xy
性质2 βˆ 是β的无偏估计。
E(βˆ ) E ((X X)-1 Xy) (X X)-1XE(y) (X X)-1XE( Xβε) (X X)-1X Xββ
现在做GDP对第二产业增加值x2的一元线性回归， 得回归方程
y ˆ528 .9 9 1.85 4x2 5
3.1 多元线性回归模型
年份
1990 1991 1992 1993 1994 2019 2019 2019 2019 2019 2000 2019 2019 2019 2019
GDP
18 547.9 21 617.8 26 638.1 34 634.4 46 759.4 58 478.1 67 884.6 74 462.6 78 345.2 82 067.5 89 468.1 97 314.8 105 172.3 117 390.2 136 875.9
ˆ p xip ) xi1
0
Q
2
2
ˆ2
n
2
i 1
( yi
ˆ0
ˆ1 xi1
ˆ2 xi 2
ˆ p xip ) xi2
0
Q
p
p
ˆ p
n
2
i 1
( yi
ˆ0
ˆ1 xi1
ˆ2 xi 2
3.2 回归参数的估计
Co efficients a
Uns t andardi zed Coef f icients
Model 1
(Cons t ant) x1 x2
B -205.388
-1.438 2. 622
Std. Error 117. 019 22. 913 18. 599
x3
3. 297
n
xi2
i1
x 2
Lxx
x 2
Lxx
2
L xx
3.3 参数估计量的性质
X是一满秩矩பைடு நூலகம்。
2 .随机误差项具有0均值和等方差,即
E(εi)0, 1i2, , , n
co(εvi,εj) 0 σ2 ,
ij ,
ji
(i ,j12, , ,n)
这个假定称为Gauss-Markov条件
3.1 多元线性回归模型
二、多元线性回归模型的基本假定
ˆ p xip ) xip
0
3.2 回归参数的估计
一、回归参数的普通最小二乘估计
经整理后得用矩阵形式表示的正规方程组
X(yXβ ˆ)0 移项得 XXβ ˆ Xy
当XX1 存在时，即得回归参数的最小二乘估计为：
β ˆ (XX)-1Xy
3.2 回归参数的估计
第一产业 增加值x1
5 017.0 5 288.6 5 800.0 6 882.1 9 457.2 11 993.0 13 844.2 14 211.2 14 552.4 14 472.0 14 628.2 15 411.8 16 117.3 16 928.1 20 768.1
第二产业 增加值x2
7 717.4 9 102.2 11 699.5 16 428.5 22 372.2 28 537.9 33 612.9 37 222.7 38 619.3 40 557.8 44 935.3 48 750.0 52 980.2 61 274.1 72 387.2
二、回归值与残差
称 y ˆi ˆ0 ˆ 1 x i1 ˆ2 x i2 ˆp x ip为回归值
yˆXβ ˆX(XX)-1Xy
HX(XX)-1X
称为帽子矩阵，其主对角线元素记为hii ，则
3.2 回归参数的估计
二、回归值与残差
n
tr(H) hii p1 i1
3.3 参数估计量的性质
性质 3 D（βˆ )=σ 2(X′X)-1
D(β ˆ)coβ vˆ,β (ˆ)
E(β ˆ(Eβ ˆ)β (ˆEβ ˆ))E(β ˆ(β )β (ˆβ ))
EXX1XyβXX1Xyβ
EXX1X(Xβ ε )β XX1X(Xβ ε )β
2. 468
x4
-.946
1. 298
x5
-5.521
4. 514
x6
4. 068
3. 960
x7
4. 162
5. 079
x8
-15.404
10. 835
x9
17. 338
8. 374
x10
9. 155
10. 168
x11
-10.536
5. 622
x12
1. 370
5. 006
a. Dependent Variable: y