2019届辽宁省丹东市高三10月底测试数学(文)试题(解析版)

2019届辽宁省丹东市高三10月底测试数学（文）试题一、单选题1．已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，则∁RA＝A．{x|x＞－1}∩{x|x＜2} B．{x|x≥－1}∩{x|x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}【答案】D【解析】由一元二次不等式的解法化简集合，根据集合补集的定义可得结果.【详解】由一元二次不等式的解法可得集合，由补集的定义可得或，，故选D.【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2．若复数z满足(1＋i) z＝1－7i，则| z |＝A．B．4 C．5 D．25【答案】C【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得结论.【详解】由，得，则，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．已知∀x∈[0，2]，p＞x；∃x0∈[0，2]，q＞x0．那么p，q的取值范围分别为A．p∈(0，＋∞)，q∈(0，＋∞) B．p∈(0，＋∞)，q∈(2，＋∞)C．p∈(2，＋∞)，q∈(0，＋∞) D．p∈(2，＋∞)，q∈(2，＋∞)【答案】C【解析】根据全称命题的定义可得，由特称命题的定义可得，从而可得结果.【详解】由,可得；由，可得，所以，的取值范围分别为，故选C.【点睛】本题主要考查特称命题的定义与全称命题的定义的理解与应用，意在考查对基本定义的掌握情况，属于基础题.4．在△ABC中，A＝45º，AC＝，BC＝，则tanB＝A．±B．C．±D．【答案】A【解析】直接利用正弦定理求解即可.【详解】因为，由正弦定理可得，或，故选A.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.5．设平面向量不共线，若＝＋5，＝－2＋8，＝3()，则A．三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线【答案】A【解析】利用平面向量的线性运算求得,由共线定理证明三点共线.【详解】因为，，，，与共线，即三点共线，故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及共线的性质，属于中档题.向量的运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.6．设α，β是空间的两个平面，m，n，l是空间的三条直线，如果α⊥β，α∩β＝l，m∥α，n⊥β，那么A．m∥n B．m⊥n C．m∥l D．n⊥l【答案】D【解析】题目考查空间两条直线的位置关系，根据题意，画图图像可判断出正确的选项.【详解】根据题意画出图像如下图所示，由图可知，选项正确.（排除B，C选项）（排除A选项）【点睛】本小题主要考查空间点线面的位置关系，可根据题意已知条件将题目所给的线面关系，用图像画出来，并移动图像，由此可以举出反例，对选项进行排除，从而得出正确的选项.7．设函数f (x)＝2sin(2x＋)的最小正周期为T，将f (x)的图象向右平移个单位后，所得图象A．关于点(，0)对称B．关于点(，0)对称C．关于点(，0)对称D．关于点(－，0)对称【答案】A【解析】由周期公式求出周期，利用三角函数的平移变换求得，由可得，从而可得结果.【详解】的最小正周期为，向右平移个单位，可得，由可得，所以关于对称，故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标. 8．已知表面积为12π的圆柱的上下底面的中心分别为O1，O2，若过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是正方形，则O1O2＝A．B．C．D．【答案】B【解析】由于圆柱的轴截面是正方形，可利用这个条件设出底面半径和母线长，利用表面积列方程可求得母线长.【详解】由于圆柱的轴截面是正方形，设底面半径为，则母线长为，所以圆柱的表面积为，解得，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查圆柱的表面积公式.题目给定圆柱的表面积，又给出母线长和底面直径相等，由此可以设出底面半径，母线长用半径来表示，根据表面积列出方程，解方程可求得最后的结果.9．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边过点P(－2，－1)，则cos(2α＋π)＝A．－B．－C．D．【答案】B【解析】根据角的终边经过点的坐标，求得的值，利用诱导公式和二倍角公式可求得运算结果.【详解】由于角的终边经过点，故，故.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查三角函数诱导公式和二倍角公式.三角函数的定义是.诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”.余弦的二倍角公式有三个，在解题时要选择合适的公式来解决，可以减少走弯路.10．如图，阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S＝S(a)(a≥0)是图中阴影部分介于平行线y＝0，及y＝a之间的那一部分的面积，则函数S(a)的图象大致为A．B．C．D．【答案】A【解析】先观察原图形面积増长的速度，然后根据増长的速度在图形上反映出切线的斜率进行判定即可.【详解】根据图象可知在上面积增长的速度变慢，在图形上反映出切线的斜率在变小，可排除；在上面积增长速度恒定，在上面积增长速度恒定，而在上面积增长速度大于在上面积增长速度，可排除,故选A.【点睛】本题主要考査了函数的图象意义与实际应用，同时考査了识图能力以及分析问题和解决问题的能力，属于基础题.11．设函数f (x)＝x(2x－)，则f (x)A．为奇函数，在R上是减函数B．为奇函数，在R上是增函数C．为偶函数，在(－∞，0)上是减函数D．为偶函数，在(－∞，0)上是增函数【答案】C【解析】先判断是偶函数，排除，再由可排除，从而可得结果.【详解】，是偶函数，排除，由可排除，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数） .12．已知在函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)( A＞0，ω＞0)的图象上，距离y轴最近的极大值点为x＝－，距离坐标原点最近的一个零点为x＝，则f (x)的单调递增区间为A．(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z B．(2k－，2k＋)，k∈ZC．(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z D．(2k＋，2k＋)，k∈Z【答案】D【解析】利用距离轴最近的极大值点为，距离坐标原点最近的一个零点为可得函数的周期，可得，利用可得，由可得结果.【详解】距离轴最近的极大值点为，距离坐标原点最近的一个零点为，，，由，可得，求得，由，，的单调增区间为等价于，故选D.【点睛】函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.二、填空题13．（2018年全国卷Ⅲ文）某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．【答案】分层抽样.【解析】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样故答案为：分层抽样。

点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题。

14．设平面向量=(1，0)，=(1，1)，若与垂直，则实数λ=______．【答案】【解析】由向量，，利用向量垂直的充要条件列出方程，求出的值.【详解】向量，，由向量与垂直可得，，解得，故答案为-1.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.15．已知θ是第四象限角，且t an(θ－)＝－，则sin(θ＋)＝______．【答案】【解析】根据两角差的正切公式，将已知条件化简，可求得的值，结合结合所在的象限，可求得的值，最后利用两角和的正弦公式来求式子的结果.【详解】依题意有，解得，由于为第四象限角，故，所以.【点睛】本小题主要考查两角差的正切公式，考查两角和的正弦公式，考查已知正切值求正弦值和余弦值的方法，属于中档题.16．已知函数f (x)＝ln(x3－3x)的单调递减区间为______．【答案】【解析】由于函数中含有对数，故先求出定义域，然后对进行求导，在定义域范围内得出其单调区间，再根据复合函数单调性“同增异减”可求得最后的单调性.【详解】由，解得.而，故在上单调递减.由于是定义域上的增函数，故函数在上递减.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查利用导数来求解函数单调区间的问题.注意到函数的解析式中含有对数函数，所以首先的第一步就是求得函数的定义域，要在定义域的范围内研究函数的单调性.在求导得到内部函数的单调性后，利用复合函数同增异减可求得函数的单调区间.三、解答题17．如图，在△ABC中，∠ACB＝，BC＝2，P是△ABC内的一点，△BPC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△APC的面积为．（1）求PA长；（2）求cos∠APB的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用等腰直角三角形的性质，求得的值，利用面积公式求得的长，再由余弦定理求得的长；（2）在三角形中，用正弦定理求得的值，再利用诱导公式求得的值.【详解】（1）由题设∠PCA＝，PC＝，AC·PC·sin＝，得AC＝3．（或由题设AC·BC＝，得AC＝3．）在△PAC中，由余弦定理得PA＝＝．（2）在△APC中，由正弦定理得，得sin∠APC＝．于是cos∠APB＝cos(－∠APC)＝－sin∠APC＝．【点睛】本小题主要考查解三角形，考查正弦定理和余弦定理的应用.题目的突破口在于三角形为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出角度和边长，再结合正弦定理和余弦定理适用的条件，即可求得题目所求.属于中档题.18．销售某种活虾，根据以往的销售情况，按日需量x（公斤）属于[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500] 进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．这种活虾经销商进价成本为每公斤15元，当天进货当天以每公斤20元进行销售，当天未售出的须全部以每公斤10元卖给冷冻库．某水产品经销商某天购进了300公斤这种活虾，设当天利润为Y元．（1）求Y关于x的函数关系式；（2）结合直方图估计利润Y不小于300元的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据购进量进行分段，当需求量超过时，利润为，当需求量不超过时，用销售量成本及亏损即可得到利润值的表达式.（2）由（1）可求得时，，然后通过频率分布直方图计算的的频率，以此作为概率.【详解】（1）当日需求量不低于300公斤时，利润Y＝(20－15)×300＝1500元；当日需求量不足300公斤时，利润Y＝(20－15)x－(300－x)×5＝10x－1500（元）；故Y＝．（2）由Y≥300得，180≤x≤500，所以P(Y≥300)＝P(180≤x≤200)＋P(200≤x≤500)＝(0.0020×＋0.0030＋0.0025＋0.0015) ×100＝0.74．【点睛】本小题主要考查频率分布直方图计算频率，考查实际生活计算利润的问题.实际生活中利润的计算，需要用分段函数来表示，并且利润等于销售额减除成本和损耗.频率分布直方图小长方形的面积即为频率.在计算过程中要注意用组距乘以小长方形的高. 19．如图，已知圆锥的顶点为P，母线长为4，底面圆心为O，半径为2．（1）求这个圆锥的体积；（2）设OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，求异面直线PM与OB所成角的正切值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用勾股定理求得圆锥的高，然后利用体积公式计算出体积.（2）通过平行，作出直线与直线做成的角，解三角形求得两条直线所成角的正切值.【详解】（1）在Rt△POB中，PB＝4，OB＝2，所以PO＝2．所以求圆锥的体积V＝×π×22×2＝．（2）取OA中点N，连结MN，PN，因为M为线段AB的中点，所以MN∥OB，于是∠PMN 是异面直线PM与OB的所成角．因为ON＝OA＝1，PN＝＝，MN＝OB＝1，在Rt△PMN中，tan∠PMN＝＝，即异面直线PM与OB所成角的正切值为．【点睛】本小题主要考查圆锥的体积公式，考查两条直线所成角的求解方法.知道圆锥母线长和底面半径，可通过勾股定理求得圆锥的高，并通过圆锥的体积公式计算出圆锥的体积.通过中位线，可将两条直线平移到一起，然后通过解三角形求得线线角的正切值.20．（1）已知a，b，N都是正数，a≠1，b≠1，证明对数换底公式：logaN＝；（2）写出对数换底公式的一个性质（不用证明），并举例应用这个性质．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）设且，化为指数式，两边取对数可得，化简代入即可得出结果；（2）或.【详解】（1）设log a N＝x，则N＝a x．两边同时取b为底对数，得log b N＝log b a x．由对数运算性质，得log b N＝xlog b a．因为a≠1，所以log b a≠0，所以x＝，于是log a N＝．或者：因为a logaN＝N，两边同时取b为底对数，得log b a logaN＝log b N．由对数运算性质，得log a Nlog b a＝log b N．因为a≠1，所以log b a≠0，所以log a N＝．（2）对数换底公式性质（i）：log a Nlog b a＝log b N．例如log23log38＝log28＝3．对数换底公式性质（ii）：log a blog b a＝1．例如＋＝log102＋log105＝log1010＝1．对数换底公式性质（iii）：log N n＝log a N．例如log2781＝log34＝log33＝．【点睛】本题主要考查对数的基本运算与基本性质，以及换底公式的应用，意在考查对基础知识的掌握的熟练程度，属于中档题.21．（1）讨论函数f (x)＝x＋－2的单调性；（2）证明：函数g (x)＝－lnx有极小值点x0，且g (x0)∈(0，)．【答案】（1）在(－∞，－) ，(，＋∞)单调递增，在(－，0) ，(0，) 单调递减．（2）见解析.【解析】（1）对函数求导，对分成和两类，讨论函数的单调区间.（2）对函数求导，注意到其导函数是递增函数，用二分法判断出导函数有唯一零点，设这个零点为，即，由此得到，化简，由（1）可求得的取值范围.【详解】（1）f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝．若a≤0，则f′(x)＞0，f (x)在(－∞，0) ，(0，＋∞)单调递增．若a＞0，当x＜－或x＞－时，f′(x)＞0；当－＜x＜0或0＜x＜时，f′(x)＜0．所以f (x)在(－∞，－) ，(，＋∞)单调递增，在(－，0) ，(0，) 单调递减．（2）g (x)定义域(0，＋∞)，g′ (x)＝－在 (0，＋∞)单调递增．由g′ (1)＝－1＜0，g′ (2)＝＞0，故g′ (x)在(0，＋∞)存在唯一零点x0，且x0∈(1，2)．当x∈(1，x0)时，g′ (x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，g′ (x)＞0．所以g (x)≥g (x0)．又由g′ (x0)＝0，可得＝，所以lnx0＝2－x0．可得g (x0)＝x0＋－2，由（1）知g (x0)＝x0＋－2在(1，2)单调递增，所以g (x0)∈(0，)．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的值域.第一问讨论函数的单调性，其基本步骤是，首先对函数求其定义域，要在定义域的范围内研究函数的单调性，其次是对函数求导，根据导函数的特点，对参数进行分类讨论，由此得到函数的单调区间.22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．【答案】（1）（为参数，）；（2）【解析】试题分析：(1)由题意可得普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．化为参数方程即（为参数，）；(2)设D(1＋cos t，sin t)．设圆心为G，结合(1)的结论可得GD与l的斜率相同，则，代入参数方程可得D的坐标为D.试题解析：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.故D的直角坐标为，即.23．（1）已知a∈R，b∈R，证明：；（2）若x＞0，y＞0，xy＝4，求(log2x)2＋(log2y)2的最小值．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】（1），从而可得到结论；(2)先用对数的运算性质化简可得，利用（1）结论，结合基本不等式求得最值.【详解】（1）－()2＝＝()2≥0，当且仅当a＝b时取等号，所以≥()2．（2）因为xy＝4，所以log2x＋log2y＝log2xy＝2．由（1）知≥()2＝1，，所以(log2x)2＋(log2y)2≥2．当且仅当log2x＝log2y，即x＝y＝2时取等号，所以(log2x)2＋(log2y)2的最小值为2．【点睛】本题主要考查对数的运算以及作差法证明不等式，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.。