2000级第一学期《高等数学》期末试题

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高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

高数期末考试题

往届高等数学期终考题汇编2021-01-12一．解答以下各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim10xx e x ++→.⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d .3.设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3232tt y tt x ，求22d d xy .4.判定级数()()0!12≥-∑∞=λλλn nn n n e 的敛散性.7.⎰-π03d sin sin x x x .⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<=πππx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间.0d )4(d 2=-+y x x x y 的解.1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点()()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴与曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 与曲线()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值.四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体与空气温度之差成正比,空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间五.(8分)(学习工科数学分析的做〔1〕，其余的做〔2〕)〔1〕证明级数∑∞=-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛.〔2〕求幂级数()∑∞=-----122121212)1(n n n n x n 的收敛域与与函数.六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()⎰''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b af a b b a f a b dx x f ξ324122021．1．15一．解答以下各题(6*10分): 1.计算极限 ()xx x e x x 30sin 22lim++-→.2.设,5arctan log 22π+-=x x e y x 求y d .3.设,20;cos sin ,cos ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎩⎨⎧-==πt t t t y t x 求322d d π=t x y .4.判定级数∑∞=123n n nn 的敛散性.8.求函数()⎩⎨⎧<<≤≤=21,210,1x x x f 在[]2,0上展成以4为周期的正弦级数.()()0d d 132=++++y y y x x y 的通解.72+=x y 与532+=x y 所围成的图形绕ox 轴旋转一周而成的旋转体的体积.二.(9分)证明:当0≥x 时,有三.(9分) 设抛物线()02<+=a bx ax y 通过点()3,1M ,为了使此抛物线与直线x y 2=所围成的平面图形的面积最小,试确定a 与b 的值.四.(8分)设一车间空间容积为10000立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳(以容积计算),现将含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间,同时按1000立方米的流量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？五．〔8分〕求幂级数nn nx n n ∑∞=+0!21的收敛域与其与函数. 六.(6分)设函数()x f 在0=x 的邻域内有连续的一阶导数,且()a xx f x =→0lim()0>a ,证明:()⎪⎭⎫⎝⎛-∑∞=-n f n n 1111条件收敛.2007年1月一. 计算以下各题(6*10分):1．计算极限()xx x e x x arctan 11ln lim 0---+→.2. 设21arcsin x y -=, 求y d .3. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⎰-.01sin .d 02y t e u e x y t u 求0d d =x x y . 4. 判定级数∑∞=+134n nn的敛散性. 5. 计算反常积分()⎰∞+11d xx x.6设()21ln x x ++为()x f 的原函数, 求()⎰'x x f x d .7. 将()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤=.2 ,0;20 ,1πππx x x f 展开成以π2为周期的傅立叶正弦级数, 并求此级数分别在π23=x 与π25=x 两点的收敛值.8. 将函数()x x f ln =展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.9求微分方程()()27121+=-'+x y y x 的通解.10. 求抛物线25y x =与21y x +=所围图形的面积.二. (9分) 假设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰.0,;0 ,d 1cos 2x a x xte xf x t 在0=x 点可导. 求a 与()0f '.三. (9分) 在曲线()0≥=-x e y x 上求一点()0,0x e x -,使得过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大, 并求出此最大面积. 四(8分)半径为R 的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度H 为多少五.(8分)求幂级数()∑∞=+11n nx n n 的与函数并求出级数()∑∞=+1211n nn n 的与.六. (6分) 函数()x f 在[)+∞,0上可导, 且()10=f 并满足等式()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f , 求()x f '并证明()().0 1≥≤≤-x x f e x 2006年1月一. 计算以下各题(6*10分):1. 30sin tan lim xxx x -→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2tan 21arctan x y , 求y d .()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=-0,10,2x x x e x f x , 求()x x f d 121⎰--. 4. 判定级数212121n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=的敛散性.5. 设()x y y =由方程()y x y +=tan 所确定,求y '.7. 将()x x f +=2, []ππ,-∈x 展成以π2为周期的傅立叶级数. 8. 将函数()2312++=x x x f 展成()4+x 的幂级数, 并指出收敛区间.9. 求微分方程x e x y y x 43=-'的通解.10. 设曲线2ax y =()0,0≥>x a 与21x y -=交于点A, 过坐标原点O 与点A 的直线与曲线2ax y =围成一个平面图形. 问: 当a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所产生的旋转体体积最大二. (8分) 证明不等式: 当0>x 时, ααα-≤-1x x , ()10<<α.三. (9分). 设()⎰-=221d x t t ex f , 求()⎰1d x x xf .四. (9分). 一物体在某一介质中按3ct x =作直线运动,介质的阻力与物体速度的平方成正比, 计算物体由0=x 移动到a x =时克制阻力所作的功.五. (9分) 求级数()∑∞=+0311n nn 的与.六. (5分). 设()0>''x f , []b a x ,∈, 证明:2005年1月15日一. 解答以下各题〔6×10分〕1．计算极限()xx x x x e x x sin 1sin lim 0-+-→ 2．设()1ln 211222++++=x x x x y ，求y d .3．设()⎩⎨⎧>+≤=02 , ,x x b ax x x x x f 在0x 处可导,求常数a 与b .4．判定级数()∑∞=--1131n nn n 的敛散性. 假设收敛,是条件收敛还是绝对收敛5．设()x y y =由方程ye y x y ++-=)ln(1所确定,求y '.6．设()x f 连续,且满足()x t t f x =⎰-13d .求()?26=f .7．求()1123223+--=x x x x f 的极值. 8．计算不定积分⎰-xxx 2ln 4d .9．计算定积分x x d arctan1⎰.10．求由曲线12+=x y , 直线,0=y 0=x , 1=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所产生的旋转体的体积.二. (8分). 试证明不等式⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时, 3tan 3x x x +>.三. (9分) 将函数()3212-+=x x x f 展成3-x 的幂级数,并指出收敛区间.四. (9分) ()x f 在12=x 的邻域内可导, 且()0lim 12=→x f x ,()22005lim 12='→x f x . 求极限()()312121212d d lim x t u u f t xt x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰→→. 五.(8分) 求幂级数nn x n n ∑∞=+0!1的收敛域与与函数. 六. (6分) 设()x f 在[]1,0上连续, 在()1,0内可导, 且()10≤'<x f , ()00=f .证明 ()()x x f dx x f d 103210⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 2004年1月一、解以下各题1、10lim ,(0,0)2xxxx a b a b →⎛⎫+>>⎪⎝⎭其中2、设22(sin )x x y x e x -=+,求y '3、求不定积分arctan x xdx ⎰4、求不定积分21(1)dx x x +⎰5、求定积分4⎰6、求由曲线1|ln |,,y x x x e e===与x 轴围成的图形的面积。

高等数学(工科专科)考试试题

2000年上半年高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学专业：工科、专科（专科）本试题分两部分，第一部分为选择题，第1页至第4页，第二部分为非选择题，第5页至第8页，共8页；选择题40分，非选择题60分，满分100分。

考试时间150分钟。

第一部分选择题一、单项选择题（本大题共30小题，1—20每小题1分，21—30每小题2分，40分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

（一）（每小题1分，共20分）1.已知,112⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x f 则=)(x fA.2111⎪⎭⎫ ⎝⎛+x xB. 211⎪⎭⎫ ⎝⎛+x xC. 211⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x xD. 21⎪⎭⎫⎝⎛+x x x【】2.设)],[arcsin(212x y = 则=dy A.41x xdx + B. 41x xdx - C. 41x xdx + D. 41xxdx- 3.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,2sin )(x k x x x x f 在0=x 连续，则常数=kA.0B.1C.2D. 【】4.在区间(—∞，+ ∞ )内，函数f (x)=xcosx 是A.周期函数B.有界函数C.奇函数D.偶函数【】5.xx x 1sinlim ∞→ A.等于0 B.等于1C.为∞D.不存在但不为∞ 【】6.=++++∞→）2)(1(132lim 2n n n n n A.1 B.2 C.3 D.0 【】 7.曲线x e y =上点(0, 1)处的切线方程为A. 1+=x yB. 1-=x yC. x y =D.x y -= 【】 8.设,)(2x e x f +=则=)(x fA.x2 B. xe 222+C.x1 D.x21 【】9.已知C x arctgdx x f +=⎰1)(，则=)(x f A.)1(212x + B. 211x + C. 211x +- D. x21 【】 10.=⎰xdx 4sec 2A.C x tg +441B. C tgx +41C. C x tg +44D. C tgx +4 【】11.⎰=xdt t dx d 02sin A.3sin 2x xB.x 2sin C.2sin xD.x sin 【】12.⎰-=11||dx xA.0B.1C.2D.3 【】 13.广义积分⎰1px dx当 A .p ≤1 时收敛， P ＞1时发散 B.P ＞1 时收敛， P ≤1时发散 C.P ≥1 时收敛, P ＜1 时发散D.P ＞1 时收敛, P ≤1时发散【】 14.方程12222=-+z y x 表示的图形是A ．椭圆抛物面 B.双叶双曲面 C.椭球面 D.单叶双曲面【】15.函数xy y x f =),(在整个xoy 平面上A.只有一个极大值B. 既无极大值也无极小值C.只有一个极不值D.既有极大值也有极小值【】 16.设D 域为-R ≤X ≤R , 0≤y ≤,22x R - 则⎰⎰=Dd σ2=A.2RπB. 22RπC. R πD.R π2 【】17.设11y x 是方程0)(')("=++y x Q y x P y 的两个不同的解，则2211y C y C y +=A ．一定是方程的通解B ．一定不是方程的通解C ．可能是方程的通解D ．一定不是方程的通解【】 18．下列微分方程中为齐次方程的是A ．0)1("'=++y e y xB ．0)1(=++dy x xdxC ．222xy xy dx dy -=. D ．422'x y xy =- 【】 19．0lim =∞→n n a 是常数项级数∑∞=1n na收敛的A.必要非充分的条件 B ．充分非必要的条件C ．必要且充分的条件D ．既非充分又非必要的条件【】 20．设幂级数∑∞=1n nnx a的收敛半径∑∞=>11,0n nn x b R ,则∑∞=+1(n n n n x b a ）的收敛半径为A.21R R +B. 12R R +C. 2RD. 1R 【】 (二)每小题2分，共20分21.设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<≤-=,0 ,cos ,0,0,0,cos )(ππx x x x x x f 则)(x f 在定义区间上为 A.奇函数但非周期函数 B.奇函数且为周期函数C.偶函数但非周期函数D.偶函数且为周期函数【】 22.若,10)(=x f 则=)]('[x f fA. 0B.1C.10D.10123.设f （x ）=cos2x ,则f”（x ）=A.x 2sin 8B. x 2sin 8-C. x 2cos 8D. x 2cos 8- 【】 24.当X →0时，下列无穷小量中与x sin 等价的是A. x tg 2B. )1ln(x + C. x 2sin D. 2x 【】 25. 设xe-是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )(A. C x e x+--)1( B.C x e x++--)1(C. C x e x+--)1( D. C x e x++-)1( 【】26.),(y x f 在),(00y x 的偏导数),(00y x f z 和 ),(00y x f y 存在是),(y x f 在D 连续⎰⎰=Dd y x f σ),(A.必要非充分的条件B.充分非必要的条件C.充分且必要的条件D.既非充分又非必要的条件【】 27.|x|<1时，幂级数∑∞=1n nx和函数为A.x -11 B. x +11 C. x x -1 D. xx +1 【】 28. 设D 为由x 轴，y 轴及直线1=+y x 所围成的闭区域，),(y x f 在D 上连续,则⎰⎰=Dd y x f σ),(A.dy y x f dx y),(010⎰⎰B.dx y x f dy x),(1010⎰⎰-C.dy y x f dx x),(1010⎰⎰- D.dx y x f dy y ),(110⎰⎰- 【】29. 微分方程06'5"=++y y y 的通解y =A ．x xe C eC 3221+ B ．x x e C e C 3221+- C ．x x e C e C 3221--+D ．x x e C e C 3221-+ 【】30.设+∞<≤=∞→l l a n n n 0(||lim 2则级数∑∞=1n naA ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．收敛性无法确定【】第二部分非选择题二、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 31.求).1sin 1(lim 0xx ctgx x -→ 32.计算⎰-.92dx xx 33.求由参数方程⎰-1.)1ln(dx x 所确定的函数的二阶导数34.设⎩⎨⎧-=+=,)1ln(2arctgt t y t x 求22,dxy d dx dy .35.计算⎰⎰-+Ddxdy y x ,|43|22其中D 为92≤+y x . 36.求微分方程x y y =+"的通解。

高等数学期末考试试题及答案(大一考试)

;（2010至2011学年第一学期）课程名称：高等数学(上)(A 卷)考试(考查)：考试 2008年 1 月 10日共 6 页注意事项：1、满分100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

/试题-一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( $3.下列广义积分中 ( )是收敛的.(A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C)dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。

4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。

5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )](A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x~二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→xx x 11lim20_____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。

2000-2001学年第一学期工科数学分析Ⅰ期末考试试卷(B.

冯国臣大学数学资料——微积分 2000-2001 学年第一学期工科数学分析Ⅰ期末考试试卷答案(B 卷一.填空题(本题满分 15 分,共有 5 道小题,每道小题 3 分 ,请将合适的答案填在空中. 1 . 设曲线 f ( x = x 在点 (1, 1 处的切线与 x 轴交于点 (bn, 0 , 则n lim bn = ________________. n→∞ 则 2. 设函数 y = y ( x 由方程 x = y x 所确定, x 1 y 1 3.函数 f ( x = xe 的极小值为________________. 4.设 dy =___________________. dx d dx ∫ f (t dt = x 2 x (x ≥ 0 ,则f ′(x =_______________________. 5. ∫ 0 b x dx = __________________________. 答案: ⒈ 1 ;⒉ 2 1 + ln x ; ⒊ 1 + ln y e 1 ; ⒋ 4x ; ⒌ 1 bb . 2 二.选择填空题(本题满分 15 分,共有5 道小题,每道小题 3 分 .以下每道题有四个答案,其中只有一个答案是正确的,请选出合适的答案填在空中,多选无效. 1.设函数 g ( x 在点 x = a 处连续,则 f ( x = x a g ( x 在 x = a 点处 _____________. (A .连续,但不可导; (B .可导,但导函数未必连续; (C .可导,且导函数连续; (D .存在二阶导数. 2 2 ( (其中 C1 与 C 2 特解, 则由______________可知 C1 y1 ( x + C2 y 2 ( x 是该方程的通解为任意常数. ′ ′ (A y1 ( x y 2 ( x + y2 ( x y1 ( x = 0 ; . 2. f ( x = xe sin x 在区间( ∞, + ∞ 上是______________ . (A .有界的奇函数; (B .有界的偶函数; (C .无界的奇函数; (D .无界的偶函数. 3. y1 ( x 与 y 2 ( x 为二阶常系数线性齐次微分方程y′′ + py′ + qy = 0 的两个设x2 2 ( ′ ′ (B y1 ( x y 2 ( x + y2 ( x y1 ( x ≠ 0 ; . ′ ′ (C y1 ( x y2 ( x y 2 ( x y1 ( x = 0 ; . ′ ′ (D y1 ( x y2 ( x y 2 ( x y1 ( x ≠ 0 . . 第 1 页共 7 页冯国臣大学数学资料——微积分 4.若函数F ( x = ∫ (2t x f (t dt ,其中函数 f (x 可导,且f ′(x > 0 在区间 0 x ( 1, 1 上成立,则___________ . (A .函数 F ( x 必在 x = 0 点处取得极大值; (B .函数 F ( x 必在 x = 0 点处取得极小值; (C .函数 F ( x 必在 x = 0 点处没有极值,但点 (0, F (0 是曲线 y = F ( x 的拐点; ( D 函数 F ( x 必在 x = 0 点处没有极值 , 点 (0, F (0 也不是曲线 . y = F (x 的拐点. a 5.设I1 = ∫ x f (x dx , I 3 2 0 2 = ∫ xf ( x dx ,则下面结论正确的是________. 0 a2 (A 2 I1 = I 2 ; (B I1 < I 2 ; (C I1 > I2 ; . . . 答案: ; ; ; ; ⒈ ( B ⒉ ( A ⒊ ( D ⒋ (C ⒌三. (本题满分 7 分计算不定积分 cos x dx . 解: 令: u = (D I1 = I 2 . . ( A . ∫ = 2u sin u 2∫ sin udu = 2u sin u + 2 cos u + C = 2 x sin x + 2 cos x + C 四. (本题满分 7 分 1+sin t 1 x = cos(2v 1 + e u du , 其中 t = t (x 由参数方程∫ t = sin v 0 π dy . 0 < v < 所确定,试求2 dx ∫ cos x dx = 2∫ u cos udu = 2∫ ud(sin u x ,则 x = u 2 , dx = 2udu 设 y= 解: dy 1 = 1 + exp cos t dt 1 + sin t dt t ′(v cos v 1 1 1 = = = = dx x′(v 2 sin 2v 4 sin v 4t 第 2 页共 7 页冯国臣大学数学资料——微积分所以, dy dy dt 1 1 = = 1 + exp cos t dx dt dx 4t 1 + sin t dy dy dt cos t 1 = = 1 + exp 1 + sin t dx dt dx 4t 五. (本题满分 7 分设函数 f (x在点 x = 0 处的某邻域内有二阶导数,且lim x →0 试求f (0 , f ′(0 及f ′′(0 的值. 解: sin x + xf ( x = 0, x3 sin x + xf ( x x →0 x3 x3 f ′′(0 2 x + o x 3 + x f (0 + f ′(0x + x + o x3 3!2 =0 lim3 x →0 x lim ( ( 由此得1 + f (0 = 0 f ′(0 = 0 1 1 2 f ′′(0 6 = 0 1 . 解得 f (0 = 1 ,f ′(0 = 0 , f ′′(0 = 3 六. (本题满分 8 分求微分方程 dx ( x cos y + sin 2 y dy = 0 过点 ( 2,0 的特解. 解: 将 x 看作是 y 的函数: x = x ( y ,则有方程 dx = x cos y = sin 2 y dy 这是一阶线性微分方程,其解为x = e∫ cos ydy = esin y ( sin 2 y e ∫ cos ydy dy + C ∫ sin y 2∫ sin y cos y e dy + C 第 3 页共 7 页冯国臣大学数学资料——微积分 = Ce sin y 2 sin y 2 代入初始条件 x(0 = 2 ,得 C = 0 , 因此,所求特解为 x = 2 sin y 2 . 七. (本题满分 8 分设y ′ = arctan ( x 1 , y (0 = 0 ,求 I = 2 ∫ y(x dx . 0 1 解: I = ∫ y ( x dx = ∫ y ( x d ( x 1 0 0 1 1 = y ( x ( x 1 0 ∫ ( x 1 y′( x dx 1 0 1 = ∫ (x 1 arctan( x 1 dx 2 0 1 = 1 2 2 arctan( x 1 d ( x 1 2∫ 0 1 1 1 = ∫ arctan tdt 20 = 1 1 t t arctan t ∫ dt 2 2 0 1+ t2 0 1 1 1 = ln 1 + t 2 8 4 π 1 =ln 2 8 4 π ( 1 0 八. (本题满分 8 分已知 y1 = xe x + e 2 x , y2 = xe x + e x , y3 = xe x + e 2 x e x 都是某二阶线性非齐次微分方程的解,试求此微分方程. 解: 设所求微分方程为y ′′ + P ( x y ′ + P2 ( x y = Q( x , 1 由线性微分方程解的性质,有第 4 页共 7 页冯国臣大学数学资料——微积分 y1 y3 = e x , 及 ( y1 y2 + ( y1 y3 = e 2 x 都是对应齐次微分方程的解. 将y=e x y′′ + P ( x y′ + P2 ( x y = 0 1 2x 及 y = e 代入上面的齐次线性微分方程,得由此解得 P ( x = 1 , P2 ( x = 2 .因此对应的齐次线性微分方程为1 1 P ( x + P2 (x = 0 1 1 4 + 2 P (x + P2 ( x = 0 y′′ y′ 2 y = 0 故所求方程为y′′ y′ 2 y = Q ( x 又由线性微分方程解的性质,得原方程的一个特解为 y * = y1 + e 2 x = xe x 将 y = xe 代入原方程,得 * x Q( x = e x 2 xe x 因此,所求微分方程为y′′ y′ 2 y = e x 2 xe x . 九. (本题满分 8 分设半径为 1 的球正好有一半沉入水中,球的比重为 1,现将球从水中取出,问要作多少功?(假设在球从水中取出的过程中,水面的高度不变. 解: 作 x 轴垂直于水平面且通过球心,方向向上,原点为球心. 任取下半球中的微元薄片,即 [ 1, 0] 上的小区间 [x, x + dx ] ,相应的球体中的薄片,其重量为π 1 x dx ,在水中重力与浮力相等.当球从水中取出时, 2 此薄片移至离水面高为 1 + x 处,需作功于是,对下半球作的功为( dW1 = (1 + x π 1 x 2 dx 0 ( W1 = ∫ (1 + x π 1 x 2 dx . 相应的球体中任取上半球中的微元薄片, [0, 1] 上的小区间 [x, x + dx ] , 即的薄片,其重量为π 1 x dx .当球从水中取出时,此薄片移动的距离为 1 ,需冯国臣大学数学资料——微积分作功 2 ( 1 ( dW1 = π 1 x 2 dx 于是,对上半球作的功为第 5 页共 7 页 (W1 = ∫ π 1 x 2 dx . 1 0 ( 因此,对整个球的作功为W = W1 + W2 = 1 13 ∫ (1 + x π (1 x dx + ∫ π (1 x dx = 12 π 0 0 2 2 1 十. (本题满分 9 分设抛物线 y = ax + bx + c 满足条件: 2 2 ⑴. a < 1 ,且通过点 (0, 0 与 (1, 2 ; ⑵. 与抛物线 y = x + 2 x 围成的图形的面积最小. 试求此抛物线方程. 解: 2 由于抛物线 y = ax + bx + c 过点 (0, 0 与 (1, 2 , 所以 c = 0 , 且 a + b = 2 ,即 b = 2 a . 2 2 所以,抛物线 y = ax + bx + c 具有形状 y = ax + (2 a x . 2 2 求两条抛物线 y = ax + (2 a x 与 y = x + 2 x 的交点,得 x 2 + 2 x = ax 2 + (2 a x a a ,由于 a < 1 ,所以 x2 = 得两个交点的横坐标为 x1 = 0 及 x2 = > 0. a +1 a +1 所求面积为S (a = a a +1 a a +1 ∫ {[ax + (2 a x] ( x 2 0 2 2 + 2 x dx } = ∫ [(a + 1x 0 ax dx ] = a3 2 6(a + 1 S ′(a = a 2 (a + 3 3 6(a + 1 因此, 得驻点 a = 3 ,当 a < 3 时,S ′(a = a 2 (a + 3 < 0 ;当 3 < a < 1 时, 3 6(a + 1 第 6 页共 7 页冯国臣大学数学资料——微积分S ′(a = a 2 (a + 3 > 0 .因此, a = 3 是极小值点,由驻点的唯一性,可知它也 3 6(a + 1 y = 3 x 2 + 5 x 是最小值点,即就是所求的抛物线. 十一. (本题满分 8 分设函数 f ( x 是区间[0, + ∞ 上非负的可导函数,且满足 f (0 = 0 , 证明: f ( x ≡ 0 . 解: f ( x 2 xf ′( x ≥ 0 ( x ∈ [0, + ∞ , f (x ,则x 1 f ′(x x f ( x 2 x = 2 xf ′( x f (x ≤0 F ′( x = x 2x x f (x 所以,函数 F ( x = 是区间[0, + ∞ 上的单调减少函数,即当 x ≥ 0 时,有x f (x f (x f ( x f (0 ≤ lim = lim x = f ′(0 0 = 0 x →0 x →0 x x x 设辅助函数 F ( x = 时,有f ( x ≡ 0 . 所以, x ≥ 0 时, f ( x ≤ 0 , 当有但由题设, f ( x ≥ 0 及 f (0 = 0 , 因此, x ≥ 0 当第 7 页共 7 页。

(整理)高等数学期末考试复习资料

综合试卷一一. 单项选择题（每题3分，共30分）1．下列等式成立的是（）2．设在点的某邻域内存在，且是的极大值，则=（）3.下列各极限中能够用洛必达法则求出的是（）4．设，则=1是的（）A．可去间断点 B. 跳跃间断点 C.无穷间断点 D.连续点5.下列关系式正确的是( )6.下列广义积分收敛的是( )7.的待定特解形式为( )A.﹡=AsinB.﹡=AC. ﹡=﹡=8.平面的相关位置关系为( )A.相交且垂直B.相交不垂直C. 平行不重合D. 重合9.若发散,则( )10.设,则= …………..( )二.填空题(每题3分,共15分)1.2.3.的水平渐近线是,垂直渐近线是4.时,取得极值.5.平行于直线且与曲线相切的直线方程为.三.解答题(每题4分,共32分)1.设2.已知,求常数的值.3.4.5.6.7.8.求曲线与在点处的切线和Y轴所围图形的面积.四. 综合题(共23分)1. (8分)2.设产品的需求函数Q=125-5P (Q为需求量,P为价格),若生产该产品的固定成本为100(百元),多生产一个产品成本增加2(百元),且工厂自产自销,产销平衡.试问如何定价,才能使工厂获得最大利润?最大利润是多少? (8分)3.求曲线与在点(-1,0)和(1,0)处的法线所围成的平面图形的面积. (7分)综合试卷二一. 单项选择题（每题3分，共30分）1．下列等式成立的是（）2．若直线与X轴平行且与曲线相切，则切点坐标为（）3.设在上连续，，下面说法正确的是（）A．I是的一个原函数 B.I是一个确定常数,且与积分变量记号无关C. I是的全体原函数D. I是一个确定常数，且与积分变量记号有关4．设（）A． B. C. D.5.设为连续函数,则( )6.设,则点(1,2) ……( )7.要使直线落在平面上,则K=( )A. -2B. 2C.D. -8.若幂级数……( )9. 的待定特解形式为( )A.﹡=AB.﹡=(A+B)eC. ﹡=﹡=10.设(R>0),把表示为极坐标的二次积分是. ( )二.填空题(每题3分,共15分)1.= .2.若则3.4.则.5.以为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三.解答题(每题4分,共32分)1.确定常数，使在可导2.设，求.3.求4.计算5.6.7. (R>0)8.求方程的通解。

2000年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案(文)

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 设集合A ={x |x ∈Z 且－10≤x ≤－1}，B ={x |x ∈Z 且|x |≤5}，则A ∪B 中的元素个数是( )(A) 11(B) 10(C) 16(D) 15(2) 在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是( )(A) 23(B) －23i(C)3－3i (D) 3+3i(3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是( )(A) 23(B) 32(C) 6(D)6(4) 已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是 ( )(A) 若α、β是第一象限角，则cos α>cos β (B) 若α、β是第二象限角，则tg α>tg β (C) 若α、β是第三象限角，则cos α>cos β (D) 若α、β是第四象限角，则tg α>tg β (5) 函数y =－x cos x 的部分图像是( )(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( )(A) 800～900元(B) 900～1200元(C) 1200～1500元(D) 1500～2800元(7) 若a >b >1，P =b a lg lg ⋅，Q =21(lg a +lg b )，R =lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a ，则( )(A) R <P <Q(B) P <Q <R(C) Q <P <R(D) P <R <Q(8) 已知两条直线l 1：y =x ，l 2：ax －y =0，其中a 为实数．当这两条直线的夹角在(0，12π)内变动时，a 的取值范围是( )(A) (0，1)(B) (33，3) (C) (33，1) ∪(1，3) (D) (1，3)(9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( ) (A)ππ221+ (B)ππ441+ (C)ππ21+ (D)ππ241+ (10) 过原点的直线与圆x 2+y 2+4x +3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )(A) y =3x(B) y =－3x(C) y =33x (D) y =－33x (11) 过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 ( )(A) 2a(B)a21 (C) 4a (D)a4 (12) 如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为 ( )(A)321(B)21 (C)21 (D)421第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13) 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有___________种(用数字作答)(14) 椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点．当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________________(15) 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n +1)21+n a —2n na + a n +1a n =0(n =1，2，3…)，则它的通项公式是a n =_______________(16) 如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是________________(要求：把可能的图的序号都．填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)已知函数y =3sin x +cos x ，x ∈R ．(Ⅰ)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(Ⅱ)该函数的图像可由y = sin x (x ∈R )的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ (18) (本小题满分12分)设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求T n ．(19) (本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD －A1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD ．(Ⅰ)证明：C 1C ⊥BD ； (Ⅱ)当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明．(20) (本小题满分12分)设函数f (x )=12+x －ax ，其中a >0． (Ⅰ)解不等式f (x )≤1；(Ⅱ)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[)∞+，0上是单调函数． (21) (本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p =f (t )；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =g (t )；(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天) (22) (本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD 中|AB |=2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．求双曲线的离心率．2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．(13)252 (14)5353<<-x (15)n1(16)②③ 三、解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：(Ⅰ) y =3sin x +cos x =2(sin x cos 6π+cos x sin 6π) =2sin(x +6π)，x ∈R ——3分 y 取得最大值必须且只需x +6π=ππk 22+，k ∈Z ，即x =ππk 23+，k ∈Z ．所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 {x |x =3π+2k π，k ∈Z }． ——6分 (Ⅱ)变换的步骤是：(1)把函数y =sin x 的图像向左平移6π，得到函数y =sin(x +6π)的图像； ——9分 (2)令所得到的图像上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y =2sin(x +6π)的图像；经过这样的变换就得到函数y =3sin x +cos x 的图像． ——12分 (18)本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分．解：设等差数列{a n }的公差为d ，则 S n =na 1+21n (n －1)d ． ∵ S 7=7，S 15=75，∴ ⎩⎨⎧=+=+.7510515,721711d a d a ——6分即⎩⎨⎧=+=+.57,1311d a d a ——8分解得a 1=－2，d =1． ∴()()12121211-+-=-+=n d n a n S n ， ∵2111=-++n S n S n n ， ∴数列{n S n }是等差数列，其首项为－2，公差为21， ∴ n n T n 49412-=． ——12分 (19)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． (Ⅰ)证明：连结A 1C 1、AC ，AC 和BD 交于O ，连结C 1O ． ∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ，BC =CD ．又∵ ∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C =C 1C ， ∴ △C 1BC ≌△C 1DC ， ∴ C 1B =C 1D ， ∵ DO =OB ，∴ C 1O ⊥BD ， ——3分但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O = O ， ∴ BD ⊥平面AC 1．又 C 1C ⊂平面AC 1，∴ C 1C ⊥BD ． ——6分 (Ⅱ)当1CC CD=1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ．证明一： ∵1CC CD=1， ∴ BC =CD =C 1C ，又∠BCD =∠C 1CB =∠C 1CD ，由此可推得BD =C 1B =C 1D ．∴ 三棱锥C －C 1BD 是正三棱锥． ——9分设A 1C 与C 1O 相交于G ．∵ A 1C 1∥AC ，且A 1C 1：OC =2：1， ∴ C 1G ︰GO =2︰1．又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心， ∴ CG ⊥平面C 1BD ．即A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分证明二：由(Ⅰ)知，BD ⊥平面AC 1， ∵ A 1C ⊂平面AC 1，∴ BD ⊥A 1C ． ——9分当11=CC CD时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD ⊥A 1C 的证法可得BC 1⊥A 1C ． BD BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 (20)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．(Ⅰ) 解：不等式f (x )≤1即12+x ≤1+ax ，由此得1≤1+ax ，即ax ≥0，其中常数a >0．所以，原不等式等价于()⎩⎨⎧≥+≤+.0,1122x ax x 即()⎩⎨⎧≥+-≥.021,02a x a x ——3分所以，当0<a <1时，所给不等式的解集为{x |0≤x ≤212a a-}；当a ≥1时，所给不等式的解集为{x |x ≥0}． ——6分 (Ⅱ)证明：在区间[)∞+，0上任取x 1、x 2，使得x 1<x 2．f (x 1)－f (x 2)=112221+-+x x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )． ——9分∵11222121++++x x x x <1，且a ≥1，∴11222121++++x x x x －a <0，又x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)> f (x 2)．所以，当a ≥1时，函数f (x )在区间[)∞+，0上是单调递减函数． ——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为()⎩⎨⎧≤<-≤≤-=.3002003002,2000300t t t t t f ，， ——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=2001(t －150)2+100，0≤t ≤300． ——4分 (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )，即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-=.30020021025272001,20002175********t t t t t t t h ，， ——6分当0≤t ≤200时，配方整理得 h (t )=－2001(t －50)2+100，所以，当t =50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得 h (t )=－2001(t －350)2+100，所以，当t =300时，h (t )取得区间（200，300]上的最大值87.5． ——10分综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大 ——12分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称． ——2分依题意，记A (－c ，0)，C (2c ，h )，B (c ，0)，其中c 为双曲线的半焦距，c =21|AB |，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式，得点E 的坐标为c cc x E 19711812118-=+⨯+-=， h hy E 19811811180=+⨯+=．——5分设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a ce =．由点C 、E 在双曲线上，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-⋅=-⋅.136********,14122222222b h ac bh a c——10分 ① ②由①式得1412222-⋅=a c bh 代入②式得922=a c 所以，离心率322==a c e ——14分。

2000-数一真题、标准答案及解析

L
xdy − ydx 4x2 + y2 ,
其中
L
是以点
(1,
0)
为中心，R
为半径的圆周
(
R
>
1)
，
取逆时针方向.
【详解】
P
=
−y 4x2 +
y2
,Q
=
4x2
x +
y2
,
( ) 则有
∂P = ∂x
y2 − 4x2 4x2 + y2
2
=
∂Q ,( x,
∂y
y) ≠
( 0, 0)
作足够小的椭圆：
C
:
⎧⎪ ⎨
六、设对于半空间 x > 0 内任意的光滑有向封闭曲面 S, 都有
∫∫ xf ( x)dydz − xyf ( x) dzdx − e2x zdxdy = 0,
S
其中函数 f ( x) 在 (0, +∞) 内具有连续的一阶导数，且 lim f ( x) = 1, 求 f ( x) . x→0+
【详解】由题设和高斯公式得
( ) ( ) ( ) 从而
P
AB
=P
A
P
B
=
⎡
=
1 9
,
解得 P ( A) = 2 .
3
二、选择题
（1）设 f (x),g(x) 是恒大于零得可导函数，且 f ' (x) g(x)− f (x)g' (x) < 0 ，则当
-2-
a < x < b 时，有
（A） f ( x) g (b) > f (b) g ( x)
( ) ( ) 因为 A 和 B 相互独立，所以 A 与 B ， A 与 B 也相互独立。于是由 P AB = P AB ，

大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题(本大题共16小题，总计80分)1、(本小题5分)求极限　lim x x x x x x →-+-+-23321216291242、(本小题5分) .d )1(22x x x ⎰+求3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsinx x x →∞⋅14、(本小题5分)⎰-.d 1x x x 求5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ⎰+2021 6、(本小题5分)⎰⋅.d csc cot 46x x x 求7、(本小题5分) ．求⎰ππ2121cos 1dx x x8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e ty y x dy dx t t ==⎧⎨⎪⎩⎪=cos sin (),229、(本小题5分) ．求dx x x ⎰+301 10、(本小题5分)求函数　的单调区间y x x =+-42211、(本小题5分) ．求⎰π+202sin 8sin dx x x 12、(本小题5分)．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=-13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分)求函数的极值y e e x x =+-215、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--12131101101111222216、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ⎰+求二、解答下列各题(本大题共2小题，总计14分)1、(本小题7分),,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿2、(本小题7分) .8232体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y ==三、解答下列各题 ( 本大题6分 )设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230一学期期末高数考试(答案)一、解答下列各题(本大题共16小题，总计77分)1、(本小题3分)解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→lim x x x 261218 =22、(本小题3分) ⎰+x x x d )1(22 ⎰++=222)1()1d(21x x =-++12112x c .3、(本小题3分) 因为arctan x <π2而limarcsin x x →∞=10故limarctan arcsin x x x →∞⋅=10 4、(本小题3分) ⎰-x x x d 1 x x x d 111⎰----= ⎰⎰-+-=x x x 1d d =---+x x c ln .1 5、(本小题3分)原式=+214x x6、(本小题4分) ⎰⋅x x x d csc cot 46⎰+-=)d(cot )cot 1(cot 26x x x=--+171979cot cot .x x c7、(本小题4分) 原式=-⎰cos ()1112x d x ππ=-sin 112x ππ=-1 8、(本小题4分) 解： dy dx e t t e t t t t t =+-22222(sin cos )(cos sin ) =+-e t t t t t t (sin cos )(cos sin )2222 9、(本小题4分)令　1+=x u 原式=-⎰24122()u u du=-2535312()u u =11615 10、(本小题5分) ),(+∞-∞函数定义域 01)1(222='=-=-='y x x x y ，当 (][)+∞<'>∞->'<,1011,01函数的单调减区间为，当函数单调增区间为，　当y x y x 11、(本小题5分)原式=--⎰d x x cos cos 9202π=-+-163302ln cos cos x x π=162ln12、(本小题6分) dx x t dt ='()[]dt t k t k e kt ωωωωsin )34(cos )34(+--=-　13、(本小题6分) 2265yy y y x '+'='=+y yx y 315214、(本小题6分) 定义域，且连续(),-∞+∞ '=--y e e x x 2122()驻点：x =1212ln 由于''=+>-y e e x x 20 22)21ln 21(,,=y 故函数有极小值 15、(本小题8分) 原式=++++++++--→∞lim ()()()()()()x x x x x x x 1121311011011112222 =⨯⨯⨯⨯=101121610117216、(本小题10分) dx x x dx x x x ⎰⎰+=+2sin 2112cos cos sin 12cos :解⎰++=x x d 2sin 211)12sin 21(=++ln sin 1122x c 二、解答下列各题(本大题共2小题，总计13分)1、(本小题5分)设晒谷场宽为则长为米新砌石条围沿的总长为 x xL x x x ,,()51225120=+> '=-=L x x 2512162 唯一驻点 ''=>=L x x 10240163 即为极小值点故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿所用材料最省165121632,,= 2、(本小题8分)解 :,,.x x x x x x 232311288204====V x x dx x x dx x =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎰⎰ππ()()()223204460428464=⋅-⋅π()1415164175704x x π=-π=35512)7151(44三、解答下列各题( 本大题10分 ) 证明在连续可导从而在连续可导:()(,),,[,];,.f x -∞+∞03又f f f f ()()()()01230====则分别在上对应用罗尔定理得至少存在[,],[,],[,](),011223f x ξξξξξξ1231230112230∈∈∈'='='=(,),(,),(,)()()()使f f f 即至少有三个实根'=f x (),0,,,0)(它至多有三个实根是三次方程又='x f由上述有且仅有三个实根'f x ()高等数学（上）试题及答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 20=+→x x x 。

大学第一学期高等数学期末考试A(含答案)打印

第一学期期末考试机电一体化专业《高等数学》试卷( A )1．函数()314ln 2-+-=x x y 的定义域是（),2[]2,(∞+--∞Y ）。

2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)1(f （ -5 ）。

3．=→xx x 20lim （ 0 ） 4．函数xxx f -=)(的间断点是x =（ 0 ）。

5．设735223-+-=x x x y 则y '＝（ 31062+-x x ）。

1、设()00=f , 且()00='f 存在, 则()=→xx f x 0lim ( C )；Ａ. ()x f ' Ｂ. ()0f ' Ｃ. ()0f Ｄ. ()021f 2、17下列变量中是无穷小量的有 ( C )；Ａ. )1ln(1lim0+→x x Ｂ. )1)((2()1)(1(lim 1-++-→x x x x x Ｃ. x x x 1cos 1lim ∞→ Ｄ. xx x 1sin cos lim 0→3、下列各组函数为同一函数的原函数的是 ( C )；Ａ. 31)(x x F =与324)(x x F -= Ｂ. 31)(x x F =与32214)(x x F -=Ｃ. C x x F +=21sin 21)(与x C x F 2cos 41)(2-=Ｄ.x x F ln )(1=与22ln )(x x F =4、在函数()x f 连续的条件下, 下列各式中正确的是 ( C )；Ａ. ()()x f dx x f dx d b a =⎰ Ｂ. ()()x f dx x f dx d ab =⎰Ｃ. ()()x f dt t f dx d x a =⎰ Ｄ. ()()x f dt t f dxd ax =⎰ 5、下列说法正确的是 ( D )；Ａ. 导数不存在的点一定不是极值点Ｂ. 驻点肯定是极值点Ｃ. 导数不存在的点处切线一定不存在Ｄ. ()00='x f 是可微函数()x f 在0x 点处取得极值的必要条件1、函数的三要素为: 定义域, 对应法则与值域. (√ )2、函数)(x f 在区间[]b a ,上连续是)(x f 在区间[]b a ,上可积的充分条件。

高等数学期末考试试题及答案(大一考试)

（2010至2011学年第一学期）课程名称：高等数学(上)(A 卷)考试(考查)：考试 2008年 1 月 10日共 6 页注意事项：1、满分100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

试题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。

4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。

5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。

高数(大一上)期末试题及答案

第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学(上) 考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分： . 一、填空(每小题3分，满分15分)1、xx x x 2sin 3553lim 2++∞→ 2、设A f =-'')1(，则=--'--'→hh f f h )12()1(lim 0 3、曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 2在0=t 处切线方程的斜率为4、已知)(x f 连续可导，且2)2(,)1(,1)0(,0)(e f e f f x f ===>，='⎰10)2()2(dx x f x f5、已知21)(xe xf x+=，则='')0(f 二、单项选择(每小题3分，满分15分)1、函数x x x f sin )(=，则 ( )A 、当∞→x 时为无穷大B 、当∞→x 时有极限C 、在),(+∞-∞内无界D 、在),(+∞-∞内有界2、已知⎩⎨⎧≥<=1,ln 1,)(x x x e x f x ，则)(x f 在1=x 处的导数( )A 、等于0B 、等于1C 、等于eD 、不存在3、曲线xxe y -=的拐点是( )A 、1=xB 、2=xC 、),1(1-eD 、)2,2(2-e 4、下列广义积分中发散的是( )A 、⎰10sin x dxB 、⎰-101xdx C 、⎰+∞+02/31x dx D 、⎰+∞22ln xx dx5、若)(x f 与)(x g 在),(+∞-∞内可导，)()(x g x f <，则必有( ) A 、)()(x g x f -<- B 、)()(x g x f '<'C 、)(lim )(lim 0x g x f xx xx →→< D 、⎰⎰<0000)()(x x dx x g dx x f三、计算题（每小题7分，共56分）答题要求：写出详细计算过程1、求xx e e x x x x sin )cos 1()(lim 220---→2、求)arcsin(lim 2x x x x -++∞→3、设)(x y y =由03=-+xyy x 确定，求0|=x dy 。

大学高等数学试题试卷及高数公式

高等数学试卷集锦（公式合辑）一、求下列数列或函数的极限（30分）1 .xbx x x Lim 2arcsin 112++∞→ （其中b 为常数）2 .x x xtgx Lim sin 10)sin 11(++→ 3.. 1...21--+++→x n x x x Lim n x4. .]ln)1[ln(n n n Lim n -+∞→5.)sin 1(sin x x Lim x -++∞→二、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 x,00x ,1sin )(xx x f ，讨论函数)(x f 及其导函数的连续性（10分）三、求导数或微分(20分)1．35a r c s in ln 3x x e x y x -=,求dxdy2．求函数12-=x x y 的n 阶导函数)()(x y n3．求由方程yarctgx e y x=+22确定的隐函数)(x y y =的微分dy4．已知dx x x x f ⎰+=+1)1(432，且1)1(=f ,求)2('f 四、求不定积分（20分）1．dx x ⎰)sin(ln 2. dx a x ⎰+22 （其中)0>a 3. ⎰+13x dx 4. arctan xxe dx e ⎰ 五、求函数e arctgx x y)1-=（的单调区间、极大极小值以及渐近线（10分）六、证明当成立不等式时11ln )1ln(,0+>-+>x x x x （10分）高等数学试卷武汉大学2000-2001学年度第一学期期末考试《高等数学》考试试题（年级：2000级时间：2001.1）一、求以下数列或函数的极限(30分)1.xe e xx x Lim βα-→0 2. xxLimx cos 100-+→3.))2(1...)1(11(222n n n Lim n ++++∞→ 4. xtg x tgx Lim 24)(π→5．xx x Lim 1)]1ln(1[++→ 6.2sin x tdtLim xx ⎰→ 二、指出函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 10x ||sin )(x x xx y 的间断点和间断类型 (10分)三、求下列函数的导数（10分）1．tgxe x x y x sin 31)(+=2.x x x y )(arcsin )(=四、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1cos )(2x x xx x f 试求函数)(x f 的导函数，并讨论导函数在x=0点的连续性（10分）五、如果20παβ<≤<，试证：αβαβαββα22cos cos -≤-≤-tg tg （10分）六、求不定积分和定积分（20分）1．dx x x ⎰+54312. dx x x ⎰+)1ln(3.dx xx⎰+21ln 1 4. ⎰+213x x dx七、求函数16)(23+-=x x x y 在[-5，5]内的极大、极小值和最大、最小值（10分）高等数学练习（1）设，求lim 4xx x c c x c +骣÷ç=ç÷桫-（2）1,1()cos,12x x f x xx π⎧->⎪=⎨≤⎪⎩讨论的连续性（3）002,lim ()x x f x →→=已知求（4）求 201sinlim 1x x x x e →-（5） 20tan lim.tan x x xx x→-求（7） (1sin ).1cos x e x dx x++⎰求（8）.求（9）2ln(x dx ⎡⎤⎣⎦⎰ （10）（11）设f (x )在[a ,b ]上连续，g (x )在 [a ,b ]上可积，且不变号，则，[,],()()()()bbaaa b f x g x dx f g x dx ξξ∃∈=⎰⎰使（12）证明 1lim 01nn x dx x→∞=+⎰ （13）设(),(0)0,(0)0f x f f ''=≠连续，求20020()()limx xx f t dtx f t dt→⎰⎰（14）求由曲线24y x =-及0y =所围成的图形绕直线3x =旋转构成旋转体的体积.（15）求圆心在 ( b ,0 ) 半径为 a ( 0< a < b ) 的圆绕 y 轴旋转一周所成的环状体的体积（16）求多项式 f (x) 使它满足方程，1300()d (1)d 2xf x t t f t t x x +-=+⎰⎰。

2000-2001《高等数学Ⅰ(1)》参考答案

2000-2001学年《高等数学Ⅰ(1)》参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、极限32lim(1)xx x→∞-=6e - .2、若函数)(x f 在闭区间]1,1[-上连续,则⎰-=--11)]()([dx x f x f 0 .3、若函数)(x f 在点0x 处可导,则=--+→hh x f h x f h )3()2(lim00005()f x ' .4、极限=∞→xxx 3sin lim0 .5、若2(sin )cos f x x '=,则=)(x f 3/3x x C -+ .二、选择题（每小题3分，共15分） 1、下列结论正确的是（ B ）(A)有界数列必定收敛. (B)无界数列必定发散. (C)发散数列必定无界. (D)单调数列必定收敛.2、设)(x f 在区间(,)-∞+∞内连续,且)(x F 是)(x f 的一个原函数,则=⎰))((dx x f d （ C ） (A)C x F +)(. (B))(x f . (C)dx x f )(. (D)dx x F )(.3、设)(x f 可微,且()0f x '≠,则当0→∆x 时,在点x 处的dy y -∆是关于x ∆的（ D ） (A)等价无穷小. (B)同阶无穷小. (C)低阶无穷小. (D)高阶无穷小.4、设函数)(),(x g x f 都在],[b a 上可导,且()()f x g x ''>,则当b x a <<时,必有（ B ） (A))()(x g x f >. (B))()()()(x g a f a g x f +>+. (C))()(x g x f <. (D))()()()(x g b f b g x f +>+.5、设函数)(x f 在),[∞+a 上连续,且0)(≥x f ,则函数⎰xa dt t f )(在),[∞+a 上有界是广义积分⎰+∞adx x f )(收敛的（ A ）(A)充要条件. (B)充分条件. (C)必要条件. (D)无关条件.三、计算下列各题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）1、求42)1ln(limxdt t x x ⎰+→.解：2230433000ln(1)2ln(1)21limlim lim 442x x x x t dt x x x x x x →→→++===⎰. 2、设⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=-,0,,0,1)(2x e x x x f x 计算⎰-31)2(dx x f .解：令2x t -=,则3111(2)()f x dx f t dt --=⎰⎰012171(1)3t t dt e dt e--=++=-⎰⎰. 3、计算⎰-eedx x 1|ln |.解：11111112ln (ln )ln (ln )(ln )2eeee e ex dx x dx xdx x x x x x x e =-+=-++-=-⎰⎰⎰.4、求⎰-122x xdx .解：令sec x t =,则2sec tan cos sin sec tan t tdt tdt t C C t t ⋅===+⋅⎰⎰. 5、设⎪⎩⎪⎨⎧=+=,arctan ,1ln 2t y t x 求22dx yd .解： 22211ln(1)112arctan 1x t dy t t dx t y t t ⎧=+⎪+⇒==⎨⎪=⎩+, 222232111d y t t t dx t t -+==-+. 6、设)(x y y =是由方程01=+-y xe y确定的隐函数,求22dxyd .解：x 两边对求导，得：01yyyye xe y e y y xe '''⋅+-=⇒=-22223(1)()(3)(1)(2)y y y y y y y d y e y xe e e xe y e y dx xe y ''⋅-++⋅-==--.四、（本题满分7分）设2(1)2,1,()1,1,x ex f x ax bx x -⎧≥⎪=⎨++<⎪⎩若)(x f 在1=x 处可导,求常数,a b 及(1)f '.解：()f x 在1x =可导,故()f x 在1x =连续.1lim ()(1)11,0x f x f a b a b -→=⇒++=+=2(1)111()(1)12(1)(1)lim lim lim 2111x x x x f x f e x f x x x +++-+→→→---'====---2111()(1)11(1)(1)lim lim lim 111x x x f x f ax bx bx x f b x x x -++-→→→-++---'====---- 由(1)(1)f f +-''=得：2b =-,2a b =-=,(1)2f '=.五、（本题满分6分）求数列),2,1( =n n n 的最大项.解：设()(0)f x x =>,则2ln ()exp (1ln )x f x x x x '⎛⎫'==-⇒ ⎪⎝⎭唯一驻点x e =且当0x e <<时,()0f x '>；当x e >时,()0f x '<. 所以()f x 在x e =取得极大值,也是最大值.数列的最大项只可能在x e =邻近取得.<的最大项.六、（本题满分9分）描绘函数xx x f 2)(2+=的图形. 解：定义域为(,0)(0,)-∞+∞22()2f x x x '=-,令()0f x '=得1x = 34()2f x x ''=+,令()0f x ''=得x =因为0lim ()x f x→=∞，所以1x =是铅直渐近线. 列表如下：极小值为(1)3y =；拐点为(七、（本题满分10分）曲线)1(2x a y -=)0(>a 与过两点(1,0)-和(1,0)所作该曲线的法线围成的平面图形如图所示,试问a 取何值时,该平面图形的面积最小,并求面积的最小值. 解：2(1)2y ax y a ''=-⇒=-⇒在(1,0)处的法线方程为1(1)2y x a=-. 由对称性得：112001412(1)2(1)232a S a x dx x dx a a=---=+⎰⎰2224183326a S a a -'=-=⇒唯一驻点a =3104S S a ''''=⇒>⎝⎭所以S 在4a =取得极小值,也是最小值.即平面图形面积的最小值为：43S ⎛= ⎝⎭.八、（本题满分8分）设函数)(x f 在[0,1]上连续,在)1,0(内可导,且)0()(313/2f dx x f =⎰,试证：在)1,0(内至少存在一点ξ,使得()0f ξ'=. 证：()[0,1]f x C ∈∴由积分中值定理知：存在22,1,31()(0)33f f ηη⎛⎫⎛⎫∈∍⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()(0)f f η=.在[0,]η上由Rolle 中值定理得：至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂,使得()0f ξ'=附加题（10分）设函数()f x 在[0,1]上单调减,证明：对(0,1)x ∀∈,有 1()()xf t dt x f t dt ≥⎰⎰.证明：设1()()()x F x f t dt x f t dt =-⎰⎰，则11()()()()(1)()()x x x xxF x f t dt x f t dt x f t dt x f t dt x f t dt=--=--⎰⎰⎰⎰⎰12(1)()(1)()x x f x x f ξξ=--- (其中1201x ξξ≤≤≤≤)12(1)[()()]0x x f f ξξ=--≥ (()f x 在[0,1]上单调减少)所以对(0,1)x ∀∈，有1()()x f t dt x f t dt ≥⎰⎰.。

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