6.1二次函数的定义

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二次函数的概念、图象和性质

顶点在xБайду номын сангаас上
b2-4ac<0
抛物线与x轴无公共点
规律方法指导
1.求二次函数解析式的方法
一般来说，二次函数的解析式常见有以下几种形式.
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
(2)顶点式：
y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)
要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件.
知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
1.函数y=ax2(a≠0)的图象与性质：
函数
a的符号
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最大(小)值
y=ax2
a>0
向上
(0，0)
y轴
x>0时，y随x增大而增大
x<0时，y随x增大而减小
当x=0时，
y最小=0
y=ax2
a<0
向下
(0，0)
y轴
1. 用描点法画图象
首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.
2. 用平移法画图象
由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k).

二次函数知识点梳理

二次函数知识点梳理一、二次函数的定义二次函数是指一个变量的二次多项式函数，其一般形式为 f(x) =ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线。

根据 a 的正负，抛物线开口向上或向下。

a > 0 时，抛物线开口向上；a < 0 时，抛物线开口向下。

三、顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。

顶点的坐标可以通过公式 (-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。

四、对称轴二次函数的对称轴是一条垂直线，其方程为 x = -b/2a。

对称轴将抛物线分为两部分，这两部分关于对称轴对称。

五、判别式二次函数的判别式是 b^2 - 4ac。

根据判别式的值，可以判断二次函数与 x 轴的交点情况：- 如果判别式 > 0，则有两个实数根。

- 如果判别式 = 0，则有一个实数根（重根）。

- 如果判别式 < 0，则没有实数根。

六、根的性质1. 根的和：如果α 和β 是二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个根，则α + β = -b/a。

2. 根的积：如果α 和β 是二次方程的两个根，则αβ = c/a。

七、因式分解某些二次函数可以因式分解为 (x - α)(x - β) = 0 的形式，其中α 和β 是函数的根。

八、配方法配方法是求解二次方程的一种方法，通过将二次函数转化为完全平方的形式，从而更容易找到方程的解。

九、二次函数的应用二次函数广泛应用于物理、工程、经济等领域，如描述物体的抛体运动、优化生产成本等。

十、二次不等式二次不等式是形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式。

解这类不等式通常需要考虑二次函数的图像和判别式。

十一、复合二次函数复合二次函数是指外层函数是二次函数，内层函数可以是任何实值函数的情况。

这类函数的性质更为复杂，需要结合内外层函数的特点进行分析。

二次函数所有知识点

二次函数所有知识点二次函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际应用中具有广泛的应用。

本文将全面介绍二次函数的所有知识点，包括定义、性质、图像特征、方程求解和应用等方面。

1. 二次函数的定义与性质二次函数是指具有形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的定义域为所有实数集，因为平方项对于任何实数都有定义。

二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，抛物线的开口方向取决于a的正负。

2. 二次函数的图像特征二次函数的图像特征包括顶点坐标、对称轴以及开口方向。

对于一般形式的二次函数f(x) = ax² + bx + c，顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

对称轴为经过顶点的直线，方程为x = -b/2a。

开口方向取决于a的正负，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 二次函数的方程求解解二次函数的方程常常涉及求根和因式分解两种方法。

对于一般形式的二次函数f(x) = ax² + bx + c，求根可以使用求根公式x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)。

需要注意的是，判别式b²-4ac的值决定了方程的解的性质。

当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程没有实数解。

此外，对于特殊形式的二次函数，如完全平方式、提公因式法等求根方法也很常见。

4. 二次函数的应用二次函数在实际应用中有着广泛的应用价值。

例如，抛物线的运动轨迹可以用二次函数来描述，如抛射物的运动、物体的自由落体等。

此外，二次函数还可以用于最优化问题，如求解二次函数的最值问题，例如求取抛物线上点的最大高度、最大飞行距离等问题。

二次函数还可以用于建模和预测，如财务分析中的收益和成本曲线、市场需求曲线的形成等。

二次函数定义高中

二次函数的定义二次函数是一种形式为y=ax2+bx+c的函数，其中a,b,c是常数，a≠0。

二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负号决定。

在高中数学中，二次函数是一个非常重要的概念，它的定义、性质和应用都是学生必须掌握的内容之一。

二次函数的定义与性质定义二次函数的定义如下：y=ax2+bx+c其中，a,b,c是常数，a≠0。

a决定了抛物线的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下。

基本性质1.对称轴：二次函数的对称轴是一个垂直于 x 轴的直线，它通过抛物线的顶计算得到。

点。

对称轴的方程可以通过x=−b2a2.顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点（当a>0）或最高点（当a<0）。

顶点坐标可以通过对称轴的方程计算得到。

3.判别式：二次函数的判别式可以通过D=b2−4ac计算得到。

判别式的值可以用来判断二次函数的图像与 x 轴的交点个数和形状。

–当D>0时，二次函数与 x 轴有两个交点，抛物线开口向上或向下。

–当D=0时，二次函数与 x 轴有一个交点，抛物线开口向上或向下，且顶点在 x 轴上。

–当D<0时，二次函数与 x 轴没有交点，抛物线开口向上或向下。

4.单调性：当a>0时，二次函数是开口向上的，且在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数是开口向下的，且在对称轴两侧递减。

5.最值：当a>0时，二次函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值为顶点的纵坐标。

图像二次函数的图像是一个抛物线，其形状和位置由a,b,c的值决定。

以下是几种常见的图像形状：1.当a>0时，抛物线开口向上，顶点在最低点，函数图像向上开口。

2.当a<0时，抛物线开口向下，顶点在最高点，函数图像向下开口。

3.当b=0且a>0时，抛物线的对称轴与 y 轴重合，函数图像关于 y 轴对称。

4.当c=0且a≠0时，抛物线经过原点，函数图像的顶点为原点。

二次函数的基本概念

二次函数的基本概念二次函数是一种重要的数学概念，广泛应用于数学、物理、经济等领域。

它的基本形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。

本文将介绍二次函数的定义、图像特征以及常见的应用。

一、二次函数的定义二次函数是一个具有二次项的多项式，其中最高次数是 2。

它的标准形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，c 是常数项。

二、二次函数的图像特征1. 开口方向二次函数图像的开口方向由二次项的系数 a 决定。

如果 a > 0，图像开口向上；如果 a < 0，图像开口向下。

2. 对称轴二次函数的图像是关于对称轴对称的，对称轴的方程为 x = -b/2a。

3. 顶点对于开口向上的二次函数，顶点是图像的最低点；对于开口向下的二次函数，顶点是图像的最高点。

顶点的 x 坐标为 -b/2a，y 坐标为代入 x 值所得到的 y 值。

4. 零点零点是二次函数图像与 x 轴交点的横坐标值，可以通过求解方程ax^2 + bx + c = 0 来确定。

三、二次函数的常见应用1. 抛物线二次函数的图像形状类似于一个U型的抛物线，因此在物理学中经常用于描述抛体运动的轨迹。

例如，从地面抛出的物体在忽略风阻等因素时，其运动轨迹可以使用二次函数来描述。

2. 经济学在经济学中，二次函数常常用于建模分析。

例如，成本函数、收益函数等均可使用二次函数来表达。

通过对二次函数的研究，可以分析经济决策的最优解以及变化的趋势。

3. 工程工程领域中，二次函数广泛应用于设计和优化问题。

例如，工程结构的抗弯强度、最优路径的寻找等问题都可以通过建立相应的二次函数模型来解决。

4. 自然科学自然科学中，二次函数可以用于描述和分析物理量之间的关系。

例如，光的折射、声音的传播等现象可以通过二次函数来描绘。

总结通过对二次函数的基本概念的介绍，我们了解了二次函数的定义、图像特征以及常见的应用。

二次函数定义高中

二次函数定义高中摘要：一、二次函数的定义1.一般形式2.顶点式3.交点式二、二次函数的性质1.开口方向2.顶点坐标3.函数的最值4.函数图象与系数的关系三、二次函数的应用1.求解交点2.估算最值3.实际问题中的应用正文：二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在许多领域都有广泛的应用。

本文将详细介绍二次函数的定义、性质以及应用。

一、二次函数的定义二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c 是常数，且a≠0。

它有三种常见的表示形式：一般形式、顶点式和交点式。

1.一般形式：二次函数的通用形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 是常数，且a≠0。

2.顶点式：二次函数的顶点式为f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k) 是顶点坐标，a 是抛物线开口方向的参数。

3.交点式：二次函数的交点式为f(x) = (x - x1)(x - x2)，其中(x1, y1) 和(x2, y2) 是函数与x 轴的交点。

二、二次函数的性质二次函数具有许多重要的性质，这些性质有助于我们更好地理解和把握二次函数的特点。

1.开口方向：二次函数的开口方向由参数a 的正负性决定。

当a > 0 时，开口向上；当a < 0 时，开口向下。

2.顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(h, k)，其中h = -b/2a，k = f(h)。

3.函数的最值：二次函数的最值即为顶点的y 坐标。

当a > 0 时，函数有最小值；当a < 0 时，函数有最大值。

4.函数图象与系数的关系：二次函数的图象与系数a、b、c 有密切关系。

当a > 0 时，函数图象向上开口；当a < 0 时，函数图象向下开口。

函数图象与x 轴的交点个数与b^2 - 4ac 的正负性有关。

三、二次函数的应用二次函数在实际问题中有着广泛的应用，以下列举了几个典型的应用场景。

1.求解交点：二次函数在解析几何中常用来表示抛物线，求解抛物线与x 轴的交点有助于解决实际问题，例如求解方程ax^2 + bx + c = 0。

二次函数的基本概念及性质

二次函数的基本概念及性质二次函数是高中数学中经常出现的一个重要函数。

本文将介绍二次函数的基本概念和一些重要的性质。

通过学习，你将对二次函数有更深入的了解。

一、基本概念二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c都是实数且a≠0。

其中，a决定了二次函数的开口方向，b决定了二次函数的对称轴位置，c表示二次函数的纵截距。

二、性质1：二次函数的图像二次函数的图像常常是一个抛物线。

具体来说，如果a>0，则二次函数的图像开口向上，形如∩；如果a<0，则二次函数的图像开口向下，形如∪。

对于开口向上的情况，图像的最低点称为最小值点；对于开口向下的情况，图像的最高点称为最大值点。

性质2：对称轴二次函数的对称轴是指图像的对称轴线。

对称轴的公式为x=-b/2a。

可以看到，对称轴与y轴平行。

性质3：顶点坐标二次函数的顶点是指图像的最低点或最高点。

顶点的横坐标即为对称轴的横坐标，也就是x=-b/2a；顶点的纵坐标可以通过代入对称轴的横坐标求得。

性质4：零点二次函数的零点是指函数图像与x轴的交点。

要求二次函数的零点，我们需要解二次方程ax²+bx+c=0。

根据二次方程的求根公式，可以求得二次函数的零点。

三、性质的应用二次函数的性质在实际问题中有广泛的应用。

下面通过几个例子来说明。

例1：抛物线的最大高度一个枪弹以v0的初速度射出，枪口与地面之间的距离为h。

如果不考虑阻力和重力加速度变化，可以用二次函数表示该枪弹的轨迹。

那么枪弹射出的最大高度对应于二次函数的最大值点，可以通过顶点的纵坐标求得。

例2：图像的平移与缩放二次函数的图像可以通过平移和缩放来得到变换后的图像。

平移是通过添加常数项实现的，可以将二次函数的图像沿x轴平移或y轴平移。

缩放则是通过改变系数实现的，可以改变二次函数的开口程度，使图像更加陡峭或平缓。

例3：经济学中的应用二次函数在经济学中有广泛的应用。

例如，成本函数和收益函数常常是二次函数的形式。

二次函数的定义与性质

二次函数的定义与性质随着数学的发展，二次函数作为一种重要的数学模型，在各个领域中的应用越来越广泛，因此了解二次函数的定义与性质是十分重要的。

本文将探讨二次函数的定义以及与之相关的性质。

一、二次函数的定义二次函数是一个常见的代数函数，它的定义形式通常为 f(x) = ax^2+ bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。

其中 a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，c 是常数项。

二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由二次项的系数a 决定。

当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

特殊地，当 a = 0 时，该函数退化为一次函数。

二、二次函数的性质1. 零点二次函数的零点就是方程 f(x) = 0 的解。

根据二次函数的定义，我们可以使用求根公式来求得二次函数的零点。

对于一般的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的零点可以通过公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a 求得。

2. 领域二次函数的定义域是实数集 R，即所有实数都可以作为自变量。

而值域则依赖于二次项系数 a 的正负性质。

当 a > 0 时，值域是[f(c), +∞)，其中 c 是顶点的纵坐标；当 a < 0 时，值域是 (-∞, f(c)]。

3. 对称轴对称轴是二次函数图像的中心线，它将图像分成两部分对称的部分。

对称轴的方程可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。

4. 顶点二次函数的顶点是图像的最高点（对于 a > 0）或最低点（对于 a < 0），对称轴与图像相交的点。

顶点的横坐标可以通过对称轴的方程求得，顶点的纵坐标可以通过代入得到。

5. 函数增减性当 a > 0 时，二次函数是开口向上的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。

此时函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。

当 a < 0 时，二次函数是开口向下的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。

二次函数的知识总结

二次函数的知识总结二次函数是高中数学中的重要内容之一，它是一种形如y=ax^2+bx+c的函数。

在二次函数的学习中，我们需要掌握其基本定义和性质，了解二次函数的图像特征以及掌握二次函数的应用。

二次函数的定义和性质是我们学习的基础。

二次函数的定义是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于零。

二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向和a的正负有关。

当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。

二次函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)为二次函数。

接下来，我们需要了解二次函数的图像特征。

通过分析二次函数的一阶导数和二阶导数，我们可以得到二次函数的凸性和拐点。

当a 大于零时，抛物线在顶点处具有最小值，是凹向上的；当a小于零时，抛物线在顶点处具有最大值，是凹向下的。

拐点是指抛物线上凹性发生变化的点，当a大于零时，拐点在顶点的左侧；当a小于零时，拐点在顶点的右侧。

在实际应用中，二次函数有着广泛的应用。

其中，最常见的就是运动学问题。

例如，一个物体在空中抛体运动的轨迹就可以用二次函数来描述。

通过分析抛物线的顶点坐标和凸性，我们可以得到物体的最高点和飞行的时间等信息。

此外，二次函数还可以用来解决最值问题。

通过求解二次函数的最值，我们可以得到函数的最大值或最小值，这在实际问题中有着重要的应用。

除了运动学问题和最值问题，二次函数还可以用来解决其他一些实际问题。

例如，二次函数可以用来建模一些自然现象，如弹簧的伸长长度和质量的关系、温度和时间的关系等。

二次函数还可以用来解决经济学中的一些问题，如成本和产量的关系、利润最大化问题等。

总结起来，二次函数是高中数学中的重要内容。

通过学习二次函数的定义和性质，我们可以了解二次函数的基本特征。

通过分析二次函数的图像特征，我们可以掌握其凸性和拐点的信息。

在实际应用中，二次函数可以用来解决运动学问题、最值问题以及建模一些自然现象和经济学问题。

二次函数概念与性质

二次函数概念与性质二次函数是高中数学学科中的一个重要内容，是解决实际问题和数学建模的常用工具之一。

在本文中，我们将探讨二次函数的基本概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用该函数。

一、二次函数的定义二次函数是指函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$（其中 $a\neq 0$），其中 $x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$、$c$ 是常数。

二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由 $a$ 的正负决定。

当 $a>0$ 时，抛物线开口向上；当 $a<0$ 时，抛物线开口向下。

二、二次函数的性质1. 零点：二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的零点就是方程$ax^2+bx+c=0$ 的解。

利用求根公式可以求得零点的坐标。

如果零点存在，那么抛物线与 $x$ 轴相交于该点。

2. 对称轴：二次函数的图像关于对称轴对称。

对称轴的方程可以通过将 $x$ 替换为 $-\frac{b}{2a}$ 得到。

对称轴将图像划分为两个对称的部分。

3. 顶点：对称轴与抛物线的交点称为顶点。

顶点的坐标可以通过将$x$ 替换为 $-\frac{b}{2a}$ 得到，再带入函数表达式求得 $y$ 的值。

4. 最值：当二次函数的开口向上时，最小值为顶点的纵坐标；当二次函数的开口向下时，最大值为顶点的纵坐标。

5. 单调性：当 $a>0$ 时，二次函数递增；当 $a<0$ 时，二次函数递减。

6. 函数图像：通过确定顶点、零点和对称轴等关键点，可以绘制出二次函数的图像。

借助图像可以更直观地理解函数的性质。

三、二次函数的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。

例如：1. 物体自由落体：当一个物体自由落体时，其下落过程可以用一个二次函数来描述。

通过分析二次函数的图像，我们可以得到物体的运动规律，计算出物体的高度、速度等相关信息。

2. 抛体运动：抛体运动也可以使用二次函数来描述。

二次函数可以帮助我们预测抛体的轨迹、最高点、最远距离等。

认识二次函数

认识二次函数二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学建模、物理学、经济学等领域都有广泛应用。

本文将从定义、图像特征、性质和应用等方面逐一进行介绍。

一、定义二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于0。

二次函数的自变量为x，因变量为y，其图像在平面直角坐标系中呈现一条开口向上或向下的曲线。

二、图像特征1. 平移二次函数的图像可以通过平移来改变其位置。

平移的方式有水平方向平移和垂直方向平移。

水平方向平移是改变x的值，垂直方向平移是改变y的值。

2. 对称轴二次函数的图像关于一条直线对称，这条直线称为对称轴。

对称轴的方程为x=-b/2a。

3. 顶点二次函数的图像的最高点（对于开口向下的函数）或最低点（对于开口向上的函数）称为顶点。

顶点的横坐标与对称轴的横坐标相同。

4. 开口方向二次函数的开口方向由二次系数a的正负确定。

当a大于0时，开口向上；当a小于0时，开口向下。

开口的大小也由a的绝对值确定。

三、性质1. 零点二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标。

可以通过求解一元二次方程来确定二次函数的零点。

2. 增减性二次函数的增减性取决于二次系数a的正负。

当a大于0时，二次函数是递增的；当a小于0时，二次函数是递减的。

3. 极值二次函数在顶点处取得极值。

对于开口向上的函数，极小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的函数，极大值为顶点的纵坐标。

四、应用1. 物理学二次函数广泛应用于物理学中的运动学问题。

例如，自由落体运动的高度-时间关系可以用二次函数来表示。

2. 经济学在经济学中，二次函数可以用来描述成本、利润、供求关系等问题。

例如，成本函数可以用二次函数来模拟。

3. 生活中的应用二次函数在我们的日常生活中也有很多实际应用，比如抛物线的形状可以用二次函数来刻画。

结论通过本文的介绍，我相信大家对二次函数有了更深入的了解。

二次函数在数学和实际应用中都具有重要的地位，掌握二次函数的定义、图像特征、性质和应用将有助于我们解决实际问题。

二次函数的定义与性质

二次函数的定义与性质二次函数是高中数学中一个重要的概念，它在数学中有着广泛的应用。

本文将介绍二次函数的定义及其常见的性质，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、二次函数的定义二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

其中x为自变量，y为因变量。

二次函数可以用来描述很多现实生活中的问题，比如抛物线的轨迹、物体的自由落体运动等。

它的图像通常呈现出拱形，开口方向取决于二次函数的系数a的正负。

二、二次函数的性质1. 零点二次函数的零点是指函数取值为0的点，也就是方程ax^2 + bx + c= 0的解。

求二次函数的零点可以使用求根公式或配方法。

2. 定点二次函数的顶点是指函数图像的最高点或最低点。

顶点的横坐标可以通过公式x = -b / 2a来求得，纵坐标则通过代入横坐标到二次函数中求得。

3. 对称轴二次函数的对称轴是图像的对称线。

它与顶点有关，对称轴的方程可以通过公式x = -b / 2a求得。

4. 单调性二次函数的单调性是指函数的增减趋势。

当a > 0时，函数开口朝上，趋于上升；当a < 0时，函数开口朝下，趋于下降。

特别地，当a = 0时，二次函数退化为一次函数，为线性函数。

5. 范围二次函数的范围是指函数的所有可能取值。

当函数开口朝上时，范围为(-∞, +∞)；当函数开口朝下时，范围有上限或下限，具体取决于顶点的纵坐标。

6. 最值二次函数的最值是指函数的最大值或最小值。

当a > 0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a < 0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。

7. 判别式二次函数的判别式是指判断二次函数的图像与x轴的交点情况的依据。

判别式的公式为Δ = b^2 - 4ac，当Δ > 0时，函数与x轴有两个交点；当Δ = 0时，函数与x轴有一个交点，且为切线；当Δ < 0时，函数与x轴没有交点。

8. 平移二次函数可以通过平移来改变其图像的位置。

二次函数的概念是什么

二次函数的概念是什么二次函数的概念是什么一般地，我们把形如y=ax2+bx+c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

下面是店铺给大家整理的二次函数的概念简介，希望能帮到大家!二次函数的概念二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。

其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax^2;+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。

顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)顶点式：y=a(x-h)^2+k或y=a(x+m)^2+k (两个式子实质一样,但初中课本上都是第一个式子)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)重要概念：(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。

IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。

)二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±根号下(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式求根的方法还有十字相乘法和配方法二次函数的主要特点“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。

“未知数”只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，“变量”可在一定范围内任意取值。

在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。

从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。

二次函数图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的`图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

二次函数的定义

二次函数的定义二次函数是指一种形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a \e 0$，$a$、$b$、$c$ 都是常数，$x$ 为自变量，$y$ 为因变量。

二次函数的图像呈现出一条对称轴为 $x=-b/(2a)$ 的抛物线，开口朝上或者朝下，具体开口的方向由 $a$ 的正负号决定。

下面分别介绍二次函数的基本性质和二次函数的应用。

一、基本性质1. 零点和交点零点指的是函数图像与 $x$ 轴相交的点，也就是函数的解。

当 $y = ax^2 + bx + c = 0$ 时，即可求出零点。

解二次方程可得：$$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$如果分母为零，则零点为无限大。

如果 $b^2 < 4ac$，则零点都是虚数。

交点指的是函数图像与 $y$ 轴相交的点，也就是函数图像在 $y$ 轴上的截距，即 $x=0$ 时的值。

当 $x=0$ 时，有 $y = c$，因此交点的纵坐标为 $c$。

2. 对称轴和顶点对称轴指的是函数图像的对称轴，也就是抛物线的中轴线，即 $x=-b/(2a)$。

顶点指的是抛物线的最高点或最低点，也就是函数图像的最值点，具体最值的大小由 $a$ 的正负号决定。

如果 $a>0$，抛物线开口朝上，此时顶点为最小值；如果 $a<0$，抛物线开口朝下，此时顶点为最大值。

顶点的坐标可用以下公式求解：$$x=-\\frac{b}{2a},\\quad y=ax^2+\\frac{b^2}{4a}+c$$3. 单调性与极值二次函数的单调性与极值都与 $a$ 的正负号密切相关。

如果 $a>0$，则函数图像是开口朝上的抛物线，函数单调递增的区间是在对称轴左侧 $(-\\infty,-\\frac{b}{2a})$ 和在对称轴右侧 $(\\frac{-b}{2a}, \\infty)$ 。

另外，函数在对称轴处取得了最小值，该值等于顶点的纵坐标。

【初中数学】初中数学知识点：二次函数的定义

【初中数学】初中数学知识点：二次函数的定义定义：
一般来说，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

① 所谓二次函数是指自变量的最大数量为2；
②二次函数
在（a）中≠ 0）、X和y是变量，a、B和C是常数，自变量X的取值范围都是实数，B和C可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为当a=0时，
变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。

③ 二次函数
（a≠0）与一元二次方程
（a）≠ 0）是密切相关的。

如果变量y被常数替换，那么二次函数就是一元二次函数。

二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般公式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点类型：
（a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线
与x轴有交点时，即对应二次好方程
实根x
1
还有X
2
当它存在时，根据二次三项式的分解因子
，二次函数
可以转换为两种类型。

如果没有交点，则不能这样表示。

二次函数一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
② 自变量的最大数量为2个；
③二次项系数不等于零。

二次函数的确定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当B=0，C=0，y=ax时
2
是一个特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成
（a）≠ 0），那么这个函数是二次函数，否则不是。

二次函数概念及其性质

二次函数概念及其性质二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在代数学和几何学中有着广泛的应用。

本文将介绍二次函数的基本概念、性质以及一些相关的知识点。

一、二次函数的定义二次函数是一个以自变量的平方为最高次项的函数。

一般来说，二次函数的标准形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。

二、二次函数的图像特征1. 首先，二次函数的图像通常为一条平滑曲线，被称为抛物线。

抛物线可以开口向上，也可以开口向下。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 其次，二次函数的图像关于其顶点对称。

顶点是抛物线的最低点或最高点，其中横坐标为-x轴方向的对称点。

顶点坐标可以通过求解二次函数的一次导数为零得到。

3. 最后，二次函数的图像可能与x轴相交于两个点、一个点或者没有交点。

这取决于二次函数与x轴的交点个数以及判别式的值。

三、二次函数的性质1. 首先，二次函数的导数是一个一次函数，它可以用来表示抛物线的切线斜率。

具体来说，二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的导数为f'(x) =2ax + b。

2. 其次，二次函数的最值点即为其顶点。

当a>0时，二次函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值为顶点的纵坐标。

最值点的横坐标可以通过求解二次函数的一次导数为零得到。

3. 最后，二次函数的对称轴与顶点的横坐标相等。

对称轴是抛物线的对称轴，它是一条垂直于x轴过抛物线顶点的直线。

对称轴的方程可以通过顶点的横纵坐标得到。

四、二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，二次函数可以描述自由落体运动的位移随时间的变化；在经济学中，二次函数可以用来建模成本、收益等与产量的关系；在工程学中，二次函数可以用来优化问题和设计曲线等。

总结起来，二次函数是一种以自变量的平方为最高次项的函数。

它具有抛物线的图像特征，且与x轴的交点个数取决于判别式的值。

二次函数地定义、图像及性质

二次函数的定义、图像及性质一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。

，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2=+的性质：（上加下减）y ax c3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y有【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+． 5. 关于点()m n，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

二次函数概念深入解析

二次函数概念深入解析一、引言二次函数是数学中常见而重要的函数类型之一。

在数学学习过程中，我们经常接触到二次函数的概念与性质。

本文将对二次函数的基本概念、图像特点以及常见的应用进行深入解析。

二、二次函数的定义与公式二次函数是一个以x的二次方为最高次项的多项式函数，其一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a不等于零。

三、二次函数的基本概念1. 零点：二次函数的零点即为使函数值为零的x值。

它们可以通过解一元二次方程来求得。

2. 领域：二次函数的定义域为全体实数集R。

而它的值域取决于a的正负情况，对于a>0，值域为[0, +∞)，对于a<0，值域为(-∞, 0]。

3. 极值：当二次函数的开口向上时，其为下凸函数，无最大值；当二次函数的开口向下时，其为上凸函数，无最小值。

此时，二次函数的极值点即为顶点，它的坐标可以通过求导数或利用公式x = -b/2a 求得。

4. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的一条直线。

对称轴方程的通用形式是x = -b/2a。

5. 开口方向：二次函数的开口方向取决于二次项的系数a，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

四、二次函数的图像特点1. 开口方向与对称轴：开口向上的二次函数的图像凸向上，对称轴是一条垂直于x轴的直线；开口向下的二次函数的图像凹向上，对称轴同样是一条垂直于x轴的直线。

2. 最值与顶点：对于开口向上的二次函数，它的图像有最小值，即顶点处的函数值；对于开口向下的二次函数，它的图像有最大值，同样是顶点处的函数值。

3. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称，即关于对称轴左右对称。

五、二次函数的常见应用1. 抛物线二次函数的图像通常呈现抛物线形状，因此许多物理、经济等问题可以用二次函数进行建模。

比如抛射运动、物体飞行轨迹等都可以用二次函数进行描述和计算。

2. 最优解在优化问题中，我们常常需要寻找函数的极值点，而在二次函数的情况下，可以通过求导或利用公式求得。

二次函数地定义、图像及性质

二次函数的定义、图像及性质一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函，，是常数，0数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2=+的性质：（上加下减）y ax c3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y有【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

二次函数的基本概念

二次函数的基本概念一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4、()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式【例题选讲】一、二次函数的概念【例1】下列函数中是二次函数的是（）【例2】已知函数是二次函数，则。