6能量表象

(7)
( x ) = x ,则 F `= 1 ,式(2)成 (2)成为
2
∑ ( En − EK ) xnk
n
=h
2
2µ
(8)
F = F (r ) ， 则
此即题 6.2 已经证明的结果。 已经证明的结果。 推 广 到 三 维 情 况 ， 设
∑
n
( En − Ek ) n F k
2
2 h =
2µ
k ∆F k
代入式（ 代入式（8）中，即得能级公式
(11)
n = 0,1, 2,K
1 Ε n = n + hω 2
考虑到式（ ，由式 考虑到式（6） ，由式（ 由式（9）得出
(8)
xk +1,k − xk −1,k
2
2
=
h 2µω
iδ
(12 )
nk 为
适当选择各能量本征函数的相位因子 ( e ) ， 总可使各 x 非负实数， 非负实数，则式（ 则式（12） 12）可以写成（ 可以写成（k 改为 n）
(5)
k F + FH k = E k ∑
n n
k F+ n n F k Fnk
2
+ = E k ∑ Fnk Fnk = E k ∑ n
(6 )
式（3）加式（ ，再减式 ，即得式 加式（4） ，再减式（ 再减式（5）和（6） ，即得式（ 即得式（1） 注意， 注意，如 F 如 F
≠ F+， ， Fnk 和 Fkn 并无简单关系。 并无简单关系。
2
∑ ( Εn − Εk ) xnk
n
2
=h
2
2µ
(1)
证 利用算符 x 的海森伯运动方程 的海森伯运动方程，可得
dx 1 1 px 2 = [ x, Η ] = x, p = dt ih 2ihµ µ
取矩阵元， 取矩阵元，并利用上题结果， 并利用上题结果，即得
( 2)
( px )kn = i µωkn xkn
再利用基本对易式
( 3)
( 4)
[ x, px ] = xpx − px 平均值，即得
ih = ( xpx )kk − ( px x )kk = ∑ xkn ( px )nk − ( px )kn xnk
n
= i µ ∑ (ωnk xkn xnk − ωkn xkn xnk )
第六章 能量表象
6.1 给定总能量算符 Η ( ϒ, Ρ ) ， 以 Εn ,ψ n 表示其本征值和本征 函数。 函数 。 态矢量 ψ n 简记 n 。 按照海森伯运动方程， 按照海森伯运动方程 ， 力学量算符
Α ( ϒ , Ρ ) 的时间变化率算符为
dΑ 1 1 = [ Α, Η] = ( ΑΗ−ΗΑ) dt ih ih
ωkn ≠ ±ω
则 则
xkn = 0 ；
xkn ≠ 0
ωkn = ±ω
2
( 6)
>0
(x )
2
kk
= ∑ xkn xnk = ∑ xnk
n n
(7)
对于任何选定的
Ε k , 必有某些 n 使 xnk ≠ 0 , 则由式(6) 则由式 (6)可 (6) 可
知,能级差 Ε n − Ε k = ± hω ,亦及, 亦及,任意指定一个能级后, 任意指定一个能级后,必然还 存在和它相差
ih + F , H , F = − F + , p F `+ F ` F + , p [ ] 2µ h 2 dF + dF + = F `+ F ` 2 µ dx dx
利用题 6.5 式(1)即得 (1)即得
(
)
( 5)
h2 2 = F ` µ
+ F r , p ( ) F 对于任意算符 及其共轭 ，有下列矩阵元
关系： 关系：
( Fkn ) * = ( k F n
)
*
+ = n F * K = Fnk
试证明在能量表象中有下列求和规则： 试证明在能量表象中有下列求和规则：
∑ ( En − Ek ) ( Fnk
n
2
+ Fkn
2
)
(1)
( 2)
(x
n +1, n
) −(x
2
n , n −1
)
2
= h
2µω
(12 )
`
当 n=0， n=0，上式给出
2 x ( 10 ) = h
2µω
x10 =
h
2µω
(13)
反复利用式（ 反复利用式（12`） 12`）即得
xn +1,n
n +1 h = 2 µω
n = 0,1, 2,K
(14 )
(15 )
再利用式（ ，即得 再利用式（4） ，即得
∑ (E
n
n
− Ek ) Fnk
2
h2 2 = k F` k 2µ
( 2)
其中 F `=
dF dx
证 利用基本对易公式 利用基本对易公式
dF p , F x = − i h = − i hF ` ( ) dx
( 3) 易得
( 4)
[H , F ] =
1 ih 2 P , F = − ( pF `+ F `p ) 2µ 2µ
∑(E
n
k
− En ) 2 | Fkn |2 = 〈 k | [ H , F ][ H , F + ] | k 〉.
(1)
证：利用海森伯运动方程
dF 1 i = [F , H ] = [H , F ] dt i h h
及其共厄方程
( 2)
(3)
dF + i i = [ H , F + ] = − [ H , F ]+ dt h h
以及题 6.1 的式（ 的式（3）
dA { = iωkn Akn，ωkn = （Ek − En）/h} dt kn
将其中 A 改为 F
i dF i ω F = = （Ek − En）Fkn kn kn h dt kn
可得
(4)
h dF 2 2 （Ek − En） | Fkn |2 =| | i dt kn =| 〈 k | [ H , F ] | n〉 |2 = 〈 k | [ H , F ] | n〉〈 n | [ H , F + ] | k 〉 (5)
式（1）两端取能量表象中矩阵元， 两端取能量表象中矩阵元，即得
(4 )
`
1 dΑ = ψk ( ΑΗ−ΗΑ) ψn dt kn ih 1 = ( Εn −Εk ) ψk Α ψn ih = iωkn Αkn
此即式（ 。 此即式（3）
Ρ 6.2 设 Η = 2µ + V ( ϒ ) , 证明求和规则
2
+ = ∑ En Fkn Fnk = ∑ En Fnk
( 3)
k FHF + k = ∑
n n
k F n n HF + k
2
+ = ∑ En Fkn Fnk = ∑ En Fkn n
( 4)
k HFF + k = Ek ∑
n n
k F n n F+ k
+ = E K ∑ Fkn Fnk = Ek ∑ Fkn 2 n
取能量表象矩阵元， 取能量表象矩阵元，即得
( 2)
iωkn pkn = − µω 2 xkn
而上题已得
( 3)
pkn = iωkn µ xkn
式（3）和（4）合并， 合并，即得 xkn = 0
( 4)
(5)
(ω
其中 如 如 由于
2
2 − ωkn ) xkn = 0
k , n 可以理解为能级编号数。 可以理解为能级编号数。由式（ 由式（5）易见： 易见：
Ε k 可以是任何一个特定的能级， 可以是任何一个特定的能级，∑
n
Η=
2 px
2µ
+
1 µω 2 x 2 2
(1)
x, p x 的 矩 阵
试利用前两题所得公式求出全部能级以及 元.
p x 简写成 p 。
解 利用海森伯运动方程， 利用海森伯运动方程，易得
dp 1 µω 2 2 2 = [ p, Η ] = , = − p x x µω dt i h 2i h
定义能量表象中矩阵元
(1)
Ακn ≡ ψk Αψn ≡ κ Α n
证明
( 2)
( 3)
dΑ = iωkn Α kn , dt kn
其中 证
ωkn = ( Εk − Ε n ) h
Η ψn =Εn ψn ,
ψ n 满足本征值方程
( 4)
其共轭方程为
ψ n Η = Εn ψ n .
pn +1,n = iωµ xn +1,n
注意： 注意：
x 的矩阵元为实数， 的矩阵元为实数，
p 的矩阵元为纯虚数。 的矩阵元为纯虚数。因此
*
xn ,n+1 = ( xn+1,n ) = xn+1,n
pn ,n+1 = ( pn+1,n ) = − pn+1,n
*
6.4 设 F
( r , p ) 为厄密算符， 为厄密算符，证明在能量表象中下列成立： 证明在能量表象中下列成立：
∑
N
( En − Ek ) Fnk
2
=
1 k F , [ H , F ] k 2