11中考数学八上-三角形与多边形辅助线专题
八年级上册三角形常见构造辅助线方法
八年级常见构造辅助线方法一、倍长中线类看见中点、中线——倍长中线解读：凡是与中点连线的线段都可看作是中线，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的，构成八字全等． 常见模型：1. 如图，CE ，CB 分别是△ABC ，△ADC 的中线，且∠ACB ＝∠ABC 。
求证：CD ＝2CE.3. 如图：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 的中点，求证：AE ⊥BE 。
二、角平分线类（一）向角两边作垂线解读：过角平分线上的点向角两边作垂线，这是常用辅助线，可以利用边角边构造全等． 常见模型：2. 如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F.求证：AF=EFADC BEEF CDB A1.如图，△ABC中，∠C =90o，BC=10，BD=6，AD平分∠BAC，求点D到AB的距离.2.如图，OC 平分∠AOB，∠DOE +∠DPE =180°。
求证: PD=PE（二）在角两边截取相等的线段看见线段间的数量关系——截长补短解读：在角两边截取相等的线段，常用于解决线段和差问题．只要出现类似EF+的线段关系，AB=CD就可以采取截长补短的方法来做辅助线，注意这个方法可以说是四个方法，由于方向性的不同，所以截长两种，补短两种．常见模型：1.如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.2.如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B3.如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．（三）过角平分线上的点作角平分线的垂线解读：过角平分线上的点作角平分线的垂线，常用于构造“三线合一”，构造等腰三角形． 常见模型：1.如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ，BD 平分∠ABC 。
初二数学辅助线题大全
10 道初二数学辅助线题题目一已知在三角形ABC 中，AB = AC，D 是BC 中点，求证：AD⊥BC。
解析：连接AD，因为AB = AC，D 是BC 中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD⊥BC。
题目二在平行四边形ABCD 中，E 是AB 中点，F 是CD 中点，连接EF，求证：EF 平行且等于AD 的一半。
解析：连接AF、EC，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB⊥CD，AB = CD。
又因为E 是AB 中点，F 是CD 中点，所以AE = CF。
可得四边形AECF 是平行四边形，所以EF⊥AC，EF = AC 的一半。
又因为平行四边形ABCD 中，AD = BC，AC = 2AO（O 为对角线交点），所以EF 平行且等于AD 的一半。
题目三在三角形ABC 中，⊥A = 90°，AB = AC，D 是BC 中点，连接AD，E、F 分别是AB、AC 上的点，且BE = AF，求证：ED⊥DF。
解析：连接AD，因为AB = AC，⊥A = 90°，D 是BC 中点，所以AD = BD = CD，且AD⊥BC，⊥BAD = ⊥CAD = 45°。
可证⊥BDE⊥⊥ADF（SAS），所以⊥BDE = ⊥ADF，又因为⊥ADB = 90°，所以⊥EDF = 90°，即ED⊥DF。
题目四在梯形ABCD 中，AB⊥CD，⊥A + ⊥B = 90°，E、F 分别是AB、CD 的中点，求证：EF = (AB - CD) / 2。
解析：延长AD、BC 交于点G，因为AB⊥CD，所以⊥GDC = ⊥A，⊥GCD = ⊥B。
又因为⊥A + ⊥B = 90°，所以⊥G = 90°。
因为E、F 分别是AB、CD 的中点，所以EF 是梯形ABCD 的中位线，所以EF = (AB + CD) / 2。
在直角三角形GDC 和直角三角形GAB 中，F、E 分别是斜边CD、AB 的中点，所以GF = CD/2，GE = AB/2。
中考数学几何辅助线大全及常考题型解析
中考数学几何辅助线大全及常考题型解析中考数学几何辅助线作法及常考题型解析第一部分常见辅助线做法等腰三角形:1.作底边上的高，构成两个全等的直角三角形2.作一腰上的高； 3.过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。
梯形1.垂直于平行边2.垂直于下底，延长上底作一腰的平行线3.平行于两条斜边4.作两条垂直于下底的垂线5.延长两条斜边做成一个三角形菱形1.连接两对角2.做高平行四边形1.垂直于平行边2.作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3.做高——形内形外都要注意矩形1.对角线2.作垂线很简单。
无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中，常作平行线。
③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
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三角形作辅助性方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出 来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位 置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题例：已知 D ABC 内任一点，求证：/ BDC >/BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ,•••/ BDC >△ EDC 的外角， •••/ BDC >/ DEC同理：/ DEC >Z BAC •••/ BDC >Z BAC证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F•••/ BDF 是厶ABD 的外角,•••/ BDF >Z BAD 同理/ CDF >Z CAD•••/ BDF +Z CDF >Z BAD +Z CAD 即：/ BDC >Z BAC2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形例：已知，如图， AD ABC 的中线且/ 1 = / 2,/ 3 = / 4, 求证：BE + CF > EF证明：在 DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，贝U DN 在厶BDE和厶NDE 中，DN = DB/ 1 = / 2ED = ED•••△ BDE ◎△ NDE• BE = NE 同理可证：CF = NF在厶 EFN 中, EN + FN > EF • BE + CF > EF3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形例：已知，如图， AD ABC 的中线，且/ 1 = / 2, / 3 = / 4,求证：BE + CF >EF 证明：延长 ED 至U M ，使DM = DE ，连结 CM 、FM△ BDE 和厶CDM 中，BD = CD/ 1 = / 5ED = MD•••△ BDE ◎△ CDM• CM = BE又•••/ 1 = / 2, / 3 = / 4/ 1 + / 2 +/ 3 + / 4 = 180°=DCCFC•••/ 3 +Z 2 = 90°即/ EDF = 90/ EDF = 90△ EDF 和厶MDF 中ED = MD/ FDM = / EDFDF = DF• △ EDF ◎△ MDF• EF = MF•••在△ CMF 中，CF + CM > MFBE + CF > EF（此题也可加倍 FD ，证法同上）4.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形 .例：已知，如图， ADABC 的中线，求证： AB + AC >2AD证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE•/ AD ABC 的中线• BD = CD在厶ACD 和厶EBD 中BD = CD/ 1 = / 2AD = ED• △ ACD EBD •/△ ABE 中有 AB + BE >AE • AB + AC > 2AD5. 截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法 .当已知或求证中涉及到线段 a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法: ① a > b ② a ±3 = c ③ a ±3 = c ±i例：已知，如图，在△ ABC 中，AB > AC ，/ 1 = / 2, P 为AD 上任一点，求证：AB — AC > PB - PC证明：⑴截长法： 在AB 上截取AN = AC ，连结PN在厶APN 和厶APC 中，AN = AC/ 1 = / 2AP = AP• △ APN ◎△ APCME•PC = PN•/△ BPN 中有PB —PC v BN••• PB —PC v AB —AC⑵补短法：延长AC至M，使AM = AB，连结PM在厶ABP和厶AMP中AB = AM/ 1 = / 2AP = AP•△ ABP ◎△ AMP•PB = PM又•••在△ PCM 中有CM > PM —PC• AB —AC > PB —PC练习：1.已知，在△ ABC中，/ B = 60o,AD、CE是厶ABC的角平分线,并且它们交于点0求证：AC = AE + CD2•已知，如图，AB // CD / 1 = / 2，/3 = / 4.求证：BC = AB + CD6. 证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
八年级上册数学几何辅助线经典题
八年级上册数学几何辅助线经典题一、概述在数学几何学科中，辅助线是解决问题的重要方法之一。
在八年级上册数学教材中，有许多经典的数学几何辅助线题目，通过这些题目的练习，可以帮助学生更好地掌握辅助线的运用方法，提高解题能力。
本文将针对八年级上册数学几何辅助线经典题进行详细介绍和解析。
二、题目一：相似三角形的辅助线应用题目描述：如图所示，∠ABC=∠ACD=90°，AB=4cm，AC=6cm，CD=9cm，求AD的长度。
解析：根据题目给出的信息，我们可以通过绘制辅助线来解决这道题。
连接BD并延长至E点，使得BE=BC。
接下来，连接AE，可得到相似三角形ABE与ACD。
根据相似三角形的性质，我们可以得出以下等式：AB/AC=BE/AD，即4/6=4/(4+AD)。
通过解方程，可以求得AD=8cm。
三、题目二：三角形中的中位线问题题目描述：如图所示，△ABC中，D为AB的中点，E为AC的中点，连接DE，求证：DE//BC。
解析：这道题目考察了中位线的性质和应用。
根据△ABC的性质，可以得出AD=DC，AE=EB，通过连接DE可以得到四边形ADBE。
根据四边形的性质，可以得出ADBE是一个平行四边形，而平行四边形的对角线互相平分，因此DE//BC。
四、题目三：正方形中的选点问题题目描述：如图所示，ABCD为正方形，E为BC的中点，连接AE，求证：AE⊥CD。
解析：这道题目是典型的正方形中的选点问题。
首先根据正方形的性质可以得出AB⊥BC，BC⊥CD，AD⊥DC，因此AD//BC。
接下来连接AE，并可得到△ADE与△CDE，由△ADE≌△CDE，可得出AE⊥CD。
五、结语通过以上三道典型的数学几何辅助线经典题目的解析，我们可以看到辅助线在解决问题中的重要作用。
通过练习和掌握这些经典题目，不仅可以提高学生的数学运算能力，还可以加深对数学几何知识的理解。
希望学生能够在课堂上认真学习，多加练习，提高自己的解题能力，取得好成绩。
初二数学八上第十一章三角形知识点总结复习和常考题型练习
第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.注意：已知两边可得第三边的取值范围是：两边之差<第三边<两边之和3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.注意：①三角形的三条高是线段；②画三角形的高时，只需要三角形一个顶点向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点，交点叫重心．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注意：①三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 三角形的一个外角和与之相邻的内角互补.过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线.例题精选 1.(2015·郴州中考)以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A.1 cm ，2 cm ，4 cmB.4 cm ，6 cm ，8 cmC.5 cm ，6 cm ，12 cmD.2 cm ，3 cm ，5 cm2.(2015·恩施中考)如图，AB ∥CD ，直线EF 交AB于点E ，交CD 于点F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ，∠1=50°，则∠2等于 ( )A.50°B.60°C.65°D.90°3.(2015·来宾中考)如图，在△ABC 中，已知∠A=80°，∠B=60°，DE ∥BC ，那么∠CED 的大小是 ( )A.40°B.60°C.120°D.140°4.(2015·南平中考)正多边形的一个外角等于30°，则这个多边形的内角和为( )A.720B.1260C.1800D.23405.(2015·来宾中考)如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是()A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形6.(2015·遂宁中考)若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形有条对角线.2．下列说法错误的是()．A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点B．钝角三角形有两条高线在三角形外部C．直角三角形只有一条高线D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线3．如果多边形的内角和是外角和的k倍，那么这个多边形的边数是()．A．k B．2k＋1C．2k＋2 D．2k－24．四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是()．A．四边形的边长B．四边形的周长C．四边形的某些角的大小D．四边形的内角和5．如图，在△ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD＝DE＝EC，则图中面积相等的三角形有()对．A．4 B．5C．6 D．76．在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C，②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，③∠A ＝90°－∠B，④∠A＝∠B－∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有()．A．1个B．2个C．3个D．4个7.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形为()．A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．以上都不对8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是()．A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2(∠1＋∠2)9．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角之间的关系是()．A．相等B．互补C．相等或互补D．互余10．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有_____________．11．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a－b＋c|－|a－b－c|＝__________.12．等腰三角形的周长为20 cm，一边长为6 cm，则底边长为__________．13．如图，∠ABD与∠ACE是△ABC的两个外角，若∠A＝70°，则∠ABD＋∠ACE＝__________.14．四边形ABCD的外角之比为1∶2∶3∶4，那么∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝__________.15．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，那么这个多边形是__________边形．16．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝__________.17．如图，点D，B，C在同一直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝__________.18．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了__________米．19．一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的13，这个正多边形是几边形？20．如图所示，直线AD和BC相交于点O，AB∥CD，∠AOC＝95°，∠B＝50°，求∠A和∠D.21．如图，经测量，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东82°方向，求∠C的度数．22．如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R 的扇形草坪(图中阴影部分)．(1)图①中草坪的面积为__________；(2)图②中草坪的面积为__________；(3)图③中草坪的面积为__________；(4)如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为__________．7．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF ＝2，则S△ABC等于()A．16 B．14 C．12 D．109．如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为()A．115°B．105°C．95°D．85°10．如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系是()A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠314．若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为________．24．(1)如图，一个直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，△ABC中，若∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝__________，∠XBC＋∠XCB＝__________；(2)若改变直角三角板XYZ的位置，但三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．25．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．(1)如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD＋∠D.得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB，CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；(2)在如图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)；(3)根据(2)的结论求如图④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．。
(完整)八年级数学上册几何添辅助线专题
DCB A全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
初二数学三角形辅助线题型
初二数学三角形辅助线题型在初二数学的学习过程中，三角形是一个核心的知识点。
而关于三角形的辅助线问题，更是几何证明与计算中的一大难点。
以下将对初二数学三角形辅助线的常见题型进行深入研究。
一、三角形中线性质三角形中线是连接一个顶点与对边中点的线段。
中线将三角形划分为面积相等的两部分，同时与中线平行且等于中线一半的线段就是三角形的中位线。
这一性质常用于解决与面积、线段长度有关的问题。
二、角平分线性质角平分线是从一个角的顶点出发，将该角平分的线段。
角平分线的一个重要性质是，它到这个角的两边距离相等。
这个性质常用于证明角平分线上的点到两边距离相等，或用于证明某些角的大小关系。
三、垂直平分线性质垂直平分线是一条线段同时垂直平分另一个线段。
垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
这一性质常用于解决与距离、垂直角度有关的问题。
四、三角形的高、中线与角平分线三角形的高是从一个顶点垂直到对边的线段；中线是连接一个顶点与对边中点的线段；角平分线则是从一个角的顶点出发，将该角平分的线段。
这三者之间存在密切的联系，常常在解题过程中相互转化。
五、构造等腰三角形等腰三角形是两边长度相等的三角形。
在解题过程中，有时需要构造一个等腰三角形来简化问题。
构造等腰三角形的方法通常是通过作辅助线来实现的。
六、平行线与三角形平行线的性质在三角形问题中非常重要。
通过引入平行线，可以转化某些问题，使证明或计算变得简单。
平行线的交替内角性质、同位角相等性质等都是解决三角形问题的关键。
七、延长中线至相等长度有时，为了证明某些结论，需要延长三角形的中线至相等长度。
通过这种方式，可以构造出新的三角形或平行线，从而利用已知的性质进行证明。
八、利用中位线定理中位线定理是解决三角形问题的关键工具之一。
通过利用中位线定理，可以证明某些线段平行或相等，或者计算某些角度的大小。
九、直角三角形斜边中线性质在直角三角形中，斜边的中线长度等于斜边的一半。
这一性质常常用于证明斜边的中点到直角顶点的距离等于斜边长度的一半。
初二数学上册辅助线总结
1．遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。
求证：BD=2CE。
解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC 的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。
解答过程：证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD ≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。
2．若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。
求证：ΔABC是等腰三角形。
证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。
又因为AD是BC边上的中线，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分线∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形3．遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
例3：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。
求证：∠B+∠ADC=180°。
解题思路：因为AC是∠BAD的平分线，所以可过点C作∠BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。
解答过程：证明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。
初二数学三角形辅助线题型
初二数学三角形辅助线题型三角形是初中数学中重要的基础知识点，而在解决三角形相关题目时，辅助线是一种常用的解题方法之一。
本文将介绍三角形辅助线的常见题型及解法，帮助初二学生更好地理解和应用辅助线。
1. 垂直与角平分线首先介绍的是垂直与角平分线这一题型。
给定一个三角形ABC，我们需要证明某条辅助线垂直于角A的角平分线。
解题步骤如下：第一步，画出角A的角平分线，假设交点为D；第二部，延长辅助线使其与BC交于点E；第三步，证明∠ABD ≌∠CBD，即证明角A与角C的角平分线互相垂直。
2. 中线、高线及外心连线接下来是中线、高线及外心连线这一题型。
给定一个三角形ABC，我们需要证明某条辅助线是三角形的中线、高线或外心连线。
解题步骤如下：中线：连接AB的中点D与C，证明AD ≌ CD。
高线：从角A的对边BC上引垂线，假设垂足为D，证明角ADC 为直角。
外心连线：连接三角形ABC的外心O与顶点A、B、C，证明AO= BO = CO。
3. 重心连线重心连线是指连接三角形的顶点与其重心的线段。
给定一个三角形ABC，我们需要证明某条辅助线是三角形的重心连线。
解题步骤如下：首先，找到三角形的重心G，即三条中线的交点；连接顶点A与重心G，证明AG = 2/3 * GD；同样的，连接顶点B与重心G，证明BG = 2/3 * GE；连接顶点C与重心G，证明CG = 2/3 * GF。
通过上述三个题型的介绍，我们可以看到辅助线在解决三角形相关题目中起到了重要的作用。
在实际解题过程中，我们需要运用几何性质和定理，灵活使用辅助线来帮助我们证明或解决问题。
需要注意的是，解答题目时要注意清晰的步骤呈现，包括连线、角度证明、线段长度证明等。
同时，要用准确的语言描述每个步骤，并使用清晰的图示来支持解答过程。
总结：三角形辅助线题型是初中数学中的重要思维拓展题目。
通过运用辅助线，我们可以更好地理解和应用三角形的相关性质与定理。
在解题过程中，我们需要灵活运用相关知识，合理利用辅助线来推导证明结论。
八年级数学上第十一章辅助线题型大全ppt课件
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
2.如图,△ABC中,∠C=90o, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.
AD+AE+DE
A
BD+CE+DE
BC
B
D
E
C
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
Ⅳ.中线延长一倍
目的:构造直角三角形,得到斜边相等
适用情况:图中已经存在一条线段MN 和垂直平分线上一个点X
语言描述:连结XM和XN
注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
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连结AD
A
构造全等三角形
B
C
M
N
D
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Ⅰ.连结
典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，
OB=5cm，求OD的长.
连结BD
AC
构造全等三角形
O
D
B
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人教版初二上册课外辅导专题：三角形与多边形
人教版初二上册课外辅导专题：三角形与多边形【考点总汇】一、三角形与多边形的性质1.三角形三边之间的关系：三角形恣意两边的和第三边，恣意两边的差第三边。
2.三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于。
3.三角形的外角定理及推论：〔1〕三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和。
〔2〕三角形的一个外有与它不相邻的任何一个内角。
4.多边形的内角和与外角和定理：〔1〕n边形内角和等于。
〔2〕多边形的外角和等于。
微拨炉：二、命题、定理1.对某一事情作出判别的语句〔或式子〕叫做命题，命题由和两局部组成。
的命题是真命题，的命题是假命题。
2.互逆命题：在两个命题中，假设一个命题的和区分是另一个命题的和，那么这两个命题称为互逆命题。
3.定理：从或其他真命题动身，用推理方法判别为的，并被选作判别命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
4.假设一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，那么这两个定理为定理。
微拨炉：高频考点1、三角形三边的关系【范例】〔1〕以下每组数区分表示三根木棒的长度，将它们首尾衔接后，能摆成三角形的一组是〔〕A.1，2，6 B.2，2，4 C.1，2，3 D.2，3，4〔2〕一个三角形的三条边长区分为2，3，x，那么x的值可以为。
〔只需填一个整数〕得分要领：三角形三边关系主要能处置以下效果：1.判别三条线段能否组成三角形在的三条线段中，假设较短的两条线段之和大于最长的第三条线段，那么这三条线段能组成一个三角形，否那么不能组成一个三角形。
2.确定第三边的取值范围设三角形的两边长为)(,b a b a >，那么第三边长c 必需满足条件：b a c b a +<<-。
由此便可确定第三边长的范围。
【考题回放】1.三角形的两边长区分是3和8，那么该三角形第三边的长能够是〔 〕A.5B.10C.11D.122.以下各组数能够是一个三角形的边长的是〔 〕A.1，2，4B.4，5，9C.4，6，8D.5，5，113.有3cm ，6cm ，8cm ，9cm 的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，那么最多能组成三角形的个数为〔 〕A.1B.2C.3D.44.假定等腰三角形的两条边长区分为7cm 和14cm ，那么它的周长为 cm 。
中考数学专题复习 三角形与多边形
第四章 三角形
第2节 三角形与多边形
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·理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，会按照边长的 关系和角的大小对三角形进行分类，了解三角形的稳定性．
·探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论．证明三角形的任意两边之 和大于第三边．
·了解三角形重心的概念． ·探索并证明三角形的中位线定理． ·了解多边形的定义，多边形的定点、边、内角、外角、对角线等概念；探索 并掌握多边形内角和与外角和公式．
∴BF＝2BT＝2 3.
∵∠A F E ＝120°，∠A F B ＝∠A B F ＝30°，
∴∠B F E ＝90°.
∴S
△PE
F＝
S
△B EF
＝1·E 2
F
·BF
＝1×2×2 2
3＝2
外心 三角形三边垂直平分线的交点，外心到各顶点的距离相等.
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3．(1)下列说法错误的是( D ) A．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 B．三角形的外心是三角形外接圆的圆心 C．三角形的重心到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的 2 倍 D．等腰三角形的四心重合
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2．(1)如图，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是∠BAC 的角平分线，AF ⊥BC 于点 F，∠B＝30°，∠C＝50°.
①BE＝ EC ； ②∠BAD＝ 50 °； ③∠DAF＝ 10 °； ④S△AEC ＝ S△ABE.(填“>”“＜”或“＝”)
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AD×BC×14.
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顶点连中点，倍长造全等 点 D 是 BC 的中点，延长 AD 到 E，使 AD＝DE，则有 点 D 为 BC 的中点，延长 ED △ACD≌△EBD，AC∥BE. 到点 F，使 DF＝ED，连接 CF，则有△BED≌△CFD.
八上几何辅助线专题讲解和练习
八上数学辅助线的添加浅谈一、添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键，是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：出现一点发出的二条相等线段时，往往要连结已知点补完整等腰三角形;（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点，添底边上的中线；（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点，往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边，要添直角三角形斜边上的中线。
（５）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等。
如果出现两条相等线段或两个相等角关于某一直线成轴对称，就可以添加辅助线构造轴对称形全等三角形；或添对称轴，对应点连线的中垂线即为对称轴。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加辅助线构造中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（６）特殊角直角三角形当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明二、基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法方法1：倍长中线法。
有关三角形中线的题目，常将中线倍长构造全等三角形。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质定理和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
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精典专题十一全等三角形复习与巩固
一．知识点回顾
二．精讲精练
类型1、角的平分线的性质及判定
中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. 求证：AE＝AF．
例1、已知：如图，在ABC
举一反三：(变式）如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：BE＝CF.
类型2、巧引辅助线构造全等三角形
(1)．作公共边可构造全等三角形：
例2、如图：在四边形ABCD中，AD∥CB，AB∥CD.求证：∠B＝∠D.
举一反三：(变式)在ΔABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C
(2)．倍长中线法：
例3、已知，如图，△
ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.
F
E
B
A
举一反三：(变式）已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠
ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．
(3)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形
例4、已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求证：AB＝AC＋CD．
举一反三：(变式）如图，AD是ABC
的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.
(1)求证：∠B与∠AHD互补；
(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.
（4）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：
例5、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，
求证：MB－MC＜AB－AC．
举一反三：(变式）如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC
（5）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
例6、如图所示，已知E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．求证：AF＝AD＋CF．
举一反三：如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，
1
2
AE BD
，
求证：BD是∠ABC的平分线．
类型3、全等三角形动态型问题
例7、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F。
（1）如图1当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF。
（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.
举一反三：(变式）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且
在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，求证：CF＝BD
（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由.
三．课堂练习
1、如图，AC=DB，△PAC与△PBD的面积相等．求证：OP平分∠AOB．
2、(变式）如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点. 求证：AD ＝AB＋DC.
3、(变式)如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.
4、(变式)若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x的取值范围是( )
A.1 ＜x＜ 6
B.5 ＜x＜ 7
C.2 ＜x＜ 12
D.无法确定
5、在ΔABC中，AB＞AC.求证：∠B＜∠C
6、如图（1），AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，点C是BD上一点．且BC＝DE，CD＝AB．
（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第（1）问中AC与BE的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）。