2020高考数学(文数)考点测试刷题本49 抛物线(含答案解析)
2020年 高考数学(文科) 历年真题模拟题 高分必刷题之 抛物线
[基础题组练]1．抛物线y ＝ax 2(a <0)的准线方程是( ) A ．y ＝－12aB ．y ＝－14aC ．y ＝12aD ．y ＝14a解析：选B.抛物线y ＝ax 2(a <0)可化为x 2＝1a y ，准线方程为y ＝－14a.故选B.2．已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2，2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.由题意得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，那么M ⎝⎛⎭⎫4－p 2，4在抛物线上，即16＝2p ⎝⎛⎭⎫4－p2，即p 2－8p ＋16＝0，解得p ＝4.3．(2019·四川成都检测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A (0，－3)．若线段F A 与抛物线C 相交于点M ，则|MF |＝( )A.43 B.53 C.23D.33解析：选A.由题意，F (1，0)，|AF |＝2，设|MF |＝d ，则M 到准线的距离为d ，M 的横坐标为d －1，由三角形相似，可得d －11＝2－d 2，所以d ＝43，故选A.4．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝8xC ．y 2＝6xD ．y 2＝4x解析：选B.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线定义， x 1＋x 2＋p ＝8，因为AB 的中点到y 轴的距离是2，所以x 1＋x 22＝2，所以p ＝4；所以抛物线方程为y 2＝8x .故选B. 5．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝⎛⎭⎫±33p ，－p2.又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6.答案：66．(2019·云南大理州模拟)在直角坐标系xOy 中，有一定点M (－1，2)，若线段OM 的垂直平分线过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．解析：依题意可得线段OM 的垂直平分线的方程为2x －4y ＋5＝0， 把焦点坐标⎝⎛⎭⎫0，p 2代入可求得p ＝52， 所以准线方程为y ＝－54.答案：y ＝－547．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x －4所得的弦长|AB |＝35，求此抛物线方程．解：设所求的抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线y ＝2x －4代入y 2＝ax ，得4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0，由Δ＝(a ＋16)2－256>0，得a >0或a <－32. 又x 1＋x 2＝a ＋164，x 1x 2＝4，所以|AB |＝（1＋22）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝5⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1642－16＝35， 所以5⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1642－16＝45，所以a ＝4或a ＝－36.故所求的抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x .8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k F A ＝43，因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34.所以F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②， 解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.[综合题组练]1．已知抛物线x 2＝4y 上一动点P 到x 轴的距离为d 1，到直线l ：x ＋y ＋4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A.552＋2B.522＋1C.522－2 D.522－1解析：选D.抛物线x 2＝4y 的焦点F (0，1)，由抛物线的定义可得d 1＝|PF |－1，则d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1，而|PF |＋d 2的最小值等于焦点F 到直线l 的距离，即(|PF |＋d 2)min ＝52＝522，所以d 1＋d 2的最小值是522－1.2．(综合型)(2019·湖北武汉部分学校调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，若|NF |＝4，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 3 C ．3 3D ．2 2解析：选B.法一：因为直线MF 的斜率为3，MN ⊥l ，所以∠NMF ＝60°，又|MF |＝|MN |，且|NF |＝4，所以△NMF 是边长为4的等边三角形，所以M 到直线NF 的距离为2 3.故选B.法二：由题意可得直线MF 的方程为x ＝33y ＋p 2，与抛物线方程联立消去x 可得y 2－233py －p 2＝0，解得y ＝－33p 或y ＝3p ，又点M 在x 轴上方，所以M ⎝⎛⎭⎫3p 2，3p ，因为MN ⊥l ，所以N ⎝⎛⎭⎫－p2，3p ，所以|NF |＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 22＋（0－3p ）2＝2p .由题意2p ＝4，解得p ＝2，所以N (－1，23)，F (1，0)，直线NF 的方程为3x ＋y －3＝0，且点M 的坐标为(3，23)，利用点到直线的距离公式可得M 到直线NF 的距离为|33＋23－3|3＋1＝2 3.故选B.法三：由题意可得直线MF 的方程为x ＝33y ＋p 2，与抛物线方程联立消去x 可得y 2－233py －p 2＝0，解得y ＝－33p 或y ＝3p ，又点M 在x 轴上方，所以M ⎝⎛⎭⎫3p 2，3p ，因为MN ⊥l ，所以N ⎝⎛⎭⎫－p2，3p ，所以|NF |＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 22＋（0－3p ）2＝2p .由题意2p ＝4，解得p ＝2，所以N (－1，23)，F (1，0)，M (3，23)，设M 到直线NF 的距离为d ，在△MNF 中，S △MNF ＝12|NF |×d ＝12|MN |×y M ，所以d ＝14×4×23＝23，故选B. 3．(应用型)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则A (2，－2)，将其坐标代入x 2＝－2py ，得p ＝1.所以x 2＝－2y .当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，将其坐标代入x 2＝－2y ，得x 20＝6，所以x 0＝ 6.所以水面宽|CD |＝2 6 m. 答案：2 64．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与C 的交点为P ，与y 轴的交点为Q ，且|PF |＝32|PQ |，则抛物线C 的方程为________．解析：设P (x 0，4)．将点P 的坐标代入y 2＝2px (p >0)，得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，|PF |＝p2＋8p .由题意得p 2＋8p ＝32×8p.又p >0，解得p ＝2 2.所以抛物线C 的方程为y 2＝42x . 答案：y 2＝42x5．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.6．(综合型)如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． 因为点P (1，2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB . 则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k P A ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，② 所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4.由 ①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1.。
2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(五十四)抛物线 Word版含解析
课时跟踪练(五十四)A 组 基础巩固1．(2019·黄山模拟)若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( )A ．(8，8)B ．(8，－8)C ．(8，±8)D ．(－8，±8)解析：设P (x P ，y P )，因为点P 到焦点的距离等于它到准线x ＝－2的距离，所以x P ＝8，则y P ＝±8，所以点P 的坐标为(8，±8)．故选C.答案：C2．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，P 为C 上2一点，若|PF |＝4，则△POF 的面积为( )2A ．2B ．2C ．2D ．423解析：如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋＝4，得x 0＝3，222代入抛物线方程得，y ＝4×3＝24，所以|y 0|＝2，20226所以S △POF ＝|OF ||y 0|＝××2＝2.1212263答案：C3．(2019·茂名模拟)若动圆的圆心在抛物线y ＝x 2上，且与直112经y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )A ．(0，2)B ．(0，－3)C ．(0，3)D ．(0，6)解析：直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0，3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0，3)．答案：C4．(2019·河南百校联盟联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝(O 为坐标原点)，则·32OM → ＝( )MF →A ．－B. C. D ．－74749494解析：不妨设M (m ，)(m >0)，易知抛物线C 的焦点F 的坐2pm 标为，因为|MO |＝|MF |＝，所以解得m ＝，p ＝(p 2，0)32{m 2＋2pm ＝94，m＋p 2＝32，)122，所以＝，＝，所以·＝－2＝－.OM → (12，2)MF → (12，－2)OM → MF → 1474故选A.答案：A5．(2019·长沙模拟)已知点P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆C ：(x ＋2)2＋(y －4)2＝1上的一个动点，则x 0＋|PQ |的最小值为( )A ．2－1B ．255C ．3D ．4解析：设抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0)，过点P (x 0，y 0)作准线l ：x ＝－1的垂线，垂足为N ，则x 0＋|PQ |＝|PN |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|CF |－2＝－2＝5－2＝3，当且仅当C ，P ，F 三点共（1＋2）2＋42线且点Q 在线段CF 上时取等号，则x 0＋|PQ |的最小值是3，故选C.答案：C6．(2019·福州模拟)函数y ＝a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点P ，则焦点在x 轴上且过点P 的抛物线的标准方程是________________．解析：设抛物线的方程为y 2＝mx (m ≠0)，由题意知点P 的坐标为(1，1)，代入y 2＝mx ，可得m ＝1，所以焦点在x 轴上且过点P 的抛物线的标准方程是y 2＝x .答案：y 2＝x7．(2019·玉溪模拟)已知F 是抛物线y ＝x 2的焦点，M 、N 是该抛物线上的两点，|MF |＋|NF |＝3，则线段MN 的中点到x 轴的距离为________．解析：抛物线的焦点为，准线为y ＝－，过M ，N 作准线(0，14)14的垂线，垂足分别为M ′，N ′，则|MM ′|＝|MF |，|NN ′|＝|NF |，所以|MM ′|＋|NN ′|＝|MF |＋|NF |＝3，设线段MN 的中点为P ，过P 作准线的垂线，垂足为P ′，则|PP ′|＝＝，|MM ′|＋|NN ′|232所以线段MN 的中点P 到x 轴的距离为|PP ′|－＝－＝.14321454答案：548．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且l 与准线交于点C ，若＝4，CB → BF →则＝________．|AF ||BF |解析：根据题意，设|AF |＝a ，|BF |＝b，过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，则有|BF |＝|BN |＝b ，|AF |＝|AM |＝a ，因为＝4，所以|CB |＝4|BF |，即|CB |＝4|BN |，CB → BF →又BN ∥AM ，所以|CA |＝4|AM |，即4b ＋b ＋a ＝4a ，变形可得＝，a b 53即＝.|AF ||BF |53答案：539．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px的准线为x ＝－，于是4＋＝5，p 2p2所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)由(1)知点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2)．又因为F (1，0)，所以k FA ＝.43因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－，34所以FA 的方程为y ＝(x －1)，①43MN 的方程为y ＝－x ＋2，②34由①②联立得x ＝，y ＝，8545所以点N 的坐标为.(85，45)10．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为2的直线交2抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若＝＋λ，求λOC → OA → OB →的值．解：(1)直线AB 的方程是y ＝2，2(x －p2)与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，5p4所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由(1)知p ＝4，4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，又x 1＜x 2，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－2，y 2＝4，22从而A (1，－2)，B (4，4)．22设＝(x 3，y 3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，OC →2222又y ＝8x 3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0232或λ＝2.B 组 素养提升11．(2019·太原模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝|AB |，则∠AFB 的最大值为( )233A. B. C. D.π33π45π62π3解析：设|AF |＝m ，|BF |＝n ，因为|AF |＋|BF |＝|AB |，233所以|AB |≥2，所以mn ≤|AB |2，233mn 13在△AFB 中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝＝m 2＋n 2－|AB |22mn＝≥－，（m ＋n ）2－2mn －|AB |22mn13|AB |2－2mn 2mn 12所以∠AFB 的最大值为.故选D.2π3答案：D12．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A.B ．2C ．2D ．35233解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝(x －1)．3联立得方程组{y ＝3（x －1），y 2＝4x ，)解得或{x ＝13，y ＝－233，){x ＝3，y ＝23.)因为点M 在x 轴的上方，所以M (3，2)．3因为MN ⊥l ，所以N (－1，2)．3所以|NF |＝＝4，（1＋1）2＋（0－23）2|MF |＝|MN |＝＝4.（3＋1）2＋（23－23）2所以△MNF 是边长为4的等边三角形．所以点M 到直线NF 的距离为2.3故选C.答案：C13．(2019·衡水中学月考)已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆：x 2＋(y ＋1)2＝1相切，且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是________．解析：因为直线l 与圆相切，所以＝1⇒k 2＝t 2＋2t .再把直|t ＋1|1＋k 2线l 的方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t ＝16t (t ＋3)>0，解得t >0或t <－3.答案：t >0或t <－314．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若＝2，求直线AB 的斜率；AF → FB →(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：(1)依题意知F (1，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.因为＝2，所以y 1＝－2y 2.AF → FB →联立上述三式，消去y 1，y 2，得m ＝±.24所以直线AB 的斜率是±2.2(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2×·|OF |·|y 1－y 2|12＝＝4，（y 1＋y 2）2－4y 1y 21＋m 2所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.。
高三数学抛物线试题答案及解析
高三数学抛物线试题答案及解析1.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在其准线上的射影为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，由抛物线定义，．而余弦定理，，再由，得到，所以的最大值为，故选：A．【考点】双曲线的简单性质.2.已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）x2－x＋y2＝4（2）存在，(1，－2)和(1,2)【解析】(1)连接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9．设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简，得到x2－x＋y2＝4．(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．由方程组，得x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2．故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．3.动直线l的倾斜角为60°，且与抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．【答案】x2＝y【解析】设直线l的方程为y＝x＋b，联立，消去y，得x2＝2p(x＋b)，即x2－2px－2pb＝0，∴x1＋x2＝2p＝3，∴p＝，则抛物线的方程为x2＝y．4.已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于点在抛物线C：的准线上，所以，设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D.【考点】1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式.5.已知抛物线C：的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】由抛物线的方程可知焦点，直线的斜率为，则直线的方程为，设.将直线方程和抛物线方程联立削去并整理可得，解得.所以.故B正确.【考点】1直线与抛物线的位置关系；2数形结合思想.6.设点P是曲线y＝x2上的一个动点，曲线y＝x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y＝x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为________．【答案】【解析】设P(x0，x2)，又y′＝2x，则直线PQ的方程为y＝－＋＋x2.代入y＝x2得x2＋－－x2＝0，即(x－x)＝0，所以点Q的坐标为.从而PQ2＝2＋2，令t＝4x2，则PQ2＝f(t)＝t＋＋＋3(t>0)，则f′(t)＝，即f(t)在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故当t＝2时，PQ有最小值.7.已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1，0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l与抛物线C2分别相交于A ，B两点．(1)如图所示，若，求直线l的方程；(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．【答案】（1）；（2）长轴长的最小值为.【解析】（1）首先求得抛物线方程为.设直线方程为，并设利用，得到；联立，可得，应用韦达定理得到，从而得到，求得直线方程.（2）可求得对称点，代入抛物线中可得：，直线方程为，考虑到对称性不妨取,椭圆设为联立直线、椭圆方程并消元整理可得，由，可得，即得解.（1）由题知抛物线方程为。
高考数学专题《抛物线》习题含答案解析
专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。
高中数学抛物线练习(有答案)
1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：FK p =③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。
⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。
所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。
所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。
所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。
，py x py x 2222-== 4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。
③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中一般情况归纳：抛物线的定义：例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程． 分析：点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等，符合抛物线定义．例2：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长．分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．由⎩⎨⎧+==142x y x y 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
新教材高考数学一轮复习49抛物线训练含解析新人教B版
新教材高考数学一轮复习：四十九 抛物线(建议用时：45分钟) A 组 全考点巩固练1．(2021·银川一中高三模拟)若抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A ．－1716B ．－1516C ．716D ．1516B 解析：由抛物线的方程y ＝－4x 2，可得标准方程为x 2＝－14y ，则焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，－116，准线方程为y ＝116.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义可得－y 0＋116＝1，解得y 0＝－1516.2．(2020·湖南长沙第一中学第七次联考)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的一点．若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8D 解析：由题意得，△OFM 的外接圆半径为6，△OFM 的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线x ＝p 4上，圆心到准线x ＝－p 2的距离等于6，即有p 4＋p2＝6，解得p ＝8.故选D.3．(2020·湖北十堰第二中学二诊)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 作斜率为1的直线l 1与抛物线C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线l 2与x 轴交于点P .若|PF |＝6，则|MN |＝( )A ．10B ．12C ．14D ．16B 解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由题意知直线MN ：y ＝x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，则y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－p 2.设线段MN 的中点为A (x 0，y 0)，则y 1＋y 22＝p ＝y 0，代入y ＝x －p 2中，解得x 0＝32p ，故直线l 2：y －p ＝－⎝⎛⎭⎫x －3p 2.令y ＝0，得x ＝5p2，故|PF |＝2p ＝6，则y 1＋y 2＝6，y 1y 2＝－9，则|MN |＝2|y 1－y 2|＝2×62＝12.4．(2020·绵阳市高三三模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过抛物线的焦点作x 轴的垂线，与抛物线交于A ，B 两点，点M 的坐标为(－2,0)，且△ABM 为直角三角形，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4xB 解析：设点A 位于第一象限，直线AB 的方程为x ＝p2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝p 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2，y ＝±p ，所以点A ⎝⎛⎭⎫p 2，p .因为△ABM 为等腰直角三角形，由抛物线的对称性可得出|AM |＝|BM |，所以直线AM 的斜率为1，即k AM ＝pp 2＋2＝1，解得p ＝4.因此，以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x .5．(多选题)(2020·济宁市高三一模)已知直线l 过抛物线C ：y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于M ，N 两点．若线段MN 的长是16，MN 的中点到y 轴的距离是6，O 是坐标原点，则( )A ．抛物线C 的方程是y 2＝－8xB ．抛物线的准线方程是y ＝2C ．直线MN 的方程是x －y ＋2＝0D ．△MON 的面积是8 2AD 解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|MN |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝16.又MN 的中点到y 轴的距离为6，所以－x 1＋x 22＝6，所以x 1＋x 2＝－12，所以p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝－8x ，故A 项正确． 抛物线C 的准线方程是x ＝2，故B 项错误．设直线l 的方程是x ＝my －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝－8x ，x ＝my －2，消去x 得y 2＋8my －16＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－8m ，y 1·y 2＝－16， 所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－8m 2－4＝－12，解得m ＝±1. 故直线l 的方程是x －y ＋2＝0或x ＋y ＋2＝0，故C 项错误． S △MON ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝64＋64＝82，故D 项正确．6．(2020·池州市高三一模)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，P 是抛物线C 在x 轴上方一点，以P 为圆心，3为半径的圆过点F ，且被y 轴截得的弦长为25，则抛物线C 的方程为____________．y 2＝4x 解析：设P (x 0，y 0)，由抛物线的定义知|PF |＝p2＋x 0＝3，则点P 到y 轴的距离为x 0＝3－p2>0.由垂径定理知，5＋⎝⎛⎭⎫3－p 22＝9，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . 7．(2020·宜宾高三月考)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.6 解析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F ′，作MB ⊥l 于点B ，NA ⊥l 于点A .由抛物线的解析式可得准线方程为x ＝－2，则 |AN |＝2，|FF ′|＝4.在直角梯形ANFF ′中，|BM |＝|AN |＋|FF ′|2＝3.由抛物线的定义有|MF |＝|MB |＝3.结合题意，有|MN |＝|MF |＝3，故|FN |＝|FM |＋|NM |＝3＋3＝6.8．(2020·西安中学高三模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 斜率为3的直线l ′与抛物线C 交于点M (M 在x 轴的上方)，过M 作MN ⊥l 于点N ，连接NF 交抛物线C 于点Q ，则|NQ ||QF |＝________.2 解析：由抛物线定义可得|MF |＝|MN |，又斜率为3的直线l ′倾斜角为π3，MN ⊥l ，所以∠NMF ＝π3，即△MNF 为正三角形．因此NF 的倾斜角为2π3.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－3⎝⎛⎭⎫x －p 2，解得x ＝p 6或x ＝3p 2(舍)，即x Q ＝p 6，|NQ ||QF |＝p 6－⎝⎛⎭⎫－p 2p 2－p6＝2.9．设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，M (p ，p －1)是C 上的点． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与C 交于A ，B 两点，且|AF ||BF |＝13，求k 的值． 解：(1)因为M (p ，p －1)是C 上的点，所以p 2＝2p (p －1)．因为p >0，解得p ＝2， 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＝4y ，得x 2－4kx －8＝0，Δ＝16k 2＋32>0， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－8.由抛物线的定义知，|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，则|AF ||BF |＝(y 1＋1)·(y 2＋1)＝(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋9＝4k 2＋9＝13，解得k ＝±1.B 组 新高考培优练10．(2020·邯郸一模)抛物线y 2＝8x 的焦点为F .设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( ) A.π3B.3π4C.5π6D.2π3D 解析：设|AF |＝m ，|BF |＝n . 因为|AF |＋|BF |＝233|AB |， 所以233|AB |≥2mn ，所以mn ≤13|AB |2，当且仅当m ＝n 时等号成立．在△AFB 中，由余弦定理得 cos ∠AFB ＝m 2＋n 2－|AB |22mn＝(m ＋n )2－2mn －|AB |22mn＝13|AB |2－2mn 2mn ≥－12，所以∠AFB 的最大值为2π3.11．(2020·福建质量检测)设抛物线E ：y 2＝6x 的弦AB 过焦点F ，|AF |＝3|BF |，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A ′，B ′，则四边形 AA ′B ′B 的面积等于( )A ．4 3B ．8 3C ．16 3D ．32 3C 解析：(方法一)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以，可设直线AB 的方程x ＝my ＋32.代入E 的方程，整理得y 2－6my －9＝0，故y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－9，不妨设y 1>y 2.因为|AF |＝3|BF |，所以y 1＝－3y 2，解得y 1＝33，y 2＝－3，m ＝33，所以A ⎝⎛⎭⎫92，33，B ⎝⎛⎭⎫12，－3. 故|AA ′|＝92＋32＝6，|BB ′|＝12＋32＝2，|A ′B ′|＝|y 1－y 2|＝43，故四边形AA ′B ′B的面积为12(|AA ′|＋|BB ′|)·|A ′B ′|＝12×(6＋2)×43＝16 3.(方法二)设弦AB 与x 轴的夹角为θ，则有|AF |＝p 1－cos θ＝31－cos θ，|BF |＝p1＋cos θ＝31＋cos θ，所以31－cos θ＝3×31＋cos θ，所以cos θ＝12，故θ＝60°.故|AA ′|＝|AF |＝6，|BB ′|＝|BF|＝2，|A′B′|＝|AB|sin θ＝43，所以直角梯形AA′B′B的面积为12(|AA′|＋|BB′|)·|A′B′|＝12×(6＋2)×43＝16 3.(方法三)如图所示，作BG⊥AA′，垂足为G，连接A′F.设|BF|＝m，则|AF|＝3m.由抛物线的定义知|AA′|＝3m，|A′G|＝|BB′|＝|BF|＝m，所以|AB|＝4m，|AG|＝2m，所以∠BAA′＝60°，即△F AA′为正三角形，故∠B′A′F＝30°，故|AA′|＝|A′F|＝2p＝6＝3m，解得m＝2.故|AA′|＝6，|BB′|＝2，|A′B′|＝43，所以四边形AA′B′B的面积为12(|AA′|＋|BB′|)·|A′B′|＝12×(6＋2)×43＝16 3.12．(多选题)已知O是坐标原点，A，B是抛物线y＝x2上不同于O的两点，且OA⊥OB，下列结论中正确的是()A．|OA|·|OB|≥2B．|OA|＋|OB|≥2 2C．直线AB过抛物线y＝x2的焦点D．O到直线AB的距离小于或等于1ABD解析：设A(x1，x21)，B(x2，x22)(x1≠0，x2≠0)．∵OA⊥OB，∴OA→·OB→＝0，∴OA→·OB→＝(x1，x21)·(x2，x22)＝x1x2＋x21x22＝x1x2(1＋x1x2)＝0，∴1＋x1x2＝0，∴x2＝－1x1，∴|OA |·|OB | ＝(x 21＋x 41)·(x 22＋x 42)＝(x 21＋x 41)⎝⎛⎭⎫1x 21＋1x 41＝1＋x 21＋1x 21＋1 ≥2＋2x 21·1x 21＝2，当且仅当x 21＝1x 21，即x 1＝±1时等号成立，故选项A 正确． 又|OA |＋|OB |≥2|OA |·|OB |≥22，故选项B 正确．∵直线AB 的斜率为x 22－x 21x 2－x 1＝x 2＋x 1＝x 1－1x 1，∴直线AB 的方程为y －x 21＝⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1(x －x 1)．当x ＝0时，y ＝1，焦点坐标⎝⎛⎭⎫0，14不满足直线AB 的方程，故选项C 错误．原点(0,0)到直线AB ：⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1x －y ＋1＝0 的距离d ＝1⎝⎛⎭⎫x 1－1x 12＋12≤1，故选项D 正确．13．已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________．655－1 解析：如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1.连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1.由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.14．设抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为(1,1)．(1)求抛物线E 的标准方程；(2)若B ，C 为抛物线E 上的两个动点(异于点A )，且BA ⊥BC ，求点C 的横坐标的取值范围．解：(1)依题意得F ⎝⎛⎭⎫0，p2，设A (x 0，y 0)． 由AF 的中点坐标为(1,1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝x 02，1＝y 0＋p22，即x 0＝2，y 0＝2－p2，所以4＝2p ⎝⎛⎭⎫2－p 2， 得p 2－4p ＋4＝0，解得p ＝2. 所以抛物线E 的标准方程为x 2＝4y .(2)由题意知A (2,1)．设B ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，C ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224，则k BA ＝x 214－1x 1－2＝14(x 1＋2)． 因为x 1≠－2，所以k BC ＝－4x 1＋2，所以BC 所在直线方程为y －x 214＝－4x 1＋2(x －x 1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －x 214＝－4x 1＋2(x －x 1)，x 2＝4y .因为x ≠x 1，得(x ＋x 1)(x 1＋2)＋16＝0， 即x 21＋(x ＋2)x 1＋2x ＋16＝0. 因为Δ＝(x ＋2)2－4(2x ＋16)≥0， 即x 2－4x －60≥0，故x ≥10或x ≤－6. 经检验，当x ＝－6时，不满足题意．所以点C 的横坐标的取值范围是(－∞，－6)∪[10，＋∞)．15．(2020·厦门一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在抛物线C 上．若|AO |＝|AF |＝32.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与抛物线C 交于点P ，Q .若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．解：(1)因为点A在抛物线C上，|AO|＝|AF|＝32，所以点A的纵坐标为p4.所以p4＋p2＝32.所以p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)由题意知直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋b(b≥0)，代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以y1＋y2＝4k2＋2b.因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以2k2＋b＝1，即2k2＝1－b≥0.所以0<b≤1.所以S△OPQ＝12b|x1－x2|＝12b·(x1＋x2)2－4x1x2＝12b16k2＋16b＝b2＋2b＝2·b3＋b2(0<b≤1)．设y＝b3＋b2，y′＝3b2＋2b>0，函数单调递增，所以b＝1时，△OPQ的面积最大，最大值为2.。
【高考复习】2020年高考数学(文数) 抛物线 小题练(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(文数)抛物线 小题练一、选择题1.抛物线y=4ax 2(a≠0)的焦点坐标是( )A ．(0，a)B ．(a ，0)C ．⎝⎛⎭⎫0，116a D ．⎝⎛⎭⎫116a ，02.到定点A(2，0)与定直线l ：x=-2的距离相等的点的轨迹方程为( )A ．y 2=8xB ．y 2=-8xC ．x 2=8yD ．x 2=-8y3.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为( )A ．4B ．6C ．8D ．124.抛物线y=14x 2的准线方程是( )A ．y=-1B ．y=-2C ．x=-1D ．x=-25.已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2=±22x B ．y 2=±2x C ．y 2=±4x D ．y 2=±42x6.抛物线y=2x 2的准线方程是( )A ．x=12B ．x=－12C ．y=18D ．y=－187.若抛物线x 2=4y 上的点P(m ，n)到其焦点的距离为5，则n=( )A ．194B ．92 C ．3 D ．48.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2=6，则|AB|等于( )A ．4B ．6C ．8D ．109.若抛物线y 2=2px(p>0)上的点A(x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A ．0.5B ．1C ．1.5D ．210.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF|=32|MN|，则点F 到MN 的距离为( ) A.12B ．1 C. 3 D ．211.过抛物线C ：y 2=2px(p ＞0)的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M(M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，若|NF|=4，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 3 C ．3 3 D ．2 212.抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( ) A.43 B ．－43 C ．±43 D ．－169二、填空题13.已知动圆过点(1，0)，且与直线x=-1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．14.已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2=4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．15.抛物线y 2=14x 的焦点坐标是________．16.已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2=4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．17.已知点M(-1，1)和抛物线C ：y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB=90°，则k=________．18.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF|=32|MN|，则∠NMF=________．答案解析1.答案为：C ；解析：将y=4ax 2(a≠0)化为标准方程得x 2=14a y(a≠0)，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116a ，故选C ．2.答案为：A ；解析：由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p=4，焦点在x 轴正半轴上，故选A ．3.答案为：B ；解析：依题意得，抛物线y 2=8x 的准线方程是x=-2，因此点P 到该抛物线准线的距离为4＋2=6，故选B ．4.答案为：A ；解析：依题意，抛物线x 2=4y 的准线方程是y=-1，故选A ．5.答案为：D ；解析：由题意知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线C 的方程为y 2=±2px(p＞0)，则p 2=2，所以p=22，所以抛物线C 的方程为y 2=±42x.故选D.6.答案为：D ；解析：抛物线y=2x 2的标准方程为x 2=12y ，其准线方程为y=－18.7.答案为：D ；解析：抛物线x 2=4y 的准线方程为y=－1，根据抛物线的定义可知，5=n ＋1，得n=4，故选D.8.答案为：C ；解析：由抛物线y 2=4x 得p=2，由抛物线定义可得|AB|=x 1＋1＋x 2＋1=x 1＋x 2＋2， 又因为x 1＋x 2=6，所以|AB|=8，故选C ．9.答案为：D ；解析：由题意3x 0=x 0＋p 2，x 0=p 4，则p22=2，∵p>0，∴p=2，故选D ．10.答案为：B ；由题可知|MF|=2，设点N 到准线的距离为d ，由抛物线的定义可得d=|NF|，因为|NF|=32|MN|，所以cos ∠NMF=d |MN|=|NF||MN|=32，所以sin ∠NMF=1－⎝⎛⎭⎪⎫322=12，所以点F 到MN 的距离为|MF|sin ∠NMF=2×12=1，故选B.11.答案为：B ；∵直线MF 的斜率为3，MN ⊥l ，∴∠NMF=60°，又|MF|=|MN|，且|NF|=4， ∴△NMF 是边长为4的等边三角形，∴M 到直线NF 的距离为2 3.故选B.12.答案为：B ；解析：将y=1代入y 2=4x 可得x=14，即A ⎝⎛⎭⎫14，1.由题可知，直线AB 经过焦点F(1,0)，所以直线AB 的斜率k=1－014－1=－43，故选B.13.答案为：y 2=4x ；解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x=-1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2=4x ．14.答案为：(1,0)；解析：由题知直线l 的方程为x=1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a)(a ＞0)． 又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a=4，即a=1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．15.答案为：⎝⎛⎭⎫116，0；解析：由于抛物线y 2=2px 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，因此抛物线y 2=14x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫116，0.16.答案为：(1，0)；解析：由题意得a>0，设直线l 与抛物线的两交点分别为A ，B ，不妨令A 在B 的上方，则A(1，2a)，B(1，-2a)，故|AB|=4a=4，得a=1，故抛物线方程为y 2=4x ， 其焦点坐标为(1，0)．17.答案为：2；解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21-y 22=4x 1-4x 2，所以k=y 1－y 2x 1－x 2=4y 1＋y 2．取AB 的中点M′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x=-1 的垂线，垂足分别为A′，B′．因为∠AMB=90°，所以|MM′|=12|AB|=12(|AF|＋|BF|)=12(|AA′|＋|BB′|)．因为M′为AB 的中点，所以MM′平行于x 轴．因为M(-1，1)，所以y 0=1，则y 1＋y 2=2，所以k=2．18.答案为：π6； 解析：过N 作准线的垂线，垂足是P ，则有|PN|=|NF|，∴|PN|=32|MN|，∠NMF=∠MNP ． 又cos ∠MNP=32，∴∠MNP=π6，即∠NMF=π6．。
高三数学抛物线试题答案及解析
高三数学抛物线试题答案及解析1.过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于、两点，是坐标原点，当时，直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可知，点的横坐标时，满足，此时，故直线（即直线）的斜率的取值范围是.故选D.【考点】抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系.2.抛物线y＝2ax2(a≠0)的焦点是( )A．(，0)B．(，0)或(－，0)C．(0，)D．(0，)或(0，－)【答案】C【解析】将方程改写为，可知2p＝，当a＞0时，焦点为(0，)，即(0，)；当a＜0时，焦点为(0，－)，即(0，)；综合得，焦点为(0，)，选C考点:抛物线的基本概念3.设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为()A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝x D．y2＝x【答案】B【解析】设M(x0,0)，P(0，y)，N(x，y)，∵⊥，＝(x0，－y)，＝(1，－y0)，∴(x0，－y)·(1，－y)＝0，∴x0＋y2＝0．由＝2，得(x－x0，y)＝2(－x，y)，∴即∴－x＋＝0，即y2＝4x．故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x．故选B．4.已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）x2－x＋y2＝4（2）存在，(1，－2)和(1,2)【解析】(1)连接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9．设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简，得到x2－x＋y2＝4．(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．由方程组，得x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2．故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．5.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得：，设A、B，则所求三角形的面积为=，故选D.【考点】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.6.若，则称点在抛物线C：外．已知点在抛物线C：外，则直线与抛物线C的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】A【解析】因为点在抛物线C：外，所以由与联立方程组消得：因此，所以直线与抛物线相交.【考点】直线与抛物线位置关系7.已知直线:与抛物线:交于两点,与轴交于,若,则_______.[【答案】【解析】解方程组得或，由得：.【考点】1、直线与圆锥曲线的关系；2、向量的运算.8.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由抛物线的定义得，，，故，，故，，又，故，从而．【考点】抛物线定义.9.已知直线交抛物线于两点．若该抛物线上存在点，使得为直角，则的取值范围为________．【答案】【解析】根据题意不妨设，则⊥∴∵为直角，点C与点A不同，∴∴∵∴10.如图，设抛物线的顶点为A，与x 轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点P，则点P落在AOB内的概率是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】解：设抛物线与轴正半轴及轴的正半轴所围成的区域的面积为则设事件“随机往M内投一点P，则点P落在AOB内”则,故选:C.【考点】1、定积分；2、几何概型.11.已知抛物线C：，点A、B在抛物线C上.（1）若直线AB过点M（2p，0），且=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（2）设直线OA、OB的倾斜角分别为，且，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）过定点【解析】（1）当直线斜率不存在时方程为，与的交点分别为M，N ，弦长。
高三数学抛物线试题答案及解析
高三数学抛物线试题答案及解析1.设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为__________．【答案】.【解析】抛物线的焦点坐标为（0，2），所以双曲线的焦点在y轴上且c=2，所以双曲线的方程为，即a2=n＞0，b2=-m＞0，所以a＝，又e＝，解得n=1，所以b2=c2-a2=4-1=3，即-m=3，m=-3，所以双曲线的方程为，故答案为：．【考点】１．抛物线的简单性质；２．双曲线的简单性质．2.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.（1）证明: 为定值;（2）若△POM的面积为，求向量与的夹角；(3)证明直线PQ恒过一个定点.【答案】（1）见解析； (2) ；(3)直线PQ过定点E（1，－4）.【解析】（1）设点根据、M、A三点共线，得计算得到=5；(2)设∠POM=α，可得结合三角形面积公式可得tanα="1."根据角的范围，即得所求.(3)设点、B、Q三点共线，据此确定进一步确定的方程，化简为得出结论.试题解析：（1）设点、M、A三点共线，2分5分(2)设∠POM=α，则由此可得tanα=1. 8分又 10分(3)设点、B、Q三点共线，即 12分即 13分由（*）式，代入上式，得由此可知直线PQ过定点E（1，－4）. 14分【考点】抛物线及其几何性质，直线方程，直线与抛物线的位置关系，转化与化归思想.3.已知抛物线C: y2 =2px（p>0）的准线L，过M（l，0）且斜率为的直线与L相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=____ 。
【答案】2【解析】由题意可得，抛物线的焦点为，准线为．，为AB的中点．直线方程为，由题意可得,故由中点公式可得，把点B的坐标代入抛物线可得,解得.【考点】直线与抛物线的位置关系4.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．【答案】（1）－y2＝1（2）(－1，－)∪(，1)【解析】(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1．(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，由题意得，故k2≠且k2<1①．设A(xA ，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝，由·>2得xA xB＋yAyB>2，x A xB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，于是>2，即>0，解得<k2<3②．由①②得<k2<1，所以k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．5.已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】圆的方程为，则其直径长圆心为，设的方程为，代入抛物线方程得：设，有∴线段的长按此顺序构成一个等差数列，，即，解得，故选A.【考点】1.抛物线的几何性质；2.直线与抛物线相交问题.6.已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】过A，B及线段AB的中点C向抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，Q，CQ交y轴于T，由抛物线的定义知|AM|+|BN|=|AF|+|BF|=3，因为CQ是直角梯形AMNB的中位线所以CQ|=(|AM|+|BN)=，所以|CT|=|CQ|－|TQ|=－=7.已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M作圆的两条切线，切点为A、B，.（1）求抛物线E的方程；（2）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标.【答案】（1）y2＝4x；（2）点N坐标为或.【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，利用抛物线的准线，得到M点的坐标，利用圆的方程得到圆心C的坐标，在中，可求出，在中，利用相似三角形进行角的转换，得到的长，而，从而解出P的值，即得到抛物线的标准方程；第二问，设出N点的坐标,利用N、C点坐标写出圆C的方程，利用点C的坐标写出圆C的方程，两方程联立，由于P、Q是两圆的公共点，所以联立得到的方程即为直线PQ的方程，而O点在直线上，代入点O的坐标，即可得到s、t的值，即得到N点坐标.试题解析：（1）由已知得，C(2，0)．设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．于是，所以，即，p＝2．故抛物线E的方程为y2＝4x． 5分（2）设N(s，t)．P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．圆D方程为，即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0．①又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0．②②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0．③ 9分P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，．故点N坐标为或． 12分【考点】抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质.8.如图，已知抛物线C的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C上一点A作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q两点.（1）若直线PQ过定点，求点A的坐标；（2）对于第（1）问的点A，三角形APQ能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD的个数；若不能，说明理由.【答案】（1）,（2）一个【解析】（1）确定抛物线标准方程只需一个独立条件，本题条件为已知通径长所以抛物线的方程为.直线过定点问题，实际是一个等式恒成立问题.解决问题的核心是建立变量的一个等式.可以考虑将直线的斜率列为变量，为避开讨论，可设的方程为，与联立消得，则，设点坐标为，则有，代入化简得：因此，点坐标为，（2）若三角形APQ为等腰直角三角形，则的中点与点A连线垂直于.先求出的中点坐标为，再讨论方程解的个数，这就转化为研究函数增减性，并利用零点存在定理判断零点有且只有一个.试题解析：(1)设抛物线的方程为,依题意,,则所求抛物线的方程为. (2分)设直线的方程为,点、的坐标分别为.由,消得.由,得,,.∵,∴.设点坐标为,则有.,,∴或.∴或, ∵恒成立. ∴.又直线过定点,即,代入上式得注意到上式对任意都成立,故有,从而点坐标为. (8分)(2)假设存在以为底边的等腰直角三角形,由第（1）问可知,将用代换得直线的方程为.设,由消,得.∴,.∵的中点坐标为,即,∵,∴的中点坐标为.由已知得,即.设,则,在上是增函数.又,,在内有一个零点.函数在上有且只有一个零点,所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个. (12分)【考点】直线与抛物线关系，零点存在定理9.在平面直角坐标系中，已知三点，直线AC的斜率与倾斜角为钝角的直线AB的斜率之和为，而直线AB恰好经过抛物线)的焦点F并且与抛物线交于P、Q两点（P在Y轴左侧）．则（）A．9B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，且．令，，则，所以，且，由此可解得．由抛物线的方程知焦点为，因此设直线的方程为，代入抛物线方程，得，解得或，所以由题意知，．由图形特征根据三角形相似易知．【考点】1、直线的斜率；2、直线方程；3、直线与抛物线的位置关系．10.抛物线y2＝－8x的准线方程是________．【答案】x＝2【解析】∵2p＝8，∴p＝4，故所求准线方程为x＝2.11.下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.【答案】2【解析】设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，即x＝±，所以水面宽为2.12.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于()A．2B．2C．4D．2【答案】B【解析】由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则M到焦点的距离为xM+=2+=3,∴p=2,∴y2=4x. ∴=4×2,∴|OM|===2.故选B.13.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|=.【答案】2【解析】设A(x0,y),由抛物线定义知x+1=2,∴x=1,则直线AB⊥x轴,∴|BF|=|AF|=2.14.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若·=0,则k等于()(A) (B) (C) (D)2【答案】D【解析】法一设直线方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),由得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,∴x1+x2=,x 1x2=4,由·=0,得(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2]=0,代入整理得k2-4k+4=0,解得k=2.故选D.法二如图所示,设F为焦点,取AB中点P,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H,连接MF,MP,由·=0,知MA⊥MB,则|MP|=|AB|=(|AG|+|BH|),所以MP为直角梯形BHGA的中位线,所以MP∥AG∥BH,所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,又|AG|=|AF|,|AM|=|AM|,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠AGM=90°,则MF⊥AB,所以k=-=2.15.已知F是抛物线y2=4x的焦点,P是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点,则|FP|的最小值是() A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心C坐标为(4,4),半径为1,∵|PF|≥|CF|-1,∴当P、C、F三点共线时,|PF|取到最小值,由y2=4x知F(1,0),∴|PF|min=-1=4.故选B.16.已知点A(4,4)在抛物线y2=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A作直线l:x=-的垂线,垂足为M,则∠MAF的平分线所在直线的方程为.【答案】x-2y+4=0【解析】点A在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF的平分线所在的直线就是线段MF的垂直平分线,kMF==-2,所以∠MAF的平分线所在的直线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0.17.设M(x0,y)为抛物线C:y2=8x上一点,F为抛物线C的焦点,若以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则x的取值范围是()A．(2,+∞)B．(4,+∞) C．(0,2)D．(0,4)【答案】A【解析】∵(x0,y)为抛物线C:y2=8x上一点,∴x≥0,又∵以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,∴在水平方向上,点M应在点F的右侧,∴x>2.18.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y)(y>0)作两直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,的值为.【答案】-2【解析】设直线PA的斜率为kPA ,PB的斜率为kPB,由=2px1,=2px,得kPA==,同理kPB=,由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,因此=-,即y1+y2=-2y(y>0),那么=-2.19.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上,则p=()A．B．1C．2D．3【答案】C【解析】由已知(,0)在圆x2+y2+2x-3=0上,所以有+2×-3=0,即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去).20.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】作出图形,可知点(0,1)在抛物线y2=4x外.因此,过该点可作抛物线y2=4x的切线有两条,还能作一条与抛物线y2=4x的对称轴平行的直线,因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.21.如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值.(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【答案】(1) b=-1 (2) (x-2)2+(y-1)2=4【解析】(1)由得x2-4x-4b=0(*)因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0.解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)为x2-4x+4=0.解得x=2,代入x2=4y,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.22.过抛物线焦点的直线交其于，两点，为坐标原点．若，则的面积为（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】设直线的倾斜角为及，∵，∴点到准线的距离为，∴，则．∴的面积为．故选C.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.23.如图X15－3所示，已知圆C1：x2＋(y－1)2＝4和抛物线C2：y＝x2－1，过坐标原点O的直线与C2相交于点A，B，定点M的坐标为(0，－1)，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.(1)求证：MA⊥MB；(2)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：设直线AB的方程为y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2－kx－1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－1.又·＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－k2－1＋k2＋1＝0，∴MA⊥MB.(2)设直线MA的方程为y＝k1x－1，MB的方程为y＝k2x－1，k1k2＝－1.解得或∴A(k1，－1)，同理可得B(k2，－1)，∴S1＝|MA||MB|＝|k1k2|.又解得或∴D ，同理可得E . ∴S 2＝|MD||ME|＝.＝λ＝＝≥.故λ的取值范围是.24. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP|＝|PB|，求△FAB 的面积． 【答案】(1) y 2＝8x (2) 24【解析】解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p×8， ∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x. (2)直线l 2与l 1垂直，故可设l 2：x ＝y ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M. 由得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ， ∴ x 1x 2＝＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M(8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝·|FM|·|y 1－y 2|＝3＝24.25. 已知抛物线方程为x 2＝4y ，过点M (0，m )的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4，则m 的值为________． 【答案】1【解析】设直线方程为y ＝kx ＋m ，代入抛物线方程得x 2－4kx －4m ＝0，所以x 1x 2＝－4m ，所以m ＝1.26. 抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（2，0） B ．（0，2） C ．（l ，0） D ．（0，1）【答案】D 【解析】因为，所以，因为焦点在的正半轴，所以焦点坐标为即。
高三数学抛物线试题答案及解析
高三数学抛物线试题答案及解析1.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在其准线上的射影为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，由抛物线定义，．而余弦定理，，再由，得到，所以的最大值为，故选：A．【考点】双曲线的简单性质.2.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.（1）证明: 为定值;（2）若△POM的面积为，求向量与的夹角；(3)证明直线PQ恒过一个定点.【答案】（1）见解析； (2) ；(3)直线PQ过定点E（1，－4）.【解析】（1）设点根据、M、A三点共线，得计算得到=5；(2)设∠POM=α，可得结合三角形面积公式可得tanα="1."根据角的范围，即得所求.(3)设点、B、Q三点共线，据此确定进一步确定的方程，化简为得出结论.试题解析：（1）设点、M、A三点共线，2分5分(2)设∠POM=α，则由此可得tanα=1. 8分又 10分(3)设点、B、Q三点共线，即 12分即 13分由（*）式，代入上式，得由此可知直线PQ过定点E（1，－4）. 14分【考点】抛物线及其几何性质，直线方程，直线与抛物线的位置关系，转化与化归思想.3.以抛物线y2＝8x上的任意一点为圆心作圆与直线x＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是()A．(0,2)B．(2,0)C．(4,0)D．(0,4)【答案】B【解析】x＋2＝0为抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，故这些圆恒过定点(2,0)．4.（5分）（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（）A．n=0B．n=1C．n=2D．n≥3【答案】C【解析】根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．进而可知这样的三角形有2个．解：y2=2px（P＞0）的焦点F（，0）等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2px（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x轴轴对称两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x﹣），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．故n=2，故选C点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．主要是利用抛物线和正三角形的对称性．5.已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】圆的方程为，则其直径长圆心为，设的方程为，代入抛物线方程得：设，有∴线段的长按此顺序构成一个等差数列，，即，解得，故选A.【考点】1.抛物线的几何性质；2.直线与抛物线相交问题.6.抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出抛物线的图象如下图所示，则点为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义的可知，则点到直线的距离与到点的距离之差等于，当、、三点不共线时，由三角形三边之间的关系可知，，当点为射线与抛物线的交点时，，此时点到直线的距离与到点的距离取到最大值，故选D.【考点】1.抛物线的定义；2.数形结合7.（2011•浙江）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M（1）求点M到抛物线C1的准线的距离；（2）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意画出简图为：由于抛物线C1：x2=y准线方程为：y=﹣，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心M（0，4），利用点到直线的距离公式可以得到距离d==．（2）设点P（x0，x2），A（x1，x12），B（x2，x22）；由题意得：x0≠0，x2≠±1，x1≠x2，设过点P的圆c2的切线方程为：y﹣x2=k（x﹣x）即y=kx﹣kx+x2①则，即（x02﹣1）k2+2x（4﹣x2）k+（x2﹣4）2﹣1=0设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2应该为上述方程的两个根，∴，；代入①得：x2﹣kx+kx0﹣x2="0" 则x1，x2应为此方程的两个根，故x1=k1﹣x，x2=k2﹣x∴kAB =x1+x2=k1+k2﹣2x=由于MP⊥AB，∴kAB •KMP=﹣1⇒故P∴．8.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由抛物线的定义得，，，故，，故，，又，故，从而．【考点】抛物线定义.9.抛物线的焦点坐标为．【答案】【解析】由于，焦点在轴的正半轴，所以，抛物线的焦点坐标为．【考点】抛物线的几何性质．10.已知抛物线：和：的焦点分别为，交于两点（为坐标原点），且.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交的下半部分于点，交的左半部分于点，点坐标为，求△面积的最小值.【答案】（1）；（2）8.【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、向量垂直的充要条件、两点间距离公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用抛物线的标准方程得到焦点的坐标，从而得到向量坐标，联立2个抛物线方程，解方程组，可求出A点坐标，从而得到向量的坐标，由于，所以，利用这个方程解出P的值，从而得到抛物线的方程；第二问，先设出过点O的直线方程，直线和抛物线联立，得到M点坐标，直线和抛物线联立得到N点坐标，由于，利用两点间距离公式得到3个边长，再利用基本不等式求面积的最小值.试题解析：（1）由已知得：，，∴ 1分联立解得或，即，，∴ 3分∵，∴，即，解得，∴的方程为． 5分『法二』设，有①，由题意知，，，∴1分∵，∴，有，解得， 3分将其代入①式解得，从而求得，所以的方程为． 5分（2）设过的直线方程为联立得，联立得 7分在直线上，设点到直线的距离为，点到直线的距离为则 8分10分当且仅当时，“”成立，即当过原点直线为时，11分△面积取得最小值． 12分『法二』联立得，联立得， 7分从而，点到直线的距离，进而9分令，有， 11分当，即时，即当过原点直线为时，△面积取得最小值． 12分【考点】抛物线的标准方程及其几何性质、向量垂直的充要条件、两点间距离公式、三角形面积公式.11.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为的最大值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，，由抛物线定义，得．在中，由余弦定理，得,,,,故选B.【考点】1.抛物线的定义；2.基本不等式.12.已知抛物线的焦点为,点为抛物线上的一点，其纵坐标为，.（1）求抛物线的方程；（2）设为抛物线上不同于的两点，且，过两点分别作抛物线的切线，记两切线的交点为，求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】(1)对于开口向上的抛物线来说，，代入坐标，解出;(2)设,利用导数的几何意义，利用点斜式方程，分别设出过两点的切线方程，然后求出交点的坐标，结合，所得到的关系式，设，以及的坐标，将点的坐标转化为一个未知量表示的函数，，用未知量表示，转化为函数的最值问题，利用二次函数求最值的方法求出.中档偏难题型. 试题解析：（1）由抛物线定义得： 2分抛物线方程为 4分（2）设且即 6分 又处的切线的斜率为 处的切线方程为和由得8分设，由得10分 当时，12分【考点】1.抛物线的定义；2.导数的几何意义；3.函数的最值.13. 已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线交抛物线于A 、B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M.(1)求证：A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列；(2)设直线MF 交该抛物线于C 、D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值． 【答案】（1）见解析（2）32【解析】(1)证明：由已知，得F(0，1)，显然直线AB 的斜率存在且不为0, 则可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由消去y ，得x 2－4kx －4＝0，显然Δ＝16k 2＋16>0.所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，由x 2＝4y ，得y ＝x 2，所以y′＝x,所以，直线AM 的斜率为k AM ＝x 1, 所以，直线AM 的方程为y －y 1＝x 1(x －x 1)，又＝4y 1,所以，直线AM 的方程为x 1x ＝2(y ＋y 1)①，同理，直线BM 的方程为x 2x ＝2(y ＋y 2)②，②－①并据x 1≠x 2得点M 的横坐标x ＝，即A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列．(2)解：由①②易得y ＝－1，所以点M 的坐标为(2k ，－1)(k≠0).所以k MF ＝＝－，则直线MF 的方程为y ＝－x ＋1，设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)由消去y ，得x 2＋x －4＝0，显然Δ＝＋16>0,所以x 3＋x 4＝－，x 3x 4＝－4，又|AB|＝＝＝4(k 2＋1)，|CD|＝＝，因为k MF ·k AB ＝－1，所以AB ⊥CD ， 所以S ACBD ＝|AB|·|CD|＝8≥32,当且仅当k ＝±1时，四边形ACBD 面积取到最小值32.14. 如图，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．【答案】y 2＝3x【解析】由抛物线定义，|BF|等于B 到准线的距离． 由|BC|＝2|BF|，得∠BCM ＝30°. 又|AF|＝3，从而A.由A 在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝.15. 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A,B 两点.若|AF|=3,则|BF|= . 【答案】【解析】由题意知,抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知,点A 到准线x=-1的距离为3∴点A 的横坐标为2.将x=2代入y 2=4x 得y 2=8, 由图知点A 的纵坐标y=2, ∴A(2,2),∴直线AF 的方程为y=2(x-1). 由解得或由图知,点B 的坐标为,∴|BF|=-(-1)=.16. 若已知点Q(4,0)和抛物线y=x 2+2上一动点P(x,y),则y+|PQ|最小值为( ) A ．2+2 B ．11 C ．1+2 D ．6【答案】D【解析】抛物线y=+2的准线是y=1,焦点F(0,3).用抛物线的定义:设P 到准线的距离为d, 则y+|PQ|=d+1+|PQ|=|PF|+|PQ|+1≥|FQ|+1=5+1=6(当且仅当F,Q,P 共线时取等号), 故y+|PQ|的最小值是6.17. 设x 1,x 2∈R,常数a>0,定义运算“*”:x 1*x 2=(x 1+x 2)2-(x 1-x 2)2,若x≥0,则动点P(x,)的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【答案】D【解析】∵x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,∴==2. 则P(x,2).设P(x1,y1),即消去x得=4ax1(x1≥0,y1≥0),故点P的轨迹为抛物线的一部分.18.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】作出图形,可知点(0,1)在抛物线y2=4x外.因此,过该点可作抛物线y2=4x的切线有两条,还能作一条与抛物线y2=4x的对称轴平行的直线,因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.19.已知M是y=x2上一点,F为抛物线的焦点.A在C:(x-1)2+(y-4)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值为()A．2B．4C．8D．10【答案】B【解析】【思路点拨】利用抛物线的定义,数形结合求解.由题意可知,焦点坐标为F(0,1),准线方程为l:y=-1.过点M作MH⊥l于点H,由抛物线的定义,得|MF|=|MH|.∴|MA|+|MF|=|MH|+|MA|,当C,M,H,A四点共线时,|MA|=|MC|-1,|MH|+|MC|有最小值, 于是,|MA|+|MF|的最小值为4-(-1) -1=4.20.过抛物线焦点的直线交其于，两点，为坐标原点．若，则的面积为（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】设直线的倾斜角为及，∵，∴点到准线的距离为，∴，则．∴的面积为．故选C.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.21.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．【答案】（1）y 2＝8x .（2）24【解析】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M . 由得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)，故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝|FM |·|y 1－y 2|＝3＝24.22. 抛物线y ＝x 2上的点到直线x ＋y ＋1＝0的最短距离为________． 【答案】【解析】由于f ′(x )＝2x ，设与直线x ＋y ＋1＝0平行且与抛物线相切的直线与抛物线切于点A (x 0，y 0)，由导数几何意义可知2x 0＝－1，求得切点为.切点A到直线x ＋y ＋1＝0的距离最小，由点到直线距离公式易得最小值为23. O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )A ．2B ．2C ．2D ．4【答案】C【解析】由题意知抛物线的焦点F(，0)，如图，由抛物线定义知|PF|＝|PM|，又|PF|＝4，所以x P ＝3，代入抛物线方程求得y P ＝2，所以S △POF ＝·|OF|·y P ＝2.24. 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P(x ，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则的最小值是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】依题意知x≥0，焦点F(1,0)，则|PF|＝x ＋1，|PA|＝＝.当x ＝0时，＝1；当x>0时，1<＝≤＝(当且仅当x ＝1时取等号)．因此当x≥0时，1≤≤，≤≤1，的最小值是.25.设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若为的重心，则的值为( )A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由条件，∵是的重心，则有，即，而.【考点】1.重心公式；2.焦半径公式.26.已知点Ｆ为抛物线的焦点，O为原点，点Ｐ是抛物线准线上一动点，Ａ在抛物线上，且＝４，则＋的最小值是【答案】【解析】∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为-2，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（-2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）,则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|=,故答案.【考点】抛物线的简单性质.27.已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵焦点为，∴设直线为，∵直线交抛物线于两点，∴∴消参得，设，∴，∵线段的中点的纵坐标为-2，∴，∴，∴抛物线的准线方程为.【考点】1.直线的方程；2.韦达定理；3.抛物线的焦点、准线；4.中点坐标公式.28.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则此双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【答案】C．【解析】因为抛物线的焦点的坐标为又抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，．由已知抛物线与双曲线在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则点的横坐标为1，代入得再把代入，与联立得方程组消去得，解这个关于的双二次方程，得．【考点】抛物线与双曲线简单的几何性质（焦点、离心率）．29.某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段，已知跳水板长为2m，跳水板距水面的高为3m，=5m，=6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点m（）时达到距水面最大高度4m，规定：以为横轴，为纵轴建立直角坐标系.（1）当=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可以将抛物线的方程设为顶点式.由顶点（3,4），然后代入点可将抛物线方程求出；（2）将抛物线的方程设为顶点式，由点得.将用表示.跳水运动员在区域内入水时才能达到压水花的训练要求，所以方程在区间[5,6]内有一解，根据抛物线开口向下，由函数的零点与方程的根的关系，令，由，且可得的取值范围.试题解析：（1）由题意知最高点为，，设抛物线方程为， 4分当时，最高点为（3,4），方程为，将代入，得，解得.当时，跳水曲线所在的抛物线方程. 8分（2）将点代入得，所以.由题意，方程在区间[5,6]内有一解. 10分令，则，且.解得. 14分达到压水花的训练要求时的取值范围. 16分【考点】1.抛物线的顶点式方程；2.函数的零点与方程的根.30.如图，已知抛物线焦点为，直线经过点且与抛物线相交于，两点（Ⅰ）若线段的中点在直线上，求直线的方程；（Ⅱ）若线段，求直线的方程【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)根据已知条件设出未知的点的坐标和斜率，根据两点间的斜率公式和中点坐标公式找等价关系，求出直线的斜率，由已知得的根据斜截式求出直线方程； (Ⅱ)设出直线的方程为，这样避免讨论斜率的存在问题，与抛物线的方程联立方程组，得到根与系数的关系，根据直线与抛物线相交的交点弦的长来求参数的值试题解析：解：(Ⅰ)由已知得交点坐标为， 2分设直线的斜率为，，,中点则，，所以，又，所以4分故直线的方程是：6分(Ⅱ)设直线的方程为，7分与抛物线方程联立得，消元得，9分所以有，，11分所以有，解得，13分所以直线的方程是：，即15分【考点】1、直线的方程；2、直线与圆锥曲线的关系31.抛物线的准线截圆所得弦长为2，则= .【答案】2【解析】抛物线的准线为，而圆化成标准方程为，圆心，，圆心到准线的距离为，所以，即.【考点】1.抛物线的准线方程；2.勾股定理.32.在平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设，是轴上的两点，过点分别作轴的垂线，与曲线分别交于点，直线与x轴交于点，这样就称确定了．同样，可由确定了．现已知，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据抛物线的定义及标准方程求解；（Ⅱ）先由求，再由求.试题解析：（Ⅰ）因为曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，根据抛物线定义知，曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为． 4分（Ⅱ）由题意知，，，则，故． 6分令，得，即． 8分同理，， 9分于是． 10分【考点】抛物线的概念、曲线的交点.33.已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】据已知可得直线的方程为，联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得，由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或.【考点】1.直线与抛物线的位置关系；2.方程组的解法.34.如图所示，设抛物线的焦点为，且其准线与轴交于，以，为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为P.（1）当时，求椭圆的方程；（2）是否存在实数，使得的三条边的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）依题意由抛物线方程容易得椭圆的方程，代入既得椭圆方程；（2）假设存在满足条件的实数，由抛物线和椭圆方程求交点P，使得，求得.试题解析：（1）抛物线的焦点为, 1分椭圆的半焦距，离心率，所以椭圆的长半轴长，短半轴长，3分所以椭圆的方程为, 4分当时，椭圆的方程. 6分（2）假设存在满足条件的实数由，解得, 8分，，, 11分所以的三条边的边长分别是，，所以当时使得的三条边的边长是连续的自然数. 13分【考点】1、抛物线和椭圆的方程及性质;2.存在性问题.35.（5分）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（）A．B．2C．D．1【答案】D【解析】由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），∴点F（2，0）到直线的距离d==1．故选D．36.过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D。
2020高考数学(文)一轮复习课时作业 49抛物线 含解析
如图，不妨设点A在第一象限，设∠AFx＝θ，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则由抛物线的定义知xA＋1＝2＋3cosθ＝3，解得cosθ＝ .又|BF|＝xB＋1＝1－|BF|cosθ＋1＝2－ |BF|，所以|BF|＝ .
答案：
8．[2019·合肥质量检测]抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(在第一象限内)作l的垂直PQ，垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为________．
解析：因为抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(3,0)，所以抛物线C的方程为y2＝12x，其准线方程为x＝－3.由抛物线的定义可得|PiF|＝xi＋3(i＝1,2，…，2 017)，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P2 017F|＝(x1＋3)＋(x2＋3)＋…＋(x2 017＋3)＝x1＋x2＋…＋x2 017＋3×2 017＝8 068.
又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，
∴1＋ ＋1＋k2 －k ＋1＝0，
整理得 － ＋1＝0，解得k＝2.
答案：2
C．11pD．12p
解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p，
∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p，故选B.
答案：B
二、填空题
6．[2019·长沙市，南昌市部分学校联合模拟]已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(3,0)，P1，P2，…，P2017是抛物线C上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x2 017，若x1＋x2＋…＋x2 017＝2 017，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P2 017F|＝________.
(完整版)抛物线练习题(含答案)
抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线 x＋ 2y＝ 3 距离相等的点的轨迹是 ()A ．直线B．抛物线C．圆D．双曲线2．抛物线 y2＝ x 上一点 P 到焦点的距离是 2，则 P 点坐标为 ()3，± 67，± 79，± 35，± 10A. 22B. 42C. 42D. 223．抛物线 y＝ ax2的准线方程是y＝ 2，则 a 的值为 ()11A. 8 B ．－8C． 8D．－ 84．设抛物线 y2＝ 8x 上一点 P 到 y 轴的距离是4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是 ()A ．4B ． 6C． 8D． 125．设过抛物线的焦点 F 的弦为 AB，则以 AB 为直径的圆与抛物线的准线的地址关系是()A ．订交B ．相切C．相离D．以上答案都有可能6．过点 F(0,3)且和直线 y＋ 3＝0 相切的动圆圆心的轨迹方程为 ()A ．y2＝ 12xB ．y2＝－ 12x C． x2＝ 12y D ．x2＝－ 12y7．抛物线 y2＝ 8x 上一点 P 到 x 轴距离为12，则点 P 到抛物线焦点 F 的距离为 ()A ．20B ．8C． 22D． 248．抛物线的极点在坐标原点，焦点是椭圆4x2＋ y2＝ 1 的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为 ()11A． 2 3 B. 3 C.2 3 D.4 39．设抛物线的极点在原点，其焦点F 在 y 轴上，又抛物线上的点(k，－ 2)与 F 点的距离为4，则 k 的值是 ()A． 4 B ． 4 或－ 4C．－ 2 D ．2 或－ 212的焦点坐标是 ()10．抛物线 y＝m x (m<0)A.0，mB. 0，－mC. 0，1D. 0，－1 444m4m11．抛物线的极点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,2 5) 到焦点的距离是6，则抛物线的方程为 ()A． y2＝－ 2x B ．y2＝－ 4x C． y2＝ 2x D． y2＝－ 4x 或 y2＝－ 36x12．已知抛物线y2＝2px(p>0) 的准线与圆 (x－ 3)2＋ y2＝ 16 相切，则p 的值为 () 1A. 2 B ． 1C．2 D ．4二、填空题13．过抛物线焦点 F 的直线与抛物线订交于A 、B 两点，若A 、B 在抛物线准线上的射影是A 1、B 1，则∠ A 1FB 1=。
抛物线的试题及答案高中
抛物线的试题及答案高中一、选择题1. 已知抛物线方程为 \( y^2 = 4px \)，其中 \( p > 0 \)，该抛物线的焦点坐标是（）。
A. \( (0, 0) \)B. \( (p, 0) \)C. \( (0, p) \)D. \( (2p, 0) \)答案：B2. 若抛物线 \( y = ax^2 + bx + c \) 经过点 \( (1, 0) \)，则下列哪个条件一定成立？（）A. \( a + b + c = 0 \)B. \( a + b + c = 1 \)C. \( a - b + c = 0 \)D. \( a - b + c = 1 \)答案：A二、填空题3. 抛物线 \( x^2 = 4y \) 的准线方程是 ________。
答案：\( y = -1 \)4. 抛物线 \( y = -2x^2 + 4x + 5 \) 的顶点坐标是 ________。
答案：\( (1, 6) \)三、解答题5. 已知抛物线 \( y = 2x^2 - 4x + 5 \)，求其焦点坐标和准线方程。
解：首先，将抛物线方程 \( y = 2x^2 - 4x + 5 \) 转化为标准形式\( x^2 = \frac{1}{2}(y - 5) \)。
由此可知，\( p = \frac{1}{4} \)，焦点坐标为 \( (0, \frac{5}{4}) \)，准线方程为 \( y = -\frac{3}{4} \)。
6. 抛物线 \( x^2 = 6y \) 与直线 \( y = mx + 2 \) 相交于两点 A 和 B。
求直线 AB 的斜率。
解：将直线方程 \( y = mx + 2 \) 代入抛物线方程 \( x^2 = 6y \) 得 \( x^2 = 6(mx + 2) \)。
整理得 \( x^2 - 6mx - 12 = 0 \)。
设A 点坐标为 \( (x_1, y_1) \)，B 点坐标为 \( (x_2, y_2) \)，由韦达定理得 \( x_1 + x_2 = 6m \)，\( x_1x_2 = -12 \)。
2020年高考数学一轮复习考点题型课下层级训练49抛物线(含解析)
课下层级训练(四十九) 抛物线[A 级 基础强化训练]1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2【答案】D [分两类a >0，a <0，可得y ＝112x 2或y ＝－136x 2.]2．已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．8【答案】C [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2＝12，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝6.]3．(2019·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2yD ．x 2＝y【答案】C [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则p2＋p2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .]4．(2019·山东聊城模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交该抛物线于A ，B 两点，点A 在第一象限，若|AF |＝3，则直线l 的斜率为( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2 2【答案】D [根据|AF |＝3可知A 点到准线的距离为3，故A 点的横坐标为2，故纵坐标为22，由AF 的坐标解出直线l 的斜率k ＝2 2.]5．直线l 过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是____________．【答案】x 2＝8y [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2＋p ＝6，∴p ＝4.即抛物线方程为x 2＝8y .] 6．(2019·山东威海模拟)设O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l ，焦点为F ，过F 且斜率为3的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且|AF |>|BF |，若直线AO 与l 相交于D ，则|OF ||BD |＝____________．【答案】34[过F 且斜率为3的直线方程为y ＝3(x －1)，与抛物线C ：y 2＝4x 联立解得A (3,23)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，则直线AO 方程为y ＝233x 与准线l ：x ＝－1的交点D ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－233，因此|OF ||BD |＝143＝34.] 7．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝____________．【答案】2 [方法一 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′， 则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2．方法二 由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2．由M (－1,1)，得AM →＝(－1－x 1,1－y 1)，BM →＝(－1－x 2,1－y 2)． 由∠AMB ＝90°，得AM →·BM →＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0．又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴1＋2k 2＋4k2＋1＋k 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k＋1＝0，解得k ＝2.]8．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ． (1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 【答案】解 (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ．(2)由(1)知点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k FA ＝43．∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34．∴FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x －1，y ＝－34x ＋2，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85， 45．9．(2019·河南郑州月考)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 【答案】解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0． 由题易知，方程必有两个不等实根． 所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x ． (2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2．[B 级 能力提升训练]10．若动圆的圆心在抛物线y ＝112x 2上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )A ．(0,2)B ．(0，－3)C ．(0,3)D ．(0,6)【答案】C [直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．]11．(2019·山东滨州模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3x C ．y 2＝92xD ．y 2＝9x【答案】B [如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，由抛物线的定义得，|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a,2|AE |＝|AC |，所以6＝3＋3a ，从而得a ＝1，因为BD ∥FG ，所以|DB ||FG |＝|BC ||FC |.即1p ＝23，解得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x .] 12．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值范围为____________．【答案】[1，＋∞) [如图，设C (x 0，x 20)(x 20≠a )，A (－a ，a )，B (a ，a )，则CA →＝(－a －x 0，a －x 20)，CB →＝(a －x 0，a －x 20)．∵CA ⊥CB ，∴CA →·CB →＝0，即－(a －x 20)＋(a －x 20)2＝0，(a －x 20)(－1＋a －x 20)＝0.∴x 20＝a －1≥0，∴a ≥1.] 13．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝____________．【答案】6 [如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF ．由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2． ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1．又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3．由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.]14．如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．【答案】(1)解 设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ， 代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0，则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2． ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ． (2)证明 设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2． 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2py 1＋y 3， 直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4， ∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p2y 1y 3y 1＋y3y 1＋y 3＝2． 故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．15．(2018·浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围.【答案】(1)证明 设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上， 所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根． 所以y 1＋y 2＝2y 0， 因此，PM 垂直于y 轴． (2)解 由(1)可知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 2，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝2y 20－4x 0．因此，△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32． 因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，因此，△PAB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104．。
高三数学抛物线试题答案及解析
高三数学抛物线试题答案及解析1.过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于、两点，是坐标原点，当时，直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可知，点的横坐标时，满足，此时，故直线（即直线）的斜率的取值范围是.故选D.【考点】抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系.2.抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a的值为（）A．4B．C．D．－4【答案】C【解析】将抛物线方程改写为，可知由准线方程为，可得，即解得，选C【考点】抛物线的方程及其准线方程3.直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( ) A．B．2C．D．【答案】C【解析】∵抛物线方程为x2＝4y，∴其焦点坐标为F(0,1)，故直线l的方程为y＝1．如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y＝x2的图象和x轴正半轴及直线x＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S＝4－2＝4－2·＝4－＝．4.已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上运动，MN为圆O′在x轴上所截得的弦．(1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理由．【答案】（1）|MN|不变化，其定值为2p 见解析（2）见解析【解析】(1)设O′(x0，y)，则x2＝2py(y≥0)，则⊙O′的半径|O′A|＝，⊙O′的方程为(x－x0)2＋(y－y)2＝x2＋(y－p)2，令y＝0，并把x02＝2py，代入得x2－2xx＋x2－p2＝0，解得x1＝x－p，x2＝x＋p，所以|MN|＝|x1－x2|＝2p，这说明|MN|不变化，其定值为2p．(2)不妨设M(x0－p,0)，N(x＋p,0)．由题2|OA|＝|OM|＋|ON|，得2p＝|x0－p|＋|x＋p|，所以－p≤x≤p．O′到抛物线准线y＝－的距离d＝y＋＝，⊙O′的半径|O′A|＝＝＝．因为r＞d⇔x04＋4p4＞(x2＋p2)2⇔x2＜p2，又x2≤p2＜p2(p＞0)，所以r＞d，即⊙O′与抛物线的准线总相交．5.已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）x2－x＋y2＝4（2）存在，(1，－2)和(1,2)【解析】(1)连接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9．设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简，得到x2－x＋y2＝4．(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．由方程组，得x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2．故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．6.在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为. （1）求轨迹为的方程（2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.【答案】（1）；（2）当时直线与轨迹恰有一个公共点；当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点；当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.【解析】（1）设点，根据条件列出等式，在用两点间的距离公式表示，化简整理即得；（2）在点的轨迹中，记，，设直线的方程为，联立方程组整理得，分类讨论①时；②；③或；④，确定直线与轨迹的公共点的个数.（1）设点，依题意，，即，整理的，所以点的轨迹的方程为.（2）在点的轨迹中，记，，依题意，设直线的方程为，由方程组得①当时，此时，把代入轨迹的方程得，所以此时直线与轨迹恰有一个公共点.当时，方程①的判别式为②设直线与轴的交点为，则由，令，得③（ⅰ）若，由②③解得或.即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰有一个公共点.（ⅱ）若或，由②③解得或，即当时，直线与有一个共点，与有一个公共点.当时，直线与有两个共点，与没有公共点.故当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点.（ⅲ）若，由②③解得或，即当时，直线与有两个共点，与有一个公共点.故当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.综上所述，当时直线与轨迹恰有一个公共点；当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点；当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.【考点】两点间的距离公式，抛物线方程，直线与抛物线的位置关系.7.抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】题中抛物线的标准形式为，则其准线方程为，故先A.【考点】1.抛物线的准线方程.8.在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为2的一点到焦点的距离为3，则抛物线的焦点坐标为．【答案】【解析】由题意，，因此焦点为.【考点】抛物线的性质.9.（12分）（2011•福建）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．【答案】（Ⅰ）b=﹣1（Ⅱ）（x﹣2）2+（y﹣1）2=4【解析】（I）由，得：x2﹣4x﹣4b=0，由直线l与抛物线C相切，知△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，由此能求出实数b的值．（II）由b=﹣1，得x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，由此能求出圆A的方程．解：（I）由，消去y得：x2﹣4x﹣4b=0①，因为直线l与抛物线C相切，所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，解得b=﹣1；（II）由（I）可知b=﹣1，把b=﹣1代入①得：x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得y=1，故点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，即r=|1﹣（﹣1）|=2，所以圆A的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．10.过抛物线C：上的点M分别向C的准线和x轴作垂线，两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形，点M在第一象限.（1）求抛物线C的方程及点M的坐标；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别与抛物线C交于A，B两点，如果点M在直线AB的上方，求面积的最大值.【答案】（1）y2＝8x，(2，4)；（2）.【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由题意结合抛物线图象得到M点坐标，代入抛物线方程中，解出P的值，从而得到抛物线的标准方程及M点坐标；第二问，设出A，B点坐标，利用M点，分别得到直线MA和直线MB的斜率，因为两直线倾斜角互补，所以两直线的斜率相加为0，整理得到y1＋y2＝－8，代入到中得到直线AB的斜率，设出直线AB的方程，利用M点在直线AB上方得到b 的范围，令直线与抛物线方程联立，图形有2个交点，所以方程的进一步缩小b的范围，，而用两点间距离公式转化，d是M到直线AB的距离，再利用导数求面积的最大值.（1）抛物线C的准线x＝－，依题意M(4－，4)，则42＝2p(4－)，解得p＝4．故抛物线C的方程为y2＝8x，点M的坐标为(2，4)， 3分（2）设．直线MA的斜率，同理直线MB的斜率．由题设有，整理得y1＋y2＝－8．直线AB的斜率． 6分设直线AB的方程为y＝－x＋b．由点M在直线AB的上方得4＞－2＋b，则b＜6．由得y2＋8y－8b＝0．由Δ＝64＋32b＞0，得b＞－2．于是－2＜b＜6． 9分，于是．点M到直线AB的距离，则△MAB的面积．设f(b)＝(b＋2)(6－b)2，则f¢(b)＝(6－b)(2－3b)．当时，f¢(x)＞0；当时，f¢(x)＜0．当时，f(b)最大，从而S取得最大值． 12分【考点】抛物线的标准方程及其几何性质、韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式、利用导数求函数的最值.11.（2011•浙江）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M（1）求点M 到抛物线C 1的准线的距离；（2）已知点P 是抛物线C 1上一点（异于原点），过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意画出简图为：由于抛物线C 1：x 2=y 准线方程为：y=﹣，圆C 2：x 2+（y ﹣4）2=1的圆心M （0，4）， 利用点到直线的距离公式可以得到距离d==．（2）设点P （x 0，x 02），A （x 1，x 12），B （x 2，x 22）； 由题意得：x 0≠0，x 2≠±1，x 1≠x 2，设过点P 的圆c 2的切线方程为：y ﹣x 02=k （x ﹣x 0）即y=kx ﹣kx 0+x 02① 则，即（x 02﹣1）k 2+2x 0（4﹣x 02）k+（x 02﹣4）2﹣1=0设PA ，PB 的斜率为k 1，k 2（k 1≠k 2），则k 1，k 2应该为上述方程的两个根， ∴，；代入①得：x 2﹣kx+kx 0﹣x 02="0" 则x 1，x 2应为此方程的两个根， 故x 1=k 1﹣x 0，x 2=k 2﹣x 0 ∴k AB =x 1+x 2=k 1+k 2﹣2x 0=由于MP ⊥AB ，∴k AB •K MP =﹣1⇒故P ∴．12. 过抛物线x 2=2py(p>0)焦点的直线与抛物线交于不同的两点A 、B ，则抛物线上A 、B 两点处的切线斜率之积是（ ）A.P 2B.-p 2C.－1D.1 【答案】C【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ∵=x,∴过A 点的切线斜率为x 1, 过B 点的切线斜率为x 2, ∴过抛物线上A 、B 两点处的切线斜率之积是x 1x 2,设过抛物线焦点的直线方程为y=kx+与x 2=2py 联立消去y 得 x 2-2kpx-p 2=0x 1x 2=-p 2x 1x 2=-1．13. 抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】【解析】由于，焦点在轴的正半轴，所以，抛物线的焦点坐标为．【考点】抛物线的几何性质．14.抛物线的焦点坐标是( )A．B．C．（0，1）D．（1，0）【答案】C【解析】解抛物线的标准方程为,所以抛线以轴为对称轴，开口向上，且，,所以焦点坐标为,故选C.【考点】抛物线的标准方程与简单几何性质.15.已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M作圆的两条切线，切点为A、B，.（1）求抛物线E的方程；（2）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标.【答案】（1）y2＝4x；（2）点N坐标为或.【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，利用抛物线的准线，得到M点的坐标，利用圆的方程得到圆心C的坐标，在中，可求出，在中，利用相似三角形进行角的转换，得到的长，而，从而解出P的值，即得到抛物线的标准方程；第二问，设出N点的坐标,利用N、C点坐标写出圆C的方程，利用点C的坐标写出圆C的方程，两方程联立，由于P、Q是两圆的公共点，所以联立得到的方程即为直线PQ的方程，而O点在直线上，代入点O的坐标，即可得到s、t的值，即得到N点坐标.试题解析：（1）由已知得，C(2，0)．设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．于是，所以，即，p＝2．故抛物线E的方程为y2＝4x． 5分（2）设N(s，t)．P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．圆D方程为，即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0．①又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0．②②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0．③ 9分P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，．故点N坐标为或． 12分【考点】抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质.16.若抛物线的焦点在直线上，则_____；的准线方程为_____.【答案】；.【解析】抛物线的焦点坐标为，该点在直线上，则有，解得，此时抛物线的准线方程为.【考点】抛物线的几何性质17.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（）A．B．2C．D．3【答案】B【解析】由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则动点到的距离等于，则动点到直线和直线的距离之和的最小值，即焦点到直线的距离，所以最小值是，故选【考点】抛物线的定义。
2020版高考数学一轮复习教程随堂巩固训练49 Word版含解析
随堂巩固训练(). 若抛物线＝过点，则点到此抛物线的焦点的距离为.解析：由题意可知，点在抛物线＝上，所以＝，解得＝，得＝.由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，所以点到抛物线的焦点的距离为＋＝＋＝. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为＝－，则抛物线的方程是＝.解析：设抛物线的方程为＝(>).因为－＝－，所以＝，所以抛物线的方程为＝..在平面直角坐标系中，双曲线－＝的左准线为，则以为准线的抛物线的标准方程是＝.解析：根据双曲线方程可知＝，＝，所以＝＝，所以左准线的方程为＝－，则可设抛物线的方程为＝.因为－＝－，所以＝，所以抛物线的方程为＝.. 抛物线＝的焦点到准线的距离是.解析：由题意得焦点坐标为(，)，准线方程为＝－，所以焦点到准线的距离为.. 已知为抛物线＝上一点，设到准线的距离为，到点(，)的距离为，则＋的最小值为.解析：由＝，可知焦点坐标为(，)，根据抛物线定义可知，到准线的距离＝，所以＋＝＋.当，，三点共线时，＋取得最小值，为＝.. 若抛物线＝上的两点，到焦点的距离和是，则线段的中点到轴的距离是.解析：设是抛物线＝的焦点，所以，准线方程为＝－.设点(，)，(，)，所以＋＝＋＋＋＝，即＋＝，所以线段的中点的横坐标为＝，故点到轴的距离为.. 设为抛物线：＝的焦点，过点且倾斜角为°的直线交曲线于，两点，则的长度为.解析：由题意得抛物线的焦点，直线：＝.由可得－＋＝，＋＝，＝.设点(，)，(，)，则＝×－＝×＝×＝.. 以抛物线＝的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为＋(－)＝.解析：因为抛物线＝的焦点为(，)，焦点到准线的距离为，所以以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为＋(－)＝..设为坐标原点，为抛物线＝的焦点，为抛物线上一点，若·＝－，则点的坐标为(，)或(，－).解析：依题意得点(，)，设点，则＝，＝(－，－).因为·＝－，所以－＝－，解得＝±.则点的坐标为(，)或(，－)..已知一条过点(，)的直线与抛物线＝交于，两点，且是弦的中点，则直线的方程为－－＝.解析：设点(，)，(，)，可得＝，＝，两式相减可得(－)(＋)＝(－).由(，)为的中点，可得＋＝，即－＝－，则＝＝，则直线的方程为－＝－，即－－＝.. 已知是抛物线：＝的焦点，，是抛物线上的两点，线段的中点为(，)，求△的面积.解析：设点(，)，(，)，则＝，①＝，②①－②得(－)(＋)＝(－).因为(，)为的中点，所以＋＝，则＝＝＝＝，故直线方程为＝.可设为坐标原点，则点的坐标为(，)，所以△＝·＝××＝..如图，为坐标原点，过点(，)且斜率为的直线交抛物线＝于(，)，(，)两点.() 求与的值；() 求证：⊥.解析：() 由题意得，直线的方程为＝(－)(≠)，①代入＝，可得－(＋)＋＝，②所以＝＝.由＝，＝，得()＝＝×＝.因为<，所以＝－.() 设，的斜率分别为，，则＝，＝，所以＝＝＝－，。
(浙江专用)2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十九)抛物线(含解析)
课时跟踪检测（四十九） 抛物线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·湖州质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x解析：选 D ∵AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，∴AB 是焦点弦，∴|AB |＝2p ，∴S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p2＋4＝24，解得p ＝4或p ＝－12(舍去)，∴直线AB 的方程为x ＝2，∴以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是y 2＝－8x ，故选D.2．(2018·江山质检)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 由抛物线的定义可知，4＋p2＝5，解得p ＝2.3．(2018·珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B 由抛物线y 2＝4x 知焦点F (1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1,23)，所以k AF ＝23－0－1－1＝－3，所以直线AF 的倾斜角为2π3.4．(2019·宁波六校联考)已知抛物线C ：y 2＝23x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A ．8B ．2 3C ．4 3D ．8 3解析：选B 法一：由题意可得p ＝3，F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0.不妨设点P 在x 轴上方，由抛物线定义可知|PF |＝|PM |，|Q F |＝|Q N |，设直线P Q 的倾斜角为θ，则tan θ＝3，∴θ＝π3，由抛物线焦半径的性质可知，|PF |＝p1－cos θ＝31－cosπ3＝23，|Q F |＝p1＋cos θ＝31＋cosπ3＝233，∴|MN |＝|P Q|sin θ＝(|PF |＋|Q F |)·sin π3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12|MN |·p ＝12×4×3＝2 3.法二：由题意可得F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，直线P Q 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －32＝3x －32，与抛物线方程y 2＝23x 联立，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －322＝23x ，即3x 2－53x ＋94＝0，设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝533，∴|P Q|＝x 1＋x 2＋p ＝533＋3＝833，∵直线P Q 的斜率为3，∴直线P Q 的倾斜角为π3.∴|MN |＝|P Q|sin π3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12×4×3＝2 3.5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－＝12， 解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2. 答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·临海期初)动圆过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．x 2＋y 2＝1 C ．x 2＝4yD ．y 2＝4x解析：选C 设动圆圆心M (x ，y )，则x 2＋y －2＝|y ＋1|，解得x 2＝4y .2．(2018·绍兴二模)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与抛物线C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)．若AF ＝m FB ，则m 的值为( )A ． 3B ．32C ．2D ．3解析：选D 直线方程为x ＝33y ＋1，代入y 2＝4x 可得y 2－433y －4＝0，则y A ＝23，y B ＝－233，所以|y A |＝3|y B |，因为AF ＝m FB ，所以m ＝3. 3．(2018·宁波十校联考)已知抛物线x 2＝4y ，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若直线l 的倾斜角为30°，则|AF ||BF |的值等于( )A ．3 B.52C ．2D.32解析：选A 由题可得，F (0,1)，设l ：y ＝33x ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线方程与抛物线方程联立，消去x ，化简得3y 2－10y ＋3＝0，解得y 1＝3，y 2＝13.由抛物线的定义可知|AF ||BF |＝y 1＋1y 2＋1＝3＋113＋1＝3.4．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A ．8 B.192C ．10D.212解析：选B 依题意可知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值．因为|PF |＋|PA |≥|FA |， 又|FA |＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172－122＝10.所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B.5．(2019·嘉兴六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM ·MF ＝( )A ．－74B.74C.94D ．－94解析：选A 设M (m ，2pm )，抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因为|MO |＝|MF |＝32，所以m 2＋2pm ＝94 ①，m ＋p 2＝32 ②，由①②解得m ＝12，p ＝2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，F (1,0)，所以OM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，MF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，故OM ·MF ＝14－2＝－74. 6．(2018·宁波期初)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，若点M 在抛物线上，|MF |＝4，O 为坐标原点，则∠MFO ＝________.解析：由题可得，p ＝2，焦点在y 轴正半轴，所以F (0,1)． 因为|MF |＝4，所以M (±23，3)．所以tan ∠MFO ＝－tan(π－∠MFO )＝－233－1＝－3，所以∠MFO ＝2π3.答案：2π37．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为________．解析：如图，由题可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0(y 0＞0)，则OM ―→＝OF ―→＋FM ―→＝OF ―→＋13FP ―→＝OF ―→＋13(OP ―→－OF ―→)＝13OP ―→＋23OF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 206p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2时等号成立，所以直线OM 的斜率的最大值为22. 答案：228．(2018·嵊州一模)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C 点，|BF |＝3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝________.解析：设点A 在第一象限，B 在第四象限，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋ 5.由y 2＝4x ，得p ＝2，因为|BF |＝3＝x 2＋p2＝x 2＋1，所以x 2＝2，则y 22＝4x 2＝4×2＝8，所以y 2＝－22，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋5，得y 2－4my －45＝0，则y 1y 2＝－45，所以y 1＝10，由y 21＝4x 1，得x 1＝52.过点A 作AA ′垂直于准线x ＝－1，垂足为A ′，过点B 作BB ′垂直于准线x ＝－1，垂足为B ′，易知△CBB ′∽△CAA ′，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|.又|BB ′|＝|BF |＝3，|AA ′|＝x 1＋p 2＝52＋1＝72，所以S △BCF S △ACF ＝372＝67.答案：679．(2018·杭州高三检测)如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .(1)设A (x 0，x 20)(x 0≠0)，求直线AB 的方程； (2)求|OB ||OD |的值．解：(1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0， 所以直线AB 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20.(2)由(1)得，点B 的纵坐标y B ＝－x 20，所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，0.设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋x 02.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋x 02，y ＝x 2，得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋x 204＝0.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2. 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m 2.所以y 22＝－mx 0216m4＝x 2012m2， 解得mx 0＝－3±2 3.所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43，故|OB ||OD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y B y D ＝43±6. 10．(2018·台州模拟)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值．解：(1)由题意知F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则F 1F 2―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2，∵F 1F 2⊥OP ，∴F 1F 2―→·OP ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2·(－1，－1)＝1－p 2＝0，∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y . (2)设过点O 的直线为y ＝kx (k ＜0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝4x 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2，4k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＝4y得N (4k,4k 2)，从而|MN |＝1＋k 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k2－4k ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2－4k ，又点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k2，故S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k＝21－k1－k3k 2＝21－k21＋k ＋k2k 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k－2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k＋1， 令t ＝k ＋1k(t ≤－2)，则S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)≥8，当t ＝－2，即k ＝－1时，S △PMN 取得最小值．即当过点O 的直线为y ＝－x 时，△PMN 面积的最小值为8.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·台州高三模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，点M 是抛物线的准线与y 轴的交点，过点A (0，λp )(λ∈R)的动直线l 交抛物线于B ，C 两点．(1)求证：MB ·MC ≥0，并求等号成立时实数λ的值；(2)当λ＝2时，设分别以OB ，OC (O 为坐标原点)为直径的两圆相交于另一点D ，求|DO |＋|DA |的最大值．解：(1)由题意知动直线l 的斜率存在，且过点A (0，λp )， 则可设动直线l 的方程为y ＝kx ＋λp ，代入x 2＝2py (p ＞0)，消去y 并整理得x 2－2pkx －2λp 2＝0， Δ＝4p 2(k 2＋2λ)＞0， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2λp 2，y 1y 2＝(kx 1＋λp )(kx 2＋λp )＝k 2x 1x 2＋λpk (x 1＋x 2)＋λ2p 2＝λ2p 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2λp ＝2pk 2＋2λp ＝2p (k 2＋λ)．因为抛物线x 2＝2py 的准线方程为y ＝－p2，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，所以MB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋p 2，MC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2＋p 2， 所以MB ·MC ＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋p 2＝x 1x 2＋y 1y 2＋p2(y 1＋y 2)＋p 24＝－2λp 2＋λ2p 2＋p2[2p (k 2＋λ)]＋p 24＝p 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 2＋⎝⎛⎭⎪⎫λ－122≥0，当且仅当k ＝0，λ＝12时等号成立．(2)由(1)知，当λ＝2时，x 1x 2＝－4p 2，y 1y 2＝4p 2， 所以OB ·OC ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以OB ⊥OC .设直线OB 的方程为y ＝mx (m ≠0)，与抛物线的方程x 2＝2py 联立可得B (2pm,2pm 2)， 所以以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pmx －2pm 2y ＝0. 因为OB ⊥OC ，所以直线OC 的方程为y ＝－1mx .同理可得以OC 为直径的圆的方程为 x 2＋y 2＋2p m x －2pm 2y ＝0，即m 2x 2＋m 2y 2＋2pmx －2py ＝0，将两圆的方程相加消去m ，得x 2＋y 2－2py ＝0， 即x 2＋(y －p )2＝p 2，所以点D 的轨迹是以OA 为直径的圆， 所以|DA |2＋|DO |2＝4p 2， 由|DA |2＋|DO |22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫|DA |＋|DO |22， 得|DA |＋|DO |≤22p ，当且仅当|DA |＝|DO |＝2p 时，等号成立． 故(|DA |＋|DO |)max ＝22p .2.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。
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2020高考数学(文数)考点测试刷题本49抛物线一、选择题1.抛物线y=4ax 2(a≠0)的焦点坐标是( )A ．(0，a)B ．(a ，0)C ．⎝⎛⎭⎫0，116a D ．⎝⎛⎭⎫116a ，02.到定点A(2，0)与定直线l ：x=-2的距离相等的点的轨迹方程为( )A ．y 2=8xB ．y 2=-8xC ．x 2=8yD ．x 2=-8y3.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为( )A ．4B ．6C ．8D ．124.若抛物线y 2=2px(p>0)上的点A(x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A ．0.5B ．1C ．1.5D ．25.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2=6，则|AB|等于( )A ．4B ．6C ．8D ．106.若抛物线y=4x 2上一点到直线y=4x-5的距离最短，则该点为( )A ．(1，2)B ．(0，0)C ．(0.5，1)D ．(1，4)7.已知点P 是抛物线x 2=4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8，7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．108.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若PF→=3MF →，则|MN|=( )A ．163B ．8C ．16D ．833二、填空题9.已知动圆过点(1，0)，且与直线x=-1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．10.已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2=4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．11.已知抛物线y 2=4x 的一条弦AB 恰好以P(1，1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是________．12.已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →=－4(其中O 为坐标原点)，则△ABO 面积的最小值是________．三、解答题13.如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24=1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．14.设抛物线C：y2=2x，点A(2，0)，B(-2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM=∠ABN．15.已知抛物线C：x2=2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．16.已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1，2)．过点Q(0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →=λQO →，QN →=μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．答案解析1.答案为：C ；解析：将y=4ax 2(a≠0)化为标准方程得x 2=14a y(a≠0)，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116a ，故选C ．2.答案为：A ；解析：由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p=4，焦点在x 轴正半轴上，故选A ．3.答案为：B ；解析：依题意得，抛物线y 2=8x 的准线方程是x=-2，因此点P 到该抛物线准线的距离为4＋2=6，故选B ．4.答案为：D ；解析：由题意3x 0=x 0＋p 2，x 0=p 4，则p22=2，∵p>0，∴p=2，故选D ．5.答案为：C ；解析：由抛物线y 2=4x 得p=2，由抛物线定义可得|AB|=x 1＋1＋x 2＋1=x 1＋x 2＋2， 又因为x 1＋x 2=6，所以|AB|=8，故选C ．6.答案为：C ；解析：根据题意，直线y=4x-5必然与抛物线y=4x 2相离，抛物线上到直线的最短距离的点就是与直线y=4x-5平行的抛物线的切线的切点．由y′=8x=4得x=0.5，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是0.5，1，该点到直线y=4x-5的距离最短．故选C ．7.答案为：C ；解析：延长PQ 与准线交于M 点，抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1， 根据抛物线的定义知，|PF|=|PM|=|PQ|＋1．∴|PA|＋|PQ|=|PA|＋|PM|-1=|PA|＋|PF|-1≥|AF|-1=82＋(7－1)2-1=10-1=9． 当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9．故选C ．8.答案为：A ；解析：由题意F(1，0)，设直线PF 的方程为y=k(x-1)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．因为准线方程为x=-1，所以得P(-1，-2k)．所以PF →=(2，2k)，MF →=(1-x 1，-y 1)，因为PF →=3MF →，所以2=3(1-x 1)，解得x 1=13．把y=k(x-1)代入y 2=4x ，得k 2x 2-(2k 2＋4)x ＋k 2=0，所以x 1x 2=1，所以x 2=3，从而得|MN|=|MF|＋|NF|=(x 1＋1)＋(x 2＋1)=x 1＋x 2＋2=163．故选A ．9.答案为：y 2=4x ；解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x=-1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2=4x ．10.答案为：(1,0)；解析：由题知直线l 的方程为x=1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a)(a ＞0)． 又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a=4，即a=1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．11.答案为：2x-y-1=0；解析：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由A ，B 都在抛物线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，作差得(y 1＋y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2)．因为AB 中点为P(1，1)，所以y 1＋y 2=2，则有2·y 1－y 2x 1－x 2=4，所以k AB =y 1－y 2x 1－x 2=2， 从而直线AB 的方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0．12.答案为：42；解析：不妨设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，y 1＞0，由OA →·OB →=－4，即x 1x 2＋y 1y 2=－4得116y 21y 22＋y 1y 2=－4，得y 1y 2=－8.所以S △ABO =12|x 1y 2－x 2y 1|=|y 1－y 2|≥42，当y 1=22，y 2=－22时取等号，故△ABO 面积的最小值为4 2. 13.解：(1)证明：设P(x 0，y 0)，A(14y 21，y 1)，B(14y 22，y 2)．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程y ＋y 022=4·14y 2＋x 02即y 2-2y 0y ＋8x 0-y 20=0的两个不同的实根．所以y 1＋y 2=2y 0，因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM|=18(y 21＋y 22)-x 0=34y 20-3x 0，|y 1-y 2|=22(y 20－4x 0)．因此，△PAB 的面积S △PAB =12|PM|·|y 1-y 2|=324(y 20-4x 0)32．因为x 20＋y 204=1(x 0<0)，所以y 20-4x 0=-4x 20-4x 0＋4∈[4，5]．因此，△PAB 面积的取值范围是62，15104．14.解：(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x=2，可得M 的坐标为(2，2)或(2，-2)．所以直线BM 的方程为y=12x ＋1或y=-12x-1．(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为线段MN 的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN ．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=k(x-2)(k≠0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝2x ，得ky 2-2y-4k=0，可知y 1＋y 2=2k，y 1y 2=-4．直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN =y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2=x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2)．① 将x 1=y 1k ＋2，x 2=y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)=2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k =－8＋8k=0．所以k BM ＋k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN ． 综上，∠ABM=∠ABN ．15.解：由题意知，直线AB 的斜率一定存在，∴设直线AB ：y=kx ＋1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p=0，则x 1＋x 2=2pk ，x 1x 2=－2p.①(1)由x 2=2py 得y′=x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2=－2p，∵点N 在以AB 为直径的圆上，∴AN ⊥BN ，∴－2p=－1，∴p=2.(2)易得直线AN ：y －y 1=x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2=x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎨⎧y －y 1＝x 1px －x 1，y －y 2＝x2p x －x 2，结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N(pk ，－1)．|AB|=1＋k 2|x 2－x 1|=1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2=1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d=|kx N ＋1－y N |1＋k 2=|pk 2＋2|1＋k2， 则S △ABN =12·|AB|·d =p pk 2＋23≥22p ，当k=0时，取等号，∵△ABN 的面积的最小值为4，∴22p=4，∴p=2，故抛物线C 的方程为x 2=4y.16.解：(1)因为抛物线y 2=2px 过点(1，2)， 所以2p=4，即p=2．故抛物线C 的方程为y 2=4x ，由题意知，直线l 的斜率存在且不为0． 设直线l 的方程为y=kx ＋1(k≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k-4)x ＋1=0．依题意Δ=(2k-4)2-4×k 2×1>0，解得k<0或0<k<1．所以直线l 斜率的取值范围是(-∞，-3)∪(-3，0)∪(0，1)． (2)证明：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2=-2k －4k 2，x 1x 2=1k 2．直线PA 的方程为y-2=y 1－2x 1－1(x-1)．令x=0，得点M 的纵坐标为y M =－y 1＋2x 1－1＋2=－kx 1＋1x 1－1＋2．同理得点N 的纵坐标为y N =－kx 2＋1x 2－1＋2．由QM →=λQO →，QN →=μQO →得λ=1-y M ，μ=1-y N ．所以1λ＋1μ=11－y M ＋11－y N =x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2=1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2=1k －1·2k 2＋2k －4k 21k2=2．所以1λ＋1μ为定值．。