2019届河北省衡中同卷高三考前模拟密卷(六)数学(理)试题

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河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学理试卷

河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学理试卷河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学理试卷·3·河北省衡水中学2019～2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷（A 卷）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．设全集为实数集R ，{}{}24,13M x x N x x =>=<≤,则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{}21x x -≤<B ．{}22x x -≤≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x < 2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a ia i+-为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3．若{}na 是等差数列，首项10,a>201120120a a +>，201120120a a ⋅<，则使前n 项和0nS>成立的最大正整数n 是（） A ．2019 B ．2019 C ．4022D ．4023·4·4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续 7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（）①平均数3x ≤；②标准差2S ≤；③平均数3x ≤且标准差2S ≤；④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。

A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤5.在长方体ABCD —A1B1C1D1中，对角线B1D 与平面A1BC1相交于点E ，则点E 为△A1BC1的（） A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心6.设yx ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数y b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则22a b +的最小值是（）A ．613B ．365C ．651·5·D ．36137.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A ．16πB ．4πC ．8πD ．2π 8．已知函数()2sin()f x x =+ωϕ(0,)ω>-π<ϕ<π图像的一部分（如图所示），则ω与ϕ的值分别为（） A ．115,106π- B ．21,3π-C ．7,106π-D ．4,53π-9. 双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线24y x=的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．12+C ．13+D ．23+10. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式0)1(<-x f 的解集为( ) A.)0,(-∞ B. ()+∞,0 C.)1,(-∞ D. ()+∞,1·6·11.已知圆的方程422=+y x ，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( )A.x23＋y24＝1(y≠0)B.x24＋y23＝1(y≠0) C.x23＋y24＝1(x≠0) D.x24＋y23＝1 (x≠0) 12. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R，满足(2)()32xf x f x +-≤⋅，(6)()632xf x f x +-≥⋅，则)2008(f =（）A.200722006+ B ．200622008+ C ．200722008+ D ．200822006+第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置） 13.在区间[－6，6]，内任取一个元素xO ，若抛物线y=x2在x=xo 处的切线的倾角为α，则3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的概率为。

2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学(理)试题(解析版)

2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学(理)试题(解析版)则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】C【解析】【分析】由及公差为 2.代入前项和公示，求出，得到挺喜欢上，即可求出的值.【详解】由及公差为2.得.所以，故.故选C.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，属基础题.5.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则由奇函数的性质f（-x）=-f（x），求出函数f（x）的解析式，【详解】设，则，所以.又因为是定义在上的奇函数，所以，所以.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性的综合运用，属基础题.6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直线的斜率为，因为过的左焦点和下顶点的直线与平行，，由此可求椭圆的离心率.【详解】直线的斜率为，过的左焦点和下顶点的直线与平行，所以，又，所以，故选A.【点睛】本题考查椭圆的离心率求法，属基础题. 7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则结合图像特点运算即可.【详解】.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算，属基础题.8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等【答案】B【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图，由三视图给出的几何量证明即可..【详解】几何体的直观图为四棱锥.如图.因为，，.所以≌.因为平面，所以.同理，.因为，，，所以≌.又与不全等.故选B.【点睛】本题考查三视图原原几何体，以及线面关系的有关证明，属中档题.9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在中，，，，由余弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数的图像，利用数形结合法可求的取值范围，【详解】画出函数的图像如图所示，若关于的方程有两个不相等的实根，则函数与直线有两个不同交点，由图可知，所以.故选C.【点睛】本题考查方程的根个数的求参数的范围，考查数形结合思想方法，属于中档题．11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得，结合条件可得，运用勾股定理，结合a，b，c的关系，可得，进而得到渐近线的斜率．【详解】如图，作于点.于点.因为与圆相切，，所以，，，.又点在双曲线上.所以.整理，得.所以.所以双曲线的渐近线方程为.故选A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】连结.可证平行四边形即为截面. 五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.进而得到的最大值.【详解】连结.因为平面.所以过的平面与平面的交线一定是过点且与平行的直线.过点作交于点，交于点，则，连结，.则平行四边形即为截面.则五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.因为，要使的正弦值最大，必须最大，最小，当点与点重合时符合题意.故.故选B.【点睛】本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，考查线面角的求法，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届河北省衡水中学高三上学期六调考试数学(理)试题(解析版)

2019届河北省衡水中学高三上学期六调考试数学〔理〕试题一、单项选择题 1．已知全集，集合和的关系的韦恩〔Venn 〕图如下列图，则阴影部分所示的集合的元素共有〔〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷个【答案】C【解析】由题意首先求得集合M ，然后结合韦恩图求解阴影部分所示的集合的元素个数即可. 【详解】求解二次不等式可得，集合表示所有的偶数组成的集合，由韦恩图可知，题中的阴影部分表示集合，由于区间中含有的偶数为，故，即阴影部分所示的集合的元素共有3个. 此题选择C 选项. 【点睛】此题主要考查集合的表示方法，韦恩图与集合的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．设,,a b c R ∈，则“1abc =”是a b c a b c≤+=”的 A ．充分条件但不是必要条件， B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要的条件【答案】A【解析】当1abc =时，111abc abc abc ab bc ca a b c a b c++=++=++，而()()()()2222a b c a b b c c a ab bc ca ++=+++++≥++〔当且仅当a b c ==，且1abc =，即a b c ==时等号成立〕，故111ab bc ca a b c a b c ++=++≤++；但当取2a b c ===,显然有111a b c a b c ++≤++,但1abc ≠,即由111a b c a b c++≤++不可以推得1abc =；综上， 1abc =是111a b c a b c++≤++的充分不必要条件.应选A. 【点评】此题考查充要条件的判断，不等式的证明.判断充要条件，其常规方法是首先需判断条件能否推得结论，然后需判断结论能否推得条件；来年需注意充要条件与其他知识〔如向量，函数〕等的结合考查3．如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，以下对统计图理解错误的选项是〔〕A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%，在3月底最高C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长【答案】D【解析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为，接近2000万件，所以A是正确的；对于选项B：2018年1～4月的业务量同比增长率分别为，均超过，在3月最高，所以B是正确的；对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误.此题选择D选项.【点睛】此题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．设，满足约束条件，则的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解其取值范围即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如下列图，目标函数，其中表示可行域内的点与点连线的斜率，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点和点处取得临界值，在点处，目标函数，在点处，目标函数，即的取值范围是.此题选择A选项.【点睛】(1)此题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．5．某几何体的三视图如下列图，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，则组合体的体积：，故选B.【点睛】〔1〕求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；〔2〕假设所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、分割法、补形法等方法进行求解.6．已知为等比数列,,,则〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：，由等比数列性质可知【考点】等比数列性质7．抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点.的外接圆与抛物线的准线相切，则此外接圆的周长是〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】设外接圆的圆心为，则由抛物线的定义可知在抛物线上，由可知在的垂直平分线上，故可得的坐标，从而得到外接圆的半径后可得外接圆的周长.【详解】设外接圆的圆心为，则到准线的距离与到的距离相等，故在抛物线上，又，故，所以，，所以周长为.故选B.【点睛】坐标平面上的圆的周长、面积计算等问题，关键是确定圆心坐标和半径，特别地，当圆与圆锥曲线相关时，应注意利用圆锥曲线的定义去找寻所求圆的圆心坐标和半径. 8．函数的图象大致为〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意结合函数的解析式排除错误选项即可确定函数的图像.【详解】当时，，则，由于恒成立，故，函数在区间上单调递增，据此排除选项D；当时，，则，由于恒成立，故，函数在区间上单调递减，据此排除选项AB；此题选择C选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9．用0与1两个数字随机填入如下列图的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式确定满足题意的概率值即可.【详解】由题意可知，填写的可能结果共有如下32种：00000，00001，00010，00011，00100，00101，00110，00111，01000，01001，01010，01011，01100，01101，01110，01111，10000，10001，10010，10011，10100，10101，10110，10111，11000，11001，11010，11011，11100，11101，11110，11111，其中满足题意的有10种：10101，10110，10111，11001，11010，11011，11100，11101，11110，11111，由古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.此题选择B选项.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本领件总数和所求事件包含的基本领件数．(1)基本领件总数较少时，用列举法把所有基本领件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.10．设，，在，，，中，正数的个数是〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：∵∴全是正数.【考点】三角函数的周期.11．已知函数，，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得到满足的关系式，然后结合题意分类讨论确定ω的最大值即可.【详解】由题意知，则，其中，又f(x)在〔，〕上有且只有一个最大值，且要求最大，则区间〔，〕包含的周期应最多，所以，得0<≤30，即，所以k≤19.5.分类讨论：①.当k=19时，，此时可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；②.当k=18时，，此时可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；③.当k=17时，，此时可使成立，当时，，当且仅当时，都成立，综上可得：ω的最大值为.此题选择C选项.【点睛】此题主要考查三角函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于难题.12．已知函数，数列满足，，假设要使数列成等差数列，则的取值集合为〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】由绝对值的意义可知的分段函数式，再对范围内按照区间进行分情况讨论，即可得到的取值范围.【详解】因为，所以假设数列成等差数列，则当为直线与直线交点横坐标时，即.此时数列以为首项，为公差的等差数列；当，即或即或，数列以为公差的等差数列，因此的取值集合为.【点睛】分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要弄清楚自变量的范围是否在发生变化，即“分段函数分段处理”.二、填空题13．已知单位向量的夹角为，则__________．【答案】1【解析】根据条件可以求出、、，将平方，再算出正平方根即可得到答案.【详解】由条件可知，，，，所以【点睛】此题考查向量模的运算，平面向量数量积的性质：设和都是非零向量，则〔1〕；〔2〕当与同向时，，或，〔3〕.14．在的展开式中，含的项的系数是__________．【答案】12【解析】由题意结合评论中知识确定含的项的系数即可.【详解】由题意可知，展开式中含有的项为：，则含的项的系数是12.【点睛】此题主要考查二项式系数的计算，排列组合知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．已知三棱锥满足底面，是边长为的等边三角形，是线段上一点，且.球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，假设所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的外表为__________．【答案】【解析】将三棱锥P—ABC补成正三棱柱，且三棱锥和该正三棱柱的外接球都是球O，记三角形ABC的中心为，设球的半径为R，PA=2x，则球心O到平面ABC的距离为x，即O=x，连接C，则C=4，，在三角形ABC中，取AB的中点为E，连接D，E，则在直角三角形O D中，由题意得到当截面与直线OD垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r,则最小截面圆的面积为，当截面过球心时，截面面积最大为，，如图三，球的外表积为故答案为：100 .睛：此题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线〔这两个多边形需有公共点〕，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.16．已知双曲线，圆.假设双曲线的一条渐近线与圆相切，则当取得最大值时，的实轴长为__________．【答案】【解析】首先利用直线与圆相切确定a,b的关系，然后利用导函数研究函数取得最大值时双曲线的实轴长度即可.【详解】双曲线的一条渐近线方程为：，圆与双曲线的渐近线相切，则圆心到直线的距离等于半径，即：，据此可知：，则，故，令，则，由导函数与原函数的单调性的关于可知：函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，取得最大值时，此时的实轴长为.【点睛】此题主要考查双曲线的性质，导函数研究函数的单调性与最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17．如下列图，某镇有一块空地，其中，，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的周围安装防护网.〔1〕当时，求防护网的总长度；〔2〕为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？【答案】(1)；〔2〕当时，最小值为.【解析】〔1〕证明为正三角形，可得的周长为9，即防护网的总长度为9km；〔2〕设，在和中使用正弦定理求出，，得出的面积关于的函数，利用三角函数恒等变换化简，得出面积的最小值.【详解】〔1〕在中，，，，，在中，，，，由余弦定理，得，，即，，为正三角形，所以的周长为9，即防护网的总长度为.〔2〕设，,,又在中，由，得，在中，由，得，，当且仅当，即时，的面积取最小值为.【点睛】解斜三角形在实际中的应用解斜三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题的一般步骤是：〔1〕分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；〔2〕根据题意画出示意图；〔3〕将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解，演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答；〔4〕检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍.〔1〕根据女性频率分布直方图估计女性使用微信的平均时间；〔2〕假设每天再微信超过4个小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，请你根据已知条件完成的列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别有关”？【答案】〔1〕4.76；〔2〕有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关【解析】试题分析：〔1〕由频率直方图中各概率乘以各方块中点频率相加后即得；〔2〕从频率直方图中可计算出“微信控”和“非微信控”的男女生人数，再计算出可得．试题解析：(1)女性平均使用微信的时间为：0．16×1＋0.24×3＋0.28×5＋0.2×7＋0.12×9＝4.76.(2)2(0.04＋a＋0.14＋2×0.12)＝1，解得a＝0.08.由题设条件得列联表：性别微信控非微信控总计男性381250女性302050总计6832100所以K2＝＝≈2.941＞2.706.所以有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关．19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，为棱上的点，，.〔1〕假设为棱的中点，求证：平面；〔2〕当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；〔3〕在第〔2〕问条件下，设点是线段上的动点，与平面所成的角为，求当取最大值时点的位置.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕；〔3〕当最大时，点N在线段CD上，且．【解析】〔1〕取线段SC的中点E，根据中位线定理即可证明，因而得到AMED为平行四边形，即可证明平面SCD．〔2〕建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，因而可以求得平面AMC和平面SAB 的法向量，利用法向量的数量积求得平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值即可。

2019届河北衡水中学高考猜题(六)数学(理)含答案

绝密★启封前2019届河北衡水中学高考猜题（六）试题数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数z ＝3＋i(1－3i)2，则|z |＝( )A.14B.12 C ．1 D ．22.设P={y|y=-x 2+1,x ∈R},Q={y|y=2x ,x ∈R},则( )(A)P ⊆Q(B)Q ⊆P (C)∁R P ⊆Q (D)Q ⊆∁R P3.已知命题p:∀x ∈R ,x+≥2;命题q:∃x ∈[0,π2],使sin x+cos x=2.则下列命题中为真命题的是( )(A)(⌝p)∧q (B)p ∧(⌝q) (C)(⌝p)∧(⌝q) (D)p ∧q 4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则sin2α的值为( )A.3132 B ．－3132 C ．－78 D.785.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x 的值为-5,则输出的y 值是( )(A)-1 (B)1 (C)2 (D)146. 若曲线f (x )＝x sin x ＋1在点(π2，π2＋1)处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a＝( )A. －2B. －1C. 1D. 27. M 、N 是曲线y=πsin x 与曲线y=πcos x 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) (A)π (B)2π (C)3π (D)2π8. 将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位,再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍,所得图象关于直线x=π4对称,则φ的最小正值为( )(A)π8(B)3π8(C)3π4(D)π29. 如果)(x f '是二次函数, 且)(x f '的图象开口向上,顶点坐标为（1,3）, 那么曲线)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A ．]3,0(πB ．)2,3[ππC ．]32,2(ππD ．),3[ππ10. 对实数a 与b,定义新运算“⊗”:a ⊗b=,1,, 1.a ab b a b -≤⎧⎨->⎩设函数f(x)=(x 2-2)⊗(x-x 2),x ∈R.若函数y=f(x)-c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数C 的取值范围是( ) (A)(-∞,-2]∪（-1,32） (C)（-1,14）∪（14,+∞）(B)(-∞,-2]∪（-1,-34） (D)（-1,-34）∪[14,+∞）11.已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是( ) A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④12.设函数f(x)(x ∈R)满足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当x ∈[0,1]时,f(x)=x 3.又函数g(x)=|xcos(πx)|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在[-12,32]上的零点个数为( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8二，填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13. 1sin10°－3sin80°的值为________．14.由曲线y=x,直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为_____15.函数f(x)=sin 2x+23cos 2x-3,函数g(x)=mcos(2x-π6)-2m+3(m>0),若存在x 1,x 2∈[0,π4],使得f(x 1)=g(x 2)成立,则实数m 的取值范围是_________16. 用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值.设f(x)=min{2x ,x+2,10-x}(x ≥0),则f(x)的最大值为________三.解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)：求值（1）sinπ+ cos+）（2）已知锐角α、β满足sin α＝35，cos(α＋β)＝－513，求sin β18（12分）：设函数图像的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求的值并画出函数在上的图像；（Ⅱ）若将向左平移个单位,得到的图像,求使成立的的取值范围.19（12分）: 已知函数f(x)=b －(2b+1)+6x+a (b>0)(1) 求f(x)的单调区间；(2) 设b=1，若方程f(x)=0有且只有一个实根，求a 的取值范围.20（12分）:如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=α1) 找出矩形ABCD 的面积S 与角α之间的函数关系. 2) 求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.21（12分），已知函数f(x)=(a+1a )ln x+1x -x. (1)当a>1时,求f(x)在区间(0,1)上的单调性; (2)当a>0时,求f(x)的极值;(3)当a ≥3时,曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x 1,f(x 1)),Q(x 2,f(x 2)),使得曲线y=f(x)在P 、Q 两点处的切线互相平行,证明:x 1+x 2>65.22（12分）:在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y tx 11（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为9)2cos 45(2=-θρ，直线l 与曲线C 交于B A ,两点. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为)43,2(π，求PAB ∆的面积.。

河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学(理)试题(解析版)

河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，则答案可求．【详解】复数.对应的点为，位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.已知全集U=R，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解二次不等式求出集合M，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．【详解】∵全集U=R，M={x|x2＜2x}={x|0＜x＜2}，∴∁U M={x|x≤0或x≥2}，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D. 【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】C【解析】【分析】由及公差为2.代入前项和公示，求出，得到挺喜欢上，即可求出的值.【详解】由及公差为2.得.所以，故.故选C.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，属基础题.5.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则由奇函数的性质f（-x）=-f（x），求出函数f（x）的解析式，【详解】设，则，所以.又因为是定义在上的奇函数，所以，所以.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性的综合运用，属基础题.6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直线的斜率为，因为过的左焦点和下顶点的直线与平行，，由此可求椭圆的离心率.【详解】直线的斜率为，过的左焦点和下顶点的直线与平行，所以，又，所以，故选A.【点睛】本题考查椭圆的离心率求法，属基础题.7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则结合图像特点运算即可.【详解】.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算，属基础题.8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体( )A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等【答案】B【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图，由三视图给出的几何量证明即可..【详解】几何体的直观图为四棱锥.如图.因为，，.所以≌.因为平面，所以.同理，.因为，，，所以≌.又与不全等.故选B.【点睛】本题考查三视图原原几何体，以及线面关系的有关证明，属中档题.9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在中，，，，由余弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数的图像，利用数形结合法可求的取值范围，【详解】画出函数的图像如图所示，若关于的方程有两个不相等的实根，则函数与直线有两个不同交点，由图可知，所以.故选C.【点睛】本题考查方程的根个数的求参数的范围，考查数形结合思想方法，属于中档题．11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得，结合条件可得，运用勾股定理，结合a，b，c的关系，可得，进而得到渐近线的斜率．【详解】如图，作于点.于点.因为与圆相切，，所以，，，.又点在双曲线上.所以.整理，得.所以.所以双曲线的渐近线方程为.故选A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】连结.可证平行四边形即为截面. 五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.进而得到的最大值.【详解】连结.因为平面.所以过的平面与平面的交线一定是过点且与平行的直线.过点作交于点，交于点，则，连结，.则平行四边形即为截面.则五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.因为，要使的正弦值最大，必须最大，最小，当点与点重合时符合题意.故.故选B.【点睛】本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，考查线面角的求法，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省衡水中学2019届高三下学期一模考试理科数学试卷含解析

2018-2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知全集为R ，集合{1,0,1,5}A =-，{}2|20B x x x =--≥，则R A B =I ð（）A. {1,1}-B. {0,1}C. {0,1,5}D. }1,0,1{-【答案】B 【解析】【分析】先化简集合B,再求R A B I ð得解. 【详解】由题得B={x|x ≥2或x ≤1-}, 所以{|12}R C B x x =-<<，所以{0,1}R A B =I ð. 故选：B【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.若复数z 满足(1i)|13i |z +=+，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】先求出复数z 和z ,再求出在复平面内z 的共轭复数对应的点的位置得解. 【详解】由题得22(1)1(1)(1)(1i)i z i i i -===-++-，所以1z i =+，所以在复平面内z 的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3. 某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（）A. 25B.35C. 2536D.1136【答案】B【解析】试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组共有人,这六人中抽取两人的基本事件共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，基本事件为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，故选B．考点：1．分层抽样；2．古典概型．4.如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A. 2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.B. 与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长.C. 去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元.D. 2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个. 【答案】D 【解析】分析：解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D 错误. 故选D.点睛：本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．5.P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 则||||1PQ PF +的最小值为( )A. 1B. 152C. 154D. 122+【答案】D 【解析】设双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF ，则1222PF PQ PF PQ +=+22d ≥（d 为点2(3,0)F 到渐近线20x =313=），即1PF PQ +的最小值为122+；故选D.点睛：本题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离.6.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，=∠AMB （）A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =u u u u r ，1，)a ，(1AN =u u u r，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =r，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz u u u u v r u u uv r ⎧=+=⎨=+=⎩，取1=z ，得(n b =-r，a -，1)，平面ABC 的法向量(0m =r，0，1)，Q 平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π， 22||cos 6||||1m n m n a b π∴=++r r g r r g ，解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，3BM a ==，tan 33AB AMB BM ∴∠=== 3AMB π∴∠=．故选：B ．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.已知函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a R ωϕπ><<∈，在[]3,3-的大致图象如图所示，则a ω可取（）A.2πB. πC. 2πD.4π【答案】B 【解析】分析：从图像可以看出()f x 为偶函数，结合()f x 的形式可判断出()sin y x ωϕ=+为偶函数，故得ϕ的值，最后通过()10f =得到ω的值．详解：()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k Z πϕπ=+∈．因为0ϕπ<<，故2πϕ=，()()sincos2x xxxfxa aπωωππ⎛⎫+⎪⎝⎭==．因()10f=，故cos0ω=，所以2kπωπ=+，k∈N．因()02f=，故cos012a aπ==，所以21=a．综上()21kaωπ=+，k∈N，故选B ．点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．8.《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为（）A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B【解析】【分析】画出五面体的直观图，利用割补法求其体积.【详解】五面体对应的直观图为：由三视图可得：,4,2,6EF BC AD BC EF AD===P P，三个梯形均为等腰梯形且平面FADE⊥平面ABCDF 到底面ABCD 的距离为4d =，,AD BC 间的距离为3.如下图所示，将五面体分割成三个几何体，其中,F AGHB E IDCJ --为体积相等的四棱锥，且2AG GI ID ===，1,2BH JC HJ ===，则棱柱FGH EIJ -为直棱柱，EIJ ∆为直角三角形.又()114123632F AGHB E IDCJ V V --==⨯⨯⨯+⨯=； 1243122FGH EIJ V -=⨯⨯⨯=，故五面体的体积为121224+=.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．而不规则几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规则的几何体.9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且BC 边上的高为a 63,则c b b c + 的最大值是（） A. 8 B. 6C. 32D. 4【答案】D 【解析】22b c b c c b bc ++=，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A 2222b c a bc+-=，① 而条件中的“高”容易联想到面积，13122a =bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，② 将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )，∴b c c b+＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin(A ＋6π)，当A ＝3π时取得最大值4，故选D ．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若12>0x x ，且()()120f x f x +=，则12x x +的最小值为（） A.6π B.3π C.2π D.23π 【答案】D 【解析】【分析】先分析得到12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得12+x x 等于函数的零点的2倍，所以12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，令()sin =03f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以,3x k k Z ππ-=∈,所以=+,3x k k Z ππ∈，所以绝对值最小的零点为3π，故12x x +的最小值为23π. 故选：D【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.过抛物线24y x =的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线1x =-上，则ABC ∆的边长是（）A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】C 【解析】【分析】设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN 垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，求出31sin =θ，利用弦长公式，可得结论．【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，由抛物线定义知：1111||(||||)||22MN AA BB AB =+=，3||||MC AB =Q ，||||3MN MC ∴=， 90CMN θ∠=︒-Q ，∴||cos cos(90)||3MN CMN MC θ∠=︒-==，即31sin =θ，所以直线AB 的斜率k=2tan 2θ=, 所以直线AB 的方程为2(1)y x =-，联立直线AB 方程和抛物线方程得21010x x -=+，所以1212+=10||10212x x AB x x p ∴=++=+=，. 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．12.设函数()(1)x g x e e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（）A. e⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B. ,)e +∞C. ,)e +∞D. e⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】先构造函数()()212T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【详解】构造函数()()212T x f x x =-，因为()()2f x f x x -+=，所以()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=，所以()T x 为奇函数，当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(],0-∞上单调递减，所以()T x R 上单调递减.因为存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，所以()()000112f x f x x +≥-+，所以()()()220000011111222T x x T x x x ++≥-+-+，化简得()()001T x T x ≥-，所以001x x ≤-，即012x ≤令()()12xh x g x x e ex a x ⎛⎫=-=-≤⎪⎝⎭，因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点，所以()h x 在12x ≤时有一个零点因为当12x ≤时，()12'0x h x e e e e =≤=，所以函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a >，102e<<，又因为0eeh ee a ee e -⎛=-=> ⎝，所以要使()h x 在12x ≤时有一个零点，只需使11022h e e a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭，解得2e a ≥，所以a 的取值范围为e ⎫+∞⎪⎪⎣⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.若实数x ，y 满足约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，则3z x y =+的最小值为__________.【答案】2 【解析】分析】先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【详解】作出约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由10y x x y =⎧⎨+-=⎩得A （12,1 2），由z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ，平移y ＝﹣3x ，易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以3z x y =+的最小值为32+122=．故答案为：2．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义．14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________．【答案】0 【解析】试题分析：由110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，解得tan 3α=，又2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 222222222cos 22αααααα=+=+ 2222cos 222sin cos 2ααααα+=-+222220tan 12αα+=-=+．考点：三角函数的化简求值．15.函数()f x 图像上不同两点),(11y x A ，),(22y x B 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，AB 为A B 、两点间距离，定义(,)A B k k A B ABϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率”，给出以下命题：①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数32()1f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则 “曲率”(,)3A B ϕ>； ③函数2()(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B 、之间的“曲率”(,)2A B a ϕ≤；④设),(11y x A ，),(22y x B 是曲线()x f x e =上不同两点，且121x x -=，若·(,)1t A B ϕ<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞。

2019届河北省衡水中学高三原创押题试卷(六)数学(理科)

2019届河北省衡水中学高三原创押题试卷（六）数学（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A. 或B. 或C. 或D.【答案】A【解析】【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b，则答案可求．【详解】设z＝a+bi（a，b∈R），由z2＝5+12i，得a2﹣b2+2abi＝5+12i，∴，解得或．∴z＝3+2i或z＝﹣3﹣2i．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．2.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于连续函数f（x）满足f（1）＜0，f（2）＞0，从而得到函数y＝x﹣4•（）x的零点所在区间．【详解】∵y＝x﹣4•（）x为R上的连续函数，且f（1）＝1﹣2＜0，f（2）＝2﹣1＞0，∴f（1）•f（2）＜0，故函数y＝x﹣4•（）x的零点所在区间为：（1，2），故选：B．【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．3.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A. ，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】C【解析】【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质可得a∥b；在B、D中，均可得a与b相交、平行或异面；【详解】由a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在A中，，，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，，，，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，由a，，则，又，由线面垂直的性质可知，故C正确；在D中，，，，则a与b相交、平行或异面，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．4.定义运算，则函数的图像是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据新定义可得函数1⊕log2x就是取1与log2x中较大的一个即可判断．【详解】从定义运算a⊕b上看，对于任意的a、b，a⊕b实质上是求a与b中最大的，∴1⊕log2x就是取1与log2x中较大的一个，∴对于对数函数y＝log2x，当x≥2，log2x≥1，∴当0＜x＜2时，f（x）＝1．故选：C．【点睛】本题主要考查新定义，求函数的最大值，属于基础题．5.的展开式中，的系数是（）A. -160B. -120C. 40D. 200【答案】B【解析】【分析】将问题转化为二项式（1﹣2x）5的展开式的系数问题，求出（1﹣2x）5展开式的通项，分别令r＝2，3求出（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数．【详解】（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是（1﹣2x）5展开式中x3项的系数的2倍与（1﹣2x）5展开式中x2项的系数的和∵（1﹣2x）5展开式的通项为T r+1＝（﹣2）r C5r x r令r＝3得到x3项的系数为﹣8C53＝﹣80令r＝2得到x2项的系数为4C52＝40所以（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是﹣80×2+40＝﹣120故答案为：B【点睛】解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式．求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 36B. 32C. 30D. 27【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图，判断该几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个以3为边长的长方形，高为4，分别求出棱锥各个面的面积，进而可得答案．【详解】由已知中的该几何体是一个四棱锥的几何体，四棱锥的底面为边长为3和3的正方形，高为4，故S四棱锥4×3+5×35×34×3+3×3＝36．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图判断出几何体的形状，并找出各个面的棱长、高等关键的数据是解答本题的关键．7.若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的离心率为（）A. 4B. 3C. 2D.【答案】C【解析】【分析】先求出抛物线y2＝8x的焦点坐标，由此得到双曲线C：1的一个焦点，从而求出a 的值，进而得到该双曲线的离心率．【详解】∵抛物线y2＝8x的焦点是（2，0），双曲线C：1的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，∴c＝2，b2＝3，m＝1，∴e2．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．8.在中，若，（），则当最小时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可求的坐标，然后结合向量数量积的坐标表示及二次函数的性质可求BC最小时的x，结合向量数量积的性质即可求解．【详解】∵（1，2），（﹣x，2x）（x＞0），∴（﹣x﹣1，2x﹣2），∴||令y＝5x2﹣6x+5，x＞0根据二次函数的性质可知，当x，y min，此时BC最小，∴，（，），0，∴，即C＝90°，故选：A．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查了二次函数的性质的简单应用，考查运算求解能力，是基础题．9.已知函数，且图像在点处的切线的倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先对函数进行求导，求出f′（1），然后根据导数的几何意义求出切线斜率k＝f′（2）＝tanα，然后根据诱导公式及同角基本关系可得sin（α）cos（α）＝﹣cosαsinα，代入可求．【详解】∵f（x）＝x3+2x2f′（1）+2，∴f′（x）＝3x2+4xf′（1），∴f′（1）＝3+4f′（1），即f′（1）＝﹣1，f′（x）＝3x2﹣4x，∴图象在点x＝2处的切线的斜率k＝f′（2）＝4＝tanα，则sin（α）cos（α）＝﹣cosαsinα，故选：D．【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用，诱导公式及同角基本关系的综合应用，属于基础知识的综合应用．10.已知是所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在内，记红豆落在内的概率为，落在内的概率为，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据23，计算出△P AB，△P AC，△PBC面积的关系，求出概率，作积得答案．【详解】如图，令，，．则P为△A1B1C1的重心，∴，而，，．∴2S△P AB＝3S△P AC＝6S△PBC，∴，，．则P△PBC P△PBA P△P AC．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档．11.数列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2，，其相邻的两个1被2隔开，第对1之间有个2，则数列的前209项的和为（）A. 279B. 289C. 399D. 409【答案】C【解析】【分析】根据题意，根据数列的性质，先把数列分组，每组中，第一个数为1，其他均为2，且第n 组中，有n+1个数；得到209是前19行的和，进而得到所有项的和.【详解】根据题意，先把数列分组，第一组为1，2，有2个数，第二组为1，2，2，有3个数，第三组为1，2，2，2，有4个数，…第n组中，第一个数为1，其他均为2，有n+1个数，即每组中，第一个数为1，其他均为2，则前n组共有个数，当n=19时，恰好前19行有209个数，前19行有19个1，有209-19=190个2，则这些数的和为：19+故答案为C．【点睛】本题考查数列的求和，注意要先根据数列的规律进行分组，综合运用等差数列前n 项和公式与分组求和的方法，进行求和．12.已知且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将式子变形得到，因为余弦函数是偶函数，故，构造函数，通过求导得到函数的单调性，进而得到结果.【详解】等价于,即，因为余弦函数是偶函数，故，构造函数，根据偶函数的定义f(x)=f(-x)得到函数是偶函数，而f(x)在上，，故函数单调增，又因为，故得到.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及函数的单调性的应用，通过研究函数的这些性质来比较函数的大小；比较大小常用的方法，除构造函数，研究函数性质得到结果，常用的有：做差和0比，做商和1比，不等式性质的应用等.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合，，则__________．（用区间表示）【答案】（-1,0）【解析】【分析】化简集合N，根据补集与交集的定义写出．【详解】M＝{x|﹣1＜x＜1}＝（﹣1，1），N＝{x|0}＝[0，1），则∁M N＝（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．14.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，若最终输出的x＝0，则开始时输入的x的值为____________【答案】【解析】【分析】求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为0，由此关系建立方程求出自变量的值即可．【详解】第一次输入x＝x，i＝1执行循环体，x＝2x﹣1，i＝2，执行循环体，x＝2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3，i＝3，执行循环体，x＝2（4x﹣3）﹣1＝8x﹣7，i＝4＞3，输出8x﹣7的值为0，解得：x，故答案为：．【点睛】解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值．本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案．15.设实数满足，若的最大值为16，则实数__________．【答案】3【解析】【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类讨论，通过平移直线z＝kx+y得到最大值点A，即可得到答案．【详解】实数x，y满足的可行域如图：得：A（4，4），同样地，得B（0，2），z＝kx+y，即y＝﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种情况．当k＞0时，目标函数z＝kx+y在A点取最大值，即直线z＝kx+y在y轴上的截距z最大，即16＝4k+4，得k＝3；当k＜0时，①当k时，目标函数z＝kx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线z＝kx+y在y轴上的截距z最大，此时，16＝4k+4，故k＝3．②当k时，目标函数z＝kx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线z＝kx+y在y轴上的截距z最大，此时，16＝0×k+2，故k不存在．综上，k＝3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．16.已知过椭圆上一点的切线方程为，若分别交轴于两点，则当最小时，__________．（为坐标原点）【答案】【解析】【分析】利用切线求得A、B两点坐标，表示出，再利用，结合基本不等式求得，再利用最小时的条件求得，，即可求解.【详解】因为点的切线方程为，若分别交轴于两点，所以A（，0），B（0，），==，又点P在椭圆上，有，=+)，当且仅当=时等号成立，，解得，，==，=.故答案为.【点睛】本题以过椭圆上点的切线为载体，考查了利用基本不等式求最值及等号成立的条件，考查了逻辑推理及运算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，分别是内角的对边，且.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a2＝b2+c2+bc．由余弦定理可得：cos A，结合范围A∈（0，π），可求A．（2）由已知利用余弦定理c2+2c﹣5＝0，解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）因为，由正弦定理得.再由余弦定理得，又因为，所以．（2）因为a=3，，代入得,解得.故△ABC的面积.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.设，，，数列的前项和，点（）均在函数的图像上.（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求满足（）的最大正整数.【答案】（1）a n＝6n－5 （）（2）8【解析】【分析】（1）根据f（x）＝3x2﹣2x，由（n，S n）在y＝3x2﹣2x上，知S n＝3n2﹣2n．由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由，知T n（1－），根据（）对恒成立,当且仅当，由此能求出所有n∈N*都成立的m的范围．【详解】（1）因为＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝1，所以，a n＝6n－5 （）.（2）由（1）得知＝，故T n＝＝＝（1－），且T n随着n的增大而增大因此，要使（1－）（）对恒成立,当且仅当n=1时T1=，即m<9，所以满足要求的最大正整数m为8.【点睛】本题考查数列与不等式的综合，综合性强，难度较大．易错点是基础知识不牢固，不会运用数列知识进行等价转化转化．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．19.如图，正三棱柱中，（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长，底面边长，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）设是线段的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）通过做平行线构造平行四边形，进而得到线面垂直，再由平形四边行的对边平行的性质得到平面内的线垂直于平面内的线，进而得到面面垂直;(2)建立空间坐标系，求直线的方向向量和面的法向量，进而得到线面角.【详解】（1）证明：取中点，的中点为M，连结，MN,则有∥且=∴四边形为平行四边形，∥∵面,∴,又∴平面故⊥平面.所以平面平面(2)如图建立空间直角坐标系，则B(-,0,0),A(,0,0),因为是线段的中点，所以M所以设是平面的一个法向量，因为所以，由所以可取【点睛】这个题目考查了面面垂直的证明，以及线面角的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。

河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学(理)试题(解析版)

河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

河北省衡水中学2019届高三数学六调考试试题理(含解析)

2018～2019学年度第二学期高三年级六调考试理科数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知，，为虚数单位，且，则的值为（）A. 4B.C. -4D.【答案】C【解析】试题分析：根据复数相等的概念可知，，∴，∴，故选C 考点：本题考查了复数的运算点评：熟练掌握复数的概念及运算法则是解决此类问题的关键，属基础题2.已知集合，，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由得，故，选项为C.考点：集合间的关系.【此处有视频，请去附件查看】3.已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足，，则的面积为（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】画出△ABC，通过，2，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．【详解】由题意可知，P为AC的中点，2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为S△ABC2．所以S△APQ．故选：B．【点睛】本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力．4.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. 8 D. 4【答案】D【解析】试题分析：因为一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，所以菱形的边长为，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为，侧棱长为，所以几何体的表面积为：，故选D．考点：1、三视图；2、多面体的表面积．【此处有视频，请去附件查看】5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将右下角黑色三角形进行移动，可得黑色部分面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果.【详解】设正方形的边长为则①处面积和右下角黑色区域面积相同故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形等腰直角三角形面积为：直角梯形面积为：黑色部分面积为：则所求概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中的面积类问题，属于基础题.6.定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，将函数化为再向左平移（）个单位即为:又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即时函数值为最大或最小值,即或,所以,即,又,所以的最小值是.考点：对定义的理解能力,三角函数恒等变性, 三角函数图象及性质.7.已知，，，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，，，则a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x），则f′（x），根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．【详解】，，，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x），则f′（x），当x＝e时，f′（x）＝0，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减，∵e＜3＜π＜4∴，∴b＞c＞a，故选：D．【点睛】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题．8.双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．考点：抛物线的标准方程及几何性质．9.如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的的直观图，其中轴，轴.若，设的面积为，的面积为，记，执行如图②的框图，则输出的值A. 12B. 10C. 9D. 6【答案】A【解析】【分析】由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出S及k值，模拟程序的运行过程，分析变量T的值与S值的关系，可得答案．【详解】∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，∴S′A′B′•B′C′•sin45°由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC∴S AB•BC＝9则由S＝kS′得k＝2，则T＝T（m﹣1）＝T2（m﹣1）故执行循环前，S＝9，k＝2，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝0，m ＝2当T＝0，m＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3当T＝2，m＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4当T＝6，m＝4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5当T＝12，m＝5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T＝12，故输出的结果为12故选：A．【点睛】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10.如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则（）A. ；B. ；C. ；D.【答案】A【解析】，猜想,,,故选A.11.过椭圆上一点作圆的两条切线，点，为切点，过，的直线与轴，轴分别交于点，两点，则的面积的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】试题分析：：∵点在椭圆上，∴设，∵过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，则∴以O为圆心，以|AM|为半径的圆的方程为①．又圆的方程为②．①-②得，直线AB的方程为：∵过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，∴P，Q，∴△POQ面积，∵-1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=±1时，△POQ面积取最小值．考点：圆与圆锥曲线的综合12.若函数在其图象上存在不同的两点，，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①：②：③:④.其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解.【详解】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13.若等比数列的第5项是二项式展开式的常数项，则________【答案】【解析】，则其常数项为，所以，则14.已知在平面直角坐标系中，，，，，动点满足不等式，，则的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：∵，，，，，∴，又∵∴故本例转化为在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值问题.可作出如右图的可行域，显然在点时为最优解.∵即∴考点：线性规划.15.已知数列的前项和为，且，则使不等式成立的的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.考点：1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.16.若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则________.（写出所有正确结论的编号）①四面体每个面的面积相等②四面体每组对棱相互垂直③连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长【答案】【解析】【分析】由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．【详解】由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，则错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则正确；由，，，可得过四面体任意一点的三条棱的长为的三边长，则正确．故答案为：．【点睛】本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.设的三内角、、的对边长分别为、、，已知、、成等比数列，且. （I）求角的大小；（Ⅱ）设向量，，当取最小值时，判断的形状.【答案】（I）；（Ⅱ）为锐角三角形.【解析】【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；（Ⅱ）根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的形状．【详解】（I）因为、、成等比数列，则.由正弦定理得.又，所以·因为，则.因为，所以或.又，则，当且仅当a=c等号成立，即故. （Ⅱ）因为，所以.所以当时，取得最小值.此时，于是.又，从而为锐角三角形.【点睛】本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．18.在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，.（1）求证：；（2）设为的中点，点在线段上，若直线平面，求的长；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）1；（3）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；（2）取DC中点G，连接FG，证明平面EFG∥平面PAD，可得FG∥平面PAD，证明三角形AMF为直角三角形，即可求AF 的长；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【详解】（1）∵是正三角形，是中点，∴，即.又∵平面，∴.又，∴平面.∴.（2）取中点，连接，则平面，又直线平面，EG∩EF=E所以平面平面，所以∵为中点，，∴.∵，，∴，则三角形AMF为直角三角形，又，故（3）分别以，，为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，∴，，，.为平面的法向量.，.设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，则平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则.所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理与性质，考查二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．19.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从，两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900.（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的中位数；（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：（3）若采用分层轴样，按照学生选择题目或题目，将成绩分为两层，且样本中题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差.【答案】（1）667（2）4130（3）平均数为7.2，方差为3.56 【解析】【分析】（1）由题取出十个编号，先将编号从小到大排列再求中位数（2）按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，求该数列的前10项和。

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