结构力学虚功原理 34页PPT文档
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结构力学 虚功原理和结构的位移计算PPT课件
6.1 概 述
本章任务 学习任意平面杆件结构在任意外因（ 荷载、温 度、支移 等）作用下，引起任意形式位移（线 位移、角位移 ）的计算原理及计算方法。
第1页/共130页
一、结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为结构变形 结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变，称为位移是结构某一截面相对 于初始状态位置的变化.
位移是矢量，即有大小，方向，起点和终点
按运动形式分：
线位移 角位移
绝对线位移（以地基为参照体） 相对线位移（以内部杆件为参照体）
绝对角位移（以地基为参照体） 相对角位移（以内部杆件为参照体）
第2页/共130页
1、一个截面的位移（绝对位移）
1）截面A 位置的移动（用截面形心
的移动来表示）ΔA，称为线位移，
DA
FP A
A1
DB
B1
B FP
2）相对角位移
CD C D
C θC
E θCD
θD D
第4页/共130页
3、一个微杆段的位移
ds
A
dv= g0 ds
g0
dθ= ds/R =kds
v
u
A’
θ
微段刚体位移
g0
ds du= eds
dv
ds
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
第16页/共130页
三、刚体体系的虚功原理
刚体体系处于平衡的必要和充分条件是：对于符合约束条
件的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力所做的虚功总
和等于零。
Σ→Fi .δ→i=0
FN1
FP1
δ1
ΔP
本章任务 学习任意平面杆件结构在任意外因（ 荷载、温 度、支移 等）作用下，引起任意形式位移（线 位移、角位移 ）的计算原理及计算方法。
第1页/共130页
一、结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为结构变形 结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变，称为位移是结构某一截面相对 于初始状态位置的变化.
位移是矢量，即有大小，方向，起点和终点
按运动形式分：
线位移 角位移
绝对线位移（以地基为参照体） 相对线位移（以内部杆件为参照体）
绝对角位移（以地基为参照体） 相对角位移（以内部杆件为参照体）
第2页/共130页
1、一个截面的位移（绝对位移）
1）截面A 位置的移动（用截面形心
的移动来表示）ΔA，称为线位移，
DA
FP A
A1
DB
B1
B FP
2）相对角位移
CD C D
C θC
E θCD
θD D
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3、一个微杆段的位移
ds
A
dv= g0 ds
g0
dθ= ds/R =kds
v
u
A’
θ
微段刚体位移
g0
ds du= eds
dv
ds
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
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三、刚体体系的虚功原理
刚体体系处于平衡的必要和充分条件是：对于符合约束条
件的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力所做的虚功总
和等于零。
Σ→Fi .δ→i=0
FN1
FP1
δ1
ΔP
结构力学虚功原理课件
刚体的位移
01
刚体的位移
在结构力学中，刚体的位移是研究结构在受力作用下的变形和运动状态
的基本概念。刚体的位移涉及到结构的位移、转角、挠度等参数，这些
参数可以通过测量或计算得到。
02
位移的测量
位移的测量是确定结构在受力作用下的变形程度和运动状态的重要手段。
通过测量位移可以了解结构的响应和行为，从而评估结构的性能和安全
能量原理与虚功原理的关系
能量原理与虚功原理 的联系
能量原理和虚功原理都是弹性力学中 的基本原理，它们之间存在密切的联 系。能量原理指出，对于一个处于平 衡状态的弹性体，其总能量（包括外 力势能和内能）在任何微小虚位移下 的改变量等于零。而虚功原理则是能 量原理的一种特殊情况，即当外力势 能忽略不计时，能量原理就变为虚功 原理。
03
虚功原理的推导
力的平衡方程
力的平衡方程是结构力学中的 基本方程，它描述了结构中力 的平衡条件。在平衡状态下， 作用在结构上的所有外力之和 为零。
力的平衡方程可以表示为：∑F = 0，其中∑F表示作用在结构上 的所有外力矢量和。
力的平衡方程是求解静力学问 题的基础，通过它我们可以求 解出结构的位移、应变和应力 等参数。
实例分析
以梁为例，通过应用虚功原理，可以分析梁在不同载荷下的变形和应力分布，从而优化梁的截面尺寸和 形状，提高其承载能力和刚度。
06
总结与展望
虚功原理的重要性和意义
结构力学中的虚功原理是分析结构稳定性和变形的关键理论之一，对于工程设计和建筑安全具有重要 意义。
虚功原理能够为结构设计和优化提供理论基础，帮助工程师更好地理解和控制结构的力学行为，提高结 构的稳定性和安全性。
变形方程，进而求解物体的内力和变形。
虚功原理ppt
i 1
i 1
i 1
又因为体系所受约束是理想约束，于是有
n
r Fi
rri
0
i 1
-
虚功原理的另一种表述
受有理想约束的力学体系平衡的充要 条件是：力学体系的诸主动力在任意虚位 移中所做的元功之和等于零，也叫虚位移 原理。
-
虚功原理的分量表达式
nu u ru r n W F i.r i(F ixx i F iy y i F iz z i) 0
-
1 基本概念
（1）虚位移
想象中可能发生的无限小的位移，而 不是实际发生的。它只决定于质点在此时 刻的位置和加在它上面的约束，时间没有 改变（δt =0）， 表示为 rr。
-
关于虚位移的说明 • rr 称为 rr 的变分 • 虚位移一般情况不止一个
-
• 虚位移与可能位移
✓ 稳定约束下实位移是许多虚位移中一个 ✓ 不稳定约束下实位移一般不是虚位移中一个
q r r ti
s
t
r ri
1 q
q
i1, 2, L , n
-
（2）理想约束
如果在任何时刻，对于系统的任何 虚位移，约束力所作的虚功之和等于零， 则系统受到的约束是理想约束。
3n
Rixi 0
i1
n R rirri 0
i1
-
几种典型的理想约束
• 质点沿光滑的曲面运动； • 质量可忽略的刚性杆所连接的两个质点； • 两个刚体以光滑的表面接触； • 两个物体以完全粗糙的表面接触（无滑动）； • 两个质点以柔软的且不可伸长的绳子相连接。
P 1 ( l 2 1 c o ) P 2 s ( l 1 c o l 2 2 s c o ) F s ( l 1 s i n l 2 s i) n 0
结构力学虚功原理课件
(二)虚功原理
具有理想约束的刚体体系在任意平衡力系作用下，体 系上所有主动力在任一与约束条件相符合的无限小刚 体位移上所作的虚功总和恒等于零。
W 0
刚体体系的虚功方程
所谓理想约束，是指其约束力在虚位移 上所作的功恒等于零的约束。
(三)虚功原理的两种应用
1.虚设位移状态——求未知力
拟求支座A处的支反力
位移的分类：线位移；角位移。
角位移
线位移
A
A
B
B
相对角位移
2、结构位移计算的目的
①验算结构的刚度； ②为超静定结构的内力计算打下基础； ③结构制作、施工的需要。
3、结构位移计算的假定
①材料服从虎克定律。 ②结构的变形是微小的。 ③结构各处的约束都是理想约束。
线弹性体系
§5-2 虚功原理
（1）刚体体系虚功原理 （2）变形体体系虚功原理
FP
A
B FBx
FA
a
b
l
FBy
W FA A FP P 0
FA
FP
P A
P b A l
b FA l FP
FP
A
B
FA
△A
△P
B
A
A 1
P
b l
B
A
FA FP P
虚位移原理
应用虚位移原理求解静定结构的某一约束力时， 一般应遵循如下步骤： （1）解除欲求约束反力的约束，用相应的约束反 力来代替。 （2）把机构可能发生的刚体位移当作虚位移，写 出虚功方程。 （3）求出虚位移之间的几何关系，利用虚功方程 即可求解约束反力。
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
结构力学之虚功原理
虚力原理
FB ac C c FP l
变形体虚力方程
虚设平衡力系
F F C
* p
* RK K
M F F ds
* * N * Q O
实际协调变形
变形体虚位移方程
虚设变形状态
F
p
*
F
* K K
C
M
*
FN FQ O ds
① 虚位移原理：虚设位移，求未知力。 ② 虚力原理:虚设力系，求位移。
3.虚功原理的两种应用
1.虚设位移状态——求未知力 拟求支座A处的支反力 FP
FP
A
FA
B
A
FA
B FBx a b
FBy
△A
△P
B
A l
W FA A FP P 0
P FA FP A
b FA FP l
A 1
P
b l
B
P b A l
A
FA FP P
虚位移原理
3.虚功原理的两种应用
2.虚设力状态——求未知位移 拟求C点的竖向位移 FP=1
A C a l
C
c B b
FAx 0 A
C
FAy b l FB a l
B
FP C FB c 0
其约束力在可能位移上所作的 功恒等于零的那种约束
变形体的虚功原理
• 表述如下：设变形体在力系作用下处于平 衡状态，又设变形体由于其他原因产生符 合约束条件的微小连续变形，则外力在位 移上所作外虚功W恒等于各个微段的应力合 力在变形上所作的内虚功Wi。
W= Wi
虚功原理的两种应用
结构力学虚功原理
结构力学虚功原理结构力学虚功原理是结构力学中的一个重要概念，它是通过能量方法来分析结构的力学性能和变形规律的一种理论工具。
虚功原理的提出，为结构力学的研究和工程实践提供了一种简洁而有效的分析方法，对于工程结构的设计和优化具有重要意义。
首先，我们来看一下虚功原理的基本假设。
虚功原理假设结构在受力作用下，其位移满足虚位移的要求。
所谓虚位移，是指在结构受力作用下，结构的位移不仅满足实际受力平衡条件，还需满足虚位移的平衡条件。
这个假设为后续的分析提供了基础，也是虚功原理得以应用的前提。
虚功原理的核心思想是能量守恒。
在结构受力作用下，结构内部会产生应变能和变形能，而外部施加的力会做功。
根据能量守恒的原理，结构受力平衡时，内部的能量增加等于外部做功，这就是虚功原理的基本表达式。
通过对这个表达式的分析，可以得到结构的受力方程和变形规律，为结构设计和分析提供了重要的依据。
虚功原理的应用非常广泛，它可以用于分析各种类型的结构，包括梁、柱、桁架等。
在工程实践中，虚功原理常常被用于分析复杂结构的受力性能，比如钢结构、混凝土结构等。
通过虚功原理的分析，可以得到结构的内力分布、变形情况，为结构的设计和施工提供了重要的参考依据。
除此之外，虚功原理还可以用于结构的优化设计。
通过对结构受力性能的分析，可以找到结构的薄弱环节，进而对结构进行合理的优化设计，提高结构的受力性能和使用效率。
这对于工程结构的安全性和经济性都具有重要意义。
总的来说，结构力学虚功原理是结构力学中的重要理论工具，它通过能量方法来分析结构的受力性能和变形规律，为工程结构的设计、分析和优化提供了重要的理论依据。
在工程实践中，虚功原理的应用具有重要的意义，可以帮助工程师更好地理解和分析结构的受力性能，为工程结构的设计和施工提供重要的参考依据。
通过对虚功原理的深入研究和应用，可以推动结构力学理论的发展，为工程结构的安全性和经济性提供更好的保障。
结构力学虚功原理PPT课件
l FNdu l FQdv l Md Rc
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向施加一个单位荷载，以 使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位 移方法。
位移为广义位移，力是与广义位移对 应的广义力。
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
(3)求解时关键一步X 是找出虚位x 移状态的位移关系。
(4)用单几位何位法移来解法静(U力n平it-衡D问isp题lacement Method)
例题9-1 用单位位移法求图 a所示多跨静定梁的支座反 力FBy和截面E处的弯矩ME。
解：（1）求支座反力FBy
1
1 2
,2
3 4
虚功方程：X 1+FP11+FP22 =0
解得：
bc / a 找出虚力状态的静力
这是虚单位荷载法 (Dummy-Unit平L衡oa关d 系Me。thod)
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出(解4，)几是故何用也问静称题力为。平衡法来
Maxwell-Mohr Method
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
平衡力状态之间----虚位移原理
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。直线
A
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(实(12将通))际对虚由常受静位外力取定移X力状结与/ 虚态构实C的功，际平这 力a总/衡里 状b和方实 态代1为程际 无入零用 关得，的,故:是即可刚M设：体B虚XX位x0移X原b1P理P/，a 实C质上0是
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向施加一个单位荷载，以 使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位 移方法。
位移为广义位移，力是与广义位移对 应的广义力。
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
(3)求解时关键一步X 是找出虚位x 移状态的位移关系。
(4)用单几位何位法移来解法静(U力n平it-衡D问isp题lacement Method)
例题9-1 用单位位移法求图 a所示多跨静定梁的支座反 力FBy和截面E处的弯矩ME。
解：（1）求支座反力FBy
1
1 2
,2
3 4
虚功方程：X 1+FP11+FP22 =0
解得：
bc / a 找出虚力状态的静力
这是虚单位荷载法 (Dummy-Unit平L衡oa关d 系Me。thod)
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出(解4，)几是故何用也问静称题力为。平衡法来
Maxwell-Mohr Method
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
平衡力状态之间----虚位移原理
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。直线
A
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(实(12将通))际对虚由常受静位外力取定移X力状结与/ 虚态构实C的功，际平这 力a总/衡里 状b和方实 态代1为程际 无入零用 关得，的,故:是即可刚M设：体B虚XX位x0移X原b1P理P/，a 实C质上0是
结构力学第5章虚功原理与结构位移计算ppt课件
• 注：因为静定结构在支座移动作用下，不产生反 力、内力，也不引起应变；所以属于刚体体系的位移 问题，可用刚体虚功原理求解。
总结:支座移动时静定结构的位移计算
当支座有给定位移ck时（可能不止一个）， （a）沿拟求位移⊿方向虚设相应单位荷载，并求出单 位荷载作用下的支座反力FRK。 （b）令虚拟力系在实际位移上作虚功，写虚功方程：
• 方法：
•
用虚功原理推导出位移计算公式。
• 计算时应满足的条件：
•
静力平衡；
•
Hale Waihona Puke 变形协调条件；•物理条件。
3、虚功原理的一种应用形式 ——虚力原理（ 虚设力系，求位移）
（1）虚功的概念
功的两个要素——力和位移
W= FP×⊿
功=力×相应位移
相应位移 ⊿
FP
FP
虚功
使力作功的位移不是由该力本身引起的，则： 作功的力与相应于力的位移彼此独立无关。
虚功 = 力 × 相应于力的位移 独立无关
（2）两种状态
既然力与位移彼此独立无关，故可将力与位移视为两 种独立的状态：力状态、位移状态。
FP1 M1
FP2
⊿1
⊿2
φ1
FR1 FR3
FR2
力状态
c2 c3 c1
位移状态
外力虚功可表示为：
• W = FP1×△1+FP2×△2+ M1×φ1
•
+ FR1×c1+ FR2×c1+ FR3×c3 =∑FP×⊿
)
作业：
P199 5-1 、5-2
下周三课后随堂交作业，周一发回。
所以既可把位移视为虚设的，也可把力系视为
虚设的。
•
总结:支座移动时静定结构的位移计算
当支座有给定位移ck时（可能不止一个）， （a）沿拟求位移⊿方向虚设相应单位荷载，并求出单 位荷载作用下的支座反力FRK。 （b）令虚拟力系在实际位移上作虚功，写虚功方程：
• 方法：
•
用虚功原理推导出位移计算公式。
• 计算时应满足的条件：
•
静力平衡；
•
Hale Waihona Puke 变形协调条件；•物理条件。
3、虚功原理的一种应用形式 ——虚力原理（ 虚设力系，求位移）
（1）虚功的概念
功的两个要素——力和位移
W= FP×⊿
功=力×相应位移
相应位移 ⊿
FP
FP
虚功
使力作功的位移不是由该力本身引起的，则： 作功的力与相应于力的位移彼此独立无关。
虚功 = 力 × 相应于力的位移 独立无关
（2）两种状态
既然力与位移彼此独立无关，故可将力与位移视为两 种独立的状态：力状态、位移状态。
FP1 M1
FP2
⊿1
⊿2
φ1
FR1 FR3
FR2
力状态
c2 c3 c1
位移状态
外力虚功可表示为：
• W = FP1×△1+FP2×△2+ M1×φ1
•
+ FR1×c1+ FR2×c1+ FR3×c3 =∑FP×⊿
)
作业：
P199 5-1 、5-2
下周三课后随堂交作业，周一发回。
所以既可把位移视为虚设的，也可把力系视为
虚设的。
•
结构力学 虚功原理.
第七章 静定结构位移计算 ·虚功原理
一、虚功原理 1．虚功的概念 P
1
△11
P
2
△21
力在自身作用下产生的位移上作功称为（外力）实功，如P 在△11上作功。 力在其它因素产生的位移上作功称为（外力）虚功，如 P 在 △21上作功。
2．虚功原理 弹性体在外力作用下产生变形，根据功能原理，外力作功转 换为弹性体的变形能（内力功），储存在弹性体内。 （外力实功）W＝（内力实功）U，称为实功原理。
l/2 l/2 A=2lh/3
【例7－2】计算下列各对弯矩图的图乘结果。
C2
h/2
y1
l/2
h
yC
l/2
C
y2
l/2
l/2
h
（a）
1 l h 1 l h h lh 2 （ a） h 2 2 2 2 2 2 3 12
（b）
1 3h 3 2 lh （b） lh 2 2 4
h
2h
C1
h/2
3．虚拟力状态 求△Cx
B
求△Cy
P 1
C B C B
求θ
C
P
D
C
B
m 1
C
q
A
P 1
A A
A
求△DE
P 1
B D C
求θ
m 1
B
BC
求θ
m 1
B C
B
求△Ex
C
B C
m 1
P 1A
E
P 1 E
A A
A
4．解题步骤： ⑴ 画荷载下的弯矩MP图； ⑵ 在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载，并画M 图； ⑶ 由图乘
一、虚功原理 1．虚功的概念 P
1
△11
P
2
△21
力在自身作用下产生的位移上作功称为（外力）实功，如P 在△11上作功。 力在其它因素产生的位移上作功称为（外力）虚功，如 P 在 △21上作功。
2．虚功原理 弹性体在外力作用下产生变形，根据功能原理，外力作功转 换为弹性体的变形能（内力功），储存在弹性体内。 （外力实功）W＝（内力实功）U，称为实功原理。
l/2 l/2 A=2lh/3
【例7－2】计算下列各对弯矩图的图乘结果。
C2
h/2
y1
l/2
h
yC
l/2
C
y2
l/2
l/2
h
（a）
1 l h 1 l h h lh 2 （ a） h 2 2 2 2 2 2 3 12
（b）
1 3h 3 2 lh （b） lh 2 2 4
h
2h
C1
h/2
3．虚拟力状态 求△Cx
B
求△Cy
P 1
C B C B
求θ
C
P
D
C
B
m 1
C
q
A
P 1
A A
A
求△DE
P 1
B D C
求θ
m 1
B
BC
求θ
m 1
B C
B
求△Ex
C
B C
m 1
P 1A
E
P 1 E
A A
A
4．解题步骤： ⑴ 画荷载下的弯矩MP图； ⑵ 在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载，并画M 图； ⑶ 由图乘
结构力学课件(虚功原理与结构位移计算)_图文
k--为截面形状系数
1.2
(3) 荷载作用下的位移计算公式
二、各类结构的位移计算公式 （1）梁与刚架 （2）桁架
（3）拱
例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移
。
q
P=1
A
C
BA
C
B
1）列出两种状态 的内力方程：
(a) 实际状态
AC段
(b) 虚设状态
CB段
AC段
CB段
2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算
C
B
A
a
b
已知 求 设虚力状态
P=1
虚功方程
A
C
B
a
b
小结：（1）形式是虚功方程，实质是几何方程； （2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。构造一个平衡力系；
（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。
单位荷载其虚功正好等于拟求位移。
四、支座位移时静定结构的位移计算
G
B
0.25l 0.25l
0 1.5
0 1.5
0.5
0.5
2P
2P
1
1
1
C
1
D A
F B
00
4.5 E 3.0
1.5
G 1.5
1.5 0.5
1.5
0.5
钢筋砼
材料 杆件
AD
DC DE CE 钢 AE EG
lA
例3：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移Δ。钢筋混凝土结构G≈0.4E P 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12
推导位移计算公式的两种途径 由刚体虚功原理来推导－局部到整体。
一、局部变形时的位移计算公式
《结构力学虚功原理》课件
结构力学基础知识回顾
基本原理和概念
力学平衡 结构受力 静力学基础
结构材料性质
弹性模量 屈服强度 材料特性影响
重要概念
受力分析方法 结构行为预测 应力分布
应用案例
桥梁设计 建筑结构分析 机械系统
课程教学大纲
本课程将深入探讨结构力学虚功原理的相关概念和应用，通 过理论与实践相结合的教学方式，学生将学习如何应用虚功 原理分析结构系统的受力和稳定性，了解结构材料对结构行 为的影响，并掌握关键应用技能。每个章节都将侧重于实际 案例和工程应用，帮助学生更好地理解虚功原理在工程实践 中的价值。
01 体会和感悟
学生分享在学习虚功原理课程中的感悟和体会，探 讨学习过程中的成长和反思。
02 启示和帮助
虚功原理理论对实际工程实践的启示和帮助，激发 学生对工程领域的热情和探索欲望。
03 提升自己
鼓励学生在未来的学习和工作中持续努力，不断提 升自己的专业能力和素养。
未来发展趋势
发展趋势
展望结构力学虚功原理在未来 的发展趋势和应用前景，探讨 虚功原理理论的创新方向。
创新和应用
虚功原理在工程领域的不断创 新和应用，为工程领域的发展 提供新思路和方法。
实践探索
鼓励学生在未来的研究和实践 中积极探索虚功原理的新应用 领域，为工程领域的创新贡献 力量。
致谢
在此感谢所有支持和帮助过本课程的人，特别感激学生们的努力 和付出。继续学习，不断探索，为工程领域的发展贡献力量。
● 03
第3章 虚功原理理论基础
虚功原理概念
虚功原理是结构力学中重要的理论基础，通过对结构内部受力和 变形的分析，可以利用虚功原理推导出结构的稳定性和安全性。 学生需要深入理解虚功原理的概念，并认识到其在工程实践中的 重要性和应用价值。
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变形体系处于平衡的必要和充分条件 是对于任何虚位移，外力虚功总和等于结 构内力在其相应变形上所做的虚功总和。 或者说外力虚功等于内力虚功。
W外=W内 或 W外=W变
（3）变形体的虚功原理
证明
（3）变形体的虚功原理
证明
（3）变形体的虚功原理
证明
（3）变形体的虚功原理
证明
（3）变形体的虚功原理
证明
（3）变形体的虚功原理
证明
（3）变形体的虚功原理
证明
刚体？
（3）变形体的虚功原理 外力功与应变能
（3）变形体的虚功原理 外力功与应变能
（3）变形体的虚功原理 外力功与应变能
（3）变形体的虚功原理 外力功与应变能
（3）变形体的虚功原理 外力功与应变能
（3）变形体的虚功原理 外力功与应变能
t of Structures)
A
引起结构位移的原因 还有什么原
为P什位么移要?计 A算 A Ay
因荷会载使结构产 温度生改位变移?
Ax
支座移动
制造误差 等
t
二、 计算位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。直线
A
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(实(21将通))际对虚由常受位静外力取移定X力状与结/ 虚态实构C的功际，=平力这a总/衡状里= b和方态实代1为程无际= 入零关用得，的,故:是即可刚M 设：体B虚X X =位x0= 移 =X 原b 1理P P /，a 实C 质= 上0是
δWi 的计算:
M
q MdM
N
NdN
Q ds QdQ
微段变形可看成由如下几部分组成:
微段拉伸
ds
ds 微段剪切
微段弯曲
对于直杆体系，由于变形互不耦连，有: p64,p65
Wi =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ/ds]ds
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。
以上 均为 外力 实功
（3）变形体的虚功原理 外力功与应变能
以上 均为
（3）变形体的虚功原理 外力功与应变能
21
P2
22
P1 11
12
（3）变形体的虚功原理
(M1M2
EI
)ds
=
P2 Δ 21
=
P1 Δ12
P1
力状态 （虚力状态）
P2
位移状态 （虚位移状态）
12
（4）变形体虚功方程的展开式
1
r(x)
=
y 1(y)2
3 2
y1,→→
1 = y
r(x)
……（2）
三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得
EyI=M (x)
M(x) =y EI
§3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
一个力系作的总虚功 W=P× P---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶
P
W=P
M W=M
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
M
M
P A
A
B
W = M A M B = M (A B )= M
功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移
实功：力在自身所产生的位移上所作的功
P
W = 1 P 2
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
t C
P W=Pt t
§3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
二、广义力(Generalized force)、广义位移 (Generalized displacement)
B P W = P A P B = P( A B ) = P
三、变形体的虚功原理
（1）质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，在
FP1
某一位置处于平衡的必要和 F N 1
充分条件是：
m
对于任何可能的虚位移，
1
作用于质点系的主动力所 做虚功之和为零。也即
FP2
m 2
FN2
Σ→fi .δr→i=0
（2）刚体系的虚位移原理
去掉约束而代以相应的
反力，该反力便可看成外
力。则有：刚体系处于平
3Δ/2
衡的必要和充分条件是：
XA =0 Δ
P
2Δ
对于任何可能的
虚位移，作用于刚 体系的所有外力所 做虚功之和为零。
YA=P/2 YB=P/2
PP2P3=0
22
2
（3）变形体的虚功原理
原理的表述：
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
§3.1 结构位移计算概述
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
角位移
相对线位移
A
y
C
C
C D D
D
FP
A
x
FP
线位移
相对角位移
线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移
叠加原理适用（principle of superposition)
四、 计算方法
单位荷载法 < 力功 能量法《 几何问题 (Dummy-Unit Load Method)
挠曲线近似微分方程
一、曲率与弯矩的关系：
1 = M 1 = M(x) ……（1 ）
r EI
r(x) EIz
二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式)
最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
第三章 静定结构的位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
§3.1 结构位移计算概述
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
P
A
Ay
A A
线位移 位移
转角位移
Ax A A点线位移
W外=W内 或 W外=W变
（3）变形体的虚功原理
证明
（3）变形体的虚功原理
证明
（3）变形体的虚功原理
证明
（3）变形体的虚功原理
证明
（3）变形体的虚功原理
证明
（3）变形体的虚功原理
证明
（3）变形体的虚功原理
证明
刚体？
（3）变形体的虚功原理 外力功与应变能
（3）变形体的虚功原理 外力功与应变能
（3）变形体的虚功原理 外力功与应变能
（3）变形体的虚功原理 外力功与应变能
（3）变形体的虚功原理 外力功与应变能
（3）变形体的虚功原理 外力功与应变能
t of Structures)
A
引起结构位移的原因 还有什么原
为P什位么移要?计 A算 A Ay
因荷会载使结构产 温度生改位变移?
Ax
支座移动
制造误差 等
t
二、 计算位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。直线
A
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(实(21将通))际对虚由常受位静外力取移定X力状与结/ 虚态实构C的功际，=平力这a总/衡状里= b和方态实代1为程无际= 入零关用得，的,故:是即可刚M 设：体B虚X X =位x0= 移 =X 原b 1理P P /，a 实C 质= 上0是
δWi 的计算:
M
q MdM
N
NdN
Q ds QdQ
微段变形可看成由如下几部分组成:
微段拉伸
ds
ds 微段剪切
微段弯曲
对于直杆体系，由于变形互不耦连，有: p64,p65
Wi =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ/ds]ds
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。
以上 均为 外力 实功
（3）变形体的虚功原理 外力功与应变能
以上 均为
（3）变形体的虚功原理 外力功与应变能
21
P2
22
P1 11
12
（3）变形体的虚功原理
(M1M2
EI
)ds
=
P2 Δ 21
=
P1 Δ12
P1
力状态 （虚力状态）
P2
位移状态 （虚位移状态）
12
（4）变形体虚功方程的展开式
1
r(x)
=
y 1(y)2
3 2
y1,→→
1 = y
r(x)
……（2）
三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得
EyI=M (x)
M(x) =y EI
§3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
一个力系作的总虚功 W=P× P---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶
P
W=P
M W=M
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
M
M
P A
A
B
W = M A M B = M (A B )= M
功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移
实功：力在自身所产生的位移上所作的功
P
W = 1 P 2
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
t C
P W=Pt t
§3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
二、广义力(Generalized force)、广义位移 (Generalized displacement)
B P W = P A P B = P( A B ) = P
三、变形体的虚功原理
（1）质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，在
FP1
某一位置处于平衡的必要和 F N 1
充分条件是：
m
对于任何可能的虚位移，
1
作用于质点系的主动力所 做虚功之和为零。也即
FP2
m 2
FN2
Σ→fi .δr→i=0
（2）刚体系的虚位移原理
去掉约束而代以相应的
反力，该反力便可看成外
力。则有：刚体系处于平
3Δ/2
衡的必要和充分条件是：
XA =0 Δ
P
2Δ
对于任何可能的
虚位移，作用于刚 体系的所有外力所 做虚功之和为零。
YA=P/2 YB=P/2
PP2P3=0
22
2
（3）变形体的虚功原理
原理的表述：
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
§3.1 结构位移计算概述
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
角位移
相对线位移
A
y
C
C
C D D
D
FP
A
x
FP
线位移
相对角位移
线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移
叠加原理适用（principle of superposition)
四、 计算方法
单位荷载法 < 力功 能量法《 几何问题 (Dummy-Unit Load Method)
挠曲线近似微分方程
一、曲率与弯矩的关系：
1 = M 1 = M(x) ……（1 ）
r EI
r(x) EIz
二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式)
最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
第三章 静定结构的位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
§3.1 结构位移计算概述
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
P
A
Ay
A A
线位移 位移
转角位移
Ax A A点线位移