初中数学七年级下二元一次方程组的解法及运用培优讲义

合集下载

初一数学二元一次方程组的解法与应用

初一数学二元一次方程组的解法与应用二元一次方程组是初中数学中的重要内容，它涉及到两个未知数的方程组。

在本文中，我们将介绍二元一次方程组的解法以及它在实际生活中的应用。

一、解法1. 消元法消元法是求解二元一次方程组最常用的方法之一。

对于形如：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂的方程组，首先选择其中一个方程，通过系数的适当倍乘，使得其中一个未知数的系数相等。

然后将两个方程相减，消去该未知数，得到一个只含有另一个未知数的一元一次方程。

求解该方程后，代入到原方程得出另一未知数的值。

2. 代入法代入法是另一种常用的解二元一次方程组的方法。

首先选择其中一个方程，解出其中一个未知数，然后将该值代入到另一个方程中，求解得到另一个未知数的值。

二、应用1. 几何问题二元一次方程组可以应用于几何问题中。

例如，已知两条直线的方程，求解它们的交点坐标。

将两条直线的方程组成二元一次方程组，通过解方程组可以求得它们的交点坐标。

2. 商业问题二元一次方程组在商业问题中也有广泛的应用。

例如，某公司生产两种产品，已知这两种产品的生产成本和售价，求解生产和销售这两种产品的数量，以最大化利润。

通过建立二元一次方程组，并求解方程组可以得到最优解。

3. 等比数列问题等比数列问题中常常需要解二元一次方程组。

例如，已知等比数列的第一项和公比，求解前n项的和。

通过建立关于等比数列的二元一次方程组，并求解可以得到所需的结果。

总结：二元一次方程组的解法有消元法和代入法，根据问题的要求可以选择不同的方法进行求解。

而二元一次方程组在几何、商业和数列等领域都有广泛的应用，通过解方程组可以求解实际问题，提高解决问题的能力。

以上是关于初一数学二元一次方程组的解法与应用的内容论述。

通过消元法和代入法，我们可以解决二元一次方程组，并且这些方法在几何、商业和数列等领域都有广泛的应用。

希望本文对您理解和掌握二元一次方程组有所帮助。

【最新】浙江省七年级数学下册第二讲二元一次方程组的解及其应用讲义基础提高班pdf新版浙教版

二元一次方程组的解及其应用
一：重点回顾：
二元一次方程组的解法：
1、代入消元法（简称代入法）：将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数
的代数式表示，并代入另一个方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。

2、加减消元法（简称加减法）：把方程组的两个方程（或先做适当变形）相加或想减，消
去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。

二、类二元一次方程组
这些方程组虽然不是二元一次方程组，却可以利用二元一次方程组的解法来帮助求解
例：两边倒数得加减消元法解得
三、含参二元一次方程组同解问题
例：已知关于x、y的二元一次方程组的解也是方程的解。

求a。

思路：x与y同时满足方程与，于是联立这两个方程可得到一个不含参的二元一次方程组，求得解为。

再把解代回到可得到关于a的一
元一次方程，最后解得
四、二元一次方程解的存在性与唯一性问题。

（重点预习）
1.复习
一元一次方程解的情况：
2.二元一次方程组解的情况
步骤：①通过消元法消去其中一个未知数，转化为一元一次方程的形式（AX=B）
②按照一元一次方程解得讨论进行即可。

练习：已知关于x、y的二元一次方程组无解，求m值
解析：转化为一元一次方程的问题：
得。

由原方程组无解，即方程无解。

则，。

七年级下册数学讲义《第7讲二元一次方程》人教版初一数学

数学七年级下册讲义第7讲二元一次方程模块一基础多元一次方程组知识导航1、二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫二元一次方程。

例如，25x y+=，20u v-=，132m n=等，都是二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。

例如，2323521x y x yx y x⎧+=+=⎧⎪⎨⎨-==⎪⎩⎩，等都是二元一次方程组。

3、二元一次方程组的基本解法方法方法1：代入消元法：方法2：加减消元法。

题型一解二元一次方程组例题1解下列方程组：（1）430210x yx y-=⎧⎨-=-⎩.（2）134342 x yx y⎧-=⎪⎨⎪-=⎩.题型二解三元一次方程组例题2解方程组：34145217 223 x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩练习2解方程组：（1）751 x yx y zx y z+=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩.（2）5 428 9313 a b ca b ca b c++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩.总结归纳注意事项：①当解方程组需要进行通分时，需要注意每一项都要乘以分母的最小公倍数，切勿漏乘；②区分清楚通分和分子分母整数化（分子分母同时扩大或缩小相同倍数，分数的大小不变）的区别；模块二含参方程组题型一整体思想与含参方程例题3已知二元一次方程组()()()()235231x y x yx y x y++-=⎧⎪⎨+--=-⎪⎩，则1x=，y=________．练习3解方程组：()() 2152110 1217102x yx y⎧--++=⎪⎨-+-=⎪⎩.例题4若关于x y 、的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a b 、的二元一次方程组()()()()3526a b m a b a b n a b +--=⎧⎪⎨++-=⎪⎩的解是________．练习4已知关于,x y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为34x y =⎧⎨=⎩，则关于,x y 的方程组1112223434a x b y c a x b y c -=⎧⎨-=⎩的解为________．题型二含参方程组解的关系例题5关于x y 、方程组2564x y ax by +=-⎧⎨-=⎩与关于x y 、的方程组35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩的解相同，试求出2017(2)a b +的值.练习51.已知方程组42x y x y m-=⎧⎨+=⎩中,x y 的互为相反数，则m 的值为（）. A.2 B.-2 C.0 D.42.已知方程组352,23x y k x x y k +=+⎧⎨+=⎩与y 的值之和等于2，则k 的值为（）. A.4 B.-4 C.3 D.-3 题型三含参方程组的整数解问题例题61.方程27x y +=的解有________个，其中正整数解它们是________.2.已知m 为整数，方程组436626x y x my -=⎧⎨+=⎩有正整数解，则m =________ 练习6若a 为自然数，m n 、是方程组3210033220n m a n m a +=-⎧⎨-=-⎩的解，且m n 、均为正整数，则该方程组的所有解的组数是________.题型四含参方程组解的存在性例题7已知方程组531x y ax y b -=⎧⎨+=-⎩①无数多个解；②唯一解；③无解.分别求三种情况下a b 、的值.练习7已知关于x y 、的方程组()312y kx b y k x =+⎧⎨=-+⎩，当k b 、为何值时，方程组： ①有唯一一组解；②无解；③有无穷多组解.巩固加油站巩固1解下列方程组.（1）661x y x y -=⎧⎨=+⎩.（2）3425212x y x y -=⎧⎨+=⎩.巩固2解方程组：（1）32123253x y y z x z -=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③.（2）3213272312x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩①②③.巩固3关于x y 、的方程组31428mx ny x y +=⎧⎨+=⎩与5236x ny n x y -=-⎧⎨-=⎩有相同的解，则m n -=________. 巩固4若关于x y 、的方程组3522718x y a x y a -=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数，则此方程组的解为x =________；y =________.巩固5对于二元一次方程210x y +=. （1）求其正整数解. （2）若7x y +=，求,x y 的值.巩固6当m n 、为何值时，关于x y 、的方程组()214mx y n m x y -=-⎧⎨--=-⎩. （1）无解.（2）唯一解. （3）有无数多解.。

二元一次方程组的解法(教师版)2021-2022学年七年级数学下册同步精品讲义(人教版)

第17课二元一次方程组的解法目标导航课程标准1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.3. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；4. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；5．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．知识精讲知识点01 消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.知识点02 代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．注意：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．代入消元法的一般步骤：（1）转化：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.（2）代入：把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）求解：解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）回代、写解：把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.（5）检验: 把方程组的解代回方程组检验，当满足每个方程时才是方程组的解。

知识点03 加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．注意：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．知识点04 选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．考法01 用代入法解二元一次方程组【典例1】用代入法解方程组：【分析】比较两个方程未知数的系数，发现①中x 的系数较小，所以先把方程①中x 用y 表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．【答案与解析】解：由①得 ③ 将③代入② ，解得． 237338x y x y +=⎧⎨-=⎩①②732y x -=733382y y -⨯-=13y =能力拓展将代入③，得x ＝3 所以原方程组的解为．【点睛】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．【即学即练】m 取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m 取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数；（2）m=-3，-2，0，.【典例2】对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．把x=1代入②得，y=0．所以方程组的解为请用同样的方法解方程组：．【分析】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．【答案与解析】解：由①得，2x ﹣y=2③，把③代入②得，1+2y=9，解得：y=4，把y=4代入③得，x=3，则方程组的解为【点睛】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算．【即学即练】解方程组（1）（2）【答案】 13y =313x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2320,2352y 9.7x y x y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩45:4:3x y x y -=⎧⎨=⎩①②解：将①代入②：，得 y=4，将y=4代入①：2x －12=2得 x=7，∴原方程组的解是. （2）解：由②，设x=4，y=3代入①：4－4·3=54－12=5－8=5∴，， ∴原方程组的解为. 考法02 方程组解的应用【典例3】如果方程组359x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（） A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】求出方程组的解得到x 与y 的值，代入已知方程即可求出m 的值．【答案】B ．【解析】解：，由①得y=3-x ③将③代入②得：6x=12，解得：x=2，将x=2代入②得：10﹣y=9，解得：y=1，将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8，解得：m=2． 232235297x y x y y -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩①②25297y ++=74x y =⎧⎨=⎩45:4:3x y x y -=⎧⎨=⎩①②k k k k k k k 58k =-542x k ==-1538y k ==-52158x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．【典例4】已知和方程组的解相同，求的值．【分析】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y ＝-6和3x-5y ＝16的解．由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x 、y 的值．再将x 、y 的值代入ax-by ＝-4，bx+ay ＝-8中建立关于a 、b 的方程组即可求出a 、b 的值．【答案与解析】解：依题意联立方程组①+③得5x ＝10，解得x ＝2．把x ＝2代入①得：2×2+5y ＝-6，解得y ＝-2，所以，又联立方程组，则有，解得．所以(2a+b)2011＝-1．【点睛】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键.【即学即练】小明和小文解一个二元一次组322cx y ax by -=-⎧⎨+=⎩小明正确解得11x y =⎧⎨=-⎩小文因抄错了c ，解得26x y =⎧⎨=-⎩已知小文除抄错了c 外没有发生其他错误，求a+b+c 的值．【答案】解：把代入cx ﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5，把与分别代入ax+by=2，得，解得：， 2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩①②35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩③④2011(2)a b +2563516①x y x y +=-⎧⎨-=⎩③22x y =⎧⎨=-⎩48ax by bx ay -=-⎧⎨+=-⎩224228a b a b +=-⎧⎨-+=-⎩13a b =⎧⎨=-⎩则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．考法03 加减法解二元一次方程组【典例5】用加减消元法解方程组3465923x y x y ++== 【分析】先将原方程写成方程组的形式后，再求解.【答案与解析】解：此式可化为：349(1)2659(2)3x y x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 由(1)：3x+4y=18 (1)由(2)：6x+5y=27 (2)(1)×2：6x+8y=36 (3)(3)－(2)：3y=9y=3代入(1)：3x+12=183x=6x=2∴23x y =⎧⎨=⎩【点睛】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c 的形式再消元.【即学即练】方程组201020092008200820072006x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为： . 【答案】12x y =-⎧⎨=-⎩【典例6】若关于x 、y 的二元一次方程组1615ax my bx ny -=⎧⎨+=⎩的解为71x y =⎧⎨=-⎩，求关于x 、y 的方程组(2)()16(2)()15a x y m x yb x y n x y +--=⎧⎨++-=⎩的解．【分析】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把2x +y ，x -y 看作一个整体，则两个方程同解．【答案与解析】解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(2x +y )与(x -y )分别看成一个整体当作未知数，可得27,1.x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 解得：23x y =⎧⎨=⎩【点睛】本例采用了类比的方法，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【即学即练】三个同学对问题“若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是：．【答案】解：由方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，得1112223434a b c a b c +=⎧⎨+=⎩，上式可写成111222352105352105a b c a b c ⨯+⨯=⎧⎨⨯+⨯=⎩，与111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩比较，可得：510x y =⎧⎨=⎩．考法04 用适当方法解二元一次方程组【典例7】解方程组36101610x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩ 【分析】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最简单.【答案与解析】解：设,610x y x y m n +-==，则原方程组可化为31m n m n +=⎧⎨-=-⎩①② 解得12m n =⎧⎨=⎩即16210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ，所以620x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解得137x y =⎧⎨=-⎩所以原方程组的解为137x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最简便的求解方法.【即学即练】【答案】解：去分母，整理化简得，9112061925x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②×3－①×2得，3535y =，即1y =，将1y =代入①得，99x =，即1x =，所以原方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩.【典例8】试求方程组27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩的解．【答案与解析】解：27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩①② ①－②，整理得513y y -=- ③ ∵50y -≥，∴13－y ≥0，即y ≤13，当513y ≤≤时，③可化为513y y -=-，解得9y =；当5y ≤时，③可化为513y y -=-，无解.将9y =代入②，得23x -=，解得15x =-或.综上可得，原方程组的解为：19x y =-⎧⎨=⎩或59x y =⎧⎨=⎩.【点睛】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论求出解.【即学即练】若二元一次方程组37231x y x y -=⎧⎨+=⎩和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值．【答案】解：方程组，①×3+②得：11x=22，解得：x=2，将x=2代入①得：6﹣y=7，解得：y=﹣1，∴方程组的解为，将代入y=kx+9得：k=﹣5，则当k=﹣5时，（k+1）2=16．题组A 基础过关练1．用加减法解方程组235327x y x y -=⎧⎨-=⎩①②下列解法错误的是（） A ．①×3－②×2，消去xB ．①×2－②×3，消去yC ．①×(－3)＋②×2，消去xD ．①×2－②×(－3)，消去y 【答案】D【解析】【详解】本题考查了加减法解二元一次方程组用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．A 、32⨯-⨯①②，可消去x ，故不合题意；B 、23⨯-⨯①②，可消去y ，故不合题意；C 、(3)2⨯-+⨯①②，可消去x ，故不合题意；D 、2(3)⨯-⨯-①②，得，不能消去y ，符合题意．故选D ．分层提分2．用加减消元法解二元一次方程组3421x yx y+=⎧⎨-=⎩①②时，下列方法中无法消元的是（）A．①×2﹣②B．②×（﹣3）﹣①C．①×（﹣2）+②D．①﹣②×3【答案】D【解析】【分析】根据各选项分别计算，即可解答．【详解】方程组利用加减消元法变形即可．解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；D、①﹣②×3无法消元，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．3．解方程组231367x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，用加减法消去y，需要（）A．①×2﹣②B．①×3﹣②×2C．①×2+②D．①×3+②×2【答案】C【解析】【分析】先把的系数化成绝对值相等的方程，再相加即可．【详解】解：①×2得：4x+6y=2③，③+②得：7x=9，即用减法消去y，需要①×2+②，故选C．【点睛】本题考查了解二元一次方程组的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．4．用加减法将方程组2311255x yx y-=⎧⎨+=-⎩中的未知数x消去后，得到的方程是（）．A．26y= B．816y=C．26y-=D．816y-=【答案】D【解析】【分析】方程组两方程相减消去x即可得到结果．【详解】解：2311? 255?x yx y-=⎧⎨+=-⎩①②②-①得：8y=-16，即-8y=16，故选D．【点睛】本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．5．利用加减消元法解方程组2510{536x yx y+=-=，①②，下列做法正确的是（）A．要消去y，可以将①×5＋②×2B．要消去x，可以将①×3＋②×（－5）C．要消去y，可以将①×5＋②×3D．要消去x，可以将①×（-5）＋②×2【答案】D【解析】【详解】由已知可得，消元的方法有两种，分别为：（1）要消去y，可以将①×3＋②×5；（2）要消去x，可以将①×（-5）＋②×2．故选D6．用代入消元法解方程组3+4=225x yx y⎧⎨-=⎩①②使得代入后化简比较容易的变形是()A．由①得243yx-=B．由①得234xy-=C．由②得52yx+=D．由②得y＝2x－5【答案】D【解析】【分析】根据代入消元法解二元一次方程组的步骤可知变形②更简单.【详解】解：观察方程①②可知，②中的系数为-1，比其它未知数的系数更为简单，所只要将②变形为y＝2x－5③，再把③代入①即可求出方程组的解.故应选D.【点睛】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组，理解代入消元法解方程组时化简系数较简单的方程是解题的关键.7．已知a，b满足方程组51234a ba b+=⎧⎨-=⎩则a+b的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【答案】B【解析】【详解】试题解析：512{34a ba b+=-=①②，①+②：4a+4b=16则a+b=4，故选B．考点：解二元一次方程组．8．已知=2{=1xy是二元一次方程组+=8{=1mx nynx my-的解，则2m n-的算术平方根为（）A．±2B2C．2D．4【解析】【详解】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根．【分析】∵=2{=1x y 是二元一次方程组+=8{ =1mx ny nx my -的解，∴2+=8{2=1m n n m -，解得=3{=2m n ． 2=232=4=2m n -⨯-．即2m n -的算术平方根为2．故选C ．9．若|321|20x y x y --++-=，则x ，y 的值为（）A ．14x y =⎧⎨=⎩B ．20x y =⎧⎨=⎩C ．02x y =⎧⎨=⎩D ．11x y =⎧⎨=⎩【答案】D【解析】【详解】分析：先根据非负数的性质列出关于x 、y 的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x 的值，利用代入消元法求出y 的值即可．详解：∵32120x y x y --+-=，∴321020x y x y --⎧⎨+-⎩＝＝将方程组变形为32=1=2x y x y -⎧⎨+⎩①②， ①+②×2得，5x=5，解得x=1，把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，∴方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩．故选D ．点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．10．以方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为坐标的点（x ，y ）在平面直角坐标系中的位置是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】先求出方程组的解，然后即可判断点的位置．【详解】解：解方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩，得 1.50.5x y =⎧⎨=⎩， ∴点（1.5，0.5）在第一象限．故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和坐标系中点的坐标特点，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题关键．11．若方程组31331x y a x y a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x +y ＝0，则a 的值为（） A ．﹣1B ．1C ．0D ．无法确定【答案】A【解析】【详解】试题解析：方程组两方程相加得：4（x+y ）=2+2a ，即x+y=12（1+a ），由x+y=0，得到12（1+a ）=0，解得：a=-1．故选A ． 12．在解方程组2278ax by cx y +=⎧⎨+=⎩，时，甲同学正确解得32x y =⎧⎨=⎩，乙同学把c 看错了，而得到26x y =-⎧⎨=⎩，那么a ，b ，c 的值为（）A ．2a =-，4b =，5c =B ．4a =，5b =，2c =-C ．5a =，4b =，2c =D ．不能确定【答案】B【解析】【分析】【详解】解：由甲同学的解正确，可知3c+2×7=8，解得2,c =-且3222a b +=①，由于乙看错c ，所以2622a b -+=②，解由①②构成的方程组可得：4,5a b =⎧⎨=⎩故选B ．题组B 能力提升练13．已知23x y +=，用含x 的代数式表示y =________．【答案】y=3-2x【解析】【详解】23x y +=移项得：y=3-2x.故答案是：y=3-2x ．14．已知x 、y 满足方程组2524x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y -的值为___．【答案】1【解析】【分析】首先根据方程组的解的定义正确求出方程组的解，然后计算出x -y 或直接让两个方程相减求解．【详解】方法一：解方程组2524x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩， ∴x -y=1；方法二：两个方程相减，得.x -y=1，【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的基本方法是解题的关键，同时注意此题中的整体思想．15．如果方程组45x by ax =⎧⎨+=⎩的解与方程组32y bx ay =⎧⎨+=⎩的解相同，则a+b 的值为______．【答案】1【解析】【分析】根据题意，把43x y =⎧⎨=⎩代入方程组52by ax bx ay +=⎧⎨+=⎩，得到一个关于a ，b 的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b 的值．【详解】解：根据题意把43x y =⎧⎨=⎩代入方程组52by ax bx ay +=⎧⎨+=⎩，得 345432b a b a +⎧⎨+⎩＝①＝②， ①+②，得：7（a+b ）=7，则a+b=1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及加减消元法解方程组．一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．注意两个方程组有相同的解时，往往需要将两个方程组进行重组解题．16．若方程组x y 73x 5y 3+=⎧⎨-=-⎩，则()()3x y 3x 5y +--的值是_____．【答案】24．【解析】【分析】把x y 3x 5y +-、分别看作一个整体，代入进行计算即可得解．解：∵x y 73x 5y 3+=⎧⎨-=-⎩， ∴()()()3x y 3x 5y 37324+--=⨯--=．故答案为：24．17．已知关于x 、y 的方程221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足3x y +=-，则a 的值为__________________．【答案】5【解析】【分析】①+②可得x+y=2-a ，然后列出关于a 的方程求解即可．【详解】解：221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②， ①+②，得3x+3y=6-3a ，∴x+y=2-a ，∵3x y +=-，∴2-a=-3，∴a=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．18．已知x 2{y 1==是二元一次方程组mx ny 7{nx my 1+=-=的解，则m+3n 的立方根为．【答案】2【解析】【详解】把x 2{y 1==代入方程组mx ny 7{nx my 1+=-=，得：2m n 7{2n m 1+=-=，解得13m 5{9n 5==， ∴139m 3n 3855+=+⨯=33m 3n 82+=，故答案为2.19．若单项式﹣5x 4y 2m+n 与2017x m ﹣n y 2是同类项，则m -7n 的算术平方根是_________.【答案】4【解析】【详解】试题分析：根据同类项定义由单项式﹣5x 4y 2m+n 与2017x m ﹣n y 2是同类项，可以得到关于m 、n 的二元一次方程4=m ﹣n ，2m+n=2，解得：m=2，n=﹣2，因此可求得m ﹣7n=16，即m ﹣7n 的算术平方根==4，故答案为 4．考点：1、算术平方根；2、同类项；3、解二元一次方程组 20．若关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a 、b 的二元一次方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是_______．【答案】3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】【分析】方法一：利用关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩可得m 、n 的数值，代入关于a 、b 的方程组即可求解；方法二：根据方程组的特点可得方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是12a b a b +=⎧⎨-=⎩，再利用加减消元法即可求出a,b ．【详解】详解：∵关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩，∴将解12xy=⎧⎨=⎩代入方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩可得m=﹣1，n=2∴关于a、b的二元一次方程组()()()()3=526a b m a ba b n a b⎧+--⎪⎨++-=⎪⎩整理为：42546a ba+=⎧⎨=⎩解得：3212 ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩方法二：∵关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩∴方程组3()()=52()()6a b m a ba b n a b+--⎧⎨++-=⎩的解是12a ba b+=⎧⎨-=⎩解12a ba b+=⎧⎨-=⎩得3212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故答案为：3212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．21．若方程组2313{3530.9a ba b-=+=的解是8.3{1.2,ab==则方程组的解为________【答案】6.32.2 xy==⎧⎨⎩【解析】【详解】试题分析：根据整体思想，可设a=x+2，b=y-1，可发现两个方程组相同，因此可知x+2=8.3，y-1=1.2，解得x=6.3，y=2.2，即方程组的解为：6.3{2.2xy==.题组C 培优拔尖练22．解下列方程组（1）257320x y x y -=⎧⎨-=⎩ （2）33255(2)4x y x y +⎧=⎪⎨⎪-=-⎩ 【答案】（1）55x y ⎧=⎨=⎩；（2）025x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】本题需要把两个方程组化简后，根据方程的形式选用合适的方法求解．【详解】（1）257320x y x y -=⎧⎨-=⎩，整理得63157320-=⎧⎨-=⎩x y x y ，两式相减得：5x =，把 5x =代入25x y -=中，得y 5=；所以原方程组的解为：55x y ⎧=⎨=⎩．（2）原方程组变式为51565104x y x y ⎧+=⎨-=-⎩，两式相减得：25y =，将25y =代入5156x y +=中，得251565x +⨯=，解得：0x =．所以原方程组的解为025x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩．【点睛】本题考查了我二元一次方程组的解法，通过变形选择合适的方法求解是快速解题的关键．23．（1）用代入法解方程组：3759x y x y -=⎧⎨+=-⎩（2）用加减法解方程组：2232(3)31x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩【答案】（1）1x=21y=22⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩；（2）x=2y=3⎧⎨⎩.【解析】【分析】（1）由x-y=3得x=3+y，再代入求出x，再求出y；（2）先对原方程组变形，再运用加减消元法解答.【详解】解：（1）3759 x yx y-=⎧⎨+=-⎩①②由①得x=3+y③将③代入②得：y=1 22 -将y=122-代入③得：x=12-所以原方程组的解为：1x=21 y=22⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩（2）原方程组可化为：3x212 235yx y+=⎧⎨-=-⎩①②①×2得：6x+4y=24③②×3得：6x-9y=-15④③-④得：13y=39，解得：y=3将y=3代入①中得：x=2所以原方程组的解为：x=2 y=3⎧⎨⎩【点睛】本题考查了二元一次方程组得两种解法，其关键在于扎实的计算能力和严谨的思维.24．甲、乙两名同学在解方程组5{213mx yx ny+=-=时，甲解题时看错了m，解得7{22xy==-；乙解题时看错了n，解得3{7xy==-．请你以上两种结果，求出原方程组的正确解．【答案】n = 3, m = 4，2 {3 xy==-【解析】【详解】试题分析：由题意可知722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩是方程213x ny-=的解，由此即可求得n的值；37xy=⎧⎨=-⎩是方程5mx y+=的解，由此看求得m的值；这样即可得到正确的原方程组，再解方程组，即可求得原方程组的正确解；试题解析：由题意可知722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩是方程213x ny-=的解，∴72(2)132n⨯--=，解得n=3；37xy =⎧⎨=-⎩是方程5mx y+=的解，∴375m-=，解得m=4；∴原方程组为：452313x yx y+=⎧⎨-=⎩，解此方程组得23xy=⎧⎨=-⎩，∴m=4，n=3，原方程组的解为：23 xy=⎧⎨=-⎩.点睛：在本题中“甲、乙两名同学在解方程组5213mx yx ny+=⎧⎨-=⎩时，甲解题时看错了m，解得722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩”这句话的含义是：“722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩”是关于x y、的二元一次方程“213x ny-=”的解.25．阅读探索解方程组(1)2(2)6 2(1)(2)6 a ba b-++=⎧⎨-++=⎩解：设a&#ξΦ02∆;1&#ξΦ03∆;x，b&#ξΦ02B;2&#ξΦ03∆;y，原方程组可变为26 26 x yx y+=⎧⎨+=⎩解方程组得22xy=⎧⎨=⎩，即1222ab-=⎧⎨+=⎩，所以3ab=⎧⎨=⎩．此种解方程组的方法叫换元法．（1）拓展提高运用上述方法解下列方程组：(1)2(2)4352(1)(2)535a b a b ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩ （2）能力运用已知关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为53x y =⎧⎨=⎩，直接写出关于m 、n 的方程组1112225(3)3(2)5(3)3(2)a m b n c a m b n c ++-=⎧⎨++-=⎩的解为_______．【答案】（1）95a b =⎧⎨=-⎩；（2）23m n =-⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】（1）设13a -=x ，25b +=y ，可得出关于x 、y 的方程组，即可求出x 、y 的值，进而可求出a 、b 的值；（2）设5（m+3）=x ，3（n -2）=y ，根据已知方程组的解确定出m 、n 的值即可.【详解】（1）设13a -=x ，25b +=y ，原方程组可变形为2425x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩，即123215a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：95a b =⎧⎨=-⎩. （2）设5（m+3）=x ，3（n -2）=y ，原方程组可变形为：111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩， ∵关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为53x y =⎧⎨=⎩， ∴5(3)53(2)3m n +=⎧⎨-=⎩，解得：23mn=-⎧⎨=⎩.故答案为23 mn=-⎧⎨=⎩【点睛】本题考查解二元一次方程组，正确理解并熟练掌握换元法是解题关键.。

初中数学二元一次方程组解法和解培优

初中数学二元一次方程组解法和解培优一．普通解法: 解下列方程组:⑴41216x y x y -=-⎧⎨+=⎩ ⑵()()41312223x y y x y --=--⎧⎪⎨+=⎪⎩二．含参数的二元一次方程组的解法二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，是中考和竞赛的常见的题目，所以这一部分知识非常重要。

现选取几道题略作讲解，供同学们参考。

1.、两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。

例：已知方程与有相同的解，则a 、b 的值为。

2、根据方程组解的性质，求参数的值。

例2：m 取什么整数时，方程组的解是正整数？略解：由②得x=3y2×3y-my=6 y=m-66 因为y 是正整数，x 也是正整数所以6-m 的值为1、2、3、6；m 的值为0、3、4、5。

方法：是把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值。

3、由方程组的错解问题，示参数的值。

例3：解方程组⎩⎨⎧=-=+872y cx by ax 时，本应解出⎩⎨⎧-==23y x 由于看错了系数c,从而得到解⎩⎨⎧=-=22y x 试求a+b+c 的值。

（1）（2） ⎩⎨⎧=+=+4535y ax y x （3）（4） ⎩⎨⎧=+=-1552by x y x ①② ⎩⎨⎧=-=-0362y x my x方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而，求出参数的值。

8273=-⨯-⨯）（c 2-=c 把⎩⎨⎧-==23y x 和⎩⎨⎧=-=22y x 代入到ax+by=2中，得到一个关于a 、b 的方程组。

322222a b a b -=⎧⎨-+=⎩，解得45a b =⎧⎨=⎩ 所以7254=-+=++c b a4、根据所给的不定方程组,求比值。

例4：求适合方程组⎩⎨⎧=++=-+05430432z y x z y x 求 z y x z y x +-++ 的值。

略解：把z 看作已知数。

七年级下册数学二元一次方程讲解

七年级下册数学二元一次方程讲解数学是一门非常重要的学科，在学习过程中，我们会遇到各种各样的数学问题。

其中，二元一次方程是一个非常常见和基础的数学问题。

掌握二元一次方程的解法，可以帮助我们更好地解决实际生活中的一些问题。

本文将详细介绍七年级下册数学二元一次方程的相关知识，包括基本概念、解题步骤和实例分析。

一、基本概念:1. 什么是二元一次方程？二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，通常表示为ax+by=c。

其中，a、b、c为已知的实数，x、y为未知数。

2. 二元一次方程的特点二元一次方程的特点有以下几个方面：- 方程中同时含有两个未知数- 方程中的未知数的次数均为1- 方程中的系数为已知实数二、解题步骤:消元法是解二元一次方程的常用方法。

其步骤如下：- 根据方程的特点，可以选择合适的消元方法，例如消去x的系数或y的系数。

- 通过等式的加减变换，将二元一次方程化简为只含有一个未知数的一次方程。

- 解得一个未知数后，代入原方程求解另一个未知数。

代入法也是解二元一次方程的常用方法。

其步骤如下：- 选择其中一个方程，将其中一个未知数表示为另一个方程中的未知数的函数。

- 将该表达式代入到另一个方程中，得到只含有一个未知数的一次方程。

- 解得一个未知数后，代入原方程求解另一个未知数。

三、实例分析:我们通过几个实际问题的例子，来详细分析解二元一次方程的步骤。

1. 实例一:小明今年6岁，他的母亲比他大20岁。

假设小明的年龄是x，母亲的年龄是y，我们可以列出一个二元一次方程来求解他们的年龄。

根据题目可以得到两个方程：x + y = 26 （1）y = x + 20 （2）我们可以使用消元法或代入法来解决这个方程组。

2. 实例二:某自行车商店卖出了8辆山地自行车和11辆公路自行车，总共卖了8500元。

已知山地自行车的价格是每辆800元，公路自行车的价格是每辆500元。

设山地自行车的销售量为x，公路自行车的销售量为y，我们可以列出一个二元一次方程来求解销售量。

数学七年级下册讲解二元一次方程

数学七年级下册讲解二元一次方程
二元一次方程的概念
二元一次方程是指含有两个未知数（二元），并且未知数的项的次数都是1的方程。

例如，方程 3x + 2y = 10 就是二元一次方程的一个例子，其中 x 和 y 是未知数。

解二元一次方程的方法
解二元一次方程常用的方法有加减消元法和代入消元法。

1. 加减消元法
加减消元法是通过对方程进行加减来消除一个未知数，从而将二元一次方程转化为一元一次方程，然后解出剩下的未知数。

例如，对于方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 10 \\5x - y = 16\end{cases}$
我们可以将第一个方程乘以1，第二个方程乘以2，然后相加，消去y：$3x + 2y + (5x - 2y) = 10 + 32$
得到：
$8x = 42$
从中解出 x 的值为：
$x = \frac{42}{8} = \frac{21}{4}$
然后将 x 的值代入任何一个原方程中求出 y 的值。

2. 代入消元法
代入消元法是通过对方程进行代入来消除一个未知数，从而将二元一次方程转化为一元一次方程，然后解出剩下的未知数。

例如，对于方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 10 \\5x - y = 16\end{cases}$
我们可以将第一个方程解出 y：
$y = \frac{10 - 3x}{2}$
然后将这个表达式代入第二个方程中，得到一个只含有 x 的方程：
$5x - \frac{10 - 3x}{2} = 16$
解这个一元一次方程，得到 x 的值。

然后再代回到 y 的表达式中求出 y 的值。

人教版七年级数学下册第八章《二元一次方程组的解法及典型应用》优课件

二元一次方程组的解法及典型应用(一)
课标引路
1．掌握利用代入法解二元一次方程组；
知识梳理
代入法解二元一次方程组
比如：Biblioteka x y 3x 1, y 5.
可以把（1）式化成y=1-x的形式，代入（2）式中，这样（2）式
就转化成了一元一次方程，解这个方程，把得到的x的值再代入任意一个方程中去，
就可以求得方程组的解了．这种方法称为代入消元法，简称代入法；
例 7．在方程(x＋2y－8)＋(4x＋3y－7)＝0 中，找出一对 x，y 值，使得无论取何值，方程恒成立．
【点拨】既然已经学会了解二元一次方程组了，我们就可以思考能否利用解方程组的思想来解题呢．
知识点四：知识拓展
【点拨】根据题意把这个问题转化为二元一次方程组的问题来解决．
指点迷津
1．理解好解二元一次方程组实质就是把它转化为一元一次方程；
D． y 2x 1 3
4x 3y 7
例
5．如果关于
x，y
的方程组
k
2
1
x
y
k
的解中，x 3
与
y
互为相反数，求
k
的值．
【点拨】代入法的思想进行解题．
知识点三：解二元一次方程组的灵活应用一
【点拨】可以找出题中的等量关系，列出方程组然后再求得问题的答案．【解析】解：设去甲地旅游的人数有x人，去乙地旅游的人数有y人．
当有某个未知数的系数的绝对值是1的时候，常常考虑利用代入法，这时，需要把含有其它未它未知数的代数式，来表示这个未知数后，再代入另一个方程中去.
典型应用
一种是应用题；另一种是方程或方程组类问题．
能力提升
例 1．已知方程 6x－3y＝5，用含 x 的式子表示 y，则 y＝______．

浙教版七年级下册第2章二元一次方程第1讲二元一次方程组培优讲义(含解析)

第2章二元一次方程第1讲二元一次方程组命题点一：二元一次方程的定义【思路点拨】二元一次方程需满足三个条件：①是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次.不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程. 例1若(m －1)x ＋10y |2m －1|＝250是关于x 的二元一次方程，则m 的值是(B )A ．0或1B ．0C ．1D ．任何数例2若3x 3m ＋5n ＋9＋4y 4m －2n －7＝2是关于x ，y 的二元一次方程，则m n等于(D )A ．73B ．37C ．－73D ．－37命题点二：解二元一次方程组例3解下列方程组：(1)⎩⎨⎧4x －3y ＝17，y ＝7－5x . (2)⎩⎨⎧5x －2y ＝4，2x －3y ＝－5. 解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3. 解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3.【思路点拨】对于(3)，运用整体叠加法解；对于(4)，可以整体设元后解决．(3)⎩⎨⎧2 017x －2 018y ＝2 016，2 016x －2 015y ＝2 017.(4)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y 4＋2x －3y3＝7，2x ＋3y 3＋2x －3y 2＝8.解：(3) ⎩⎨⎧2 017x －2 018y ＝2 016，①2 016x －2 015y ＝2 017.②①－②，得x －3y ＝－1.③ ①＋②，得4 033x －4 033y ＝4 033，即x －y ＝1.④ ④－③，得2y ＝2，解得y ＝1.把y ＝1代入③，得x ＝2，则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.(4)设2x ＋3y ＝a ，2x －3y ＝b ，则⎩⎨⎧a 4＋b3＝7，a 3＋b2＝8，解得⎩⎨⎧a ＝60，b ＝－24.即⎩⎨⎧2x ＋3y ＝60，2x －3y ＝－24.则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝9，y ＝14.(5)⎩⎨⎧3x ＋2y ＋z ＝13，x ＋y ＋2z ＝7，2x ＋3y －z ＝12.解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，z ＝1.例4解下列方程组：(1)⎩⎨⎧2a －b ＝32，a －3b ＝1. (2)⎩⎨⎧3(x －1)＝y ＋5，x ＋22＝y －13＋1. (3)⎩⎨⎧217x ＋314y ＝2，314x ＋217y ＝2.解：(1)⎩⎨⎧a ＝19，b ＝6. (2)⎩⎨⎧x ＝6，y ＝10.(3)⎩⎨⎧217x ＋314y ＝2，①314x ＋217y ＝2.②①＋②，得531(x ＋y )＝4，即x ＋y ＝4531. ③①－③×217，得97y ＝2－4×217531，解得y ＝2531. 将y ＝2531代入③，得x ＝2531，则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2531，y ＝2531.(4)⎩⎨⎧3(x ＋y )－5(x －y )＝16，2(x ＋y )＋(x －y )＝15.(5)⎩⎨⎧3x －2y ＋z ＝6，2x ＋3y －z ＝11，x ＋2y ＋z ＝8.解：⎩⎨⎧x ＝4.y ＝3.解：⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，z ＝1.命题点三：方程组的解例5(1)若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2的解为⎩⎨⎧x ＝5，y ＝6，则方程组⎩⎨⎧5a 1(x －1)＋3b 1(y ＋1)＝4c 1，5a 2(x －1)＋3b 2(y ＋1)＝4c 2的解为 ⎩⎨⎧x ＝5，y ＝7． (2)甲、乙两人同时解方程组⎩⎨⎧mx ＋y ＝5，①2x －ny ＝13. ②甲解题看错了①中的m ，解得⎩⎨⎧x ＝72，y ＝－2，乙解题时看错②中的n ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－7，则原方程组的解为 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3．例6(1)如果关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝－2，a 2x －b 2y ＝4的解为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，那么方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝－2＋a 1，a 2x －b 2y ＝4＋a 2的解为(C ) A ．⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3 B ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3 C ．⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 D ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2(2)已知方程组⎩⎨⎧2x ＋5y ＝－26，ax －by ＝－4和方程组⎩⎨⎧3x －5y ＝36，bx ＋ay ＝－8的解相同，则b －2a 的值是－3 ．命题点四：整数解问题【思路点拨】求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解. 例7阅读下列材料，然后解答后面的问题．我们知道方程2x ＋3y ＝12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．例：由2x ＋3y ＝12，得y ＝12－2x 3＝4－23x .(x ，y 为正整数)∴⎩⎨⎧x ＞0，12－2x ＞0，则有0＜x ＜6.又∵y ＝4－23x 为正整数，则23x 为正整数．由2与3互质，可知x 为3的倍数，从而x ＝3，代入y ＝4－23x ＝2.∴2x ＋3y ＝12的正整数解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2.(1)请你写出方程2x ＋y ＝5的一组正整数解： ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1(只要写出其中的一组即可) ．(2)若6x －2为自然数，则满足条件的x 值有(C ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个(3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？解：设购买单价为3元的笔记本m 本，单价为5元的钢笔n 支．根据题意，得3m ＋5n ＝35，其中m ，n 均为正整数．变形，得n ＝35－3m 5＝7－35m ，得⎩⎨⎧m ＞0，7－35m ＞0.∴0＜m ＜353. 由于n ＝7－35m 为正整数，则35m 为正整数，可知m 为5的倍数．∴当m ＝5时，n ＝4；当m ＝10时，n ＝1.答：有两种购买方案：购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．例8(北京“迎春杯”竞赛题)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧2x －ay ＝6，4x ＋y ＝7的解是整数，a 是正整数，那么a 的值为 2 ．命题点五：解含参的二元一次方程组【思路点拨】本题是一个含字母系数的方程组．解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零．例9已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0， ①6x －my ＋3＝0 ②有无数个解，则m 的值为 9 ．例10已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ax ＋2y ＝1，①2x ＋3y ＝b .②(1)当a ，b 为何值时，方程组有唯一解？ (2)当a ，b 为何值时，方程组无解？ (3)当a ，b 为何值时，方程组有无穷解？解：(1)当a ≠43时，方程组有唯一解．(2)当a ＝43，b ≠32时，方程组无解．(3)当a ＝43，b ＝32时，方程组有无穷解．课后练习1．已知关于x ，y 的方程x 2m －n －2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为(A )A ．m ＝1，n ＝－1B ．m ＝－1，n ＝1C ．m ＝13，n ＝－43D ．m ＝－13，n ＝432．(2019·南通)已知a ，b 满足方程组⎩⎨⎧3a ＋2b ＝4，2a ＋3b ＝6，则a ＋b 的值为 (A )A ．2B ．4C ．－2D ．－43．已知方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝k ，2x ＋y ＝1的解满足x －y ＝3，则k 的值为(B )A ．2B ．－2C ．1D ．－14．已知方程组⎩⎨⎧4x －y ＝5，ax ＋by ＝－1和⎩⎨⎧3x ＋y ＝9，3ax ＋4by ＝18有相同的解，求a ，b 的值(B ) A ．a ＝2，b ＝3 B ．a ＝－11，b ＝7 C ．a ＝3，b ＝2 D ．a ＝7，b ＝－11 5．(2018·德州)对于实数a ，b ，定义运算“◆”：a ◆b ＝⎩⎨⎧a 2＋b 2，(a ≥b )ab .(a <b )例如4◆3，因为4＞3，所以4◆3＝42＋32＝5.若x ，y 满足方程组⎩⎨⎧4x －y ＝8，x ＋2y ＝29，则x ◆y ＝ 60 ．6．(2018·滨州)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧3x －my ＝5，2x ＋ny ＝6的解是⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，则关于a ，b 的二元一次方程组⎩⎨⎧3(a ＋b )－m (a －b )＝5，2(a ＋b )＋n (a －b )＝6的解是 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12 ．7．(2019·越城区期末)3x ＋2y ＝20的正整数解有 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝7或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝6，y ＝1 .8．(2019·天台期末)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝k ，2x ＋3y ＝3k －1有以下结论：①当k ＝0时，方程组的解是⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1；②方程组的解可表示为⎩⎨⎧x ＝3k －2，y ＝1－k ；③不论k 取什么实数，x ＋3y 的值始终不变．其中正确的有 ①②③ ．(填序号) 9．根据要求，解答下列问题．(1)解下列方程组．(直接写出方程组的解即可)①⎩⎨⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝3的解为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1 ； ②⎩⎨⎧3x ＋2y ＝10，2x ＋3y ＝10的解为 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 ； ③⎩⎨⎧2x －y ＝4，－x ＋2y ＝4的解为 ⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4． (2)以上每个方程组的解中，x 值与y 值的大小关系为 x ＝y ． (3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解．解：⎩⎨⎧3x ＋2y ＝25，2x ＋3y ＝25，解为⎩⎨⎧x ＝5，y ＝5.10．如果⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2是关于x ，y 的方程(ax ＋by －12)2＋||ay －bx ＋1＝0的解，求a ，b 的值．解：把⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2代入方程，得(a ＋2b －12)2＋||2a －b ＋1＝0.又根据非负数性质，得方程组⎩⎨⎧a ＋2b －12＝0，2a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5.11．阅读材料：善于思考的小军在解方程组⎩⎨⎧2x ＋5y ＝3，①4x ＋11y ＝5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形，得4x ＋10y ＋y ＝5，即 2(2x ＋5y )＋y ＝5.③把方程①代入③，得2×3＋y ＝5. ∴y ＝－1.把y ＝－1代入①，得x ＝4. ∴方程组的解为⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－1.请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组⎩⎨⎧3x －2y ＝5，①9x －4y ＝19. ②(2)已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧3x 2－2xy ＋12y 2＝47，①2x 2＋xy ＋8y 2＝36. ②求x 2＋4y 2的值．解：(1)把方程②变形，得3(3x －2y )＋2y ＝19.③ 把①代入③，得15＋2y ＝19，即y ＝2. 把y ＝2代入①，得x ＝3，则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2.(2)由①，得3(x 2＋4y 2)＝47＋2xy ，即x 2＋4y 2＝47＋2xy3.③把③代入②，得2×47＋2xy3＝36－xy .解得xy ＝2，则x 2＋4y 2＝17.12．关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋ay ＋1＝0，bx －2y ＋1＝0有无数组解，则a ，b 的值为(B )A ．a ＝0，b ＝0B ．a ＝－2，b ＝1C ．a ＝2，b ＝－1D ．a ＝2，b ＝1 13．若对任意有理数a ，b ，关于x ，y 的二元一次方程(a －b )x －(a ＋b )y ＝a ＋b 有一组公共解，则公共解为 ⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1.14．(全国初中数学竞赛)若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求代数式5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．解：由⎩⎨⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z ，得⎩⎨⎧x ＝3z ，y ＝2z .代入，得原式＝－13.。

二元一次方程组及其解法(培优)

二元一次方程组及其解法(培优)二元一次方程组及其解法在研究二元一次方程组之前，需要先了解二元一次方程的概念。

二元一次方程必须同时具备三个条件：（1）这个方程中有且只有两个未知数；（2）含未知数的次数是1；（3）对未知数而言，构成方程的代数式是整式。

解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义是相同的，都是指方程的解集。

熟练掌握二元一次方程组的解法，可以用来解决许多实际问题。

例如，已知下列方程2xm1+3yn3=5是二元一次方程，则m+n=0.根据二元一次方程的概念可知：m-1=1，n+3=1，解得m=2，n=-2，故m+n=0.除了解二元一次方程组的基本方法外，还有加减消元法、代入法等解法。

在解题时需要根据具体情况选择最合适的方法。

变式题组：01.请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由。

⑴2x+5y=16 - 是二元一次方程，符合三个条件。

⑵2x+y+z=3 - 不是二元一次方程，因为含有三个未知数z。

02.若方程2xa1+3=y2b+(-5/1)+y=21(4)x2+2x+1=(5)2x+10xy=5x是二元一次方程，则a=,b=。

根据二元一次方程的定义，2xa1+3=y2b+(-5/1)+y=21(4)x2+2x+1=(5)2x+10xy=5x不是二元一次方程，因为含有x的二次项。

03.在下列四个方程组①{4x+3y=10.2x-4y=9}，②{4x+y=12.7xy=29}，③{1/x-2y=-45.2x+3y=4}，④{7x+8y=5.x-4y=1}中，是二元一次方程组的有（）只有①和③是二元一次方程组，因为它们都符合三个条件。

例2：（十堰中考）二元一次方程组{3x-2y=7.x+2y=5}的解是（）解法：二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解。

根据此概念，此类题有两种解法：（1）若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程组，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方程不成立，则不是该方程组的解；（2）若方程组较易解，则直接解方程组可得答案。

人教版七年级数学下册第八章《二元一次方程组的解法》复习讲义(word版)

人教版七年级数学下册第八章《二元一次方程组的解法》复习讲义（word版）二元一次方程组的解法知识导图基础知识点⎨⎨重点题型 1【消元法】例题 1：解下列方程组：⎧ y = 1 - x ① （1） ⎨⎩3x - 2 y = 3 ②变式练习 1-1：解下列方程组：（1） ⎧ x + y = 3 ⎩5x - 3( x + y ) = 1⎧2x - y = 3 ① （2） ⎨⎩3x + y = 7 ②（2）（11 扬州） ⎧ x + y = 20⎩12x + 8 y = 180变式练习 1-2：解下列方程组：⎧x - y = 8（1） ⎨⎩3x + y = 12⎧5x - 2 y - 4 = 0（2）（11 潍坊） ⎨⎩ x + y - 5 = 0变式练习 1-3：解下列方程组：⎧ x + 3 y = -1 （1） ⎨⎩3x - 2 y = 8（2） x + 2 y = 2x - y = 5变式练习 1-4：解下列方程组：4(1)3(1)2223x y y x y --=--⎧⎪⎨+=⎪⎩1231342m nm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩重点题型 2【同解方程组】⎧x + 2 y - 3 = 0,例题 2：（1）与方程组 ⎨⎩2 x + y = 0有完全相同的解的是（） A ．x ＋2y －3＝0 B ． 2x ＋y ＝0C ．(x ＋2y －3)(2x ＋y )＝0D ． x + 2 y - 3 + (2x + y )2 = 0⎧4x + y = 5 （2）已知方程组 ⎨ ⎩3x - 2 y = 1⎧ax + by = 3 和 ⎨⎩ax - by = 1有相同的解，求 a 2 - 2ab + b 2的值．⎧3x - 2 y = 4 变式练习 2-1：已知方程组 ⎨ ⎩mx + ny = 7 ⎧2mx - 3ny = 19 与 ⎨⎩5 y - x = 3，有相同的解，求 m ，n 的值．⎪ ⎩ ⎩ 变式练习 2-2：若方程 x ＋y ＝3，x －y ＝1 和 x －2my ＝0 有公共解，求 m 的取值．两步一回头1．若方程 x m -1 + 2 y 3n +1 = 1 是二元一次方程，则 m ＝， n ＝．2．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）⎧ x + y = 3 ⎧ x + 1 = 3⎧ x = 3A ． ⎨B ． ⎨ yC ． 2x + y = x - 3y = 4D ． ⎨⎩ x - y = 1⎪2x - y = -1⎧ x - 2 y = 1⎩ y = 13．用代入消元法解方程组 ⎨⎩3x + 5 y = 2A ． 3(1 + 2 y ) + 5 y = 2C ． 2 - 5 y - 2 y = 13⎧3x - 5 y = 6 ①，以下各式错误的是（） B ． 3(1 - 2 y ) + 5 y = 2 D ． 3x + 5 ⨯ x - 1 = 2 2 4．解方程组 ⎨⎩2 x - 3 y = 4 ②由②×3－①×2，得（） A ． 7 y = -8 B ． - y = 1 C ． y = 0 D ． 4 y = -15．以 ⎧ x = 1, ⎨y = -1为解的二元一次方程组是（）⎧ x + y = 0, A ． ⎨⎩ x - y = 1⎧ x + y = 0, B ． ⎨⎩ x - y = -1⎧ x + y = 0, C ． ⎨⎩ x - y = 2⎧ x + y = 0, D ． ⎨⎩ x - y = -2问题探究【解特殊方程组】⎧19 x + 18 y = 17 例题 3：解方程组 ⎨ ⎩17 x + 16 y = 15①时，如果直接消元，那将时很繁琐的，若采用下面的解法，则会简单很多．解：②①－②，得： 2x + 2 y = 2 ， x + y = 1 ③．③×16，得：16x + 16 y = 16 ④．②－④，得：x ＝－1，将 x⎧ x = -1＝－1 代入③，得：y ＝2．∴方程组的解为 ⎨． ⎩ y = 2⎧2014x - 2013 y = 2012（1）请你采用上述方法解方程组： ⎨； ⎩2012x - 2011y = 2010⎨ ⎩⎧(a + 2) x + (a + 1) y = a（2）请你采用上述方法解关于 x ，y 的方程组： ⎨⎩(b + 2) x + (b + 1) y = b，其中 a ≠b ．变式练习3：三个同学对问题“若关于,x y 的方程组111222a xb yc a x b y c ⎧+=⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c ⎧+=⎨+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以 5，通过换元替代的方法来解决”．（1）参考上面他们的讨论，请写出解答过程；⎧a ( x + y ) + b ( x - y ) = c （2）利用上面的讨论方法，解方程组： ⎨1 1 1． ⎩a 2 ( x + y ) + b 2 ( x - y ) = c 2拓展延伸⎧3x - y = m ,⎧ x = 1,1．关于 x 、y 的方程组 ⎨ ⎩ x + my = n 的解是 ⎨⎩ y = 1,则 m - n 的值是（） A ．5 B ．3 C ．2 D ．1⎧ x + m = 6，2．由方程组 ⎨⎩ y - 3 = m可得出 x 与 y 的关系式是（） A ． x + y = 9 B ． x + y = 3 C ． x + y = -3 D ． x + y = -93．若 x + 2 y + 3z =10 ， 4x + 3y + 2z =15 ，x ＋y ＋z ＝． 4．解下列方程组：⎧ x + y = 6 （1） ⎪ y + z = 3⎪ x + z = -1（2） x - y 3 = 2 y - z 4 = 2z + x = 1 5⎧4x - 3 y = 65．已知 m 是整数，方程组 ⎨⎩6x + my = 26有整数解，求 m 的值．课堂加油站能不能只学加减消元法解方程组？答案是否定的．更为通用的方法是代入法，而加减法的运用是有局限性⎧ y = x - 6的．随着深入学习，我们会遇到形如 ⎨ ⎩( x - 4)2 + ( y + 2)2= 9的二元二次方程组，上例中的方程组就只能用代入法进行消元．课后练习1．下列方程组中是二元一次方程组的是（）A 1+2xy x y =⎧⎨=⎩ B ． 5-231+3x y y x =⎧⎪⎨=⎪⎩ C 201132x z x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩D 5+723x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2．已知 x 、y 满足方程组2+5+24x y x y =⎧⎨=⎩，则 x －y 的值为3．解下列方程组：⎧ x + y = 2 （1） ⎨⎩ x - y = 0⎧2x + y = 5 （2） ⎨⎩ x + 2 y = 4课堂小测1．下列各式不是二元一次方程的是（）A ． x - 3y = 0B ． x + 1 = 4 yC ． y = -2 xD ． x - 2y = -732．已知二元一次方程 3x + y = 2 ，用含 x 的式子表示 y ，y ＝．⎧2 x - 3 y = 5 3．用加减法解方程组 ⎨⎩3x - 2 y = 7 ①下列解法不正确的是（） ②A ． ① ⨯ 3 - ② ⨯ 2 ，消去 xB ． ①⨯ 2 - ②⨯ 3 ，消去 yC ． ①⨯ (-3) + ②⨯ 2 ，消去 xD ． ①⨯ 2 - ②⨯ (-3) ，消去 y⎧3x + 5 y = 124．解方程组 ⎨⎩3x - 15 y = -6人教版七年级数学下册第八章《二元一次方程组的解法》复习讲义（word版），比较简便的方法为（）A ．用代入法消去 xB ．用代入法消去 yC ．用加减法消去 xD ．用加减法消去 y5．方程组237-38x y x y +=⎧⎨=⎩的解是．6．若25x 5m + 2 n + 2 y 3与2-5x 6 y 3m - 2 n -1的和是单项式，则（）A ．120m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ B ． 11-2m n =⎧⎪⎨=⎪⎩ C ． 23m n =⎧⎨=⎩ D ． 32m n =⎧⎨=⎩7．若关于 x 、 y 的二元一次方程组5-9x y k x y k+=⎧⎨=⎩的解也是二元一次方程2x + 3y = 6 的解，则 k 的值为（）A ．3-4B ．34C ．43D ．4-38．小亮解方程组22-12x y x y +=⊕⎧⎨=⎩的解为5x y =⎧⎨=⊗⎩，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数 ⊕ 和 ⊗ ，则这两个数分别为（）A ．4 和-6B ．-6 和 4C ．-2 和 8D ．8 和-29．若 a :b :c ＝2:3:7，且 a -b +3＝c -2b ，则 c 值为（）A ．7B ．63C ． 21210．方程 4x +3y ＝20 的所有非负整数解为：．D ． 214⎨【参考答案】基础知识点重点题型 1⎧ x = 1⎧ x = 2 例题 1：（1） ⎨⎩ y = 0；（2） ⎨⎩ y = 1 ⎧ x = 2变式练习 1-1：（1） ⎨⎩ y = 1 ⎧x = 5变式练习 1-2：（1） ⎨⎧x = 5 ；（2） ⎨⎩ y = 15 ⎧ x = 2 ；（2） ⎨⎩ y = -3 ⎧x = 2变式练习 1-3：（1） ⎨⎩ y = -1⎩ y = 3 ⎧x = 3 ；（2） ⎨⎩ y = 1 ⎧ 30 ⎧ x = 2变式练习 1-4：（1）； ⎨⎩ y = 3m = （2） ⎪ 17 ⎪n = 6 ⎩⎪17重点题型 2例题 2：（1）D ；⎧4x + y = 5⎧ x = 1⎧ x = 1⎧ax + by = 3⎧a + b = 3（2）解方程组 ⎨ ⎩3x - 2 y = 1⎧a = 2，得 ⎨ ⎩ y = 1 ．把 ⎨ ⎩ y = 1 代入方程组 ⎨ ⎩ax - by = 1 得 ⎨， ⎩a - b = 1 解此方程组得 ⎨⎩b = 1变式练习 2-1：m ＝4，n ＝－1，∴a 2 - 2ab + b 2 = 1 ． ⎧ x + y = 3 变式练习 2-2：解方程组： ⎨⎩ x - y = 1得，x ＝2，y ＝1，代入 x – 2my ＝0，得 m ＝1．两步一回头问题探究人教版七年级数学下册第八章《二元一次方程组的解法》复习讲义（word 版）⎨ ⎩ ⎨ ⎩⎧ x = -1例题 3：（1） ⎨ ⎩ y = -2⎧x = -1 ；（2） ⎨⎩ y = 2 ⎧x = 5变式练习 3：（1） ⎨⎩ y = 10⎧x = 3.5 ；（2） ⎨⎩ y = -0.5拓展延伸1．D2．A 3．5⎧ x = 14．（1） ⎪y = 5 ⎪ z = -2 ⎧x = 5, ；（2） ⎪ y = 2,⎪z = 0.5． y =34 2m + 9，m ＝－13，－5，－4，4课堂小测课后练习⎧ x = 1⎧ x = 2 1．D2．13．（1） ⎨⎩ y = 1 ；（2） ⎨ ⎩ y = 1。

(完整)七年级下册二元一次方程组讲义(超实用word版)

二元一次方程组本章知识点题型➢ 二元一次方程的定义：含有个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程．二元一次方程有解． ➢ 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的，叫做二元一次方程组的解．一般情况下二元一次方程组的解是的． ➢ 二元一次方程组的解法：① ；② ．【例1】二元一次方程（组）定义1. 已知方程2132310n m n x y ---+=是二元一次方程，则m = ，n =．2. 下列方程组中：①202x y x y +=⎧⎨+=⎩；②301x y y -=⎧⎨=⎩；③0232x z x y -=⎧⎨+=-⎩；④12x y =⎧⎨=⎩，其中是二元一次方程组的有．（填序号即可）【例2】二元一次方程（组）的解1. 如果32x y ì=ïí=ïî是方程632x by +=的解，则b =．2. （2017春•辛集市期末）小亮解方程组2212x y x y +=⎧⎨-=⎩●的解为5x y =⎧⎨=⎩★由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为．【例3】二元一次方程（组）的解法 1. 解二元一次方程组：（1）23525x y x y ì+=ïí+=ïî；（2）13102428x y x y ì-+-=ïíï-+=-î；2. 已知：y kx b =+且当1x =-时，2y =；当2x =时，7y =-；求：当2x =-时，y 的值．【例4】二元一次方程组的变形若23135x y x y ++==，将原方程组化为111222a xb yc a x b y c ì+=ïí+=ïî的形式为．➢ 二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是方程； ②方程组中共含有未知数； ③每个方程都是一次方程．【例5】系数求解问题在解方程组51044ax yx by+=⎧⎨-=-⎩时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为31xy=-⎧⎨=-⎩，乙看错了方程组中的b，得到的解为54xy=⎧⎨=⎩．（1）求正确的a，b的值；（2）求原方程组的解．【例6】方程同解1.已知关于x、y的方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩与方程组31ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解相同，求ab的值．2.已知关于x，y的二元一次方程组533321x y nx y n+=⎧⎨+=+⎩的解适合方程6x y+=，求n的值．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．【例8】行程问题A 、B 两地相距36千米，两人步行，甲从A 到B ，乙从B 到A ，两人同时出发，相向而行，4小时后相遇；若行6小时，此时甲剩下的路程是乙所余下的路程的2倍，求两人速度．【小练】已知某铁路桥长800m ，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用45s ，整列火车完全在桥上的时间是35s ，求火车的速度和长度．【例9】工程问题一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，那么甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？【小练】2台大型收割机和5台小型收割机同时工作2h共收割3.6公顷；3台大型收割机和2台小型收割机同时工作5h共收割8公顷．1台大型收割机和1台小型收割机每小时各收割小麦多少公顷？找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．1. 下列方程（组）中，①20x +=；②321x y -=；③10xy +=；④121x x-=；⑤13x y x y +=⎧⎨-=⎩；⑥201x y x z -=⎧⎨+=⎩，其中是二元一次方程的是，是二元一次方程组的是．（填序号即可）2. 若关于x 、y 的二元一次方程组325x y x ay ì+=ïí-=ïî的解是1x by ì=ïí=ïî，则b a 的值为．3. 若234326a b a b ì+=ïí+=ïî，则a b += ．4. 若5232m n x y +与3263m n x y +-是同类项，则m n -= ．5. 解方程组（1）3586510m n m n -=⎧⎨+-=⎩；（2）5115y z x x y z x z y +-=-⎧⎪+-=-⎨⎪+-=⎩．6. 在解关于x ，y 的方程组278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩时，老师告诉同学们正确的解是32x y =⎧⎨=-⎩，小明由于看错了系数c ，因而得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩，试求a b c ++的值．7. 已知方程组23109x y ax by +=⎧⎨+=⎩与方程组8432bx ay x y -=⎧⎨-=⎩的解相等，试求a 、b 的值．8. （2015•河北模拟）已知关于x ，y 的二元一次方程组236228x y a x y a -=+⎧⎨+=-⎩的解满足x y a -=，求该方程组的解．9. 甲乙两地相距120千米，一辆汽车和一辆摩托车从两地同时出发相向而行，1.2小时相遇．相遇后，摩托车继续前进，汽车在相遇处停留10分钟后原速返回，结果在第一次相遇后半小时再次遇到摩托车，问汽车、摩托车每小时各行驶多少千米？。

七年级下册数学二元一次方程组解法

七年级下册数学二元一次方程组解法
解二元一次方程组的方法主要有消元法和代入法。

以下是七年级下册数学中解二元一次方程组的步骤：
假设有如下二元一次方程组：
1. 方程一：ax + by = c
2. 方程二：dx + ey = f
消元法解法步骤：
Step 1: 确定一个未知数的系数，使得两个方程中该未知数的系数在绝对值上相等。

Step 2: 将两个方程相加或相减，使得其中一个未知数的系数相消，从而得到一个只包含一个未知数的方程。

Step 3: 解得这个未知数的值。

Step 4: 将得到的未知数的值代入任意一个方程中，解得另一个未知数的值。

Step 5: 得到两个未知数的值，从而得到方程组的解。

代入法解法步骤：
Step 1: 将其中一个方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程中。

Step 2: 解得一个未知数的值。

Step 3: 将得到的未知数的值代入任意一个方程中，解得另一个未知数的值。

Step 4: 得到两个未知数的值，从而得到方程组的解。

无论是消元法还是代入法，最后都需要验证求得的未知数的值是否符合原方程组，以确保解的正确性。

1/ 1。

广东省深圳市罗湖区望桐路七年级数学第18讲二元一次方程组及其解法培优讲义

第18讲二元一次方程组及其解法考点·方法·破译1．了解二元一次方程和二元一次方程组的概念； 2．解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义； 3．熟练掌握二元一次方程组的解法. 经典·考题·赏析【例1】已知下列方程2x m －1＋3y n ＋3＝5是二元一次方程，则m ＋n ＝ . 【解法辅导】二元一次方程必须同时具备三个条件： ⑴这个方程中有且只有两个未知数； ⑵含未知数的次数是1；⑶对未知数而言，构成方程的代数式是整式.【解】根据二元一次方程的概念可知：⎩⎨⎧=+=-1311n m ，解得m ＝2,n ＝－2,故m ＋n ＝0.【变式题组】01．请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由.⑴2x ＋5y ＝16 (2)2x ＋y ＋z ＝3 (3)x1＋y ＝21 (4)x 2＋2x ＋1＝0 (5)2x ＋10xy ＝5 02．若方程2x a ＋1＋3＝y 2b－5是二元一次方程，则a ＝ ,b ＝ .03．在下列四个方程组①⎩⎨⎧=-=+94210342y x y x ，②⎩⎨⎧==+297124xy y x ，③⎪⎩⎪⎨⎧=+=-432021y x y x，④⎩⎨⎧=-=+045587y x y x 中，是二元一次方程组的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例2】（十堰中考）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-52723y x y x 的解是（）A ． ⎩⎨⎧==23y x B ．⎩⎨⎧==21y x C ． ⎩⎨⎧==24y x D ． ⎩⎨⎧==13y x 【解法辅导】二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解，根据此概念，此类题有两种解法：⑴若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程组，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方程不成立，则不是该方程组的解；⑵若方程组较易解，则直接解方程组可得答案.本例中，方程组较易解，故可直接用加减消元法求解，本题答案选D ．【变式题组】01．（杭州）若x =1，y =2是方程ax －y ＝3的解，则a 的值是（）A ．5B ．－5C ．2D ．1 02．（盐城）若二元一次方程的一个解为⎩⎨⎧-==12y x ，则此方程可以是（只要求写一个）03.（义乌）已知：∠A 、∠B 互余，∠A 比∠B 大30°，设∠A 、∠B 的度数分别为x °,y °,下列方程组中符合题意的是（）A ． ⎩⎨⎧-==+30180y x y x B ．⎩⎨⎧+==+30180y x y x C ． ⎩⎨⎧+==+3090y x y x D ． ⎩⎨⎧-==+3090y x y x 4．（连云港）若⎩⎨⎧==12y x ，是二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2523by ax by ax ，的解，则a ＋2b 的值为 .【例3】解方程组⎩⎨⎧=+=+17537y x y x【解法辅导】当二元一次方程组的一个方程中，有一个未知数的系数为1或－1时，可选用带入法解此方程，此例中①变形得y ＝7－x ③,将③带入②可消去y ,从而求解.解：由①得，y ＝7－x ③将③带入②，得 3x ＋5(7－x )＝17, 即35－2x ＝17 x ＝9 故此方程组的解是⎩⎨⎧-==29y x【变式题组】 1.解方程组：（南京）⑴⎩⎨⎧=+=-5242y x y x （海淀）⑵⎩⎨⎧=+-=-16214y x y x①②（花都）⑶⎩⎨⎧=+=-5242y x y x （朝阳）⑷⎩⎨⎧=+=-232553y x y x2．方程组⎩⎨⎧=-+=525y x y x 的解满足x ＋y ＋a ＝0,则a 的值为（）A ．5B ．－5C ．3D ．－3 【例4】解方程组⎩⎨⎧=-=+115332y x y x【解法辅导】用加减法解二元一次方程组时，要注意选择适当的“元”来消去，原则上尽量选择系数绝对值较小的未知数消去，特别是如果两个方程中系数绝对值的比为整数时，就选择该未知数为宜，若两系数符号相同，则相减，若系数符号相反，则相加.本题中，y 的系数绝对值之比为5：1＝5，因此可以将①×5，然后再与②相家，即可消去y.解：①×5得，y ＝7－x ③③＋②,得，13x ＝26 ∴x ＝2 将x ＝2代入①得 y ＝－1 ∴此方程组的解是⎩⎨⎧-==12y x .【变式题组】01．(广州)以⎩⎨⎧-==11y x 为解的二元一次方程组是（）A ．⎩⎨⎧=-=+10y x y x B ．⎩⎨⎧-=-=+10y x y x C ．⎩⎨⎧=-=+2y x y x D ．⎩⎨⎧-=-=+20y x y x02．解下列方程组：（日照）⑴⎩⎨⎧=-=-138332y x y x （宿迁）⑵⎩⎨⎧=+-=-1223532y x y x03．（临汾）已知方程组⎩⎨⎧=+=-24by ax by ax 的解为⎩⎨⎧==12y x ，则2a －3b 的值为（）A ．4B ．6C ．－6D ．－4 04．已知⎩⎨⎧=+=+6252y x y x ，那么x －y 的值为，x ＋y 的值为 .①②①②【例5】已知二元一次方程组⎩⎨⎧+=-+=+243412223k y x k y x 的解满足x ＋y ＝6,求k 的值.【解法辅导】此题有两种解法，一中是由已给的方程组消去k 而得一个二元一次方程，此方程与x ＋y ＝6联立，求得x 、y 的值，从而代入①或②可求得k 的值；另一种是直接由方程组解出x 、y ，其中x 、y 含有k ,即用含k 的代数式分别表示x 、y ，再代入x ＋y ＝6得以k 为未知数的一元一次方程，继而求k 的值.解：①×2，得， 6x ＋4y ＝4k ＋24 ③ ③－②,得 2x ＋7y ＝22 ④ 由x ＋y ＝6，得2x ＋2y ＝12 ⑤，⑤－④,得－5y ＝－10 ∴y ＝2 将y ＝2代入x ＋y ＝6得 x ＝4 将⎩⎨⎧==24y x 带入①得 3×4＋2×2＝2k ＋12 ∴k ＝2. 【变式题组】 01．已知⑴⎩⎨⎧-=-=+2513n ny x ny mx 与⑵⎩⎨⎧=+=-82463y x y x 有相同的解，则m ＝ ,n ＝ .02．方程组⎩⎨⎧=-+=525y x y x 的解满足方程x ＋y －a ＝0, 那么a 的值为（）A ．5B ．－5C ．3D ．－3 03．已知方程组⎩⎨⎧+=+=+33223k y x ky x 的解x 与y 的和为8，求k 的值.【例6】解方程组⎩⎨⎧=--+=-++12)(5)3(316)(3)3(4y x y x y x y x【解法辅导】观察发现：整个方程组中具有两类代数式，即（x ＋3y ）和（x －y ）,如果我们将这两类代数式整体不拆开，而分别当作两个新的未知数，求解则将会大大减少运算量，当分别求出x ＋3y 和x －y 的值后，再组成新的方程组可求出x 、y 的值，此种方法称为换元法.解：设x ＋3y ＝a , x －y ＝b , 则原方程组可变形为⎩⎨⎧=-=+12531634b a b a ①②①② ③ ④③×3，得 12a ＋9b ＝12 ⑤ ④×4, 得 12a －20b ＝48 ⑥－⑤,得 29b ＝0,∴b ＝0 将b ＝0代入③，得 a ＝4 ∴可得方程组⎩⎨⎧=-=+043y x y x 故原方程组的解为⎩⎨⎧==11y x .【变式题组】 01．解下列方程组：⑴⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-++2)(5)(4632y x y x y x y x ⑵（湖北十堰）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+5791034yxyx02．（淄博）若方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解是⎩⎨⎧==2.13.8b a ，则方程组⎩⎨⎧=--+=--+9.30)1(5)2(313)1(3)2(4y x y x 的解是（） A ． ⎩⎨⎧==2.23.6y x B ．⎩⎨⎧==2.13.8y x C ． ⎩⎨⎧==2.23.10y x D ． ⎩⎨⎧==2.03.10y x 03．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=-+-0121221136211y x x x 【例7】（第二十届“华罗庚杯”香港中学邀请赛试题）已知：方程组⎩⎨⎧-=+-=+2242016y cx by ax 的解应为⎩⎨⎧-==108y x ，小明解此题时把c 抄错了，因此得到的解是⎩⎨⎧-==1312y x ，则a 2＋b 2＋c 2的值为 .【解法辅导】⎩⎨⎧-==108y x 是方程组的解，则将它代入原方程可得关于c 的方程，由题意分析可知：⎩⎨⎧-==1312y x 是方程ax ＋by ＝－16的解，由此可得关于a 、b 的又一个方程，由此三个方程可求得a 、b 、c 的值.① ②解：34 【变式题组】 01．方程组⎩⎨⎧=-=+472dy cx y ax 时，一学生把a 看错后得到⎩⎨⎧==15y x ，而正确的解是⎩⎨⎧-==13y x ，则a 、c 、d 的值是（）A ．不能确定B ．a ＝3, c ＝1, d ＝1C ． c 、d 不能确定D ． a ＝3, c ＝2, d ＝－202．甲、乙良人同解方程组⎩⎨⎧-=-=+232y Cx By Ax ，甲正确解得⎩⎨⎧-==11y x ，乙因抄错C ，解得⎩⎨⎧-==62y x ，求A 、B 、C 的值.演练巩固反馈提高01．已知方程2x －3y ＝5,则用含x 的式子表示y 是，用含y 的式子表示x 是 . 02．(邯郸)已知⎩⎨⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+241by x by ax 的解，则a ＋b ＝ .03．若(x －y )2＋|5x －7y －2|＝0, 则x ＝ , y ＝ . 04．已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+147by x by ax 的解，则a －b 的值为 .05．若x 3m －n ＋y 2n －m＝－3是二元一次方程，则m ＝ ,n ＝ .06.关于x 的方程（m 2－4）x 2＋(m ＋2)x ＋(m ＋1)y ＝m ＋5, 当m ＝时，它是一元一次方程，当m ＝时，它是二元一次方程. 07．（苏州）方程组⎩⎨⎧=-=+574973y x y x 的解是（）A ． ⎩⎨⎧=-=12y x B ．⎪⎩⎪⎨⎧=-=732y x C ． ⎪⎩⎪⎨⎧-==732y x D ． ⎪⎩⎪⎨⎧==732y x 08．（杭州）已知⎩⎨⎧-==11y x 是方程2x －ay ＝3的一个解，那么a 的值是（）A ．1B ．3C ．－3D ．－1 09．（苏州）方程组⎩⎨⎧=-=+521y x y x 的解是（）A ． ⎩⎨⎧=-=21y xB ．⎩⎨⎧=-=32y x C ． ⎩⎨⎧==12y x D ． ⎩⎨⎧-==12y x 10．（山东）若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+ky x ky x 95的解也是二元一次方程3x ＋3y ＝6的解，则k 的值为（） A ．－43 B ． 43 C ．34 D ．－ 34 11．（怀柔）已知方程组⎩⎨⎧=-=+42by ax by ax 的解为⎩⎨⎧==23y x ，求b a ba 22-+的值为多少？12.解方程组：⑴（滨州）⎩⎨⎧-=+=-22622y x y x ⑵（青岛）⎩⎨⎧=-=+41943y x y x⑶⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=--+5)32(5)3(186)3(7)32(6y x x y13．已知方程组⎩⎨⎧=--=+1653652y x y x 和方程组⎩⎨⎧-=+-=-84ay bx by ax 的解相同，求代数式3a ＋7b 的值.14．已知方程组⎩⎨⎧+=+=+33223k y x ky x 的解x 与y 的和为8，求k 的值.15．（希望杯试题）m 为正整数，已知二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+023102y x y mx 有整数解，求m 2的值.培优升级奥赛检测 01．当k 、b 为何值时，方程组⎩⎨⎧+-=+=2)13(x k y b kx y⑴有唯一一组解 ⑵无解 ⑶有无穷多组解02．.当k 、m 的取值符合条件时，方程组⎩⎨⎧+-=+=4)12(x k y mkx y 至少有一组解.03．已知：m 是整数，方程组⎩⎨⎧=+=+266634my x y x 有整数解，求m 的值.04．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0, (xyz ≠0),则式子222222103225z y x z y x ---+的值等于（）A ．－21 B ．－219 C ．－15 D ．－13 05．（信利杯赛题）已知：三个数a 、b 、c 满足b a ab +＝31，c a bc +＝41，a c ca +＝51，则cabc ab abc ++的值为（） A ．61 B ．121 C ．152D ．20106．（广西赛题）已知：满足方程2x －3y ＋4m ＝11和3x ＋2y ＋5m ＝21的x 、y 满足x ＋3y＋7m ＝20,那么m 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．307．（广西赛题）若|a ＋b ＋1|与（a －b ＋1）2互为相反数，则a 与b 的大小关系是（）A ．a ＞bB ．a ＝bC ．a ＜bD ．a≥b08.（全国竞赛湖北赛区试题）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+612y x y x 的解的组数为（）A ．1B ．2C ．3D ．409．对任意实数x 、y 定义运算x ※y ＝ax ＋by ，其中a 、b 为常数，符号右边的运算是通常意义的加乘运算，已知1※2＝5且2※3＝8，则4※5的值为（） A ．20 B ．18 C ．16 D ．14①②10．(华杯赛题）当m＝－5,－4,－3,－1,0,1,3,23,124,1000时，从等式（2m＋1）x＋(2－3m)y ＋1－5m＝0可以得到10个关于x和y的二元一次方程，问这10个方程有无公共解？若有，求出这些公共解.11．下列的等式成立：x1x2＝x2x3＝x3x4＝… ＝x99·x100＝x100·x101＝x101·x1＝1,求x1，x2，…x100，x101的值.。

(家教培优专用)人教版数学七年级下册--《二元一次方程组》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《二元一次方程组》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.了解二元一次方程组及其解的有关概念；2.掌握消元法（代入或加减消元法）解二元一次方程组的方法；3.理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解；4.掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用；5.通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念.【知识网络】【要点梳理】要点一、二元一次方程组的相关概念1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.要点诠释：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧b a ＝＝y x 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩. 要点诠释：（1）它的一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中1a ，2a ，1b ，2b 不同时为零）．（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．（3）符号“{”表示同时满足，相当于“且”的意思．4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组⎩⎨⎧=+=+6252y x y x 无解，而方程组⎩⎨⎧-=+-=+2221y x y x 的解有无数个. 要点二、二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的思想转化消元一元一次方程二元一次方程组2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式； ②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解.要点诠释：(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.要点三、实际问题与二元一次方程组要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.要点四、三元一次方程组1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.412,325,51,x y z x y z x y z +-=⎧⎪++=-⎨⎪-+=⎩273,31,34a b a c b c +=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩等都是三元一次方程组. 要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.2．三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法．（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解．3. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x ，y ，z )表示题目中的两个(或三个)未知数；（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；（4）解这个方程组，求出未知数的值；（5）写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．【典型例题】类型一、二元一次方程组的相关概念1.下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）.A.⎩⎨⎧+==-13032x y y xB.⎩⎨⎧=-=+211z y xC.⎩⎨⎧=+-=+63222y x y x x x D.⎩⎨⎧-=+=6352x x y【思路点拨】利用二元一次方程组的定义一一进行判断.【答案】B.【解析】二元一次方程组中只含有两个未知数，并且含有未知数的次数都是1，方程组⎩⎨⎧=+-=+63222y x y x x x 中，y x x x 3222-=+可以整理为y x 32-=.【总结升华】准确理解二元一次方程组和二元一次方程的定义是解本题的关键. 举一反三：【高清课堂：二元一次方程组章节复习409413 例1（2）】【变式】若32225a b a b x y --+-=是二元一次方程，则a = ，b = ．【答案】1, 0．2.以⎩⎨⎧-==11y x 为解的二元一次方程组是（）. A.⎩⎨⎧=-=+10y x y x B.⎩⎨⎧-=-=+10y x y x C.⎩⎨⎧=-=+20y x y x D.⎩⎨⎧-=-=+20y x y x【答案】C.【解析】通过观察四个选项可知，每个选项的第一个二元一次方程都是0=+y x ，第二个方程的左边都是y x -，而右边不同，根据二元一次方程的解的意义可知，当⎩⎨⎧-==11y x 时，211)1(1=+=--=-y x .【总结升华】不满足或不全部满足方程组中的各方程的选项都不是方程组的解.举一反三：【变式】若⎩⎨⎧==12y x 是关于y x 、的方程032=+-k y x 的解，则=k .【答案】－1.类型二、二元一次方程组的解法3. (潜江)解方程组15(2)3(25)4(34)5x y x y +=+⎧⎨--+=⎩【思路点拨】由于本题结构比较复杂，不能直接消元，应先将方程组化为一般形式，再看如何消元，即用加减或代入消元法．【答案与解析】解：将原方程组化简得5926x y x y -=⎧⎨-=⎩①－②得：-3y ＝3，得y ＝-1，将y ＝-1代入①中，x ＝9-5＝4．故原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩．【总结升华】消元法是解方程组的基本方法，消元的目的是把多元一次方程组逐步转化为一元一次方程，从而使问题获解．举一反三：【高清课堂：二元一次方程组章节复习409413 例2（2）】【变式】已知方程组35x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程m (x +1)=3(x -y )的一个解，则m = ．【答案】3．4. (台湾)若二元一次方程组23343x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为x a y b =⎧⎨=⎩，则a+b 等于（）． A ．1 B ．6 C ．35 D ．125【思路点拨】将解代入方程组，得到关于,a b 的方程组，解之，代入要求的代数式即得答案．【答案】D【解析】解：把x a y b =⎧⎨=⎩代入原方程组中，得，23343a b a b -=⎧⎨-=⎩，解得9535a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以9312555a b +=+=．【总结升华】根据已知条件构造出方程组，再选择恰当方法求得方程组的解，然后再代入求出最后答案．类型三、实际问题与二元一次方程组5. 2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示，表中缺失了2003、2007年相关数据. 已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中的信息，求2003年和2007年的药品降价金额.年份2002 2003 2004 2005 2007 降价金额（亿元） 54 35 40【思路点拨】本题的两个相等关系为：（1）五年的降价金额一共是269亿元；（2）2007年药品降价金额＝6×2003年的药品降价金额.【答案与解析】解：设2003年和2007年药品降价金额分别为x 亿元、y 亿元.根据题意，得⎩⎨⎧=++++=2694035546y x x y ，解方程组得⎩⎨⎧==12020y x .答：2003年和2007年的药品降价金额分别为20亿元和120亿元.【总结升华】列方程(组)解实际问题的关键就是准确地找出等量关系，列方程(组)求解. 举一反三：【变式】(山东济南)如图所示，教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同，请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格．【答案】解：设康乃馨每支x 元，水仙花每支y 元．根据题意，可列方程组3192218x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得54x y =⎧⎨=⎩．所以第三束鲜花的价格是x+3y ＝5+3×4＝17(元)．答：第三束鲜花的价格是17元．类型四、三元一次方程组6.解方程组312,23,3716.x y z x y z x y z ++=⎧⎪--=-⎨⎪+-=-⎩①②③ 【思路点拨】先用加减法消去y ，变为x 、z 的二元一次方程组. 【答案与解析】解：①+②，得329x z +=.②+③，得5819x z -=-.解方程组329,5819,x z x z +=⎧⎨-=-⎩得1,3.x z =⎧⎨=⎩把13x z =⎧⎨=⎩，代入①，得2y =.所以方程组的解是1,2,3.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【总结升华】因为y 的系数为1+或1-，所以先消去y 比先消去x 或z 更简便.。

数学七年级下册二元一次方程组的解法

数学七年级下册-二元一次方程组的解法在数学七年级下册的学习中，我们将学习到二元一次方程组的解法。

二元一次方程组是由两个未知数的一次方程组成的，通常以x和y表示。

解二元一次方程组就是要找出同时满足这两个方程的x和y的值。

在本文中，我将深入探讨二元一次方程组的解法，为了更好地理解这个概念，我会从简单到复杂、由浅入深地介绍这个主题。

一、基本概念让我们回顾一下一元一次方程的解法。

一元一次方程通常写成ax+b=0的形式，我们可以通过一些简单的运算规则找到未知数的值。

同样地，二元一次方程组也有自己的解法。

二元一次方程组通常写成如下形式：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中，a1、b1、c1、a2、b2、c2都是已知的常数，而x和y则是我们需要求解的未知数。

二、解法方法在解二元一次方程组时，我们通常使用替换法、消元法或Cramer法。

其中，替换法是把一个方程的一元变量用另一个方程的一元变量表示，然后代入另一个方程中，从而得出一个一元一次方程。

消元法则是通过加减消元或乘除消元来消去一个方程中的一个变量，得到一个一元一次方程。

Cramer法则是通过矩阵求逆的方法来解方程组，需要一定的线性代数知识。

三、举例说明为了更好地理解以上方法，我将通过具体的例子来说明。

假设我们有以下二元一次方程组：2x + 3y = 84x - 2y = 10我们可以使用替换法，将第一个方程改写为：y = (8 - 2x) / 3然后代入第二个方程中，得到：4x - 2 * ((8 - 2x) / 3) = 10通过整理化简，我们可以得到x的值，再代入第一个方程中求解y的值，从而得出方程组的解。

同样地，我们也可以使用消元法或Cramer 法来解这个方程组。

四、个人观点在学习二元一次方程组的解法时，我觉得这是一个对逻辑思维和数学运算能力有一定要求的知识点。

通过不断练习和探索，可以加深对数学的理解，培养解决问题的能力。

对于涉及到更多未知数的方程组，如三元或多元一次方程组，这些解法也是基础和奠定了学习高阶数学的基础，因此在学习中要注重理论联系实际，灵活运用所学知识。