化繁为简巧用圆的参数方程解题
圆的直角坐标方程化为参数方程
圆的直角坐标方程化为参数方程
圆的参数方程可以用圆心坐标和半径来定义，圆的中心位置由圆心坐标（x0，y0）的x、y坐标决定，半径则由半径r来定义，所以它的参数方程可以表示为：（x-x0）²+(y-y0)²=r²。
其中x、y为任一点，(x0,y0)为圆心坐标，r为圆半径。
参数方程可以把一条线唯一的定义出来，所以也可以参数化圆的方程。
圆是一条完整的图形，可以唯一的确定某一点在不同角度下，沿直线方向移动的距离。
参数方程圆的特性是：圆弧上的点以及每个点之间的距离都一样，即两点之间的距离等于半径，沿着圆的方向改变了夹角，微小的间隔t可以表示沿圆的方向改变的夹角。
参数方程的圆的形式可以表示为：x=x0+rcos(t)，y=y0+rsin(t)，其中t为从圆心出发到任一点沿圆的弧度。
t可以是任何实数，但以π为周期，可以从0到2π，2π代表完整的一圈。
以上就是参数方程化的圆的一般形式，可以用来求解圆的任意点的坐标。
圆如何转化为参数方程
圆如何转化为参数方程圆是几何学中最基本的图形之一，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
在几何学中，圆可以通过参数方程来表示。
本文将介绍如何将圆转化为参数方程，并探讨参数方程在描述圆的性质和特点方面的应用。
一、参数方程的基本概念参数方程是指用参数表示的一组方程，其中每个方程都是关于参数的函数。
在二维平面几何中，参数方程可以描述平面上的点的轨迹。
对于圆而言，可以通过引入参数来表示圆上的点的坐标，从而得到参数方程。
二、将圆转化为参数方程的方法要将圆转化为参数方程，我们可以引入两个参数：角度参数和半径参数。
假设圆的圆心坐标为(x0, y0)，半径为r，那么圆上任意一点的坐标可以表示为(x, y)。
通过引入角度参数θ，我们可以用如下方程表示x和y：x = x0 + r * cosθy = y0 + r * sinθ其中，θ的取值范围为0到2π，即一个完整的圆周。
三、参数方程在描述圆的性质和特点方面的应用1. 圆的方程：通过参数方程，我们可以得到圆的一般方程。
将参数方程中的x和y代入圆的标准方程(x-x0)²+(y-y0)²=r²中，可以得到：(x-x0)²+(y-y0)²=r²这也是圆的一般方程。
2. 圆的切线：参数方程还可以用来描述圆上的切线。
对于圆上的一点P(x, y)，对应的参数θ为θ0。
切线的斜率可以通过参数方程的导数dy/dx来表示：dy/dx = (dy/dθ) / (dx/dθ) = (r * cosθ0) / (-r * sinθ0) = -cotθ0由此可以得到切线的斜率为-cotθ0。
利用该斜率和点斜式方程，可以得到切线的方程。
3. 圆与直线的交点：利用参数方程，可以求解圆与直线的交点。
对于给定直线的方程Ax + By + C = 0，将参数方程中的x和y代入直线方程，可以得到一个关于参数θ的方程。
通过求解该方程，可以求得圆与直线的交点坐标。
如何用参数方程解答解析几何问题
考点透视解析几何问题通常较为复杂，且解题过程中的计算量大，出错率高.利用参数方程解答解析几何问题，不仅可以使方程中的变量减少，还能够减小计算量，达到化繁为简的效果.参数方程是曲线或直线的一种重要表示形式.一般地，过定点A()x0,y0，倾斜角为θ的直线的参数方程可以表示为{x=x0+t cosθ,y=y0+t sinθ,其中t为参数，||AB=t；若⊙O的圆心O为()m,n，半径为r，则⊙O的参数方程可表示为{x=m+r cosα,y=n+r sinα,α为参数，表示任意点与圆心O连线段的旋转角度；若椭圆C的中心位于坐标原点O，长轴与短轴分别为a与b，焦点位于x轴，则椭圆的参数方程可表示为{x=a cosα,y=b sinα,α为参数，表示动点T()x,y的离心角.在解答解析几何问题时，我们可根据题意设出或写出直线或曲线的参数方程，并将直线或曲线上的点用参数表示出来，便可将其看作为定点或已知的点，将其坐标代入点到直线的距离公式、弦长公式、两点间的距离公式、韦达定理、直线的斜率公式、直线的方程、圆锥曲线的方程中进行运算，从而将问题转化为三角函数求值、最值问题来求解.最后根据三角函数的性质、公式、图象即可求得问题的答案.例1.（2021全国新高考卷一，第21题）已知点F1()-17,0，F2()17,0，点M满足||MF1-||MF2=2.记点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线x=12上，过T的两条直线分别交C于A,B，P,Q，且||TA∙||TB=||TP∙||TQ，求直线AB与PQ的斜率之和.解：（1）C的方程为x2-y216=1()x>0；（2）设Tæèöø12,m，直线AB的倾斜角为θ1，直线PQ的倾斜角为θ2，且θ1,θ2∈[0,π)，则直线AB的参数方程为ìíîïïx=12+t cosθ1,y=m+t sinθ2,t为参数.将其代入x2-y216=1()x>0中，得()16cos2θ1-sin2θ1t2+()16cosθ1-2m sinθ1t-()m2+12=0.由题意知16cos2θ1-sin2θ1≠0，则||TA·||TB=-()m2+1216cos2θ1-sin2θ1，同理可得||TP∙||TQ=-()m2+1216cos2θ2-sin2θ2，又||TA∙||TB=||TP∙||TQ，所以-()m2+1216cos2θ1-sin2θ1=-()m2+1216cos2θ2-sin2θ2，则16cos2θ1-sin2θ1=16cos2θ2-sin2θ2，化简得cos2θ1=cos2θ2.因为直线AB与PQ为不同的直线，则cosθ1=-cosθ2，于是θ1+θ2=π，则k AB+k PQ=0.本题若采用常规方法，需将直线的方程与双曲线的方程联立，根据弦长公式和韦达定理求解，解题过程中的计算量大，不易求出正确答案.而运用直线的参数方程，就能将直线上的点A、B、P、Q用倾斜角表示出来，直接利用直线参数方程的几何意义即可求得||TA∙||TB、||TP∙||TQ的表达式，进而通过三角恒等变换，建立直线AB和PQ倾斜角之间的关系，快速求得问题38的答案.例2.在矩形ABCD 中，AB =1,AD =2，点P 在以C为圆心的圆上，该圆与BD 相切.若 AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）.A.3B.225解：以A 为原点，DA 、BA 为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，由AB =1,AD =2可得A ()0,0,B ()1,0,C ()1,2,D ()0,2,则以C 为圆心的圆的方程为()x -12+(y -22=45,设P æèçöø÷1+θ,2θ，由 AP =λ AB +μ AD ，得ìíîïïïïλ=1θ,2μ=2+θ,则λ+μ=1+θ+1θ=2+sin (θ+ϕ)≤3,其中tan ϕ=2，当θ+ϕ=π2时，λ+μ取得最大值3.先根据题目条件画出相应的图形，并建立平面直角坐标系，便可通过数形结合的方式，将题目中的几何关系以直观的形式表示出来；然后根据圆的参数方程设出圆上的动点P ，并建立关于参数θ的关系式，即将问题转化为三角函数最值问题；再利用三角函数的辅助角公式和正弦函数的有界性进行求解，这样可使得解题中的计算量大大减小，轻松获得问题的答案.例3.已知A ,B 是椭圆x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的左、右顶点，P ,Q 是该椭圆上异于顶点的两点，直线AP 与QB ，PB 与AQ 分别交于点M ,N .（1）求证：MN ⊥AB .（2）若弦PQ 过椭圆的右焦点F 2，求直线MN 的方程.（1）证明：由椭圆的参数方程{x =a cos α，y =b sin α，可设P ()a cos α,b sin α,Q ()a cos β,b sin β，则AP ：y =b sin αa +a cos α(x +a )，AQ ：y =b sin βa +a cos β（x +a )，BP ：y =b sin α-a +a cos α(x -a )，BQ ：y =b sin β-a +a cos β(x -a )，联立直线AP 与BQ 的方程，得x M +a a +a cos αb sin α=x M -a-a +a cos βb sin β，解得x M =sin ()α+β-sin α+sin βsin α+sin β+sin ()β-αa =cos α+β2cos α-β2a ，同理可得，x N =sin ()α+β+sin α-sin βsin α+sin β+sin ()α-βa =cos α+β2cos α-β2a ，故x M =x N ，则MN ⊥AB .（2）解:由（1）得PQ :y -b sin αb sin α-b sin β=x -a cos αa cos α-a cos β,设直线PQ 经过()c ,0，则c a =cos α+sin α()cos α-cos βsin β-sin α=sin ()α-βsin α-sin β=cosα-β2cosα+β2，可得x M =x N =a 2c，故直线MN 的方程为x =a 2c.解答本题，需根据椭圆的参数方程，将椭圆上的点用参数形式表示出来，列出四条直线的方程，通过联立方程求得到点M 、N 的横坐标，进而根据直线的斜率公式建立关系式，从而求得MN 的方程.利用椭圆的参数方程，不仅可使题目中的变量统一，还可以使最终的直线形式简洁、美观，便于计算.可见，在解答解析几何问题时，巧妙利用直线或曲线的参数方程，能使问题中的几何关系以更加简洁的形式呈现，还能简化运算过程，能大大提高解题的效率.但在运用直线或曲线的参数方程解题时，要多关注参数的取值范围和几何意义，这是获得正确答案的有力依据，能为我们解题带来很大的便利.基金项目：基于核心素养下的南充市高中课堂教学研究——以数学学科为例，西华师范大学纵向科研项目，项目编号468020.（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）考点透视39。
巧用圆的参数方程
巧用圆的参数方程作者：周轶虹来源：《中学教学参考·理科版》2012年第04期圆的参数方程的应用比较广泛，它是解析几何中十分重要的内容，也是高中数学的一个难点.本文将以三个具体的例子阐述参数方程的巧用一、求二元方程最值【例1】已知点P（x，y）是圆上的动点（1）求x+2y的取值范围；（2）若x+y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围分析：因为点P（x，y）在圆上运动，根据所给的式子，把圆的方程化为参数方程，然后用参数表示两个式子，再根据三角函数的有界性，解决相关问题解：把圆的方程化为标准方程(x-，故它的参数方程可设为，（θ是参数）（1）∵（其中），∴1-5≤x+y≤1+5，即x+2y的取值范围是［1-5,1+5］（2）∵x+y+a≥0恒成立，即a≥-(x+y)恒成立，即a要大于或等于-(x+y)的最大值，∵，∴x+y≥1-2，-(x+y)≤2-1，∴a≥2-1，即a的取值范围是［2-1,+∞）评注：本题也可以根据所给式子的几何意义解题，利用线性规划解决，但比此法要麻烦，参数方程把待求式化为关于参数θ的函数，求解十分方便，这正是参数方程的优势二、求参数的值（范围）【例2】抛物线与圆有公共点，求实数t的取值范围分析：把圆化为参数方程，代入抛物线的普通方程，用α的三角函数表示出t，进而求其取值范围解：令，，代入，得---当=-12时，t取得最小值－54；当时，t取得最大值所以实数t的取值范围是［－54，1］评注：本题应用圆的参数方程，采用代入法把求实数t的取值范围问题转化为求函数的值域问题，使问题迅速获解，可谓转化巧妙三、求与圆有关的最值【例3】已知圆C的参数方程为，（θ为参数），则圆C上的点到点P（2，2）的最远距离是；圆C上的点到直线x－y＋2=0的最近距离是分析：根据参数方程得出圆上的任意一点的坐标，然后用相应的距离公式表示出两个距离，再利用函数知识，求它们的最值解：设M（）是圆C上的任意一点，则---=9--42=22-1.即圆C上的点到点P（2，2）的最远距离是22-1，点M到直线x－y＋2=0的距离--θ)+2|2≥2-1，即圆C上的点到直线x－y＋2=0的最近距离是2-评注：上述两个最值都可以把圆的方程化为普通方程后，利用圆中最值的有关结论来求解在求解多元坐标的几何或代数最值有困难时，我们不妨采用参数进行转化，化为求三角函数的最值来处理，这样能简捷地解决有关动点与实点的距离等有关问题(责任编辑金铃）。
圆的参数方程的应用---求最值问题
圆的参数方程的应用---求最值问题
教材人教版高中（理科选修4-4）
教学目标
1、知识与技能目标
（1）复习圆的参数方程，能根据参数方程确定圆的圆心和半径，在解题中灵活运用．熟练地将圆的参数方程与普通方程进行互化。
（2）通过对圆的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义。
（3）能利用圆的参数方程来求解最值问题。
2、德育渗透目标
（1）培养学生了解由简单到复杂，由特殊到一般的转化与化归思想。
（2）培养学生在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，渗透参数思想，树立数形结合思想。
（3）培养学生“学数学、用数学”的意识，“大众数学观”的渗透。
3、情感态度与价值观
培养学生勇于探索的精神与合作意识。
教学重点
应用圆的参数方程去求最值问题。
教学难点
用圆的参数方程求最值问题时转化与化归思想、数形结合思想的应用。
教学方法与手段
1、教学方法与原则：探究与讲练结合法；在课堂教学中，以老师为主导，学生
为主体，思维训练为主线，能力培养为主攻的原则。
2、学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结。
3、教学手段：多媒体课件。
教学程序
以问题为载体，以学生活动为主线
板书设计
圆的参数方程的应用—求最值问题
1、复习回顾
2、例题讲解及练习
3、课堂小结
4、布置作业。
圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化 课件
解析：由曲线的参数方程xy＝＝－1＋2＋2co2ssitn，t
得yx＋－21＝＝22scions
t， t.
∵cos2t＋sin2t＝1，
∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4.
由于 0≤t≤π，
∴0≤sin t≤1，从而 0≤y＋2≤2， 即－2≤y≤0. ∴所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
(t 为参数)．
题型1 圆的参数方程与普通方程互化
例 1 已知曲线的参数方程yx＝＝－1＋2＋2co2ssitn，t (0≤t≤π)，把 它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形．
分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数 方程中的参变量消去，常用的消参法有代入法、加减消元 法、乘除消元法、三角消元法，但要注意消去参数时变量 范围的一致性．
5cos θ－12＋5sin θ2 ＝ 26＋10cos θ＋ 26－10cos θ
＝ ( 26＋10cos θ＋ 26－10cos θ)2
＝ 52＋2 262－100cos2θ. 当 cos θ＝π2时，(|PC|＋|PD|)max＝ 52＋52＝2 26. 所以|PC|＋|PD|的最大值为 2 26.
题型2 圆的参数方程应用
例 2 圆的直径 AB 上有两点 C、D，且|AB|＝10，|AC| ＝|BD|＝4，P 为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值．
分析：本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立 平面直角坐标系，将P点坐标用圆的参数方程的形式表示 出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子 来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值．
圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化
化繁为简的高等数学微积分解题技巧
�∫ 例 2 计算曲线积分 xdy − 4ydx ， L 为圆 x2 + y2 = 2a x(a > 0) ，沿逆时针方向. L
“现形法”分析：这是第二类曲线积分.直接代入发现比较复杂.要想到利用格林公式. 根 据口诀：积分升级看闭域.
∫ 为 ），就成了曲线积分，变量微分不变（注： dy 和 dx 的本质是一样的）的是第一类， L
变量微分变弧长 ds 的是第二类. 特别地，定积分可作为两. 类. 曲线积分的特殊情形：定积分的积分曲线就是 x 轴.
3.二重积分的微分，将积分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ围由 xoy 面的区域（记为 ∫∫ ）变成曲面的一块（记为 ∫∫ ），
∂R
高斯公式拆解法：
∫∫ Rdydz
Σ
=
∫∫∫
Ω
∂z
dxdydz （其它两式同学们自己列），将偏导“看成”
导数我们一样可以像拆解格林公式一样分三段拆解高斯公式.同学们自己做一下. 以上的口诀在具体解题上同样有精彩的运用，请往下看大家就明白了.
实战操练：实际上，做各类积分的过程就是将之化为定积分的过程，其中细节，在下
L1
L2
L3
4
（2）依题分成两个部分.第一个部分是圆弧，圆弧的参数形式的方程为
⎧x=a+a cos
⎨ ⎩
y=asint
t
,
(0
≤
t
≤
π)
，方向逆时针.
第二个部分是 x 轴的一段： (0 ≤ x ≤ 2a) ，方向是 x 轴正向.
∫ ∫ ∫ 因此原式=
2a
x ⋅ 0dx +
π
(a
+
a
cos t)a
sin
2019高考100题之061（圆的参数方程）
2019高考100题之061（圆的参数方程）
分析：
对于圆心为(a,b)，半径为r的圆的参数方程：
x=a+rcosθ
y=b+rsinθ
（参数θ∈R）
我们要知道以下两点：
1.要通过三角函数定义去理解θ的几何意义，如下图所示：
圆的参数方程有无数个写法，比如也可以写成
x=a+rsinθ
y=b+rcosθ
（参数θ∈R）
这个时候θ的几何意义就发生了变化，所以一定要认清第一个表达形式.
2.圆的参数方程就是将圆上的点设了出来，涉及到圆上的点到某个点或某条线的距离，可以利用辅助角公式来解决.
但是圆的几何意义太过于明显，所以圆的参数方程在很多场合上都可以用解析几何的方案替代.
对于上题，第一问就容易犯错误，由极坐标ρ=2cosθ,0≤θ≤π/2，可得其轨迹为半圆，如下图：
所以其参数方程为：
x=1+cos2θ
y=sin2θ
（参数0≤θ≤π/2）
或者写成：
x=1+cosα
y=sinα
（参数0≤α≤π）
而对于第二问，圆的参数方程优点就显示出来了，如下图：
只需要将π/3代入圆的参数方程x=1+cosα，y=sinα即可，比将直线CD方程写出来和圆的普通方程联立要快那么一点.。
圆的参数方程及应用
对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
【解】圆221x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩。
则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++=1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++⨯2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4πθ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8k πθπ=-（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最小值为22-。
【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。
二、求轨迹例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列，∠BAC=3π，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹方程。
【解】由∠BAC=3π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403πθ<<），则B(2cosθ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23π))，由重心坐标公式并化简，得：22cos()3332sin()33x y πθπθ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， CxyOAB 图12224()39x y -+= （0≤x ＜1＝。
【点评】用圆的几何性质，∠BOC=2∠BAC=120°，再以∠ABO=θ为参数，求出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x 的范围的限定。
圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化
栏
目
链
分析：本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立平面直角坐 接
标系，将P点坐标用圆的参数方程的形式表示出来，θ为参数，那么
|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子来表示，再利用三角函数等相关知
识计算出最大值．
解析：以 AB 所在直线为 x 轴，以线段 AB 的中点 为原点建立平面直角坐标系(如下图)．
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办
()
A．打破了外商对中国航运业的垄断
B．阻止了外国对中国的经济侵略
C．标志着中国近代化的起步
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵 制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D 三项表述都有错误。 答案：A
出口价格同步变动的现象。与这一现象直接相关的近代事
业是
()
A．电报业
B．大众报业
C．铁路交通业 D．轮船航运业
[解析] 材料主要反映了信息交流的快捷，故选A。
[答案] A
[题组冲关]
3．假如某爱国实业家在20世纪初需要了解全国各地商业信
息，可采用的最快捷的方式是
()
A．乘坐飞机赴各地了解 B．通过无线电报输送讯息
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化
联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。
二、圆的参数方程
1. 圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.
x r cos
y
r
sin
其中参数θ的几何意义
是OM0绕点O逆时针旋转到 OM的位置时，OM0转过的 角度
( 为参数)
圆心为O1(a, b) ， 半径为r 的圆的参数方程
得到 x2 y x 2, 2
练习、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
x 2 3cos y 3sin
x sin
(2)
y
cos2
x=t+1/t
(3)
y=t2+1/t2
(1) ( x2 )2 y2 9
(2) y 1 2x2（ 1≤x≤1）
1. 将参数方程化为普通方程 一般地通过消参可以将参数方程化为普通方程 注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则， 互化就是不等价的.
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们 各表示什么曲线？
(1)x= t 1 y 1 2
(t为参数) t
(2)xy=s1insinc2os (为参数).
x y
a b
r r
cos sin
(为 参 数)
y
P
b
ry
v
O
ax x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数， 另外，要注明参数及参数的取值范围。
例1 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)
是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周
高考数学复习点拨 圆的参数方程及应用
圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
【解】圆221x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩。
则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ =1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++⨯2sin 2cos 2θθ=+-=2)4πθ-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：2+8k πθπ=-（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最小值为2【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。
二、求轨迹例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列，∠BAC=3π，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹方程。
【解】由∠BAC=3π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403πθ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23π))，由重心坐标公式并化简，得：22cos()3332sin()33x y πθπθ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1，消去θ得：2224()39x y -+= （0≤x ＜1＝。
【点评】用圆的几何性质，∠BOC=2∠BAC=120°，再以∠ABO=θ为参数，求出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x 的范围的限定。
圆的参数方程应用原理
圆的参数方程应用原理1. 圆的参数方程的定义圆是平面上所有与给定点的距离相等的点的集合。
在笛卡尔坐标系下，可以用参数方程来表示圆的方程。
圆的参数方程可以表示为：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中，(x, y)是圆上的点的坐标，r是圆的半径，t是参数，范围是[0, 2π]。
2. 圆的参数方程的应用圆的参数方程在数学和物理中有着广泛的应用。
下面列举了一些圆的参数方程的应用原理。
2.1. 绘制圆形轨迹通过圆的参数方程，可以得到圆的每个点的坐标，从而绘制出完整的圆形轨迹。
在计算机图形学和绘图软件中，圆的参数方程常被用来绘制平滑的圆形。
2.2. 计算圆的面积和周长圆的参数方程可以通过积分的方法计算圆的面积和周长。
由于圆的参数方程是连续且光滑的，可以通过积分来计算圆的弧长和在某个区域内的面积。
2.3. 圆的运动方程物体在圆周运动时，可以使用圆的参数方程描述其运动轨迹。
通过改变参数t的取值，可以模拟物体在圆周上的不同位置和时间的变化。
2.4. 圆的几何性质推导圆的参数方程可以用来推导圆的几何性质。
例如，通过圆的参数方程可以证明圆上任意两点的连线与圆心的连线垂直。
2.5. 圆的投影圆的参数方程可以用于计算圆在不同平面上的投影。
在工程设计和建模中，圆的投影是很常见的问题，圆的参数方程可以帮助计算出准确的投影位置和形状。
3. 总结圆的参数方程是描述圆形的一种常用方式。
通过圆的参数方程，可以方便地计算圆的坐标、面积、周长，以及模拟圆的运动轨迹。
此外，圆的参数方程还有助于推导圆的几何性质和计算圆的投影等应用。
熟练掌握圆的参数方程的原理和应用，对于数学和物理的学习和应用都具有重要意义。
圆的最值问题求解四法
２０２３年９月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀圆的最值问题求解四法◉云南省普洱市孟连县第一中学㊀孙宝恩㊀㊀摘要:与圆有关的最值问题是近年来高考数学的热点之一,它着重考查数形结合与转化思想．求圆的最值问题 四化法 的基本思路是,利用平面几何知识,或利用圆的参数方程,或设圆上点的坐标,将其转化为函数的最值问题．关键词:化为斜率法;化为截距法;化为距离法;化为三角函数法㊀㊀与圆有关的最值问题,因为其代数式具有明显的几何意义,所以应优先考虑数形结合法．运用数形结合法求最值,既可以借助图形直观获得简捷解法,又可避免因对限制条件考虑不周造成的失误,还有利于沟通数学各个分支,深化思维,全面提高学生数学综合素质[１]．涉及与圆有关的最值问题,可借助圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想来求解．一般情况下,求形如t ＝y －bx －a的最值问题,可转化为动直线的斜率问题;求形如t ＝a x ＋b y ＋c 的最值问题,可转化为动直线的截距问题;求形如(x －a )２＋(y －b )２的最值问题,可转化为动点到定点的距离问题．另外,还可以通过建立目标函数求最值．与圆有关的最值问题,既是高中数学中的难点问题,又是近年来高考中的热点题型,因此有必要熟悉和掌握其常用的解题思路与方法．１化为斜率法例１㊀已知实数x ,y 满足方程x ２＋y ２－４x ＋１＝０,求yx的最大值和最小值．解:原方程可化为(x －２)２＋y ２＝３,表示以(２,０)为圆心,３为半径的圆．yx 的几何意义是该圆上一点与原点连线的斜率,所以设yx＝k ,即y ＝k x ．图１当直线y ＝k x 与圆相切时,如图１,斜率k 取最大值或最小值,此时２k －０k ２＋１＝３,解得k ＝ʃ３所以yx的最大值为３,最小值为－３．思路与方法:本题中yx 的几何意义是圆上的点与原点连线的斜率,两切线的斜率为其最值,可由２k －０k ２＋１＝３求切线的斜率,也可将y ＝k x 代入圆的方程,由Δȡ０,求解k 的范围．例２㊀求y ＝１＋s i n x２＋c o s x 的最值．图２解:将原函数式变形为y ＝s i n x －(－１)c o s x －(－２),其几何意义是在直角坐标系中,动点(c o s x ,s i n x )与定点P (－２,－１)连线的斜率．动点P 的轨迹为单位圆(如图２),由图可知,k P B 最小,k P C 最大．显然,k P B ＝０．由t a n θ＝O B P B ＝１２,得t a n øB P C ＝t a n２θ＝２t a n θ１－t a n ２θ＝４３,即k P C ＝４３．故y 的最小值为０,最大值为４３．思路与方法:从本题的解题思路可以归纳 形如f (x )－ag (x )－b 的函数式,可以将其看作点(g (x ),f (x ))与点(b ,a )连线的斜率,这也是最常见的解题方法．２化为截距法例３㊀在圆O :x ２＋y ２＝１上求一点P ,使得过点P 的切线与两条坐标轴所围成的三角形面积最小．解法１:设P (x １,y １),则切线l 为x １x ＋y １y ＝１,即x １x １＋y １y １＝１,截距a ＝１x １,b ＝１y １．所以,过点P 的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为S ＝１２a９７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀b ＝１２１x １ １y １＝１２x １y １ȡ１x ２１＋y ２１＝１１＝１,当且仅当x １＝y １＝２２时,取等号,S 的最小值为１．故所求点P 的坐标为(２２,２２),(２２,－２２),(－２２,－２２),(－２２,２２)．解法２:因为点P 在圆x ２＋y ２＝１上,可设P (c o s φ,s i n φ),所以切线l :x c o s φ＋y s i n φ＝１,其截距a ＝１c o s φ,b ＝１s i n φ．因此,过点P 的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为S ＝１２a b ＝１２１c o s φ １s i n φ＝１s i n ２φȡ１．当s i n ２φ＝ʃ１,即φ＝ʃπ４,ʃ３４π时,S 取最小值,且最小值为１．故所求点P 的坐标为(２２,２２),(２２,－２２),(－２２,－２２),(－２２,２２)．思路与方法:本题的两种解法都是将与圆有关的求三角形的最值问题转化为直线与圆相切的截距型问题．通过设点P 的坐标,先求出截距,然后再根据三角形面积公式推出S әȡ１,最后确定点P 的位置．例４㊀设x ,y 满足y ＝－x ２－２x ,求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．图３解:y ＝－x ２－２x ＝１－(x ＋１)２,其图象为如图３所示的半圆O ᶄ,S 的最大值与最小值分别是直线y ＝－x ＋S 和半圆O ᶄ有公共点时截距的最大值与最小值．由A (－２,０),k A D ＝－１,得D (０,－２),即S m i n ＝－２．又O ᶄB ＝B C ＝１,所以O ᶄC ＝２,得O C ＝２－１＝O D ᶄ,则点D ᶄ的坐标为(０,２－１),即S m a x ＝２－１．故S 的最大值与最小值分别为２－１,－２．思路与方法:本题是将其转化㊁变形为截距型最值问题,并对半圆㊁直线截距的几何意义进行了由 隐 到 显 的挖掘,其中紧扣 S 的最大值与最小值分别是直线y ＝－x ＋S 和半圆O ᶄ有公共点时截距S的最大值与最小值 是关键．３化为距离法例５㊀在әA B C 中,øA ,øB ,øC 所对的边分别为a ,b ,c ,且c ＝１０,c o s A c o s B ＝b a ＝４３,P 为әA B C的内切圆上的动点,求点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和的最大值与最小值．解法１:由c o s A c o s B ＝b a ,得c o s A c o s B ＝s i n Bs i n A ,即s i n ２A ＝s i n２B ．在әA B C 中,因为A ʂB ,所以２A ＋２B ＝π,则A ＋B ＝π２,故әA B C 为直角三角形．图４由c ＝１０,b a ＝４３,可得a ＝６,b ＝８．建立如图４所示的平面直角坐标系,设әA B C 的内切圆圆心为O ᶄ,切点分别为D ,E ,F ,则|A D |＋|D B |＋|E C |＝１２(１０＋８＋６)＝１２,内切圆的半径r ＝|E C |＝１２－１０＝２,则内切圆O ᶄ方程为(x －２)２＋(y －２)２＝４．设圆O ᶄ上动点P 的坐标为(x ,y ),则点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和为S ＝P A ２＋P B ２＋P C ２＝(x －８)２＋y ２＋x ２＋(y －６)２＋x ２＋y ２＝３[(x －２)２＋(y －２)２]－４x ＋７６＝８８－４x ．由点P 在圆上,可知,０ɤx ɤ４,于是S 的最大值为８８,最小值为８８－４ˑ４＝７２．解法２:同解法１,得әA B C 是直角三角形,其内切圆半径r ＝２．设圆上动点P 的坐标为(２＋２c o s α,２＋２s i n α)(０ɤαɤ２π),则点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和为S ＝P A ２＋P B ２＋P C ２＝(２c o s α－６)２＋(２＋２s i n α)２＋(２＋２c o s α)２＋(２s i n α－４)２＋(２＋２c o s α)２＋(２＋２s i n α)２＝８０－８c o s α．因为０ɤαɤ２π,所以S 的最大值为＝８０＋８＝８８,最小值为＝８０－８＝７２．思路与方法:本题可转化为点到直线的距离型最值问题．解法１是由三角形的边㊁角关系推证出әA B C 为直角三角形,然后建立平角直角坐标系,通过设三角形内切圆,求三角形三边的长度获解;解法２在已知әA B C 为直角三角形的基础上,通过设动点坐标,利用三角函数求出最值．０８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年９月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀例６㊀已知实数x ,y 满足方程x ２＋y ２－４x ＋１＝０,求x ２＋y ２的最大值和最小值．图５解:x ２＋y ２－４x ＋１＝０可化为(x －２)２＋y ２＝３,它表示以C (２,０)为圆心,３为半径的圆．如图５所示,x ２＋y ２表示圆上的一点与坐标原点距离的平方．由平面几何知识可知,在坐标原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又因为圆心C 到原点的距离为２,所以x ２＋y ２的最大值是(２＋３)２＝７＋４３,x ２＋y ２的最小值是(２－３)２＝７－４３．思路与方法:本题中的x ２＋y ２可看作是圆上的点与原点距离的平方,所以可以借助平面几何知识,利用数形结合法快速求解．４化为三角函数法例７㊀已知圆C :(x －３)２＋(y －４)２＝１和两点A (－m ,０),B (m ,０)(m ＞０)．若圆C 上存在点P ,使得øA P B ＝９０ʎ,则m 的最大值为(㊀㊀)．A．７㊀㊀㊀㊀B ．６㊀㊀㊀㊀C ．５㊀㊀㊀㊀D．４解:设点P (x ０,y ０),则x ０＝３＋c o s θ,y ０＝４＋s i n θ{(θ为参数)．由øA P B ＝９０ʎ,得A P ң B P ң＝０,即(x ０＋m )(x ０－m )＋y ２０＝０,则m ２＝x ２０＋y ２０＝２６＋６c o s θ＋８s i n θ＝２６＋１０s i n (θ＋φ)ɤ３６(其中t a n φ＝３４)．所以０＜m ɤ６,即m 的最大值为６．故选答案:B ．思路与方法:本题是通过建立目标函数来求最值．由于øA P B ＝９０ʎ,则点P 也在以A B 为直径的圆上,因此问题还可转化为两圆有公共点,求m 的最大值,即两圆内切时,m 有最大值６．例８㊀半圆O 的直径为２,A 为直径延长线上一点,O A ＝２,B 为半圆上任意一点,以A B 为一边作等边三角形A B C ．问点B 在什么位置时,四边形O A C B的面积最大,并求这个最大值．图６解:如图６,设øA O B ＝α(０＜α＜π),在әA O B 中,又O B ＝１,O A ＝２,由余弦定理,得A B ２＝O A ２＋O B ２－２O A O B c o s α＝５－４c o s α．设四边形O A C B 的面积为S ,则㊀㊀㊀S ＝１２O A O B s i n α＋３４A B ２＝s i n α＋３４(５－４c o s α)＝５３４＋(s i n α－３c o s α)＝５３４＋２s i n (α－π３),当且仅当s i n (α－π３)＝１,即α＝５π６时,四边形O A C B的面积最大,且最大值为５３４＋２．思路与方法:本题通过运用余弦定理,将与圆有关的四边形面积的最值问题,转化为三角函数问题来求解．从解题过程不难看出,对y ＝a s i n x ＋b c o s x (a ,b ʂ０)引入辅角θ,则y ＝a ２＋b ２s i n (x ＋θ)(其中t a n θ＝ba),其最值一目了然．根据以上典例及 四化法 的运用情况,可以把与圆有关的最值问题大致归纳总结为以下几种类型:①定点与圆上的点的距离的最值题型,可将其转化为定点到圆心的距离ʃ半径 ;②定直线与圆上点的距离的最值题型,可将其转化为 圆心到直线的距离ʃ半径 ;③形如t ＝y －bx －a 的最值题型,可将其转化为动直线的斜率问题(切线处取得最值);④形如t ＝a x ＋b y ＋c 的最值题型,可将其转化为动直线的截距问题(切线处取得最值);⑤形如(x －a )２＋(y －b )２的最值问题,可将其转化为定点到圆上动点的最值问题．圆是一种很规则的图形,解答与圆有关的最值问题很适合采用数形结合法．运用 四化法 解题的关键,是在准确理解题意的基础上进行合理联想和类比,将代数式通过转化㊁变形㊁给予几何解释[２]．上述典型例题的解析可以帮助学生学会从 形 中觅 数 的思路与方法,掌握如何根据图形去寻求数量关系的技巧,能够娴熟地将几何问题代数化,通过不断加强这类题型的解题训练,最终达到触类旁通㊁举一反三㊁开阔思路㊁运用自如㊁综合提高的目的．参考文献:[１]杜超．例谈与圆有关的最值问题[J ]．理科考试研究,２０２１(９):１６Ｇ１８．[２]程会海．与圆有关的最值问题的解题策略例说[J ]．中学数学,２０２２(５):６４Ｇ６５．Z １８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
圆的参数方程
圆的参数方程一、圆的参数方程1、圆的参数方程的定义：说明：注意：即为给出了某个具体的点，我们把这个点和其他所有已知点集合起来组成一个新的一个未知点的坐标系，那么，此点的坐标就是用这个未知点与圆心的距离（两个条件缺一不可），我们把这个距离称之为点到圆的参数。
2、圆的参数方程的求法：步骤： p：设圆心位于原点O上，x轴从O向左引垂线与圆相交，从左向右引垂线与圆相交，使得这些垂线相交于一点C，连接C、 O和C，这样，我们就可以得到圆的方程。
n：如果将a=n， b=0，那么，即为给出了点M的坐标为p，我们可以得到这一点到原点的距离，也就是说，当x=y=0时，这一点到原点的距离等于半径r=1。
3、实例：求圆上的点到原点的距离。
4、圆的参数方程的应用： 1）、计算参数：设A为参数。
2。
计算单位圆上任一点P的坐标P= (x-1)/2，代入圆的参数方程即得。
3、应用：解决有关圆中的动点问题。
4、圆周角的计算公式：说明：在同圆或等圆中，它的两条切线的夹角的正弦值相等；它的两条切线的夹角的余弦值相等。
5、圆周角定理：说明：两个圆周角所对的弧的度数之和等于180度。
6、扇形的概念：说明：当角的顶点与边的端点重合时，它的大小叫做角的弧度，简称为弧度，记作∠A=∠B。
圆的角平分线：说明：它过圆心且垂直于切线。
弧与圆的位置关系：说明：设直线x、 y、z依次经过点A、 B、 C，其中A， B， C三点共线，则ACx=3xy。
7、圆的参数方程：对于非等距性的椭圆，当长半轴长度远大于短半轴长度时，其参数方程为： 8、椭圆的参数方程的几种特殊情况：注意： a、椭圆无参数方程。
b、参数方程两参数取同号，第三参数取异号。
c、参数方程两参数取反号，第三参数取正号。
9、比较两个椭圆的方程的异同：特别要注意：（ 1）、是否含有参数-1。
（ 2）、参数在前还是参数在后。
（ 3）、参数的符号。
10、确定参数方程的根的方法：确定参数方程的根的一般步骤是： a、分别寻找椭圆上三个点与长轴交点的横坐标（关键）。
高中数学破题致胜微方法圆的参数方程：二、利用圆的参数方程求最值 精品
今天我们研究利用圆的参数方程求最值问题.已知圆的一般方程或标准方程，则可以将圆的方程改写成参数方程，通过把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题.先看例题例1：已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值.解：由已知，可把点(x ，y )视为圆(x －1)2＋(y －1)2＝9上的点，设θ为参数，则圆的参数方程为13cos ,13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩， ()()222213cos 13sin x y q q \+=+++()116sin cos q q =++114p q 骣琪=++琪桫， 1sin 1,4p q 骣琪-??琪桫∴221111x y -?∴22x y +的最大值为11＋62，最小值为11－6 2.根据解题过程我们发现，利用圆的参数方程，将所求的22x y +的最值转换成关于θ的三角函数的形式，利用三角函数的知识求得其最值，使问题解答简便易懂.附：若圆心在点M (a ，b )，半径为r ，则圆的参数方程为cos ,sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）. 例2：已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y +--+=上的动点，求P 到直线10x y +-=的距离d 的最值.解：先配方，得到圆的标准方程为()22(3)21x y -+-=.得到参数方程3cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），设()3cos ,2sin P θθ++，于是d ==， 因此d的最大值1+1.通过解题过程发现，利用圆的参数方程，将圆上的点的坐标写成参数的形式，根据点到直线的距离公式，将所求的距离利用θ的三角函数式表示出来，通过此类解法很好地将较复杂的几何问题转化成代数问题，是问题变得简便易解.总结：1.如果圆的普通方程是一般式时，先配方变成标准形式再改写成参数方程.2.在已知圆上的动点，用参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解.3.利用三角函数的有界性，解决所求问题的最值.下面给出几道练习题以巩固：练习题：1.已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数).已知A (-2，0)，B (0，2)，圆C 上任意一点M (x ，y )，求△ABM 面积的最大值.2. 已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数). (Ⅰ)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求圆C 的极坐标方程;(Ⅱ)已知A (-2，0)，B (0，2)，圆C 上任意一点M (x ，y )，求△ABM 面积的最大值.3.点P 为曲线224x y +=任意一点，(0,M N ，求|PM |+|PN |的最大值.4.已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：2,22x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.5.已知曲线C 1: 4cos ,3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，C 2: 8cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数). (Ⅰ)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;(Ⅱ)若C 1上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 2: 32,2x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)距离的最小值.练习题的答案及解析：1.已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数).已知A (-2，0)，B (0，2)，圆C 上任意一点M (x ，y )，求△ABM 面积的最大值.解：圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x (θ为参数)， ∴点(32cos ,42sin )M θθ+-+.根据已知点A (-2，0)，B (0，2)得到直线AB 方程为：02=+-y x ，∴点(32cos ,42sin )M θθ+-+到直线AB 的距离： |32cos 142sin 2|d ++--++==， ∴△ABM 的面积：11||22S AB d =⨯=⨯ |2cos 2sin 9||sin()9|4πθθθ=-+=-+∴△ABM 面积的最大值为229+. 2. 已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数). (Ⅰ)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求圆C 的极坐标方程;(Ⅱ)已知A (-2，0)，B (0，2)，圆C 上任意一点M (x ，y )，求△ABM 面积的最大值.3.点P 为曲线224x y +=任意一点，(0,M N ，求|PM |+|PN |的最大值. 解：由曲线224x y +=，可得其参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，所以P 点坐标为(2cos ,2sin )αα，由题意可知(0,M N .因此PM +PN ==，2()14PM +PN =+，所以当sin 0α=时，2()PM +PN 有最大值28，因此PM +PN 的最大值为4.已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：2,22x t y t=+⎧⎨=-⎩ (t 为参数). (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.5.已知曲线C 1: 4cos ,3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，C 2: 8cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数). (Ⅰ)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;(Ⅱ)若C 1上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 2: 32,2x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)距离的最小值.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
龙源期刊网
化繁为简巧用圆的参数方程解题
作者：蒋伟
来源：《理科考试研究·高中》2015年第02期
高中数学重视数学知识的发生、发展和应用的过程.圆的参数方程这一内容，在高中数学
作为选修部分出现，在高考中的直接分量不多，故在平时教学中要求较低.但在高三复习时，
在解决与圆相关的某些问题时，巧用圆的参数方程，常能化繁为简，化难为易，收到事半功倍的效果.下面举例说明.
一、求与圆有关的最值问题
高三复习时，圆的参数方程这一内容掌握好了，对学生解题能力的提高大有裨益.。